Předpjatý beton Přednáška 12

Obsah

Mezní stavy použitelnosti - omezení přetvoření

Deformace předpjatých konstrukcí Předpoklady, analýza,

Stanovení přetvoření.

Předpoklady, analýza

Všeobecně

- u předpjatých konstrukcí nejen průhyb od zatížení, ale i vzepětí a stlačení od

předpětí,

- celkové průhyby jsou oproti železobetonovým konstrukcím menší,

- kritéria pro omezení průhybů jsou různá podle norem (od pohyblivého zatížení dle

ČSN 736207 a pro kvazistálou kombinaci dle ČSN EN 1992-1-1),

- způsoby posouzení

- nepřímé – splnění náhradní podmínky – např. pro ohybovou štíhlost,

- přímé – výpočet průhybu či jiného přetvoření,

- rozeznáváme deformace

- pružné (vratné)

- nepružné (nevratné) – dotvarování, smršťování betonu, vliv vzniku trhlin,

nelinearity pracovního diagramu

- krátkodobé – index st,

- dlouhodobé – index lt,

- z hlediska vzdorujícího průřezu rozeznáváme konstrukce

- plně předpjaté (s plně vzdorujícím průřezem bez trhlin),

- částečně předpjaté (s částečně vzdorujícím průřezem po vzniku trhlin).

a) kritérium obecné použitelnosti

- průhyb při kvazistálém zatížení nemá překročit 1/250 vzdálenosti

podpor;

- pro omezení průhybu může být použito nadvýšení - velikost

nadvýšení bednění by neměla překročit 1/250 rozpětí; u předpjatých

konstrukcí vzniká vzepětí od předpětí→vzepětí není nutné.

b) kritérium průhybu po zabudování prvku

- průhyb po zabudování (provedení) prvku by neměl přestoupit

hodnotu 1/500 rozpětí při kvazistálé kombinaci zatížení.

Kritéria použitelnosti pro průhyby

Omezení přetvoření dle ČSN EN 1992-1-1

Předpoklady, analýza

fct, eff

Stádia působení vyztužených prvků

Stádium I

počáteční fázi zatěžování - malá přetvoření a napětí v průřezu,

na přenášení zatížení se podílí celý průřez,

napětí v daném místě je přímo úměrné jeho vzdálenosti od neutrální

osy,

celý průřez působí pružně,

stádium I trvá až do okamžiku, kdy je v tažených vláknech dosaženo

mezní hodnoty napětí pevnosti betonu v tahu - je dosažena mez vzniku

trhlin.

I. III. II.

Předpoklady, analýza

Stádia působení vyztužených prvků

Stádium II

počíná na mezi vzniku trhlin,

při rostoucím zatížení se trhlina v průřezu rozšiřuje a prohlubuje

směrem k neutrální ose,

stadium končí, když je trhlinou prostoupena celá tažená část průřezu,

při prohlubování a rozevírání trhliny od rostoucího zatížení se neutrální

osa posouvá blíže k tlačenému okraji průřezu.

I. III. II.

Předpoklady, analýza

≤ fct,eff

Předpoklady, analýza

Konstrukce plně a omezeně předpjaté

- u předpjatých konstrukcí nevzniká při působení běžného provozního zatížení tah

(průřez je celý tlačen) nebo tah je omezen přípustnou hodnotou (σct ≤ fct,eff),

- účinkům zatížení vzdoruje plný betonový nebo lépe plný ideální průřez (Ai , Ii),

- při výpočtu přetvoření se mohou využít zásady lineární stavební mechaniky,

- s ohledem na působící normálovou sílu od předpětí je nutno uvažovat nejen

ohybovou (E . Ii), ale i osovou (E . Ai) tuhost průřezu,

- pro zatížení působící před zainjektováním kanálků je třeba uvažovat oslabený

betonový průřez (tj. bez vlivu kanálků),

- přetvoření jsou mimo zatížení ovlivněna i stárnutím betonu a reologickými vlivy

(dotvarování a smršťování betonu, relaxace předpínací výztuže) probíhajícími ve

vzájemné interakci a ovlivňujícími předpětí (změny předpětí):

- zkrácení od smršťování→ztráta předpětí→zvětšení průhybu, ale i redukce

zkrácení nosníku a následné prodloužení kabelu→redukce ztráty předpětí a

redukce zkrácení nosníku (pozor na vliv dotvarování),

- vliv dotvarování betonu→zvětšení průhybu→prodloužení kabelu a přírůstek

předpínací síly→redukce průhybu od dotvarování,

- vliv dotvarování betonu→zkrácení nosníku→pokles předpínací síly→zvětšení

průhybu,

- →přesné stanovení deformací je obtížné→jen pomocí výpočetní techniky,

- přibližné řešení např. pomocí integrace křivosti.

Předpoklady, analýza

Konstrukce částečně předpjaté

- průhyb je ovlivněn sníženou tuhostí po vzniku trhlin (σct > fct,eff),

- účinkům zatížení vzdoruje betonový průřez jen částečně→ideální průřez (Air , Iir),

- přesný výpočet přetvoření musí zahrnovat analýzu a interakci dlouhodobých vlivů,

nelineární analýzu s vlivem trhlin a umožňující následnou aplikaci proměnného

zatížení, - přibližný výpočet – např. metoda

efektivního modulu pružnosti Ec,eff,

- vliv trhlin dle ČSN EN 1992-1-1:

- stav I – plně působící průřez,

- stav II – průřez s plně vyloučeným

betonem v tažené oblasti,

- plná oblast v obrázku – vliv tzv.

tahového zpevnění v důsledku

působení betonu mezi trhlinami,

- po vzniku trhlin (bod R) dochází k

poklesu tuhosti průřezu (v důsledku

tahového zpevnění je vyšší než pro

stav II – viz dále),

- pro předpínací výztuž ∆σP, ∆εP .

Obecně o stanovení tuhosti

Tuhost průřezu je určena zejména :

velikostí tlačené části průřezu → tlaková síla přenášená betonem,

tahovou silou přenášenou výztuží,

Pozn.: Vliv taženého betonu na tuhost průřezu je menší nebo bezvýznamný.

Zjednodušující předpoklady

ve stádiu I působí celý průřez. Závislost mezi napětím a přetvořením je až do

dosažení meze vzniku trhlin lineární,

po překročení meze vzniku trhlin (stádium II) je tuhost průřezu závislá na

hloubce trhliny (resp. na velikosti části betonového průřezu, která není

porušena trhlinou).

ČSN 73 1201 ČSN EN 1992-1-1

mez vzniku trhlin

uvažovaná úroveň zatížení

Předpoklady, analýza

α α α

Modely průřezů pro výpočet tuhosti a napětí

a) průřez bez trhliny (plně působící průřez v tahu i v tlaku),

b) průřez s trhlinou a tlačenou částí,

c) zcela trhlinou porušený průřez (průřez bez tlačené části).

Předpoklady, analýza

Průřez bez trhliny

Napětí v průřezu - horní vlákna

- dolní vlákna

,.

2

i

gikdi

i

kdc

I

aM

A

N

.

.1

i

gikdi

i

kdc

I

ahM

A

N

effctceffctc faf ,2,1

Podmínka napětí

→ pak trhliny kolmé ke střednici prvku vyvozené

kdikd M,N nevzniknou a výpočet napětí lze provést s charakteristikami účinkem

ideálního průřezu , tj. za předpokladu plně působícího průřezu v tahu i v tlaku

Předpoklady, analýza

Tuhost průřezu: ohybová – E . Ii , osová - E . Ai

E = Ecm, resp. Ec,eff = Ecm / (1 + φ)

Průřez s trhlinou a tlačenou částí

Pokud je napětí v průřezu

021 ceff,ctc af

012 ceff,ctc af

resp.

- vzniknou trhliny

- existuje i tlačená část

Předpoklady, analýza

Průřez s trhlinou a tlačenou částí

Pro výpočet napětí a tuhosti se určí charakteristiky průřezu za předpokladu, že

a) v tažené části průřezu beton v tahu nepůsobí, tj. je prostoupen trhlinou,

b) poměrné přetvoření průřezu po výšce je lineární,

c) napětí v tlačené části betonového průřezu a ve výztuži (tažené i tlačené) je

přímo úměrné přetvoření průřezu v daném místě; konstantou úměrnosti je

modul pružností daného materiálu.

Předpoklady, analýza

Tuhost průřezu: ohybová – E . Iir , osová - E . Air

E = Ecm, resp. Ec,eff = Ecm / (1 + φ)

Průřez zcela porušený trhlinou

Pokud na obou okrajích taženého průřezu platí

eff,ctceff,ctc faf 21

- průřez je po celé výšce prostoupen trhlinou

- jedná se o namáhání mimostředným tahem s malou výstředností.

Tuhost průřezu závisí pouze na parametrech výztuže – platí pro Air a Iir.

Předpoklady, analýza

kdkdkd NMe /

pdkdppdkdckd NNdhNeaNe /

xxd cs /1

xdx cs /22

xdxh cpp /

cmccc ExbF 5,0

ssss EAF 111

ssss EAF 222

pppp EAF

Předpoklady, analýza

(k hornímu okraji)

Pozn.: Vztahy jsou pro obdélníkový průřez.

( excentricita od vnitřních sil od zatížení vztažená k těžišti

betonového průřezu)

Poměrná přetvoření vrstev výztuží: Síly ve výztužích a v tlačeném betonu:

Průřez s trhlinou a tlačenou částí – výpočet tuhosti

A

A

s2

d1

h

s1Ap1A

A

dd

h

dp

d2

A

Ap1

As1

s2

A

Aa

c

gcCCgir

ag

irh-a

gir

s1p

s2

c c

s2

s1s1p

s2

c

s2

s1FpF

F

Fcc

N +Nkd pd

e

irx

= x

ccpsspdkd FFFFNN 21

3/221 xFdhFdFdFeNN ccppsspdkd

06

63

2221

221

23

edhdhAeddAeddAb

xedhAedAedAb

exx

pppepsses

ppepsses

Předpoklady, analýza

silová podmínka

momentová podmínka

k hornímu okraji

Porovnáním levých stran silové a momentové podmínky a po dosazení za F

a ε vznikne kubická rovnice pro určení výšky tlačené oblasti x:

A

A

s2

d1

h

s1Ap1A

A

dd

h

dp

d2

A

Ap1

As1

s2

A

Aa

c

gcCCgir

ag

irh-a

gir

s1p

s2

c c

s2

s1s1p

s2

c

s2

s1FpF

F

Fcc

N +Nkd pd

e

irx

= x

gir

ir

girpdkd

ir

pdkd

c aI

eaNN

A

NN

es

ir

gir

girir

ir

pdkd

sI

daeaA

A

NN

11

es

ir

gir

girir

ir

pdkd

sI

daeaA

A

NN

2

2 1

ep

ir

pgir

girir

ir

pdkd

pI

dhaeaA

A

NN

1

Předpoklady, analýza

Po určení x lze vypočítat geometrické veličiny průřezu: Air , polohu těžiště agir a

moment setrvačnosti Iir

a napětí v jednotlivých vrstvách výztuže či betonu (dle pružnosti):

A

A

s2

d1

h

s1Ap1A

A

dd

h

dp

d2

A

Ap1

As1

s2

A

Aa

c

gcCCgir

ag

irh-a

gir

s1p

s2

c c

s2

s1s1p

s2

c

s2

s1FpF

F

Fcc

N +Nkd pd

e

irx

= x

kde

Ověření ohybové štíhlosti

dd

l → jsou splněna kritéria obecné použitelnosti a průhybu

od výpočtu přetvoření lze upustit

,,321 tabdcccd

,12

15,111

12,35,111 ,

2/3

,

o

o

cko

ck

oo

cko

ck

tabd

proffK

proffK

Nosná konstrukce K = 1,5% = 0,5%

Prostě podepřený nosník, prostě podepřená deska (nosná v jednom a ve dvou směrech) 1,0 14 20

Krajní pole spojitého nosníku nebo desky nosné v jednom směru, krajní pole desky nosné ve

dvou směrech, spojité ve směru kratšího rozpětí

1,3 18 26

Vnitřní pole spojitého nosníku nebo desky nosné v jednom nebo ve dvou směrech 1,5 20 30

Deska lokálně podepřená 1,2 17 24

Konzola 0,4 6 8

db

A reqs

,

→

Stanovení přetvoření

Uplatní se především u železobetonových konstrukcí pozemních staveb

→u předpjatých konstrukcí se vyžaduje přímý výpočet přetvoření.

požadovaný stupeň vyztužení pro návrhový moment

sssm 2- průměrné poměrné tahové přetvoření

,2

max,

s

srss

kde

;12max, rsrss

,//

,//

211

222

ssrsrs

ssrsrs

- pak dle obrázku

- po úpravě a dosazení

,1 12 sssm

kde

./12

2ssr

Závislost mezi napětím a přetvořením u betonových prvků

( ověřeno experimenty )

Stanovení přetvoření

Jedná se o stanovení vlivu tahového zpevnění (pro předpínací výztuž ∆σP, ∆εP ;

ve vztazích a na obrázku místo ξ (ksí) patří ζ (dzeta) ):

s

mez vzniku trhlin

od zatížení

III 1

- hledaná deformační veličina (např. poměrné přetvoření,

pootočení nebo křivost),

I - hodnota deformační veličiny stanovená za předpokladu plně

působícího trhlinami neporušeného průřezu

II - hodnota deformační veličiny stanovená za předpokladu

trhlinami plně porušené konstrukce,

- je součinitel vystihující tahové zpevnění

2/1 ssr

…součinitel doby trvání zatížení (1,0 resp. 0,5)

Model dle ČSN EN 1992-1-1

Stanovení přetvoření

- celkové deformace zahrnující i vliv

deformací vyvolaných dotvarováním

betonu - mohou být vypočteny použitím

efektivního modulu pružností betonu

,

,1,

o

cmeffc

t

EE

- křivost od smršťování

I

S

recs

cs

1

Model dle ČSN EN 1992-1-1

Stanovení přetvoření

αe = Es / Ec,eff,

εcs - poměrné přetvoření od smršťování

S – statický moment výztuže k těžišti

průřezu