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PUBLICACIONES DEL OBSERVATORIO ASTRONOMICO DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATAD irector : C apitán de F ragata (R.) GUILLERMO O. WALLRRECHER
S E R I E A S T R O N O M IC A . — T o m o X X V I I
TABLASPARA EL CALCULO DE LAS EFEMERIDES PLANETARIAS
P O R EL METODO DE EX TR APO LACIO N
P AS C UAL S C O NZ O
L A P L A T A
O B S E R V A T O R I O A S T R O N Ó M I C O
1949
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA\
RECTOR
DOCTOR JULIO M. LAFFITTE\
VICERRECTOR
INGENIERO HECTOR CEPPI
CONSEJO UNIVERSITARIO
Consejeros
D octor A lfredo Schaffroth, D octor R oberto C respi G herzi, Ingeniero Martín Solari, D octor
Julio H. L yonnet, D octor H ernán G onzález, Ingeniero A grónomo C ésar A. F erri, Ingeniero José
M. C astiglioni, D octor G uido P acella, D octor O svaldo A. E ckell, Ingeniero Héctor C eppi,
Ingeniero A rturo M. G uzmán, D octor R oberto H. Marfany, P rofesor A rturo C ambours Ocampo,
D octor E miliano J. Mac D onagh, C apitán de F ragata (r .) G uillermo O . W allbrecher.
s e c r e t a r i o g e n e r a l
DOCTOR JOSE ARMANDO SECO VILLALBA
p r o s e c r e t a r i o
DON VICTORIANO F. LUACES
OFICIAL MAYOR
SEÑOR JOSE MUÑOZ
INSTITUTO DEL OBSERVATORIO ASTRONOMICO Y ESCUELA SU PERIO R DE ASTRONOM IA Y GEOFISICA
DIRECTOR
CAPITAN DE FRAGATA (R.) GUILLERMO O. WALLBRECHER
SECRETARIO
ABOGADO ANDRES GUILLEN
PROSECRETARIO
RICARDO J. NOWINSKI
/
PERSONAL D0CENT|Z Y CIENTÍFICO
Jefes de Departamento y Profesores : Ing. Miguel A. A gabios (Coordinador Interdepartamental-Astrometría, Segundo Curso) ; A grim. Á ngel A. Baldini (Geodesia-Gravimetría y Mareas) ; Ing. Simón Gershánik (Geofísica-Sismología) ; D r . Livio G ratton (Astrofísica-Astrofísica, I y II Curso) ; A grim. Miguel Itzigsohn
(Astrometría-Astrometría, Prim er Curso) ; D r . A lexander W ilkens (Astronomía teórica y Cosmogonía-
Mecánica Celeste).Profesores : A grim. G uillermo H. Borel (Astronomía General) ; D r . R einaldo P. C esco (Análisis matemático,
III Curso); A grim. Á ngel A. Baldini (Geodesia Superior y Determinaciones Geográficas) Interino; A grim.
V íctor J. Meneclier (Astronomía Esférica); D r . P ascual Sconzo (Cálculos Científicos) ; D r . L eónidas
Slaucitajs (Magnetismo Terrestre y Electricidad Atmosférica).
PERSONAL CIENTÍFICO
Jefes de División y Astrónomos de Primera : A grim. G uillermo H. Borel (Círculo Meridiano) ; D r . R eynaldo
P. C esco (Astronomía Teórica) ; P rof. S ilvio Mangariello (Círculo Meridiano) ; A grim. H ugo A . Martínez
(Círculo Meridiano) ; D r . F ranz P ingsdorf (Estrellas Variables) ; D r . P ascual Sconzo (Efemérides, Pequeños Planetas) ; D r . Sergio Slaucitajs (Círculo Meridiano) ; D r . L eónidas Slaucitajs (Magnetismo Terrestre) ; Ing. N uma T apia (Fotometría Fotográfica) ; D r . H erbert W ilkens (Estadística Estelar).
PERSONAL DOCENTE Y AUXILIAR
Jefe de Biblioteca : P rof. N idia E thel G uillamón.
Jefes de Trabajos Prácticos : D r . Sergio Slaucitajs (Astronomía Esférica) ; D r . Herbert W ilkens (Astrofísica).Ayudantes de Trabajos Prácticos : Srta. A licia B. D i B ella (Idioma Inglés) ; Srta. A raceli Stichling (Idioma
Alemán).
ADMINISTRACIÓN
Administrador-habilitado : S eñor Juan José Saggesse.
PERSONAL TÉCNICO DE TALLERES
Jefes: Ing. E lio Maffi (Departamento de Optica) ; S r . José A. R odríguez (Departamento de Talleres) ; S r . R amón Sánchez (Taller de Mecánica de Precisión) ; S r . Antonio P alummo (Taller de Ebanistería) ; S r . Mario A. T omasini (Taller de Electricidad).
TABLAS PARA EL CALCULO DE LAS EFEMERIDES PLANETARIAS POR EL METODO DE EXTRAPOLACION
I
INTRODUCCIÓN
El conocido método de extrapolación para obtener una serie de posiciones heliocéntricas, de las cuales luego es fácil deducir la correspondiente serie de posiciones geocéntricas de un cuerpo celeste que se mueve alrededor del Sol recorriendo órbitas que son secciones cónicas, actualmente es empleado con mucha frecuencia en los cálculos de efemérides de asteroides y cometas.
El hecho de ser este método aplicable para todas las excentricidades hace indiscutible las ventajas de su uso ; además, se adapta perfectamente al cálculo mecánico. Originariamente, el método data de los trabajos de Gowell 1 * y de Numerow a. Su aplicación resulta muy facilitada si se poseen tablas adecuadas a las particularidades del cálculo ; las existentes se encuentran en las Tafeln zur iheorelischen Aslro- nomie 3 y se refieren a los intervalos de extrapolación 10 = 2, !\ y 8 días, respectivamente.
En el reciente Congreso de la U. A. I. 4, la comisión n° 20 (Petites planétes, etc.) adoptó la decisión de calcular las efemérides aproximadas de oposición de los asteroides para 6 fechas consecutivas espaciadas de 10 días una de otra. Una decisión análoga se adoptó para los cometas, cuyas efemérides deben calcularse en lo sucesivo con intervalos de 5 ó 10 días. En consecuencia faltan a las tablas citadas las columnas de los intervalos w correspondientes a 5 y 10 días, respectivamente. La presente publi
cación suplirá esta falta.
1 P. H. C owell and A. C. D. C rommelin, Essay on the retourn o f Halley’s comet. Publ. d. A. G. N° a3, 1910.
* B. Numerow, Méthode nouuelle de la determinaron des orbiles et de calcul des éphémérides en lenant compie des pertur- bations (en idioma ruso). Leningrado, 192a. Ver también N. C ommehdantoff, Sur Vemploi de la mélhode d3exlra-po\ation de B. Noumerow pour le calcul des éphémérides. J. d. O. 10, 8. 1926.
3 De J. B auschinger, 2a edición por G. Stracke. Leipzig, 19 ^ • (Tabla N° 18). De este último autor ver también : Zur Ephemeridenrechnung nach Cowell A. N. 236 , 96. 1929.
1 Que tuvo lugar en Zurich en el mes’ de agosto de 1948.
6
Considerando además que en nuestro observatorio se calculan las efemérides de un gran número de asteroides— asignados por la central de los pequeños planetas, el Cincinnati Observatory, de acuerdo con una resolución de la anteriormente citada comisión n° 20 — be creído oportuno, con la finalidad de dar una guía a los estudiantes que se dedican a la tarea de este cálculo, hacer una exposición del método, aportando pequeñas modificaciones prácticas sugeridas por una larga experiencia. Tales modificaciones resultan evidentes examinando la particular disposición que he dado a los esquemas de cálculo de las efemérides aproximadas (ver ejemplos).
OBSERVATORIO ASTRONOMICO DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
II
EXPOSICIÓN DEL MÉTODO APROXIMADO DE EXTRAPOLACIÓN
i . El movimiento 110 perturbado de un cuerpo celeste P que se mueve alrededor del Sol S con ley newtoniana, se puede representar, como es conocido, con las ecuaciones diferenciales de 20 orden :
dt2 ~ r3
a j í— - * ’ p > < • - s r -<»> + j* + «y/., ( ,)
dt2 ~
donde k es la constante de Gauss o.0172021, y la majsa m de P se supone despreciable respecto déla del Sol que es tomada como unidad. Las coordenadas x , y, z son heliocéntricas ecuatoriales.
Para integrar numéricamente el sistema (1) supongamos conocer dos ternas de valores :
0*-»> J-.» 2-»),
(*o> Jo» z9)>
correspondientes, respectivamente, a dos valores y t0 del tiempo /, e imaginemos que t tome los valores de una progresión aritmética simple de constante w :
ti = ¿0 + «0 ( t = - i , o, 1, a, . . . ) . (a)
Nos pioponemos ahora calcular por el método de extrapolación los valores de las coordenadas (x v Ji» zt). correspondientes al valor = w del tiempo t.
Pongamos en general:
x\y \z = u(t),
es decir, denotemos con u(t) una cualquiera de las coordenadas x, yt z.
(3)
• P ascual Sconzo, Tablas para el cálculo de las efemérides planetarias, etc
Del cálculo de las diferencias finitas se sabe que es :
a (<0 + w) = u (t0) + «■ |í0 +
= 11 (í0) + ií (t0 - i u>| + «" (t0)
= 2u(t0) - a ( t .0- w ) + u„(t o)
Poi otra parte la fórmula de Taylor nos proporciona el siguiente desarrollo :
(4)
y para /= i e i= — i se tiene respectivamente :
y sumando miembro a miembro :
donde hemo^ puesto para abreviar :
De las (4) y (5) sigue :
Si se prescinde de R (f0), teniendo en cuenta las (1), se puede escribir :
u" (t0) = ura" (í0) = w2 ¡ i j ¡ ]
y por lo tanto la (4) se transforma en :
Ur= - w2k2 22
rf
o sea:
Luego por iteración se obtiene :
(5)
(6)
(7 )
(8)
8 ÓRsERVATORIO ASTRONÓMICO t)E LA ÜNIVÉtlSÍDAt) NACION AL bE LÁ PLATA
La cantidad :
Xi = 2 —w2k2
3 (9)
se puede tabular simplemente para distintos y constantes valores de w en función de r2 ; y entonces se tiene en definitiva la fórmula general de extrapolación :
(io)
* <2. Calculemos ahora la expresión (6) de R (t0), que se puede llamar el resto, y de la cual habíamos
prescindido en la deducción de la (8). Si se pone :
resulta :
y la (6) se transforma en :
U (í0) = 102u" (t0)
U(n> (¿o) = w2u(n+2) (t0)
R (t0) = ~ U<’> (ío) + ~ U<« (/„) + ^ U® (t0) + . . .8 ! ( i i )
Pero se sabe por otra parte, que las expresiones de las derivadas en función de las diferencias finitas de distintos órdenes son :
to*Uw = U“.---- - U ” + — Uyi —12 9°
W‘U<4» = U" - 7T UTI o
to6U<61 = l i ” — . . .
Si se sustituyen estas expresiones en la ( n ) se tiene :
i _ i _ 3 iR ( g = ■— U" - - ^ - u - +
x ' 12 240 6o48o ( 12)
y si se elige un intervalo w convenientemente pequeño, R (/0) adquiere por la (12) un valor despreciable. Esto justifica la fórmula general de extrapolación (10), que resulta así de aspecto sumamente simple y de fácil aplicación. Cuando se calculan efemérides aproximadas de asteroides, eligiendo un intervalo iü=iOd y despreciando el resto R (/), el error que se acumula extendiendo el cálculo hasta la sexta fecha, es decir para /6 = /_,-f 610, es de unas unidades de la cuarta cifra decimal,.
Es importante hacer notar que el procedimiento de extrapolación que hemos expuesto es independiente del valor de la excentricidad de la órbita, porque dicho procedimiento se funda en las ecuaciones diferenciales (1) del movimiento, por lo cual resulta aplicable indiferentemente al caso de los planetas (órbitas elípticas), como al de los cometas (que poseen órbitas elípticas y parabólicas y a veces también hiperbólicas).
P ascual Sconzo, Tablas para el edículo de las efemérides planetarias, ele. •d
. n i
TABLA DE LOS VALORES i o \ w* r '5(Método de Cowell)
. r* w = b d w — iorf r * l/»= IOrf
i . 5 o 5 i5 a535 /í
4o a 6 8 . 53 9 8 6 9 . a3 9 4 7 6 . 43 9 0 9 0 .03 8 7 0 9 . 9
3 9 9 . 3 3 9 2 . 83 8 6 . 4 38o . 1
1 6 1 0 7 4 . I 1 0 9 4 7 6 . 61 5 7 9 0 5 . 4 1 5 6 6 5 9 • 91 5 4 8 3 9 . 4
1 0 9 7 . 5 1 5 7 1 . 21 5 4 5 . 5 i 5 a o .5
1 . 9 5
96979899
2 7 1 6 7 . 62 6 9 6 9 . 92 6 7 5 4 . 92 6 5 5 2 . 52 6 3 5 2 . 6
2 1 0 . 3 2 0 7 . 7 a o 5 . o2 0 2 .4
m 9
10 867 0.21 0 7 8 3 9 . 7 1 0 7 0 1 9 . 610 6 2 0 9 .8 I ü 5 4 l O . 2
8 4 1 .4 83o . 5 8 2 0 . 1 8 0 9 . 8
7 9 9 - 6
i . 55 56 5 ?58
5 9
3 8 3 3 5 . 83 7 9 6 7 . 8 3 7 6 0 5 . 73 7 3 4 9 . 23 6 8 9 8 . 3
3 7 4 .1 3 6 8 . 0 3 6 a . 1 3 5 6 . 5 35 o .9
1 5 3 3 4 3 . 41 5 1 8 7 1 . 2 i 5 o 4a a .7 1 4 8 9 9 6 . 71 4 7 6 9 3 . 4
1 4 9 6 . 01 4 7 2 . 2 i 4 4 8 . 51 4 2 6 . 01 403 .3
2 .0 0o t020304
a 6 i 5 5 .2 2 5 9 6 0 .22 5 7 6 7 . 7 2 5 5 7 7 .52 5 3 8 9 . 7
* 9 7 . 41 9 5 . 01 9 2 . 5IQO. 21 8 7 . 8
1 0 4 6 2 0 .7 i o 384o .91 0 3 0 7 0 .8 i o a 3 i o . 1 i o i 5 5 8 .7
7 8 9 . 57 7 9 - 87 7 0 . 17 6 0 . 7 7 5 i .4
i ,6 o Gi 6a6364
3 6 5 5 3 . o 3 6 a i a ,9 3 5 8 7 8 . 3 3 5 5 4 8 . 5 3 5 a 2 3 .8
3 4 5 . 3 34o . 13 3 4 .73 2 9 . 7 3 a 4 - 7
1 4 6 2 1 1 . 9 1 4 4 8 5 1 . 7 1 4 3 5 1 2 . 61 4 2 1 9 3 . 9 1 4 0 8 9 6 . 4
1 3 8 1 .5 i 36o .2 i 3 4 9 . 1 1 3 1 8 . 71 2 9 8 .5
2 . o 5 06
° 708
° 9
a 5 a o 4 . 126 020 .82 4 8 3 9 . 72 4 6 6 0 .8 a 4 4 8 4 .0
i 8 5 .6 i 8 3 . 3 1 8 1 . 1
1 7 3 . 91 7 6 . 8
10 0 8 i 6 . 5 1o o o 8 3 .3
9 9 3 5 9 . 0 9 8 6 4 3 . 3
9 7 9 3 6 - 2
7 ^ 2 .27 3 3 . 27 2 4 . 3
7 *5 . 7 7 0 7 . *
i .6 5 666768
6 9
3 4 9 0 4 . 13 4 5 8 9 . 2 3 4 2 7 9 . 0 3 3 9 7 3 .43 3 6 7 2 .3
3 ' 9 - 7 3 1 4 .9 3 i o . 2 3o 5 . 6 3o i . 1
1 3 9 6 1 6 . 51 3 8 3 5 6 . 81 3 7 1 1 5 . 9 i 3 5 8 g 3 .5 1 3 4 6 8 9 . 1
1 2 7 8 . 9 1 2 6 9 . 71 2 4 0 . 9 12 2 2 . 4 1 2 0 4 . 4
2 . 1 011121 31 4
a 43o q .4 a 4 i 3 6 . 8 2 3 9 6 6 .2 2 3 7 9 7 . 6 a 3 6 3 i .0
1 7 4 . 61 7 2 . 61 7 0 . 61 6 8 . 61 6 6 . 6
9 7 3 3 7 . 59 6 5 4 7 . 09 5 8 6 4 . 79 5 1 9 0 . 49 4 5a 4 .o
6 9 8 . 76 9 0 . 56 8 2 . 36 7 4 . 36 6 6 . 4
1 . 7 0
7 17 27 3
74
3 3 3 -75.6 3 3 o 8 3 . 3 3 2 7 9 5 . 2 3 a 5 n . 2 3 a a 3 i . 4
3 9 6 . 7 2 9 2 . 3 2 8 8 . 1 2 8 4 . 02 7 9 . 8
i 3 3 5 o 2 .5 i 3 a 3 3 3 .0 i 3 i 1 8 0 . 7 i 3 o o 4 4 .9 1 2 8 9 2 5 . 4
1 1 8 6 . 61 1 6 9 . 5 1 i 5 a .3 n 3 5 .81 1 1 9 . 5
2 . i 516
1718
*9
2 3 4 6 6 . 3 a 33 o 3 . 5 a 3 i 4 a .6 2 2 9 8 3 . 62 2 8 2 6 . 3
1 6 4 . 71 6 2 . 81 6 0 . 9 i 5 q . o 1 6 7 . 3
9 3 8 6 5 . 3 9 3 2 1 4 . 2 9 2 5 7 0 . 69 1 9 3 4 . 49 1 3 0 5 .4
6 5 8 . 7 6 5 i . 16 4 3 . 66 3 6 .a6 2 9 . 0
1 . 7 5
7 6777879
3 1 9 5 5 . 53 1 6 8 3 .53 1 4 1 5 . 4 3 1 1 5 1 . 13 0 8 9 0 .4
2 7 5 . 92 7 2 . 02 6 8 . 1 2 6 4 .3 2 6 0 . 7
1 2 7 8 2 1 . 91 2 6 7 3 4 . 1 i a 5 6 6 i .71 2 4 6 0 4 . 2 i a 3 5 6 i .4
1 0 9 3 . 51 0 8 7 . 81 0 7 2 . 41 0 5 7 .5 i o 4 a .8
2 . 2 021222324
2 2 6 7 0 . 9 2 2 5 1 7 . 2 a a 3 6 5 .22 2 2 1 4 . 9 2 20 66 .4
1 5 5 . 4 1 5 3 . 7 i 5 a . 0 i 5o .31 4 8 . 5
9 0 6 8 3 .69 00 6 8 .88 9 4 6 0 .9 8 8 8 5 9 .8 8 8 2 6 5 .4
6 2 1 . 86 1 4 . 8
6 0 7 . 96 0 1 . 15 9 4 . 4
1 . 8 0 81 8a8384
3o 6 3 3 . 33 o 3 7 9 . 83 0 1 2 9 . 7 2 9 8 8 3 . 12 9 6 3 9 . 8
2 5 7 . 1 a 5 3 .5 a 5o . 1 2 4 6 . 6 2 4 3 . 3
1 2 2 5 3 3 . 21 2 1 5 1 9 . 2 1 2 0 5 1 9 . 0 1 1 9 5 3 2 . 5 1 1 8 5 5 9 .4
1 0 2 8 .2 i o i 4 , o10 0 0 .2
9 8 6 . 5
9 7 3 - 1
2 . 2 02627
. 28
29
2 1 9 1 9 . 42 1 7 7 4 . 1 a i 63o .42 1 4 8 8 . 2 2 1 3 4 7 . 6
1 4 7 . 0 1 4 5 . 3 i 4 3 . 7 i 4 a . 2 i 4 o . 6
8 7 6 7 7 . 68 7 0 9 6 . 38 6 5 2 1 . 4 8 5 9 5 2 . 98 5 3 9 0 . 5
5 8 7 . 8 5 8 i .35 7 4 . 95 6 8 . 5 5 6 a . 4
1 .85 868788
89
2 9 3 9 9 . 8 2 9 1 6 3 . 12 8 9 2 9 . 52 8 6 9 8 .92 8 4 7 1 .5
a 4 o . o2 3 6 . 7a 3 3 . 6a 3o ; 63 2 7 . 4
1 1 7 5 9 9 . 41 i 6 6 5 a .31 1 5 7 1 7 . 8
i i 4 7 9 5 . 71 1 3 8 8 5 .9
9 6 0 . 0
9^7 - 1 9 3 4 . 5 9 2 2 . 1 9° 9 -8
2 . 3o 3 i 3 a3334
2 1 2 0 8 . 52 1 0 7 1 . 0
2 0 9 3 4 . 9208 00.32 0 6 6 7 . 1
i 3g . 11 3 7 . 5 *3 6 . i13 4 . 6 i 3 3 .a
84 83 4-2 8 4 2 8 3 . 9 8 6 7 3 9 . 5 8 3 a o i .0 8 2 6 6 8 . 3
5 5 6 . 3 55o . 35 4 4 . 45 3 8 . 5 5 3 a .7
1 . 9° 9 l 9 a 93 9 ^
3 8 2 4 7 . 0 2 8 0 2 5 . 5 2 7 8 0 6 . 83 7 5 9 1 . 0
3 7 3 7 7 - 9
2 2 4 . 52 2 1 . 52 1 8 . 72 1 5 .8 2 l 3 .1
1 1 2 9 8 8 . 01 1 2 1 0 1 . 81 1 1 2 2 7 . 11 103 6 3 . 8 1 0 9 5 1 1 . 6
89 7 - 98 8 6 . 2
8 7 4 . 78 6 3 . 3 8 5 a . 2
a .3 536
3738
39
2o 5 3 5 . 3 a o 4o 4 .92 0 2 7 5 . 9 2 0 1 4 8 . 22 0 0 2 1 . 9
i 3 i .8 i 3o .4 1 2 0 . 0
I 2 7 -7 1 2 6 . 3
8 2 1 4 1 . 18 1 6 1 9 . 6 8 n o 3 . 6 8 0 6 9 3 . 08 0 0 8 7 . 7
5 2 7 . 2 5 a i .5 5 i 6 .o 5 i o .6505 .3
10 Observa. 1*01110 astronómico de la universidad Nacional de la rlaía
r* W=-:5<í «> = IOrf »•* ' w = w = IOrf
2 . 4o 4 1 4 34344
1 9 8 9 6 -91 9 7 7 3 . 21 9 6 6 0 . 819539.6*9409.7
125.0i a 3-7í a a * 4 i a i . a
**9 9
7 9 6 8 7 . 77 9 0 9 2 . 8 78603 . I 78 l l 8.4 77638.6
5o o . o
494.94 8 9 . 7484 . 74 7 9 . 8
2 . 9 09 *9a9394
14979.81 4 9 0 2 . 6 i 4 8 a 6 . 1 i 475o .3 1 4 6 7 5 . 1
7 7 . 87 7 . 2 7 6 . 575.87 5 . 2
5 9 9 * 9 - *5 9 6 1 0 . 55 9 3 0 4 . 6 5 9 0 0 1 . 2 58700.5
3 i 1 .3 3o 8 .6 3o 5.9 3o 3 .4 3o o . 7
3 .45 464?4849
*9a 9 ° 91 9 * 7 3 . 41 9 0 6 7 . 11 8 9 4 3 . 01 8 8 2 8 .0
1 1 8 . 8 1 1 7 . 5 i i 6.3 1 1 5 . 1 1 1 4 .0
77 í 63.876693.776228.57 5 7 6 7 . 97 5 3 1 1 . 9
474.8 4 7 0 . 1 465 . a 4 6 o . 6 456.0
a . 95
96979899
1 4 6 0 0 . 6 i 45a 6.6 i 4453.31 4380 .6 i 43o 8 . ó
74.57 4 . 0 73.37 3 . 77 2 . 0
584o a .258106.5 578 i 3.35 7 6 2 2 . 6 5 7 2 3 4 . 2
2 9 8 . 82 9 5 . 7 2 9 3 . 22 9 0 . 72 8 8 . 4
a . 5o 5 1 5a5354
1 8 7 1 5 . 1 i 86o 3 . 41 8 4 9 3 . 8 18383 . a1 8 3 7 4 . 8
1 1 2 . 9 1 1 1 . 71 1 0 . 61 0 9 . 6 10 8 . 4
74860.574413 .57 3 9 7 1 . 0 7 3 5 3 2 . 97 3 0 9 9 . 1
45 1 .4 44” . o 44a .5 438 . i 433.8
3 . o o01020304
1 4 2 3 7 . 11 4 1 6 6 . 2 * 4 0 9 5 . 91 4 0 2 6 . 2 1 3 9 5 7 . 0
71.57°-97 0 . 3
<>9.76 9 . 2
5 6 9 4 8 . 356664-756383.556 104.6 5 5 8 2 8 . 0
2 8 5 . 9 a 83.6 2 8 1 . 22 7 8 . 9 2 7 6 . 6
a .5556575859
1 8 1 6 7 . 41 8 0 6 1 . 0 1 7 9 5 5 . 71 7 8 5 1 . 41 7 7 4 8 . 1
1 0 7 . 41 0 6 . 4105.3104.3103.3
7 2 6 6 9 . 5 7 2 2 4 4 . 17 1 8 2 2 . 97 *4o 5.77 0 9 9 2 . 6
4 3 9 . 64a 5.44 2 1 . 24 1 7 . 2 4 i 3 . i
3 , o 5 06
°708
°9
13888.41 3820 .4 1 3 7 5 2 . 9 i 3686 . o 1 3 6 1 9 . 6
6 8 . 66 8 . 06 7 . 56 6 . 966.4
55553.7 55a 8 i . 6550 1 1 . 7 54744.0 54478.5
2 7 4 . 32 7 2 . 1 2 6 9 . 9 2 6 7 . 7 265.5
a . 6o Gi 6a6364
1 7 6 4 5 . 817544.51 7 4 4 4 . 217344.81 7 3 4 6 . 3
102.31 0 1 .31 0 0 .399-498.5
70583.47 0 1 7 8 . 1 6 9 7 7 6 . 76 9 3 7 9 . 16 8 9 8 5 . 3
•
4 0 9 . a 4o 5.3 4 o a . 4 3 9 7 . 6
• " 3 9 3 . 8
3 . 1 01112131 4
13553.813488 .4 i 34a 3.71 3359.4 1 8 2 9 5 . 6
6 0 . 865.46 4 . 764.363.8
542 i 5 . 1 53953.8 53694.6 53437.5 53 1 8 2 .4
a 63.4 2 6 1 .3 2 5 9 . a 2 5 7 . 1 a 55 . 1
a .65 66
6768
69
1 7 1 4 8 . 8 1 7 0 5 2 . 2 1 6 9 5 6 . 51 6 8 6 1 . 71 6 7 6 7 . 7
97-59 6 . 6
95.794.8 94.0
6 8 5 9 5 . 26 8 2 0 8 . 86 7 8 2 5 . 9 6 7 4 4 6 . 76 7 0 7 0 . 9
3g o . i386.43 8 2 . 93 7 9 . 23 7 5 . 8
3 . i 5 16
*718
*9
i 3a 3a .3 1 3 1 6 9 . 6 1 3 1 0 7 . 3 i 3o 45 .5 1 2 9 8 4 . 2
63.36 2 . 7 6 a . 36 1 . 86 1 .3
5 2 9 2 9 . 45 2 6 7 8 . 35 2 4 2 9 . 3 5a i 8a . 1 5 1 9 3 7 . 0
a 53 . o 25l ^i 2 4 9 . 0 2 4 7 . 2 a 45 . 1
a-. 70
7 1737374
1 6 6 7 4 . 7 i 658a .4 1 6 4 9 1 . 1 i 64o o .6 i G3 i o _9
93.002.391.3 9° . 58 9 . 7
6 6 6 9 8 . 66632Q .865964.3 656o a .265243.4
3 7 2 . 3368.8
. 365.536a . 1358.8
3 .2 0 21 aa 23 a 4
1 2 9 2 3 . 4i a 863 . 1 1 2 8 0 3 . 21 2 7 4 3 . 81 2 6 8 4 . 8
6 0 . 860 .3 59-959.4 5 9 . 0
6 1 6 9 3 . 7 5 i 45a .351212.8 5 0 9 7 5 . 2
5 0 7 3 9 . 4
a 4 3 .3 a 4 i .42 3 9 . 52 3 7 . 6 a 35.8
a . 75
76777879
1 6 2 2 2 . 01 6 1 3 3 . 91 6 0 4 6 . 61 5 9 6 0 . 1 1 5 8 7 4 . 4
8 8 . 9 8 8 . 1 8 7 . 3 86.5 8 5 . 7
6 4 8 8 7 . 964535.564 186.463840 .46 3 4 9 7 . 4
355.535a .4349 . i
346 .0343 .0
3 . a 5262728
a9
i a 6a6.3i a 568.31 2 5 1 0 . 7 12453.51 2 3 9 6 . 8
58.5 58 . o57 .6 5 7 . 256.7
5o 5o 5.45 0 2 7 3 . 25o o 4a .74 9 8 1 4 . 04 9 5 8 7 . 1
a 34 . o 232,2 a 3o . 5 2 2 8 . 7 2 2 6 . 9
2 . 8 0818 a-8384
1 5 7 8 9 . 4 1 5 7 0 6 . a i 56a 1 . 715539 .01 5457 . 0
85 . o 8 4 . a 83.5 8 a . 7 8 a . 0
63 ¡ 5 7 . 6 6 2 8 2 0 . 7 6 2 4 8 6 . 9 6a i 56 . o 6 1 8 2 8 . 0
339.8336.9 333.8 33o . 9 3a 8 . o
3 . 3o3 i3a3334
i a 34o .5 1 2 2 8 4 . 61 2 2 2 9 . 11 2 1 7 4 . 1 1 2 1 1 9 . 4
56.355.955.555 . o5 4 . 7
4 9 8 6 1 . 94 9 1 38 .44 8 9 1 6 . 5 4 8 6 9 6 . 3 48477-8
225.2223.5 2 2 1 . 92 2 0 . 22 1 8.5
a . 85 86 87 88;
89
1 5 3 7 5 . 71 6 3 9 5 . 1 i 5a i 5.31 5 1 3 6 .1 i 5o 57.6
8 i .3 8 0 . 6
79-8 79 - a 7 8 . 5
6 i 5o a . 9 6 1 1 8 0 . 6 6 0 8 6 1 . 1
6o 544.46o a 3o .4
3a 5 . 1 3a a . 3 3 1 9 . 5 3 1 6 . 7 3 1 4 .0
3.3536373839
i a o 65 . a i a o i 1 . 4 1 1 9 5 8 . 0 1 1 9 0 4 . Q 1 1 85a .3
5 4 . a 53.8 53.4 53 . i 5a . 6
4 8 2 6 0 . 9 48o 45.64 7 8 3 1 . 9 4 7 6 1 9 . 8 4 7 4 0 9 . 2
2 t 6 . 9a i 5 .32 1 3 . 72 1 2 . I2 1 0 . 6
P ascual Sconzo, Tablas para el cálculo de las efemérides planetariast etc. 11
r* w = b d W = I0d
3 . 4o4 i4a4344
I I 800.1 11748 .a11696.7 I l 645.61 1 594.8
5a .a 5 i .9 5 1 . 5 5 i . 1 5o. 8
047300.2046992.8046786.8 o4658a .4 046379.4
209.0 207.4306.0ao4.4ao3 .o
3.45464748
49
1 1 544.5 h 4q4.5 i i 444.811 395 .51 1 346 .6
5o .3 5o. 0 49-7 Í 9 -3 48.9
046177.9045977.8045779.2 o4558a .0045386.3
2 0 1 .5 200. i198.6197 •2•9 5 .7
3 . 5o 5 i 5 a5354
11398.0 112 49.7 1 i a o i .8 1 1 154.311 1 0 7 .0
48.648.3
4 7 9 47.547.3
045191.9044998.9 044807.3 044617.0 o444a8 .1
194.4193.0I 9 1 -6190.3188.9
3.5556
5758
59
11060.1 1 i o i 3.610967.310921.4 10875.8
46.946.5 46.345.945.6
o44a4o .5o44o5 4 .ao43869.3o43685.6o435o3 .a
187.6 i 86.3184.9183.718a .4
3 . 6o6 i6a63 ,64
10830 .510785.5 10740.910696.5 i o 65a .5
45.34 5 .0 44.644.44 4 .0
o433a a .0 i 4 3 i 4 a .1 042963.5 042786.1 042609.9
181.2I 79*9178.617 7 .41 7 6 .a
3.6566^76869
10608.710565.3 i o 5a a .110479.310436.7
43.8 43.4 4 3 . a 4a . 8 4a . 6
042434.9o4aa6 i .1 042088.5 0 41917.1 o4 i 746.8
175 .0 173.8 172.61 7 1 . 4170.3
3 .7 07 172737 4
i o 394.4 i o 35a .4 i o 3 i o .7 10269.3 10228.1
4a. 3 4a .0 4 i -7 4 1 . 4 4 i . a
0 4 15 7 7 . 7041409.7 o4 i a 4a .8 041077.104091a .4
*69.1 168.0 16 6 . 9165 .7164.7
3.7576777879
10 187•2 i o i 46.610106.310066.3 iooa6.4
Í 0 .9 4o. 6 4o .3 4o. 1 39.8
040748.9040586.4 o4o4a5 . 1 o4oa6 4 .7040105.5
16 3 . 5 16a' .51 6 1 .3160.41 5 9 .a
3 . 8o818a8384
09986.809947.509908.5 09869.7 0983 l .3
39.639.339.038.838.5
039947.3039790.1039634.0039478.8o393a4.7
i 5 8 . a 1 5 7 . a1 5 6 . 1 i 5 5 .a15 4 . 1
3.85868788 89
0979a -9 09754.9 0 9 7 1 7 . í 09679.5 0964a.a
38.3 3 8 .o 37.8 3 7 .637 .3
039171 .6 039019.5 o38868.4 038718 .a o38569 . 0
15 3 . 1 i 5a. 1 T 5 1 . 1 i 5o. 2 «4 9 .a
ra u»=5d u> = io (i
3.9091929394
0 9 6 0 5 . a0 9 5 6 8 . 4 0 9 5 3 1 . 80 9 4 9 5 . 409459.3
3 7 . 0 36.8 36.6 36.43 6 . 1
o 3 8 4 a o . 7o 38a 73.40 3 8 1 2 7 . 1 0 3 7 9 8 1 . 60 3 7 8 3 7 . 1
1 4 8 .314 7.31 46.3145 .51 44.5
3.9596979899
094a 3.40 9 3 8 7 . 70 9 3 5 2 . 30 9 3 1 7 . 00 9 2 8 2 .0
35.935 .735.435.33 5 . o
0 3 7 6 9 3 . 50 3 7 5 5 0 . 90 3 7 4 0 9 . 10 3 7 2 6 8 .2 0 3 7 1 2 8 . 1
i 43.6i 4 a . 61 4 1 . 81 4 0 . 9 i 4 o . 1
4 . 0 0OI030304
0 9 2 4 7 . 30 9 2 1 2 . 70 9 1 7 8 . 3 0 9 1 4 4 . a0 9 1 1 0 .3
34.734.634.43 4 . i33.9
0 36 9 8 9 . 0036850 .7 o 36 7 i 3.30 3 6 5 7 6 . 7 o 3644i *0
1 3 9 . 11 38.3137 .41 36.61 3 5 .7
4 . o 506
°708
°9
0 9 0 7 6 . 50 9 0 4 3 .00 9 0 0 9 .70 8 9 7 6 . 60 8 9 4 3 . 7
33.8 33.5 33 .3 3 3 . 1 3a . 9
036306 . 10 3 6 1 7 2 . 1 o 36o 38 . 9 0 3 5 9 0 6 . 4 0 3 5 7 7 4 . 8
1 3 4 .9 i 3 4 .0 1 3 3 .2 i 3a .5 13 1 .6
4 . 1 0 11 i a1 31 4
0 8 9 1 1 . 0 0 8 8 7 8 .5 o 8 8 4 6 . a0881 4 . 10 8 7 8 2 .2
3a . 7 3a . 5 3a . 3 3a . 1 3 i .9
035644 .003551 4 .0 o 35384.8 o 35a 56.4 o 35 i a 8 . 7
i 3o ,8i 3o . o1 2 9 . 21 2 8 . 4
127 -7
4 . i 516
1718
*9
0 8 7 5 0 . 5 0 8 7 1 8 . 90 8 6 8 7 . 6o 8656.4o 86a 5.4
3>.73 i .6 3 1 .3 3 i .2 3 i .0
o 35o o i .80 3 4 8 7 5 . 7 o 3575o .3 o 346a 5 .703450 1 .8
1 3 6 . 91 2 6 . 1i a 5.4i a 4 . 6i a 3.9
4 . 2 0 21 aa a 3a 4
0 8 6 9 4 . 7 o 8564 . 1 08533.6 o 85o 3.4 o 8473.3
3o . 7 3o . 6 3o . 5 3o . a 3o . 1
0 3 4 3 7 8 . 6o 34a 5 6 . a0341 34.50340 1 3 .6 o 33893.3
123.2 122.4I 2 I . 71 2 0 . 9120.3
4 . a 5 a62728
29
o 8443.40841 3 . 7 o 8384 .208354.8 o 83a 5 .6
29-9a 9 .7a g .529 4 a 9 - 2
0 3 3 7 7 3 . 7 o 33654 .9033536.7 o 334 i 9.3 o 333o a .5
1 1 9 . 61 1 8 . 8 1 1 8 . 21 1 7 . 41 1 6 . 8
4 . 3o3 i3a3334
0 8 2 9 6 . 60 8 2 6 7 . 7 0 8 2 3 9 . 0 o 8a i o .5 0 8 1 8 a . a
2Q.O2 8 . 92 8 . 728.5a 8.3
o 3 3 i 86.4 0 3 3 0 7 1 . 0 0 3 2 9 5 6 . 2 o 3a 84a . 1 0 3 2 7 2 8 . 6
1 1 6 . 11 15.4n 4 . 81 1 4 . 11 1 3 . 5
4.3536373889
0 8 1 5 4 .0 0 8 1 2 5 . 90 8 0 9 8 . 0 0 8 0 7 0 .3 o 8 o 4 a . 8
2 8 . a2 8 . 1
27 - 9 2 7 . 7 3 7 . 5
o 3a 6 i 5 .8 o 3 a 5 o 3 . 7 0 8 2 8 9 3 .3 o 3a a 8 i .3 0 3 2 1 7 1 . 1
1 1 2 . 81 1 2 . 1 1 1 1 .51 1 0 . 91 1 0 . 2
13 OBSERVATORIO ASTRONOMICO DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
r* w = 5^1
w — 10rt r - w = bd U' = l Od
4 . 4 o 4 l 4 a4344
0 8 0 1 5 .40 7 9 8 8 . 1 0 7 9 6 1 . 0 .0 7 9 3 4 . 1 0 7 9 0 7 .3
2 7 . 42 7 . 32 7 . 12 6 . 92 6 . 8
o 3 j o 6 i . 5 0 3 1 9 5 2 . 5 o 3 i 8 4 4 •1 o 3 i 7 3 6 . 4 0 3 1 6 2 9 . 2
1 0 9 . 6 1 0 9 . 010 8 . 41 0 7 . 7 1 0 7 . 2
4 . 9°9 19 a9 3
9 *
0 6 8 2 0 ,40 6 7 9 9 . 6 0 6 7 7 8 . 8 0 6 7 6 8 . 20 6 7 3 7 . 7
2 0 . 02 0 . 82 0 . 8 2 0 . 6 2 0 . 5
0 2 7 2 8 1 . 5 0 2 7 1 9 8 . 2 ' 0 2 7 1 1 5 . 3 0 2 7 0 3 2 . 9 0 2 6 9 5 0 . 8
8 3 . 78 3 . 3 8 2 . 98 2 . 48 2 . 1
4 . 4 546
l l
49
0 7 8 8 0 . 7 0 7 8 5 4 . 30 7 8 3 7 . 80 7 8 0 1 . 60 7 7 7 5 . 6
26 6 2 6 . 5 2 6 . 4 2 6 . 2 2 6 . 0
o 3 i 5 a 2 .6 o 3 i 4 i 6 . 70 3 1 3 1 1 . 3 o 3 i a o 6 . 503 1 1 0 2 .3
1 0 6 . 6 1 0 5 . 9 i o 5 .4io 4 8 i o 4 .2
4 . 9 5
9 6979899
0 6 7 1 7 . 30 6 6 9 7 . 00 6 6 7 6 . 80 6 6 5 6 . 70 6 6 3 6 . 7
2 0 . 4 2 0 . 3 2 0 . 2 2 0 . 1 2 0 . 0
0 2 6 8 6 9 . 2 0 2 6 7 8 8 . 00 2 6 7 0 7 . 2 0 2 B 6 2 6 . 8 0 2 6 5 4 6 . 8
8 1 . 6 8 1 . 28 0 . 88o . 48 0 . 0
4 . 5 o 5 i 5 a5554
0 7 7 ^ 9 . 70 7 7 3 3 . 90 7 6 9 8 . 30 7 6 7 2 . 80 7 6 4 7 . 5
2 5 . 0 a 5 . 8 2 5 . 6 , a 5 .5 2 5 . 3
0 3 0 9 9 8 . 70 3 0 8 9 5 . 70 3 0 7 9 3 . 20 8 0 6 9 1 .3 o 3o 5 9 o . o
i o 3 . 6 i o 3 . o 1 0 2 . 5
101 -9 1 0 1 .3
5 . 0 001020304
0 6 6 1 6 . 8 0 6 5 9 7 . 0 0 6 5 7 7 . 3 0 6 5 5 7 . 7 o 6 5 3 8 . 2
1 9 - 9 1 9 . 8
*9 - 7í g . 6
*9 * 5
0 2 6 4 6 7 . 2 0 2 6 3 8 8 . 00 2 6 3 0 9 . 20 2 6 2 3 0 . 70 2 6 1 5 2 . 7
7 9 - 6 7 9 - 3 7 8 . 87 8 . 57 8 . 0
4 . 5 556
»758
5 9
0 7 6 2 2 .30 7 5 9 7 . 30 7 5 7 2 . 3 0 7 5 4 7 . 5 0 7 5 2 2 . 9
2 5 . 225 . Ia 4 . 92 4 . 82 4 . 6
0 8 0 4 8 9 . 2 o 3 o 3 8 8 . 90 3 0 2 8 9 . 2 0 3 0 1 9 0 . 1 0 3 0 0 9 1 . 5
1 0 0 . 8i o o .3
9 9 - 79 9 * 1 9 8 . 6
5 . o 506
° 708
° 9
o 6 5 i 8 . 80 6 4 9 9 . 50 6 4 8 0 .20 6 4 6 1 . 10 6 4 4 a .1
1 9 - 41 9 . 31 9 . 3
*9 . ! 1 9 . 0
0 2 6 0 7 5 . 10 2 5 9 9 7 . 80 2 5 9 2 0 . 9 0 2 5 8 4 4 . 4 0 2 5 7 6 8 . 3
7 7 . 6
7 7 - 3
7 6 - 97 6 . 5 7 6 . 1
4 .6o6 i6a6364
0 7 4 9 8 . 40 7 4 7 4 . 0
0 7 4 4 9 . 70 7 4 2 6 . 60 7 4 0 1 . 6
2 4 .5 2 4 . 4 2 4 . 3 2 4 . 1 2 4 . 0
0 2 9 9 9 3 . 4 0 2 9 8 9 5 . 9
<>a 9 7 9 8 -90 2 9 7 0 2 . 40 2 9 6 0 6 . 4
9 8 . 1
9 7 - 59 7 -o9 6 . 5
. . 9 6 . 0
5 . 1 011121 3
1 4
o 6 4 2 3 . 10640 4 . 3 o 6 3 8 5 .5 o 6 3 6 6 . 906 3 4 8 . 3
IQ .O1 8 . 81 8 . 81 8 . 61 8 . 6
0 2 5 6 9 2 . 60 2 5 6 1 7 . 2 0 2 5 5 4 a .2 0 2 5 4 6 7 . 50 2 5 3 9 3 . 2
7 5 . 7 7 5 . 47 5 . 0
7 4 . 77 4 . 3
4 . 6 566
a6 9
° 7 3 7 7 - 7 0 7 3 5 4 . 0 0 7 3 3 0 . 4 0730 6 9 0 7 2 8 3 . 6
2 3 . 9 2 3 . 7 2 3 . 6 2 3 . 5 2 3 . 3
0 2 9 6 1 0 . 90 2 9 4 1 6 . 00 2 9 3 2 1 . 60 2 9 2 2 7 . 6 0 2 9 1 3 4 . 2
9 5 . 5
9 4 - 99 4 . 4 g í . o9 3 . 4
5 . 1 516
*718
*9
0 6 3 2 9 . 8 o 6 3 n .4 0 6 2 9 3 . 10 6 2 7 4 . 9 0 6 2 5 6 . 8
l 8 . 5l 8 . 41 8 . 3l 8 . 2 l 8 . I
0 2 0 3 1 9 . 3 0 2 5 2 4 B . 7 0 2 5 1 7 2 . 5 0 2 5 0 9 9 . 7 0 2 5 0 2 7 . 2
7 8 . 97 3 . 67 3 . á '7 2 . 87 2 . 5
4 . 7 0
7 i7 a7374
0 7 2 6 0 . 30 7 2 3 7 . 20 7 2 1 4 . 20 7 1 9 1 . 40 7 1 6 8 . 6
2 3 . 3 23 . I 2 3 . 0 2 2 . 8 2 2 . 8
0 2 9 0 4 1 .3 0 2 8 9 4 8 . 8 ‘0 2 8 8 5 6 . 90 2 8 7 6 5 . 4 028¿ 7 4 . 4
9 a *99 2 . 5
9 1 -99 1 . 59 1 . 0
5 . 2 021222324
0 6 2 3 8 . 70 6 2 2 0 . 80 6 2 0 2 . 9 o 6 i 8 5 . 1 0 6 1 6 7 . 5
l 8 . 1
! 7 - 9x 7 - 91 7 . 81 7 . 6
0 2 4 9 5 5 . 0 0 2 4 8 8 3 . 2 o a 4 8 i 1 . 7 0 2 4 7 4 0 . 6 0 2 4 6 6 9 . 8
7 2 . 27 1 . 8 7 1 . 5
7 1 • 17 0 . 8
4 . 7 576
777879
0 7 1 4 6 . 0 0 7 1 2 3 . 50 7 1 0 1 . 1 0 7 0 7 8 . 8 0 7 0 6 6 . 7
2 2 . 62 2 . 52 2 . 42 2 . 322 . I
0 2 8 5 5 3 . 90 2 8 4 9 3 . 9 0 2 8 4 0 4 . 4 o 2 8 3 i 5 .3 0 2 8 2 2 6 . 6
9 0 . 5 0 0 . 08 9 . 5 8 9 . 1 8 8 . 7
5 . a 526
a 728
39
0 6 1 4 9 . 8 0 6 1 3 2 . 30 6 1 1 4 . 9 0 6 0 9 7 . 5 0 6 0 8 0 .2
* 7 * 71 7 . 51 7 . 41 7 . 4 1 7 . 3
0 2 4 5 9 9 . 3 0 2 4 5 2 9 . 2
0 2 4 4 5 9 . 40 2 4 3 9 0 . 00 2 4 3 2 0 . 9
7 0 . 57 0 . 1 6 9 . 86 9 . 4
9 9 . 1
4 . 8 081828384
0 7 0 3 4 . 60 7 0 1 2 . 7 0 6 9 9 0 . 9 0 6 9 6 9 . 2 0 6 9 4 7 . 6
2 2 . I 2 I . Q 2 1 . 8 2 I . 7 2 1 . 6
0 2 8 1 3 8 . 5 o a 8o 5 o .80 2 7 9 6 3 . 5 0 2 7 8 7 6 . 7 0 2 7 7 9 0 . 4
8 8 . 18 7 . 78 7 . 38 6 . 88 6 . 3
5 . 3 o3 1323334
0 606 3 .00 6 0 4 5 . 90 6 0 2 8 . 90 6 0 1 1 . 90 5 9 9 5 . 0
1 7 . 2 1 7 . 11 7 . 01 7 . 0 1 6 . 9
o a 4 a 5 a . 1 o a 4 i 8 3 . 6 o a 4 i i 5 . 4 o a 4 o 4 7 . 6 0 2 3 9 8 0 . 1
6 8 . 86 8 . 5 6 8 . 2 6 7 . 86 7 . 5
4 . 8 5868788
89
0 6 9 2 6 . I 0 6 9 0 4 . 8 0 6 8 8 3 . 5 0 6 8 6 2 . 4 o 6 8 4 i . 3
2 1 . 52 1 . 32 1 . 321 . I 21. I
0 2 7 7 0 4 . 50 2 7 6 1 9 . 00 2 7 5 3 4 . 0 0 2 7 4 4 9 . 4
0 2 7 3 6 5 . 3
8 5 . q8 5 . 5 8 5 . o8 4 . 6 84 • a
5 . 3 536
8 738
39
0 6 9 7 8 . 2 0 5 9 6 1 . 5
0 5 9 4 4 . 90 5 9 2 8 . 3 0 5 9 1 1 . 8
1 6 . 81 6 . 71 6 . 61 6 . 6 i 6 . 5
0 2 3 9 1 2 . 9o a 3 8 4 6 . o0 2 3 7 7 9 . 40 2 3 7 1 3 . 10 2 5 6 4 7 . 2
6 7 . 266.9 66.66 6 . 36 5 . 9
P ascual Sconzo, Tablas para el cálculo de las efemérides planetarias, etc. i 3
r* w = 1 r2w = r0 ( t U ' = IOrf
5 . 4o o 5 8 g5 . 4 1 6 . 41 6 . 416 ?
o a 3 5 8 i . 5 6 5 . 75 -9 ° o 5 i 6 a .1
13 . 11 3 . 11 3 .1
12 -9 i 3 . o
o a o 6 4 8 . 3 5 a . 6
4 i 0 5 8 7 9 . 0 o a 3 5 i 6 . 2 65 1 9 1 o 5 i 4 9 -o 0 2 0 5 9 5 . 9• (4
4 a4344
o 5 8 6 a . 8 o 5 8 4 6 . 6 o 5 8 3 o . 5
1 6 . 2 1 6 . 1
o 2 3 4 5 i . 1 0 2 3 3 8 6 . 4 02 3 3 2 1 . 9
6 4 - 76 4 . 5
9 293 9 ^
o 5 i 3 5 .9 o 5 i a 3 . o o 5 i 1 0 . 0
0 2 0 5 4 3 . 80 2 0 4 9 1 . 8 o a o 4 4 o . i
5 a . 15 a .0
5 i *7
5 . 4 546
05 8 1 4 .40 5 7 9 8 . 5
1 6 . 11 5 .91 5 . 9T £ O
0 2 3 2 5 7 . 80 2 3 1 9 3 . 9
64 • 16 3 . 9 63 6
5 . 9 596
0 5 0 9 7 . i o 5o 8 4 -3
12 -9 1 2 . 8
o a o 3 8 8 . 6 0 2 0 3 3 7 . 3
5 i . 55 1 . 3
47 0 5 7 8 2 . 6 o 2 3 i 3 o . 3 6 3 . 36 3 . o
97 0 5 0 7 1 . 61 2 . 71 2 . 8 1 2 . 6
020286/25 1 . 15o . 8 5 0 . 7
4849
0 5 7 6 6 . 8 o 5 7 5 i .0
I Ü , O15 . 8
0 2 3 0 6 7 . 0 o a 3 o o 4 .0
9899
o 5o 5 8 . 8 o 5o 4 6 . 2
0 2 0 2 3 5 .4 0 2 0 1 8 4 . 7
5 . 5 o5 i
0 5 7 3 5 ;3 0 5 7 1 9 . 7
15 - 7 1 5 . 61 k k
0 2 2 9 4 1 . 3 0 2 2 8 7 8 . 9
6 2 . 76 2 . 46 2 . 1 6 1 . 9 6 1 . 6
6 . 0 1
o 5o 3 3 . 6 0 4 9 1 0 . 3
1 2 . 6i a 3 . 3n 8 . 31 1 3 . 71 0 9 . 2
o a o i 3 4 •3 0 1 9 6 4 1 . 2
5o . 4 4 9 3 . 1 4 7 3 . 3 4 5 4 . 5 4 3 6 . 9
5 a5354
0 5 7 0 4 . 2 0 5 6 8 8 . 70 5 6 7 3 . 3
1 J . i )i 5 .5 i 5 . 4
0 2 2 8 1 6 . 80 2 2 7 5 4 . 9 0 2 2 6 9 3 . 3
234
0 4 7 9 2 . 0 0 4 6 7 8 . 30 4 5 6 9 . 1
0 1 9 16 7 . 90 1 8 7 1 3 . 40 1 8 2 7 6 . 5
5 . 5 5 o 5 6 5 8 . oi 5 . 3 0 2 ^6 3 2 .0
6 1 . 36 1 . 06 0 . 86 o . 5
6 . 5 o 4 4 6 4 . 1i o 5 .0
0 1 7 8 5 0 . 3 0 1 7 4 5 2 . 10 1 7 0 6 2 . 80 1 6 6 8 7 . 8
4 a o . 2
565 758
o 5 6 4 a . 7 0 6 6 2 7 . 6 o 5 6 i a . 4
1 0 . 31 5 . 115 .2
0 2 2 5 7 1 . 0 0 2 2 5 I O . 20 2 2 4 4 9 . 7
6
78
04 3 6 3 .0 o 4 3 6 5 . 70 4 1 7 2 . 0
1 0 1 . 1
97 -3 9 3 -7 9 ° . 4
4 04 .23 8 9 . 3 3 7 5 . 0 3 6 1 . 5
5 9 0 5 5 9 7 . 41 0 0
022389 • 6 9 o 4 o 8 i .6 o i 6 3 a 6 . 3
5 . 6 o61626364
05 5 8 2 .40 5 5 6 7 . 5 o 5 5 5 a . 6 o 5 5 3 7 . 8 o 5 5 a 3.. 1
i 5 .01 4 . 9• 4 - 9i 4 . 81 4 . 7
0 2 2 3 2 9 . 60 2 2 2 6 9 . 90 2 2 2 1 0 . 5 0 2 2 1 5 1 . 30 2 2 0 9 2 . 5
;i 9 959 - 75 9 . 45 q . a5 8 . 8
7 . 01234
0 3 9 9 4 .4 0 3 9 1 0 . 3 0 3 8 2 9 • 2 0 3 7 5 0 ¡8 0 3 6 7 5 . 0
8 7 . 28 4 . 18 1 . 17 8 . 47 5 . 8
o i 5 9 7 7 -7 o i 5 6 4 1 -4 o i 5 3 i 6 . 7 o i 5 o o3 . o 0 1 4 6 9 9 . 9
3 4 8 . 6 3 3 6 . 3 3 a 4 .73 1 3 . 7 3 o 3 . 1
5 . 6 5666768..
6 9
05 5 08 . 50 5 4 9 3 . 9 0 6 4 7 9 . 30 5 4 6 4 .90 5 4 5 0 . 5
1 4 .61 4 .61 4 . 61 4 . 41 4 .4
0 2 2 0 3 3 . 80 2 1 9 7 5 . 5 0 2 1 9 1 7 . 30 2 1 8 5 9 . 50 2 1 8 0 1 . 9
5 8 . 7 5 8 . 3 5 8 . 25 7 . 8 5 7 . 6
7 . 56
78
9
03 6 0 1 .703 5 3 0 . 9 o 3 4 6 2 . 30 3 3 9 5 . 903 3 3 1 . 7
7 3 . 3 7 0 . 8 6 8 . 66 6 . 4 6 4 . 2
0 1 4 4 0 6 . 9 o i 4 i a 3 .5 o i 3 8 4 9 . 3 o i 3 5 8 3 . 8 o i 3 3 a 6 . 7
a q 3 .0a 8 3 . 42 7 4 . 3 a 6 5 .5 2 5 7 . 1
5 . 7 0 o 5 4 3 6 . 1 i 4 - 4 i 4 • 2 i 4 . 31 4 . 11 4 . 1
0 2 1 7 4 4 . 5 5 7 . 45 7 . 1 5 6 . 8 5 6 . 65 6 . 4
8 . 0 0 32 6 9 .46 2 . 36 0.458 5
0 1 3 0 7 7 . 6 2 4 9 . 1 a 4 i . 4a 34 17 1 o 5 4 a i .9 0 2 1 6 8 7 . 4 1 0 3 2 0 9 .0 . 0 1 2 8 3 6 . 2
73
730 5 4 0 7 . 6o 5 3 9 3 . 5
0 2 1 6 3 o . 6 0 3 1 5 7 4 . 0
23
o 3 i 5o . 5 o 3 o 9 3 . 8 5 6 . 7
5 5 ,1
0 1 2 6 0 2 . 1 0 1 2 3 7 5 . 0
2 2 7 . 1 2 2 0 . 3
74 0 5 3 7 9 . 4 0 2 1 5 1 7 . 6 4 o 3 o3 8 . 7 . 0 1 2 1 5 4 . 7
5 . 7 5 o 5 3 6 5 . 41 4 . 01 4 .0. 9 ~
o a i 4 6 i . 55 6 . 1 5 5 . 8 5 5 . 7 5 5 . 35 5 . 2
8 . 5 0 2 9 8 5 .25 3 . 5 5 1 . 9 5o . 4 4 9 . 04 7 . 7
0 1 1 9 4 0 . 82 1 3 . 9 2 0 7 . 6 2 0 1 . 8 1 9 6 . 0 1 9 0 . 5
76 o 5 3 5 i . 4 0 2 1 4 0 5 . 7 6 0 2 9 3 3 . 3 0 1 1 7 3 3 . 2
7778
79
o 5 3 3 7 . 5 o 5 3 a 3 . 7 0 5 3 0 9 . 9
1 0 . 91 3 . 81 3 . 8
o a i 3 5 o . o 0 2 1 2 9 4 . 7 0 2 1 2 3 9 . 5
i
8
9
0 2 8 8 2 . 90 2 8 3 3 . 9 0 2 7 8 6 . 2
0 1 1 5 3 1 . 40 1 1 3 3 5 .4 0 1 1 1 4 4 . 9
5 . 8 o 0 5 3 9 6 . 210. j
0 2 1 1 8 4 . 65 4 . 95 4 - 75 4 . 45 4 . 25 4 . o
9 . 0 0 2 7 3 9 . 94 6 . 34 5 . o
0 1 0 9 5 9 . 718 5 .21 8 0 . 2
81 o 5 a § 2 . 5 l ó - l
1 3 . 61 3 . 6 i 3 . 5
0 2 1 1 2 9 . 9 1 0 2 6 9 4 . 9 4 3 . 80 1 0 7 7 9 . 5
1 7 5 . 21 7 0 . 61 6 6 . 1
8a8384
0 5 2 6 8 . 9 o 5 a 5 5 . 3 o 5 a 4 i .8
0 2 1 0 7 5 . 50 2 1 0 2 1 . 30 2 0 9 6 7 . 3
234
o a 6 5 i . 1 0 2 6 0 8 .4 0 2 5 6 6 . 9
* 4 2 . 7 4 i . 5
o i o 6 o 4 . 3o i o 4 3 3 . 70 1 0 2 6 7 . 6
5 . 8 5 0 5 2 2 8 . 4i 3 . 4. 9 /. 0 2 0 9 1 3 . 6
5 3 . 7 5 3 . 5 5 3 . 3 5 3 . i5 3 . 8
9 . 5 0 2 5 a6 . 5 4 0 . 43 9 . 438 3
0 1 0 1 0 6 . 01 6 1 . 61 5 7 . 51 5 3 . 586 o 5 a i 5 .0
I ó • 4 .0 2 0 2 0 8 6 0 .1 6 0 2 4 8 7 . 1 0 0 9 9 4 8 .5
87 o 5 a o i . 7I ó • ó
. Q 3 0 2 0 8 0 6 .8 7 0 2 4 4 8 . 83 7 .43 6 . 5
0 0 9 7 9 5 . 0i 4 9 . 5i 4 5 . 888 o 5 i 8 8 . 4
ID . 0i 3 . 2
0 2 0 7 5 3 . 7 8 o a 4 i 1 •4 0 0 9 6 4 5 . 5
89 0 5 1 7 5 . 2 0 2 0 7 0 0 .9 9 0 2 3 7 4 . 9 0 0 9 4 9 9 . 7
14 OBSERVATORIO ASTRONOMICO DE LA tiNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
r9 «i=5d w==10 a r9 w=5^ tü= io<¿
10.0Ia34
02339.4oa3o4.702270.902237.9 02205.7
35.534.733.8 33 .o 32 .2
009357.6009218.9 oogo8 3 .7008951. 7008822.9
ll\2 . I138 .7 i35.2 i3 2 .0128.8
i5 .o1234
01273.401260.801248.401236.101224.1
12.812.612.412.312.0
005093.6 oo5o4 3 . 1004993.4004944.5004896.5 '
5 i .45o.59*7
48.948.o
io.56789
02174.302143.602113.602084.302055.7
* 3 i .43o. 7 3o. 0 29.3 28.6
008697.2008574.4008454.5008337.3 008222.9
135.7122.8” 9-9117.2i i 4.4
15.56789
01212.3 01200.6 01189.2 01177.0 01166.8
11.8 11.711.4 i i .3 11.1
004849.1004802.6 oo4756.8004711.7 004667.3
47.446.5 45.8 4 5 .i 44.4
I I .o1234
02027.702000.401973.701947.5 01922.0
28.0*7.326.726.225.5
008111.0008001.6007894.7007790.1 007687.9
111.9109.4106.9 io4.6 102.2
1G.01234
01155.9 01i 45.a 01134.6 01124.101113.9
10.910.710.6i o .510.2
004623.6004580.6 oo4538.3004496.6 oo4455.5
43.7 43.o 42.341.7 4i . 1
1 1 .56789
0)896.901872.5or848.501825.101802.1
a5 .124.424.023.423.0
007587.8007489.9 007394.1 007300.3 007208.5
100.197-995.893.8 91 -8
i 6.56/89
o n o 3.801093.8 01084.0 01074.301064.8
10.1 10.09.89-79.5
004415 . 1004375.2 oo4336.o004297.3 004259.2
4o . 439-939.238.738. i
12.01234
01779.601757.601736.1 01714.901694.2
22.5 22.0 2 1.5 2 1.2 2O.7
007118.5007030.5 006944.2 006859.7 006776.9
00.0 88.0 86.3 84.5
* * 82.8
17.01234
oio55.401046.201037.101028.101019.2
9-49.29- í9.08.9
004221.7004184.7004148.3004112.4 004077.0
37.5-87.036.4 35.935.4
12.56789
01673.9o i654.oo i 634.5oi6i 5.401596.7
20.3*9919.51 9 . 1 18.7
006695.7006616.2006538. 2006461.7006386.7
81.279-578.0 76.575.0
17.56j89
01010.5 01001.900993.4 00985.1 00976.8
8.78.68.58.38.3
oo4o42.1004007.7003973.8003940.3003907.4
34. q34.4 33. q33.5 32.9
i 3 .o1234
01578.301560 .3 01542.601525.201508.2
18.418.0>7-717.417.0
006313.2 oo6a4i .0006170.2006100.6006032.6
73.5 72.2 70.8 69.468.2
18.01234
00968.700960.700952.8 00945.0 00937.3
8.18.07-97.87-7
003874.8003842.8003811.1 003780.0003749.2
32.632.03 i .73i . 13o . 8
i 3.56789
01491.401475.0 01458.901443. 101427.5
16.816.416.115.8 15.6
006965.7005900.0 oo5835.6 005772.2005710.1
66.965.764.463.4 62.1
- i 8.5 6789
00929.700922.200914.8 00907.500900.3
7.67.57*47.37 -a
003718.8003688.9003659.3 oo363o .2003601 .4
3o. 4a9*929.629.128.8
i4.o1234
01412.201397.2 01382.5 01368.0 o i353.8
¡5.3 i 5 .o 14.7 14.5 14 • 3
oo564g.o005589.0005530 . 1005472.2005415.3
61.1 60.058.9 57-956.9
19.01234
00893.200886.200879.300872.500865. 5
7 •1 7.0 6.9 6.8 6.7
003573.0003545.0 oo35i 7.3003490.0003463. 1
28.428.027.727.326.9
i 4.56789
01339.801326.1 oi3i2.6 01299.301986.2
14.0*3 .7 i 3.5 13.313 . 1
005359.3005304.4 oo5a5o .3 005197.2 oo5i 45,o
56.0 54.954.153.1 5a. 2
19.56789
00859.1 oo85a .500846.1 oo83q . 7 oo833.3
6.76.66.46.46.4
oo3436.5oo34io.a003384.3 oo3358.7003333.4
26.626.3a5 .o25.6 a5.3
P ascual Sconzo, Tablas para el cálculo de las efemérides planetarias,
r* w = 1 o d ra w = b a w = i o d
2 0 . 0 0 0 8 2 7 . i6 . 26 . 2 6 . 1
o o 3 3 o 8 .42 5 . 0
2 4 . 7 2 4 . 32 4 . 12 3 . 7
2 5 . 0 0 0 5 9 1 . 83 . 6 3 5 0 0 2 3 6 7 . 3
i 4 . 3
12
0 0 8 2 0 .9o o 8 i 4 . 8
o o 3 2 8 3 , 70 0 3 2 5 9 .4
12
o o 5 8 8 . 3 o o 5 8 4 ■ 8
3 . 5 3 5
0 0 2 3 5 3 . 20 0 2 3 3 9 .2
1 4 . 1 i 4 .0
34
0 08 08.80 0 8 0 2 .9
U,U
5 - 9o o 3 2 3 5 .3 0 0 3 2 1 1 . 6
34
o o 5 8 i . 3 0 0 5 7 7 . 9 3 . 4
0 0 2 3 2 5 . 3 0 0 2 3 1 1 . 6
1 0 . 91 3 . 7
2 0 . 5 0 0 7 9 7 . 0 5 - 95 . 85 . 7 f; -
o o 3 i 8 8 . i2 3 . 5 2 5 . 5 0 0 5 7 4 -5
3 . 4 3 4 0 0 2 2 9 8 .0
i 3 . 6i 3 . 4i 3 46 0 0 7 9 1 . 2 o o 3 1 6 4 . 9 6 0 0 5 7 1 . 1 3 3 0 0 2 2 8 4 .6
7 0 0 7 8 6 . 5 o o 3 i 4 2 .02 2 . 9
7 0 0 5 6 7 . 83 3 0 0 2 2 7 1 . 2 1 3 2
8 0 0 7 7 9 . 8 D • j
5 . 5 o o 3 i i 9 . 4■A Jk ® V/2 2 . 4
8 o o 5 6 4 . 53 3 0 0 2 2 5 8 . 0 i 3 .'o
9 0 0 7 7 4 . 3 0 0 3 0 9 7 .0 9 o o 5 6 i .2 0 0 2 2 4 5 .0
2 1 , 0 0 0 7 6 8 . 75 . 6r. k o o 3o 7 4 .9
2 2 . 1 2 1 . 8 2 1 . 6 2 1 . 32 1 . 1
2 6 . 0 o o 5 5 8 . o3 . 23 2 0 0 2 2 3 2 . 0
i 3 . o10 H
I 0 0 7 6 3 . ó 0 . 45 . 45 . 45 .2
o o 3o 5 3 . 1 1 o o 5 5 4 . 83 2 0 0 2 2 1 9 . 2 1 2 . 7
2 0 0 7 5 7 . 9 o o 3o 3 i .5 2 o o 5 5 i .63 . 13 . 1
0 0 2 2 0 6 .534
0 0 7 5 2 . 50 0 7 4 7 . 3
o o 3o i o . 2 0 0 2 9 8 9 .1
34
o o 5 4 8 . 5o o 5 4 5 . 4
0 0 2 1 9 4 . 0 0 0 2 1 8 1 . 5
1 2 . 5
2 1 . 56
0 0 7 4 2 . 1 0 0 7 3 6 . 9
5 .25 .2 5 1
0 0 2 9 6 8 .30 0 2 9 4 7 . 7
2 0 . 8 2 0 . 6 2 0 .4 2 0 . 1
2 6 . 56
o o 5 4 2 .3 0 0 5 3 9 .2
3 .13 . 1 3 .0
0 0 2 1 6 9 . 2 0 0 2 1 5 6 .9
1 2 . 31 2 . 3 12 1
7 0 0 7 3 1 . 8 0 0 2 9 2 7 . 3 l o o 5 3 6 .2 3 . o 0 0 2 1 4 4 .8 12 08 0 0 7 2 6 . 8 0 0 2 9 0 7 .2 8 o o 5 3 3 . 2 3 . o 0 0 2 1 3 2 . 8 1 1 . 89 0 0 7 2 1 . 8
3 .0 0 0 2 8 8 7 . 3 *9 - 9 9 o o 53 o .2 0 0 2 1 2 1 . 0
2 2 . 0 0 0 7 1 6 . 9 4 - 94 . 8
0 0 2 8 6 7 . 71 9 . 6
2 7 . 0 0 0 5 2 7 . 3 3 *92 . 90 n
0 0 2 1 0 9 . 21 1 . 8
i i . 7 11 5I 0 0 7 1 2 . 1 0 02 8 48 .2 *9 • 0 1 o o 5 2 4 . 4 0 0 2 0 9 7 . 5
2 0 0 7 0 7 . 2 4 - 9 /. ^ 0 0 2 8 2 9 . 0 J9 •3 2 0 0 6 2 1 . 5
a . y002 0 86 .0 TI 5
3 0 0 7 0 2 . 5 0 0 6 9 7 . 8
4 . / 0 0 2 8 1 0 . 0IU,U1 T 8
3 o o 5 i 8 . 6 ** • y2 8 0 0 2 0 7 4 .5
1 1 . 3 .4
4 . 7 0 0 2 7 9 1 . 2 4 o o 5 i 5 .8 0 0 2 0 6 3 .2
2 2 . 5 0 0 6 9 3 .24 . 64 . 64 . 6 4 . 5 4 . 4
0 0 2 7 7 2 . 61 8 . 6i 8 . 41 8 . 11 8 . 01 7 . 8
2 7 . 5 o o 5 i 3 . o2 . 82 8
o o 2o 5 i .9i i . 31 1 . 11 1 . 1 1 0 . 9 1 0 . 8
6
78
0 0 6 8 8 . 60 0 6 8 4 . 00 0 6 7 9 . 5
0 0 2 7 5 4 . 20 0 2 7 3 6 . 10 0 2 7 1 8 . 1
6
78
o o 5 i o . 2 0 0 5 0 7 .4 o o 5 o 4 * 7
2 . 8
3 -72 . r
002o 4o .80 0 2 0 2 9 .70 0 2 0 1 8 .8
9 0 0 6 7 5 . 1 0 0 2 7 0 0 .3 9 0 0 5 0 2 .0 0020 08 .0
2 3 . 0 0 0 6 7 0 . 7 0 0 6 6 6 .3
4 . 44 . 4 4 . 3
0 0 2 6 8 2 . 71 7 . 6. _ t 2 8 . 0 0 0 4 9 9 .3
2 . 70 0 1 9 9 7 . 2
1 0 . 810 6
I 0 0 2 6 6 5 . 3I n . 4t _ 1 0 0 4 9 6 . 6
j . 70 0 1 9 8 6 . 6 10 6
2 0 0 6 6 2 . 0 0 0 2 6 4 8 .11 7 . 2 2 0 0 4 9 4 . 0
J • u
2 . 60 0 1 9 7 6 . 0
10 53 0 0 6 5 7 . 8
o o 6 5 3 . 5
4 . 24 . 3
0 0 2 6 3 1 .0 1 7 - 1
1 6 . 83 0 0 4 9 1 .4 0 0 1 9 6 5 . 5 i o .3
4 0 0 2 6 1 4 • 2 4 o o 4 8 8 . 8 0 0 1 9 5 5 . 2
2 3 . 5 o o 6 4 9 . 44 . 14 .14 .1
‘ 4 . 14 . o
0 0 2 5 9 7 . 51 6 . 7 2 8 . 5 o o 4 8 6 .2
2 . 6 2 . 5 0 0 1 9 4 4 . 9
i o . 31 0 .2
67
0 0 6 4 5 . 3 o o 6 4 i .2
0 0 2 5 8 1 . 0 0 0 2 5 6 4 . 7
i 6 . 3 1 6 . 1 1 6 . 0
6
7
o o 4 8 3 - 7 o o4 8 i .1
2 . 6 2 .52 . 4
0 0 1 9 3 4 . 70 0 1 9 2 4 . 6
1 0 . 11 0 . 0
8
9
0 0 6 3 7 . 1006 3 3 .1
0 0 2 5 4 8 .60 0 2 5 3 2 . 6
8
9
0 0 4 7 8 . 60 0 4 7 6 . 2
0 0 1 9 1 4 . 60 0 1 9 0 4 . 7 9 - 9
2 4 . 0I
0 0 6 2 9 . 20 0 6 2 5 . 3
3 - 93 . 9
o o 2 5 i 6 . 8 0 0 2 5 0 1 .1
i 5 . 8i 5 . 71 5 . 41 5 . 4 i 5 . 1
2 9 . °1
0 0 4 7 3 . 7
0 0 4 7 1 .3
2 . 52 . 4
0 0 1 8 9 4 . 8 0 0 1 8 8 5 .0
9 09 . 8Q 6
2 0 0 6 2 1 . 4 3 . 93 . 83 . 8
0 0 2 4 8 5 . 7 2 o o 4 6 8 . 8 ¡I
2 . 42 . 3
0 0 1 8 7 5 . 4 y •
Q 634
0 0 6 1 7 . 6 0 0 6 1 3 . 8
0 0 2 4 7 0 . 30 2 2 4 5 5 . 2
34
o o 4 6 6 . 4 o o 4 6 4 . 1
o o i 8 6 5 .8 0 0 1 85 b . 3 0-5
2 4 .5 0 0 6 1 0 . 03 . 8
0 0 2 4 4 0 . 1i 5 . 1i 4 . 8
1 4 . 71 4 . 6
i 4 .4
ag.5 o o 4 6 i .7 2 . 42 . 3 2 3
o o i 8 4 6 . 8 9-5q . 3
6 0 0 6 0 6 . 3 3 . / 002425 .3 6 0 0 4 5 9 . 4 o o i 837 .5 ¡7 v
Q 37 0 0 6 0 2 . 6 3 . 7
3 . 63 . 6
0 0 2 4 1 0 . 6 7 0 0 4 5 7 . 12 . 32 . 3
0 0 1 8 2 8 . 2 y •
9*2 9 - 18
90 0 5 9 9 . 0 0 0 5 9 5 . 4
0 0 2 3 9 6 .0 0 0 2 3 8 1 . 6
89
o o 4 5 4 . 8o o 4 5 2 . 5
0 0 1 8 1 9 . 00 0 1 8 0 9 . 9
i 6 OBSERVATORIO ASTRONÓMICO DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
r* u> = i o d
3 5 . 0 00 8 07 .3i .5 '1 ^ 0 0 1 4 2 9 . I
6 . 2f i T
1 o o 3 5 5 .81 . 6i ^
0 0 1 4 2 3 .06 . 1ti m2 o o 3 5 4 .2 0 0 1 4 1 6 . 9
3 o o 3 5 a .7 i . o 0 0 1 4 1 0 . 9D . O
4 o o 3 5 1 . 2 1 . oo o i 4o 4 . 9 *
0 . 0
3 5 . 5 0 0349 .8 i .4 0 0 1 3 9 9 . 0 5 . 9
‘ 6 o o 3 4 8 . 3 1 , OI ^ 0 0 1 3 9 3 . 1
0 . 95 . 85 . 85 . 8
7 o o 3 4 6 .8I , <J
o o i 3 8 7 . 38 o o 3 4 5 .4 1 . a o o i 3 8 i .5
9 o o 3 4 3 . 9 1 . 5 0 0 1 3 7 5 . 7
3 6 . o oo3 4 2 .5 i .4 0 0 1 3 7 0 . 05 . 7r. -
r o o 3 4 i .1 1 .4 o o i 3 6 4 . 3D .7
2 0 0 3 3 9 . 7 1 .41 . 4
0 0 1 3 5 8 . 60. y5 . 6n a3 o o 3 3 8 . 3 0 0 1 3 5 3 . o
4 oo3 3 6 . 9 1 .4o o i 3 4 7 . 4
0 . 0
3 6 . 5 o o 3 3 5 . 5 i .4T /. 0 0 1 3 4 1 . 9
• 5 . 5
6 o o 3 3 4 .1 I . 4T /. o o i 3 3 6 . 4
0 . 0
7 o o 33 a . 7 I . 4_ Q o o i 3 3 i . 0
0 . 4
8 o o 3 3 i . 4 I . O . / c o i 3a 5 . 5
0 . D5 . 3
9 o o 33o . o 1 . 4 OOI3 2 0 .2
3 7 . 0 0 03 28 .7 1 . 31 . 3 T 2
0 0 1 3 1 4 • 8 5 . 4
1 0 0 3 2 7 . 4 0 0 1 3 0 9 . 5O • O5 . 3
2 0 0 3 2 6 . 1i .4T 4
o o i 3o 4 . 23 0 0 3 2 4 .7 0 0 1 2 9 9 .04 o o 3a 3 . 4 X . 0
0 0 1 2 9 3 . 8w • A
3 7 . 5 o o 3 a 2 . 1 i .30 0 1 2 8 8 .6
5 . 2
6
7
00320.9 o o 3 1 9 . 6
1 . 21 .3 0 0 1 2 8 3 .4
0 0 1 2 7 8 . 3
0 . 2 . 5 . 1
8 o o 3 i 8 . 3 i • 00 0 1 2 7 3 . 3
0 . 0
9 0 0 3 1 7 . 1 I . 20 0 1 2 6 8 .2
0 . 1
3 8 .o o o 3 i 5 . 8 1 . 30 0 1 2 6 3 . 2
5 . a
1 o o 3 i 4 . 6 1 . 20 0 1 2 5 8 . 3 4 . 9
2 o o 3 i 3 .3 1 . 00 0 1 2 5 3 . 3 D .O
4 - 94 . 8
3 o o 3 i a . 1 1 . 20 0 1 2 4 8 .4
4 0 0 3 1 0 . 9 1 . 20 0 1 2 4 3 . 6
3 8 . 5 0 030 9.7 1 . 20 0 1 2 3 8 . 7 4 .9
4 . 84 . 8
6 o o 3o 8 .5 1 . 20 0 1 2 3 3 . 9
7 0 0 3 0 7. 3 1 • 20 0 1 2 2 9 . 1
8 o o 3o 6 .1 IT30 0 1 2 2 4 . 4 4 . 7
4 . 79 o o 3o 4 •9
1 . 20 0 1 2 1 9 . 7
3 9 . 0 o o 3o 3 .7 1 . 20 0 1 2 1 5 .0 4 - 7
4 . 74 . 64 . 64 . 6
1 o o 3o a .6 1 . 10 0 1 2 1 0 . 3
2 o o 3o i .4 1 . 20 0 1 2 0 5 .7
3 o o 3o o .3 1 . 10 0 1 2 0 1 . 1
4 0 0 2 9 9 .1 1 . 20 0 1 1 9 6 . 5
3 9 . 5 y 6
002 98.000 2 9 6 .9
1 . 11 . 1
0 0 1 1 9 2 . 0 0 0 1 1 8 7 . 5
4 . 54 . 54 . 54 . 5 4 . 4
7 0 0 2 9 5 .7 1 1 A0 0 1 i 8 3 . o
8 0 02 9 4 .6 1 . 10 0 1 1 7 8 . 5
9 0 0 2 9 3 .5 1 . 10 0 1 1 7 4 . 1
r* f/»=5d it>= 10^
3o . o o o 45o . aa . 32 2 0 0 1 8 0 0 . 9 9 0
i o o 448 . o 2 3 O O I79I -9 9 o 8 . 98 . 88 . 8
2 o o 4 4 5 . 7 2 . 2 0 0 1 7 8 3 . 03 o o 443.5 2 . 1 0 0 1 7 7 4 . 24 o o 44 i .4 0 0 1 7 6 5 . 4
3o . 5 0 0 4 3 9 . 3a . 2 2 . 2 0 0 1 7 5 6 . 8
8 . 68 . 68 . 6
8.48.4
6 0 0 4 3 7 . 0 2 1 0 0 1 7 4 8 . 2
7 0 0 4 3 4 . 9 2 1 0 0 1 7 3 9 . 68
9o o 43a . 8 o o 43o . 7
2 . 1 0 0 1 7 3 1 . 2 0 0 1 7 2 2 . 8
3 í . o 0 0 4 2 8 . 62 . I 2 I 0 0 1 7 1 4 .4 8 .4
O ~12
o o 4a 6 .5o o 4a 4.5
2 .O2 O
0 0 1 7 0 6 . 2 0 0 1 6 9 8 . 0
0 . 2 8 . 2 8 . 2 8 . 0
34
o o 4a a .5 o o 4a o .4
2 . 1 0 0 1 6 8 9 . 80 0 1 6 8 1 . 8
3 1 . 5 o o 4 1 8 .42 . 0
I ( J0 n
0 0 1 6 7 3 . 88 . 08 . 06 o o 4 i 6 .5 o o i 665.8
78
o o 4 i 4.5 o o 4 i a .5
2 . 0
1 • 9
o o i 658 . o o o i 65o . 2
7 - 8 ■ 7-87 . 8
9 o o 4 i o . 6 0 0 1 6 4 2 . 4
3a . o 0 0 4 0 8 . 7 *•9 o o i 634 . 7 7-77 . 67 . 6 7 .5
ia
0 0 4 0 6 . 8
0 0 40 4 . 9
1 -9 *•9 1 -9
0 0 1 6 2 7 . 1 0 0 1 6 1 9 . 5 .
3 o o 4o 3 . 0 0 0 1 6 1 2 . 04 o o 4 o i . 1 1 -9 o o i 6o 4.5 . 7-5
3a . 5 0 0 3 9 9 . 31 . 8
*•91 . 81 . 8 1 8
0 0 1 5 9 7 • 1 7.4_ 9
6 0 0 3 9 7 . 4 • 0 0 1 5 8 9 . 8 / . 0 _ 9
7 0 0 3 9 5 . 6 0 0 1 58a .5 l ó
8 0 0 3 9 3 . 8 o o r 575.3 7 . 2
9 0 0 3 9 2 . 0 0 0 1 568 . 17 . 2
3 3 . o 0 0 3 9 0 . 21 . 8
0 0 1 56 1 . 0 7 . 1
i o o 388 .5 1 *7 1 . 8
o o i 553.9 7 • 1
a o o 386 . 7 o o i 546 .9 7 . 0
3 o o 385 . 0 1 - 7 0 0 1 5 3 9 . 9 7 . 0
4 o o 383 .3 1 *7 0 0 1 533.0 8 .9
33.5 o o 38 i .5 1 . 8o o i 5a 6 . 1 6 -9
6
70 0 3 7 9 . 8 0 0 3 7 8 . 1
1 -7 * *7T fí
0 0 1 5 1 9 .3 o o i 5 i 2 . 6
6 . 86 . 76 . 78 0 0 3 7 6 .5 I . 0
o o i 5o 5.99 0 0 3 7 4 .8 1 . 7 0 0 1 4 9 9 . a 6 . 7
3 4 . o 0 0 3 7 3 . a ■ 1.60 0 1 4 9 2 . 6
6 . 6
i 0 0 3 7 1 . 5 1 -7T f í
o o i 4 8 6 . o 0 . 0
a3
0 0 3 6 9 . 9 o o 368 .3
I , 01 . 6 0 0 1 4 7 9 . 5
0 0 1 4 7 8 . 1 0 0 1 4 6 6 . 7
0 . 56 .4
4 o o 366.7 1 . 0 6.4
34.5 o o 365 . 1 1 . 6_ c o o i 46o .3 6 .4
6 oo3 6 3 .5 1 . 0. a o o i 453.9 6 .4
6 . 26 .37
80 0 3 6 1 . 9
o o 36o .4
1 . 0 i .5„ r.
0 0 1 4 4 7 .7 o o i 4 4 i .4
9 oo3 5 8 . 8 1 . 0o o i 435.3 6 . 1
17P ascual Sconzo, Tablas para el cálculo de las efemérides planetarias, etc.
r1
iñII W = l O d ,.s w = 1 0 d
4 ° . °1
2
34
OO292 . l\
0 0 2 9 1 . 30 0 2 9 0 . 20 0 2 8 9 . 2
0 0 2 8 8 . 1
1 . 1
1 . 1
1 . 11 . 0
1 . 1
0 0 1 1 6 9 . 7
0 0 1 1 6 5 . 3 0 0 1 1 6 1 . 0
0 0 1 1 5 6 . 7
001 i 5 2 . 4
4 . 44 . 44 . 34 . 34 . 3
4 i . 0 1
2 .
34
0 0 2 8 1 . 8
0 0 2 8 0 . 80 0 2 7 9 . 7
0 0 2 7 8 . 7
0 0 2 7 7 • 7
1 . 0
1 . 0
1 . 11 . 01 . 0
O O l 1 2 7 . 2
0 0 1 1 2 3 . 00 0 1 1 1 9 . 0
0 0 1 1 1 4 . 9O D I I I O . 9
4 . 14 . a
4 . 0
4 . 14 . 0
4 o . 5 6
78
9
0 0 2 8 7 . 0
0 0 2 8 6 . 0
0 0 2 8 4 . 90 0 2 8 3 . 9
0 0 2 8 2 . 8
1 . 11 . 0
1 . 1 1 . 0
1 . i
0 0 1 1 4 8 . 1
0 0 1 1 4 3 . 90 0 1 1 3 9 . 6
0 0 1 i 3 5 . 5 0 0 1 i 3 i . 3
4 . 3 4 . a
4 . 3 4 . i4 . 3
4 1 . 56
78
9
0 0 2 7 6 ; 70 0 2 7 5 . 7
0 0 2 7 4 . 70 0 2 7 3 . 70 0 2 7 2 . 8
1 . 0
1 . o1 . 0
1 . 0
0 . 9
0 0 1 1 0 6 . 90 0 1 1 0 2 . 9
0 0 1 0 9 8 . 9
OOI O p S . O
O O I O 9 I . O
4 . 0
4 . 0
4 . 03 . 9
4 . 0
4a . 0 0 0 2 7 1 . 81 . 0
O O I 0 8 7 . 23 . 8
IY
TABLA DEL COEFICIENTE X = 2 — w 'k'r-*(Método aproximado de extrapolación)
w = 5rf
r* A ra A A
2 . 0 1 . 9 9 7 3 8 4i 85 4 .0 i . 999° 75 34 6 . 0 '•9 9 9 4 9 7 1 2
i 756g1 64146 i 3 i 11 8
1 109 3 a1 509
L2234
7733787980 I0
234
i 4 i
170198
3928
3 7
234
521532543
1 ¡ l I I I
2 . 5 I . 9 9 8 1 2 8107
98888174
4 .5 1 . 9 9 9 3 3 5 2524232120
6 .5 1 . 9 9 9 5 5 46
78
9
8235 8333 84a 1 85o 2
6
78
9
25o274
3973 i 8
6
78
9
5645735835ga
0IO
99
3 . o 1 . 9 9 8 5 7 66963
5 . o •.9993382018
7 .o 1 . 9 9 9 6 o 1 Oi 8645 1 358 8 . 0 673 5323
87088766
58545o
23
3761816
9 . 0 1 0 . 0
736766
4o 3 1
4 8820 4 4 i o16
1 1 . 0 797 a 5
3 .5 1 . 9 9 8 8 7 047444o3836
5 .5 1 . 9 9 9 4 3 616
1 2 . 0 1 .9 9 9 8 3 3 206
78
9
8 g «78961 9 0 ° 1
9o39
6
789
44a456470484
i 4i 4i 4i 3
1 3 . 01 4 .0 *15 .01 6 . 0
84a85q873884
l li41110
1 7 . 0 8941 8 . 0 903 9
81 9 . 0 9 1 1 62 0 . ó 9*7
OBSERVATORIO ASTRONOMICO DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
W = 10d
r - X r* X r - X
2.012
1.98953899027699° 93a
738656585
6.012
'•9979878o368o83
*947464342
10.012
! . 999°64 O78 092
i 4i 4i3i 312
3 99i5 ,7 626 3 8129 3 io54 992° 4i 473 4 8172 4 118
2.5 1.992514 428388354324297
6.5 í .998214 4i39373635
i o .5 i *999i3° i 3 12 11
678
2942333o3684
678
8255 8294 8331
678
143 i 55 166
9 4 008 9 8367 9 178 12 11
3 .oi
1 .9943o5 4578 273
2537.0
11.998402
8436 3432323o
11.0 1
'•999*89*99
102 4831 233
216
2 8468 2 2 11 123 5o64 3 85oo 3 221 104 5280 4 853o 4 23l 10
201 29 10
3.5 1.995481 1877.5 1.998559
291 1 .5 I .999241 106 5668 6 8588 6 a 5 i
789
58426oo56i 58
1163 i 53 14 3
789 #
86i586428667
27272525
89
261270279
10999
4 .o12
1.99630164366562
135 126
8.012
1.99869287168740
2424
12.012
»•9992882973o6
99
34
6681679*
” 9 1 13106
34
87628785
2223 21
34
314322
888
4.5c 1.996900 100 8.5 1.998806 2 I 12.5 1.99933o
80 700096
6 8827 6 3387 7096 7 8847 20
7 346 889
71867272
908681
89
88668886
»920l8
89
354 361
877
5 .oi
1.997353743i
78 9.01
1.9989048922 l8
l8
' í 3 .o i 4 .o
1.999368435 67
2 75o4 2 8940 i 5 .o 49»538578
5634
75757642
l l6764
34
8g578973
l ll6l6
16.017.0
474o35
5,56
'7
1.99770677677836
615956
.9.567
1 -99898990059020
l6i 5i 5i 4i 4
18.019.020.0
1.999613643669
3o26
8 7882 53 8 90359 7935 52 9 go5o
P a s c u a l S c o n z o , Tablas para el cálculo de las efemérides; planetarias, etc. *0
Y
EJEMPLOS
Cálculo de efemérides aproximadas
A) De oposición del asteroide (627) Charis.Con los elementos orbitales :
Epoca: ig33 Mayo 21 Constantes
Mu. . . 2q3°478 o)........ I77°6 i 3 \i 43.o53 ? iq5o 0 1
«x. . + ° . 77863 , 4*... + o .63oo4? ----- 3.383 U ....... tíy • • ----0.58319 y b y , . . + 0.74962P . . . .
a . . .
718 ''676 i .........
2.8995
6.449 / " z . . . .' — 0.24782 , kz . . . + 0.20277
el cálculo directo (con 5 decimales) de las coordenadas heliocéntricas ecuatoriales da :
ic)5o Dic. i5 1950 Dic. 2”) 19D1 Fehr. 3
x .................... — 0.52008 — o .61615 — 0.99020y .................... + 2.81748 +2.80179 +2.70936z .................... +0.96800 +0.96962 +0.96074
Para aplicar el método de extrapolación tomamos como valores iniciales los correspondientes a las fechas Diciembre i 5 y Diciembre 25 ; en el esquema siguiente esos valores se encuentran en la primera y segunda columna y están en negrita. En cada columna los productos Xx, ay, az se refieren a los valores de la columna sucesiva ; a partir de la tercera columna las coordenadas x, y, z se obtienen con la fórmula general de extrapolación (10), es decir :
X/+i = Xi’Xi — X¡. i
j i + i — — J'«— 1
7+ i ^ A[Z 1
El coeficiente de extrapolación X,* se saca cada vez de la tabla IV en función *ae r ? = x ? + y? + z?(w = io d)
1 Cfr. Petites planétes, Parte II, Leningrado, 1947-
OBSERVATORIO ASThONOMICO t)fe Í.A UNIVERSIDAD NACIONAL Útí tA P t A t A5Ó
Dic. i5 Dic. 2 5 Enero h Enero i/< Enero 2/» - Febr. 3 igóo/ói
— 1.2317 — 1.4212 — 1 .6091 — 1.7953 • /j*
— 0.5207 — 0.6162 — O.71IO — o . 8o5o — O.8981 — 0.9903 X
— 0 . 129G + o . o 448 + O.2179 + 0.3842 + 0.5386 + 0.6764 X
— o . 65o3 — 0.5714 — 0 . 493l — 0.4208 — 0.3595 — 0 . 3 139 A eos 0 eos acosa
+ 5 . 600G -f 5.5632 + 5.5199 + 5.4707 j.y
+ 2.8175 + 2.8018 + 2 . 783l + 2.7614 + 2.7368 + 2.7093 y— 0.8951 — 0.9014 — 0.8797 — o . 83o7 — 0.7059 — 0.6677 Y
+1.922^ +1.9004 + I .9034 +1.9307 +1.9809 + 2 .o5 i 6 . , A eos ti sen a
+0.9473 + 0.9577 + 0.9680 + 0 -9771 + 0.9839 + 0.9885 sen a
- o .3383 — 0.3007 — 0.2591 — 0.2180 — 0.1815 — 0. i 53o tg a ó ctg a
7 hi r . 8 7 “ 6m.9 G"58m. 1 6 h49m.2 6h4 i m. 2 6 h34ni.8 «
+ I .9382 +1.9384 +1.9386 + 1 . g358 j.z
+ 0.9680 + 0.9696 + 0.9702 + 0.9698 +0.9684 + 0.9660 z
— 0.3882 — 0.3909 • — o . 38 i 5 — o . 36o3 — 0.8278 — 0.2853 z+ 0.5798 + 0.5787 + 0.5887 + 0.6095 + o.64o6 + 0.6807 A sen 0
+ 2.0293 + 1 .9 8 4 3 +1.9663 + • .9 7 5 9 • + 2 .o i 33 + 2.0755 A eos ú
+ 0.9580 + 0.9555 eos 0
+0.2857 + 0.2916 + 0.2994 + o . 3o85 + o . 3j82 +0.3280 tgo
+ i 5° 57' + 16o i 5' + i6°4o' + I7°9 ' + «7° 39' + i 8 ° io ' ú
9- i699 9.1925 9.2139 9.2345 rs1.99893 i* 99894 . i - 99894 í . 99895 /.
0.4817 0.48232.o525 2.0679 Ao . 3 i 23 o . 3i 56 w
Oposición A
Los valores de x % y, z arriba indicados (cálculo directo) de la fecha Febrero.3 , con respecto a los calculados por el método de extrapolación (última columna) difieren, respectivamente, de + i , + i , — 3 unidades de la cuarta cifra decimal, lo cual debe considerarse un buen acuerdo si se tiene en cuenta el grado de precisión que se quiere alcanzar.
B) De oposición del asteroide ( i 33q) Désagneuxa.Con los elementos orbitales :
Epoca : 1934 Dic. aO Constantes
3570888 3 . 1 44
w. . . . i i __
i 55° 75 i \. . 292.041 [ 1950.0 1
nx . . .ay. . .
. + o . o 34 i 4 ,
. +0.89039 , by. .-- O.9895O
. . +0.09891^75#/7 14 i . . . . ex vi 0 a*. . . . +0.45394 , h . .
a ......... 3.0211
1 Gfr. Petites planétes, Parte II, Leningrado, 19^7-
P a s c u a l S c o n z o , Tablas para el cálcalo de las efemérides planetarias, etc. Oí
el cálculo directo da :1960 Die. i5 1960 Dic. 20 1951 Fabr. 3
X. . . —0.70120 — i.og465y. . . + 2.53442 + 2. 52071 + 2.43420
+ 1 .i5846 + I .00242
y el método de extrapolación (w= io d) :
Die. i5 Dio. '¿ó Fuero k Knero \!\ Knero 24 Febr. 3 1960/51— 1.4oi5 — 1.Coi 4 — «• 7993 — 1.9960 Yx—0.6003 —0.7012 —0.8o’j2 —0.9002 — O.9981 — 1.0948 X—0.1296 + 0.o448 +0.2179 + 0.3842 + 0.5386 +0.6764 X—0.7299 — 0.6564 —0.5833 —0.5 160 —0.4590 —o.4 i84 A eos 0 eos a
eos a+ 5 .o382 + 5 .oo44 + 4 . 9643 +4.9179+ 2.5344 + 2.5207 + 2.5o38 + 2. 4837 + 2 .46o5 + 2.4342 y— 0.8951 —0.9014 —0.8797 —0.8307 — 0.7559 — 0.6577 Y+1.6393 +1.6193 +1.6241 + 1 .653o + 1.7046 +1.7765 A eos 0 sen y+ 0.9135 + 0.9268 + 0.9411 + 0.9545 + 0.9655 +0.9734 sen a
— 0.4453 — 0 .4o54 — 0.3592 — O.3l 22 — 0.2696 — 0.2355 tsr a ó ctg aO O7b36K,o 7b28m3 7hI9ra° 7" 9-4 7 b om4 6h53“ o a
+ 2 .3 155 + 2.2668 + 2 . 2l 52 + 2.1608 Y.:+ 1.1814 + 1.1585 + 1 . 1341 + i . io83 + 1.0811 + i . o525 -— 0.3882 — 0.3909 — o . 38i 5 — o . 36o3 — 0.3278 — 0.2853 z
+ 0.7932 + 0.7676 + 0.7526 + 0.7480 + 0.7533 +0.7672 A sen 0
+ T .7945 + 1 -747a + 1 .7 257 + 1.7318 + 1.7655 +1.8250 A eos 0
+ 0.9166 + 0.9180 eos 5+ 0.4420 + 0 .4393 + 0 .4361 + 0.4319 + 0.42C7 +0.4204 \ g o
+ 2 3 ° 5 i ' + 23°43' + 23° 34' + 23°22' + 23° 6' + 22°48' 0
8 . 1 8 7 7 8.1971 8.2075 8.2190 r*
1 1.99874 1.99874 1 .99874 1.99870 /
0.4569 0.4571 ['*]I .8827 1.8865 A0.2748 0.2767 [A]
Oposición 8
Las diferencias entre los valores de las coordenadas x, y , r para la última fecha según el cálculo directo y los obtenidos por el método de extrapolación, resultan así satisfactoriamente de + 1 , 0 , — i
unidades de la cuarta cifra decimal.G) Del cometa igúpa. Con los elementos orbitales :
Constantes
T 1950 Enero 19.516 o). . . . .. 4o°iCf N m x • . • . — 2'. 17570 , nx . . . 4 o . 755i4li__ . . 221 89 > 1950.0 1 m y . . . . — 0.93233 , »*/••• . + 2 .6o65o
rj 2.5484 i . . . . .. i 3 i 19 ) m z . . . . +0.94411 , nz . . . . + 4•314^4
1 Cfr. Announcement Card N 996 de Harvard.
OBSERVATORIO ASTRONÓMICO DÉ LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLAfA^2
el cálculo directo da :19/19 -Mayo 21 19 9 Mayo a 6 19A9 Junio i 5
X . ............. — i - 76 6 79 — 1 . 78819 — 1.87071
J . ............. ... 2 . 2 1 9 3 3 — 2 . 20419 —2 .13990
' • ............. —2 .2 0 6 5 2•
— 2 . 14781 — 1•9 ° 9 37
método de extrapolación ( u > = 5 “) : •
Mayo i 1 Mayo 26 Mayo 01 Junio 5 Junio 10 Junio 15 IlJ^9
—3.5761 —3 . 6 i 83 — 3.6599 —3.7009» < »
— 1.7668 — 1.7882 — 1.8093 — I . 8 3oi — 1. 85o6 — 1.8708 X
+ 0.5119 + 0.4374 + 0.3597 + O.2795 + 0.1973 + 0. u 38 X
— 1. a5/*9 — 1 .35o8 — 1.4496 — 1. 55o6 — 1 .6 5 3 3 — 1.7570 A eos B eos a
—0.6627 —0.7032 —0.7396 —0 • 7 7 17 -0 .7 9 9 3 —0.8228 eos a
—4 . 4°8o —4.3770 —4 . 34^2 —4.3126 y
— 2.2193 - 2.2042 —2.1887 — 2.1728 — 2 .1 565 — 2.1398 y
+ 0.8012 + 0.8385 + 0.8698 + 0.8949 + 0.9137 + 0.9261 Y
— 1.4181 — i .3657 — 1.3189 — 1 *a779 — 1.2428 — 1.2137 A eos 0 sen asen a
+ 1 . i 3 o i + 1 .0111 + 0.9098 + 0.8241 + 0.7517 + 0.6908 tg y. ó ctg a1511 i4mo 15h1m3 i 4b49ra2 i 4h38“o i 4b27m7 a
— 4.2953 — 4.1772 — 4 .o585 — 3.9390 Vz
— 2.2065 — 2.1478 — 2.0888 — 2.0294 — 1.9697 — 1.9096 -+ 0.3475 + 0.3636 + 0.3772 + o . 388i + 0.3963 + 0.4016 z
— 1. 85go — 1.7842 — 1.7116 — 1 . 6413 — 1.5734 — 1 . 5o8o A sen 0+1.8936 + 1 . 9 2 0 9 + 1 . 9 6 0 0 + 2 . 0 0 9 3 + 2 .0 6 8 4 + 2 . 1 354 A eos o+ 0 . 7 1 3 7 + 0 . 7 3 2 7 + 0 . 7 1 3 1 + 0 . 7 7 4 4 + 0 . 7 9 5 8 + 0 . 8 1 6 8 eos 0— 0 . 9 8 1 7 — 0 , 9 2 8 8 —0 . 8 7 3 3 — 0 . 8 1 6 9 — 0 . 7 6 0 7 — 0 . 7 0 6 2 t g 5
— 4 4 ° 2 8 ' —4 2 ° 5 3 ' — 4 i ° 8 ' — 3 9 ° i 5 ' —3 7 ° i 6 ' — 3 5 ° i 4 ' 0
2 .6 5 3 2 . 6 2 2 2 . 7 ^ 9 2 . 5 9 6 2 . 5 9 9 2 . 6 1 4 A
1 2 . 6 6 9 2 1 2 . 4 2 7 1 1 2 . 1 8 8 8 1 1 . 9 5 4 9 r *
1 . 9 9 9 8 4 1 . 9 9 9 8 3 1 . 9 9 9 8 3 1 «9998a /
También en este caso las diferencias entre los valores obtenidos, por ambos métodos, de las coordenadas heliocéntricas ecuatoriales x, y , z, relativas a la fecha 19^9 Junio i 5 son satisfactorias, porque resultan de + 1 , — 1, + 2 unidades de la última cifra decimal considerada.
y el
M I N I S T E R I O DE E D U C A C I O NUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
PUBLICACIONES DEL OBSERVATORIO ASTRONOMICO
SERIE ASTRONOMICA(Antes Publicaciones) „
I.*. W . J. H ussey, Descripción general del Observatorio, su posición geográfica y observaciones de Cometas y de Estrellas Dobles (1914).
II. F élix A guilar, Resultado de las observaciones en la Zona — 57o a — 6 1 o con el Círculo Meridiano Gau- tier, durante el año 1914 (1916).
III.*. Pablo T. D elavan, Resultado de las observaciones en la Zona — 62° a — 56° durante los* años 1913, 1914 y 1915.
F élix A guilar, Resultado de las observaciones en la Zona — 07° a — 6 i ° durante el año 191D (1916).
IV r B ernhard H. D awson, Resultado de las observaciones con la Ecuatorial de 433 milímetros de abertura, efectuadas de 1912 a 1917 (1918).
IV 2. Bernhard H. D awson, Resultado de las observaciones con la Ecuatorial de 433 milímetros de abertura, efectuadas de 1918.0 a 19.21.5 (1922).
V. P ablo T. D elavan, Catálogo La Plata A de 74 12 Estrellas de declinaciones comprendidas entre — 62° a — 5?° (187b) para el equinoccio 1926 (1919).
V I4. H ugo A. Martínez, Determinación de la Órbita del Planeta (796) Sarita (1920).
V IS.*. N uma T apia, Medidas micrométricas de Estrellas Dobles y Vecinas (1921).VI3.*. B ernhard H, D awson, Elementos de la Estrella Variable SV Centauri (1921).
VI4. B ernhard H. D awson, Errores de trazo del Círculo Meridiano Gautier (1925).V I3. J uan H artmann, Nueva determinación de la Longitud geográfica (1928).V I6. B ernhard Ii. D awson, Medidas micrométricas de estrellas dobles efectuadas con el refractor de 433 milí
metros de abertura (1937j .V I7. B ernhard H. D awson, Observaciones de planetas y cometas (1942).
V Ig. G ualberto M. Iannini, Medidas micrométricas de estrellas dobles. Posible movimiento rectilíneo de 3 i i y una nueva determinación de la órbita de W Argus (1942).
V I9. A lba D ora N ina Schreiber, Observaciones fotográficas de Ceres (1 q44)•VIL F élix A guilar y B ernhard H. D awson, Catálogo La Plata B de 7792 Estrellas de declinaciones com
prendidas entre — 57o a — 62o (*875) para el equinoccio 1925 (1924)*VIII. H ugo A. Martínez, Catálogo La Plata C de 44i2 Estrellas entre 6 i ° 5o' y 66° 10' declinación austral
(1875) para el equinoccio 1925 (1924).IX. V irginio Manganiello, Catálogo La Plata D de 4b i3 Estrellas entre 65° 5(5/ y 72°io ' de declinación aus
tral (1875) para el equinoccio 1925 (1936).X4. N uma T apia, Catálogo La Plata E (primera entrega) de 2486 estrellas entre 72o 10' y 82o io' de decli-
, nación austral (1875), para el equinoccio 1925 (1947).XI4. H ugo A. Martínez, Estrellas Kapteyn (1927).
* Agotados (out o f print).
XIa. Hugo A. Martínez, Estrellas Eros (1933).XI. . H ugo A. Martínez, Estrellas de Latitud (1933).XII. Hugo A. Martínez, 2 i 23 Estrellas del Catálogo de Boss, comprendidas entre — i 5° y — 80o (1936).
XIII. H ugo A. Martínez, Catálogo La Plata F de 4828 Estrellas entre 46°5o 'y 52° 10' de declinación austral(1875) para el equinoccio 1935 (1938).
XIV. A lexander W ilkens, La Constitución Dinámica de las Estrellas de Paralaje Conocida estudiada especialmente en base a los Movimientos Lineales Tangenciales (1939).
XV. H ugo A. Martínez, Estrellas Kapteyn (1939).XVI. A lexander W ilkens, Determinación de órbitas de planetas y cometas (1939).
XVII. HeynaldoP. C esco, Perturbaciones seculares de Pliftón (1941).XVIII. A lexander W ilkens, La Aceleración Secular de los Ejes Mayores de las Órbitas Planetarias (1942).
XIX, Hugo A. Martínez, Catálogo de 3710 estrellas Galácticas Australes (1943).XX, . A lexander W iikens, Determinaciones de temperaturas espectrográficas de estrellas,dobles (1944)- XXt. Jorge Sahade, Determinación de las intensidades de las líneas H$, G, HY y H3 en los espectros estela
res ( 1 9 4 4 ) .XX,. Jorge Landi D essy, La Binaria p Eridani (1949).
XXI,. A lexander W ilkens, Estadística de las velocidades absolutas estelares en su relación con las magnitudes absolutas y los tipos espectrales (1945).
XXI, . G ualberto M. Iannini, Orbita definitiva del cometa Whipple-Bernasconi-Kulin (1945).XXI, . A lexander W ilkens, Aceleración secular de los semi-Ejes mayores y de las longitudes medias de los pla
netas, en especial de la Tierra, y sus satélites (iq45).
XXII. Herbert W ilkens, Estadística estelar, simultáneamente en varias longitudes de onda efectivas, y las leyesde la absorción interestelar (1945).
XXIII. Herbert W ilkens, Las fórmulas de la absorción interestelar general en 8 longitudes de onda efectiva.(•947).
XXIV, . B ernhardH. D awson, Ocultaciones de estrellas por la Luna observadas en La Plata de iQ3 3 a 1940(1947)- \X IV S. B ernhaiid H.JDawson, Estrellas zodiacales determinadas en fotografías (1947).XXV, . A lexander W ilkens, Teoría sobre lá ‘acumulación de los perihelios y nodos de los asteroides (1949).XXVI. F rancisco P ingsdorf (En Prensa), Investigaciones sobre estrellas variables (1949)-
SERIE ESPECIAL
1. La Escuela Superior de Ciencias Astronómicas y Conexas (1945).IL Manuel González F ernández, Elementos de Geografía Matemática. Cartografía (1948).
III. Plan de Estudios de la Escuela Superior de Astronomía y Geofísica (1948).IV , . V. J. Meneclier, Fórmulas de Fabritius (1949).
V. Manuel G onzález F ernández, Transformación del problema Geodésico-Elipsóidico en un problema esférico. Solución de Gauss. Transporte de coordenadas (1949).
VI. G uillermo O. W allbrecher, Memoria anual correspondiente al año 1947 (1949)-
VII. Pascual Sconzo, Sobre la actualidad de la reforma del calendario (1949)-VIII. L ivio G ratton, Ideas modernas sobre la interpretación del diagrama espectro-luminosidad (1949) •
SERIE GEOFÍSICA (Antes Contribuciones Geofísicas)
1.. Juan Hartmann, Reorganización del servicio sísmico en La Plata, y observaciones sísmicas efectuadas enlos años 1922 a 1924 (1926).
It. P. A. Loos, Los terremotos del 17 de diciembre de 1920 en Costa de Araujo, Lavalle, La Central, Tres Porteñas, etc. (1926).
1.. F ederico L únkenheimer, Resultados Sismométricos de los años 1907 a 1922 (1927).II,. F ederico L únkenheimer, Resultados Sismométricos del año 1925 (1927).
II,. P. A. Loos, El terremoto argentino-chileno del i4 de abril de 1927 (1928).II8. J uan H a r t m a n n , Dos aparatos para facilitar la determinación de los epicentros sísmicos (1928).II4. F ederico L únkenheimer, Método mecánico-gráfico para determinar el epicentro en base de tres observa
ciones de P (1928).1IB. F ederico L únkenheimer, Elementos nuevos para la determinación de los epicentros (1928).
III4. F ederico L únkenheimer, Resultados Sismométricos del año 1926 (1929). '
IIIt. F ederico L únkenheimer, El terremoto sud-mendocino del 3o de mayo de 1929 (1930).III3 F ederico L únkenheimer, Resultados Sismométricos del año 1927 (1931).1V 4. F ederico L únkenheimer, Resultados Sismométricos del año 1928 (1933).rVa. F ederico L únkenheimer, Las fluctuaciones de las manchas solares y la sismicidad general de la tierra
(1934).IV3. F ederico L únkenheimer, El período anual de la sismicidad general de la tierra (1934).
IV4. F ederico L únkenheimer, Resultados Sismométricos del año 1929 (1934).
V 4. F ederico L únkenheimer, Resultados Sismométricos del año 1930 (1936).V ,. F ederico L únkenheimer, Método numérico para el cálculo de epicentros en base de tres horas de P (1936). V 3. F ederico L únkenheimer, Resultados Sismométricos del año 1931 (1936).V 4. F ederico L únkenheimer, Resultados Sismométricos del año 1932 (1937).
V I4. F ederico L únkenheimer, Resultados Sismométricos del año 1933 (1937).V I,. S imón G ershánik, Resultados Sismométricos del año 1934 (1937).V I3. S imón G ershánik, Resultados Sismométricos del año 1935 (1941).
SERIE GEODÉSICA
I (. F élix A guilar, Reparación del aparato cuadripendular Askania N° 81092 del Instituto Geográfico Militar y determinación de los coeficientes de densidad y de temperatura de los péndulos de Invar (1936).
I4. V irginio Manganiello, Valores de la aceleración de la gravedad, determinados por el personal del Observatorio entre los años 1936 y 1941 (Comunicado de la Dirección) (1944)-
I3. José M ateo, Cronómetros tipo marina. Variaciones de marcha a corto período y utilización en las medidas gra vi métricas pendulares (1945).
II. F élix A guilar, Una solución del Método Gauss generalizado a más de 3 Astros y tablas auxiliares paratiempo sidéreo y acimut en el instante de la observación (1942), Segunda edición.
III. E nrique Levín, Determinación de la diferencia de gravedad La Plata-Potsdam (1943).IV. José M ateo y E nrique L evín, Observaciones gravimétricas pendulares (años 1936-1941). Perfil gravimé-
trico norte-sur en base a 133 estaciones (1940).V . Determinaciones gravimétricas pendulares en el Arco de Meridiano Argentino (1947).
SERIE CIRCULARES
Efemérides de pequeños planetas. (Circulares 1, 2, 3 , 4 y 6).
P U B L I C A C I O N E S DEL O B S E R V A T O R I O A S T R O N O M I C ODE LA UNI VERSI DAD NACI ONAL DE LA PLATA
Director: Capitán de Fragata (R.) GUILLERMO O. WALLBRECHER
SERIE ASTRONOMI CA XXVI I 2
C A L C U L ONUMERICO DE UNA ORBITA A PARTIR DE UNA SOLUCION
APROXIM ADA
POR
P A S C U A L S C O N Z O
LA PLATAI M P R E N T A MORENO
1951
MINISTERIO DE EDUCACION DE LA NACION
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
Rector
Doctor LUIS IRIGOYEN
Vicerrector
Doctor PEDRO GUILLERM O PA TE R N O STO
Consejeros
Ing. Agrón. René R. E. Thiery, Ing. José María Castiglioni; Ing. Carlos Pascali, Ing. Obdulio J. F. Ferrari; Prof. Silvio MangaríeHo, Prof. Arturo Cambours Ocampo; Dr. Carlos María Haríspe, Dr. Horis del Prete; Dr. José Fortunato Molfino, Dr. Pedro Guillermo Paternosto; Dr. Pascual R. Cervini, Dr. José F . Morano Brandi;
Dr. Benito Pérez, Dr. Eugenio E. Mordeglia.
Secretario General Interino
Don VICTORIANO F. LUACES
Secretario Administrativo
Don R A FA E L GUILLERM O ROSA
Contador General
Don H O RACIO J. BLAKE
INSTITUTO DEL OBSERVATORIO ASTRONOMICO 7 ESCUELA SUPERIOR DE ASTRONOMIA Y GEOFISICA
DirectorCapitán de Fragata (R.) GUILLERMO O. W ALLBRECH ER
SecretarioAbogado ANDRES GUILLEN
ProsecretarioSeñor RICARDO J. NOW INSKI
Jefes de Departamento y Profesores: Agrim. Angel A. Baldini (Geodesia- Gravimetría y M areas); Dr. Alejandro Corpaciu (Gravimetría-Geodesia Superior); Ing. Simón Gershánik (Geofísica-Sismología); Dr. Livio Gratton (Astrofísica-Astrofísica, I y II Curso); Agrim. Miguel Itzig- sohn (Astrometría-Astrometría, I Curso); Dr. Pascual Sconzo (Cálculos científicos); Dr. Leónidas Slaucitajs (Magnetismo Terrestre y Electricidad Atmosférica); Dr. Sergio Slaucitajs (Astronomía Meridiana); Dr. Alexander Wilkens (Astronomía teórica y Cosmogonía-Mecánica Celeste).
Profesores: Ing. Miguel A. Agabios (Astrometría, II Curso); Agrim. Guillermo H. Borel (Astronomía General); Dr. Reynaldo P. Cesco (Análisis matemático, III Curso); Agrim. Víctor J. Meneclier (Astronomía Esférica).
PERSO NA L CIENTIFICO
Jefes de División y Astrónomos de Primera: Agrim. Guillermo H. Borel (Círculo Meridiano); Dr. Germán Fernández (Astronomía teórica); Dr. Herbert Wilkens (Estadística Estelar); Sr. Jacobo Gordon (Efemérides) ; Sr. Ignacio A. Rivas (Efemérides); Prof. Silvio Manga- riello (Círculo Meridiano).
PERSO NA L DOCENTE Y AUXILIAR
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Jefes de Trabajos Prácticos: Dr. Sergio Slaucitajs (Astronomía Esférica); Dr. Herbert Wilkens (Astrofísica).
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ADM INISTRACION Y PUBLICACIONES
Administrador-habilitado: Sr. Juan José Saggese.
Publicaciones y Canje: Sr. Antonio Guillén.
C A L C U L O N U M E R IC O D E U N A O R B IT A A P A R T IR
D E U N A S O L U C IO N A P R O X IM A D A
Por PASCUAL SCONZO *
A B S T R A C T
According to Wilkens, Stumpff and Váisalá’s ideas, in this paper practical directicns to solve the problem of orbits computation are given, when a starting approximate solution is known, for instance, a circular or elliptic orbit deduced from very short time-intervals. Otherwise to obtain the first approximation, Wilkens’ method in a , 8 co-ordinates is useful, Successive approximations in the case of larger time-intervals can be carried out using the Lagrangian F and G series until 5 th or 6 th order terms and computing simultaneously the position and the velocities components by three hypothesis A 0_w, A0, Ao:w on the geocen- trical distance at the time t = tQ (w is an arbitrary small quantity). But from a given geo- centrical distance the position and only two of the velocities’ components can be univocally derived; for the remaining component two different valúes are available, whose difference we denote with e.
If e_w, s 0, e w are the valúes of e corresponding to the above three hypothesis, the true valué of A0 is determined using an inverse interpolation formula with the condition e = o (see below note (9) and (10 )).
Another way to reach the solution is an itirative process applied to the System of equa- tion (31) on page 19.
In order to explain the meaning of the numerical process two examples are added at the end.
In an appendix» tables facilitating the computation of the F and G serles are also added.
(*) Jefe del Departamento de Cálculos y Efemérides en el Instituto Superior del Observatorio Astronómico y Profesor de Cálculos Científicos en la Escuela Superior de Astronomía y Geofísica.
CALCULO NUMERICO DE UNA ORBITA A PARTIR
DE UNA SOLUCION APROXIMADA
Por PASCUAL SCONZO
1. — Generalidades sobre el problema de la determinación de órbitas.
La determinación de la órbita de un cuerpo del sistema solar constituye en esencia un problema de cálculo numérico. Para resolver este problema, las soluciones hoy conocidas son tantas que parece a primera vista superfluo buscar otras nuevas. En efecto, los métodos conocidos hasta el presente, que reúnen elegancia y rigor y que están vinculados a los nombres célebres de Lagrange, Laplace, Gauss, Encke (1) y a aquellos otros, más próximos a nuestro tiempo, de Harzer, Charlier, Andoyer, Leuschner, Wilkens (2), nada dejan que desear en lo referente a la perfección de los desarrollos matemáticos y a la exactitud de los resultados obtenibles.
Sin embargo en los últimos decenios han sido hechas fructuosas tentativas con la intención de aportar modificaciones a los métodos ya consagrados, y que por otra parte habían soportado satisfactoriamente una larga serie de pruebas, con las cuales modificaciones habrían de conseguirse procedimientos más expeditivos y más apropiados a las necesidades de la práctica y esquemas de fórmulas más adecuados a los modernos medios mecánicos de cálculo. Entre las más notables de tales innovaciones han de contarse, a mi juicio, las de Veithen-Merton (3), de Stumpff (4) y de H erget(5). Sin temor de ser desmentido puedo agregar que el método clásico de Gauss-Encke, adaptado al cálculo mecánico por Veithen-Merton y magistralmente expuesto en el tratado de G. Stracke citado en (3), no ha sido todavía superado seriamente por ninguno de los otros métodos y con frecuencia recurre al mismo el más experimentado calculador.
En el presente trabajo me propongo ilustrar qué provecho se puede obtener de las ideas de Wilkens y de Stumpff con la finalidad anteriormente indicada, de lograr esquemas para un cálculo rápido, refiriéndome particularmente a la segunda fase del cálculo de la órbita de un asteroide, esto es, después que se conoce una solución aproximada. •
Como es sabido, el planteo del problema de la determinación de la órbita de un cuerpo P que se mueve en torno al Sol bajo la ley newtoniana de atracción, se puede formular del modo siguiente: Dadas tres observaciones distintas y completas de P (o sea en las coordenadas a y S ) correspondientes a tres distintos instantes, determinar la trayectoria y la ley del movimiento de P sobre ésta.
11
Todos los métodos siguen, para alcanzar este objetivo, uno u otro de dos caminos fundamentales, los cuales se diferencian entre sí por que en uno (el seguido por los métodos del tipo de Lagrange-Laplace) se determina la posición heliocéntrica P0 y la velocidad vQ de P en un determinado instante t = tQ mientras que en el otro (el seguido por los métodos del tipo de Gauss-Encke) se busca determinar dos posiciones heliocéntricas Pi y P 3 de P correspondientes a dos instantes t = ti y t = t3, respectivamente. En ambos casos se procede siempre por aproximaciones sucesivas.
En el presente trabajo me refiero al primero de los dos caminos indicados y trataré algunos procedimientos calculísticos que pueden resultar de gran conveniencia práctica en aquellos casos en los cuales, como ya he dicho, se conoce “a priori” una solución aproximada cualquiera (Orbita previamente calculada en base a observaciones muy vecinas en el tiempo, órbita circular, conocimiento aproximado de una distancia geocéntrica o heliocéntrica, etc.). Esta circunstancia se presenta muy a menudo, por ejemplo, cuando se desea determinar “ex novo” la órbita de uno de aquellos asteroides, que a pesar de figurar en la lista de los numerados, no fué posible seguirlo ni con la observación ni con el cálculo por un lapso considerable de tiempo, de manera que si hay observaciones recientes éstas no resultarán representadas satisfactoriamente por las posiciones calculadas en las efemérides. En tal caso la nueva determinación de la órbita, que satisfaga exactamente a las observaciones más recientes, se puede efectuar aprovechando como solución aproximada los elementos conocidos. Como en el transcurso del planteo analítico haré uso reiterado de una notable propiedad establecida originariamente por Lagrange, recordaré en un párrafo introductorio las series F y G que intervienen en el desarrollo de las coordenadas heliocéntricas en series según potencias del tiempo; luego indicaré las modificaciones que creo útil se hayan de introducir en el método de Wilkens para que resulte aplicable al caso de las coordenadas heliocéntricas ecuatoriales, y esto para lograr la primera aproximación; finalmente expondré dos distintos procedimientos para el cálculo de las aproximaciones sucesivas. Un párrafo ulterior será dedicado a las aplicaciones numéricas y en el Apéndice se encontrarán las Tablas de las cantidades A, B, C, D que -sirven para -controlar el cálculo de los valores numéricos de las series F y G.
2. — Las series F y G y la fórmula fundament il de Lagrange.
Denotemos con u una cualquiera de las coordenadas heliocéntricas ecuatoriales x, y, z del cuerpo celeste P que se mueve en torno al Sol. Supongamos que la masa m de P sea despreciable respecto a la del Sol, tomada como unidad, y sea k la constante de Gaus igual a: 0,0172021. Introduciendo como variable independiente, en lugar del tiempo t, al así llamado tiempo reducido r, dado por la expresión:
r = k. (t — 10)donde t0 es el origen de los tiempos, las ecuaciones diferenciales de segundo orden del movimiento (no perturbado) de P toman entonces la forma muy simple:
u" = — u .r - 3 r = (x2 + y 2 + z2)^ (1 )Aquí u", como es obvio, representa la derivada segunda de u respecto a la variable t .
Ahora bien, para u se puede escribir el siguiente desarrollo en serie:
(2)
12
y es fácil probar que teniendo en cuenta la (1) y las derivadas sucesivas de la misma, resulta la fórmula fundamental de Lagrange (6):
donde(3)
(4)
y los coeficientes fj y g ¡ son funciones de r0, r'0 y r"0. Si para mayor brevedad se pone:
se encuentra que hasta los términos de sexto orden inclusive es:
(5)
Acerca de la convergencia de las series F y G debemos decir que desde el punto de vista del cálculo numérico, empleando un determinado número de cifras decimales, generalmente seis, se presentan dificultades cuando el intervalo de tiempo (t — 10) se acerca a 58 días, esto es, cuando r se acerca a la unidad. Para intervalos de tiempo que no superen 30 días (casos normales en la determinación de órbitas) y para órbitas no muy excéntricas las aplicaciones numéricas nos han mostrado que, en general, es suficiente la consideración hasta los términos de quinto orden, y excepcionalmente los de sexto orden en r.
Siguiendo a K. Stumpiff en el intento de tabular las series F y G, estimamos conveniente lograr por lo tanto una representación de F h^sta los términos de quinto orden y de G hasta los términos de sexto orden. Es fácil probar que poniendo:
f = lo t2 , g ■ = <r0 * > h — T¡0 r2
13
(7)
y después de cálculos sencillos se tiene:
F — 1 ~|~ $G = r (1 + r)
(8)
con un error en G del orden de i f. g. h. r.La tabulación de las cantidades A, B, C, D, es muy fácil y resulta ventajosa por el hecho
de que aparece siempre el mismo argumento g. Las tablas que nosotros damos en el Apéndice se extienden desde el valor — 0.020 hasta + 0,020 de g, con paso tabular de 0,0 0 1, lo que es suficiente para poder deducir A, B, C, D, en los casos más frecuentes que se presentan en la práctica, mediante una simple interpolación lineal.
3. — Cálculo de la primera aproximación por el método de Wilkens.
En la memoria citada en (2), Wilkens ha desarrollado un método laplaciano para calcular órbitas de cualquier excentricidad. A pesar de la elegancia y de la simplicidad teórica con las cuales el problema ha sido resuelto, así como también del alto grado de precisión con el cual se obtienen los resultados, este método no ha sido empleado frecuentemente en el mundo de los astrónomos calculadores, y hasta el presente se aplicó solo en muy pocos y contados casos. Cabe destacar que en el tratado de Stracke en el cual, entre los otros métodos, también se expone el de Wilkens, éste es el único que no viene acompañado con un ejemplo ilustrativo (7).
Sin embargo, puesto que el mismo merece, a nuestro juicio, ser tomado con mucha consideración, queremos contribuir a su divulgación entre los calculadores de órbitas introduciendo aquellas modificaciones que nos han sido sugeridas por la práctica con la finalidad de adaptarlo a los esquemas del cálculo mecánico.
Los cambios introducidos son los siguientes:1Q) Uso de las coordenadas ecuatoriales a y 5, que son las provistas directamente por los
observadores, en lugar de las transformadas eclipticales A y (3, lo que hace ahorrar el cálculo previo y molesto de transformación y de reducción al llamado “Locus fictus” .
29) Uso de una disposición esquemática muy conveniente para el cálculo de los coeficientes de la ecuación fundamental de octavo grado, reteniendo desde el comienzo un término correctivo que hace aumentar la precisión de la primera aproximación.
14
39) Resolución rápida, por aproximaciones sucesivas, de la ecuación fundamental de octavo grado.
Podemos pasar ahora a establecer el formulario correspondiente. Sean (ai, 81), (a2, 82), («3, S3) las coordenadas observadas de P en los tiempos ti, t2, y t3 respectivamente, y elijamos como origen de los tiempos el instante de la segunda observación o sea tQ = t2.
Pongamos:
li = eos Si eos aimi = eos Si sin ai (i = 1 , 0, 3) (9)ni = sin 8i
y denotemos con Xi, Y b Zi las coordenadas topocéntricas del Sol en el tiempo t t, referidas naturalmente al mismo equinoccio al cual están referidas las coordenadas observadas. Sean además Ai las distancias geocéntricas de P para los mismos instantes; como es conocido se tiene:
li Ai = Xi + X i
mt Ai = y i + Yi (10)
ni A¡ = Zi + Zi
Eliminemos ahora Ai dividiendo por ejemplo la primera y segunda por la tercera; si se pone:
C i=
0k S i -2 2 *n. n‘ (11)A i = X, — C í Z í , B, = Y, — S, Zi
se obtiene:Ci Zi — Xi = Ai Si Zi — y 4 = Bi
( 12)
Este modo de eliminar At es conveniente si las declinaciones observadas no son muy pequeñas (algo así como | 8 | > 6o) ; en caso contrario se puede poner:
3.9 ) Ci = , Si = —r™“ ~ , si las ascensiones rectas observadas'no son próximas a 6h ó 18h.M li
2 9 ) Ci = — , Si = —— , si las ascensiones rectas observadas no son próximas a 0h ó 12h. m¡ nii
Con respecto a los casos 19) y 29), queda a cargo del lector cambiar los símbolos, según sea necesario, en las fórmulas que se desarrollarán a continuación.
Recordando la fórmula (3), las (12) adquieren las siguientes formas:
Ci (Fi z0 + Gi z'0) — (Fi x0 + Gi x '0) = Ai Si (Fi z0 Gi z'0) — (Fi y 0 Gi y '0) = Bi
con:rt‘ = k. (ti — 10)
y para i = 0 se tiene directamente:f i .. . - ‘ * " _ '
x0 = C0 z0 — A 0 y„ = S„ z..— B„
(i = 1,3) (13)
(14)
15
En la primera aproximación se supone que las series Fi y G i se reducen respectivamente a las expresiones siguientes:
F = 1 — f0TSiG = Ti (L = i T 3 o)
Las fórmulas (13) y (14) constituyen entonces un sistema de seis ecuaciones en las seis incógnitas x0, y0, z0, x '0, y '0, z'0. Puesto que x0, y0, z0 figuran en para solucionar el presente sistema es conveniente dejar inalterada la expres ion de £> y eliminar sucesivamente x0, y0, x'0, y '0. Esto se consigue fácilmente si se calculan previamente los siguientes coeficientes:
P = ry (C, — Co)— n (C8 — C0)Q = Ti T3 {r3 (G3 Co) Ti (Cl C0) )R = r3 (A i — A 0) — ti (A 3 — A 0)
S = Ti T3 (ti --- T3) A 0
T = tit3 (Cl — C3)En efecto, después de fáciles reducciones, se llega al sistema:
(P + ÉoQ) Zo + Tz'0 = R + íoS ( p + ¿o q) Z0 + t z'o = r + í o S
P = t3 (S i — S o) — Ti (S3 — So)Q = ti t3 {t3 (Sa So) — Ti (Si — So) }r = t3 (Bi — Bo) — ti (B3 — S o) (15)S = Ti T3 (ti T3) B0t = Ti T3 (Si S3)
(16)
Puesto ahora:
(17)
se obtiene en definitiva:
(18)
y luego por la (14):
(19)
El sistema de ecuaciones (18) y (19) puede solucionarse por medio de la ecuación de octavo grado que se obteine eliminando £0; nosotros preferimos solucionarlo rápidamente por aproximaciones sucesivas a partir de un valor inicial plausible de f0. Si nada se conoce al respecto conviene tomar 0.032 como primer valor aproximado de que es el valor correspondiente a una distancia heliocéntrica r0 = 2,5. Una vez obtenidas las coordenadas x0, y0, z0 se puede pasar al cálculo de z'0 por medio de:
( 20 )
y como comprobación:
(20')
Queda por calcular x '0 e y'.. Calculando previamente!
z( = F, z0 + Gt z'0 (i = 1,3) (21)
y volviendo a las fórmulas (13) se obtiene:
x'„ = - ~ ( C í Zí — F¡ x, — A,)' (i = 1,3) (2 2 )
y'o = (Si z , — F, y „ — Bi)
Por lo general, para i = 1 e i = 3 estos valo res generalmente no coinciden exactamente; tomando los promedios de estos valores podemos considerar por terminado el cálculo en primera aproximación en cuanto hemos llegado al conocimiento aproximado de la posición P0 y de la velocidad V 0 en el instante t = t0. Solo debemos recordar que V 0 es una velocidad ficticia que no ha de confundirse con la verdadera velocidad v0 que se obtiene cuando se toman las derivadas con respecto al tiempo t.
NOTA.
Dado que el sistema de ecuaciones (18) y (19) admite en general más de una solución real puede súrgir la duda de que el proceso de aproximación sucesiva conduzca a una u otra de las soluciones. Se debe examinar entonces cuál es entre las distintas soluciones teóricas, la que corresponde al problema.
Elevando al cuadrado las (18) y (19) y sumándolas se obtiene la ecuación de octavo grado en £ 0 :
Observemos que si se supone Q = q = 0 y en consecuencia d = 0 y se tiene en cuenta que es £ o = i r 3 o la precedente ecuación adquiere la forma:
que ha sido encontrada por Wilkens y que permite establecer el c r i t e r i o de Oppolzer sobre la multiplicidad de las soluciones (8).
Nosotros queremos usar un medio geométrico sencillo para elegir la solución que nos inte-* resa. Con tal fin despejamos £0 de la relación: (18):
(c)
resulta luego:
(d )
mientras que la (a) se puede escribir del modo siguiente:
(e) r20 = cosec2 SG z02 — 2 (A 0 CQ + B0 S0) z„ + A 20 + B 20
17
El problema de la búsqueda de las raíces Comunes a (d) y (e) se puede entonces interpretar Como la determinación de los puntos donde se cortan las dos curvas del tipo:
La primera corresponde a una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son paralelas a los ejes
coordenados y cuyo centro de simetría 0 tiene por coordenadas:
Las ramas de esta hipérbola están ubicadas en el primer y tercer cuadrante o en el segundo y cuarto cuadrante según que resulte: a.d — b .c ^ 0. La segunda representa una curva de sexto orden que posee un eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas trazado por la abscisa: (A C + B S ) n20; además según que sea:
(A0 C0 + B0 So) — cosec2 50 (A 20 + B20) ^ 0
posee respectivamente, una de las tres formas siguientes:
Puesto que £ representa el cubo de una distancia se descartan en seguida los puntos de intersección de (f) y (g) que caen en el semiplano donde las ordenadas son negativas; siendo además £ = R30 la solución trivial que corresponde al caso de la Tierra* la búsqueda de las soluciones que resuelven el problema en el caso asteroidal debe limitarse a los puntos de intersección de ambas curvas ubicados más arriba de la paralela al eje de las z trazada por la ordenada R30. Comúnmente queda un solo punto de intersección que puede tomarse en cuenta; en el caso de una verdadera solución doble se debe esperar una cuarta observación para decidir cuál es de las dos soluciones del problema la qué corresponde a la realidad física*
4. — Cálculo de una órbita de asteroide a partir de una solución aproximada.
Para este cálculo que puede ser interpretado como un cálculo de segunda aproximación, Vamos a indicar dos distintos procedimientos:
18
A) METODO DE LA VARIACION DE LA DISTANCIA GEOCENTRICA A0.
Hemos aplicado este método en los cálculos de órbitas de todos los asteroides no identificados que han sido descubiertos en nuestro Observatorio, aprovechando el valor aproximado de A c
que proviene del cálculo de una órbita preliminar (circular, o elíptica relativa a un arco, muy corto) (9). Nos hemos enterado ahora que también en el Observatorio de Turku (Finlandia) se ha empleado un método parecido por parte de Váisálá y de Oterma (10), que consiste en hacer distintas hipótesis sobre A 0 con valores muy cercanos entre sí. Para cada hipótesis quedan unívocamente determinadas las coordenadas x0, y0, zD y dos de las tres componentes de la velocidad; supongamos que sean éstas x '0 y z'0. La deducción de la restante componente y 'G puede efectuarse luego por medio de dos ecuaciones distintas, y en general se obtienen dos valores no coincidentes, que nosotros indicaremos con: (y'0)i é (y'0)3; formada entonces la diferencia: e = (y'o) 3— (y'o)i, el verdadero valor de Aó que resuelve el problema se determina con procedimiento de interpolación inversa imponiendo la condición e = 0.
Con la notación del párrafo anterior vamos a exponer el formulario que hemos empleado, empezando por establecer las fórmulas que permiten calcular la posición PG y Jas dos derivadas x'o y z'0 a partir de A0.
De las fórmulas (1 0 ) para i = 0 siguen inmediatamente:
XQ lo A0 . Xoy o = mG A0 — Y 0 z0 n0 A0 Z0
y teniendo en cuenta la primera de las (13) se obtiene:
Gi (Ci z'0 — x'o) = Ai — Fi Ai
C 3 (C3 z'0 — x '0) = A 3 — F 3 A 3donde hemos puesto:
Ai = CiZ0 — x0
As = C3 z0 — x0Ponemos además :
(23)
(24)
(25)
resulta:
(26)
(27)
La segunda de las (13) para i = 1 e i = 3 tendría que proveer luego el mismo valor de y'o, pero esto no ocurre en general. Procediendo como se hizo para deducir las (22), en el caso presente se tiene:
19
9
2i = z0 + G i r¿ 'o
z3 = F3 z„ + G3 z'„(28)
(y'o)i = - ¿ - ( S iZ i — Fjyo — Bi)
(y'o) 3 = -¿-(S sZ g — F 3 y„ — b 3)3
(29)
y finalmente se debe formar la diferencia:
e = (y'c.)o — (y'o)i (30)Si A0 es un valor aproximado de la verdadera distancia geocéntrica en el instante t = tQ,
nosotros estimamos conveniente proceder del modo siguiente: Calcular las fórmulas de (23) a (30) simultáneamente para las tres hipótesis A0 — w, A0, A0 + w, donde w es una cantidad pequeña que debe ser elegida de manera que la diferencia cambie de signo en el intervalo (A0 — w; A0) o en el (A0, ^0 + w) y esto con el supuesto de que sea simplemente:
Fi = Gi =
1 ______ h t 2 .
Ti 3 ¿O T“i{r¡ = k (ti — t0) }
Denotemos con e_w, e0f e+w los valores de e correspondientes a las hipótesis antedichas. En función de estos valores, una cualquiera de las fórmulas interpolatorias de segundo orden para intervalos equidistantes permitirá deducir el valor de A0 tal que resulta e = 0.
Suponiendo por ejemplo que el cambio de signo se produzca en el intervalo (A0 — w, A0), aplicando entonces la fórmula interpolatoria de Lagrange se debe resolver la ecuación de segundo grado en n:
i e - w (n2 + n) + £0 (1 — n2) + \ c+w (n2 — n) = 0y si el cambio de signo se produjera en el otro intervalo (A0, A0 + w), la ecuación de segundo grado a solucionar sería:
i c-w (n2 — n) + e0 ( 1 — n2) + i e+w (n2 + n) = 0En ambos casos, llamando con v a la raíz de valor absoluto menor que la unidad, el valor
de la distancia geocéntrica que se busca resulta: A0 — v w ó A 0 + vW,A esta altura del proceso empieza el verdadero cálculo de segunda aproximación que con
siste: en corregir los tiempos de observación por el tiempo-luz, poniendo:
^ = k ( t \ — 1 \ ) t*t = ti — 0d.005770 Ai
con: j ^
3 a , L A - ( z , + z , )Ui
en tomar en cuenta todos los términos de las series F y G que tienen influencia dentro del orden de precisión numérica con que se trabaja, y en repetir el cálculo de las fórmulas (23) a (30) haciendo variar todavía, si es necesario, el valor de la distancia geocéntrica A0 hasta que resulte nuevamente ¿ = 0 .
20
NOTA I.
Haciendo intervenir explícitamente las distmcias geocéntricas Ai es interesante deducir la ecuación que resulta transformando la condición e = 0. Esta ecuación transformada establece el puente entre el presente método y el de Gauss. Se tiene:
(a)
y por las (1 2 ):
-7 ?— (S8 z3 — F 3 y o — B3) —p¡— (Si Zi — Fi y„ — Bi) = 0Ijri
(b) Gi (y3 — F 3 y0) — G-3 (yi — F iy 0) = 0Después de hacer intervenir las (10), con íá:i es reducciones se llega a:
(c) G3 mi Ai — (Fi G3 — F'3 G i) m0 A0 — Gx m3 A3 G3 Y i — (Fx G3 — F 3 Gi) Y o — Gi Y 3Dos relaciones análogas para las coordenadas X y Z se obtendrían si, en cambio de razonar
sobre la componente y'0, se hubiera partido de x '0 ó z'0.Ahora bien, observando que las relaciones v 1 y v3, entre las áreas de los triángulos SPiP0,
SP0P3, y el área del triángulo SPiP3, se pueden expresar por medio de las fórmulas:
(Cl) v i =G 3
F i G3 — F , GiV3 = — Gi
F i G 3 — F 3 G i
se concluye que la última ecuación (c), y sus correspondientes en las otras coordenadas, equivalen idénticamente a las ecuaciones fundamentales de partida del método clásico de Gauss.
B) METODO DE APROXIMACION POR ITERACION.
Sean P0 (x0, y0, z0) y V 0 (xQ', y"'0, z'0), respectivamente, la posición y la velocidad aproximada de P. Calculadas por primera vez las series F¡ y G¡ con todos los términos que sean necesarios y con los tiempos corregidos, este méto do de aproximaciones sucesivas consiste en calcular repetidamente el sistema de ecuaciones (13) y (14), que aquí vamos a escribir detalladamente después de haber reemplazado en la (13) los valores x0 e yQ dados por la (14):
Fi (Ci — C0) z0.+ Gi Ci z'0 — Gi x '0 = Ai — Fi A 0F 3 (C3 — C0) z0 "T G3 C3 z'0 — G3 x 'o = A 3 — F s A 0 ('311F, (Sx — So) z0 + G i ^ z'0 — Gi y'o = B, — F, B0 ( }F 3 (Ss — S0) Z0 --b G3 S3 z ' 0 — G3 y '0 = B3 — F 3 Ba
y en volver a calcular las series Fi y Gi. El proceso calculísíico de iteración termina cuando los valores numéricos de F* y Gi ya no experimentan ningún cambio más.
Este método resulta muy ventajoso en los casos de arcos no muy grandes y para la determinación de órbitas de asteroides descubiertos durante oposiciones perihélicas. En estas circunstancias particulares el producto ro.r' 0 se ap oxima a cero y por lo tanto resultan despreciables los coeficientes de los términos de tercer y cuarto orden de las series F t y Gt, respectivamente.
La extensión de este método al caso en que se disponga de un número mayor de tres observaciones será tratado por mí en otra oportunidad. Cabe destacar además que si los intervalos de tiempo fueran tan grandes como para comprometer la convergencia de las series Fi y Gi, se podrín aprovechar las siguientes expresiones cerradas debidas a K ühnert(11):
21
(32)
donde:
NOTA II.
Los métodos A) y B), como es obvio, se pueden emplear también en los casos de determinación “ex novo” de órbitas fundadas en observaciones recientes, cuando los elementos cono
cidos (M0, para la época t « t0, <p, /x, w, Q, i) no permiten reproducir satisfactoriamente las mismas observaciones.
Para la posición y velocidad aproximadas se pueden tomar los valores que provienen de los siguientes grupos de fórmulas:
5. — Determinación de los elementos orbitales elípticos.
Sean ahora x0, y0, z0; x'0, y '0, z'o los seis datos definitivos para el instante t = t0. El problema de la determinación de los elementos orbitales no presenta ninguna dificultad más. He dado siempre la preferencia en las aplicaciones prácticas a los siguientes grupos $e formulas (12);
22
(sin e , eos e , sec e, para el valor de e referido al mismo equinocio de las observaciones.)
sin i sin o) = Pz eos c — Py sin e
sin i eos ü> = Q, eos e — Qy sin e
sin í2 = (Py eos (o — Qy sin <o) sec e
eos ü = Px eos w — Qx sin
P r u e b a s
(x0 + x '0) 2 + ( y o + y'o) 2 + (z0 + z 'o )2 = r20 + V 20 + 2 r0 r '0 p = acos2 <p = r20 V 20 — (r0 r'0) 2
Px sin o) + Qx eos ü> = — eos i sin o
P2X + P2y + P2Z = 1
Q2x + Q2y + Q2z = 1 Px Qx + Py Qy Pz Qz = 0
6. — Aplicaciones numéricas.
Los ejemplos numéricos que se darán a continuación se refieren a las órbitas de dos asteroides, y sirven para ilustrar los dos métodos A) y B) expuestos en el § 4. Además, el primer ejemplo enseña la aplicación del método de Wilkens con el esquema de cálculo del § 3.I) Orbita del asteroide (931) Whiííemora.
Es éste el mismo ejemplo que en la referida obra de Stracke (13), se encuentra calculado con el método de Veithen-Merton, que como se sabe es el de Gauss-Encke adaptado al cálculo mecánico. Tomamos entonces de dicha fuente los datos observacionales y las coordenadas topocén- tricas del Sol, que resumimos en el cuadro siguiente:
23
1 0 31920 t, \ Marzo 20.37065 Abril 6.39902 Abril 22.34421
20.37065 37.39902 53.34421
«i 169°.96329 167°.36058 + 166°.03171a. + 18.79156 + 19.61153 + 19.60042i, — 0.932209 — 0.919162 — — 0.914198
m, + 0.164989 + 0.206121 + 0.227398ni + 0.322126 + 0.335641 + 0.335459X, + 0.996424 + 0.958665 + 0.849396Y, — 0.000764 + 0.265070 + 0.494107z, — 0.000345 + 0.114958 + 0.214S05
Luego agregamos el cálculo de los fórmulas (11), (15) y (17):
otj tQ — 17.02837 + 15.94519
Ti — 0.292924 + 0.274291t2i + 0.085804 + 0.075236t3i — 0.025134 + 0.020637c, — 2.893924 — 2.738527 — 2.725219s, + 0.512189 + 0.614111 + 0.677871A, + 0.995426 + 1.273481 + 1.433424B, — 0.000587 + 0.194473 + 0.348836
Fórmulas de comprobación: Zi (Ci + Si) + A t + Bi — (Xi + Yi)
Ti t3 — 0.080346 S '- T 5 3 $ — 0.567215 ,
= 0; 1 + C2, + S2, = ¿ -n2i
Ti t3 (ti — t3 ) 0.045573
P _ 0.0387258 Q) +0.0033G4o E — 0.0294168 S +0.058036s T +0.0135548 a — 0.0002793 b +0.0006524
p — 0.0092795 q + 0.0009936 r — 0.0082866 s + 0.0088627 t + 0.0133Ü9 c — 0.0003897 d +0.0000313
Empezamos ahora el cálculo de la: Primera Aproximación. Por la (18) resulta:
[a] — 2.793 + 6.524— 3.897 + 0.313 ¿o
y teniendo en cuenta las fórmulas (14) podemos escribir:
x0 = — 2.738527 z0 — 1.273481 Cb] y„ « + 0.614111 20 — 0.194473
'La resolución del sistema de ecuaciones [a] y [b], con la condición de que sea í . “ i (x2o + y2. + z2.)-»/2 provee por aproximaciones sucesivas.
e0 = +0.6932
y por Consiguiente resulta!
24
x0 = — 3.171828 yc = + 0.231229 r20 = 10.594486
= 0.014500fio = 0.004833
En nuestro caso numérico las soluciones reales del sistema de ecuaciones [a] y [b], según las consideraciones desarrolladas en la Nota del § 3, se obtienen como puntos de intersección de las dos curvas:
„ 0.156* z — 3.262f “ 3.897 z — 2.793 (f = r3)
£2/3 = 8.876659 z2 + 6.736068 z + 1.659574Dibujando solamente las ramas de las curvas situadas en el semiplano de las ordenadas po
sitivas como en la figura siguiente:
se ve que se tienen tres puntos de intersección Qi, Q2, Q3. El punto Q2 de abscisa z = 0.11 corresponde a la Tierra;-el punto Qi, entonces, no corresponde a una solución asteroidal; queda en consideración solamente el punto Q3 cuya abscisa aproximada es z = +0.69.
Las fórmulas (20) y (20’) dan:
z'0 — 0.130168 , z'0 — 0.130372Los valores aproximados de F y G hasta los
son:Fi + 0.998756 Gi — 0.292803
y en consecuencia, por la (2 1 ):
zi + 0.730481 Las (22) proveen finalmente:
X'0 — 0.199793 , x '0 — 0.199773y'G — 0.491081 , y '0 — 0.491037
; valor promedio: z'0 — 0.130270 términos de 29 y 3Q orden respectivamente,
f 3 + 0.998909G3 + 0.274191
z3 + 0.656725
f valor promedio: x 'Q— 0.199783» » y'o — 0.491059
25
SEGUNDA APROXIMACION.
Estamos ahora en condiciones de corregir los tiempos de observación y de calcular los valores de las series F y G con todos los términos que sean necesarios para alcanzar la precisión de una unidad de la sexta cifra decimal.
Se tiene:
1 0 3Z| + Z| + 0.730481 + 0.808158 + 0.871030
= — (Zi + Z t)Ht 2.2666 2.4078 2.5965
— 0".005770 A, — 0.01308 — 0.01389 — 0.01489t \ + 20.35757 37.38513 53.32923
t* ,— t*. — 17.02756 + 15.94410Tt — 0.292910 + 0.274272
r2i + 0.085796 + 0.075225r\ — 0.025131 + 0.020632+ + 0.007361 + 0.005659Tr’i — 0.002156 + 0.001552A + 0.000632 + 0.000426
x0 x '0 + y0 y '0 + z0 z'„ + 0.429827 y 2 | 0 + 3 7Jo — 12 <t20 + 0.001702+ 0.040571 y 2 |o + 3 7;0— 4 (t20 + 0.014870
V o + 0.298022 , 2 lo + 9 Y]o _ 36 ct20 — 0.052892Vo — 0.002515 y 2 lo + 6 ?7o— 8a20 + 0.000741
l . — 0.014500 tf 3 + 0.000588 , g 3 — 0.004833f, + 0.000002 , g4 + 0.000294f.-, — 0.000002 , g.-, — 0.000013
. , , So 0F, = 1 — 0.014500 t-, + 0.000588 r3i + 0.000002 r4, — 10.000002 t5íGi = Ti -0.004833 + + 0.000294 r4¡ — 0.000013 r5, (i
[c] Fi + 0.998741 , F3 +0.998921Gi — 0.292786 , G s +0.274174
Podemos plantear ahora el sistema de ecuaciones (31) :— 0.155201 z0 + 0.847300 z'0 + 0.292786 x 'G = — 0.276452+ 0.013294 z0 — 0.747184 z ' 0 — 0.274174 x '0 = + 0.161317— 0.101794 z0 — 0.149962 z'0 0.292786 y 'G = — 0.194815+ 0.063691 z0 + 0.185855 z'o — 0,274174 y '0 = + 0.154573
(i = 1,3)
cuya solución provee:
zQ + 0.693120x '0 — 0.198860 y '0 — 0.491294 z'0 — 0.130598
(V20 + 0.297971)
Además, por las [b] se tiene:x0 — 3.171609 y o +0.231180
(r20 10.592963) (|o 0.014503)
La repetición del cálculo de las fórmulas (5) y (6 ) nos dice que varían solamente los coeficientes :
f 2 — 0.014503 , g 3 — 0.004834f 3 +0.000584 , g4 +0.000292
quedando irivariados todos los demás.
26
Si se tiene en cuenta que los nuevos valores:
F x +0.998741 , F3 +0.998921Gx — 0.292786 , G3 +0.274174
son valores coincidentes con los [c] precedentes, podemos considerar concluido también el cálculo de la segunda aproximación y pasar al cálculo de los elementos orbitales. Se puede comprobar inmediatamente que el grado de precisión alcanzado es igual al provisto por el método de Gauss. En efecto, los valores de las relaciones de las áreas vi y v3, dadas por las fórmulas (d) de la Nota I del § 4, resultan:
G3Fx G3 — F 3 Gx
0.484151 — GxFx G3 — F 3 Gx
que coinciden con los calculados por Stracke en el ejemplo citado en (13)
0 . 5 1 7 0 1 7
Cálculo de los elementos orbitales.
Aplicando el formulario del § 5 se tiene:
r01aaa1/2a3/2
3.254683
0,316528
3.1592781.7774365.615414
0°.175518x(631".865)
r0 r'0
e sin E
e eos E cotg E Esin E eos E
+ 0.426609
+ 0.240014
— 0.0301989— 0.1258214
97°.17135+ 0.992177— 0.124837
COS <p
acos <p
0.970300
3.065447
r0 eos <p 3.158019(1) — 0.038356(2) — 1.763531
(3) +0.314177(4) — 0.671815
Constantes gaussianase 0 .2 4 1 9 0 6 4 P x + 0 .4 7 2 3 4 6 , Q x — 0 .8 6 2 8 5 0
(<p 1 3 o.9 9 9 0 8) , P y + 0 .8 5 7 5 4 5 , Q y + 0 . 4 0 2 6 9 0= t 0) M 0 8 3 ° .4 1 9 5 6 P z + 0 .2 0 3 7 2 8 , Q z + 0 . 3 0 5 5 0 0
- s i n e 0 .3 9 7 9 4 4
1 9 2 0 « COS e 0 . 9 1 7 4 1 0
s e c e 1 .0 9 0 0 2 5
s i n i s i n ü> — 0 .1 5 4 3 5 3 y s i n Q + 0 .9 2 0 3 0 0i COS o) + 0 .1 2 0 0 2 1 y e o s Q — 0 . 3 9 1 2 1 4c o t g o — 0 . 7 7 7 5 7 4 8 y c o t g f i — 0 .4 2 5 0 9 4 0
ü> 3 0 7 o. 8 6 7 7 4 . y f í 1 1 3 ° .0 3 0 0 5s i n a) — 0 .7 8 9 4 3 0COS tú -|- 0 .6 1 3 8 4 1s i n i + 0 . 1 9 5 5 2 4 6
i 1 1 ° . 2 7 5 3 7
Finalmente, calculando mediante los elementos orbitales arriba deducidos, las posiciones teóricas para los tres instantes tx, t2, t3 y para el instante t4 = 1920 Abr. 14.31797 de una cuarta observación no empleada en el cálculo de la determinación de la órbita:
166°.54783 , 84 + 19°.69497(Coordenadas topocéntricas del Sol: X = +0.912908; Y = +0.382348; Z = +0.165837),
se obtienen, en el sentido observación-cálculo, los residuos siguientes:
i 0 3 4COS 8 A a — 0".l 0".0 — 0".2 — 0".8
A 8 + 0.1 0.0 0.0 + 0.1que deben considerarse muy satisfactorios.
27
(para t
Nos queda por observar un hecho muy importante: si se comparan los elementos orbitales obtenidos por nosotros con los correspondientes calculados por Stracke se constatan entre ellos leves discrepancias, la más grande de las cuales alcanza en valor absoluto a casi 0°.02 en el elemento <p. Esto prueba, como ha sido notado también en casos parecidos por otros autores (14), que dentro de una prefijada precisión numérica (representación de las coordenadas observadas con residuos del orden de 1") queda un cierto margen de variabilidad en los elementos orbitales sin que con esto el cálculo teórico deje de reproducir satisfactoriamente las coordenadas mismas.II) Orbita del asteroide 1948 PA.
Este asteroide fué descubierto en nuestro Observatorio en la fecha del 3 de Agosto de 1948 (15). Fueron realizadas las cuatro observaciones siguientes:
1948 T. U.
Agosto 3.26238 Sept. 5.18310Oct. 4.09609
„ 28.07754
Equinocc’o22h 22m 14s.67 21 59 04,24
47 06.7652 07.71
S1950.0— 23° 47' 41".2 — 27 30 42 .1 — 28 02 51 .7 — 26 87 25 .7
Elijamos las tres primeras observaciones como fundamentales para nuestro cálculo y empleamos el método A) del § 4.
Los datos iniciales están consignados en el cuadre siguiente:
i 1 0 3
ti 3.26238 36.18310 65.09609— 1„ — 32.92072 + 28.91299
Ti — 0.566306 + 0.497364T2, + 0.320702 + 0.247371t3í — 0.181615 + 0.123033
«i 335°.56113 329°.76767 326°.77817Si — 23.79478 — 27.51169 — 28.04739
li + 0.766288m, — 0.446569«i — 0.461930
X. — 0.663420 — 0.961613 — 0.982470Y. + 0.704363 + 0.277629 — 0.171751z. + 0.305499 + 0.120428 — 0.Ó74467
c, — 2.064670 — 1.658884 — 1.570178s, + 0.938265 4- 0.966747 + 1.028351
A, — 0.032665 + 0.761837 — 1.099396C i - C 3- 0.494492
Aproximación
Supongamos no conocer nada acerca de la órbita que tenemos que determinar. Un cálculo previo, que aquí vamos a omitir, efectuado con cuatro cifras decimales y suponiendo simplemente Fi ° 1 y Gj = tí, nos indica que la diferencia e — fórmula (30)— cambia de signo cuando
28
se pasa del valor 1,5 al valor 2,0 de la distancia geocéntrica A0. La representación gráfica de e, admitiendo que varíe linealmente entre estos límites, nos provee el valor aproximado A0 = 1.85 para que resulte e = 0.
Nuestras hipótesis iniciales serán entonces A0 = 1.80 y A 0= 1.90, y luego, una vez comprobado el efectivo cambio de signo de e mediante el cálculo hasta 6 decimales de las fórmulas (23) a (30), agregaremos la tercera hipótesis complementaria A0 = 1.85. Nos limitamos a dar los resultados:
Hipótesis A0 — w 1.80 , A0 1.85 , A0 + w 1.9010*. e +3322 , e0 — 266 , £+w — 3888 (w = 0,05)
La aplicación de la fórmula interpolatoria de Lagrange para tres puntos, nos lleva a la siguiente ecuación de 2? grado en n:
1661 (n2 + n) — 266 (1 — n2) — 1944 (n2 — n) = 0
cuya solución en valor absoluto menor que la unidad es:
v = 0.07383
Resulta luego que A0 = 1,85 — v.w = 1.846308 es el valor de la distancia geocéntrica para el cual se tiene £ = 0, como se puede comprobar. En efecto, el cálculo provee:
(A0 1.846308)
xQ + 2 .376418 , rx '0 + 0 .289965y 0 — 1 .102134 , <J c y 'b + 0 .542384 £ + 0 .000003z0 — 0.973294 , -z'o + 0 .143795
(Ai 1 .8388 , A3 2 .0647)
2 Aproximación
Cdirecciones de l 0 3los tiempos de
observación — 1061 — 1065 1191t*i 3.25177 36.17245 65.08418
t*i— t*o — 32.92068 + 28.91173Ti — 0.566305 + 0.497342O
T" i + 0.320701 + 0.247349t 3 i — 0.181615 + 0.123017r \ + 0.102349 i-i- 0.031182T°L — 0.058244 + 0.030428T *l + 0.032984 + 0.015133
Procediendo como en el ejemplo precedente, se tiene:
F . = 1 — 0.022911 t2í — 0.00014? A +0.000116 A + 0.000002 AQ . = n — 0.007637 r3i — 0.000071 A + 0.000035 t5í + 0.0000A A
y repitiendo el cálculo con el valor de A0 de la última hipótesis se obtiene £ = + 0.000033. Es pecesario entonces aportar todavía una pequeña corrección a A¿. Con la corrección empírica de
+ 2 unidades del cuarto orden decimal se obtiene e = + 0.000018. Aplicando ahora la “ regula falsi” entre las dos últimas hipótesis se tiene finalmente A 0 = 1.846748. Con este valor definitivo de la distancia geocéntrica damos a continuación los cálculos en detall, i de las fórmulas (23) a (30) :
AoX0yGz0
^ 2 = ---- lo8 3 = ---- i lo
1.846748 + 2.376754— 1.102329— 0.973496— 0.022901— 0.007634
(Los demás coeficientes de las series Fi y Gi quedan inalterados)
1 3F i + 0.992693 - f 0.994326Gi — 0.564928 + 0.496400
Ai Ci Z0 — x0 0.366805 — 0.848192
G¿ a i— A¡ — F¡ A¡a i
+ 0.331460 — 0.586730
0.2560170.515747
f l C 3 ? y C i aj — a3
X '0Yo
Zi = Fi z0 + Gi z'o Gi y'0 = Si Zi — Fi y0 — Yi
(y'o) i
— 0.143578— 0.070982 + 0.290358 + 0.143545
— 1.047475 — 0.896717— 0.306259 + 0.269108— 0.542120 + 0.542119
— 0.000001
La deducción de los elementos orbitales no presenta ninguna dificultad más. Damos los resultados del cálculo y los residuos para todas las observaciones disponibles.
Epoca t0 = 1948 Sept. 5.17245 T. U.
M„ 348° .4689 o 244°.4763 1 Eclípticales<p 6.7586 O 260.3802 fi i 632".5S7 a 3.156875
i 12.2931 J Equinoccio 1950.0
1 0 3 4eos 8 A a + 0".3 + 0".4 + 0".4 — 0".6
A 8 0.0 0.0 0.0 — 1 .8
Estos últimos residuos han de considerarse también muy satisfactorios, como en el caso precedente, tanto más cuando se piensa que durante el lapso de 86 días el asteroide ha recorrido un arco de cerca de 15° de su órbita.
30
N O T A S B I B L I O G R A F I C A S
(1) Para una buena bibliografía sobre este tema consúltese R. Radau, Bibliographie relatjve au calcul des or- bites, Bulletin Astronomique, T. X V I, 427 (1899), que contiene los datos de las principales publicaciones aparecidas desde la época de Newton hasta el año 1899.
(2) P ara las obras aparecidas posteriormente al año 1899 y hasta el año 1929, consúltese el Apéndice C del tratado de G. Stracke, Bahnfcestimmung etc. Berlin 1929. En particular, para la memoria de Wilkens ver: A . N. 210, 81, (1919).
(3) Ver G. Stracke, obra citada, pág. 75 y siguientes.(4) A . N. 243, 317 (1931) y 244, 433 (1932).
(5) A. J. X LIV , 153 (1935).
(6) Véase en Oppolzer, Lehrbuch zur Bahnbestimmung, T. I, 95 (1882) y en Lagrange, Oeuvres, IV, 500.
(7) Son de nuestro conocimiento los ejemplos calculados en la memoria de W hkens, citada en (2); de Stum pff citado e:i (4). y de J. Siroky, Contributioñs from the Astronomical Institute; Vol. I, "n9 3, Brno (1947).
(8) T. Oppolzer, tomo citado, pág. 364.
(9) Hemos expuesto este método en la sesión de Coloquios astronómicos organizados en nuestro Observatorio, el día 4 de Marzo de 1950.
(10) Por medio de la publicación que hemos recibido, intitulada: Formulae and directions for computing the or- bits of minor Planets and Comets. Turku (1951).
(11) A. N. 95, 145 (1879).
(12) Ver Planetary Co-ordinates for the years 1940-1960. Table XIV, collected formulae, pág. 149.
(13) Ver pág. 90 y siguientes.
(14) Por ejemplo por H. Andoyer, Cours de Mécanique Céleste, T. I, pág. 164 (1923).
(15) V er MPC. 175.
31
A P E N D I C E
& AB
— 0.020 — 1.02041104
+ 0.17637
19 01937104
17617
18 01833104
17567
17 01729103
17517
16 01626103
17467
15 01523103
17417
14 01420103
17367
13 01317102
17317
12 01215103
17267
11 01112102
17217
— 0.010 — 1.01010102
+ 0.17167
9 00908101
17117
8 00807102
17067
7 00705101
17017
6 00604101
16967
5 00503101
16917
4 00402101
16867
3 00301101
16817
2 00200100
16767
1 00100100
16717
o .ooo - 1.00000100
4 0.16667
1 99900100
16617
2 9980099
16367
3 9970199
16517
4 9960299
16467
5 9950399
16417
6 9940499
16367
7 9930599
16317
8 9920698
16267
9 9910398
16217
+ 0.010 • -0 .9 9 0 1 0 + 0.16167
C D
-0 .3 4 3 5 8 f 0.0366750
3430553
0365017
5034253
5203633
17
5034201
5203617
16
5034149
5203600
17
5034097
5203583
17
5034045
5203567
16
5033994
5103550
17
5033942
5203533
17
5033891
5103517
16
50— 0.33839
52+ 0.03500
17
5033788
5103483
17
5033737
5103467
16
5033686
5103450
17
5033636
5003433
17
5033585
5103417
16
5033534
5103400
17
5033484
5003383
17
5033434
5003367
16
5033383
5103350
17
50- 0.33333
504- 0.03338
17
5033283
5003317
16
5033234
4903300
17
5033184
5003283
17
5033134
5003267
16
5033085
4903250
17
5033036
4903233
17
5032986
5003217
16
5032937
4903200
17
5032888
4903183
17
50— 0.32839
49+ 0.03167
13
104 103 102
1 10.4 10.3 10.22 20.8 20.6 20.43 31.2 30.9 30.64 41.6 41.2 40.85 52.0 51.5 51.06 62.4 61.8 61.27 72.8 72.1 71.48 83.2 82.4 81.69 93.6 92.7 91.8
_ _ | 101i»
100 99
1 10.1 ; 10.0 , $ 32 20.2 M jQ 19.8
3 , ,g0J3 ; 30.0 2*9.74 40.4 \ 40.0 39.65 50.5 50.0 49.56 60.6 60.0 59.47 70.7 r 70.0 69.38 80.8 : 80.0 79.29 90.9 90.0 89.1
98 53 52
1 9.8 5.3 5.22 19.6 10.6 10.43 29.4 15.9 15.64 39.2 21.2 20.85 49.0 26.5 26.06 58.8 31.8 31.27 68.6 37.1 36.48 .78.4 42.4 41.69 88.2 47.7 46.8
51 ¡ 50 49
1 5.1 5.0 4.92 10.2 10.0 9.33 15.3 15.0 14.74 20.4 20.0 19.65 25.5 25.0 24.56 30.6 30.0 29.47 35.7 3 5 .0 34.38 40.8 40.0 39.29 45.9 45.0 44.1
17 16
1 1.7 1.62 3.4 3.23 5.1 4.84 6.8 6.45 8.5 8.06 10.2 9.67 11.9 11.28 13.6 12.89 15.3 14.4
g A B c D
+ 0.010 — 0.99010 + 0.16167 — 0.32839 + 0.0316798 50 48 17
11 98912 16117 32791 0315098 50 49 17
12 98814 16067 32742 0313397 50 49 16
13 98717 16017 32693 0311798 50 48 17
14 98619 15967 32645 0310097 50 48 17
15 98522 15917 32597 0308397 50 49 16
16 98425 15867 32548 0306797 50 48 17
17 98328 15817 32500 0305096 50 48 17
18 98232 15767 32452 03033'97 50 47 16
19 9SOS5 15717 32405 0301796 50 48 17
+ 0.020 — 0.98039 + 0.15667 — 0.32357 + 0.03000
98 97 96
1 9.8 9.72 19.6 19.43 29.4 29.14 39.2 38.85 49.0 48.56 58.8 58.27 68.6 67.98 78.4 77.69 88.2 87.3
9.619.2 28.838.4 48.0 57.667.2 76.886.4
l 50 49 48
1 5.0 4.9 4.82 10.0 9.8 9.63 15.0 14.7 14.44 20.0 19.6 19.25 25.0 24.5 24.06 30.0 29.4 28.87 35.0 34.3 33.68 40.0 39.2 38.49 45.0 44.1 43.2
47 17 1 16
1 4.7 1.7 1.62 9.4 3.4 3.23 14.1 5.1 4.84 18.8 6.8 6.45 23.5 8.5 8.06 28.2 10.2' 9.67 32.9 11.9 11.28 37.6 13.6 12.89 42.3 15.3 14.4
U S O D E L A T A B L A
A continuación, damos un ejemplo de aplicación de la Tabla: Sea controlar los valores de Fi y Gi dados en la página 15.
Se tiene:
= 0.014503 ;f = 0.001244 ;
<j 0 = 0.040273g = — 0.011796 A = — 1.01194 B = + 0.17257 C = — 0.33932 D = + 0.03530 Fi = + 0.998741 Gi = — 0.292786
; t/o = 0.002498; h = — 0.000214
Como se puede comprobar directamente, los valores coinciden hasta la cimal,
última unidad de-
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