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Planos de retículo e Índices de Miller

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[email protected] QF939 – Cristalografia de Proteínas – 2s/2013 Aula 6 – Índices de Miller e planos 5 / 29


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• cada plano de retículo recebe um conjunto de três índices (hkl), os índices deMiller

• os índices de Miller não têm fator comum

• lembremos, também, que o vetor da rede recíproca r ∗H = h a ∗ + k b ∗ + l c ∗ é

normal à família de planos (hkl )



• as convenções a seguir são adotadas

• quando um dos índices é negativo, ele é escrito com uma barra em cima: −2 → 2

• isto elimina qualquer confusão ao eliminar a vírgula, por exemplo, (14,-1,12) podeser escrito sem ambigüidade como (14112) e (14,-11,2) como (14112)

• direções no cristal são escri tas entre colchetes, por exemplo, a diagonal de um

cubo pode ser indicada como [111]• planos que são equivalentes por simetria são indicados entre chaves. Por

exemplo, num cristal cúbico, os planos (100), (010) e (001) são si metricamenteequivalentes. Para se referir a eles coletivamente, utiliza-se a notação {100}

• para direções que são equivalentes por simetria, uma convenção semelhante éadotada. Por exemplo, num cubo, as direções [100], [010], [001], [100], [010] e[001] são equivalentes e indicadas, ao mesmo tempo, por < 100 >



• os índices de Miller têm uma interpretação geométrica no retículo cristalino

• os três pontos onde o plano intercepta os eixos da cela unitária são inversamenteproporcionais aos índices de Miller deste plano

• mais precisamente, o plano da família (hkl) mais próximo à origem e queintercepta os eixos da cela unitária nos pontos

a

h ,

b

k ,

c

l


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Determinando os índices de um plano

1 encontre os três pontos onde o plano intercepta os vetores a , b e c que definem acela unitária

2 expresse estes números como frações dos comprimentos dos lados3 tome o recíproco destas frações (invertendo-as)

4 reduza estes três novos números aos menores números inteiros (sem fatorcomum)



Determinando os índices de um plano: exemplo 1

• considere um cristal cuja cela unitária tenha as seguintes medidas:a = 4Å, b = 8Å, c = 3Å

• Problema: determinar os índices (hkl) do plano que intercepta os eixos a , b e c nas distâncias1Å, 4Å, 3Å

1 os três pontos onde o plano intercepta os vetores a , b e c são dados: 1Å, 4Å, 3Å

2 expressando-os como frações dos comprimentos dos lados, temos1/4, 4/8 = 1/2 e 3/3 = 1

3 os recíprocos destas frações são4/1 = 4, 2/1 = 2 e 1/1 = 1

4 estes três novos números já estão reduzidos aos menores números inteirospossíveis, e portanto, os índices de Miller deste plano são(421)




• considere um cristal cuja cela unitária tenha medidas a , b , c

• Problema: determinar os índices (hkl) do plano que intercepta os eixos a , b e c nas distâncias1 × a , 2 × b , 2 × c

1 os três pontos onde o plano intercepta os vetores a , b e c são dados: 1 × a ,

2 × b , 2 × c

2 expressando-os como frações dos comprimentos dos lados, temos1, 2 e 2

3 os recíprocos destas frações são1, 1/2 e 1/2

4 para transformar as frações em números inteiros, multiplicamos todas por 2:2, 1 e 1

5 estes três novos números são os índices de Miller desejados:(211)


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• Problema: determinar os índices (hkl) do plano que intercepta os eixos a , b e c nas distâncias1 × a , 1 × b , 3/2 × c

1 os três pontos onde o plano intercepta os vetores a , b e c são dados: 1 × a ,1 × b , 3/2 × c

2 expressando-os como frações dos comprimentos dos lados, temos1, 1 e 3/2

3 os recíprocos destas frações são1, 1 e 2/3

4 para transformar as frações em números inteiros, multiplicamos todas por 3:3, 3 e 2

5 estes três novos números são os índices de Miller desejados:(332)




• observe que, a partir da origem, o plano (332) cruza oseixos nas coordenadas 1x , 1y e 3/2z

• entretanto, conforme dito acima, o plano de índices

(332) deve interceptar os eixos da cela unitária nospontos

13

x , 13

y , 12

z

• o que está acontecendo?!



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Índices de Laue ou índices de reflexão

• Havíamos visto que uma forma simples e muito útil de interpretar o fenômeno daDifração por Raios X era a Lei de Bragg, onde os Raios X são refletidos porplanos paralelos e espaçados regularmente dentro do cristal

2d hkl sin θ = n λ

onde n é a “ordem da reflexão”



• vimos também que uma forma equivalente era escrever a última equação como

2d hkl sin θ = n λ −→ 2(d hkl /n ) sin θ = λ

ou seja, a reflexão de ordem n pode ser vista como a originada de uma família deplanos com espaçamento interplanar igual d hkl /n

• como visto antes, o vetor normal à família de planos (hkl) ér ∗hkl = h a ∗ + k b ∗ + l c ∗ e seu módulo relaciona-se com a distância interplanarpor |r ∗hkl

| = 1d hkl

• com isto, os novos planos cujo espaçamento é d hkl /n têm índices nh nk nl ed hkl /n = d nh nk nl


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• em resumo, ao invés de considerar a reflexões de n-ésima ordem de um planod hkl

2d hkl sin θ = n λ

vamos considerar reflexões de primeira ordem de planos com novos índicesnh nk nl com espaçamentos intermediários d hkl /n = d nh nk nl

2d nh nk nl sin θ = λ


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