Pruebas Anteriores Probabilidad

7/25/2019 Pruebas Anteriores Probabilidad

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PROBABILIDAD

Recopilacin de pruebas y controles anteriores

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Suponga que los sucesosAyBson tales que 2.0)( AP , 3.0)( BP y

4.0)( BAP Determine )( BAP y )'( BAP

Solucin)( BAP = )(AP )(BP )( BAP = 4.03.02.0

= 0.1

)'( BAP = )(AP )( BAP = 1.02.0

= 0.1

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. En la fabricacin de cierto artculo se encuentra que se presenta un tipo de defectos conuna probabilidad de 0.1 y defectos de un segundo tipo con probabilidad 0.05 Se suponeindependencia entre los tipos de defectosa) Cul es la probabilidad de que un artculo no tenga ambas clases de defectos?b) Cul es la probabilidad de que un artculo sea defectuoso?c) Cul es la probabilidad de que un artculo tenga un slo un tipo de defecto?

Solucin

Definicin de eventos:

1D = el artculo tiene el defecto tipo 1

2D = el artculo tiene el defecto tipo 2

Identificacin de datos:

1.0)( 1 DP ; 05.0)( 2 DP

1Dy

2D independientes )(

21 DDP )(

1DP )(

2DP

a) Como 21 DD significa que el artculo tiene ambos defectos, entonces )'( 21 DD

significa que el artculo notiene ambos defectos. Luego,

))'(( 21 DDP = )(1 21 DDP

= )()(1 21 DPDP (independencia)

= )05.0)(1.0(1

= 0,995

b) Un artculo es defectuoso cuando tiene uno de los defectos o tiene ambos defectos. Luego,

se pide)( 21 DDP = )()()( 2121 DDPDPDP

= )05.0)(1.0(05.01.0

= 0.145

c) ))'()'[( 2121 DDDDP = )'()'( 2121 DDPDDP (mutuamente. excluyentes)


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= )(2)()( 2121 DDPDPDP

= )05.0)(1.0(205.01.0

= 0.14

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. SeanAyBeventos tales que 0,2)'( AP ; 5,0)( BP y )'( BAP =0,4. Encuentre

)'/( BABP .

Solucin

De los datos se obtiene que:

80)(2.0)( .APA 'P ,

5.0)( BP

)'( BAP =0.4 4.04.08.0)'()()( BAPAPBAP .

Entonces,

)'(

))'()((

)'(

))B'(AP(B)'/(

BAP

BBBAP

BAP

BABP

=)'(

)'()'()(

BAP

BBBAPBBPBAP

=)'()'()(

)()()(

BAPBPAP

PPBAP

=

4.05.08.0

004.0

= 4/9-------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Un empleado puede entregar un trabajo a tiempo con probabilidad 0,75. Si el trabajo esentregado a tiempo, su empresa puede ganar una licitacin con probabilidad 0,9, si no, puedeganar la licitacin con probabilidad 0,3.

a) Cul es la probabilidad de que la empresa gane la licitacin?b) Si la empresa gan la licitacin, cul es la probabilidad de que el empleadohaya entregado el trabajo a tiempo?

Solucin

Definicin de eventos: T = el empleado entrega el trabajo a tiempoG = la empresa gana la licitacin

Identificacin de datos: 75,0)( TP 25,0)'( TP

9,0)/( TGP

3,0)'/( TGP

Identificacin de las preguntas:

a) )(GP = )'/()'()/()( TGPTPTGPTP (probabilidad total)

= )3,0)(25,0()9,0)(75,0(

= 75,0

b) )/( GTP =)(

)/()(

GP

TGPTP (Bayes)


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=75,0

)9,0)(75,0(

= 0,75------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5 Un estudio reciente en la regin metropolitana indica que el 60% de los das conproblemas ambientales es declarado en alerta, el 30% es declarado en pre-emergencia y el10% en emergencia. Tambin se sabe que el 10% de las urgencias mdicas en los das dealerta corresponden a problemas respiratorios y que en los das de preemergencia yemergencia este porcentaje es de 20% y 35% respectivamente.

a) Cul es la probabilidad de que en un da con problemas ambientales una atencin deurgencia sea por problemas respiratorios?

b) Si se sabe que una atencin de urgencia fue por problemas respiratorios, cul es laprobabilidad de que haya sido en un da de emergencia ambiental?

Solucin

Definicin de eventos: A = El da es declarado en alerta

PE = El da es declarado en preemergenciaE = El da es declarado en emergenciaR = Urgencia mdica por problemas respiratorios

Identificacin de datos: 60.0)( AP , 30.0)( PEP , 10.0)( EP

10.0)/( ARP , 20.0)/( PERP , 35.0)/( ERP

Identificacin de lo que se pide: En a) se pide )(RP y en b) se pide )/( REP

Identificacin de la regla del clculo de probabilidad necesaria:

a) Por la regla de las probabilidades totales se tiene que

)(RP = )//)()/()()/()( ERPEPPERPPEPARPAP

= )35.0)(10.0()20.0)(30.0()10.0)(60.0(

= 0.155

b) Por el teorema de Bayes se tiene que

)/( REP =)(

)/()(

RP

ERPEP

=155.0

)35.0)(10.0(

= 0.2258

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Los anuncios para televisin varan en su efectividad. Una agencia de publicidadprodujo un anuncio para TV de un producto nuevo (neumticos radiales para automvil).Elanuncio se puso a prueba con 300 consumidores y se determinaron sus reacciones al anuncio eintenciones de compra.


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IntencinDe compra

Reaccin al anuncio

Positiva Neutral Negativa

CompraraNo comprara

60120

3060

1020

a) Estime la probabilidad de que los consumidores compren el nuevo producto.b) Estime las seis probabilidades condicionales de intencin de compra dada la

reaccin de los consumidores: P(comprar/reaccin positiva), P(comprar/reaccinneutral),,P(no comprar/reaccin negativa)

c) En base a la muestra, piensa usted que la intencin de compra depende de lareaccin del grupo al anuncio? Justifique su respuesta.

Solucin

Completando la tabla se tiene lo siguiente

Intencin

De compra

Reaccin al anuncio

Positiva Neutral Negativa Total

CompraraNo comprara

60120

3060

1020

100200

Total 180 90 30 300

Sean los eventosC = el consumidor comprar el nuevo productoP= la reaccin al anuncio es positivaU = la reaccin al anuncio es neutralN= la reaccin al anuncio es negativa

a) 333,0300/100)( CP

Adems, 667,0300/200)'( CP

b) 333,03

1

180

60

300/180

300/60

)(

)()/(

PP

PCPPCP

333,03

1

90

30

300/90

300/30

)(

)()/(

PP

UCPUCP

333,03

1

30

10

300/30

300/10

)(

)()/(

PP

NCPNCP

667,03

2

180

120

300/180

300/120

)(

)'()/'(

PP

PCPPCP

667,03

2

90

60

300/90

300/60

)(

)'()/'(

PP

UCPUCP

667,03

2

30

20

300/30

300/20

)(

)'()/'(

PP

NCPNCP


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c) Dos eventos A y B son independientes si )()/( APBAP En este caso, la muestra

sugiere que la intencin de compra del consumidor es independiente de su reaccin alanuncio porque la probabilidad de comprar se mantiene igual a 0,333

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. Una fbrica tiene tres turnos. En un da dado, el 1% de los artculos producidos en elprimer turno son defectuosos, el 2% de los artculos producidos en el segundo turno sondefectuosos y en el tercer turno el 5% de los artculos producidos son defectuosos.a) Si los turnos tienen la misma productividad, qu porcentaje de los artculos producidos

en un da resultan defectuosos?b) Si un artculo result defectuosos, cul es la probabilidad de que haya sido producido

en el tercer turno?------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Si los eventosA,B yCson conjuntamente independientes demuestre quea) BA y C son independientesb) BA y C son independientes

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

adecuadamente su respuesta. Si es verdadera demustrelo en general. Si es falsademustrelo en general o de un contraejemplo.

a) Si BA , entoncesAyBson independientes

b) Si )()/( APBAP , entonces )()/( BPABP

Solucin

a) Falso AyBson independientes si y slo si )()()( BPAPBAP

Pero )()()( BPAPAP

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10 (Proceso de ramificacin)

Una poblacin parte con exactamente una clula (primera generacin). En el tiempo 1t esta

clula se divide en dos con probabilidad p o muere con probabilidad p1 . Si se divide,

entonces las dos clulas resultantes (segunda generacin) se comportan en forma

independiente con las mismas alternativas en el tiempo 2t . Esto es, ahora cada una de ellas

tambin pueden dividirse con probabilidad p y morir con probabilidad p1

a) Cul es la probabilidad de que mueran todas las clulas de la segunda generacin?b) Cunto debe valerppara que la probabilidad calculada en a) sea 0,5?------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11. Se baraja un naipe ingls estndar de 52 cartas en forma cuidadosa para que las cartasqueden ordenadas al azar. Calcule la probabilidad que al extraer 7 cartas aparezcan

a)

exactamente 3 asesb) exactamente 2 reyesc) exactamente 3 ases o exactamente 2 reyes.Solucin

Se usar la notacin nCrpara una combinatoria de r objetos tomados de nSean los eventos A= {en las 7 cartas extradas hay exactamente 3 ases}

B= {en las 7 cartas extradas hay exactamente 2 reyes}


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a) El espacio muestral consiste de todas las formas posible de seleccionar 7 objetos de 52.

Esto es, el nmero de elementos distintos de es igual a 752# C Para contar el nmero de resultados con exactamente 3 ases considera que tenemos libertadpara escoger tres ases de 4 y cuatro cartas de las 48 restantes. Por el principio multiplicativo,

se tiene que )448)(34(# CCA . As,

P(7 cartas incluyan exactamente 3 ases) =752

)448)(34(##)(

CCCAAP

b) Repitiendo el procedimiento de la parte a) se tiene que

P(7 cartas incluyan exactamente 2 reyes) =752

)548)(24(

#

#)(

C

CCBBP

c) Se pide )()()()( BAPBPAPBAP . El evento BA consiste de todos

conjuntos de 7 cartas que contienen exactamente 3 ases y exactamente 2 reyes. Elnmero de resultados distintos contenidos en BA se obtiene escogiendo 3 ases de 4,2 reyes de 4 y 2 cartas de las 44 cartas restantes. Por tanto, usando el principio

multiplicativo se tiene que )244)(24)(34(# CCCBA y

752

)244)(24)(34()(

C

CCCBAP

Entonces, )( BAP = )()()( BAPBPAP

=752

)244)(24)(34(

752

)548)(24(

752

)448)(34(

C

CCC

C

CC

C

CC

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------12. Usted dar una fiesta en su casa este domingo prximo si 60% o ms de sus invitadosquedan muy contentos con su fiesta. La probabilidad de que el domingo prximo sea un da

bonito es de un 30%. Si el da es bonito usted ocupar el exterior de su casa para recibir asus invitados; si el da est feo (no bonito) usted ocupar el interior de su casa. En caso deda bonito usted estima que un 90% de sus invitados estarn muy contentos en la fiesta. Encaso de da feo, su estimacin baja a un 40% de invitados contentos.a) Bajo las condiciones anteriores, decidir usted dar una fiesta este domingo prximo?b) Son los eventosBy Cindependientes?

B: da bonitoC: invitado contento

Solucin

a) Sean los eventos B={el da estar bonito}A= {el invitado quedar contento}

Los datos son: 3,0)( BP 9,0)/( BCP

4,0)/( c

BCP

Si 6,0)( CP la fiesta se hace

Usando la regla de las probabilidades totales se tiene que

55,04,07,09,03,0)/()()/()()( cc

BCPBPBCPBPCP

Por tanto la fiesta no se hace.


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b) )(55,09,0)/( CPBCP implica que los eventosBy Cno son independientes

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13 En un cierto concurso participan tres personas A, B, y C las que son identificadas connmeros de 1 a 3. El ganador del concurso cuyo premio es un auto 0KM (del ao), se obtiene

de la siguiente manera:Se elige con igual probabilidad y sin reposicin a dos de los concursantes; seguidamente selanza una moneda (honesta): si el resultado es cara, entonces el ganador es aquella personarotulada con el nmero mayor; si el resultado es sello, el ganador es aquella persona rotuladacon el nmero menor.Con la finalidad de estudiar las probabilidades que estn involucradas en este concurso, seanota cada resultado del concurso como un triple de nmeros ordenados segn el orden deaparicin a medida que se realiza el experimento.

a) Describa los elementos del espacio muestral S asociado a este experimento.

b) Calcule la probabilidad que el concursanteAsea el ganador.

c) Defina un segundo espacio muestral S cuyos resultados identifican solamente al

jugador que gana. Son equiprobables los resultados de este segundo espacio muestral?

Justifique.

Solucin

a)

b) () ||

||

c) Se tiene que

() ,

() ( ) () ( )

Entonces, los eventos de son equiprobables

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------14 Se baraja un naipe ingls estndar de 52 cartas en forma cuidadosa para que las cartasqueden ordenadas al azar. Calcule la probabilidad que entre las cinco primeras cartas seencuentre a lo menos un as.Solucin

La baraja un naipe ingls estndar de 52 cartas posee 4 ases, cada uno de distinta pinta.

SeaAel evento entre las cinco primeras cartas se encuentra a lo menos un as. Entonces, el

complemento cA es el evento ninguna de las cinco primeras cartas es un as y ocurre si seeliminan los ases de la baraja dejando las 48 restantes cartas para extraer 5 cartas. Las

probabilidades de cA yAson,

cartas5escogerdediferentesformasdetotal

asseannoquecartas5escogerdediferentesformasdetotal

#

#)(

AAP c

= 659,04849505152

4445464748


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341,0659,01)(1)( cAPAP

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15 De una caja que contiene 3 esferas rojas y 2 azules se extrae una esfera al azar y se lacoloca en una segunda caja que contiene 4 esferas azules y 2 rojas. A continuacin se extraeuna esfera al azar de la segunda caja.

a)

Cul es la probabilidad que se extraiga la misma esfera que se extrajo de la primera caja?b) Cul es la probabilidad de que la esfera extrada de la segunda caja sea roja?c) SeanAyBlos siguientes eventos:

A: la esfera extrada de la primera caja es rojaB: la esfera extrada de la segunda caja es roja

Son independientes los eventosAyB?

Solucin

a) Como la caja 1 tiene 5 bolas, entonces se extrae la misma bola de ambas cajas si (seextrae la bola 1 de la caja 1 y despus la misma bola 1 de la caja 2) o (se extrae la bola 2de la caja 1 y despus se extrae la misma bola 2 de la caja2) o (se extrae la bola 3 de lacaja 1 y despus se extrae la misma bola 3 de la caja2) o (se extrae la bola 4 de la caja 1 y

despus se extrae la misma bola 4 de la caja2) o (se extrae la bola 5 de la caja 1 y despusse extrae la misma bola 5 de la caja2)

Una manera ms simple de escribir esto es usar la notacin de eventos, subndices yoperatoria de eventos. Entonces, sean:

se extrae la bola ide la cajaj, con 5,4,3,2,1i y 2,1j

M= se extrae la misma esfera de la segunda caja

Luego, )()()()()( 52514241323122211211 BBBBBBBBBBM y

5

1

5

1

121

5

1

21 7/1)7/1()5/1(5)7/1()5/1()/()()()(ii

iii

i

ii BBPBPBBPMP

b)

El evento de inters puede ocurrir si (se extrae una esfera roja de la caja 1 y una roja de lacaja 2) o si (se extrae una esfera azul de la caja 1 y una roja de la caja 2)En smbolos:

= la bola extrada de la cajaj es roja, 2,1j = la bola extrada de la cajaj es azul, 2,1j

Entonces, )()( 21212 RARRR

)()()( 21212 RARRPRP = )()( 2121 RAPRRP = )/()()/()( 121121 ARPAPRRPRP

= 35/137

2

5

2

7

3

5

3

c)

3( )

7

13( )

35

P B A

P B

( ) ( )P B A P B

A y Bno son independientes


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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16 El 72% de los visitantes a un centro comercial de ventas de automviles son mujeres.Por otro lado, el porcentaje de los hombres visitantes a este centro comercial que realizan unacompra es igual al 40%. Denote por p al porcentaje de las mujeres visitantes a este centrocomercial que realizan una compra. Una vez que termina la actividad de ventas del da se

elige al azar a un comprador y se le entrega como regalo un viaje de placer a una ciudadturstica cercana. Se sabe que la probabilidad de que una mujer reciba el premio es igual a laprobabilidad de que un hombre reciba el premio. Cul es el valor dep?

Solucin

SeaMyHlos siguientes eventos:

M: visitante mujerH: visitante hombre

Dado que

Entonces,

Por tanto,

Es decir,

Luego,

Alternativa

Dado que

directamente del rbol, se obtiene:

visitantecompra visitantecompraP M P H

visitantecompra visitantecompra

visitantecompra visitantecompra

P M P H

P P


0, 72 0, 28 0, 4p

0,16p

mujer 0.72 compra p

hombre 0.28 compra 0.4


0, 72 0, 28 0, 4

0, 72 0, 28 0, 4 0, 72 0, 28 0, 4

p

p p


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Es decir,

Luego,

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17 Una cuarta parte de los residentes de una cierta comunidad dejan abiertos sus garajescuando salen de sus casas. El jefe de la polica local calcula que en 5% de los garajes cuyaspuertas se dejan abiertas se roban algn objeto, pero solamente en un 1% de los garajes cuyaspuertas quedan cerradas se han robado algo.a. Cul es la probabilidad de que haya un robo en un garaje en esa comunidad?b. Si los delincuentes han robado un garaje qu probabilidad existe de que las puertas de

ese garaje se hayan dejado abiertas?

Solucin

a) Sean los eventosA= el residente deja abierto su garajeC= el residente deja cerrado su garajeR= hay un robo en un garaje de esa comunidad

Los datos del problema son:

Se pide calcular y por la regla de las probabilidades totales se tiene que

=

=

= 0,02

b) = =

= 0,625

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------18

a) Sean A y B eventos tales que 4,0)(;3,0)(;2,0)( BAPBPAP . Calcule la

probabilidad )/( BAP c

Solucin

)/( BAP c

= )(

)(

BP

BAP c = )(

)()(

BP

BAPBP , 0)( BP

=)(

)}()()({)(

BP

BAPBPAPBP

=)(

)()(

BP

APBAP = 67,03/2

3,0

2,04,0

0, 72 0, 28 0, 4p

0,16p

75,0)(

25,0)(

CP

AP

01,0)/(

05,0)/(

CRP

ARP

)(RP

)(RP )/()()/()( CRPCPARPAP

)01,0)(75,0()05,0)(25,0(

)/( RAP)(

)/()(

RP

ARPAP

02,0

)05,0)(25,0(


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b) De 5 nmeros negativos y 7 positivos se seleccionan 4 nmeros al azar sin reposicin y

se multiplican. Cul es la probabilidad de que el producto sea un nmero positivo?

Solucin

positivo)oducto(PrP = negativos)4negativos)2ypositivos(2positivos4(P = )positivos4(P + negativos)2ypositivos(2P + negativos)(4P

=12

4

54

12

4

52

72

12

4

74

C

C

C

CC

C

C

=495

250

495

5

495

1021

495

35

5051,0 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

19 Un estudiante responde un examen de opcin mltiple donde cada pregunta tienecuatro posibles respuestas. Suponga que la probabilidad de que el estudiante sepa la respuestacorrecta a una pregunta es 0,8 y la probabilidad de que adivine la respuesta es 0,2. Si elalumno adivina, la probabilidad de elegir la respuesta correcta es de 0,25. Si el estudianteresponde correctamente una pregunta, cul es la probabilidad de que en realidad conozca larespuesta correcta?

SolucinSean los eventos S= el estudiante sabe la respuesta correcta a una pregunta

A= el estudiante adivina la respuesta a una preguntaC= el estudiante elige la respuesta correcta

Los datos son: 8,0)( SP 1)/( SCP

2,0)( AP 25,0)/( ACP Se pide:

)/( CSP =)/()()/()(

)/()(

ACPAPSCPSP

SCPSP

(Bayes)

=

25,0*2,01*8,0

1*8,0

9412,0

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20 Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

adecuadamente su respuesta. Si es verdadera demustrelo en general. Si es falsa de uncontraejemplo o demustrelo en general.

a) Si )/()/( c

BAPBAP , entoncesAyBson independientes.

b) Si 0)( BP , entonces )/(1)/( c

BAPBAP

Solucin

a) Verdadera)/()/(

cBAPBAP )(

)(

BP

BAP =

)(

)(c

c

BP

BAP , 0)( BP

)(

)(

BP

BAP =

)(1

)()(

BP

BAPAP

(Ver *)

)()()( BAPBPBAP = )()()()( BAPBPBPAP


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)( BAP = )()( BPAP AyBson independientes

b) Falso

Engeneral, )/(1)/( BAPBAP c

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Justificacin

De la figura se tiene que)()( BABAA

c )()()( BAPBAPAP

c

)()()( BAPAPBAP c

Del mismo modo,

)()( BABAB c

)()()( BAPBAPBP c

)()()( BAPBPBAP c

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------21 Con el fin de realizar una inversin se selecciona una de tres alternativasA, By C. Lasprobabilidades de escoger cada una de ellas son: 0,5 para A, 0,3 para By 0,2 para C. Comoresultado de la eleccin, se puede producir perturbaciones que detienen la realizacin de la

inversin. Esto ocurre el 10% de las veces si la alternativa fue A, el 20% si fueB y 15% si fueC.a. Hallar la probabilidad de que la inversin no se realice

b. Si la inversin se realizado, Cul es la probabilidad de lo haya realizado desde BA ?

Solucin

a. Sean los eventosA: La alternativa seleccionada es AB: La alternativa seleccionada es BC: La alternativa seleccionada es CR: la inversin se realiza

Entonces, )()/()()/()()/()( CPCRPBPBRPAPARPRP cccC

14,02,015,03,02,05,01,0

b. )/( RBAP =

)(

)()(

)(

)(

RP

RBPRAP

RP

RBAP


13/17

=)(

)()/()()/(

RP

BPBRPAPARP

Pero, 86,014,01)(1)( cRPRP

9,0)/(1)/(

ARPARP

c

8,0)/(1)/( BRPBRP

c

Entonces, 8023,086,0

038,05,09,0)/(

RBAP

Observacin: las formulas se pueden justificar con el rbol

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------22

a) SeaSespacio muestral yA,Beventos. Demuestre que

( ) () ()[ ()]Hay alguna restriccin para () () de modo que se cumpla la ecuacinanterior?

b) Si , puedenA yBser independientes?

23 Una caja contiene tres monedas. Una de ellas tiene 2 caras, una tiene dos sellos y otraes una moneda normal con un sello y una cara. Se escoge aleatoriamente una de estasmonedas, se lanza al aire y resulta cara.a) Cul es la probabilidad de que la moneda extrada haya sido la moneda de dos caras?b) Si la moneda extrada se lanza una segunda vez, cul es la probabilidad de que resulte

cara nuevamente?c) Si la moneda extrada se lanza una segunda vez resultando cara nuevamente, cul es

la probabilidad de que la moneda extrada haya sido la moneda de dos caras?Solucin

Define los eventos:M1= la moneda extraida es la de dos carasM2= la moneda extraida es la de dos sellosM3= la moneda extrada es normal con un sello y una caraCi= el resultado del lanzamiento i es caraentoncesP(M1)=1/3 P(C1/M1)=1P(M2)=1/3 P(C1/M2)=0P(M3)=1/3 P(C1/M3)=0,5

Ahora usa Bayes

24 Una empresa recibe habitualmente una pieza delicada. Observa que la proporcin depiezas que son buenas o defectuosas del total recibido es la que muestra la tabla adjunta.

Pieza

Subcontratista

A B C

BuenaDefectuosa

0,270,02

0,300,05

0,330,03


14/17

a) Se selecciona aleatoriamente una pieza de todas las piezas recibidas. Cul es laprobabilidad de que sea defectuosa?

b) Se selecciona aleatoriamente una pieza de todas las piezas recibidas. Cul es laprobabilidad de que proceda del subcontratista B?

c)

Cul es la probabilidad de que una pieza procedente del subcontratista B seadefectuosa?d) Cul es la probabilidad de que una pieza defectuosa seleccionada aleatoriamente

proceda del subcontratista B?e) Es la calidad de una pieza independiente de la fuente de suministro?f) Desde el punto de vista de la calidad, cul de los tres subcontratistas es ms fiable?

25 El profesor de una asignatura indica a sus estudiantes que para la siguiente pruebaelegir al azar seis problemas de una lista de doce problemas que el les dio para queinvestigaran y resolvieran. Cul es la probabilidad que un estudiante resuelva los seisproblemas de la prueba si slo pudo resolver ocho de los doce problemas de la lista?

26 Una empresa emisora de tarjetas de crdito hace un estudio de mercado entreestudiantes universitarios y ha logado estimar que el 50% de ellos tiene tarjeta Visa, 30% deellos tiene tarjeta MasterCard y el 20% de esos estudiantes tiene ambas tarjetas.a) Estime la probabilidad de que uno de esos estudiantes elegido al azar no posea ninguna

de esas tarjetasb) Estime la probabilidad de que uno de esos estudiantes elegido al azar posea la tarjeta

Visa pero no la tarjeta MasterCard

27

a) SeanAy Bdos eventos cualquiera, demuestre que ( ) () ()

b)

Usando la desigualdad de a) determina los valores que debe tomar ()si Ay Bsondos eventos con la misma probabilidad y ( )

28 En un estudio del mercado de revistas los editores de Motivhan determinado entre otrascosas los siguientes porcentajes o probabilidades

() () () Los eventos involucrados son:

: La persona lee la revista Motiv: La persona no lee la revista Motiv: La persona es hombre: La persona es mujer

a) Calcule las probabilidades siguientes:

i) ( ) ii) () iii) ( )b) Interprete o diga qu significan las tres probabilidades calculadas en a). No ms de tres

lneas por cada una.b) Son independientes los sucesosy

?

Solucin

a) i) Se tiene que

() ( )

()


15/17

( ) () ()

Pero,(( )

) (

) ( ) Entonces,

( ) () ( ) ( ) (

)

( )

ii) () ( )()

iii)

31,0)()(55,04,064,0)()()()(

64,0)()()())((

64,036,01))((

36,0)(6,0

)(6,0

)(

)()/(

1111112111

11112222

22

2222

2

2222

BAPBAPBAPBPAPBAP

BAPABPABPABP

ABP

ABPABP

AP

ABPABP

29 El gerente de una cadena de supermercados estima que sus establecimientos sedesenvolvern este ao en tres posibles escenarios econmicos para el pas con las siguientesprobabilidades.

= la economa se contrae= la economa sigue igual=la economa se expande

Escenarios Econmicos Probabilidad ())------------------------------------------------------------------------

0,2

0,5 0,3El gerente tambin sabe que la probabilidad de que uno de sus supermercados alcance la meta deuna venta anual de 10 millones de dlares es 0,6; 0,7 y 0,8 si los escenarios son respectivamente.Se seleccionan al azar 2 de los supermercados de la cadena.a) Cul es la probabilidad de que ambos alcancen la meta?b) Dado que ambos negocios alcanzan la meta, cul es la probabilidad de que esto ocurra en un

ao en que la economa se expande?.

30 Se sabe que el 60,8% de los ingresos familiares en Chile es inferior a $250.000,que el 22% de los habitantes vive en la zona Norte del pas, que el 54% vive en la zona

Centro y que el resto vive en la zona Sur del pas. Tambin se sabe que en la zona Norteel 47% de los ingresos familiares es inferior a $250.000 y que en la zona Sur el 67% delos ingresos familiares es inferior a $250.000.a) Qu porcentaje de los ingresos familiares de la zona Centro es inferior a $250.000?

Si se escoge al azar una familia del pas y resulta que sus ingresos son iguales o superiores a$250.000, cul es la probabilidad de que esa familia viva en la zona Sur?Solucin


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a) Sean los eventos

N: la familia vive en la zona NorteC: la familia vive en la zona centroS: la familia vive en la zona SurI: los ingresos de la familia son inferiores a 250.000

Los datos del problema son() ()

() ()

() ()

Usando la regla de las probabilidades totales se tiene () () ()

Entonces, () a) Por la Regla de Bayes se tiene

() ()

31. De 21000 pasajeros entrevistados, el ao pasado, 9000 viajaban slo pornegocios, 6000 por vacaciones y 4000 en ambos tipos de viajes. Si se selecciona a uno de

estos pasajeros al azar, Cul es la probabilidad de que solo haya viajado por vacaciones?

Solucin

Sean los eventos:

A: El pasajero viaja por negocios.

B: El pasajero viaja por vacaciones

Se pide:

( ) () ( )

32. Una financiera analiza dos variables INGRESO y nmero de INTEGRANTES en sugrupo familiar. Esta informacin recolectada de sus bases de datos se resume en lasiguiente tabla:

IngresoIntegrantes. Bajo Medio Alto

2 4520 5690 50263 2564 550 56954 550 352 425

5 400 568 236

Si se eligiera un cliente de los que se estn estudiando al azar.a. Cul es la probabilidad de que tenga un grupo familiar de ms de 3 integrantes?

b. Cul es la probabilidad de que su nivel de ingreso sea Bajo o el nmero de

integrantes del grupo familiar sea exactamente 4?

33. Suponga que en una institucin financiera se tienen dos tipos de clientes:riesgosos (R)y morosos (M). Por informacin histrica la probabilidad de que un cliente


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sea riesgosoes 1/2 y la probabilidad de que NO sea morosoes 5/8. Por otro lado laprobabilidad de que un cliente sea riesgosoo morosoes 3/4.Se selecciona un cliente al azar. Calcule la probabilidad de que:

a) Sea riesgosoy morosob) No sea morosoy no sea riesgoso

c)

solamente sea moroso o solamente riesgoso

34 Una tienda distribuidora de artculos de aseo tiene en la Regin Metropolita 4locales. La distribucin de los clientes segn registros propios del departamento decontabilidad de esta empresa es:

Local Cantidad de Clientes

Santiago Centro 425

San Bernardo 115

Quilicura 320

Providencia 540

Registros histricos tambin muestran que el 25% de las ventas en el local de SanBernardo son realizadas a instituciones educativas; de la misma forma 36% en SantiagoCentro, 40% en Quilicura y 35% en Providencia.

a) Si se selecciona al azar un cliente, Cul es la probabilidad de que sea cliente de

una institucin NO Educativa?b) Si se selecciona al azar un cliente y se reconoce que es un cliente de una

institucin educativa, Cul es la probabilidad de que pertenezca a Quilicura?

c) Si se selecciona al azar un cliente, Cul es la probabilidad de que este cliente

pertenezca a San Bernardo y sea cliente de una institucin NO educativa?

d)

Se definen los siguientes eventosA = Ocurre moroso y no riesgosoB = Ocurre que solamente es riesgoso.C = A B

Qu evento es ms probable A, B o C?------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Recopilado por Jos Tapia Caro

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