Clculo de los puntos de inflexinPara hallar lospuntos de inflexin, seguiremos los siguientes pasos:1Hallamos la derivada segunda y calculamos sus races.2Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:f'''(x) 0Tenemos un punto de inflexin.3Calculamos la imagen (en la funcin) del punto de inflexin.Ejemplos1.Hallar los puntos de inflexin de:f(x) = x3 3x + 2f''(x) = 6x6x = 0x = 0.f'''(x) = 6Ser un punto de inflexin.f(0) = (0)3 3(0) + 2 = 2Punto de inflexin: (0, 2)Puntos de inflexinSe define un punto de inflexin como el punto en que la funcin pasa de ser convexa a cncava o de cncava a convexa.EjemploPodemos ver en el ejemplo anterior que en el puntox=0(en el origen de coordenadas) la funcin pasa de ser cncava a ser convexa, por lo tanto decimos quex=0es punto de inflexin.Una caracterstica de los puntos de inflexin es que son los puntos donde la funcin derivada tiene mximos y mnimos. Si nos fijamos, cuando nos acercamos a un punto de inflexion la funcin cada vez crece ms (o decrece menos), pero al sobrepasar el punto de inflexin la funcin empieza a crecer menos (o decrecer menos). Esto significa que justamente donde haya un punto de inflexin la derivada tendr un mximo o un mnimo. Consecuentemente encontraremos los puntos de inflexin buscando ceros de la segunda derivada.Vamos a ilustrar el proceso con un ejemplo para as dar una explicacin simple y clara:EjemploConsideraremos la funcinf(x)=x33x(es la funcin representada en la anterior grfica).Sabemos ya calcular los mximos y los mnimos de la funcinf(x)usando la primera derivada. La expresin de sta esf(x)=3x23y justamente encontramos mximos y mnimos respectivamente enx=14yx=1. Si representamos la grfica de la derivada tenemos:Observamos que justamente donde la derivada tiene un mnimo es donde la funcin tiene el punto de inflexin.Para saber qu punto es vamos a derivar la funcin derivada e igualarla a cero:f(x)=6x6x=0x=0y por tanto la funcin original enx=0tiene un punto de inflexin.El proceso para encontrar los puntos de inflexin, al igual que los mximos y mnimos, es un proceso algortmico y muy mecnico. Derivar la funcin dos veces, igualar a cero y encontrar las soluciones de la ecuacin. Estas soluciones justamente sern donde tengamos puntos de inflexin.