Coseno

Coseno

Gráfica de Coseno

Definición cos x

Dominio

Imagen [-1,1]

Cálculo infinitesimal

Derivada -sen x

Función primitiva sen x

Función inversa acos x

[editar datos en Wikidata]

Triángulo rectángulo en un sistema decoordenadas cartesianas.

En trigonometría, el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el catetoadyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:

En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una función del ángulo

Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, lacircunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.

Índice

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1Cálculo por serie de potencias

2Representación gráfica en la recta

3Relaciones trigonométricas

o 3.1Relación entre el seno y el coseno

o 3.2Coseno de la suma de dos ángulos

o 3.3Coseno del ángulo doble

o 3.4Coseno del ángulo mitad

o 3.5Suma de funciones como producto

o 3.6Producto de funciones como suma

4Derivada del coseno

5Generalizaciones del coseno

6Véase también

7Enlaces externos

Cálculo por serie de potencias[editar]

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, . Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es:

que en sumatorio seria:

La serie de potencias anterior proporciona a su vez la extensión de la función coseno al plano complejo del siguiente modo:

Donde i es la unidad imaginaria.

Representación gráfica en la recta[editar]

Relaciones trigonométricas[editar]

El coseno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

[Expandir]

Relación entre el seno y el coseno[editar]

La curva del coseno es la curva del seno desplazada a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

Coseno de la suma de dos ángulos[editar]

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Coseno del ángulo doble[editar]

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Coseno del ángulo mitad[editar]

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Suma de funciones como producto[editar]

[Expandir]

Producto de funciones como suma[editar]

Trigonometría

Representación gráfica de un triángulo rectángulo en un sistema de coordenadas cartesianas.

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es

'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ trigōnos 'triángulo' y

μετρον metron 'medida'.1

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones

trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante ycosecante. Interviene directa o

indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos

donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de

la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por

ejemplo, son usadas en astronomíapara medir distancias a estrellas próximas, en la medición

de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas global de navegación por satélites.

El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este

manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final

delastronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonométricas de esos

ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.

Índice

[ocultar]

1Historia

2Unidades angulares

3Las funciones trigonométricas

o 3.1Razones trigonométricas

3.1.1Representación gráfica

o 3.2Razones trigonométricas inversas

3.2.1Representación gráfica

o 3.3Otras funciones trigonométricas

o 3.4Funciones trigonométricas recíprocas

3.4.1Representación gráfica

o 3.5Funciones trigonométricas inversas recíprocas

3.5.1Representación gráfica

4Equivalencia entre las funciones trigonométricas

5Valor de las funciones trigonométricas

6Sentido de las funciones trigonométricas

o 6.1Primer cuadrante

o 6.2Segundo cuadrante

o 6.3Tercer cuadrante

o 6.4Cuarto cuadrante

7Cálculo de algunos casos

o 7.1Para 90-α

o 7.2Para 90+α

o 7.3Para 180-α

o 7.4Para 180+α

o 7.5Para 270-α

o 7.6Para 270+α

o 7.7Para -α

8Identidades trigonométricas

o 8.1Recíprocas

o 8.2De división

o 8.3Por el teorema de Pitágoras

9Seno y coseno, funciones complejas

10Véase también

11Referencias

o 11.1Bibliografía

o 11.2Enlaces externos

Historia[editar]

Artículo principal: Historia de la trigonometría

Tablilla babilonia Plimpton 322.

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los

lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas carecían de la noción de

una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida,

un campo que se podría llamar trilaterometría.

Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las

estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere

la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de la

interpretación de una tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), algunos incluso han

afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un

gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones

de ecuaciones de segundo grado, o una tabla trigonométrica.

Papiro de Ahmes

Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la

trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, escrito por el

escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 a. C.), contiene el siguiente problema relacionado con la

trigonometría:

Si una pirámide es de 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de

largo, ¿cuál es su Seked?

La solución al problema es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y

su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked es

la cotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su respectiva cara.

Unidades angulares[editar]

En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades, si

bien la más utilizada en la vida cotidiana es elgrado sexagesimal, en matemáticas es

el radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el grado

centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en

topografía, arquitectura o en construcción.

Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay

2π radianes (algo más de 6,28).

Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.

Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados

centesimales.

Mil angular: unidad angular que divide la circunferencia en 6400 unidades.

Transportador en radianes Transportador en grados sexagesimales

Transportador en grados centesimales Transportador en mil angular

Las funciones trigonométricas[editar]

Artículo principal: Función trigonométrica

La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la

relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Con

este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin

original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con

aplicaciones en los campos más diversos.

Razones trigonométricas[editar]

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir

las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado

en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre

el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la

hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto

sobre el cateto adyacente,

Representación gráfica[editar]

Representación de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano (x,y), los

valores en el eje x expresados en radianes.

Razones trigonométricas inversas[editar]

Artículo principal: Inverso multiplicativo

Triángulo ABC proporcional con un ángulo inscrito en una circunferencia de centro A y

radio 1

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno,

o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno,

o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

La Cotangente: (abreviado como cot o cta o ctg) es la

razón inversa de la tangente, o también su inverso

multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

Normalmente se emplean las relaciones

trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo

que haya un interés específico en hablar de ellos o

las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho,

los términos cosecante, secante y cotangente no

suelen utilizarse

Representación gráfica[editar]

Representación de las funciones trigonométricas inversas

en el plano cartesiano (x,y), los valores en el eje x

expresados en radianes.

Otras funciones trigonométricas[editar]

Además de las funciones anteriores, existen otras

funciones trigonométricas. Matemáticamente se

pueden definir empleando las ya vistas. Su uso no es

muy corriente, pero sí se emplean, dado su sentido

geométrico. Veamos:

El seno cardinal o función sinc (x) definida:

El verseno, es la distancia que hay entre la

cuerda y el arco en una circunferencia, también

se denomina sagita o flecha, se define:

El semiverseno, se utiliza en navegación al

intervenir en el cálculo esférico:

El coverseno,

El semicoverseno

La exsecante:

Funciones trigonométricas recíprocas[editar]

Artículo principal: Función

recíproca

En trigonometría, cuando el

ángulo se expresa

en radianes (dado que un

radián es

el arco de circunferencia de

longitud igual al radio), suele

denominarse arco a

cualquier cantidad

expresada en radianes; por

eso las funciones recíproca

se denominan con el prefijo

arco, cada razón

trigonométrica posee su

propia función recíproca:

y es igual al seno de x, la

función recíproca:

x es el arco cuyo seno

vale y, o también x es

el arcoseno de y.

si:

y es igual

al coseno de x, la

función recíproca:

x es

el arco cuyo

coseno vale y,

que se

dice: x es

el arcocoseno d

e y.

si:

y es igual

al tangente

de x, la

función

recíproca:

x es

el arco

cuya

tangent

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vale y,

o x es

igual

al arcot

angente

de y.

NOTA:

Es

común,

que las

funcion

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recíproc

as sean

escritas

de esta

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