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Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando perfiles de frente de onda obtenidos por la ecuación del transporte de irradiancia (ETI)por M. C. Luis Rodríguez Castillo Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado de Doctor en Ciencias en la especialidad de Óptica en el Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica. Junio 2011 Tonantzintla, Puebla Supervisada por Dr. Fermín S. Granados Agustín Dr. Alejandro Cornejo Rodríguez INAOE Dra. Eva Acosta Plaza © INAOE 2011 Derechos Reservados El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y distribuir copias de esta tesis en su totalidad o en partes.

Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

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“Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando perfiles de frente de onda obtenidos por

la ecuación del transporte de irradiancia (ETI)”

por

M. C. Luis Rodríguez Castillo

Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado de

Doctor en Ciencias en la especialidad de Óptica

en el

Instituto Nacional de Astrofísica,

Óptica y Electrónica.

Junio 2011 Tonantzintla, Puebla

Supervisada por

Dr. Fermín S. Granados Agustín

Dr. Alejandro Cornejo Rodríguez

INAOE

Dra. Eva Acosta Plaza

© INAOE 2011

Derechos Reservados El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y

distribuir copias de esta tesis en su totalidad o en partes.

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i

RESUMEN

Se presenta el estudio de una prueba óptica para obtener el frente de onda

de superficies con simetría esférica y no esférica a través de la integración

directa de la ecuación uni-dimensional del transporte de irradiancia (ETI,

derivada por Teague). Para resolver la ETI (bidimensional) el método usa la

distribución de irradiancia, en dos planos; cercanos a la pupila de salida para

aproximar la variación axial de la intensidad del sistema óptico bajo prueba.

Esta técnica, en nuestro caso, se realiza en un banco nodal de laboratorio.

Los resultados experimentales se compararon con los derivados al realizar

la prueba óptica con un Interferómetro de Difracción por Punto (IDP,

inventado por Linnik). También el método desarrollado con el IDP, permite

fácilmente obtener un perfil de frente de onda. Además; el presente trabajo

muestra la investigación y desarrollo de un instrumento basado en el

interferómetro de difracción por punto para realizar pruebas ópticas a

componentes oculares e intraoculares de manera bidimensional. El

instrumento se desarrollo para analizar el sistema bajo prueba no solo por

reflexión sino también por transmisión. Además de haber analizado la calidad

óptica de ambas superficies de las componentes oculares e intraoculares; el

instrumento también permite medir distancias focales. Se presentan los

resultados experimentales de algunas de las componentes analizadas y otros

resultados relacionados con el instrumento. Un ejemplo de componente

estudiada y analizada fue el cristalino en la forma denominada “in vitro”.

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ii

ABSTRACT

A optical testing study is shown to retrieve a wave-front shape of spherical

non spherical symmetry surface from a direct integration of one-dimensional

Irradiance Transport Equation (ITE, derived by Teague). To solve the ITE

the method uses the irradiance distribution from two planes close to the exit

pupil in order to fit the axial irradiance change of the optical system under

test. This technique is supported by the use of a lab nodal slide bench. The

experimental results were compared with those reached by a Point

Diffraction Interferometer (PDI, invented by Linnik). The method developed

with the PDI also presents an easier way to obtain a wave-front shape.

Besides the present work shows the research and develop of a instrument

based on the point diffraction interferometer to perform optical test on

intraocular and ocular components. The instrument was developed to

analyzing the system under test for reflection and transmission mode. The

optical quality of both surfaces of the intraocular and ocular element were

analyzed and his effective focal length was measured. Some experimental

results of the components analyzed are shown and related results of the

instrument. One example of component studied and analyzed was a lens in

vitro.

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iii

DEDICATORIA

Para mi hija e hijo:

Melissa Rodríguez Sosa.

Leonardo Rodríguez Sosa.

Especialmente

Para mi esposa:

Marissa Sosa Silverio.

y

Para

NDPTP

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iv

AGRADECIMIENTOS

Al Dr. Fermín Salomón Granados Agustín y al Profesor Dr. Alejandro Cornejo

Rodríguez por su asesoría y apoyo para el desarrollo del presente trabajo.

Además por su confianza y amistad mostrada durante mi estancia en el

INAOE.

A la Profesora y Dra. Eva Acosta Plaza por su asesoría y amistad durante mi

estancia en su laboratorio de la USC.

Al Dr. Rufino Díaz, al Dr. José Alberto Delgado Atencio, a la Dra. Perla

Carolina García Flores, al Dr. Alfonso Padilla Vivanco y al Dr. Manuel

Fernández Guasti por aceptar ser sinodales; pero sobre todo, por sus

valiosas observaciones, excelentes comentarios y buenas sugerencias para

la mejora de esta tesis.

Al grupo de Instrumentación Óptica del INAOE por brindarme su apoyo

durante el tiempo que estuve en el programa de doctorado.

A las instituciones INAOE y CONACyT por permitirme el acceso a sus

instalaciones, y apoyo económico respectivamente para realizar mis estudios

de Doctorado en Ciencias.

A mis compañeros del ITSA que siempre me han mostrado su apoyo y

sincera amistad.

A mi familia por su confianza y decidido apoyo.

Page 6: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

v

ÍNDICE

RESUMEN i

DEDICATORIA iii

AGRADECIMIENTOS iV

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN 01

Capítulo 2 MARCO TEORICO 03

2.1 Pruebas Ópticas 03

2.2 Modelo teórico para medir el frente de onda 04

con la ETI

2.3 Modelo teórico para medir el frente de onda 24

con el IDP

2.3.1 Método para el ajuste del frente de onda con el IDP 28

Capítulo 3 TRABAJO EXPERIMENTAL 30

3.1 Arreglo para la ETI-1D 32

3.2 Arreglo para la ETI-1D e IDP 34

3.3 Arreglo IDP 36

3.4 Procedimiento para la alineación 42

3.5 Procedimiento para la captura de imágenes 48

3.5.1 Para la ETI-1D 48

3.5.2 Para el IDP 49

3.6 Análisis del ruido en la prueba 50

3.6.1 Ruido en la ETI 50

3.7 ¿Qué es el ruido en la ETI? 50

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vi

3.8 Implicaciones en la prueba óptica a través de la

ETI por el ruido 51

3.9 Características practicas para conocer el ruido en el

detector CCD 52

3.10 Otra alternativa para determinar la curva de

transferencia del fotón 63

3.11 Ruido por el IDP 69

3.12 Alineado del interferómetro 69

3.13 Procedimiento para la preparación de corneas y

cristalinos 71

Capítulo 4 RESULTADOS EXPERIMENTALES 82

4.1 Resultados usando la ETI-1D 82

4.1.1 Recuperación del frente de onda con

el IDP y la ETI-1D 86

4.2 Resultados usando el IDP 87

4.2.1 Para componentes ópticos analizados

por transmisión 87

4.2.2 Para componentes ópticos analizados

por reflexión 89

4.3 Resultados experimentales adicionales obtenidos

con el IDP 96

4.3.1 Medición de espesores 96

4.3.2 Medición de índice de refracción 100

4.3.3 Medición de distancias focales 103

CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO 106

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vii

APENDICES Apéndice A ECUACION DEL TRANSPORTE DE IRRADIANCIA 108

Apéndice B INTERFEROMETRO DE DIFRACCION POR P. 110

Apéndice C ABERRACIONES 117

Apéndice D SUTURAS DEL OJO 126

Apéndice E PROGRAMA DESARROLLADO 134

Apéndice F TRABAJO DE TEAGUE PUBLICADO EN 1985 137

Apéndice G TRABAJO DE LINNIK PUBLICADO EN 1933 146

LISTA DE FIGURAS 150

LISTA DE TABLAS 160

BIBLIOGRAFÍA 161

CONTRIBUCIONES 165

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1

CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN

Actualmente las técnicas de sensado de superficies ópticas y trabajos

experimentales para medir las superficies con calidad óptica siguen

apareciendo y actualizándose, Malacara et. al. [1], tal es el caso que se

expone en este escrito al medir el frente de onda mediante dos técnicas. Las

ventajas son obvias: Las técnicas ópticas sean interferométricas o no

interferométricas; no alteran ni dañan la superficie que está siendo

investigada para conocer su calidad óptica; principalmente aquellas que son

de fabricación única. Desde este punto de vista, éstas técnicas ópticas se

clasifican como no destructivas.

Se presenta el estudio y resultado de la prueba óptica que permitió obtener

el frente de onda de una superficie sin simetría esférica a través de la

técnica denominada integración directa de la ecuación uni-dimensional del

transporte de irradiancia (ETI-1D), basada en la ETI derivada por Teague en

1983 [2], como un paso adicional al trabajo experimental realizado por

Rodríguez et. al. en el 2005 [3], en pruebas ópticas. Cabe mencionar que el

trabajo teórico de esta propuesta se basa también en los trabajos de Teague

del año 1985 [4] y Guasti et. al. del 2003 [5].

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2

Para resolver la ETI-1D, el método usa la distribución de irradiancia en dos

planos cercanos a la pupila de salida para aproximar la variación axial de la

intensidad, del sistema óptico bajo prueba, tomando en cuenta el ruido de

detección o lectura en la CCD y la distribución de la intensidad de referencia.

Esta técnica se realiza en un banco nodal de laboratorio que permite evaluar

el sistema óptico bajo estudio en eje y fuera de eje óptico.

Además, se presenta una breve introducción al interferómetro de difracción

por punto (IDP, propuesto por primera vez por Linnik [6]). El IDP se utilizó

para comparar los resultados obtenidos con el banco nodal del laboratorio

de instrumentación óptica del INAOE a una lente de Álvarez (sistema óptico

sin simetría esférica y de naturaleza astigmática usado por Humphrey et. al.

[7]); con la técnica de integración directa de la ecuación uni-dimensional del

transporte de irradiancia (ETI-1D).

Se presentan algunos resultados experimentales de la aplicación de la ETI-

1D y su comparación con los derivados al realizar la prueba óptica con el

Interferómetro de Difracción por Punto. Además como paso adicional al

trabajo realizado por Acosta et. al. [8] se presenta el desarrollo de un arreglo

experimental implementado para probar superficies oculares e intraoculares

(lentes de Polymethylmethacrylato); es decir, IOLs de PMMA por reflexión

con la técnica del IDP. Dos ejemplos de componentes oculares analizados

con este arreglo, fueron el cristalino y la córnea en la forma denominada en

vitro, cuyos resultados también se presentan.

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3

CAPITULO 2 MARCO TEORICO

2.1 Pruebas ópticas.

Las pruebas ópticas de componentes y sistemas ópticos, permiten la

evaluación de sistemas, superficies y materiales ópticos mediante métodos

no invasivos para conocer su calidad en la producción de las mismas, y sus

aberraciones a través de un análisis matemático. Por ejemplo, la

interferometría destaca por su confiabilidad para medir la calidad óptica de

elementos tales como lentes, espejos o sistemas más complejos que

combinan una buena cantidad de lentes y/o espejos. Sin embargo también

las técnicas no interferométricas como lo es la prueba de Ronchi y la prueba

de la navaja son altamente efectivas, especialmente en talleres de

construcción de componentes ópticas. Por otro lado las pruebas ópticas

basadas en la ecuación de transporte de irradiancia van incrementando su

uso; aunque con especial interés en los sensores de frente de onda que

también podrían considerarse parte de pruebas ópticas, recientemente Soto

et. al. [9] toma en cuenta el ruido de detección para establecer los planos de

medida que permiten resolver la ETI en su contexto de sensor de curvatura y

extiende aun más su trabajo y propone un sensor multi plano para la

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4

corrección de aberraciones causadas por turbulencia atmosférica, tomando

en cuenta el ruido de detección.

Para la medición de las aberraciones ópticas, parte esencial de las pruebas

que se realizan en general, se pueden emplear distintos tipos de

interferómetros; como por ejemplo, el interferómetro de desplazamiento

lateral, el interferómetro de Michelson o Mach-Zenhder; pero en algunos

debido a la necesidad de crear una onda de referencia, prácticamente

imposible, su implementación en un taller de superficies ópticas, se hace más

difícil. Sin embargo, los interferómetros de camino común, por lo contrario,

son candidatos idóneos para resolver el problema de la sensibilidad a la

vibración y la robustez necesaria para un taller de óptica. Entre ellos, el

interferómetro de difracción por punto (IDP) propuesto por Linnik y analizado

posteriormente por Smartt et. al. [10], permite generar ondas esféricas

ideales de referencia mediante la difracción producida por un agujero

extremadamente pequeño, comúnmente denominado punto. Situado en una

capa de espesor con dimensión nanométrica. La capa es depositada con la

tecnología de películas delgadas y es además semitransparente. La película

es depositada en un substrato transparente como el vidrio óptico BK7. La

capa también puede ser hecha con la tecnología de fotolitografía empleada

en la fabricación de circuitos integrados. Una descripción de lo que acontece

en el IDP se encuentra en el apéndice B.

2.2 Modelo teórico para medir el frente de onda con la ETI.

En primer lugar, exponemos el modelo teórico de la ETI unidimensional sin

considerar el ruido de la señal de entrada para calcular la derivada axial de la

intensidad y posteriormente nos referimos al modelo que tomará en cuenta el

ruido de la señal.

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5

En el modelo teórico para medir el frente de onda con la ETI consideramos

que la fase, ),,( zyxφ esta relacionada con el frente de onda ),,( zyxw por la

siguiente ecuación:

),,( zyxwk=φ (0)

),,( zyxII = es la intensidad en el punto ),,( zyx , λπ /2=k es el número de

onda; yλ es la longitud de onda del haz; al substituir la Ec. (0) en la ecuación

(6) del apéndice A y realizar algunos pasos algebraicos encontraremos la ETI

en función de la intensidad y el frente de onda, obteniéndose la siguiente

expresión:

02 =∇+∇⋅∇+∂∂ wIwIzI

ttt . (1)

El primer término es la variación axial de la intensidad, el segundo término

wI tt ∇⋅∇ representa las variaciones de intensidad causadas por la inclinación

del frente de onda y es llamado el término de prisma. El tercer término, wI t2∇

se interpreta como las variaciones de intensidad causadas por la

convergencia o divergencia del haz y es llamado el término de lente, según

Ichikawa et. al. [11].

La ETI en su forma unidimensional la podemos obtener a partir de la

ecuación (1), es decir, si rescribimos la ecuación (1) de la siguiente forma

zIwIwI ttt ∂∂

−=∇+∇⋅∇ 2 , (2)

donde el término wIwI ttt2∇+∇⋅∇ se expresa en forma compacta de la forma:

( )zIwI tt ∂∂

−=∇⋅∇ (3)

si consideramos una dimensión transversal ; indistintamente para x o y, toma

la siguiente forma:

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6

zI

ywI

y ∂∂

−=

∂∂

∂∂

(4)

si integramos una vez la Ec. (4) obtenemos

dyzI

ywI ∫ ∂

∂−=

∂∂

(5)

si integramos nuevamente la Ec. (5) obtenemos la ecuación

dydyzI

Iw

∂∂

−= ∫∫1

, (6)

La ecuación (6) es la que se propone para hallar un perfil del frente de onda

de nuestro sistema óptico bajo prueba. Sin embargo, si se desea obtener

información bidimensional, a partir de la información unidimensional en varias

posiciones, se deben integrar las informaciones parciales.

Si tuviéramos una fuente puntual ideal, la intensidad que emerge de acuerdo

a la siguiente expresión 2

tanr

teconsI = , Ec. (36) en la referencia [12] página

117, considerando simetría rotacional, dado que una fuente puntual

generalmente se asume esférica. Pero si consideramos solo el eje z, la

intensidad tendría por ecuación la siguiente:

20

zII = (7)

al sustituir la ecuación (7) en (6), podemos encontrar el frente de onda

fácilmente; es decir,

( ) dydyzIzI

w

∂∂

−= ∫∫ 20 /1

, (8)

Desarrollando esta última ecuación en varios pasos, se tiene

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7

dyz

yI

zI

dydyz

II

w

=

−−= ∫∫∫ 3

0

20

30 2121

, y (9)

zy

zy

w22

22

== (10)

La gráfica de la ecuación (10) resultante, muestra el frente de onda ideal

para una fuente puntual con z=200 u.l, ver figura 2.1;(u.l) significa unidades

de longitud, además la intensidad está normalizada, es decir 10 =I

Figura 2.1.Frente de onda ideal para una fuente puntual. Cuando se

considera z=200 u.l. e intensidad normalizada.

En nuestro caso la variación axial de la intensidad debe ser conocida para

poder obtener el frente de onda. Como sabemos en muchas aplicaciones es

común aproximar la cantidad o una función de interés por la suma de una

gran cantidad de valores asociados por alguna característica y que

comúnmente se representa por una serie de Taylor según Snieder [13].

Consideremos la intensidad que se recibe en el detector en función de una

de sus coordenadas transversales. El perfil de intensidad está claramente

descrito por la posición y su respectivo valor )(yI en nivel de gris, es decir la

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8

intensidad en función de la posición esta descrita. Por ejemplo, en cuatro

diferentes perfiles de intensidad, como los que se muestran en la figura 2.2.

El más simple de los perfiles es el que se muestra en la figura 2.2 (a), en este

caso el valor de la intensidad es constante:

0)( IyI = , (11)

El valor del parámetro 0I en 0=y , inmediatamente da el valor de

)0(0 II = . (12)

Figura 2.2. Cuatro diferentes clases de intensidad a lo largo de una hilera de

pixeles en la dirección transversal y del detector.

En la gráfica Fig. 2.2 (b) la situación muestra que la intensidad es lineal en

función de la posición:

Perfil de intensidad constante

(a

Perfil de intensidad lineal

(b

Perfil de intensidad cuadrático

(c)

Perfil de intensidad cúbico

(d

I y ( )

y

I y ( )

y

I y ( )

y

I y ( )

y

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9

yydydIIyI

=+= )0()( 0 , (13)

Consideremos ahora el caso cuadrático (c):

22

2

0 )0(21)0()( yy

ydIdyy

dydIIyI

=+

=+= , (14)

Este resultado refleja el hecho de que el valor del coeficiente del último

término tiene que ser la segunda derivada de la intensidad respecto de la

posición.

Consideremos ahora el perfil de intensidad representado por la gráfica (d),

donde claramente se aprecia que la intensidad no es una función lineal y

tampoco una función cuadrática de y, por lo que se puede representar por

una serie

∑∝

=

=++++=0

33

2210)(

n

nn yIyIyIyIIyI , (15)

Donde la intensidad queda expresada por una suma de términos y la variable

independiente va incrementando su potencia; los coeficientes nI , se pueden

encontrar a través de evaluar el resultado en y=0; es decir,

).0(!

1== y

ydId

nI n

n

n

Desde luego, uno puede encontrar una serie de Taylor para cualquier

función, como se muestra a continuación:

∑∝

=

+=+=+===0

2

22 )0(

21)0()0()0(

!)(

nn

nn

xxdfdxx

dxdfxfx

xdfd

nxxf (16)

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10

Por supuesto la expansión en serie de Taylor se puede también hacer para

un valor arbitrario; es decir, debemos cambiar hx → , x→0 y la expansión

resultante

∑∝

=

+++==+0

2

22 )(

21)()()(

!)(

nn

nn

xdxfdh

dxxdfhxf

xdxfd

nhhxf , (17)

También la serie no se restringe para una sola variable o dimensión. Para

dos variables, e igualmente para el caso de un valor arbitrario en x o y, se

representa por

+∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂+=++

2

22

2

2

22

),(21),(

21

),(21),(),(),(),(

yyxfh

yxyxfhh

xyxfh

yyxfh

xyxfhyxfhyhxf

yyx

xyxyx

(18)

Tomando en cuenta lo anterior podemos expresar la variación axial de la

intensidad que nos involucra para resolver la ETI, basada en la ecuación

(18), y queda expresada de la siguiente forma:

+∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂+=++

2

22

2

2

22

),(21),(

21

),(21),(),(),(),(

zzyIh

zyzyIhh

yzyIh

zzyIh

yzyIhzyIhzhyI

zzy

yzyzy

(19)

Desde luego esta serie esconde un resultado muy interesante. Es decir, la

intensidad ),( zyI esta descrita por todos los valores de su argumento cuando

sus derivadas son conocidas en un punto arbitrario. Esto significa que el

comportamiento global de la intensidad está completamente contenido a

partir de las derivadas en un solo punto, como lo refiere Snierder . Este

hecho no siempre es verdad si la función de interés cambia, de forma

rápida o de forma abrupta.

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11

En nuestro caso se propone la siguiente expresión:

zzyIh

yzyIhzyIhzhyI zyzy ∂

∂+

∂∂

+=++),(),(),(),( , (20)

Para hallar la variación axial de intensidad respecto a z. Entonces se puede

tener por expresión, cuando no hay variación respecto a y, la siguiente:

z

zy

hzyIhzhyI

zzyI ),(),(),( −++

=∂

∂ , (21)

donde zh y yh son las distancias necesarias para calcular la variación.

La importancia de la integración numérica se pone de manifiesto cuando no

es posible realizar una integral exacta y de forma analítica o bien cuando se

tienen una serie de datos que representan el integrando. Por ejemplo, si

ecuación (6); en términos de x en lugar de y, su integrando )(xf podría ser

conocido por una serie discreta de datos )( ixf .

{ } ∫=b

a

dxxffINT )( . (22)

Por lo que es posible aproximar el valor de la integral definida en un intervalo

finito [ ]ba, , entonces la ecuación 22 puede reescribirse como

{ } ∑=

=n

iiin xffINT

1)(α . (23)

La ecuación (23) generalmente es llamada cuadratura numérica [14] o

fórmula de integración numérica. Donde n es el número de puntos, ix son los

puntos de cuadratura o nodos y iα son los coeficientes de cuadratura.

Entonces el problema básico en la integración numérica que nos involucra,

recae en escoger adecuadamente los coeficientes de cuadratura tal que

{ }fINTn sea lo más aproximado a { }fINT . Es decir que el error de

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12

cuadratura { }fEn sea mínimo o cero. Una formula particular para definir el

error de cuadratura es la ecuación (24).

{ } { } { }fINTfINTfE nn −= . (24)

Evidentemente si se tiene una ecuación )(xf conocida es posible integrar

en forma analítica y no es necesario hacer alguna aproximación por algún

método. Sin embargo, si se tiene la función )(xf pero no es posible obtener

una integración exacta entonces en este caso también es recomendable

ocupar algún método de integración numérica.

Por otro lado es importante señalar que la integración que deseamos obtener

es unidimensional y debido a la naturaleza de nuestros datos sólo nos

concentraremos en aquellos métodos numéricos que usen un conjunto de

valores discretos que representen el integrando.

Los métodos considerados como simples (trapecio, simpson, etc) y los no

tan simples (Gauss, Romberg) se apoyan del uso de la computadora para

realizar el cálculo más rápido. En el caso de integración numérica aplicada

en algunos problemas de óptica discutidos por Bermúdez [15]; señala que la

mayor frecuencia del uso de la integración numérica es en la teoría de la

difracción. En las integrales de difracción; el integrando es altamente

oscilatorio. Entonces el uso de cualquier de los métodos de integración

requieren de un gran número de valores o bien puntos de cuadratura. Por

ejemplo el método de Filón que usa la regla de Simpson , donde se aproxima

el integrando por una parábola en el intervalo que se desea integrar.

En nuestro caso lo que haremos es usar distintos puntos de cuadratura para

ver el comportamiento de nuestro modelo. La simplicidad que presenta la

formulación de Newton Cotes (N-C), aceptada para valores discretos

equidistantes [16]; entonces se propone por la medición experimental tener

un conjunto de valores discretos y equidistantes. La formulación de N-C usa

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13

un polinomio de colocación de grado n. En la figura 2.3 se muestra

gráficamente el número de puntos de cuadratura y la forma del polinomio al

que se refiere dicha cuadratura. Se muestran los casos cuando n=1

conocido como la regla de trapecio y para n=2, polinomio parabólico

Como deseamos resolver la ecuación (5) y lo único que tenemos son los

valores de intensidades en dos planos; en el eje de propagación es decir

),( 0zyI i y ),( 1zyI i en forma discreta a lo largo del eje transversal; donde y

va desde cero hasta el valor máximo de la ubicación del último píxel de la

CCD. También tenemos la diferencia 01 zz − cuyo valor es numérico y

corresponde a la separación que hay entre las dos imágenes que se

capturan, la distancia que se refiere corresponde a la distancia de

propagación y es muy pequeña. Por lo que para resolver la Ec (6) debemos

primero encontrar la variación de la intensidad respecto a z. Después

encontrar las integrales que se refieren en la ecuación (6).

Figura 2.3. Función colocada para la cuadratura numérica.

Debido a la naturaleza de los datos de intensidad equidistantes por la

constitución de nuestro detector, es decir nuestra CCD tiene una matriz de

píxeles los cuales sensan la intensidad que emerge de nuestro sistema

X2 X0 X1

X0 X1

n=1 n=2

Page 22: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

14

óptico. Es necesario aproximar la diferenciación o variación de la intensidad

respecto a la propagación a partir de la ecuación (21), pero en forma

discreta y constante en el eje transversal y. Por lo que proponemos que el

primer integrando de la ecuación (6) o (21) tome la siguiente forma

01

01 ),(),(zz

zyIzyIzI ii

−−

≈∂∂ (25)

donde niconvayi 0= , n es la cantidad de valores discretos y

01 zzhz −= , sin embargo más adelante se detallará sobre este hecho.

El método numérico para la Integración necesaria para resolver la Ecuación

Unidimensional del Transporte de Irradiancia.

Como sabemos no es posible integrar la ETI-1D en su forma exacta a partir

de la ecuación

∫ ∫

∂∂

−= dydyzI

Iw 1 , (26)

dado que el integrando zIyf ∂∂= /)( en la ecuación (22) es conocido por

una serie de datos )( iyf entonces se calcula el frente de onda por:

{ }fINTw = (27)

o bien expresado por la ecuación

{ } dydyyfI

fINT i∫ ∫

−= )(1 . (28)

Entonces es posible aproximar el valor de la primera y segunda integral de

la ecuación (26) por una cuadratura, las cuales están definidas en el mismo

intervalo [ ]n,0 para las dos integrales. Por lo que la nueva expresión para

efectuar el cálculo es la siguiente,

Page 23: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

15

{ }i

n

i

n

i i

iii

iin zz

zyIzyIyI

fINTw ∑ ∑= =

−−

−==1 1 01

01 ),(),()(

1 αβ (29)

A la ecuación (29) le llamaremos cuadratura numérica para el frente de onda

o fórmula de integración numérica para el frente de onda. Donde n es el

número de puntos, iy son los puntos de cuadratura o nodos y ii βα , son los

coeficientes de cuadratura.

Entonces el problema básico en la integración numérica recae en escoger

adecuadamente los coeficientes de cuadratura tal que { }fINTn sea lo más

aproximado a { }fINT . Es decir que el error de cuadratura { }fEn sea mínimo

o cero.

{ } { } { } 0=−= fINTfINTfE nn . (30)

El método numérico para resolver la ETI-1D y encontrar el perfil de frente de

onda se encuentra en el apéndice E y está programado en Mathcad

versión 2001. Es importante destacar que existen una gran variedad de

métodos para integrar y van de acuerdo a la aplicación. Nosotros nos

referimos a los más sencillos, es decir N-C. Además de que consideramos la

misma cuadratura; es decir, ii βα = .

Hasta este punto podríamos decir que el resultado corresponde al frente de

onda visto de forma ideal y con un valor exacto para una superficie óptica;

sin embargo, debemos incluir la intensidad de referencia 1/ I de la ecuación

por una lado y por otro el ruido de detección.

Page 24: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

16

dydyzI

Iw

∂∂

−= ∫∫1

. (31)

Por lo que proponemos un principio de medición que incluya una nueva

solución a partir de una relación de intensidades como una solución a la

ecuación paraxial de onda. Es decir, donde se incluya la intensidad de

referencia. En el esquema de la figura 2.4 se muestra como la relación de

intensidades tienen lugar para el principio que se propone. La intensidad de

referencia (haz de referencia) es capturada por el detector en la posición

(x0,y0,z0), y se representa como ),,(0 zyxI , colocando el sistema bajo prueba

en la trayectoria del haz de referencia se obtiene la intensidad ),,( zyxI .

Figura 2.4. Principio de medición para ETI-1D.

Cabe aclarar que la relación ),,(4/),,( 0 zyxIzyxI en el principio propuesto

fue considerada tomando en cuenta el cálculo de la intensidad para una

rendija iluminada con luz coherente según R. Simon [17 ].

),,(4/),,( 0 zyxIzyxI

Detector

Sistema Óptico. bajo prueba

Detector

),,(0 zyxI

),,( zyxI

Haz de referencia

Haz de referencia

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17

Entonces iniciamos primero con la ecuación paraxial de onda, de forma

compleja

022 =

∂∂

−∇ ψz

ki ó 022 =

∂∂

+∇ ψz

ki , (32)

y realizando similar método algebraico al utilizado por Teague en su artículo

de 1983; pero proponiendo, por un lado una función compleja cuya amplitud

sea una relación de intensidades; y por el otro que sea solución de (32).

La relación de intensidades antes mencionadas tiene la forma:

[ ] [ ]),,(exp),,(4/),,(),,( 2/10 zyxizyxIzyxIzyx φψ = , basada en el principio

planteado, y omitiendo el valor de fase constante asociado a la intensidad del

haz de referencia en la exponencial.

El método algebraico de Teague, realiza las derivadas parciales

correspondientes a ),,( zyxψ y al complejo conjugado ),,(* zyxψ ; se

sustituyen en la Ec. (32), después se realiza el álgebra correspondiente en

ambas ecuaciones. Posteriormente se multiplican por su complejo conjugado

y finalmente se restan; es decir, como se indica a continuación,

022*

*2*2 =

∂∂

−∇−

∂∂

−∇ ψψψψψψz

kiz

ki , (33)

si además se propone que zkyxwkzyx += ),(),,(φ , se obtiene un función

compleja con su parte real y su parte imaginaria de la forma,

( ) 0)/(

)()(2 0

0

2

00

=

∂+∇⋅∇+∇+

i

zII

wIIw

IIk

II

ttt (34)

donde λπ2=k , y ),( yxw es el frente de onda, y 2t∇ es el Laplaciano

transversal. Y su módulo de esta función compleja se describe por,

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18

02)/(

2

0

2

0

0

=

+

∂∂

+

∇⋅∇ k

II

zII

wII

tt , (35)

entonces se puede desarrollar por una serie para obtener una aproximación

+

∂∂

+

∇⋅∇

∂∂

+

∇⋅∇

+

+

∂∂

+

∇⋅∇

4

0

03

0

2

0

0

0

0

2

0

2

0

0

)/(

28

1

)/(

22

122)/(

zII

wII

kII

zII

wII

kII

kIIk

II

zII

wII

tt

tttt

(36)

Si además se considera una dimensión transversal indistintamente para x o

y, al usar tal aproximación a tres términos. Entonces su resultado se iguala

a cero, obteniendo finalmente la siguiente expresión:

.0)/(

28

1

)/(

22

12

4

0

03

0

2

0

0

0

0

=

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

zII

yw

II

yk

II

zII

yw

II

yk

II

kII

(37)

Ahora bien, si definimos 2

0

0

)/(

∂∂

+

∂∂

∂∂

=zII

yw

II

yp entonces podemos

encontrar una función cuadrática de p,

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19

[ ] [ ] 0

28

1

22

12 23

00

0

=

+

p

kII

pk

II

kII (38)

Reordenando la última ecuación para simplificar

[ ] [ ] 0

28

28

22

128

1

2822

3

0

3

0

0

3

0

3

00 =

+

p

kII

kII

pk

II

kIIk

IIk

II

, (39)

se aprecia que podemos encontrar los valores para p, a partir de

[ ] [ ] 028244

0

2

0

2 =

− k

IIpk

IIp ; (40)

Y con la ayuda de:

( )

)1(2

281424244

0

22

0

2

0

−−

−±

−−

=

kIIk

IIk

II

p . (41)

Entonces los valores de p son igual a

)388(3882

0

2

0

2

0

±

=

±

= k

IIk

IIk

IIp (42)

como 2

0

0

)/(

∂∂

+

∂∂

∂∂

=zII

yw

II

yp , entonces volvemos a substituir el valor de

p en la ecuación (42) para encontrar

Page 28: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

20

( )388)(2

0

2

0

0

±

=

∂∂

+

∂∂

∂∂ k

II

zII

yw

II

y (43)

Reescribiendo la Ec. (43) obtenemos,

( )388)(2

0

0

0

±

±=

∂∂

+

∂∂

∂∂ k

II

zII

yw

II

y , (44)

al reordenar esta ecuación se puede decir, que encontramos la ecuación de

Teague para la relación de intensidades; pero con un término de más, que es

el radical del lado derecho, si sólo consideraremos la parte real del

argumento, ya que puede ser negativo y reordenamos la ecuación; se

obtiene lo siguiente:

kII

zII

yw

II

y 0

0

0

3222)(

+±∂

∂−=

∂∂

∂∂

(45)

Si desarrollamos la expresión de la derecha de la Ec. (45), entonces

obtenemos:

. kII

IZII

IZII

yw

II

y 020

020

0

0

3222//+±

∂∂−

∂∂−=

∂∂

∂∂

(46)

Como nos interesa que la intensidad de referencia no varíe con la

propagación y como 00

≠II , significa que podríamos restringir para que

valores los términos adicionales se minimicen tal que tiendan a cero, por lo

que, proponemos

Page 29: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

21

03222 00 =+±

∂∂

IkzI

, (47)

donde zI∂∂ 0 depende de λπ /2=k , es decir de la longitud de onda. Pero la

pregunta importante es, ¿la dependencia adicional de la longitud de onda en

la ecuación (47) es de consideración o simplemente es despreciable?. Si

resolvemos la ecuación (47) y la graficamos; figura 2.5, claramente se

aprecia que para valores de z cercanos a cero la variación es casi constante

para una determinada longitud de onda.

Figura 2.5. Variación de la intensidad de referencia 0I respecto a z , tomando

en cuenta la longitud de onda del haz de referencia.

De lo anterior se deduce que el término adicional puede ser despreciado

para valores de z cercanos a cero, entonces nos queda

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 106

4

2

0

2

4

65.691

5.691−

e4.675− 2

πλ

z⋅

e4.675 2

πλ

z⋅

ze

4.675 2πλ

z⋅dd

ze

4.675− 2πλ

z⋅dd

1010− z

Page 30: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

22

zI

II

yw

II

y ∂∂

−=

∂∂

∂∂

20

0

0 (48)

si integramos una vez la Ec. (48) , obtenemos

120

0

0

cdyzI

II

yw

II

+∂∂

−=∂∂

∫ (49)

Obtenemos la derivada del frente de onda; donde aparentemente no

depende de la intensidad de referencia y de una constante,

Sin embargo si consideramos una distribución de intensidad Gaussiana en

nuestro haz de referencia ,con parámetro de truncamiento σ e intensidad a,

igual a , 2

0yaeI σ−= , (50)

donde para distribución uniforme 0=σ , entonces aI =0 , por lo que si

sustituimos e integramos otra vez obtenemos:

211 cycdydy

zI

Iw ++

∂∂

−= ∫ ∫ (51)

Desde luego podemos omitir los términos adicionales según Teague en su

artículo de 1985, lo que resulta:

∫ ∫ ∂∂

−= dydyzI

Iw 1

(52)

Es decir, para obtener un perfil de frente de onda con un haz de referencia,

se hace necesario considerar la intensidad de referencia y la variación axial

de la intensidad.

Page 31: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

23

Si la variación axial de la intensidad se aproxima nuevamente por:

21

21 ),(),(zz

zyIzyIzI ii

−−

≈∂∂ (53)

donde nivayi 0= , siendo n cantidades de valores discretos por la

naturaleza de nuestra detección, por lo que el valor de la primera y segunda

integral de la ecuación (52) se aproxima por una cuadratura definida en el

mismo intervalo [ ]n,0 , resulta entonces la expresión :

i

n

i

n

i i

iii

iii zz

zyIzyIyI

w ∑ ∑= =

−−

−=1 1 21

21 ),(),()0,(

1 αβ (54)

Por lo que, nuevamente, le llamaremos cuadratura numérica para el frente de

onda o fórmula de integración numérica para el frente de onda. Donde n es el

número de puntos, iy son los puntos de cuadratura o nodos y ii βα , son los

coeficientes de cuadratura. Nuevamente los métodos de integración, que

usaremos serán los más sencillos, es decir N-C. Y además consideraremos

la misma cuadratura; es decir, ii βα = .

Al considerar ruido aditivo en los tres datos 21 , ii e 3i asociados a la

intensidad de referencia, a la intensidad en el primer y segundo plano a lo

largo de z; respectivamente, nuestra ecuación toma la forma de la Ec. (55).

i

n

i

n

i i

iii

iii zz

ziyIziyIiyI

w ∑ ∑= =

+−++

−=1 1 21

2211

3

),(),()0,(

1 αβ (55)

Para minimizar los efectos del ruido sugerimos tomar en cuenta las

implicaciones respecto al ruido en el contexto de esta tesis. Para mayor

detalle ver el siguiente capítulo.

Page 32: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

24

2.3 Modelo teórico para medir el frente de onda con el IDP.

Como señalamos anteriormente el IDP está basado en la interferencia de

dos haces de trayectorias comunes, en esta parte solo revisaremos la

ecuación que describe la interferencia de dos ondas validas en la región

paraxial de interés. Una descripción detallada de lo que acontece en el IDP

se encuentra en el apéndice B. El modelo teórico que describe la

interferencia de dos haces es bien conocido y explicado de forma excelente

en el libro de Born & Wolf ; pero esta vez, suponemos una función de onda

compleja, similar a la del tratamiento teórico de la ETI, valida en la región

paraxial, de la forma

[ ] [ ]),,(exp),,(),,( 12/1

11 zyxizyxIzyx φγ = (56)

y otra

[ ] [ ]),,(exp),,(),,( 22/1

22 zyxizyxIzyx φγ = (57)

con similar validez; de tal forma que la suma de las dos ondas se puede

expresar como:

),,(),,(),,( 21 zyxzyxzyx γγγ =+ , (58)

y el módulo al cuadrado de la superposición será

[ ] [ ]*21212 ),,(),,(),,(),,(),,( zyxzyxzyxzyxzyx γγγγγ ++= , (59)

ó bien de la siguiente forma

[ ] [ ]),,(),,(),,(),,(),,( *2

*121

2 zyxzyxzyxzyxzyx γγγγγ ++= . (60)

Realizando el algebra correspondiente obtenemos;

),,(),,(

),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(*22

*12

*21

*11

2

zyxzyx

zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx

γγ

γγγγγγγ

+

++=

(61)

Page 33: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

25

sustituyendo ),,();,,();,,(;),,( *22

*11 zyxzyxzyxzyx γγγγ de las ecuaciones

(56) y (57),

[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }),,(exp),,(),,(exp),,(

),,(exp),,(),,(exp),,(

),,(exp),,(),,(exp),,(

),,(exp),,(),,(exp),,(),,(

22/1

222/1

2

12/1

122/1

2

22/1

212/1

1

12/1

112/1

12

zyxizyxIzyxizyxI

zyxizyxIzyxizyxI

zyxizyxIzyxizyxI

zyxizyxIzyxizyxIzyx

φφ

φφ

φφ

φφγ

+−

+−

+−=

(62)

Simplificando un poco,

[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }.),,(),,(exp),,(),,(

),,(),,(exp),,(),,(

),,(),,(exp),,(),,(

),,(),,(exp),,(),,(),,(

222/1

22

122/1

12

212/1

21

112/1

112

zyxizyxizyxIzyxI

zyxizyxizyxIzyxI

zyxizyxizyxIzyxI

zyxizyxizyxIzyxIzyx

φφ

φφ

φφ

φφγ

+−

+−

+−=

(63)

Reordenando los términos de la Ec. (63), [ ] [ ]{ }

[ ] [ ]{ };),,(

),,(),,(exp),,(),,(

),,(),,(exp),,(),,(),,(),,(

2

122/1

12

212/1

2112

zyxIzyxizyxizyxIzyxI

zyxizyxizyxIzyxIzyxIzyx

+−

+−+=

φφ

φφγ

(64)

agrupando

[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ } .),,(),,(exp),,(),,(

),,(),,(exp),,(),,(),,(),,(),,(

212/1

21

122/1

12212

zyxizyxizyxIzyxI

zyxizyxizyxIzyxIzyxIzyxIzyx

φφ

φφγ

+−++=

(65)

Reordenando nuevamente la Ec. (65)

[ ][ ] [ ]{ }),,(),,(exp),,(),,(exp

),,(),,(),,(),,(),,(

2112

2/12121

2

zyxizyxizyxizyxixzyxIzyxIzyxIzyxIzyx

φφφφγ

−+−

++=;

(66)

Page 34: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

26

si ),,(),,(),,( 12 zyxzyxzyx φφθ −= podemos simplificar un poco más, la Ec.

(54), hasta obtener

[ ][ ] [ ]{ }

2),,(exp),,(exp2),,(),,(),,(),,(),,( 2/1

21212

zyxizyxixzyxIzyxIzyxIzyxIzyx

θθ

γ

−+

++=

(67)

Si 2),,( zyxγ la definimos como la intensidad total ),,( zyxI , y además

suponemos =),,( xyxθ constante, entonces por definición podemos usar la

identidad ( ) ( )[ ] )cos(2/expexp θθθ =−+ ii , entonces la intensidad de la

superposición de las dos ondas toma la forma,

[ ] [ ]),,(cos),,(),,(2),,(),,(),,( 2/12121 zyxzyxIzyxIzyxIzyxIzyxI θ++= . (68)

Si ),,(),,(),,( 021 zyxIzyxIzyxI == en la zona de interferencia, obtendremos:

[ ] [ ]),,(cos),,(),,(2),,(),,(),,( 2/10000 zyxzyxIzyxIzyxIzyxIzyxI θ++= . (69)

Simplificando y realizando el algebra correspondiente, en la Ec. (69),

[ ]),,(cos),,(2),,(2),,( 00 zyxzyxIzyxIzyxI θ+= , (70)

Agrupando entonces se obtiene

{ })cos(1),,(2),,( 0 θ+= zyxIzyxI . (71)

Si rescribimos la ecuación (71) usando la identidad 2)cos(1)2cos( θθ +±=

encontramos,

[ ]20 )2/cos(),,(4),,( θzyxIzyxI = (72)

Page 35: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

27

Si definimos a DCO02 λπθ = y lo substituimos en la ecuación (72), donde

0λ es la longitud de onda de la fuente de intensidad y DCO es la diferencia

de camino óptico expresado en cantidades de longitud de onda, obtenemos

la ecuación de interferencia que se reporta en la mayoría de los libros de

texto de óptica,

)(cos),,(4),,(0

20 DCOzyxIzyxI

λπ

= (73)

pero, debe tomarse en cuenta que el argumento de la función coseno

permite valores positivos y negativos de la DCO, y es aquí donde el IDP

cobra importancia; es decir. La posibilidad de poner el micro agujero del IDP

fuera de foco mediante avance circular (de-foco inducido por mover el micro

agujero axialmente) y/o avance lineal (inclinación inducida por mover el micro

agujero del IDP en un plano perpendicular al eje de propagación) según

Acosta et. al. en su artículo del 2006. Además estos avances son fácilmente

introducidos y controlados, lo que permiten elegir un buen interferograma

con franjas bien contrastadas en la región de interés o bien se pueden

grabar varios interferogramas controlando las dimensiones que se derivan

por mover el IDP.

La curva obtenida en cada franja representa una región de fase constante en

el plano de observación. Dos curvas consecutivas están separadas por una

longitud de onda tal y como lo describe la ecuación (73) . Por lo que resta es

realizar el ajuste de las franjas para conocer el frente de onda.

En la figura 2.6 se muestran algunos interferogramas típicos en pruebas

ópticas. Para su posterior análisis de franjas y procesado de ajuste del frente

de onda.

Page 36: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

28

a) b) c)

Figura 2.6. Interferogramas clásicos obtenidos en pruebas ópticas para el

análisis del frente de onda: a) interferograma de un sistema óptico libre de

aberraciones, b) interferograma con 025.0 λ de aberración de de-foco en el

sistema óptico bajo estudio y c) interferograma con 025.0 λ de aberración de

esfericidad.

2.3.1 Método para el ajuste del frente de onda por el IDP.

Con los valores (x,y) y su correspondiente número entero de valor que

representa de las curvas obtenidas de los interferogramas, se realiza un

ajuste directo con una combinación lineal de polinomios de Zernike mediante

el método de mínimos cuadrados. Previo al seguimiento de las franjas, es

posible conocer el signo de la aberración de de-foco al observar la forma de

la franja central del interferograma, cuando se cambia el avance (lineal y/o

circular) del IDP.

Con la información recabada, se realiza el ajuste y mantenemos el signo de

todos los coeficientes; de tal forma que si el signo del de-foco derivado del

ajuste coincide con el que se observó; o bien cambiamos el signo de todos

los coeficientes si no corresponde.

El método anteriormente descrito requiere de práctica pero es efectivo y nos

exime de utilizar alguna técnica de corrimiento de fase y/o desenvolvimiento

Page 37: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

29

de la fase según Acosta et. al. [18]. Por lo que nos entusiasmamos de que

siendo un método directo, permite visualizar las franjas de fase constante

fácilmente y decidimos utilizarlo para contrastar los resultados con la ETI-1D.

Page 38: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

30

CAPITULO 3 DESARROLLO EXPERIMENTAL

En el trabajo inicial de doctorado usamos un banco nodal de laboratorio

implementado por Rodríguez en el 2005 para sensar con el planteamiento

de la ETI un sistema óptico sin simetría esférica o rotacional como el que se

muestra en la figura 3.1, En la Universidad de Santiago de Compostela

usamos el interferómetro de difracción por punto (IDP) para el sensado de

componentes ópticas. Entonces con la experiencia adquirida en la USC

sobre el IDP, nos propusimos modificar el banco nodal del laboratorio de

INAOE para integrarle el IDP y poder contrastar los resultados alcanzados

con la ETI-1D.

Por lo que parte del trabajo de tesis fue implementar diversos arreglos

experimentales para someterlos a prueba y después emplearlos en el

sensado de las componentes ópticas planteadas. Puede afirmarse que

fueron varios los realizados tanto en INAOE como en USC, hasta conseguir

los más adecuados para que nos permitieran aproximar en lo posible el

modelo teórico al experimento. Así como también, nos permitiera obtener la

mejor calidad de datos para la obtención y análisis de un perfil de frente de

onda o un mapa bidimensional de frente de onda.

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31

Figura 3.1. Lente de prueba sin simetría rotacional, denominada lente de

Álvarez.

Como resultado final, se tuvieron diferentes versiones de arreglos

experimentales que mejores resultados podrían ofrecernos para ser usados.

A continuación se listan en orden de aparición en el presente capítulo:

1. Arreglo experimental ETI-1D para el sensado por transmisión usando

la ETI-1D.

2. Arreglos experimentales ETI-1D e IDP para el sensado por

transmisión usando la ETI-1D y el IDP.

3. Arreglos experimental IDP para el sensado por transmisión o por

reflexión.

Cabe aclarar que la secuencia de cómo se presentan no corresponde a la

secuencia de su implementación cronológica ni tampoco corresponden a un

orden de importancia, es decir todos son importantes y tienen su aportación.

Además de que en este capítulo describiremos brevemente las componentes

que contienen los arreglos utilizados, plantearemos consideraciones sobre el

procedimiento de alineación, la captura de las imágenes, el ruido en la

intensidad, la calibración del interferómetro y por último el procedimiento de

preparación de las componentes oculares para su sensado con el IDP.

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32

3.1 Arreglo para la ETI-1D

El arreglo implementado en el laboratorio de instrumentación se aprecia en la

figura 3.2 y sus elementos son: Como fuente de luz un láser de He-Ne con

632.8 nm de longitud de onda, un filtro circular de densidad óptica variable,

un objetivo de microscopio, un micro orificio de diámetro de 5 µm para la

limpieza del haz, una lente colimadora provista de una montura mecánica

acanalada para guiarla sobre un riel, una montura mecánica giratoria provista

Figura 3.2. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)

del arreglo ETI usado para el sensado de superficies con simetría rotacional

en eje y fuera de eje por transmisión en forma unidimensional.

Láser

Filtro Objetivo demicroscopio

Filtro espacial Lente bajoprueba

Lentecolimadora

Rendija

Sistema de enfoque

CámaraCCD

Filtro

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33

de una platina en dirección z para trasladar y girar la lente bajo prueba y

permita la búsqueda de los puntos nodales del elemento bajo prueba, en la

figura 3.3 se aprecia esta montura con mayor detalle, una cámara CCD

C2400 del fabricante Hamamatzu provista con un sistema de enfoque y

soportada en una platina con desplazamiento en la dirección z, una tarjeta de

video NI-1410 del fabricante National Instruments, una PC para la captura de

las imágenes y procesado de la información, un riel fijado en una mesa de

trabajo.

Figura 3.3. Montura para la lente de prueba.

Los elementos ópticos y mecánicos del arreglo nos permiten tener la fuente

en eje y fuera de eje sin modificarlo apreciablemente. Es decir, si nos

apoyamos de los puntos nodales del propio sistema óptico a evaluar, en el

caso de que fuera de simetría esférica; entonces se puede analizar un perfil

del frente de onda cuando la fuente esta en eje y fuera de eje. Aspecto por

demás importante, porque la mayoría de los sistemas de prueba siempre lo

hacen cuando la fuente está en eje.

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34

Para usar la ETI-1D es necesario calcular la variación de la intensidad

respecto al eje de propagación, entonces debemos tomar intensidades en

dos distintos planos a lo largo de z; por lo que el detector debe desplazarse

estrictamente en esa dirección, por lo que la alineación del arreglo es muy

importante y decisiva para obtener resultados correctos; más adelante se

describe el procedimiento de alineación en la siguiente sección 3.2 que

asegura esta restricción.

3.2 Arreglo para la ETI-1D e IDP

El arreglo ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión unidimensional

contiene los componentes del arreglo anteriormente descrito, más un divisor

de haz; un IDP soportado por una platina x-y-z y atra cámara CCD. En este

arreglo, la rendija está soportada en una montura x-y para que permita

escanear la superficie bajo prueba; un arreglo esquemático y una fotografía

de lo implementado se encuentra en la figura 3.4.

Cabe destacar que ambas cámaras CCD son Sony modelo XC-ST50 y están

conectadas en una tarjeta National Instrumets modelo NI 1407; Sin

embargo, es posible solo integrar el IDP para contrastar los dos métodos, en

la figura 3.5 se muestran un diagrama esquemático y una fotografía de cómo

puede ser implementado con una sola cámara. Es decir este arreglo es

similar al primero pero sin la lente de enfoque en la CCD y con un IDP. En la

fotografía se omite la parte de la fuente y filtrado para mostrar el IDP y su

respectiva platina x-y-z.

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35

Figura 3.4. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)

del arreglo ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión.

Láser

Objetivo demicroscopio

Filtro espacial

Lente bajoprueba Lente

colimadora

Rendija

Sistema de enfoque

CámaraCCD

CámaraCCD

Divisor dehaz

IDP

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36

Figura 3.5. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)

del arreglo ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión usando una

cámara.

3.3 Arreglo IDP

El arreglo experimental IDP para el sensado por transmisión se muestra en la

figura 3.6; este contiene como fuente de luz un diodo láser a 635 nm de

longitud de onda, un objetivo de microscopio, una lente colimadora, un

diafragma, el IDP, una pantalla. Todos estas componentes soportadas por

monturas guiadas de forma compacta mediante cuatro postes de alta

Láser

Objetivo demicroscopio

Filtro espacial

Lentecolimadora

Lente bajoprueba

IDP

CámaraCCD

IDP

Rendija

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37

precisión mecánica, una PC para el almacenamiento y procesado de las

imágenes y por último una cámara CCD marca Pulnix para la captura de los

interferogramas. Es importante comentar que la disposición modular de este

tipo de monturas optomecánicas, permiten mantener alineado el arreglo y

dan gran versatilidad para la obtención de los interferogramas.

En la fotografía de la figura 3.6 se aprecia una cubeta óptica de caras plano

paralelas donde se coloca el espécimen intraocular para ser analizado.

Desde luego este arreglo experimental no contiene la lente focalizadora

posterior al sistema óptico bajo prueba como el descrito en el artículo de

Acosta del 2006, dado que el mismo objeto se usó como concentrador del

haz.

Figura 3.6. Fotografía deI arreglo IDP para el probado por transmisión.

Láser

Objetivo demicroscopio

Lentecolimadora

IDP

CámaraCCD

Diafragma

Objeto bajoprueba

Pantalla

Sistema deenfoque

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Para el caso del arreglo para el IDP por reflexión no fue posible ensamblarlo

con los elementos optomecánicos modulares, en su lugar se ensambló un

arreglo con el material disponible. Los componentes utilizadas fueron: Un

diodo laser a 635 nm de longitud de onda, como fuente de luz; un objetivo de

microscopio, un micro orificio para la limpieza del haz, una lente colimadora,

un divisor de haz; una lente concentradora, una montura x-y-z para el

soporte del componente bajo prueba, una lente focalizadora, el IDP

soportado en una platina x-y-z, una pantalla y por último una cámara CCD

Pulnix provista con su sistema de enfoque; desde luego todos los

componentes con su respectiva monturas. La figura 3.7 muestra un diagrama

esquemático del arreglo y en la figura 3.8 una fotografía.

Figura 3.7. Diagrama esquemático del arreglo IDP para el sensado por

reflexión, con este se sensaron la córnea y el cristalino.

Láser

Objetivo demicroscopioFiltro espacial

Lentecolimadora

Sistema de enfoque

CámaraCCD

IDP

Pantalla

Lente concentradora

Divisor de haz

Lente focalizadora

Superficie bajo prueba

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Por los elementos a sensar, el arreglo experimental se dispuso en forma

vertical y fue necesario utilizar una placa metálica robusta para mantenerlo

libre de variabilidad mecánica. Aunque más adelante se describe un ejemplo

de alineación de las componentes, es importante comentar que el alineado

de este arreglo no es trivial. Por lo que debe hacerse con similares

recomendaciones al que se describe.

Figura 3.8. Fotografía del arreglo IDP para el sensado por reflexión, con este

se sensaron la córnea y el cristalino.

Otro arreglo experimental para sensar por transmisión con variación de

convergencia o divergencia del haz se consiguió modificando el instrumento

anterior al colocar un espejo plano en lugar de la lente de prueba, un cubo

divisor en lugar de un divisor de película, un láser de He-Ne en lugar de un

diodo láser, la lente de prueba se ubica posterior a la lente focalizadora y no

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se tiene un filtro espacial. En la figura 3.9 se muestra un diagrama

esquemático y una fotografía del arreglo.

Figura 3.9. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)

del arreglo IDP para el sensado por transmisión de lentes intraoculares

variando el haz de referencia.

Objetivo demicroscopio

Lentecolimadora

Sistema de enfoque

CámaraCCD

IDPPantalla

Lente concentradora

Divisor de hazHaz láser

Espejo

Lente para variarvergencia del haz

Lente bajo prueba

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En la figura 3.10 se muestra con mayor detalle la zona cercana al IDP en el

arreglo experimental.

Figura 3.10. Detalle de la montura para el sensado de lentes intraoculares

variando el haz de referencia.

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42

3.4. Procedimiento para la alineación

En esta parte se da un ejemplo del procedimiento para la alineación del

banco nodal del laboratorio para el caso de la ETI-1D. Aunque no se

describe el proceso de alineación para todos los instrumentos deben tomarse

en cuenta similares recomendaciones. Básicamente el alineado consta de los

siguientes pasos importantes, alineado del haz, alineado de la rendija,

obtención de la colimación y captura de las imágenes, de vital importancia

para obtener los mejores resultados. A continuación se describe cada paso.

Paso 1.- Primero ponemos dos tornillos a lo largo de la misma línea de hoyos

en dos posiciones: #1 (cerca) y #2 (lejos) sobre la mesa óptica. Esto se

muestra en la figura 3.11.

Paso 2.- Un riel guía plano es puesto cerca de la cabeza de los tornillos de

tal forma que una de sus orillas toque las cuatro cabezas de los tornillos y

permita alinear el riel, figura 3.12 a). Entonces el riel es fijado con cuatro

uñas, como se muestra en la figura 3.12 b).

Paso 3.- El láser es alineado a ojo de tal forma que quede paralelo y alineado

a la línea blanca impresa en la parte superior del riel, como se muestra en la

figura 3.13.

Paso 4.- Un iris es puesto en la posición #1 sobre el riel, es ajustado a la

altura del haz láser de tal forma que el haz atraviese el iris, como se muestra

en la figura 3.14.

Paso 5.- El iris es trasladado a la posición #2. Si el haz atraviesa el iris,

entonces el haz está alineado porque el iris fue trasladado a lo largo de una

línea paralela con la línea del riel desde la posición #1 a la #2. Si el haz no a

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traviesa el iris en la posición #2 entonces el haz debe ser direccionado

mediante la montura de inclinación del láser, como se muestra en la figura

3.15.

Paso 6.- Repita los dos pasos anteriores hasta que el alineamiento del haz

converja.

Paso 7.- Un filtro es puesto en frente del haz, como se muestra en la figura

3.17. Si el haz a traviesa el iris en la posición #2, entonces el haz está

alineado porque el filtro no altero la dirección de haz dado que el iris fue

trasladado a lo largo de una línea paralela con la línea del riel desde la

posición #1 a la #2. Si el haz no a traviesa el iris en la posición #2 entonces

el filtro debe ser ajustado tal que el haz sea re direccionado y atraviese el

iris, como se muestra en la figura 3.17.

Paso 8.- Repita el paso anterior hasta que el alineamiento del haz converja.

Paso 9.- Después coloque una cámara CCD cerca de la posición #2 tal que

el haz este localizado al centro de la matriz de CCD, como se muestra en la

figura 3.19. También la CCD puede ser usada en lugar del iris para los

pasos 4 , 5 y 6 para un ajuste más fino, por lo que es recomendable

realizarlo e igualmente repita la secuencia hasta que el alineamiento del haz

converja, ver figura 3.18.

Paso 10.- El próximo paso es poner la rendija frente al haz cerca de la

posición #1. Si el haz atraviesa la rendija entonces está alineada en una

dirección transversal, x, porque cualquier punto a lo largo del riel entre la

posición #1 y #2 está alineado o paralelo con el haz, y si además la imagen

del patrón de difracción de la rendija es visualizado en el centro de la matriz

de CCD y alineado con los pixeles verticales y horizontales, entonces la

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rendija está alineada en el otro eje trasversal, y. Es decir la rendija está

alineada. Si el haz no atraviesa la rendija y el patrón de difracción de la

rendija no es visualizado en el centro de la matriz de CCD y además no

alineado con los pixeles verticales y horizontales de la CCD, entonces la

rendija no está alineada en ambos ejes. Entonces la rendija debe ser

ajustada, sea inclinando o trasladándola con la montura x-y que la soporta,

hasta que la rendija y el patrón de difracción de esta este centrado y alineado

con la matriz de CCD. Esto se muestra en la figura 3.19.

Paso 11.- Repita el paso anterior hasta que el alineamiento de la rendija

converja en ambas direcciones.

Paso 12.- Por este paso debe verse el patrón de difracción bien alineado en

la CCD. El próximo paso es poner la lente colimador frente al haz y cerca de

la posición #1. La lente es ajustada tal que el haz atraviese la rendija y el

patrón de difracción este alineado en la CCD como en el paso anterior., ver

figura 3.21.

Paso 13.- Repita el previo paso hasta que la lente colimador quede alineada

tal que el haz la atraviese en su eje óptico y no modifique el alineado del

patrón de difracción de la rendija. El resultado de este paso y quizás de los

anteriores depende mucho de la calidad de las monturas opto mecánicas.

Ver figura 3.22.

Paso 14.- Un sub-ensamble que integra un objetivo de microscopio y un

micro agujero es puesto en frente del haz, cercano a la posición #1 con el

objeto de expandir y limpiar el haz. El objetivo de microscopio y el micro

agujero son ajustados hasta que el primer orden de difracción del micro

agujero pase por la lente colimador y además que el haz a traviese la rendija

y el patrón de difracción de la rendija este centrada y alineada con la matriz

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de CCD. En este paso el tamaño del patrón de difracción de la rendija

cambia, a pesar de ello, el patrón debe estar centrado en la matriz de CCD.

Asegúrese que la distancia entre la lente colimador y el micro agujero

corresponda aproximadamente a la distancia de la longitud focal de la lente

colimador. En la figura 3.23 se muestra este paso.

Paso 15.- El próximo paso es poner un interferómetro de desplazamiento

lateral (IDL, inventado por Murthy) frente a la lente colimador tal que el haz

reflejado sea perpendicular al haz refractado, o bien perpendicular al riel.

Entonces se procede a poner una pantalla de observación. Ajustar una

distancia z , con la ayuda de la montura de traslación-z de la lenta colimador

tal que los dos haces procedentes del IDL interfieran en el aire y generen un

patrón de difracción con pocas franjas rectas de igual espesor y orientadas

horizontalmente, es decir paralelas a la dirección de propagación, como se

muestra en la figura 3.24.

Paso 16.- Repita el paso previo hasta que el alineamiento de las franjas

converja, figura 3.25.

Paso 17.- Retire con cuidado el IDL y coloque el sistema bajo prueba

cercano a la rendija, como se muestra en la figura 3.26.

Paso 18.- Coloque la lente zoom en la CCD y enfoque el plano de la rendija

y capture la primera imagen (con un muestreo de 10 imágenes) , ver figura

3.27.

Paso 19.- Traslade la CCD a lo largo de eje z con la ayuda de la montura de

traslación a la distancia correspondiente con el uso del micrómetro y capture

la segunda imagen (con un muestreo de 10 imágenes). Ver figura 3.28 y

figura 3.29

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46

Figura.- 3.11 Paso #1 Figura.- 3.12 a) Paso #2

Figura.- 3.12 b) Paso #2 Figura.- 3.13 Paso #3

Figura.- 3.14 Paso #4 Figura.- 3.15 Paso #5

Figura.- 3.16 Paso #6 Figura.- 3.17 Paso #7

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47

Figura.- 3.18 Paso #9 Figura.- 3.19 Paso #10

Figura.- 3.20 Paso #11 Figura.- 3.21 Paso #12

Figura.- 3.22 Paso #13 Figura.- 3.23 Paso #14

Figura.- 3.24 Paso #15 Figura.- 3.25 Paso #16

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Figura.- 3.26 Paso #17 Figura.- 3.27 Paso # 18

Figura.- 3.28 Paso #19 Figura.- 3.29 paso #19

3.5 Procedimiento para la captura de imágenes.

En el caso de la captura de las imágenes de intensidad que se requieren

para la ETI-1D debe tomarse en cuenta la invariabilidad de las imágenes de

forma más estricta que la captura de las imágenes de los interferogramas

generados por el IDP. A continuación se comenta consideraciones

experimentales que deberán tomarse en cuenta.

3.5.1 Para la ETI-1D

Aunque en el procedimiento del alineado se menciona sobre la captura de

las imágenes en los últimos dos pasos, debe tomarse en cuenta que la

estabilidad electrónica del sensor CCD y la estabilidad de la fuente son

importantes. Por lo que se deberá esperar al menos 30 minutos para la

captura, dicha demora se requiere para garantizar la estabilidad térmica de

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los dispositivos. Por otro lado debe considerarse la selección correcta del

sistema de enfoque que se coloca en la cámara CCD con el objeto de que

se garantice el buen registro de las imágenes de intensidad respecto a la

distancia mínima que separa las imágenes necesarias para calcular la

variación axial de la intensidad. Este concepto se minimiza al proveer a la

montura de la CCD de una platina en la dirección z. Desde luego nosotros

fijamos la distancia de forma experimental, un análisis más riguroso requiere

que se tome en cuenta el tamaño de pixél, el número f del sistema de

detecciónón y la distancia que separa la cámara CCD de la rendija. Es decir

conocer analíticamente que distancia mínima se requiere para que garantice

que hay una diferencia detectable y que no sea atribuida al ruido. Por lo que

más adelante se discutirá lo relacionado con el ruido presente en las

imágenes en ese sentido.

3.5.2 Para el IDP

Para la captura de los interferograms nos apoyamos de una pantalla hecha

de papel encerado tal que las franjas de interferencia aparezcan bien

contrastadas. Desde luego debe asegurarse que la pantalla se encuentre

perpendicular al eje óptico del instrumento.

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50

3.6 Análisis del ruido en la prueba.

En esta sección se discute el tema del ruido y como se toma en cuenta en el

probado de un sistema óptico a través de la ecuación del transporte de

irradiancia (ETI) y del probado a través del interferómetro de difracción por

punto (IDP), en esta propuesta.

3.6.1. Ruido en la ETI.

En esta parte se discute brevemente el concepto de ruido y sus

implicaciones para realizar la prueba óptica a través de la ETI. Para abordar

el ruido que pudiera existir se revisan cuales son las características prácticas

en relación al ruido presente en una CCD. Después se da una propuesta de

programa para generar la curva de transferencia del fotón.

3.7 ¿Qué es el ruido en la ETI?.

El concepto de ruido juega un papel muy importante cuando se reportan

resultados experimentales. En nuestro caso, la simple captura de la

irradiancia por una cámara CCD monocromática, lleva implícito el ruido de

lectura; entonces al resolver la ecuación del transporte de irradiancia (ETI)

con información ruidosa nuestro resultado se espera ruidoso también.

En el artículo de Marcos Soto del 2007, proporciona una propuesta

relacionada con el ruido para el sensor de curvatura, empleado en óptica

adaptiva para compensar las distorsiones introducidas por la turbulencia

atmosférica en imagenología astronómica. Este sensor tradicionalmente ha

utilizado fotodiodos de avalancha (APDs) debido a su requerimiento estricto

con el tiempo de integración y bajo nivele de ruido de lectura. En nuestra

propuesta al usar la CCD como elemento principal para detectar la irradiancia

hace necesario revisar como se involucra el ruido por este dispositivo.

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51

Pero primero que es el ruido en el contexto de esta propuesta de tesis; el

ruido lo definiremos como “señales de intensidad espurias recibidas en la

CCD no asociadas al frente de onda que emerge de la superficie bajo

prueba”. Con esta definición uno podría entrar en cuestionamiento por el

término de ruido. Ya que no nos referimos; por ejemplo, de cómo se afectan

los resultados por el ruido que pudiera estar presente en la intensidad que

emerge de la fuente de iluminación o el ruido propio de la mecánica del

instrumento, solo nos concentraremos al ruido que pudiera estar presente en

el detector CCD.

¿Que es lo que deberíamos tener cuidado con nuestra definición ?, Como

especialistas en pruebas ópticas, los datos y herramientas con las que

disponemos para poder conocer la calidad óptica de un sistema bajo prueba,

siempre tenderán a minimizar o maximizar características ruidosas que

algunas veces, no nos preocupa explicarlas o tomarlas en cuenta. Si

aceptamos nuestros datos absolutamente exactos, entonces estaremos

equivocados ya que como es bien conocido, no es posible obtener

exactamente lo que predice un modelo teórico. La solución a la ecuación

del transporte de irradiancia por el método propuesto es solo una

aproximación, por consiguiente para poder trabajar con la ETI en relación al

ruido proponemos cuatro implicaciones.

3.8 Implicaciones en la prueba óptica a través de la ETI por el ruido.

1.- Realizar el experimento de forma repetitiva y promediar cuando menos los

datos, este paso nos permite reducir el ruido de la señal de intensidad como

tal. El criterio aquí, sería que la correlación del ruido tendiera a cero para

diferentes experimentos.

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52

2.- Establecer condiciones de ruido a priori, como por ejemplo establecer una

función de ruido como en el trabajo de Soto, pero para una CCD en lugar de

APD. De igual forma aquí la correlación es importante.

3.- Tomar la decisión de cuán bien los datos se han ajustado. Por ejemplo

en el procedimiento de ajuste de mínimos cuadrados es deseable conocer el

nivel de ruido y que datos son reales o de interés para ser ajustados. Pero

sobre todo que datos son realmente útiles y cuáles no.

4.- Por último, realizar otro método de prueba al sistema óptico bajo análisis.

El método alterno, propuesto fue usar el interferómetro de difracción por

punto y al probar de forma simultánea se puede comparar los resultados de

los dos métodos, obviamente si el IDP está calibrado la comparación será

bien recibida.

3.9 Características practicas para conocer el ruido en el detector CCD.

Lo que nos interesa aquí es cuantificar de alguna forma la intensidad de

referencia que se recibe en el detector cuando la rendija esta puesta y no se

tiene un sistema óptico bajo prueba es decir conocer Io que se supuso

uniforme y constante, como un paso adicional a lo que se realizo

anteriormente de solo cuantificar el histograma y la variación de la fuente de

iluminación respecto del tiempo tanto para una fuente láser como para una

de luz blanca. Entonces, brevemente describiremos cuales son los

parámetros comunes de naturaleza ruidosa en una CCD de forma práctica, y

posteriormente describiremos nuestro método en relación al ruido en ese

sentido.

Una técnica fundamental para medir el desempeño de una CCD es la curva

de transferencia del fotón (photon transfer curve, PTC), desarrollada por

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53

Janesick et. al. [19]. Esta técnica permite medir y juzgar el desempeño de un

sistema de detección visto como una caja negra. Esta curva indica como la

señal es procesada por el detector. Los parámetros comunes de medida

como son ruido de procesado, ganancia, eficiencia cuántica entre otros

parámetros. Son cubiertos usando la PTC. La curva tiene tres diferentes

regiones de ruido. La primera región es la de ruido de lectura (readnoise);la

segunda, ruido de exposición (shot noise) y por último el patrón de ruido fijo

(fixed pattern noise).

Región -1: El ruido de lectura es el ruido asociado con el amplificador de

salida de la CCD y la electrónica de lectura (por ejemplo el procesado de

señal, la digitalización etc). Esto es el ruido intrínseco del sistema para una

imagen obscura, no en el sentido estricto de oscura desde el punto de vista

de la respuesta al ancho espectral de la CCD; es decir, el ruido que es

independiente de la señal de entrada.

Región-2: El Ruido de captura es proporcional a la raíz cuadrada de la señal

de entrada, es decir la zona sensitiva.

Región-3: El patrón fijo de ruido se presenta cuando hay altos niveles de

iluminación. Este ruido resulta por la diferencia en la sensibilidad de los

pixeles causada por la manufactura propia del los pixeles. Es también

llamado respuesta no uniforme del píxel (Pixel Response Nonuniformity,

PRNU).

La gráfica que se muestra en la figura 3.33, es la curva típica que se

describió en líneas anteriores.

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54

Figura 3.30. Curva típica de la transferencia del fotón, la grafica tiene tres

diferentes regiones de ruido. La primera región es la de ruido de lectura

(readnoise);la segunda, ruido de exposición (shot noise) y por último el

patrón de ruido fijo (fixed pattern noise).

La propuesta de resolver la ETI de forma unidimensional significó que solo

consideramos una línea de pixeles. Sin embargo, por cuestiones prácticas

nuestra supuesta línea resulto una imagen rectangular de valores de pixeles.

Con un eje con mayor numero de pixeles que en el otro eje. Por lo que se

decidió promediar los valores en tonos de grises o escala de grises (EG) del

eje con menor número de pixeles.

Los valores promedio Si calculados para cierto nivel de intensidad para la

imagen de )(0 EGI fueron calculados con la ecuación número 1.

p

oii N

SSS −= (1)

Donde, iS es el valor promedio sobre la dimensión con menor número de

pixeles en escala de gris del i-ésimo píxel en la dimensión de interés, es decir

la de mayor número de pixeles. Np es el número de pixeles en el área de

Nivel de señal de entrada

Ruido

Region-1 Region-2 Region-3

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55

pixeles n por m. oS es el valor promedio de la intensidad en escala de gris de

la misma imagen formada por los n x m pixeles.

A continuación mostramos un ejemplo de lo anterior. Suponga que tenemos

los siguientes valores de intensidad en escala de gris recibida )(0 EGI en el

detector, cuando EG=10. Entonces encontramos,

oS = ( 4+2+8+5+6+7+3+2+1+4+7+6+5+8+9+2+5+0 ) / (3x6) = 4.6

y el número de pixeles son,

pN = m x n = 3 x 6= 18

por lo que

)10()( 00 IEGI = iS p

oi

NSS − iS

La varianza se calcula con la ecuación 2 de la desviación estándar.

( )

p

n

ioi

N

SSEG

∑=

−= 1

2

)(σ (2)

De los datos del ejemplo anterior se tiene lo siguiente:

]/184.6)-(-0.374.6)-(0.454.6)-(0.174.6)-(-0.434.6)-(0.234.6)-[(0)10( 222222 +++++=σ

)10(σ =2.4

4 2 85 6 73 2 14 7 65 8 92 5 0

(4+2+8)/3= 4.6(5+6+7)/3= 6(3+2+1)/3= 2(4+7+6)/3= 5.6(5+8+9)/3= 7.3(2+5+0)/3= 2.3

(4.6-4.6)/18= 0(6.0-4.6)/18= 0.23(2.0-4.6)/18= -0.43(5.6-4.6)/18= 0.17(7.3-4.6)/18= 0.45(2.3-4.6)/18= -0.37

00.23

-0.430.170.45

-0.37

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56

Hasta aquí se muestra como se obtienen los valores de los ejes para la curva

PTC, pero para una implantación práctica se requiere de mucho más datos si

tomamos en cuenta que tenemos de 0 a 255 en la escala de grises, es decir

tenemos que EG es válido en el rango 10 ≤≤ EG si normalizamos para

)(0 EGI , por consiguiente )(EGσ también.

Dadas las restricciones técnicas de nuestro laboratorio lo que hicimos fue

usar una serie de filtros que nos permitió variar la intensidad que se recibe en

el detector, sin embargo sería mejor usar un filtro variable como se muestra

en la figura 3.31. Nuestra caracterización fue con una serie de filtros, por lo

que la caracterización fue de forma discreta. Con los datos procesados se

logró establecer la función )(2 EGσ = f( )(0 EGI ).

Figura 3.31. Filtro variable frente al haz que emerge de un láser He-Ne

comercial.

Page 65: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

57

En líneas más abajo se muestra el programa (listado 0) utilizado para hallar,

los valores de la variancia, la media y la distribución de frecuencias. Cabe

aclarar que para generar la PTC, es importante considerar que el valor

máximo de la normalización sea 255.

Listado 0

Figura 3.32. Imagen de la Intensidad recibida en el detector CCD, X5 , y la

imagen de la intensidad de interés S2 para ser analizada, extraída de la

imagen X5, para propósito de cómo funciona el programa no corresponde a

una de la utilizadas para generar la PTC

1.- Lectura de la intensidad

X5 READ_IMAGE "rendija navaja 200 micras distancia 000.bmp"( ):=c cols X5( ):= c 488= r rows X5( ):= r 480=

S2 submatrix X5 63, 360, 206, 212,( ):=

numero de columnas: Numero de renglones:c cols S2( ):= r rows S2( ):=

c 7= r 298=

X5

S2

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58

2.- Matriz de la imagen en tonos de gris de la subapertura S2

S2

0 1 2 3 4 5 6

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 13 28 36 43 32 70 16 42 53 59 46 13

0 20 55 70 77 58 18

0 18 57 78 83 60 19

0 18 57 76 76 53 16

0 21 52 61 59 39 12

0 21 53 52 46 31 8

0 21 53 49 49 37 10

0 22 59 65 71 56 19

0 26 60 47 41 26 6

0 21 58 46 46 29 7

0 21 53 54 48 37 11

0 22 52 62 65 48 15

0 19 55 61 66 46 13

0 20 52 58 60 43 13

0 21 52 58 61 41 11

=

3.- Normalización de la intensidad

M rows S2( ):= M 298= N cols S2( ):= N 7=

I H( ) r 0←

c 0←

Mr c,0

N 1−

j

Hi j,

N∑=

r r 1+←

i 0 M 1−..∈for

M

:=

NI H VM,( ) r 0←

c 0←

Mr c,

Hi c,

VM←

r r 1+←

i 0 M 1−..∈for

M

:= max I S2( )( ) 63.857=

min I S2( )( ) 21.857=

Page 67: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

59

int j lower h j⋅+:=

j 0 bin..:=hupper lower−

bin:=

upper ceil max v( )( ):=lower floor min v( )( ):=

6.-Distribución de frecuencias:

ss 0.146=ss stdev v( ):=DS

ms 0.698=ms mean v( ):=Media

n 298=n length v( ):=Tamano

5.-Tamano, media y desviación estandar:

bin 30:=

4.- Aqui se ingresa la cantidad de marcas de clase:

v NI I S2( ) max I S2( )( ),( ):=

NI I S2( ) max I S2( )( ),( )

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0.3560.512

0.667

0.705

0.662

0.546

0.472

0.49

0.653

0.461

0.463

0.501

0.591

0.582

0.55

0.546

=I S2( )

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

22.71432.714

42.571

45

42.286

34.857

30.143

31.286

41.714

29.429

29.571

32

37.714

37.143

35.143

34.857

=

Valores normalizados Valores en escala de gris, EG

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60

Figura 3.33. Histograma de los tonos de gris recibidos. En este caso el tono

de gris se normalizo al valor máximo promedio.

Para poder generar la PTC, como lo comentamos anteriormente, se debe

considerar como valor máximo de normalización el valor de 255. Por lo que el

programa (Listado 1) antes descrito modifica sus parámetros como sigue:

f hist int v,( ):= int int 0.5 h⋅+:=

7.-Función de ajuste

F x( ) n h⋅ dnorm x ms, ss,( )⋅:=

0 0.5 10

20

40

Histograma Dist. Normal

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61

ss 0.037=ss stdev v( ):=DS

ms 0.175=ms mean v( ):=Media

n 298=n length v( ):=Tamano

5.-Tamano, media y desviación estandar:

bin 40:=

4.- Aqui se ingresa la cantidad de marcas de clase:

v NI I S2( ) 255,( ):=

NI I S2( ) 255,( )

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0.0890.128

0.167

0.176

0.166

0.137

0.118

0.123

0.164

0.115

0.116

0.125

0.148

0.146

0.138

0.137

=I S2( )

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

22.71432.714

42.571

45

42.286

34.857

30.143

31.286

41.714

29.429

29.571

32

37.714

37.143

35.143

34.857

=

Valores normalizados Valores en escala de gris, EG

Page 70: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

62

Figura 3.34.- Histograma de los tonos de gris recibidos para cada píxel. En

este caso el tono de gris se normalizo al valor que pudiera recibir la CCD, es

decir 255.

0 0.5 10

50

100

150

Histograma Dist. Normal

F x( ) n h⋅ dnorm x ms, ss,( )⋅:=

7.-Función de ajuste

int int 0.5 h⋅+:=f hist int v,( ):=

int j lower h j⋅+:=

j 0 bin..:=hupper lower−

bin:=

upper ceil max v( )( ):=lower floor min v( )( ):=

6.-Distribución de frecuencias:

ss 0.037=ss stdev v( ):=DS

ms 0.175=ms mean v( ):=Media

n 298=n length v( ):=Tamano

5.-Tamano, media y desviación estandar:

bin 30:=

4.- Aqui se ingresa la cantidad de marcas de clase:

Page 71: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

63

En la figura 3.35 se muestra la PTC obtenida empleando el método antes

descrito para conocer el ruido en la CCD.

Figura 3.35. PTC obtenida usando filtros y una fuente de luz láser.

3.10 Otra alternativa para determinar la curva de transferencia del fotón.

En esta parte se describe otro procedimiento empleado para determinar la

curva de transferencia del fotón para nuestro sistema de detección. La

prueba consistió en capturar una serie de imágenes en tonos de gris de una

pantalla LCD plana de computadora marca samsung modelo X con dos tipos

de lentes zoom. Las imágenes de intensidad se generaron con la ayuda de

un programa en mathcad. En líneas más abajo se muestra el programa

utilizado para generar las imágenes sin (Listado 1) y con ruido aleatorio

(Listado 2). En la Figura 3.36 se muestran dos mapas bidimensionales, que

fueron generados en escala de gris, donde las filas de píxel van variando de

0

1

2

3

4

5

6

0 50 100 150 200 250

Des

viaci

ónes

tand

ar

Niveles de gris (señal de entrada)

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64

forma lineal, es decir de 0 a 255 en tonos de gris de forma aritmética, E1 de

forma ideal y E2 al introducir ruido aleatorio a cada píxel. Además se

muestra un perfil.

Figura 3.36.- Simulación de imagen unidimensional en tonos de gris con

ruido aleatorio en cada píxel imagen E1 y simulación sin ruido E2, Diferencia

de perfiles en la columna 64 de ambas situaciones (E1 y E2).

Programa para generar una imagen con ruido aleatorio en cada píxel

Listado 1

E1 E2

MachBand M p,( ) NMp

T256p

1−←

Bi matrix M N, zero,( )←

X Bi←

B Bi jT.82⋅+←

X augment X B,( )←

j 1 p..∈for

X

:=

Perfiles unidimensionales

Pixeles

Niv

eles

de G

ris

235.69

E164 j,

E264 j,

2560 j

Perfiles unidimensionales

Pixeles

Niv

eles

de G

ris

235.69

E164 j,

E264 j,

2560 j

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65

Listado 2

Una vez que se generó la imagen aritmética se procedió a desplegarla en la

LCD y se capturaron una serie de imágenes para el análisis con las

condiciones de nuestro laboratorio. En la figura 3.37 se muestra el arreglo

esquemático empleado para la capturar de las imágenes, cabe aclarar que

no se utilizó la rendija como en el procedimiento anterior; es decir se capturó

en el plano de la pantalla. La CCD como la pantalla usan la misma

computadora.

Figura 3.37. Arreglo esquemático para hallar la PTC utilizando una pantalla

plana de LCD.

PTCBand M p,( ) NM1p

T2561p

1−←

Bi matrix M N, zero,( )←

X Bi←

Bi Bi if rnd 1( )12

< 5−, 5,

+←

B Bi jT.87⋅+←

X augment X B,( )←

j 1 p..∈for

X

:=

CCDzoomPantalla LCD

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66

El siguiente programa (Listado 3) se usó para encontrar la PTC con luz

blanca procedente de una pantalla de LCD.

Listado 3

Lectura de imágenes:

Análisis de la imagen:

Figura 3.38.- a) Análisis de intensidad en una columna del CCD

mat3 READ_IMAGE "F:\23 Tesis Doctorado\programas\photon transfer curve\a bmp\ruido ccd 27.bmp"( ):=

c cols mat3( ):= c 644= r rows mat3( ):= r 480=

zoom 1 zoom 2

S2 submatrix mat3 120, 430, 200, 400,( ):= S2 submatrix mat3 0, 470, 200, 500,( ):=

c cols S2( ):= c 301= r rows S2( ):= r 471=

g S2:= i 0 471..:=

0 100 200 300 400 50050

0

50

100

150

200

250

300

gi 150,

gi 200,

gi 10,

E164 i,

E264 i,

i S2

i

nive

l de

inte

nsid

ad

El i-esimo píxel de la columna

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67

Figura 3.38.- b) Análisis de intensidad en una columna del CCD.

Análisis de datos:

0 50 100 150 200 250 3000

50

100

150

g150 i,

g0 i,

g180 i,

E1i 140,

E2i 100,

i

S2

ii 0 300..:=

g400 i,

236235

239

239

242

240

238

238

239

239

240

239

241

240

238

240

=data236235

239

239

242

240

238

238

239

239

:=

numero de puntos:

n length data( ):=

n 301=

SD x( ) stdev x( )n

n 1−⋅:=

media mean data( ) 244.937=

SD data( ) 4.652=desv. estd.

varianza SD data( )2 21.639=

ini

vel d

e in

tens

idad

El i-esimo píxel de la columna

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68

Figura 3.39. Grafica de valores, media y desviación estándar de la

intensidad en una columna del CCD.

La figura 3.40. Muestra la PTC obtenida con una pantalla de LCD como

fuente de luz blanca y simulación de los tonos de gris de acuerdo al método

antes descrito..

Figura 3.40. PTC obtenida con la ayuda de una pantalla plana de LCD.

i 0 n 1−..:= hi mean data( ) SD data( )+:=

lo mean data( ) SD data( )−:=

0 100 200 300230

240

250

260

Data Mean

grafica de valores, Media, y desv std

lo

hi

0.1

1

10

100

1 10 100 1000

Niveles de gris (señal de entrada)

Varianza

Ruido

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69

De acuerdo a la PTC encontrada claramente se aprecia que valores de

intensidad son deseables para trabajar y cuáles no. Esto complementa el

trabajo anterior en el que se recomendaba capturar señales de intensidad

baja reportada en el trabajo de Rodríguez [20], pero ahora se cuantifica de

qué valores se está recomendando.

Con la segunda alternativa por la naturaleza de la fuente (la pantalla de LCD,

luz blanca) en contraste con usar los filtros y la fuente de laser permite

establecer que la varianza se minimiza aun más si usamos una fuente laser.

3.11 Ruido por el IDP.

En esta parte se discute brevemente el concepto de ruido y sus

implicaciones para realizar la prueba óptica a través del IDP. Para abordar el

ruido que pudiera existir se revisan cuales son las características prácticas.

El ruido en el IDP lo acotaremos en el marco de aquellas causas que hacen

que los interferogramas no sean los adecuados para determinar la calidad

óptica de un sistema bajo prueba. Consideramos que dos de esas causas

son las más importantes. La primera será el alineado del interferómetro y la

segunda conseguir interferogramas donde las franjas tengan buen contraste

y que permita el seguimiento adecuado de las franjas para el ajuste del frente

de onda.

3.12 Alineado del interferómetro.

En el caso del IDP en contraste de otros métodos interferometricos no usa

superficies de referencia, luego entonces la calidad de la placa y en

especifico la calidad del orificio que genera la onda de referencia es muy

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70

importante, en nuestro caso usamos una placa de IDP con los siguientes

parámetros: substrato BK7, tamaño del orificio de 7 micras, película de oxido

de cromo con densidad de 2.3 y un espesor de .620 micras. Por otro lado en

la grafica de la Figura 3.41 se muestra la relación entre las distancia que se

desplaza el IDP respecto a la distancia que se mueve la fuente, cuando el

haz esta colimado en el instrumento desarrollado por reflexión. Se aprecia

que la relación entre la distancia de la fuente contra las distancia que se

mueve el IDP en la dirección del eje óptico tiene una tendencia lineal.

Figura 3.41 Alineado del interferómetro IDP por reflexión.

Consideramos que el contraste de las franjas es aceptable, por que el

método del seguimiento de la franja es manual, y consideramos que

podríamos cometer un error de lambda cuartos, una inspección visual y

práctica del evaluador se considera como el criterio si se el interferograma

es recomendable o no para el seguimiento de las franjas.

y = 1.967x - 3.429

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

-10 -5 0 5 10Series1

Lineal (Series1)

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71

3.13 Procedimiento para la preparación de corneas y cristalinos

Para sensar las corneas fue necesario preparar el globo ocular y depositarlo

en una cubeta. Para los cristalinos fue necesario aislarlos del globo ocular

con una similar técnica tal que permitiera en lo posible no dañarlos y obtener

los mejores resultados, a continuación se describe brevemente la técnica de

preparación, que amablemente nos fue mostrada por el Dr. Daniel Vázquez

Martínez de la USC, quien además, nos permitió tomar las fotos de su

técnica y que a continuación se describe y muestra.

Algunos de los utensilios necesarios son: suero fisiológico, el empleado

cuando se realiza una operación quirúrgica; tijeras quirúrgicas, pinzas

quirúrgicas, bisturí, jeringa de irrigación, cubetas ópticas, algunos soportes,

contenedores y un cepillo con cerdas finas. En la figura 3.42 se muestra el

instrumental necesario. En la figura 3.43 se muestra un recipiente con

aislamiento térmico que se uso para transportar los ojos porcinos desde el

rastro municipal al laboratorio de óptica, el transporte tomaba alrededor de

15 minutos. Se nos proporcionaban alrededor de 5 pares de ojos. Los ojos

fueron extraídos de porcinos con una edad de 6 a 8 meses. La Imagen de la

figura 3.44 muestra el aspecto de un ojo previo a su limpieza y preparación

para el análisis de la cornea y el cristalino.

La limpieza inicial se realizaba con agua a temperatura de 25 grados

centígrados aproximadamente para retirar fluidos propios de la extracción

hecha por el matarife, es decir remanentes de sangre, grasa y piel.

Para retirar el remanente de agua los ojos tenían que ser irrigados con suero

fisiológico. Después se procedía a retirar los parpados y músculo remanente

para aislar el globo ocular con la ayuda de un cuchillo con filo adecuado,

como se muestra en la figura 3.45. El Corte de la conjuntiva y excedente de

músculo para la limpieza de la esclerótica se realizaba con unas tijeras

quirúrgicas con la ayuda de unas pinzas y un soporte para tal efecto. Hasta

este paso se realizaba para sensar la cornea, si era el caso, se ponía en una

Page 80: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

72

cubeta óptica de tamaño adecuado con suero fisiológico, como se muestra

en la figura 3.57.

Para extraer el cristalino se procedía a realizar una incisión con el bisturí

sobre el ecuador del globo ocular para guiar el corte inicial, como se observa

en la figura 3.46. Una vez hecho el corte inicial con el bisturí se procedía a

cortar con las tijeras, igualmente sobre el ecuador del globo ocular hasta

separar el globo en dos partes. En la figura 3.47 se aprecia el interior de la

cámara ocular protegida por el humor vítreo, no es posible apreciar el

cristalino claramente. Posteriormente se realiza el corte del ciliar con las

tijeras quirúrgicas apoyándose de las pinzas para sujetar la esclera, como se

aprecia en la figura 3.48. El corte del ciliar se realiza con las tijeras y

guiándolas en una trayectoria circular hasta abarcar toda la periferia del

cristalino, teniendo cuidado de no dañar el cristalino. Una vez que se cortaba

el ciliar se procedía a vaciar el cristalino en un recipiente previamente lleno

de suero fisiológico, en este paso se debe tener cuidado de no dañar el

cristalino ya sea al cortar el ciliar, que pudiera evitar que el cristalino caiga en

el recipiente ;o bien, al poner el cristalino en el recipiente. Es necesario

asistirse de las tijeras para desprender un poco el humor vítreo, dada su

naturaleza un tanto gelatinosa del humor vítreo, puede ser cortado con las

tijeras. En la figura 3.55 se muestra el momento en el que se deja caer el

cristalino en el recipiente y se observa un aparente corte del humor vítreo.

También se aprecia que el cristalino tiene remanentes de ciliar y de humor

vítreo. Entonces se debe, con cuidado, retirar estos excedentes con la ayuda

de un pequeño cepillo. Para retirar el humor vítreo cercano a la capsula se

debe acercar el cepillo en la periferia del cristalino, como se muestra en la

figura 3.56, teniendo cuidado de no tocarlo, ya que si esto ocurre dañará la

capsula y se opacará el cristalino inmediatamente. Entonces, el remanente

de humor vítreo se adhiere a las cerdas del cepillo al realizar movimientos

giratorios del cepillo y con ello se aísla la capsula. Una vez que se aisló la

capsula, esta tendrá que ser puesta en las cubetas ópticas. Para cambiarlo

Page 81: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

73

del recipiente, se sugiere se realice con una cuchara o un dispositivo que se

le parezca, teniendo sumo cuidado de no dañar el cristalino. En la figura 3.58

muestra al cristalino en el interior de una cubeta para ser analizado por

reflexión.

Figura 3.42 Recipiente para el transporte de los ojos recién extraídos.

Figura 3.43 Instrumental necesario para preparar la cornea y cristalino.

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74

Figura 3.44 Imagen del aspecto como se encuentran los ojos previo a su

limpieza y preparación para el análisis de la cornea y el cristalino.

Figura 3.45 Enjuague del ojo para retirar fluidos propios de la extracción

hecha por el matarife.

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75

Figura 3.46 Corte de parpados y músculo para aislar el globo ocular.

Figura 3.47 Corte de la conjuntiva y excedente de músculo para la limpieza

de la esclerótica.

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76

Figura 3.48 Aspecto del globo ocular libre de conjuntiva y músculo.

Figura 3.49 Incisión con el bisturí sobre el ecuador del globo ocular para

guiar el corte con tijeras.

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77

Figura 3.50 Corte inicial con tijeras sobre el ecuador del globo ocular.

Figura 3.51 Corte con tijeras sobre el ecuador del globo ocular.

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78

Figura 3.52 Corte de la esclerótica en el ecuador del globo ocular con la

ayuda de unas tijeras quirúrgicas.

Figura 3.53 Imagen del cristalino en el interior del globo ocular por el lado

posterior.

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79

Figura 3.54 Corte del ciliar con tijeras quirúrgicas.

Figura 3.55 Retiro del cristalino del interior del globo ocular.

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80

Figura 3.56 Uso de un cepillo para retirar el humor vítreo.

Figura 3.57 Cornea en el interior de la cubeta para ser analizado por

reflexión.

Giro del cepillo

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81

Figura 3.58 Cristalino en el interior de una cubeta para ser analizado por

reflexión.

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82

CAPITULO 4 RESULTADOS EXPERIMETALES

En este capítulo se presentarán, en las diferentes secciones los resultados

aplicando los métodos de la ETI-1D e IDP por separado; y posteriormente, se

muestra una comparación entre ambos métodos. Una vez que se conocieron

y resolvieron algunos problemas de los arreglos experimentales explicados

en el capítulo anterior, aquí son presentados con más detalle.

4.1 Resultados usando la ETI-1D

Con este método se evaluó una componente óptica conocida como lente de

Álvarez; nombre referido a esta por su inventor. Este tipo de lente fue

empleada en algunos instrumentos desarrollados y patentados por

Humphrey en 1976, para conocer la desviación esférica y astigmática de un

individuo. Actualmente su construcción se puede llevar a cabo con la

técnica de fotolitografía, que permite obtener progresivamente perfiles

cúbicos de sagita [21] y [22]. Por ejemplo la sagita en la referencia [22],

tiene la forma:

exdyxcxbxyxayxz ++++

+= 2

32

3),(

Donde a, b, c, d y e son constantes.

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83

Figura 4.1 Sagitas comunes en las lentes tipo Álvarez.

En la Figura 4.1 se muestra un mapa bidimensional de un par de lentes tipo

Álvarez que se emplearon alguna vez, el autor desconoce si en la actualidad

son empleadas en algún instrumento; la imagen a) corresponde a la

ecuación arriba citada y a la forma de la sagita de la lente bajo prueba.

Figura 4.2. Lente de Álvarez prestada por la Dra. Eva Acosta

.

a) b)

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84

Figura 4.3 a), b), c) y d) son resultados preliminares sobre la variación axial

(negro), la primera (azul) y segunda integral (magenta) de la prueba de la ETI

a la lente tipo Álvarez.

Por supuesto que ambos tipos no son rotacionalmente simétricos. En la

Figura 4.2 se muestra la lente Álvarez objeto de nuestra prueba, que

amablemente nos fue prestada por la Dra. Eva Acosta de la USC. Y en la

Figura 4.3 se muestran cuatro resultados preliminares, conseguidos con el

arreglo de la Figura 3.1, donde se aprecia que en los cuatro casos la

variación axial de la intensidad, correspondiente a la línea negra,

apreciablemente muestran similar tendencia y comportamiento; a pesar de

ello el resultado del la segunda integración, línea color magenta que

representa el frente de onda recuperado, no son similares. Los resultados

preliminares mostraron que la variabilidad en la intensidad es un factor de

consideración ya que en los cuatro casos la distancia dz para aproximar la

variación axial de la intensidad, fue la misma.

c)

a) b)

d)

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85

Las Figuras 4.4, 4.5, y 4.6 muestran los resultados experimentales obtenidos

al aplicar el método de la ETI-1D a una lente tipo Álvarez con las

consideraciones detalladas en los capítulos anteriores, los ejes en las tres

figuras están normalizados.

Figura 4.4 Variación de intensidad a lo largo de la propagación ( zI ∂∂ / ) lente

tipo Álvarez.

Figura 4.5 Variaciones de fase a lo largo del eje transversal en una lente tipo

Álvarez.

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

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86

Figura 4.6 Frente de onda recuperado mediante el empleo del método

basado en la ETI-1D y la línea punteada indica la curva con el mejor ajuste.

4. 1.1 Recuperación del frente de onda con el IDP y la ETI-1D

El perfil de frente de onda recuperado con ETI-1D, línea solida de color azul

y el perfil recuperado con el IDP, línea de color magenta se comparan con

la curva de mejor ajuste conseguida de los datos obtenidos con la ETI-1D.

Ambos ejes están normalizados en unidades arbitrarias.

Figura 4.7 Frente de onda recuperado con la ETI-1D y la curva con el mejor

ajuste y el perfil encontrado con el IDP.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

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87

4.2 Resultados usando el IDP.

Derivado del trabajo experimental sobre el segundo método para comparar

los resultados con la ETI-1D; encontramos algunos resultados interesantes,

que son de nuestro interés destacar y que de alguna forma fuimos

encontrando.

4.2.1 Para componentes ópticos analizados por transmisión

Al inicio de mi estancia en la USC usé el instrumento desarrollado por

Acosta et. al. en 2006 para familiarizarme con el instrumento. Dos

interferogramas obtenidos por Sara Chamandoira con ese instrumento se

muestran en la Figura 4.8. Después ensamblé interferómetros similares; pero

como era obvio, con diversos problemas. A continuación se muestran

algunos de ellos: El interferograma de la Figura 4.9 se presenta por

deficiencias en la alineación; donde se aprecia que para valores altos de

avance lineal del IDP, la calidad del interferograma se vé afectado por el

viñeteo del haz. Desde luego en algunas aplicaciones no es necesario contar

con un gran avance lineal. Ello depende del elemento que se quiere analizar.

Figura 4.8 Interferogramas obtenidos de unas lentes intraoculares de acrílico

cortesía de Chamandoira [23].

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88

a) b)

Figura 4.9 a) Interferograma cuando hay viñeteo, b) mismo interferograma;

pero con color para resaltar la distribución de intensidad.

Es importante también destacar la calidad de los componentes y evitar rallar

el IDP por su manipulación, ya que la presencia de partículas extrañas,

deteriora el desempeño del mismo. En la figura 4.10 se muestra el

interferograma obtenido cuando en la placa del IDP se encontraba una fibra

textil proveniente de medio ambiente (lo que se considera como

contaminación por polvo u otras partículas extrañas cuyas dimensiones

oscilan o son considerables para el tamaño del orificio del IDP).

a) b)

Figura 4.10 a) Presencia de una fibra textil cercana al orificio del IDP, b)

interferograma distorsionado por la presencia de una fibra textil.

En la Figura 4.11 se muestran dos interferogramas de un cristalino analizado

por transmisión, la diferencia entre ellos cuando el IDP fue desplazado

transversalmente; es decir, con diferencia de avance lineal.

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89

Figura 4.11.- Interferogramas de un cristalino por transmisión.

4.2.2 Para componentes ópticos analizados por reflexión

Desafortunadamente no fue posible ensamblar el IDP con los componentes

opto mecánicos compactos y de fácil alineación el IDP para probar por

reflexión una superficie óptica. En la figura 4.12 se muestra un diagrama

detallado de un IDP para probar superficie por reflexión usando los

componentes mecánicos mencionados. La ventaja de usar tales

componentes, es su gran facilidad de alineación y permiten el uso de una

fuente de láser de estado sólido, que también es compacta. Uno de los

principales problemas a los que nos enfrentamos al ensamblar el IDP sin las

componentes opto mecánicas compactas fue la alineación. Aunque no se

menciona el detalle sobre la alineación propia del arreglo experimental de la

Figura 3.11, se consideraron similares recomendaciones al procedimiento de

alineado para el instrumento que usa el método de la ETI-1D descrito en el

capítulo anterior. Uno de los interferogramas por reflexión que se obtuvieron

se muestra en la Figura 4.13.

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90

Figura 4.12 Diagrama detallado de un interferometro IDP para el análisis por

reflexión.

En algunas partes de este interferograma se aprecia que las franjas se unen

y no es fácil seguir el orden que corresponde, y para diversos valores de

desplazamiento longitudinal del IDP el interferograma presenta esta falla; es

decir, nuestro resultado se ve afectado por la presencia de estas franjas

secundarias no deseadas. El problema se eliminó cuando la fuente de luz

láser fue cambiada, de gas a un lasér de estado sólido, y al incluir un

filtrado espacial en el haz de nuestro interferómetro. En la Figura 4.13 se

aprecia un interferograma con la presencia de este problema. Más adelante

encontramos que la dislocación de fase se generaba por la fuente láser

utilizada como pudimos confirmar en la referencia [24]; aunque la

dislocación de fase presentada en la referencia fue conseguida con un

interferómetro Mach-Zehnder. Consideramos que la dislocación de fase se

presenta cuando nuestro interferómetro estaba bien alineado, una imagen

de ella se puede ver en la Figura 4.14. Para evitar esta dislocación se debe

desplazar la placa del IDP de 2 a 3 µm en cualquiera de los ejes

Diodo Laser

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91

transversales. Hasta este punto nos parecía razonable encontrar algo

diferente dado que estábamos trabajando con reflexión y con más

componentes ópticas, sin embargo la pregunta interesante era, ¿porque en

transmisión no había encontrado este problema? o bien no había sido

perceptible. La forma más fácil de descartar el problema en el modo de

transmisión, era probar si el tamaño del orificio del IDP y la distancia focal en

la lente concentradora contribuían con la dislocación. En la tabla 4.1 se

muestran las diferencias que hay entre el diámetro de los agujeros de varias

placas de IDP y los diámetros del primer y segundo anillo del disco de Airy de

dos lentes de diámetro igual y distancias focales diferentes. Al probar las

condiciones y analizar aproximadamente 740 interferogramas, el resultado

fue que a mayor diámetro del IDP la dislocación se presenta.

Tabla 4.1 Diferencia de los diámetros del primer (d1) y segundo (d2) anillos del

disco de Airy con el diámetro del IDP expresado µm.

Lente f = 50 mm f=30 mm d1 d2 d1 d2 3.08416 5.66272 1.54208 2.83136 DiamIDP [µm] dif d1 dif d2 dif d1 dif d2

6 2.91584 0.33728 4.45792 3.16864 7 3.91584 1.33728 5.45792 4.16864 8 4.91584 2.33728 6.45792 5.16864 9 5.91584 3.33728 7.45792 6.16864 10 6.91584 4.33728 8.45792 7.16864 11 7.91584 5.33728 9.45792 8.16864 12 8.91584 6.33728 10.45792 9.16864 15 11.91584 9.33728 13.45792 12.16864 18 14.91584 12.33728 16.45792 15.16864

Por otro lado en la Figura 4.15 se aprecian cuatro interferogramas

obtenidos por reflexión al probar la superficie anterior de dos cristalinos.

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92

De acuerdo a los resultados no se puede precisar si la cara anterior es no

rotacionalmente simétrica en los cristalinos analizados, ya que en algunos

casos el interferograma obtenido se apreciaba cierto grado de astigmatismo.

Por otro lado la cara posterior en la mayoría de los casos es rotacionalmente

simétrica; aunque también, aparecieron algunos casos en los que no lo era.

Esta diferencia la atribuimos por un lado a la edad de los cristalinos, al

tiempo de post morten el cristalino; y por último, al método de sacrificio de los

animales en el rastro municipal llevado a cabo por electrshock.

Figura 4.13 Interferograma con falla en el seguimiento del orden de la franja

obtenido con IDP para el probado por reflexión.

La obtención de estos interferogramas en la figura 4.15, no fue del todo fácil,

ya que debíamos considerar la alineación propia del cristalino en la cubeta

óptica. Inicialmente no tomamos en cuenta este hecho, y lo que hicimos fue

depositar el cristalino sin soporte alguno. Desafortunadamente resultaba

difícil obtener los interferogramas por que el cristalino se inclinaba por el

peso de los remanentes del músculo ciliar que quedaban en el ecuador, por

lo difícil que resulta aislar la cápsula del globo ocular. Y en la figura 4.16 se

muestran algunos interferogramas de corneas por reflexión.

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93

Figura 4.14 Dislocación de fase obtenida con el IDP.

Para garantizar que el cristalino estuviera alineado con el interferómetro,

implementamos un proceso iterativo apoyándonos de un soporte que

fácilmente permite manipular la orientación del cristalino en la cubeta (ver la

Figura 4.17) y una jeringa de irrigación para retirar y/o verter el suero

fisiológico según sea el caso, en el interior de la cubeta provista del soporte.

Figura 4.15 Interferogramas de un par de cristalinos por reflexión.

Antes de obtener los interferogramas debíamos de alinear el cristalino lo

mejor posible; desde luego poníamos el haz del interferómetro en el vértice

del la cara anterior o posterior según sea el caso. Lo anterior fue fácilmente

realizable dado que la cubeta se apoyaba en un una platina xyz provista de

tornillos micrométricos para controlar los desplazamientos. Previo al sensado

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94

se tenía que retirar el suero fisiológico y capturar lo más rápido posible los

interferogramas, ya que la solución empezaba a diluirse e impedía tener

resultados favorables, tal como se muestra en los interferogramas

superiores de la Figura 4.15, donde se aprecia la dilución del interferograma.

Para el caso de la cornea el procedimiento fue el mismo, es decir primero se

debía alinear el globo ocular con la ayuda del soporte en la cubeta óptica.

En la Figura 4.17 se aprecia cómo se encuentra el globo ocular en el interior

de esta y como el ojo es sostenido por el soporte.

a) b)

c) d)

Figura 4.16 a), b), c), d) interferogramas de dos corneas por reflexión.

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95

Figura 4.17 Cristalino en la cubeta, provisto de soporte, para su sensado por

reflexión con el prototipo de IDP para probar por reflexión.

Figura 4.18 Globo ocular en cubeta óptica para el sensado de la cornea.

Otro aspecto importante que nos ayudó, para garantizar el alineado correcto

del cristalino y la cornea, fue la interface horizontal de suero fisiológico que

se generaba al momento de proteger las componentes del ambiente; es decir

teníamos una superficie plana y reflectora de referencia por lo que nos

permitió alinear eficientemente las componentes al interferómetro. Más

adelante se comentarán otros resultados adicionales derivados de esta

forma sencilla de controlar los desplazamientos con una superficie de

referencia.

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96

4.3 Resultados experimentales adicionales obtenidos con e IDP.

La idea de utilizar el IDP en arreglo por reflexión para hallar índice de

refracción y/o espesores de superficies semitransparentes fue concebida por

un lado cuando se estaba alineando el instrumento y por el otro cuando se

probaron las corneas y los cristalinos, esta simple idea derivó otras más que

a continuación se reportan, haciendo énfasis que de alguna manera

contribuyeron al desarrollo de la tesis.

4.3.1 Medición de espesores.

Considere una superficie semitransparente de caras plano paralelas e índice

de refracción n, como el que se esquematiza en la Figura 4.17, cuando

incide un haz convergente e ingresa al medio, entonces se puede hallar una

relación a través de óptica geométrica que determine los ángulos de

incidencia y refracción.

Figura 4.19 Distancia imagen en una placa de caras plano paralelas.

Por lo que podemos encontrar el sin i y el sin i’, como se muestra en la

Figura 4.19 de tal forma que se obtienen las siguientes relaciones,

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97

Figura 4.19 Distancia imagen en una placa de caras plano paralelas, detalle.

22sin

lyyi+

= o 22 '

'sinly

yi+

=

Al aplicar la ley de Snell tenemos que n sin i= n’sin i’, y al sustituir los

valores de los senos, obtenemos

2222 ''

lyyn

lyyn

+=

+.

Reordenando un poco la ecuación anterior,

2222 ''

lyn

lyn

+=

+.

Cuando y=0

22 '0'

0 ln

ln

+=

+.

Simplificamos nuestro resultado

22 ''

ln

ln

= .

Y hallamos la relación:

''

ln

ln= .

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98

Si el medio externo es el aire implica que n’=1 entonces es posible calcular

ya sea el índice de refracción o bien el espesor de un material

semitransparente de caras plano paralelas con la siguiente relación,

'1ll

n= .

La Figura 4.20 y 4.21 muestra el arreglo esquemático y el arreglo

experimental usado para determinar el espesor o índice de refracción. El

ambos casos el IDP deberá estar fijo en una posición y la montura xyz es la

que deberá moverse.

Figura 4.20 Arreglo esquemático para determinar espesores e índice de

refracción.

Objetivo demicroscopio

Lentecolimadora

Sistema de enfoque

CámaraCCD

IDP

Pantalla

Lente concentradora

Divisor de hazHaz láser

Espejo

Filtro espacialLente focalizadora

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99

Figura 4.21 Arreglo experimental para determinar espesores e índice de

refracción.

El procedimiento para la medición del espesor si se conoce n (índice de

refracción), se lista a continuación:

1.- Colocar un espejo en la montura xyz.

2.- Encontrar el interferograma que muestre que se está en el foco.

3.- Registrar la medición de altura z1 que muestra la montura xyz.

4.- Colocar la superficie semitransparente a medir sobre el espejo.

5.- Bajar montura xyz hasta encontrar el foco del interferograma de tal forma

que provenga de la parte superior de la superficie semitransparente.

6.- Registrar la medición de la altura z2 que muestra la montura xyz.

7.- Subir la montura hasta encontrar un segundo interferograma que

corresponde a la distancia aparente l’ y registrar la altura z3.

8.- Realizar los siguientes cálculos:

czz =− 21

231 czz =−

21' ccl −=

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100

Entonces el espesor se obtiene con:

21 ccnl −=

4.3.2 Medición de índice de refracción.

Procedimiento para hallar el índice de refracción:

1.- Colocar un espejo en la montura xyz.

2.- Encontrar el interferograma que muestra que se esta en el foco.

3.- Registrar la medición de altura z1, que muestra la montura xyz.

4.- Colocar la superficie semitransparente a medir sobre el espejo.

5.- Bajar montura xyz hasta encontrar el foco del interferograma de tal forma

que provenga de la superficie superior de la superficie semitransparente.

6.- Registrar la medición de la altura z2 que muestra la montura xyz.

7.- Subir la montura hasta encontrar el segundo inteferograma que

corresponde a la distancia aparente l’ y registrar la altura z3.

8.- Realizar los siguientes cálculos:

lzz =− 21

'3 lz =

Entonces el espesor se obtiene con:

3121

zzzz

n−−

=

Desde luego la precisión del método depende de la resolución de los tornillos

micrométricos de la montura xyz. Además un análisis similar al descrito

anteriormente se realizó a una esfera homogénea.

Considerando que la esfera tiene radio r e índice de refracción n, como la

que se esquematiza en la Figura 22, si se le íncide un haz convergente y

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101

éste ingresa al medio; se puede hallar una relación, a través de óptica

geométrica, que determine los ángulos de incidencia y refracción (Figura

4.23), como el caso anterior.

22

'

22 ''

lyzln

lyzln

+

−=

+

Si el medio externo es el aire implica que n’=1 entonces es posible calcular

el índice de refracción nuevamente cuando y=o. La Figura 4.24 Muestra la

esfera homogénea a) y el arreglo experimental usado para determinar el

índice de refracción. Nuevamente el IDP debe estar fijo en una posición y la

montura xyz es la que deberá moverse.

Con los resultados obtenidos nos entusiasmamos y planteamos utilizar el

prototipo para escanear cualquier superficie, desde luego tomando en cuenta

que se requiere que la superficie a escanear tenga un mínimo de reflexión;

es decir, que la calidad superficial garantice una buena reflexión y permita

conseguir el interferograma de referencia del IDP.

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102

Figura 4.22 Haz convergente incidiendo en una esfera homogénea.

Figura 23 Distancia imagen en una esfera homogénea cuando un haz

convergente incide sobre ella.

C N’

n

n’

y z

l

l’ B

B’

i’

i

C

r

n

n’ y

z

Page 111: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

103

a) b)

Figura 4.24 a) Experimento para el cálculo del índice de refracción de una

bola homogénea y b) arreglo experimental usado.

El resultado anterior permitió establecer que al localizar siempre el

interferograma de referencia con la superficie reflectora a través de los

movimientos del la montura donde se apoya, de tal forma que si se mantiene

un registro de los desplazamientos de la montura xyz, se puede mapear una

superficie. Nuevamente la precisión del método depende de la resolución de

los tornillos micrométricos y del tamaño de la fuente puntual en nuestro

interferómetro.

4.3.3 Medición de distancias focales

El esquema para hallar las distancias focales posteriores de una lente se

muestra en la Figura 4.25. Y el procedimiento para hallar la distancia focal

posterior se describe a continuación:

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104

1.- Colocar un espejo en la montura xyz.

2.- Ajustar la montura xyz hasta encontrar el interferograma de referencia.

3.- Registrar la medición de altura z1, que muestra la montura xyz.

4.- Colocar la lente a medir su distancia focal sobre el espejo.

5.- Bajar y mover la montura xyz hasta encontrar el interferograma de

referencia, tal que provenga del vértice de la superficie superior de la lente

bajo prueba.

6.- Registrar la medición de altura z2, que muestra la montura xyz.

7.- Nuevamente bajar montura xyz hasta encontrar el interferograma de

referencia, es decir, que provenga del foco de la lente bajo prueba.

8.- Registrar la medición de la altura z3 que muestra la montura xyz.

9.- Realizar los siguientes cálculos:

fzz =− 32

10.- Girar y colocar la lente sobre el espejo, de tal forma que ahora tengamos

el segundo vértice y repetir desde el paso dos, para hallar la segunda

distancia focal posterior.

En la tabla 4.2 se muestran las distancias focales posteriores de 8 lentes

intraoculares de Polymetílmetacrilato (PMMA) que fueron medidas.

Tabla 4.2 Distancia focal posterior (dfp1)

Lente Intraocular (IOL)

Distancia focal

posterior [mm] IOL 1 IOL 2 IOL 3 IOL 4 IOL 5 IOL 6 IOL 7 IOL 8 dfp1 16.15 14.65 16.25 No M. 14.55 16.55 16.25 16.75 dfp2 16.45 14.95 16.45 No M. 14.85 16.65 16.35 16.85

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105

Figura 4.25 Esquema para determinar la distancia focal de una lente.

Objetivo demicroscopio

Lentecolimadora

Sistema de enfoque

CámaraCCD

IDP

Pantalla

Lente concentradora

Haz láser

Espejo

Filtro espacialDivisor de haz

Lente focalizadora

Montura xyz

Lente bajo prueba

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106

CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO

Conclusiones

El método empleado para hallar un perfil de frente de onda a través de la

integración directa de la ETI-1D, propuesta en esta tesis; arroja resultados

que pueden ser contrastados con un interferómetro de difracción por punto,

IDP.

El uso experimental de la ETI-1D derivada a través del método de Teague

para calidad de la imagen, permite realizar mediciones a superficies ópticas

rotacionalmente simétricas y a componentes sin simetría rotacional.

Los resultados experimentales de la determinación del frente de onda al

resolver uní dimensionalmente la ETI arroja resultados esperados para este

método tomando en cuenta el ruido de detección.

El desplazamiento z∆ , para calcular la variación axial de la intensidad, en

este método tiene un valor mínimo para z∆ de 260 mµ .

Debido a la doble integración unidimensional la propagación de error es

aceptable con el método de integración de promedio usado.

El perfil del frente de onda en la zona paraxial se ajusta a la teoría y este

tiene el mismo comportamiento al perfil de frente de onda recuperado con

un IDP.

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107

Trabajo a futuro.

Utilizar el método de la ETI-1D para evaluar por reflexión la calidad óptica de

una superficie.

Reconstruir el frente de onda emergente de una superficie a través de

interpolar varios perfiles de frente de onda obtenidos con este método.

Realizar un análisis de error y su propagación si se usan otros métodos de

integración.

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108

APÉNDICE A ECUACION DE TRANSPORTE DE IRRADIANCIA

La derivación detallada de la ecuación del transporte de irradiancia se

encuentra en el artículo de Teague del año de 1983. Cabe señalar que la ETI

se puede encontrar por diferentes argumentos los cuales están claramente

descritos en el trabajo de Campos y Díaz [25]. Aunque la misma ecuación

ha sido derivada por varios métodos y propuestas, es de nuestro interés solo

describir brevemente su obtención por el método de Teague.

Empecemos pues, entonces por la ecuación de Helmholtz Ec. (1)

( ) 0),,(22 =+∇ zyxk ψ , (1)

donde ( ) ( ) ( )2222222 /// zyx ∂∂+∂∂+∂∂=∇ , y λπ /2=k , suponemos que una

onda depende de su posición y esta es solución de la Ec.(1). Para una onda

que viaja en dirección z positiva considerando sólo la parte espacial, está se

describe por:

)exp(),,(),,( ikzzyxuzyx −=ψ . (2)

Sustituyendo ψ en la Ec. (1), obtenemos

0),,(22

22 =

∂∂

−∂∂

+∇ zyxuz

ikzT (3)

donde ( ) ( )22222 // yxT ∂∂+∂∂=∇ es el laplaciano transversal. Asumiremos que

la amplitud de u varía muy lento a lo largo de la dirección de propagación;

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109

eje z, ello implica que el término 22 / zu ∂∂ se desprecie en la Ec. (3), lo que

se obtiene entonces es la ecuación paraxial de onda:

0),,(22 =

∂∂

−∇ zyxuz

ikT . (4)

Teague propuso una función a partir de la teoría de difracción de Fresnel

con amplitud Fu y sin el término exp(ikz) como solución a la Ec.(4), después

de algunos pasos algebraicos obtuvo lo que denomino la ecuación parabólica

de onda:

02

2

=

∂∂

−−∇

FT u

zik

k. (5)

Para esta función Teague propuso un función compleja como solución, de la

forma [ ] [ ]),,(exp),,(),,( 2/1 zyxizyxIzyx φγ = . Por otro lado si se realizan las

derivadas parciales correspondientes a ),,( zyxγ de igual forma al complejo

conjugado ),,(* zyxγ desarrollando el álgebra correspondiente en ambas

ecuaciones, ambas se multiplican por su complejo conjugado y se restan lo

que permite simplificar la expresión resultante hasta obtener la ETI, cuya

forma es la siguiente.

02 =∇+∇•∇+∂∂ φφ ttt IIzIk (6)

donde λπ2

=k y ),,( zyxφ es la fase y 2t∇ es el Laplaciano transversal.

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110

APÉNDICE B INTERFEROMETRO DE DIFRACION POR PUNTO

Solo el principio de este interferómetro es indicado en esta parte del

apéndice y es parecido como Linnik lo describió en su artículo de 1933 y que

fue traducido al inglés por Speer et. al. [26], una descripción más detallada

de lo que acontece en este instrumento se analizará más adelante. Por otro

lado un rayo en la siguiente descripción representa la dirección en la cual

viaja la luz o la energía de una onda luminosa u onda electromagnética. Por

lo que los esquemas planteados muestran las trayectorias de los rayos como

líneas rectas Si tenemos un haz colimado atravesando el sistema óptico bajo

estudio (Figura B.1) los rayos que salen de la pupila de salida convergerán

en un punto focal. Si el sistema óptico no está libre de aberración, los rayos

centrales focalizaran en el punto A y los rayos de otras zonas focalizaran en

otro punto, por ejemplo B. La resultante onda U no será estrictamente

esférica.

Figura B.1 Descripción del principio de funcionamiento del IDP.

A

Pupila de salidadel sistema bajoprueba

C1

C

P

C’1

C’

U1

E

U

B

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111

Al poner una placa P con una abertura pequeña f sobre una pantalla

semitransparente, en el camino de los rayos tal que el centro de la apertura

pase a través del punto A. El haz CC1 desarrollará un cono de rayos

coherentes C’1 AC’ como resultado de la difracción durante el paso de los

rayos por la apertura f, entonces se tendrá una onda esférica U1. Será más

exacta cuanto mas pequeña sea la apertura f en la placa. Como la pantalla E

de la placa es semitransparente, algunos rayos de otras zonas pasarán a

través de la pantalla, entonces la onda U distorsionada se superpondrá con

nuestra onda esférica U1 de referencia más allá del punto A. Entonces se

observarán una serie de anillos oscuros en un fondo un tanto iluminado. Los

anillos son visibles por la diferencia de caminos entre las ondas U y U1

correspondientes a un número impar de media longitud de onda. Como se

muestra en la figura B.2.

Figura B.2 Anillos obscuros por la superposición de ondas U y U1.

Los diámetros de los anillos son diferentes por las longitudes que también

son diferentes.

21λ

23λ

25λ

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112

Si la absorción de la pantalla E es seleccionada para que el brillo de los

rayos que pasan por la apertura f sea igual al brillo de los restantes rayos

que cruzan la pantalla E entonces el ancho de las franjas serán delgadas

según Linnik.

Figura B.3 Esquema de la placa P para el IDP.

Este interferómetro IDP puede también ser empleado para investigaciones

cuantitativas de inhomegeneidades de índice de refracción en varios medios,

tales como vidrio, flujo de fluidos, etc. En este caso el medio bajo

investigación es puesto en el camino de los rayos que son enfocados en un

punto por medio de una lente focalizadora. La pantalla semitransparente E es

puesta también en el punto focal. Entonces el sistema bajo investigación es

visto, analizado o fotografiado desde atrás de este punto.

Ondas incidentes

Superficie semitransparente E

Ondas transmitidas

S

n

n

a nE Ondas difractadas

transparenteSubstrato

Ondas incidentes

Superficie semitransparente E

Ondas transmitidas

S

n

n

a nE Ondas difractadas

transparenteSubstrato

na Índice de refraccióndel aire

Sntransparentesubstrato

Índice de refracción del

Enpantalla semitransparenteÍndice de refracción del la

na Índice de refraccióndel aire

Sntransparentesubstrato

Índice de refracción del

Enpantalla semitransparenteÍndice de refracción del la

f

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113

En la Figura B.3 se muestra el esquema de la placa que consiste de dos

materiales con diferente índice de refracción y de espesores diferentes, uno

mucho muy pequeño.

El siguiente experimento (Figura B.6) se llevo acabo usando el principio de

separación de los haces, propuesto por Linnik, descrito en líneas arriba y

resulta también muy simple. Donde los rayos procedentes de una fuente de

luz Q que han atravesado un medio pasan a través de una rendija R y son

incidentes en una pantalla semitransparente E con una apertura f, la onda

emergida de la rendija R pasará entonces a través de la apertura f de la

pantalla E y nuevamente parte de los rayos que difractan en la apertura

generarán una nueva onda que interferirá con la onda proveniente del resto

de los rayos que han atravesado la pantalla semitransparente. Esta vez,

unas bandas de interferencia se observarán detrás de la pantalla E, si el

centro de la apertura coincide con plano imagen de la rendija R.

Figura B.4 Campos involucrados que intervienen para el análisis del IDP.: El

que corresponde al plano objeto, al del plano focal y al del plano de

observación. La placa ),( pp yxp del IDP se ubica cerca del plano focal.

( )111 , yxU

),( '1

'11 RRR yxU

( )'1'1

'1 , yxU

),( 33 yxU

( )000 , yxU

Plano objeto Pupila de salidadel sistema bajoprueba

Plano focal Plano deobservación

),( pp yxp),( pupu yxPu

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114

En la Figura B.4 se indican los campos que se van presentando desde la

pupila de salida del sistema bajo estudio hasta el plano de observación

donde se observa la interferencia. Los campos que intervienen son los

siguientes: Primero el campo objeto ( )000 , yxU , después el campo imagen del

objeto es ( )111 , yxU que emerge de la pupila de salida ),( pupu yxPu del sistema

óptico bajo estudio, además está detrás del la placa ),( pp yxp . Una parte de

este campo atraviesa la placa por la apertura diminuta f y el resto pasa por

la región semitransparente, como se mencionó en el principio de

funcionamiento del IDP. Entonces el campo ( )'1'1

'1 , yxU es el que se ubica

posterior a la placa y que pasó por la región semitransparente. Este campo

interferirá con el campo ),( '1

'11 RRR yxU generado por difracción de la apertura f

diminuta. El campo observado de la interferencia entre '1U y RU1 lo

representamos como ),( 33 yxU .

Enumerables trabajos han modelado teóricamente lo que acontece con el

IDP como el propuesto por Smmart en 1974, por ejemplo Acosta en el 2006

propone su modelado usando la teoría de difracción propuesta por Fresnel

para un sistema con lente focalizadora, donde la pupila de salida tiene forma

circular, como se muestra en la Figura B.5.

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115

Figura B.5 Esquema del IDP cuando tenemos una pupila de salida circular.

Se dibujan esquemáticamente los anillos obscuros en el plano de

observación.

El sistema propuesto, para compara los resultados con la ETI, tendrá una

rendija unitaria como pupila de salida y la apertura de la placa para el IDP,

será circular. En la Figura B.6 se muestra el esquema propuesto.

Plano deobservación

Pupila de salidadel sistema bajoprueba

IDP

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116

Figura B.6 Esquema del IDP cuando tenemos una rendija como pupila de

salida, se dibujan esquemáticamente las bandas de interferencia en el plano

de observación.

R

E

Q

Plano deobservación

Pupila de salidadel sistema bajoprueba

IDP

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117

APÉNDICE C ABERRACIONES

En este apéndice se describe brevemente las representaciones clásicas para

el frente de onda o diferencia de camino óptico.

La ecuación clásica para representar las aberraciones de primer orden en

términos de las coordenadas transversales x, y, tiene por forma:

( ) ( ) ( ) ( ) FyExyxDyxCyyxByxAyxw +++++++++= 222222222 3),(

donde,

A es la aberración de esfericidad

B es la aberración de coma sagital

C es la aberración de astigmatismo sagital

D es la aberración de defoco o cambio de curvatura del frente de onda de

referencia

E es la aberración de inclinación alrededor del eje y

F es la aberración de inclinación alrededor del eje x

Por otro lado la formulación general en términos de las coordenadas x-y, es

de la siguiente forma:

∑∑= =

−=k

n

n

m

mnmnm yxByxw

0 0),(

Donde k es el orden del polinomio y Bnm es el coeficiente asociado de cada

aberración.

La formulación en términos de los polinomios de Zernike, ha tenido diversas

variantes de acuerdo a diversos autores, grupos, compañías y entidades de

normalización. Nosotros usaremos la representación propuesta por Malacara

para el caso de sensado de superficies ópticas fabricadas en el instituto,

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118

dado que generalmente en el INAOE las superficies a sensar tienen

aplicaciones astronómicas, y para el caso de las aberraciones oculares

sugerimos las recomendaciones de las normas ANSI Z80.28 y/o ISO

TC172/SC7.

Es claro que la estandarización tiene por objetivo tener un lenguaje común

para representar las aberraciones oculares; además es claro que la

comparación entre las mediciones no debería generar confusión si hay una

estandarización. Las confusiones han sido primero por que la notación para

reportar las aberraciones puede ser mediante dos índices o un solo índice.

Después por el sistema de coordenadas y por último el tamaño y tipo de

pupila, ya que el valor de la aberración cambia por el tamaño y forma. En la

figura C.1 se compara el sistema de coordenadas para los astrónomos y para

los oftalmólogos, como ejemplo de la causal de confusión.

a) b)

Figura C.1 Sistemas de coordenadas para los polinomios de Zernike según,

astrónomos a) y oftalmólogos b).

N 0o

S 180o

E 90oO 270o 0o

90o

180o

270o

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119

La función de aberración para un sistema óptico con pupila de salida circular

se consigue por un conjunto de polinomios de Zernike, que son ortogonales

sobre el círculo de radio unidad y tiene por formula:

∑∑∞

= =

=0 0

),(),(n

n

m

mnnm rZcrw θθ ,

donde nmc son los coeficientes de expansión que dependen de n y m, que

son positivos, y

[ ]

++=)sin()cos(

)()1/()1(2),( 2/10 θ

θδθ

mm

rRnrZ mnm

mn

es un polinomio de Zernike ortonormal. Aquí 0mδ es una delta de Kronecker,y

∑−

=

−−

−+

−−=

2(/(

0

2

)!2

()!2

(!

)!()1()(mn

s

sns

mn r

smnsmns

snrR

es el polinomio de grado n en r que contiene los términos mnn rrr ,, 2− .

El siguiente programa, escrito en mathcad 2001, proporciona los polinomios

ortonormales simétricos y antisimétricos, es decir aquellos que tienen la

variación de )cos( θm y )sin( θm respectivamente:

Listado 1

Listado 2

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120

Resultado de los primero 15 polinomios se muestran a continuación:

J Polinomio

Como mencionamos anteriormente algunas compañías tienen su propia

nomenclatura, es el caso de los polinomios de Zernike del programa

comercial Apex que es ampliamente utilizado en pruebas ópticas.

Desafortunadamente este programa esta limitado en algunas de sus

funciones, si uno desea conocer los valores de un perfil del frente de onda

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121

el programa solo, muestra la forma del perfil y no es posible tener los valores

asociados a dicho perfil. En la figura C.2 se muestra el tipo de perfil que se

obtiene.

Figura C.2 Frente de onda recuperado con el programa Apex y sus

respectivos perfiles en las direcciones transversales x-y.

Por lo que fue necesario generar un programa que nos permitiera extraer un

perfil. El siguiente programa en mathcad fue desarrollado. Donde

inicialmente se generan los polinomios usando la nomenclatura de Apex.

Listado 3

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122

A continuación se muestran los primeros 6 polinomios generados con el

programa, para verificar que corresponde a los de la tabla 1 del manual de

Apex, concerniente a los polinomios de zernike usados en Apex:

Listado 4

Arriba se listam los polinomios de Zernike empleados por Apex y generados

con un programa en mathcad 2001.

Tabla C.1 Polinomios de Zernike listados en el manual de Apex.

0 Z r 0, 0, θ,( ) expand 1→

1 Z r 2, 0, θ,( ) expand 2 r2⋅ 1−→

2 Z r 1, 1−, θ,( ) expand r sin θ( )⋅→

3 Z r 1, 1, θ,( ) expand r cos θ( )⋅→

4 Z r 4, 0, θ,( ) expand 6 r4⋅ 6 r2⋅− 1+→

5 Z r 3, 1−, θ,( ) expand 3 sin θ( )⋅ r3⋅ 2 r⋅ sin θ( )⋅−→

6 Z r 3, 1, θ,( ) expand 3 cos θ( )⋅ r3⋅ 2 r⋅ cos θ( )⋅−→

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123

Con los valores de los coeficientes de Zernike obtenidos con el programa

Apex se procede a graficar la función de aberración con el programa antes

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124

descrito, es decir primero se genera una función, se convierte en xy,

posteriormente es graficada empleando la función de mathcad createmesh,

como sigue,

Listado 5

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125

A continuación se muestra una función generada en mathcad que almacena

la información en una matriz cuyos valores corresponde a xyz, y que

posteriormente es graficada para generar los valores de un perfil.

Listado 6

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126

APÉNDICE D Suturas del ojo

E.1 Introducción

En este apéndice se discute brevemente las partes del ojo. Y se presenta

una breve descripción del desarrollo del cristalino comentado por KuzacK et.

al. [27] y el Dr. Thomas Young [28] sobre las suturas del cristalino y

posteriormente comentaremos su influencia en las aberraciones oculares.

Tanto el procedimiento para la preparación de los cristalinos, amablemente

mostrado por el Dr. Daniel Vázquez Martínez de la USC, como la técnica de

preparación de las corneas se describen en el capítulo 3.

E2.- Anatomía del Ojo.

El globo ocular u ojo, es el órgano que detecta las imágenes que vemos y es

una parte vital para nuestro sentido de la vista. Se compone de un sistema

óptico de varios cambios de índice de refracción en sus componentes, es

sensible a los cambios de la intensidad de la luz y es capaz de transformar

éstos niveles de intensidad en impulsos electroquímicos que posteriormente

son procesados por el cerebro [29].

En la naturaleza hay una gran variedad de globos oculares. Los más

sencillos; no hacen más que detectar si los bordes de una imagen están

iluminados u oscuros; y otros mucho muy complejos, permiten detectar

detalles más finos de una imagen. Su complejidad se debe a que van más

allá de un simple detector. Es decir, toma en cuenta la percepción e

interpretación de las imágenes para ser reconocidas por el cerebro. Un

ejemplo de ello es el ojo humano.

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127

Las funciones de cada parte del ojo son esenciales para un buen

desempeño de nuestro sentido de la vista, ellas nos permiten captar, percibir

y encontrar las imágenes capturadas por este sistema de manera sensible e

inteligente.

Históricamente, el ojo por lo general lo han definido aproximadamente

esférico, lleno principalmente de una sustancia transparente un tanto

gelatinosa y viscosa llamada humor vítreo, que rellena el espacio

comprendido entre la retina y el cristalino por su superficie posterior. El

humor transparente o acuoso, se encuentra situado en el espacio existente

entre la cara anterior del cristalino y la córnea por su cara posterior y es

también de naturaleza transparente pero menos viscosa. El cristalino mal

llamado una lente de enfoque es sostenido por un músculo llamado ciliar

que permite la acomodación del cristalino. El ciliar también está conectado al

iris que se abre y cierra para regular cuánta luz entra y sale de la cámara

ocular. En la figura D.1 se muestra un dibujo artístico de un corte transversal

del ojo y se señala algunas de sus partes, así como también una fotografía

de un ojo con iris color azul.

Figura D.1 Corte transversal de un ojo y una fotografía del lado anterior.

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128

Para que los rayos de luz se puedan enfocar en la retina, se deben refractar

adecuadamente. Como es bien sabido la cantidad de refracción requerida

depende de la distancia del objeto que se desea ver. Un objeto distante

requerirá menos refracción que uno más cercano. Una parte de la refracción

ocurre en la cornea, que tiene una curvatura fija, el resto de la refracción se

da en el cristalino.

Desafortunadamente al envejecer, el ser humano va perdiendo esta

capacidad de ajustar el enfoque y ha sido un tema de gran estudio, así como

también, la degradación de las imágenes retinianas debido a la degradación

de la cornea [30], igualmente por la edad.

Figura D.2 Corte transversal de un ojo y el esquema histológico del

cristalino, cortesía de Vázquez [31].

E.3 Desarrollo de las suturas en el cristalino.

Se ha dado poca importancia al desarrollo propio del cristalino y en especial

a las suturas, ya en el pasado el Doctor T. Young hacía referencia sobre las

suturas. En la Figura D.3 se muestra un dibujo que contiene la disposición de

las suturas que estaban presentes en el cristalino de una persona, por

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129

aquella época. Con el advenimiento de la alta tecnología y en especial el de

la imagen logia médica fue posible realizar un estudio más minucioso; como

el que reporta el equipo del Dr. Kuszak. El y sus colaboradores propusieron

los mapas de proyecciones cilíndricas, utilizados en la antigüedad para

conocer las características esferoidales de una superficie, para analizar el

desarrollo de las suturas y la disposición de las fibras secundarias del

cristalino. En la parte de superior de la Figura D.4 se muestra el mapa de

proyecciones cilíndricas de la tierra; abajo el correspondiente un cristalino

donde se aprecia el ecuador y los polos.

Figura D.3 Suturas del cristalino reportadas por el Dr. Thomas Young.

Lo importante del estudio de Kuszak et. al. es su propuesta sobre el

desarrollo de las fibras y el crecimiento de las suturas. En la figura D.5 se

puede ver el desarrollo de un cristalino en 6 etapas de desarrollo. Este es el

caso de un cristalino porcino, donde claramente se aprecia que en su etapa

inicial su estructura es completamente esférica, y la disposición de las fibras,

donde el hemisferio anterior y posterior es simétrico y pueden garantizar una

estructura rotacionalmente simétrica, en esta etapa el cristalino tiene 325

fibras de un espesor aproximado de unas micras. En esta etapa no hay

suturas apreciablemente visibles. Sin embargo, ya en la quinta se aprecia

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130

las suturas y la disposición de las fibras, en esta etapa el cristalino cuenta

con aproximadamente 1575 fibras con un espesor de aproximadamente 5

micras.

Figura D.4 Mapa de proyecciones cilíndricas de la tierra y de un cristalino

porcino propuestas por Kuszak.

En el caso de los humanos y en edad adulta llegamos a tener 12 suturas

dispuestas tanto en el hemisferio anterior y posterior. En la Figura D.6 se

muestran dos mapas de proyecciones correspondientes a una persona sana

y otra enferma de diabetes. Donde claramente se aprecia que el crecimiento

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131

de las suturas no es del todo simétrico, en especial, las suturas de la cara

posterior del cristalino.

Figura D.5 Cantidad de fibras presentes en el desarrollo de un cristalino

porcino según Kuszak.

El crecimiento, de alguna forma anómala, de las suturas de la cara posterior

del cristalino en el caso de una persona enferma de Diabetes afecta el

desempeño del cristalino; y por lo tanto, su poder óptico se ve debilitado. Es

razonable que se presenten aberraciones más fuertes en este tipo de

cristalinos, Figura D.7.

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132

En la Figura D.6, se muestra una serie de interferogramas distorsionados por

la presencia de las suturas, en este caso corresponde a un cristalino de

cerdo porcino.

Figura D.6 Disposición en “Y” de las suturas de un cristalino porcino

espaciadas 120 grados en la cara anterior y posterior.

Page 141: Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando … · Se presenta el estudio de una prueba ópticapara obtener el frente de onda de superficies simetríacon esférica

133

Figura D.7. Fibra secundaria del cristalino y la simetría de las suturas en una

persona sana y una enferma, según Kuszak.

b) Persona enferma de Diabetes

a) Persona sana

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134

APÉNDICE E PROGRAMA ETI-1D

En este apéndice se lista el programa de la técnica ETI-1D.

S2 submatrix X2 61, 411, 248, 253,( ):=r 480=r rows X2( ):=c 488=c cols X2( ):=

X2 READ_IMAGE "rendija navaja 200 micras distancia 010 220305 quinceava.bmp"( ):=

2.- Datos de la segunda intensidad Rendija de 200 micras, distancia 010 micras

r 351=c 6=r rows S1( ):=c cols S1( ):=

Numero de renglones:numero de columnas:S1 submatrix X1 61, 411, 248, 253,( ):=

r 480=r rows X1( ):=c 488=c cols X1( ):=

X1 READ_IMAGE "rendija navaja 200 micras distancia 000 220305 quinceava.bmp"( ):=

1.- Datos de la primera intensidad Rendija de 200 micras, distancia 000 micras

Ejemplo del Programa para la integración unidimensional

de la ETI

, , , ,( )numero de columnas: Numero de renglones:

c cols S2( ):= r rows S2( ):=c 6= r 351=

3.- Normalización de la intensidad

M rows S2( ):= M 351= N cols S2( ):= N 6=

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135

5.- Calculo de la primera Integral I1 H( ) r 0←

Mr0

r

i

Hi∑=

r r 1+←

i 0 M 1−..∈for

M

:=

I H( ) r 0←

c 0←

Mr c,0

N 1−

j

Hi j,N∑

=

r r 1+←

i 0 M 1−..∈for

M

:=

NI H VM,( ) r 0←

c 0←

Mr c,Hi c,VM

r r 1+←

i 0 M 1−..∈for

M

:=

max I S2( )( ) 44.167= max I S2( )( ) 44.167=

4.- Cálculo de la variación de la intensidad respecto a la propagación

dz 0.010:=

Der NI I S2( ) max I S2( )( ),( ) NI I S1( ) max I S1( )( ),( )−dz

:=

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136

6.- Calculo de la segunda Integral I2 H I,( ) r 0←

Mr 1

0

r

i

Hi

Ii∑=

⋅←

r r 1+←

i 0 M 1−..∈for

M

:=

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137

APÉNDICE F

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Vol. 2, No. 11/November 1985/J. Opt. Soc. Am. A 2019

Image formation in terms of the transport equation

Michael Reed Teague

Lawrence Livermore National Laboratory, University of California, Livermore, California 94550

Received December 21, 1984; accepted June 20, 1985

A scheme for recovering phase using irradiance data alone, without interferometric techniques, is developed using

the transport equations for phase and irradiance. For the case of one transverse dimension a general solution, for anarbitrary irradiance distribution, of the transport equation for the optical phase is already given by an application ofthe divergence theorem. Numerical simulation results are given that indicate that the phase-recovery schemeworks well even in the presence of large pupil-plane aberrations if the signal-to-noise ratio is sufficiently high. In

particular, pupil-plane phase aberrations may be determined from irradiance measurements in two planes that arenear the image plane.

1. INTRODUCTION

The determination of optical phase using minimal irradi-ance measurements, without interferometer techniques, hasbeen investigated extensively and is well summarized in

several recent review articles.1'3 Most recovery schemesmay be classified as either iterative or deterministic. For

iterative schemes'-5 the number of necessary irradiancemeasurements is always less than the number required fordeterministic schemes. One starts with an initial guess (of-

ten a set of random numbers) for the unknown phase anduses known modulus data, along with external and/or apriori constraints, to improve iteratively the phase estimate.On the other hand, deterministic phase-recoveryschemes-12 attempt to determine the unknown phase di-rectly by measuring sufficient irradiance data to permit aunique determination of phase.

Recent derivations ", 2 of the transport equations forphase and irradiance suggest various deterministic phase-recovery schemes. This paper describes a solution of thetransport equations in a transverse plane near the imageplane. The solution allows the optical phase in that plane tobe determined from known irradiance data in the neighbor-hood of that plane (two-plane measurements are sufficient).The optical phase in any other transverse plane, e.g., thepupil plane, may then be found using (inverse) Fresneltransformation.

The characteristics of the proposed -phase-recoveryscheme were investigated extensively using numerical simu-lation. Representative results of this study are given inSection 4.

2. TRANSPORT EQUATIONS FORIRRADIANCE AND PHASE

Light of wavelength X travels in free space nominally in thepositive z direction. The (scalar) wave amplitude at a point(x, y, z) may be written as

u,(r) = exp[i0,(r)][Iz(r)]1 2 , (1)

where r = (x, y), 0 is the phase and I is the irradiance.Within the region of applicability of Fresnel diffraction the-

ory, the relationship between wave amplitudes in two trans-verse planes labeled by o and z is given by the Fresneltransformation1 3" 4

(2)uz(r) = eikzu0(r) * * [exp(iirr 2 /XZ)]i Xz

where k = 27r/X and * * denotes two-dimensional convolu-tion over the transverse coordinates x, y. It is wellknown'13"5 that the integral relationship expressed by Eq. (2)is the general solution of the paraxial differential equation

i + + k u(r) = Oaz 2k/ (3)

where V2= e32 /dx2 + 02 /0 y 2.

To derive"l 2 the transport equations for irradiance andphase, it is convenient to use the paraxial Eq. (3) along withEq. (1). Multiply Eq. (3) on the left-hand side by u,* andmultiply the complex conjugate of Eq. (3) by u,. If the tworesulting equations are subtracted, one obtains (suppressingthe z subscript)

V IV =-k aI,Iaz

(4)

whereas, if they are added and the sum is multiplied by I,one gets

_I V2I-4 (VI)2 - I 2(V) 2 +2k2I 2 =k2I2 8qX (5)2 4 ak

Obviously it is in general easier to solve the paraxial Eq. (3)than the transport Eqs. (4) and (5). However, if I is known(over a region to be specified later) then Eq. (4) is a linearelliptic differential equation determining 0.

It should be pointed out that the transport equationsexhibit singular behavior at any point at which I is zero. Byits definition I is nonnegative; Eqs. (4) and (5) imply imme-diately that if I = 0 at a point, then I = 0 = al/az at the samepoint. Moreover 4 drops out of the transport equations atsuch a point. This behavior is a manifestation of the well-known result16 that the optical phase becomes indetermi-nate at a point where irradiance vanishes. However, thisfeature definitely affects the scheme of this paper to recover

0740-3232/85/112019-08$02.00 © 1985 Optical Society of America

Michael Reed Teague

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2020 J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 2, No. 11/November 1985

the phase from image-plane irradiance data. For example,the diffraction pattern of a point object in the presence ofsmall aberrations has sharp irradiance nulls in the imageplane. Suppose now that an inner region and an outerregion are separated by a closed curve of null irradiance.Then, combining Eq. (4) with a knowledge of I allows one todetermine separately in each of the two regions as long asindependent boundary conditions on are specified in eachregion. The solution for cannot, however, be continuedacross the null irradiance curve. That is, specifying bound-ary conditions for in one region does not allow one todetermine in the other region. The phase-recoveryscheme of this paper avoids the complications due to sharpirradiance nulls by using irradiance data in a plane near theimage plane. This plane is chosen sufficiently close to theimage plane that the irradiance is still large; yet it is farenough away from the image plane that the sharp nulls arefilled in by defocusing.

Finally, note that the basic transport Eq. (4) may be writ-ten as

v20 + [V ln(+ )] V = -k a In ( 4

where I is an arbitrary constant that does not affect thevalue of . Equation (4) shows that the phase is actuallydetermined by the three-dimensional logarithmic gradientof irradiance. Also note that if phase error is expressed interms of path error W, 0 = k W, then X drops out of Eq. (4) or(4').

3. SOLUTION OF THE TRANSPORTEQUATION FOR THE CASE OF ONETRANSVERSE DIMENSION

Henceforth consider the case in which the wave amplitude u,depends on only one transverse coordinate, x. This restric-tion describes the situation for which the initial plane z = 0contains a split pupil or cylindrical lens and for which anyaberrations depend only on x. Then the transport equationfor phase becomes

-aI ha a I, (6)ax ax az

and thus

I 2(x)- o(x) = I(x0) -k dx' - I,(x'), (7)ax ax, L. azz

which determines a(x)/ax unless Iz(x) is zero. Finally,

OWx = O(x0,) + fX d ' F dx a~ 0-L (J, d -T I-t) I(x) [ ax(, Ix az J

(8)

where again the z label has been suppressed. [All quantitiesin Eq. (8) refer to one transverse plane z.] Equation (8) is anexplicit solution for o,(x) in terms of Iz(x), aI,(x)/az, and thetwo initial values oz(xo) and az(x)/ax. In many cases ofinterest, neither the initial phase (x0) nor its initial gradi-ent ak(x,)/ax 0 is needed. (xo) is generally an uninterestingpiston term. The initial point x can often be chosen suchthat the second term inside the square brackets on the right-

hand side of Eq. (8) is dominant, in which case the value ofa0(x)/ax 0 is not important. One can also see explicitly fromEq. (8) that the phase can be determined in the interval (x0,x) only if I is nonnull in that interval.

Finally, note that the integration of Eq. (6) is an applica-tion of the divergence theorem in one dimension. For thegeneral case an application of the two-dimensional diver-gence theorem to Eq. (4) gives only

dsIF=-k JRdxdyalaz, (7')

where F - (-I aVay, I a/ax); i.e., F is the vector IVOrotated through an angle +7r/2. c is a closed curve enclosingthe region R in the xy plane. Equation (7') is a valid integralidentity in the general two-dimensional case. Unlike theone-dimensional case, however, it does not immediately im-ply the general solutioA of the transport equation.

4. NUMERICAL RESULTS

A numerical simulation has been constructed to investigatethe characteristic features of recovering phase near the im-age plane based on the solution of the transport equation,i.e., Eq. (8). For the results shown in this section, the follow-ing numerical parameters were chosen arbitrarily: thewavelength X = 10-6 m; the slit pupil width 2a = 2 X 10-' m;the imaging system has f # = 2. [Actually, for Fresnel dif-fraction theory, the important dimensionless parameters arethe Fresnel number - = a2/Af = 2.5 X 104 and the defocusingparameter = (z - 1)/f, where f is the focal length of thesystem and f# = f/2a.] The pupil-plane phase aberrationwas arbitrarily taken to be

8

'oj(x) = 2ir E aPn(x)n=0

(9)

where P(x) is a normalized Legendre polynomial. In gener-al the aberration parameters la,1 were random numbers.

Phase recovery based on the transport equation solutionEq. (8) assumes that I(x) and I(x)/ax are known from mea-surements in some plane near the image plane, as well as theinitial values (xo) and a0(x0 )lax0 in the same plane for someinitial transverse point x. The simulation calculates fromthe known slit pupil with the aberration po given by Eq. (9).The calculation uses Fresnel diffraction theory, Eq. (2), andassumes random noise of adjustable degree in the detectorplane. The simulation also has a flag that allows the initialvalues qp(xo) and a(x 0)/ax0 to be set equal to zero. Thischoice corresponds to assuming that these quantities are notmeasured; thus the accuracy of phase recovery based only onirradiation values in two nearby planes may be assessed.The Fresnel transformation between two transverse planes(and also the inverse transformation) was calculated nu-merically using a conservative choice of a 2048-point fast-Fourier transformation (FFT). However, in the numericalresults shown in this section, the pupil was actually sampledby 256 points and the image plane(s) by 650 points.

A. The Aberration-free Pupil: No Detector NoiseThe most elementary test of the validity of a phase-recoveryscheme is the following: If the (near) image-plane dataresult from an unaberrated pupil, then the scheme should

Michael Reed Teague

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Vol. 2, No. 11/November 1985/J. Opt. Soc. Am. A 2021

NE

'a,

CU

c

0

Fig. 1.rations.

-3 -2 -1 0 1 2 3

x2f#Image-plane point-spread function in the absence of aber-

4

3

2

-I o

0

1

0

-1

-2

-3

-4

-5-3 -2 -1 0 1 2 3

X2Xf#

Fig. 2. (log,0 I/Ia)-' in the image plane for the aberration-free case.I, = 1.0 AW/M2 .

accurately predict that the pupil-plane phase aberration iszero. Thus the numerical simulation was first optimizedempirically to perform well in the trivial case of no pupil-plane aberrations. That is, optimal defocusing planes weredetermined; various locations of the initial point x0 weretried; FFT's with different mesh sizes were investigated.With the simulation parameters fixed, the phase-recoveryscheme was then tested in the presence of severe pupil-planeaberrations.

Figure 1 is just the familiar diffraction pattern, at theimage plane, of a slit pupil. The arbitrary peak value of 105Aw/m 2 corresponds to a unity Strehl ratio. The abscissa is t

= x/(2Xf#). Figure 2, which is a plot of (logl0 I/Ia)-l versusI, indicates immediately difficulty with division by I(x) inEq. (8). Although the theoretical diffraction pattern hasrigorous nulls in the image plane, the simulated diffractedpattern only has very deep minima due to aliasing effects -inthe FFT's and numerical round-off errors. However, it was

impossible to continue with accuracy a numerical phase-recovery solution across a relative null, as is to be expectedfrom the theoretical considerations of Section 2. Moreover,as Fig. 3 trivially indicates, the image plane is a singularlocation to examine optical phase since the phase there onlyaccounts for the sign of the wave amplitude, which is propor-tional to (sin 27r)/(2-rx).

Figures 4, 5, 6 should be compared with Figs. 1, 2, and 3,respectively. Figure 4 is the point-spread function at aplane z = f(l + 10-4). The depth of focus -X(f#) 2 = 4 X10-6 m and z - f = 4 X 10-5 m = f X 10-4; the phase-recovery

plane for the results shown in Subsection 4.A is not theimage plane but rather a plane 10 times the depth of focusbehind the image plane. This choice avoids the sharp im-age-plane irradiance nulls but reduces the peak signal

2.5

2.0

CU

0-

1.5

1.0

0.5

0

-0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

x2Xf#

Fig. 3. Image-plane phase for no pupil-plane aberrations. The 7rshifts in phase are solely to account for the i sign of the waveamplitude.

14,000

12,000

N

E 10,000

¢ 8,000

a.x 6,000

4,000

2,000

0*-3 -2 -1 0 1 2 3

X2Af#

Fig. 4. Point-spread function (psf) at a defocus plane; appearanceof psf a distance 10 times the depth of focus behind the image plane.There are no pupil-plane aberrations.

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2022 J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 2, No. 11/November 1985

4

3

2

1

0

-1

-2

-4-3 -2 -1 0 1 2 3

X2Xf#

Fig. 5. (logio I/II)-' at the phase-recovery plane. Same plane asFig. 4.

3.0 I 1 I I I I T

2.5-

2.0 -

1.5

1.0

* ~0.5 -0

-!~ 0

CD -0.5

- 1.0

-1.5

-2.0

-2.5-

-3.0 1-3 -2 -1 0 1 2 3

x2Xf#

Fig. 6. Optical phase at the phase-recovery plane. Discontinuitiesare artificial and produced by requiring phase to be in interval (-7r,+7r] for this plot.

strength by almost a factor of 7. Figure 5 also indicates theabsence of sharp irradiance nulls in this plane. (The loca-tion of the phase-recovery plane will be changed in Subsec-tion 4.B for improved signal-to-noise characteristics.)

Figure 6 shows the optical phase in this plane. In mostcases (the exception to be mentioned later) the optical phaseis constrained in the simulation before plotting to lie in theinterval (-7r, +7r]. This constraint produces the artificial±27r shift discontinuities in Fig. 6. Otherwise is wellbehaved; there are none of the characteristic ±7r shifts thataccount for sign changes in the wave amplitude. Finally,Fig. 7 shows al/az [needed in Eq. (8)] at the recovery plane. Itwas found empirically that z should be 10-7 m (recall depthof focus = 40 X 10-7 m) to obtain accurately aI/az from twoplanes spaced a distance z apart at the phase-recovery

Michael Reed Teague

plane z = f(1 + 10-4). This value of e6z was determined asfollows: the slit pupil was replaced by a Gaussian pupil, andthe numerically derived value for aI/az at the recovery planewas compared with the analytically obtainable (in the case ofthe Gaussian pupil) expression for al/az.

Figure 8 shows the phase at the recovery plane. In allfigures in this paper, curves containing cross hatches areobtained using phase recovery based on the transport equa-tion [i.e., the solution given by Eq. (8)], while non-cross-hatched curves in the same figure are simply the predictionof Fresnel diffraction theory. The known irradiance at therecovery plane and the phase obtained there using the trans-port equation determine the wave amplitude u(x) at therecovery plane. Inverse Fresnel transformation then yields

15

10

5C-E

3

N

0

-5

-10

-15

-20

-25

E+07

-3 -2 -1 0 1 2 3

X2Xf#

Fig. 7. Longitudinal gradient of irradiance at the phase-recoveryplane. z used in obtaining a1/az was 1/40 X (depth of focus).

CU

.C

a)

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

-2.5

-3.0-6 -4 -2 0

X2Xf#

2 4 6

Fig. 8. Retrieved phase at the recovery plane. All cross-hatchedcurves in this paper are obtained from phase recovery based ontransport equation; non-cross-hatched curves in same figure arepredictions of Fresnel diffraction theory.

-1 _

. .TIo0n

0,C

I

- I I I I I

l -I I I -1 __F___7

I I I I -

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Michael Reed Teague

3.0 - I | | | I

2.5

2.0

1.5

1.0

C 0.5

.0

CU - 0.5- 1.0

-1.5

-2.0__

-3.0 I I | I I I I I _

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 0

X (centimeters)

Fig. 9. Recovered pupil-plane phase in the aberration-free case.The phase aberration is 0.0053 wave and reflects the accuracy of thenumerical simulation.

2.0

1.8

1.61

N

CU_V

3:

.X~CCU

CU

1.41

1.2

1.0

0.81

0.6

0.4

0.2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

X (centimeters)

Fig. 10. Recovered pupil-plane irradiance. Riplets are due to in-verse Fresnel transforming a finite, rather than infinite, region ofthe image plane.

the complex wave amplitude in the pupil plane. Figures 9and 10 show, respectively, the pupil-plane phase and irradi-ance obtained with this method of phase recovery near theimage plane and inverse transformation back to the pupilplane. The rms phase of the derived pupil-plane phaseaberration was 0.0053 wave when the pupil was actuallyaberration free. The derived rms phase is nonzero owing tofinite size FFT's, numerical integration inaccuracies, andnonoptimal setting of such parameters as location of therecovery plane and choice of ttz in calculating SI/tz. Theripples in Fig. 10 are due to using a finite (rather thaninfinite) interval in the recovery plane when the inverseFresnel transformation is computed to obtain the complexpupil-plane amplitude. Figure 10 is used only as a diagnos-tic tool. The actual pupil function is known to be a uniformslit of diameter 2a. For Figs. 8-10 the initial point was

Vol. 2, No. 11/November 1985/J. Opt. Soc. Am. A 2023

taken to be x0 = 0, which requires 0 and ap/ax to be known atthe center of the recovery plane. In Figs. 11-16, which arediscussed in Subsection 4.B, no such a priori information isassumed known, and x, is taken as x0 =-40Xf#. In theimage plane the Airy disk has radius t = 0.5. For such alarge transverse position the values of I(x0) and aI(x0)/az aresmall, and setting 0 and ak/ax to zero at this starting point isnot a serious error.

B. The Severely Aberrated Pupil: With Detector NoiseIn Figs. 1-10 the only noise added to the simulation wasquantization noise, i.e., round-off errors, finite mesh sizes,and finite size FFT's. In phase recovery based on the trans-port equation aI/az is needed, and the operation of differen-tiation is especially vulnerable to detector plane noise.Moreover, in an earlier paper17 it was found that the parame-

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

C

CU

a)

CU

0w

-1.

-0.

0

U

0.5

1.0 F1.5 F

2.0 F2.5 F3.0L~ _

-10 -8 -6 -4 -2 0 2X (centimeters)

46 8 10Fig. 11. Recovered pupil-plane phase in the aberration-free case.There is no noise, and the noise-optimized parameters discussed inSection 4 are used. The rms wave-front error is 0.0395 wave.

3.0

2.5

2.0?

1.5

- 1.0C.m 0.5

.t 0c -0.5a.

-1.0F

-1.5

-2.0

-2.5

-3.0 :-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

X (centimeters)

Fig. 12. Noise effects in the aberration-free case. Photon-limitednoise is present in the detector plane and the signal-to-noise ratio atthe central pixel is 10:1. The rms plane error is 0.0838 wave.

I I I I I I I I I . I I

I I I I I I I I

- - - - - - - - - - -

l§W' . . . . . . . . ...

, , . , , , _ , _ _ _

I I I ___ -

U

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2024 J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 2, No. 11/November 1985

CcCU

oCU

X (centimeters)

(a)

100000

90000

80000

700001

60000K

50000

40000

30000

20000[

10000

-4 -3 -2 -1

plane, i.e., roughly a distance one fourth the depth of focusrather than 10 times it. (2) dz in estimating al/az was 2.40-7m, and (3) x0 was -40Xf# as mentioned before. With thesechoices, the aberration-free, noise-free accuracy of the re-covery scheme is acceptable (though not nearly so good asdescribed in Subsection 4.A), and the performance in thepresence of noise is considerably better.

Figure 11 shows the recovered phase when there are noaberrations with the above noise-optimized parameters,while Fig. 12 is the same situation where there is now photonnoise in the detector plane (i.e., the rms fluctuation of the

CCU0

'a

C-

X21Xf#

(b)

Fig. 13. Severe aberrations but no detector noise. (a) The recov-ered pupil-plane phase. rms phase error is 0.193 wave. (b) The psfimplied by the difference of curves in (a).

ters chosen in Subsection 4.A indicated, by the numericalsimulation, mediocre performance of the recovery schemeonce detector noise was included. The adjustable parame-ters of the recovery scheme that affect both accuracy andsignal-to-noise characteristics are (1) the location of thephase-recovery plane, (2) dz used in determining al/az, and(3) the size of the region in the recovery plane that is inverseFresnel transformed to obtain the pupil-plane phase. Aglobal investigation of performance of the recovery schemein the presence of severe pupil-plane aberrations and detec-tor-plane noise was undertaken by varying the first threeparameters mentioned in the preceding sentence. This ledto the following best values, which are used in Figs. 11-16.(1) The phase recovery plane was 10-6 m behind the image

30

25

20

15

10

5

0 O

-5

-10

-15

-20

-25

-30-10

/

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8X (centimeters)

(a)

1 UUUUU I

90000

80000

" 70000

a 60000

> 50000a)C. 40000

' 30000

20000

10000

-4 -3 -2 -1 0X

2iAf#

(b)Fig. 14. Severe aberrations in the presence of noise. Severe aber-rations in the presence of noise. (a) Recovered phase, rms phaseerror is 0.277 wave. (b) psf implied by difference of waves in (a).Signal-to-noise ratio at central pixel was 1000:1 in Figs. 14-16, andFigs. 14-16 differ only because different statistical noise realizationswere used-all with the same rms photon-number fluctuations-inthese last three figures.

N

CV

E

aUoCCU0t

10

0 1 2 3 4

2 3 4

11

war _;llr_| llllll.lllll.. _.............

Michael Reed Teague

I �

- . 1-1

I

I

_- --

1

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Vol. 2, No. 11/November 1985/J. Opt. Soc. Am. A 2025

-2 0 2X (centimeters)

(a)

4 6 8 10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4X

2Xf#

(b)

Fig. 15. Severe aberrations in the presence of noise. (a) Recoveredphase, rms phase error is 0.547 wave. (b) psf implied by differenceof curves in (a).

number of photons detected, N, is assumed proportional toN 112, and the normalization assumed was such that the sig-nal-to-noise ratio was 10:1 at the central pixel.

Figures 13(a) and 13(b) show results for severe aberra-tions, but no detector noise is assumed present. The input-phase parameters appearing in Eq. (9) were a. = ... = a8 =0.3 for Figs. 13-16. The rms phase error between the recov-ered and actual pupil-plane phase was 0.193 wave in Fig.13(a). A measure of how well the pupil-plane phase hasbeen recovered is to subtract the recovered-phase aberrationfrom the original-phase aberration (i.e., the phase-conjuga-tion method of image compensation) and to look at thepoint-spread function implied by the difference between theactual and recovered phase. This comparison is made in

c

C.

0

C-a.

Fig. 13(b). The solid curve is the point-spread functionimplied by the original-phase aberration of Fig. 13(a). Thecross-hatched curve is the point-spread function of the cor-rected phase, i.e., the difference between actual recovered-phase aberration. The original double-lobed point-spreadfunction improves to a single-lobed point-spread function,and the Strehl ratio increases from 15 to 90 percent.

In Figs. 11-16 it is crucial that phase-aberration anglesnot be restricted to (-7r, +r] but be allowed to vary continu-ously. Otherwise, when the recovered-phase aberration issubtracted from the actual-phase aberration, artificial andincorrect phase errors will be produced.

Finally, Figs. 14-16 show the result of adding noise to thesituation shown in Fig. 13. In Figs. 14-16 the detector noise

X (centimeters)

(a)

100000

90000

80000[

N 70000

,s 60000

CCU

'aCU

50000 1

40000 K30000

20000 / \

10000 '/ \\ \ \

0 r t--4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2Xf#

(b)

Fig. 16. Severe aberrations in the presence of noise. (a) Recoveredphase, rms phase error is 1.29 waves. (b) Implied by difference ofcurves in (a).

30

25

20

15

10

5

0

-5

-10

-15

-20

-25

-30 --10 -8 -6 -4

CCU

CUa

-

N

E

._

0-

:1

a

CCU

Michael Reed Teague

I

I

I

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2026 J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 2, No. 11/November 1985

was again assumed to be only photon noise, and now thesignal-to-noise ratio was 1000:1 at the central pixel. Figures14-16 differ only because different statistical realizations ofnoise, all having the same rms value of photon fluctuations,were used.

Not surprisingly, phase cannot be recovered accuratelyunder simultaneous conditions of large aberrations, smallsignal-to-noise ratio, and only irradiance measurementsover a small area in the recovery plane. For small aberra-tions, larger noise may be tolerated. For large aberrations,very little noise can be present if an accurate phase recoveryis to be made.

Finally, it is pointed out that (in a somewhat differentcontext) the question of the region of validity of the trans-port equation of phase has been investigated in two recentpapers.1 8 ,1 9

5. SUMMARY AND CONCLUDING REMARKS

The method of phase recovery based on the transport equa-tion has been applied to find the optical phase in a trans-verse plane near (but not at) the image plane of an opticalsystem. It is assumed that irradiance I and al/az are knownfrom measurements at this recovery plane. The pupil-planephase aberration may then be obtained using inverse Fresneltransformation on the recovery plane phase and irradiancedata. Numerical simulation indicates that the phase-recov-ery scheme applies even in the case of severe aberrations, ifthe signal-to-noise ratio is high enough.

The qualitative characteristics displayed in the case of onetransverse dimension (slit pupil) are expected to carry overto the general case. In that case the general elliptical partialdifferential equation for [Eq. (4)] must be solved. Whilethat is a straightforward numerical task, it is not knownwhether a simple analytical solution exists in the generalcase [for arbitrary irradiance I(x, y)] analogous to Eq. (8).

Finally it is pointed out that (in a somewhat differentcontext) the question of the region of validity of the trans-port equation of phase has been investigated in two recentpapers.18,19

ACKNOWLEDGMENTS

A preliminary version of this paper was presented in a lec-ture at the workshop on "Unconventional Imagery" spon-sored by the U.S. Army Research, Development and Stan-dardization Group-UK and held September 23-28,1984, atRigi-Kaltbad, Switzerland.

The author acknowledges enlightening discussions withR. Gonsalves and N. Streib regarding this work.

This work was performed jointly under the auspices of the

U.S. Department of Energy by Lawrence Livermore Nation-al Laboratory under contract W-7405-ENG-48 and for theU.S. Department of Defense under Defense Advanced Re-search Projects Agency ARPA Order No. 4395 AmendmentNo. 31, mohitored by Naval Surface Weapons Center underdocument numbers N60921-85-POW0001 and SDIO/BMD-ATC MIPR No. W3-RPD-53-A127.

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Michael Reed Teague

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APÉNDICE G

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Lista de Figuras

Figura 2.1. Frente de onda ideal para una fuente puntual. Cuando se

considera z=200 u.l. e intensidad normalizada.

Figura 2.2. Cuatro diferentes clases de intensidad a lo largo de una hilera de

pixeles en la dirección transversal y del detector.

Figura 2.3. Función colocada para la cuadratura numérica.

Figura 2.4. Principio de medición para ETI-1D.

Figura 2.5. Variación de la intensidad de referencia 0I respecto a z ,

tomando en cuenta la longitud de onda del haz de referencia.

Figura 2.6. Interferogramas clásicos obtenidos en pruebas ópticas para el

análisis del frente de onda.

Figura 3.1.- Lente de prueba sin simetría rotacional, denominada lente de

Álvarez.

Figura 3.2. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)

del arreglo ETI usado para el sensado de superficies con simetría rotacional

en eje y fuera de eje por transmisión en forma unidimensional.

Figura 3.3. Montura para la lente de prueba

Figura 3.4. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)

del arreglo ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión..

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151

Figura 3.5. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)

del arreglo ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión usando una

cámara.

Figura 3.6. Fotografía deI arreglo IDP para el probado por transmisión.

Figura 3.7. Diagrama esquemático del arreglo IDP para el sensado por

reflexión, con este se sensaron la córnea y el cristalino.

Figura 3.8. Fotografía del arreglo IDP para el sensado por reflexión, con este

se sensaron la córnea y el cristalino.

Figura 3.9. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)

del arreglo IDP para el sensado por transmisión de lentes intraoculares

variando el haz de referencia.

Figura 3.10. Detalle de la montura para el sensado de lentes intraoculares

variando el haz de referencia.

Figura. 3.11 Paso #1,

Figura. 3.12 a) Paso #2.

Figura. 3.12 b) Paso #2.

Figura. 3.13 Paso #3.

Figura. 3.14 Paso #4.

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152

Figura. 3.15 Paso #5.

Figura. 3.16 Paso #6.

Figura. 3.17 Paso #7.

Figura. 3.18 Paso #9.

Figura. 3.19 Paso #10.

Figura. 3.20 Paso #11.

Figura. 3.21 Paso #12.

Figura. 3.22 Paso #13.

Figura. 3.23 Paso #14.

Figura. 3.24 Paso #15.

Figura. 3.25 Paso #16.

Figura. 3.26 Paso #17.

Figura. 3.27 Paso # 18.

Figura. 3.28 Paso #19.

Figura. 3.29 paso #19.

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153

Figura 3.30. Curva típica de la transferencia del fotón, la grafica tiene tres

diferentes regiones de ruido.

Figura 3.31. Filtro variable frente al haz que emerge de un láser He-Ne

comercial.

Figura 3.32. Imagen de la Intensidad recibida en el detector CCD.

Figura 3.33. Histograma de los tonos de gris recibidos. En este caso el tono

de gris se normalizo al valor máximo promedio.

Figura 3.34. Histograma de los tonos de gris recibidos para cada píxel.

Figura 3.35. PTC obtenida usando filtros y una fuente de luz láser.

Figura 3.36. Simulación de imagen unidimensional en tonos de gris con

ruido aleatorio en cada píxel imagen E1 y simulación sin ruido E2, Diferencia

de perfiles en la columna 64 de E1 y E2.

Figura 3.37. Arreglo esquemático para hallar la PTC utilizando una pantalla

plana de LCD.

Figura 3.38. a) Análisis de intensidad en una columna del CCD.

Figura 3.38. b) Análisis de intensidad en una columna del CCD.

Figura 3.39. Grafica de valores, media y desviación estándar de la

intensidad en una columna del CCD.

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154

Figura 3.40. PTC obtenida con la ayuda de una pantalla plana de LCD.

Figura 3.41 Alineado del interferómetro IDP por reflexión.

Figura 3.42 Recipiente para el transporte de los ojos recién extraídos.

Figura 3.43 Instrumental necesario para preparar la cornea y cristalino.

Figura 3.44 Imagen del aspecto como se encuentran los ojos previo a su

limpieza y preparación para el análisis de la cornea y el cristalino.

Figura 3.45 Enjuague del ojo para retirar fluidos propios de la extracción

hecha por el matarife.

Figura 3.46 Corte de parpados y músculo para aislar el globo ocular.

Figura 3.47 Corte de la conjuntiva y excedente de músculo para la limpieza

de la esclerótica.

Figura 3.48 Aspecto del globo ocular libre de conjuntiva y músculo.

Figura 3.49 Incisión con el bisturí sobre el ecuador del globo ocular para

guiar el corte con tijeras.

Figura 3.50 Corte inicial con tijeras sobre el ecuador del globo ocular.

Figura 3.51 Corte con tijeras sobre el ecuador del globo ocular.

Figura 3.52 Corte de la esclerótica en el ecuador del globo ocular con la

ayuda de unas tijeras quirúrgicas.

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155

Figura 3.53 Imagen del cristalino en el interior del globo ocular por el lado

posterior.

Figura 3.54 Corte del ciliar con tijeras quirúrgicas.

Figura 3.55 Retiro del cristalino del interior del globo ocular.

Figura 3.56 Uso de un cepillo para retirar el humor vítreo.

Figura 3.57 Cornea en el interior de la cubeta para ser analizado por

reflexión.

Figura 3.58 Cristalino en el interior de una cubeta para ser analizado por

reflexión.

Figura 4.1 Sagitas comunes en las lentes tipo Álvarez.

Figura 4.2 Lente de Álvarez prestada por la Dra. Eva Acosta.

Figura 4.3 a), b) , c) y d) son resultados preliminares sobre la variación axial

(negro) , la primera (azul) y segunda integral (magenta) de la prueba de la

ETI a la lente tipo Álvarez.

Figura 4.4 Variación de intensidad a lo largo de la propagación ( zI ∂∂ / ) lente

tipo Álvarez.

Figura 4.5 Variaciones de fase a lo largo del eje transversal, tipo Álvarez.

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156

Figura 4.6 Frente de onda recuperado mediante el empleo del método

basado en la ETI-1D y la línea punteada indica la curva con el mejor ajuste..

Figura 4.7 Frente de onda recuperado con la ETI-1D y la curva con el mejor

ajuste y el perfil encontrado con el IDP.

Figura 4.8 Interferogramas obtenidos de unas lentes intraoculares de acrílico

cortesía de Chamandoira [23].

Figura 4.9 a) Interferograma cuando hay viñeteo, b) mismo interferograma;

pero con color para resaltar la distribución de intensidad.

Figura 4.10 a) Presencia de una fibra textil cercana al orificio del IDP, b)

interferograma distorsionado por la presencia de una fibra textil.

Figura 4.11.- Interferogramas de un cristalino por transmisión.

Figura 4.12 Diagrama detallado de un interferometro IDP para el análisis por

reflexión.

Figura 4.13 Interferograma con falla en el seguimiento del orden de la franja

obtenido con IDP para el probado por reflexión.

Figura 4.14 Dislocación de fase obtenida con el IDP.

Figura 4.15 Interferogramas de un par de cristalinos por reflexión.

Figura 4.16 Interferogramas de dos corneas por reflexión.

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157

Figura 4.17 Cristalino en la cubeta, provisto de soporte, para su sensado por

reflexión con el prototipo de IDP para probar por reflexión.

Figura 4.18 Globo ocular en cubeta óptica para el sensado de la cornea.

Figura 4.19 Distancia imagen en una placa de caras plano paralelas.

Figura 4.20 Arreglo esquemático para determinar espesores e índice de

refracción.

Figura 4.21 Arreglo esquemático para determinar espesores e índice de

refracción.

Figura 4.22 Haz convergente incidiendo en una esfera homogénea.

Figura 4.23 Distancia imagen en una esfera homogénea cuando un haz

convergente incide sobre ella.

Figura 4.24 a) Experimento para el cálculo del índice de refracción de una

bola homogénea y b) arreglo experimental usado.

Figura 4.25 Esquema para determinar la distancia focal de una lente.

Figura 4.25 Frente de onda recuperado con la ETI-1D y la curva con el mejor

ajuste y el perfil encontrado con el IDP.

Figura B.1 Descripción del principio de funcionamiento del IDP

Figura B.2 Anillos obscuros por la superposición de ondas U y U1.

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158

Figura B.3 Esquema de la placa P para el IDP.

Figura B.4 Campos involucrados que intervienen para el análisis del IDP.: El

que corresponde al plano objeto, al del plano focal y al del plano de

observación. La placa ),( pp yxp del IDP se ubica cerca del plano focal.

Figura B.5 Esquema del IDP cuando tenemos una pupila de salida circular.

Se dibujan esquemáticamente los anillos obscuros en el plano de

observación.

Figura B.6 Esquema del IDP cuando tenemos una rendija como pupila de

salida, se dibujan esquemáticamente las bandas de interferencia en el plano

de observación.

Figura C.1 Sistemas de coordenadas para los polinomios de Zernike según,

astrónomos a) y oftalmólogos b).

Figura C.2 Frente de onda recuperado con el programa Apex y sus

respectivos perfiles en las direcciones transversales x-y.

Figura D.1 Corte transversal de un ojo y una fotografía del lado anterior.

Figura D.2 Corte transversal de un ojo y el esquema histológico del

cristalino, cortesía de Vázquez [31].

Figura D.3 Suturas del cristalino reportadas por el Dr. Thomas Young.

Figura D.4 Mapa de proyecciones cilíndricas de la tierra y de un cristalino

porcino propuestas por Kuszak.

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159

Figura D.5 Cantidad de fibras presentes en el desarrollo de un cristalino

porcino según Kuszak.

Figura D.6 Disposición en “Y” de las suturas de un cristalino porcino

espaciadas 120 grados en la cara anterior y posterior.

Figura D.7 Fibras secundarias del cristalino y la simetría de las suturas en

una persona sana y una enferma.

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160

Lista de Tablas

Tabla 4.1 Diferencia de los diámetros del primer y segundo anillos del disco

de Airy con el diámetro del IDP.

Tabla 4.2 Distancia focal posterior (dfp1).

Tabla C.1 Polinomios de Zernike listados en el manual de Apex.

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Cambridge, USA (2004).

[30] Antonio Guirao, Manuel Redondo, Pablo Artal, ”Optical aberrations of

the human cornea as a function of age,” J. Opt. Soc. Am. A, Vol. 17, No. 10,

1697-1702 (2000).

[31] Vázquez, M. D., Tesis doctoral de la universidad de Santiago de

Compostela, España, (2007).

[32] V.N. Mahajan, G. M. Dai,”Orthonormal polynomials in wavefront

analysis: analytical solution,” J. Opt. Soc. Am. A., Vol. 24, 9, 2294-3016

(2007).

[33] Richard Barakat, Leslie Riseberg, ”Diffraction Theory of the

Aberrations of a Slit Aperture,” J. Opt. Soc. Am., Vol. 55, 7, 878-881 (1965).

[34] V. N. Mahajan, The Aerospace Corp, Lecture 3 on "diffraction effects

of aberrations" from his course held at INAOE Tonantzintla, Pue., México in

(2007).

[35] Stravroudis, O. “Basic Ray Optics” en Handbook of optical

Engineering, Optical Eng. Series Vol 73, Eds. D. Malacara and B.J.

Thompson, New York, (2001).

[36] Xiyuan Liu, Christian Hruscha, Karl-Heiz Brenner, "Efficient

reconstruction of two-dimensional complex amplitudes utilizing the

redundancy of the ambiguity function," Appl. Opt. Vol. 47, No. 22, 1 E1-E7

(2008).

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165

Contribuciones

1.- Participación en el congreso nacional de física en la ciudad de Zacatecas

en el mes de Octubre 2008. Luis Rodríguez Castillo, F. Granados Agustín, A.

Cornejo Rodríguez., “Las suturas en el cristalino”.

2.- Participación y envío del proceedings a la SPIE para el Optics and

Photonics International Convention, celebrado en la ciudad de San Diego

California, en el mes de Agosto del 2008, Luis Rodríguez Castillo, F.

Granados Agustín, A. Cornejo Rodríguez, ”Optical testing by means of one-

dimensional interferograms performed with a point diffraction interferometer”.

3.- Participación en el congreso internacional de la ICO celebrado en la

ciudad de Sidney, Australia en el mes de Julio 2008, Luis Rodríguez Castillo,

F. Granados Agustín, A. Cornejo Rodríguez.,”A comparison of a one-

dimensional wave front retrieve with a point-diffraction interferometer (PDI)

and the irradiance transport equation (ITE)”.

4.- Participación en el octavo encuentro de investigación de INAOE,

celebrado en la ciudad de Tonantzintla, Puebla en el mes de Noviembre

2007. Luis Rodríguez Castillo, F. Granados Agustín, A. Cornejo Rodríguez.,”

Pruebas ópticas usando la ecuación del transporte de irradiancia, ETI”. 5.- Participación en la 4th European meeting on Visual and Physiological

Optics, celebrado en la ciudad de Heraklion, Grecia en el mes de Agosto

2008, Eva Acosta, Luis Rodríguez Castillo, Daniel Vazquez,”Contribution of

the crystalline lens to the azimuthal frequencies of the ocular aberration”.

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6.- Envío de un artículo al Ophthalmic And Physiological Optics; The Journal

Of The College Of Optometrists, en el mes de Octubre de 2008; Eva Acosta,

Daniel Vazquez, Luis Rodriguez.,“ Analysis of the optical properties of

crystalline lenses by point-diffraction interferometry”.