QS (Quasi Static) 動作（大信号モデル）

群馬大学

松田順一

令和２年度 集積回路設計技術・次世代集積回路工学特論資料

1

概要

• QS（準定常）動作• QS動作における端子電流• QS動作における電荷

• 強反転• 弱反転

• DC条件の下での通過時間• QSモデルの限界• Non-QSモデル• 付録

• 電流連続の式

2

（注）以下の本を参考に、本資料を作成。(1) Yannis Tsividis, Operation and Modeling of the MOS Transistor Second Edition, McGraw-Hill, New York, 1999.(2) Yannis Tsividis and Colin McAndrew, Operation and Modeling of the MOS Transistor Third Edition, Oxford University Press, New York, 2011.

トランジスタの動特性検討領域（真性部分）

3

ソース ドレイン

基板

ゲート

真性部分

dc印加における電流と電荷の定義

4

+ ++++++++++++ + +++++++++++++++++ ++ ++++++

GV

0=GI

0=BI

BV

DVSV

SI DI

GQ

IQ

BQTI

0 Lx

（ドレイン電流）

（ドレイン電圧）

（基板電圧）

（ゲート電流）（ゲート電荷）

（基板電流）

（ソース電圧）

（ソース電流）

（ゲート電圧）

（反転層電荷）

（空乏層電荷）（輸送又は伝導電流）

ｄｃ成分の電流・電圧の記号は大文字で表記

デバイスに入る方向の電流が正

dc電圧印加時の電流と電荷

5

( )

( )

( )

( )

：任意の関数　　

　　　　

　　　　

　　　　

電圧印加時の電荷

任意の関数　　　　　　

　　　　　

電圧印加時の電流

BGI

L

BBSBGDBB

L

GGSBGDGG

L

IISBGDII

TSBGDTT

TSBGTD

fff

dxQWQVVVVfQ

dxQWQVVVVfQ

dxQWQVVVVfQ

hVVVVhI

IIIIII

,,

,,,,

,,,,

,,,,

dc

:,,,,

,0,0,

dc

0

'

0

'

0

'

==

==

==

=

−====

変動端子電圧における電流と電荷の定義

6

+-

+-

+-

+-

Gv

+ ++++++++++++ + +++++++++++++++++ ++ ++++++

Bv

Sv Dv

Bi

Di

Gi

Si

BqIq

Gq

全時間変化する電流・電圧の記号は小文字で表記

QS（準定常）動作

7

( )

( )

( )

い。の場合と同じにならな但し、電流は

る。の場合と同じ関数になは　　状態の場合、

　　

　　

　　

電荷の全時間変化量

　　　

と同じになる。電圧が印加された場合　　

の電荷は、における単位面積当り　　各場所で各時刻

）した場合の化（　　端子電圧が時間変

状態の定義

dc

dc,,QS

)(),(),(),()(

)(),(),(),()(

)(),(),(),()(

)(),(),(),(

dc

)(),(),(),(

QS

''''

'

BGI

SBGDBB

SBGDGG

SBGDII

SSBBGGDD

SBGD

fff

tvtvtvtvftq

tvtvtvtvftq

tvtvtvtvftq

tvVtvVtvVtvV

t

tvtvtvtv

=

=

=

====

QS状態における端子電流

8

となる。であるから、電圧が変化する場合、

となる。であるから、　の場合ここで、

　　

）流：反転層電荷の変化（チャネルに入る全電

の和ソースとドレイン電流

）ーク電流　　（但し、基板のリ　　

荷変化）基板電流（空乏層の電

）リーク電流　　（但し、ゲートの　　

荷の変化）ゲート電流（ゲート電

0)()(

0)()(,dc

)()(

0)(

0)(

=−=

=+

==

==

dtdqtiti

dtdqtiti

dt

dqtiti

dt

dqti

dt

dqti

ISD

ISD

ISD

BB

GG

ゲート電圧変化に対応した電流変化

9

𝑣𝐺(𝑡)

t0

t

t

𝑞𝐼(𝑡)

0

0

Si−

Ti

Di

DAi

SAi

Si−

Di

Di

Si−Ti Ti

( )SBGDTT VVtvVhI ,),(,=

反転層電荷の時間変化+ SD ii

仮想的な電荷と反転層電荷

10

)()()(

)(:)(

)(:)(

)()(

)()(

)()()(),()()(

tqtqtqdt

dq

dt

dq

dt

dq

dt

dqtiqtti

dt

dqtiqtti

dt

dqtiti

dtdqtiti

titititititi

ii

ISDISD

SSASSA

DDADDA

ISADA

ISD

SATSDATD

SD

=+=+

=

=

=+

=+

+−=+=

　　　　

係が得られる。したがって、以下の関

だけ変える。後に反転層電荷を　

だけ変える。後に反転層電荷を　

となる。ここで、

　

から、ここで、

　　

る。は、以下の如く表されと

qD: ドレインに関連付けられた反転層電荷（ドレイン電荷）qS: ソースに関連付けられた反転層電荷（ソース電荷）

ｑDとｑSの表現（１）

11

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

+

=

−−

=−

=

x I

CBIS

S

CBIS

x I

I

xdt

txq

Wx

txvtxWqti

ti

x

txvtxWqtxititi

xdt

txq

Wtitxi

x

t

qW

x

txi

0

'

'

'

0

'

'

,,

,)(

)(

,,,),(,0

,

,0,

,

　

は以下の如くになる。とすると、

　　

となる。ここで、

　

まで積分すると、内の点をソースからチャネル

　　

電流連続の式

⇒付録参照

ｑDとｑSの表現（２）

12

( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

−

+

−−=

+

−−=

+

=

+

=

==

L

I

L

CBI

L L

x

I

L

CBIS

L x

I

L

CBIS

L x IL

CBIS

S

xdL

xtxqW

dt

ddx

x

txvtxq

L

W

xdxdtxqL

W

dt

ddx

x

txvtxq

L

Wti

dxxdtxqL

W

dt

ddx

x

txvtxq

L

Wti

dxxdt

txq

L

Wdx

x

txvtxq

L

Wti

LLxxdxti

0

'

0

'

0

'

0

'

0 0

'

0

'

0 0

'

0

'

1,,

,

,,

,)(

,,

,)(

,,

,)(

0)(

　　　　

　

えると、以下になる。二項の積分の順番を変となる。更に、右辺第

　

えると、積分と微分の順序をかとなる。右辺第二項の

　

で割ると、まで積分し、両辺をからを掛け、の両辺に

𝑥

ො𝑥

0 𝑥

積分領域

積分領域

𝐿

𝐿

𝑥

ො𝑥

0 𝐿

𝐿

𝑥 = ො𝑥

積分の順番を変更

ො𝑥 = 𝑥

ො𝑥

ｑDとｑSの表現（３）

13

( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

+=

+

−−=

=+=−

==

−=

+−=

−

L

IT

L

I

L

ITD

D

L

ISD

D

L

IS

S

STS

ST

S

dxL

xtxqW

dt

dtidxtxqW

dt

ddx

L

xtxqW

dt

dtiti

ti

dxt

txqWtitititLi

tLitiLx

dxL

xtxqWq

q

dt

dqtiti

tii

ti

0

'

0

'

0

'

0

'

0

'

,)(,1,)()(

)(

,)()(,0,

,)(

1,

)()(

)(:

dc)(

　　

は以下の如くになる。となる。これから、

　

であるから、では、一方、

　

。は以下の如く表されるであるから、

　

はて、）を与える。したがっ電流電流（トランスポート

バイアスにおける転でのの右辺第一項は、強反ここで得られた

ｑDとｑSの表現（４）

14

( )

( ) ( )

=

−=

=

+=

L

ID

L

IS

DS

DDSSII

L

ID

D

DTD

D

dxL

xtxQWQdx

L

xtxQWQ

QQ

QqQqQq

dxL

xtxqWq

q

dt

dqtiti

ti

0

'

0

'

''

0

'

, ,1,

,,

,

)()(

)(

　

。は以下の如く表されるととなるため、

　　　

場合、となる。準定常状態の

　

は、　するとこの式と前式とを比較

　

るから、は以下の如く与えられ

各電流と各端子電圧の関係

15

( )

( )

( )

( )

( ) の場合と同じ関数　

　　

　　

　　

　　

chtvtvtvtvhi

tvtvtvtvftq

tvtvtvtvftq

tVtVtVtVftQ

tVtVtVtVftQ

dt

dv

v

q

dt

dv

v

q

dt

dv

v

q

dt

dv

v

q

dt

dqi

dt

dv

v

q

dt

dv

v

q

dt

dv

v

q

dt

dv

v

q

dt

dqi

dt

dv

v

q

dt

dv

v

q

dt

dv

v

q

dt

dv

v

q

dt

dqi

dt

dv

v

q

dt

dv

v

q

dt

dv

v

q

dt

dv

v

q

dt

dqi

TSBGDTT

SBGDSS

SBGDDD

SBGDSS

SBGDDD

S

S

SB

B

SG

G

SD

D

SSSA

S

S

BB

B

BG

G

BD

D

BBB

S

S

GB

B

GG

G

GD

D

GGG

S

S

DB

B

DG

G

DD

D

DDDA

d:,)(),(),(),(

)(),(),(),()(

)(),(),(),()(

)(),(),(),()(

)(),(),(),()(

=

=

=

=

=

+

+

+

==

+

+

+

==

+

+

+

==

+

+

+

==

キルヒホッフの電流の法則

16

も成り立つ。

　

が成り立つ。また、

　

全電流に関して、

0)()()()(

0)()()()(

=+++

=+++

titititi

titititi

SABGDA

SBGD

準定常動作における強反転領域の電荷（１）（非飽和における全般的表現）

17

( )

　　

は以下の如くになる。同様に空乏層電荷

　但し、となる。　

　　　　　　

　　

はゲート電荷

CB

V

V

IB

DSN

L

BB

B

CBI

DSN

CBIDSN

CB

V

V

IG

DSN

CB

V

V

I

DSN

G

L

GG

G

dVQQI

WdxQWQ

Q

dVQI

Wdx

dx

dVQWI

dVQQI

WdVQ

I

WQW

dxQWQ

Q

DB

SB

DB

SB

DB

SB

−==

−=−=

−=

−=

=

''2

0

'

''

''2

''

0

'

準定常動作における強反転領域の電荷（２）（非飽和における全般的表現）

18

反転層電荷𝑄𝐼、ドレインに関連付けられた反転層電荷（ドレイン電荷）𝑄𝐷、及びソースに関連付けられた反転層電荷（ソース電荷）𝑄𝑆は

𝑄𝐼 = 𝑊න

0

𝐿

𝑄𝐼′𝑑𝑥 = −

𝜇𝑊2

𝐼𝐷𝑆𝑁න

𝑉𝑆𝐵

𝑉𝐷𝐵

𝑄𝐼′2 𝑑𝑉𝐶𝐵

𝑄𝐷 = −𝜇𝑊2

𝐼𝐷𝑆𝑁න

𝑉𝑆𝐵

𝑉𝐷𝐵𝑥

𝐿𝑄𝐼′2 𝑑𝑉𝐶𝐵 , 𝑄𝑆 = −

𝜇𝑊2

𝐼𝐷𝑆𝑁න

𝑉𝑆𝐵

𝑉𝐷𝐵

1 −𝑥

𝐿𝑄𝐼′2 𝑑𝑉𝐶𝐵

となる。上式で𝑥は

𝑥 = −𝜇𝑊

𝐼𝐷𝑆𝑁න

𝑉𝑆𝐵

𝑉𝐶𝐵

𝑄𝐼′ 𝑑𝑈𝐶𝐵, 但し、𝑑𝑥 = −

𝜇𝑊

𝐼𝐷𝑆𝑁𝑄𝐼′𝑑𝑉𝐶𝐵

となる。また𝑥は以下の式でも表される。

𝑥 = 𝐿ℎ 𝑉𝐺𝐵, 𝑉𝑆𝐵, 𝑉𝐶𝐵ℎ 𝑉𝐺𝐵, 𝑉𝑆𝐵, 𝑉𝐷𝐵

, 但し、𝐼𝐷𝑆𝑁 =𝑊

𝐿ℎ 𝑉𝐺𝐵, 𝑉𝑆𝐵, 𝑉𝐷𝐵

準定常動作における強反転領域の電荷（３）（飽和を含む簡単化モデル）

19

( )

( )

( )

( )( ) をそれぞれ求める。これらから、

　　

　　

る。は以下の式で与えられとここでは、

　

　　　

　　　　　

　　

する。照強反転モデルを使用簡単化されたソース参

SDGBI

SBCBSBoxB

SBCBTSBGBoxI

BI

TGSDS

DSDS

DSDS

DS

DS

TGSoxDS

DSDS

QQQQQ

VVVCQ

VVVVVCQ

QQ

VVV

VV

VVV

VVV

CL

WI

II

,,,,

1

,0

,1,

2

1

0

''

''

''

'

'

'

'2

''

2'

−−++−=

−−−−−=

−=

−=

−=

−=

⇒ ４端子MOSトランジスタ p.32 参照

準定常動作における強反転領域の電荷（４）

20

( )

( )

( )( )

( )( )2

32'

2

32'

0

2'

2

0

'

2'

115

48126 ,

115

61284

1

1

3

21

0

1

1

3

21

1

1

1

3

2

+

+++−−=

+

+++−−=

−

++

+

+++−

−=

=+++

+

++−−

−++−=

+

++−−=

TGSoxSTGSoxD

SD

oSBTGS

oxG

BIoG

TGSSBoxB

TGSoxI

BI

VVWLCQVVWLCQ

QQ

QVVV

WLCQ

QQQQ

VVVWLCQ

VVWLCQ

QQ

は以下の如くになる。ととなる。また、

から、

は以下の如くになる。と

( )( ) ( )

( )( ) ( )2

2

2

12

1

SBDBSBDBTGS

SBCBSBCBTGS

DS

VVVVVV

VVVVVVLx

xQQ

−−−−

−−−−

=

を用いる。での計算に以下のと

η=１（VDS=0）における電荷（強反転）

21

( )

( )

( )

( )

( ) oSBTGSoxVG

TGSoxVS

TGSoxVD

TGSoxVI

SBoxVB

GSDIBDS

QVVVWLCQ

VVWLCQ

VVWLCQ

VVWLCQ

VWLCQ

QQQQQV

DS

DS

DS

DS

DS

−++−=

−−=

−−=

−−=

+−=

==

=

=

=

=

=

0

'

0

'

0

'

0

'

0

0

'

0

2

2

,,,,01

　

　

　

　

　

は以下になる。における

飽和領域（η=0）における電荷（強反転）

22

( )

( )

( )

( )

oSBTGS

oxsatG

TGSoxsatS

TGSoxsatD

TGSoxsatI

TGSSBoxsatB

GSDIB

QVVV

WLCQ

VVWLCQ

VVWLCQ

VVWLCQ

VVVWLCQ

QQQQQ

−

++

−

−=

−−=

−−=

−−=

−

−++−=

=

0

'

,

'

,

'

,

'

,

0

'

,

3

1

5

2

15

4

3

2

3

1

,,,,0

　

　

　

　

　

は以下になる。における飽和領域

QI,QS,QD成分のVDS/VDS’依存性

23

+

++

1

1

3

2 2

( )232

115

61284

+

+++

( )232

115

48126

+

+++

3

2

5

2

15

4⇒ QD

⇒ QS

⇒ QI

各電荷のVDS依存性

24

( )oBIG QQQQ ++−=

SDI QQQ +=

GQ

BQ

DQ

SQ

IQ

弱反転での電荷（１）

25

）≪　　　（　

以下となる。となる。ゲート電荷は

　

全空乏層電荷はとなる。したがって、

　

ははであり、弱反転領域で

　

電荷は単位面積当りの空乏層

BIBIoGoBG

FBGBoxB

FBGBsas

s

soxB

QQQQQQQQQ

VVWLCQ

VV

CQ

,0

42

42

2'

22

''

=+++−−

−++−−=

−++−=

−=

弱反転での電荷（２）

26

( )

0

631,

36

2

)(

''

0

0

'''

0

0

'

''

0

0

'

'

0

''

0

'

+=

−=

+==

+==

−+=

SDI

ILI

L

ISILI

L

ID

SD

ILI

L

II

IILII

QQQ

QQWLdx

L

xQWQ

QQWLdx

L

xQWQ

QQ

QQWLdxQWQ

QQL

xQxQ

　

く近似できる。、弱反転では以下の如となる。しかしながら

　　

は、ととなる。

　

電荷は、であるから、全反転層

　

電荷は単位面積当りの反転層

空乏領域

27

空乏領域では反転層電荷は

𝑄𝐼 = 0となる。したがって、空乏領域での空乏層電荷とゲート電荷は、弱反転領域の場合と同じになる。

𝑄𝐵 = −𝑊𝐿𝐶𝑜𝑥′ 𝛾 −

𝛾

2+

𝛾2

4+ 𝑉𝐺𝐵 − 𝑉𝐹𝐵

𝑄𝐺 = −𝑄𝐵 − 𝑄𝑜

蓄積領域

28

( )

( )

　　　

　

。の電荷は、以下となるとなるから、半導体中

が、、電荷のバランスの式電荷を無視できるため蓄積領域では、空乏層

　

になる。全ゲート電荷は、以下となる。したがって、

　）（

　　　

当りのゲート電荷は蓄積領域では単位面積

oGC

oCG

MSGBoxG

sMSsoxGB

MSGBoxoxoxG

QQQ

QQQ

VWLCQ

V

VCCQ

−−=

=++

−=

++=

−==

0

0,

'

'''

DC条件下での通過時間（強反転）

29

( )( )( ) DSDSTGSox

TGSox

DS

I

V

L

VVVLWC

VVWLC

I

Q

2

'

'

=−

−=

( )

( )( )

( )　　　　　但し、

TGS

TGSox

TGSox

DS

I

VV

L

VVLWC

VVWLC

I

Q

−=

=

−

−

=

2

0

02'

'

3

4

2

13

2

強反転非飽和（VDS：小）

強反転飽和

τ： キャリア（電子）のチャネル通過時間

DC条件下での通過時間（弱反転、速度飽和）

30

( ) ( )

( )( )tDSVItDS

tIt

ILI

DS

I

eQL

WI

L

QLW

QQWL

I

Q

−−−=

+

==

1

2

2

'

0

2

'

0

''

0

　　弱反転電流：

）（但し、 tDSV 5

maxdv

L

弱反転

速度飽和

通過時間とVGSとの関係

31

( )t

L

2

2

maxdv

L

( )( )TGS VV

L

−

234

速度飽和

弱反転

GSV0

ドレイン電流（成分）の時間変化（ゲート電圧線形上昇時）

32

'

15

4

ox

G

D

G

G

DDA

WLCv

q

dt

dv

v

qi

−=

=

飽和領域

t

t

t

t

1t 3t0

0

0

0

)(tiT

)(tiDA

)()( titi DAT +

)(tiD

(measured)

2t

1t 3t

1t

3t

1t

3t

1t 3t0

)(tvG

TV

)(tvG

DDV

)(tiD

QSモデルの限界

33

( )　　

波形の上昇時間　

TGS

R

R

VV

L

t

t

−=

2

0

0

:

20

QSモデルの成立（荒いルール）

但し、速度飽和が起こらない場合

NQS（非準定常）解析

34

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 。を求めることができる　　これらから、

である。　ソース端でここで、

）　　（飽和状態に設定　　　

る。境界条件に以下を用い

　　

以下の如くである。また、電流連続の式は

　

く表される。一方、電流は以下の如

（直接導出）　　

は、以下となる。反転層電荷対称強反転モデルから強反転を考える。完全

txvtxitxq

vvVtv

tLqVVCtq

t

txqW

x

txi

x

txvtxWqtxi

txvtxvVtvCtxq

txq

CBI

SBCBGB

IFBoxI

I

CBI

CBCBFBGBoxI

I

,,,,,

0,)(

0,,,0

,,

,,,

,,)(,

,

'

'

00

''

'

'

00

''

'

===

=−−−−=

=

−=

+−−−−−=

反転層電荷とドレイン電流の経時変化（ステップ･ゲート電圧印加）

35

),(' txqI

),0(' tqI

0x t

)(tiD

DI

dt 00Ax Bx Cx L

Att = Btt = Ctt =

dtt =

=t

)(tvG

)(tiD

DDVV

0t

)(tv飽和動作

付録：電流連続の式

36

( )

( )

( ) ( )t

txqW

x

txi

t

qW

x

i

xW

tiq

q

tititiix

tit

tiit

I

I

I

I

=

=

=

=−+

+

,,

:

:

:

'

'

'

'

　　

の式を得る。ると、以下の電流連続となる。微分量に変え

　　

て、となる。これを変形し

　　

は電荷の増大量単位面積当りの反転層

　内の電荷の増加量

　電荷量内に左から出で行く全

　　量内に右から入る全電荷i

ii +

x

W反転層

x

QS (Quasi Static) 動作 （大信号モデル）概要トランジスタの動特性検討領域（真性部分）dc印加における電流と電荷の定義dc電圧印加時の電流と電荷変動端子電圧における電流と電荷の定義QS（準定常）動作QS状態における端子電流ゲート電圧変化に対応した電流変化仮想的な電荷と反転層電荷ｑDとｑSの表現（１）ｑDとｑSの表現（２）ｑDとｑSの表現（３）ｑDとｑSの表現（４）各電流と各端子電圧の関係キルヒホッフの電流の法則準定常動作における強反転領域の電荷（１） （非飽和における全般的表現）準定常動作における強反転領域の電荷（２） （非飽和における全般的表現）準定常動作における強反転領域の電荷（３） （飽和を含む簡単化モデル）準定常動作における強反転領域の電荷（４）η=１（VDS=0）における電荷（強反転）飽和領域（η=0）における電荷（強反転）QI,QS,QD成分のVDS/VDS’依存性各電荷のVDS依存性弱反転での電荷（１）弱反転での電荷（２）空乏領域蓄積領域DC条件下での通過時間（強反転）DC条件下での通過時間（弱反転、速度飽和）通過時間とVGSとの関係ドレイン電流（成分）の時間変化 （ゲート電圧線形上昇時）QSモデルの限界NQS（非準定常）解析反転層電荷とドレイン電流の経時変化 （ステップ･ゲート電圧印加）付録：電流連続の式