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7/31/2019 quaderno cartografia
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TRIGONOMETRIA
La trigonometria una parte della matematica che studia le cosiddette funzioni trigonometriche.Le funzioni trigonometriche sono funzioni che si applicano sugli angoli (=argomento della funzione).Le funzioni trigonometriche principali sono: seno (sin); coseno (cos); tangente(tan\tg)
funzione trigonometrica derivata:
Tg sincos
FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE:-arcoseno-arcocoseno-arcotangenteDalle funzioni trigonometriche applicate ad un angolo si arriva a dei numeri, mentre dalle funzionitrigonometriche inverse dai numeri si arri,va agli angoli.Alcuni esempi con luso della calcolatrice scientifica.Premesso che detta calcolatrice deve essere messa nelle condizioni di lavorare nel sistema di unitangolari previsto.Es-11=39,7243 sin=0,6391 cos=0,7691 Tg=0,8309A2=73c,8803 sin=0,9170 cos=0,3989 Tg=2,2990A3=0r,4989 sin=0,4785 cos=0,8781 Tg=0,5449Es-2con riferimento agli angoli calcolare le funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente perciascuno di questi.1=147,8803 sin=0,5317 cos=-0,8469 Tg=0,62702=307c,4092 sin=-0,9932 cos=0,1161 Tg=8,55353=3r,9908 sin=0,7508 cos=-0,6606 Tg=1,1365Es-3 procedere con lindividuazione per ciascuno di questi numeri nel calcolo dellangolo corrispondente
nellipotesi.N1=0,8896 arcsin=69c,8034 arccos=30c,1966 arctg=46c,2848N2=1,4703 arcsin=impossibile arccos=impossibile arctg=61c,9768N3=0,2121 arcsin=13c,6061 arccos=86c,3939 arctg=13c,3055N4=0,0090 arcsin=0c,5730 arccos=99c,4270 arctg=0c,5729Es-4N1=-1,3080 arcsin=impossibile arccos=impossibile arctg=-58c,4457N2=-0,8432 arcsin=-63c,8662 arccos=163c,8662 arctg=-44c,5973N3=0,3894 arcsin=25c,4635 arccos=74c,5365 arctg=23c,6399N4=0,7284 arcsin=51c,9471 arccos=48c,0529 arctg=40c,0773
TRIGONOMETRIA ELEMENTAREPer quanto riguarda topografia elementare fa capo allo studio dei triangoli.Triangoli rettangoliPer lo studio diquesto tipo di figura(appezzamenti diterreno aventi questo contorno)Si deve utilizzare la seguente relazione di legame tra gli elementi di un triangolo rettangolo.
a b
sin
b
cos
c
sin
c
cos
Lipotenusa in un triangolo rettangolo uguale al cateto diviso il seno dellangolo opposto ovvero ilmedesimo cateto diviso il coseno dellangolo adiacente.
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Es-5
a b
sin
b
cos
c
sin
c
cos vale solo per i triangoli rettangoli
Sono stati misurati del contorno chiuso ABCA i seguenti elementi:
-b=AC=77,42m-=ACB=61,3232 calcolare tutti gli elementi del triangolo.Risoluzione:
a=
b
cosa=
77,42m
cos(61,3232) 161,34m
=-=28,6768
a c
cos c a cos161,34m cos(28,6768) 141,55m
2p=a+b+c=380,30m
S1
2 b c 5479,40m2
ES-6 sono stati misurati:=CBA=73c,1212=ACB=54c,0792Il problema risulta irrisolvibile poich avendo solamente gli angolinoti si possono avere una miriade di triangoli simili, inoltre la sommadegli angoli interni di un triangolo non pu essere maggiore di 2
come al contrario nel caso assegnato.
Es-7 dellarea avente il contorno chiuso ABCA con angolo in A retto, sonostati misurati gli angoli:=CBA=37,4274=ACB=52,5726Il problema risulta interminato causa la mancanza di almeno un latoNoto.
Es-8 sono stati misurati:AC=b=111,33mAB=c=78,30m
S1
2 b c
1
2 111,33m 78,30m 4358,57m2
arcTg111,33
78,30
54,8807
ai (90 54,8807) 35,1193
a b
sin
111,33
sin(54,8807)136,11m
L a b c 325,74m
Es-9 a=38,12mb=72,40mproblema irrisolvibile poich lipotenusa(a)non pu essere pi corta degli altri latiEs-10 sono stati misurati:
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=59c,3364c=106,88m
ai (100c 59c,3364) 40c,6636
a c
cos
106,88
sin(59c,3364)179,27m
a b
sin b a sin179,27 sin(59c,3364) 143,93m
Sb c
2
143,93 106,88
2 7691,62m2
L a b c 430,08m
Es-11 =93,3267
a=172,00m la risoluzione risulta impossibile utilizzando i teoremi applicati sui triangolirettangoli poich il triangolo dato ottusangolo.
Es-12 Sono stati misurati:a=27,40mb=19,12m
a b
sin arcsin
b
a
44,2516
(90 44,2516 ) 45,7484
a c
cos c a cos 27,40m cos(44,2516) 19,63m
Sb c
2
19,12m 19,63
2 187,66m2
L a b c 66,15m
TEOREMA DI CARNOT: in un triangolo con 2 lati noti e langolo compreso noto si pu procedere per
trovare il terzo lato nel seguente metodo: la somma dei quadrati dei lati meno il doppio prodotto deilati per il coseno dell angolo compreso tra essi uguale al quadrato del lato ignoto.TEOREMA DEI SENI:si applica quando sono noti 2 lati e un angolo non compreso tra essi, oppure2angoli e un lato. Si esprime come segue; il rapporto tra un lato e il seno dellangolo opposto
costante:
a
sin
b
sin
c
sin
Es-13 Dellappezzamento di terreno avente contorno triangolare con vertici ABC sono stati misurati:AB=147,00mBC=73,00m si richiede il calcolo di tutti gli elementi dati gli angoli e i lati
CBA==76c,0000
b 147,002 73,002 2 73,00 147,00 cos76c,0000 137,98m
arccos b2 c
2 a
2
2ac
32
c,7400
(32c
,7400 76c
,0000) 91c
,26
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S1
2 a b sin 4988,88m2
L a b c 357,98m
Es-14 Dellappezzamento di terreno avente contorno triangolare con vertici ABC sono stati misurati:(valgono i quesiti dellesercizio precedente)c=98,00ma=77,00m=107,0000
arcsina
c sin
48,7100
(48,7100 107,0000) 24,29
b c
sin
sin 42,15m
L a b c 217,15m
S1
2 a b sin 1551,87m2
Il teorema di carnot enuncia che in un triangolo con 2 lati noti e langolo compreso noto si puprocedere per trovare il terzo lato come segue: Il terzo lato al quadrato uguale al quadrato delprimo pi il quadrato del secondo (lati noti) meno il doppio prodotto dei due lati per il coseno dell
angolo tra essi compreso.AC; BC;
AB2 BC2 AC2 2AB AC cosAB; AC;
BC2 AB2 AC2 2AB AC cosIl teorema dei seni si applica quando sono noti 2 lati e un angolo escluso quello compreso oppurequando sono noti due angoli e un lato.Teorema dei seni espresso come: Il rapporto tra un lato e ilseno dellangolo opposto costante.
a
sin
b
sin
c
sinsin
b
a
sin arcsin
b
a
sin
(
)
c
sin
a
sin
a
c
sin
sin
TEOREMA DEI SENI E DI CARNOT NEI TRIANGOLI QUALSIASIQuesti 2 strumenti servonoper la risoluzionedei triangoli generici.
Il risultato da discutere2 lati e un angolo(non compreso)
Applicabilit del teorema dei seni:2 angoli e un lato
2 lati e langolo compreso
teorema di carnot 3 lati
ESEMPIO1Risoluzione:
b
sin
c
sin sin
c
b
sin
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b
c
elementi noti
nota:
sin sin() caso di
2
90 * 97non c discutibilit{; caso di>90 **=64
ESEMPIO2Risoluzione:
a
sin
c
sin c a
sin
sin
a
elementi noti teorema di carnot
a2 b2 c2 2bc cos a a2;a
sin
b
sin sin
b
a
sin
ESEMPIO3Risoluzione:Teorema del coseno
b
c
elementi noti
a
b
elementi noti
c 2 a2 b2 2ab cos
cos a2 b2 c2
2ab
arccosrisposteda 0 a
arcsin risposte da 0 a
2
cosc2 b2 a2
2cb
cosa2 c2 b2
2ac
Es-15 risoluzione:
a=79,33m
c2 a2 b2 2ab cos c c2 =187,80m
b=172,00m
a
sin
c
sin sin
a
c arcsin
a
c
24,9837
=88,7244
66,2883
L a b c 439,13m S1
2
ab sin 6820,69m2
Es-16 risoluzione:
a=88,00
a
sin
b
sin sin
a
c
sin arcsin
a
b sin
58c,8535
b=99,00
70c,1377
b
sin
c
sin c
b
sin
sin 98,33m
=71c,0088
L a b c 285,33m
S1
2 ab sin 3885,49m2
Es-17a=77,88m
b=111,00mc=112,96m
arccosc 2 b2 a2
2cb
40,6865
arccosa2 b2 c 2
2ab
71,0089
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68,3046
L a b c 301,84m
S1
2 bc sin 4087,07m2
Es-18
=71,3270
c
sin
a
sin a
c
sin
sin 268,47 m
=37,8800
70,7930
c=174,00m
c
sin
b
sin b
c
sin
sin 267,61m
L a b c 710,08m
S1
2 bc sin 22056,53m2
Con riferimento agli esercizi 15, 16, 17,e 18di qui sopra e nellipotesi di avere misurati gli elementiindicatisi proceda con il calcolo degli elementi residui (lati e angoli) oltre che del perimetro L e dellasuperficie S si proceda poi con il disegno in scala della planimetria in studio.
Es-19 Con riferimento allappezzamento di terreno avente contorno ABCDA.
Sono stati misurati i seguenti elementi:AB=107,00m =CBA=163c,0000BC=93,00m =DCB=141c,0000CD=75,00m
Si richiede quanto segue:1. AD; BAD(); ADC()2. L;S3. d1=AC; d2=BD4. =BPC essendo P il punto di intersezione tra AC e BD5. Verificare che:
S* 1
2 d1 d2 sin S
RISOLUZIONE1. Carnot su
A B C d1 AC
2.
1 ACB carnot sottoforma di teorema del coseno su ABC
AB2 BC2
AC2
2BC AC cos1 cos1 BC
2
AC
2
AB
2
2BC AC
3.
1 BA C 1;2 D
C A ( 1) 4. AD con carnot su ACD; =ACD con carnot sottoforma di teorema del coseno
cosCD
2 AD
2 AC
2
2CD AD
2 C
AD 1
5.
B A D 12
6. L=AB+BC+CD+DA;
S S11
2 BC AC sin1
S2
1
2 CD AD sin
7. BD=d2 con carnot su BCD8. 1=CBD con carnot sottoforma di teorema del coseno
cos1 BC
2BD
2 CD
2
2 BC BD
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9.
1 1 considerando BCP.
10.S*=S Si\No?
Gli strumenti topografici si dividono in: Strumenti semplici: filo a piombo, livella, rotelle metriche, metro, squadre; Strumenti ottici che si dividono a loro volta in: Strumenti ottico meccanici: i livelli, tacheometro, teodolite; Strumenti ottico meccanico elettronici: teodolite con distanziometro elettronico aggiunto; Strumenti ottico elettronici: stazione totale.
Questi strumenti misurano gli angoli, e per questo vengono chiamati goniometri universali; ancheperch al loro interno c un goniometro. Il goniometro si chiama cerchio azimutale(angoliorizzontali).Lo strumento misura anche gli angoli zenitali(angoli verticali) con il cerchio verticale.TEODOLITELo strumento formato da:
Un treppiede di base Un cerchio orizzontale Lalidada che ruota sul cerchio orizzontale Un cerchio verticale Su cui montato il cannocchiale topografico con al centro il reticolo distanziometrico a
crocicchio . Oculare per adattarlo alla vista per adattarlo alla distanza Mirino per mirare il punto Viti di bloccaggio (con spostamento macro e microscopico)
Gli angoli si leggono sul microscopio a fianco del cannocchiale.Si leggono fino a 4-5 cifre decimali.
Specchietto per far entrare la luce Sullalidada posizionatala livella torica Sul basamento montata invece la livella sferica Vite del micrometro della lamina pian parallela, serve per leggere gli angoli .
1.Elementi su poligonali e poligonazioni.2.Regola di trasmissione degli azimut.3.Esercitazione applicativa.
1.In ambito topografico si considera per poligonale una spezzata(geometricamente) giacente su unpiano orizzontale(per noi il piano topografico)e quindi un oggetto costituito da un successione di laticonsecutivi aventi a due a due un punto in comune, per noi vertici della poligonale.
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ESEMPIO di rappresentazione grafica di poligonale.
Si parla di poligonazioni quando si intende la produzione operativa della poligonale.Sul territorio si misurano tutti i lati e tutti gli angoli.DEFINIZIONE Di AZIMUT2. Preso in conto un asse Y, un verso positivo per questo e un punto O, origine, ancora sullo stesso presoin conto un punto P si definisce AZIMUT(OP)=(teta)in figura la rotazione che deve compiere la partepositiva dell asse di cui soprain senso orario, per arrivare a sovrapporsi alla direzione OP.(lazimuth un angolo piano giacente su un piano orizzontale)
REGOLA DI TRASMISSIONE DEGLI AZIMUT in una poligonale
La regola di trasmissione degli Azimutserve per calcolare lazimutdi un latoche rimarr possibile, avendo noti dueelementi:lAzimuth del lato precedente
e langolo formato tra questultimo e illato considerato.
(AB)
A BC (BC) ?
(BC)* (AB) *
1passaggio
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(BC)
3 (BC)* (BC) *
(BC)* (BC) *
(BC)* 3 (BC) * 3
Es-22 E stata rilevata la poligonale aperta ABCDEF:
AB 78,00mBC 42,00m
CD 37,00m
DE 112,00m
EF 91,00m
angoli orari esterni
A B C 192 c,0000
B CD 111c,0000
CD E 330 c,0000
D E F 59 c,0000
Sono noti inoltre:(AB) 70c,0000(azimut)
Xa 32,00m
Ya 20,00m
coordinate
Rispetto ad un riferimento generale.Quesiti:
1- calcolare tutti gli azimut consecutivi(4).(1,5pt)2- calcolare tutte le coordinate parziali dei vertici della poligonale.(2pt)3- calcolare le coordinate planimetriche(topografiche) di tutti i vertici della poligonale.(2,5pt)4- disegnare in scala la planimetria dellarea studiata.(4pt)
1.
(BC) (AB) 62c,0000
(CD) (BC) 373c,0000
(DE) (CD) 3 103c,0000
(EF) (DE) 362c,0000
Es-23 E stato proceduto con un rilievo topografico e sono stati recuperati i seguenti elementi(schema-planimetria di massima dell area studiata)
Poligonale ABCDE (aperta)
AB 42,00m CB A 104c,0000 Xa 18,00m
BC 71,00m D C B 100c,0000 Ya 21,00m
CD 123,00m CD E 283c,0000 (AB) 67c,0000
DE
102,00m
1Si richiede di calcolare le coordinate i vertici della poligonale2Rappresenta graficamente e in scala adeguata larea
studiata
1Calcolo azimut(BC) (AB) (2) 163c,0000
(CD) (BC) (2 ) 255c,0000
(DE) (CD) 338c
,0000
2Calcolo coordinate dei vertici
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Xb Xa AB sin(AB) 54,48m
Yb Ya AB cos(AB) 41,81m
Xc Xb BC sin(BC) 93,46m
Yc Yb BC cos(BC) 17,53m
Xd Xc CD sin(CD) 0,07m
Yd Yc CD cos(CD) 97,41m
Xe Xd DE sin(DE) 84,43m
Ye Yd DE cos(DE) 40,08m
Es-24 Con riferimentoEd essendo noti i seguenti elementi
AB CB A Xa
BC D C B Ya
CD CD E (AB)
DE
Sono in gioc8o i medesimi elementi delles. 23
-Calcolo dell azimut di una direzione, per esempio AB a partire dalle coordinate cartesiane deivertici del lato considerato.-Domanda: Quanto vale lazimut ABEs-25
A (Xa ;Ya )
B (Xb ;Yb )
(AB) ?
xab=(Xb-Xa)ascissa parziale coordinateyab=(Yb-Ya)ordinata parziale parziali di
B rispetto ad A
arctgXABYAB
(AB)
ABquandoX 0eY 0
(AB )quandoX 0eY 0
(AB )quandoX 0eY 0
(2AB )quandoX 0eY 0
esempioA (32,00;15,00)
B (27,00;30,00)
Xab (Xb Xa ) 59,00m
Yab (Yb Ya ) 45,00m arctg
59,00
45,00 58c,5187 ab
(AB) 2ab 341c,4813
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Altro esempio:
Xa 70,00m
Ya 5,00m
Xb 60,00m
Yb 20,00m
Xab 10,00m
Yab 15,00m arctg
XabYab
37c,4349
(AB) 2ab 362c,5651
Continuo Es-25 E statarillevata la poligonale aperta ABCDEF (problema delle piccole gallerie)AB 48,00m A BC 284c,0000
BC 27,00m D CB 250c,0000 A (41,00;70,00)
CD 93,00m CDE 348c,0000 (AB) 39c,0000
DE 70,00m FED 159c,0000
EF 12,00m
Quesiti
1-calcolare le coordinate dei vertici della poligonale(azimut, coordinate parziali e coordinate totali)
2-disegnare in scala adeguata la planimetria dellarea studiata
3-calcolare la distanza AF e langolo dattacco
B AFRisoluzione:1 calcolo azimut:(BC) (AB) 123c,0000
(CD) (BC) (2 ) 73c
,0000
(DE) (CD) 221c,0000
(EF) (DE) (2) 262c,0000
2calcolo coordinate parziali:Xab AB sin(AB) 27,60m
Xbc BC sin(BC) 25,26m
Xcd CD sin(CD) 84,76m
Xde DE sin(DE) 22,67m
Xef EF sin(EF) 9,92m
Yab AB cos(AB) 39,27m
Ybc BC cos(BC) 9,54m
Ycd CD cos(CD) 38,27m
Yde DE cos(DE) 66,22m
Yef EF cos(EF) 6,74m
3calcolo coordinate totali
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Xa
Ya
noti
Xb Xa Xab 68,60m
Yb Ya Yab 30,74m
Xc Xb Xbc 93,86m
Yc Yb Ybc 40,28m
Xd Xc Xcd 178,62m
Yd Yc Ycd 2,01m
Xe Xd Xde 155,95m
Ye Yd Yde 68,23m
Xf Xe Xef 146,03m
Yf Ye Yef 74,97m
4calcolo distanza AFXaf Xf Xa 105,03m
Yaf Yf Ya 4,97m
AF Xaf2 Yaf
2 105,14
(AF)* arctgX
af
Yaf 96c,9898
(AF) (AF)* 103c,0102
(AF) (AB) 64c,0102
STADIAServe a misurare le distanze o i dislivelli.E costituita da un asta di legno lunga 3 metri con il 4 metro estraibile ed graduata in metridecimetri centimetri e millimetri. I metri i decimetri e i centimetri si leggono sullo strumento inumeri rossi indicano i metri e i decimetri, mentre i mentre i centimetri sono segnati dagli spazi neri.I millimetri si trovano a vista.Nella lettura si assume la base maggiore del trapezio grande come linea di riferimento per contare icentimetri, mentre la base maggiore del trapezio piccolo segna i 5 cm.Lo strumento va tenuto verticale ed usato insieme al teodolite.
Es-26AB 40,00m CBA 134c,0000
BC 61,00m B CD 277c,0000 A (94,00;148,00)
CD 29,00m CDE 39c,0000 (AB) 33c,0000
DE 124,00m FED 354
c,0000
EF 207,00m
Quesiti
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1-calcolare le coordinate dei vertici della poligonale
1- calcolo azimuth(BC) (AB) (2) 99c,0000
(CD) (BC) 276c,0000
(DE) (CD) 15c,0000
(EF) (DE) 261c,0000
2-calcolo coordinate parzialiXab AB sin(AB) 19,82m
Xbc BC sin(BC) 60,99m
Xcd
CD
sin(CD)
10,68m
Xde DE sin(DE) 28,95m
Xef EF sin(EF) 169,36m
Yab AB cos(AB) 34,75m
Ybc BC cos(BC) 0,97m
Ycd
CD cos(CD) 26,96mYde DE cos(DE) 120,57m
Yef EF cos(EF) 129,03m
3-calcolo coordinate totaliXa
Ya
noti
Xb Xa Xab 74,18m
Yb Ya Yab 113,25m
Xc Xb Xbc 13,19m
Yc Yb Ybc 112,28m
Xd Xc Xcd 2,51m
Yd Yc Ycd 139,24m
Xe Xd Xde 26,44m
Ye Yd Yde 18,67m
Xf Xe Xef 142,92m
Yf Ye Yef 137,70m
4-calcolo distanza AFXaf Xf Xa 236,92 m
Yaf Yf Ya 285,70m AF Xaf
2 Yaf2 371,15
(AF)* arctg
Xaf
Yaf 44c
,0766
(AF) (AF)* 244c,0766
(AF) (AB) 211c,0234
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5-disegno in scala della planimetria
STADIA Calcolo della distanza:EQUAZIONE DELLA STADIA:
D K S sin2corrisponde allangolodistanza costante verticale (zenitale) della
distanziometrica stadiaintervallo di stadia
uguale a Fs-Fi
Fs Fi2
Fm ammessa una
tolleranza di I 0,002
7/31/2019 quaderno cartografia
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Es-27AB 92,00m A BC 161c,0000
BC 88,00m B CD 88c,0000 A (36,00;44,00)
CD 154,00m CDE 138c,0000 (AB) 241c,0000
DE 111,00m D EF 166c,0000
EF 42,00m
quesito-1 calcolare le coordinate dei vertici della poligonale
1-calcolo azimuth(BC) (AB) 202c,0000
(CD) (BC) 90c,0000
(DE) (CD) 28c,0000
(EF) (DE) 394c,0000
2-calcolo coordinate parzialiXab AB sin(AB) 55,24m
Xbc BC sin(BC) 2,76m
Xcd CD sin(CD) 152,10m
Xde DE sin(DE) 47,26m
Xef EF sin(EF) 3,95m
Yab AB cos(AB) 73,57m
Ybc BC cos(BC) 87,96m
Ycd CD cos(CD) 24,09m
Yde DE cos(DE) 100,44m
Yef EF cos(EF) 41,81m
3-calcolo coordinate totaliXa
Ya
noti
Xb Xa Xab 19,24m
Yb Ya Yab 117,57mXc Xb Xbc 22,00m
Yc Yb Ybc 205,53m
Xd Xc Xcd 130,10m
Yd Yc Ycd 181,44m
Xe Xd Xde 177,36m
Ye Yd Yde 81,00m
Xf Xe Xef 173,41m
Yf Ye
Yef
39,19m
7/31/2019 quaderno cartografia
16/24
4-calcolo distanza AFXaf Xf Xa 137,41m
Yaf Yf Ya 4,81m AF Xaf
2 Yaf2 137,49m
(AF)* arctgXafYaf
97c,7724
(AF) (AF)* 297c,2276
(AF) (AB) 55c,7724 5-disegno in scala della planimetria
7/31/2019 quaderno cartografia
17/24
Es-28AB 103,00m A BC 289c,0000
BC 37,00m B CD 41c,0000 A (29,00;24,00)
CD 78,00m CDE 93c,0000 (AB) 333c,0000
DE 213,00m D EF 98c,0000
EF 150,00m
quesito-1 calcolare le coordinate dei vertici della poligonale
1-calcolo azimuth(BC) (AB) 22c ,0000
(CD) (BC) 263c ,0000
(DE) (CD) 156c ,0000
(EF) (DE) 54c ,0000
2-calcolo coordinate parzialiXab AB sin(AB) 89,47m
Xbc BC sin(BC) 12,53m
Xcd CD sin(CD) 65,19m
Xde DE sin(DE) 135,77m
Xef EF sin(EF) 112,52m
Yab AB cos(AB) 51,03m
Ybc BC cos(BC) 34,81m
Ycd CD cos(CD) 42,82m
Yde DE cos(DE) 164,12m
Yef EF cos(EF) 99,20m
3-calcolo coordinate totaliXa
Ya
noti
Xb Xa Xab 118,47m
Yb Ya Yab 27,03m
Xc Xb Xbc 105,94m
YcYb
Ybc
61,84m
Xd Xc Xcd 171,13m
Yd Yc Ycd 19,02m
Xe Xd Xde 35,36m
Ye Yd Yde 145,10m
Xf Xe Xef 77,16m
Yf Ye Yef 45,90m
4-calcolo distanza AFXaf Xf Xa 106,16m
Yaf Yf Ya 21,90m
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18/24
AF Xaf2 Yaf
2 108,40m
(AF)* arctgXafYaf
87c,0487
(AF)
(AF)*
312
c
,9513 (AF) (AB) 20c,0487
5-disegno in scala della planimetria
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19/24
Es-29AB 124,00m CBA 74c,0000
BC 136,00m D
CB 92c,0000 A (49,00;24,00)
CD 92,00m EDC 303c,0000 (AB) 77c,0000
DE 43,00m FED 82c,0000
EF 50,00m
quesito-1 calcolare le coordinate dei vertici della poligonale
1-calcolo azimuth
(BC) (AB) (2) 203c,0000
(CD) (BC) (2 ) 311c,0000
(DE) (CD) (2) 208c,0000
(EF) (DE) (2) 326c,0000
2-calcolo coordinate parzialiXab AB sin(AB) 116,00m
Xbc BC sin(BC) 6,41m
Xcd CD sin(CD) 90,63m
Xde DE sin(DE) 5,39m
Xef EF sin(EF) 45,89m
Yab AB cos(AB) 43,83m
Ybc BC cos(BC) 135,85m
Ycd CD cos(CD) 15,82m
Yde DE cos(DE) 42,66m
Yef EF cos(EF) 19,86m
3-calcolo coordinate totaliXa
Ya
noti
Xb Xa Xab 116,00mYb Ya Yab 19,83m
Xc Xb Xbc 158,59m
Yc Yb Ybc 116,02m
Xd Xc Xcd 67,96m
Yd Yc Ycd 100,20m
Xe Xd Xde 62,57m
Ye Yd Yde 142,86m
XfXe
Xef
16,68m
Yf Ye Yef 123,00m
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20/24
4-calcolo distanza AFXaf Xf Xa 32,32m
Yaf Yf Ya 99,00m
AF Xaf2 Yaf
2 104,14m
(AF)* arctgXafYaf
20c,0910
(AF)* (AF)
(AF) (AB) 56c,9090 5-disegno in scala della planimetria
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21/24
POLIGONALI CHIUSEUna poligonale si dice chiusa quando il primo e lultimo punto coincidono.
Elementi noti:
AB ... ... Xa ...
BC ... ... Ya
...
CD ... ... (AB) ...
ecc.. ecc..
Quesito-1Calcolare le coordinate dei vertici della poligonale.Quesito-2Disegnare in scala la planimetria dellarea rilevata.PERCORSO RISOLUTIVO: numero vertici della poligonale
-1 Calcolo dellerrore di chiusura angolare
e i (n 2) somma angoli interni
SI: si procede con i calcoli a seguire
-2 Verifica del rispetto di una tolleranza angolare
ea Ta NO: va rifattotolleranza
Nell ipotesi che la verifica del rispetto della tolleranza angolare sia soddisfatto, abbiamo quantosegue:-3 Correzione degli angoli interni:
errore angolare
i* i
e
n
; i
e
n
ecc..
angoli angoli numero dei vertici della poligonaleinterni internicorretti misurati
-4 Calcolo degli azimut-5 Calcolo delle coordinate parziali
-6 Calcolo degli errori di chiusura lineariex xi xab xcb xcdecc..
ey xi xab xcb xcdecc..
el exi2 eyi
2 errore lineare totale
-7 verifica del rispetto della tolleranza lineare
el TlSI
NO
(non affidabile) altrimenti si procede come segue:
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22/24
-8 Calcolo coordinate parziali corrette
xl* xl Ll
ex
l
; yl
* yl Lley
l
xAB* xAB AB
ex
l
; yAB* yAB AB
ey
l
L L1
-9 Calcolo coordinate totali:
Xi* (la somma delle coordinate parziali corrette deve essere 0)
IL RILIEVO PLANO ALTIMETRICOEquazione della stadia
D k s sin2
h l k s sin cos
K = costante distanziometrica =100
TEOREMA TACHEOMETRICO S = intervallo di lettura alla stadiaPER IL RILIEVO DEI DISLIVELLI = angolo zenitaleL = lettura filo medioH = altezza strumentale
SLs Li SLbs Lbi
D SB distanza topografica (proiezione sul piano orizzontale) sb sb (Qb Qs) dislivello tra Se B (in ipotesi sempre positivo; poi saranno le quote ingioco a definire il segno.
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23/24
Bordi Sxe Dxdella stadia
LIBRETTO DI CAMPAGNA
=azimut
IL PROFILO LONGITUDINALE DI UNA LIVELLAZIONE
(esplicitamente)
AB Qb QaBC Qc Qb
ecc...
Q;=quote; dislivelliD = distanza topograficaQa=(quota rilevata preliminariamente)
Dati rilevati
AB
BC
CD
DE
AB
BC
CD
DE
L = lunghezza rettificata della poligonale
Si definisce livellazione quella serie di operazioni topografiche che hanno come obbiettivo inparticolare lindividuazione di una serie di dislivelli tra i vertici via via successivi di una spezzata
planimetrica rilevata (rilievo plano altimetrico)
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24/24
Es-30 stato rilevato il terreno avente il contorno chiuso ABCCon il punto P stato indicato un punto interno dell appezzamento che sar{ assunto anche come
origine degli assi di un sistema di riferimento cartesiano ortogonalePA 79,00m A 292,
c0000(PA )
PB 64,00m B 377,c
0000(PB )
PC 57,00m C 113,c
0000(PC)
PD 103,00m D 218,c
0000(PD)
PE 39,00m E 242,c 0000(PE)
-1calcolare coordinate vertici2-disegnare in scala larea studiata
-3calcolare la superficie dellappezzamento4-calcolare il perimetro dell appezzamento e il costo di una recinzione nellipotesi di un costounitario di 11m-1 calcolo coordinate cartesiane ortogonali:Xa PA sin(PA) 78,38m
Ya PA cos(PA) 9,90m
Xb PB sin(PB) 22,62m
Yb PB cos(PB) 59,87m
Xc PC sin(PC) 55,81m
Yc PC cos(PC) 11,56m
Xd PD sin(PD) 28,74m
Yd PD cos(PD) 98,91m
Xe PE sin(PE) 23,90m
Ye PE cos(PE) 30,92m
-3 calcolo superficie:S