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“Prueba de sistemas ópticos en eje y fuera de eje, integrando perfiles de frente de onda obtenidos por
la ecuación del transporte de irradiancia (ETI)”
por
M. C. Luis Rodríguez Castillo
Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado de
Doctor en Ciencias en la especialidad de Óptica
en el
Instituto Nacional de Astrofísica,
Óptica y Electrónica.
Junio 2011 Tonantzintla, Puebla
Supervisada por
Dr. Fermín S. Granados Agustín
Dr. Alejandro Cornejo Rodríguez
INAOE
Dra. Eva Acosta Plaza
© INAOE 2011
Derechos Reservados El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y
distribuir copias de esta tesis en su totalidad o en partes.
i
RESUMEN
Se presenta el estudio de una prueba óptica para obtener el frente de onda
de superficies con simetría esférica y no esférica a través de la integración
directa de la ecuación uni-dimensional del transporte de irradiancia (ETI,
derivada por Teague). Para resolver la ETI (bidimensional) el método usa la
distribución de irradiancia, en dos planos; cercanos a la pupila de salida para
aproximar la variación axial de la intensidad del sistema óptico bajo prueba.
Esta técnica, en nuestro caso, se realiza en un banco nodal de laboratorio.
Los resultados experimentales se compararon con los derivados al realizar
la prueba óptica con un Interferómetro de Difracción por Punto (IDP,
inventado por Linnik). También el método desarrollado con el IDP, permite
fácilmente obtener un perfil de frente de onda. Además; el presente trabajo
muestra la investigación y desarrollo de un instrumento basado en el
interferómetro de difracción por punto para realizar pruebas ópticas a
componentes oculares e intraoculares de manera bidimensional. El
instrumento se desarrollo para analizar el sistema bajo prueba no solo por
reflexión sino también por transmisión. Además de haber analizado la calidad
óptica de ambas superficies de las componentes oculares e intraoculares; el
instrumento también permite medir distancias focales. Se presentan los
resultados experimentales de algunas de las componentes analizadas y otros
resultados relacionados con el instrumento. Un ejemplo de componente
estudiada y analizada fue el cristalino en la forma denominada “in vitro”.
ii
ABSTRACT
A optical testing study is shown to retrieve a wave-front shape of spherical
non spherical symmetry surface from a direct integration of one-dimensional
Irradiance Transport Equation (ITE, derived by Teague). To solve the ITE
the method uses the irradiance distribution from two planes close to the exit
pupil in order to fit the axial irradiance change of the optical system under
test. This technique is supported by the use of a lab nodal slide bench. The
experimental results were compared with those reached by a Point
Diffraction Interferometer (PDI, invented by Linnik). The method developed
with the PDI also presents an easier way to obtain a wave-front shape.
Besides the present work shows the research and develop of a instrument
based on the point diffraction interferometer to perform optical test on
intraocular and ocular components. The instrument was developed to
analyzing the system under test for reflection and transmission mode. The
optical quality of both surfaces of the intraocular and ocular element were
analyzed and his effective focal length was measured. Some experimental
results of the components analyzed are shown and related results of the
instrument. One example of component studied and analyzed was a lens in
vitro.
iii
DEDICATORIA
Para mi hija e hijo:
Melissa Rodríguez Sosa.
Leonardo Rodríguez Sosa.
Especialmente
Para mi esposa:
Marissa Sosa Silverio.
y
Para
NDPTP
iv
AGRADECIMIENTOS
Al Dr. Fermín Salomón Granados Agustín y al Profesor Dr. Alejandro Cornejo
Rodríguez por su asesoría y apoyo para el desarrollo del presente trabajo.
Además por su confianza y amistad mostrada durante mi estancia en el
INAOE.
A la Profesora y Dra. Eva Acosta Plaza por su asesoría y amistad durante mi
estancia en su laboratorio de la USC.
Al Dr. Rufino Díaz, al Dr. José Alberto Delgado Atencio, a la Dra. Perla
Carolina García Flores, al Dr. Alfonso Padilla Vivanco y al Dr. Manuel
Fernández Guasti por aceptar ser sinodales; pero sobre todo, por sus
valiosas observaciones, excelentes comentarios y buenas sugerencias para
la mejora de esta tesis.
Al grupo de Instrumentación Óptica del INAOE por brindarme su apoyo
durante el tiempo que estuve en el programa de doctorado.
A las instituciones INAOE y CONACyT por permitirme el acceso a sus
instalaciones, y apoyo económico respectivamente para realizar mis estudios
de Doctorado en Ciencias.
A mis compañeros del ITSA que siempre me han mostrado su apoyo y
sincera amistad.
A mi familia por su confianza y decidido apoyo.
v
ÍNDICE
RESUMEN i
DEDICATORIA iii
AGRADECIMIENTOS iV
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN 01
Capítulo 2 MARCO TEORICO 03
2.1 Pruebas Ópticas 03
2.2 Modelo teórico para medir el frente de onda 04
con la ETI
2.3 Modelo teórico para medir el frente de onda 24
con el IDP
2.3.1 Método para el ajuste del frente de onda con el IDP 28
Capítulo 3 TRABAJO EXPERIMENTAL 30
3.1 Arreglo para la ETI-1D 32
3.2 Arreglo para la ETI-1D e IDP 34
3.3 Arreglo IDP 36
3.4 Procedimiento para la alineación 42
3.5 Procedimiento para la captura de imágenes 48
3.5.1 Para la ETI-1D 48
3.5.2 Para el IDP 49
3.6 Análisis del ruido en la prueba 50
3.6.1 Ruido en la ETI 50
3.7 ¿Qué es el ruido en la ETI? 50
vi
3.8 Implicaciones en la prueba óptica a través de la
ETI por el ruido 51
3.9 Características practicas para conocer el ruido en el
detector CCD 52
3.10 Otra alternativa para determinar la curva de
transferencia del fotón 63
3.11 Ruido por el IDP 69
3.12 Alineado del interferómetro 69
3.13 Procedimiento para la preparación de corneas y
cristalinos 71
Capítulo 4 RESULTADOS EXPERIMENTALES 82
4.1 Resultados usando la ETI-1D 82
4.1.1 Recuperación del frente de onda con
el IDP y la ETI-1D 86
4.2 Resultados usando el IDP 87
4.2.1 Para componentes ópticos analizados
por transmisión 87
4.2.2 Para componentes ópticos analizados
por reflexión 89
4.3 Resultados experimentales adicionales obtenidos
con el IDP 96
4.3.1 Medición de espesores 96
4.3.2 Medición de índice de refracción 100
4.3.3 Medición de distancias focales 103
CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO 106
vii
APENDICES Apéndice A ECUACION DEL TRANSPORTE DE IRRADIANCIA 108
Apéndice B INTERFEROMETRO DE DIFRACCION POR P. 110
Apéndice C ABERRACIONES 117
Apéndice D SUTURAS DEL OJO 126
Apéndice E PROGRAMA DESARROLLADO 134
Apéndice F TRABAJO DE TEAGUE PUBLICADO EN 1985 137
Apéndice G TRABAJO DE LINNIK PUBLICADO EN 1933 146
LISTA DE FIGURAS 150
LISTA DE TABLAS 160
BIBLIOGRAFÍA 161
CONTRIBUCIONES 165
1
CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN
Actualmente las técnicas de sensado de superficies ópticas y trabajos
experimentales para medir las superficies con calidad óptica siguen
apareciendo y actualizándose, Malacara et. al. [1], tal es el caso que se
expone en este escrito al medir el frente de onda mediante dos técnicas. Las
ventajas son obvias: Las técnicas ópticas sean interferométricas o no
interferométricas; no alteran ni dañan la superficie que está siendo
investigada para conocer su calidad óptica; principalmente aquellas que son
de fabricación única. Desde este punto de vista, éstas técnicas ópticas se
clasifican como no destructivas.
Se presenta el estudio y resultado de la prueba óptica que permitió obtener
el frente de onda de una superficie sin simetría esférica a través de la
técnica denominada integración directa de la ecuación uni-dimensional del
transporte de irradiancia (ETI-1D), basada en la ETI derivada por Teague en
1983 [2], como un paso adicional al trabajo experimental realizado por
Rodríguez et. al. en el 2005 [3], en pruebas ópticas. Cabe mencionar que el
trabajo teórico de esta propuesta se basa también en los trabajos de Teague
del año 1985 [4] y Guasti et. al. del 2003 [5].
2
Para resolver la ETI-1D, el método usa la distribución de irradiancia en dos
planos cercanos a la pupila de salida para aproximar la variación axial de la
intensidad, del sistema óptico bajo prueba, tomando en cuenta el ruido de
detección o lectura en la CCD y la distribución de la intensidad de referencia.
Esta técnica se realiza en un banco nodal de laboratorio que permite evaluar
el sistema óptico bajo estudio en eje y fuera de eje óptico.
Además, se presenta una breve introducción al interferómetro de difracción
por punto (IDP, propuesto por primera vez por Linnik [6]). El IDP se utilizó
para comparar los resultados obtenidos con el banco nodal del laboratorio
de instrumentación óptica del INAOE a una lente de Álvarez (sistema óptico
sin simetría esférica y de naturaleza astigmática usado por Humphrey et. al.
[7]); con la técnica de integración directa de la ecuación uni-dimensional del
transporte de irradiancia (ETI-1D).
Se presentan algunos resultados experimentales de la aplicación de la ETI-
1D y su comparación con los derivados al realizar la prueba óptica con el
Interferómetro de Difracción por Punto. Además como paso adicional al
trabajo realizado por Acosta et. al. [8] se presenta el desarrollo de un arreglo
experimental implementado para probar superficies oculares e intraoculares
(lentes de Polymethylmethacrylato); es decir, IOLs de PMMA por reflexión
con la técnica del IDP. Dos ejemplos de componentes oculares analizados
con este arreglo, fueron el cristalino y la córnea en la forma denominada en
vitro, cuyos resultados también se presentan.
3
CAPITULO 2 MARCO TEORICO
2.1 Pruebas ópticas.
Las pruebas ópticas de componentes y sistemas ópticos, permiten la
evaluación de sistemas, superficies y materiales ópticos mediante métodos
no invasivos para conocer su calidad en la producción de las mismas, y sus
aberraciones a través de un análisis matemático. Por ejemplo, la
interferometría destaca por su confiabilidad para medir la calidad óptica de
elementos tales como lentes, espejos o sistemas más complejos que
combinan una buena cantidad de lentes y/o espejos. Sin embargo también
las técnicas no interferométricas como lo es la prueba de Ronchi y la prueba
de la navaja son altamente efectivas, especialmente en talleres de
construcción de componentes ópticas. Por otro lado las pruebas ópticas
basadas en la ecuación de transporte de irradiancia van incrementando su
uso; aunque con especial interés en los sensores de frente de onda que
también podrían considerarse parte de pruebas ópticas, recientemente Soto
et. al. [9] toma en cuenta el ruido de detección para establecer los planos de
medida que permiten resolver la ETI en su contexto de sensor de curvatura y
extiende aun más su trabajo y propone un sensor multi plano para la
4
corrección de aberraciones causadas por turbulencia atmosférica, tomando
en cuenta el ruido de detección.
Para la medición de las aberraciones ópticas, parte esencial de las pruebas
que se realizan en general, se pueden emplear distintos tipos de
interferómetros; como por ejemplo, el interferómetro de desplazamiento
lateral, el interferómetro de Michelson o Mach-Zenhder; pero en algunos
debido a la necesidad de crear una onda de referencia, prácticamente
imposible, su implementación en un taller de superficies ópticas, se hace más
difícil. Sin embargo, los interferómetros de camino común, por lo contrario,
son candidatos idóneos para resolver el problema de la sensibilidad a la
vibración y la robustez necesaria para un taller de óptica. Entre ellos, el
interferómetro de difracción por punto (IDP) propuesto por Linnik y analizado
posteriormente por Smartt et. al. [10], permite generar ondas esféricas
ideales de referencia mediante la difracción producida por un agujero
extremadamente pequeño, comúnmente denominado punto. Situado en una
capa de espesor con dimensión nanométrica. La capa es depositada con la
tecnología de películas delgadas y es además semitransparente. La película
es depositada en un substrato transparente como el vidrio óptico BK7. La
capa también puede ser hecha con la tecnología de fotolitografía empleada
en la fabricación de circuitos integrados. Una descripción de lo que acontece
en el IDP se encuentra en el apéndice B.
2.2 Modelo teórico para medir el frente de onda con la ETI.
En primer lugar, exponemos el modelo teórico de la ETI unidimensional sin
considerar el ruido de la señal de entrada para calcular la derivada axial de la
intensidad y posteriormente nos referimos al modelo que tomará en cuenta el
ruido de la señal.
5
En el modelo teórico para medir el frente de onda con la ETI consideramos
que la fase, ),,( zyxφ esta relacionada con el frente de onda ),,( zyxw por la
siguiente ecuación:
),,( zyxwk=φ (0)
),,( zyxII = es la intensidad en el punto ),,( zyx , λπ /2=k es el número de
onda; yλ es la longitud de onda del haz; al substituir la Ec. (0) en la ecuación
(6) del apéndice A y realizar algunos pasos algebraicos encontraremos la ETI
en función de la intensidad y el frente de onda, obteniéndose la siguiente
expresión:
02 =∇+∇⋅∇+∂∂ wIwIzI
ttt . (1)
El primer término es la variación axial de la intensidad, el segundo término
wI tt ∇⋅∇ representa las variaciones de intensidad causadas por la inclinación
del frente de onda y es llamado el término de prisma. El tercer término, wI t2∇
se interpreta como las variaciones de intensidad causadas por la
convergencia o divergencia del haz y es llamado el término de lente, según
Ichikawa et. al. [11].
La ETI en su forma unidimensional la podemos obtener a partir de la
ecuación (1), es decir, si rescribimos la ecuación (1) de la siguiente forma
zIwIwI ttt ∂∂
−=∇+∇⋅∇ 2 , (2)
donde el término wIwI ttt2∇+∇⋅∇ se expresa en forma compacta de la forma:
( )zIwI tt ∂∂
−=∇⋅∇ (3)
si consideramos una dimensión transversal ; indistintamente para x o y, toma
la siguiente forma:
6
zI
ywI
y ∂∂
−=
∂∂
∂∂
(4)
si integramos una vez la Ec. (4) obtenemos
dyzI
ywI ∫ ∂
∂−=
∂∂
(5)
si integramos nuevamente la Ec. (5) obtenemos la ecuación
dydyzI
Iw
∂∂
−= ∫∫1
, (6)
La ecuación (6) es la que se propone para hallar un perfil del frente de onda
de nuestro sistema óptico bajo prueba. Sin embargo, si se desea obtener
información bidimensional, a partir de la información unidimensional en varias
posiciones, se deben integrar las informaciones parciales.
Si tuviéramos una fuente puntual ideal, la intensidad que emerge de acuerdo
a la siguiente expresión 2
tanr
teconsI = , Ec. (36) en la referencia [12] página
117, considerando simetría rotacional, dado que una fuente puntual
generalmente se asume esférica. Pero si consideramos solo el eje z, la
intensidad tendría por ecuación la siguiente:
20
zII = (7)
al sustituir la ecuación (7) en (6), podemos encontrar el frente de onda
fácilmente; es decir,
( ) dydyzIzI
w
∂∂
−= ∫∫ 20 /1
, (8)
Desarrollando esta última ecuación en varios pasos, se tiene
7
dyz
yI
zI
dydyz
II
w
=
−−= ∫∫∫ 3
0
20
30 2121
, y (9)
zy
zy
w22
22
== (10)
La gráfica de la ecuación (10) resultante, muestra el frente de onda ideal
para una fuente puntual con z=200 u.l, ver figura 2.1;(u.l) significa unidades
de longitud, además la intensidad está normalizada, es decir 10 =I
Figura 2.1.Frente de onda ideal para una fuente puntual. Cuando se
considera z=200 u.l. e intensidad normalizada.
En nuestro caso la variación axial de la intensidad debe ser conocida para
poder obtener el frente de onda. Como sabemos en muchas aplicaciones es
común aproximar la cantidad o una función de interés por la suma de una
gran cantidad de valores asociados por alguna característica y que
comúnmente se representa por una serie de Taylor según Snieder [13].
Consideremos la intensidad que se recibe en el detector en función de una
de sus coordenadas transversales. El perfil de intensidad está claramente
descrito por la posición y su respectivo valor )(yI en nivel de gris, es decir la
8
intensidad en función de la posición esta descrita. Por ejemplo, en cuatro
diferentes perfiles de intensidad, como los que se muestran en la figura 2.2.
El más simple de los perfiles es el que se muestra en la figura 2.2 (a), en este
caso el valor de la intensidad es constante:
0)( IyI = , (11)
El valor del parámetro 0I en 0=y , inmediatamente da el valor de
)0(0 II = . (12)
Figura 2.2. Cuatro diferentes clases de intensidad a lo largo de una hilera de
pixeles en la dirección transversal y del detector.
En la gráfica Fig. 2.2 (b) la situación muestra que la intensidad es lineal en
función de la posición:
Perfil de intensidad constante
(a
Perfil de intensidad lineal
(b
Perfil de intensidad cuadrático
(c)
Perfil de intensidad cúbico
(d
I y ( )
y
I y ( )
y
I y ( )
y
I y ( )
y
9
yydydIIyI
=+= )0()( 0 , (13)
Consideremos ahora el caso cuadrático (c):
22
2
0 )0(21)0()( yy
ydIdyy
dydIIyI
=+
=+= , (14)
Este resultado refleja el hecho de que el valor del coeficiente del último
término tiene que ser la segunda derivada de la intensidad respecto de la
posición.
Consideremos ahora el perfil de intensidad representado por la gráfica (d),
donde claramente se aprecia que la intensidad no es una función lineal y
tampoco una función cuadrática de y, por lo que se puede representar por
una serie
∑∝
=
=++++=0
33
2210)(
n
nn yIyIyIyIIyI , (15)
Donde la intensidad queda expresada por una suma de términos y la variable
independiente va incrementando su potencia; los coeficientes nI , se pueden
encontrar a través de evaluar el resultado en y=0; es decir,
).0(!
1== y
ydId
nI n
n
n
Desde luego, uno puede encontrar una serie de Taylor para cualquier
función, como se muestra a continuación:
∑∝
=
+=+=+===0
2
22 )0(
21)0()0()0(
!)(
nn
nn
xxdfdxx
dxdfxfx
xdfd
nxxf (16)
10
Por supuesto la expansión en serie de Taylor se puede también hacer para
un valor arbitrario; es decir, debemos cambiar hx → , x→0 y la expansión
resultante
∑∝
=
+++==+0
2
22 )(
21)()()(
!)(
nn
nn
xdxfdh
dxxdfhxf
xdxfd
nhhxf , (17)
También la serie no se restringe para una sola variable o dimensión. Para
dos variables, e igualmente para el caso de un valor arbitrario en x o y, se
representa por
+∂
∂+
∂∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂+=++
2
22
2
2
22
),(21),(
21
),(21),(),(),(),(
yyxfh
yxyxfhh
xyxfh
yyxfh
xyxfhyxfhyhxf
yyx
xyxyx
(18)
Tomando en cuenta lo anterior podemos expresar la variación axial de la
intensidad que nos involucra para resolver la ETI, basada en la ecuación
(18), y queda expresada de la siguiente forma:
+∂
∂+
∂∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂+=++
2
22
2
2
22
),(21),(
21
),(21),(),(),(),(
zzyIh
zyzyIhh
yzyIh
zzyIh
yzyIhzyIhzhyI
zzy
yzyzy
(19)
Desde luego esta serie esconde un resultado muy interesante. Es decir, la
intensidad ),( zyI esta descrita por todos los valores de su argumento cuando
sus derivadas son conocidas en un punto arbitrario. Esto significa que el
comportamiento global de la intensidad está completamente contenido a
partir de las derivadas en un solo punto, como lo refiere Snierder . Este
hecho no siempre es verdad si la función de interés cambia, de forma
rápida o de forma abrupta.
11
En nuestro caso se propone la siguiente expresión:
zzyIh
yzyIhzyIhzhyI zyzy ∂
∂+
∂∂
+=++),(),(),(),( , (20)
Para hallar la variación axial de intensidad respecto a z. Entonces se puede
tener por expresión, cuando no hay variación respecto a y, la siguiente:
z
zy
hzyIhzhyI
zzyI ),(),(),( −++
=∂
∂ , (21)
donde zh y yh son las distancias necesarias para calcular la variación.
La importancia de la integración numérica se pone de manifiesto cuando no
es posible realizar una integral exacta y de forma analítica o bien cuando se
tienen una serie de datos que representan el integrando. Por ejemplo, si
ecuación (6); en términos de x en lugar de y, su integrando )(xf podría ser
conocido por una serie discreta de datos )( ixf .
{ } ∫=b
a
dxxffINT )( . (22)
Por lo que es posible aproximar el valor de la integral definida en un intervalo
finito [ ]ba, , entonces la ecuación 22 puede reescribirse como
{ } ∑=
=n
iiin xffINT
1)(α . (23)
La ecuación (23) generalmente es llamada cuadratura numérica [14] o
fórmula de integración numérica. Donde n es el número de puntos, ix son los
puntos de cuadratura o nodos y iα son los coeficientes de cuadratura.
Entonces el problema básico en la integración numérica que nos involucra,
recae en escoger adecuadamente los coeficientes de cuadratura tal que
{ }fINTn sea lo más aproximado a { }fINT . Es decir que el error de
12
cuadratura { }fEn sea mínimo o cero. Una formula particular para definir el
error de cuadratura es la ecuación (24).
{ } { } { }fINTfINTfE nn −= . (24)
Evidentemente si se tiene una ecuación )(xf conocida es posible integrar
en forma analítica y no es necesario hacer alguna aproximación por algún
método. Sin embargo, si se tiene la función )(xf pero no es posible obtener
una integración exacta entonces en este caso también es recomendable
ocupar algún método de integración numérica.
Por otro lado es importante señalar que la integración que deseamos obtener
es unidimensional y debido a la naturaleza de nuestros datos sólo nos
concentraremos en aquellos métodos numéricos que usen un conjunto de
valores discretos que representen el integrando.
Los métodos considerados como simples (trapecio, simpson, etc) y los no
tan simples (Gauss, Romberg) se apoyan del uso de la computadora para
realizar el cálculo más rápido. En el caso de integración numérica aplicada
en algunos problemas de óptica discutidos por Bermúdez [15]; señala que la
mayor frecuencia del uso de la integración numérica es en la teoría de la
difracción. En las integrales de difracción; el integrando es altamente
oscilatorio. Entonces el uso de cualquier de los métodos de integración
requieren de un gran número de valores o bien puntos de cuadratura. Por
ejemplo el método de Filón que usa la regla de Simpson , donde se aproxima
el integrando por una parábola en el intervalo que se desea integrar.
En nuestro caso lo que haremos es usar distintos puntos de cuadratura para
ver el comportamiento de nuestro modelo. La simplicidad que presenta la
formulación de Newton Cotes (N-C), aceptada para valores discretos
equidistantes [16]; entonces se propone por la medición experimental tener
un conjunto de valores discretos y equidistantes. La formulación de N-C usa
13
un polinomio de colocación de grado n. En la figura 2.3 se muestra
gráficamente el número de puntos de cuadratura y la forma del polinomio al
que se refiere dicha cuadratura. Se muestran los casos cuando n=1
conocido como la regla de trapecio y para n=2, polinomio parabólico
Como deseamos resolver la ecuación (5) y lo único que tenemos son los
valores de intensidades en dos planos; en el eje de propagación es decir
),( 0zyI i y ),( 1zyI i en forma discreta a lo largo del eje transversal; donde y
va desde cero hasta el valor máximo de la ubicación del último píxel de la
CCD. También tenemos la diferencia 01 zz − cuyo valor es numérico y
corresponde a la separación que hay entre las dos imágenes que se
capturan, la distancia que se refiere corresponde a la distancia de
propagación y es muy pequeña. Por lo que para resolver la Ec (6) debemos
primero encontrar la variación de la intensidad respecto a z. Después
encontrar las integrales que se refieren en la ecuación (6).
Figura 2.3. Función colocada para la cuadratura numérica.
Debido a la naturaleza de los datos de intensidad equidistantes por la
constitución de nuestro detector, es decir nuestra CCD tiene una matriz de
píxeles los cuales sensan la intensidad que emerge de nuestro sistema
X2 X0 X1
X0 X1
n=1 n=2
14
óptico. Es necesario aproximar la diferenciación o variación de la intensidad
respecto a la propagación a partir de la ecuación (21), pero en forma
discreta y constante en el eje transversal y. Por lo que proponemos que el
primer integrando de la ecuación (6) o (21) tome la siguiente forma
01
01 ),(),(zz
zyIzyIzI ii
−−
≈∂∂ (25)
donde niconvayi 0= , n es la cantidad de valores discretos y
01 zzhz −= , sin embargo más adelante se detallará sobre este hecho.
El método numérico para la Integración necesaria para resolver la Ecuación
Unidimensional del Transporte de Irradiancia.
Como sabemos no es posible integrar la ETI-1D en su forma exacta a partir
de la ecuación
∫ ∫
∂∂
−= dydyzI
Iw 1 , (26)
dado que el integrando zIyf ∂∂= /)( en la ecuación (22) es conocido por
una serie de datos )( iyf entonces se calcula el frente de onda por:
{ }fINTw = (27)
o bien expresado por la ecuación
{ } dydyyfI
fINT i∫ ∫
−= )(1 . (28)
Entonces es posible aproximar el valor de la primera y segunda integral de
la ecuación (26) por una cuadratura, las cuales están definidas en el mismo
intervalo [ ]n,0 para las dos integrales. Por lo que la nueva expresión para
efectuar el cálculo es la siguiente,
15
{ }i
n
i
n
i i
iii
iin zz
zyIzyIyI
fINTw ∑ ∑= =
−−
−==1 1 01
01 ),(),()(
1 αβ (29)
A la ecuación (29) le llamaremos cuadratura numérica para el frente de onda
o fórmula de integración numérica para el frente de onda. Donde n es el
número de puntos, iy son los puntos de cuadratura o nodos y ii βα , son los
coeficientes de cuadratura.
Entonces el problema básico en la integración numérica recae en escoger
adecuadamente los coeficientes de cuadratura tal que { }fINTn sea lo más
aproximado a { }fINT . Es decir que el error de cuadratura { }fEn sea mínimo
o cero.
{ } { } { } 0=−= fINTfINTfE nn . (30)
El método numérico para resolver la ETI-1D y encontrar el perfil de frente de
onda se encuentra en el apéndice E y está programado en Mathcad
versión 2001. Es importante destacar que existen una gran variedad de
métodos para integrar y van de acuerdo a la aplicación. Nosotros nos
referimos a los más sencillos, es decir N-C. Además de que consideramos la
misma cuadratura; es decir, ii βα = .
Hasta este punto podríamos decir que el resultado corresponde al frente de
onda visto de forma ideal y con un valor exacto para una superficie óptica;
sin embargo, debemos incluir la intensidad de referencia 1/ I de la ecuación
por una lado y por otro el ruido de detección.
16
dydyzI
Iw
∂∂
−= ∫∫1
. (31)
Por lo que proponemos un principio de medición que incluya una nueva
solución a partir de una relación de intensidades como una solución a la
ecuación paraxial de onda. Es decir, donde se incluya la intensidad de
referencia. En el esquema de la figura 2.4 se muestra como la relación de
intensidades tienen lugar para el principio que se propone. La intensidad de
referencia (haz de referencia) es capturada por el detector en la posición
(x0,y0,z0), y se representa como ),,(0 zyxI , colocando el sistema bajo prueba
en la trayectoria del haz de referencia se obtiene la intensidad ),,( zyxI .
Figura 2.4. Principio de medición para ETI-1D.
Cabe aclarar que la relación ),,(4/),,( 0 zyxIzyxI en el principio propuesto
fue considerada tomando en cuenta el cálculo de la intensidad para una
rendija iluminada con luz coherente según R. Simon [17 ].
),,(4/),,( 0 zyxIzyxI
Detector
Sistema Óptico. bajo prueba
Detector
),,(0 zyxI
),,( zyxI
Haz de referencia
Haz de referencia
17
Entonces iniciamos primero con la ecuación paraxial de onda, de forma
compleja
022 =
∂∂
−∇ ψz
ki ó 022 =
∂∂
+∇ ψz
ki , (32)
y realizando similar método algebraico al utilizado por Teague en su artículo
de 1983; pero proponiendo, por un lado una función compleja cuya amplitud
sea una relación de intensidades; y por el otro que sea solución de (32).
La relación de intensidades antes mencionadas tiene la forma:
[ ] [ ]),,(exp),,(4/),,(),,( 2/10 zyxizyxIzyxIzyx φψ = , basada en el principio
planteado, y omitiendo el valor de fase constante asociado a la intensidad del
haz de referencia en la exponencial.
El método algebraico de Teague, realiza las derivadas parciales
correspondientes a ),,( zyxψ y al complejo conjugado ),,(* zyxψ ; se
sustituyen en la Ec. (32), después se realiza el álgebra correspondiente en
ambas ecuaciones. Posteriormente se multiplican por su complejo conjugado
y finalmente se restan; es decir, como se indica a continuación,
022*
*2*2 =
∂∂
−∇−
∂∂
−∇ ψψψψψψz
kiz
ki , (33)
si además se propone que zkyxwkzyx += ),(),,(φ , se obtiene un función
compleja con su parte real y su parte imaginaria de la forma,
( ) 0)/(
)()(2 0
0
2
00
=
∂
∂+∇⋅∇+∇+
i
zII
wIIw
IIk
II
ttt (34)
donde λπ2=k , y ),( yxw es el frente de onda, y 2t∇ es el Laplaciano
transversal. Y su módulo de esta función compleja se describe por,
18
02)/(
2
0
2
0
0
=
+
∂∂
+
∇⋅∇ k
II
zII
wII
tt , (35)
entonces se puede desarrollar por una serie para obtener una aproximación
+
∂∂
+
∇⋅∇
−
∂∂
+
∇⋅∇
+
≈
+
∂∂
+
∇⋅∇
4
0
03
0
2
0
0
0
0
2
0
2
0
0
)/(
28
1
)/(
22
122)/(
zII
wII
kII
zII
wII
kII
kIIk
II
zII
wII
tt
tttt
(36)
Si además se considera una dimensión transversal indistintamente para x o
y, al usar tal aproximación a tres términos. Entonces su resultado se iguala
a cero, obteniendo finalmente la siguiente expresión:
.0)/(
28
1
)/(
22
12
4
0
03
0
2
0
0
0
0
=
∂∂
+
∂∂
∂∂
−
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
zII
yw
II
yk
II
zII
yw
II
yk
II
kII
(37)
Ahora bien, si definimos 2
0
0
)/(
∂∂
+
∂∂
∂∂
=zII
yw
II
yp entonces podemos
encontrar una función cuadrática de p,
19
[ ] [ ] 0
28
1
22
12 23
00
0
=
−
+
p
kII
pk
II
kII (38)
Reordenando la última ecuación para simplificar
[ ] [ ] 0
28
28
22
128
1
2822
3
0
3
0
0
3
0
3
00 =
−
+
p
kII
kII
pk
II
kIIk
IIk
II
, (39)
se aprecia que podemos encontrar los valores para p, a partir de
[ ] [ ] 028244
0
2
0
2 =
−
− k
IIpk
IIp ; (40)
Y con la ayuda de:
( )
)1(2
281424244
0
22
0
2
0
−−
−±
−−
=
kIIk
IIk
II
p . (41)
Entonces los valores de p son igual a
)388(3882
0
2
0
2
0
±
=
±
= k
IIk
IIk
IIp (42)
como 2
0
0
)/(
∂∂
+
∂∂
∂∂
=zII
yw
II
yp , entonces volvemos a substituir el valor de
p en la ecuación (42) para encontrar
20
( )388)(2
0
2
0
0
±
=
∂∂
+
∂∂
∂∂ k
II
zII
yw
II
y (43)
Reescribiendo la Ec. (43) obtenemos,
( )388)(2
0
0
0
±
±=
∂∂
+
∂∂
∂∂ k
II
zII
yw
II
y , (44)
al reordenar esta ecuación se puede decir, que encontramos la ecuación de
Teague para la relación de intensidades; pero con un término de más, que es
el radical del lado derecho, si sólo consideraremos la parte real del
argumento, ya que puede ser negativo y reordenamos la ecuación; se
obtiene lo siguiente:
kII
zII
yw
II
y 0
0
0
3222)(
+±∂
∂−=
∂∂
∂∂
(45)
Si desarrollamos la expresión de la derecha de la Ec. (45), entonces
obtenemos:
. kII
IZII
IZII
yw
II
y 020
020
0
0
3222//+±
∂∂−
∂∂−=
∂∂
∂∂
(46)
Como nos interesa que la intensidad de referencia no varíe con la
propagación y como 00
≠II , significa que podríamos restringir para que
valores los términos adicionales se minimicen tal que tiendan a cero, por lo
que, proponemos
21
03222 00 =+±
∂∂
IkzI
, (47)
donde zI∂∂ 0 depende de λπ /2=k , es decir de la longitud de onda. Pero la
pregunta importante es, ¿la dependencia adicional de la longitud de onda en
la ecuación (47) es de consideración o simplemente es despreciable?. Si
resolvemos la ecuación (47) y la graficamos; figura 2.5, claramente se
aprecia que para valores de z cercanos a cero la variación es casi constante
para una determinada longitud de onda.
Figura 2.5. Variación de la intensidad de referencia 0I respecto a z , tomando
en cuenta la longitud de onda del haz de referencia.
De lo anterior se deduce que el término adicional puede ser despreciado
para valores de z cercanos a cero, entonces nos queda
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 106
4
2
0
2
4
65.691
5.691−
e4.675− 2
πλ
z⋅
e4.675 2
πλ
z⋅
ze
4.675 2πλ
z⋅dd
ze
4.675− 2πλ
z⋅dd
1010− z
22
zI
II
yw
II
y ∂∂
−=
∂∂
∂∂
20
0
0 (48)
si integramos una vez la Ec. (48) , obtenemos
120
0
0
cdyzI
II
yw
II
+∂∂
−=∂∂
∫ (49)
Obtenemos la derivada del frente de onda; donde aparentemente no
depende de la intensidad de referencia y de una constante,
Sin embargo si consideramos una distribución de intensidad Gaussiana en
nuestro haz de referencia ,con parámetro de truncamiento σ e intensidad a,
igual a , 2
0yaeI σ−= , (50)
donde para distribución uniforme 0=σ , entonces aI =0 , por lo que si
sustituimos e integramos otra vez obtenemos:
211 cycdydy
zI
Iw ++
∂∂
−= ∫ ∫ (51)
Desde luego podemos omitir los términos adicionales según Teague en su
artículo de 1985, lo que resulta:
∫ ∫ ∂∂
−= dydyzI
Iw 1
(52)
Es decir, para obtener un perfil de frente de onda con un haz de referencia,
se hace necesario considerar la intensidad de referencia y la variación axial
de la intensidad.
23
Si la variación axial de la intensidad se aproxima nuevamente por:
21
21 ),(),(zz
zyIzyIzI ii
−−
≈∂∂ (53)
donde nivayi 0= , siendo n cantidades de valores discretos por la
naturaleza de nuestra detección, por lo que el valor de la primera y segunda
integral de la ecuación (52) se aproxima por una cuadratura definida en el
mismo intervalo [ ]n,0 , resulta entonces la expresión :
i
n
i
n
i i
iii
iii zz
zyIzyIyI
w ∑ ∑= =
−−
−=1 1 21
21 ),(),()0,(
1 αβ (54)
Por lo que, nuevamente, le llamaremos cuadratura numérica para el frente de
onda o fórmula de integración numérica para el frente de onda. Donde n es el
número de puntos, iy son los puntos de cuadratura o nodos y ii βα , son los
coeficientes de cuadratura. Nuevamente los métodos de integración, que
usaremos serán los más sencillos, es decir N-C. Y además consideraremos
la misma cuadratura; es decir, ii βα = .
Al considerar ruido aditivo en los tres datos 21 , ii e 3i asociados a la
intensidad de referencia, a la intensidad en el primer y segundo plano a lo
largo de z; respectivamente, nuestra ecuación toma la forma de la Ec. (55).
i
n
i
n
i i
iii
iii zz
ziyIziyIiyI
w ∑ ∑= =
−
+−++
−=1 1 21
2211
3
),(),()0,(
1 αβ (55)
Para minimizar los efectos del ruido sugerimos tomar en cuenta las
implicaciones respecto al ruido en el contexto de esta tesis. Para mayor
detalle ver el siguiente capítulo.
24
2.3 Modelo teórico para medir el frente de onda con el IDP.
Como señalamos anteriormente el IDP está basado en la interferencia de
dos haces de trayectorias comunes, en esta parte solo revisaremos la
ecuación que describe la interferencia de dos ondas validas en la región
paraxial de interés. Una descripción detallada de lo que acontece en el IDP
se encuentra en el apéndice B. El modelo teórico que describe la
interferencia de dos haces es bien conocido y explicado de forma excelente
en el libro de Born & Wolf ; pero esta vez, suponemos una función de onda
compleja, similar a la del tratamiento teórico de la ETI, valida en la región
paraxial, de la forma
[ ] [ ]),,(exp),,(),,( 12/1
11 zyxizyxIzyx φγ = (56)
y otra
[ ] [ ]),,(exp),,(),,( 22/1
22 zyxizyxIzyx φγ = (57)
con similar validez; de tal forma que la suma de las dos ondas se puede
expresar como:
),,(),,(),,( 21 zyxzyxzyx γγγ =+ , (58)
y el módulo al cuadrado de la superposición será
[ ] [ ]*21212 ),,(),,(),,(),,(),,( zyxzyxzyxzyxzyx γγγγγ ++= , (59)
ó bien de la siguiente forma
[ ] [ ]),,(),,(),,(),,(),,( *2
*121
2 zyxzyxzyxzyxzyx γγγγγ ++= . (60)
Realizando el algebra correspondiente obtenemos;
),,(),,(
),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(*22
*12
*21
*11
2
zyxzyx
zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx
γγ
γγγγγγγ
+
++=
(61)
25
sustituyendo ),,();,,();,,(;),,( *22
*11 zyxzyxzyxzyx γγγγ de las ecuaciones
(56) y (57),
[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }),,(exp),,(),,(exp),,(
),,(exp),,(),,(exp),,(
),,(exp),,(),,(exp),,(
),,(exp),,(),,(exp),,(),,(
22/1
222/1
2
12/1
122/1
2
22/1
212/1
1
12/1
112/1
12
zyxizyxIzyxizyxI
zyxizyxIzyxizyxI
zyxizyxIzyxizyxI
zyxizyxIzyxizyxIzyx
φφ
φφ
φφ
φφγ
−
+−
+−
+−=
(62)
Simplificando un poco,
[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ }.),,(),,(exp),,(),,(
),,(),,(exp),,(),,(
),,(),,(exp),,(),,(
),,(),,(exp),,(),,(),,(
222/1
22
122/1
12
212/1
21
112/1
112
zyxizyxizyxIzyxI
zyxizyxizyxIzyxI
zyxizyxizyxIzyxI
zyxizyxizyxIzyxIzyx
φφ
φφ
φφ
φφγ
−
+−
+−
+−=
(63)
Reordenando los términos de la Ec. (63), [ ] [ ]{ }
[ ] [ ]{ };),,(
),,(),,(exp),,(),,(
),,(),,(exp),,(),,(),,(),,(
2
122/1
12
212/1
2112
zyxIzyxizyxizyxIzyxI
zyxizyxizyxIzyxIzyxIzyx
+−
+−+=
φφ
φφγ
(64)
agrupando
[ ] [ ]{ }[ ] [ ]{ } .),,(),,(exp),,(),,(
),,(),,(exp),,(),,(),,(),,(),,(
212/1
21
122/1
12212
zyxizyxizyxIzyxI
zyxizyxizyxIzyxIzyxIzyxIzyx
φφ
φφγ
−
+−++=
(65)
Reordenando nuevamente la Ec. (65)
[ ][ ] [ ]{ }),,(),,(exp),,(),,(exp
),,(),,(),,(),,(),,(
2112
2/12121
2
zyxizyxizyxizyxixzyxIzyxIzyxIzyxIzyx
φφφφγ
−+−
++=;
(66)
26
si ),,(),,(),,( 12 zyxzyxzyx φφθ −= podemos simplificar un poco más, la Ec.
(54), hasta obtener
[ ][ ] [ ]{ }
2),,(exp),,(exp2),,(),,(),,(),,(),,( 2/1
21212
zyxizyxixzyxIzyxIzyxIzyxIzyx
θθ
γ
−+
++=
(67)
Si 2),,( zyxγ la definimos como la intensidad total ),,( zyxI , y además
suponemos =),,( xyxθ constante, entonces por definición podemos usar la
identidad ( ) ( )[ ] )cos(2/expexp θθθ =−+ ii , entonces la intensidad de la
superposición de las dos ondas toma la forma,
[ ] [ ]),,(cos),,(),,(2),,(),,(),,( 2/12121 zyxzyxIzyxIzyxIzyxIzyxI θ++= . (68)
Si ),,(),,(),,( 021 zyxIzyxIzyxI == en la zona de interferencia, obtendremos:
[ ] [ ]),,(cos),,(),,(2),,(),,(),,( 2/10000 zyxzyxIzyxIzyxIzyxIzyxI θ++= . (69)
Simplificando y realizando el algebra correspondiente, en la Ec. (69),
[ ]),,(cos),,(2),,(2),,( 00 zyxzyxIzyxIzyxI θ+= , (70)
Agrupando entonces se obtiene
{ })cos(1),,(2),,( 0 θ+= zyxIzyxI . (71)
Si rescribimos la ecuación (71) usando la identidad 2)cos(1)2cos( θθ +±=
encontramos,
[ ]20 )2/cos(),,(4),,( θzyxIzyxI = (72)
27
Si definimos a DCO02 λπθ = y lo substituimos en la ecuación (72), donde
0λ es la longitud de onda de la fuente de intensidad y DCO es la diferencia
de camino óptico expresado en cantidades de longitud de onda, obtenemos
la ecuación de interferencia que se reporta en la mayoría de los libros de
texto de óptica,
)(cos),,(4),,(0
20 DCOzyxIzyxI
λπ
= (73)
pero, debe tomarse en cuenta que el argumento de la función coseno
permite valores positivos y negativos de la DCO, y es aquí donde el IDP
cobra importancia; es decir. La posibilidad de poner el micro agujero del IDP
fuera de foco mediante avance circular (de-foco inducido por mover el micro
agujero axialmente) y/o avance lineal (inclinación inducida por mover el micro
agujero del IDP en un plano perpendicular al eje de propagación) según
Acosta et. al. en su artículo del 2006. Además estos avances son fácilmente
introducidos y controlados, lo que permiten elegir un buen interferograma
con franjas bien contrastadas en la región de interés o bien se pueden
grabar varios interferogramas controlando las dimensiones que se derivan
por mover el IDP.
La curva obtenida en cada franja representa una región de fase constante en
el plano de observación. Dos curvas consecutivas están separadas por una
longitud de onda tal y como lo describe la ecuación (73) . Por lo que resta es
realizar el ajuste de las franjas para conocer el frente de onda.
En la figura 2.6 se muestran algunos interferogramas típicos en pruebas
ópticas. Para su posterior análisis de franjas y procesado de ajuste del frente
de onda.
28
a) b) c)
Figura 2.6. Interferogramas clásicos obtenidos en pruebas ópticas para el
análisis del frente de onda: a) interferograma de un sistema óptico libre de
aberraciones, b) interferograma con 025.0 λ de aberración de de-foco en el
sistema óptico bajo estudio y c) interferograma con 025.0 λ de aberración de
esfericidad.
2.3.1 Método para el ajuste del frente de onda por el IDP.
Con los valores (x,y) y su correspondiente número entero de valor que
representa de las curvas obtenidas de los interferogramas, se realiza un
ajuste directo con una combinación lineal de polinomios de Zernike mediante
el método de mínimos cuadrados. Previo al seguimiento de las franjas, es
posible conocer el signo de la aberración de de-foco al observar la forma de
la franja central del interferograma, cuando se cambia el avance (lineal y/o
circular) del IDP.
Con la información recabada, se realiza el ajuste y mantenemos el signo de
todos los coeficientes; de tal forma que si el signo del de-foco derivado del
ajuste coincide con el que se observó; o bien cambiamos el signo de todos
los coeficientes si no corresponde.
El método anteriormente descrito requiere de práctica pero es efectivo y nos
exime de utilizar alguna técnica de corrimiento de fase y/o desenvolvimiento
29
de la fase según Acosta et. al. [18]. Por lo que nos entusiasmamos de que
siendo un método directo, permite visualizar las franjas de fase constante
fácilmente y decidimos utilizarlo para contrastar los resultados con la ETI-1D.
30
CAPITULO 3 DESARROLLO EXPERIMENTAL
En el trabajo inicial de doctorado usamos un banco nodal de laboratorio
implementado por Rodríguez en el 2005 para sensar con el planteamiento
de la ETI un sistema óptico sin simetría esférica o rotacional como el que se
muestra en la figura 3.1, En la Universidad de Santiago de Compostela
usamos el interferómetro de difracción por punto (IDP) para el sensado de
componentes ópticas. Entonces con la experiencia adquirida en la USC
sobre el IDP, nos propusimos modificar el banco nodal del laboratorio de
INAOE para integrarle el IDP y poder contrastar los resultados alcanzados
con la ETI-1D.
Por lo que parte del trabajo de tesis fue implementar diversos arreglos
experimentales para someterlos a prueba y después emplearlos en el
sensado de las componentes ópticas planteadas. Puede afirmarse que
fueron varios los realizados tanto en INAOE como en USC, hasta conseguir
los más adecuados para que nos permitieran aproximar en lo posible el
modelo teórico al experimento. Así como también, nos permitiera obtener la
mejor calidad de datos para la obtención y análisis de un perfil de frente de
onda o un mapa bidimensional de frente de onda.
31
Figura 3.1. Lente de prueba sin simetría rotacional, denominada lente de
Álvarez.
Como resultado final, se tuvieron diferentes versiones de arreglos
experimentales que mejores resultados podrían ofrecernos para ser usados.
A continuación se listan en orden de aparición en el presente capítulo:
1. Arreglo experimental ETI-1D para el sensado por transmisión usando
la ETI-1D.
2. Arreglos experimentales ETI-1D e IDP para el sensado por
transmisión usando la ETI-1D y el IDP.
3. Arreglos experimental IDP para el sensado por transmisión o por
reflexión.
Cabe aclarar que la secuencia de cómo se presentan no corresponde a la
secuencia de su implementación cronológica ni tampoco corresponden a un
orden de importancia, es decir todos son importantes y tienen su aportación.
Además de que en este capítulo describiremos brevemente las componentes
que contienen los arreglos utilizados, plantearemos consideraciones sobre el
procedimiento de alineación, la captura de las imágenes, el ruido en la
intensidad, la calibración del interferómetro y por último el procedimiento de
preparación de las componentes oculares para su sensado con el IDP.
32
3.1 Arreglo para la ETI-1D
El arreglo implementado en el laboratorio de instrumentación se aprecia en la
figura 3.2 y sus elementos son: Como fuente de luz un láser de He-Ne con
632.8 nm de longitud de onda, un filtro circular de densidad óptica variable,
un objetivo de microscopio, un micro orificio de diámetro de 5 µm para la
limpieza del haz, una lente colimadora provista de una montura mecánica
acanalada para guiarla sobre un riel, una montura mecánica giratoria provista
Figura 3.2. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)
del arreglo ETI usado para el sensado de superficies con simetría rotacional
en eje y fuera de eje por transmisión en forma unidimensional.
Láser
Filtro Objetivo demicroscopio
Filtro espacial Lente bajoprueba
Lentecolimadora
Rendija
Sistema de enfoque
CámaraCCD
Filtro
33
de una platina en dirección z para trasladar y girar la lente bajo prueba y
permita la búsqueda de los puntos nodales del elemento bajo prueba, en la
figura 3.3 se aprecia esta montura con mayor detalle, una cámara CCD
C2400 del fabricante Hamamatzu provista con un sistema de enfoque y
soportada en una platina con desplazamiento en la dirección z, una tarjeta de
video NI-1410 del fabricante National Instruments, una PC para la captura de
las imágenes y procesado de la información, un riel fijado en una mesa de
trabajo.
Figura 3.3. Montura para la lente de prueba.
Los elementos ópticos y mecánicos del arreglo nos permiten tener la fuente
en eje y fuera de eje sin modificarlo apreciablemente. Es decir, si nos
apoyamos de los puntos nodales del propio sistema óptico a evaluar, en el
caso de que fuera de simetría esférica; entonces se puede analizar un perfil
del frente de onda cuando la fuente esta en eje y fuera de eje. Aspecto por
demás importante, porque la mayoría de los sistemas de prueba siempre lo
hacen cuando la fuente está en eje.
34
Para usar la ETI-1D es necesario calcular la variación de la intensidad
respecto al eje de propagación, entonces debemos tomar intensidades en
dos distintos planos a lo largo de z; por lo que el detector debe desplazarse
estrictamente en esa dirección, por lo que la alineación del arreglo es muy
importante y decisiva para obtener resultados correctos; más adelante se
describe el procedimiento de alineación en la siguiente sección 3.2 que
asegura esta restricción.
3.2 Arreglo para la ETI-1D e IDP
El arreglo ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión unidimensional
contiene los componentes del arreglo anteriormente descrito, más un divisor
de haz; un IDP soportado por una platina x-y-z y atra cámara CCD. En este
arreglo, la rendija está soportada en una montura x-y para que permita
escanear la superficie bajo prueba; un arreglo esquemático y una fotografía
de lo implementado se encuentra en la figura 3.4.
Cabe destacar que ambas cámaras CCD son Sony modelo XC-ST50 y están
conectadas en una tarjeta National Instrumets modelo NI 1407; Sin
embargo, es posible solo integrar el IDP para contrastar los dos métodos, en
la figura 3.5 se muestran un diagrama esquemático y una fotografía de cómo
puede ser implementado con una sola cámara. Es decir este arreglo es
similar al primero pero sin la lente de enfoque en la CCD y con un IDP. En la
fotografía se omite la parte de la fuente y filtrado para mostrar el IDP y su
respectiva platina x-y-z.
35
Figura 3.4. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)
del arreglo ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión.
Láser
Objetivo demicroscopio
Filtro espacial
Lente bajoprueba Lente
colimadora
Rendija
Sistema de enfoque
CámaraCCD
CámaraCCD
Divisor dehaz
IDP
36
Figura 3.5. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)
del arreglo ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión usando una
cámara.
3.3 Arreglo IDP
El arreglo experimental IDP para el sensado por transmisión se muestra en la
figura 3.6; este contiene como fuente de luz un diodo láser a 635 nm de
longitud de onda, un objetivo de microscopio, una lente colimadora, un
diafragma, el IDP, una pantalla. Todos estas componentes soportadas por
monturas guiadas de forma compacta mediante cuatro postes de alta
Láser
Objetivo demicroscopio
Filtro espacial
Lentecolimadora
Lente bajoprueba
IDP
CámaraCCD
IDP
Rendija
37
precisión mecánica, una PC para el almacenamiento y procesado de las
imágenes y por último una cámara CCD marca Pulnix para la captura de los
interferogramas. Es importante comentar que la disposición modular de este
tipo de monturas optomecánicas, permiten mantener alineado el arreglo y
dan gran versatilidad para la obtención de los interferogramas.
En la fotografía de la figura 3.6 se aprecia una cubeta óptica de caras plano
paralelas donde se coloca el espécimen intraocular para ser analizado.
Desde luego este arreglo experimental no contiene la lente focalizadora
posterior al sistema óptico bajo prueba como el descrito en el artículo de
Acosta del 2006, dado que el mismo objeto se usó como concentrador del
haz.
Figura 3.6. Fotografía deI arreglo IDP para el probado por transmisión.
Láser
Objetivo demicroscopio
Lentecolimadora
IDP
CámaraCCD
Diafragma
Objeto bajoprueba
Pantalla
Sistema deenfoque
38
Para el caso del arreglo para el IDP por reflexión no fue posible ensamblarlo
con los elementos optomecánicos modulares, en su lugar se ensambló un
arreglo con el material disponible. Los componentes utilizadas fueron: Un
diodo laser a 635 nm de longitud de onda, como fuente de luz; un objetivo de
microscopio, un micro orificio para la limpieza del haz, una lente colimadora,
un divisor de haz; una lente concentradora, una montura x-y-z para el
soporte del componente bajo prueba, una lente focalizadora, el IDP
soportado en una platina x-y-z, una pantalla y por último una cámara CCD
Pulnix provista con su sistema de enfoque; desde luego todos los
componentes con su respectiva monturas. La figura 3.7 muestra un diagrama
esquemático del arreglo y en la figura 3.8 una fotografía.
Figura 3.7. Diagrama esquemático del arreglo IDP para el sensado por
reflexión, con este se sensaron la córnea y el cristalino.
Láser
Objetivo demicroscopioFiltro espacial
Lentecolimadora
Sistema de enfoque
CámaraCCD
IDP
Pantalla
Lente concentradora
Divisor de haz
Lente focalizadora
Superficie bajo prueba
39
Por los elementos a sensar, el arreglo experimental se dispuso en forma
vertical y fue necesario utilizar una placa metálica robusta para mantenerlo
libre de variabilidad mecánica. Aunque más adelante se describe un ejemplo
de alineación de las componentes, es importante comentar que el alineado
de este arreglo no es trivial. Por lo que debe hacerse con similares
recomendaciones al que se describe.
Figura 3.8. Fotografía del arreglo IDP para el sensado por reflexión, con este
se sensaron la córnea y el cristalino.
Otro arreglo experimental para sensar por transmisión con variación de
convergencia o divergencia del haz se consiguió modificando el instrumento
anterior al colocar un espejo plano en lugar de la lente de prueba, un cubo
divisor en lugar de un divisor de película, un láser de He-Ne en lugar de un
diodo láser, la lente de prueba se ubica posterior a la lente focalizadora y no
40
se tiene un filtro espacial. En la figura 3.9 se muestra un diagrama
esquemático y una fotografía del arreglo.
Figura 3.9. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)
del arreglo IDP para el sensado por transmisión de lentes intraoculares
variando el haz de referencia.
Objetivo demicroscopio
Lentecolimadora
Sistema de enfoque
CámaraCCD
IDPPantalla
Lente concentradora
Divisor de hazHaz láser
Espejo
Lente para variarvergencia del haz
Lente bajo prueba
41
En la figura 3.10 se muestra con mayor detalle la zona cercana al IDP en el
arreglo experimental.
Figura 3.10. Detalle de la montura para el sensado de lentes intraoculares
variando el haz de referencia.
42
3.4. Procedimiento para la alineación
En esta parte se da un ejemplo del procedimiento para la alineación del
banco nodal del laboratorio para el caso de la ETI-1D. Aunque no se
describe el proceso de alineación para todos los instrumentos deben tomarse
en cuenta similares recomendaciones. Básicamente el alineado consta de los
siguientes pasos importantes, alineado del haz, alineado de la rendija,
obtención de la colimación y captura de las imágenes, de vital importancia
para obtener los mejores resultados. A continuación se describe cada paso.
Paso 1.- Primero ponemos dos tornillos a lo largo de la misma línea de hoyos
en dos posiciones: #1 (cerca) y #2 (lejos) sobre la mesa óptica. Esto se
muestra en la figura 3.11.
Paso 2.- Un riel guía plano es puesto cerca de la cabeza de los tornillos de
tal forma que una de sus orillas toque las cuatro cabezas de los tornillos y
permita alinear el riel, figura 3.12 a). Entonces el riel es fijado con cuatro
uñas, como se muestra en la figura 3.12 b).
Paso 3.- El láser es alineado a ojo de tal forma que quede paralelo y alineado
a la línea blanca impresa en la parte superior del riel, como se muestra en la
figura 3.13.
Paso 4.- Un iris es puesto en la posición #1 sobre el riel, es ajustado a la
altura del haz láser de tal forma que el haz atraviese el iris, como se muestra
en la figura 3.14.
Paso 5.- El iris es trasladado a la posición #2. Si el haz atraviesa el iris,
entonces el haz está alineado porque el iris fue trasladado a lo largo de una
línea paralela con la línea del riel desde la posición #1 a la #2. Si el haz no a
43
traviesa el iris en la posición #2 entonces el haz debe ser direccionado
mediante la montura de inclinación del láser, como se muestra en la figura
3.15.
Paso 6.- Repita los dos pasos anteriores hasta que el alineamiento del haz
converja.
Paso 7.- Un filtro es puesto en frente del haz, como se muestra en la figura
3.17. Si el haz a traviesa el iris en la posición #2, entonces el haz está
alineado porque el filtro no altero la dirección de haz dado que el iris fue
trasladado a lo largo de una línea paralela con la línea del riel desde la
posición #1 a la #2. Si el haz no a traviesa el iris en la posición #2 entonces
el filtro debe ser ajustado tal que el haz sea re direccionado y atraviese el
iris, como se muestra en la figura 3.17.
Paso 8.- Repita el paso anterior hasta que el alineamiento del haz converja.
Paso 9.- Después coloque una cámara CCD cerca de la posición #2 tal que
el haz este localizado al centro de la matriz de CCD, como se muestra en la
figura 3.19. También la CCD puede ser usada en lugar del iris para los
pasos 4 , 5 y 6 para un ajuste más fino, por lo que es recomendable
realizarlo e igualmente repita la secuencia hasta que el alineamiento del haz
converja, ver figura 3.18.
Paso 10.- El próximo paso es poner la rendija frente al haz cerca de la
posición #1. Si el haz atraviesa la rendija entonces está alineada en una
dirección transversal, x, porque cualquier punto a lo largo del riel entre la
posición #1 y #2 está alineado o paralelo con el haz, y si además la imagen
del patrón de difracción de la rendija es visualizado en el centro de la matriz
de CCD y alineado con los pixeles verticales y horizontales, entonces la
44
rendija está alineada en el otro eje trasversal, y. Es decir la rendija está
alineada. Si el haz no atraviesa la rendija y el patrón de difracción de la
rendija no es visualizado en el centro de la matriz de CCD y además no
alineado con los pixeles verticales y horizontales de la CCD, entonces la
rendija no está alineada en ambos ejes. Entonces la rendija debe ser
ajustada, sea inclinando o trasladándola con la montura x-y que la soporta,
hasta que la rendija y el patrón de difracción de esta este centrado y alineado
con la matriz de CCD. Esto se muestra en la figura 3.19.
Paso 11.- Repita el paso anterior hasta que el alineamiento de la rendija
converja en ambas direcciones.
Paso 12.- Por este paso debe verse el patrón de difracción bien alineado en
la CCD. El próximo paso es poner la lente colimador frente al haz y cerca de
la posición #1. La lente es ajustada tal que el haz atraviese la rendija y el
patrón de difracción este alineado en la CCD como en el paso anterior., ver
figura 3.21.
Paso 13.- Repita el previo paso hasta que la lente colimador quede alineada
tal que el haz la atraviese en su eje óptico y no modifique el alineado del
patrón de difracción de la rendija. El resultado de este paso y quizás de los
anteriores depende mucho de la calidad de las monturas opto mecánicas.
Ver figura 3.22.
Paso 14.- Un sub-ensamble que integra un objetivo de microscopio y un
micro agujero es puesto en frente del haz, cercano a la posición #1 con el
objeto de expandir y limpiar el haz. El objetivo de microscopio y el micro
agujero son ajustados hasta que el primer orden de difracción del micro
agujero pase por la lente colimador y además que el haz a traviese la rendija
y el patrón de difracción de la rendija este centrada y alineada con la matriz
45
de CCD. En este paso el tamaño del patrón de difracción de la rendija
cambia, a pesar de ello, el patrón debe estar centrado en la matriz de CCD.
Asegúrese que la distancia entre la lente colimador y el micro agujero
corresponda aproximadamente a la distancia de la longitud focal de la lente
colimador. En la figura 3.23 se muestra este paso.
Paso 15.- El próximo paso es poner un interferómetro de desplazamiento
lateral (IDL, inventado por Murthy) frente a la lente colimador tal que el haz
reflejado sea perpendicular al haz refractado, o bien perpendicular al riel.
Entonces se procede a poner una pantalla de observación. Ajustar una
distancia z , con la ayuda de la montura de traslación-z de la lenta colimador
tal que los dos haces procedentes del IDL interfieran en el aire y generen un
patrón de difracción con pocas franjas rectas de igual espesor y orientadas
horizontalmente, es decir paralelas a la dirección de propagación, como se
muestra en la figura 3.24.
Paso 16.- Repita el paso previo hasta que el alineamiento de las franjas
converja, figura 3.25.
Paso 17.- Retire con cuidado el IDL y coloque el sistema bajo prueba
cercano a la rendija, como se muestra en la figura 3.26.
Paso 18.- Coloque la lente zoom en la CCD y enfoque el plano de la rendija
y capture la primera imagen (con un muestreo de 10 imágenes) , ver figura
3.27.
Paso 19.- Traslade la CCD a lo largo de eje z con la ayuda de la montura de
traslación a la distancia correspondiente con el uso del micrómetro y capture
la segunda imagen (con un muestreo de 10 imágenes). Ver figura 3.28 y
figura 3.29
46
Figura.- 3.11 Paso #1 Figura.- 3.12 a) Paso #2
Figura.- 3.12 b) Paso #2 Figura.- 3.13 Paso #3
Figura.- 3.14 Paso #4 Figura.- 3.15 Paso #5
Figura.- 3.16 Paso #6 Figura.- 3.17 Paso #7
47
Figura.- 3.18 Paso #9 Figura.- 3.19 Paso #10
Figura.- 3.20 Paso #11 Figura.- 3.21 Paso #12
Figura.- 3.22 Paso #13 Figura.- 3.23 Paso #14
Figura.- 3.24 Paso #15 Figura.- 3.25 Paso #16
48
Figura.- 3.26 Paso #17 Figura.- 3.27 Paso # 18
Figura.- 3.28 Paso #19 Figura.- 3.29 paso #19
3.5 Procedimiento para la captura de imágenes.
En el caso de la captura de las imágenes de intensidad que se requieren
para la ETI-1D debe tomarse en cuenta la invariabilidad de las imágenes de
forma más estricta que la captura de las imágenes de los interferogramas
generados por el IDP. A continuación se comenta consideraciones
experimentales que deberán tomarse en cuenta.
3.5.1 Para la ETI-1D
Aunque en el procedimiento del alineado se menciona sobre la captura de
las imágenes en los últimos dos pasos, debe tomarse en cuenta que la
estabilidad electrónica del sensor CCD y la estabilidad de la fuente son
importantes. Por lo que se deberá esperar al menos 30 minutos para la
captura, dicha demora se requiere para garantizar la estabilidad térmica de
49
los dispositivos. Por otro lado debe considerarse la selección correcta del
sistema de enfoque que se coloca en la cámara CCD con el objeto de que
se garantice el buen registro de las imágenes de intensidad respecto a la
distancia mínima que separa las imágenes necesarias para calcular la
variación axial de la intensidad. Este concepto se minimiza al proveer a la
montura de la CCD de una platina en la dirección z. Desde luego nosotros
fijamos la distancia de forma experimental, un análisis más riguroso requiere
que se tome en cuenta el tamaño de pixél, el número f del sistema de
detecciónón y la distancia que separa la cámara CCD de la rendija. Es decir
conocer analíticamente que distancia mínima se requiere para que garantice
que hay una diferencia detectable y que no sea atribuida al ruido. Por lo que
más adelante se discutirá lo relacionado con el ruido presente en las
imágenes en ese sentido.
3.5.2 Para el IDP
Para la captura de los interferograms nos apoyamos de una pantalla hecha
de papel encerado tal que las franjas de interferencia aparezcan bien
contrastadas. Desde luego debe asegurarse que la pantalla se encuentre
perpendicular al eje óptico del instrumento.
50
3.6 Análisis del ruido en la prueba.
En esta sección se discute el tema del ruido y como se toma en cuenta en el
probado de un sistema óptico a través de la ecuación del transporte de
irradiancia (ETI) y del probado a través del interferómetro de difracción por
punto (IDP), en esta propuesta.
3.6.1. Ruido en la ETI.
En esta parte se discute brevemente el concepto de ruido y sus
implicaciones para realizar la prueba óptica a través de la ETI. Para abordar
el ruido que pudiera existir se revisan cuales son las características prácticas
en relación al ruido presente en una CCD. Después se da una propuesta de
programa para generar la curva de transferencia del fotón.
3.7 ¿Qué es el ruido en la ETI?.
El concepto de ruido juega un papel muy importante cuando se reportan
resultados experimentales. En nuestro caso, la simple captura de la
irradiancia por una cámara CCD monocromática, lleva implícito el ruido de
lectura; entonces al resolver la ecuación del transporte de irradiancia (ETI)
con información ruidosa nuestro resultado se espera ruidoso también.
En el artículo de Marcos Soto del 2007, proporciona una propuesta
relacionada con el ruido para el sensor de curvatura, empleado en óptica
adaptiva para compensar las distorsiones introducidas por la turbulencia
atmosférica en imagenología astronómica. Este sensor tradicionalmente ha
utilizado fotodiodos de avalancha (APDs) debido a su requerimiento estricto
con el tiempo de integración y bajo nivele de ruido de lectura. En nuestra
propuesta al usar la CCD como elemento principal para detectar la irradiancia
hace necesario revisar como se involucra el ruido por este dispositivo.
51
Pero primero que es el ruido en el contexto de esta propuesta de tesis; el
ruido lo definiremos como “señales de intensidad espurias recibidas en la
CCD no asociadas al frente de onda que emerge de la superficie bajo
prueba”. Con esta definición uno podría entrar en cuestionamiento por el
término de ruido. Ya que no nos referimos; por ejemplo, de cómo se afectan
los resultados por el ruido que pudiera estar presente en la intensidad que
emerge de la fuente de iluminación o el ruido propio de la mecánica del
instrumento, solo nos concentraremos al ruido que pudiera estar presente en
el detector CCD.
¿Que es lo que deberíamos tener cuidado con nuestra definición ?, Como
especialistas en pruebas ópticas, los datos y herramientas con las que
disponemos para poder conocer la calidad óptica de un sistema bajo prueba,
siempre tenderán a minimizar o maximizar características ruidosas que
algunas veces, no nos preocupa explicarlas o tomarlas en cuenta. Si
aceptamos nuestros datos absolutamente exactos, entonces estaremos
equivocados ya que como es bien conocido, no es posible obtener
exactamente lo que predice un modelo teórico. La solución a la ecuación
del transporte de irradiancia por el método propuesto es solo una
aproximación, por consiguiente para poder trabajar con la ETI en relación al
ruido proponemos cuatro implicaciones.
3.8 Implicaciones en la prueba óptica a través de la ETI por el ruido.
1.- Realizar el experimento de forma repetitiva y promediar cuando menos los
datos, este paso nos permite reducir el ruido de la señal de intensidad como
tal. El criterio aquí, sería que la correlación del ruido tendiera a cero para
diferentes experimentos.
52
2.- Establecer condiciones de ruido a priori, como por ejemplo establecer una
función de ruido como en el trabajo de Soto, pero para una CCD en lugar de
APD. De igual forma aquí la correlación es importante.
3.- Tomar la decisión de cuán bien los datos se han ajustado. Por ejemplo
en el procedimiento de ajuste de mínimos cuadrados es deseable conocer el
nivel de ruido y que datos son reales o de interés para ser ajustados. Pero
sobre todo que datos son realmente útiles y cuáles no.
4.- Por último, realizar otro método de prueba al sistema óptico bajo análisis.
El método alterno, propuesto fue usar el interferómetro de difracción por
punto y al probar de forma simultánea se puede comparar los resultados de
los dos métodos, obviamente si el IDP está calibrado la comparación será
bien recibida.
3.9 Características practicas para conocer el ruido en el detector CCD.
Lo que nos interesa aquí es cuantificar de alguna forma la intensidad de
referencia que se recibe en el detector cuando la rendija esta puesta y no se
tiene un sistema óptico bajo prueba es decir conocer Io que se supuso
uniforme y constante, como un paso adicional a lo que se realizo
anteriormente de solo cuantificar el histograma y la variación de la fuente de
iluminación respecto del tiempo tanto para una fuente láser como para una
de luz blanca. Entonces, brevemente describiremos cuales son los
parámetros comunes de naturaleza ruidosa en una CCD de forma práctica, y
posteriormente describiremos nuestro método en relación al ruido en ese
sentido.
Una técnica fundamental para medir el desempeño de una CCD es la curva
de transferencia del fotón (photon transfer curve, PTC), desarrollada por
53
Janesick et. al. [19]. Esta técnica permite medir y juzgar el desempeño de un
sistema de detección visto como una caja negra. Esta curva indica como la
señal es procesada por el detector. Los parámetros comunes de medida
como son ruido de procesado, ganancia, eficiencia cuántica entre otros
parámetros. Son cubiertos usando la PTC. La curva tiene tres diferentes
regiones de ruido. La primera región es la de ruido de lectura (readnoise);la
segunda, ruido de exposición (shot noise) y por último el patrón de ruido fijo
(fixed pattern noise).
Región -1: El ruido de lectura es el ruido asociado con el amplificador de
salida de la CCD y la electrónica de lectura (por ejemplo el procesado de
señal, la digitalización etc). Esto es el ruido intrínseco del sistema para una
imagen obscura, no en el sentido estricto de oscura desde el punto de vista
de la respuesta al ancho espectral de la CCD; es decir, el ruido que es
independiente de la señal de entrada.
Región-2: El Ruido de captura es proporcional a la raíz cuadrada de la señal
de entrada, es decir la zona sensitiva.
Región-3: El patrón fijo de ruido se presenta cuando hay altos niveles de
iluminación. Este ruido resulta por la diferencia en la sensibilidad de los
pixeles causada por la manufactura propia del los pixeles. Es también
llamado respuesta no uniforme del píxel (Pixel Response Nonuniformity,
PRNU).
La gráfica que se muestra en la figura 3.33, es la curva típica que se
describió en líneas anteriores.
54
Figura 3.30. Curva típica de la transferencia del fotón, la grafica tiene tres
diferentes regiones de ruido. La primera región es la de ruido de lectura
(readnoise);la segunda, ruido de exposición (shot noise) y por último el
patrón de ruido fijo (fixed pattern noise).
La propuesta de resolver la ETI de forma unidimensional significó que solo
consideramos una línea de pixeles. Sin embargo, por cuestiones prácticas
nuestra supuesta línea resulto una imagen rectangular de valores de pixeles.
Con un eje con mayor numero de pixeles que en el otro eje. Por lo que se
decidió promediar los valores en tonos de grises o escala de grises (EG) del
eje con menor número de pixeles.
Los valores promedio Si calculados para cierto nivel de intensidad para la
imagen de )(0 EGI fueron calculados con la ecuación número 1.
p
oii N
SSS −= (1)
Donde, iS es el valor promedio sobre la dimensión con menor número de
pixeles en escala de gris del i-ésimo píxel en la dimensión de interés, es decir
la de mayor número de pixeles. Np es el número de pixeles en el área de
Nivel de señal de entrada
Ruido
Region-1 Region-2 Region-3
55
pixeles n por m. oS es el valor promedio de la intensidad en escala de gris de
la misma imagen formada por los n x m pixeles.
A continuación mostramos un ejemplo de lo anterior. Suponga que tenemos
los siguientes valores de intensidad en escala de gris recibida )(0 EGI en el
detector, cuando EG=10. Entonces encontramos,
oS = ( 4+2+8+5+6+7+3+2+1+4+7+6+5+8+9+2+5+0 ) / (3x6) = 4.6
y el número de pixeles son,
pN = m x n = 3 x 6= 18
por lo que
)10()( 00 IEGI = iS p
oi
NSS − iS
La varianza se calcula con la ecuación 2 de la desviación estándar.
( )
p
n
ioi
N
SSEG
∑=
−= 1
2
)(σ (2)
De los datos del ejemplo anterior se tiene lo siguiente:
]/184.6)-(-0.374.6)-(0.454.6)-(0.174.6)-(-0.434.6)-(0.234.6)-[(0)10( 222222 +++++=σ
)10(σ =2.4
4 2 85 6 73 2 14 7 65 8 92 5 0
(4+2+8)/3= 4.6(5+6+7)/3= 6(3+2+1)/3= 2(4+7+6)/3= 5.6(5+8+9)/3= 7.3(2+5+0)/3= 2.3
(4.6-4.6)/18= 0(6.0-4.6)/18= 0.23(2.0-4.6)/18= -0.43(5.6-4.6)/18= 0.17(7.3-4.6)/18= 0.45(2.3-4.6)/18= -0.37
00.23
-0.430.170.45
-0.37
56
Hasta aquí se muestra como se obtienen los valores de los ejes para la curva
PTC, pero para una implantación práctica se requiere de mucho más datos si
tomamos en cuenta que tenemos de 0 a 255 en la escala de grises, es decir
tenemos que EG es válido en el rango 10 ≤≤ EG si normalizamos para
)(0 EGI , por consiguiente )(EGσ también.
Dadas las restricciones técnicas de nuestro laboratorio lo que hicimos fue
usar una serie de filtros que nos permitió variar la intensidad que se recibe en
el detector, sin embargo sería mejor usar un filtro variable como se muestra
en la figura 3.31. Nuestra caracterización fue con una serie de filtros, por lo
que la caracterización fue de forma discreta. Con los datos procesados se
logró establecer la función )(2 EGσ = f( )(0 EGI ).
Figura 3.31. Filtro variable frente al haz que emerge de un láser He-Ne
comercial.
57
En líneas más abajo se muestra el programa (listado 0) utilizado para hallar,
los valores de la variancia, la media y la distribución de frecuencias. Cabe
aclarar que para generar la PTC, es importante considerar que el valor
máximo de la normalización sea 255.
Listado 0
Figura 3.32. Imagen de la Intensidad recibida en el detector CCD, X5 , y la
imagen de la intensidad de interés S2 para ser analizada, extraída de la
imagen X5, para propósito de cómo funciona el programa no corresponde a
una de la utilizadas para generar la PTC
1.- Lectura de la intensidad
X5 READ_IMAGE "rendija navaja 200 micras distancia 000.bmp"( ):=c cols X5( ):= c 488= r rows X5( ):= r 480=
S2 submatrix X5 63, 360, 206, 212,( ):=
numero de columnas: Numero de renglones:c cols S2( ):= r rows S2( ):=
c 7= r 298=
X5
S2
58
2.- Matriz de la imagen en tonos de gris de la subapertura S2
S2
0 1 2 3 4 5 6
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0 13 28 36 43 32 70 16 42 53 59 46 13
0 20 55 70 77 58 18
0 18 57 78 83 60 19
0 18 57 76 76 53 16
0 21 52 61 59 39 12
0 21 53 52 46 31 8
0 21 53 49 49 37 10
0 22 59 65 71 56 19
0 26 60 47 41 26 6
0 21 58 46 46 29 7
0 21 53 54 48 37 11
0 22 52 62 65 48 15
0 19 55 61 66 46 13
0 20 52 58 60 43 13
0 21 52 58 61 41 11
=
3.- Normalización de la intensidad
M rows S2( ):= M 298= N cols S2( ):= N 7=
I H( ) r 0←
c 0←
Mr c,0
N 1−
j
Hi j,
N∑=
←
r r 1+←
i 0 M 1−..∈for
M
:=
NI H VM,( ) r 0←
c 0←
Mr c,
Hi c,
VM←
r r 1+←
i 0 M 1−..∈for
M
:= max I S2( )( ) 63.857=
min I S2( )( ) 21.857=
59
int j lower h j⋅+:=
j 0 bin..:=hupper lower−
bin:=
upper ceil max v( )( ):=lower floor min v( )( ):=
6.-Distribución de frecuencias:
ss 0.146=ss stdev v( ):=DS
ms 0.698=ms mean v( ):=Media
n 298=n length v( ):=Tamano
5.-Tamano, media y desviación estandar:
bin 30:=
4.- Aqui se ingresa la cantidad de marcas de clase:
v NI I S2( ) max I S2( )( ),( ):=
NI I S2( ) max I S2( )( ),( )
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.3560.512
0.667
0.705
0.662
0.546
0.472
0.49
0.653
0.461
0.463
0.501
0.591
0.582
0.55
0.546
=I S2( )
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
22.71432.714
42.571
45
42.286
34.857
30.143
31.286
41.714
29.429
29.571
32
37.714
37.143
35.143
34.857
=
Valores normalizados Valores en escala de gris, EG
60
Figura 3.33. Histograma de los tonos de gris recibidos. En este caso el tono
de gris se normalizo al valor máximo promedio.
Para poder generar la PTC, como lo comentamos anteriormente, se debe
considerar como valor máximo de normalización el valor de 255. Por lo que el
programa (Listado 1) antes descrito modifica sus parámetros como sigue:
f hist int v,( ):= int int 0.5 h⋅+:=
7.-Función de ajuste
F x( ) n h⋅ dnorm x ms, ss,( )⋅:=
0 0.5 10
20
40
Histograma Dist. Normal
61
ss 0.037=ss stdev v( ):=DS
ms 0.175=ms mean v( ):=Media
n 298=n length v( ):=Tamano
5.-Tamano, media y desviación estandar:
bin 40:=
4.- Aqui se ingresa la cantidad de marcas de clase:
v NI I S2( ) 255,( ):=
NI I S2( ) 255,( )
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.0890.128
0.167
0.176
0.166
0.137
0.118
0.123
0.164
0.115
0.116
0.125
0.148
0.146
0.138
0.137
=I S2( )
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
22.71432.714
42.571
45
42.286
34.857
30.143
31.286
41.714
29.429
29.571
32
37.714
37.143
35.143
34.857
=
Valores normalizados Valores en escala de gris, EG
62
Figura 3.34.- Histograma de los tonos de gris recibidos para cada píxel. En
este caso el tono de gris se normalizo al valor que pudiera recibir la CCD, es
decir 255.
0 0.5 10
50
100
150
Histograma Dist. Normal
F x( ) n h⋅ dnorm x ms, ss,( )⋅:=
7.-Función de ajuste
int int 0.5 h⋅+:=f hist int v,( ):=
int j lower h j⋅+:=
j 0 bin..:=hupper lower−
bin:=
upper ceil max v( )( ):=lower floor min v( )( ):=
6.-Distribución de frecuencias:
ss 0.037=ss stdev v( ):=DS
ms 0.175=ms mean v( ):=Media
n 298=n length v( ):=Tamano
5.-Tamano, media y desviación estandar:
bin 30:=
4.- Aqui se ingresa la cantidad de marcas de clase:
63
En la figura 3.35 se muestra la PTC obtenida empleando el método antes
descrito para conocer el ruido en la CCD.
Figura 3.35. PTC obtenida usando filtros y una fuente de luz láser.
3.10 Otra alternativa para determinar la curva de transferencia del fotón.
En esta parte se describe otro procedimiento empleado para determinar la
curva de transferencia del fotón para nuestro sistema de detección. La
prueba consistió en capturar una serie de imágenes en tonos de gris de una
pantalla LCD plana de computadora marca samsung modelo X con dos tipos
de lentes zoom. Las imágenes de intensidad se generaron con la ayuda de
un programa en mathcad. En líneas más abajo se muestra el programa
utilizado para generar las imágenes sin (Listado 1) y con ruido aleatorio
(Listado 2). En la Figura 3.36 se muestran dos mapas bidimensionales, que
fueron generados en escala de gris, donde las filas de píxel van variando de
0
1
2
3
4
5
6
0 50 100 150 200 250
Des
viaci
ónes
tand
ar
Niveles de gris (señal de entrada)
64
forma lineal, es decir de 0 a 255 en tonos de gris de forma aritmética, E1 de
forma ideal y E2 al introducir ruido aleatorio a cada píxel. Además se
muestra un perfil.
Figura 3.36.- Simulación de imagen unidimensional en tonos de gris con
ruido aleatorio en cada píxel imagen E1 y simulación sin ruido E2, Diferencia
de perfiles en la columna 64 de ambas situaciones (E1 y E2).
Programa para generar una imagen con ruido aleatorio en cada píxel
Listado 1
E1 E2
MachBand M p,( ) NMp
←
T256p
1−←
Bi matrix M N, zero,( )←
X Bi←
B Bi jT.82⋅+←
X augment X B,( )←
j 1 p..∈for
X
:=
Perfiles unidimensionales
Pixeles
Niv
eles
de G
ris
235.69
E164 j,
E264 j,
2560 j
Perfiles unidimensionales
Pixeles
Niv
eles
de G
ris
235.69
E164 j,
E264 j,
2560 j
65
Listado 2
Una vez que se generó la imagen aritmética se procedió a desplegarla en la
LCD y se capturaron una serie de imágenes para el análisis con las
condiciones de nuestro laboratorio. En la figura 3.37 se muestra el arreglo
esquemático empleado para la capturar de las imágenes, cabe aclarar que
no se utilizó la rendija como en el procedimiento anterior; es decir se capturó
en el plano de la pantalla. La CCD como la pantalla usan la misma
computadora.
Figura 3.37. Arreglo esquemático para hallar la PTC utilizando una pantalla
plana de LCD.
PTCBand M p,( ) NM1p
←
T2561p
1−←
Bi matrix M N, zero,( )←
X Bi←
Bi Bi if rnd 1( )12
< 5−, 5,
+←
B Bi jT.87⋅+←
X augment X B,( )←
j 1 p..∈for
X
:=
CCDzoomPantalla LCD
66
El siguiente programa (Listado 3) se usó para encontrar la PTC con luz
blanca procedente de una pantalla de LCD.
Listado 3
Lectura de imágenes:
Análisis de la imagen:
Figura 3.38.- a) Análisis de intensidad en una columna del CCD
mat3 READ_IMAGE "F:\23 Tesis Doctorado\programas\photon transfer curve\a bmp\ruido ccd 27.bmp"( ):=
c cols mat3( ):= c 644= r rows mat3( ):= r 480=
zoom 1 zoom 2
S2 submatrix mat3 120, 430, 200, 400,( ):= S2 submatrix mat3 0, 470, 200, 500,( ):=
c cols S2( ):= c 301= r rows S2( ):= r 471=
g S2:= i 0 471..:=
0 100 200 300 400 50050
0
50
100
150
200
250
300
gi 150,
gi 200,
gi 10,
E164 i,
E264 i,
i S2
i
nive
l de
inte
nsid
ad
El i-esimo píxel de la columna
67
Figura 3.38.- b) Análisis de intensidad en una columna del CCD.
Análisis de datos:
0 50 100 150 200 250 3000
50
100
150
g150 i,
g0 i,
g180 i,
E1i 140,
E2i 100,
i
S2
ii 0 300..:=
g400 i,
236235
239
239
242
240
238
238
239
239
240
239
241
240
238
240
=data236235
239
239
242
240
238
238
239
239
:=
numero de puntos:
n length data( ):=
n 301=
SD x( ) stdev x( )n
n 1−⋅:=
media mean data( ) 244.937=
SD data( ) 4.652=desv. estd.
varianza SD data( )2 21.639=
ini
vel d
e in
tens
idad
El i-esimo píxel de la columna
68
Figura 3.39. Grafica de valores, media y desviación estándar de la
intensidad en una columna del CCD.
La figura 3.40. Muestra la PTC obtenida con una pantalla de LCD como
fuente de luz blanca y simulación de los tonos de gris de acuerdo al método
antes descrito..
Figura 3.40. PTC obtenida con la ayuda de una pantalla plana de LCD.
i 0 n 1−..:= hi mean data( ) SD data( )+:=
lo mean data( ) SD data( )−:=
0 100 200 300230
240
250
260
Data Mean
grafica de valores, Media, y desv std
lo
hi
0.1
1
10
100
1 10 100 1000
Niveles de gris (señal de entrada)
Varianza
Ruido
69
De acuerdo a la PTC encontrada claramente se aprecia que valores de
intensidad son deseables para trabajar y cuáles no. Esto complementa el
trabajo anterior en el que se recomendaba capturar señales de intensidad
baja reportada en el trabajo de Rodríguez [20], pero ahora se cuantifica de
qué valores se está recomendando.
Con la segunda alternativa por la naturaleza de la fuente (la pantalla de LCD,
luz blanca) en contraste con usar los filtros y la fuente de laser permite
establecer que la varianza se minimiza aun más si usamos una fuente laser.
3.11 Ruido por el IDP.
En esta parte se discute brevemente el concepto de ruido y sus
implicaciones para realizar la prueba óptica a través del IDP. Para abordar el
ruido que pudiera existir se revisan cuales son las características prácticas.
El ruido en el IDP lo acotaremos en el marco de aquellas causas que hacen
que los interferogramas no sean los adecuados para determinar la calidad
óptica de un sistema bajo prueba. Consideramos que dos de esas causas
son las más importantes. La primera será el alineado del interferómetro y la
segunda conseguir interferogramas donde las franjas tengan buen contraste
y que permita el seguimiento adecuado de las franjas para el ajuste del frente
de onda.
3.12 Alineado del interferómetro.
En el caso del IDP en contraste de otros métodos interferometricos no usa
superficies de referencia, luego entonces la calidad de la placa y en
especifico la calidad del orificio que genera la onda de referencia es muy
70
importante, en nuestro caso usamos una placa de IDP con los siguientes
parámetros: substrato BK7, tamaño del orificio de 7 micras, película de oxido
de cromo con densidad de 2.3 y un espesor de .620 micras. Por otro lado en
la grafica de la Figura 3.41 se muestra la relación entre las distancia que se
desplaza el IDP respecto a la distancia que se mueve la fuente, cuando el
haz esta colimado en el instrumento desarrollado por reflexión. Se aprecia
que la relación entre la distancia de la fuente contra las distancia que se
mueve el IDP en la dirección del eje óptico tiene una tendencia lineal.
Figura 3.41 Alineado del interferómetro IDP por reflexión.
Consideramos que el contraste de las franjas es aceptable, por que el
método del seguimiento de la franja es manual, y consideramos que
podríamos cometer un error de lambda cuartos, una inspección visual y
práctica del evaluador se considera como el criterio si se el interferograma
es recomendable o no para el seguimiento de las franjas.
y = 1.967x - 3.429
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
-10 -5 0 5 10Series1
Lineal (Series1)
71
3.13 Procedimiento para la preparación de corneas y cristalinos
Para sensar las corneas fue necesario preparar el globo ocular y depositarlo
en una cubeta. Para los cristalinos fue necesario aislarlos del globo ocular
con una similar técnica tal que permitiera en lo posible no dañarlos y obtener
los mejores resultados, a continuación se describe brevemente la técnica de
preparación, que amablemente nos fue mostrada por el Dr. Daniel Vázquez
Martínez de la USC, quien además, nos permitió tomar las fotos de su
técnica y que a continuación se describe y muestra.
Algunos de los utensilios necesarios son: suero fisiológico, el empleado
cuando se realiza una operación quirúrgica; tijeras quirúrgicas, pinzas
quirúrgicas, bisturí, jeringa de irrigación, cubetas ópticas, algunos soportes,
contenedores y un cepillo con cerdas finas. En la figura 3.42 se muestra el
instrumental necesario. En la figura 3.43 se muestra un recipiente con
aislamiento térmico que se uso para transportar los ojos porcinos desde el
rastro municipal al laboratorio de óptica, el transporte tomaba alrededor de
15 minutos. Se nos proporcionaban alrededor de 5 pares de ojos. Los ojos
fueron extraídos de porcinos con una edad de 6 a 8 meses. La Imagen de la
figura 3.44 muestra el aspecto de un ojo previo a su limpieza y preparación
para el análisis de la cornea y el cristalino.
La limpieza inicial se realizaba con agua a temperatura de 25 grados
centígrados aproximadamente para retirar fluidos propios de la extracción
hecha por el matarife, es decir remanentes de sangre, grasa y piel.
Para retirar el remanente de agua los ojos tenían que ser irrigados con suero
fisiológico. Después se procedía a retirar los parpados y músculo remanente
para aislar el globo ocular con la ayuda de un cuchillo con filo adecuado,
como se muestra en la figura 3.45. El Corte de la conjuntiva y excedente de
músculo para la limpieza de la esclerótica se realizaba con unas tijeras
quirúrgicas con la ayuda de unas pinzas y un soporte para tal efecto. Hasta
este paso se realizaba para sensar la cornea, si era el caso, se ponía en una
72
cubeta óptica de tamaño adecuado con suero fisiológico, como se muestra
en la figura 3.57.
Para extraer el cristalino se procedía a realizar una incisión con el bisturí
sobre el ecuador del globo ocular para guiar el corte inicial, como se observa
en la figura 3.46. Una vez hecho el corte inicial con el bisturí se procedía a
cortar con las tijeras, igualmente sobre el ecuador del globo ocular hasta
separar el globo en dos partes. En la figura 3.47 se aprecia el interior de la
cámara ocular protegida por el humor vítreo, no es posible apreciar el
cristalino claramente. Posteriormente se realiza el corte del ciliar con las
tijeras quirúrgicas apoyándose de las pinzas para sujetar la esclera, como se
aprecia en la figura 3.48. El corte del ciliar se realiza con las tijeras y
guiándolas en una trayectoria circular hasta abarcar toda la periferia del
cristalino, teniendo cuidado de no dañar el cristalino. Una vez que se cortaba
el ciliar se procedía a vaciar el cristalino en un recipiente previamente lleno
de suero fisiológico, en este paso se debe tener cuidado de no dañar el
cristalino ya sea al cortar el ciliar, que pudiera evitar que el cristalino caiga en
el recipiente ;o bien, al poner el cristalino en el recipiente. Es necesario
asistirse de las tijeras para desprender un poco el humor vítreo, dada su
naturaleza un tanto gelatinosa del humor vítreo, puede ser cortado con las
tijeras. En la figura 3.55 se muestra el momento en el que se deja caer el
cristalino en el recipiente y se observa un aparente corte del humor vítreo.
También se aprecia que el cristalino tiene remanentes de ciliar y de humor
vítreo. Entonces se debe, con cuidado, retirar estos excedentes con la ayuda
de un pequeño cepillo. Para retirar el humor vítreo cercano a la capsula se
debe acercar el cepillo en la periferia del cristalino, como se muestra en la
figura 3.56, teniendo cuidado de no tocarlo, ya que si esto ocurre dañará la
capsula y se opacará el cristalino inmediatamente. Entonces, el remanente
de humor vítreo se adhiere a las cerdas del cepillo al realizar movimientos
giratorios del cepillo y con ello se aísla la capsula. Una vez que se aisló la
capsula, esta tendrá que ser puesta en las cubetas ópticas. Para cambiarlo
73
del recipiente, se sugiere se realice con una cuchara o un dispositivo que se
le parezca, teniendo sumo cuidado de no dañar el cristalino. En la figura 3.58
muestra al cristalino en el interior de una cubeta para ser analizado por
reflexión.
Figura 3.42 Recipiente para el transporte de los ojos recién extraídos.
Figura 3.43 Instrumental necesario para preparar la cornea y cristalino.
74
Figura 3.44 Imagen del aspecto como se encuentran los ojos previo a su
limpieza y preparación para el análisis de la cornea y el cristalino.
Figura 3.45 Enjuague del ojo para retirar fluidos propios de la extracción
hecha por el matarife.
75
Figura 3.46 Corte de parpados y músculo para aislar el globo ocular.
Figura 3.47 Corte de la conjuntiva y excedente de músculo para la limpieza
de la esclerótica.
76
Figura 3.48 Aspecto del globo ocular libre de conjuntiva y músculo.
Figura 3.49 Incisión con el bisturí sobre el ecuador del globo ocular para
guiar el corte con tijeras.
77
Figura 3.50 Corte inicial con tijeras sobre el ecuador del globo ocular.
Figura 3.51 Corte con tijeras sobre el ecuador del globo ocular.
78
Figura 3.52 Corte de la esclerótica en el ecuador del globo ocular con la
ayuda de unas tijeras quirúrgicas.
Figura 3.53 Imagen del cristalino en el interior del globo ocular por el lado
posterior.
79
Figura 3.54 Corte del ciliar con tijeras quirúrgicas.
Figura 3.55 Retiro del cristalino del interior del globo ocular.
80
Figura 3.56 Uso de un cepillo para retirar el humor vítreo.
Figura 3.57 Cornea en el interior de la cubeta para ser analizado por
reflexión.
Giro del cepillo
81
Figura 3.58 Cristalino en el interior de una cubeta para ser analizado por
reflexión.
82
CAPITULO 4 RESULTADOS EXPERIMETALES
En este capítulo se presentarán, en las diferentes secciones los resultados
aplicando los métodos de la ETI-1D e IDP por separado; y posteriormente, se
muestra una comparación entre ambos métodos. Una vez que se conocieron
y resolvieron algunos problemas de los arreglos experimentales explicados
en el capítulo anterior, aquí son presentados con más detalle.
4.1 Resultados usando la ETI-1D
Con este método se evaluó una componente óptica conocida como lente de
Álvarez; nombre referido a esta por su inventor. Este tipo de lente fue
empleada en algunos instrumentos desarrollados y patentados por
Humphrey en 1976, para conocer la desviación esférica y astigmática de un
individuo. Actualmente su construcción se puede llevar a cabo con la
técnica de fotolitografía, que permite obtener progresivamente perfiles
cúbicos de sagita [21] y [22]. Por ejemplo la sagita en la referencia [22],
tiene la forma:
exdyxcxbxyxayxz ++++
+= 2
32
3),(
Donde a, b, c, d y e son constantes.
83
Figura 4.1 Sagitas comunes en las lentes tipo Álvarez.
En la Figura 4.1 se muestra un mapa bidimensional de un par de lentes tipo
Álvarez que se emplearon alguna vez, el autor desconoce si en la actualidad
son empleadas en algún instrumento; la imagen a) corresponde a la
ecuación arriba citada y a la forma de la sagita de la lente bajo prueba.
Figura 4.2. Lente de Álvarez prestada por la Dra. Eva Acosta
.
a) b)
84
Figura 4.3 a), b), c) y d) son resultados preliminares sobre la variación axial
(negro), la primera (azul) y segunda integral (magenta) de la prueba de la ETI
a la lente tipo Álvarez.
Por supuesto que ambos tipos no son rotacionalmente simétricos. En la
Figura 4.2 se muestra la lente Álvarez objeto de nuestra prueba, que
amablemente nos fue prestada por la Dra. Eva Acosta de la USC. Y en la
Figura 4.3 se muestran cuatro resultados preliminares, conseguidos con el
arreglo de la Figura 3.1, donde se aprecia que en los cuatro casos la
variación axial de la intensidad, correspondiente a la línea negra,
apreciablemente muestran similar tendencia y comportamiento; a pesar de
ello el resultado del la segunda integración, línea color magenta que
representa el frente de onda recuperado, no son similares. Los resultados
preliminares mostraron que la variabilidad en la intensidad es un factor de
consideración ya que en los cuatro casos la distancia dz para aproximar la
variación axial de la intensidad, fue la misma.
c)
a) b)
d)
85
Las Figuras 4.4, 4.5, y 4.6 muestran los resultados experimentales obtenidos
al aplicar el método de la ETI-1D a una lente tipo Álvarez con las
consideraciones detalladas en los capítulos anteriores, los ejes en las tres
figuras están normalizados.
Figura 4.4 Variación de intensidad a lo largo de la propagación ( zI ∂∂ / ) lente
tipo Álvarez.
Figura 4.5 Variaciones de fase a lo largo del eje transversal en una lente tipo
Álvarez.
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
86
Figura 4.6 Frente de onda recuperado mediante el empleo del método
basado en la ETI-1D y la línea punteada indica la curva con el mejor ajuste.
4. 1.1 Recuperación del frente de onda con el IDP y la ETI-1D
El perfil de frente de onda recuperado con ETI-1D, línea solida de color azul
y el perfil recuperado con el IDP, línea de color magenta se comparan con
la curva de mejor ajuste conseguida de los datos obtenidos con la ETI-1D.
Ambos ejes están normalizados en unidades arbitrarias.
Figura 4.7 Frente de onda recuperado con la ETI-1D y la curva con el mejor
ajuste y el perfil encontrado con el IDP.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
87
4.2 Resultados usando el IDP.
Derivado del trabajo experimental sobre el segundo método para comparar
los resultados con la ETI-1D; encontramos algunos resultados interesantes,
que son de nuestro interés destacar y que de alguna forma fuimos
encontrando.
4.2.1 Para componentes ópticos analizados por transmisión
Al inicio de mi estancia en la USC usé el instrumento desarrollado por
Acosta et. al. en 2006 para familiarizarme con el instrumento. Dos
interferogramas obtenidos por Sara Chamandoira con ese instrumento se
muestran en la Figura 4.8. Después ensamblé interferómetros similares; pero
como era obvio, con diversos problemas. A continuación se muestran
algunos de ellos: El interferograma de la Figura 4.9 se presenta por
deficiencias en la alineación; donde se aprecia que para valores altos de
avance lineal del IDP, la calidad del interferograma se vé afectado por el
viñeteo del haz. Desde luego en algunas aplicaciones no es necesario contar
con un gran avance lineal. Ello depende del elemento que se quiere analizar.
Figura 4.8 Interferogramas obtenidos de unas lentes intraoculares de acrílico
cortesía de Chamandoira [23].
88
a) b)
Figura 4.9 a) Interferograma cuando hay viñeteo, b) mismo interferograma;
pero con color para resaltar la distribución de intensidad.
Es importante también destacar la calidad de los componentes y evitar rallar
el IDP por su manipulación, ya que la presencia de partículas extrañas,
deteriora el desempeño del mismo. En la figura 4.10 se muestra el
interferograma obtenido cuando en la placa del IDP se encontraba una fibra
textil proveniente de medio ambiente (lo que se considera como
contaminación por polvo u otras partículas extrañas cuyas dimensiones
oscilan o son considerables para el tamaño del orificio del IDP).
a) b)
Figura 4.10 a) Presencia de una fibra textil cercana al orificio del IDP, b)
interferograma distorsionado por la presencia de una fibra textil.
En la Figura 4.11 se muestran dos interferogramas de un cristalino analizado
por transmisión, la diferencia entre ellos cuando el IDP fue desplazado
transversalmente; es decir, con diferencia de avance lineal.
89
Figura 4.11.- Interferogramas de un cristalino por transmisión.
4.2.2 Para componentes ópticos analizados por reflexión
Desafortunadamente no fue posible ensamblar el IDP con los componentes
opto mecánicos compactos y de fácil alineación el IDP para probar por
reflexión una superficie óptica. En la figura 4.12 se muestra un diagrama
detallado de un IDP para probar superficie por reflexión usando los
componentes mecánicos mencionados. La ventaja de usar tales
componentes, es su gran facilidad de alineación y permiten el uso de una
fuente de láser de estado sólido, que también es compacta. Uno de los
principales problemas a los que nos enfrentamos al ensamblar el IDP sin las
componentes opto mecánicas compactas fue la alineación. Aunque no se
menciona el detalle sobre la alineación propia del arreglo experimental de la
Figura 3.11, se consideraron similares recomendaciones al procedimiento de
alineado para el instrumento que usa el método de la ETI-1D descrito en el
capítulo anterior. Uno de los interferogramas por reflexión que se obtuvieron
se muestra en la Figura 4.13.
90
Figura 4.12 Diagrama detallado de un interferometro IDP para el análisis por
reflexión.
En algunas partes de este interferograma se aprecia que las franjas se unen
y no es fácil seguir el orden que corresponde, y para diversos valores de
desplazamiento longitudinal del IDP el interferograma presenta esta falla; es
decir, nuestro resultado se ve afectado por la presencia de estas franjas
secundarias no deseadas. El problema se eliminó cuando la fuente de luz
láser fue cambiada, de gas a un lasér de estado sólido, y al incluir un
filtrado espacial en el haz de nuestro interferómetro. En la Figura 4.13 se
aprecia un interferograma con la presencia de este problema. Más adelante
encontramos que la dislocación de fase se generaba por la fuente láser
utilizada como pudimos confirmar en la referencia [24]; aunque la
dislocación de fase presentada en la referencia fue conseguida con un
interferómetro Mach-Zehnder. Consideramos que la dislocación de fase se
presenta cuando nuestro interferómetro estaba bien alineado, una imagen
de ella se puede ver en la Figura 4.14. Para evitar esta dislocación se debe
desplazar la placa del IDP de 2 a 3 µm en cualquiera de los ejes
Diodo Laser
91
transversales. Hasta este punto nos parecía razonable encontrar algo
diferente dado que estábamos trabajando con reflexión y con más
componentes ópticas, sin embargo la pregunta interesante era, ¿porque en
transmisión no había encontrado este problema? o bien no había sido
perceptible. La forma más fácil de descartar el problema en el modo de
transmisión, era probar si el tamaño del orificio del IDP y la distancia focal en
la lente concentradora contribuían con la dislocación. En la tabla 4.1 se
muestran las diferencias que hay entre el diámetro de los agujeros de varias
placas de IDP y los diámetros del primer y segundo anillo del disco de Airy de
dos lentes de diámetro igual y distancias focales diferentes. Al probar las
condiciones y analizar aproximadamente 740 interferogramas, el resultado
fue que a mayor diámetro del IDP la dislocación se presenta.
Tabla 4.1 Diferencia de los diámetros del primer (d1) y segundo (d2) anillos del
disco de Airy con el diámetro del IDP expresado µm.
Lente f = 50 mm f=30 mm d1 d2 d1 d2 3.08416 5.66272 1.54208 2.83136 DiamIDP [µm] dif d1 dif d2 dif d1 dif d2
6 2.91584 0.33728 4.45792 3.16864 7 3.91584 1.33728 5.45792 4.16864 8 4.91584 2.33728 6.45792 5.16864 9 5.91584 3.33728 7.45792 6.16864 10 6.91584 4.33728 8.45792 7.16864 11 7.91584 5.33728 9.45792 8.16864 12 8.91584 6.33728 10.45792 9.16864 15 11.91584 9.33728 13.45792 12.16864 18 14.91584 12.33728 16.45792 15.16864
Por otro lado en la Figura 4.15 se aprecian cuatro interferogramas
obtenidos por reflexión al probar la superficie anterior de dos cristalinos.
92
De acuerdo a los resultados no se puede precisar si la cara anterior es no
rotacionalmente simétrica en los cristalinos analizados, ya que en algunos
casos el interferograma obtenido se apreciaba cierto grado de astigmatismo.
Por otro lado la cara posterior en la mayoría de los casos es rotacionalmente
simétrica; aunque también, aparecieron algunos casos en los que no lo era.
Esta diferencia la atribuimos por un lado a la edad de los cristalinos, al
tiempo de post morten el cristalino; y por último, al método de sacrificio de los
animales en el rastro municipal llevado a cabo por electrshock.
Figura 4.13 Interferograma con falla en el seguimiento del orden de la franja
obtenido con IDP para el probado por reflexión.
La obtención de estos interferogramas en la figura 4.15, no fue del todo fácil,
ya que debíamos considerar la alineación propia del cristalino en la cubeta
óptica. Inicialmente no tomamos en cuenta este hecho, y lo que hicimos fue
depositar el cristalino sin soporte alguno. Desafortunadamente resultaba
difícil obtener los interferogramas por que el cristalino se inclinaba por el
peso de los remanentes del músculo ciliar que quedaban en el ecuador, por
lo difícil que resulta aislar la cápsula del globo ocular. Y en la figura 4.16 se
muestran algunos interferogramas de corneas por reflexión.
93
Figura 4.14 Dislocación de fase obtenida con el IDP.
Para garantizar que el cristalino estuviera alineado con el interferómetro,
implementamos un proceso iterativo apoyándonos de un soporte que
fácilmente permite manipular la orientación del cristalino en la cubeta (ver la
Figura 4.17) y una jeringa de irrigación para retirar y/o verter el suero
fisiológico según sea el caso, en el interior de la cubeta provista del soporte.
Figura 4.15 Interferogramas de un par de cristalinos por reflexión.
Antes de obtener los interferogramas debíamos de alinear el cristalino lo
mejor posible; desde luego poníamos el haz del interferómetro en el vértice
del la cara anterior o posterior según sea el caso. Lo anterior fue fácilmente
realizable dado que la cubeta se apoyaba en un una platina xyz provista de
tornillos micrométricos para controlar los desplazamientos. Previo al sensado
94
se tenía que retirar el suero fisiológico y capturar lo más rápido posible los
interferogramas, ya que la solución empezaba a diluirse e impedía tener
resultados favorables, tal como se muestra en los interferogramas
superiores de la Figura 4.15, donde se aprecia la dilución del interferograma.
Para el caso de la cornea el procedimiento fue el mismo, es decir primero se
debía alinear el globo ocular con la ayuda del soporte en la cubeta óptica.
En la Figura 4.17 se aprecia cómo se encuentra el globo ocular en el interior
de esta y como el ojo es sostenido por el soporte.
a) b)
c) d)
Figura 4.16 a), b), c), d) interferogramas de dos corneas por reflexión.
95
Figura 4.17 Cristalino en la cubeta, provisto de soporte, para su sensado por
reflexión con el prototipo de IDP para probar por reflexión.
Figura 4.18 Globo ocular en cubeta óptica para el sensado de la cornea.
Otro aspecto importante que nos ayudó, para garantizar el alineado correcto
del cristalino y la cornea, fue la interface horizontal de suero fisiológico que
se generaba al momento de proteger las componentes del ambiente; es decir
teníamos una superficie plana y reflectora de referencia por lo que nos
permitió alinear eficientemente las componentes al interferómetro. Más
adelante se comentarán otros resultados adicionales derivados de esta
forma sencilla de controlar los desplazamientos con una superficie de
referencia.
96
4.3 Resultados experimentales adicionales obtenidos con e IDP.
La idea de utilizar el IDP en arreglo por reflexión para hallar índice de
refracción y/o espesores de superficies semitransparentes fue concebida por
un lado cuando se estaba alineando el instrumento y por el otro cuando se
probaron las corneas y los cristalinos, esta simple idea derivó otras más que
a continuación se reportan, haciendo énfasis que de alguna manera
contribuyeron al desarrollo de la tesis.
4.3.1 Medición de espesores.
Considere una superficie semitransparente de caras plano paralelas e índice
de refracción n, como el que se esquematiza en la Figura 4.17, cuando
incide un haz convergente e ingresa al medio, entonces se puede hallar una
relación a través de óptica geométrica que determine los ángulos de
incidencia y refracción.
Figura 4.19 Distancia imagen en una placa de caras plano paralelas.
Por lo que podemos encontrar el sin i y el sin i’, como se muestra en la
Figura 4.19 de tal forma que se obtienen las siguientes relaciones,
97
Figura 4.19 Distancia imagen en una placa de caras plano paralelas, detalle.
22sin
lyyi+
= o 22 '
'sinly
yi+
=
Al aplicar la ley de Snell tenemos que n sin i= n’sin i’, y al sustituir los
valores de los senos, obtenemos
2222 ''
lyyn
lyyn
+=
+.
Reordenando un poco la ecuación anterior,
2222 ''
lyn
lyn
+=
+.
Cuando y=0
22 '0'
0 ln
ln
+=
+.
Simplificamos nuestro resultado
22 ''
ln
ln
= .
Y hallamos la relación:
''
ln
ln= .
98
Si el medio externo es el aire implica que n’=1 entonces es posible calcular
ya sea el índice de refracción o bien el espesor de un material
semitransparente de caras plano paralelas con la siguiente relación,
'1ll
n= .
La Figura 4.20 y 4.21 muestra el arreglo esquemático y el arreglo
experimental usado para determinar el espesor o índice de refracción. El
ambos casos el IDP deberá estar fijo en una posición y la montura xyz es la
que deberá moverse.
Figura 4.20 Arreglo esquemático para determinar espesores e índice de
refracción.
Objetivo demicroscopio
Lentecolimadora
Sistema de enfoque
CámaraCCD
IDP
Pantalla
Lente concentradora
Divisor de hazHaz láser
Espejo
Filtro espacialLente focalizadora
99
Figura 4.21 Arreglo experimental para determinar espesores e índice de
refracción.
El procedimiento para la medición del espesor si se conoce n (índice de
refracción), se lista a continuación:
1.- Colocar un espejo en la montura xyz.
2.- Encontrar el interferograma que muestre que se está en el foco.
3.- Registrar la medición de altura z1 que muestra la montura xyz.
4.- Colocar la superficie semitransparente a medir sobre el espejo.
5.- Bajar montura xyz hasta encontrar el foco del interferograma de tal forma
que provenga de la parte superior de la superficie semitransparente.
6.- Registrar la medición de la altura z2 que muestra la montura xyz.
7.- Subir la montura hasta encontrar un segundo interferograma que
corresponde a la distancia aparente l’ y registrar la altura z3.
8.- Realizar los siguientes cálculos:
czz =− 21
231 czz =−
21' ccl −=
100
Entonces el espesor se obtiene con:
21 ccnl −=
4.3.2 Medición de índice de refracción.
Procedimiento para hallar el índice de refracción:
1.- Colocar un espejo en la montura xyz.
2.- Encontrar el interferograma que muestra que se esta en el foco.
3.- Registrar la medición de altura z1, que muestra la montura xyz.
4.- Colocar la superficie semitransparente a medir sobre el espejo.
5.- Bajar montura xyz hasta encontrar el foco del interferograma de tal forma
que provenga de la superficie superior de la superficie semitransparente.
6.- Registrar la medición de la altura z2 que muestra la montura xyz.
7.- Subir la montura hasta encontrar el segundo inteferograma que
corresponde a la distancia aparente l’ y registrar la altura z3.
8.- Realizar los siguientes cálculos:
lzz =− 21
'3 lz =
Entonces el espesor se obtiene con:
3121
zzzz
n−−
=
Desde luego la precisión del método depende de la resolución de los tornillos
micrométricos de la montura xyz. Además un análisis similar al descrito
anteriormente se realizó a una esfera homogénea.
Considerando que la esfera tiene radio r e índice de refracción n, como la
que se esquematiza en la Figura 22, si se le íncide un haz convergente y
101
éste ingresa al medio; se puede hallar una relación, a través de óptica
geométrica, que determine los ángulos de incidencia y refracción (Figura
4.23), como el caso anterior.
22
'
22 ''
lyzln
lyzln
+
−=
+
−
Si el medio externo es el aire implica que n’=1 entonces es posible calcular
el índice de refracción nuevamente cuando y=o. La Figura 4.24 Muestra la
esfera homogénea a) y el arreglo experimental usado para determinar el
índice de refracción. Nuevamente el IDP debe estar fijo en una posición y la
montura xyz es la que deberá moverse.
Con los resultados obtenidos nos entusiasmamos y planteamos utilizar el
prototipo para escanear cualquier superficie, desde luego tomando en cuenta
que se requiere que la superficie a escanear tenga un mínimo de reflexión;
es decir, que la calidad superficial garantice una buena reflexión y permita
conseguir el interferograma de referencia del IDP.
102
Figura 4.22 Haz convergente incidiendo en una esfera homogénea.
Figura 23 Distancia imagen en una esfera homogénea cuando un haz
convergente incide sobre ella.
C N’
n
n’
y z
l
l’ B
B’
i’
i
C
r
n
n’ y
z
103
a) b)
Figura 4.24 a) Experimento para el cálculo del índice de refracción de una
bola homogénea y b) arreglo experimental usado.
El resultado anterior permitió establecer que al localizar siempre el
interferograma de referencia con la superficie reflectora a través de los
movimientos del la montura donde se apoya, de tal forma que si se mantiene
un registro de los desplazamientos de la montura xyz, se puede mapear una
superficie. Nuevamente la precisión del método depende de la resolución de
los tornillos micrométricos y del tamaño de la fuente puntual en nuestro
interferómetro.
4.3.3 Medición de distancias focales
El esquema para hallar las distancias focales posteriores de una lente se
muestra en la Figura 4.25. Y el procedimiento para hallar la distancia focal
posterior se describe a continuación:
104
1.- Colocar un espejo en la montura xyz.
2.- Ajustar la montura xyz hasta encontrar el interferograma de referencia.
3.- Registrar la medición de altura z1, que muestra la montura xyz.
4.- Colocar la lente a medir su distancia focal sobre el espejo.
5.- Bajar y mover la montura xyz hasta encontrar el interferograma de
referencia, tal que provenga del vértice de la superficie superior de la lente
bajo prueba.
6.- Registrar la medición de altura z2, que muestra la montura xyz.
7.- Nuevamente bajar montura xyz hasta encontrar el interferograma de
referencia, es decir, que provenga del foco de la lente bajo prueba.
8.- Registrar la medición de la altura z3 que muestra la montura xyz.
9.- Realizar los siguientes cálculos:
fzz =− 32
10.- Girar y colocar la lente sobre el espejo, de tal forma que ahora tengamos
el segundo vértice y repetir desde el paso dos, para hallar la segunda
distancia focal posterior.
En la tabla 4.2 se muestran las distancias focales posteriores de 8 lentes
intraoculares de Polymetílmetacrilato (PMMA) que fueron medidas.
Tabla 4.2 Distancia focal posterior (dfp1)
Lente Intraocular (IOL)
Distancia focal
posterior [mm] IOL 1 IOL 2 IOL 3 IOL 4 IOL 5 IOL 6 IOL 7 IOL 8 dfp1 16.15 14.65 16.25 No M. 14.55 16.55 16.25 16.75 dfp2 16.45 14.95 16.45 No M. 14.85 16.65 16.35 16.85
105
Figura 4.25 Esquema para determinar la distancia focal de una lente.
Objetivo demicroscopio
Lentecolimadora
Sistema de enfoque
CámaraCCD
IDP
Pantalla
Lente concentradora
Haz láser
Espejo
Filtro espacialDivisor de haz
Lente focalizadora
Montura xyz
Lente bajo prueba
106
CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO
Conclusiones
El método empleado para hallar un perfil de frente de onda a través de la
integración directa de la ETI-1D, propuesta en esta tesis; arroja resultados
que pueden ser contrastados con un interferómetro de difracción por punto,
IDP.
El uso experimental de la ETI-1D derivada a través del método de Teague
para calidad de la imagen, permite realizar mediciones a superficies ópticas
rotacionalmente simétricas y a componentes sin simetría rotacional.
Los resultados experimentales de la determinación del frente de onda al
resolver uní dimensionalmente la ETI arroja resultados esperados para este
método tomando en cuenta el ruido de detección.
El desplazamiento z∆ , para calcular la variación axial de la intensidad, en
este método tiene un valor mínimo para z∆ de 260 mµ .
Debido a la doble integración unidimensional la propagación de error es
aceptable con el método de integración de promedio usado.
El perfil del frente de onda en la zona paraxial se ajusta a la teoría y este
tiene el mismo comportamiento al perfil de frente de onda recuperado con
un IDP.
107
Trabajo a futuro.
Utilizar el método de la ETI-1D para evaluar por reflexión la calidad óptica de
una superficie.
Reconstruir el frente de onda emergente de una superficie a través de
interpolar varios perfiles de frente de onda obtenidos con este método.
Realizar un análisis de error y su propagación si se usan otros métodos de
integración.
108
APÉNDICE A ECUACION DE TRANSPORTE DE IRRADIANCIA
La derivación detallada de la ecuación del transporte de irradiancia se
encuentra en el artículo de Teague del año de 1983. Cabe señalar que la ETI
se puede encontrar por diferentes argumentos los cuales están claramente
descritos en el trabajo de Campos y Díaz [25]. Aunque la misma ecuación
ha sido derivada por varios métodos y propuestas, es de nuestro interés solo
describir brevemente su obtención por el método de Teague.
Empecemos pues, entonces por la ecuación de Helmholtz Ec. (1)
( ) 0),,(22 =+∇ zyxk ψ , (1)
donde ( ) ( ) ( )2222222 /// zyx ∂∂+∂∂+∂∂=∇ , y λπ /2=k , suponemos que una
onda depende de su posición y esta es solución de la Ec.(1). Para una onda
que viaja en dirección z positiva considerando sólo la parte espacial, está se
describe por:
)exp(),,(),,( ikzzyxuzyx −=ψ . (2)
Sustituyendo ψ en la Ec. (1), obtenemos
0),,(22
22 =
∂∂
−∂∂
+∇ zyxuz
ikzT (3)
donde ( ) ( )22222 // yxT ∂∂+∂∂=∇ es el laplaciano transversal. Asumiremos que
la amplitud de u varía muy lento a lo largo de la dirección de propagación;
109
eje z, ello implica que el término 22 / zu ∂∂ se desprecie en la Ec. (3), lo que
se obtiene entonces es la ecuación paraxial de onda:
0),,(22 =
∂∂
−∇ zyxuz
ikT . (4)
Teague propuso una función a partir de la teoría de difracción de Fresnel
con amplitud Fu y sin el término exp(ikz) como solución a la Ec.(4), después
de algunos pasos algebraicos obtuvo lo que denomino la ecuación parabólica
de onda:
02
2
=
∂∂
−−∇
FT u
zik
k. (5)
Para esta función Teague propuso un función compleja como solución, de la
forma [ ] [ ]),,(exp),,(),,( 2/1 zyxizyxIzyx φγ = . Por otro lado si se realizan las
derivadas parciales correspondientes a ),,( zyxγ de igual forma al complejo
conjugado ),,(* zyxγ desarrollando el álgebra correspondiente en ambas
ecuaciones, ambas se multiplican por su complejo conjugado y se restan lo
que permite simplificar la expresión resultante hasta obtener la ETI, cuya
forma es la siguiente.
02 =∇+∇•∇+∂∂ φφ ttt IIzIk (6)
donde λπ2
=k y ),,( zyxφ es la fase y 2t∇ es el Laplaciano transversal.
110
APÉNDICE B INTERFEROMETRO DE DIFRACION POR PUNTO
Solo el principio de este interferómetro es indicado en esta parte del
apéndice y es parecido como Linnik lo describió en su artículo de 1933 y que
fue traducido al inglés por Speer et. al. [26], una descripción más detallada
de lo que acontece en este instrumento se analizará más adelante. Por otro
lado un rayo en la siguiente descripción representa la dirección en la cual
viaja la luz o la energía de una onda luminosa u onda electromagnética. Por
lo que los esquemas planteados muestran las trayectorias de los rayos como
líneas rectas Si tenemos un haz colimado atravesando el sistema óptico bajo
estudio (Figura B.1) los rayos que salen de la pupila de salida convergerán
en un punto focal. Si el sistema óptico no está libre de aberración, los rayos
centrales focalizaran en el punto A y los rayos de otras zonas focalizaran en
otro punto, por ejemplo B. La resultante onda U no será estrictamente
esférica.
Figura B.1 Descripción del principio de funcionamiento del IDP.
A
Pupila de salidadel sistema bajoprueba
C1
C
P
C’1
C’
U1
E
U
B
111
Al poner una placa P con una abertura pequeña f sobre una pantalla
semitransparente, en el camino de los rayos tal que el centro de la apertura
pase a través del punto A. El haz CC1 desarrollará un cono de rayos
coherentes C’1 AC’ como resultado de la difracción durante el paso de los
rayos por la apertura f, entonces se tendrá una onda esférica U1. Será más
exacta cuanto mas pequeña sea la apertura f en la placa. Como la pantalla E
de la placa es semitransparente, algunos rayos de otras zonas pasarán a
través de la pantalla, entonces la onda U distorsionada se superpondrá con
nuestra onda esférica U1 de referencia más allá del punto A. Entonces se
observarán una serie de anillos oscuros en un fondo un tanto iluminado. Los
anillos son visibles por la diferencia de caminos entre las ondas U y U1
correspondientes a un número impar de media longitud de onda. Como se
muestra en la figura B.2.
Figura B.2 Anillos obscuros por la superposición de ondas U y U1.
Los diámetros de los anillos son diferentes por las longitudes que también
son diferentes.
21λ
23λ
25λ
112
Si la absorción de la pantalla E es seleccionada para que el brillo de los
rayos que pasan por la apertura f sea igual al brillo de los restantes rayos
que cruzan la pantalla E entonces el ancho de las franjas serán delgadas
según Linnik.
Figura B.3 Esquema de la placa P para el IDP.
Este interferómetro IDP puede también ser empleado para investigaciones
cuantitativas de inhomegeneidades de índice de refracción en varios medios,
tales como vidrio, flujo de fluidos, etc. En este caso el medio bajo
investigación es puesto en el camino de los rayos que son enfocados en un
punto por medio de una lente focalizadora. La pantalla semitransparente E es
puesta también en el punto focal. Entonces el sistema bajo investigación es
visto, analizado o fotografiado desde atrás de este punto.
Ondas incidentes
Superficie semitransparente E
Ondas transmitidas
S
n
n
a nE Ondas difractadas
transparenteSubstrato
Ondas incidentes
Superficie semitransparente E
Ondas transmitidas
S
n
n
a nE Ondas difractadas
transparenteSubstrato
na Índice de refraccióndel aire
Sntransparentesubstrato
Índice de refracción del
Enpantalla semitransparenteÍndice de refracción del la
na Índice de refraccióndel aire
Sntransparentesubstrato
Índice de refracción del
Enpantalla semitransparenteÍndice de refracción del la
f
113
En la Figura B.3 se muestra el esquema de la placa que consiste de dos
materiales con diferente índice de refracción y de espesores diferentes, uno
mucho muy pequeño.
El siguiente experimento (Figura B.6) se llevo acabo usando el principio de
separación de los haces, propuesto por Linnik, descrito en líneas arriba y
resulta también muy simple. Donde los rayos procedentes de una fuente de
luz Q que han atravesado un medio pasan a través de una rendija R y son
incidentes en una pantalla semitransparente E con una apertura f, la onda
emergida de la rendija R pasará entonces a través de la apertura f de la
pantalla E y nuevamente parte de los rayos que difractan en la apertura
generarán una nueva onda que interferirá con la onda proveniente del resto
de los rayos que han atravesado la pantalla semitransparente. Esta vez,
unas bandas de interferencia se observarán detrás de la pantalla E, si el
centro de la apertura coincide con plano imagen de la rendija R.
Figura B.4 Campos involucrados que intervienen para el análisis del IDP.: El
que corresponde al plano objeto, al del plano focal y al del plano de
observación. La placa ),( pp yxp del IDP se ubica cerca del plano focal.
( )111 , yxU
),( '1
'11 RRR yxU
( )'1'1
'1 , yxU
),( 33 yxU
( )000 , yxU
Plano objeto Pupila de salidadel sistema bajoprueba
Plano focal Plano deobservación
),( pp yxp),( pupu yxPu
114
En la Figura B.4 se indican los campos que se van presentando desde la
pupila de salida del sistema bajo estudio hasta el plano de observación
donde se observa la interferencia. Los campos que intervienen son los
siguientes: Primero el campo objeto ( )000 , yxU , después el campo imagen del
objeto es ( )111 , yxU que emerge de la pupila de salida ),( pupu yxPu del sistema
óptico bajo estudio, además está detrás del la placa ),( pp yxp . Una parte de
este campo atraviesa la placa por la apertura diminuta f y el resto pasa por
la región semitransparente, como se mencionó en el principio de
funcionamiento del IDP. Entonces el campo ( )'1'1
'1 , yxU es el que se ubica
posterior a la placa y que pasó por la región semitransparente. Este campo
interferirá con el campo ),( '1
'11 RRR yxU generado por difracción de la apertura f
diminuta. El campo observado de la interferencia entre '1U y RU1 lo
representamos como ),( 33 yxU .
Enumerables trabajos han modelado teóricamente lo que acontece con el
IDP como el propuesto por Smmart en 1974, por ejemplo Acosta en el 2006
propone su modelado usando la teoría de difracción propuesta por Fresnel
para un sistema con lente focalizadora, donde la pupila de salida tiene forma
circular, como se muestra en la Figura B.5.
115
Figura B.5 Esquema del IDP cuando tenemos una pupila de salida circular.
Se dibujan esquemáticamente los anillos obscuros en el plano de
observación.
El sistema propuesto, para compara los resultados con la ETI, tendrá una
rendija unitaria como pupila de salida y la apertura de la placa para el IDP,
será circular. En la Figura B.6 se muestra el esquema propuesto.
Plano deobservación
Pupila de salidadel sistema bajoprueba
IDP
116
Figura B.6 Esquema del IDP cuando tenemos una rendija como pupila de
salida, se dibujan esquemáticamente las bandas de interferencia en el plano
de observación.
R
E
Q
Plano deobservación
Pupila de salidadel sistema bajoprueba
IDP
117
APÉNDICE C ABERRACIONES
En este apéndice se describe brevemente las representaciones clásicas para
el frente de onda o diferencia de camino óptico.
La ecuación clásica para representar las aberraciones de primer orden en
términos de las coordenadas transversales x, y, tiene por forma:
( ) ( ) ( ) ( ) FyExyxDyxCyyxByxAyxw +++++++++= 222222222 3),(
donde,
A es la aberración de esfericidad
B es la aberración de coma sagital
C es la aberración de astigmatismo sagital
D es la aberración de defoco o cambio de curvatura del frente de onda de
referencia
E es la aberración de inclinación alrededor del eje y
F es la aberración de inclinación alrededor del eje x
Por otro lado la formulación general en términos de las coordenadas x-y, es
de la siguiente forma:
∑∑= =
−=k
n
n
m
mnmnm yxByxw
0 0),(
Donde k es el orden del polinomio y Bnm es el coeficiente asociado de cada
aberración.
La formulación en términos de los polinomios de Zernike, ha tenido diversas
variantes de acuerdo a diversos autores, grupos, compañías y entidades de
normalización. Nosotros usaremos la representación propuesta por Malacara
para el caso de sensado de superficies ópticas fabricadas en el instituto,
118
dado que generalmente en el INAOE las superficies a sensar tienen
aplicaciones astronómicas, y para el caso de las aberraciones oculares
sugerimos las recomendaciones de las normas ANSI Z80.28 y/o ISO
TC172/SC7.
Es claro que la estandarización tiene por objetivo tener un lenguaje común
para representar las aberraciones oculares; además es claro que la
comparación entre las mediciones no debería generar confusión si hay una
estandarización. Las confusiones han sido primero por que la notación para
reportar las aberraciones puede ser mediante dos índices o un solo índice.
Después por el sistema de coordenadas y por último el tamaño y tipo de
pupila, ya que el valor de la aberración cambia por el tamaño y forma. En la
figura C.1 se compara el sistema de coordenadas para los astrónomos y para
los oftalmólogos, como ejemplo de la causal de confusión.
a) b)
Figura C.1 Sistemas de coordenadas para los polinomios de Zernike según,
astrónomos a) y oftalmólogos b).
N 0o
S 180o
E 90oO 270o 0o
90o
180o
270o
119
La función de aberración para un sistema óptico con pupila de salida circular
se consigue por un conjunto de polinomios de Zernike, que son ortogonales
sobre el círculo de radio unidad y tiene por formula:
∑∑∞
= =
=0 0
),(),(n
n
m
mnnm rZcrw θθ ,
donde nmc son los coeficientes de expansión que dependen de n y m, que
son positivos, y
[ ]
++=)sin()cos(
)()1/()1(2),( 2/10 θ
θδθ
mm
rRnrZ mnm
mn
es un polinomio de Zernike ortonormal. Aquí 0mδ es una delta de Kronecker,y
∑−
=
−
−−
−+
−−=
2(/(
0
2
)!2
()!2
(!
)!()1()(mn
s
sns
mn r
smnsmns
snrR
es el polinomio de grado n en r que contiene los términos mnn rrr ,, 2− .
El siguiente programa, escrito en mathcad 2001, proporciona los polinomios
ortonormales simétricos y antisimétricos, es decir aquellos que tienen la
variación de )cos( θm y )sin( θm respectivamente:
Listado 1
Listado 2
120
Resultado de los primero 15 polinomios se muestran a continuación:
J Polinomio
Como mencionamos anteriormente algunas compañías tienen su propia
nomenclatura, es el caso de los polinomios de Zernike del programa
comercial Apex que es ampliamente utilizado en pruebas ópticas.
Desafortunadamente este programa esta limitado en algunas de sus
funciones, si uno desea conocer los valores de un perfil del frente de onda
121
el programa solo, muestra la forma del perfil y no es posible tener los valores
asociados a dicho perfil. En la figura C.2 se muestra el tipo de perfil que se
obtiene.
Figura C.2 Frente de onda recuperado con el programa Apex y sus
respectivos perfiles en las direcciones transversales x-y.
Por lo que fue necesario generar un programa que nos permitiera extraer un
perfil. El siguiente programa en mathcad fue desarrollado. Donde
inicialmente se generan los polinomios usando la nomenclatura de Apex.
Listado 3
122
A continuación se muestran los primeros 6 polinomios generados con el
programa, para verificar que corresponde a los de la tabla 1 del manual de
Apex, concerniente a los polinomios de zernike usados en Apex:
Listado 4
Arriba se listam los polinomios de Zernike empleados por Apex y generados
con un programa en mathcad 2001.
Tabla C.1 Polinomios de Zernike listados en el manual de Apex.
0 Z r 0, 0, θ,( ) expand 1→
1 Z r 2, 0, θ,( ) expand 2 r2⋅ 1−→
2 Z r 1, 1−, θ,( ) expand r sin θ( )⋅→
3 Z r 1, 1, θ,( ) expand r cos θ( )⋅→
4 Z r 4, 0, θ,( ) expand 6 r4⋅ 6 r2⋅− 1+→
5 Z r 3, 1−, θ,( ) expand 3 sin θ( )⋅ r3⋅ 2 r⋅ sin θ( )⋅−→
6 Z r 3, 1, θ,( ) expand 3 cos θ( )⋅ r3⋅ 2 r⋅ cos θ( )⋅−→
123
Con los valores de los coeficientes de Zernike obtenidos con el programa
Apex se procede a graficar la función de aberración con el programa antes
124
descrito, es decir primero se genera una función, se convierte en xy,
posteriormente es graficada empleando la función de mathcad createmesh,
como sigue,
Listado 5
125
A continuación se muestra una función generada en mathcad que almacena
la información en una matriz cuyos valores corresponde a xyz, y que
posteriormente es graficada para generar los valores de un perfil.
Listado 6
126
APÉNDICE D Suturas del ojo
E.1 Introducción
En este apéndice se discute brevemente las partes del ojo. Y se presenta
una breve descripción del desarrollo del cristalino comentado por KuzacK et.
al. [27] y el Dr. Thomas Young [28] sobre las suturas del cristalino y
posteriormente comentaremos su influencia en las aberraciones oculares.
Tanto el procedimiento para la preparación de los cristalinos, amablemente
mostrado por el Dr. Daniel Vázquez Martínez de la USC, como la técnica de
preparación de las corneas se describen en el capítulo 3.
E2.- Anatomía del Ojo.
El globo ocular u ojo, es el órgano que detecta las imágenes que vemos y es
una parte vital para nuestro sentido de la vista. Se compone de un sistema
óptico de varios cambios de índice de refracción en sus componentes, es
sensible a los cambios de la intensidad de la luz y es capaz de transformar
éstos niveles de intensidad en impulsos electroquímicos que posteriormente
son procesados por el cerebro [29].
En la naturaleza hay una gran variedad de globos oculares. Los más
sencillos; no hacen más que detectar si los bordes de una imagen están
iluminados u oscuros; y otros mucho muy complejos, permiten detectar
detalles más finos de una imagen. Su complejidad se debe a que van más
allá de un simple detector. Es decir, toma en cuenta la percepción e
interpretación de las imágenes para ser reconocidas por el cerebro. Un
ejemplo de ello es el ojo humano.
127
Las funciones de cada parte del ojo son esenciales para un buen
desempeño de nuestro sentido de la vista, ellas nos permiten captar, percibir
y encontrar las imágenes capturadas por este sistema de manera sensible e
inteligente.
Históricamente, el ojo por lo general lo han definido aproximadamente
esférico, lleno principalmente de una sustancia transparente un tanto
gelatinosa y viscosa llamada humor vítreo, que rellena el espacio
comprendido entre la retina y el cristalino por su superficie posterior. El
humor transparente o acuoso, se encuentra situado en el espacio existente
entre la cara anterior del cristalino y la córnea por su cara posterior y es
también de naturaleza transparente pero menos viscosa. El cristalino mal
llamado una lente de enfoque es sostenido por un músculo llamado ciliar
que permite la acomodación del cristalino. El ciliar también está conectado al
iris que se abre y cierra para regular cuánta luz entra y sale de la cámara
ocular. En la figura D.1 se muestra un dibujo artístico de un corte transversal
del ojo y se señala algunas de sus partes, así como también una fotografía
de un ojo con iris color azul.
Figura D.1 Corte transversal de un ojo y una fotografía del lado anterior.
128
Para que los rayos de luz se puedan enfocar en la retina, se deben refractar
adecuadamente. Como es bien sabido la cantidad de refracción requerida
depende de la distancia del objeto que se desea ver. Un objeto distante
requerirá menos refracción que uno más cercano. Una parte de la refracción
ocurre en la cornea, que tiene una curvatura fija, el resto de la refracción se
da en el cristalino.
Desafortunadamente al envejecer, el ser humano va perdiendo esta
capacidad de ajustar el enfoque y ha sido un tema de gran estudio, así como
también, la degradación de las imágenes retinianas debido a la degradación
de la cornea [30], igualmente por la edad.
Figura D.2 Corte transversal de un ojo y el esquema histológico del
cristalino, cortesía de Vázquez [31].
E.3 Desarrollo de las suturas en el cristalino.
Se ha dado poca importancia al desarrollo propio del cristalino y en especial
a las suturas, ya en el pasado el Doctor T. Young hacía referencia sobre las
suturas. En la Figura D.3 se muestra un dibujo que contiene la disposición de
las suturas que estaban presentes en el cristalino de una persona, por
129
aquella época. Con el advenimiento de la alta tecnología y en especial el de
la imagen logia médica fue posible realizar un estudio más minucioso; como
el que reporta el equipo del Dr. Kuszak. El y sus colaboradores propusieron
los mapas de proyecciones cilíndricas, utilizados en la antigüedad para
conocer las características esferoidales de una superficie, para analizar el
desarrollo de las suturas y la disposición de las fibras secundarias del
cristalino. En la parte de superior de la Figura D.4 se muestra el mapa de
proyecciones cilíndricas de la tierra; abajo el correspondiente un cristalino
donde se aprecia el ecuador y los polos.
Figura D.3 Suturas del cristalino reportadas por el Dr. Thomas Young.
Lo importante del estudio de Kuszak et. al. es su propuesta sobre el
desarrollo de las fibras y el crecimiento de las suturas. En la figura D.5 se
puede ver el desarrollo de un cristalino en 6 etapas de desarrollo. Este es el
caso de un cristalino porcino, donde claramente se aprecia que en su etapa
inicial su estructura es completamente esférica, y la disposición de las fibras,
donde el hemisferio anterior y posterior es simétrico y pueden garantizar una
estructura rotacionalmente simétrica, en esta etapa el cristalino tiene 325
fibras de un espesor aproximado de unas micras. En esta etapa no hay
suturas apreciablemente visibles. Sin embargo, ya en la quinta se aprecia
130
las suturas y la disposición de las fibras, en esta etapa el cristalino cuenta
con aproximadamente 1575 fibras con un espesor de aproximadamente 5
micras.
Figura D.4 Mapa de proyecciones cilíndricas de la tierra y de un cristalino
porcino propuestas por Kuszak.
En el caso de los humanos y en edad adulta llegamos a tener 12 suturas
dispuestas tanto en el hemisferio anterior y posterior. En la Figura D.6 se
muestran dos mapas de proyecciones correspondientes a una persona sana
y otra enferma de diabetes. Donde claramente se aprecia que el crecimiento
131
de las suturas no es del todo simétrico, en especial, las suturas de la cara
posterior del cristalino.
Figura D.5 Cantidad de fibras presentes en el desarrollo de un cristalino
porcino según Kuszak.
El crecimiento, de alguna forma anómala, de las suturas de la cara posterior
del cristalino en el caso de una persona enferma de Diabetes afecta el
desempeño del cristalino; y por lo tanto, su poder óptico se ve debilitado. Es
razonable que se presenten aberraciones más fuertes en este tipo de
cristalinos, Figura D.7.
132
En la Figura D.6, se muestra una serie de interferogramas distorsionados por
la presencia de las suturas, en este caso corresponde a un cristalino de
cerdo porcino.
Figura D.6 Disposición en “Y” de las suturas de un cristalino porcino
espaciadas 120 grados en la cara anterior y posterior.
133
Figura D.7. Fibra secundaria del cristalino y la simetría de las suturas en una
persona sana y una enferma, según Kuszak.
b) Persona enferma de Diabetes
a) Persona sana
134
APÉNDICE E PROGRAMA ETI-1D
En este apéndice se lista el programa de la técnica ETI-1D.
S2 submatrix X2 61, 411, 248, 253,( ):=r 480=r rows X2( ):=c 488=c cols X2( ):=
X2 READ_IMAGE "rendija navaja 200 micras distancia 010 220305 quinceava.bmp"( ):=
2.- Datos de la segunda intensidad Rendija de 200 micras, distancia 010 micras
r 351=c 6=r rows S1( ):=c cols S1( ):=
Numero de renglones:numero de columnas:S1 submatrix X1 61, 411, 248, 253,( ):=
r 480=r rows X1( ):=c 488=c cols X1( ):=
X1 READ_IMAGE "rendija navaja 200 micras distancia 000 220305 quinceava.bmp"( ):=
1.- Datos de la primera intensidad Rendija de 200 micras, distancia 000 micras
Ejemplo del Programa para la integración unidimensional
de la ETI
, , , ,( )numero de columnas: Numero de renglones:
c cols S2( ):= r rows S2( ):=c 6= r 351=
3.- Normalización de la intensidad
M rows S2( ):= M 351= N cols S2( ):= N 6=
135
5.- Calculo de la primera Integral I1 H( ) r 0←
Mr0
r
i
Hi∑=
←
r r 1+←
i 0 M 1−..∈for
M
:=
I H( ) r 0←
c 0←
Mr c,0
N 1−
j
Hi j,N∑
=
←
r r 1+←
i 0 M 1−..∈for
M
:=
NI H VM,( ) r 0←
c 0←
Mr c,Hi c,VM
←
r r 1+←
i 0 M 1−..∈for
M
:=
max I S2( )( ) 44.167= max I S2( )( ) 44.167=
4.- Cálculo de la variación de la intensidad respecto a la propagación
dz 0.010:=
Der NI I S2( ) max I S2( )( ),( ) NI I S1( ) max I S1( )( ),( )−dz
:=
136
6.- Calculo de la segunda Integral I2 H I,( ) r 0←
Mr 1
0
r
i
Hi
Ii∑=
⋅←
r r 1+←
i 0 M 1−..∈for
M
:=
137
APÉNDICE F
Vol. 2, No. 11/November 1985/J. Opt. Soc. Am. A 2019
Image formation in terms of the transport equation
Michael Reed Teague
Lawrence Livermore National Laboratory, University of California, Livermore, California 94550
Received December 21, 1984; accepted June 20, 1985
A scheme for recovering phase using irradiance data alone, without interferometric techniques, is developed using
the transport equations for phase and irradiance. For the case of one transverse dimension a general solution, for anarbitrary irradiance distribution, of the transport equation for the optical phase is already given by an application ofthe divergence theorem. Numerical simulation results are given that indicate that the phase-recovery schemeworks well even in the presence of large pupil-plane aberrations if the signal-to-noise ratio is sufficiently high. In
particular, pupil-plane phase aberrations may be determined from irradiance measurements in two planes that arenear the image plane.
1. INTRODUCTION
The determination of optical phase using minimal irradi-ance measurements, without interferometer techniques, hasbeen investigated extensively and is well summarized in
several recent review articles.1'3 Most recovery schemesmay be classified as either iterative or deterministic. For
iterative schemes'-5 the number of necessary irradiancemeasurements is always less than the number required fordeterministic schemes. One starts with an initial guess (of-
ten a set of random numbers) for the unknown phase anduses known modulus data, along with external and/or apriori constraints, to improve iteratively the phase estimate.On the other hand, deterministic phase-recoveryschemes-12 attempt to determine the unknown phase di-rectly by measuring sufficient irradiance data to permit aunique determination of phase.
Recent derivations ", 2 of the transport equations forphase and irradiance suggest various deterministic phase-recovery schemes. This paper describes a solution of thetransport equations in a transverse plane near the imageplane. The solution allows the optical phase in that plane tobe determined from known irradiance data in the neighbor-hood of that plane (two-plane measurements are sufficient).The optical phase in any other transverse plane, e.g., thepupil plane, may then be found using (inverse) Fresneltransformation.
The characteristics of the proposed -phase-recoveryscheme were investigated extensively using numerical simu-lation. Representative results of this study are given inSection 4.
2. TRANSPORT EQUATIONS FORIRRADIANCE AND PHASE
Light of wavelength X travels in free space nominally in thepositive z direction. The (scalar) wave amplitude at a point(x, y, z) may be written as
u,(r) = exp[i0,(r)][Iz(r)]1 2 , (1)
where r = (x, y), 0 is the phase and I is the irradiance.Within the region of applicability of Fresnel diffraction the-
ory, the relationship between wave amplitudes in two trans-verse planes labeled by o and z is given by the Fresneltransformation1 3" 4
(2)uz(r) = eikzu0(r) * * [exp(iirr 2 /XZ)]i Xz
where k = 27r/X and * * denotes two-dimensional convolu-tion over the transverse coordinates x, y. It is wellknown'13"5 that the integral relationship expressed by Eq. (2)is the general solution of the paraxial differential equation
i + + k u(r) = Oaz 2k/ (3)
where V2= e32 /dx2 + 02 /0 y 2.
To derive"l 2 the transport equations for irradiance andphase, it is convenient to use the paraxial Eq. (3) along withEq. (1). Multiply Eq. (3) on the left-hand side by u,* andmultiply the complex conjugate of Eq. (3) by u,. If the tworesulting equations are subtracted, one obtains (suppressingthe z subscript)
V IV =-k aI,Iaz
(4)
whereas, if they are added and the sum is multiplied by I,one gets
_I V2I-4 (VI)2 - I 2(V) 2 +2k2I 2 =k2I2 8qX (5)2 4 ak
Obviously it is in general easier to solve the paraxial Eq. (3)than the transport Eqs. (4) and (5). However, if I is known(over a region to be specified later) then Eq. (4) is a linearelliptic differential equation determining 0.
It should be pointed out that the transport equationsexhibit singular behavior at any point at which I is zero. Byits definition I is nonnegative; Eqs. (4) and (5) imply imme-diately that if I = 0 at a point, then I = 0 = al/az at the samepoint. Moreover 4 drops out of the transport equations atsuch a point. This behavior is a manifestation of the well-known result16 that the optical phase becomes indetermi-nate at a point where irradiance vanishes. However, thisfeature definitely affects the scheme of this paper to recover
0740-3232/85/112019-08$02.00 © 1985 Optical Society of America
Michael Reed Teague
2020 J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 2, No. 11/November 1985
the phase from image-plane irradiance data. For example,the diffraction pattern of a point object in the presence ofsmall aberrations has sharp irradiance nulls in the imageplane. Suppose now that an inner region and an outerregion are separated by a closed curve of null irradiance.Then, combining Eq. (4) with a knowledge of I allows one todetermine separately in each of the two regions as long asindependent boundary conditions on are specified in eachregion. The solution for cannot, however, be continuedacross the null irradiance curve. That is, specifying bound-ary conditions for in one region does not allow one todetermine in the other region. The phase-recoveryscheme of this paper avoids the complications due to sharpirradiance nulls by using irradiance data in a plane near theimage plane. This plane is chosen sufficiently close to theimage plane that the irradiance is still large; yet it is farenough away from the image plane that the sharp nulls arefilled in by defocusing.
Finally, note that the basic transport Eq. (4) may be writ-ten as
v20 + [V ln(+ )] V = -k a In ( 4
where I is an arbitrary constant that does not affect thevalue of . Equation (4) shows that the phase is actuallydetermined by the three-dimensional logarithmic gradientof irradiance. Also note that if phase error is expressed interms of path error W, 0 = k W, then X drops out of Eq. (4) or(4').
3. SOLUTION OF THE TRANSPORTEQUATION FOR THE CASE OF ONETRANSVERSE DIMENSION
Henceforth consider the case in which the wave amplitude u,depends on only one transverse coordinate, x. This restric-tion describes the situation for which the initial plane z = 0contains a split pupil or cylindrical lens and for which anyaberrations depend only on x. Then the transport equationfor phase becomes
-aI ha a I, (6)ax ax az
and thus
I 2(x)- o(x) = I(x0) -k dx' - I,(x'), (7)ax ax, L. azz
which determines a(x)/ax unless Iz(x) is zero. Finally,
OWx = O(x0,) + fX d ' F dx a~ 0-L (J, d -T I-t) I(x) [ ax(, Ix az J
(8)
where again the z label has been suppressed. [All quantitiesin Eq. (8) refer to one transverse plane z.] Equation (8) is anexplicit solution for o,(x) in terms of Iz(x), aI,(x)/az, and thetwo initial values oz(xo) and az(x)/ax. In many cases ofinterest, neither the initial phase (x0) nor its initial gradi-ent ak(x,)/ax 0 is needed. (xo) is generally an uninterestingpiston term. The initial point x can often be chosen suchthat the second term inside the square brackets on the right-
hand side of Eq. (8) is dominant, in which case the value ofa0(x)/ax 0 is not important. One can also see explicitly fromEq. (8) that the phase can be determined in the interval (x0,x) only if I is nonnull in that interval.
Finally, note that the integration of Eq. (6) is an applica-tion of the divergence theorem in one dimension. For thegeneral case an application of the two-dimensional diver-gence theorem to Eq. (4) gives only
dsIF=-k JRdxdyalaz, (7')
where F - (-I aVay, I a/ax); i.e., F is the vector IVOrotated through an angle +7r/2. c is a closed curve enclosingthe region R in the xy plane. Equation (7') is a valid integralidentity in the general two-dimensional case. Unlike theone-dimensional case, however, it does not immediately im-ply the general solutioA of the transport equation.
4. NUMERICAL RESULTS
A numerical simulation has been constructed to investigatethe characteristic features of recovering phase near the im-age plane based on the solution of the transport equation,i.e., Eq. (8). For the results shown in this section, the follow-ing numerical parameters were chosen arbitrarily: thewavelength X = 10-6 m; the slit pupil width 2a = 2 X 10-' m;the imaging system has f # = 2. [Actually, for Fresnel dif-fraction theory, the important dimensionless parameters arethe Fresnel number - = a2/Af = 2.5 X 104 and the defocusingparameter = (z - 1)/f, where f is the focal length of thesystem and f# = f/2a.] The pupil-plane phase aberrationwas arbitrarily taken to be
8
'oj(x) = 2ir E aPn(x)n=0
(9)
where P(x) is a normalized Legendre polynomial. In gener-al the aberration parameters la,1 were random numbers.
Phase recovery based on the transport equation solutionEq. (8) assumes that I(x) and I(x)/ax are known from mea-surements in some plane near the image plane, as well as theinitial values (xo) and a0(x0 )lax0 in the same plane for someinitial transverse point x. The simulation calculates fromthe known slit pupil with the aberration po given by Eq. (9).The calculation uses Fresnel diffraction theory, Eq. (2), andassumes random noise of adjustable degree in the detectorplane. The simulation also has a flag that allows the initialvalues qp(xo) and a(x 0)/ax0 to be set equal to zero. Thischoice corresponds to assuming that these quantities are notmeasured; thus the accuracy of phase recovery based only onirradiation values in two nearby planes may be assessed.The Fresnel transformation between two transverse planes(and also the inverse transformation) was calculated nu-merically using a conservative choice of a 2048-point fast-Fourier transformation (FFT). However, in the numericalresults shown in this section, the pupil was actually sampledby 256 points and the image plane(s) by 650 points.
A. The Aberration-free Pupil: No Detector NoiseThe most elementary test of the validity of a phase-recoveryscheme is the following: If the (near) image-plane dataresult from an unaberrated pupil, then the scheme should
Michael Reed Teague
Vol. 2, No. 11/November 1985/J. Opt. Soc. Am. A 2021
NE
'a,
CU
c
0
Fig. 1.rations.
-3 -2 -1 0 1 2 3
x2f#Image-plane point-spread function in the absence of aber-
4
3
2
-I o
0
1
0
-1
-2
-3
-4
-5-3 -2 -1 0 1 2 3
X2Xf#
Fig. 2. (log,0 I/Ia)-' in the image plane for the aberration-free case.I, = 1.0 AW/M2 .
accurately predict that the pupil-plane phase aberration iszero. Thus the numerical simulation was first optimizedempirically to perform well in the trivial case of no pupil-plane aberrations. That is, optimal defocusing planes weredetermined; various locations of the initial point x0 weretried; FFT's with different mesh sizes were investigated.With the simulation parameters fixed, the phase-recoveryscheme was then tested in the presence of severe pupil-planeaberrations.
Figure 1 is just the familiar diffraction pattern, at theimage plane, of a slit pupil. The arbitrary peak value of 105Aw/m 2 corresponds to a unity Strehl ratio. The abscissa is t
= x/(2Xf#). Figure 2, which is a plot of (logl0 I/Ia)-l versusI, indicates immediately difficulty with division by I(x) inEq. (8). Although the theoretical diffraction pattern hasrigorous nulls in the image plane, the simulated diffractedpattern only has very deep minima due to aliasing effects -inthe FFT's and numerical round-off errors. However, it was
impossible to continue with accuracy a numerical phase-recovery solution across a relative null, as is to be expectedfrom the theoretical considerations of Section 2. Moreover,as Fig. 3 trivially indicates, the image plane is a singularlocation to examine optical phase since the phase there onlyaccounts for the sign of the wave amplitude, which is propor-tional to (sin 27r)/(2-rx).
Figures 4, 5, 6 should be compared with Figs. 1, 2, and 3,respectively. Figure 4 is the point-spread function at aplane z = f(l + 10-4). The depth of focus -X(f#) 2 = 4 X10-6 m and z - f = 4 X 10-5 m = f X 10-4; the phase-recovery
plane for the results shown in Subsection 4.A is not theimage plane but rather a plane 10 times the depth of focusbehind the image plane. This choice avoids the sharp im-age-plane irradiance nulls but reduces the peak signal
2.5
2.0
CU
0-
1.5
1.0
0.5
0
-0.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
x2Xf#
Fig. 3. Image-plane phase for no pupil-plane aberrations. The 7rshifts in phase are solely to account for the i sign of the waveamplitude.
14,000
12,000
N
E 10,000
¢ 8,000
a.x 6,000
4,000
2,000
0*-3 -2 -1 0 1 2 3
X2Af#
Fig. 4. Point-spread function (psf) at a defocus plane; appearanceof psf a distance 10 times the depth of focus behind the image plane.There are no pupil-plane aberrations.
Michael Reed Teague
2022 J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 2, No. 11/November 1985
4
3
2
1
0
-1
-2
-4-3 -2 -1 0 1 2 3
X2Xf#
Fig. 5. (logio I/II)-' at the phase-recovery plane. Same plane asFig. 4.
3.0 I 1 I I I I T
2.5-
2.0 -
1.5
1.0
* ~0.5 -0
-!~ 0
CD -0.5
- 1.0
-1.5
-2.0
-2.5-
-3.0 1-3 -2 -1 0 1 2 3
x2Xf#
Fig. 6. Optical phase at the phase-recovery plane. Discontinuitiesare artificial and produced by requiring phase to be in interval (-7r,+7r] for this plot.
strength by almost a factor of 7. Figure 5 also indicates theabsence of sharp irradiance nulls in this plane. (The loca-tion of the phase-recovery plane will be changed in Subsec-tion 4.B for improved signal-to-noise characteristics.)
Figure 6 shows the optical phase in this plane. In mostcases (the exception to be mentioned later) the optical phaseis constrained in the simulation before plotting to lie in theinterval (-7r, +7r]. This constraint produces the artificial±27r shift discontinuities in Fig. 6. Otherwise is wellbehaved; there are none of the characteristic ±7r shifts thataccount for sign changes in the wave amplitude. Finally,Fig. 7 shows al/az [needed in Eq. (8)] at the recovery plane. Itwas found empirically that z should be 10-7 m (recall depthof focus = 40 X 10-7 m) to obtain accurately aI/az from twoplanes spaced a distance z apart at the phase-recovery
Michael Reed Teague
plane z = f(1 + 10-4). This value of e6z was determined asfollows: the slit pupil was replaced by a Gaussian pupil, andthe numerically derived value for aI/az at the recovery planewas compared with the analytically obtainable (in the case ofthe Gaussian pupil) expression for al/az.
Figure 8 shows the phase at the recovery plane. In allfigures in this paper, curves containing cross hatches areobtained using phase recovery based on the transport equa-tion [i.e., the solution given by Eq. (8)], while non-cross-hatched curves in the same figure are simply the predictionof Fresnel diffraction theory. The known irradiance at therecovery plane and the phase obtained there using the trans-port equation determine the wave amplitude u(x) at therecovery plane. Inverse Fresnel transformation then yields
15
10
5C-E
3
N
0
-5
-10
-15
-20
-25
E+07
-3 -2 -1 0 1 2 3
X2Xf#
Fig. 7. Longitudinal gradient of irradiance at the phase-recoveryplane. z used in obtaining a1/az was 1/40 X (depth of focus).
CU
.C
a)
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
-3.0-6 -4 -2 0
X2Xf#
2 4 6
Fig. 8. Retrieved phase at the recovery plane. All cross-hatchedcurves in this paper are obtained from phase recovery based ontransport equation; non-cross-hatched curves in same figure arepredictions of Fresnel diffraction theory.
-1 _
. .TIo0n
0,C
I
- I I I I I
l -I I I -1 __F___7
I I I I -
Michael Reed Teague
3.0 - I | | | I
2.5
2.0
1.5
1.0
C 0.5
.0
CU - 0.5- 1.0
-1.5
-2.0__
-3.0 I I | I I I I I _
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 0
X (centimeters)
Fig. 9. Recovered pupil-plane phase in the aberration-free case.The phase aberration is 0.0053 wave and reflects the accuracy of thenumerical simulation.
2.0
1.8
1.61
N
CU_V
3:
.X~CCU
CU
1.41
1.2
1.0
0.81
0.6
0.4
0.2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
X (centimeters)
Fig. 10. Recovered pupil-plane irradiance. Riplets are due to in-verse Fresnel transforming a finite, rather than infinite, region ofthe image plane.
the complex wave amplitude in the pupil plane. Figures 9and 10 show, respectively, the pupil-plane phase and irradi-ance obtained with this method of phase recovery near theimage plane and inverse transformation back to the pupilplane. The rms phase of the derived pupil-plane phaseaberration was 0.0053 wave when the pupil was actuallyaberration free. The derived rms phase is nonzero owing tofinite size FFT's, numerical integration inaccuracies, andnonoptimal setting of such parameters as location of therecovery plane and choice of ttz in calculating SI/tz. Theripples in Fig. 10 are due to using a finite (rather thaninfinite) interval in the recovery plane when the inverseFresnel transformation is computed to obtain the complexpupil-plane amplitude. Figure 10 is used only as a diagnos-tic tool. The actual pupil function is known to be a uniformslit of diameter 2a. For Figs. 8-10 the initial point was
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taken to be x0 = 0, which requires 0 and ap/ax to be known atthe center of the recovery plane. In Figs. 11-16, which arediscussed in Subsection 4.B, no such a priori information isassumed known, and x, is taken as x0 =-40Xf#. In theimage plane the Airy disk has radius t = 0.5. For such alarge transverse position the values of I(x0) and aI(x0)/az aresmall, and setting 0 and ak/ax to zero at this starting point isnot a serious error.
B. The Severely Aberrated Pupil: With Detector NoiseIn Figs. 1-10 the only noise added to the simulation wasquantization noise, i.e., round-off errors, finite mesh sizes,and finite size FFT's. In phase recovery based on the trans-port equation aI/az is needed, and the operation of differen-tiation is especially vulnerable to detector plane noise.Moreover, in an earlier paper17 it was found that the parame-
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
C
CU
a)
CU
0w
-1.
-0.
0
U
0.5
1.0 F1.5 F
2.0 F2.5 F3.0L~ _
-10 -8 -6 -4 -2 0 2X (centimeters)
46 8 10Fig. 11. Recovered pupil-plane phase in the aberration-free case.There is no noise, and the noise-optimized parameters discussed inSection 4 are used. The rms wave-front error is 0.0395 wave.
3.0
2.5
2.0?
1.5
- 1.0C.m 0.5
.t 0c -0.5a.
-1.0F
-1.5
-2.0
-2.5
-3.0 :-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
X (centimeters)
Fig. 12. Noise effects in the aberration-free case. Photon-limitednoise is present in the detector plane and the signal-to-noise ratio atthe central pixel is 10:1. The rms plane error is 0.0838 wave.
I I I I I I I I I . I I
I I I I I I I I
- - - - - - - - - - -
l§W' . . . . . . . . ...
, , . , , , _ , _ _ _
I I I ___ -
U
2024 J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 2, No. 11/November 1985
CcCU
oCU
X (centimeters)
(a)
100000
90000
80000
700001
60000K
50000
40000
30000
20000[
10000
-4 -3 -2 -1
plane, i.e., roughly a distance one fourth the depth of focusrather than 10 times it. (2) dz in estimating al/az was 2.40-7m, and (3) x0 was -40Xf# as mentioned before. With thesechoices, the aberration-free, noise-free accuracy of the re-covery scheme is acceptable (though not nearly so good asdescribed in Subsection 4.A), and the performance in thepresence of noise is considerably better.
Figure 11 shows the recovered phase when there are noaberrations with the above noise-optimized parameters,while Fig. 12 is the same situation where there is now photonnoise in the detector plane (i.e., the rms fluctuation of the
CCU0
'a
C-
X21Xf#
(b)
Fig. 13. Severe aberrations but no detector noise. (a) The recov-ered pupil-plane phase. rms phase error is 0.193 wave. (b) The psfimplied by the difference of curves in (a).
ters chosen in Subsection 4.A indicated, by the numericalsimulation, mediocre performance of the recovery schemeonce detector noise was included. The adjustable parame-ters of the recovery scheme that affect both accuracy andsignal-to-noise characteristics are (1) the location of thephase-recovery plane, (2) dz used in determining al/az, and(3) the size of the region in the recovery plane that is inverseFresnel transformed to obtain the pupil-plane phase. Aglobal investigation of performance of the recovery schemein the presence of severe pupil-plane aberrations and detec-tor-plane noise was undertaken by varying the first threeparameters mentioned in the preceding sentence. This ledto the following best values, which are used in Figs. 11-16.(1) The phase recovery plane was 10-6 m behind the image
30
25
20
15
10
5
0 O
-5
-10
-15
-20
-25
-30-10
/
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8X (centimeters)
(a)
1 UUUUU I
90000
80000
" 70000
a 60000
> 50000a)C. 40000
' 30000
20000
10000
-4 -3 -2 -1 0X
2iAf#
(b)Fig. 14. Severe aberrations in the presence of noise. Severe aber-rations in the presence of noise. (a) Recovered phase, rms phaseerror is 0.277 wave. (b) psf implied by difference of waves in (a).Signal-to-noise ratio at central pixel was 1000:1 in Figs. 14-16, andFigs. 14-16 differ only because different statistical noise realizationswere used-all with the same rms photon-number fluctuations-inthese last three figures.
N
CV
E
aUoCCU0t
10
0 1 2 3 4
2 3 4
11
war _;llr_| llllll.lllll.. _.............
Michael Reed Teague
I �
- . 1-1
I
I
_- --
1
Vol. 2, No. 11/November 1985/J. Opt. Soc. Am. A 2025
-2 0 2X (centimeters)
(a)
4 6 8 10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4X
2Xf#
(b)
Fig. 15. Severe aberrations in the presence of noise. (a) Recoveredphase, rms phase error is 0.547 wave. (b) psf implied by differenceof curves in (a).
number of photons detected, N, is assumed proportional toN 112, and the normalization assumed was such that the sig-nal-to-noise ratio was 10:1 at the central pixel.
Figures 13(a) and 13(b) show results for severe aberra-tions, but no detector noise is assumed present. The input-phase parameters appearing in Eq. (9) were a. = ... = a8 =0.3 for Figs. 13-16. The rms phase error between the recov-ered and actual pupil-plane phase was 0.193 wave in Fig.13(a). A measure of how well the pupil-plane phase hasbeen recovered is to subtract the recovered-phase aberrationfrom the original-phase aberration (i.e., the phase-conjuga-tion method of image compensation) and to look at thepoint-spread function implied by the difference between theactual and recovered phase. This comparison is made in
c
C.
0
C-a.
Fig. 13(b). The solid curve is the point-spread functionimplied by the original-phase aberration of Fig. 13(a). Thecross-hatched curve is the point-spread function of the cor-rected phase, i.e., the difference between actual recovered-phase aberration. The original double-lobed point-spreadfunction improves to a single-lobed point-spread function,and the Strehl ratio increases from 15 to 90 percent.
In Figs. 11-16 it is crucial that phase-aberration anglesnot be restricted to (-7r, +r] but be allowed to vary continu-ously. Otherwise, when the recovered-phase aberration issubtracted from the actual-phase aberration, artificial andincorrect phase errors will be produced.
Finally, Figs. 14-16 show the result of adding noise to thesituation shown in Fig. 13. In Figs. 14-16 the detector noise
X (centimeters)
(a)
100000
90000
80000[
N 70000
,s 60000
CCU
'aCU
50000 1
40000 K30000
20000 / \
10000 '/ \\ \ \
0 r t--4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x2Xf#
(b)
Fig. 16. Severe aberrations in the presence of noise. (a) Recoveredphase, rms phase error is 1.29 waves. (b) Implied by difference ofcurves in (a).
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30 --10 -8 -6 -4
CCU
CUa
-
N
E
._
0-
:1
a
CCU
Michael Reed Teague
I
I
I
2026 J. Opt. Soc. Am. A/Vol. 2, No. 11/November 1985
was again assumed to be only photon noise, and now thesignal-to-noise ratio was 1000:1 at the central pixel. Figures14-16 differ only because different statistical realizations ofnoise, all having the same rms value of photon fluctuations,were used.
Not surprisingly, phase cannot be recovered accuratelyunder simultaneous conditions of large aberrations, smallsignal-to-noise ratio, and only irradiance measurementsover a small area in the recovery plane. For small aberra-tions, larger noise may be tolerated. For large aberrations,very little noise can be present if an accurate phase recoveryis to be made.
Finally, it is pointed out that (in a somewhat differentcontext) the question of the region of validity of the trans-port equation of phase has been investigated in two recentpapers.1 8 ,1 9
5. SUMMARY AND CONCLUDING REMARKS
The method of phase recovery based on the transport equa-tion has been applied to find the optical phase in a trans-verse plane near (but not at) the image plane of an opticalsystem. It is assumed that irradiance I and al/az are knownfrom measurements at this recovery plane. The pupil-planephase aberration may then be obtained using inverse Fresneltransformation on the recovery plane phase and irradiancedata. Numerical simulation indicates that the phase-recov-ery scheme applies even in the case of severe aberrations, ifthe signal-to-noise ratio is high enough.
The qualitative characteristics displayed in the case of onetransverse dimension (slit pupil) are expected to carry overto the general case. In that case the general elliptical partialdifferential equation for [Eq. (4)] must be solved. Whilethat is a straightforward numerical task, it is not knownwhether a simple analytical solution exists in the generalcase [for arbitrary irradiance I(x, y)] analogous to Eq. (8).
Finally it is pointed out that (in a somewhat differentcontext) the question of the region of validity of the trans-port equation of phase has been investigated in two recentpapers.18,19
ACKNOWLEDGMENTS
A preliminary version of this paper was presented in a lec-ture at the workshop on "Unconventional Imagery" spon-sored by the U.S. Army Research, Development and Stan-dardization Group-UK and held September 23-28,1984, atRigi-Kaltbad, Switzerland.
The author acknowledges enlightening discussions withR. Gonsalves and N. Streib regarding this work.
This work was performed jointly under the auspices of the
U.S. Department of Energy by Lawrence Livermore Nation-al Laboratory under contract W-7405-ENG-48 and for theU.S. Department of Defense under Defense Advanced Re-search Projects Agency ARPA Order No. 4395 AmendmentNo. 31, mohitored by Naval Surface Weapons Center underdocument numbers N60921-85-POW0001 and SDIO/BMD-ATC MIPR No. W3-RPD-53-A127.
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Michael Reed Teague
146
APÉNDICE G
147
148
149
150
Lista de Figuras
Figura 2.1. Frente de onda ideal para una fuente puntual. Cuando se
considera z=200 u.l. e intensidad normalizada.
Figura 2.2. Cuatro diferentes clases de intensidad a lo largo de una hilera de
pixeles en la dirección transversal y del detector.
Figura 2.3. Función colocada para la cuadratura numérica.
Figura 2.4. Principio de medición para ETI-1D.
Figura 2.5. Variación de la intensidad de referencia 0I respecto a z ,
tomando en cuenta la longitud de onda del haz de referencia.
Figura 2.6. Interferogramas clásicos obtenidos en pruebas ópticas para el
análisis del frente de onda.
Figura 3.1.- Lente de prueba sin simetría rotacional, denominada lente de
Álvarez.
Figura 3.2. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)
del arreglo ETI usado para el sensado de superficies con simetría rotacional
en eje y fuera de eje por transmisión en forma unidimensional.
Figura 3.3. Montura para la lente de prueba
Figura 3.4. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)
del arreglo ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión..
151
Figura 3.5. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)
del arreglo ETI-1D e IDP para el sensado por transmisión usando una
cámara.
Figura 3.6. Fotografía deI arreglo IDP para el probado por transmisión.
Figura 3.7. Diagrama esquemático del arreglo IDP para el sensado por
reflexión, con este se sensaron la córnea y el cristalino.
Figura 3.8. Fotografía del arreglo IDP para el sensado por reflexión, con este
se sensaron la córnea y el cristalino.
Figura 3.9. Diagrama esquemático (parte superior) y fotografía (parte inferior)
del arreglo IDP para el sensado por transmisión de lentes intraoculares
variando el haz de referencia.
Figura 3.10. Detalle de la montura para el sensado de lentes intraoculares
variando el haz de referencia.
Figura. 3.11 Paso #1,
Figura. 3.12 a) Paso #2.
Figura. 3.12 b) Paso #2.
Figura. 3.13 Paso #3.
Figura. 3.14 Paso #4.
152
Figura. 3.15 Paso #5.
Figura. 3.16 Paso #6.
Figura. 3.17 Paso #7.
Figura. 3.18 Paso #9.
Figura. 3.19 Paso #10.
Figura. 3.20 Paso #11.
Figura. 3.21 Paso #12.
Figura. 3.22 Paso #13.
Figura. 3.23 Paso #14.
Figura. 3.24 Paso #15.
Figura. 3.25 Paso #16.
Figura. 3.26 Paso #17.
Figura. 3.27 Paso # 18.
Figura. 3.28 Paso #19.
Figura. 3.29 paso #19.
153
Figura 3.30. Curva típica de la transferencia del fotón, la grafica tiene tres
diferentes regiones de ruido.
Figura 3.31. Filtro variable frente al haz que emerge de un láser He-Ne
comercial.
Figura 3.32. Imagen de la Intensidad recibida en el detector CCD.
Figura 3.33. Histograma de los tonos de gris recibidos. En este caso el tono
de gris se normalizo al valor máximo promedio.
Figura 3.34. Histograma de los tonos de gris recibidos para cada píxel.
Figura 3.35. PTC obtenida usando filtros y una fuente de luz láser.
Figura 3.36. Simulación de imagen unidimensional en tonos de gris con
ruido aleatorio en cada píxel imagen E1 y simulación sin ruido E2, Diferencia
de perfiles en la columna 64 de E1 y E2.
Figura 3.37. Arreglo esquemático para hallar la PTC utilizando una pantalla
plana de LCD.
Figura 3.38. a) Análisis de intensidad en una columna del CCD.
Figura 3.38. b) Análisis de intensidad en una columna del CCD.
Figura 3.39. Grafica de valores, media y desviación estándar de la
intensidad en una columna del CCD.
154
Figura 3.40. PTC obtenida con la ayuda de una pantalla plana de LCD.
Figura 3.41 Alineado del interferómetro IDP por reflexión.
Figura 3.42 Recipiente para el transporte de los ojos recién extraídos.
Figura 3.43 Instrumental necesario para preparar la cornea y cristalino.
Figura 3.44 Imagen del aspecto como se encuentran los ojos previo a su
limpieza y preparación para el análisis de la cornea y el cristalino.
Figura 3.45 Enjuague del ojo para retirar fluidos propios de la extracción
hecha por el matarife.
Figura 3.46 Corte de parpados y músculo para aislar el globo ocular.
Figura 3.47 Corte de la conjuntiva y excedente de músculo para la limpieza
de la esclerótica.
Figura 3.48 Aspecto del globo ocular libre de conjuntiva y músculo.
Figura 3.49 Incisión con el bisturí sobre el ecuador del globo ocular para
guiar el corte con tijeras.
Figura 3.50 Corte inicial con tijeras sobre el ecuador del globo ocular.
Figura 3.51 Corte con tijeras sobre el ecuador del globo ocular.
Figura 3.52 Corte de la esclerótica en el ecuador del globo ocular con la
ayuda de unas tijeras quirúrgicas.
155
Figura 3.53 Imagen del cristalino en el interior del globo ocular por el lado
posterior.
Figura 3.54 Corte del ciliar con tijeras quirúrgicas.
Figura 3.55 Retiro del cristalino del interior del globo ocular.
Figura 3.56 Uso de un cepillo para retirar el humor vítreo.
Figura 3.57 Cornea en el interior de la cubeta para ser analizado por
reflexión.
Figura 3.58 Cristalino en el interior de una cubeta para ser analizado por
reflexión.
Figura 4.1 Sagitas comunes en las lentes tipo Álvarez.
Figura 4.2 Lente de Álvarez prestada por la Dra. Eva Acosta.
Figura 4.3 a), b) , c) y d) son resultados preliminares sobre la variación axial
(negro) , la primera (azul) y segunda integral (magenta) de la prueba de la
ETI a la lente tipo Álvarez.
Figura 4.4 Variación de intensidad a lo largo de la propagación ( zI ∂∂ / ) lente
tipo Álvarez.
Figura 4.5 Variaciones de fase a lo largo del eje transversal, tipo Álvarez.
156
Figura 4.6 Frente de onda recuperado mediante el empleo del método
basado en la ETI-1D y la línea punteada indica la curva con el mejor ajuste..
Figura 4.7 Frente de onda recuperado con la ETI-1D y la curva con el mejor
ajuste y el perfil encontrado con el IDP.
Figura 4.8 Interferogramas obtenidos de unas lentes intraoculares de acrílico
cortesía de Chamandoira [23].
Figura 4.9 a) Interferograma cuando hay viñeteo, b) mismo interferograma;
pero con color para resaltar la distribución de intensidad.
Figura 4.10 a) Presencia de una fibra textil cercana al orificio del IDP, b)
interferograma distorsionado por la presencia de una fibra textil.
Figura 4.11.- Interferogramas de un cristalino por transmisión.
Figura 4.12 Diagrama detallado de un interferometro IDP para el análisis por
reflexión.
Figura 4.13 Interferograma con falla en el seguimiento del orden de la franja
obtenido con IDP para el probado por reflexión.
Figura 4.14 Dislocación de fase obtenida con el IDP.
Figura 4.15 Interferogramas de un par de cristalinos por reflexión.
Figura 4.16 Interferogramas de dos corneas por reflexión.
157
Figura 4.17 Cristalino en la cubeta, provisto de soporte, para su sensado por
reflexión con el prototipo de IDP para probar por reflexión.
Figura 4.18 Globo ocular en cubeta óptica para el sensado de la cornea.
Figura 4.19 Distancia imagen en una placa de caras plano paralelas.
Figura 4.20 Arreglo esquemático para determinar espesores e índice de
refracción.
Figura 4.21 Arreglo esquemático para determinar espesores e índice de
refracción.
Figura 4.22 Haz convergente incidiendo en una esfera homogénea.
Figura 4.23 Distancia imagen en una esfera homogénea cuando un haz
convergente incide sobre ella.
Figura 4.24 a) Experimento para el cálculo del índice de refracción de una
bola homogénea y b) arreglo experimental usado.
Figura 4.25 Esquema para determinar la distancia focal de una lente.
Figura 4.25 Frente de onda recuperado con la ETI-1D y la curva con el mejor
ajuste y el perfil encontrado con el IDP.
Figura B.1 Descripción del principio de funcionamiento del IDP
Figura B.2 Anillos obscuros por la superposición de ondas U y U1.
158
Figura B.3 Esquema de la placa P para el IDP.
Figura B.4 Campos involucrados que intervienen para el análisis del IDP.: El
que corresponde al plano objeto, al del plano focal y al del plano de
observación. La placa ),( pp yxp del IDP se ubica cerca del plano focal.
Figura B.5 Esquema del IDP cuando tenemos una pupila de salida circular.
Se dibujan esquemáticamente los anillos obscuros en el plano de
observación.
Figura B.6 Esquema del IDP cuando tenemos una rendija como pupila de
salida, se dibujan esquemáticamente las bandas de interferencia en el plano
de observación.
Figura C.1 Sistemas de coordenadas para los polinomios de Zernike según,
astrónomos a) y oftalmólogos b).
Figura C.2 Frente de onda recuperado con el programa Apex y sus
respectivos perfiles en las direcciones transversales x-y.
Figura D.1 Corte transversal de un ojo y una fotografía del lado anterior.
Figura D.2 Corte transversal de un ojo y el esquema histológico del
cristalino, cortesía de Vázquez [31].
Figura D.3 Suturas del cristalino reportadas por el Dr. Thomas Young.
Figura D.4 Mapa de proyecciones cilíndricas de la tierra y de un cristalino
porcino propuestas por Kuszak.
159
Figura D.5 Cantidad de fibras presentes en el desarrollo de un cristalino
porcino según Kuszak.
Figura D.6 Disposición en “Y” de las suturas de un cristalino porcino
espaciadas 120 grados en la cara anterior y posterior.
Figura D.7 Fibras secundarias del cristalino y la simetría de las suturas en
una persona sana y una enferma.
160
Lista de Tablas
Tabla 4.1 Diferencia de los diámetros del primer y segundo anillos del disco
de Airy con el diámetro del IDP.
Tabla 4.2 Distancia focal posterior (dfp1).
Tabla C.1 Polinomios de Zernike listados en el manual de Apex.
161
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the human cornea as a function of age,” J. Opt. Soc. Am. A, Vol. 17, No. 10,
1697-1702 (2000).
[31] Vázquez, M. D., Tesis doctoral de la universidad de Santiago de
Compostela, España, (2007).
[32] V.N. Mahajan, G. M. Dai,”Orthonormal polynomials in wavefront
analysis: analytical solution,” J. Opt. Soc. Am. A., Vol. 24, 9, 2294-3016
(2007).
[33] Richard Barakat, Leslie Riseberg, ”Diffraction Theory of the
Aberrations of a Slit Aperture,” J. Opt. Soc. Am., Vol. 55, 7, 878-881 (1965).
[34] V. N. Mahajan, The Aerospace Corp, Lecture 3 on "diffraction effects
of aberrations" from his course held at INAOE Tonantzintla, Pue., México in
(2007).
[35] Stravroudis, O. “Basic Ray Optics” en Handbook of optical
Engineering, Optical Eng. Series Vol 73, Eds. D. Malacara and B.J.
Thompson, New York, (2001).
[36] Xiyuan Liu, Christian Hruscha, Karl-Heiz Brenner, "Efficient
reconstruction of two-dimensional complex amplitudes utilizing the
redundancy of the ambiguity function," Appl. Opt. Vol. 47, No. 22, 1 E1-E7
(2008).
165
Contribuciones
1.- Participación en el congreso nacional de física en la ciudad de Zacatecas
en el mes de Octubre 2008. Luis Rodríguez Castillo, F. Granados Agustín, A.
Cornejo Rodríguez., “Las suturas en el cristalino”.
2.- Participación y envío del proceedings a la SPIE para el Optics and
Photonics International Convention, celebrado en la ciudad de San Diego
California, en el mes de Agosto del 2008, Luis Rodríguez Castillo, F.
Granados Agustín, A. Cornejo Rodríguez, ”Optical testing by means of one-
dimensional interferograms performed with a point diffraction interferometer”.
3.- Participación en el congreso internacional de la ICO celebrado en la
ciudad de Sidney, Australia en el mes de Julio 2008, Luis Rodríguez Castillo,
F. Granados Agustín, A. Cornejo Rodríguez.,”A comparison of a one-
dimensional wave front retrieve with a point-diffraction interferometer (PDI)
and the irradiance transport equation (ITE)”.
4.- Participación en el octavo encuentro de investigación de INAOE,
celebrado en la ciudad de Tonantzintla, Puebla en el mes de Noviembre
2007. Luis Rodríguez Castillo, F. Granados Agustín, A. Cornejo Rodríguez.,”
Pruebas ópticas usando la ecuación del transporte de irradiancia, ETI”. 5.- Participación en la 4th European meeting on Visual and Physiological
Optics, celebrado en la ciudad de Heraklion, Grecia en el mes de Agosto
2008, Eva Acosta, Luis Rodríguez Castillo, Daniel Vazquez,”Contribution of
the crystalline lens to the azimuthal frequencies of the ocular aberration”.
166
6.- Envío de un artículo al Ophthalmic And Physiological Optics; The Journal
Of The College Of Optometrists, en el mes de Octubre de 2008; Eva Acosta,
Daniel Vazquez, Luis Rodriguez.,“ Analysis of the optical properties of
crystalline lenses by point-diffraction interferometry”.
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