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15 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
. PRUEBAS Y SOLUCIONES
4.1 MATEMÁTICA
DUODÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presenta una serie de ocho problemas, resuélvalos correctamente
en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.
Problema 1: (30 puntos)
a. Encuentre la solución de la ecuación:
cos2 3cos 1 0 2
b. Resuelva la desigualdad:
4 3 23 3 0x x x x
c. Evalúe el límite:
lim ln ln 2 4x
x x
Problema 2: (05 puntos)
Una pareja tiene Q50,000.00 para invertir. Si invierte Q24,000.00 al 10% al año y
Q16,000.00 a 9% al año. ¿A que porcentaje al año debe invertir el resto para tener un
ingreso de Q4,800.00 al año proveniente de sus inversiones?
Problema 3: (10 puntos)
El radio y la altura de un cilindro circular recto son iguales. El volumen debe calcularse
a partir de la medida de la altura y con un error no mayor al 1% del valor real. Utilizando
diferenciales encuentre aproximadamente el error más grande que puede ser tolerado
en la medición de la altura, expresando como un porcentaje de este valor.
16 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (10 puntos)
Los puntos A , B y C, se encuentran sobre la parábola 2 4y x . El punto A está fijo
y tiene coordenadas 0,2 . Los puntos B y C se encuentran ubicados de tal manera que
AB BC . Determine el rango de los valores que puede tomar la coordenada y del
punto C .
Problema 5: (10 puntos)
En la siguiente figura, la región delimitada por el semiperímetro de tres circunferencias
tiene unárea de 18 unidades cuadradas y un perímetro 18 unidades lineales,
determinar el radio decada una de las semicircunferencias.
Problema 6: (15 puntos)
La figura muestra laregión limitada por la parábola 2 4x py y la recta x y p , en
donde p es una constante. Dentro de la región se encuentra inscrito el trapecio ABCD,
con el lado AB paralelo al eje x. Determine las dimensiones del trapecio de tal forma
que su área sea máxima.
x
y
A B
C
D
17 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 7: (10 puntos)
El perímetro de un hexágono aumenta a razón constante de 2 unidades por minuto. ¿A
queritmo cambiará el área entre el hexágono y la circunferencia que lo circunscribe,
cuando el radio de esta es de 2 unidades?
Problema 8: (10 puntos)
a. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de 3 f x x x que pasan por el
punto 2 2,3 3
b. Hallar el punto de intersección de las rectas normales a las rectas tangentes del inciso anterior.
18 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
Problema 1: (30 puntos)
a. Encuentre la solución de la ecuación:
cos2 3cos 1 0 2
b. Resuelva la desigualdad:
4 3 23 3 0x x x x
c. Evalúe el límite:
lim ln ln 2 4x
x x
Solución
a. Solución de la ecuación
cos2 3cos 1 0 2
Usando la identidad 2cos2 2cos 1
2
2
cos2 3cos 1
2cos 1 3cos 1
2cos 3cos 2 0
2cos 1 (cos 2) 0
De donde se obtiene
1cos & cos 2
2
Para 1 1cos2
las soluciones son 2
3
&
4
3
Para 1cos (2) no tiene solución.
Entonces la solución de la ecuación para el intervalo indicado es
2
3
&
4
3
b. Resuelva la desigualdad:
4 3 2
3 2
2
3 3 0
3 3 0
( 3) 1 0
x x x x
x x x x
x x x
( 3) 1 1 0x x x x
19 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
INTERVALO 1x x 1x 3x ( 3) 1 1x x x x CONCLUSIÓN
, 1 ( )( )( )( ) N0 CUMPLE
1,0 ( )( )( )( ) SI CUMPLE
0,1 ( )( )( )( ) NO CUMPLE
1,3 ( )( )( )( ) SI CUMPLE
3, ( )( )( )( ) NO CUMPLE
Para
1, 0, 1 & 3x x x x SI CUMPLE
Entonces la solución de la desigualdad anterior es
1,0 1,3
c. Evalúe el límite:
lim ln ln 2 4x
x x
lim ln ln 2 4x
x x
Forma indeterminada
Aplicando propiedades del logaritmo
lim ln ln 2 4 lim ln2 4x x
xx x
x
Aplicando la regla de L’Hôpital
1 1ln lim ln lim ln
2 4 2 2x x
x
x
Entonces
1lim ln ln 2 4 ln2x
x x
Problema 2: (05 puntos)
Una pareja tiene Q50,000.00 para invertir. Si invierte Q24,000.00 al 10% al año y
Q16,000.00 a 9% al año. ¿A que porcentaje al año debe invertir el resto para tener un
ingreso de Q4,800.00 al año proveniente de sus inversiones?
20 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Solución
Definiendo la incógnita
x porcentaje a invertir el resto del dinero
Planteando la ecuación
24,000(0.10) 16,000(0.09) (50,000 24,000 16,000) 4,800x
Despejando x
2,400 1,440 10,000 4,800
10,000 960
0.096
x
x
x
El resto del dinero lo debe invertir al 9.6 %.
21 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (10 puntos)
El radio y la altura de un cilindro circular recto son iguales. El volumen debe calcularse
a partir de la medida de la altura y con un error no mayor al 1% del valor real. Utilizando
diferenciales encuentre aproximadamente el error más grande que puede ser tolerado
en la medición de la altura, expresando como un porcentaje de este valor.
Solución
Se definen las siguientes variables
altura del cilindroh
radio del cilindror
volumen del cilindroV
3
2V
h
r
V
h
r
h
Calculando el diferencial de volumen en términos de h
23dV h dh
Como
0.01dV
V
y
2
3
3
3
dV h dh
V h
dh
h
30.01
0.01
3
dh
h
dh
h
El mayor error que puede ser tolerado como un porcentaje de ese valor es
1%
3
22 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (10 puntos)
Los puntos A , B y C, se encuentran sobre la parábola 2 4y x . El punto A está fijo
y tiene coordenadas 0,2 . Los puntos B y C se encuentran ubicados de tal manera que
AB BC . Determine el rango de los valores que puede tomar la coordenada y del
punto C .
Solución
En la figura se muestra la gráfica de la parábola y la distribución de los puntos
A, B, y C.
x
y
Sea 2 ) ( 4,w w las coordenadas del punto B y 2 ) ( 4,y y las coordenadas del
punto C .
La pendiente del segmento ABestá dada por
2 2
2 1
4AB
wm
ww
Ya que el segmento BCes perpendicular al segmento AB la pendiente de BCes
) ( 2BCm w
Sin embargo, la pendiente del segmento BC puede ser calculada utilizando las
coordenadas de los respectivos puntos
23 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
2 2 2 2
1
4 ( 4)BC
w y w ym
w yw y w y
Igualando las pendientes
) 1
( 2ww y
La ecuación anterior se puede escribir como
0 2 1w w y
Operando se obtiene
2 0 2 2 1w y w y
Esta ecuación cuadrática, al resolverla para w, muestra la relación entre las
coordenadas y de los puntos B y C . Los valores que puede tomar w son valores
reales, esto significa que el discriminante de la ecuación cuadrática anterior
deber ser mayor o igual a cero.
Por lo tanto, si Δ representa el discriminante
2Δ (2 ) 4(1)(2 1) 0 y y
Operando se llega la siguiente desigualdad
2 4 0y y
Al resolver esta desigualdad se obtiene el siguiente conjunto solución
) ,0 [4,
Estos intervalos corresponden a los valores que puede tomar la coordenaday
del punto C .
Problema 5: (10 puntos)
En la siguiente figura, la región delimitada por el semiperímetro de tres circunferencias
tiene unárea de 18 unidades cuadradas y un perímetro 18 unidades lineales,
determinar el radio decada una de las semicircunferencias.
24 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Solución
Comencemos escribiendo las respectivas incógnitas del problema, en este caso
bastará únicamente con utilizar dos etiquetas para el radio de dos de las tres
semicircunferencias, ya que una de ellas se puede escribir en términos de las
otras dos.
Ahora representemos el área total encerrada como la diferencia de las áreas de
dos semicircunferencias, la primera de radio R y la segunda de radio R − r, más
el área de una tercera semicircunferencia de radio r
22 2
2 22
2 2 2 2
2
2 218
2 2 2 2
182 2 2
182 2 2
R R r r
R rR r
R R r rrR
) 18 (1rR
Ahora utilicemos la información del perímetro de la región sombreada para
escribir una ecuación que relaciones las incógnitas Ryr.
2 218
2
18
R r
R r
R R r r
25 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Simplificando esta última expresión tenemos:
18
9
R R r r
R
Al sustituir 9R en la ecuación (1) da para obtener r
18
18 182
9
rR
rR
Respuestas: Radio de la circunferencia mayor 9 unidades, radio de la
circunferencia mediana 7 unidades, y el radio de la circunferencia pequeña 2
unidades.
Problema 6: (15 puntos)
La figura muestra la gráfica de región limitada por la parábola 2 4x py y la recta
x y p , en donde p es una constante. Dentro de la región se encuentra inscrito el
trapecio ABCD, con el lado AB paralelo al eje x. Determine las dimensiones del trapecio
de tal forma que su área sea máxima.
26 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
x
y
A B
C
D
Solución
Si las coordenadas del punto están dadas por
2
( , ) ,4
tB x y B t
p
Entonces las coordenadas de los puntos B, C, y D se pueden expresar en
términos de t como se muestra a continuación
2 2( ) ( , ) , ,
4 4
( , ) ,
( , ) , ( ) ( , )
t tA x y t t
p p
C x y t p t
D x y t p t t p t
Ahora podemos calcular las longitudes de los lados del trapecio
2
1
2
2
4
4
2
tb AD p t
p
tb BC p t
p
h AB t
El área del trapecio expresada en términos de t es
2 2
1 2
2
2 3
1 1 ( ) (2 )
2 2 4 4
22
1( ) 4
2
t tA t h b b t p t p t
p p
tt p
p
A t p t tp
El dominio de esta función es el intervalo 0, 2 ( 2 1)p
27 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Calculando la primera derivada e igualando a cero para encontrar los valores
críticos
2 3 2 21 1( ) 4 4 3 02 2
dA t p t t p t
dt p p
2 2
2
3 4
4 2 2 3
3 33
t p
p p pt
Como el valor crítico se encuentra fuera del intervalo, el área máxima debe
estar en uno de los extremos del intervalo
2 3
2 2
1(0) 4 (0) (0) 0
2
12 ( 2 1) 4 ( 2 1) 8 3 2 2
2
A pp
A p p p
Por lo tanto, el área es máxima se obtiene cuando 2 ( 2 1)t p
Para este valor de t las dimensiones son
1
2
4 ( 2 1)
0
4 ( 2 1)
b p
b
h p
Es decir que el área máxima se obtiene cuando el trapecio degenera en un
triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden 4 ( 2 1)p
28 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 7: (10 puntos)
El perímetro de un hexágono aumenta a razón constante de 2 unidades por minuto. ¿A
que ritmo cambiará el área entre el hexágono y la circunferencia que lo circunscribe,
cuando el radio de esta es de 2 unidades?
Solución
La siguiente figura describe en forma gráfica el problema.
Rh
R/2
Ahora, se procede a expresar el área sombreada en términos del radio R del
círculo
sombreada circulo hexágono A A A
2 2 2 2 3 3 3 3 3
62 2 2 2
s RR
A R R R R
Ahora se deriva esta última expresión respecto del tiempo.
) 2 3 3 (1sdA dR
Rdt dt
Para resolver la ecuación (1) es necesario conocer el ritmo al cual cambia R,
esto se obtiene de laecuación del perímetro.
hexágono 6P R
Derivando esta ecuación respecto del tiempo
6hdP dR
dt dt
sustituyendo el valor de hdP
dtdado en el problema se tiene:
1
3
dR
dt
resultado que se puede sustituir en la ecuación (1)
3
4 6 3sdA
dt
29 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 8: (10 puntos)
a. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de 3 f x x x que
pasan por el punto 2 2,3 3
b. Hallar el punto de intersección de las rectas normales a las rectas tangentes del
inciso anterior.
Solución
a. Sea ( , )a b el punto de tangencia en la gráfica de 3 f x x x
Cálculo de la pendientem de rectas tangentes por derivación:
derivando respecto de x : 23 1m f x x
evaluando en el punto de tangencia: 23 1f a a
Cálculo de la pendientemde rectas tangentes por definición de pendiente
2 2
3 322
33
b b
m
aa
Igualando, es decir:m m
2
2
33 12
3
ba
a
ecuación (i)
Siendo ( , )a b , el punto de tangencia, satisface la ecuación 3 f x x x es decir:
3b a a ecuación (ii)
Solución del sistema de ecuaciones mediante la sustitución de b de la ecuación
(ii) en la ecuación (i), es decir:
3
2
2
33 12
3
a aa
a
por álgebra elemental:
2 32 2(3 1)3 3
a a a a
3 2 32 23 23 3
a a a a a
3 22 2 0a a
es decir: 1 0a y a
30 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
ahora, las ecuaciones de las dos rectas tangentes son:
21 0 3( 1) 1 2a b m
0 2( ( 1))y x
2 2y x
20 0 3(0) 1 1a b m
0 1( 0)y x
y x
b. Para el inciso (b) las ecuaciones de las rectas normales correspondientes son:
1 0 0.5a b m
0 0.5( ( 1))y x
0.5 0.5y x
0 0 1a b m
0 0y x
y x
Igualando:
0.5 0.5
1
3
x x
x
Como y x , se obtiene que1
3y
El punto de intersección es 1 1,3 3
31 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
DUODÉCIMAOLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II
INSTRUCCIONES:
Acontinuación se le presenta una serie de diez problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo
de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.
Problema 1: (10 puntos)
El radio y la altura de un cilindro circular recto se miden con posibles errores de 4% y
2%respectivamente. Utilizando diferenciales aproximar el máximo error porcentual
posibleal calcular el volumen.
Problema 2: (10 puntos)
Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección
de las superficies
2 2 2 8x y z
2 2 2x y z
en el punto (0,2,2).
Problema 3: (10 puntos)
Plantee las integrales para calcular la fuerza hidrostática sobre la placa que se
encuentra sumergida verticalmente en el agua, que se muestra sombreada en la figura.
El nivel del agua está a una altura sobre el punto (0,0) de 4a. Exprese su respuesta en
términos de a. Las distancias están en metros.
32 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (10 puntos)
Resuelva una de las siguientes ecuaciones diferenciales indicando claramente el método
que utilizó.
a. 2ln 0x y y dx xdy b.
3
422
sen cot
dy xx y
dx x x
Problema5: (10 puntos)
Considere los dos tanques mostrados en la figura. Suponga que el tanque A contiene 100
galones de agua pura en la cual se han disuelto 50 libras de sal y que el tanque B
contiene 100 galones de agua pura. Un líquido se bombea hacia dentro y fuera de los
tanques como se indica en la figura. Se supone que el líquido que se intercambia entre
los dos tanques y el líquido bombeado hacia afuera del tanque B está mezclado
perfectamente.
a. Construya un modelo
matemático para describir la cantidad de libras de sal presente en los tanques A
yB, respectivamente, en el tiempo t.
b. Resuelva el modelo matemático del inciso (a) para determinar la cantidad de libras
de sal presente en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t.
Problema 6: (10 puntos)
Evaluar la integral cambiando el orden de integración:
21 1/2
0 /2
x
y
e dx dy
Problema 7: (10 puntos)
Plantee la integral para calcular el volumen de la región de 3R acotada por 0z ,
5 cosz r , 1 cosr y fuera de 1r .
33 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 8: (10 puntos)
Compruebe el Teorema de Stokes, donde ( , , ) 3 3x y z x x y F i j k , y C es la curva de
intersección del plano 3z y & el cilindro 2 2 9x y . Orientada en sentido contrario
a las manecillas del reloj, vista desde arriba.
Problema 9: (10 puntos)
Resuelva uno de los siguientes incisos
a. Si ( )
30
1
1
g x
f x dtt
donde cos
2
0
1 sen( )x
g x t dt encuentre ´ 2f
b. Existe una recta que pasa por el origen (con pendiente positiva) que divide la región
definida por la parábola 2y x x & el eje x en dos regiones de igual área.
Encuentre el valor de dicha pendiente.
Problema 10: (10 puntos)
Encuentre el área interior a la región acotada por 2 4sen2r .
34 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
Problema 1: (10 puntos)
El radio y la altura de un cilindro circular recto se miden con posibles errores de 4% y
2% respectivamente. Utilizando diferenciales aproximar el valor máximo error
porcentual posible al calcular el volumen.
Solución
Se definen las siguientes variables
altura del cilindroh
radio del cilindror
volumen del cilindroV
2
22
V r h
dV rhdr r dh
Como
0.04dr
r
0.02dh
h
y
2
2
2
2
2 0.04 (0.02)
0.10
dV rhdr r dh
V r h
dV dr dh
V r h
dV
V
dV
V
El valor máximo error porcentual posible al calcular el volumen es10%
35 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2: (10 puntos)
Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección
de las superficies
2 2 2 8x y z 2 2 2x y z
en el punto(0, 2, 2) .
Solución
Se calculan los gradientes de las superficies en el punto dado
2 2 2( , , ) 8F x y z x y z
( , , ) 2 2 2F x y z x y zi j k
(0,2,2) 0 4 4F i j k
2 2 2( , , )G x y z x y z
( , , ) 2 2 2G x y z x y zi j k
(0,2,2) 0 4 4G i j k
El producto vectorial de los dos gradientes es un vector tangente a las
superficies en el punto dado
(0,2,2) (0,2,2) 0 4 4 32
0 4 4
F G
i j k
i
Las ecuaciones paramétricas de la recta son
0 32
2
2
x t
y
z
z z
36 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema3: (10 puntos)
Plantee las integrales para calcular la fuerza hidrostática sobre la placa que se
encuentra sumergida verticalmente en el agua, que se muestra sombreada en la figura.
El nivel del agua está a una altura sobre el punto (0,0) de 4a. Exprese su respuesta en
términos de a. Las distancias están en metros.
Solución
Tomando en cuenta la forma de la placa, sobre el primer cuadrante, se puede
hacer el análisis del diferencial de la siguiente manera.
Calculo del diferencial de Fuerza: dF PdA
Si la presión sobre el diferencial es: P gh y y la columna de agua
4h y a y
El diferencial de área es: ( )dA f y g y dy
Para calcular ( )f y que es la curva más a la derecha, de acuerdo a los puntos en
la elipse se tiene:
37 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
22
2 2
22
2 2
2 22 2
2
2 2 2
2 2
2 2
14
14
4
4
2
( ) 2
yx
a a
yx
a a
a yx a
a
x a y
x a y
f y a y
Para calcular ( )g y arriba del ejex, se tienen los puntos: 0,a y, ( ,0)a que tiene
la recta con pendiente:
01
0
y am
x a
y a x
x a y
g y a y
Para calcular ( )g y abajo del ejex, se tienen los puntos: 0, a y, ( ,0)a que tiene
la recta con pendiente:
01
0
y am
x a
La ecuación de la recta: y a x
x y a
g y y a
Si el diferencial de área es:
2dA f y g y dy El diferencial de área para la parte superior es:
2 22 2dA a y a y dy
El diferencial de área para la parte inferior es:
2 22 2dA a y a y dy
38 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Formando el diferencial de fuerza hidrostática, se tiene:
dF PdA
Para la parte superior es:
2 29800(4 ) 4 2 2dF a y a y a y dy Para la parte inferior es:
2 29800(4 ) 4 2 2dF a y a y a y dy Fuerza hidrostática es la suma de la fuerza en la parte superior y en la parte
inferior del eje x :
s iF F F
02 2 2 2
0
9800 (4 ) 4 2 2 9800 (4 ) 4 2 2a
a
F a y a y a y dy a y a y a y dy
39 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (10 puntos)
Resuelva una de las siguientes ecuaciones diferenciales indicando claramente el método
que utilizó.
a. 2ln 0x y y dx xdy b.
3
422
sen cot
dy xx y
dx x x
Solución
a. Solución de la ecuación
2ln 0x y y dx xdy
Puede reescribirse y llevarse a la siguiente forma:
2lny xy yx x
Al llevarla a esta forma se tiene la estructura:
ny P x y Q x y
que corresponde a una ecuación de Bernoulli con respecto a la variable " "y .
Por medio de la siguiente sustitución puede llevarse la ecuación de Bernoulli a
una ecuación lineal:
1 1 2 1
2
nV y y y
V y y
Posteriormente la ecuación llevada a la forma estándar de Bernoulli se divide
dentro del términony para que seguidamente se pueda realizar la sustitución
que llevara la ecuación diferencial a la forma lineal:
2 2
12
ln
ln
y xy y y
x x
y xy y
x x
Por lo tanto, al realizar la sustitución se tiene que:
lnV xV
x x
Para llevar la ecuación diferencial a la forma lineal el coeficiente que acompaña
a la primer derivada debe ser 1, por lo que debe multiplicarse por 1 la
ecuación:
lnV xV
x x
* 1
lnV xV
x x
40 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Obteniendo una ecuación lineal en términos de la variable " "V cuya forma
estándar es:
V P x V Q x
Y para resolver esta ecuación lineal se necesita determinar el factor de
integración:
ln 1
dxP x dx
xxFI e e e x
Resolviendo la ecuación lineal en términos de " "V :
FI V FI Q x dx 1
1
1
2
(ln )
ln
x xx V dx
x
xx V dx
x
Se debe resolver la integral del lado derecho que resulta ser una integral por
partes y posterior a esto se despeja la ecuación para la variable " "V :
1 ln 1
ln 1
xx V c
x x
V x cx
Y por último se regresa a la sustitución que se realizó cuando se llevo a la forma
estándar de una ecuación de Bernoulli y se despeja la ecuación para la variable
" "y dejando la solución de forma explícita:
1 ln 1
1ln 1
1
ln 1
y x cx
x cxy
yx cx
b. Solución de la ecuación
3
422
sen cot
dy xx y
dx x x
41 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Puede reescribirse y llevarse a la siguiente estructura
y P x y Q x
que corresponde a una ecuación lineal con respecto a la variable " "y
2
42
2
sen cot
y xy
x x x
Obteniendo una ecuación lineal en términos de la variable " "y cuya forma
estándar es
y P x y Q x
Y para resolver esta ecuación lineal se necesita determinar el factor de
integración
22ln 2
dxP x dx
xxFI e e e x
Resolviendo la ecuación lineal en términos de " "y
2 22
42
22
4
(sen ) cot
csc
cot
FI y FI Q x dx
x xx y dx
x x
xx y dx
x
Se debe resolver la integral del lado derecho la cual resulta ser una integral de
las más sencillas al realizar una sustitución
cotu x
2c cdu s x dx
2 1/4 3/44
2 3/4
4
3
4cot
3
dux y u du u c
u
x y x c
Y por último se despeja la ecuación para la variable " "y dejando la solución de
forma explícita.
42 34 cot3
y x x c
Problema5: (10 puntos)
Considere los dos tanques mostrados en la figura. Suponga que el tanque A contiene 100
galones de agua pura en la cual se han disuelto 50 libras de sal y que el tanque B
contiene 100 galones de agua pura. Un líquido se bombea hacia dentro y fuera de los
tanques como se indica en la figura. Se supone que el líquido que se intercambia entre
42 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
los dos tanques y el líquido bombeado hacia afuera del tanque B está mezclado
perfectamente.
a. Construya un modelo
matemático para describir la cantidad de libras de sal presente en los tanques A
yB, respectivamente, en el tiempo t.
b. Resuelva el modelo matemático del inciso (a) para determinar la cantidad de libras
de sal presente en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t.
Solución
a.
Definición de variables:
1( )x t cantidad de libras de sal en el tanque A en el tiempo t (minutos)
2( )x t cantidad de libras de sal en el tanque B en el tiempo t (minutos)
ED para el tanque A:
1dx
dt razón de entrada de la salrazón de salida de la sal
1 2 1gal gal gallbsal lbsal lbsal4 0 2 6min gal min 100 gal min 100 galdx x x
dt
11 2 1 2
6 2 3 1
100 100 50 50
dxx x x x
dt
Ecuación diferencial para el tanque B:
2dx
dt razón de entrada de la salrazón de salida de la sal
2 1 2 2gal gal gallbsal lbsal lbsal6 4 2min 100 gal min 100 gal min 100 galdx x x x
dt
43 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
21 2 2 1 2 1 2
6 4 2 6 6 3 3
100 100 100 100 100 50 50
dxx x x x x x x
dt
Modelo matemático
Sistema de ecuaciones diferenciales con valores iniciales
11 2
3 1
50 50
dxx x
dt
21 2
3 3
50 50
dxx x
dt
Con valores iniciales:
1 0 50x
2 0 0x
b. Escribiendo el sistema de ecuaciones diferenciales en términos de operadores
diferenciales:
1 23 1 050 50
D x x ecuación I
1 23 3 050 50
x D x
ecuación II
Resolviendo para 1x se multiplica la ecuación I por 350
D y la ecuación II
por1
50, luego se suman ambas ecuaciones y se simplifica:
1 2
2
1 2
3 3 10
50 50 50
3 1 30 Ecuación I
50 50 50
D D x x
D x D x
1 2
1 2
1 3 30
50 50 50
3 1 30 Ecuación II
2500 50 50
x D x
x D x
Al sumar la ecuación I y la ecuación II se obtiene:
2
1 13 3
050 2500
D x x
Desarrollando y simplificando:
44 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
21 1
21
6 9 30
50 2500 2500
6 60
50 2500
D D x x
D D x
Simplificando
2 12500 300 6 0D D x
Escribiendo la ecuación auxiliar:
22500 300 6 0m m
Las soluciones de la ecuación auxiliar son:
13 1
350 50
m
y 23 1
350 50
m
La solución para 1x es:
3 1 3 13 350 50 50 50
1 1 2
t t
x t C e C e
Resolviendo para 2x se multiplica la ecuación I por3
50 y la ecuación II por
350
D , luego se suman ambas ecuaciones y se simplifica:
1 23 3 1 050 50 50
D x x
1 23 3 3 050 50 2500
D x x Ecuación I
1 23 3 3 050 50 50
D x D x
2
1 23 3 3
050 50 50
D x D x
Ecuación II
Al sumar la ecuación I y la ecuación II se obtiene:
2
2 23 3
050 2500
D x x
Desarrollando y simplificando:
22 2
22
6 9 30
50 2500 2500
6 60
50 2500
D D x x
D D x
Simplificando
2 22500 300 6 0D D x
Escribiendo la ecuación auxiliar:
45 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
2(2500 300 6) 0m m
Las soluciones de la ecuación auxiliar son:
13 1
350 50
m
y 23 1
35
0
0 5
m
,
La solución para 2x es:
3 1 3 13 350 50 50 50
2 3 4
t t
x t C e C e
Para dejar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales en términos de
las constantes 1C y 2C , se sustituye 1x t y 2x t 𝑦 en la primera ecuación del
sistema de ED:
11 2
3 1
50 50
dxx x
dt
3 1 3 1
3 350 50 50 50
1 23 1 3 1
3 350 50 50 50
t t
C e C e
3 1 3 1 3 1 3 13 3 3 350 50 50 50 50 50 50 50
1 2 3 43 1
50 50
t t t t
C e C e C e C e
Simplificando
3 1 3 1
3 350 50 50 50
1 1 3 2 2 43 1 3 1 3 1 3 1
3 3 050 50 50 50 50 50 50 50
t t
C C C e C C C e
1 3
3 1
3 1
1 13 0
50 50
1 13
50 50
3
C C
C C
C C
y
2 4
4 2
4 2
1 13 0
50 50
1 13
50 50
3
C C
C C
C C
Escribiendo la solución del sistema de ED en términos de 1C y 2C :
46 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
3 1 3 13 3
50 50 50 501 1 2
3 1 3 13 3
50 50 50 502 1 23 3
t t
t t
x t C e C e
x t C e C e
Evaluando las condiciones iniciales 1 0 50x y 2 0 0x , en la solución del
sistema de ED:
2
1
1
25
0 3
0
3
C
C
C
C
Resolviendo el sistema:
1
1
1 2
2
1
1
2
3
5
0
2
3
5
25
C C
C
C
C
C
C
C
Solución del modelo matemático para determinar la cantidad de libras de sal
presente en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t :
3 1 3 13 3
50 50 50 501
3 1 3 13 3
50 50 50 502
25 25
25 3 25 3
t t
t t
x t e e
x t e e
47 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 6: (10 puntos)
Evaluar la integral cambiando el orden de integración:
21 1/2
0 /2
x
y
e dx dy
Solución
x
y
12
x
2y x
2 2
2
2
2
1 1/2 1/2 2
0 /2 0 0
1/2 2
00
1/2
0
1/2
0
1/4
2
1
xx x
y
xx
x
x
e dx dy e dy dx
e y dx
xe dx
e
e
48 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 7: (10 puntos)
Plantee la integral para calcular el volumen de la región de 3R acotada por 0z ,
5 cosz r , 1 cosr y fuera de 1r .
Solución
En la figura se muestra la representación gráfica de la región acotada en la
parte inferior por el plano 0z , en la parte superior por el plano 5 cosz r , fuera del cilindro circular 1r y dentro del cilindro con forma de cardioide
1 cosr .
y
x
z
Utilizando integrales triples y coordenadas cilíndricas, el volumen está dado
por
1 cos 5 cos2
1 02
1 cos22
12
2 32
2
5 cos
5 1 cos 1 cos cos 5 cos
2 3 2 3
r
V rdzdrd
r r drd
d
49 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 8: (10 puntos)
Compruebe el Teorema de Stokes, donde ( , , ) 3 3x y z x x y F i j k , y C es la curva de
intersección del plano 3z y &el cilindro 2 2 9x y . Orientada en sentido contrario
a las manecillas del reloj, vista desde arriba.
Solución
x
z
y
C
Verificar que
cS
dd d F rF r F S
Por integral de línea
Curva
2
0
9cos 3cos 9 3sen 3cos 3cosd t t sent tdt tdt tdt
F r i j k i j k
22
0
22 22
0 0 0
27sen cos 9cos 27sen cos
9 9 9 99cos cos2 sen2 9
2 2 2 4
t t t t t dt
tdt t dt t
Entonces
9c
d F r
Por integral de superficie.
3 0 1
3 3
x dy z
x x y
i j k
F i j k
Curva 3cos ; 3sen
3sen ; 3cos
3 3sen ; 3cos
x t dx t dt
y t dy t dt
z t dz t dt
50 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
2 2
0 1 1
0 (1) (1)
i j kη
1
2 F η
2 3
0 0
32 2
0 0
2
0
2
0
1
12
2
2
9
2
99
2
S R
R
Rxy
dydxd
dydx
dydx
rdrd
rd
d
F S F ηη k
De donde
. 9c
S
d d F r F S
51 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 9: (10 puntos)
Resuelva uno de los siguientes incisos
a. Si ( )
30
1
1
g x
f x dtt
donde cos
2
0
1 sen( )x
g x t dt encuentre ´ 2f
b. Existe una recta que pasa por el origen (con pendiente positiva) que divide la región
definida por la parábola 2y x x & el eje x en dos regiones de igual área.
Encuentre el valor de dicha pendiente.
Solución
a.
3
1´ ´
1f x g x
g x
Entonces
3
1´ ´
2 21
2
f g
g
(1)
Se calcula 2
g
y luego ´2
g
para sustituir en (1):
cos 02 22
0 0
1 sen( ) 1 sen( ) 02
g t dt t dt
2´ 1 sen cos ( sen )g x x x Ahora
2
´ 1 sen cos sen2 2 2
(1) 1
1
g
De manera que:
3
1´ 1 1
2 1 0f
b. Existe una recta que pasa por el origen (con pendiente positiva) que divide la
región definida por la parábola 2y x x & el eje x en dos regiones de igual
área.Encuentre el valor de dicha pendiente.
52 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
x
y
2y x x y mx
Q1R
2R
Sea Q el punto de intersección de la recta con la parábola:
2
2
0
0 & 1
y y
mx x x
mx x x
x x m
Entonces las coordenadas del punto Q son
2 1 ,m m m
Área de la región 1 = Área de la región 2
1 1 12 2 2
0 0 0
1 12 2
0 0
1 12 3 2 2 3
0 0
2 3 2
3 2
2
22 3 2 2 3
1 1 1 12
2 3 2 6
2 6 6 1 0
m m
m
m
x x mx dx x x dx x x mx dx
x x mx dx x x dx
x x mx x x
m m m m
m m m
Al resolver la ecuación anterior se obtiene que el valor aproximado de la
pendiente es
0.21m
53 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 10: (10 puntos)
Encuentre el área interior a la región acotada por 2 4sen2r .
Solución
2
3
4
7
4
3
4
2
3
4
2
1
2
3
4
2
4 4sen2
8 sen2
cos28
2
34cos 4cos
2
4
A d
d
54 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
55 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4.2 FÍSICA
DUODÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presenta una serie de cinco problemas, resuélvalos correctamente
en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.
Problema 1: (20 puntos)
Dos objetos con masas 1 5 kgm y 2 2 kgm ,cuelgan a 60.0 cm sobre el piso, atados a
los extremos de una cuerda de 5.00 m de longitud que pasa por una polea de radio10 cm
e inercia rotacional 4 23.8 10 kg m respecto a un eje que pasa por su centro. La polea
gira sin fricción, la cuerda no resbala en la polea y los objetos parten del reposo. Calcule:
a. La magnitud de las tensiones y la aceleración del sistema
b. La altura máxima que alcanza el objeto de 2.00 kg medida desde el piso, después de
que el bloque de 5 kg choca con el piso.
Problema 2: (20 puntos)
Una bolita de masa 5.00 g comprime 4.00 cm a un resorte de constante 14.8 N/mk
colocado sobre una mesa horizontal sin fricción de altura 1.20 m. La bolita abandona el
resorte justo en la orilla de la mesa y luego cae al suelo sin resistencia del aire. La bolita
debe caer sobre un carrito que viaja sobre el suelo hacia la mesa a razón constante de
9.00 km/h. ¿En qué posición debe encontrarse el carrito cuando se lanza la esfera para
que caiga justo dentro de él?
Problema 3: (20 puntos)
El movimiento de un avión en el aire depende de cuatro fuerzas fundamentales, siendo
estas: lafuerza de sustentación, el peso (actúan verticalmente sobre el avión), la tracción
y la resistencia (actúan horizontalmente sobre el avión). Si el viento sopla con una
rapidez de 42.0 m/s en la parte superior del ala y de 20.0 m/s en la parte inferior del ala,
la masa de la avioneta es de 1500 kg, el área de cada ala es de 9.00m2, determine el
espesor del ala del avión y la diferencia de presiones entre la parte superior e inferior
del ala.(Considere la densidad del aire 1.20 Kg/m3, 29.80 m/sg ).
56 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (20 puntos)
En la misión Red Bull Stratos el paracaidista FelixBaumgartner se lanzó desde un globo
especial desde una altura de 39,000 m sobre la superficie de la Tierra. Suponga que el
globo estaba estático respecto la superficie terrestre y desprecie los efectos resistivos de
la atmósfera.Si Baumgartner no hubiera usado paracaídas ¿con qué rapidez hubiera
llegado a la superficie terrestre? (Haga uso de la Ley de la gravitación universal).
Problema 5: (20 puntos)
Unexploradorque se encuentra en un planeta desconocido decide realizar un
experimento con el cual pueda determinar el valor de la gravedad, para dicho
propósito toma una varilla de longitud 1.00m y masa de 0.250kg la desplaza un
pequeño ángulo, colocando el eje de rotación en la marca de 20.0cm, y establece que el
período de oscilación tiene un valor de 3.74s. Determine:
a. El valor de la gravedad en el planeta
b. ¿Cuálseríael valor de la fuerza de empuje que actuaría si se sumergiera
completamente una esfera de 2.00cm de radio en agua ( 31000 kg/m ) en ese
planeta?
c. Experimentalmente, ¿de qué forma podría determinar dicha fuerza?
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
57 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 1: (20 puntos)
Dos objetos con masas 1 5 kgm y 2 2 kgm , cuelgan a 60.0 cm sobre el piso, atados a
los extremos de una cuerda de 5.00 m de longitud que pasa por una polea de radio10 cm
e inercia rotacional 4 23.8 10 kg m respecto a un eje que pasa por su centro. La polea
gira sin fricción, la cuerda no resbala en la polea y los objetos parten del reposo. Calcule:
a. La magnitud de las tensiones y la aceleración del sistema
b. La altura máxima que alcanza el objeto de 2.00 kg medida desde el piso, después de
que el bloque de 5 kg choca con el piso.
Solución
En este problema aplicaran las leyes de Newton para la rotación y traslación,
así como la conservación de la energía o cinemática traslación
h
2h
H
1m 2m
V
V
a. Diagrama de cuerpo libre 1m
1T
1W
1.
1
1 1 1
Σ
yF m a
W T m a
1 1 1 m g m a T Ec. 1
Diagrama de cuerpo libre 2m
58 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
2T
2W
2
2 2 2
Σ
yF m a
W T m a
2 2 2 m g m a T Ec. 2
Diagrama de cuerpo libre de la polea
N
1T 2T pW
1 2
1 2
Σ
cm I
T R T R I
aT R T R I
R
2 21 2 T R T R Ia Ec. 3
Sustituir Ec. 1 y Ec.2 en Ec.3 y determinar la aceleración
2 21 1 2 2
2
m4.18 seg
m g m a R m a m g R Ia
a
Sustituir la aceleración en Ec.1 y en Ec. 2
1 28.1 NT
2 27.9 NT
b. Para calcular la velocidad de la masa 2, cuando la masa 1 llega al suelo
59 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
2 2 21 2 2 1 21 1 1
2 2 2 2 2
m v m v m g h I m gh m gh
Sustituyendo v
R
1 2
1 2 2
2
2.24 m/s
gh m mv
Im m
R
v
Y analizando lo que sube la masa 2, como
2 2
2 2
0
0
2
2
V V a S
V VS
a
2
2
m2.24
s 0.257mm
2 9.75s
H
La máxima altura que alcanza sobre el suelo es 2(0.6 m) + 0.257 m = 1.46 m
60 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2: (20 puntos)
Una bolita de masa 5.00 g comprime 4.00 cm a un resorte de constante 14.8 N/mk
colocado sobre una mesa horizontal sin fricción de altura 1.20 m. La bolita abandona el
resorte justo en la orilla de la mesa y luego cae al suelo sin resistencia del aire. La bolita
debe caer sobre un carrito que viaja sobre el suelo hacia la mesa a razón constante de
9.00 km/h. ¿En qué posición debe encontrarse el carrito cuando se lanza la esfera para
que caiga justo dentro de él?
Solución
En este problema aplicaran conservación de la energía mecánica, movimiento
parabólico y movimiento en línea recta.
x
y
(0,0)
1.20 mH
V
v
ocX
Para la bolita:
2 2
2
1 1
2 2
N14.8 (0.04 m)
m 2.18 m/s0.005 kg
kx mv
v
Como:
2
2
2
1
2
1
2
2 1.20 m 0.495 s
9.8 m/s
oy yY V t a t
H gt
t
En x
0
fb bb
f o
b fb
X XV
t t
V t X
61 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Para el carrito
0
0
fc cc
f o
fc c c
X XV
t t
X V t X
Al final el carrito y la bolita se encuentran en la misma posición.
fc fbX X
0
0
0
0
0
m m0.495s 2.18 2.50
s s
2.32m
b
b
c c
c c
c c
c
b
c
V t V t X
V t V t X
X t V V
X
X
62 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (20 puntos)
El movimiento de un avión en el aire depende de cuatro fuerzas fundamentales, siendo
estas: la uerza de sustentación, el peso (actúan verticalmente sobre el avión), la tracción
y la resistencia (actúan horizontalmente sobre el avión). Si el viento sopla con una
rapidez de 42.0 m/s en la parte superior del ala y de 20.0 m/s en la parte inferior del ala,
la masa de la avioneta es de 1500 kg, el área de cada ala es de 9.00m2, determine el
espesor del ala del avión y la diferencia de presiones entre la parte superior e inferior
del ala.(Considere la densidad del aire 1.20 Kg/m3, 29.80 m/sg ).
Solución
Sustentación
ResistenciaTracción
Peso
A
B
sustentación
2sustentación
0
1,500 kg 9.80 m/s 14,700 N
yF F mg
F mg
Pero también se sabe que en el caso de los aviones:
sustentación
sustentación
2
2
14,700 N817 Pa
2 2 9 m
F P A
FP
A
Por la ecuación de Bernoulli
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3
3 2
1 1 2 2
1
2
1
2
1
2
kg1 m m1.2 42.0 20.0 817 Pa
2 s sm0.120m
kg m1.2 9.80
m s
A A A B B B
A B B A B A
A B
A B
P gY V P gY V
V V P P g Y Y
V V P gh
V V P
hg
h
63 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (20 puntos)
En la misión Red Bull Stratos el paracaidista FelixBaumgartner se lanzó desde un globo
especial desde una altura de 39,000 m sobre la superficie de la Tierra. Suponga que el
globo estaba estático respecto la superficie terrestre y desprecie los efectos resistivos de
la atmósfera.Si Baumgartner no hubiera usado paracaídas ¿con qué rapidez hubiera
llegado a la superficie terrestre? (Haga uso de la Ley de la gravitación universal).
Solución
Se utilizarán las siguientes variables
tm = masa de la tierra
pm = masa del paracaidista
TR = Radio de la tierra
H = Altura sobre la superficie de la tierra
2
2
2
2
1 12
o f
p t p t p
T H T
p t p t p
T T
tT T
E E
G m m G m m m v
R R R
G m m G m m m v
R H R
v GmR R H
211 24
2 6 6
Nm 1 12 6.67 10 5.98 10 kg
kg 6.37 1 0 m 6.37 10 m 39000m
m873
s
v
v
64 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 5: (20 puntos)
Un exploradorq ue se encuentra en un planeta desconocido decide realizar un
experimento con el cual pueda determinar el valor de la gravedad, para dicho
propósito toma una varilla de longitud 1.00m y masa de 0.250kg la desplaza un
pequeño ángulo, colocando el eje de rotación en la marca de 20.0cm, y establece que el
período de oscilación tiene un valor de 3.74s. Determine:
a. El valor de la gravedad en el planeta
b. ¿Cuálseríael valor de la fuerza de empuje que actuaría si se sumergiera
completamente una esfera de 2.00cm de radio en agua ( 31000 kg/m ) en ese
planeta?
c. Experimentalmente, ¿de qué forma podría determinar dicha fuerza?
Solución
Como se trata de un péndulo físico, se debe calcular el momento de inercia de
la varilla, en este caso en relación a un eje paralelo.
a.
2.
2 2
2 2
2
1 12
1 0.250kg 1.00m 0.250kg (0.300m)12
0.0433 kg m
p
p
p
I mL md
I
I
El período al ser un péndulo físico se calculará como.
2 pI
Tmgd
despejando g
2 22
2 2
2
4 0.0433 kg m4
0.250kg 0.300m (3.74s)
1.63m/s
pIg
mdT
g
b.
3.
3 2 3
2
41,000 kg/m 1.63 m/s
3
5.46 1 0 N
e
e
F gVol R
F
c. Entre las propuestas experimentales que podría dársele al explorador para
determinar la fuerza de empuje estarían.
Medir con dinamómetro el peso en aire y el peso en agua de la esfera.
Medir el volumen desalojado en un recipiente graduado.
65 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
DUODÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos correctamente
en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.
Problema 1: (25 puntos)
La figura adjunta muestre tres arcos circulares, no conductores, de radio 8.50R cm.
Las cargas en los arcos son 1 4 nCq , 2 1 3 12.00 , 2.00q q q q . Con 0V en el
infinito.
a. ¿Cuál es el campo eléctrico neto de los arcos en el centro común de la curvatura?
b. Si se coloca un electrón en el centro de la curvatura y se desea que escape del
sistema, ¿qué energía deberá imprimirle al electrón?
Problema 2: (25 puntos)
Un grupo de científicos especializados en ciencia de los materiales desea estudiar el
comportamiento de un nuevo material que acaban de sintetizar en el laboratorio. Se
monta un experimento para analizar la carga eléctrica que éste sustrae de los metales
con los que entra en contacto. Se crea un pequeño cubo con el material de masa61.0 10 kgm que es liberado dentro de un tubo aislante (rectangular) donde cabe
holgado. Al ser un experimento en el laboratorio no es posible eliminar la fricción por
completo, pero logran determinar que el coeficiente de fricción cinético entre el cubo y
la superficie interna donde roza es 0.275ku . Cuando se activa un campo eléctrico
66 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
externo constante con magnitud 500 kV/m en dirección (+ )E i se observa que el cubo
que parte del reposo se desplaza hacia la izquierda, resbalando (sin despreciar la
fricción) sobre una de las superficies del tubo rectangular y luego de recorrer 10 cm, su
rapidez llega a 2,700 m/s . El ángulo que se forma entre el campo eléctrico y el tubo por
donde se desplaza el objeto es 6
rad .Determine el signo y magnitud de la carga
eléctrica del cubo bajo estudio.Ignore los efectos de la gravedad.
L
E
Problema 3: (25 puntos)
El circuito mostrado en la figura, posee un capacitor experimental, el cual está
constituido por una varilla semicircular que actúa como polo negativo y el centro a una
distancia 90 mmR que funciona como polo positivo, ambos comparten una constante
dieléctrica 100K y se encuentra inicialmente descargado(descarte efecto de borde).
Con los datos anteriormente descritos calcule:
a. El valor del capacitor experimental ennF.
b. Si el interruptor conmuta de la posición 1 a la posición 2, ¿en cuánto tiempo
expresado en ms el capacitor experimental alcanza un voltaje de 10.0V?
c. Si después que el capacitor alcanza los 10.0V, el interruptor conmuta a la posición
1, ¿en cuánto tiempo expresado en ms la resistencia R3 disipará una potencia de
500nW?
67 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (25 puntos)
La figura adjunta muestra un conductor cilíndrico largo de radio a , que posee un orficio
cilíndrico largo de radio b , los ejes de los cilindros son paralelos y están separados una
distancia d . Una corriente I , se distribuye uniformemente sobre la sección conductora
del cilindro (área sombreada en la Fig. 1).
a. Pruebe que el campo en el agujero es uniforme y que posee una magnitud:
4.
02 2
2
IdB
a b
b. Cuál es la dirección del campo magnético en el interior del agujero. Dibuje las líneas
de campo en el agujero.
68 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
Problema 1: (25 puntos)
La figura adjunta muestre tres arcos circulares, no conductores, de radio 8.50R cm.
Las cargas en los arcos son 1 4 nCq , 2 1 3 12.00 , 2.00q q q q . Con 0V en el
infinito.
a. ¿Cuál es el campo eléctrico neto de los arcos en el centro común de la curvatura?
b. Si se coloca un electrón en el centro de la curvatura y se desea que escape del
sistema, ¿qué energía deberá imprimirle al electrón?
Solución
a. Para el segmento de arco 1
x
y
1q
dE
5.
1 11
4
4
q q
RR
11 12 2; ; ;
kdq kdE dq ds Rd r R dE d
r
R
R
69 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
/4/4
11 1
0 0
( cos )sen= 1 cos
4x x
kk kE dE d
R R Ri
/4/411 1
0 0
(sen )cos= sen
4yy
kk kE dE d
R R Rj
Para segmentos de arco 2 y 3
x
y
dE
dE
2 3[ ]
[ ]
2 3
6.
1 13
2 8
3 3
4
q q
RR
Por simetría se cancela la componente en “y”
/2/2 /2
3 3 3
0 0 0
cos 2 (sen ) 22 cos 2 ( )x x
k k kE dE dE d
R R Ri
x
y
dE
dE
[ ]
32 [ ]
También se cancela “y”
/4/43 3 3
0 0
cos 2 (sen ) 22 sen ( )
4x
k k kE d
R R Ri
Por lo que el campo de estos dos segmentos, está dado por:
32 1 sen ( )
4
k
RE i
El campo total en el centro de curvatura, está dado por:
70 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
31 121 cos 1 sen sen
4 4 4
kk k
R R RE i j
Sustituyendo
1 13 18 4
y 3
q q
R R
1 1 1
1 1 12 2 2
1 12 2
4 8 42 1 cos 1 sen sen
4 3 4 4
4 16 41 cos 1 sen sen
4 4 43
4 44 41 cos sen sen
4 3 3 4 4
12,
q q qk k k
R R R R R R
kq kq kq
R R R
kq kq
R R
E i j
E i j
E i j
E N N
582.06 4,486.00C C
i j
b.
7. 0 0 f fU K U K
Donde fU y fK son igual a 0
8.
0 0
0 0
0
e V K
K eV
El potencial en el centro de la curvatura solamente se debe al segmento 1
x
y
dS Rd
[ ]
1
O
9.
/4
1 11 1
0
4
4 4
q kqVo dVo k d k k
R R
Por lo que
10. 171 6.776 10 Joulesekq
RK
71 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2: (25 puntos)
Un grupo de científicos especializados en ciencia de los materiales desea estudiar el
comportamiento de un nuevo material que acaban de sintetizar en el laboratorio. Se
monta un experimento para analizar la carga eléctrica que éste sustrae de los metales
con los que entra en contacto. Se crea un pequeño cubo con el material de masa61.0 10 kgm que es liberado dentro de un tubo aislante (rectangular) donde cabe
holgado. Al ser un experimento en el laboratorio no es posible eliminar la fricción por
completo, pero logran determinar que el coeficiente de fricción cinético entre el cubo y
la superficie interna donde roza es 0.275k . Cuando se activa un campo eléctrico
externo constante con magnitud 500 kV/m en dirección (+ )E i se observa que el cubo
que parte del reposo se desplaza hacia la izquierda, resbalando (sin despreciar la
fricción) sobre una de las superficies del tubo rectangular y luego de recorrer 10 cm, su
rapidez llega a 2,700 m/s . El ángulo que se forma entre el campo eléctrico y el tubo por
donde se desplaza el objeto es 6
rad .Determine el signo y magnitud de la carga
eléctrica del cubo bajo estudio.Ignore los efectos de la gravedad.
L
E
Solución
Se tienen los siguientes datos
61.0 10 kgm
0.1 mL
6 rad
0.275k
0 0 m/sv
32.7 10 m/sfv
500 kV/m en dirección (+ )E i
Diagrama de cuerpo libre
L
E
72 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
xy
N
EF
kf
11. Σ 0seny EF N F
12. sen senEN F qE
13. senk k kf N qE
De la definición de trabajo, se calcula el trabajo de la fricción:
14. 0
cos
L
f k kW fk dl f dl f L
Dado que se puede determinar el trabajo realizado por la fricción, y la fuerza
eléctrica es conservativa, se puede utilizar conservación de la energía para
completar la solución del problema:
15. 0Δ f fE E E W
16. 0 0( )f f fK U K U W
Se sabe que el bloque parte del reposo, por lo que 0 0 JK , y que el cambio de
la energía potencial está dada por:
0Δ ΔfU U U q V
Por lo que finalmente:
Δf fK q V W
La diferencia de potencial se calcula con la integral:
0
cos
L
V E dl EL
73 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Obviamente 7 / 6 , por lo que la conservación de la energía nos lleva a:
17. 21
cos sen2
f kmv qEL qEL
Por lo que la carga que ha adquirido el bloque está dada por:
18.
2
6
2 cos
72.64 10 C 72.64 C
sen
f
k
mvq
EL
q
74 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (25 puntos)
El circuito mostrado en la figura, posee un capacitor experimental, el cual está
constituido por una varilla semicircular que actúa como polo negativo y el centro a una
distancia 90 mmR que funciona como polo positivo, ambos comparten una constante
dieléctrica 100K y se encuentra inicialmente descargado(descarte efecto de borde).
Con los datos anteriormente descritos calcule:
a. El valor del capacitor experimental ennF.
b. Si el interruptor conmuta de la posición 1 a la posición 2, ¿en cuánto tiempo
expresado en ms el capacitor experimental alcanza un voltaje de 10.0V?
c. Si después que el capacitor alcanza los 10.0V, el interruptor conmuta a la posición
1, ¿en cuánto tiempo expresado en ms la resistencia R3 disipará una potencia de
500nW?
Solución
a. Cálculo dela capacitancia
100RK
100RK
Q
R
dq ds
ds Rd
KdqdV
R
K Rd
R
K d
a
B
K
R
75 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Integrando
/2
0
= 2 V K d k d
Entonces
2
2p
KV K
Sustituyendo
Q
R
= p
KQ KQV
R R
Como oQ C V , entonces
o
o
C KQQ
R
RC
K
Calculando la capacitancia con dieléctrico.
K R o
R
C C
R
K
Por lo que el valor de la capacitancia está dado por:
3
29
2
100 90.0 10 m 1.00nF
N m9.00 10
C
kC
b.
1
t
RCt fV V e
RC
6 910.0 10 1.00 10 10.0msF
3
3
10 10
10 10
10.0 V 24.0 V 1
10.0 V 1
24.0 V
t
t
e
e
3 101 0.0 10 1 24
5.39 ms
lnt
t
76 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
c.
6 9 23.0 10 Ω 1.00 10 F
23. ms
500 nWP
2 P i R
Pi
R
9
3 6
93
500 10
8.00 10 Ω
250 10 A
R
R
Wi
i
Calculo por medio de la corriente en serie para determinar el tiempo.
3
3
9 23.0 10 s6
23.0 10 s
3
10.0 250 10 A
23.0 10 Ω
0.575
23.0 1 0 s ln 0.575
12.7 ms
t
c RCt
t
t
t
Vi e
R
ve
e
t
t
77 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (25 puntos)
La figura adjunta muestra un conductor cilíndrico largo de radio a , que posee un orificio
cilíndrico largo de radio b , los ejes de los cilindros son paralelos y están separados una
distancia d . Una corriente I , se distribuye uniformemente sobre la sección conductora
del cilindro (área sombreada en la Fig. 1).
a. Pruebe que el campo en el agujero es uniforme y que posee una magnitud:
19.
02 2
2
IdB
a b
b. Cuál es la dirección del campo magnético en el interior del agujero. Dibuje las líneas
de campo en el agujero.
Solución
a. La densidad de corriente en el conductor está dada por:
20.
2 2IJ
a b
El resultado se obtiene aplicando superposición, se calcula el campo magnético
en un punto cualquiera del interior del agujero producido por un conductor de
radio r a con densidad de corriente J en toda su sección y luego se resta el
campo producido en el mismo punto producido por un conductor de radio menor
que r b situado en la posición del agujero, que transporta la misma densidad
de corriente y obtenemos el resultado, dicha superposición debe considerarse
vectorialmente.
Aplicando la ley de Ampere, en el interior de un conductor de radio r a , con
densidad de corrienteJ
21.
2
0
20
0
2
2
B dl J r
B r J r
JrB
22.
78 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
El campo magnético B es proporcional a r r y perpendicular a r̂ , por lo que
se puede escribir vectorialmente:
23. 0 ˆ/ 2B Jr r
El campo magnético que habrá que restar debido al agujero quedará
representado de la misma manera:
24.
** *0 ˆ
2
JrB r
Por lo tanto el campo resultante está dado por:
25.
** *0 0
2 2ˆ ˆR
Jr JrB B B r r
26.
* *0
2ˆ ˆR
JB rr r r
Como se puede observar del diagrama vectorial, el triángulo formado por los
vectores * * ˆ ˆˆdu rr r r , y los vectores * *ˆ ˆˆcu rr r r , son congruentes.
79 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Por lo que c d y el campo se puede escribir finalmente:
27.
0 0
2 22ˆ
2ˆR
J IdB du u
a b
b. Como se observa del resultado final, y dado que es para cualquier punto en el
interior del agujero, el campo es uniforme y en la dirección de û
80 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
81 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4.3 QUÍMICA
DUODÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I
INSTRUCCIONES:
A continuación, se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y
valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de conversión,
ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular. El tiempo de la prueba
es de 120 minutos.
PRIMERA SERIE: Selección múltiple (50 pts.)
Consta de 20 preguntas de selección múltiple todas corresponde a la parte teórica.
Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte de
atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.
1. Un rollo de papel aluminio mide 66.7 yardas de largo, 12 pulgadas de ancho y 0.00030
pulgadas de grueso. ¿Cuál es la masa en gramos, del papel aluminio?
a. 380.62
b. 0.02
c. 32.4
d. 0.006
e. 52.21
2. Es un propiedad extrínseca o general de la materia EXCEPTO:
a. Masa
b. Volumen
c. Temperatura
d. Calor específico
3. ¿Con que elemento de los descritos, el Potasio tendrá más similitud en sus
propiedades periódicas?
a. Elemento del 4to periodo columna VIIA.
b. Elemento que posee 19 electrones.
c. Elemento que posee la siguiente configuración electrónica:1s2 2s2 2p6 3s1.
d. Elemento que se halla al final del cuarto período.
e. Elemento que posee 18 electrones.
82 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4. De la capacidad relativa de un elemento para atraer electrones en un enlace
afirmamos:
a. Se conoce como Afinidad electrónica
b. En un periodo aumenta de derecha a izquierda
c. En un grupo disminuye al aumentar el radio atómico.
d. Dos elementos con capacidad de atraer electrones muy similares formaran
enlaces iónicos.
e. Los elementos más electronegativos están en la esquina inferior izquierda
de la tabla periódica.
5. Dado los elementos A(z=9), B(z=17) y C(z=11) de los compuestos AB y AC, se puede
afirmar que:
a. Ambos son iónicos
b. Ambos son covalentes
c. AC es covalente y AB es iónico
d. AC es iónico y AB es covalente
e. Ninguna es correcta
6. El carbono y el oxígeno se mantienen unidos para formar dióxido de carbono
mediante el enlace del tipo:
a. Covalente simple
b. Covalente doble
c. Covalente triple
d. Covalente coordinado
e. Iónico
7. Cuál de los siguientes es un hidrácido
a. CaO
b. H2S
c. PH3
d. KCl
e. NaCs
8. Cuál es el nombre del Anhídrido Sulfúrico en el sistema Stock.
a. Dióxido de Azufre
b. Trióxido de Azufre
c. Óxido de Azufre IV
d. Óxido de Azufre VI
e. Óxido de Sulfúrico III
83 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
9. Cuál de los siguientes no es anhídrido en el sistema clásico.
a. CO2
b. B2O3
c. PO2
d. TeO
e. Cl2O5
10. La fórmula del Ácido Mangánico es:
a. H3MnO3
b. H2MnO3
c. HMnO3
d. H2MnO4
e. HMnO4
11. Según su mecanismo las reacciones pueden ser
a. Exotérmicas
b. Redox
c. Rápidas
d. Descomposición
e. Reversibles
12. Cuál de las siguientes proposiciones es falsa para el Hidróxido de Calcio
a. El nombre común es cal apagada
b. El nombre común es cal hidratada
c. Es una reacción metátesis
d. Es una reacción exotérmica
e. Es una reacción de síntesis
13. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta para las propiedades periódicas de los
elementos?
a. La combustión es una de ellas.
b. El potencial de ionización mide lo inverso de lo que mide la afinidad
electrónica.
c. Los elementos que poseen alta electronegatividad poseen baja afinidad
electrónica.
d. Los radios atómicos aumentan en un periodo de izquierda a derecha.
e. Dentro de un grupo el carácter metálico aumenta de arriba a abajo.
84 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
14. En una tabla periódica, los elementos que forman parte del mismo grupo poseen
igual:
a. energía de ionización
b. Radio iónico
c. Número de electrones de valencia
d. Radio atómico
e. Número de protones
15. Los elementos del grupo 8A se conocen como:
a. Calcógenos
b. Metales alcalinotérreos
c. Metales alcalinos
d. Halógenos
e. Gases nobles.
16. En referencia al tamaño los aniones son:
a. Más grandes que los átomos de los que se originan
b. Más pequeños que los átomos de los que se originan
c. Del mismo tamaño que los átomos de los que se originan
d. Levemente menores que los átomos de los que se originan
e. No ha sido determinado
17. En el isótopo 197Au hay _____ protones, _____ neutrones, y _____ electrones.
a. 197, 79, 118
b. 118, 79, 39
c. 79, 197, 197
d. 79, 118, 118
e. 79, 118, 79
18. La plata tiene 2 isótopos:
107
47 Ar 107
47 Ar
106.90509 108.9047
La masa atómica promedio de la plata es 107.8682 umas, por lo tanto la abundancia
relativa del isótopo menos pesado es:
a. 0.24221
b. 0.48168
c. 0.51835
d. 0.75783
e. 0.90474
85 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
19. Indique el enunciado incorrecto
a. Los gases son altamente compresibles.
b. Las distancias entre moléculas de gas son bastante grandes comparadas
con las distancias entre moléculas de líquidos.
c. Las mezclas de gases inertes son homogéneas.
d. Los gases se expanden de manera espontánea para llenar el recipiente en
el que están confinados.
e. Todos los gases son incoloros e inodoros a temperatura ambiente.
20. Las mezclas de gases:
a. Solamente pueden contener moléculas
b. Son heterogéneas
c. Solamente pueden contener átomos aislados
d. Son homogéneas
e. Deben contener moléculas, átomos e iones
SEGUNDA SERIE: (50 puntos):
A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo de
trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada de todo
su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones más
importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.
Problema 1 (Análisis Dimensional)
Para conservar el agua, los químicos aplican una delgada película de un cierto material
inerte sobre la superficie del agua para disminuir su velocidad de evaporación. Esta
técnica fue introducida por Benjamín Franklin, quien encontró que 0.10 mL de aceite
podría extenderse cubriendo una superficie de 40 metros cuadrados de agua.
Suponiendo que el aceite forma una monocapa, es decir, una capa cuyo grosor es de una
molécula, determine la longitud en nanómetros de cada molécula de aceite.
Problema 2 (Teoría Atómica)
El átomo de hidrógeno es ionizado generando una corriente. El potencial de frenado es
de 15 V. ¿Cuál es la longitud de onda (µm) de la radiación que genera este fenómeno?
86 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3 (Enlace)
El compuesto KXO4 es utilizado en desinfectantes y desodorantes, también para tratar
algunas enfermedades parasitarias de los peces, o en el tratamiento de algunas
infecciones de la piel como hongos o dermatosis.
a. Dibuje la estructura de Lewis del compuesto, sabiendo que el elemento X posee el
siguiente conjunto de números cuánticos (3, 2, 2, ½).
b. Determine la carga formal para el átomo central.
c. Describa los tipos de enlace en la estructura
Problema 4 (Estequiometria)
Para el lanzamiento de un coheteespacialse
utilizaaluminiometálicoypercloratodeamonio,NH4ClO4,comocombustiblesólidode
cohetesreutilizables. La ecuación delareacción es:
g4 3s 4 s 2 s 3 s) g
( 2A Cl Ol NH O Al AlCl NO H O
Para el lanzamiento de un prototipo se utilizan 7.75g deAl y9.32gde NH4ClO4.¿Si el
rendimiento de la reacción es del 73%, ¿Cuántas moléculas de cloruro de aluminio
3 (AlCl ) se formaron en el despegue de la nave?
Problema 5 (Gases)
En un recipiente rígido a 25 °C, hay una mezcla formada por 0.35 molar de un gasA y
un gas B a una presión de 0.84 atm, cuya densidad es de 1.1768 g/L. Se agrega más gas
A, a la mezcla y la densidad es ahora 1.5436 g/L con una compresión a 1.2 atm en un
proceso isotérmico. Determine la fracción de cada componente en la nueva mezcla y la
masa molar de A y B.
87 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
PRIMERA SERIE
1. a 6. b 11. d 16. a
2. d 7. b 12. c 17. e
3. c 8. d 13. b 18. c
4. c 9. c 14. c 19. e
5. d 10. d 15. e 20. d
SEGUNDA SERIE
Problema 1 (Análisis Dimensional)
Para conservar el agua, los químicos aplican una delgada película de un cierto material
inerte sobre la superficie del agua para disminuir su velocidad de evaporación. Esta
técnica fue introducida por Benjamín Franklin, quien encontró que 0.10 mL de aceite
podría extenderse cubriendo una superficie de 40 metros cuadrados de agua.
Suponiendo que el aceite forma una monocapa, es decir, una capa cuyo grosor es de una
molécula, determine la longitud en nanómetros de cada molécula de aceite.
Solución
30.10 mL 0.10 cmV
2 5 240 m 4 10 cmA
37
5 2
0.10 cm espesor 2.5 10 cm
4 10 cm
2.5 nm
H
H
Respuesta:
2.5 nm
88 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2 (Teoría Atómica)
El átomo de hidrógeno es ionizado generando una corriente. El potencial de frenado es
de 15 V. ¿Cuál es la longitud de onda (µm) de la radiación que genera este fenómeno?
Solución
E
q
19 18(15 V) 1.6 10 C 2.4 10 JE q
Utilizando el valor de la energía potencial para el hidrógeno, tomado de la tabla
periódica
19 18(13.598 V) 1.6 10 C 2.1756 10 JE q
Determinando el valor de la longitud de onda:
ck p
hE E
18 182.4 10 J 2.1756 10 J ch
34 8
18 18
6
6.626 10 J s 3 10 m/s
2.4 10 J 2.1756 10 J
4.34 10
4.34 m
89 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3 (Enlace)
El compuesto KXO4 es utilizado en desinfectantes y desodorantes, también para tratar
algunas enfermedades parasitarias de los peces, o en el tratamiento de algunas
infecciones de la piel como hongos o dermatosis.
a. Dibuje la estructura de Lewis del compuesto, sabiendo que el elemento X posee el
siguiente conjunto de números cuánticos (3, 2, 2, ½).
b. Determine la carga formal para el átomo central.
c. Describa los tipos de enlace en la estructura
Solución
a. Dibuje la estructura de Lewis del compuesto, sabiendo que el elemento X posee
el siguiente conjunto de números cuánticos (3, 2, 2, ½).
1. El electrón diferencial en la posición (3, 2, 2, ½) se encuentra en 3d5, por lo
tanto, el elemento corresponde al Manganeso (Mn).
2. El compuesto queda de la siguiente forma: KMnO4 (Permanganato de Potasio)
3. Realizar el diagrama de los puntos de Lewis para cada elemento presente en el
compuesto utilizando los electrones de valencia.
4. Determinar el número de oxidación del átomo central.
KMnO4
1(1) 1( ) 4( 2) 0
7
x
x
El número de oxidación del manganeso es de 7, por lo cual debe de dar sus 7
electrones de valencia para formar la estructura.
5. Realizar la estructura de Lewis
90 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
b. Determine la carga formal del átomo central
carga formal de valencia # de enlaces librese e
carga formal Mn 7 6 0
carga formal Mn 1
c. Describa los tipos de enlace en la estructura
2 enlaces covalentes dobles
1 enlace covalente simple
1 enlace covalente coordinado
1 enlace iónico
91 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4 (Estequiometria)
Para el lanzamiento de un coheteespacialse
utilizaaluminiometálicoypercloratodeamonio,NH4ClO4,comocombustiblesólidode
cohetesreutilizables. La ecuación delareacción es:
g4 3s 4 s 2 s 3 s) g
( 2A Cl Ol NH O Al AlCl NO H O
Para el lanzamiento de un prototipo se utilizan 7.75g deAl y9.32gde NH4ClO4.¿Si el
rendimiento de la reacción es del 73%, ¿Cuántas moléculas de cloruro de aluminio
3 (AlCl ) se formaron en el despegue de la nave?
Solución
¿Cuántas moléculas de cloruro de aluminio ( 3 AlCl ) se formaron en el despegue
de la nave?
1. Antes realizar los cálculos estequiométricos se debe de balancear la reacción
química por tanteo o el método algebraico, quedando de la siguiente forma:
s 4 4 s 2 3 s 3 s g 2 g3Al 3NH ClO Al O AlCl 3NO 6H O
2. Determinar los moles de cada reactivo involucrado en la reacción química.
1 mol Al
7.75 g Al 0.2872 mol Al26.98 g Al
4 4 4 4 4 4 4 4
1 mol NH ClO9.32 g NH ClO 0.0793 mol NH ClO
117.49 g NH ClO
3. Determinar el reactivo limitante, utilizando la reacción química balanceada
correctamente.
0.2872 mol Al
Aluminio : 0.0957 3 mol Al
4 4
4 4
0.0793 mol NH ClOPerclorato : 0.0264
3 mol NH ClO
El perclorato de amonio ( 4 4 NH ClO ) es el reactivo limitante de la reacción ya
que 0.0264 0.0957
4. Calcular la cantidad de moléculas de 3 sAlCl que se formaron en el despegue
a partir del reactivo limitante y la reacción química balanceada.
233 3
4 4 4 4 3
223
1 mol AlCl 6.022 10 moléculas de AlCl0.0793 mol NH ClO
3 mol NH ClO 1 mol AlCl
1.5918 10 moléculas de AlCl
92 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
5. El problema indica que el rendimiento de la reacción es de 73%, por lo tanto,
se debe de determinar la cantidad de moléculas producidas a este rendimiento
R. Experimental
%R 100R. Teórico
%R R.TeóricoR. Experimental
100
223
223
73 1.5918 10 moléculas de AlClR. Experimental
100
1.1620 10 moléculas de AlCl
Respuesta:
Se formaron 221.1620 10 moléculas de cloruro de aluminio ( 3 AlCl ) en el
despegue de la nave
93 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología