HIMPUNAN

Kelompok V1. Susiati ( 33 2011 057)2. Desy Amanda Permatasari ( 33 2011 076)3. Feramulya Pratamasari ( 33 2011 057)

Sebelum mengetahui himpunan itu apa, dapatkah kalian menyebutkan kalimat dibawah ini yang merupakan bagian dari pengertian himpunan :1. Kumpulan warna lampu lalu lintas2. Kumpulan bilangan cacah kurang dari 63. Kumpulan hewan berakaki dua4. Kumpulan lukisan indah

A. HIMPUNAN1. Pengertian Himpunan

Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning dan hijau. Kumpulan warna lalu lintas adalah suatu himpunan, karena dapat ditentukan dengan jelas.

Kumpulan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0,1 ,2, 3, 4, 5. Kumpulan bilangan cacah kurang dari 6 adalah suatu himpunan, karena telah dapat ditentukan dengan jelas.

Kumpulan hewan berkaki dua antara lain ayam, itik, dan burung. Kumpulan hewan berkaki dua adalah suatu himpunan, katena setiap disebut hewan berkaki dua, maka hewan tersebut pasti termasuk dalam kumpulan tersebut.

Kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut himpunan, karena lukisan indah belum tentu indah menurut orang lain.

Penjelasan

Jadi, dari pengertian di atas dapat disimpulkan Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital), misalkan A, B, C,....., Z.suatu himpunan dinyatakan dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {....}

Contoh : Nyatakan himpuan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal.L merupakan himpunan warna lampu lalu lintas.

Penyelesaian :L merupakan himpunan warna lampu lalu lintas aggota himpunan warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning, dan hijau. Jadi, L = {merah, kuning, hijau}.

2. Lambang

a. Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan . Adapaun benda atau objek ∈yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota himpunan dan dinotasikan dengan . ∉Berdasarkan contoh diatas, A adalah himpunan bilangancacah kurang dari 6, sehingga A = {0,1,2,3,4,5}. Bilanagn 0,1,2,3,4,5 adalah anggota atau elemen dari himpunan A, ditulis 0 A, 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, ∈ ∈ ∈ ∈ ∈dan 5 A. Karena 6, 7 dan 8 bukan anggota A, maka ∈ditulis 6 A, 7 A, dan 8 A.∉ ∉ ∉

3. Keanggotaan himpunan

b. Untuk menyatakan jumlah anggota suatu himpunan digunakan lambang n. Bilangan yang menyatakan banyaknya anggota himpunan disebut juga bilanagan kardinal. Untuk menyatakan banyaknya nggota himpunan A dapat dituliskan dengan notasi n(A). Banyaknya nggota suatu himpunan dinyatakan dengan n.Jika A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka n(A) = banyak anggota himpunan A = 6.

Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).

4. Menyatakan Suatu himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut.1. Dengan kata-kata

Dengan cara menyebutkan semua syarat / sifat keanggotaanya.Contoh : P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulisP = { bilangan prima antara 10 dan 40 }.

2. Dengan notasi pembentuk himpunan

Sama seperti menyatakan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat / sifat keanggotaannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan sutau peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.

Contoh : P = { bilangan prima antara 10 dan 40 }.

3. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Dengan cara menyebutkan anggota - anggotanya, menuliskannya dengan mengunakan kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh : P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37} A = {1, 2, 3, 4, 5}

1. Himpunan berhingga dan tak berhinggaMisalkan :

Jika A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 13 maka

A = {2, 3, 5, 7, 11} dengan n(A) = 5.

Himpunan A sebut himpunan berhingga artinya banyaknya

anggota A berhingga.

Jika B = {bilangan asli yang habis dibagi 2} maka

B = {2, 4, 6,....}, dengan n(B) = tidak berhingga.

Himpunan B disebut himpunan tak berhingga, karena banyaknya

nggota B tak berhingga.

2. Himpunan kosong dan nolJika P adalah himpunan persegi yang mempunyai empat buah sisi maka anggota P tidak ada atau kosong. Himpunan P disebut himpunan kosong, karena jumlah sisi persegi adalah empat.

B. Jenis – Jenis Himpunan

3. Himpunan yang ekuivalen.Contoh :

A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d}Banyak anaggota himpunan A adalah 4. Banyaknya

anggota himpunan B juga 4. Jadi, kedua himpunan itu disebut ekuivalen dan ditulis A ~ B.

4. Himpunan semestaJika P = {pisang, jeruk, apel, anggur} maka semesta pembicaraan dari himpunan P adalah himpunan S = {buah - buahan. Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari P. Hingga S memuat semua anggota himpunan P.

1. Tuliskan himpunan – himpunan dibawah ini

a. A dalah himpunan bilangan asli kurang dari 10b. M adalah nama – nama hari dalam seminggu.

2. Tulis dalam bentuk himpuan kata – kata berikuta. NUSANTARAb. MATEMATIKA

(Catatan : objek – objek pada himpunan tidak boleh ditulis ulang)

Soal

Pengertian diagram vennDiagram Venn merupakan bentuk lain dari penyajian suatu himpunan dengan cara menggunakan gambar yang menunjukan sebuah himpunan berdasarkan objek atau benda tertentu. Adapun semua anggota dari himpunan semesta ditunjukan dengan noktah atau titik dalam suatu gambar persegi panjang.

Adapun ketentuan dalam membuat diagram venn adalah sebagai berikut : 1. Himpunan semesta dinyatakan dalam persegi panjang. Simbol

S untuk semesta disimpan di pojok kiri atas.2. Setiap himpunan yang dibicarakan selain (himpunan kosong) di

gambarkan dengan kurva tertutup.3. Setiap anggota ditunjukan dengan noktah (titik).4. Jika anggotanya sangat banyak maka cukup ditulis

Himpunannya saja.

C. Diagram Venn

Penyelesaian :

Contoh : S = {ayam, burung, singa, jerapah, gajah, paus, kucing}.A = himpunan hewan bertaring.Maka diagram venn yang menunjukan himpunan diatas adalah :

• Ayam•Burung• Jerapa•Gajah•Paus

• Singa

• kucing

S

Operasi yang akan di pelajari pada kesempatan ini adalah irisan, gabungan, kompelemen dan selisih.1. Irisan

Misalkan : A = {2, 3, 5, 7} dan B = {1, 3, 5, 7, 9}Daerah arsiran menunjuk ananggota - anggota yang menjadi anggota A juga menjadi anggota B, sehingga dibentuk sebuah himpunan baru yang beranggota akan semua aggotanya terletak pada daerah arsiran, yaitu {3, 5, 7}.Jadi, A ∩ B = {3, 5, 7}

D. Operasi pada himpunan

Gambar A ∩ B = {1, 3, 5, 7, 9}

Kesimpulannya : Irisan adalah dua himpunan yang bagian -bagiannya menjadi anggota dari keduanya ditulis “ A ∩ B “.

2. Irisan Dua Himpunana. Pengertian irisan dua himpunan

Misalkan : A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} dan B = {2, 6, 10, 14}

• 2• 3 1• 5• 7 9

S

Anggota A yang menjadi anggota B adalah 2, 6, 10. Jadi,

A ∩ B = {2, 6, 10}. Diagram Venn-nya sebagai berikut :

Jadi, Irisan dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut.

A ∈ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

• 2• 6 14 •10

• 4• 8• 12

S

b. Menentukan irisan dua himpunan1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian

yang lain. Misalnya A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} irisan dari himpunan A dan B adalah A ∩ B = {1, 3, 5} = A Tampak bahwa A = {1, 3, 5} B = ⊂{1, 2, 3, 4, 5, 6} Jika A B, semua ⊂ anggota A menjadi anggota B. Oleh karena itu anggota persekutuan dari A dan B adalah semua anggota A.

Jika A B maka A B⊂ ⊂

2. Kedua Himpunan SamaDua himpunan A dan B dikatakan sama apabila semua anggota A juga menjadi anggota B juga menjadi anggota A. Oleh karena itu anggota sekutu dari A dan B adalah semua anggota A atau semua nggota B.

Jika A = B maka A ∩ B = atau A ∩ B = B

Contoh :Misalkan A = {bilangan asli kurang dari 6} dan B = {1,2,3,4,5}Tentukan anggota A ∩ B...?

Penyelesaian : A = {1,2,3,4,5}dan B = {1, 2, 3, 4, 5}

Karena A = B maka A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5}= A = B3. Kedua Himpunan Tidak Saling Lepas

Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempunyai sekutup, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A.Contoh :

Misalkan P = { bilangan asli kurang dari 11 } dan Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}.

Tentukana anggota P ∩ Q.Penyelesaian :

P = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}P ∩ Q = {2, 4, 6, 8, 10}

3. GabuganContoh :Jika A = { 5, 7, 9, 11 )Jika B = { 6, 7, 8, 10 }A B = { 5, 6, 7, 8, 9 10, 11 )∪

Jadi, Gabungan dapat diartikan sebagai dua himpunan yang anggotanya hanya bilangan itu saja misalnya anggota bilangan A saja atau anggota bilangan B saja atau anggota keduanya.

• 6

•7 8

• 10

• 5• 9• 11

S

4. Gabungan Dua Himpunana. Pengertiaan gabungan dua himpunan

Contoh : Ibu membeli buah-buhan dipasar. Sesampai dirumah, ibu membagi buah-buhan tersebut kedalam dua buah piring, piring A dan piring B. Piring A berisi buah jeruk, salak, dan apel. Piring B berisi buah pir, apel dan anggur. Jika isi piring A dan piring B digabungkan, isinya adalah buah jeruk, salak, apel, pir, dan anggur.

Jadi, Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota - anggota A atau anggota - anggota B yang dilambangkan dengan A B. ∪Gabungan A dan B adalah A B = { x | x A atau x B}.∪ ∈ ∈

2. Kalau kedua himpunan sama.

Misalnya : P = {2,3,5,7,11} dan

Q = { bilangan prima yang kurang dari 12}

Dengan mendaftar anggotanya, diperoleh

P = {2,3,5,7,11}

Q = {2,3,5,7,11}

P Q = { 2,3,5,7,11} = P = Q∪

Jadi A B maka A B = A = B∪ ∪

b. Menentukan Gabungan Dua Himpunan1. Kalau himpuanan yang satu merupakan himpunan bagian dari

himpunan yang lain.Misalkan : A = {3,5} dan B = { 1,2,3,4,5}Perhatikan bahwa A = {3,5} B = {1,2,3,4,5}Sehingga A B = { 1,2,3,4,5}=B

jika A B maka A B = B

3. Kalau himpunan A tidak memunyai anggota persekutuan dengan himpunan B maka A B = B A.∪ ∪Misalnya :

R = {himpunan bilangan genap antara 1 dan 13} T = {himpunan bilangan kelipatan dua yang kurang dari 13}

Penyelesaian :R = {2, 4, 6, 8, 10, 12}T = {2, 4, 6, 8, 10, 12}R T = {2, 4, 6, 8, 10, 12}∪

Diagram venn-nya seperti berikut.

Jika A = B maka A B = A = B∪

• 10• 2

• 4• 8

• 6• 12

S

1. Tentukan irisan dari himpunan berikut !a. {1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3}b. {m, a, t, i, k} ∩ {m, u, d, a, h}c. {Bilangan asli kurang dari 10}

{Bilangan genap kurang dari 12}2. Tentukan gabungan dari himpunan berikut :

A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6, 7}P = {0, 2, 4, 6, 8} dan Q = {3, 6, 9, 12, 15}

Soal

5. Selisih (Difference) Dua HimpunanContoh :

Diketahui :S = {1, 2, 3, ..., 10} adalah himpunan semesta.

Jika P = {2, 3, 5, 7} dan Q = {1, 3, 5, 7, 9}, tentukan :a. anggota S – P;b. anggota P – Q;c.anggota Q – P.

Penyelesaian :S – P = {1, 2, 3, ..., 10} – {2, 3, 5, 7}

= {1, 4, 6, 8, 9, 10}P – Q = {2, 3, 5, 7} – {1, 3, 5, 7, 9} = {2}Q – P = {1, 3, 5, 7, 9} – {2, 3, 5, 7} = {1, 9}.

Dari contoh soal diatas dapat kita simpulkan bahwa Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atau A\B. Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

A – B = { x | x A, x B }∈ ∉B – A = { x | x B, x A }∈ ∉

Catatan: A – B = A\B dibaca: selisih A dan B.

6. Komplemen Suatu HimpunanAgar anda dapat memahami mengenai komplemen

suatu himpunan, coba ingat kembali pengertian himpunan semesta atau semesta pembicaraan.

Contoh Diketahui :

S = {1, 2, 3, ..., 10} adalah himpunan semesta. Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7},

Tentukan:a. anggota AC

b. anggota BC

c. anggota (A ∩ B)C.

Penyelesaian :S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10}A = {1, 2, 3, 4}B = {2, 3, 5, 7}

a. AC = {5, 6, 7, 8, 9, 10}b. BC = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

c. Untuk menentukan anggota (A  ∩ B)C, tentukan terlebih dahulu anggota dari A  ∩ B. A  ∩ B = {2, 3} (A  ∩ B)C = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Jadi, Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota - anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A. Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

Sifat – sifat operasi himpunan a. Sifat-sifat irisan dan gabungan himpunan

Kalian telah mempelajari bahwa anggota irisan dua himpunan adalah anggota persekutuan himpunan tersebut.Jika A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, dan C = {4, 5, 6}maka A ∩ B = {3, 4} dan B ∩ A = {3, 4}.

Berdasarkan himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwaA ∩ B = {3, 4} dan B ∩ C = {4, 5}, sehingga(A ∩ B) ∩ C = {3, 4} ∩ {4, 5, 6}

= {4}A ∩ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 5}

= {4}Tampak bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Sifat ini disebut sifat asosiatif irisan.

Tampak bahwa A ∩ B = B ∩ A.Sifat ini disebut sifat komutatif irisan.Untuk setiap himpunan A dan B berlaku

sifat komutatif irisan A ∩ B = B ∩ A. 

Jika A = {1, 2, 3, 4} maka A ∩ A = {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} = AJadi, A ∩ A = A.

Sifat ini dikenal dengan sifat idempotent irisan.

Untuk setiap himpunan A dengan semesta pembicaraan S, berlaku :a. sifat identitas irisan

A ∩ S = A (himpunan S disebut elemen identitas pada irisan)b. sifat komplemen irisan

A ∩ AC = .∅

Jika himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, dan C = {3, 6, 7}, diperoleh B C = {3, 4, 5, 6, 7}, A ∩ B = {3}, dan A ∩ C = {3}.∪Dengan demikian diperolehA ∩ (B C) = {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5, 6, 7} = {3}∪(A ∩ B) (A ∩ C) = {3} {3} = {3}∪ ∪

Tampak bahwa A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) Secara umum ∪ ∪berlaku sebagai berikut.Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlakuA ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C).∪ ∪Sifat ini disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {1, 2, 3, 6}, C = {1, 2, 4, 8}

maka A – A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2, 3, 4, 6, 12} = A – = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – ∅ ∅

= {1, 2, 3, 4, 6, 12} = A.

Tampak bahwa A – A = dan A – = A.∅ ∅Karena A – = A, maka adalah ∅ ∅ identitas pada selisih himpunan.Sekarang, perhatikan bahwa B ∩ C = {1, 2}, A – B = {4, 12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperoleh A – (B ∩ C} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2} = {3, 4, 6, 12}

b. Sifat-sifat selisih himpunanDi depan kalian telah mengetahui bahwa selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

(A – B) (A – C) = {4, 12} {3, 6, 12}∪ ∪= {3, 4, 6, 12}

Tampak bahwa A – (B ∩ C) = (A – B) (A – C).∪Secara umum berlaku sebagai berikut.

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlakuA – (B ∩ C) = (A – B) (A – C).∪Sifat ini disebut sifat distributif selisih terhadap irisan.

Soal :1. S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} dan B={1,2,3,4,5}, Dari kedua himpunan tersebut yang merupakan komplemen B ( B’) adalah?2. A = {0,1,2,3,4} dan B = {2,3,4,5,6} dari kedua himpunan tersebut tentukan :

a. A – B b. B - A

Terimakasih