IQ-USP - QFL-2642 - 2/2015Aplicação de Computadores em Química

Lista de Exercícios II/Matrizes

Antonio Carlos Borin

16/03/2015

Como já ficou demostrado, as matrizes ocupam um papel muito importante nesta disciplina.Para recordar alguns aspectos mais relevantes, recomendamos a leitura do Capítulo 9 do livroMathematical Methods for Scientists and Engineers, de Donald A. McQuarrie (University ScienceBooks, 2003). Caso você não tenha acesso a esse livro, consulte seu livro predileto sobre ÁlgebraLinear.

Lembre que a disciplina é sobre Aplicação de Computadores em Química. Portanto, vocêtambém pode resolver esses exercícios com o auxílio de computadores!

1. Mostre que as matrizes

A =1 0

0 1

e B =−1 0

0 1

correspondem à reflexões de um vetor através dos eixos x e y, respectivamente.

2. Uma rotação no espaço tridimensional em torno do eixo z de um vetor por ser representadapela matriz:

R =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

Mostre que detR = |R| = 1 e que

R−1 = R(−θ)

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

3. Se BA = AB = 1, então dizemos que B é o inverso de A, sendo representado por B = A−1.Portanto, A−1 tem a seguinte propriedade:

AA−1 = A−1A = I

onde I é a matriz identidade ou unidade.Considerando as matrizes dadas no item 2, mostre que a matriz de rotação R−1 é a matrizinversa de R.

1

4. Obtenha a matriz inversa de:

A =

2 0 1−1 1 3

0 −2 1

5. Dadas as matrizes:

C3 =−1

2 −√

32√

32 −1

2

σv =1 0

0 −1

σ′v =−1

2

√3

2√3

212

σ′′v = −1

2 −√

32

−√

32

12

(a) Mostre que σvC3 = σ′′, C3σv = σ′v, σ′′vσ′v = C3, e C3σ

′′v = σ. As matrizes comutam?

(b) Calcule o determinante associado a cada uma das matrizes.(c) Se AT = A−1, então A é ortogonal. Dentre as matrizes do item 5a, quais são

ortogonais?

6. Determine o valor de x tal que o conjunto de equações

xc1 + c2 = 0c1 + xc2 + c3 = 0

c2 + xc3 + c4 = 0c3 + xc4 = 0

tenha soluções não triviais para os cj. Em qual contexto essa equação apareceu nadisciplina de Química Quântica?

7. Se (A∗)T = A−1, dizemos que a matriz A é unitária (não confundir com unidade, item 3).Para simplificar a notação, usaremos (A∗)T = A†, chamada de conjugado Hermitiano deA. Portanto,

A†A = AA† = I

ou, em outras palavras, A−1 = A†.Mostre que a matriz

A = 15

−1 + 2i −4− 2i2− 4i −2− i

é unitária.

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