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¿Qué y cómo aprenden nuestros estudiantes?
Área Curricular
5.° y 6.° grados de Educación Primaria
Matemática
VCiclo
Versión 2015
2
MINISTERIO DE EDUCACIÓN Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja Lima, Perú Teléfono 615-5800 www.minedu.gob.pe Versión 1.0 Tiraje: 228 100 ejemplares
Elaboración:Nelly Gabriela Rodriguez Cabezudo, Giovanna Karito Piscoya Rojas, Pedro David Collanqui Díaz, Marisol Zelarayan Adauto. María Isabel Díaz Maguiña. SINEACE - Programa de Estándares de Aprendizaje: Gina Patricia Paz Huamán, Lilian Edelmira Isidro Cámac.
Colaboradores:Félix Rosales Huerta, Carlos Ramiro Febres Tapia, Elwin Contreras, Sonia Laquita, Alicia Veiga, José Raúl Salazar La Madrid, Isabel Torres Céspedes, Fernando Escudero, Rodrigo Valera, Andrea Soto.
Cuidado de ediciónFernando Carbajal Orihuela.
Corrección de estilo: Gustavo Pérez Lavado.
Ilustraciones: Gloria Arredondo Castillo.
Diseño y diagramación: David Crispín Cuadros.
Fotografías: Félix Rosales Huerta.
Impreso por:Metrocolor S.A.Av. Los Gorriones 350, ChorrillosLima, Perú © Ministerio de Educación Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este material por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: Nº 2015-01453 Impreso en el Perú / Printed in Peru
En vista de que en nuestra opinión, el lenguaje escrito no ha encontrado aún una manera satisfactoria de nombrar a ambos géneros con una sola palabra, en este fascículo se ha optado por emplear términos en masculino para referirse a ambos géneros.
3
Presentación........................................................................................................................... Pág. 5
Introducción .................................................................................................................................... 7
1. Fundamentos y definiciones .................................................................................................................... 8
1.1 ¿Por qué aprender matemática? .................................................................................................... 8
1.2 ¿Para qué aprender matemática? ................................................................................................ 10
1.3 ¿Cómo aprender matemática? ..................................................................................................... 12
2. Competencias y capacidades ............................................................................................................... 16
2.1 Competencias matemáticas .......................................................................................................... 18
1. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad ...................................... 18
2. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio ........................................................................................................ 20
3. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización ....................................................................................................................... 22
4 . Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre .................................................................................................................. 24
2.2 Capacidades matemáticas .......................................................................................................... 25
Capacidad 1 : Matematiza situaciones ....................................................................................... 25
Capacidad 2 : Comunica y representa ideas matemáticas ..................................................... 26
Capacidad 3: Elabora y usa estrategias ..................................................................................... 28
Capacidad 4: Razona y argumenta generando ideas matemáticas ...................................... 29
2.3 ¿Cómo se desarrolla las competencias en el V ciclo? .............................................................. 30
2.3.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad ..................................... 30
2.3.2 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio ....................................................................................................... 47
Índice
4
2.3.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización ................................................................................................. 58
2.3.4 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre .................................................................................................................. 69
3. Orientaciones didácticas............................................................................................................... ........ 81
3.1 Estrategias para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad ................................................................................................................ 81
3.1.1 Recursos para plantear y resolver problemas .................................................................... 81
3.1.2 Investigamos números en la prensa escrita ..................................................................... 86
3.1.3 Estrategias para la resolución de problemas ................................................................... 90
3.2 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio Patrones con transformaciones geométricas ................................................................................................................................... 104
3.2.1 Cubriendo el plano con figuras mediante traslaciones ..................................................105
3.2.2 Estrategia para generalizar patrones ............................................................................... 107
3.2.3 Estrategia de resolución de problemas para problemas de equilibrio .......................... 111
3.2.4 Jugamos a las “vencidas” ...................................................................................................113
3.3 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización .......................................................................115
3.3.1 Estrategias para aprender geometría según Van Hiele ...................................................115
3.3.2 Recursos para enseñar las figuras planas ........................................................................121
3.4 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre ....................................................................124
3.4.1 Estrategias para resolver problemas estadísticos ............................................................124
3.4.2 Recursos para plantear experimentos aleatorios ..........................................................130
Referencias bibliográficas ...............................................................................................................................132
Anexo 1: Matrices de las cuatro competencias para el quinto grado de primaria .............................134
Anexo 2: Matrices de las cuatro competencias para el sexto grado de primaria. .............................143
Anexo 3: Mapas de Progreso............................................................................................................... ....152
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Las Rutas del Aprendizaje son orientaciones pedagógicas y didácticas para una enseñanza efectiva de las competencias de cada área curricular. Ponen en manos de nosotros, los docentes, pautas útiles para los tres niveles educativos de la Educación Básica Regular: Inicial, Primaria y Secundaria.
Presentan:
• Los enfoques y fundamentos que permiten entender el sentido y las finalidades de la enseñanza de las competencias, así como el marco teórico desde el cual se están entendiendo.
• Las competencias que deben ser trabajadas a lo largo de toda la escolaridad, y las capacidades en las que se desagregan. Se define qué implica cada una, así como la combinación que se requiere para su desarrollo.
• Los estándares de las competencias, que se han establecido en mapas de progreso.
• Los indicadores de desempeño para cada una de las capacidades, por grado o ciclos, de acuerdo con la naturaleza de cada competencia.
• Orientaciones didácticas que facilitan la enseñanza y el aprendizaje de las competencias.
Definiciones básicas que nos permiten entender y trabajar con las Rutas del Aprendizaje:
1. Competencia
Llamamos competencia a la facultad que tiene una persona para actuar conscientemente en la resolución de un problema o el cumplimiento de exigencias complejas, usando flexible y creativamente sus conocimientos y habilidades, información o herramientas, así como sus valores, emociones y actitudes.
La competencia es un aprendizaje complejo, pues implica la transferencia y combinación apropiada de capacidades muy diversas para modificar una circunstancia y lograr un determinado propósito. Es un saber actuar contextualizado y creativo, y su aprendizaje es de carácter longitudinal, dado que se reitera a lo largo de toda la escolaridad. Ello a fin de que pueda irse complejizando de manera progresiva y permita al estudiante alcanzar niveles cada vez más altos de desempeño.
2. Capacidad
Desde el enfoque de competencias, hablamos de «capacidad» en el sentido amplio de «capacidades humanas». Así, las capacidades que pueden integrar una competencia combinan saberes de un campo más delimitado, y su incremento genera nuestro desarrollo competente. Es fundamental ser conscientes de que si
Presentación
6
bien las capacidades se pueden enseñar y desplegar de manera aislada, es su combinación (según lo que las circunstancias requieran) lo que permite su desarrollo. Desde esta perspectiva, importa el dominio específico de estas capacidades, pero es indispensable su combinación y utilización pertinente en contextos variados.
3. Estándar nacional
Los estándares nacionales de aprendizaje se establecen en los Mapas de progreso y se definen allí como «metas de aprendizaje» en progresión, para identificar qué se espera lograr respecto de cada competencia por ciclo de escolaridad. Estas descripciones aportan los referentes comunes para monitorear y evaluar aprendizajes a nivel de sistema (evaluaciones externas de carácter nacional) y de aula (evaluaciones formativas y certificadoras del aprendizaje). En un sentido amplio, se denomina estándar a la definición clara de un criterio para reconocer la calidad de aquello que es objeto de medición y pertenece a una misma categoría. En este caso, como señalan los mapas de progreso, se indica el grado de dominio (o nivel de desempeño) que deben exhibir todos los estudiantes peruanos al final de cada ciclo de la Educación Básica con relación a las competencias.
Los estándares de aprendizaje no son instrumentos para homogeneizar a los estudiantes, ya que las competencias a que hacen referencia se proponen como un piso, y no como un techo para la educación escolar en el país. Su única función es medir logros sobre los aprendizajes comunes en el país, que constituyen un derecho de todos.
4. Indicador de desempeño
Llamamos desempeño al grado de desenvoltura que un estudiante muestra en relación con un determinado fin. Es decir, tiene que ver con una actuación que logra un objetivo o cumple una tarea en la medida esperada. Un indicador de desempeño es el dato o información específica que sirve para planificar nuestras sesiones de aprendizaje y para valorar en esa actuación el grado de cumplimiento de una determinada expectativa. En el contexto del desarrollo curricular, los indicadores de desempeño se encuentran asociados al logro de una determinada capacidad. Así, una capacidad puede medirse a través de más de un indicador.
Estas Rutas del Aprendizaje se han ido publicando desde el 2012 y están en revisión y ajuste permanente, a partir de su constante evaluación. Es de esperar, por ello, que en los siguientes años se sigan ajustando en cada una de sus partes. Estaremos muy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolas en las próximas reediciones, de manera que sean más pertinentes y útiles para el logro de los aprendizajes a los que nuestros estudiantes tienen derecho.
7
El presente fascículo es la segunda versión de Rutas del Aprendizaje, mejorada y más completa, fruto del trabajo de investigación y validación en las aulas, del que tú formaste parte con tu opinión y tus sugerencias en los diversos talleres y eventos. Esta nueva versión te proporciona pautas para responder a dos preguntas fundamentales: ¿qué enseñar? y ¿cómo enseñar? El qué enseñar se relaciona con los contenidos y las capacidades, y el cómo enseñar, con la variedad de estrategias y recursos que te permitirán generar aprendizajes significativos en los niños.
Sin duda, la matemática cobra mayor significado y se aprende mejor cuando se aplica directamente a situaciones de la vida real. Nuestros estudiantes sienten mayor satisfacción cuando pueden relacionar cualquier aprendizaje matemático nuevo con algo que saben y con la realidad que los rodea. Esa es una matemática para la vida, donde el aprendizaje se genera en el contexto de las relaciones humanas y sus logros van hacia ellas.
Por otro lado, la sociedad actual requiere de ciudadanos reflexivos, críticos, capaces de asumir responsabilidades en su conducción, y la matemática debe ser un medio para ello, formando estudiantes con autonomía, conscientes de qué aprenden, cómo aprenden y para qué aprenden. En este sentido, es muy importante el rol del docente como agente mediador, orientador y provocador de formas de pensar y reflexionar durante las actividades matemáticas. Conscientes de esta responsabilidad, mediante el presente fascículo te brindamos una herramienta pedagógica orientadora para generar esos aprendizajes. Con tal fin, se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a partir de una situación problemática, se desarrollan las capacidades matemáticas configurando el desarrollo de la competencia.
En el presente fascículo encontrarás:
Capítulo I: los fundamentos teóricos de por qué y para qué se aprende matemática, asumiendo la resolución de problemas como la centralidad del quehacer matemático.
Capítulo II: los elementos curriculares que permiten generar aprendizajes significativos, así como los estándares de aprendizaje que constituyen los hitos o las metas de aprendizaje a donde deben llegar los estudiantes al culminar el V ciclo.
Capítulo III: las orientaciones didácticas en cada una de las competencias que te guiarán para lograr los aprendizajes significativos en los estudiantes.
Finalmente, es necesario señalar que la intención del presente fascículo no es entregar recetas “aplicables” de manera directa y mecánica, sino proporcionar herramientas pedagógicas que, haciendo las adaptaciones convenientes, puedan servir para generar aprendizajes en los niños y así complementen y refuercen tu labor cotidiana.
Introducción
8
Fundamentos y definiciones1.1.1 ¿Por qué aprender matemática?
Permite entender el mundo y desenvolvernos en él.
La matemática está presente en diversos espacios de la actividad humana, tales como actividades familiares, sociales, culturales o en la misma naturaleza. También se encuentra en nuestras actividades cotidianas. Por ejemplo, al comprar el pan y pagar una cantidad de dinero por ello, al trasladarnos todos los días al trabajo en determinado tiempo, al medir y controlar la temperatura de algún familiar o allegado, al elaborar el presupuesto familiar o de la comunidad, etc.
Las formas de la naturaleza y las regularidades que se presentan en ella pueden ser comprendidas desde las nociones matemáticas de la geometría y de los patrones. La matemática nos permite entenderlas, representarlas y recrearlas.
Asimismo, el mundo en que vivimos se mueve y cambia rápidamente; por ello, es necesario que nuestra sociedad actual demande una cultura matemática para aproximarse, comprender y asumir un rol transformador en el entorno complejo y global de la realidad. En este sentido, se requiere el desarrollo de habilidades básicas que nos permitan desenvolvernos en la vida cotidiana para relacionarnos con el entorno, con el mundo del trabajo, de la producción y del estudio.
9
De lo dicho se desprende que la matemática está incorporada en las diversas actividades de las personas, de tal manera que se ha convertido en clave esencial para poder transformar y comprender nuestra cultura y generar espacios que propicien el uso, reconocimiento y valoración de los conocimientos matemáticos propios.
En los pueblos originarios también se reconocen prácticas propias y formas de estructurar la realidad como, por ejemplo, agrupar objetos o animales en grupos de 2 o 3, adoptando un sistema de numeración binario o terciario. Ello nos conduce a la necesidad de desarrollar competencias y capacidades matemáticas asumiendo un rol participativo en diversos ámbitos del mundo moderno, pues se requiere el ejercicio de la ciudadanía con sentido crítico y creativo. La matemática aporta en esta perspectiva cuando es capaz de ayudarnos a cuestionar hechos, datos y situaciones sociales, interpretándolas y explicándolas.
Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnología, por lo tanto, para el desarrollo de las sociedades.
En la actualidad, las aplicaciones matemáticas ya no representan un patrimonio únicamente apreciable en la física, ingeniería o astronomía, sino que han desencadenado progresos espectaculares en otros campos científicos. Por ejemplo, especialistas médicos leen obras sobre la teoría de la información, los psicólogos estudian tratados de teoría de la probabilidad, etc. Así, existen muchas evidencias para que los más ilustres pensadores y científicos hayan aceptado sin reparos que en los últimos tiempos se ha vivido un intenso periodo de desarrollo matemático.
Diseñar y elaborar una cometa
es una actividad divertida y
mediante la cual se pueden
construir conocimientos
geométricos y de medida.
Fundamentos y definiciones
10
En este contexto, las ciencias se sirven de la matemática como medio de comunicación, pues hay un lenguaje común que es el lenguaje matemático para todas las civilizaciones por muy diferentes que sean, y este saber está constituido por las ciencias y la matemática. La razón está en que las leyes de la naturaleza son idénticas en todas partes. En este sistema comunicativo-representativo está escrito el desarrollo de las demás ciencias; gracias a él ha habido un desarrollo dinámico y combinado de la ciencia-tecnología que ha cambiado la vida del ciudadano moderno.
Al día de hoy, la necesidad de desarrollar competencias y capacidades matemáticas se ha hecho no solo indispensable, sino apremiante para el ejercicio de cualquier actividad científica en la que tanto ciencias como humanidades han recibido ya visiblemente su tremendo impacto.
Promueve una participación ciudadana que demanda toma de decisiones responsables y conscientes.
La formación de ciudadanos implica desarrollar una actitud problematizadora capaz de cuestionarse ante los hechos, los datos y las situaciones sociales; así como sus interpretaciones y explicaciones por lo que se requiere saber más allá de las cuatro operaciones y exige, en la actualidad, la comprensión de los números en distintos contextos, la interpretación de datos estadísticos, etc. El dominio de la matemática para el ejercicio de la ciudadanía requiere no solo conocer el lenguaje matemático y hechos, conceptos y algoritmos, que le permitirá interpretar algunas situaciones de la realidad relacionadas con la cantidad, forma, cambio o la incertidumbre, sino también procesos más complejos como la matematización de situaciones y la resolución de problemas (Callejo de la Vega, 2000).
En virtud de lo señalado, los niños deben aprender matemática porque:
Permite comprender el mundo y desenvolvernos adecuadamente en él.
Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnología; por ende, para el desarrollo de las sociedades.
Proporciona las herramientas necesarias para desarrollar una práctica ciudadana responsable y consciente.
1.2 ¿Para qué aprender matemática?La finalidad de la matemática en el currículo es desarrollar formas de actuar y pensar matemáticamente en diversas situaciones, que permitan a los niños interpretar e intervenir en la realidad a partir de la intuición, el planteamiento de supuestos, conjeturas e hipótesis haciendo inferencias, deducciones, argumentaciones y demostraciones; comunicarse y otras habilidades, así como el desarrollo de métodos y actitudes útiles para ordenar, cuantificar y medir hechos y fenómenos de la realidad e intervenir conscientemente sobre ella.
11
El pensar matemáticamente es un proceso complejo y dinámico que resulta de la interacción de varios factores (cognitivos, socioculturales, afectivos, entre otros), el cual promueve en los niños formas de actuar y construir ideas matemáticas a partir de diversos contextos (Cantoral Uriza, 2000). Por ello, para pensar matemáticamente tenemos que ir más allá de los fundamentos de la matemática y la práctica exclusiva de los matemáticos, y tratar de entender que se trata de aproximarnos a todas las formas posibles de razonar, formular hipótesis, demostrar, construir, organizar, comunicar ideas y resolver problemas matemáticos que provienen de un contexto cotidiano, social, laboral, científico, etc.
En este sentido, se espera que los estudiantes aprendan matemática desde los siguientes propósitos:
La matemática es funcional. Se busca proporcionar las herramientas mate-máticas básicas para su desempeño en contexto social, es decir, en la toma de decisiones que orientan su proyecto de vida. Es de destacar aquí la contri-bución de la matemática a cuestiones tan relevantes como los fenómenos po-líticos, económicos, ambientales, de infraestructura, transportes o movimien-tos poblacionales.
La matemática es instrumental. Todas las profesiones requieren una base de conocimientos matemáticos y, en algunas, como en la matemática pura, en la física, en la estadística o en la ingeniería, la matemática es imprescindible.
En la práctica diaria de las ciencias se hace uso de la matemática. Los concep-tos con que se formulan las teorías científicas son esencialmente conceptos matemáticos. Por ejemplo, en el campo biológico, muchas de las caracterís-ticas heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo, color de cabello, peso al nacer, estatura, etc. Sin embargo, la probabilidad permite describir estas características.
La matemática es formativa. El desenvolvimiento de las competencias mate-máticas propicia el desarrollo de capacidades, conocimientos, procedimien-tos y estrategias cognitivas, tanto particulares como generales, que promue-van un pensamiento abierto, creativo, crítico, autónomo y divergente.
Así, la matemática posee valores formativos innegables, tales como:
Desarrollar en los niños capacidades y actitudes para determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias y, en definitiva, potenciar su autonomía, su razonamiento, la capacidad de acción simbólica, el espíritu crítico, la curiosidad, la persistencia, la imaginación, la creatividad, la sistematicidad, etc.
La utilidad para promover y estimular el diseño, elaboración y apreciación de formas artísticas, a través del material concreto, así como el uso de gráficos y esquemas para elaborar y descubrir patrones y regularidades.
12
Estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crítica, la participación y colaboración, la discusión y defensa de las propias ideas, y para asumir la toma conjunta de decisiones.
El desarrollo de capacidades para el trabajo científico, la búsqueda, identificación y resolución de problemas.
Las situaciones que movilizan este tipo de conocimiento, enriquecen a los niños al sentir satisfacción por el trabajo realizado al hacer uso de sus competencias matemáticas.
1.3 ¿Cómo aprender matemática?En diversos trabajos de investigación en antropología, psicología social y cognitiva, afirman que los estudiantes alcanzan un aprendizaje con alto nivel de significatividad
cuando se vinculan con sus prácticas culturales y sociales.
Por otro lado, como lo expresó Freudenthal1, esta visión de la práctica matemática escolar no está motivada solamente por la importancia de su utilidad, sino principalmente por reconocerla como una actividad humana; lo que implica que hacer matemática como proceso es más importante que la matemática como un producto terminado.
En este marco, se asume un enfoque centrado en la resolución de problemas con la intención de promover formas de enseñanza y aprendizaje a partir del planteamiento de problemas en diversos contextos. Como señaló Gaulin (2001), este enfoque adquiere importancia debido a que promueve el desarrollo de aprendizajes “a través de”, “sobre” y “para” la resolución de problemas.
1 La educación matemática realista (EMR) fue fundada por el profesor alemán Hans Freudenthal (1905-1990).
“A través de” la resolución de problemas inmediatos y del entorno de los niños, como vehículo para promover el desarrollo de aprendizajes matemáticos, orientados en sentido constructivo y creador de la actividad humana.
“Sobre” la resolución de problemas, que explicita el desarrollo de la comprensión del saber matemático, la planeación, el desarrollo resolutivo estratégico y metacognitivo, es decir, la movilidad de una serie de recursos y de competencias y capacidades matemáticas.
“Para” la resolución de problemas, que involucran enfrentar a los niños de forma constante a nuevas situaciones y problemas. En este sentido, la resolución de problemas es el proceso central de hacer matemática; asimismo, es el medio principal para establecer relaciones de funcionalidad de la matemática con la realidad cotidiana.
El cambio fundamental
es pasar de un aprendizaje,
en la mayoría de los casos
memorístico de conocimientos
matemáticos (como supuestos
prerrequisitos para aprender
a resolver problemas), a un
aprendizaje enfocado en la
construcción de conocimientos
matemáticos a partir de la
resolución de problemas.
13
Actuar y pensar matemáticamente Resolución de
problemas
Enseñanza
Aprendizaje
Enfoque centrado en la resolución de
problemas
"A través de"
"Sobre la"
"Para la"
Sí, pero menos de 2.
¡Más de una!
Pero debe ser la misma cantidad para todos. ¿Cuántas nos tocan?
El enfoque centrado en la resolución de problemas orienta la actividad matemática en el aula, situando a los niños en diversos contextos para crear, recrear, investigar, plantear y resolver problemas, probar diversos caminos de resolución, analizar estrategias y formas de representación, sistematizar y comunicar nuevos conocimientos, entre otros.
La resolución de problemas como enfoque orienta y da sentido a la educación matemática, en el propósito que se persigue de desarrollar ciudadanos que “actúen y piensen matemáticamente” al resolver problemas en diversos contextos. Asimismo, orienta la metodología en el proceso de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.
¡Tengo 9 galletas para compartir!
Las repartiremos entre los 6.
14
Rasgos esenciales del enfoque
La resolución de problemas debe plantearse en situaciones de contextos diversos, pues ello moviliza el desarrollo del pensamiento matemático. Los estudiantes desarrollan competencias y se interesan en el conocimiento matemático, si le encuentran significado y lo valoran, y pueden establecer la funcionalidad matemática con situaciones de diversos contextos.
La resolución de problemas sirve de escenario para desarrollar competencias y capacidades matemáticas.
La matemática se enseña y se aprende resolviendo problemas. La resolución de problemas sirve de contexto para que los estudiantes construyan nuevos conceptos matemáticos, descubran relaciones entre entidades matemáticas y elaboren procedimientos matemáticos, estableciendo relaciones entre experiencias, conceptos, procedimientos y representaciones matemáticas.
Los problemas planteados deben responder a los intereses y necesidades de los niños. Es decir, deben presentarse retos y desafíos interesantes que los involucren realmente en la búsqueda de soluciones.
La resolución de problemas permite a los niños hacer conexiones entre ideas, estrategias y procedimientos matemáticos que le den sentido e interpretación a su actuar en diversas situaciones.
Un problema es un desafío,
reto o dificultad a resolver y
para el cual no se conoce de
antemano una solución.
Una situación se describe
como un acontecimiento
significativo, que le da
marco al planteamiento de
problemas con cantidades,
regularidades, formas,
etc. Por ello, permite dar
sentido y funcionalidad a las
experiencias y conocimientos
matemáticos que desarrollan
los estudiantes.
El cambio fundamental, entonces, para enseñar y aprender matemática radica en proponer a los niños, en cada sesión de clase, situaciones o problemas que los obliguen todo el tiempo a actuar y pensar matemáticamente.
Ejemplo: Dos hermanos, Koki y Sandra, compran un regalo que cuesta S/. 30. Koki puso los 3
5 de lo que costó. ¿Cuánto dinero puso Koki?
Observamos los gráficos que elabora un niño de clase para resolver el problema:
La barra representa el costo total: S/. 30.
El estudiante al resolver el problema pone en juego lo que sabe sobre la división y las fracciones. Este problema es el punto de partida para construir la noción de fracción de un conjunto.
Cada parte vale S/. 6.Tres partes valen S/. 18.
Dibujaré una barra para representar el precio y luego la dividiré en 5
partes iguales.
15
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los
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s.
16
Competencias y capacidades2.Los niños de hoy necesitan enfrentarse a los diferentes retos que demanda la sociedad, con la finalidad de que se encuentren preparados para superarlos tanto en la actualidad como en el futuro. En este contexto, la educación y las actividades de aprendizaje deben orientarse a que los estudiantes sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol de ciudadanos, lo cual involucra el desarrollo pleno de un conjunto de competencias, capacidades y conocimientos que faciliten la comprensión, construcción y aplicación de una matemática para la vida y el trabajo.
Los niños en la educación básica regular tienen un largo camino por recorrer para desarrollar competencias y capacidades, las cuales se definen como la facultad de toda persona para actuar conscientemente sobre una realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo, haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos, las habilidades, las destrezas, la información o las herramientas que tengan disponibles y considere pertinentes a la situación (MINEDU, 2014).
Tomando como base esta concepción es que se promueve el desarrollo de aprendizajes en matemática explicitados en cuatro competencias. Estas, a su vez, se describen como el desarrollo de formas de actuar y de pensar matemáticamente en diversas situaciones, donde los niños construyen modelos, usan estrategias y generan procedimientos para la resolución de problemas, apelan a diversas formas de razonamiento y argumentación, realizan representaciones gráficas y se comunican con soporte matemático.
Según Freudenthal (citado por Bressan y otros, 2004), la matemática es pensada como una actividad; así, el actuar matemáticamente consistiría en mostrar predilección por:
Usar el lenguaje matemático para comunicar sus ideas o argumentar sus conclusiones, es
decir, para describir elementos concretos, referidos a contextos específicos de la matemática,
hasta el uso de variables convencionales y lenguaje funcional.
Cambiar de perspectiva o punto de vista y reconocer cuándo una variación en este aspecto
es incorrecta dentro de una situación o un problema dado.
Captar cuál es el nivel de precisión adecuado para la resolución de un problema dado.
Identificar estructuras matemáticas dentro de un contexto (si es que las hay) y abstenerse de
usar la matemática cuando esta no es aplicable.
Tratar la propia actividad matemática como materia prima para la reflexión, con miras a
alcanzar un nivel más alto de pensamiento.
17
De otro lado, pensar matemáticamente se define como el conjunto de actividades
mentales u operaciones intelectuales que llevan al estudiante a entender y dotar de
significado a lo que le rodea, resolver un problema sobre conceptos matemáticos,
tomar una decisión o llegar a una conclusión en los que están involucrados procesos
como la abstracción, justificación, visualización, estimación, entre otros (Cantoral, 2005;
Molina, 2006; Carretero y Ascencio, 2008).
Las competencias propuestas en la Educación Básica Regular se organizan sobre la base
de cuatro situaciones. La definición de estas se sostiene en la idea de que la matemática se
ha desarrollado como un medio para describir, comprender e interpretar los fenómenos
naturales y sociales que han motivado el desarrollo de determinados procedimientos
y conceptos matemáticos propios de cada situación (OECD, 2012). En este sentido, la
mayoría de países ha adoptado una organización curricular basada en estos fenómenos,
en la que subyacen numerosas clases de problemas, con procedimientos y conceptos
matemáticos propios de cada situación. Por ejemplo, fenómenos como la incertidumbre,
que pueden descubrirse en muchas situaciones habituales, necesitan ser abordados con
estrategias y herramientas matemáticas relacionadas con la probabilidad. Asimismo,
fenómenos o situaciones de equivalencias o cambios necesitan ser abordados desde el
álgebra; las situaciones de cantidades se analizan y modelan desde la aritmética o los
números; las de formas, desde la geometría.
Por las razones descritas, las competencias se formulan como actuar y pensar
matemáticamente a través de situaciones de cantidad; regularidad, equivalencia y
cambio; forma, movimiento y localización y gestión de datos e incertidumbre.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de
cantidad.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e
incertidumbre.
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de forma,
movimiento y localización.
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de regularidad, equivalencia y
cambio.
MATEMÁTICA
18
Matematiza situaciones
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
Expresar problemas
diversos en modelos
matemáticos relacionados con los números y las
operaciones.
Justificar y validar conclusiones,
supuestos, conjeturas e hipótesis
relacionadas con los números y las
operaciones.
Comunica y representa ideas matemáticas
Elabora y usa estrategias
Planificar, ejecutar y valorar estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo, comparación y estimación usando diversos recursos para resolver problemas.
Expresar el significado de los números y operaciones de manera oral y escrita, haciendo uso de representaciones y lenguaje matemático.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de
cantidad.
2.1 Competencias matemáticasCOMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad1
5
6
72 1
214
kg kg 12 kg
12 kg
kg 14 kg
14 kg
S/. 1 S/. 2 S/. 3 S/. 4
yogurt yogurt yogurt
yogurt yogurt yogurt yogurt
café
S/. 5
S/. 2
S/. 3
En la actualidad, la presencia de la información cuantitativa se ha incrementado de forma considerable. Este hecho exige al ciudadano construir modelos de situaciones en las que se manifiesta el sentido numérico y de magnitud, lo cual va de la mano con la comprensión del significado de las operaciones y la aplicación de diversas estrategias de cálculo y estimación.
Actuar y pensar en situaciones de cantidad implica resolver problemas relacionados con cantidades que se pueden contar y medir para desarrollar progresivamente el sentido numérico y de magnitud, la construcción del significado de las operaciones, así como la aplicación de diversas estrategias de cálculo y estimación. Toda esta comprensión se logra a través del despliegue y la interrelación de las capacidades de matematizar situaciones, comunicar y representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias para resolver problemas o al razonar y argumentar generando ideas matemáticas a través de sus conclusiones y respuestas.
19
S/. 1,00Kg
S/. 1,00Kg
S/. 3,00Kg
La necesidad de cuantificar y organizar lo que se encuentra en nuestro entorno nos
permite reconocer que los números poseen distinta utilidad en diversos contextos.
Treffers (citado por Jan de Lange) hace hincapié en la importancia de la capacidad
de manejar números y datos, y de evaluar las problemas y situaciones que implican
procesos mentales y de estimación en contextos del mundo real.
Por su parte, The International Life Skills Survey (Policy Research Initiative Statistics
Canada, 2000) menciona que es necesario poseer “un conjunto de habilidades,
conocimientos, creencias, disposiciones, hábitos de la mente, comunicaciones,
capacidades y habilidades para resolver problemas que las personas necesitan para
participar eficazmente en situaciones cuantitativas que surgen en la vida y el trabajo”.
Lo dicho anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes
vinculados con el desarrollo de la aritmética asociada a la idea de cantidad, lo cual
implica lo siguiente:
Conocer los múltiples usos que les damos a los números naturales, fracciones y decimales.
Representar los números naturales, fracciones y decimales en sus variadas formas.
Realizar procedimientos como conteo, cálculo y estimación de cantidades.
Comprender las relaciones y las operaciones.
Comprender el sistema de numeración decimal con los números naturales y decimales.
Reconocer patrones numéricos en números de hasta seis cifras.
Utilizar números para representar atributos medibles de objetos del mundo real.
Comprender el significado de las operaciones con cantidades y magnitudes.
20
Matematiza situacionesComunica y representa ideas matemáticas
Elabora y usa estrategias
Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de regularidad, equivalencia y
cambio.
Asociar problemas diversos con modelos que
involucran patrones, igualdades,
desigualdades y relaciones.
Justificar y validar conclusiones,
supuestos, conjeturas e hipótesis respaldadas
en leyes que rigen patrones, propiedades
sobre la igualdad y desigualdad y las
relaciones de cambio.
Planificar, ejecutar y valorar estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo, estimación, usando diversos recursos, para resolver problemas.
Expresar el significado de patrones, igualdades, desigualdades y relaciones, de manera oral y escrita haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemático.
COMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio2
En el entorno se producen múltiples relaciones temporales y permanentes que se presentan en los diversos fenómenos naturales, económicos, demográficos, científicos, entre otros. Estas relaciones influyen en la vida del ciudadano exigiéndole que desarrolle capacidades matemáticas para interpretarlos, describirlos y modelarlos (OCDE, 2012). La interpretación de los fenómenos supone comprender los diferentes tipos de cambio y reconocer cuándo se presentan con el propósito de utilizar modelos matemáticos para describirlos.
Actuar y pensar en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio implica desarrollar progresivamente la interpretación y generalización de patrones, la comprensión y el uso de igualdades y desigualdades, y la comprensión y el uso de relaciones y funciones. Por lo tanto, se requiere presentar el álgebra no solo como una traducción del lenguaje natural al simbólico, sino también usarla como una herramienta de modelación de distintas situaciones de la vida real.
Las cuatro capacidades de esta competencia se definen de la siguiente manera:
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
21
x x
Ana Bressan (2010) menciona que el descubrimiento de las leyes que rigen patrones, y su reconstrucción con base en estas mismas leyes, cumple un papel fundamental para el desarrollo del pensamiento matemático. Ambas actividades están vinculadas estrechamente al proceso de generalización, que forma parte del razonamiento inductivo, entendido tanto como pasar de casos particulares a una propiedad común (conjetura o hipótesis), como transferir propiedades de una situación a otra. Asimismo, el estudio de patrones y la generalización de estos abren las “puertas” para comprender la noción de variable y de fórmula, así como para distinguir las formas de razonamiento inductivo y deductivo, y el valor de la simbolización matemática.
La competencia de Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio implica promover aprendizajes relacionados con el álgebra en el V ciclo:
Identificar, interpretar y representar regularidades que se reconocen en diversos contextos, incluidos los matemáticos.
Comprender que un mismo patrón se puede hallar en situaciones diferentes, ya sean físicas, geométricas, aleatorias, numéricas, etc.
Generalizar patrones y relaciones usando iconos y símbolos.
Interpretar y representar las condiciones de problemas, mediante igualdades o desigualdades.
Determinar valores desconocidos y establecer equivalencias entre expresiones numéricas y algebraicas.
Identificar e interpretar las relaciones entre dos magnitudes.
Analizar la naturaleza del cambio y modelar situaciones o fenómenos del mundo real mediante tablas y relaciones de proporcionalidad.
22
COMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización3
En el mundo en que vivimos la geometría está presente en diversas manifestaciones de la cultura y la naturaleza. En nuestro alrededor podemos encontrar una amplia gama de fenómenos visuales y físicos, propiedades de los objetos, posiciones y orientaciones, representaciones de los objetos, su codificación y decodificación (PISA, 2012). Esto nos muestra la necesidad de tener percepción espacial, de comunicarnos en el entorno cotidiano haciendo uso de un lenguaje geométrico, así como de realizar medidas y vincularlas con otros aprendizajes matemáticos. En este sentido, aprender geometría proporciona a la persona, herramientas y argumentos para comprender el mundo; por ello, la geometría es considerada como la herramienta para el entendimiento y es la parte de las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad (Cabellos Santos, 2006).
Actuar y pensar en situaciones de forma, movimiento y localización implica desarrollar progresivamente el sentido de la ubicación en el espacio, la interacción con los objetos, la comprensión de propiedades de las formas y cómo se interrelacionan, así como la aplicación de estos conocimientos al resolver diversos problemas. Esto involucra el despliegue de las cuatro capacidades: matematizar situaciones, comunicar y representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias y razonar y argumentar generando ideas matemáticas.
Estas cuatro capacidades matemáticas se interrelacionan entre sí, para lograr que el estudiante sea capaz de desarrollar una comprensión profunda de las propiedades y relaciones entre las formas geométricas, así como la visualización, la localización y el movimiento en el espacio; todo lo cual permite resolver diversos problemas.
23
Matematiza situaciones
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
Comunica y representa ideas matemáticas
Elabora y usa estrategias
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de
forma, movimiento y localización.
Asociar problemas diversos con
modelos referidos a propiedades de las
formas, localización y movimiento en el
espacio.
Justificar y validar conclusiones,
supuestos, conjeturas e hipótesis respecto
a las propiedades de las formas, sus transformaciones
y localización en el espacio.
Planificar ejecutar y valorar estrategias heurísticas y procedimientos de localización, construcción, medición y estimación, usando diversos recursos para resolver problemas.
Expresar las propiedades de las formas, localización y movimiento en el espacio, de manera oral y escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemático.
Esta forma de promover aprendizajes relacionados con la geometría involucra lo siguiente:
Usar relaciones espaciales al interpretar y
describir de forma oral y gráfica, trayectos y
posiciones de objetos y personas, para distintas
relaciones y referencias.
Construir y copiar modelos de formas
bidimensionales y tridimensionales, con
diferentes formas y materiales.
Expresar propiedades de figuras y cuerpos
según sus características, para que los
reconozcan o los dibujen.
Explorar afirmaciones acerca de características de las figuras y argumentar
su validez.
Estimar, medir y calcular longitudes, superficies y volumen usando unidades
arbitrarias y convencionales.
908070
6050
40
3020
100
180170
160
140
140
130120
110100
90100110
120
130
140
150
160
170
180 0
1020
30
4050
607080
0
180180 0
24
Matematiza situaciones
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
Comunica y representa ideas matemáticas
Elabora y usa estrategias
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre.
Asociar problemas diversos con
modelos estadísticos y
probabilísticos.
Justificar y validar conclusiones,
supuestos, conjeturas e
hipótesis respaldados en conceptos estadísticos y
probabilísticos.
Expresar el significado de conceptos estadísticos y probabilísticos de manera oral o escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemático.
Planificar, ejecutar y valorar estrategias heurísticas y procedimientos para la recolección y el procesamiento de datos y el análisis de problemas de incertidumbre.
COMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre4
En la actualidad, nos encontramos en un contexto social cambiante e impredecible, donde la información, el manejo del azar y la incertidumbre juega un papel relevante. En este contexto, la información es presentada de diversas formas; por ejemplo, los resultados de las encuestas se presentan en diagramas y gráficos, motivo por el cual la estadística se convierte en una herramienta para comprender el mundo y actuar sobre él. De otro lado, también se presentan situaciones de azar, impredecibles y de incertidumbre en la que nos sentimos inseguros sobre cuál es la mejor forma de tomar decisiones, es por ello que la probabilidad se presenta como una herramienta matemática para fomentar el pensamiento aleatorio y estas nociones se desarrollarán de forma intuitiva e informal en el nivel primario.
Actuar y pensar en situaciones de gestión de datos e incertidumbre implica desarrollar progresivamente la comprensión sobre la recopilación y el procesamiento de datos, su interpretación y valoración, y el análisis de situaciones de incertidumbre. Esto involucra el despliegue de las capacidades de matematizar situaciones, comunicar y representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias, razonar y argumentar generando ideas matemáticas a través de sus conclusiones y respuestas.
25
Capacidad 1: Matematiza situaciones
2.2 Capacidades matemáticas
Es la capacidad de expresar en un modelo matemático, un problema reconocido en una situación. En su desarrollo se usa, interpreta y evalúa el modelo matemático, de acuerdo con el problema que le dio origen. Por ello, esta capacidad implica:
Por ejemplo, un estudiante puede expresar un problema en un modelo de solución concreto, gráfico o simbólico.
La matematización destaca la relación entre las situaciones reales y la matemática, resaltando la relevancia del modelo matemático, el cual se define como un sistema que representa y reproduce las características de una situación del entorno. Este sistema está formado por elementos que se relacionan y por operaciones que describen cómo interactúan dichos elementos, haciendo más fácil la manipulación o el tratamiento de la situación (Lesh y Doerr, 2003).
Identificar características, datos, condiciones y variables del problema que permitan construir un sistema de características matemáticas (modelo matemático), de tal forma que reproduzca o imite el comportamiento de la realidad.
Usar el modelo obtenido estableciendo conexiones con nuevas situaciones en las que puede ser aplicable. Esto permite reconocer el significado y la funcionalidad del modelo en situaciones similares a las estudiadas.
Contrastar, valorar y verificar la validez del modelo desarrollado, reconociendo sus alcances y limitaciones.
Mery lleva tres bolsas de ropa a la lavandería, una grande, mediana y otra pequeña. La bolsa grande pesa 6,5 kg. La bolsa grande pesa igual que las otras dos bolsas. La bolsa mediana pesa 4,5 kg. ¿Cuántos kilogramos pesa la otra bolsa de ropa?
Modelo con balanzas
? + 4,5 kg = 6,5 kg
?: peso de la bolsa pequeña
Modelo con esquema
Peso de la bolsa grande
Peso de la bolsa pequeña
Peso de la bolsa mediana
Modelo con una operación
4,5 kg 6,5 kg? 4,5 kg
6,5 kg
?
26
1 Entendemos por representación escrita también lo gráfico y lo visual.
Capacidad 2: Comunica y representa ideas matemáticas
Dibujos e íconos.
Tablas, cuadros, gráficos de barras.
Estructurado: material Base Diez, ábaco, regletas de colores, balanza, etc.No estructurado: semillas, piedritas, palitos, tapas, chapas, etc.
Acciones motrices:juegos de roles y dramatización.
Símbolos, expresiones matemáticas.
Representación pictórica
Representación con material concreto
Representación gráfica
Representación simbólica
Representación vivencial
DIFERENTES FORMAS DE REPRESENTAR
Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemáticas y expresarlas de forma oral y escrita1 usando el lenguaje matemático y diversas formas de representación con material concreto, gráfico, tablas y símbolos, y transitando de una representación a otra.
La comunicación es la forma de expresar y representar información con contenido matemático, así como la manera en que se interpreta (Niss, 2002). Las ideas matemáticas adquieren significado cuando se usan diferentes representaciones y se es capaz de transitar de una representación a otra, de tal forma que se comprende la idea matemática y la función que cumple en diferentes situaciones.
Adaptación: Discover strategic young math students in completently using multiple representations de Anne Marshall (2010).
27
Por ejemplo: representamos 57,95 de diferentes maneras usando material concreto, gráfico o simbólico.
En los primeros grados de la educación primaria, el proceso de construcción del conocimiento matemático se vincula estrechamente con el proceso de desarrollo del pensamiento del niño. Este proceso comienza con un reconocimiento a través de su cuerpo interactuando con el entorno, y con la manipulación del material concreto; se va consolidando cuando el niño pasa a un nivel mayor de abstracción, al representar de manera pictórica y gráfica aquellas nociones y relaciones que fue explorando en un primer momento a través del cuerpo y los objetos. La consolidación del conocimiento matemático, es decir, de conceptos, se completa con la representación simbólica (signos y símbolos) de estos, a través del lenguaje matemático, simbólico y formal.
Para la construcción
del significado de los
conocimientos matemáticos
es recomendable que
los estudiantes realicen
diversas representaciones,
partiendo de aquellas que
son vivenciales hasta llegar
a las gráficas o simbólicas.
En forma concreta
Con billetes y monedas Con el ábaco
En forma gráfica
En forma simbólica
En el tablero de valor posicional: Con sumandos:
D U , d c
5 7 , 9 557 + +9
105
100
10 20 30 40 50 60
57,95 aproximadamente
28
Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias y diversos recursos, entre ellos las tecnologías de información y comunicación, empleándolos de manera flexible y eficaz en el planteamiento y la resolución de problemas. Esto implica ser capaz de elaborar un plan de solución, monitorear su ejecución, pudiendo incluso reformular el plan en el mismo proceso con la finalidad de resolver el problema. Asimismo, implica revisar todo el proceso de resolución, reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usadas de manera apropiada y óptima.
Las estrategias se definen como actividades conscientes e intencionales que guían el proceso de resolución de problemas; estas pueden combinar la selección y ejecución tanto de procedimientos matemáticos como de estrategias heurísticas, de manera pertinente y adecuada al problema planteado.
TRÁNSITO PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE MATEMÁTICO
Lenguaje coloquial
Lenguaje simbólico
Lenguaje técnico y formal
Capacidad 3: Elabora y usa estrategias
Es importante resaltar que en cada nivel de representación se evidencia ya un nivel de abstracción. Es decir, cuando el niño es capaz de transitar de un material concreto a otro, o de un dibujo a otro, va evidenciando que está comprendiendo las nociones y conceptos y los va independizando del tipo de material que está usando. Para representar un descuento del veinte por ciento de cien, podemos usar material Base Diez, o sino una cuadrícula de 10 x 10 en la que sombreamos 20 cuadritos de 100, también podemos utilizar una representación simbólica como fracción decimal ( 20
100 ) o
con un número decimal (0,20) o usando el símbolo % (20%).
El manejo y uso de las expresiones y símbolos que constituyen el lenguaje matemático, se va adquiriendo de forma gradual en el mismo proceso de construcción de conocimientos. Conforme el estudiante va experimentando o explorando las nociones y las relaciones, va expresándolas de forma coloquial al principio, para luego pasar al lenguaje simbólico y, finalmente, dar paso a expresiones más técnicas y formales que permitan expresar con precisión las ideas matemáticas y que además responden a una convención.
29
lumamijuvisadolumamijuvisadolumamijuvisado2 1 5 4 3 2 1
6789101112345678934567891314151617181910111213141516101112131415162021222324252617181920212223171819202122232728293031242526272824252627282930
31
lumamijuvisadolumamijuvisadolumamijuvisado4 3 2 1 6 5 4 3 2 1
78910111213567891011234567814151617181920121314151617189101112131415212223242526271920212223242516171819202122
62 52 42 32 13 03 92 82 72 62 03 92 8230
lumamijuvisadolumamijuvisadolumamijuvisado4 3 2 1 3 2 1 6 5 4 3 2 1
789101112134567891089101112131414151617181920111213141516171516171819202121222324252627181920212223242223242526272828293031252627282930312930
lumamijuvisadolumamijuvisadolumamijuvisado4 3 2 1 2 1 5 4 3 2 1
67891011123456789891011121314131415161718191011121314151615161718192021202122232425261718192021222322232425262728272829303124252627282930293031
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agosto septiembre
Calendario enero febrero marzo
abril mayo
diciembre
julio
octubre noviembre
junio
La capacidad Elabora y usa estrategias implica que los estudiantes:
Elaboren y diseñen un plan de solución.
Seleccionen y apliquen procedimientos y estrategias de diversos tipos (heurísticos, de cálculo mental o escrito).
Realicen una valoración de las estrategias, procedimientos y los recursos que fueron empleados; es decir, que reflexione sobre su pertinencia y si le fueron útiles.
Es la capacidad de plantear supuestos, conjeturas e hipótesis de implicancia matemática mediante diversas formas de razonamiento, así como de verificarlos y validarlos usando argumentos. Para esto, se debe partir de la exploración de situaciones vinculadas a las matemáticas, a fin de establecer relaciones entre ideas y llegar a conclusiones sobre la base de inferencias y deducciones que permitan generar nuevas ideas matemáticas.
La capacidad Razona y argumenta generando ideas matemáticas implica que el estudiante:
Explique sus argumentos al plantear supuestos, conjeturas e hipótesis. Observe los fenómenos y establezca diferentes relaciones matemáticas. Elabore conclusiones a partir de sus experiencias. Defienda sus argumentos y refute otros, sobre la base de sus conclusiones.
Capacidad 4: Razona y argumenta generando
ideas matemáticas
Profesora, una regleta rosada representa la mitad del
terreno, entonces la fracción es 1
2.
También dos regletas rojas son 24 .
Al simplificar equivale a 12
.
Maestra, yo encontré: 48 , pero al
simplificar equivale a 12
.
¿Cómo han resuelto el problema?
Usando tapas lo resolví más rápido.
Mi estrategia es más fácil. Explícame
cómo lo has resuelto tú.
¿Y si en vez de un cuarto hubiera sido
un quinto?Voy a intentar
resolverlo de otra manera para ver si
sale igual.
30
2.3 ¿Cómo se desarrollan las competencias en el V ciclo?
2.3.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
Los niños en este ciclo, se enfrentan a situaciones y problemas de contextos sociales y comerciales, por ejemplo a situaciones de compra-venta, de descuentos, problemas de reparto de cantidades, problemas en las que se informa de asuntos relacionados con cantidades expresados en millones, entre otros. Así mismo, tienen la necesidad de manejar con mayor precisión el peso de los objetos y orginizarse a nivel personal haciendo uso del tiempo.
Es por ello que en este ciclo, actuar y pensar matemáticamente en situaciones de cantidad implica que los estudiantes realicen acciones orientadas a matematizar situaciones al plantear relaciones y expresarlas en modelos de solución aditivos y multiplicativos con naturales, fracciones y decimales; comunicar y representar ideas matemáticas sobre el significado de los números naturales mayores de seis cifras, fracciones, decimales y porcentajes, y sobre las diferentes formas de representar estos números; elaborar y usar estrategias y procedimientos de cálculo escrito y mental para resolver problemas; y razonar y argumentar al establecer conjeturas sobre las propiedades de los números y operaciones. En este afán es importante la consolidación de ideas y conceptos fundamentales de la matemática, como el sistema de numeración decimal al trabajar con decimales hasta el centésimo.
Es importante mencionar que en este ciclo se da inicio al estudio de los decimales y porcentajes a partir de las fracciones decimales, pero además se relacionan los números decimales con el sistema de numeración decimal, lo cual significa un paso más hacia la noción de números racionales.
Karina 0,9 mPedro 1,5 mIván 1,2 mEsther 1,3 mIngrid 0,7 m
Talla de los estudiantes del grupo 1
31
A c
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mer
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s,
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taje
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e,
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empl
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ina
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la.
Expr
esa
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do
term
inol
ogía
s,
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cion
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emát
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com
pren
sión
sob
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mat
emát
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do t
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sím
bolo
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cion
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y eje
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y re
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ular
y
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os m
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1 P
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ción
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impl
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Pro
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AEV
: Com
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ción
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6.
4 P
robl
emas
mul
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os c
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o de
pro
duct
o ca
rtesi
ano.
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5%, 5
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6 C
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ncio
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mat
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: p.e
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nven
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Act
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pie
nsa
mat
emát
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en
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ad
32
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blem
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os d
e ca
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y 6
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com
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ción
, com
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–ig
uala
ción
, etc
.3
(PA
EV) P
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ón 3
y 4
.4
Pro
blem
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os c
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os.
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mas
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con
pro
blem
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. Pro
blem
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bina
ción
-mul
tiplic
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n y
com
bina
ción
-div
isió
n o
prod
ucto
car
tesi
ano.
6 Po
r eje
mpl
o, s
ituac
ione
s du
ales
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gan
anci
as-p
érdi
das,
ingr
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nteg
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y s
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o de
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junt
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mul
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s et
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4 que
com
bine
n ac
cion
es d
e ag
rega
r, qu
itar,
junt
ar, c
ompa
rar,
igua
lar,
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tir, r
epar
tir o
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reta
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cion
es a
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as
y m
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dat
os n
o ex
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itos,
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prob
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etap
as5 ,
y lo
s ex
pres
a en
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mod
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ión
que
com
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op
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ione
s co
n nú
mer
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natu
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s.
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lem
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Re
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ce d
atos
y re
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ones
no
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lícita
s en
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nes
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es y
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mod
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os
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y su
s op
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ione
s.
Se
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un
mod
elo
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cion
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mer
os e
nter
os
al p
lant
ear o
reso
lver
un
prob
lem
a en
situ
acio
nes
dual
es
y re
lativ
as.
33
1
Pro
blem
as m
ultip
licat
ivos
de
prop
orci
onal
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sim
ple,
pro
blem
as d
e co
mpa
raci
ón-
ampl
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ción
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la fo
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lem
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pro
blem
as d
e ite
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ón (“
Esto
y en
el n
úmer
o 23
8. D
oy s
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os p
ara
atrá
s de
12
en 1
2. ¿
A q
ué n
úme-
ro
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o m
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. Pro
blem
as d
e ut
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= d
.q +
r, r
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3
(PA
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robl
emas
mul
tiplic
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e co
mpa
raci
ón q
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quie
ran
redu
cir u
na m
agni
tud,
o c
ompa
rar d
e la
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eces
men
os q
ue”.
4
Pro
blem
as d
e an
ális
is d
el re
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o, p
robl
emas
de
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ón d
e la
rela
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d.q
+ r,
r <
d. P
robl
emas
par
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cons
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el r
esto
de
la d
ivis
ión.
5
Prob
lem
as r
ecur
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s qu
e im
pliq
uen
por e
jem
plo:
un
cajó
n co
ntie
ne 6
caj
as c
on 6
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uche
s de
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pice
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robl
emas
de
prod
ucto
s de
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o m
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los
com
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mer
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ultip
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un
núm
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ci
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robl
emas
2 y lo
s ex
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a en
un
mod
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de s
oluc
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sion
es e
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as e
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acta
s co
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has
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pro
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na c
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expr
esán
dolo
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un
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con
cant
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es d
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un m
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ón m
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a pr
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Prob
lem
as m
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na
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es e
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frac
cion
es u
sual
es
con
deno
min
ador
es 2
,4,8
,3,6
,5
y 10
.
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on fr
acci
ones
Id
entif
ica
dato
s en
pro
blem
as2
que
impl
ique
n pa
rtir e
l tod
o o
la u
nida
d en
par
tes
igua
les,
ex
pres
ándo
los
en u
n m
odel
o de
so
luci
ón a
ditiv
o co
n fra
ccio
nes
usua
les.
Pl
ante
a re
laci
ones
ent
re lo
s da
tos
en
prob
lem
as d
e un
a et
apa3 ,
exp
resá
ndol
os e
n un
m
odel
o de
sol
ució
n ad
itiva
con
fra
ccio
nes.
Em
plea
un
mod
elo
de
solu
ción
re
ferid
o a
las
fracc
ione
s co
mo
parte
todo
o re
parto
al p
lant
ear
o re
solv
er u
n pr
oble
ma.
Prob
lem
as c
on fr
acci
ones
com
o re
parto
y
med
ida.
Pl
ante
a re
laci
ones
ent
re lo
s da
tos
en p
robl
emas
4 que
im
pliq
uen
repa
rtir,
med
ir lo
ngitu
des,
par
tir s
uper
ficie
s;
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de
solu
ción
con
frac
cion
es.
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on fr
acci
ones
Pl
ante
a re
laci
ones
ent
re lo
s da
tos
en
prob
lem
as d
e un
a et
apa5 ,
exp
resá
ndol
os e
n un
m
odel
o de
sol
ució
n ad
itiva
con
fra
ccio
nes.
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
con
fra
ccio
nes
Pl
ante
a re
laci
ones
ent
re
los
dato
s en
pro
blem
as6 ,
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de
solu
ción
mul
tiplic
ativ
o de
una
fra
cció
n po
r un
natu
ral.
Em
plea
un
mod
elo
de
solu
ción
ad
itivo
o m
ultip
licat
ivo
con
fra
ccio
nes
al p
lant
ear o
reso
lver
un
pro
blem
a.
Prob
lem
as
con
fracc
ione
s co
mo
coci
ente
y c
omo
oper
ador
Pl
ante
a re
laci
ones
ent
re
los
dato
s en
pro
blem
as7
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de
solu
ción
con
frac
cion
es c
omo
coci
ente
.
Pl
ante
a re
laci
ones
ent
re
los
dato
s en
pro
blem
as8
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de
solu
ción
con
frac
cion
es c
omo
oper
ador
.
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
con
fra
ccio
nes
Pl
ante
a re
laci
ones
ent
re
los
dato
s en
pro
blem
as,
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
mul
tiplic
ativ
o en
tre
fracc
ione
s.
In
terp
reta
dat
os y
rela
cion
es
en p
robl
emas
que
impl
ique
n re
parti
r, pa
rtir u
na lo
ngitu
d o
supe
rfici
e y
los
expr
esa
en u
n m
odel
o de
sol
ució
n de
div
isió
n en
tre u
na fr
acci
ón y
un
ente
ro.
Em
plea
un
mod
elo
de
solu
ción
ad
itivo
o m
ultip
licat
ivo
con
fracc
ione
s al
pla
ntea
r o re
solv
er
un p
robl
ema.
1 Pr
oble
mas
de
repa
rto e
n la
s cu
ales
el r
esto
se
repa
rta e
quita
tivam
ente
.2
Prob
lem
as q
ue im
pliq
uen
parti
r una
uni
dad
en p
arte
s ig
uale
s (n
oció
n de
frac
ción
com
o pa
rte to
do).
3 (P
AEV
) Pro
blem
as a
ditiv
os d
e ca
mbi
o o
com
para
ción
.4
Pro
blem
as d
e fra
ccio
nes
que
impl
ican
repa
rto, p
robl
emas
de
med
ida
que
impl
ique
n co
mpa
raci
ón d
e lo
ngitu
des
y ár
eas.
5 (P
AEV
) Pro
blem
as a
ditiv
os d
e ca
mbi
o, c
ompa
raci
ón e
igua
laci
ón.
6 Pr
oble
mas
mul
tiplic
ativ
os d
e pr
opor
cion
alid
ad s
impl
e de
repe
tició
n de
una
med
ida.
Pro
blem
as d
e ár
ea.
7
Prob
lem
as d
e fra
ccio
nes
que
impl
ican
reco
noce
r que
la fr
acci
ón e
s un
coc
ient
e: ¿
exis
te u
na n
úmer
o na
tura
l que
mul
tiplic
ado
por 6
, dé
com
o re
sulta
do 8
?¿Y
una
fracc
ión?
¿Cuá
l es
el re
sulta
do d
e di
vidi
r 8 e
ntre
6?.
8 Pr
oble
mas
de
fracc
ione
s co
mo
oper
ador
que
impl
ican
reco
noce
r la
fracc
ión
de u
n co
njun
to o
una
can
tidad
dis
cret
a (c
onju
nto
de o
bjet
os, p
or e
jem
plo:
¼ d
e 28
car
amel
os).
Prob
lem
as q
ue im
pliq
uen
la fr
acci
ón u
na c
antid
ad c
ontin
ua (u
na s
uper
ficie
, una
long
itud,
el t
iem
po, p
or e
jem
plo:
¼ d
e ho
ra, ¼
de
kiló
met
ro)
35
1 Pr
oble
mas
adi
tivos
de
una
o m
ás e
tapa
s qu
e im
pliq
uen
com
bina
r pro
blem
as d
e ca
mbi
o-ca
mbi
o, c
ambi
o-co
mbi
naci
ón, c
ambi
o-co
mpa
raci
ón, e
tc.;
con
núm
eros
dec
imal
es h
asta
el c
enté
sim
o.2
Prob
lem
a de
var
ias
etap
as q
ue im
pliq
uen
oper
acio
nes
com
bina
das
con
núm
eros
dec
imal
es h
asta
el c
enté
sim
o.3
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
de
prop
orci
onal
idad
sim
ple
de re
petic
ión
de u
na m
edid
a, d
e co
mpa
raci
ón d
e am
plifi
caci
ón y
redu
cció
n. P
robl
emas
de
área
s qu
e im
pliq
uen
med
idas
en
núm
eros
dec
ima-
les.
4
Prob
lem
as P
AEV
: Com
para
ción
e ig
uala
ción
5 y
6.
MATEMATIZA SITUACIONES
Cua
rto g
rado
Qui
nto
grad
oSe
xto
Gra
doPr
imer
Gra
do d
e Se
cund
aria
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on d
ecim
ales
In
terp
reta
dat
os y
rela
cion
es
en p
robl
emas
adi
tivos
1 , y
los
expr
esa
en u
n m
odel
o de
so
luci
ón a
ditiv
o co
n de
cim
ales
ha
sta
el c
enté
sim
o.
Prob
lem
as a
ditiv
os y
mul
tiplic
ativ
os c
on
deci
mal
es
In
terp
reta
dat
os y
rela
cion
es
no e
xplíc
itas,
en
prob
lem
as d
e va
rias
etap
as2 ,
y lo
s ex
pres
a en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
aditi
vo q
ue c
ombi
nen
las
cuat
ro
oper
acio
nes
con
deci
mal
es.
Id
entif
ica
dato
s en
pro
blem
as3 ,
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
mul
tiplic
ativ
o co
n de
cim
ales
.
Dec
imal
es
Re
cono
ce re
laci
ones
en
prob
lem
as a
ditiv
os d
e co
mpa
raci
ón e
igua
laci
ón4 c
on
deci
mal
es y
frac
cion
es, y
los
expr
esa
en u
n m
odel
o.
U
sa m
odel
os a
ditiv
os c
on
deci
mal
es a
l pla
ntea
r y re
solv
er
prob
lem
as d
e co
mpa
raci
ón e
ig
uala
ción
.
Prop
orci
onal
idad
Re
cono
ce re
laci
ones
en
tre m
agni
tude
s en
pr
oble
mas
mul
tiplic
ativ
os d
e pr
opor
cion
alid
ad y
lo e
xpre
sa
en u
n m
odel
o de
sol
ució
n.
U
sa m
odel
os re
ferid
os a
la
prop
orci
onal
idad
dire
cta
al
reso
lver
pro
blem
as.
Porc
enta
jes
Pl
ante
a re
laci
ones
ent
re
los
dato
s en
pro
blem
as,
expr
esán
dolo
s en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
con
por
cent
ajes
us
uale
s.
Em
plea
un
mod
elo
de s
oluc
ión
refe
rido
a po
rcen
taje
s us
uale
s al
cr
ear o
reso
lver
pro
blem
as.
Porc
enta
jes
Re
laci
ona
cant
idad
es y
m
agni
tude
s en
situ
acio
nes
y lo
s ex
pres
a en
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elos
de
aum
ento
s y
desc
uent
os
porc
entu
ales
.
U
sa u
n m
odel
o de
sol
ució
n ba
sado
en
aum
ento
s y
desc
uent
os p
orce
ntua
les
al
plan
tear
y re
solv
er p
robl
emas
.
C
ompr
ueba
si e
l mod
elo
usad
o o
desa
rrol
lado
per
miti
ó re
solv
er e
l pr
oble
ma.
36
COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS
Cua
rto g
rado
Qui
nto
grad
oSe
xto
Gra
doPr
imer
Gra
do d
e Se
cund
aria
Núm
eros
nat
ural
es
Ex
pres
a en
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a or
al o
esc
rita,
el
uso
de
los
núm
eros
nat
ural
es
en c
onte
xtos
de
la v
ida
diar
ia
(pes
o, ti
empo
, sue
ldos
, et
ique
tas,
etc
.).
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón d
e nú
mer
os d
e ha
sta
cuat
ro c
ifras
, en
la re
cta
num
éric
a y
en e
l ta
bler
o po
sici
onal
.
El
abor
a re
pres
enta
cion
es d
e nú
mer
os h
asta
cua
tro c
ifras
en
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a co
ncre
ta, p
ictó
rica,
gr
áfic
a y
sim
bólic
a1 .
Núm
eros
nat
ural
es
Ex
pres
a en
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a or
al o
esc
rita,
el
uso
de
los
núm
eros
has
ta
seis
cifr
as e
n di
vers
os c
onte
xtos
de
la v
ida
diar
ia (s
ueld
os,
dist
anci
as, p
resu
pues
tos
com
unal
es y
regi
onal
es, a
foro
de
un
loca
l, et
c.).
El
abor
a re
pres
enta
cion
es
de n
úmer
os h
asta
sei
s ci
fras
en fo
rma
conc
reta
, pic
tóric
a,
gráf
ica
y si
mbó
lica2 .
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón y
el
orde
n de
núm
eros
de
hast
a se
is
cifra
s.
Núm
eros
nat
ural
es
Ex
pres
a en
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a or
al o
esc
rita,
el
uso
de
los
núm
eros
may
ores
de
sei
s ci
fras
en d
iver
sos
cont
exto
s de
la v
ida
diar
ia
(dis
tanc
ias,
pre
supu
esto
s,
prec
ios
de c
asas
, pre
mio
s de
lo
tería
, etc
.).
El
abor
a re
pres
enta
cion
es d
e nú
mer
os m
ayor
es d
e se
is c
ifras
en
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a si
mbó
lica3 .
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón y
el
orde
n de
núm
eros
may
ores
de
seis
cifr
as.
Núm
eros
ent
eros
Ex
pres
a el
sig
nific
ado
del
sign
o de
l núm
ero
ente
ro e
n si
tuac
ione
s di
vers
as.
Ex
pres
a en
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a gr
áfic
a y
sim
bólic
a la
s re
laci
ones
de
orde
n en
tre n
úmer
os e
nter
os
empl
eand
o la
rect
a nu
mér
ica.
Tiem
po y
pes
o
D
escr
ibe
la d
urac
ión,
est
imac
ión
y
com
para
ción
de
even
tos
usan
do a
ños,
mes
es, h
ora,
1/2
ho
ra o
1/4
de
hora
.
Ex
pres
a la
med
ida,
est
imac
ión
y la
com
para
ción
del
pes
o de
ob
jeto
s en
uni
dade
s of
icia
les
(gra
mo
y ki
logr
amo)
y fr
acci
ón
de u
na m
edid
a, c
omo
1/2
kg,
1/4
kg.
Ex
pres
a en
form
a or
al o
esc
rita,
el
uso
de
frac
cion
es u
sual
es
en c
onte
xtos
de
med
ida
(pes
o,
tiem
po, l
ongi
tud,
cap
acid
ad,
supe
rfici
e, e
tc.).
Tiem
po y
pes
o
D
escr
ibe
la d
urac
ión,
es
timac
ión
y co
mpa
raci
ón d
e ev
ento
s em
plea
ndo
min
utos
y
segu
ndos
.
Ex
pres
a la
med
ida,
est
imac
ión
y la
com
para
ción
del
pes
o de
ob
jeto
s en
uni
dade
s of
icia
les
(gra
mo
y ki
logr
amo)
usa
ndo
sus
equi
vale
ncia
s y
nota
cion
es.
Ex
pres
a la
med
ida
de la
te
mpe
ratu
ra e
n fo
rma
vive
ncia
l, co
ncre
ta, p
ictó
rica,
grá
fica
y si
mbó
lica.
Tiem
po y
pes
o
D
escr
ibe
la d
urac
ión,
est
imac
ión
y co
mpa
raci
ón d
e ev
ento
s em
plea
ndo
años
, déc
adas
y
sigl
os.
Ex
pres
a la
med
ida,
est
imac
ión
y la
com
para
ción
del
pes
o de
ob
jeto
s en
uni
dade
s of
icia
les
usan
do s
us e
quiv
alen
cias
y
nota
cion
es m
ás u
sual
es.
Ex
pres
a pr
oced
imie
ntos
de
med
ida
de p
eso
y te
mpe
ratu
ra,
entre
otro
s, c
on e
xpre
sion
es
deci
mal
es.
Mul
tiplic
ació
n y
divi
sión
Ex
pres
a m
edia
nte
ejem
plos
su
com
pren
sión
sob
re la
s pr
opie
dade
s de
la m
ultip
licac
ión
y di
visi
ón.
Div
isió
n
Ex
pres
a co
n su
s pr
opia
s pa
labr
as lo
que
com
pren
de d
el
prob
lem
a.
Ex
pres
a m
edia
nte
ejem
plos
su
com
pren
sión
sob
re la
s pr
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dade
s de
la d
ivis
ión.
Pote
ncia
ción
El
abor
a re
pres
enta
cion
es
conc
reta
s, p
ictó
ricas
, grá
ficas
y
sim
bólic
as d
e la
pot
enci
a cu
adra
da y
cúb
ica
de u
n nú
mer
o na
tura
l.
Pote
ncia
ción
D
escr
ibe
las
cara
cter
ístic
as d
e la
po
tenc
iaci
ón, c
onsi
dera
ndo
su
base
y e
xpon
ente
con
núm
eros
na
tura
les.
Re
pres
enta
de
form
a gr
áfic
a y
sim
bólic
a la
s po
tenc
ias
con
expo
nent
es p
ositi
vos.
1 M
ater
ial c
oncr
eto
(ába
co, y
upan
a, m
oned
as y
bill
etes
), di
bujo
s, g
ráfic
os (r
ecta
num
éric
a) o
repr
esen
taci
ón s
imbó
lica
(núm
eros
, pal
abra
s, c
ompo
sici
ón y
des
com
posi
ción
adi
tiva
y m
ultip
licat
iva,
val
or
posi
cion
al e
n m
illar
es, c
ente
nas,
dec
enas
y u
nida
des)
.2
Mat
eria
l con
cret
o (á
baco
, mon
edas
y b
illet
es),
dibu
jos,
grá
ficos
(rec
ta n
umér
ica)
o re
pres
enta
ción
sim
bólic
a (n
úmer
os, p
alab
ras,
com
posi
ción
y d
esco
mpo
sici
ón a
ditiv
a y
mul
tiplic
ativ
a, v
alor
pos
icio
-na
l en
cent
ena,
dec
ena
y un
idad
de
mill
ar, c
ente
nas,
dec
enas
y u
nida
des)
.3
Sim
bólic
a (n
úmer
os, p
alab
ras,
com
posi
ción
y d
esco
mpo
sici
ón a
ditiv
a y
mul
tiplic
ativ
a, v
alor
pos
icio
nal e
n m
illon
es, c
ente
na, d
ecen
a y
unid
ad d
e m
illar
; cen
tena
s, d
ecen
as y
uni
dade
s).
37
COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICASC
uarto
gra
doQ
uint
o gr
ado
Sext
o G
rado
Prim
er G
rado
de
Secu
ndar
ia
Múl
tiplo
s y
divi
sore
s
El
abor
a re
pres
enta
cion
es
conc
reta
s, g
ráfic
as y
sim
bólic
as1
de lo
s m
últip
los
y di
viso
res
de
un n
úmer
o, m
ínim
o co
mún
m
últip
lo y
máx
imo
com
ún
divi
sor.
Ex
pres
a el
sig
nific
ado
de
múl
tiplo
, div
isor
, núm
eros
pr
imos
, com
pues
tos
y di
visi
bles
.
U
tiliz
a la
crib
a de
Era
tóst
enes
pa
ra e
xpre
sar l
os n
úmer
os
prim
os y
com
pues
tos
infe
riore
s a
un n
úmer
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tura
l cua
lqui
era.
Frac
cion
es y
sus
ope
raci
ones
Ex
pres
a en
form
a or
al o
esc
rita,
el
uso
de
las
fracc
ione
s us
uale
s en
div
erso
s co
ntex
tos
de la
vid
a di
aria
(rec
etas
, med
idas
de
long
itud,
tiem
po, e
tc.).
Frac
cion
es y
sus
ope
raci
ones
Ex
pres
a en
form
a or
al o
esc
rita,
el
uso
de
las
fracc
ione
s en
di
vers
os c
onte
xtos
de
la v
ida
diar
ia (r
ecet
as, m
edid
as d
e lo
ngitu
d, c
apac
idad
, tie
mpo
, pr
ecio
s, e
tc.).
Frac
cion
es
El
abor
a di
vers
as
repr
esen
taci
ones
de
la fr
acci
ón
de u
n co
njun
to.
Re
pres
enta
el o
rden
de
fracc
ione
s y
deci
mal
es e
n la
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cta
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eric
a.
El
abor
a re
pres
enta
cion
es
conc
reta
, pic
tóric
a, g
ráfic
a y
sim
bólic
a2 de
las
fracc
ione
s co
mo
parte
de
un to
do, c
omo
repa
rto, n
úmer
os m
ixto
s,
fracc
ione
s ho
mog
énea
s y
hete
rogé
neas
, fra
ccio
nes
usua
les
equi
vale
ntes
3 .
El
abor
a re
pres
enta
cion
es
conc
reta
, pic
tóric
a, g
ráfic
a y
sim
bólic
a4 de
las
fracc
ione
s pr
opia
s, im
prop
ias,
núm
eros
m
ixto
s y
fracc
ión
de u
na
cant
idad
con
tinua
.
El
abor
a re
pres
enta
cion
es
conc
reta
s, g
ráfic
as y
sim
bólic
as
de lo
s si
gnifi
cado
s de
las
fracc
ione
s y
sus
oper
acio
nes
(div
isió
n).
O
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iza
dato
s en
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as
para
exp
resa
r rel
acio
nes
de
prop
orci
onal
idad
dire
cta
entre
m
agni
tude
s.
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón
y or
den
de la
s fra
ccio
nes
usua
les
con
igua
l y d
istin
to
deno
min
ador
; con
mat
eria
l co
ncre
to y
grá
fico.
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón y
or
den
de la
s fra
ccio
nes
prop
ias
y nú
mer
os m
ixto
s, c
on s
opor
te
conc
reto
y g
ráfic
o.
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón
y or
den
de la
s fra
ccio
nes
deci
mal
es5 c
on s
opor
te c
oncr
eto
y gr
áfic
o.
Ex
pres
a la
s ca
ract
erís
ticas
de
las
fracc
ione
s eq
uiva
lent
es,
prop
ias
e im
prop
ias.
El
abor
a re
pres
enta
cion
es
conc
reta
, pic
tóric
a, g
ráfic
a y
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bólic
a de
los
sign
ifica
dos
de la
adi
ción
y s
ustra
cció
n co
n fra
ccio
nes
de ig
ual
deno
min
ador
.
El
abor
a re
pres
enta
cion
es
conc
reta
, pic
tóric
a, g
ráfic
a y
sim
bólic
a de
los
sign
ifica
dos
de la
adi
ción
y s
ustra
cció
n co
n fra
ccio
nes.
1 M
ater
ial c
oncr
eto
(obj
etos
, reg
leta
s de
col
ores
, bas
e di
ez),
pict
óric
o, g
ráfic
a (d
esco
mpo
sici
ones
rect
angu
lare
s, ta
bler
o ci
en, r
ecta
num
éric
a, d
iagr
amas
de
Venn
) y s
imbó
licas
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Mat
eria
l con
cret
o (re
glet
as d
e co
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s, ti
ras
de fr
acci
ones
equ
ival
ente
s, fr
acci
ones
equ
ival
ente
s ci
rcul
ares
, dob
lado
del
pap
el,),
dib
ujos
, grá
ficos
(fig
uras
, rec
ta n
umér
ica)
o re
pres
enta
ción
sim
bólic
a (n
úmer
os, p
alab
ras,
frac
cion
es m
enor
es y
may
ores
que
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nida
d).
3 Fr
acci
ones
equ
ival
ente
s co
n la
s fra
ccio
nes
usua
les
(den
omin
ador
es 2
,4,8
,3,6
,5 y
10.
Por
eje
mpl
o: ½
=2/
4=4/
8; 1
/3=
2/6;
1/5
=2/
10)
4
Mat
eria
l con
cret
o (re
glet
as d
e co
lore
s, ti
ras
de fr
acci
ones
equ
ival
ente
s lin
eale
s y
circ
ular
es),
dibu
jos,
grá
ficos
(rec
ta n
umér
ica)
o re
pres
enta
ción
sim
bólic
a (n
úmer
os, p
alab
ras,
not
ació
n de
frac
cion
es).
5 Fr
acci
ones
dec
imal
es s
on a
quel
las
cuyo
s de
nom
inad
ores
es
una
pote
ncia
de
10. P
or e
jem
plo:
1/1
0, 1
/100
, 1/1
000,
etc
.
38
COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS
Cua
rto g
rado
Qui
nto
grad
oSe
xto
Gra
doPr
imer
Gra
do d
e Se
cund
aria
Núm
eros
dec
imal
es
Ex
pres
a en
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a or
al o
esc
rita,
el
uso
de
los
deci
mal
es e
n di
vers
os c
onte
xtos
de
la v
ida
diar
ia (m
edid
as d
e lo
ngitu
d,
capa
cida
d, ti
empo
, etc
.) y
en
el s
iste
ma
mon
etar
io n
acio
nal
(bill
etes
y m
oned
as).
El
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a re
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enta
cion
es
conc
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, grá
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s de
cim
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ta
el c
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sim
o y
de s
us
equi
vale
ncia
s.
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón y
or
den
de lo
s de
cim
ales
has
ta e
l ce
ntés
imo
en la
rect
a nu
mér
ica,
en
el t
able
ro p
osic
iona
l y s
egún
el
val
or p
osic
iona
l de
sus
cifra
s.
El
abor
a re
pres
enta
cion
es
conc
reta
, pic
tóric
a, g
ráfic
a y
sim
bólic
a de
los
sign
ifica
dos
de la
adi
ción
y s
ustra
cció
n de
de
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ales
has
ta e
l cen
tési
mo.
Núm
eros
dec
imal
es
Ex
pres
a en
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a or
al o
es
crita
, el u
so d
e lo
s nú
mer
os
deci
mal
es h
asta
el m
ilési
mo
y fra
cció
n de
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al e
n di
vers
os
cont
exto
s de
la v
ida
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ia
(rece
tas,
med
idas
muy
pe
queñ
as, e
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El
abor
a re
pres
enta
cion
es
conc
reta
s, p
ictó
ricas
, grá
ficas
y
sim
bólic
as1 de
los
núm
eros
de
cim
ales
has
ta e
l milé
sim
o y
sus
equi
vale
ncia
s.
D
escr
ibe
la c
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raci
ón y
or
den
de lo
s de
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ales
has
ta e
l m
ilési
mo
en la
rect
a nu
mér
ica,
en
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able
ro p
osic
iona
l y s
egún
el
val
or p
osic
iona
l de
sus
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s.
El
abor
a re
pres
enta
cion
es
conc
reta
s, p
ictó
ricas
, grá
ficas
y
sim
bólic
as d
e lo
s si
gnifi
cado
s de
la m
ultip
licac
ión
o di
visi
ón
con
deci
mal
es.
Porc
enta
jes
Ex
pres
a en
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a or
al o
esc
rita,
el
uso
de
porc
enta
jes
más
us
uale
s2 en
dive
rsos
con
text
os
de la
vid
a di
aria
(rec
etas
, di
stan
cias
, ofe
rtas,
etc
.).
El
abor
a re
pres
enta
cion
es
conc
reta
s, p
ictó
ricas
, grá
ficas
y
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bólic
as3 d
e lo
s po
rcen
taje
s m
ás u
sual
es.
Porc
enta
jes
Re
pres
enta
aum
ento
s o
desc
uent
os p
orce
ntua
les
empl
eand
o di
agra
mas
o
gráf
icos
.
Ex
pres
a en
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a or
al o
esc
rita,
el
aum
ento
o d
escu
ento
po
rcen
tual
, exp
resa
ndo
el
sign
ifica
do d
el p
orce
ntaj
e.
ELABORA Y USA ESTRATEGIAS
Pr
opon
e un
a se
cuen
cia
de a
ccio
nes
orie
ntad
as a
ex
perim
enta
r o re
solv
er u
n pr
oble
ma.
El
abor
a y
ejec
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un p
lan
orie
ntad
o a
expe
rimen
tar o
reso
lver
pro
blem
as.
D
iseñ
a y
ejec
uta
un p
lan
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ntad
o a
la in
vest
igac
ión
y re
solu
ción
de
prob
lem
as.
Núm
eros
nat
ural
es
Re
aliz
a pr
oced
imie
ntos
par
a co
mpa
rar,
orde
nar y
est
imar
co
n nú
mer
os n
atur
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has
ta
cuat
ro c
ifras
con
apo
yo d
e m
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ial c
oncr
eto.
Núm
eros
nat
ural
es
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
par
a co
mpa
rar,
orde
nar y
est
imar
o
redo
ndea
r con
núm
eros
na
tura
les.
Núm
eros
nat
ural
es
Em
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pro
cedi
mie
ntos
par
a re
aliz
ar o
pera
cion
es c
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núm
eros
ent
eros
.
Em
plea
est
rate
gias
heu
rístic
as
y pr
oced
imie
ntos
par
a re
solv
er
prob
lem
as c
on n
úmer
os
ente
ros.
1 M
ater
ial c
oncr
eto
(mat
eria
l bas
e di
ez, r
egle
tas)
, grá
fica
(ába
co, b
ase
diez
, cua
dríc
ula
de 1
0 x1
0, d
iagr
amas
de
tiras
) y s
imbó
lica
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ero
de v
alor
pos
icio
nal,
valo
r pos
icio
nal d
e su
s ci
fras,
0, 7
5 =
3/4
)2
Porc
enta
jes
usua
les:
1%
, 10%
, 20
%, 2
5%, 5
0%, 7
5%3
Mat
eria
l con
cret
o (m
ater
ial b
ase
diez
), gr
áfic
a (c
uadr
ícul
a de
10
x10,
dia
gram
as d
e tir
as) y
sim
bólic
a (n
otac
ión
y su
s eq
uiva
lenc
ias:
0, 7
5 =
3/4
= 7
5%)
39
ELABORA Y USA ESTRATEGIASC
uarto
gra
doQ
uint
o gr
ado
Sext
o G
rado
Prim
er G
rado
de
Secu
ndar
ia
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po y
pes
o
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
y
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par
a m
edir,
es
timar
, com
para
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alcu
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vale
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s al
reso
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pr
oble
mas
sob
re la
dur
ació
n de
l tie
mpo
y e
l pes
o de
los
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tos.
Tiem
po y
pes
o
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
med
ida,
est
imac
ión
y co
nver
sión
al
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lver
pro
blem
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impl
ique
n es
timar
, med
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rect
a o
indi
rect
amen
te e
l tie
mpo
y
peso
de
los
obje
tos.
Tiem
po y
pes
o
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
med
ida,
est
imac
ión
y co
nver
sión
al
reso
lver
pro
blem
as q
ue
impl
ique
n es
timar
, med
ir di
rect
a o
indi
rect
amen
te e
l tie
mpo
y
peso
de
los
obje
tos.
Núm
eros
nat
ural
es
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
par
a re
aliz
ar o
pera
cion
es c
on
núm
eros
ent
eros
.
Em
plea
est
rate
gias
heu
rístic
as
y pr
oced
imie
ntos
par
a re
solv
er
prob
lem
as c
on n
úmer
os
ente
ros.
Prob
lem
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ditiv
os y
mul
tiplic
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os c
on
núm
eros
nat
ural
es
Em
plea
est
rate
gias
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rístic
as
com
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cer u
n es
quem
a,
busc
ar re
gula
ridad
es, h
acer
an
alog
ías
al re
solv
er p
robl
emas
ad
itivo
s o
mul
tiplic
ativ
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e un
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varia
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apas
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núm
eros
na
tura
les
con
cant
idad
es y
m
agni
tude
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empo
y p
eso)
.
Em
plea
pro
pied
ades
de
las
oper
acio
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y pr
oced
imie
ntos
o
estra
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lcul
o m
enta
l y
escr
ito p
ara
mul
tiplic
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di
vidi
r núm
eros
nat
ural
es c
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ltado
s ha
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cuat
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ifras
.
Prob
lem
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ditiv
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mul
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núm
eros
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es
Em
plea
pro
pied
ades
o la
je
rarq
uía
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s op
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s co
mbi
nada
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n y
sin
paré
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on n
úmer
os
natu
rale
s, a
l res
olve
r pro
blem
as
aditi
vos
o m
ultip
licat
ivos
de
varia
s et
apas
.
Prob
lem
as d
e po
tenc
iaci
ón y
múl
tiplo
s y
divi
sore
s
Em
plea
est
rate
gias
heu
rístic
as
y pr
oced
imie
ntos
al r
esol
ver
prob
lem
as re
laci
onad
os a
po
tenc
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cuad
rada
s y
cúbi
cas.
Em
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est
rate
gias
heu
rístic
as,
el M
CD
y e
l mcm
par
a re
solv
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lem
as s
impl
es d
e m
últip
los
y di
viso
res
con
núm
eros
na
tura
les.
Em
plea
ope
raci
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de
mul
tiplic
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n en
tre p
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cias
de
una
mis
ma
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al r
esol
ver
prob
lem
as.
Em
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est
rate
gias
heu
rístic
as
y pr
oced
imie
ntos
al r
esol
ver
prob
lem
as re
laci
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po
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ase
natu
ral y
ex
pone
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ro.
Em
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el M
CD
y e
l mcm
pa
ra re
solv
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robl
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n si
mpl
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com
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n na
tura
les
y fra
ccio
nes.
Re
aliz
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oced
imie
ntos
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ompo
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olin
ómic
a co
n m
últip
los
de lo
s nú
mer
os
natu
rale
s al
reso
lver
pro
blem
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cion
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par
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mpa
rar,
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imar
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usua
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y fra
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vale
ntes
, con
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de m
ater
ial c
oncr
eto.
Em
plea
est
rate
gias
heu
rístic
as
o pr
oced
imie
ntos
1 par
a su
mar
y
rest
ar fr
acci
ones
usu
ales
co
n de
nom
inad
ores
igua
les
y di
fere
ntes
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cion
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ntos
par
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ccio
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y fra
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n de
cim
al.
Em
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est
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gias
heu
rístic
as
o pr
oced
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ntos
par
a su
mar
y
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ar a
l res
olve
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blem
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fracc
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s he
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géne
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cció
n de
un
conj
unto
.
Em
plea
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cedi
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acci
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ival
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s y
algo
ritm
os) p
ara
sum
ar, r
esta
r y
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tiplic
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acci
ones
.
Frac
cion
es
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
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estra
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42
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43
Descripción y ejemplos de algunos indicadores.
Capacidad: Matematiza situaciones
Indicador de quinto grado:
Plantea relaciones entre los datos en problemas de una etapa*, expresándolos en un modelo de solución aditiva con fracciones.
*(PAEV) Problemas aditivos de cambio, comparación e igualación.
Descripción del indicador
Este indicador implica que el estudiante reconozca las fracciones que aparecen en el problema y lo que ocurre con estas. Si se agregan, si una es mayor que la otra, si una debe igualar a la otra, etc., de esa manera podrán establecer cómo se relacionan estas cantidades.
Las relaciones que pueden establecerse entre los datos pueden ser:
Cambio: Se agregan o quitan partes de la unidad o de una cantidad. La cantidad inicial se modifica.
Comparación: Se comparan dos fracciones conociendo que una cantidad tiene más que o menos que la otra.
Igualación: Se igualan fracciones considerando, cuánto debe quitar o agregar para igualar.
En el siguiente ejemplo podemos evidenciar el indicador.
La definición de modelo como
“esquematización construida
con una multiplicidad de datos
de la experiencia o la realidad
proporciona una abstracción
satisfactoria de cómo funcionan
las cosas” (Castro y otros, 1995).
Ejemplo de indicador precisado:
Plantea relaciones entre los datos en problemas de cambio, expresándolas en un modelo de solución aditiva con fracciones.
La casa de David no tiene agua potable. Ellos compran
y almacenan el agua en cilindros. David llenó 28 del
cilindro, su hijo Carlos los 38
. ¿Qué parte del cilindro falta llenar?
Algunas preguntas que ayudan al desempeño de los estudiantes son:
¿Qué es lo que te preguntan? ¿Qué información te dan? ¿Qué parte llenó Carlos? ¿Qué parte llenó David?. ¿Cuánto llenaron ambos? ¿Cómo expresamos estas acciones de manera gráfica?
44
Indicador de quinto grado:
Elabora representaciones concreta, gráfica y simbólica de los decimales hasta el centésimo y sus equivalencias.
Descripción del indicador
Observar este indicador implica que el estudiante realice el tránsito de las representaciones concretas, a las gráficas y simbólicas estableciendo equivalencias entre ellas.
En el siguiente ejemplo podemos evidenciar el indicador.
El estudiante puede registrar la información encontrada en el cartel:
Capacidad: Comunica y representa ideas matemáticas
A Pedro y su familia les gusta hacer deporte. Ellos vieron un afiche publicitario una caminata familiar. Pedro quedó intrigado con dos números que no comprendía 8.5 k y 10:00 a. m. ¿cuál es el significado de 8.5 k?
Ayuda a Pedro a entender que es lo que quiere decir la información.
Número encontrado Tipo de número/ el número
indica un(a)
Descripción ¿Para qué se utiliza en ese
contexto?
5a Ordinal Indica que es la quinta vez que se realiza un evento de este tipo.
8.5 k Medida de longitud Debe decir 8.5 km. Indica la distancia que se camina.
Representación con material Base diez.
Para el caso de los números decimales, las piezas del material Base diez tienen otros valores relativos:
Si los niños usan hasta los décimos, basta utilizar la barra como unidad y el cubito como décimo.
Si trabajan hasta centésimos, usarán la placa como unidad, la barra como décimo y el cubito como centésimo.
Si trabajan hasta milésimos, usarán el cubo como unidad, la placa como décimo, la barra como centésimo y el cubito como milésimo.
En muchas ocasiones, los estudiantes emplean
los números naturales para decir la fecha,
una dirección, un número telefónico, etc. En esta
actividad, los estudiantes buscarán números en textos
escritos de periódicos, revistas, encartes publicitarios,
que servirá de medio para reflexionar sobre su utilidad
y la importancia de los números en nuestra vida.
45
Indicador de quinto grado:
Emplea procedimientos para comparar y ordenar con fracciones y fracción decimal.
Usando material concreto
Usando la recta numérica
Usando representación simbólica
El tablero de valor posicional
De los gráficos anteriores se desprende la representación simbólica de 8,5. Usando fracciones decimales y descomposiciones aditivas se podría representar de esta manera:
Con el material Base 10, la representación de 8 unidades, 5 décimos quedaría así:
De otro lado, si usamos regletas para las fracciones equivalentes,
observa que 510
es equivalente a 1
2
8 unidades 5 décimos
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10
110
12
12
D U , d
8 , 5
En fracción decimal En expresión decimal
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12
110
110
510
110
110
8,5 = 8 + 8,5 = 8 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1
8,5 = 8 + = 8 + 0,5
8,5 = 8 + = 8,5
+ + + +
Capacidad: Elabora y usa estrategias
8,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
46
Descripción del indicador Observar este indicador implica que el estudiante debe emplear diversas formas de afrontar el problema, usando sus saberes previos o investigando sobre nuevos procedimientos como por ejemplo: el aspa o la homogenización con la finalidad de comparar y ordenar fracciones. También puede utilizar representaciones gráficas.
El siguiente ejemplo de problema nos permite evidenciar algunos procedimientos que el estudiante realiza para resolver problemas.
La representación gráfica para comparar visualmente:
La homogenización por fracciones equivalentes:
Las nuevas fracciones homogenizadas tienen denominador 24
El método del aspa al comparar dos a dos:
Por lo que:
Luego:es la fracción menor.
Carolina tiene un terreno de forma rectangular, divide la mitad para sembrar hortalizas, la tercera parte de lo que queda para sembrar plantas medicinales. Y la cuarta parte del resto para sembrar hierbas aromáticas. ¿Cuál de los tres tipos de plantas tiene la mayor parte de terreno? ¿Cuál tiene la menor?
12
Hortalizas
Plantas medicinales
Hierbas aromáticas
La tercera parte de lo que queda es 13
de 12
= 13
x 12
= 16
Quedan 26
y la cuarta parte de 26
es 14
x 26
= 224
es decir 112
Siembra la mitad de hortalizas y
queda la mitad, es decir 12
Así:1
1216
12
224
424
1224
; ;=12
1224
12
12
=112
224
2
2
=16
424
4
4
112
12
224
1224
112
16
672
1272
16
12
212
612
112
16
112
12
12
112
16
16
12
47
2.3.2 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
El desarrollo de esta competencia: actuar y pensar en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio en el V ciclo de Primaria, implica que los estudiantes observen regularidades en las formas o en una secuencia numérica y que resuelvan problemas referidos a patrones de repetición geométricos cuya regla de formación responde a criterios geométricos de traslaciones o giros de cuartos y medias vueltas. También se busca que el estudiante avance en el camino de la generalización propia del álgebra, al encontrar reglas de formación de patrones numéricos o gráficos que dependa de la posición, como en el problema que se representa a continuación:
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5
Número de posición que ocupa la figura 1 2 3 4 5 ...
1 x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 x 5 10 x 10
12 22 32 42 52 102
10
...
...
Cantidad de cuadrados expresados como una multiplicaciónCantidad de cuadrados expresados como una potencia cuadrada
Por otro lado, el desarrollo del pensamiento variacional se desarrolla en este ciclo a través de problemas donde los estudiantes identifican relaciones de proporcionalidad entre magnitudes. Por ejemplo, analizan la relación entre el dinero que se paga y la cantidad de kilogramos que se compran de un producto, entonces a mayor cantidad de kilogramos más se pagará. En estas situaciones identifican cómo cambian la magnitudes una con respecto de la otra, los datos se organizan en tablas simples y describen esta relación utilizando lenguaje matemático. Asimismo se presentan problemas de equivalencia, en estas, se expresan igualdades y términos desconocidos utilizando íconos y el signo igual (=). Por ejemplo los problemas de desigualdad o de equilibrio con balanzas u otros objetos, dan pie a problemas en los que se busca uno o más valores desconocidos o de encontrar varias equivalencias para una misma cantidad.
Peso(kg)
Precio (Nuevos
soles)
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
triplica
duplica duplica
triplica
Tabla donde se expresa las relaciones de proporcionalidad.
Entonces, la cantidad de
cuadrados la hallo multiplicando lado
por lado.
48
A c
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n de
pr
ogre
sion
es a
ritm
étic
as c
on
situ
acio
nes
afin
es.
Igua
ldad
es:
Id
entif
ica
dato
s y
rela
cion
es e
n pr
oble
mas
de
equi
vale
ncia
, ex
pres
ándo
los
en u
na ig
uald
ad
con
ícon
os (c
on a
dici
ón,
sust
racc
ión,
mul
tiplic
ació
n o
divi
sión
).
Ecua
cion
es:
In
terp
reta
dat
os y
rela
cion
es
en p
robl
emas
de
equi
vale
ncia
o
equi
librio
, exp
resá
ndol
os e
n ec
uaci
ones
sim
ples
de
la fo
rma:
a
±
= b
.
Ecua
cion
es:
In
terp
reta
los
dato
s y
varia
bles
en
pro
blem
as d
e eq
uiva
lenc
ia y
eq
uilib
rio, e
xpre
sánd
olos
en
las
igua
ldad
es3
y ec
uaci
ones
.
M
odifi
ca u
na e
cuac
ión
al
plan
tear
o re
solv
er o
tros
prob
lem
as.
Ecua
cion
es:
C
odifi
ca c
ondi
cion
es d
e ig
uald
ad
cons
ider
ando
exp
resi
ones
al
gebr
aica
s al
exp
resa
r mod
elos
re
laci
onad
os a
ecu
acio
nes4 c
on
una
incó
gnita
.
U
sa m
odel
os re
ferid
os a
ec
uaci
ones
line
ales
al p
lant
ear o
re
solv
er p
robl
emas
.
1 C
onfig
urac
ione
s pu
ntua
les,
arr
eglo
s, fi
gura
s, e
tc.
2 Si
tuac
ione
s de
regu
larid
ad c
on c
onfig
urac
ione
s pu
ntua
les
o pa
trone
s gr
áfic
os d
e cr
ecim
ient
o: c
reci
mie
ntos
de
cuad
rado
s, á
rea
de c
ubos
api
lado
s, e
tc.
3 Se
gún
God
ino
en s
u lib
ro R
azon
amie
nto
Alg
ebra
ico;
hay
tres
tipo
s de
igua
ldad
: las
que
se
refie
ren
a un
a id
entid
ad o
pro
pied
ad (
a +
(b ×
c) =
a ×
b +
a ×
c),
a un
a ec
uaci
ón (a
+
= b
) o a
una
fó
rmul
a (á
rea
de u
n re
ctán
gulo
= la
rgo
× a
ncho
)4
Con
coe
ficie
ntes
frac
cion
ario
s y
ente
ros.
AC
TÚA
Y P
IEN
SA E
N S
ITU
AC
ION
ES D
E RE
GU
LARI
DA
D, E
QU
IVA
LEN
CIA
Y C
AM
BIO
50
Cua
rto g
rado
Qui
nto
grad
oSe
xto
grad
oPr
imer
gra
do d
e se
cund
aria
MATEMATIZA SITUACIONESD
esig
uald
ades
:
In
terp
reta
los
dato
s y
varia
bles
en
una
situ
ació
n de
des
equi
librio
o
desi
gual
dad
y la
s ex
pres
a en
m
odel
os re
laci
onad
os a
una
in
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ción
sen
cilla
, por
eje
mpl
o de
la fo
rma:
a <
x o
a +
x >
b
M
odifi
ca u
na d
esig
uald
ad
al p
lant
ear o
reso
lver
otro
s pr
oble
mas
.
C
odifi
ca c
ondi
cion
es d
e de
sigu
alda
d co
nsid
eran
do
expr
esio
nes
alge
brai
cas
al
expr
esar
mod
elos
rela
cion
ados
a
inec
uaci
ones
line
ales
1 con
una
in
cógn
ita.
A
soci
a m
odel
os re
ferid
os a
in
ecua
cion
es li
neal
es c
on
situ
acio
nes
afin
es.
Cam
bio:
Re
coge
dat
os e
xper
imen
tale
s de
do
s m
agni
tude
s en
pro
blem
as
de v
aria
ción
y lo
s re
laci
ona
en
tabl
as s
impl
es.
Cam
bio:
In
terp
reta
los
dato
s en
pr
oble
mas
de
varia
ción
ent
re
dos
mag
nitu
des,
exp
resá
ndol
os
en u
na re
laci
ón d
e pr
opor
cion
alid
ad d
irect
a us
ando
ta
blas
.
Prop
orci
onal
idad
:
In
terp
reta
los
dato
s en
una
si
tuac
ión
de v
aria
ción
ent
re d
os
mag
nitu
des,
exp
resá
ndol
os e
n un
a re
laci
ón d
e pr
opor
cion
alid
ad
dire
cta.
Re
cono
ce re
laci
ones
no
expl
icita
s en
situ
acio
nes
de
varia
ción
al e
xpre
sar m
odel
os
rela
cion
ados
a p
ropo
rcio
nalid
ad
y fu
ncio
nes
linea
les2 .
A
soci
a m
odel
os re
ferid
os a
la
pro
porc
iona
lidad
dire
cta
y la
s fu
ncio
nes
linea
les
con
situ
acio
nes
afin
es.
D
eter
min
a en
qué
otro
s pr
oble
mas
es
aplic
able
el m
odel
o .
C
ompr
ueba
si e
l mod
elo
usad
o o
desa
rrol
lado
per
miti
ó re
solv
er
la s
ituac
ión.
COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS
Patro
nes:
U
tiliz
a le
ngua
je m
atem
átic
o pa
ra d
escr
ibir
la re
gula
ridad
en
los
patro
nes
geom
étric
os y
nu
mér
icos
.
Patro
nes:
U
tiliz
a le
ngua
je m
atem
átic
o pa
ra
expr
esar
el c
riter
io g
eom
étric
o (tr
asla
ción
) que
inte
rvie
ne e
n el
pa
trón
y la
regl
a de
form
ació
n cr
ecie
nte
del p
atró
n nu
mér
ico.
Patro
nes:
U
tiliz
a le
ngua
je m
atem
átic
o pa
ra e
xpre
sar l
os c
riter
ios
geom
étric
os (c
on tr
asla
cion
es
y gi
ros)
que
inte
rvie
nen
en la
fo
rmac
ión
del p
atró
n y
la re
gla
de fo
rmac
ión
crec
ient
e de
l pa
trón
num
éric
o.
D
escr
ibe
usan
do té
rmin
os
adec
uado
s de
tran
sfor
mac
ione
s ge
omét
ricas
.
Ex
plic
a el
des
arro
llo d
e un
pat
rón
geom
étric
o.
Re
cono
ce e
xpre
sion
es g
ráfic
as
y si
mbó
licas
que
exp
resa
n tra
nsfo
rmac
ione
s ge
omét
ricas
en
pat
rone
s ge
omét
ricos
.
Ex
plic
a el
des
arro
llo d
e un
a pr
ogre
sión
arit
mét
ica
empl
eand
o el
térm
ino
n-és
imo,
ín
dice
del
térm
ino,
razó
n o
regl
a de
form
ació
n.
Em
plea
dia
gram
as y
esq
uem
as
tabu
lare
s pa
ra re
cono
cer u
na
razó
n co
nsta
nte.
1 C
on c
oefic
ient
es fr
acci
onar
ios
y en
tero
s.2
Con
coe
ficie
ntes
ent
eros
.
51
COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS
Igua
ldad
es:
Re
pres
enta
una
igua
ldad
co
n va
lore
s co
noci
dos
o de
scon
ocid
os c
on íc
onos
, de
form
a co
ncre
ta, g
ráfic
a y
sim
bólic
a (c
on e
xpre
sion
es d
e m
ultip
licac
ión
y di
visi
ón) y
el
sign
o “=
”).
Ecua
cion
es:
Re
pres
enta
el v
alor
des
cono
cido
de
una
igua
ldad
con
ícon
os.
Ecua
cion
es y
des
igua
ldad
es:
Re
pres
enta
el v
alor
des
cono
cido
de
una
ecu
ació
n co
n le
tras.
Re
pres
enta
una
des
igua
ldad
co
n m
ater
ial c
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eto,
grá
fico
y si
mbó
lico.
Ex
pres
a co
ndic
ione
s de
eq
uilib
rio y
des
equi
librio
a p
artir
de
inte
rpre
tar d
atos
y g
ráfic
as
de s
ituac
ione
s qu
e im
plic
an
ecua
cion
es e
inec
uaci
ones
de
prim
er g
rado
.
Repr
esen
ta la
s so
luci
ones
de
inec
uaci
ones
line
ales
de
la
form
a x
> a
o x
< a
, ax
> b
o
ax <
b.
Ex
pres
a un
a in
ecua
ción
com
o un
inte
rval
o o
rayo
en
la re
cta
num
éric
a.
Prob
lem
as d
e ca
mbi
o:
Des
crib
e la
rela
ción
de
cam
bio
entre
dos
mag
nitu
des.
Prob
lem
as d
e pr
opor
cion
alid
ad:
Ex
pres
a la
s re
laci
ones
de
prop
orci
onal
idad
de
dos
mag
nitu
des.
Prob
lem
as d
e pr
opor
cion
alid
ad:
U
tiliz
a ta
blas
o g
ráfic
os e
n el
pl
ano
carte
sian
o, p
ara
expr
esar
la
pro
porc
iona
lidad
dire
cta
entre
do
s m
agni
tude
s.
D
escr
ibe
el c
ompo
rtam
ient
o de
una
func
ión
linea
l afín
ex
amin
ando
su
inte
rcep
to c
on
los
ejes
, su
pend
ient
e, d
omin
io y
ra
ngo.
D
eter
min
a un
a fu
nció
n lin
eal
a pa
rtir d
e la
pen
dien
te y
su
punt
o de
inte
rcep
to c
on e
l eje
de
coor
dena
das.
Es
tabl
ece
cone
xion
es e
ntre
la
s re
pres
enta
cion
es g
ráfic
as,
tabu
lare
s y
sim
bólic
as d
e un
a fu
nció
n lin
eal.
ELABORAY USA ESTRATEGIAS
Pr
opon
e un
a se
cuen
cia
de a
ccio
nes
orie
ntad
as a
ex
perim
enta
r o re
solv
er u
n pr
oble
ma.
El
abor
a y
ejec
uta
un p
lan
orie
ntad
o a
expe
rimen
tar o
reso
lver
pro
blem
as.
D
iseñ
a y
ejec
uta
un p
lan
orie
ntad
o a
la in
vest
igac
ión
y re
solu
ción
de
prob
lem
as.
Patro
nes
de re
petic
ión:
Em
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alg
unas
est
rate
gias
he
urís
ticas
par
a am
plia
r o
crea
r pat
rone
s de
repe
tició
n ge
omét
ricos
, usa
ndo
mat
eria
l co
ncre
to.
Patro
nes
de re
petic
ión:
Em
plea
est
rate
gias
heu
rístic
as1
para
am
plia
r o c
rear
pat
rone
s de
repe
tició
n ge
omét
ricos
de
tras
laci
ón y
crit
erio
s pe
rcep
tual
es.
Patro
nes
de re
petic
ión:
Em
plea
est
rate
gias
heu
rístic
as
para
am
plia
r o c
rear
pat
rone
s de
re
petic
ión
geom
étric
os, u
sand
o m
ater
ial c
oncr
eto.
Patro
nes
de re
petic
ión:
Re
aliz
a tra
nsfo
rmac
ione
s ge
omét
ricas
par
a ha
llar
la p
osic
ión
y la
exp
resi
ón
geom
étric
a en
pro
blem
as.
Patro
nes
aditi
vos:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
cont
eo o
de
cálc
ulo
para
am
plia
r, en
cont
rar e
l tér
min
o in
term
edio
o c
rear
pat
rone
s ad
itivo
s, u
sand
o m
ater
ial
conc
reto
, rec
urso
s, in
cluy
endo
el
uso
de la
cal
cula
dora
.
Patro
nes
aditi
vos
y m
ultip
licat
ivos
:
Empl
ea p
roce
dim
ient
os
de c
álcu
lo p
ara
ampl
iar,
enco
ntra
r el t
érm
ino
inte
rmed
io
o cr
ear p
atro
nes
aditi
vos
y m
ultip
licat
ivos
, usa
ndo
mat
eria
l co
ncre
to, r
ecur
sos,
incl
uyen
do e
l us
o de
la c
alcu
lado
ra.
Patro
nes
aditi
vos
y m
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licat
ivos
co
n fra
ccio
nes
y na
tura
les:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
cálc
ulo
para
am
plia
r o c
rear
pa
trone
s ad
itivo
s co
n fra
ccio
nes
y nú
mer
os n
atur
ales
, inc
luye
ndo
el u
so d
e la
cal
cula
dora
.
Re
aliz
a pr
oced
imie
ntos
par
a ha
llar t
érm
ino
k-es
imo,
índi
ce
del t
érm
ino,
razó
n o
regl
a de
form
ació
n co
n nú
mer
os
natu
rale
s.
Empl
ea e
stra
tegi
as h
eurís
ticas
al
reso
lver
pro
blem
as d
e pr
ogre
sión
arit
mét
ica.
Re
aliz
a pr
oced
imie
ntos
pa
ra
halla
r té
rmin
o n-
ésim
o,
índi
ce
del
térm
ino,
ra
zón
o re
gla
de
form
ació
n co
n nú
mer
os n
atur
ales
de
una
pro
gres
ión
aritm
étic
a.
Empl
ea
estra
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heur
ístic
as
al
reso
lver
pr
oble
mas
de
un
a pr
ogre
sión
arit
mét
ica.
1 T
abla
s, e
mpe
zar p
or a
trás.
52
Cua
rto g
rado
Qui
nto
grad
oSe
xto
grad
oPr
imer
gra
do d
e se
cund
aria
ELABORAY USA ESTRATEGIAS
Igua
ldad
es:
Em
plea
mat
eria
l con
cret
o y
gráf
ico
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enc
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r eq
uiva
lenc
ias
o lo
s va
lore
s de
scon
ocid
os d
e un
a ig
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ad
con
mul
tiplic
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n.
Em
plea
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y
proc
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ient
os m
ultip
licat
ivos
, la
rela
ción
inve
rsa
entre
la
mul
tiplic
ació
n y
la d
ivis
ión,
la
prop
ieda
d co
nmut
ativ
a de
la
mul
tiplic
ació
n, p
ara
reso
lver
si
tuac
ione
s de
equ
ival
enci
a o
igua
ldad
o h
alla
r un
valo
r de
scon
ocid
o co
n ex
pres
ione
s ad
itiva
s y
mul
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ativ
as.
Ecua
cion
es:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
por
ta
nteo
, sus
tituc
ión
o ag
rega
ndo,
qu
itand
o o
repa
rtien
do p
ara
enco
ntra
r el v
alor
o lo
s va
lore
s de
scon
ocid
os d
e un
a ig
uald
ad o
ec
uaci
ón.
Em
plea
pro
pied
ades
de
las
igua
ldad
es (s
umar
, res
tar,
mul
tiplic
ar o
div
idir
en a
mbo
s la
dos
de la
igua
ldad
) par
a ha
llar
el té
rmin
o de
scon
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o de
una
ig
uald
ad.
A
plic
a la
pro
pied
ad d
istri
butiv
a de
la m
ultip
licac
ión
resp
ecto
de
la a
dici
ón p
ara
form
ular
ig
uald
ades
.
Ecua
cion
es y
des
igua
ldad
es:
Em
plea
pro
cedi
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, sus
tituc
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do p
ara
enco
ntra
r el v
alor
o lo
s va
lore
s ec
uaci
ón, o
de
una
inec
uaci
ón.
Em
plea
pro
pied
ades
y la
si
mpl
ifica
ción
de
térm
inos
al
reso
lver
una
ecu
ació
n.
Em
plea
pro
pied
ades
y té
cnic
as
de s
impl
ifica
ción
1 par
a ob
tene
r la
sol
ució
n en
pro
blem
as d
e ec
uaci
ones
line
ales
.
Em
plea
recu
rsos
grá
ficos
pa
ra re
solv
er p
robl
emas
de
ecua
cion
es li
neal
es.
Em
plea
pro
pied
ades
y té
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as
de s
impl
ifica
ción
par
a ob
tene
r la
sol
ució
n en
pro
blem
as d
e in
ecua
cion
es li
neal
es.
Prob
lem
as d
e ca
mbi
o:
Em
plea
esq
uem
as,
proc
edim
ient
os d
e co
mpa
raci
ón
y op
erac
ione
s pa
ra e
ncon
trar
rela
cion
es n
umér
icas
ent
re d
os
mag
nitu
des.
Prob
lem
as d
e pr
opor
cion
alid
ad:
Em
plea
est
rate
gias
de
ensa
yo y
err
or, e
xper
imen
taci
ón, t
abla
s, re
cojo
de
dato
s u
oper
acio
nes
para
reso
lver
pro
blem
as d
e re
laci
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de
cam
bio
o de
pr
opor
cion
alid
ad.
Em
plea
est
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gias
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a re
solv
er
prob
lem
as d
e pr
opor
cion
alid
ad,
y fu
nció
n lin
eal c
on c
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54
Descripción y ejemplos de algunos indicadores
Indicador de sexto grado
Interpreta los datos y variables en una situación de desequilibrio o desigualdad y las expresa en modelos relacionados a una inecuación sencilla, por ejemplo de la forma: a < x o a + x > b .
Capacidad: Matematiza situaciones
Descripción del indicador
Interpretar los datos y variables implica reconocer las cantidades y los valores desconocidos, establecer las relaciones entre ellas identificando la cantidad mayor o menor y determinar las condiciones de desigualdad o desequilibrio. Un problema de desequilibrio con balanzas (cuando uno de los platillos está más abajo que otro) está referido a que en uno de los brazos se encuentra concentrada la mayor cantidad de objetos. De otro lado, también se puede presentar situaciones donde se puedan establecer equivalencias o condiciones de desigualdad, cuando por ejemplo una persona es más fuerte que la otra o tiene más o menos objetos que otro.
El uso de la variable (letras) en este tipo de problemas actúa como incógnita para representar el valor desconocido. Por ejemplo, en esta situación de juego de canicas con Paco y Miguel, uno de ellos reconoce que tiene menos canicas que el otro.
En este ejemplo se pueden realizar las siguientes preguntas para interpretar los datos y el valor desconocido.
¿Cuáles son los datos o los valores conocidos? ¿Puedes reconocer la cantidad desconocida? ¿Quién la tiene? ¿Qué relación hay entre las dos cantidades que tienen Paco y Miguel?, ¿Quién tiene
mayor o menor cantidad, cómo te diste cuenta de ello? ¿Cuáles serían las afirmaciones que se pueden desprender del problema?
Paco, ¡tengo 8 canicas!
Miguel, tienes más canicas que yo.
¿Cuántas canicas puede tener Paco en la bolsa?
55
Indicador de sexto grado
Emplea procedimientos de cálculo para ampliar, completar o crear patrones numéricos, cuya regla de formación depende de la posición del elemento, con números naturales, fracciones o decimales.
Capacidad: Elabora y usa estrategias
Descripción del indicador
Los procedimientos de cálculo que pueden emplear los estudiantes para resolver problemas con patrones numéricos, están referidos a encontrar relaciones aditivas y/o multiplicativas entre la posición de la figura y la cantidad de elementos. Estas relaciones la pueden encontrar por ensayo y error o descomponiendo los resultados en función de la cantidad de elementos y la posición de la figura.
Veamos el siguiente ejemplo:
Este problema lo podemos expresar en un modelo con una balanza o con una expresión simbólica usando íconos o una letra para expresar la cantidad desconocida.
¿Cuántos palillos son necesarios para formar el dibujo situado en la 4ª posición? ¿Y para formar el dibujo que estuviera en la posición 10?, ¿y para la posición 20?
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
8 > + 2
Miguel tiene 8 canicas
Miguel tiene más canicas que Paco
PacoMiguel
+ 2 < 8
Paco tiene una bolsa y 2 canicas
Paco tiene menos canicas que Miguel
56
Para resolver el problema se puede seguir construyendo la tabla, hasta llegar a la figura 10 y la figura 20, pero sería un procedimiento largo.
¿De qué otra manera se puede predecir la cantidad de palitos?
Se podrían generar relaciones aditivas o multiplicativas de tal manera que el resultado sea expresado en función de la posición de la figura.
Así por ejemplo: podríamos ensayar operaciones para que resulte 3 y usando para operar los números de la posición de la figura: Así para que resulte 3, tenemos que usar en la operación necesariamente 1; para que resulte 5, debemos de usar 2 y así sucesivamente. También podemos organizar las operaciones en una tabla horizontal:
Así tenemos que :
En la figura 1, hay 3 palillos En la figura 2, hay 5 palillos En la figura 3, tiene 7 palillos En la figura 4, tiene 9 palillos
Podemos organizar esta información en una tabla vertical.
Figura 1 2 3 4 5 6 10 20
Cantidad de palillos 3 5 7 9 11 13 ? ?
Ensayo 1 con adición 1 + 1 + 1 2 + 2 + 1 3 + 3 + 1 4 + 4 + 1 5 + 5 + 1 6 + 6 + 1 10 + 10 + 1 20 + 20 + 1
Ensayo 2 con
multiplicación y adición
2 x 1 + 1 2 x 2 + 1 2 x 3 + 1 2 x 4 + 1 2 x 5 + 1 2 x 6 + 1 2 x 10 + 1 2 x 20 + 1
Posición de la figura
Cantidad de palillos
1 3
2 5
3 7
4 9
5 11
57
Indicador de sexto grado
Justifica sus conjeturas sobre la predicción de algunos términos no conocidos de un patrón geométrico (con traslación y giros).
Capacidad: Razona y argumenta generando ideas matemáticas
Descripción
El estudiante da explicaciones válidas respecto de sus predicciones sobre la figura que se encuentra en una posición más adelante sin necesidad de completar el patrón. Por ejemplo:
¿Qué figura está en la posición 25? ¿Por qué?
El estudiante explica que esta secuencia se forma cuando cada elemento del núcleo de repetición da giros de ¼ de vuelta. Además, que el núcleo de repetición tiene cuatro elementos y que cada cuatro posiciones se repite, entonces al avanzar de 4 en 4, se evidencia que en la posición 25 comienza el núcleo nuevamente, por tanto, la primera figura es la que corresponde.
Yo creo que en la posición 25 está la figura con el triángulo rojo a la derecha y el amarillo a la izquierda.
1.er giro 2.do giro 3.er giro 4.to giro
58
2.3.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
Desarrollar esta competencia en el V Ciclo implica que los niños actúen y piensen matemáticamente al proponerles que resuelvan problemas geométricos de diversos contextos vinculados con las formas tri y bidimensionales; problemas referidos al movimiento o las transformaciones geométricas como la traslación y rotación de figuras.
Los estudiantes en este ciclo matematizan situaciones a partir de una experiencia vivencial con su entorno para expresar la realidad o los objetos que hay en ella en formas tridimensionales o bidimensionales que construyen con mayor precisión. Asimismo aplican movimientos y transformaciones a las figuras, las cuales se trasladan, rotan, se amplían o reducen. También comunican y representan las ideas geométricas relacionadas con las formas y sus propiedades empleando lenguaje matemático, así el uso del lenguaje geométrico será necesario cuando quieran comunicar posiciones, describir e identificar a los objetos, indicar oralmente los movimientos. La adquisición del lenguaje geométrico se produce a partir de su utilidad para resolver problemas y es en el marco de estos problemas que surge la necesidad de usar expresiones cada vez más precisas y formales.
Los estudiantes en este ciclo también elaboran y usan estrategias al construir formas mediante el plegado, recortado y el dibujo, miden la longitud, capacidad y superficie de los objetos, construyen figuras que se trasladan y rotan, usando instrumentos de dibujos y diversos materiales. En este proceso también es necesario que razonen y argumenten con el objetivo de construir o generar nuevas ideas geométricas al elaborar conjeturas sobre las propiedades de las formas y verificarlas. Al explicar sus procedimientos y resultados consolidarán lo que aprendieron.
Recuerdas qué forma
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Si las miras desde arriba, hay 3 piezas que se ven iguales.
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para
lo
s pr
oced
imie
ntos
y e
stra
tegi
as e
mpl
eada
s en
dis
tinta
s re
solu
cion
es. E
labo
ra c
onje
tura
s so
bre
rela
cion
es e
ntre
pr
opie
dade
s de
las
form
as g
eom
étric
as tr
abaj
adas
y la
s ju
stifi
ca u
sand
o ej
empl
os o
con
traej
empl
os.
Dis
crim
ina
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rmac
ión
e id
entif
ica
rela
cion
es
no
expl
ícita
s de
situ
acio
nes
refe
ridas
a a
tribu
tos,
loca
lizac
ión
y tra
nsfo
rmac
ión
de o
bjet
os, y
los
expr
esa
con
mod
elos
re
ferid
os
a fo
rmas
bi
dim
ensi
onal
es
com
pues
tas,
re
laci
ones
de
pa
rale
lism
o y
perp
endi
cula
ridad
, po
sici
ones
y
vist
as
de
cuer
pos
geom
étric
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ccio
na
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m
odel
o m
ás
perti
nent
e a
una
situ
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n y
com
prue
ba s
i es
te l
e pe
rmiti
ó re
solv
erla
. Ex
pres
a us
ando
ter
min
olog
ía,
regl
as y
con
venc
ione
s m
atem
átic
as s
u co
mpr
ensi
ón s
obre
pro
pied
ades
de
form
as b
idim
ensi
onal
es y
trid
imen
sion
ales
3 , án
gulo
s,
supe
rfici
es y
vol
úmen
es, t
rans
form
acio
nes
geom
étric
as;
elab
oran
do d
iver
sas
repr
esen
taci
ones
de
una
mis
ma
idea
m
atem
átic
a us
ando
gr
áfic
os
y sí
mbo
los;
y
las
rela
cion
a en
tre s
í. D
iseñ
a y
ejec
uta
un p
lan
orie
ntad
o a
la in
vest
igac
ión
y re
solu
ción
de
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lem
as, e
mpl
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gias
heu
rístic
as y
pro
cedi
mie
ntos
com
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lcul
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y es
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med
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de
ángu
los
y di
stan
cias
en
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as,
supe
rfici
es b
idim
ensi
onal
es c
ompu
esta
s y
volú
men
es
usan
do
unid
ades
co
nven
cion
ales
; ro
tar,
ampl
iar,
redu
cir
form
as
o te
sela
r un
pl
ano,
co
n ap
oyo
de
dive
rsos
rec
urso
s.
Eval
úa v
enta
jas
y de
sven
taja
s de
la
s es
trate
gias
, pro
cedi
mie
ntos
mat
emát
icos
y r
ecur
sos
usad
os.
Form
ula
y ju
stifi
ca c
onje
tura
s so
bre
rela
cion
es
entre
pro
pied
ades
de
form
as g
eom
étric
as tr
abaj
adas
; e
iden
tific
a di
fere
ncia
s y
erro
res
en la
s ar
gum
enta
cion
es
de o
tros.
1 Tr
iáng
ulos
, cua
drilá
tero
s, á
ngul
os, c
írcul
os, c
ircun
fere
ncia
s, p
rism
as y
pirá
mid
es.
2 Pr
ism
a, p
irám
ide,
círc
ulo,
cili
ndro
3 Po
lígon
os, p
rism
a, p
irám
ide,
círc
ulo,
cili
ndro
, rec
tas
para
lela
s, p
erpe
ndic
ular
es y
sec
ante
s.
Mat
riz:
Act
úa y
pie
nsa
mat
emát
icam
ente
en
situ
acio
nes
de fo
rmas
, mov
imie
nto
y lo
caliz
ació
n
60
1 Tr
iáng
ulo,
rect
ángu
lo, c
uadr
ado,
rom
bo
MATEMATIZA SITUACIONES
Cua
rto g
rado
Qui
nto
grad
oSe
xto
grad
oPr
imer
gra
do d
e se
cund
aria
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
Id
entif
ica
prop
ieda
des
en
los
obje
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segú
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s la
dos
para
lelo
s y
perp
endi
cula
res,
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rma
de
sus
cara
s o
sus
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s y,
los
rela
cion
a co
n p
rism
as re
ctos
.
Re
laci
ona
los
pris
mas
rect
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con
su p
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cció
n v
ista
des
de
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esde
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iba
o de
sde
un
cost
ado.
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
Re
cono
ce e
lem
ento
s y
prop
ieda
des
de
los
obje
tos
segú
n su
s ca
ras,
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es, a
ltura
, su
perfi
cie
late
ral y
los
rela
cion
a co
n p
rism
as.
Re
laci
ona
un p
rism
a co
n cu
bos
y su
s di
fere
ntes
vis
tas.
Se
lecc
iona
la e
stru
ctur
a de
l só
lido
con
cubo
s, p
ara
reso
lver
un
pro
blem
a de
con
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cció
n de
pr
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as.
Form
as tr
idim
ensi
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es:
Pl
ante
a re
laci
ones
resp
ecto
a
los
elem
ento
s y
prop
ieda
des
de
las
caja
s o
cubo
s y
los
rela
cion
a co
n lo
s pr
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as y
pirá
mid
es.
Re
laci
ona
una
form
a tri
dim
ensi
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con
sus
di
fere
ntes
vis
tas.
Se
lecc
iona
el d
esar
rollo
o
las
plan
tilla
s de
las
form
as
tridi
men
sion
ales
par
a re
solv
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un p
robl
ema
de c
onst
rucc
ión
de
pris
mas
y p
irám
ides
.
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
Re
cono
ce re
laci
ones
no
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icita
s en
tre fi
gura
s en
si
tuac
ione
s de
con
stru
cció
n de
cue
rpos
, y la
s ex
pres
a un
m
odel
o ba
sado
s en
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mas
re
gula
res,
irr
egul
ares
y
cilin
dros
.
U
sa m
odel
os re
ferid
os a
cu
bos,
pris
mas
y c
ilind
ros
al
plan
tear
y re
solv
er p
robl
emas
de
pro
yecc
ión
o co
nstru
cció
n de
cu
erpo
s.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
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entif
ica
cara
cter
ístic
as d
e lo
s ob
jeto
s de
su
ento
rno
segú
n su
s la
dos,
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ulos
, par
alel
ism
o o
perp
endi
cula
ridad
y lo
exp
resa
en
un
mod
elo
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do e
n pa
rale
logr
amos
.
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sa u
n m
odel
o ba
sado
en
para
lelo
gram
os a
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ntea
r o
reso
lver
un
prob
lem
a.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
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entif
ica
cara
cter
ístic
as y
pr
opie
dade
s ge
omét
ricas
ex
plic
itas
seg
ún s
u pe
rímet
ro
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n ob
jeto
s y
supe
rfici
es
de s
u en
torn
o, e
xpre
sánd
olos
en
un
mod
elo
basa
do e
n cu
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os y
triá
ngul
os.
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plic
a la
s pr
opie
dade
s de
lo
s cu
adril
áter
os o
triá
ngul
os
al p
lant
ear o
reso
lver
un
prob
lem
a.
Form
as b
idim
ensi
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es:
Id
entif
ica
cara
cter
ístic
as y
pr
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dade
s ge
omét
ricas
en
obj
etos
y s
uper
ficie
s de
su
ent
orno
, exp
resá
ndol
os
en fi
gura
s ge
omét
ricas
bi
dim
ensi
onal
es (c
írcul
o ci
rcun
fere
ncia
, pol
ígon
os
regu
lare
s ha
sta
10 la
dos)
A
plic
a la
s pr
opie
dade
s de
la
s fig
uras
bid
imen
sion
ales
al
pla
ntea
r o r
esol
ver u
n pr
oble
ma.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
O
rgan
iza
med
idas
, ca
ract
erís
ticas
y p
ropi
edad
es
geom
étric
as d
e fig
uras
y
supe
rfici
es, y
las
expr
esa
un
mod
elo
refe
rido
a fig
uras
po
ligon
ales
1 .
Em
plea
el m
odel
o m
ás
perti
nent
e re
laci
onad
o pa
ra
plan
tear
o re
solv
er s
ituac
ione
s re
laci
onad
as a
figu
ras
polig
onal
es y
sus
pro
pied
ades
.
AC
TÚA
Y P
IEN
SA E
N S
ITU
AC
ION
ES D
E FO
RMA
S, M
OVI
MIE
NTO
S Y
LOC
ALIZ
AC
IÓN
61
Cua
rto g
rado
Qui
nto
grad
oSe
xto
grad
oPr
imer
gra
do d
e se
cund
aria
MATEMATIZA SITUACIONES
Ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
Id
entif
ica
las
refe
renc
ias
nece
saria
s en
situ
acio
nes
de
loca
lizac
ión
y de
spla
zam
ient
os,
en e
l ent
orno
esc
olar
, ex
pres
ándo
los
en u
n cr
oqui
s ap
oyad
o en
cua
dríc
ulas
y
coor
dena
das.
Em
plea
un
croq
uis
con
cuad
rícul
as c
on c
oord
enad
as
al re
solv
er p
robl
emas
de
loca
lizac
ión.
Ve
rific
a si
el c
roqu
is e
mpl
eado
co
rres
pond
e a
la re
alid
ad y
pe
rmite
loca
lizar
o d
espl
azar
se
con
prec
isió
n.
Ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
O
rgan
iza
dato
s re
spec
to a
la
loca
lizac
ión
de lu
gare
s y
desp
laza
mie
nto
de lo
s ob
jeto
s en
la lo
calid
ad, e
xpre
sánd
olos
en
un
croq
uis
usan
do p
unto
s ca
rdin
ales
en
un s
iste
ma
de
coor
dena
das.
Em
plea
un
sist
ema
de
coor
dena
das
con
punt
os
card
inal
es a
l res
olve
r pro
blem
as
de lo
caliz
ació
n.
Ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
In
terp
reta
dat
os y
rela
cion
es
no e
xplíc
itas
resp
ecto
a la
lo
caliz
ació
n de
luga
res
o de
spla
zam
ient
o de
obj
etos
en
la
loca
lidad
exp
resá
ndol
os e
n un
cr
oqui
s en
el p
rimer
cua
dran
te
del p
lano
car
tesi
ano.
Em
plea
el p
lano
car
tesi
ano
al re
solv
er p
robl
emas
de
loca
lizac
ión.
Re
cono
ce re
laci
ones
no
expl
ícita
s ba
sado
s en
med
idas
de
form
as, d
espl
azam
ient
o y
ubic
ació
n de
cue
rpos
, par
a ex
pres
ar m
apas
o p
lano
s a
esca
la.
U
sa m
apas
o p
lano
s a
esca
la
al p
lant
ear y
reso
lver
una
si
tuac
ión.
Sim
etría
y tr
asla
ción
:
Id
entif
ica
cond
icio
nes
y ca
ract
erís
ticas
rele
vant
es e
n pr
oble
mas
de
desp
laza
mie
nto,
ex
pres
ándo
los
en u
n m
odel
o de
tras
laci
ón d
e fo
rmas
bi
dim
ensi
onal
es e
n un
a cu
adríc
ula
de c
oord
enad
as.
Re
cono
ce la
tras
laci
ón d
e un
a fig
ura
en o
tros
prob
lem
as.
Am
plia
ción
y re
ducc
ión:
Id
entif
ica
cond
icio
nes
y ca
ract
erís
ticas
de
los
obje
tos
de s
u en
torn
o, e
xpre
sánd
olos
en
un
mod
elo
de a
mpl
iaci
ón
y re
ducc
ión
de fi
gura
s en
un
plan
o cu
adric
ulad
o.
A
plic
a la
am
plia
ción
y re
ducc
ión
de fi
gura
s a
otro
s pr
oble
mas
si
mila
res.
Rota
ción
:
In
terp
reta
dat
os y
rela
cion
es n
o ex
plíc
itas
en o
bjet
os d
el e
ntor
no,
al e
labo
rar u
n m
odel
o ba
sado
en
la ro
taci
ón (e
n un
cua
rto d
e vu
elta
y m
edia
vue
lta) d
e fig
uras
en
un
plan
o cu
adric
ulad
o.
A
plic
a la
s tra
nsfo
rmac
ione
s ge
omét
ricas
de
sim
etría
, tra
slac
ión,
am
plia
ción
y
redu
cció
n a
otro
s pr
oble
mas
si
mila
res.
Re
cono
ce re
laci
ones
no
expl
ícita
s, e
n si
tuac
ione
s de
re
cubr
imie
nto
de s
uper
ficie
s, a
l el
abor
ar u
n m
odel
o ba
sado
en
trans
form
acio
nes1 .
U
sa u
n m
odel
o ba
sado
en
trans
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acio
nes
isom
étric
as
al p
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ear o
reso
lver
un
prob
lem
a.
D
eter
min
a en
qué
otro
s pr
oble
mas
, es
aplic
able
el m
odel
o.
Com
prue
ba s
i el m
odel
o us
ado
o de
sarr
olla
do p
erm
itió
reso
lver
el
pro
blem
a.
1 Ro
tar,
ampl
iar y
redu
cir.
62
COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS
Qui
nto
grad
oSe
xto
grad
oPr
imer
gra
do d
e se
cund
aria
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
form
as
tridi
men
sion
ales
seg
ún s
us
elem
ento
s (c
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late
rale
s,
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tas,
vér
tices
, bas
es).
C
onst
ruye
figu
ras
tridi
men
sion
ales
con
dife
rent
es
mat
eria
les
conc
reto
s y
a pa
rtir
de u
na p
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illa.
C
onst
ruye
figu
ras
tridi
men
sion
ales
en
form
a co
ncre
ta, a
par
tir d
e in
stru
ccio
nes
escr
itas
y or
ales
.
D
escr
ibe
la e
stim
ació
n y
la
com
para
ción
de
la m
edid
a de
ca
paci
dad
en fr
acci
ones
de
litro
, ga
lone
s.
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
Ex
pres
a la
s pr
opie
dade
s y
elem
ento
s de
cub
os o
pr
ism
as, n
ombr
ándo
los
apro
piad
amen
te.
Re
pres
enta
grá
ficam
ente
la
s di
fere
ntes
vis
tas
bidi
men
sion
ales
que
tien
e un
a fo
rma
tridi
men
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al.
C
onst
ruye
figu
ras
tridi
men
sion
ales
en
form
a co
ncre
ta (o
rigam
i mod
ular
), a
parti
r de
su m
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a e
inst
rucc
ione
s es
crita
s y
oral
es.
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
Ex
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a la
med
ida
del á
rea
late
ral y
tota
l del
pris
ma
y la
pirá
mid
e en
uni
dade
s co
nven
cion
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a p
artir
de
sus
plan
tilla
s o
rede
s.
Ex
pres
a la
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ida
del v
olum
en
de c
ubos
y p
rism
as e
n un
idad
es
patró
n (c
ubito
s de
1 c
m3 ,
estru
ctur
as d
e 1
m3 ).
Re
pres
enta
la m
edid
a de
l vo
lum
en d
el c
ubo
y de
l pris
ma
rect
o re
ctan
gula
r, co
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ater
ial
conc
reto
(mat
eria
l Bas
e D
iez)
y
gráf
ico.
C
onst
ruye
pris
mas
y p
irám
ides
co
n m
ater
ial c
oncr
eto
(orig
ami
mod
ular
, pla
ntill
as),
gráf
ico
(pap
el is
omét
rico)
usa
ndo
inst
rum
ento
s de
dib
ujo;
a
parti
r de
indi
caci
ones
sob
re s
u m
edid
a o
su fo
rma.
Ex
plic
a lo
que
com
pren
de s
obre
la
rela
ción
ent
re e
l vol
umen
y
la m
edid
a de
cap
acid
ad d
e lo
s ob
jeto
s.
D
escr
ibe
pris
mas
regu
lare
s y
cilin
dro
en fu
nció
n de
l núm
ero
y fo
rma
de la
s ca
ras,
el n
úmer
o de
vér
tices
y e
l núm
ero
de
aris
tas.
D
escr
ibe
el d
esar
rollo
en
el
plan
o de
pris
mas
tria
ngul
ares
y
rect
angu
lare
s, c
ubos
y c
ilind
ros.
G
rafic
a el
des
arro
llo d
e pr
ism
as,
cubo
s y
cilin
dros
, vis
tas
de
dife
rent
es p
osic
ione
s.
63
COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS
Cua
rto g
rado
Qui
nto
grad
oSe
xto
grad
oPr
imer
gra
do d
e se
cund
aria
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
cara
cter
ístic
as d
e lo
s po
lígon
os y
par
alel
ogra
mos
, se
gún
su n
úmer
o de
lado
s y
vérti
ces,
nom
brán
dolo
s ad
ecua
dam
ente
(triá
ngul
os,
cuad
rilát
eros
, pen
tágo
nos,
etc
.).
Re
pres
enta
en
form
a co
ncre
ta
(sog
as, g
eopl
ano,
etc
.) y
gráf
ica
(en
cuad
rícul
as),
dife
rent
es
form
as b
idim
ensi
onal
es q
ue
tiene
n el
mis
mo
perím
etro
.
Re
pres
enta
en
form
a co
ncre
ta
(sog
as, g
eopl
ano,
orig
ami,
et
c.) y
grá
fica
(en
cuad
rícul
as)
dife
rent
es re
ctán
gulo
s,
cuad
rado
s, ro
mbo
s y
rom
boid
es
con
el m
odel
o pr
esen
te y
au
sent
e.
C
onst
ruye
par
alel
ogra
mos
se
gún
indi
caci
ones
ora
les
y es
crita
s.
D
escr
ibe
la e
stim
ació
n y
la
com
para
ción
de
la m
edid
a de
la lo
ngitu
d, p
erím
etro
, su
perfi
cie
de la
s fig
uras
a
parti
r de
unid
ades
arb
itrar
ias
o co
nven
cion
ales
.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
cara
cter
ístic
as y
pr
opie
dade
s bá
sica
s de
los
cuad
rilát
eros
y tr
iáng
ulos
con
re
spec
to a
sus
lado
s y
ángu
los
y di
agon
ales
, par
alel
ism
o y
perp
endi
cula
ridad
.
D
escr
ibe
la c
onst
rucc
ión
de
form
as b
idim
ensi
onal
es a
pa
rtir d
e su
s el
emen
tos
o pr
opie
dade
s.
Re
pres
enta
en
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a co
ncre
ta
(tang
ram
, geo
plan
o, o
rigam
i) y
gráf
ica
(en
cuad
rícul
as, m
alla
de
pun
tos)
, cua
drilá
tero
s y
trián
gulo
s, d
ados
la m
edid
a de
su
s la
dos,
áng
ulos
, el p
erím
etro
o
el á
rea.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
prop
ieda
des
y re
laci
ones
del
círc
ulo
y la
ci
rcun
fere
ncia
y d
e lo
s po
lígon
os
regu
lare
s se
gún
sus
lado
s y
sus
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los.
C
onst
ruye
la c
ircun
fere
ncia
us
ando
inst
rum
ento
s de
dib
ujo.
C
onst
ruye
pol
ígon
os re
gula
res
en fo
rma
conc
reta
(orig
ami,
tiras
de
mec
ano,
etc
.) y
en fo
rma
gráf
ica.
Re
pres
enta
grá
ficam
ente
fo
rmas
bid
imen
sion
ales
en
el
plan
o ca
rtesi
ano,
así
com
o su
s am
plia
cion
es y
redu
ccio
nes.
Ex
pres
a la
med
ida
de
supe
rfici
e us
ando
uni
dade
s co
nven
cion
ales
(km
2 , m
2 )
Ex
pres
a la
med
ida
de d
ista
ncia
s m
uy la
rgas
, usa
ndo
unid
ades
co
nven
cion
ales
(km
)
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
rela
cion
es d
e pa
rale
lism
o y
perp
endi
cula
ridad
en
form
as b
idim
ensi
onal
es
(triá
ngul
o, re
ctán
gulo
, cua
drad
o y
rom
bo) y
s
us p
ropi
edad
es
usan
do te
rmin
olog
ías,
regl
as y
co
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cion
es m
atem
átic
as.
Ex
pres
a la
s re
laci
ones
y
dife
renc
ias
entre
áre
a y
perím
etro
de
políg
onos
re
gula
res.
Re
pres
enta
pol
ígon
os re
gula
res
sigu
iend
o in
stru
ccio
nes
y us
ando
la re
gla
y el
com
pás.
Ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
D
escr
ibe
ruta
s o
ubic
acio
nes,
us
ando
com
o re
fere
ntes
obj
etos
y
luga
res
cerc
anos
o p
or lo
s qu
e de
be p
asar
.
El
abor
a cr
oqui
s, m
apas
us
ando
refe
rent
es p
aral
elos
, pe
rpen
dicu
lare
s y
oblic
uos,
pa
ra u
bica
r obj
etos
y e
xpre
sar
ruta
s.
Ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
D
escr
ibe
ruta
s de
de
spla
zam
ient
o en
guí
as,
plan
os d
e ci
udad
es u
tiliz
ando
re
fere
ntes
esp
acia
les
y ot
ras
refe
renc
ias.
G
rafic
a en
un
plan
o cu
adric
ulad
o la
pos
ició
n de
un
obje
to.
Ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
D
escr
ibe
ruta
s de
de
spla
zam
ient
o en
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as,
plan
os d
e ci
udad
es u
tiliz
ando
re
fere
ntes
esp
acia
les
y ot
ras
refe
renc
ias.
G
rafic
a en
el p
lano
car
tesi
ano
la p
osic
ión
de u
n lu
gar u
sand
o pu
ntos
car
dina
les.
Ex
pres
a la
s di
stan
cias
y
med
idas
de
plan
os o
map
as
usan
do e
scal
as.
64
COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS
Sim
etría
:
D
escr
ibe
las
rela
cion
es
de l
a tra
slac
ión
de fi
gura
s ge
omét
ricas
pla
nas
y el
refle
jo
de u
na fi
gura
a p
artir
del
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de
sim
etría
ver
tical
y h
oriz
onta
l.
Re
pres
enta
en
form
a co
ncre
ta
(geo
plan
o),
gráf
ica
(en
cuad
rícul
a), l
a tra
slac
ión
de
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as g
eom
étric
as p
lana
s y
el re
flejo
de
una
figur
a a
parti
r de
l eje
de
sim
etría
ver
tical
u
horiz
onta
l.
Am
plia
ción
y re
ducc
ión:
D
escr
ibe
la tr
ansf
orm
ació
n de
am
plia
ción
y re
ducc
ión
de u
na
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a en
el p
lano
cua
dric
ulad
o.
C
onst
ruye
de
una
mis
ma
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a do
s o
más
am
plia
cion
es
o re
ducc
ione
s en
un
plan
o cu
adric
ulad
o o
en e
l pla
no
carte
sian
o.
Tran
sfor
mac
ione
s ge
omét
ricas
:
D
escr
ibe
la ro
taci
ón d
e un
a fig
ura
en e
l pla
no c
uadr
icul
ado
o en
el p
lano
car
tesi
ano.
Re
pres
enta
en
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a co
ncre
ta
(geo
plan
o), g
ráfic
a y
sim
bólic
a (p
ares
ord
enad
os)
trasl
acio
nes,
re
flexi
ones
y g
iros
(cua
rtos
y m
edia
s vu
elta
s) d
e fo
rmas
bi
dim
ensi
onal
es; y
rela
cion
a lo
s tre
s tip
os d
e re
pres
enta
ción
.
D
escr
ibe
las
cara
cter
ístic
as
de la
s tr
ansf
orm
acio
nes
de
rota
ción
, am
plia
ción
y re
ducc
ión
con
figur
as g
eom
étric
as p
lana
s.
G
rafic
a la
rota
ción
, am
plia
ción
y
redu
cció
n de
figu
ras
polig
onal
es
regu
lare
s pa
ra re
cubr
ir un
a su
perfi
cie
plan
a.
ELABORAY USA ESTRATEGIAS
El
abor
a o
ejec
uta
un p
lan
orie
ntad
o a
expe
rimen
tar o
reso
lver
pro
blem
as.
D
iseñ
a y
ejec
uta
un p
lan
orie
ntad
o a
la in
vest
igac
ión
y re
s
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
U
sa e
stra
tegi
as p
ara
cons
truir
cuer
pos
geom
étric
os, f
igur
as
con
el m
odel
o au
sent
e se
gún
sus
ángu
los
y la
sim
etría
, us
ando
div
erso
s m
ater
iale
s.
U
sa d
iver
sos
reci
pien
tes
com
o ja
rras
, env
ases
de
bote
llas,
re
cipi
ente
s gr
adua
dos,
par
a m
edir,
com
para
r y e
stim
ar la
ca
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dad
de lo
s re
cipi
ente
s.
U
sa in
stru
men
tos
de m
edic
ión
(cin
ta m
étric
a y
regl
as
grad
uada
s) y
uni
dade
s co
nven
cion
ales
par
a m
edir
y co
mpa
rar l
ongi
tude
s y
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anci
as c
orta
s.
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
U
sa e
stra
tegi
as p
ara
cons
truir
cuer
pos
geom
étric
os y
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ujar
fig
uras
seg
ún s
us v
ista
s,
usan
do d
iver
sos
mat
eria
les,
in
stru
men
tos
de d
ibuj
o.
Form
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idim
ensi
onal
es:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
cálc
ulo
para
enc
ontra
r el á
rea
de u
na s
uper
ficie
del
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ma
y el
vol
umen
de
un p
rism
a cu
adra
ngul
ar o
rect
angu
lar e
n un
idad
es a
rbitr
aria
s.
U
sa e
stra
tegi
as p
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estim
ar y
m
edir
el v
olum
en e
n un
idad
es
arbi
traria
s (p
.ej:
cubi
tos)
y
la c
apac
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de
obje
tos
y re
cipi
ente
s en
litro
s y
mili
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s.
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
U
sa e
stra
tegi
as p
ara
cons
truir
políg
onos
seg
ún s
us
cara
cter
ístic
as y
pro
pied
ades
, us
ando
inst
rum
ento
s de
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ujo.
Em
plea
est
rate
gias
heu
rístic
as,
recu
rsos
grá
ficos
y o
tros,
pa
ra re
solv
er p
robl
emas
de
perím
etro
y á
rea
de tr
iáng
ulo,
re
ctán
gulo
, cua
drad
o, ro
mbo
.
Em
plea
est
rate
gias
heu
rístic
as y
y
proc
edim
ient
os p
ara
halla
r el
área
, per
ímet
ro y
ubi
car c
uerp
os
en m
apas
o p
lano
s a
esca
la,
con
recu
rsos
grá
ficos
y o
tros.
Cua
rto g
rado
Qui
nto
grad
oSe
xto
grad
oPr
imer
gra
do d
e se
cund
aria
65
ELABORAY USA ESTRATEGIAS
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
U
sa u
nida
des
patró
n (c
artó
n,
cartu
lina,
etc
.) qu
e m
idan
un
met
ro c
uadr
ado
para
de
term
inar
cuá
ntas
uni
dade
s cu
adra
das
nece
sita
par
a cu
brir
supe
rfici
es d
e fig
uras
bi
dim
ensi
onal
es
U
sa e
stra
tegi
as q
ue im
plic
an
traza
r el r
ecor
rido
de lo
s vé
rtice
s de
las
form
as b
idim
ensi
onal
es,
utili
zar r
ecor
tes
de fi
gura
s de
pa
pel,
para
tras
lada
rla s
obre
un
cuad
ricul
ado.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
Em
plea
div
erso
s m
ater
iale
s y
recu
rsos
par
a co
nstru
ir o
dibu
jar
figur
as b
idim
ensi
onal
es.
Em
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pro
cedi
mie
ntos
com
o co
mpo
ner o
rota
r fig
uras
, es
trate
gias
de
cont
eo d
e cu
adra
dito
s o
com
posi
ción
de
triá
ngul
os p
ara
calc
ular
el
área
de
para
lelo
gram
os y
los
trape
cios
a p
artir
del
áre
a de
l re
ctán
gulo
.
C
alcu
la e
l áre
a de
l triá
ngul
o a
parti
r del
áre
a de
l rec
táng
ulo.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
U
sa e
stra
tegi
as p
ara
cons
truir
y di
buja
r fig
uras
seg
ún s
us v
ista
s y
la ro
taci
ón, u
sand
o di
vers
os
mat
eria
les,
inst
rum
ento
s de
di
bujo
.
U
sa re
curs
os, i
nstru
men
tos
de m
edic
ión
(cin
ta m
étric
a) y
un
idad
es c
onve
ncio
nale
s pa
ra
med
ir y
com
para
r lon
gitu
des
y di
stan
cias
muy
gra
ndes
.
Em
plea
est
rate
gias
que
impl
ican
co
rtar l
a fig
ura
en p
apel
y
reac
omod
ar la
s pi
ezas
, div
idir
en c
uadr
itos
de 1
cm
2 y e
l uso
de
oper
acio
nes
para
det
erm
inar
el
área
y e
l per
ímet
ro d
e fig
uras
bi
dim
ensi
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es.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
U
sa e
stra
tegi
as p
ara
cons
truir
políg
onos
seg
ún s
us
prop
ieda
des
y ca
ract
erís
ticas
us
ando
inst
rum
ento
s de
dib
ujo.
Em
plea
est
rate
gias
heu
rístic
as,
recu
rsos
grá
ficos
y o
tros,
pa
ra re
solv
er p
robl
emas
de
perím
etro
y á
rea
del t
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ulo,
re
ctán
gulo
, cua
drad
o, ro
mbo
.
Em
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est
rate
gias
heu
rístic
as
y pr
oced
imie
ntos
par
a ha
llar
el á
rea,
per
ímet
ro, v
olum
en,
reco
noce
r car
acte
rístic
as
prop
orci
onal
es y
ubi
car c
uerp
os
en m
apas
o p
lano
s a
esca
la
con
recu
rsos
grá
ficos
y o
tros.
Ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
Em
plea
est
rate
gias
o re
curs
os
para
ubi
car c
on p
reci
sión
un
obj
eto
en u
n pl
ano
cuad
ricul
ado.
Tras
laci
ón:
U
sa e
stra
tegi
as p
ara
trasl
adar
un
a fig
ura
sobr
e un
pla
no
carte
sian
o.
Am
plia
ción
y re
ducc
ión:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
cál
culo
y re
laci
ones
de
prop
orci
onal
idad
par
a am
plia
r o
redu
cir u
na fi
gura
.
Rota
ción
:
U
sa e
stra
tegi
as p
ara
rota
r fig
uras
a p
artir
de
sus
vérti
ces,
incl
uyen
do e
l uso
de
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rum
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s co
mo
com
pás,
tra
nspo
rtado
r.
Re
aliz
a tra
nsfo
rmac
ione
s de
ro
tar,
ampl
iar y
redu
cir,
con
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as e
n un
a cu
adríc
ula
al re
solv
er p
robl
emas
, con
re
curs
os g
ráfic
os y
otro
s.
C
ompa
ra lo
s pr
oced
imie
ntos
y e
stra
tegi
as e
mpl
eada
s en
dis
tinta
s re
solu
cion
es.
Ev
alúa
ven
taja
s y
desv
enta
jas
de la
s es
trate
gias
, pr
oced
imie
ntos
mat
emát
icos
y
recu
rsos
usa
dos
al re
solv
er e
l pr
oble
ma.
RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
El
abor
a co
njet
uras
sob
re
cuál
es s
on la
s ca
ract
erís
ticas
ge
omét
ricas
com
unes
de
las
form
as t
ridim
ensi
onal
es.
Ju
stifi
ca s
us c
onje
tura
s us
ando
eje
mpl
os s
obre
los
proc
edim
ient
os a
plic
ados
en
pro
blem
as d
e cá
lcul
o de
ca
paci
dad
con
unid
ades
pat
rón.
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
El
abor
a co
njet
uras
sob
re la
s ca
ract
erís
ticas
sem
ejan
tes
geom
étric
as d
e lo
s pr
ism
as.
El
abor
a co
njet
uras
sob
re lo
s pr
oced
imie
ntos
mat
emát
icos
a
aplic
ar e
n la
sol
ució
n de
pr
oble
mas
de
cálc
ulo
de
volu
men
.
Ju
stifi
ca la
rela
ción
ent
re la
cl
asifi
caci
ón d
e pr
ism
as s
egún
su
bas
e co
n la
cla
sific
ació
n de
po
lígon
os s
egún
el n
úmer
o de
la
dos.
Form
as tr
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67
Descripción y ejemplos de algunos indicadores
Descripción del indicador
Observar este indicador implica que el estudiante debe graficar las diferentes vistas que tienen las caras o vistas de una forma tridimensional u objetos de su entorno, como sólidos, maquetas, etc.
Capacidad: Comunica y representa ideas matemáticas
Indicador de quinto grado Representa gráficamente las diferentes vistas que tiene una forma tridimensional.
Veamos un ejemplo en el que se evidencia el indicador:
Ejemplo de indicador precisado:
Representa gráficamente la vista superior que tiene una forma tridimensional (maqueta).
En la siguiente maqueta se tiene un jardín interior en forma de L y dos construcciones. Se tiene que mostrar el área construida y el área libre.
Algunas preguntas que ayudan a que el niño muestre este desempeño:
¿Qué forma tiene el terreno de la maqueta? Dibújalo. ¿Desde dónde tienes que mirar la maqueta para ver el área construida y el terreno
libre? ¿Cómo se ve si la miras desde arriba?
68
Indicador de quinto grado Usa estrategias para construir cuerpos geométricos y dibujar figuras según sus vistas, usando diversos materiales e instrumentos de dibujo.
Descripción del indicador
Observar este indicador implica que el estudiante construya cuerpos con el modelo presente o ausente y los reproduzca, tomando como base los datos dados; usando para ello diversas estrategias como abrir cajas para observar plantillas o sus desarrollos, copiar las plantillas de los cuerpos en una cartulina y utilizar recursos como papel cuadriculado, reglas y escuadras.
Capacidad: Elabora y usa estrategias
Veamos un ejemplo que puede evidenciar el indicador.
Ejemplo de indicador precisado:
Usa estrategias para construir prismas, usando diversos materiales e instrumentos de dibujo.
Construye una cajita de 8 cm de largo, 4 cm de ancho y 4 cm de altura para guardar tu borrador, tajador y otros, y así no perderlos y mantener ordenado tu espacio de trabajo.
Completa el desarrollo de la cajita en la cuadrícula. Utiliza regla y escuadra.
Copia el desarrollo en una cartulina y construye la cajita.
1 cm
1 cm
¿Qué estrategia utilizaré?
Puedo mirar el modelo de otras cajas y copiar su desarrollo
y adaptarlo al mío.
69
2.3.4 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
El desarrollo de esta competencia posibilita a las personas ocuparse del diseño de estudios referidos al análisis de datos recogidos y la predicción o toma de decisiones a partir de los resultados obtenidos.
Para desarrollar esta competencia en el V ciclo, los estudiantes se enfrentarán a problemas en los que será necesario plantearse preguntas apropiadas y coherentes con un tema de estudio, las cuales además se presentan con posibles respuestas. Esto es así cuando el estudiante es capaz de restringir el recojo de los datos a la información que se necesita para la resolución del problema.
El contexto para los temas de estudio en este ciclo se amplía por el hecho de que los estudiantes también son capaces de recopilar datos de fuentes indirectas, es decir, no solo mediante las encuestas y cuestionarios, sino también de libros, revistas, diarios y otras fuentes escritas o virtuales.
La elaboración de tablas de frecuencia, tablas de doble entrada, de gráficos de barras, gráficos de puntos, gráficos lineales; implica el reconocimiento de cuáles son las variables cuyos datos has sido recogidos y la relación entre ellas. En este ciclo, comienza a cobrar importancia el tipo de gráfico que se elija para modelar la situación; en ese sentido, se usan los gráficos de líneas para ver tendencias de comportamiento de los datos, los de barra para visualizar la comparación entre los datos y los de puntos para visualizar por ejemplo, si los datos están por encima o debajo de la moda o el promedio.
La lectura de la información que se ha obtenido en los gráficos realizados requiere de la movilización de la capacidad de los estudiantes de Comunicar y representar, al describir la información y hacer comparaciones para responder las preguntas del problema planteado. De igual modo, a partir de la lectura de la información los estudiantes pueden hacer supuestos y predicciones.
Asimismo, para el desarrollo de esta competencia en el V ciclo, se presenta a los estudiantes situaciones de incertidumbre y experimentos aleatorios en los que los estudiantes utilizan la probabilidad para cuantificar la ocurrencia de un suceso.
Revistas
Cuentos
Leyenda:VENTA DE REVISTAS Y CUENTOS
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empe
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dian
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mat
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71
MATEMATIZA SITUACIONESC
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72
COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICASC
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s al
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Ex
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a co
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y re
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ones
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rmin
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, es
paci
o m
uest
ral y
suc
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, pr
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sand
o te
rmin
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y no
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orta
ndo
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s ex
pres
ione
s de
lo
s de
más
.
Re
pres
enta
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ón o
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mpr
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ón.
73
ELABORAY USA ESTRATEGIASC
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terr
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s en
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de
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les
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re c
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favo
rabl
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s)
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ón
y co
mpr
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ón e
l esp
acio
m
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ral.
Re
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ce s
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impl
es
rela
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ituac
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.
C
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babi
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a de
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lace
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RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS
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oced
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ecis
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es)
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us p
redi
ccio
nes
sobr
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tend
enci
a de
l co
mpo
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los
dato
s, a
pa
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s co
ncre
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El
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a co
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uras
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l re
sulta
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exp
erim
ento
al
eato
rio, b
asán
dose
en
expe
rienc
ias
conc
reta
s
C
ompa
ra p
roba
bilid
ades
de
dist
into
s ev
ento
s, s
in c
alcu
larla
s.
Pr
opon
e co
njet
uras
ace
rca
del
resu
ltado
de
un e
xper
imen
to
alea
torio
bas
ado
en s
uces
os
sim
ples
o c
ompu
esto
s.
74
Descripción y ejemplos de algunos indicadores
Indicador de quinto grado
Interpreta datos y relaciones (hasta dos variables cualitativas o cuantitativas discretas) en diversos problemas estadísticos, y los expresa en tablas de doble entrada, gráficos de barras dobles o gráficos de puntos.
Capacidad: Matematiza situaciones
Descripción del indicador
Interpretar datos en primer lugar implica tener claro el tema de estudio y cómo los datos recogidos se relacionan con este tema. Asimismo, se debe tener en cuenta qué tipo de datos son los que se han recogido (cualitativos o cuantitativos).
Algunas definiciones que se debe conocer son las siguientes:
Frecuencia: es la cantidad de veces que se repite un dato. Por ejemplo: 5 niños dijeron que les gusta los gatos.
Variables cualitativas: Expresan categorías, cualidades, características o modalidad que nos permite hacer agrupamientos. Por ejemplo: deporte favorito, color, fruta o mascota que más les gusta, número de orden en una premiación (primero, segundo, tercero…), etc.
Variables cuantitativas discretas: Expresan cantidades que se puedan contar. Por ejemplo: el número de hermanos, el número de años, la cantidad de ventas diarias, cantidad de personas, etc.
Asimismo, en un problema se pueden recoger datos correspondientes a dos variables cualitativas o cuantitativas. Por ejemplo: día preferido para el deporte (cualitativa) y sexo (cualitativa), número de años (cuantitativa) y sexo (cualitativa), o edad (cuantitativa) y número de hermanos (cuantitativa).
Ejemplo de indicador precisado:
Identifica datos cuantitativos en problemas estadísticos en contexto escolar, expresándolos en tablas de doble entrada.
Expresar en tablas de doble entrada, gráficos de barras dobles o gráficos de puntos implica tener en cuenta cuáles son las variables, sus relaciones y sus frecuencias.
Variable cualitativadeporte
Variable cualitativasexo
- Vóley- Atletismo- Ciclismo
- Masculino- Femenino
Variable cuantitativaedad
Variable cualitativasexo
8910
- Masculino- Femenino- Masculino
Los datos lo constituyen los valores
de la variable.
Por ejemplo variable mascotaPueden tomar distintos valores:- perro.- gato.- loro, etc.
75
El siguiente ejemplo promueve el desarrollo de la capacidad:
Se aplicó una encuesta a todos los alumnos del 5.° grado para saber sobre las preferencias de los niños por los deportes más comunes. Esta informacion se tomará en cuenta para abrir talleres en el colegio.
Los niños y niñas tenemos distintos gustos y
preferencias. A algunos nos gusta hacer deportes, a
otros ver películas; por ejemplo, a mí me gusta salir
a montar bicicleta.En el colegio a algunos chicos le gusta la
Matemática pero a otros les gusta Comunicación...
Lo bueno es que son muchas las actividades que
podemos hacer de acuerdo con nuestros intereses;
lo importante es respetar nuestras diferencias,
aceptándonos como somos.
Para matematizar hay que reconocer lo siguiente:
Las variables o las categorías sobre las cuales hay que recolectar los datos. La población a quién se aplicará la encuesta. El objetivo de la recolección de datos. ¿Cuáles son los posibles valores de la variable? ¿Qué tipo de organizador usaré para ordenar la información? ¿Es conveniente separar la información en niños y niñas?
Así se podría registrar los tipos de datos sobre los cuales hay que investigar:
Conociendo la información podríamos organizar los datos en una tabla de doble entrada.
Variabledeporte
Variable sexo
Ciclismo
Básquet
Atletismo
Masculino
Femenino
Deportes practicado
por los niñosRecuento de datos
Ciclismo
Básquet
Atletismo
Deportes practicado
por las niñasRecuento de datos
Vóley
Natación
Atletismo
76
Indicador de sexto grado
Selecciona el modelo gráfico-estadístico más adecuado al plantear y resolver problemas.
Descripción del indicador
El desempeño descrito en este indicador implica que los estudiantes deben, en primer lugar, saber qué información se necesita obtener de los gráficos, para responder a las preguntas o interrogantes del problema. Por ejemplo, si la información que se necesita está relacionada con comparar las frecuencias de los datos, entonces puede usar un gráfico de barras; si los datos están organizados en cuadros de doble entrada, las barras pueden ser dobles o triples; si lo que se quiere es comparar cómo han cambiado los datos a lo largo de un período de tiempo es conveniente usar los gráficos lineales, etc.
Una heladería desea saber cuántos helados vende diariamente para hacer un presupuesto de inversión para los próximos meses. Además, quiere saber qué día de la semana es el que vende más. Para ello, todos los días anota la cantidad de helados en una lista. ¿Qué día vende más helados? ¿Cuántos helados vende al día?
Presentamos un ejemplo:
Para resolver el problema el estudiante reconoce que necesita comparar los datos para saber qué días vende más helados. Para ello, puede utilizar un gráfico de barras ya que en él se visualizan mejor las diferencias entre la cantidad (frecuencia) de helados por día. Pero, además, también necesita ver el promedio de la semana y en el gráfico de barras es posible ver la menor y la mayor cantidad de helados vendidos y se puede intuir que el promedio estará entre estas dos cantidades (frecuencias). Con un cálculo posterior puede determinarse el promedio y con el gráfico se sabrá que días vende más que el promedio y qué días menos.
En este gráfico puedo ver que el promedio debe estar entre 25 y 45 helados por día.
Días
L M M J V S D0
5
10
15
20
25
30
35
4045
50
Can
tidad
de
hela
do
Venta de helados en la semana
77
Descripción del indicador
Al analizar la información que brindan los gráficos, los estudiantes son capaces de expresar cómo se comportan los datos en un periodo de tiempo. Para ello, deben tener en cuenta aumentos o bajas en las cantidades (frecuencias), en qué tiempos se dan estas bajas o aumentos, si estas bajas o aumentos se mantienen constantes o se intercalan, etc.
Veamos cómo en el ejemplo anterior es posible determinar la tendencia de los datos. Algunas preguntas que el docente puede realizar para mediar el desempeño de los estudiantes son:
Capacidad: Comunica y representa ideas matemáticas
Indicador de sexto grado Determina la tendencia de un conjunto de datos a partir de su gráfico.
¿Qué pasa con la cantidad de helados vendidos al inicio de la semana? ¿Qué pasa el fin de semana? ¿Por qué crees que el fin de semana se vende más? ¿Crees que este comportamiento se repita en todas la semanas? ¿Puedes decir cómo es el comportamiento de los datos?
Días de la semana
Lunes0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Can
tidad
de
hela
do
Martes Jueves Viernes Sábado DomingoMiércoles
Venta de helados en la semana
78
Descripción del indicador
El estudiante puede utilizar ambos procedimientos para el cálculo de la media aritmética de un conjunto de datos.
Veamos un ejemplo:
Capacidad: Elabora y usa estrategias
Indicador de sexto grado Determina la media de un grupo de datos usando operaciones de igualación de valores o el algoritmo de la media.
Urpi quiere calcular su promedio de tiempo de las últimas carreras de entrenamiento que realizó. Ella participará en un campeonato de atletismo de 100 metros planos. Ayúdale a calcular su promedio.
0
5
lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo
10
15
20
25
30
35
40
45
50Venta de helado en la semana
Días de la semana
Can
tidad
de
hela
do
Esta información también puede ser presentada en un gráfico lineal.
79
Descripción del indicador
Observar este indicador implica que el estudiante debe suponer de manera intuitiva; es decir, dar por adelantado un resultado ante un hecho o fenómeno, de manera vivencial o usando material concreto, de tal forma expresa que existen sucesos en los cuales podemos asegurar que van o no a ocurrir, mientras que en otros podemos decir que tienen más o menos probabilidad de suceder. Por ello, se debe buscar situaciones donde el estudiante pueda decir:
Es probable que ocurra. Es imposible que ocurra. Es seguro que ocurra. Es más probable que ocurra. Es menos probable que ocurra.
Capacidad: Razona y argumenta generando ideas
Indicador de quinto grado Elabora supuestos sobre la ocurrencia de sucesos con lo más probable y menos probable, basadas en experiencias concretas.
matemáticas.
Usando el algoritmo de la media aritmética:
Primero, sumo todos mis tiempos. Después,
divido el resultado entre la cantidad de
entrenamientos.
Puedo jugar a las cartas y preguntar:
¿Es posible que se pueda sacar un rey
de corazones?
Media = = 2224 + 20 + 23 + 22 + 215
Usando operaciones de igualación de valores:
Mi promedio es alrededor de 22
segundos.
Resto y sumo para igualar mis tiempos.
Carreras de entrenamiento
Tiem
po (S
)
1.° 2.° 3.° 4.° 5.°0
5
10
15
20
2522
Tiempo registrado en los entrenamientos
1.°carrera
2.°carrera
3.°carrera
4.°carrera
5.°carrera
Tiempo (segundos) 24 20 23 22 21
80
Los estudiantes al vivenciar la situación con sus cubos de colores, pueden registrar lo que pasa al lanzar cada dado y luego de muchas jugadas (alrededor de 20), poder predecir por qué es más probable que salga un color u otro.
Luego de la experimentación podrán también expresar situaciones imposibles que sucedan o que sean menos probables de ocurrir.
Hilmer, Marisol y Carolina juegan con cubos de colores. Ellos han acordado que si logran adivinar el color que tendrá la cara superior después de lanzar el cubo, ganarán un premio.
Mi cubo tiene 5 caras rojas y
1 cara azul.
Mi cubo tiene las 4 caras
amarillas y 2 caras rojas.
El mío tiene 2 caras verdes y 4 caras rojas.
Marisol Carolina Hilmer
En quinto grado aún no cuantifican la probabilidad mediante la definición clásica como razón entre casos favorables y casos posibles.
Veamos un ejemplo:
3. Orientaciones didácticas
81
En este apartado vamos a presentar una selección de recursos para que sirvan como medio para plantear y resolver problemas relacionados con las cantidades y los números. No es una clasificación estricta, sino una lluvia de ideas y un abanico de posibilidades para que los docentes tengan caminos por donde investigar y desarrollar el trabajo cotidiano.
En todos los casos los estudiantes comunican y representan las ideas matemáticas sobre lo que comprenden sobre el número, las fracciones y los decimales, empleando lenguaje matemático apropiado; elaboran y usan estrategias al resolver los problemas u operaciones usando diferentes procedimientos o algoritmos y razonan y argumentan el porqué de sus resultados.
3.1 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
3.1.1 Recursos para plantear y resolver problemas
Juegos
Recursos TIC Prensa
82
B I N G O4 17 40 59 69
10 24 41 58 68
2 26 48 71
3 28 35 52 62
7 21 49 66 65
B I N G O14 16 44 50 698 26 39 51 687 18 42 712 27 38 55 626 30 44 60 65
B I N G O5
24 34 50 69
15 16 33 51 68
729
42 71
925 38 55 62
722 44 60 65
1. Juegos
El juego tiene mucho atractivo para los niños y lo convierte en uno de los mayores motores de motivación en la integración de los alumnos para la marcha de la clase. Escoger un buen juego es como escoger un buen problema, pues debe ser el punto de partida para que los niños y niñas actúen y piensen matemáticamente al aplicar o construir conceptos matemáticos.
Incluimos algunos juegos como: el bingo, rompecabezas, cartas y los juegos numéricos como "Atraviesa el panal" o la "Estrella numérica".
Descripción
Es un juego para toda la clase. Se pueden utilizar los cartones de bingo normales
o construidos por los alumnos y los padres de familia. Las bolas del bingo serían
tarjetas con operaciones o problemas, cuyos resultados son los distintos números
que aparecen en las tarjetas.
Un estudiante elige una tarjeta del montón colocado boca abajo en la mesa;
se plantea una operación o un problema y los estudiantes hacen los cálculos y
tachan o colocan una ficha en la tarjeta del bingo, hasta conseguir BINGO (cartón
lleno o solo una fila.
Variantes del bingo
• Bingo de fracciones equivalentes.
• Bingo de equivalencia entre fracciones,
decimales o porcentajes.
Descripción
Es un juego individual o para grupos pequeños. Consiste en construir varias
cuadrículas. Se resuelve el rompecabezas uniendo las piezas por los lados donde
aparezca la operación y el resultado correspondiente a las dos operaciones serán
equivalentes.
A los estudiantes se les entrega una copia del rompecabezas desordenado, para
que ellos lo recorten y peguen correctamente en su cuaderno. Ejemplos de estos
rompecabezas lo podemos encontrar en los libros de Antonieta de Ferro o en la
página web http://www.actiludis.com/?p=19294.
Bingo
Rompecabezas
83
Descripción
Es un juego por parejas.
Se desarrolla sobre un tablero de forma de panal, con fichas o tapas de dos
colores distintos para cada jugador. Cada uno, por turno elige dos números
del rectángulo, realiza la operación y, si encuentra el resultado sobre el tablero,
coloca una de sus fichas. Gana el jugador que consiga unir mediante una línea
(recta o quebrada), dos bordes opuestos del panal.
Variantes del panal
• Operaciones combinadas.
• Potencias cuadradas y cúbicas.
• Operaciones equivalentes.
Descripción
Es un juego formado por 51 barajas o naipes; de los cuales 48, tienen numeradas
los números desde el 1 hasta el 48 y 3 comodines, para el valor que le asigne el
jugador en cada jugada. Las reglas del juego son:
• Un jugador por turno, reparte cuatro cartas a cada jugador y descubre una
boca arriba: será la llamada “carta muestra”. El resto de las cartas lo coloca
boca abajo en la mesa.
• Comienza el juego el jugador situado a la derecha del que reparte las cartas. Y
comienza diciendo, por ejemplo: “divisores de… [aquí menciona el número que
corresponde a la carta muestra]”. Puede colocar una sola carta a la derecha o
a la izquierda de la carta muestra, siempre que tenga algún divisor en común
con ella (divisor que tiene que explicitar al colocarla); asimismo, puede colocar
la carta hacia arriba o hacia abajo de la carta muestra si, respectivamente, es
múltiplo o divisor de esta.
• Si no tiene ninguna carta que satisfaga las condiciones del punto anterior, roba una
del montón y la coloca si puede. Si no, pasa el turno al jugador de su derecha.
Variantes del rompecabezas
• Rompecabezas de operaciones combinadas,
de operaciones con fracciones, de potencia
cuadrada y cúbica, de porcentajes usuales, etc.
Atraviesa el panal
Barajas de múltiplos y divisores
100 0,4 5 1 12,5
40 6,25 20 2,5 40
2,5 8 0,16 16 250
2 0,5 2 6,25 0,05
0,02 50 0,4 0,01 100
ATRAVIESA EL PANALCON MULTIPLICACIONES O
DIVISIONES
0,5 40,25 10
25
84
El jugador siguiente procede de la misma manera, pero puede hacerlo con
cualquiera de las dos cartas que haya en los extremos horizontales de la
cadena que se vaya formando.
El ganador del juego es el primer jugador que coloca todas sus cartas o el
que menos cartas tenga en su poder cuando ya nadie pueda colocar cartas.
Si la carta “muestra” que aparece es un número primo, las dificultades de
colocar cartas son mayores. En ese caso, además de las posibilidades
descritas, se pueden colocar debajo de la carta muestra, y tapadas por
ella, cartas que representen a otros números primos. (Esta regla puede
no explicitarse, y únicamente ponerse en circulación cuando un grupo de
jugadores –que puede ser toda la clase– comente que hay algunos números
que hacen más difícil el juego, y se llegue a caracterizar que esos son los
números primos).
2. Prensa
La prensa escrita y la televisiva invaden los hogares peruanos diariamente. Los niños tienen que acercarse a ella de manera crítica hacia los diferentes tipos de medios y evaluar la influencia en su formación.
A continuación algunas actividades:
Búsqueda de números:
Se pide a los estudiantes que busquen números naturales mayores que cinco
cifras e indiquen su significado: si son números que expresan una medida de
longitud, peso, dinero, etc. o si son números para contar o codificar.
Se les pide buscar números decimales y las situaciones o contextos en los que
son utilizados.
Se les pide representar de diversa forma usando material concreto, gráfico, según
su valor posicional y empleando descomposiciones aditivas y multiplicativas
(1 245 = 1 000 + 200 + 40 + 5 = 1 × 1 000 + 2 × 100 + 4 × 10 + 5).
Los estudiantes pueden redondear, ordenar y comparar los números.
Se plantean y resuelven problemas aditivos o multiplicativos con números
naturales, decimales o fracciones a partir de la situación encontrada.
Comparar medidas:
Se buscan objetos que pesen más que el niño, o se comparan los pesos entre los
diversos objetos.
Se buscan objetos que midan más o menos que el niño.
Se pide que clasifiquen los objetos y formen subconjuntos con ellos.
85
Problemas con el tiempo
Revisar anuncios de viajes y plantear preguntas y problemas a partir de la duración
y costo del viaje.
Revisar los horarios de la programación televisiva o de cine, estimar los tiempos
que pasan viendo televisión.
Establecer horarios para ver televisión, ir al cine, practicar deportes, realizar una
actividad cultural.
Ordenar las temperaturas en diferentes ciudades del Perú y del mundo, desde el
lugar más frío al de más calor.
Máncora Disney San Andrés
LOS MEJORES DESTINOS PARA EL 2015
3 días / 2 noches 4 días / 3 noches 4 días / 3 noches
DesdeUSD 139
S/. 431
DesdeUSD 454S/. 1,408
DesdeUSD 669S/. 2,074
3. Recursos TIC
Las herramientas relacionadas con la tecnología ofrecen hoy en día una amplia y variada gama, donde el docente podrá crear experiencias de aprendizaje enriquecidos para que los estudiantes la perciban como una ciencia experimental y exploratoria.
La calculadora para plantear y resolver problemas
Se malogró la tecla 5: ¿puedes multiplicar 45 x 8, sin usar la tecla 5?
Se malogró la tecla 2: ¿puedes sumar estos decimales 0.25 + 1.75 sin usar esta tecla?
¿Qué procedimientos puedes emplear para hallar el cociente y el residuo de
152 ÷ 5? ¿Qué conocimientos se ponen en juego?
Recursos digitales
En la página web de la Junta de Andalucía y el Gobierno de Canarias encontrarás recursos donde los niños podrán experimentar con los conceptos matemáticos.
http://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2010032613_9081245/null
http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/fracciones/
html/recuerda.html
86
En la Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales de la Universidad de Utah (NLVM) encontrarás interesantes softwares donde los niños podrán experimentar con material concreto e instrumentos, las operaciones matemáticas y además de manipuladores como el geoplano, mosaicos y balanzas para desarrollar otras competencias matemáticas.
3.1.2 Investigamos números en la prensa escrita
Descripción
Esta actividad consiste en explorar en los diferentes medios escritos los diferentes
usos de los números que aparecen en los avisos publicitarios, en las noticias, etc.
Por lo que constituye un buen recurso para relacionar las cantidades y los números
en contextos reales y reflexionar sobre su utilidad e importancia en nuestra vida.
Los diferentes números que aparecen en los afiches (naturales, fracciones o
decimales), constituyen un punto de partida para desarrollar comprensivamente
los números.
Relación con las capacidades e indicadores
El propósito de esta actividad está relacionado con que los estudiantes comuniquen
y representen al expresar de forma oral o escrita el uso de los números decimales
en contextos de la vida diaria, como medida, además de representar en forma
concreta, gráfica y simbólica los decimales hasta el centésimo; también razonan
y argumentan al conjeturar sobre las diferentes formas de representar un número
decimal.
Aplicación de la estrategia
Plantearemos esta situación a los estudiantes a partir de un afiche publicitario
donde se observen números decimales.
http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html
87
EsSalud promueve campañas para una vida saludable, por ello convoca a la
comunidad a fin de realizar una caminata familiar, en ella pueden participar los
abuelos, padres e hijos.
Pedro está leyendo el afiche que muestra el recorrido de la caminata y no entiende
qué quiere decir 8.5 k. Ayúdale a entender esta información.
http://prensa-oficial-estado.deperu.com/2012/12/manana-se-realiza-la-5-caminata.html
Paso 1: Identificar los usos de los números
Realiza preguntas para interpretar la información que hay en el afiche:
¿ De qué se trata?
¿Quién lo promueve?
¿Qué datos hay? Reconoce los símbolos y sus significados.
Registra los datos en una tabla, describe los usos de los números.
En este caso se encontró los números para expresar la medida del tiempo y longitud
y el número como ordinal.
2012: señala el año en que se realiza la caminata.
5.° es un número ordinal que indica que es la quinta vez que se realiza el evento
y al parecer es cada año, lo que les puede llevar a inferir: ¿en qué año se realizó
la primera caminata?, ¿Cuántos años tenían ustedes?
8.5 k: señala la distancia que se recorrerá en la caminata. En las noticias siempre
van a aparecer errores como éste. El símbolo correcto de kilómetro es km. La
distancia que habría que caminar es 8 kilómetros y medio.
10:00 a. m. señala que la hora de inicio de la caminata es a las diez de la mañana.
8888
110
= 0,1Con el material
Base Diez, la
representación de 8
unidades 5 décimos
quedaría así:
8 unidades 5 décimos
Uso de los números
El número según Fuson,
citado en Chamorro
(2006) distingue siete
contextos:
Tres contextos
matemáticos: cardinal,
ordinal y medida.
Dos contextos social y
utilitario: secuencia y
conteo.
Contexto simbólico
(números mágicos,
cálculos).
Contexto no numérico
(etiquetas, DNI).
Paso 2: Representamos el número decimal de diversas formas
Representamos 8,5 con material concreto (Base Diez, el ábaco y las regletas)
Con las regletas, podemos observar que 510
es equivalente a 12
.
12
12
110
510
Número encontrado
El número se usa como: Descripción:
5.° OrdinalIndica que es la quinta vez que se
realiza un evento de este tipo.
8.5 k Medida de longitudIndica la distancia total de la caminata.
Su escritura correcta es 8, 5 km.
Registra en la siguiente tabla la información encontrada, por ejemplo:
89
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8,5
Representamos en forma gráfica (recta numérica).
Representamos en forma simbólica (tablero de valor posicional, fracción
decimal y expresión decimal).
D Decenas
UUnidades
, ddécimos
8 , 5
En fracción decimal En expresión decimal
8,5 = 8 + + + + +110
110
110
110
110
= 8 +
= 8,5
0,5510
12
8,5 = 8 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1
Observa que en el afiche se escribe el número decimal con punto, esta es
una notación válida para escribir una expresión decimal. También en las
calculadoras se hace uso del punto.
¿Cuál es el significado de 8,5 km? La distancia a recorrer se representa así:
8 km + 12
km, se lee 8 kilómetros y medio.
Solicita a los estudiantes que formulen números decimales y realicen sus
variadas representaciones.
Pide a los estudiantes que expresen el significado sobre lo que comprenden de
los números decimales.
¿Los centésimos y los milésimos se representarían de la misma forma con el
material Base Diez? Solicita que elaboren afirmaciones respecto a ello y que
luego comprueben sus afirmaciones con material concreto.
De los gráficos anteriores se desprende la presentación simbólica de 8,5. Usando
fracciones decimales y descomposiciones aditivas se podría representar de esta
manera.
8,5 = 8 +
8,5 = 8 +
8988
110
= 0,1Con el material
Base Diez, la
representación de 8
unidades 5 décimos
quedaría así:
8 unidades 5 décimos
Uso de los números
El número según Fuson,
citado en Chamorro
(2006) distingue siete
contextos:
Tres contextos
matemáticos: cardinal,
ordinal y medida.
Dos contextos social y
utilitario: secuencia y
conteo.
Contexto simbólico
(números mágicos,
cálculos).
Contexto no numérico
(etiquetas, DNI).
Paso 2: Representamos el número decimal de diversas formas
Representamos 8,5 con material concreto (Base Diez, el ábaco y las regletas)
Con las regletas, podemos observar que 510
es equivalente a 12
.
12
12
110
510
Número encontrado
El número se usa como: Descripción:
5.° OrdinalIndica que es la quinta vez que se
realiza un evento de este tipo.
8.5 k Medida de longitudIndica la distancia total de la caminata.
Su escritura correcta es 8, 5 km.
Registra en la siguiente tabla la información encontrada, por ejemplo:
89
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8,5
Representamos en forma gráfica (recta numérica).
Representamos en forma simbólica (tablero de valor posicional, fracción
decimal y expresión decimal).
D Decenas
UUnidades
, ddécimos
8 , 5
En fracción decimal En expresión decimal
8,5 = 8 + + + + +110
110
110
110
110
= 8 +
= 8,5
0,5510
12
8,5 = 8 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1
Observa que en el afiche se escribe el número decimal con punto, esta es
una notación válida para escribir una expresión decimal. También en las
calculadoras se hace uso del punto.
¿Cuál es el significado de 8,5 km? La distancia a recorrer se representa así:
8 km + 12
km, se lee 8 kilómetros y medio.
Solicita a los estudiantes que formulen números decimales y realicen sus
variadas representaciones.
Pide a los estudiantes que expresen el significado sobre lo que comprenden de
los números decimales.
¿Los centésimos y los milésimos se representarían de la misma forma con el
material Base Diez? Solicita que elaboren afirmaciones respecto a ello y que
luego comprueben sus afirmaciones con material concreto.
De los gráficos anteriores se desprende la presentación simbólica de 8,5. Usando
fracciones decimales y descomposiciones aditivas se podría representar de esta
manera.
8,5 = 8 +
8,5 = 8 +
90
Autores como Polya, Burton, Mason, Stacey y Shoenfield sugieren pautas para la
resolución de problemas. Los siguientes pasos (García, 1992) se basa en los modelos
de los autores.
Pasos de la estrategia
1. Comprender el problema
Lee el problema despacio.
¿De qué trata el problema?
¿Cómo lo dirías con tus propias palabras?
¿Cuáles son los datos? ¡Lo que conoces! ¿Cuál es la incógnita? ¡Lo que buscas!
¿Cuáles son las palabras que no conoces en el problema?
¿Encuentras relación entre los datos y la incógnita?
Si puedes haz un esquema o dibujo de la situación.
3.1.3 Estrategias para la resolución de problemas
Paso 3: Realizando conversiones de kilómetros a metros
Observa la relación entre las distancias de una fila a otra y completa los
espacios en blanco.
Tabla 2 Tabla 3
Distancia(km)
Distancia(m)
1 1 000
121418
La mitad
La mitad
En las tablas se observa las relaciones que se establecen entre unidades de
una misma magnitud. Así en la tabla 1 las dos primeras medidas se relacionan
con la segunda a través del doble; de otro lado si multiplico por 5 a un kilómetro
y por 5 a 1 000 metros, obtendré 5 000 metros. En la tabla 2, para obtener los
valores desconocidos relacionados con la distancia en metros, se establece
una relación de mitad, cuarta, octava o dividir entre 2, 4 y 8.
Distancia(km)
Distancia(m)
1 1 500
2
6
8
1212121212
x 2
Tabla 1
Distancia(km)
Distancia(m)
1 1 000
2 2 000
5
8
x 2x 2
91
2. Concebir un plan o diseñar una estrategia
¿Este problema es parecido a otro que ya conoces?
¿Podrías plantear el problema de otra forma?
Imagínate un problema parecido pero más sencillo.
Supón que el problema ya está resuelto ¿Cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida?
¿Utilizas todos los datos cuando haces el plan?
3. Llevar a cabo el plan o ejecutar la estrategia
Al ejecutar el plan, compruebas cada uno de los pasos.
¿Puedes ver claramente que cada paso es el correcto?
Antes de hacer algo, piensa: ¿qué consigo con esto?
Acompaña cada operación matemática de una explicación contando lo que haces y para que lo haces.
Cuando tropieces con una dificultad que te deja bloqueado, vuelve al principio, reordena las ideas y prueba de nuevo.
4. Reflexionar sobre el proceso seguido
Lee de nuevo el enunciado y comprueba que lo que te pedían es lo que has averiguado
Fíjate en la solución ¿te parece que lógicamente es posible?
¿Puedes comprobar la solución?
¿Puedes hallar alguna otra solución?
Acompaña la solución con una explicación que indique claramente lo que has hallado.
Utiliza el resultado obtenido y el proceso que has seguido para formular y plantear nuevos problemas.
Orientaciones para el planteamiento de problemas
El verdadero problema es aquel que pone a los estudiantes en una situación nueva,
ante la cual no disponen de procedimientos inmediatos para su resolución. Por ende,
un problema se define en cuanto a su relación con el sujeto que lo enfrenta y no en
cuanto a sus propiedades intrínsecas; es un reactivo que involucra a los estudiantes en
una actividad orientada a la abstracción, la modelación, la formulación, la discusión,
etc. (Isoda y Olfos, 2009).
Un buen problema para la clase es aquel accesible a la mayor parte de los estudiantes
y cuya resolución admite varios métodos o caminos, tanto intuitivos como formales. Si
bien el proceso de exploración es lento, lleva a una comprensión más profunda (Isoda
y Olfos, 2009).
92
Ejercicio Problema
Según las acciones
La actividad es simple y reproductiva.Aplican un algoritmo, una fórmula, conocimientos ya adquiridos.
Requiere un tiempo de la comprensión de la situación.Diseñar estrategias y desarrollarlas.Evaluar sus resultados y consecuencias.
Cantidad y calidad
Resolver una gran cantidad de ejercicios no garantiza ser un buen resolutor de problemas.
Los buenos resolutores invierten tiempo en dos procesos: la comprensión y la metacognición o evaluación de sus resultados.
Desarrollo de capacidades
Replican conocimientos aprendidos.
Los desafía y los motiva a investigar, experimentar, hallar regularidades y desarrollar estrategias de resolución.
Desarrollo de cualidades personales
Reproducir conocimientos, procedimientos, técnicas y métodos genera con el tiempo pasividad en los estudiantes.
Despierta una alta motivación y participación por querer resolver el problema.Movilizan experiencias previas y conocimientos adquiridos.Hacen supuestos, experimentan, trazan planes y, por último, sienten la satisfacción de haber solucionado el problema.
¿Cómo diferenciar un problema de un ejercicio?
Veamos el siguiente cuadro:
93
Aplicación de la estrategia
La casa de David no tiene agua potable. Ellos compran y almacenan cilindros con agua. David llenó 2
8 del cilindro, y su hijo Carlos los 3
8.
¿Qué parte del cilindro falta llenar?
Descripción
A partir de este problema aditivo, se aplicará los cuatros pasos para resolver
problemas.
Relación con las capacidades e indicadores
Al resolver este problema los estudiantes matematizan al plantear relaciones entre
los datos en problemas de una etapa, expresándolos en un modelo de solución
aditiva con fracciones, comunican lo que comprenden respecto a la adición de
fracciones y razonan y argumentan al explicar sus procesos y resultados.
Paso 1: Comprender el problema
1. ¿De qué trata el problema?
De la forma como almacenan agua David y su familia y se quiere averiguar cuánto les falta para llenar el cilindro, dado que David y su hijo Carlos ya echaron una cierta cantidad.
2. ¿Cuáles son las acciones que realizan David y Carlos?
Agregan agua al cilindro.
3. ¿Qué te solicita el problema?
Hallar lo que falta para llenar totalmente el cilindro con agua.
Paso 2: Concebir un plan o diseñar una estrategia
1. ¿Este problema es parecido a otro que ya conoces?
Este problema ya es conocido, pues se ha trabajado antes en los primeros grados, pues la acción que se realiza es agregar.
2. ¿Cómo podría plantear el problema?
Se podría utilizar regletas de fracciones, realizar un dibujo del cilindro o un rectángulo o al plantear el problema, usaré todos.
94
Paso 3: Llevar a cabo el plan o ejecutar la estrategia
Planteando el modelo con un esquema y una operación
Dependiendo del modelo de solución se aplicará la estrategia, que puede ser:
completando a la unidad, contando las partes pintadas, aplicando el algoritmo
de la adición con fracciones homogéneas.
Paso 4: Reflexionar sobre el proceso seguido
Luego de plantear el modelo de solución y la estrategia, fíjate si los datos
corresponden al problema.
¿La solución 58
es lógicamente posible? Si es posible, pues las cantidades
iniciales fueron menores al resultado.
Formula otros problemas parecidos a partir del resultado.
Problemas aritméticos de una etapa (PAEV)
Los problemas aritméticos nos muestran las diferentes situaciones de la realidad en las cuales se aprecia fenómenos que responden al campo aditivo (adición y sustracción) o al campo multiplicativo (multiplicación o división).
En este ciclo se desarrollarán también otros problemas aditivos de una etapa o de un solo paso que por su formulación o estructura sintáctica, son de mayor complejidad como los problemas de comparación 5 y 6. Estos problemas para su resolución solo se requiere de una operación y se resuelven por medio de la adición o la sustracción.
Asimismo también se desarrollarán problemas aditivos de varias etapas con naturales, fracciones y decimales y problemas de varias etapas que requieren de utilizar varias operaciones combinadas para su resolución. Estos problemas pueden ser de contexto real –ocurren efectivamente en la realidad– o factibles de producirse.
Planteando el modelo de solución con regletas.
Planteando el modelo de solución con un gráfico rectangular.
Lo que llenó Carlos
Lo que llenó David
David Carlos
El cilindro
¿?
28
38
+ =28
28
+ 38
+
nada ?estado inicial estado final
95
B. Problemas de igualación
Estos problemas presentan las siguientes características:
En el enunciado se incluyen las palabras “tantos como”, “igual que”.
En este problema se trata de igualar dos cantidades.
Comparación 5 (CM5)
Problema en la que se quiere averiguar la cantidad referente conociendo la comparada y la diferencia en más de ésta.
Julio mide 1,3 m y mide 0,12 m más que Fernanda. ¿Cuánto mide Fernanda?
Modelo de solución
Comparación 6 (CM6)
Se quiere averiguar la cantidad referente conociendo, la comparada y la diferencia en menos de ésta.
Miguel pesa 48,5 kg, y pesa 9 kg menos que José. ¿Cuánto pesa José?
1,3¿?
Julio Fernanda
+ 0,12
48,5 kg
Miguel José
Describiremos los problemas aditivos-sustractivos con números naturales y decimales, sugeridos para el V ciclo, en los cuales se darán sugerencias sobre los tipos de modelos de solución planteados con material concreto, pictórico y gráfico.
A. Problemas de comparación con decimales
Estos problemas presentan las siguientes características:
En estos problemas se comparan dos cantidades y se establece una relación de comparación entre ellas. Los datos son las cantidades y la diferencia que existe entre ellas. Dado que una cantidad se compara con otra, una cantidad es el referente y la otra cantidad es la comparada, es decir, la cantidad que se compara con respecto al referente.
A continuación, se describen los problemas para el V ciclo.
1. Problemas aditivos de una etapa
- 9
¿?
96
Igualación 3 (IG3)
Se conoce la primera cantidad y lo que hay que añadir a la segunda para igualarla con la primera. Se pregunta por la segunda cantidad.Sugerido para 5.° grado.
Juan tiene S/. 1 700 de ahorros. Si Rebeca ganara S/. 600, tendría lo mismo que Juan. ¿Cuánto dinero tiene Rebeca?
Igualación 4 (IG4)
Se conoce la cantidad del primero y lo que hay que quitar a la segunda para igualarla con la primera. Se pregunta por la cantidad del segundo.Sugerido para 5.° grado.
Una empresa A gana S/. 41 700 en un año. Si otra empresa B gasta S/. 8 760, tendría ganancias como la primera ¿Cuánto de ganancia en total tiene la empresa B?
Se actúa en una de las cantidades aumentándola o disminuyéndola hasta conseguir hacerla igual a la otra.
Surgen 6 tipos de problemas.
A continuación, describiremos los problemas sugeridos para el V ciclo.
Juan
1 700
?
Rebeca
600
41 700
8 760
Gana
Gasta
Empresa A Empresa B
Ganan-cia de
Empre-sa A
97
C. Problemas de igualación (IG 5, IG6) con decimales
Estos problemas presentan las siguientes características:
En el enunciado se incluyen las palabras “tantos como”, “igual que”
En este problema se trata de igualar dos cantidades.
Se actúa en una de las cantidades aumentándola o disminuyéndola hasta conseguir hacerla igual a la otra.
Es al mismo tiempo un problema de cambio y otro de comparación, pues una de las cantidades se modifica creciendo o disminuyendo para ser igual a la otra cantidad.
Surgen 6 tipos de problemas.
A continuación describiremos los problemas sugeridos para el V ciclo.
Igualación 5 (IG 5)
Se conoce la cantidad a igualar y la igualación (añadiendo o en más), debiéndose averiguar la cantidad que sirve de referente.
Flavio gana S/. 645,56, si le dieran S/. 122,34 más, ganaría lo mismo que Ernesto. ¿Cuánto gana Ernesto?
Igualación 6 (IG 6)
Se conoce la cantidad a igualar y la igualación (quitando o en menos), debiéndose averiguar la cantidad que sirve de referente.
El 5.° A recaudó S/. 25,4 en la venta de papas rellenas. Si gastara S/. 3,80 tendría lo mismo que el 5.° B. ¿Cuánto dinero tiene el 5.° B?
¿?
-3,8
122,34
645,56
ErnestoFlavio
S/. 25,4
5.° A 5.° B
¿?
98
1. Problemas de comparación en más o "veces más que"
Problemas de estructura multiplicativa de una etapa de multiplicación o división
1. Problemas de comparación en más o de la forma “veces más que”.
Multiplicación- Comparación en más o amplificación
Quinto grado
División-partitiva-comparación en más.
División agrupación-comparación en más.
2. Problemas de comparación en menos o de la forma “veces menos que”
Multiplicación-comparación en menos Sexto grado
División partición en menos.
División cuotición en menos.
3. Problemas de combinación o producto cartesiano
Combinación-multiplicación o producto cartesiano
Sexto grado
Combinación-división o producto cartesiano
Multiplicación comparación en más
División partitiva comparación en más.
División agrupacióncomparación en más.
Dada una primera cantidad (multiplicando)
Otra cantidad, que es las veces que otro la tiene de más (multiplicador, de diferente naturaleza que el multiplicando).
Se pregunta por la cantidad ampliada (producto)de la misma naturaleza que el multiplicando.
Dada una cantidad (dividendo).
Otra cantidad, que es las veces que tiene de más (divisor). Esta cantidad es de distinta naturaleza.
Se pregunta por la cantidad reducida (cociente) de la misma naturaleza que el dividendo.
Se dan dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor)
Se pregunta por la cantidad de veces (cociente) que la mayor contiene a otra.
José ahorró S/. 25,5. Mariela tiene ahorrado cuatro veces más dinero que él. ¿Cuánto dinero tiene Mariela?
Mariela tiene S/. 102, que es cuatro veces más que el dinero de José. ¿Cuánto dinero tiene José?
Mariela ahorró S/. 102 y José ahorró S/. 25,50. ¿Cuántas veces más ahorró Mariela que José?
Modelo de solución Modelo de solución Modelo de solución
?S/.25.50
Mariela tiene 4 veces más
Josécantidad referente
Marielacantidad ampliada
S/.25.50José
Mariela ?
x 4S/. 102Mariela
José ?
: 4S/. 102Mariela
José S/.25.50
?
Marielacantidad referente
Josécantidad reducida
S/. 102
?
4 veces más
S/.25.50
S/. 102
JoséMariela
¿Cuántas veces más?
99
2. Problemas de comparación en menos o de la forma "veces menos que"
3. Problemas de combinación o producto cartesiano
Multiplicación comparación en menos
División partitiva comparación en menos
División agrupacióncomparación en menos
Dada una primera cantidad (multiplicando)
Otra cantidad, que es las veces que otro la tiene de menos (multiplicador, de diferente naturaleza que el multiplicando).
Se pregunta por la cantidad ampliada (producto)de la misma naturaleza que el multiplicando.
Dada una cantidad (dividendo).
Otra cantidad, que es las veces que tiene de menos (divisor). Esta cantidad es de distinta naturaleza.
Se pregunta por la cantidad reducida (cociente) de la misma naturaleza que el dividendo.
Se dan dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor)
Se pregunta por la cantidad de veces (cociente) que una es menor que la otra.
Un elefante al nacer pesa en promedio 118 kg. Su peso es cincuenta y tres veces menos que cuando es adulto. ¿Cuánto pesa un elefante adulto?
Un elefante adulto pesa 6 254 kg. Un elefante bebé pesa cincuenta y tres veces menos que un elefante adulto. ¿Cuánto pesa un elefante bebé?
Un elefante adulto pesa 6 254 kg. Un elefante bebé pesa 118 kg. ¿Cuántas veces menos pesa el elefante bebé que el elefante adulto?
Modelo de solución Modelo de solución Modelo de solución
En estos tipos de problemas se combinan dos cantidades determinadas, para formar una tercera. Estas cantidades se combinan uno a uno, con independencia de su orden de colocación.
?118 kg
Pesa 53 veces menos que
Elefante bebécantidad referente
Elefante adultocantidad ampliada
118 kgElefante bebé
Elefante adulto ?
x 536 254 kg
Elefante bebé
Elefante adulto
?
: 536 254 kg
Elefante bebé
Elefante adulto
118 kg
?
6 254 kg
6 254 kg
? 118 kg
Pesa 53 veces menos que
¿Cuántas veces menos?
Elefante adultocantidad referente
Elefante adultoElefante bebécantidad reducida
Elefante bebé
Combinación multiplicación Combinación división
Dadas dos cantidades de distinta naturaleza (multiplicando y multiplicador), se pregunta por el número de combinaciones posibles (producto).
Dada una cantidad (dividendo) y el número de combinaciones (divisor), se pregunta por la otra cantidad que se combina (cociente).
¿De cuántas formas distintas se pueden combinar 2 blusas y 3 faldas?
Se pueden combinar de 6 formas distintas faldas y blusas. Si hay 3 faldas, ¿cuántas blusas son necesarias?
?formas
Hay 6formas
?blusas
blusa roja
blusa amarilla
100
Problemas de reparto
En estos problemas se pretende analizar si es posible seguir repartiendo lo que queda y además seguir repartiendo en forma equitativa.
Estos problemas se conectan con los conocimientos previos de los niños con respecto a la división, por lo que la “estrategia” de resolución es la división entre números naturales. Analizar lo que sobra, lleva necesariamente a que los niños sigan repartiendo, por lo que aparecerá de manera espontánea el concepto de fracción, donde ya los números naturales no son pertinentes para dar la respuesta.
Problemas:
1. Reparte 23 chocolates entre 5 de tus compañeros en forma equitativa. ¿De cuántas formas diferentes puedes hacerlo? Busca otros repartos que sean equivalentes a este.
2. Para decorar las bancas de la capilla se necesitan trozos de 14
m de cinta. Cada niño compró rollos de cinta distintos. Margarita con su rollo pudo cortar 8 trozos; Fernando, 6 y Joaquín, 5. A ninguno de los niños le sobró cinta. ¿Cuál era la longitud de cinta de cada uno?
Problemas con fracciones
El sentido de enseñar los números racionales se debió a que se necesitaba resolver problemas que no podían ser dilucidados con los números naturales. Los números naturales y los racionales tienen características diferentes, por lo que en los primeros ciclos de la Educación Básica implica ciertas rupturas con lo que se aprendió respecto a los números naturales, y esto ya lo torna complejo. Por ejemplo, en los primeros grados se tiene la certeza que 2 es menor que 3 y esta misma característica no se puede emplear con las fracciones al indicar, por ejemplo que 1
2 es menor que 1
3. ¿Cómo
hacer comprender a los niños que esta afirmación es errónea y que ya no funciona como en los números naturales?
En tal sentido, se sugiere enseñar las fracciones en problemas de contexto real, que impliquen expresar repartos, medidas o relaciones entre las partes y el todo. En el enfoque de resolución de problemas se cambia la organización de enseñar por contenidos en forma aislada y desconectada por la enseñanza de las fracciones a partir de problemas; así, los conceptos de fracción y su denominación, fracciones mixtas y equivalentes aparecerán de forma natural y relacionada, por lo que su aprendizaje queda garantizado y será duradero. Enseñar las fracciones de forma separada o aislada, puede resultar más sencillo, pero es superficial y menos duradero, porque se olvida fácilmente aquello que no aparece relacionado dentro de una organización y donde las distintas nociones aparecen desconectadas.
101
Dos modelos de solución, del problema 1 donde se observa el reparto de las cantidades, la partición de la unidad y también el modelo numérico.
Estos problemas favorecen la aparición simultánea de fracciones mayores y menores que el entero, y con iguales y distintos denominadores, lo que permite salir de la lógica, según la cual es necesario enseñar primero un tipo de fracciones (por ejemplo, los menores que la unidad) para recién después utilizar otras.
Según esta lógica, se permite ir configurando un entramado que vincule unas fracciones con otras, que pueda ir complejizándose y creciendo. Por ejemplo, al poder establecer conexiones entre medios y cuartos, octavos y medios, quintos y décimos, tercios y sextos, para ir ampliando progresivamente de repertorio de fracciones usuales a otras fracciones con otros denominadores. Se corrobora que a partir de un problema se pueden desarrollar varios conceptos matemáticos con referencia a la fracción y que están interrelacionados, por lo que permite un aprendizaje significativo y duradero.
Problemas de medida
En estos problemas se utilizarán las fracciones para medir longitudes. Se proponen situaciones de medición, donde la unidad no entra una cantidad entera de veces en el objeto por medir, para provocar la necesidad de fraccionar la unidad.
1. Este pedazo de soga que tiene 3 cm es la quinta parte de una soga. ¿Cuánto mide la soga completa?
2. ¿Cuál de las dos áreas sombreadas es mayor? Justifica tu respuesta.
4 + +12
110
4 + +12
110
4 + +12
110
4 + +12
110
4 + +12
110
20 + 2 +12
12
510
Lo que sobra lo divido en 5 partes
y le doy a cada uno 110
más
15
3 cm
?
3. Busca una estrategia para colorear 5/8 y justifica tu respuesta.
Solución
102
Problemas de fracción como operador
1. En el último examen, 23
de los 36 alumnos aprobaron el examen. ¿Cuántos aprobaron el examen?
El todo es 36 y se divide en tres grupos. Cada grupo está formado por 12 estudiantes.
2. En un salón de 30 estudiantes las dos terceras partes son mujeres; de los varones, la mitad son de Lima. ¿Cuántos estudiantes son de Lima?
3. Un avión tiene que recorrer 450 km. Hizo su primera escala a los 150 km. ¿Qué parte del recorrido le falta realizar?
Mitad, tercia y cuarta de una fracción
1. Hoy compraron una pizza para el almuerzo y sobró 14
. Por la tarde, José se comió la mitad de lo que sobró. ¿Qué parte de la pizza se comió José?
2. Susana tiene una bolsa de caramelos y le da a su hermana 2/3 del total. A la vez, su hermana le da a su mamá la mitad de lo que le dio su Susana. ¿Qué parte de los caramelos recibió su mamá?
36
36 : 3 = 12
Modelo gráfico
Modelo con una operación
12 12
M V
10 105
13
13
450 km
?
150
sobró 14
del gráfico
de =12
14
18
Por la tarde se comió la mitad de lo que sobró
Con una operación
x =12
14
18
103
Fracciones en la recta numérica
1. En una carrera de postas de 100 metros planos, la pista está marcada en tramos iguales, como muestra la figura.
Inés está en la marca B, ¿qué fracción del total del camino recorrió? ¿Y cuántos metros?
Wilma se encuentra a los 80 metros de la salida, ¿en qué punto está?
Cuando Gladys esté en los 3/5 de la pista, ¿en qué punto estará?
Problemas con dinero y números decimales
Los problemas donde intervienen soles y céntimos constituyen un buen punto de partida para abordar los números decimales, en tanto permiten relacionar inicialmente este contenido con prácticas sociales extraescolares que resultan familiares a los estudiantes. De otro lado, también es necesario que esos conocimientos se vayan desprendiendo de los contextos particulares para alcanzar un mayor grado de generalidad. Por ejemplo se podrían plantear los siguientes problemas:
Problemas donde se pueda componer una cantidad de dinero con nuevos soles y céntimos y dar composiciones equivalentes para una misma cantidad. Por ejemplo: pagar de diferentes maneras S/. 2,25 con monedas de 5, 10, 20 y 50 céntimos.
Si el padrino de un bautizo tiene en su bolsa de monedas: 15 monedas de 10 céntimos, 7 monedas de 20 céntimos, 13 monedas de 50 céntimos, ¿cuánto dinero tiene en total?
Problemas aditivos que hagan referencia a precios en nuevos soles.
Problemas de reparto de dinero. Por ejemplo, repartir 1 nuevo sol y 50 céntimos entre 2 niños.
A B C DSalida Llegada
150céntimos
1,501 nuevo sol
y 50 céntimos
104
Patrones con transformaciones geométricas
En los frisos o guardas que figuran en los mantos o en nuestra vestimenta, están relacionados con los patrones de repetición que implican una transformación geométrica. Construir un patrón o una secuencia implica reconocer la unidad mínima o la figura que se repite y a la cual se le aplica una traslación, reflexión o rotación.
También se pueden construir mosaicos con las unidades de repetición o teselas, como las que se muestran a continuación:
Transformaciones de reflexión: El mosaico es armado con el simétrico de la pieza mostrada.
Transformaciones de traslación: Son movimientos directos sin cambios.
Transformaciones de rotación:Estos patrones se forman cuando el núcleo de formación dan giros de ¼ de vuelta ( 90°), de ½ vuelta ( 180°) o vuelta completa ( 360°)
3.2 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
Teselado por reflexión
Teselado por traslación
3.er giro
2.do giro1.er giro
Unidad mínima de repetición
105
Observamos que al cuarto giro, la figura queda en la misma posición de inicio. Es importante observar que al realizarse el giro o rotación de la figura, hay que considerar un punto de referencia.
Recuerdan que las traslaciones son movimientos directos de las piezas para continuar con el patrón sin que se realicen cambios de ninguna naturaleza, simplemente, se trasladan en forma paralela, a la misma distancia y en la misma dirección.
Descripción
Los estudiantes cubrirán una superficie con figuras geométricas, donde construirán las piezas del patrón a repetirse por traslación. Es importante que vivencien la experiencia de elaborarlas y pintarlas con los colores que deseen.
Deberán pensar en formular un núcleo de repetición, considerando una combinación de colores de las figuras, las cuales se repetirán en la formación del patrón, una vez identificado el núcleo a ser repetido, este solamente será desplazado.
Relación con las capacidades e indicadores
En esta actividad los estudiantes tendrán la oportunidad de matematizar situaciones al interpretar datos y relaciones en problemas de regularidad, expresándolos en un patrón de repetición geométrico con traslaciones, también comunican y representan ideas matemáticas referidas a expresar el criterio geométrico que interviene en el patrón utilizando lenguaje matemático apropiado (se traslada, el núcleo o la unidad que se repite es…). En este proceso además elaboran y usan estrategias de ensayo y error o una tabla, para ampliar o crear patrones de repetición.
3.2.1. Cubriendo el plano con figuras mediante traslaciones
Materiales:
Cartulina.
Regla, escuadra, compás.
Lápiz, borrador.
Tijeras.
Plumones, colores.
Diseños de figuras o papeles decorativos
106
Desarrollo:
La docente debe tener en cuenta que en los últimos grados, la enseñanza de la geometría debe trascender el nivel perceptivo, propiciando la descripción de las características que permiten analizar propiedades de las figuras.
Paso 1:
Los estudiantes, organizados en grupos de trabajo, diseñan las figuras con papeles de colores, las cuales van a ser trasladadas. Las figuras también puede ser diseñadas en hojas bond, y posteriormente, coloreadas.
Paso 2:
Proceden a armar el patrón, teniendo en cuenta el núcleo de formación diseñado.
Con esta actividad se espera que los estudiantes comprendan que solo trasladando figuras en el plano podemos formar patrones. Es importante que observen que en los mosaicos se visualiza una simetría traslacional, que estas traslaciones conservan la misma distancia y una misma dirección.
Algunos mosaicos que los estudiantes pueden presentar:
107
Descripción de la estrategia
Según Mason (citado por Butto y Rojano, 2004) la generalidad es fundamental para desarrollar el pensamiento matemático y algebraico y puede ser desarrollada a partir del trabajo con patrones o regularidades, que favorecen la generalización.
Esta estrategia consiste en cuatro pasos y permitirá la generalización, proceso importante para desarrollar el pensamiento matemático y algebraico. La generalización en el álgebra es fundamental para desarrollar la abstracción y puede ser desarrollada a partir del trabajo con patrones.
El propósito
Los estudiantes tendrán la oportunidad de: matematizar al encontrar un elemento desconocido de la secuencia, identificando el núcleo de formación del patrón. Elaborar y usar estrategias heurísticas (organizando información en tablas). Razonar y argumentar al justificar la regla de formación, preparándolos para la generalización.
Comunican y describen lo vivenciado con material concreto, el cual les facilita construir y representar la idea de rotación del elemento que gira.
Pasos de la estrategia
Se propone desarrollar cuatro etapas y se puede resumir así:
Paso 1: Percibir un patrón, a partir de la sucesión de figuras, pudiendo surgir preguntas matemáticas, por ejemplo: ¿cuál sería la regla de formación o el núcleo que se repite para reconocer el patrón? El primer encuentro con el álgebra es partir de la identificación y comunicación de patrones o de relaciones, a través de las semejanzas o diferencias.
Paso 2: Expresar un patrón, descubrir cuál es el patrón para uno mismo o para otro. Es necesario decirlo para que luego se pueda reflexionar sobre él.
Paso 3: Registrar un patrón. Este paso hace visible el lenguaje de la matemática, transitando desde los dibujos, a los íconos, letras o símbolos; lo cual permite la verificación de la regla.
Paso 4: Probar la validez de las fórmulas. Para que una regla de formación tenga validez se debe probar de diferentes formas; por ejemplo, mediante su aplicación en otros casos.
3.2.2 Estrategia para generalizar patrones
Los patrones considerados como una sucesión de signos orales, gestuales, gráficos, etc., que se construyen siguiendo una regla ya sea de repetición (el núcleo se repite de forma periódica) o de recurrencia (cada término puede ser expresado en función de los anteriores). En todo patrón se aprecia una estructura de base o un núcleo el da origen a la regla o ley de formación.
Patrones o secuencias se pueden usar indistintamente. Otros autores usan el término patrón para designar estrictamente el núcleo de la secuencia. (Bressan y Bogisic, 1996).
108
Aplicación de la estrategia
Problema 1:
Paso 1: Percibir un patrón
Los estudiantes comprenden el problema respondiendo las siguientes interrogantes: ¿Qué tiene que hacer el albañil? ¿Cómo se sabe qué pieza es la que continúa? ¿Han identificado el núcleo de formación? ¿Puedes señalarlo en la imagen? ¿Qué relaciones has identificado? ¿Crees que es un patrón con simetría? ¿Por qué? ¿Cómo crees que puedes determinar la posición de la pieza n.º 96 si solo se muestran 9 piezas?
Los estudiantes tendrán en cuenta los giros de cada pieza que forma el patrón. Para ello tienen que preparar sus materiales, probar dichos giros (cuartos de vuelta y repro-ducirlos en forma gráfica para ir construyendo el núcleo). Los movimientos que realiza-rán les permitirá identificar la cantidad de veces que tiene que girar la pieza (mayólica) hasta formar el núcleo que repite.
También pueden experimentar la reproducción de lo solicitado, conforme al modelo presentado.
Ensayan en forma concreta (con piezas de cartulina) para probar los giros de cada pieza.
Construyen la cenefa (friso) en una tira de cartulina con las piezas que construyeron, según la posición obtenida en cada giro. Luego se darán cuenta que construirla de esta manera es muy laboriosa y es necesario otra forma más económica de llegar a la pieza n.º 96. Por lo tanto, los estudiantes asumen el reto de encontrar esta respuesta. ¿Cómo podemos averiguar la posición de esta pieza?
Paso 2: Expresar un patrón.
Para expresar cuál es el patrón a sí mismo o a otra persona, es necesario decirlo para que luego se pueda reflexionar sobre él. Al reproducir el patrón se darán cuenta que se repite cada 4 piezas, por lo que el núcleo o regla de formación del patrón es el siguiente:
Decorando un aula
Un albañil está decorando con cenefas, un aula de educación inicial de 5 años de una institución educativa. Aún no ha terminado el trabajo, pero para continuar con la tarea, el albañil tiene que resolver algunos problemas: ¿En qué posición tendrá que colocar la siguiente mayólica? ¿Cuánto gira la pieza en cada movimiento? ¿En qué posición tendrá que colocar la pieza n.º 96?
109
Pueden numerar las piezas (1.ª, 2.ª, 3.ª, 4.ª) que constituye el núcleo del patrón, para luego organizar estos datos en una tabla.
Paso 3: Registrar un patrón. Este paso hace visible el lenguaje de la matemática, transitando desde los dibujos, a los íconos, letras o símbolos. Esto permite la verificación de la regla.
Se les pide a los estudiantes que observen y que centren su atención en los casilleros pintados de amarillo.
Se promueve el análisis y la reflexión de estas observaciones: ¿Cómo son estos números? ¿Son múltiplos de algún número? ¿Cuál es la diferencia entre estas cantidades? ¿En qué columna se ubican las decenas? ¿Hay algún parecido entre el 20 y el 40? ¿En qué columna se ubican estos últimos? ¿Cada cuántas filas aparecen las decenas 20, 40? ¿Y las decenas 10, 30, 50?
Se les pide que cuenten las filas que hay después del 10 y del 30, de igual modo, entre el 20 y el 40. Se espera que los estudiantes respondan que hay 5 filas. Esta es una regularidad encontrada en la tabla.
1.° 2.° 3.° 4.°
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
21 22 23 24
25 26 27 28
29 30 31 32
33 34 35 36
37 38 39 40
41 42 43 44
45 46 47 48
49 50 51 52
110
Estas decenas se encuentran en dos columnas: las decenas 10, 30, 50 en la segunda columna y las decenas 20, 40 en la cuarta columna. Esta es otra regularidad. Si seguimos la secuencia: 10, 30, 50, __ , __ , qué decenas continúan.
Con estas observaciones en la tabla, los estudiantes se dan cuenta que el número de pieza solicitado se ubicará en la segunda columna.
Una vez ubicada la posición 90, van contando y haciendo las siguientes relaciones:
Sabemos que el núcleo del patrón consta de 4 piezas, por lo tanto, la pieza n.º 96 se ubica en la cuarta columna.
Teniendo la ubicación de la pieza n.° 96 en la cuarta columna, los estudiantes se fijan en qué posición se encuentran las piezas de esta columna, que corresponde al n.° 96.
Las otras respuestas que deben dar los estudiantes corresponde a la pieza que continúa en el patrón presentado, que es la siguiente: y los giros que han dado las piezas en el patrón son de un cuarto de vuelta.
Paso 4: Probar la validez de las fórmulas. Para que una regla tenga validez, se debe probar de diferentes formas; por ejemplo, mediante su aplicación en otros casos.
Otra forma de encontrar la fórmula es dividir 96 ÷ 4 = 24; y 24 es la última pieza del grupo de 4, por lo que podemos llegar a la pieza n.° 96 en la cuarta columna.
¿Podrían encontrar la posición de la pieza n.° 123, sin usar la tabla?
Finalmente, los estudiantes argumentan y justifican sus respuestas.
91 3.ª columna
92 4.a columna
93 1.ª columna
94 2.ª columna
95 3.ª columna
96 4.ª columna
111
Descripción
A partir de un problema, establecerán equivalencias entre estos objetos buscando mantener en equilibrio una balanza.
El propósito: El propósito de la actividad es que los niños matematicen situaciones al identificar datos y relaciones de equivalencia; razonen y argumenten al elaborar y argumentar supuestos sobre las igualdades durante la simulación de pesaje de diversos objetos manteniendo el equilibrio en una balanza. Comunican y representan ideas matemáticas al expresar igualdades en forma concreta , gráfica y simbólica, haciendo uso de expresiones aditivas, multiplicativas y del signo “=”.
Materiales:
Balanzas simuladas, siluetas de esferas, cilindros y cubos.
3.2.3 Estrategia de resolución de problemas para problemas de equilibrio
Pasos de la estrategia
1. Comprensión del problema
Presenta el problema garantizando que todos los estudiantes lean:
Asegura la comprensión del problema presentado mediante preguntas: ¿De qué trata el problema? Explica con tus propias palabras. ¿Cuáles son las condiciones del problema?, ¿qué representan en el problema la balanza A?, ¿la balanza B?, ¿la balanza C?, ¿qué tenemos que averiguar?
¿Qué objetos equilibran la balanza D, asumiendo
que los objetos de formas iguales tienen igual peso?
balanza A balanza B
?
balanza C balanza D
112
2. Concebir un plan o diseñar una estrategia
Propicia que los estudiantes diseñen o adapten una estrategia a través de preguntas: ¿Cómo podemos resolver este problema?, ¿alguna vez han resuelto un problema igual o similar?, ¿podemos utilizar algún material para resolver este problema?. Una de las estrategias utilizadas por los estudiantes debe ser la simulación con material concreto.
3. Llevar a cabo el plan o ejecutar la estrategia
Acompaña cada operación matemática de una explicación contando lo que haces y para qué lo haces. Cuando tropieces con una dificultad que te deja bloqueado, vuelve al principio, reordena las ideas y prueba de nuevo. Luego, propicie a representar su solución mediante símbolos o formas geométricas.
Una forma de resolver el problema podría ser:
Haciendo uso de las siluetas simulamos la informaciòn de la balanza B y la Balanza C para establecer otras relaciones:
En la balanza C se tiene que, equivale
y en la balanza B, equivale
De esas dos afirmaciones podemos establecer una nueva información. Reemplazamos en la balanza C, siluetas de tres cilindros, por dos cubos y una esfera.
Obtenemos que
En la nueva relación, para que no se altere la equivalencia, extraemos objetos similares en ambos brazos de la balanza (dos cubos de cada brazo de la balanza)
La nueva relación que se obtiene es:
Esta relación es la que nos piden determinar en la balanza D, por lo tanto la respuesta al problema es: el peso de una esfera y un cilindro es igual al peso de un cubo.
4. Reflexionar sobre el proceso seguido
Lee de nuevo el enunciado y comprueba que lo que te pedían es lo que has averiguado. Fíjate en la solución, ¿te parece que lógicamente es posible? ¿Puedes comprobar la solución? ¿Puedes hallar alguna otra solución?. Acompaña la solución con una explicación que indique claramente lo que has hallado. Utiliza el resultado obtenido y el proceso que has seguido para formular y plantear nuevos problemas.
equivale
equivale
equivale
equivale
113
3.2.4 Jugamos a las “vencidas”
Pasos de la estrategia
1. En el patio de la escuela o en un ambiente amplio y libre, forme dos o más grupos mixtos de estudiantes, dependiendo de la cantidad de asistentes. Entregue una soguilla a cada pareja de grupos e indíqueles que jugarán a las vencidas para determinar qué grupo es el más fuerte. Gana el grupo que logra hacer pasar sobre la marca en el piso a un integrante del otro grupo.
2. Luego de experimentar el juego, pregunte a los grupos: ¿Quién ganó?, ¿cómo podríamos hacer que el juego termine en empate? Promueve que los estudiantes lleguen a la conclusión de que podrían agregar o quitar integrantes en los grupos, para obtener el equilibrio de fuerzas.
3. Motiva a que investiguen diferentes formas de obtener empate en el juego de las vencidas. Estos resultados serán escritos en una hoja, por ejemplo:
La fuerza de dos niños es igual a la fuerza de tres niñas. La fuerza de Jimmy y Edwin equivale a la fuerza de Ethel, Sisa y Betty juntas.
4. En el aula, conversa con los estudiantes sobre las equivalencias encontradas y propicie a que cada una de sus anotaciones las transcriban en una tabla, haciendo uso de símbolos matemáticos, dibujos o figuras geométricas.
LENGUAJE ESCRITO LENGUAJE ICÓNICO- SIMBÓLICO
La fuerza de dos niños equivale a la fuerza de tres niñas.
2 = 3
O 2H = 3MH: hombresM: mujeres
Equivale : Niños : Niñas
… … …
Descripción
Los estudiantes jugarán a “las vencidas” con soguillas para determinar igualdades e equivalencias entre la fuerza de grupos de niños y niñas o grupos mixtos.
Relación de las capacidades con los indicadores
Los estudiantes desarrollarán la capacidad de matematizar, al identificar datos y relaciones de equivalencia mediante un juego vivencial, los cuales serán expresados mediante igualdades en forma concreta , gráfica y simbólica, haciendo uso de expresiones aditivas, multiplicativas y del signo “=”.
Materiales:
Soguillas de 4 metros, hojas cuadriculadas, lápiz.
114
6. Plantea un reto. Que resuelvan el siguiente problema:
7. Enfatiza la resolución haciendo uso de los 4 pasos para resolver un problema. Los estudiantes podrían simularlo haciendo uso de material concreto.
Asegura que los estudiantes comprendan, expliquen y justifiquen cada una de sus propuestas.
5. Dialoga con los estudiantes sobre equivalencia e igualdad.
ALGO NO ESTÁ BIEN
Supongamos que:
Cada niña puede tirar tan fuerte como cualquiera de sus compañeras.
Cada niño varón puede tirar tan fuerte como cualquiera de su compañeros.
Es posible descubrir que la siguiente información no es confiable pues hay una contradicción en ella, ¿podrías indicar en qué consiste tal contradicción?
Cuatro niños empatan con cinco niñas.
Un niño y dos niñas empatan con el tío Juan.
Tío Juan y dos niñas empatan con los cuatro niños.
115
Desarrollar esta competencia en este ciclo implica que los estudiantes se relacionen con las formas, el movimiento y la localización de los cuerpos, desde su propia experiencia, desde su percepción, su construcción, reproducción y designación de los objetos geométricos. También se espera que se relacionen con la geometría dinámica frente a la geometría estática (de tiza y pizarra) presentando las formas desde diferentes posiciones y vistas; se relacionen con una geometría interfigural e intrafigural frente a la geometría exfigural propia de la enseñanza tradicional, haciendo explícitas las relaciones de una figura y las que tiene esta figura con las otras; una geometría que tenga en cuenta el carácter inductivo, deduciendo e infiriendo las propiedades geométricas, a partir de ejemplos concretos de construcción y visualización.
Los estudiantes del V ciclo participarán en actividades que impliquen matematizar objetos del entorno para expresarlos en un modelo relacionado con prismas, pirámides, cilindros, cuadriláteros, triángulos y polígonos; expresar la ubicación de un objeto en un croquis, empleando puntos cardinales en un sistema de coordenadas e identificar características de los objetos por ampliación, reducción y rotación en un cuarto de vuelta y media vuelta. Asimismo, se espera que comunique y represente ideas matemáticas con las nociones arriba mencionadas; también se espera que empleen diversas estrategias para la construcción de las formas y las transformaciones y razonen y argumentan cuando expresan sus conjeturas sobre las propiedades geométricas de los formas bi y tridimensionales y sus transformaciones.
El modelo de Van Hiele ha sido elaborado por la escuela holandesa por los profesores Van Hiele. El modelo consta de dos componentes: de los niveles de razonamiento y las fases de aprendizaje. En el fascículo del III ciclo se han descrito las fases de aprendizaje, las cuales también serán usadas en este ciclo.
Descripción
Los niños observarán las siguientes fotos de edificaciones de su localidad y se les pedirá que hagan una réplica usando el material concreto y formas como prismas y pirámides.
3.3 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
3.3.1 Estrategias para aprender geometría según Van Hiele
APLICACIÓN 1 : Construyen casas y edificios con prismas y pirámides
116
Contextualiza esta actividad con las casas
o edificaciones de tu comunidad, de tu
región o tu ciudad.
Fotografía 1: casita andina
Tomada de: http://www.artelista.comFotografía 2Maqueta de principales edificios de la ciudad de MadridTomada de: http://yair.es/multimedia/datos/Edificios_matematicos_011920_170610_1602.pdf
Materiales:
Poliedros desarmables, 1 bolsa de sorbetes (cañitas), tijeras. Fotos de edificios o edificaciones de su localidad.
Relación con las capacidades e indicadores
Estas actividades propician que los niños matematicen al identificar características y propiedades y poder expresarlas en prismas o pirámides; comuniquen y representen ideas matemáticas al expresar, usando lenguaje matemático, los elementos y propiedades de los prismas y pirámides, y representar estos sólidos usando diversos materiales concretos; elaboren estrategias al construir los cuerpos geométricos y razonen y argumenten cuando establecen conjeturas sobre las propiedades geométricas o explican y argumentan el resultados de sus respuestas o sus construcciones.
1.a fase: discernimiento o información
Los estudiantes se familiarizan con los materiales sin recibir indicaciones del docente, solo manipulándolos. Esto les permite concentrarse exclusivamente en lo que hacen y, también, descubrir propiedades matemáticas por sí mismos.
Realiza preguntas para que expresen las propiedades y características de los materiales y de las fotografías.
En esta fase se espera que los estudiantes expresen lo que saben sobre los elementos o las características de los objetos relacionándolos con algunos nombres geométricos que conocen.
Al estar en el nivel 1 de reconocimiento, por ejemplo, al usar los poliedros, se darán cuenta de que están formados por cuadrados, triángulos equiláteros y pentágonos. Podrán mencionar los elementos de estas figuras como vértices, lados y ángulos.
Matematizan cuando
identifican características
geométricas en las edificaciones y las relacionan con prismas o
pirámides.
117
2.a fase: orientación dirigida
Se propone una secuencia graduada de actividades a construir y explorar orientadas a la construcción de las ideas matemáticas. En este caso, se proponen las siguientes actividades. Se sugiere que todos los alumnos pasen por la experiencia de construir los prismas y pirámides con ambos materiales.
El grupo que tiene los poliedros une las piezas para construir las edificaciones de la zona. Los estudiantes se podrán dar cuenta que las casitas están compuestas por dos cuerpos diferentes, pero con una característica en común.
Construir las edificaciones con los sorbetes o cañitas requiere de mayor tiempo y de destrezas motoras más finas pues en la elaboración tienen que pensar en la forma de unir las cañitas. Esto lo pueden hacer con lana o creando soportes de enlaces o puentes entre dos cañitas con otro sorbete, introduciéndolas dentro de ambas cañitas. También tienen que decidir de qué tamaños serán las cañitas para obtener el prisma o la pirámide deseada.
Construir una réplica de la ciudad con edificaciones distintas con material reciclado o construido con plantillas de los prismas con cartulina.
En esta fase se debe orientar a que los estudiantes determinen las características de los cuerpos que componen una casita o un edificio. Y que, por ejemplo, en el tejado de la casita sus caras laterales tienen forma rectangular; y tiene otras dos caras paralelas en forma de triángulo. Orientar para identificar las caras y aristas paralelas y perpendiculares. Pregunta: ¿en qué otras formas encontramos caras paralelas y perpendiculares.
De las edificaciones de las fotos podrían decir que tienen forma de cajas o de prismas.
Que algunos edificios se parecen porque son prismas, pero algunos tienen otra forma en la punta; podrían decir que se trata de una pirámide o mencionar también la forma de sus bases.
Haz que realicen un cuadro con las características de los objetos.
Figura tridimensional (nombre)
Dibujo Características
Figura bidimensional (nombre)
Dibujo Características
Elaboran estrategias
al determinar cómo construirán las edificaciones
usando diversos materiales
concretos.Comunican y representan
lo que saben sobre los
prismas y pirámides.
118
3.a fase: explicitación
Una vez realizadas las experiencias, los estudiantes expresan sus resultados y comentarios. Durante esta fase, estructuran en esquemas o gráficos el sistema de relaciones halladas, y lo expresan usando su propio lenguaje.
Como todavía no se conoce el nombre de los prismas o pirámides, se sugiere que se le ponga letras: el "cuerpo A" o "B".
A partir de las construcciones se pide que completen el cuadro con los elementos de los prismas y las pirámides.
4.a fase: orientación libre
Los estudiantes podrán aplicar los conocimientos adquiridos de forma significativa a situaciones distintas a las presentadas, pero con estructura comparable. Esta fase proporciona la práctica adecuada para aplicar los conceptos adquiridos que han sido formados.
Construir otros prismas y pirámides con bases diferentes, usando material concreto (palitos y plastilina) con y sin el modelo presente, es decir, con o sin presencia del cuerpo geométrico.
Que construyan prismas y pirámides a partir de instrucciones orales y escritas.
Que construyan edificaciones a partir de sus vistas usando cubitos. Esta actividad también ayudaría para propiciar la noción de volumen y área lateral y total.
Esta es la vista de un prisma desde arriba, constrúyelo usando plastilina o cañitas o plantillas.
Dibujo Vértices Aristas Caras
Cuerpo A
Cuerpo B
Construido con cubescape (http://www.themaninblue.com/experiment/Cubescape/)
119
5.a fase: integración
En esta fase los estudiantes están preparados para asimilar el nombre matemático de los objetos, así como para entender los signos, los símbolos y las operaciones. En las fases anteriores trabajaron con el concepto, pero en ningún momento se les dio el nombre ni se les mostró un gráfico o un símbolo. Es aquí donde se estudian las propiedades de la estructura abstracta.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian los prismas y las pirámides?
¿Qué pasaría si la base del edificio que has construido cambia? ¿Sigue siendo un prisma?
Solicita que completen el cuadro con el nombre de los prismas o pirámides según sus bases.
Razonan y argumentan cuando establecen conjeturas sobre las diferencias y semejanzas de los prismas y pirámides
Nombre del prisma
Dibujo Vértices Aristas Caras
Prisma ….
Prisma ….
Descripción
Los niños desarmarán varias cajas y construirán otros modelos o plantillas similares, observarán por qué figuras geométricas planas están constituidas las plantillas o las redes.
Materiales
Cajas de distintos modelos en forma de cubos, prismas y piramides, hojas cuadriculadas, cartulina, goma y tijeras.
Aplicación 2: Construyen prismas, pirámides y cilindros a partir de sus plantillas
120
Fases:
Información Los niños desarman las cajas o los envases y observan sus características y propiedades, miden la longitud de sus lados. Registran lo observado.
Orientación dirigida
Se explica que el objetivo de la actividad es que observen las plantillas de las cajas u otros envases con formas de prismas para que construyan otras similares, pero que obtengamos siempre el mismo cuerpo. También el objetivo es que hallen el área total de estos sólidos.
Reproducen las plantillas en hojas cuadriculadas de 1 cm de lado y expresan el área total en cuadraditos y luego en cm.
Realizan otros modelos de plantillas para el cubo, prisma rectangular, cilindro o la pirámide.
Explicitación Expresan las características de las plantillas del cubo, prisma o pirámide usando su propio lenguaje y lo que ya conocen de estos cuerpos geométricos. Expresan las condiciones para que se puedan conectar las caras de las plantillas y obtener un cuerpo geométrico.
Explican los procedimientos que usaron para el hallar el área total del cubo, prisma o pirámide e intercambian experiencias con otros grupos.
Incorporan a su vocabulario nuevas palabras geométricas.
Orientación libre
Se entrega un material fotocopiable de los diferentes desarrollos de un cubo, prisma, cilindro o pirámide para que determinen cuáles corresponden.
Expresan las condiciones que debe tener la plantilla para que pueda ser un buen modelo para construir un cuerpo geométrico.
Integración Se hacen explícitas las ideas matemáticas construidas:
Características y elementos de los prismas, cilindros o pirámides.
Diferencias y semejanzas entre estos cuerpos geométricos.
Clasificación de los prismas y pirámides por el número de lados.
Características o propiedades que deben tener las plantillas de los cuerpos y calculan el área lateral contando los cuadraditos o empleando el procedimiento de cálculo de áreas.
121
3.3.2 Recursos para enseñar las figuras planas
GeoplanoTangram
Mecano
Doblado de papel
El material didáctico juega un papel fundamental en la enseñanza-aprendizaje de la geometría. Para usar este material, el aula se debe convertir en un laboratorio donde los niños experimenten, manipulen y construyan relaciones geométricas a partir del material.
Los materiales por sí solos no hacen la clase, se debe pensar en problematizar al estudiante seleccionando las tareas que se presentarán haciendo uso de los recursos didácticos.
http://www.eweb.unex.es/eweb/ljblanco/CD%20materiales/imagenes/mecano/Mecano%205.jpg
Mecanos
Los mecanos son varillas que permiten construir diversos polígonos y entender las propiedades de diversos conceptos matemáticos como líneas abiertas y cerradas, construcción de polígonos, reconocimiento de formas geométricas, clasificación de los polígonos, transformación de unos polígonos en otros mediante la movilidad de sus lados, ángulos, composición y descomposición de figuras.
122
Actividades
1. Construye una figura cerrada con tus mecanos.
2. Construye una figura cerrada con el menor número de tiras.
3. Construye triángulos con tiras iguales y decir ¿cuánto miden sus lados?
4. Construir triángulos con dos lados iguales y uno diferente.
5. Es posible construir un triángulo con tres varillas cuyas dimensiones sean 10 cm, 12 cm y 25 cm. Construye con ellas un triángulo. ¿Qué sucede?
6. Construye 3 varillas cuyas dimensiones sean 10 cm, 12 cm y 20 cm. Construye con ellas un triángulo. ¿Qué sucede? ¿Qué puedes concluir?
7. Con ayuda de tus mecanos construye diversos cuadriláteros.
Actividades
1. Construye una figura y amplíala al doble o redúcela a la mitad.
2. Construye una figura y traslada según se indica.
Estirar al doble
Encoger a la mitad
3 unidades a la derecha 3 unidades hacia abajo1 unidad a la derecha
3 unidades hacia arriba
Geoplano
En la mayoría de las escuelas públicas del país cuentan con geoplanos; hay que aprovechar su potencialidad para trabajar diversos conceptos geométricos como las figuras planas, simetría, traslación, ampliación y reducción, área y perímetro, potencia cuadrada y también conceptos de números como fracciones, noción de multiplicación.
123
3. Construye una figura simétrica e indica su eje de simetría.
Eje de simetría
Eje de simetría
Tangram
Juego de rompecabezas formado por 7 piezas. Con este juego se puede problematizar con los estudiantes la composición de diferentes clases de polígonos, al mismo tiempo que se estudian polígonos con áreas o perímetros iguales. Asimismo estudiar los ángulos, compararlos, ordenarlos. Se desarrolla la suma y la igualdad, el paralelismo y la perpendicularidad; ordenar piezas por áreas, medir las piezas usando la pieza menor; las relaciones de adición y sustracción entre piezas. El tangram no es un solo un recurso potente para la geometría sino también para los números para calcular fracciones equivalentes.
Doblado de papel
Haciendo dobleces al papel podemos construir variados objetos, animales o personas y desarrollar o aplicar muchas ideas y conceptos matemáticos, como noción de rectas, ángulos, relaciones entre líneas y ángulos, suma de ángulos de un triángulo, área, construcción de polígonos, simetrías, construcción de poliedros. También con esta entretenida actividad podemos desarrollar la psicomotricidad fina, así como la percepción espacial y otras habilidades como escuchar indicaciones.
Actividades
1. Construye un cuadrado con dos piezas y otro cuadrado con todas las piezas.
2. ¿Cuántos rectángulos puedes construir con solo 3 piezas?
3. Construye un rectángulo con 5 piezas.
4. Construye un rectángulo con todas las piezas.
5. Construye dos trapecios con todas las piezas.
124
1. Cuando se arma un cerdito a partir de un cuadrado de papel permitirá que:
• Los niños interpreten mensajes, códigos, gráficos e incorporan vocabulario matemático en su descripción. Por ejemplo: el cuadrado lo doblamos por la mitad y este otra vez por la mitad y hemos obtenido un rectángulo. Del cuarto al sexto paso se construye una nueva figura que es el trapecio.
• Realiza las siguientes preguntas para determinar sus relaciones y características: ¿por qué es diferente el trapecio del rectángulo, en qué se parece con el rectángulo y con el cuadrado, ¿cómo son sus lados? Tiene dos lados paralelos y otros dos no paralelos. ¿Cuántos ángulos tiene? ¿cómo son sus ángulos? ¿cómo demostrarías que sus lados no paralelos son iguales?, para ello pueden superponer el papel y luego medir sus lados con regla o con una regleta de color.
Según GAISE1 la resolución de problemas estadísticos es un proceso de investigación que involucra cuatro pasos:
Paso 1: Formular preguntas, que implica aclarar el problema en cuestión y formular una o más preguntas que pueden ser respondidas con datos.
Paso 2: Recopilar datos, que implica diseñar un plan para recopilar datos apropiados y emplear el plan para recogerlos.
Paso 3: Análisis de datos, que implica seleccionar una gráfica o métodos numéricos apropiados y utilizar estos métodos para analizar los datos.
Paso 4: interpretar resultados, que implica comprender los resultados del análisis y relacionarlos con el problema planteado.
1 Guidelines for assessment and instruction in statistics education (GAISE) report: a pre-k–12 curriculum framework. Authors, Christine Franklin. 2007 by American Statistical Association Alexandria.
3.4 Estrategias para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
3.4.1 Estrategias para resolver problemas estadísticos
Tomado de http://en.origami-club.com/
125
APLICACIÓN 1 : ¿Cómo cuidamos el agua en nuestra escuela?
Descripción
La siguiente actividad se genera ante una problemática particular de la escuela debido a la escasez de agua. Se sabe que el agua es un recurso vital, ningún ser vivo podría sobrevivir sin agua. Cada vez se habla más que la población aumenta vertiginosamen-te y que el agua se va a agotar. Si estamos entre los países con más recursos hidro-biológicos, ¿por qué somos uno de los países más vulnerables con el cambio climático y con la escasez de agua? Se orienta sobre la necesidad de reflexionar sobre el uso inadecuado del agua en la escuela y tomar medidas para ahorrar.
Relación de las capacidades con los indicadores
El propósito de las actividades es que los niños matematicen una situación al identificar datos estadísticos a partir de una lectura o de los datos recolectados en el aula o en la escuela. Comunican y representan al expresar sus ideas sobre datos, variables, grá-ficos, moda, media aritmética y de cómo presentan los datos de modo que al primer golpe de vista reflexionen sobre la situación que viven con respecto al uso y cuidado. Luego, elaboran estrategias para decidir cómo organizar y representar la información recogida en tablas y gráficos estadísticos. Razonan y argumentan con base en el es-tudio estadístico realizado, al dar propuestas sobre cómo cuidar el agua, apoyando y promoviendo programas e ideas para su cuidado.
Paso 1: Formular preguntas
El docente junto con los niños aclaran el problema en cuestión.
Propicie la reflexión sobre el tema para que los estudiantes estén motivados y se involucren con el tema. Proporcione artículos sobre la problemática del agua en su localidad o en su región, por ejemplo, que lean la siguiente noticia:
POBRES SIN AGUA. En conversación con Perú.21, Abel Cruz, coordinador de esta organización, reveló que a nivel nacional son alrededor de 10 millones de personas que no cuentan con un servicio de agua potable ni sistema de desagüe y alcantarillado.
Aseguró que en los pueblos más alejados de Huancavelica, Cusco y Ayacucho los habitantes consumen el agua de los riachuelos. “Ese líquido no es potable, por lo tanto no siempre es saludable”, señaló.
Explicó que en el caso de la capital, los asentamientos humanos de distritos como San Martín de Porres, Ancón, Ventanilla, Carabayllo y Villa el Salvador, concentran la mayor cantidad de ciudadanos que no cuentan con el líquido elemento. “Los pobladores de las periferias de Lima muchas veces sacan de los pozos o la compran a 2 o 2,5 soles el cilindro de 200 litros”.
Publicado en Perú 21, 22 de marzo de 2010.
126
Permite que los niños analicen esta información:
Propicia la reflexión entre los estudiantes para que formulen preguntas a través de una lluvia de ideas y luego seleccionen la más apropiada e identifican cuáles se contestan con palabras y cuáles con números.
Por ejemplo:
En la segunda pregunta, surge otra: ¿Cómo podemos cuantificar la cantidad de agua que consumimos? ¿cómo lo comprobamos? ¿qué podríamos hacer? ¿cómo podemos realizar una experiencia para observar lo que consumimos, desde el mo-mento que nos levantamos hasta que nos vamos a dormir?
Determina las diferencias entre los datos cuantitativos; estos pueden ser realizados por medición o por conteo.
Determina cuáles de esas preguntas permite recoger datos.
N.° pregunta N.° preguntaPosibles
respuestas
La respuesta es con
números o palabras
Variable
(cuantitativa o cualitativa)
1¿Tienes agua
potable?Sí
NoPalabra Cualitativa
2 ¿Cuántos litros consumes de agua al día?
Haz un cálculo aproximado.
5 litros10 litros15 litros20 litros
Más de 20 y menos de 50
litrosMás de 50 y
menos de 100
Número Cuantitativa
Tres de cada cuatro ciudadanos del planeta dispone solo de 50 litros de agua al día, el mínimo necesario para una calidad de vida razonable es de 80 litros por persona al día. En cambio, en el llamado mundo desarrollado se consume un promedio de 250 litros por persona y al día.
127
Paso 2: Recopilar y registrar datos
Una vez seleccionadas las preguntas, propicia que redacten una encuesta. Por ejemplo:
Ordena los datos por categorías. Cada pregunta puede generar un cuadro de organización distinto.
Por ejemplo:
Grado de estudios: ________ Edad: ______ Hombre Mujer
1. ¿Sabes de dónde viene el agua que bebemos en la casa o en el colegio?
Sí No
2. ¿Cuántos vasos de agua tomas al día?
1 2 3 4 5 Más de 5
3. ¿Cuántas veces te lavas las manos? ____
4. ¿Qué haces mientras te lavas las manos?
Mantengo abierto el caño porque no me demoro en enjabonarme.
Cierro el caño mientras me enjabono las manos.
5. ¿Avisas al responsable cuando encuentras caños, tanques de inodoros o mangueras estropeadas?
Nunca A veces A menudo Siempre
6. ¿Cuántas veces te lavas los dientes? ____
7. ¿Qué haces mientras te lavas los dientes?
Mantengo abierto el caño porque no me demoro en cepillarme.
Cierro el caño mientras me cepillo los dientes.
8. ¿Cuántos litros de agua consumes en un día? Haz un cálculo aproximado.
de 50 a 10 L de 10 a 20 L de 20 a 50 L de 50 a 100 L
TABLA 1 : cantidad de vasos que se consumen por día
N° vasos*Cantidad de alumnos
Recuento (palotes)Total
(frecuencia absoluta)
1
2
3
4
5
Más de 5
*Considerar en los vasos de agua que se consumen: los vasos de refrescos, sopas, jugos, etc.
128
Determinen a quiénes van a encuestar, es decir, cuál será la población. De esa población encuestarán a todos o solo una muestra representativa, es decir, solo a una cantidad determinada ¿Cómo seleccionar esa muestra?, ¿hay una técnica?
Paso 3: Análisis de datos, que implica seleccionar una gráfica o métodos numéricos apropiados y utilizar estos métodos para analizar los datos.
Comprueban que en la tabla, el total de respuestas corresponde al total de encuestados.
A partir de la tabla 1 se procede a realizar otros gráficos. Para este ciclo se recomienda una tabla de doble entrada, diagramas de árbol o gráficos lineales, pero se pueden incluir otros ya aprendidos en anteriores ciclos como diagrama de barras, pictogramas.
En este ciclo también es propicio calcular el porcentaje, la moda y media aritmética a partir de los datos obtenidos y poder realizar el análisis de estos datos.
Para dar mayor soporte a su investigación, solicita a los estudiantes que empleen procedimientos de recolección de datos de diversas fuentes de información indirectas, recortes de periódico, encartes de supermercado, revistas, lecturas, visita a instituciones de la región como ANA (Autoridad Nacional del Agua) del Ministerio de Agricultura, Sedapal, municipios, bibliotecas, resultados de la COP 20, ONG, etc.
¿Sabes de dónde viene el agua que tomamos?
Respuesta Cantidad Porcentaje
SÍ 24 30%
NO 56 70%
Total 80 100%
70
60
50
40
30
20
10
0Sí No
¿Sabes de dónde viene el agua que tomamos?
Son 16 encuestas.3 toman 4 vasos al día.
Pinto 3 cuadraditos y sigo pintando hasta completar las 16 encuestas.
Porc
enta
je (%
)
Respuesta
129
Paso 4: Interpretar resultados, que implica comprender los resultados del análisis y relacionarlos con el problema planteado
Los estudiantes reflexionan y comentan a través de algunas preguntas. Por ejemplo:
• Antes de realizar la investigación, ¿sabías cómo cuidar el agua en la escuela?
• Al saber cuánto de agua consumes, puedes ser más consciente en su ahorro y cuidado?
Es muy importante que los estudiantes repasen el proceso que realizaron para desarrollar su investigación:
• ¿Cómo hicieron para saber qué datos necesitaban y cómo los iban a conseguir?
• ¿Cómo recolectaron los datos? ¿Cómo los organizaron? ¿Cómo los representaron? ¿les fue útil esta representación? ¿por qué?
• ¿Les sirvió presentar los datos en porcentajes? ¿Por qué?
• ¿Todos los grupos trabajaron con los mismos datos? ¿Comprobaste los resultados? ¿A tus compañeros y compañeras de grupo les salió igual? ¿por qué?
Evalúan la importancia de la estadística en el estudio de una situación concreta de su realidad.
• La investigación que han realizado sobre el agua, ¿les ha servido? ¿para qué? ¿Las opiniones que dan ahora respecto a este tema, les parece que tienen fundamento? Expliquen a su grupo.
• El estudio realizado, ¿te ha planteado retos que debes asumir? ¿por qué?
Promueven costumbres de cuidado del agua en su familia y generan nuevos hábitos. Elaboran carteles con sus propuestas:
¡Ahorra agua!
Cierra el caño y la ducha mientras te lavas los dientes o enjabonas tus manos o tu cuerpo mientras te bañas.
¡Ahorra agua!
Regar las plantas temprano en la mañana o en la tarde cuando ya se ocultó el sol.
¡Ahorra agua!
Constata que los caños y el inodoro no goteen. Avisa siempre a la
persona responsable de su cuidado.
¡Ahorra agua!
No uses el inodoro como basurero.
http://cambioclimatico.minam.gob.pe/que-podemos-hacer/tips-sobre-el-cambio-climatico/
130
Del mismo modo, que hay materiales para los números y la geometría también es necesario contar con materiales para generar y plantear experimentos aleatorios asociados a las probabilidades. A continuación algunas sugerencias de materiales y propuesta de actividades.
3.4.2 Recursos para plantear experimentos aleatorios
Dados
Juego de cartasMonedas
RuletasBolas de
diferentes colores
Dados
Existen dados de diferentes formas: los cúbicos, tetraédricos, dodecaédricos, etc. Con ellos puedes generar experimentos aleatorios para determinar la probabilidad.
Actividad: Al lanzar dos dados, ¿qué parejas de números podemos obtener?, ¿Cuántas son en total?
Propiciar que el niño experimente libremente, para que pueda descubrir las propiedades matemáticas al respecto.
Permite que registren los datos de diferentes formas: tablas, diagrama de árbol, etc.
Que socialicen los resultados.
Generar la construcción de los sucesos en pares ordenados: (2,5), (5,2).
Realiza otras preguntas: ¿qué posibilidades tenemos de sacar como suma 1?, ¿qué posibilidades tenemos de sacar como suma un número comprendido entre 2 y 12 incluidos?
Estas pregunta dan lugar a suceso imposible y suceso seguro.
131
Juego de cartas
Actividad 1: ¿Cuál de las siguientes experiencias se consideran como aleatorias y cuáles no:
Sacar una carta y observar si es de corazones.
Todas las cartas son reyes.
Si saco una carta es seguro que sea menor que 12.
Bolas de diferentes colores
Actividad 1: En una caja hay 4 bolas rojas, 3 verdes y 2 blancas. ¿Cuántas bolas se deben sacar sucesivamente para estar seguro de obtener una bola de cada color?
Actividad 2: En una bolsa tenemos 10 bolas, de las cuales 2 son blancas, 4 azules, 3 verdes y una negra. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca?, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola azul?
Monedas
Actividad 1: Se lanza una moneda tres veces seguidas:
¿Es seguro sacar cara?
¿Es seguro sacar sello?
Experimenta varias veces.
¿Cuál es la probabilidad de obtener más resultados con cara?
Actividad 2: ¿Cuáles son todos los posibles sucesos al lanzar una moneda al aire?
Actividad 3: ¿Cuáles son todos los posibles sucesos al lanzar dos monedas al aire?
Ruletas
Actividad 1: Construye ruletas con dos, tres, cuatro o más sectores con colores distintos y otra con dos colores iguales.
Actividad 2: En la ruleta de la derecha:
¿Es seguro caer en un color?
¿Qué es más probable?
¿Cuál es la probabilidad de caer en un color en una ruleta de 5 sectores, donde 2 sectores son rojo, 2 amarillos y uno es blanco?
12
3
4567
8
910
132
Referencias bibliográficas BATANERO, C. (2001). Los retos de la cultura estadística. Granada: Universidad de Granada. Recuperado
de: http://www.s-a-e.org.ar/losretos.pdf
BUTTO, C; ROJANO, T. (2004). Introducción temprana al pensamiento algebraico: abordaje basado en la geometría. Educación Matemática, abril, 113-148. Fecha de consulta: 20/01/2015. http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=40516105
BRESSAN, A. y BOGISIC, B.E (1996). Las regularidades: fuente de aprendizajes matemáticos. Consejo Provincial de Educación. Argentina. . Fecha de consulta: 20/01/2015. http://www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/diseno_desarrollo/matematica3.pdf
BRESSAN, A.; ZOLKOWER, B. y GALLEGO, M.F. (2004). La educación matemática realista. Principios en que se sustenta. Escuela de invierno en Didáctica de la Matemática. Fecha de consulta: 20/01/2015 en: http://www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/articulo_escuela_invierno2.pdf
BAROODY, A.J. ( 2000 ). El pensamiento matemático de los niños. Madrid: Aprendizaje Visor.
CASTRO, E. (Editor) (2001). Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. España: Editorial Síntesis, S.A.
CASTRO, E.; RICO, L. y CASTRO, E. (1995). Estructuras aritméticas elementales y su modelización. Bogotá: Editorial Iberoamérica. Fecha de consulta: 20/01/2015 en: http://cumbia.ath.cx:591/pna/Archivos/CastroE95-2939.PDF
CALLEJO DE LA VEGA, María. (2000). Educación matemática y ciudadanía. Propuestas desde los derechos humanos. Santo Domingo: Centro Poveda. Fecha de consulta: 26/12/2014 http://www.centropoveda.org/IMG/pdf/matematicasDDHH.pdf
CANTORAL, R. y FARFÁN, R. M. (2005). “Matemática educativa”. Conversus donde la ciencia se convierte en cultura. Revista del Instituto Politécnico Nacional, México. Octubre, n.º 44, 26-34.
CHAMORRO, C. (2006). Didáctica de las matemáticas para primaria. Madrid: Editorial Pearson Prentice Hall.
CABELLO SANTOS, Lili (2006). La enseñanza de la geometría aplicando los modelos de recreación y reflexión a través de la funcionalidad de materiales educativos. Ponencia presentada en el V Festival Internacional de Matemáticas.
D´AMORE, B. (2006). Didáctica de la Matemática. Bogotá: Editorial Cooperativa Magisterio.
EQUIPO DE ORIENTACIÓN EDUCATIVA Y PSICOPEDAGÓGICA DE PONFERRADA. (2003). Resolución de problemas aritméticos en educación primaria. Ponferrada: CFIE de Ponferrada. Fecha de consulta: 26/12/2014. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~cepco3/competencias/mates/primaria/Resoluci_problemasEOE%20Ponferrada.pdf
FOUZ, F. Modelo de Van Hiele para la didáctica de la geometría. Fecha de consulta: 26/12/2014. http://www.xtec.cat/~rnolla/Sangaku/SangWEB/PDF/PG-04-05-fouz.pdf
FERNÁNDEZ, J. (2000). Técnicas creativas para la resolución de problemas de matemática. Barcelona: Cisspráxis.
FERNÁNDEZ, J. (2006). Didáctica de la Matemática en la educación infantil. Barcelona: Grupo Mayéutica-Educación.
FERNÁNDEZ, K.; GUTIÉRREZ, I.; GÓMEZ, M.; JARAMILLO, L. y OROZCO, M. (2004). “El pensamiento matemático informal de niños en edad preescolar. Creencias y prácticas de docentes de Barranquilla (Colombia)”. Revista del Instituto de Estudios Superiores en Educación de la Universidad del Norte. Fecha de consulta: 26/12/2014. http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=85300503.
133
FRANKLIN, C. (2007) Guidelines for assessment and instruction in statistics education (GAISE) report: a
pre-k–12 curriculum framework. American Statistical Association Alexandria.
FREUDENTHAL, Hans. (2000). “A mathematician on didactics and curriculum theory”. K. Gravemeijer1 y J. Teruel. (2000). Curriculum studies, vol. 32, nº. 6, 777- 796.
GARCÍA, J. (1992). Ideas, pautas y estrategias heurísticas para la resolución de problemas. Aula de
Innovación Educativa. [Versión electrónica]. Revista Aula de Innovación Educativa 6.
GAULIN, Claude. (2001). “Tendencias actuales en la resolución de problemas”. Sigma n.º 19. Bilbao.
GODINO, J. (2003). Matemáticas y su didáctica para maestros. Granada, España: Universidad de Granada. Fecha de consulta: 26/12/2014. http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/
GODINO, J.; FONT, V. y WILHELMI, M. (2006). “Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta”. Revista Latinoamericana de Investigación de Matemática Educativa, número especial, 131-155. Fecha de consulta: 26/12/2014. http://www.ugr.es/~jgodino/funciones-semioticas/analisis_textos_suma_resta.pdf
GOÑI, J. M. (Coord.). (2011). Didáctica de las matemáticas. Barcelona: Graó.
GUZMÁN, P. (1956). Cómo plantear y resolver problemas. México: Editorial Trillas.
INSTITUTO PERUANO DE EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN DE LA CALIDAD DE LA EDUCACIÓN BÁSICA. (2012). Mapas de Progreso del Aprendizaje: Matemática: Números y operaciones. Lima: SINEACE-IPEBA.
ISODA, M. y OLFOS, R. (2009). El enfoque de resolución de problemas en la enseñanza de la matemática a partir del estudio de clases. Valparaíso: Ediciones Universitarias de Valparaíso.
LESH, R. y DOERR, H. (2003).”Foundations of a models and modelling perspective on mathematics teaching, learning, and problem solving”. LESH, R. y DOERR H. M. (eds.), Beyond constructivism: Models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching, pp. 3-34. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
MALASPINA, U. (2008). Intuición y rigor en la resolución de problemas de optimización. Un análisis desde el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática. Tesis doctoral. Lima: Pontificia Universidad Católica del Perú.
MINEDU. (2014). Marco del Sistema Curricular Nacional. Tercera versión para el Diálogo. Lima: MINEDU.
MINEDU. (2011). Cómo mejorar el aprendizaje de nuestros estudiantes en matemática. Informe para el docente de los resultados de la Evaluación Censal a Estudiantes-2011. Lima: MINEDU.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN PÚBLICA. (2012). Programas de Estudio de Matemáticas. I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada. San José: Ministerio de Educación Pública.
NISS M. (2003). “Quantitative Literacy and Mathematical Competencies”. NATIONAL COUNCIL ON EDUCATION AND THE DISCIPLINES QUANTITATIVE LITERACY. Why Numeracy Matters for Schools and Colleges. New Jersey: National Council on Education and the Disciplines, pp. 215-220.
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. (2003). Principios y estándares para la educación matemática. Sevilla: Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.
OECD (2012). Education at a Glance 2012: OECD Indicators. OECD Publishing. Fecha de consulta: 26/12/2014. http://dx.doi.org/10.1787/eag-2012-en
PISA 2012 Mathematics Framework to OECD, November 30, 2010. Fecha de consulta: 26/12/2014. http://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/46961598.pdf
SERRA, T., BATLLE, I. y TORRA, M. (1996). “Experimentos en clase de matemáticas de primaria”. En Revista
UNO. Didáctica de las Matemáticas. N.º 007 - Enero, Febrero, Marzo 1996.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN. (2004). Diseño Curricular para la Escuela Primaria. Educación General Básica. Buenos Aires: Secretaría de Educación.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA. (2011). Programas de Estudio 2011: Guía para el maestro. Educación Básica para Primaria. México D. F.: Secretaría de Educación Pública.
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de la
s fra
ccio
nes
prop
ias
y nú
mer
os m
ixto
s, c
on s
opor
te
conc
reto
y g
ráfic
o.
Elab
ora
repr
esen
taci
ones
con
cret
a,
pict
óric
a, g
ráfic
a y
sim
bólic
a de
los
sign
ifica
dos
de la
mul
tiplic
ació
n co
n fra
ccio
nes.
Prob
lem
as c
on fr
acci
ones
:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
par
a co
mpa
rar y
ord
enar
con
frac
cion
es
y fra
ccio
nes
deci
mal
es.
Em
plea
est
rate
gias
heu
rístic
as
o p
roce
dim
ient
os p
ara
sum
ar y
re
star
al
reso
lver
pro
blem
as c
on
fracc
ione
s he
tero
géne
as o
frac
ción
de
un
conj
unto
.
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
(fra
ccio
nes
equi
vale
ntes
y a
lgor
itmos
) par
a su
mar
, re
star
y m
ultip
licar
fra
ccio
nes.
Prob
lem
as c
on fr
acci
ones
:
Es
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ece
conj
etur
as s
obre
las
rela
cion
es d
e or
den,
com
para
ción
y
equi
vale
ncia
ent
re fr
acci
ones
y
deci
mal
es h
asta
el c
enté
sim
o.
Ex
plic
a a
travé
s de
eje
mpl
os y
co
ntra
ejem
plos
las
dife
rent
es
form
as d
e re
pres
enta
r fra
ccio
nes,
fra
ccio
nes
deci
mal
es y
frac
cion
es
equi
vale
ntes
.
Es
tabl
ece
dife
renc
ias
entre
fra
ccio
nes
prop
ias
e im
prop
ias,
he
tero
géne
as y
hom
ogén
eas.
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
con
frac
cion
es:
Pl
ante
a re
laci
ones
ent
re lo
s da
tos
en p
robl
emas
9 , ex
pres
ándo
los
en u
n m
odel
o de
sol
ució
n
mul
tiplic
ativ
o de
una
frac
ción
por
un
nat
ural
.
Em
plea
un
mod
elo
de
solu
ción
ad
itivo
o m
ultip
licat
ivo
con
fra
ccio
nes
al p
lant
ear o
reso
lver
un
prob
lem
a.
7 Pr
oble
mas
de
fracc
ione
s qu
e im
plic
an re
parto
, pro
blem
as d
e m
edid
a qu
e im
pliq
uen
com
para
ción
de
long
itude
s y
área
s.8
(PA
EV) P
robl
emas
adi
tivos
de
cam
bio,
com
para
ción
e ig
uala
ción
. 9
Prob
lem
as m
ultip
licat
ivos
de
prop
orci
onal
idad
sim
ple
de re
petic
ión
de u
na m
edid
a. P
robl
emas
de
área
.10
M
ater
ial c
oncr
eto
(regl
etas
de
colo
res,
tira
s de
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cion
es e
quiv
alen
tes
linea
les
y ci
rcul
ares
), di
bujo
s, g
ráfic
os (r
ecta
num
éric
a) o
repr
esen
taci
ón s
imbó
lica
(núm
eros
, pal
abra
s, n
otac
ión
de fr
acci
ones
).
137
Com
pete
ncia
1: A
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
can
tidad
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on d
ecim
ales
:
In
terp
reta
dat
os y
rela
cion
es e
n pr
oble
mas
adi
tivos
11, y
los
expr
esa
en u
n m
odel
o de
sol
ució
n ad
itivo
co
n de
cim
ales
has
ta e
l cen
tési
mo.
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on d
ecim
ales
:
Ex
pres
a en
form
a or
al o
esc
rita,
el
uso
de lo
s de
cim
ales
en
dive
rsos
co
ntex
tos
de la
vid
a di
aria
(m
edid
as d
e lo
ngitu
d, c
apac
idad
, tie
mpo
, etc
.).y
en e
l sis
tem
a m
onet
ario
nac
iona
l (bi
llete
s y
mon
edas
).
El
abor
a re
pres
enta
cion
es
conc
reta
, grá
fica
y si
mbó
lica d
e lo
s de
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ales
has
ta e
l cen
tési
mo
y de
su
s eq
uiva
lenc
ias.
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón y
or
den
de lo
s de
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ales
has
ta e
l ce
ntés
imo
en la
rect
a nu
mér
ica,
en
el t
able
ro p
osic
iona
l y s
egún
el
valo
r pos
icio
nal d
e su
s ci
fras.
El
abor
a re
pres
enta
cion
es c
oncr
eta,
pi
ctór
ica,
grá
fica
y si
mbó
lica
de
los
sign
ifica
dos
de la
adi
ción
y
sust
racc
ión
de d
ecim
ales
has
ta e
l ce
ntés
imo.
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on d
ecim
ales
:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
par
a co
mpa
rar,
orde
nar,
estim
ar y
re
dond
ear n
úmer
os d
ecim
ales
al
ente
ro m
ás p
róxi
mo.
Em
plea
est
rate
gias
o re
curs
os p
ara
ubic
ar y
est
able
cer e
quiv
alen
cias
en
tre u
na fr
acci
ón,
fracc
ión
deci
mal
y u
n de
cim
al (
1 10 =
0,1;
35
100
=
3 10 +
5 100) y
ent
re d
ifere
ntes
unid
ades
de
long
itud
(1 m
5 c
m =
1, 0
5 m
).
Em
plea
est
rate
gias
heu
rístic
as12
y
proc
edim
ient
os o
est
rate
gias
de
cálc
ulo
para
sum
ar y
rest
ar c
on
deci
mal
es e
xact
os y
frac
cion
es
deci
mal
es.
Prob
lem
as a
ditiv
os c
on d
ecim
ales
:
Ex
plic
a a
travé
s de
eje
mpl
os
con
apoy
o co
ncre
to, g
ráfic
o o
sim
bólic
o, lo
s si
gnifi
cado
s so
bre
las
oper
acio
nes
de a
dici
ón y
su
stra
cció
n co
n de
cim
ales
.
D
eter
min
a en
qué
otro
s pr
oble
mas
es
apl
icab
le e
l mod
elo.
El
abor
a y
ejec
uta
un p
lan
orie
ntad
o a
expe
rimen
tar o
reso
lver
pr
oble
mas
.
C
ompa
ra lo
s pr
oced
imie
ntos
y
estra
tegi
as e
mpl
eada
s en
dis
tinta
s re
solu
cion
es.
Em
plea
la c
alcu
lado
ra p
ara
reso
lver
pro
blem
as y
ver
ifica
r sus
re
sulta
dos.
Ju
stifi
ca y
def
iend
e su
s ar
gum
ento
s o
conj
etur
as, u
sand
o ej
empl
os o
co
ntra
ejem
plos
.
Ex
plic
a su
s pr
oced
imie
ntos
y
resu
ltado
s.
11
Prob
lem
as a
ditiv
os d
e un
a o
más
eta
pas
que
impl
ique
n co
mbi
nar p
robl
emas
de
cam
bio-
cam
bio,
cam
bio-
com
bina
ción
, cam
bio-
com
para
ción
, etc
.; c
on n
úmer
os d
ecim
ales
has
ta e
l cen
tési
mo.
12 E
stra
tegi
as h
eurís
ticas
com
o ha
cer u
na s
imul
ació
n co
n m
ater
ial c
oncr
eto,
hac
er u
n es
quem
a, re
cta
num
éric
a.
Com
pete
ncia
1: A
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
can
tidad
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
unic
a y
repr
esen
ta id
eas
mat
emát
icas
Elab
ora
y us
a es
trate
gias
Razo
na y
arg
umen
ta g
ener
ando
id
eas
mat
emát
icas
138
Com
pete
ncia
2: A
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
regu
larid
ad, e
quiv
alen
cia
y ca
mbi
o
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
unic
a y
repr
esen
ta id
eas
mat
emát
icas
Elab
ora
y us
a es
trate
gias
Razo
na y
arg
umen
ta g
ener
ando
id
eas
mat
emát
icas
Patro
nes
de re
petic
ión:
In
terp
reta
rela
cion
es e
n lo
s el
emen
tos,
de
prob
lem
as d
e re
gula
ridad
y lo
s ex
pres
a en
un
patró
n de
repe
tició
n qu
e co
mbi
ne
un c
riter
io g
eom
étric
o de
tras
laci
ón
y un
crit
erio
per
cept
ual d
e co
lor.
Pr
opon
e pr
oble
mas
de
regu
larid
ad
a pa
rtir d
e pa
trone
s de
repe
tició
n qu
e co
mbi
nen
un c
riter
io
geom
étric
o de
tras
laci
ón y
un
crite
rio p
erce
ptua
l de
colo
r.
Patro
nes
de re
petic
ión:
U
tiliz
a le
ngua
je m
atem
átic
o pa
ra
expr
esar
el c
riter
io g
eom
étric
o (tr
asla
ción
) que
inte
rvie
ne e
n el
pa
trón
y la
regl
a de
form
ació
n cr
ecie
nte
del p
atró
n nu
mér
ico.
Patro
nes
de re
petic
ión:
Em
plea
est
rate
gias
heu
rístic
as13
para
am
plia
r o c
rear
pat
rone
s de
repe
tició
n ge
omét
ricos
de
trasl
ació
n y
crite
rios
perc
eptu
ales
.
Patro
nes
de re
petic
ión:
Ju
stifi
ca s
us c
onje
tura
s so
bre
los
térm
inos
no
cono
cido
s de
l pat
rón
a re
gla
de fo
rmac
ión
crec
ient
e o
cons
tant
e de
los
patro
nes
aditi
vos
con
núm
eros
nat
ural
es o
fra
ccio
nes.
Patro
nes
aditi
vos
y m
ultip
licat
ivos
:
In
terp
reta
los
dato
s en
pro
blem
as
de re
gula
ridad
grá
fica14
y n
umér
ica,
ex
pres
ándo
las
en u
n pa
trón
aditi
vo c
on n
úmer
os n
atur
ales
o
fracc
ione
s.
C
rea
una
regu
larid
ad a
par
tir d
e un
pat
rón
aditi
vo c
on n
úmer
os
natu
rale
s.
Patro
nes
aditi
vos
y m
ultip
licat
ivos
:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
cálc
ulo
para
am
plia
r o c
rear
pat
rone
s ad
itivo
s co
n fra
ccio
nes
y nú
mer
os
natu
rale
s, in
cluy
endo
el u
so d
e la
ca
lcul
ador
a.
Patro
nes
aditi
vos
y m
ultip
licat
ivos
:
Ju
stifi
ca s
us c
onje
tura
s so
bre
los
térm
inos
no
cono
cido
s en
pat
rone
s
mul
tiplic
ativ
os c
on n
úmer
os
natu
rale
s o
fracc
ione
s.
13 S
imul
ació
n, ta
blas
, em
peza
r por
atrá
s.14
C
onfig
urac
ione
s pu
ntua
les,
arr
eglo
s, fi
gura
s, e
tc.
139
Ecua
cion
es:
In
terp
reta
dat
os y
rela
cion
es e
n pr
oble
mas
de
equi
vale
ncia
o
equi
librio
, exp
resá
ndol
os e
n
ecua
cion
es s
impl
es d
e la
form
a
ax ±
b=
c
Ecua
cion
es:
Re
pres
enta
el v
alor
des
cono
cido
de
una
igua
ldad
con
ícon
os.
Ecua
cion
es:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
por
tant
eo,
sust
ituci
ón o
agr
egan
do, q
uita
ndo
o re
parti
endo
, par
a en
cont
rar e
l va
lor o
los
valo
res
desc
onoc
idos
de
una
igua
ldad
o e
cuac
ión.
Em
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pro
pied
ades
de
las
igua
ldad
es (s
umar
, res
tar,
mul
tiplic
ar o
div
idir
en a
mbo
s la
dos
de la
igua
ldad
) par
a ha
llar
el té
rmin
o de
scon
ocid
o de
una
ig
uald
ad.
A
plic
a la
pro
pied
ad d
istri
butiv
a de
la m
ultip
licac
ión
resp
ecto
de
la
adic
ión
para
form
ular
igua
ldad
es.
Ecua
cion
es:
Ju
stifi
ca y
def
iend
e su
s ar
gum
enta
cion
es, u
sand
o ej
empl
os, s
obre
los
proc
edim
ient
os
usad
os p
ara
reso
lver
pro
blem
as
de ig
uald
ades
.
Prob
lem
as d
e pr
opor
cion
alid
ad:
In
terp
reta
los
dato
s en
pro
blem
as
de v
aria
ción
ent
re d
os m
agni
tude
s,
expr
esán
dolo
s en
una
rela
ción
de
prop
orci
onal
idad
dire
cta
usan
do
tabl
as.
Prob
lem
as d
e pr
opor
cion
alid
ad:
Ex
pres
a la
s re
laci
ones
de
prop
orci
onal
idad
de
dos
mag
nitu
des.
Prob
lem
as d
e pr
opor
cion
alid
ad:
Em
plea
est
rate
gias
de
ensa
yo y
er
ror,
expe
rimen
taci
ón, t
abla
s,
reco
jo d
e da
tos
u op
erac
ione
s pa
ra
reso
lver
pro
blem
as d
e re
laci
ones
de
cam
bio
o de
pro
porc
iona
lidad
.
Prob
lem
as d
e pr
opor
cion
alid
ad:
Ju
stifi
ca s
us c
onje
tura
s, u
sand
o ej
empl
os p
ara
afirm
ar q
ue d
os
mag
nitu
des
soin
dire
ctam
ente
pr
opor
cion
ales
.
Co
mpa
ra lo
s pr
oced
imie
ntos
y
estra
tegi
as e
mpl
eada
s en
dis
tinta
s re
solu
cion
es.
Em
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la c
alcu
lado
ra p
ara
reso
lver
pr
oble
mas
y v
erifi
car s
us re
sulta
dos.
El
abor
a y
ejec
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un p
lan
orie
ntad
o a
expe
rimen
tar o
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lver
pr
oble
mas
.
Ju
stifi
ca s
us c
onje
tura
s us
ando
ej
empl
os y
con
traej
empl
os.
Com
pete
ncia
1: A
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
can
tidad
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
pete
ncia
1: A
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
can
tidad
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
unic
a y
repr
esen
ta id
eas
mat
emát
icas
Elab
ora
y us
a es
trate
gias
Razo
na y
arg
umen
ta g
ener
ando
id
eas
mat
emát
icas
140
Com
pete
ncia
3: A
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
form
a, m
ovim
ient
o y
loca
lizac
ión
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
unic
a y
repr
esen
ta id
eas
mat
emát
icas
Elab
ora
y us
a es
trate
gias
Razo
na y
arg
umen
ta g
ener
ando
id
eas
mat
emát
icas
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
Re
cono
ce e
lem
ento
s y
prop
ieda
des
de
los
obje
tos
segú
n su
s ca
ras,
ba
ses,
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uper
ficie
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los
rela
cion
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as.
Re
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una
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trucc
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cubo
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es v
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Se
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as.
Form
as tr
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ensi
onal
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a la
s pr
opie
dade
s y
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ento
s de
cub
os o
pris
mas
no
mbr
ándo
los
apro
piad
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te.
Re
pres
enta
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ente
las
dife
rent
es v
ista
s bi
dim
ensi
onal
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que
tiene
una
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a tri
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ensi
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.
C
onst
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ncre
ta (o
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stru
ccio
nes
escr
itas
y or
ales
.
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
U
sa e
stra
tegi
as p
ara
cons
truir
cuer
pos
geom
étric
os y
dib
ujar
fig
uras
seg
ún s
us v
ista
s, u
sand
o di
vers
os m
ater
iale
s e
inst
rum
ento
s de
dib
ujo.
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
El
abor
a co
njet
uras
sob
re la
s ca
ract
erís
ticas
sem
ejan
tes
de lo
s pr
ism
as.
El
abor
a co
njet
uras
sob
re lo
s pr
oced
imie
ntos
mat
emát
icos
a
aplic
ar e
n la
sol
ució
n de
pro
blem
as
de c
álcu
lo d
e vo
lum
en.
Ju
stifi
ca la
rela
ción
ent
re la
cl
asifi
caci
ón d
e pr
ism
as s
egún
su
bas
e c
on la
cla
sific
ació
n de
po
lígon
os.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
Id
entif
ica
cara
cter
ístic
as y
pr
opie
dade
s ge
omét
ricas
ex
plíc
itas
seg
ún s
u pe
rímet
ro y
ár
ea e
n ob
jeto
s y
supe
rfici
es d
e su
ent
orno
, exp
resá
ndol
os e
n un
m
odel
o ba
sado
en
cuad
rilát
eros
y
trián
gulo
s.
A
plic
a la
s pr
opie
dade
s de
los
cuad
rilát
eros
o tr
iáng
ulos
al p
lant
ear
o re
solv
er u
n pr
oble
ma.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
cara
cter
ístic
as y
pr
opie
dade
s bá
sica
s de
los
cuad
rilát
eros
y tr
iáng
ulos
con
re
spec
to a
sus
lado
s y
ángu
los
y di
agon
ales
, par
alel
ism
o y
perp
endi
cula
ridad
.
D
escr
ibe
la c
onst
rucc
ión
de fo
rmas
bi
dim
ensi
onal
es a
par
tir d
e su
s el
emen
tos
o pr
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dade
s.
Re
pres
enta
en
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a co
ncre
ta
(tang
ram
, geo
plan
o, o
rigam
i) y
gráf
ica
(en
cuad
rícul
as, m
alla
de
punt
os),
cuad
rilát
eros
y tr
iáng
ulos
, da
dos
la m
edid
a de
sus
lado
s,
ángu
los,
el p
erím
etro
o e
l áre
a.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
Em
plea
div
erso
s m
ater
iale
s y
recu
rsos
par
a co
nstru
ir o
dibu
jar
figur
as b
idim
ensi
onal
es.
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
com
o co
mpo
ner o
rota
r fig
uras
, es
trate
gias
de
cont
eo d
e cu
adra
dito
s o
com
posi
ción
de
trián
gulo
s pa
ra c
alcu
lar e
l áre
a de
pa
rale
logr
amos
y lo
s tra
peci
os a
pa
rtir d
el á
rea
del r
ectá
ngul
o.
C
alcu
la e
l áre
a de
l triá
ngul
o a
parti
r de
l áre
a de
l rec
táng
ulo.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
Es
tabl
ece
sem
ejan
zas
y di
fere
ncia
s en
tre c
uadr
ado
y re
ctán
gulo
, ent
re
cuad
rado
y ro
mbo
, etc
.
El
abor
a co
njet
uras
sob
re la
s pr
opie
dade
s de
los
cuad
rilát
eros
y
trián
gulo
s.
Ex
plic
a co
n ej
empl
os y
co
ntra
ejem
plos
las
cara
cter
ístic
as
de lo
s cu
adra
dos,
rect
ángu
los,
ro
mbo
s, tr
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ulo
rect
ángu
lo y
eq
uilá
tero
, etc
Es
tabl
ece
dife
renc
ias
entre
el á
rea
y el
per
ímet
ro d
e un
a fig
ura.
141
Ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
O
rgan
iza
dato
s re
spec
to a
la
loca
lizac
ión
de lu
gare
s y
desp
laza
mie
nto
de lo
s ob
jeto
s en
la
loca
lidad
, exp
resá
ndol
os e
n un
cr
oqui
s us
ando
pun
tos
card
inal
es
en u
n si
stem
a de
coo
rden
adas
.
Em
plea
un
sist
ema
de c
oord
enad
as
con
punt
os c
ardi
nale
s al
reso
lver
pr
oble
mas
de
loca
lizac
ión.
Ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
D
escr
ibe
ruta
s de
des
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amie
nto
en g
uías
, pla
nos
de c
iuda
des
utili
zand
o re
fere
ntes
esp
acia
les
y ot
ras
refe
renc
ias.
G
rafic
a en
un
plan
o cu
adric
ulad
o la
po
sici
ón d
e un
obj
eto.
Am
plia
ción
y re
ducc
ión:
Id
entif
ica
cond
icio
nes
y ca
ract
erís
ticas
de
los
obje
tos
de
su e
ntor
no, e
xpre
sánd
olos
en
un
mod
elo
de a
mpl
iaci
ón y
redu
cció
n de
figu
ras
en u
n pl
ano
cuad
ricul
ado.
A
plic
a la
am
plia
ción
y re
ducc
ión
de
figur
as a
otro
s pr
oble
mas
sim
ilare
s.
Am
plia
ción
y re
ducc
ión:
D
escr
ibe
la tr
ansf
orm
ació
n de
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plia
ción
y re
ducc
ión
de u
na
figur
a en
el p
lano
cua
dric
ulad
o.
C
onst
ruye
de
una
mis
ma
figur
a do
s o
más
am
plia
cion
es o
redu
ccio
nes
en u
n pl
ano
cuad
ricul
ado
o en
el
plan
o ca
rtesi
ano.
Am
plia
ción
y re
ducc
ión:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
cálc
ulo
y re
laci
ones
de
prop
orci
onal
idad
pa
ra a
mpl
iar o
redu
cir u
na fi
gura
.
Am
plia
ción
y re
ducc
ión:
El
abor
a co
njet
uras
sob
re la
rela
ción
en
tre la
am
plia
ción
y re
ducc
ión
con
la p
ropo
rcio
nalid
ad.
C
ompa
ra lo
s pr
oced
imie
ntos
y
estra
tegi
as e
mpl
eada
s en
dis
tinta
s re
solu
cion
es.
El
abor
a o
ejec
uta
un p
lan
orie
ntad
o a
expe
rimen
tar o
reso
lver
pr
oble
mas
.
Com
pete
ncia
1: A
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
can
tidad
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
pete
ncia
1: A
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
can
tidad
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
unic
a y
repr
esen
ta id
eas
mat
emát
icas
Elab
ora
y us
a es
trate
gias
Razo
na y
arg
umen
ta g
ener
ando
id
eas
mat
emát
icas
142
Com
pete
ncia
4 :
Act
úa y
pie
nsa
mat
emát
icam
ente
en
situ
acio
nes
de g
estió
n de
dat
os e
ince
rtidu
mbr
e
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
unic
a y
repr
esen
ta id
eas
mat
emát
icas
Elab
ora
y us
a es
trate
gias
Razo
na y
arg
umen
ta g
ener
ando
id
eas
mat
emát
icas
Prob
lem
as c
on d
atos
:
In
terp
reta
dat
os y
rela
cion
es
(has
ta d
os v
aria
bles
cua
litat
ivas
o
cuan
titat
ivas
dis
cret
as) e
n di
vers
os
prob
lem
as e
stad
ístic
os y
los
expr
esa
en ta
blas
de
dobl
e en
trada
, grá
ficos
de
bar
ras
dobl
es o
grá
ficos
de
punt
os.
Prob
lem
as c
on d
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:
Re
aliz
a pr
egun
tas
rele
vant
es p
ara
un te
ma
de e
stud
io y
sus
pos
ible
s op
cion
es d
e re
spue
sta,
a tr
avés
de
encu
esta
s.
D
escr
ibe
info
rmac
ión
no e
xplíc
ita
cont
enid
a en
tabl
as,
gráf
icos
de
barr
as d
oble
s, g
ráfic
os d
e pu
ntos
.
O
rgan
iza
los
dato
s en
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as y
los
repr
esen
ta e
n gr
áfic
o de
bar
ras
dobl
es o
grá
fico
de p
unto
s.
D
escr
ibe
el c
ompo
rtam
ient
o de
un
gru
po d
e da
tos,
usa
ndo
com
o re
fere
ncia
la m
oda
de u
n co
njun
to
de d
atos
.
Prob
lem
as c
on d
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:
Pl
ante
a un
a se
cuen
cia
orde
nada
de
acc
ione
s qu
e de
man
dan
reco
ger y
org
aniz
ar d
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cu
alita
tivos
o c
uant
itativ
os.
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
reco
lecc
ión
de d
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com
o fu
ente
s de
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rmac
ión
indi
rect
as
(reco
rtes
de p
erió
dico
, enc
arte
s de
su
perm
erca
do, r
evis
tas,
lect
uras
, et
c.).
C
alcu
la la
mod
a de
un
grup
o de
da
tos
orde
nand
o lo
s da
tos
en
tabl
as d
e fre
cuen
cia.
Prob
lem
as c
on d
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:
Ju
stifi
ca s
us p
redi
ccio
nes
sobr
e la
te
nden
cia
del c
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rtam
ient
o de
lo
s da
tos,
a p
artir
del
grá
fico
linea
l.
Prob
lem
as a
leat
orio
s:
Id
entif
ica
todo
s lo
s po
sibl
es
resu
ltado
s de
una
situ
ació
n al
eato
ria y
los
resu
ltado
s fa
vora
bles
de
un
even
to, e
xpre
sand
o su
pr
obab
ilida
d co
mo
fracc
ión.
Prob
lem
as a
leat
orio
s:
U
tiliz
a ex
pres
ione
s co
mo
"más
pr
obab
le",
"men
os p
roba
ble"
par
a co
mpa
rar l
a oc
urre
ncia
de
dos
suce
sos
prov
enie
ntes
de
la m
ism
a si
tuac
ión
alea
toria
.
Re
gist
ra lo
s da
tos
en d
iagr
ama
de á
rbol
a p
artir
de
expe
rimen
tos
alea
torio
s.
Prob
lem
as a
leat
orio
s:
Re
gist
ra e
n un
a ta
bla
la fr
ecue
ncia
de
ocu
rren
cia
de lo
s ev
ento
s o
fenó
men
os.
Prob
lem
as a
leat
orio
s:
El
abor
a su
pues
tos
sobr
e la
oc
urre
ncia
de
suce
sos
con
lo
más
pro
babl
e y
men
os p
roba
ble,
ba
sada
s en
exp
erie
ncia
s co
ncre
tas.
143
Com
pete
ncia
1: A
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
can
tidad
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
unic
a y
repr
esen
ta
idea
s m
atem
átic
asEl
abor
a y
usa
estra
tegi
asRa
zona
y a
rgum
enta
gen
eran
do
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s m
atem
átic
as
El
abor
a y
ejec
uta
un p
lan
orie
ntad
o a
expe
rimen
tar o
reso
lver
pr
oble
mas
.
C
ompa
ra lo
s pr
oced
imie
ntos
y
estra
tegi
as e
mpl
eada
s en
dis
tinta
s re
solu
cion
es.
Em
plea
la c
alcu
lado
ra p
ara
reso
lver
pro
blem
as y
ver
ifica
r sus
re
sulta
dos.
Ju
stifi
ca y
def
iend
e su
s ar
gum
ento
s o
conj
etur
as, u
sand
o ej
empl
os o
co
ntra
ejem
plos
.
Prob
lem
as d
e va
rias
etap
as c
on n
úmer
os
natu
rale
s:
In
terp
reta
rela
cion
es a
ditiv
as
y m
ultip
licat
ivas
con
dat
os n
o ex
plíc
itos,
en
prob
lem
as d
e va
rias
etap
as1 ,
y lo
s ex
pres
a en
un
mod
elo
de s
oluc
ión
que
com
bine
n la
s cu
atro
ope
raci
ones
con
nú
mer
os n
atur
ales
.
Núm
eros
nat
ural
es:
Ex
pres
a en
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a or
al o
esc
rita,
el
uso
de lo
s nú
mer
os m
ayor
es d
e se
is c
ifras
en
dive
rsos
con
text
os
de la
vid
a di
aria
(dis
tanc
ias,
pr
esup
uest
os, p
reci
os d
e ca
sas,
pr
emio
s de
lote
ría, e
tc.).
El
abor
a re
pres
enta
cion
es d
e nú
mer
os m
ayor
es d
e se
is c
ifras
en
form
a si
mbó
lica2 .
D
escr
ibe
la c
ompa
raci
ón y
el o
rden
de
núm
eros
may
ores
de
seis
cifr
as.
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
par
a re
aliz
ar o
pera
cion
es c
on n
úmer
os
natu
rale
s.
Em
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est
rate
gias
heu
rístic
as
y pr
oced
imie
ntos
par
a re
solv
er
prob
lem
as c
on n
úmer
os n
atur
ales
.
Tiem
po y
pes
o:
D
escr
ibe
la d
urac
ión,
est
imac
ión
y co
mpa
raci
ón d
e ev
ento
s em
plea
ndo
años
, déc
adas
y s
iglo
s.
Ex
pres
a la
med
ida,
est
imac
ión
y la
co
mpa
raci
ón d
el p
eso
de o
bjet
os
en u
nida
des
ofic
iale
s us
ando
sus
eq
uiva
lenc
ias
y no
taci
ones
más
us
uale
s.
Tiem
po y
pes
o:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
med
ida,
est
imac
ión
y co
nver
sión
al
reso
lver
pro
blem
as q
ue
impl
ique
n es
timar
, med
ir di
rect
a o
indi
rect
amen
te e
l tie
mpo
y p
eso
de
los
obje
tos.
1 Pr
oble
mas
de
varia
s et
apas
que
com
bine
n pr
oble
mas
adi
tivos
con
pro
blem
as m
ultip
licat
ivos
. Pro
blem
as m
ultip
licat
ivos
de
com
bina
ción
-mul
tiplic
ació
n y
com
bina
ción
-div
isió
n o
pro
duct
o ca
rtesi
ano.
2 Si
mbó
lica
(núm
eros
, pal
abra
s, c
ompo
sici
ón y
des
com
posi
ción
adi
tiva
y m
ultip
licat
iva,
val
or p
osic
iona
l en
mill
ones
, cen
tena
, dec
ena
y un
idad
de
mill
ar; c
ente
nas,
dec
enas
y u
nida
des)
.
AN
EXO
2: M
ATRI
CES
DE
LAS
CU
ATRO
CO
MPE
TEN
CIA
S
P
ARA
EL
SEX
TO G
RAD
O D
E PR
IMA
RIA
144
3 Pr
oble
mas
recu
rsiv
os q
ue im
pliq
uen
por e
jem
plo:
un
cajó
n co
ntie
ne 6
caj
as c
on 6
est
uche
s de
6 lá
pice
s ca
da u
no. P
robl
emas
de
prod
ucto
s de
med
ida
que
impl
ique
n el
áre
a de
un
cuad
rado
y e
l vo
lum
en d
el c
ubo.
4 Pr
oble
mas
que
impl
ique
n el
uso
de
múl
tiplo
s y
divi
sore
s de
núm
eros
nat
ural
es, b
usca
r div
isor
es c
omun
es e
ntre
var
ios
núm
eros
o m
últip
los
com
unes
a v
ario
s nú
mer
os, d
esco
mpo
sici
ón
mul
tiplic
ativ
a de
un
núm
ero.
5 M
ater
ial c
oncr
eto
(obj
etos
, reg
leta
s de
col
ores
, bas
e di
ez),
pict
óric
o, g
ráfic
a (d
esco
mpo
sici
ones
rect
angu
lare
s, ta
bler
o ci
en, r
ecta
num
éric
a, d
iagr
amas
de
Venn
) y s
imbó
licas
.6
Prob
lem
as d
e fra
ccio
nes
que
impl
ican
reco
noce
r que
la fr
acci
ón e
s un
coc
ient
e: ¿
exis
te u
na n
úmer
o na
tura
l que
mul
tiplic
ado
por 6
, dé
com
o re
sulta
do 8
?¿Y
una
fracc
ión?
¿Cuá
l es
el re
sulta
do d
e di
vidi
r 8 e
ntre
6?.
7
Prob
lem
as d
e fra
ccio
nes
com
o op
erad
or q
ue im
plic
an re
cono
cer l
a fra
cció
n de
un
conj
unto
o u
na c
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146
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robl
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aditi
vos
o m
ultip
licat
ivos
:
Ju
stifi
ca s
us c
onje
tura
s so
bre
los
térm
inos
no
cono
cido
s en
pat
rone
s nu
mér
icos
-grá
ficos
.
16 S
ituac
ione
s de
regu
larid
ad c
on c
onfig
urac
ione
s pu
ntua
les
o pa
trone
s gr
áfic
os d
e cr
ecim
ient
o: c
reci
mie
ntos
de
cuad
rado
s, á
rea
de c
ubos
api
lado
s, e
tc.
148
17
Segú
n G
odin
o en
su
libro
Raz
onam
ient
o A
lgeb
raic
o; h
ay tr
es ti
pos
de ig
uald
ad: l
as q
ue s
e re
fiere
n a
una
iden
tidad
o p
ropi
edad
( a
+ (b
× c
) = a
× b
+ a
× c
), a
una
ecua
ción
(a +
=
b) o
a u
na
fórm
ula
( áre
a de
un
rect
ángu
lo =
larg
o ×
anc
ho)
Ecua
cion
es:
In
terp
reta
los
dato
s y
varia
bles
en
pro
blem
as d
e eq
uiva
lenc
ia
y eq
uilib
rio, e
xpre
sánd
olos
en
ecua
cion
es o
igua
ldad
es17
.
M
odifi
ca u
na e
cuac
ión
o ig
uald
ad
al p
lant
ear o
reso
lver
otro
s pr
oble
mas
.
Ecua
cion
es:
Re
pres
enta
el v
alor
des
cono
cido
de
una
ecu
ació
n co
n le
tras.
Ecua
cion
es:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
por
tant
eo,
sust
ituci
ón o
agr
egan
do, q
uita
ndo
o re
parti
endo
par
a en
cont
rar
el v
alor
o lo
s va
lore
s de
una
ec
uaci
ón, o
de
una
inec
uaci
ón.
Em
plea
pro
pied
ades
de
sim
plifi
caci
ón d
e té
rmin
os a
l re
solv
er u
na e
cuac
ión.
Ecua
cion
es:
Ju
stifi
ca y
def
iend
e ar
gum
enta
cion
es p
ropi
as y
de
otro
s, u
sand
o ej
empl
os, s
obre
el
pro
cedi
mie
nto
utili
zado
par
a re
solv
er p
robl
emas
de
igua
ldad
es
o de
sigu
alda
des.
Des
igua
ldad
es:
In
terp
reta
los
dato
s y
varia
bles
en
una
situ
ació
n de
des
equi
librio
o
desi
gual
dad
y la
s ex
pres
a en
m
odel
os re
laci
onad
os a
una
in
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ción
sen
cilla
, por
eje
mpl
o de
la
form
a: a
< x
o
a
+ x
> b
M
odifi
ca u
na d
esig
uald
ad
al p
lant
ear o
reso
lver
otro
s pr
oble
mas
.
Des
igua
ldad
es:
Re
pres
enta
una
des
igua
ldad
co
n m
ater
ial c
oncr
eto,
grá
fico
y si
mbó
lico.
Prob
lem
as d
e pr
opor
cion
alid
ad:
In
terp
reta
los
dato
s en
una
si
tuac
ión
de v
aria
ción
ent
re d
os
mag
nitu
des,
exp
resá
ndol
os e
n un
a re
laci
ón d
e pr
opor
cion
alid
ad
dire
cta.
Prob
lem
as d
e pr
opor
cion
alid
ad:
U
tiliz
a ta
blas
o g
ráfic
os e
n el
pl
ano
carte
sian
o, p
ara
expr
esar
la
prop
orci
onal
idad
dire
cta
entre
dos
m
agni
tude
s.
Prob
lem
as d
e pr
opor
cion
alid
ad:
Em
plea
est
rate
gias
de
ensa
yo y
er
ror,
expe
rimen
taci
ón, t
abla
s,
reco
jo d
e da
tos
u op
erac
ione
s pa
ra re
solv
er p
robl
emas
de
rela
cion
es d
e ca
mbi
o o
de
prop
orci
onal
idad
.
Prob
lem
as d
e pr
opor
cion
alid
ad:
Ju
stifi
ca y
def
iend
e ar
gum
enta
cion
es p
ropi
as y
de
otro
s, u
sand
o ej
empl
os, p
ara
afirm
ar q
ue d
os m
agni
tude
s so
n di
rect
amen
te p
ropo
rcio
nale
s.
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
unic
a y
repr
esen
ta id
eas
mat
emát
icas
Elab
ora
y us
a es
trate
gias
Razo
na y
arg
umen
ta g
ener
ando
id
eas
mat
emát
icas
149
Com
pete
ncia
3: A
ctúa
y p
iens
a m
atem
átic
amen
te e
n si
tuac
ione
s de
form
a, m
ovim
ient
o y
loca
lizac
ión
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
unic
a y
repr
esen
ta id
eas
mat
emát
icas
Elab
ora
y us
a es
trate
gias
Razo
na y
arg
umen
ta g
ener
ando
id
eas
mat
emát
icas
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
Pl
ante
a re
laci
ones
resp
ecto
a lo
s el
emen
tos
y pr
opie
dade
s de
las
caja
s o
cubo
s y
los
rela
cion
a co
n lo
s pr
ism
as y
pirá
mid
es.
Re
laci
ona
una
form
a tri
dim
ensi
onal
co
n su
s di
fere
ntes
vis
tas.
Se
lecc
iona
el d
esar
rollo
o
las
plan
tilla
s de
las
form
as
tridi
men
sion
ales
par
a re
solv
er
un p
robl
ema
de c
onst
rucc
ión
de
pris
mas
y p
irám
ides
.
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
Ex
pres
a la
med
ida
del á
rea
late
ral
y to
tal d
el p
rism
a y
la p
irám
ide
en
unid
ades
con
venc
iona
les
a pa
rtir
de s
us p
lant
illas
o re
des.
Ex
pres
a la
med
ida
del v
olum
en
de c
ubos
y p
rism
as e
n un
idad
es
patró
n (c
ubito
s de
1 c
m3 ,
estru
ctur
as d
e 1
m3 ).
C
onst
ruye
pris
mas
y p
irám
ides
co
n m
ater
ial c
oncr
eto
(orig
ami
mod
ular
, pla
ntill
as),
gráf
ico
(pap
el
isom
étric
o) u
sand
o in
stru
men
tos
de d
ibuj
o; a
par
tir d
e in
dica
cion
es
sobr
e su
med
ida
o su
form
a.
Repr
esen
ta la
med
ida
del v
olum
en
del c
ubo
y de
l pris
ma
rect
o re
ctan
gula
r, co
n m
ater
ial c
oncr
eto
(mat
eria
l bas
e di
ez) y
grá
fico.
Ex
plic
a lo
que
com
pren
de s
obre
la
rela
ción
ent
re v
olum
en y
la m
edid
a de
cap
acid
ad d
e lo
s ob
jeto
s.
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
cálc
ulo
para
enc
ontra
r el á
rea
de u
na
supe
rfici
e de
l pris
ma
y el
vol
umen
de
un
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ma
cuad
rang
ular
o
rect
angu
lar e
n un
idad
es
arbi
traria
s.
Usa
est
rate
gias
par
a es
timar
y
med
ir el
vol
umen
en
unid
ades
ar
bitra
rias
(cub
itos)
y la
cap
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ad
de o
bjet
os y
reci
pien
tes
en li
tros
y m
ililit
ros.
Form
as tr
idim
ensi
onal
es:
Es
tabl
ece
conj
etur
as s
obre
la
rela
ción
ent
re e
l áre
a la
tera
l y e
l ár
ea to
tal d
e lo
s pr
ism
as.
Es
tabl
ece
sem
ejan
zas
y di
fere
ncia
s en
tre lo
s pr
ism
as y
las
pirá
mid
es.
El
abor
a co
njet
uras
sob
re la
re
laci
ón e
ntre
el v
olum
en y
la
capa
cida
d.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
Id
entif
ica
cara
cter
ístic
as y
pr
opie
dade
s ge
omét
ricas
en
obje
tos
y su
perfi
cies
de
su
ento
rno,
exp
resá
ndol
os e
n fig
uras
ge
omét
ricas
bid
imen
sion
ales
(c
írcul
o ci
rcun
fere
ncia
, pol
ígon
os
regu
lare
s ha
sta
10 la
dos)
.
Apl
ica
las
prop
ieda
des
de la
s fig
uras
bid
imen
sion
ales
al p
lant
ear
o re
solv
er u
na s
ituac
ión.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
D
escr
ibe
las
prop
ieda
des
y re
laci
ones
del
círc
ulo
y la
ci
rcun
fere
ncia
y d
e lo
s po
lígon
os
regu
lare
s se
gún
sus
lado
s y
sus
ángu
los.
C
onst
ruye
la c
ircun
fere
ncia
usa
ndo
inst
rum
ento
s de
dib
ujo.
C
onst
ruye
pol
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os re
gula
res
en
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a co
ncre
ta (o
rigam
i, tir
as d
e m
ecan
o, e
tc.)
y en
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a gr
áfic
a.
Repr
esen
ta g
ráfic
amen
te
form
as b
idim
ensi
onal
es e
n el
pl
ano
carte
sian
o, a
sí c
omo
sus
ampl
iaci
ones
y re
ducc
ione
s.
Expr
esa
la m
edid
a de
sup
erfic
ie
usan
do u
nida
des
conv
enci
onal
es
(km
2 , m
2 ).
Expr
esa
la m
edid
a de
dis
tanc
ias
muy
larg
as,
usan
do u
nida
des
conv
enci
onal
es (k
m).
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
U
sa e
stra
tegi
as p
ara
cons
truir
y di
buja
r fig
uras
seg
ún s
us v
ista
s y
la ro
taci
ón, u
sand
o di
vers
os
mat
eria
les,
inst
rum
ento
s de
dib
ujo.
Usa
recu
rsos
, ins
trum
ento
s de
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edic
ión
(cin
ta m
étric
a) y
uni
dade
s co
nven
cion
ales
par
a m
edir
y co
mpa
rar l
ongi
tude
s y
dist
anci
as
muy
gra
ndes
.
Empl
ea e
stra
tegi
as q
ue im
plic
an
corta
r la
figur
a en
pap
el y
re
acom
odar
las
piez
as, d
ivid
ir en
cua
drito
s de
1 c
m2 y
el u
so d
e op
erac
ione
s pa
ra d
eter
min
ar e
l ár
ea y
el p
erím
etro
de
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as
bidi
men
sion
ales
.
Form
as b
idim
ensi
onal
es:
El
abor
a co
njet
uras
sob
re la
re
laci
ón e
ntre
per
ímet
ro y
áre
a de
form
as b
idim
ensi
onal
es, e
ntre
ár
eas
de c
uadr
iláte
ros
y tri
ángu
los.
Es
tabl
ece
conj
etur
as y
las
verif
ica
sobr
e la
rela
ción
ent
re e
l rad
io y
el
diám
etro
de
la c
ircun
fere
ncia
.
Esta
blec
e ca
ract
erís
ticas
se
mej
ante
s en
los
políg
onos
re
gula
res.
150
Ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
In
terp
reta
dat
os y
rela
cion
es n
o ex
plíc
itas
resp
ecto
a la
loca
lizac
ión
de lu
gare
s o
desp
laza
mie
nto
de o
bjet
os e
n la
loca
lidad
ex
pres
ándo
los
en u
n cr
oqui
s en
el
prim
er c
uadr
ante
del
pla
no
carte
sian
o.
Em
plea
el p
lano
car
tesi
ano
al
reso
lver
situ
acio
nes
de lo
caliz
ació
n.
Ubi
caci
ón y
des
plaz
amie
nto:
D
escr
ibe
ruta
s de
des
plaz
amie
nto
en g
uías
, pl
anos
de
ciud
ades
ut
iliza
ndo
refe
rent
es e
spac
iale
s y
otra
s re
fere
ncia
s.
G
rafic
a en
el p
lano
car
tesi
ano
la p
osic
ión
de u
n lu
gar u
sand
o pu
ntos
car
dina
les.
Rota
ción
:
Inte
rpre
ta d
atos
y re
laci
ones
no
expl
ícita
s en
obj
etos
del
ent
orno
, al
ela
bora
r un
mod
elo
basa
do e
n la
rota
ción
(en
un c
uarto
de
vuel
ta
y m
edia
vue
lta) d
e fig
uras
en
un
plan
o cu
adric
ulad
o.
A
plic
a la
s tra
nsfo
rmac
ione
s ge
omét
ricas
de
sim
etría
, tra
slac
ión,
am
plia
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y re
ducc
ión
a ot
ros
prob
lem
as s
imila
res.
Rota
ción
:
D
escr
ibe
la ro
taci
ón d
e un
a fig
ura
en e
l pla
no c
uadr
icul
ado
o en
el
plan
o ca
rtesi
ano.
Re
pres
enta
en
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a co
ncre
ta
(geo
plan
o), g
ráfic
a y
sim
bólic
a (p
ares
ord
enad
os)
trasl
acio
nes,
re
flexi
ones
y g
iros
(cua
rtos
y m
edia
s vu
elta
s) d
e fo
rmas
bi
dim
ensi
onal
es; y
rela
cion
a lo
s tre
s tip
os d
e re
pres
enta
ción
.
Rota
ción
:
U
sa e
stra
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as p
ara
rota
r fig
uras
a
parti
r de
sus
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ces,
incl
uyen
do
el u
so d
e in
stru
men
tos
com
o co
mpá
s, tr
ansp
orta
dor.
Rota
ción
:
Ex
plic
a el
pro
cedi
mie
nto
usad
o pa
ra c
onst
ruir
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as y
rota
rlas.
D
eter
min
a en
qué
otro
s pr
oble
mas
es
apl
icab
le e
l mod
elo.
El
abor
a o
ejec
uta
un p
lan
orie
ntad
o a
expe
rimen
tar o
re
solv
er p
robl
emas
.
C
ompa
ra lo
s pr
oced
imie
ntos
y
estra
tegi
as e
mpl
eada
s en
dis
tinta
s re
solu
cion
es.
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
unic
a y
repr
esen
ta id
eas
mat
emát
icas
Elab
ora
y us
a es
trate
gias
Razo
na y
arg
umen
ta g
ener
ando
id
eas
mat
emát
icas
151
Com
pete
ncia
4 :
Act
úa y
pie
nsa
mat
emát
icam
ente
en
situ
acio
nes
de g
estió
n de
dat
os e
ince
rtidu
mbr
e
Mat
emat
iza
situ
acio
nes
Com
unic
a y
repr
esen
ta id
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mat
emát
icas
Elab
ora
y us
a es
trate
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arg
umen
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ener
ando
id
eas
mat
emát
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Prob
lem
as c
on d
atos
:
Inte
rpre
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y re
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ones
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ícita
s en
div
ersa
s si
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plan
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y re
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robl
emas
.
Prob
lem
as c
on d
atos
:
Real
iza
preg
unta
s re
leva
ntes
par
a un
tem
a de
est
udio
y s
us p
osib
les
opci
ones
de
resp
uest
a a
travé
s de
en
cues
tas.
D
eter
min
a la
tend
enci
a de
un
conj
unto
de
dato
s a
parti
r de
su
gráf
ico.
Re
pres
enta
de
dife
rent
es fo
rmas
un
con
junt
o de
dat
os, e
mpl
eand
o gr
áfic
os e
stad
ístic
os.
Prob
lem
as c
on d
atos
:
Plan
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una
secu
enci
a or
dena
da
de a
ccio
nes
que
dem
anda
n re
coge
r y o
rgan
izar
dat
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cual
itativ
os o
cua
ntita
tivos
.
Em
plea
pro
cedi
mie
ntos
de
reco
lecc
ión
de d
atos
com
o fu
ente
s de
info
rmac
ión
indi
rect
as
(reco
rtes
de p
erió
dico
, enc
arte
s de
su
perm
erca
do, r
evis
tas,
lect
uras
, et
c.).
Prob
lem
as c
on d
atos
:
Tom
a de
cisi
ones
o e
labo
ra
reco
men
daci
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sob
re e
l tem
a en
est
udio
y la
s ju
stifi
ca.
Ex
pres
a su
s co
nclu
sion
es re
spec
to
a la
info
rmac
ión
obte
nida
.
Med
idas
de
tend
enci
a ce
ntra
l :
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esa
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ANEXO 3: MAPAS DE PROGRESO DE LAS COMPETENCIAS Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
II CI
CLO
/ 5 a
ños
Identifica situaciones referidas a agregar o quitar objetos y las asocia con nociones aditivas1 . Expresa con su propio lenguaje sobre agrupar objetos por características perceptuales, ordenar2 hasta 5 objetos, ordenar objetos en una fila y señalar hasta el quinto lugar, comparar la duración de eventos cotidianos usando “antes” o “después”, comparar de manera cuantitativa colecciones de objetos usando algunos términos matemáticos o cuantificadores: “más que”, “menos que”, “pocos”, “ninguno” y “muchos”. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos o dibujos. Propone acciones para experimentar o resolver situaciones de manera vivencial y con apoyo de material concreto; emplea estrategias y procedimientos como agrupar, agregar y quitar objetos hasta 5, contar hasta 10 objetos, y comparar el peso3 de dos objetos, con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.
III CI
CLO
/ 1.o y
2.o d
e pr
mar
ia Identifica datos en situaciones referidos a acciones de juntar, separar, agregar, quitar, igualar o comparar cantidades y los expresa en modelos de solución aditivas4, doble y mitad. Expresa los criterios para clasificar objetos en grupos y subgrupos, ordenar números naturales hasta 100, estimar y comparar la duración de eventos, empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos o cuantificadores “todos”, “algunos” y “ninguno”. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos, dibujos, tablas de doble entrada y en forma simbólica. Propone y realiza una secuencia de acciones para experimentar o resolver un problema, empleando estrategias heurísticas y procedimientos como estimar, contar y ordenar cantidades hasta 100, medir y comparar la masa de objetos con unidades arbitrarias; con apoyo de material concreto. Comprueba los procedimientos y estrategias usados. Elabora supuestos y explica el porqué de sus afirmaciones, procedimientos o resultados con ejemplos.
IV C
ICLO
/ 3.o y
4.o d
e pr
mar
ia
Plantea relaciones entre los datos en situaciones que combinan una o más acciones de agregar, combinar, igualar, comparar, repetir o repartir una cantidad, y los expresa con modelos aditivos o multiplicativos con números naturales y fracciones usuales. Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre: reagrupar con criterios distintos, ordenar números naturales hasta millares, medir la masa de objetos en gramos y kilogramos, medir la duración de eventos en horas, medias horas o cuartos de hora, el significado de la noción de división y fracción, problemas aditivos5 y multiplicativos6; los representa mediante tablas de doble entrada y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo mental y escrito, conteo, orden con cantidades de hasta cuatro cifras; estimar, medir y comparar la masa de objetos y la duración de eventos empleando unidades convencionales, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o en relaciones matemáticas trabajadas y las justifica usando ejemplos.
1 Problemas PAEV: Cambio 1 y 2. 2 Seriación 3 Coloquialmente se dice peso cuando nos referimos a la masa de un objeto, pero lo formal es decir masa. 4 Problemas PAEV: Cambio 3 y 4, Combinación 2, y Comparación e igualación 1 y 2. 5 Problemas PAEV: Cambio 5 y 6, Comparación e igualación 3 y 4. 6 Problemas multiplicativos (proporcionalidad simple) 7 Problemas PAEV: Comparación e igualación 5 y 6. 8 Problemas multiplicativos conocidos como de producto cartesiano. 9 10%, 20%, 25%, 50%, 75%.
V CI
CLO
/ 5.o y
6.o d
e pr
mar
ia
Interpreta datos y relaciones no explicitas de situaciones diversas referidas a una o varias acciones de comparar e igualar dos cantidades con números naturales, expresiones decimales, fraccionarias o porcentajes, y los relaciona con modelos aditivos7 y multiplicativos8. Determina en que otras situaciones es aplicable. Describe, utilizando el lenguaje matemático, su comprensión sobre el significado de: la equivalencia entre fracciones, decimales y porcentajes y la noción de potencia; compara y estima la masa de objetos en unidades convencionales, y la duración de eventos en minutos y segundos. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática, con gráficos y símbolos; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo y estimación con porcentajes usuales9 y números naturales, fracciones y decimales; estimar, medir directa o indirectamente la masa de objetos y la duración de eventos; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas sobre procedimientos, propiedades de los números y las operaciones trabajadas y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
152
VI C
ICLO
/ 1.o y
2.o d
e se
cund
aria
Discrimina información e identifica relaciones no explícitas en situaciones referidas a determinar cuántas veces una cantidad contiene o está contenida en otra y aumentos o descuentos sucesivos, y las expresa mediante modelos referidos a operaciones, múltiplo o divisores, aumentos y porcentajes. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas10, su comprensión sobre las propiedades de las operaciones con números enteros y racionales, y variaciones porcentuales; medir la masa de objetos en toneladas y la duración de eventos en décadas y siglos. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática usando tablas y símbolos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas empleando estrategias heurísticas, procedimientos para calcular y estimar con porcentajes, números enteros, racionales y notación exponencial; estimar y medir la masa, el tiempo y la temperatura con unidades convencionales; con apoyo de diversos recursos y TIC. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones numéricas o propiedades de operaciones observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.
VII C
ICLO
/ 3.o ,
4.o y
5.o
de s
ecun
daria Relaciona datos de diferentes fuentes de información referidas a situaciones sobre magnitudes, números grandes y
pequeños, y los expresa en modelos referidos a: operaciones con números racionales e irracionales, notación científica, tasas de interés simple y compuesto. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas las relaciones entre las propiedades de los números irracionales, notación científica, tasa de interés. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemáticas, usando símbolos y tablas. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para calcular y estimar tasas de interés, operar con números expresados en notación científica, determinar la diferencia entre una medición exacta o aproximada; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas sobre generalizaciones referidas a conceptos y propiedades de los números racionales, las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten el uso de sus conocimientos matemáticos.
DEST
ACAD
O
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las relaciones o restricciones de situaciones referidas a determinar cantidades expresadas mediante logaritmos; y las expresa mediante operaciones en diferentes sistemas numéricos y una combinación de modelos financieros. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: propiedades de los números y las operaciones en los sistemas numéricos. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o la solución de problemas, usando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas y las propiedades de los números y operaciones en los diferentes sistemas numéricos. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática; y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros..
10 Convenciones matemáticas: por ejemplo, convenir que el cero es múltiplo de todos los números.
153
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
II CI
CLO
/ 5 a
ños Reconoce patrones de repetición1 en secuencias sonoras, de movimientos o perceptuales. Expresa con su propio lenguaje
patrones y relaciones entre objetos de dos colecciones. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos o dibujos. Propone y realiza acciones para experimentar o resolver una situación de manera vivencial y con material concreto, emplea estrategias y procedimientos propios para ampliar, completar o crear patrones con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.
III CI
CLO
/ 1.o y
2.o d
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ia
Identifica datos en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio, y las expresa con patrones de repetición2 y patrones aditivos, igualdades que contienen adiciones y sustracciones. Describe patrones, equivalencias y relaciones empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos, dibujos, tablas simples y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones para experimentar o resolver un problema, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para ampliar, completar o crear patrones, encontrar equivalencias agregando o quitando cantidades3 o para hallar un valor desconocido, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos o resultados. Elabora supuestos basados en lo observado en experiencias concretas y los explica usando ejemplos similares.
IV C
ICLO
/ 3.o y
4.o d
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mar
ia Plantea relaciones entre los datos en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio; y la expresa con patrones de repetición4 o patrones multiplicativos, igualdades con multiplicaciones y relaciones de cambio entre dos magnitudes. Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre patrones, equivalencias y cambio. Elabora y emplea tablas simples, gráficos y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos para ampliar, completar o crear patrones, encontrar equivalencias con expresiones multiplicativas o hallar el valor desconocido en una igualdad multiplicando o dividiendo, establecer equivalencias entre unidades de medida de una misma magnitud, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o en relaciones matemáticas y las justifica usando ejemplos.
V CI
CLO
/ 5.o y
6.o d
e pr
mar
ia
Interpreta datos y relaciones no explicitas en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio entre dos magnitudes; y los expresa con modelos referidos a patrones geométricos, patrones crecientes y decrecientes, ecuaciones, desigualdades, y proporcionalidad directa y determina en qué otras situaciones es aplicable. Describe utilizando lenguaje matemático acerca de su comprensión sobre: patrones, ecuaciones y desigualdades, y relaciones de proporcionalidad directa. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática, con tablas, gráficos y símbolos; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para completar términos de una sucesión gráfica o numérica de acuerdo a su posición, simplificar expresiones o ecuaciones empleando propiedades aditivas y multiplicativas o establecer equivalencias entre unidades de una misma magnitud; con apoyo de recursos; y compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas sobre regularidades, equivalencias y relaciones entre dos magnitudes, y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
1 Patrones de repetición con un criterio perceptual (color,forma,tamaño,grosor).2 Patrones de repetición con dos criterios perceptuales.3 Equivalencias con igualdades que involucran adiciones y sustracciones con cantidades hasta 20.4 Patrones de repetición que combinan criterios perceptuales y de posición.
154
VI C
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/ 1.o y
2.o d
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cund
aria
Discrimina información e identifica variables relaciones no explícitas en situaciones diversas referidas a regularidad, equivalencia o cambio; y las expresa con modelos referidos a patrones geométricos5, progresiones aritméticas, ecuaciones e inecuaciones con una incógnita, funciones lineales y relaciones de proporcionalidad inversa. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Usa terminologías, reglas y convenciones al expresar su comprensión sobre propiedades y relaciones matemáticas referidas a: progresiones aritméticas, ecuaciones lineales, desigualdades, relaciones de proporcionalidad inversa, función lineal y afín. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática con tablas, gráficos, símbolos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para determinar la regla general de una progresión aritmética, simplificar expresiones algebraicas empleando propiedades de las operaciones; con apoyo de diversos recursos y TIC. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre expresiones algebraicas, magnitudes, o regularidades observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros.
VII C
ICLO
/ 3.o ,
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5.o
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daria
Relaciona datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a diversas situaciones de regularidades, equivalencias, y relaciones de variación; y las expresa en modelos de: sucesiones6 con números racionales e irracionales, ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales, inecuaciones lineales con una incógnita, funciones cuadráticas o trigonométricas7. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas las relaciones entre propiedades y conceptos referidos a: sucesiones, ecuaciones, funciones cuadráticas o trigonométricas, inecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemática usando símbolos, tablas y gráficos. Diseña un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para generalizar la regla de formación de progresiones aritméticas y geométricas, hallar la suma de sus términos, simplificar expresiones usando identidades algebraicas y establecer equivalencias entre magnitudes derivadas; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación del plan. Formula conjeturas sobre generalizaciones y relaciones matemáticas; justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades de los sistemas de ecuaciones y funciones trabajadas.
DEST
ACAD
O
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas a regularidad, equivalencia o cambio; y las expresa con modelos referidos a sumatorias notables, sucesiones convergentes o divergentes, idea de límite, funciones exponenciales, logarítmicas y periódicas y ecuaciones exponenciales. Formula modelos similares a los trabajados y evalúa la pertinencia de la modificación realizada a un modelo, reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas, relaciones entre propiedades y conceptos referidos a: los sistemas de inecuaciones lineales, ecuaciones exponenciales y funciones definidas en tramos. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña un plan orientado a la investigación o la solución de problemas, empleando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas o procedimientos de: interpolar, extrapolar o calcular el valor máximo o mínimo de sucesiones y sumatorias notables, plantear sistemas de inecuaciones lineales y exponenciales y definir funciones por tramos. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones elaborando relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática; las justifica con demostraciones y produce argumentos matemáticos para convencer a otros.
5 Que se generan al aplicar reflexiones o giros.6 Considerar progresión aritmética y geométrica.7 Función seno y coseno.
155
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
II CI
CLO
/ 5 a
ños
Identifica datos de situaciones de su interés y los registra con material concreto en listas, tablas de conteo y pictogramas1. Expresa con sus propias palabras lo que comprende sobre la información contenida en las listas, tablas de conteo y pictogramas y la ocurrencia de sucesos cotidianos. Representa los datos empleando material concreto, listas, tablas de conteo o pictogramas. Propone acciones, estrategias o procedimientos propios para recopilar y registrar datos cualitativos con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.
III CI
CLO
/ 1.o y
2.o d
e pr
mar
ia
Identifica datos en situaciones de su entorno familiar o de aula, los organiza en listas o tablas simples o de doble entrada y los expresa mediante pictogramas sin escala, gráficos de barras. Expresa empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos, lo que comprende sobre: la información contenida en tablas simples, de doble entrada o gráficos, el significado de la posibilidad o imposibilidad de sucesos cotidianos, y preguntas para recoger datos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema, empleando estrategias o procedimientos para recopilar, organizar y presentar datos, con apoyo de material concreto. Elabora supuestos referidos a características que se repiten en las actividades realizadas y los explica usando ejemplos similares.
IV C
ICLO
/ 3.o y
4.o d
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mar
ia
Plantea relaciones entre los datos de situaciones de su entorno escolar, los organiza en tablas, barras simples, pictogramas con escalas o mediante la noción de moda. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre, la frecuencia y moda de un conjunto de datos, la comparación de datos en pictogramas o barras doble agrupadas, sucesos más o menos probables que otros . Elabora y emplea representaciones mediante gráficos de barras dobles o pictogramas, y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o solucionar un problema empleando estrategias o procedimientos para recopilar datos cuantitativos y hallar el dato que más se repite; con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las explica o justifica usando ejemplos.
V CI
CLO
/ 5.o y
6.o d
e pr
mar
ia
Interpreta los datos en diversas situaciones, los organiza en tablas de frecuencia y los expresa mediante, variables cualitativas o cuantitativas discretas, la media aritmética o la probabilidad de un suceso. Determina en que otras situaciones son aplicables. Describe utilizando lenguaje matemático su comprensión sobre: las preguntas y posibles respuestas para una encuesta, la información contenida en tablas y gráficos, el significado de la media aritmética y la mediana de un grupo de datos, los resultados de una situación aleatoria y la probabilidad de un evento. Elabora y emplea diversas representaciones de datos mediante gráficos de líneas o de puntos y la probabilidad como fracción o cociente; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a recopilar datos a través de una encuesta, organizarlos y presentarlos; determinar la media; determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio; calcular la probabilidad de un evento como una fracción; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
1 Pictogramas sin escala. 2 El estudiante indica intuitivamente si un suceso es más probable o menos probable que otro. 3 Pictogramas con escala.
156
VI C
ICLO
/ 1ro
y 2
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cund
aria
Discrimina y organiza datos de diversas situaciones y los expresa mediante modelos que involucran, variables cualitativas, cuantitativas discretas y continuas, medidas de tendencia central y la probabilidad. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: datos contenidos en tablas y gráficos estadísticos, la pertinencia de un gráfico a un tipo de variable y las propiedades básicas de probabilidades. Elabora y emplea diversas representaciones usando tablas y gráficos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos para recopilar y organizar datos cuantitativos discretos y continuos, calcular medidas de tendencia central, la dispersión de datos mediante el rango, determinar por extensión y comprensión sucesos simples y compuestos, y calcular la probabilidad mediante frecuencias relativas; con apoyo de material concreto y recursos TIC. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre los datos o variables contenidas en fuentes de información, observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.
VII C
ICLO
/ 3ro
, 4do
y 5
to de
sec
unda
ria
Interpreta y plantea relaciones entre datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a situaciones que demandan caracterizar un conjunto de datos, y los expresa mediante variables cualitativas o cuantitativas, desviación estándar, medidas de localización y la probabilidad de eventos. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre relaciones entre: población y muestra, un dato y el sesgo que produce en una distribución de datos, y espacio muestral y suceso, así como el significado de la desviación estándar y medidas de localización. Realiza y relaciona diversas representaciones de un mismo conjunto de datos seleccionando la más pertinente. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas para investigar o resolver problemas, usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos de recopilar y organizar datos, extraer una muestra representativa de la población, calcular medidas de tendencia central y la desviación estándar y determinar las condiciones y restricciones de una situación aleatoria y su espacio muestral; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas4 sobre posibles generalizaciones en situaciones experimentales estableciendo relaciones matemáticas; las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten sus puntos de vista e incluyan conceptos y propiedades de los estadísticos..
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas a caracterizar un conjunto de datos, y expresarlos mediante coeficiente de variación y probabilidad condicional. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando lenguaje matemático su comprensión sobre las relaciones entre medidas descriptivas, el significado del coeficiente de variación, y la probabilidad condicional. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o resolución de problemas, usando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas y procedimientos de: recopilar y organizar datos de diversas variables, aplicar técnicas de muestreo, extraer la muestra aleatoria de la población y calcular la probabilidad condicional. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática, y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros.
DEST
ACAD
O
4 Tener en cuenta que el razonamiento probabilístico y estadístico no es exacto como en matemáticas. Por lo tanto, en general las conjeturas que se puedan establecer no serán demostradas con rigor, serán afirmaciones con un grado de validez, porque se trata de elegir representantes de un sistema de datos (media, mediana, moda), o cuantificar la posibilidad (probabilidad teórica, empírica, etc.) pero que detrás de ello está la noción de incertidumbre.
157
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
II CI
CLO
/ 5 a
ños
Identifica datos de situaciones de su interés y los registra con material concreto en listas, tablas de conteo y pictogramas1. Expresa con sus propias palabras lo que comprende sobre la información contenida en las listas, tablas de conteo y pictogramas y la ocurrencia de sucesos cotidianos. Representa los datos empleando material concreto, listas, tablas de conteo o pictogramas. Propone acciones, estrategias o procedimientos propios para recopilar y registrar datos cualitativos con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.
III CI
CLO
/ 1.o y
2.o d
e pr
mar
ia
Identifica datos en situaciones de su entorno familiar o de aula, los organiza en listas o tablas simples o de doble entrada y los expresa mediante pictogramas sin escala, gráficos de barras. Expresa empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos, lo que comprende sobre: la información contenida en tablas simples, de doble entrada o gráficos, el significado de la posibilidad o imposibilidad de sucesos cotidianos, y preguntas para recoger datos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema, empleando estrategias o procedimientos para recopilar, organizar y presentar datos, con apoyo de material concreto. Elabora supuestos referidos a características que se repiten en las actividades realizadas y los explica usando ejemplos similares.
IV C
ICLO
/ 3.o y
4.o d
e pr
mar
ia
Plantea relaciones entre los datos de situaciones de su entorno escolar, los organiza en tablas, barras simples, pictogramas con escalas o mediante la noción de moda. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre, la frecuencia y moda de un conjunto de datos, la comparación de datos en pictogramas o barras doble agrupadas, sucesos más o menos probables que otros . Elabora y emplea representaciones mediante gráficos de barras dobles o pictogramas, y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o solucionar un problema empleando estrategias o procedimientos para recopilar datos cuantitativos y hallar el dato que más se repite; con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las explica o justifica usando ejemplos.
V CI
CLO
/ 5.o y
6.o d
e pr
mar
ia
Interpreta los datos en diversas situaciones, los organiza en tablas de frecuencia y los expresa mediante, variables cualitativas o cuantitativas discretas, la media aritmética o la probabilidad de un suceso. Determina en que otras situaciones son aplicables. Describe utilizando lenguaje matemático su comprensión sobre: las preguntas y posibles respuestas para una encuesta, la información contenida en tablas y gráficos, el significado de la media aritmética y la mediana de un grupo de datos, los resultados de una situación aleatoria y la probabilidad de un evento. Elabora y emplea diversas representaciones de datos mediante gráficos de líneas o de puntos y la probabilidad como fracción o cociente; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a recopilar datos a través de una encuesta, organizarlos y presentarlos; determinar la media; determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio; calcular la probabilidad de un evento como una fracción; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
1 Pictogramas sin escala. 2 El estudiante indica intuitivamente si un suceso es más probable o menos probable que otro. 3 Pictogramas con escala.
158
VI C
ICLO
/ 1ro
y 2
do d
e se
cund
aria
Discrimina y organiza datos de diversas situaciones y los expresa mediante modelos que involucran, variables cualitativas, cuantitativas discretas y continuas, medidas de tendencia central y la probabilidad. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: datos contenidos en tablas y gráficos estadísticos, la pertinencia de un gráfico a un tipo de variable y las propiedades básicas de probabilidades. Elabora y emplea diversas representaciones usando tablas y gráficos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos para recopilar y organizar datos cuantitativos discretos y continuos, calcular medidas de tendencia central, la dispersión de datos mediante el rango, determinar por extensión y comprensión sucesos simples y compuestos, y calcular la probabilidad mediante frecuencias relativas; con apoyo de material concreto y recursos TIC. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre los datos o variables contenidas en fuentes de información, observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.
VII C
ICLO
/ 3ro
, 4do
y 5
to de
sec
unda
ria
Interpreta y plantea relaciones entre datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a situaciones que demandan caracterizar un conjunto de datos, y los expresa mediante variables cualitativas o cuantitativas, desviación estándar, medidas de localización y la probabilidad de eventos. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre relaciones entre: población y muestra, un dato y el sesgo que produce en una distribución de datos, y espacio muestral y suceso, así como el significado de la desviación estándar y medidas de localización. Realiza y relaciona diversas representaciones de un mismo conjunto de datos seleccionando la más pertinente. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas para investigar o resolver problemas, usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos de recopilar y organizar datos, extraer una muestra representativa de la población, calcular medidas de tendencia central y la desviación estándar y determinar las condiciones y restricciones de una situación aleatoria y su espacio muestral; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas4 sobre posibles generalizaciones en situaciones experimentales estableciendo relaciones matemáticas; las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten sus puntos de vista e incluyan conceptos y propiedades de los estadísticos..
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas a caracterizar un conjunto de datos, y expresarlos mediante coeficiente de variación y probabilidad condicional. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando lenguaje matemático su comprensión sobre las relaciones entre medidas descriptivas, el significado del coeficiente de variación, y la probabilidad condicional. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o resolución de problemas, usando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas y procedimientos de: recopilar y organizar datos de diversas variables, aplicar técnicas de muestreo, extraer la muestra aleatoria de la población y calcular la probabilidad condicional. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática, y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros.
DEST
ACAD
O
4 Tener en cuenta que el razonamiento probabilístico y estadístico no es exacto como en matemáticas. Por lo tanto, en general las conjeturas que se puedan establecer no serán demostradas con rigor, serán afirmaciones con un grado de validez, porque se trata de elegir representantes de un sistema de datos (media, mediana, moda), o cuantificar la posibilidad (probabilidad teórica, empírica, etc.) pero que detrás de ello está la noción de incertidumbre.
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