Quadrati magici: Friday, Nov. 8th

Rosangela Mapelli

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Quadrati magici

Propriet dei quadrati magicisavoldelli.net

La grande avventura matematica dei quadrati e dei cubi magiciareeweb.polito.it

Il primo quadrato magico la leggendamarcosroom.it

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Propriet dei quadrati magici

Ci sono vari metodi per realizzare un quadrato magico di ordine 5, o comunque di ordine dispari. Il pi facile da ricordare penso sia questo: Si mette l'1 nella prima riga e colonna centrale, nota l'esempio qui sopra a sinistra, poi in teoria si prosegue verso l'alto e a destra, ma poich siamo gi alla prima casella ci si sposta nella parte pi bassa e a destra di una casella e piazziamo il 2, poi ci si sposta ancora in alto a destra, ecco il 3, adesso non c' pi posto a destra, allora ci spostiamo all'estrema sinistra e ci alziamo di una casella, vedi il 4, poi ripetiamo come prima, in alto e a destra ed ecco il 5, nota il quadrato magico al centro, a questo punto, in alto a destra abbiamo gi l'1, quando una casella gi occupata, invece di proseguire ci abassiamo di una casella,ed ecco il 6, ora ricominciamo, il alto a destra per due volte per il 7 e l'8, adesso siamo in cima e come con l'1 torniamo in basso, spostandoci sempre a destra di una casella, abbiamo il 9, siamo arrivati in basso e a destra, perci ci alziamo di una casella, spostandoci all'estrema sinistra, mettiamo il 10, l'11 lo si piazza sotto il 10 perch in alto a destra c' gia il 6, come vedi, adesso possiamo mettere il 12, il 13, il 14 , ed il 15 senza problemi, per il 16 abbiamo il probema che non c' posto in basso ne a destra, perci il 16 va messo sotto il 15, poi si ricomincia in alto di una casella e spostato a sinistra ecco il 17, spostiamoci ancora in basso a destra e ricomiciamo a salire, 18, 19, 20, torniamo sotto di una casella con il 21, perch quella sopra gi occupata, alziamoci ancora e mettiamo il 22, spostiamoci ancora all'estrema sinistra e in alto di una casella, ed ecco il 23, seguito dal 24,infine il 25 in basso e spostato a destra di una casella.

In breve ci si sposta in alto a destra di 45 gradi se arriviamo nella parte superiore ci spostiamo nell'estremit inferiore e a destra di una casella, se arriviamo all'estrema destra, ci spostiamo alla sinistra ed in alto sempre di una casella durante lo spostamento in alto, se una casella occupata ci abbassiamo di di una casella, rimanendo per sempre nella stessa colonna.

In questo modo si possono realizzare tutti i quadrati magici di ordine dispari. Qui sotto ne potete vedere uno di ordine 9, ma potrete costruirne uno di ordine 99 se volete, basta seguire i suggerimenti che vi ho illustrato, suggerimenti che ho trovato su un sito inglese, di cui purtroppo ho perso l'indirizzo. Delle regole per costruire quadrati magici di ordine pari, superiore a 4 non ne conosco, se qualcuno sa come trovarle, sarei molto lieto di pubblicarle.

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La grande avventura matematica dei quadrati e dei cubi magici

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SPECIAL_IMAGE-http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/AvventuraCubi/Img/image009.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/AvventuraCubi/Img/image001.png-REPLACE_ME Quadrati e cubi magici sono straordinarie configurazioni numeriche, di grande tradizione. Ai confini tra il gioco e la matematica, sono unaffascinante sfida alla nostra intelligenza.

SPECIAL_IMAGE-http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/AvventuraCubi/Img/image003.png-REPLACE_ME Il primo quadrato magico, il pi antico risale addirittura allAntica Cina, ai tempi della dinastia Shang, nel duemila a. C. quando, secondo la leggenda, un pescatore trov lungo le rive del fiume Lo, un affluente del fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi sul suo guscio degli strani segni geometrici. Il pescatore port la tartaruga allimperatore e i matematici al suo servizio studiando quei segni, scoprirono una imprevedibile struttura: un quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni riga, colonna o diagonale. Lo Shu, cos venne battezzato questo quadrato numerico, divent uno dei simboli sacri della Cina, rappresentazione dei pi arcani misteri della Matematica e dellUniverso.

SPECIAL_IMAGE-http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/AvventuraCubi/Img/image005.gif-REPLACE_ME Forse la sua origine non poi cos antica e la sua comparsa si pu far risalire in realt al IV secolo a. C. La prima traccia scritta si trova nel Ta Tai li chi, una fedele trascrizione di antichi riti, compilata da Tai il Vecchio nel primo secolo d. C. Le propriet pi interessanti del Lo Shu sono collegate alla teoria dello Yin-Yang, secondo la quale ogni cosa deriva dallarmoniosa opposizione di due originali forze cosmiche. Yin e Yang, rappresentate da migliaia di anni nella forma circolare dellantica saggezza. Yang, per i cinesi, la forza maschile, sorgente di calore, di luce e di vita, sotto linfluenza del Sole: Yin invece la forza femminile, che si sviluppa al buio, al freddo e nellimmobilit, sotto linfluenza della Luna. Nel Lo Shu i numeri dispari rappresentano lelemento maschile yang, mentre i numeri pari rappresentano lelemento femminile yin. Il numero 5 rappresenta la Terra e gli altri numeri rappresentano i punti cardinali e le stagioni. Ad esempio, 1 il Nord e linverno, il 9 il Sud e lestate, il 3 Est e primavera, il 7 Ovest e autunno. Attorno al 5 si alternano coppie di numeri che rappresentano i quattro elementi: lacqua, 1 e 6, il fuoco, 2 e 7, il legno 3 e 8 e il metallo, 4 e 9. Vediamo alcune propriet aritmetiche di questo quadrato. Il numero centrale, il 5, la media aritmetica di tutte le coppie di numeri opposti:

Se si moltiplica il numero centrale 5 per lordine del quadrato, cio 3, si ottiene il valore della somma costante, cio 15. E sempre il numero centrale moltiplicato per lordine, elevato al quadrato, uguale alla somma totale dei numeri che compongono il quadrato magico:

5 x 3 = 15 e 5 x 32 = 45

Queste formule valgono per qualsiasi quadrato magico di ordine dispari. E quindi anche per quadrati 5 x 5, 7 x 7 e cos via. Lindagine venne poi estesa ai quadrati di ordine superiore. I quadrati magici giunsero in Europa relativamente tardi. Manuel Moschopulos (circa 1265 1316) fu tra i primi a farli conoscere in Europa e tra i primi ad approfondire largomento fu il matematico Cornelio Agrippa (1486 1535), il quale scrisse che i quadrati magici sono "tavole sacre dei pianeti e dotate di grandi virt, poich rappresentano la ragione divina, o forma dei numeri celesti. Molti quadrati magici si supponevano dotati di virt magiche particolari, e incisi su piastrine dargento o doro, venivano consigliati come cura per ogni malanno, dalla peste al mal damore (Se si scrive talisman magic square su un qualsiasi motore di ricerca, vengono fuori centinaia di indirizzi di negozi che ancora oggi vendono, in rete, i quadrati magici come amuleti forza della superstizione). Uno dei pi famosi sicuramente il quadrato magico che compare nellincisione di Drer, Melancolia I.

SPECIAL_IMAGE-http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/AvventuraCubi/Img/image008.gif-REPLACE_ME Frenicle de Bessy, matematico del Seicento, amico di Descartes e di Fermat, riusc a calcolare il numero dei quadrati magici perfetti del quarto ordine: 880, con somma costante 34, su righe, colonne e diagonali. Si dovette invece attendere lavvento del computer per allargare lindagine a quadrati magici di ordine superiore e scoprire cos, nel 1973, che i quadrati magici di ordine 5 sono 275 305 224. Ancora oggi non noto il numero preciso dei quadrati magici di ordine 6, ma siamo vicini alla soluzione. Secondo le pi recenti indagini, dovrebbero essere circa 17 miliardi di miliardi. Resta comunque da risolvere il problema pi generale: trovare la regola che consenta di determinare il numero di quadrati magici di un dato ordine. La somma costante su righe, colonne e diagonali data dalla formula

Era logico che il matematico a un certo punto tentasse il passaggio alla terza dimensione, occupandosi di cubi magici perfetti, definiti come i cubi nei quali ogni quadrato magico (ogni diagonale risulta magica e non soltanto le quattro diagonali principali). Il gioco si complica in modo incredibile, e il progresso in questo campo, prima dellarrivo del computer stato molto lento. Il primo cubo magico perfetto, di ordine 7, con i primi numeri 343 numeri disposti in modo che su ogni possibile riga, colonna o diagonale la somma sempre 1204, venne scoperto soltanto nel 1866 da un missionario inglese, docente di matematica, il reverendo Andrew H. Frost.

Alcuni anni pi tardi Gustavus Frankenstein, pittore e matematico, scopr il primo cubo magico di ordine 8, con somma costante 2052, e scrisse in proposito: Questa scoperta mi ha dato una soddisfazione superiore a quella che avrei provato se avessi scoperto una miniera doro nel mio giardino. Sempre verso la fine dellOttocento vennero scoperti altri cubi magici perfetti di ordine 7, 8, 9, 11 e 12, mentre non si conosce alcun cubo perfetto di ordine 10, e non si sa nemmeno se esista. E stato invece dimostrato che non esistono cubi magi perfetti di ordine 2, 3 e 4.

SPECIAL_IMAGE-http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/AvventuraCubi/Img/image010.gif-REPLACE_ME E proprio di questi giorni la grande scoperta: i primi cubi magici di ordine 5 e 6. Merito di un matematico tedesco, Walter Trump, e di un informatico francese, Christian Boyer, che insieme hanno trovato il cubo magico perfetto 5 x 5 x 5, il pi piccolo dei cubi magici, tormento per pi di un secolo, dei matematici i quali erano arrivati persino a dubitare della sua esistenza. Perfetto vuol dire che si ritrova la somma costante su qualsiasi riga, colonna o diagonale, nelle tre dimensioni e su ogni faccia del cubo stesso.

SPECIAL_IMAGE-http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/AvventuraCubi/Img/image011.gif-REPLACE_ME In questo cubo magico perfetto i numeri, da 1 a 125, hanno sempre 315 come somma costante su una qualsiasi delle 109 linee, righe, colonne o diagonali. In generale, la formula che consente di trovare la somma costante su righe, colone e diagonali, nelle tre dimensioni,

Per raggiungere il loro obiettivo Boyer e Trump hanno utilizzato cinque computer che hanno lavorato contemporaneamente, a tempo pieno, per diverse settimane, sui dati inseriti dai due ricercatori, dati troppo complicati per poterli presentare su questa pagina e rimandiamo per questo alla pagina di Boyer.. Alcuni mesi fa, nel settembre del 2003, Trump aveva gi trovato il primo cubo magico perfetto 6 x 6 x 6, con 651 come costante magica, e Boyer ha trovato quello pi grande fino ad oggi noto, di ordine 8192, un cubo eccezionale, che resta sempre magico anche quando si elevano i suoi numeri al quadrato, al cubo o alla quarta potenza. E se salissimo dalla terza alla quarta dimensione, quali ipercubi magici troveremmo? Il pi piccolo ipercubo magico perfetto stato costruito da J. Hendricks, nel 1999. E di ordine 16 e la somma costante 524296. Potremmo anche costruire altre figure magiche, ad esempio triangoli, cerchi o altri poligoni e poliedri magici. Si capisce che questa ricerca solo allinizio, e il lettore curioso potr divertirsi fra numeri e configurazioni magiche partendo dai due indirizzi web che abbiamo indicato.

da http://perso.club-internet.fr/cboyer/multimagie/

SPECIAL_IMAGE-http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/AvventuraCubi/Img/cubi.gif-REPLACE_ME Christian Boyer ci ha inviato questo bel problema che proponiamo a chi ci sta leggendo:

Definiamo la seguente successione

u(1)=0 u(2)=2 u(3)=3 u(n+3)=u(n)+u(n+1)

Osserviamo che n un numero primo se e soltanto se u(n) = n oppure se un multiplo di n. E sempre vero?Quella che segue la soluzione che abbiamo ricevuto dal professor Giorgio Mainini, di Lugano.

Il primo tentativo quello di prolungare la successione "per un bel po'" con un foglio di calcolo: fino a n = 256 la risposta sempre "S". Ma l'"odore" non buono: si sa che non si sono ancora trovati algoritmi che generano tutti e solo numeri primi. La successione di Boyer invece li genererebbe. Mh!!!

Il secondo tentativo quello di calcolare le differenze fra termini successivi, poi le differenze fra le differenze (differenze seconde), poi le differenze terze, ecc. Pochi tentativi mostrano che le differenze successive ripetono la sequenza (3 , 0 , 2 , 3 , 2 , 5 , 5 , 7 , 10 , 12 , 17 , 22 , 29 , ) "scalate" di 5 posti. Ahi, ahi!

Il terzo tentativo consiste nel cercare una formula esplicita per l'n-esimo termine e poi vedere se pu darsi se, per qualche n, ci sia contraddizione con la primalit di n. Allora si prova con qualche successione simil-boyer, ponendo, ad esempio, u(1) = 1, u(2) = 1, u(3) = 1, o altri valori. Si scopre che, per ogni terna (u(1) , u(2) , u(3)), il rapporto u(k+1)/u(k) tende a 1.324718 quando k tende a infinito. Che numero 1.324718? Pensa e ripensa, ti viene di immaginare che l'insieme delle successioni simil-boyer possa essere uno spazio vettoriale a tre dimensioni rispetto all'addizione e alla moltiplicazione con i numeri reali. vero, proprio cos (come si dice: "la dimostrazione, non difficile, lasciata per esercizio"). Ricorrendo ad un metodo abbastanza classico, vai a cercarti una base, e la cerchi in quelle successioni simil-boyer che hanno i termini in successione geometrica. Deve quindi essere tr+3 = tr + tr+1 cio, dividendo tutto per tr, t3 = 1 + t. Le tre soluzioni, orribili da vedere, siano t1=a (reale, detta "costante plastica", chiss perch, e uguale a circa 1.324718), t2=b , t3 = c (complesse). Ancora un (piccolo) sforzo e ottieni che u(n) = an + bn + cn. Il che bellissimo, ma non risolve il problema della primalit di n. Per ti ritrovi tra le mani un bel po' di successioni simil-boyer, ed una di queste abbastanza nota: la successione di Padovan.

Il quarto tentativo consiste nell'interpellare internet, visto che un povero portatile non ce la far mai a provare con n molto grandi (questo un "metaragionamento": se capitasse per n abbastanza piccolo, Boyer non avrebbe sottoposto il problema a Polymath). Di clic in clic arrivi all'immancabile www.mathworld.wolfram.com , e l, insieme con Padovan, salta fuori un certo Perrin, la cui successione cos definita: P(n) = P(n-3) + P(n-2), con P(0) = 3 , P(1) = 0 , P(2) = 2. Ecco qui sotto i primi termini delle successioni di Boyer e di Perrin:

Quindi la domanda di Boyer equivale a quella che si pose Perrin:

Ecco che cosa si legge in Mathworld:

http://mathworld.wolfram.com/PerrinSequence.html

Il sito dei quadrati e dei cubi magici di Christian Boyer:http://perso.club-internet.fr/cboyer/multimagie/

La pagina di Walter Trump:http://www.trump.de/magic-squares/

Una sorprendente animazione del nuovo cubo magico:http://mathworld.wolfram.com/news/2003-11-18/magiccube/

I principali collegamenti alle pagine web che si occupano di cubi magici:http://kosice.upjs.sk/~trenkler/Cube-Ref.html

Le lezioni di Suzanne Alejandre. Una proposta dettagliatissima, con lezioni e attivit per gli studenti:http://mathforum.org/alejandre/magic.square.html

Quadrati, cubi e poligoni magici. Un ampio studio di Mutzumi Suzuki, con un lungo elenco di collegamenti sullargomento:http://mathforum.org/te/exchange/hosted/suzuki/MagicSquare.html

Quadrati, cubi e ipercubi magici, stelle e altre configurazioni magiche. Lautore, Harvey Heinz, cita Proclo (410 - 485 d.C.): Dove c il numero, c bellezza.http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/4057/

Fabrizio Pivari un collezionista di monete e di quadrati magici e presenta le sue collezioni. In parte anche in italiano:http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Lab/3469/

Dalla Cina i quadrati magici di Gao Zhiyuan:http://www.zhghf.com/China/

Un sito di riferimento al libro Les Carrs Magiques book of Ren Descombeshttp://www.kandaki.com/CM-Index.htm

Due articoli di Del Hawley sul sito NRICH. Da leggere:http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1337http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1338

Lanalisi del quadrato magico di:http://www.pasles.org/Franklin.html

Benjamin Franklin scopr anche un cerchio magico:http://www.pasles.org/circle.html

SPECIAL_IMAGE-http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/AvventuraCubi/Img/image012.jpg-REPLACE_ME Abbiamo ricevuto Christian Boyer questo bel problema che proponiamo a chi ci sta leggendo:

Definiamo la seguente successione

u(1)=0 u(2)=2 u(3)=3 u(n+3)=u(n)+u(n+1)

Osserviamo che n un numero primo se e soltanto se u(n) = n oppure se un multiplo di n. E sempre vero?Kovalevskaya: la matematica come immaginazioneSophie Germain areeweb.polito.it

Il primo quadrato magico la leggenda

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SPECIAL_IMAGE-http://4.bp.blogspot.com/--m39rDPRISQ/TgEjQlWug3I/AAAAAAAAC3c/QjAKDtjbrwU/s320/LOW00305.jpg-REPLACE_ME Quadrati magici1 X 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 Si parlato di quadrati magici perfetti ed imperfetti, di ordinen delle griglie, di trasformazioni geometriche ed algebriche, di unicit dei quadrati, ma solo accennato alla costante magica M(n) e soprattutto, ho presentato una formula per calcolarla che, per, pu essere usata solo per i quadrati magici perfetti. E allora...

... a proposito delle formule per la costante magica(Dimostrazione delle formule per il calcolo delle costanti magiche. M(n) per quadrati perfetti ed imperfetti)

SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/Quadrato_magico_perfetto_imperfetto.png-REPLACE_ME Esempio di un quadrato magico perfetto e di uno imperfettoLa questione, ora, capire la derivazione della formula per il nostro fantomatico M(n).

Iniziando dalle basi, Gauss una volta "disse" che:

In altre parole, la somma di tutti i numeri naturali da 1 a n pari a .

Applicando questo concetto ai nostri quadrati magici (ne prenderemo ad esempio uno di ordine 4) dovremo considerare ben 16 numeri (n2). Per quanto riguarda la formula, possiamo scrivere che

Il problema di questa scrittura che cos facendo troviamo la somma di tutti i numeri da 1 a 16.

Il nostro scopo, invece, quello di trovare la somma si ogni singola riga (o colonna). Considerando che possiamo dividere il nostro quadrato in esattamente 4 righe (o 4 colonne) aventi la stessa somma, possiamo semplicemente dividere il tutto per 4 (n), arrivando alla formula corretta:

Ma come fare con i quadrati imperfetti? I numeri che vengono considerati in questi casi non sono da 1 a , ma sappiamo solo che iniziano da un determinato numero e proseguono con un passo regolare . In altre parole, se mettiamo i numeri in ordine crescente ci accorgiamo che la differenza tra un numero e il suo precedente costante ed esattamente .

Facciamo un esempio: consideriamo la serie numerica .

La differenza fra ogni elemento e il suo precedente costante ed pari a 2: ci ci consente di dire che ci troviamo in presenza di una progressione aritmetica. Ogni numero k-esimo della serie, quindi, pari a , che non altro che un modo pi matematico di dire che ogni numero pari al suo precedente pi il passo della serie (che d'ora in poi chiameremoragione). Seguendo questo criterio, lo stesso numero anche uguale a e anche a e cos via ... Dando uno schema generale, quindi, per ogni all'interno di una progressione aritmetica, , dove il primo termine della progressione.

Ritornando alla nostra progressione presa in esame, quindi:

...

Chiudendo il discorso progressioni aritmetiche, torniamo ai nostri quadrati magici. Per arrivare alla formula, quindi, vogliamo seguire un procedimento simile a quello utilizzato per i quadrati perfetti. Allora, troviamo la somma di tutti i numeri!

Noi abbiamo definito i numeri di un quadrato magico imperfetto come una progressione aritmetica, quindi, proviamo a buttar gi una formula che sommi ogni singolo numero:

(Ricordiamoci qualche lettera usata: l'ordine del quadrato in esame, il k-esimo numero della progressione aritmetica, la ragione della progressione)

Ora, se per comodit di calcolo poniamo , non meglio?

Il prossimo passaggio potrebbe non essere cos intuitivo: la sommatoria che abbiamo appena scritto necessita di un po' di analisi prima di essere sviluppata.

Innanzitutto dividiamola in due parti:

La divisione che abbiamo effettuato stata possibile grazie alla propriet della sommatoria che ci dice che

Infatti

Dopo aver dimostrato che la nostra operazione "accettabile", analizziamo la prima parte:

Innanzitutto notiamo che non dipende in alcun modo da k, il che significa che il risultato della sommatoria non sar altro che una serie di somme di :

Nella seconda parte, invece, l'espressione da sommare . Qui abbiamo due fattori: uno dipendente da k, e l'altro no. Per risolvere la situazione allora tentiamo di scrivere per esteso la somma:

Da questa lunga serie di somme, ci accorgiamo immediatamente che sempre presente il fattore comune , che quindi andiamo subito a raccogliere:

Un'analisi pi approfondita del contenuto della parentesi quadra ci rivela che, se rimuoviamo le parentesi interne, abbiamo dei -1 ripetuti t-volte e una somma di numeri naturali da 1 a t; quindi riscriviamo l'ultimo passaggio come

La somma dei numeri naturali stata sostituita con la formula di Gauss e poi abbiamo svolto il prodotto. A questo punto abbiamo finalmente determinato la quantit che stavamo cercando:

Uff ... che fatica! Penso che ormai ci siamo persi ... Torniamo all'inizio! Allora ... stavamo cercando di trovare un metodo veloce per il calcolo della somma dei numeri che compongono una progressione aritmetica, no? Scritto quindi

Con le nostre nuove "scoperte" sviluppiamo il tutto come

Aspetta ... Che fine hanno fatto le sommatorie? Sono scomparse? Beh, s! Il che significa che siamo sulla buona strada!

Allora: raccogliamo subito e poi negli ultimi due termini all'interno della parentesi:

Svolgiamo qualche calcolo nelle parentesi:

Benissimo! Ormai abbiamo finito! L'ultima scrittura sarebbe ci che andiamo cercando, ma se ci liberassimo di quelle due frazioni? Io direi di moltiplicare il tutto per 2 (e poi anche per per non alterare il risultato):

Eccola! La somma della nostra progressione algebrica Lei! Giusto per riassumere il tutto:

L'ultimo dettaglio da considerare che avevamo assunto , quindi

Ora, torniamo ai nostri quadrati magici: come per i quadrati perfetti, abbiamo trovato una relazione che coinvolge tutti i numeri disposti nella griglia, mentre a noi interessa solo la somma di una colonna (o riga), dividiamo quindi il tutto per n. La nostra funzione per il calcolo della costante magica (che chiameremosolo per distinguerla da quella dei quadrati perfetti) questa:

Concludendo:

1 X 0 8 20 96 656 5568 48912 494080 5383552 65097600 840566080 11833898496 176621049600 Prima che io prosegua corretto da parte mia far presente che il diagramma (figura 6) da me presentato non comprende l'intera classificazione e tipologie di quadrati magici rilevati e studiati fino ad oggi (vedi Wiki), ma stato strutturato secondo una mia personale interpretazione il cui scopo soprattutto quello di mettere in evidenza le due macro-categorie (perfetti ed imperfetti), le differenze rilevabili, le relazioni tra essi ed infine i quadrati magici che da esse derivano. Dalla prima categoria scaturiscono quadrati sempre pi perfetti e magici che hanno quali propriet principali il fascino puro della Matematica e la bellezza e complessit degli schemi logici; di questi avr modo di parlarne prendendo quali esempi alcuni dei quadrati magici pi famosi della storia e dell'arte. Alla seconda categoria appartengono quelle trasformazioni e reinterpretazioni della prima che hanno portato, in seguito, alla nascita di numerosissime tipologie, molte delle quali si sono trasformate in giochi di matematica ricreativa di enorme successo le cui propriet ludico-didattiche meritano una argomentazione specifica. Come ho gi fatto rilevare in precedenza, lo Shu sicuramente il quadrato magico pi conosciuto, vuoi per la sua semplicit, vuoi perch stato il primo della storia. E' un quadrato magico perfetto di ordine 3 (3x3)con costante magica M(n) uguale a 15. Esiste un solo quadrato unico e sette quadrati equivalenti ottenibili dalle sue trasformazioni geometriche (figura 7). E' possibile costruire un quadrato magico di ordine 3 in modo molto semplice partendo da una griglia vuota ed inserendo i numeri da 1 a 9 in modo ordinato. Si spostano tutti i numeri di una posizione simulando una rotazione in senso orario facendo perno sul numero 5 centrale, che rimane nella sua posizione iniziale, e successivamente si invertono gli estremi delle due diagonali in modo reciproco (4 con 6 e 2 con 8). Forse pi chiaro guardando alcuni slideshow. SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoLoShu/Quadrato_magico_lo_shu_costruzione_1.jpg-REPLACE_ME Quadrato magico lo shu costruzione 1 SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoLoShu/Quadrato_magico_lo_shu_costruzione_2.jpg-REPLACE_ME Quadrato magico lo shu costruzione 2 SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoLoShu/Quadrato_magico_lo_shu_costruzione_3.jpg-REPLACE_ME Quadrato magico lo shu costruzione 3 SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoLoShu/Quadrato_magico_lo_shu_costruzione_4.jpg-REPLACE_ME Quadrato magico lo shu costruzione 4 SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoLoShu/Quadrato_magico_lo_shu_costruzione_5.jpg-REPLACE_ME Quadrato magico lo shu costruzione 5 SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoLoShu/Quadrato_magico_lo_shu_costruzione_6.jpg-REPLACE_ME Quadrato magico lo shu costruzione 6 Analizzando gli 8 quadrati della figura 7, balza subito agli occhi come il numero 5 sia sempre posizionato nella casella centrale, non solo, sugli spigoli dei diversi quadrati ci sono sempre e solo numeri pari, mentre i dispari sono sempre nelle caselle centrali dei "lati". Se ne pu dedurre che non solo non si possono costruire pi di 8 quadrati magici di ordine 3, ma che addirittura questi sono strettamente vincolati dalla posizioni dei numeri dispari, dei pari e del 5 che deve sempre trovarsi al centro. Si potrebbe affermare quindi che tutti i quadrati magici perfetti di ordine 3 debbano rispettare un preciso "modello" che potremmo chiamare modello del Lo Shu e che potrebbe essere graficamente cos rappresentato. Mi vien da pensare che le tartarughe non solo sappiano contare, ma che abbiano anche ben chiara la distinzione tra numeri pari e numeri dispari, oltre a conoscere bene anche il concetto di centro. Che forse noi si debba fare un bel bagno nelle magiche acque del fiume Lo? Probabilmente i ragionieri l'hanno fatto, poich, il quadrato del Lo Shu, iscritto in una forma circolare, oggi il simbolo della professione ragionieristica e non si pu certo dire che i signori non sappiano "far di conto".Albrecht Drer (Norimberga, 21/05/1471 6/04/1528) stato un pittore, incisore e matematico tedesco. Figlio di un ungherese, viene considerato il massimo esponente della pittura tedesca rinascimentale. A Venezia l'artista entr in contatto con ambienti neoplatonici e si presume che tali ambienti abbiano predisposto il suo carattere verso l'aggregazione esoterica. Classico esempio la sua opera dal titolo Melencolia I, realizzata nel 1514, in cui sono presenti evidenti simbologie ermetiche. E questo quanto ci interessa sapere di questo artista-matematico. E' la sua incisione Melencolia I che lo lega a filo doppio all'argomento qui trattato: i quadrati magici.In questa xilografia, l'artista mostra un angelo immerso nei suoi pensieri, circondato da oggetti matematici e scientifici, come un compasso,una sfera, una bilancia, una clessidra, un solido geometrico (un "troncato romboedrico" o "poliedro Drer") e una griglia contenente dei numeri. Sorvolando sulle possibili interpretazioni e simbolismi dell'opera, si pu notare (in alto a destra, sotto la campana) il famoso quadrato magico diDrer, che un quadrato magico perfetto di ordine 4 (4x4)con costante magica M(n) uguale a 34.La sua particolarit sta nel fatto che la costante magica 34 la si ritrova in molti schemi, oltre che nella somma dei numeri presenti in ogni singola riga, colonna e diagonale. Il 34 sembra spuntare quasi ogni qualvolta si prenda in esame alcuni gruppi di 4 numeri e si faccia la somma; questa caratteristica, a giusto titolo, gli permette di essere definito quadrato supermagico. Di seguito alcuni schemi in cui compare la costante magica 34. SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/SchemiSommeDurer.png-REPLACE_ME Alcuni schemi in cui riscontrabile la costante magica 34 nel quadrato di Durer Questi sono solo alcuni degli schemi in cui si cela la costante magica 34; ci si pu divertire a trovarne molti altri. Nella rappresentazione grafica (figura 13), i gruppi di 4 numeri presi in considerazione di volta in volta, sono contraddistinti da un pallino di colore uguale che ne indica la posizione sulla griglia. Contemporaneamente, sono stati inseriti in ogni schema almeno due gruppi, questo per mettere in risalto anche la relazione geometrica che si crea tra loro. E' stupefacente constatare come la costante magica di questo superquadrato abbia la capacit di creare figure geometriche (quadrati, rettangoli, rombi, trapezi e parallelogrammi) o figure di fantasia (frecce, aquiloni...), ma non solo, altrettanto "magico" come la rotazione o riflessione di uno corrisponda perfettamente all'altro. Si pu ben comprendere come a questo superquadrato siano stati attribuiti poteri magici ed esoterici, cosa perfettamente comprensibile nel XVI secolo, ma oggi? Nel XXI secolo dovremmo s rimanere affascinati e magicamente catturati da queste griglie numeriche e dai loro schemi, ma esclusivamente per la loro bellezza matematico-logica e per quella sorta di "magia" insita nei numeri e nella geometria. Quello che non conosciamo o ci spaventa, o ci affascina, al punto tale da rimanerne per sempre imprigionati. Sicuramente la costruzione di un quadrato magico con queste caratteristiche non una cosa semplicissima, ma questo non significa che chi lo ha ideato sia in possesso di un qualche "super potere", magari, ha avuto solo una buona capacit di calcolo di base, una certa predisposizione alla logica, molta pazienza e altrettanta fantasia. O magari era un furbacchione che aveva trovato per caso un sistema per disporre facilmente 16 numeri in modo tale da far spuntare in continuazione la costante magica 34. Non certo il caso di questo quadrato, no, troppo complicato prevedere tutti questi schemi... E invece possibile. Esiste un sistema molto semplice per costruire un quadrato magico di ordine 4 partendo da una griglia vuota ed inserendo i numeri da 1 a 16 in modo ordinato. Non mi dilungo in spiegazioni che potrebbero risultare pi complicate di quello che realmente il sistema comporta (inversione delle diagonali), e preferisco spiegarne il metodo con l'ausilio delle immagini. SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoDurer/Quadrato_magico_durer_costruzione_1.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoDurer/Quadrato_magico_durer_costruzione_2.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoDurer/Quadrato_magico_durer_costruzione_3.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoDurer/Quadrato_magico_durer_costruzione_4.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoDurer/Quadrato_magico_durer_costruzione_5.jpg-REPLACE_ME La nuova disposizione porta alla luce un quadrato magico perfetto che ha le stesse caratteristiche di quello di Drer, un superquadrato ed anche esso segue gli schemi della figura 13, ma non il quadrato di Drer, ha qualche piccola differenza. Ora, sempre ipotizzando che l'artista abbia usato il sistema dell'inversione delle diagonali, avrebbe potuto accontentarsi del risultato ottenuto, visto che i due quadrati sono entrambi "favolosamente" perfetti e supermagici. Era il 1514 e Drer probabilmente aveva notato una curiosa coincidenza (sempre ipotizzando): i due numeri centrali dell'ultima riga del quadrato costruito con il sistema dell'inversione delle diagonali erano, in ordine, 14 e 15. "Se riuscissi ad invertire quei due numeri, lasciando inveriate le propriet del quadrato magico, riuscirei ad evidenziare la data di incisione della mia opera", avr pensato il buon Drer. Per sua fortuna la cosa era possibile ed anche in modo estremamente semplice. La griglia (1) della figura 14 il quadrato magico ottenuto con il metodo dell'inversione delle diagonali(slideshow 2); sufficiente invertire interamente le due colonne centrali (griglia (2)), per ottenere il quadrato magico di Drer (griglia(3)). Non sappiamo quale procedimento realmente abbia eseguito Drer per la costruzione del suo quadrato, ma l'ipotesi azzardata mi comunque servita per spiegare un metodo molto semplice per la costruzione di una quadrato magico 4x4 (inversione delle diagonali) ed inoltre mi ha dato la possibilit di accennare ad una particolare propriet dei quadrati supermagici di ordine 4: avendo come somma dei numeri contenuti nel sottoquadrato interno (figura 13, schema 1) la costante magica 34, sempre possibile invertire interamente tra loro le due colonne centrali (figura 14, griglia(2)) o, sempre rispettivamente tra loro, le due righe centrali; il quadrato che si ottiene sar sempre un superquadrato.Questo particolare quadrato magico dell'architetto Josep Maria Subirachs, pur non essendo propriamente un quadrato magico, in quanto non contenente tutti i numeri da 1 a 16 e, addirittura, con la ripetizione di due 10 e due 14, merita comunque di essere annoverato nell'elenco dei quadrati magici pi famosi, sia per il suo significato artistico-religioso, sia perch forse l'unico quadrato non-magico avente comunque tutte le caratteristiche matematiche e la perfezione "magica" delle migliori griglie numeriche. Lo si pu considerare un quadrato quasi-magico imperfetto di ordine 4 (4x4)con costante magica M(n) uguale a 33. La griglia in figura 15, una scultura incisa sulla facciata della Passione della basilica della Sagrada Familia che si trova a Barcellona, capolavoro dell'architetto Antoni Gaudi, massimo esponente del modernismo catalano. Alla realizzazione del progetto della basilica, vista la sua vastit, hanno collaborato anche altri architetti ed in particolare Subirachs si occupato della realizzazione della facciata della Passione.L'incisione del quadrato si trova di fianco alla statua rappresentante il bacio di Giuda, e gi questo potrebbe essere motivo di riflessione ed analisi nel tentativo di capire il perch di tale scelta, ma non questo che qui ci interessa. Inizialmente Subirachs si trov di fronte ad un problema, voleva incidere sulla sua facciata un quadrato magico che rivelasse un particolare numero molto importante per la cultura religiosa cattolica: il 33, gli anni del Cristo. Ma non esistono quadrati magici perfetti che hanno quale costante magica il numero 33! Quello che pi gli si avvicina il quadrato di ordine 4 la cui costante magica pari a 34. Subirachs prese allora in considerazione il quadrato di Drer e cominci ad analizzarlo. Sapeva bene che la somma di tutti i numeri presenti (da 1 a 16) uguale a 136 e che la relativa costante magica 34 si ottiene dividendo tale somma (136) per 4. Doveva trovare il modo di trasformare la somma 136 in 132; il suo 33 sarebbe spuntato magicamente. La cosa era pi semplice a dirsi che a farsi, non era sufficiente far sparire 4 unit con sottrazioni che non seguissero un criterio logico tale da lasciare inalterata la struttura magica del quadrato. Ma Subirachs ci riusc. Partendo quindi dal quadrato magico di Drer questo il procedimento che probabilmente us per arrivare al suo quadrato con costante magica 33. SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoSubirachs/Quadrato_magico_Subirachs_costruzione_1.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoSubirachs/Quadrato_magico_Subirachs_costruzione_2.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoSubirachs/Quadrato_magico_Subirachs_costruzione_3.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/CostruzioneQuadratoMagicoSubirachs/Quadrato_magico_Subirachs_costruzione_4.jpg-REPLACE_ME I numeri scelti a cui sottrarre un'unit (11, 12, 15, 16), probabilmente sono stati ben ponderati per raggiungere un altro obbiettivo, ovvero ottenere le due coppie di 10 e di 14, la cui somma 48, seguendo l'alfabeto latino, anche la somma delle lettere della parola INRI.(Iesus Nazarenus Rex Iudaeorum) INRI = 9+13+17+9 = 48.ABCDEFGHIKLMNOPQRSTVXYZ1234567891011121314151617181920212223 Anche in qui, come nell'ipotesi di costruzione che Drer probabilmente adott per il suo quadrato, non si pu asserire con certezza che Subirachs abbia usato questo metodo, ma se lo avesse fatto, avrebbe potuto decidere anche per altre quaterne di numeri a cui sottrarre l'unit. Infatti, sarebbe stato sufficiente scegliere i quattro numeri in modo tale che per ogni riga, colonna e diagonale ne venga preso uno ed uno solo. Faccio qualche esempio per far ben comprendere il concetto. Subirachs scelse la quaterna del primo schema (figura 17), ma adesso sappiamo che le possibilit erano ben 8. Il metodo di sottrazione di un'unit da una quaterna di numeri, usato da Subirachs, pu essere generalizzato a tutti i quadrati magici perfetti di ordinen ed a tutte le trasformazioni algebriche (utility 1), per ottenere nuovi quadrati quasi-magici imperfetti. Parlando di trasformazioni algebriche era stato detto che: Le trasformazioni algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) su tutti i numeri di un quadrato perfetto, lo trasformano in un quadrato imperfetto o non normale, perch viene meno il quarto punto (interi da 1 a n2) delle caratteristiche fondamentali di un quadrato magico perfetto.Ora, come dimostrato nell'esempio del quadrato di Subirachs, generalizzando, possiamo aggiungere che le trasformazioni algebriche su una quantit di numeri pari all'ordine del quadrato perfetto, scelti in modo tale che per ogni riga, colonna e diagonale ne venga preso uno ed uno solo, trasformano il quadrato perfetto originario in uno quasi-magico imperfetto (i numeri non saranno pi da 1 a n2 ed alcuni di loro si ripeteranno)

La scultura di Subirachs sulla facciata della Basilica della Sagrada Familia, pur essendo un quadrato quasi-magico, non ha nulla da invidiare ai suoi "cugini pi blasonati" (perfetti); in questa griglia di numeri "imperfetti", la costante magica 33 compare in numerosi schemi, oltre che come somma delle singole righe, colonne e diagonali. Eccone alcuni esempi:

Questi sono solo alcuni degli schemi in cui si cela la costante magica 33; ci si pu divertire a trovarne molti altri. Anche in questo, seppur quadrato quasi-magico ed imperfetto, si pu constatare con stupore come la costante magica riesca a creare figure geometriche (quadrati, rettangoli, parallelogrammi...), e, grazie a precise rotazioni o riflessioni della prima figura, crearne un' altra perfettamente identica, anche essa di pari costante magica 33.Cosa ha a che fare Benjamin Franklin con i quadrati magici? Genio poliedrico, Franklin, fu uno dei Padri fondatori degli Stati Uniti, ma non solo, svolse attivit di giornalista, pubblicista, autore, diplomatico, attivista, inventore e scienziato. Diede contributi importanti allo studio dell'elettricit e fu un appassionato di meteorologia e anatomia. Invent il parafulmine, le lenti bifocali, l'armonica a bicchieri e un modello di stufa-caminetto. Per la sua notoriet e multiforme attivit, gli viene attribuita l'invenzione di diversi altri dispositivi che in realt semplicemente utilizz, portandoli alla pubblica attenzione, o miglior, come l'odometro. Dopo questa presentazione "Wikipediana" del Franklin, anche scienziato, alla domanda iniziale si potrebbe rispondere: "Perch nei quadrati magici c' Matematica!E Franklin si divertiva con la Matematica!". Da giovane segretario della Pennsylvania si annoiava durante i dibattiti e spesso venne colto mentre costruiva quelli che chiamava i suoi quadrati magici. In una lettera pubblicata nel 1769, commentando un libro sui quadrati magici, scrisse: "Quando ero pi giovane mi sono divertito ad inventare questo tipo di quadrati magici e, alla lunga, avevo acquisito una tale abilit, da poter riempire con una serie di numeri le celle di qualsiasi quadrato di grandezza ragionevole, con la stessa velocit con cui riuscivo a scriverli..." Gi questa "tosta" come affermazione ma, non contento, aggiungeva: "... Non bastandomi questi, che mi parevano facili e banali, mi ero dato compiti pi difficili ed ero riuscito a realizzare altri quadrati magici, con una variet di propriet che li rendevano molto pi curiosi". E, a quel punto, direi io, preparato il suo pubblico, spiattellava sul tavolo il suo quadrato magico pi famoso (figura 19). Effettivamente questo suo quadrato 8x8 , non solo pieno di propriet curiose e "magiche", ma testimonia, secondo Franklin (vedremo che non proprio cos), uno dei suoi miglioramenti alla teoria ed alle regole sui quadrati magici: la diagonale spezzata. In pratica, la costante magica 260 del quadrato di ordine 8, anche la somma dei numeri presi iniziando una diagonale, arrivando al centro e poi tornando indietro lungo l'altra diagonale (quadrati grigi figura 19). Il quadrato di Franklin un quadrato magico imperfetto di ordine 8 (8x8)con costante magica M(n) uguale a 260. E' imperfetto in quanto la somma delle due diagonali 228 per la prima e 292 per la seconda. Franklin ha sacrificato le diagonali intere in favore delle mezze diagonali, ci nonostante, il suo quadrato ha tali e tante di quelle propriet che in molti, anche matematici famosi hanno cercato di scoprirle tutte, soprattutto si sono sfidati nel cercare di capire se Franklin avesse adottato un algoritmo logico per la costruzione il suo quadrato. Un metodo, non semplicissimo (che quindi evito volentieri) di descrivere, per coloro che fossero interessati, pu essere quello ben presentato su questo sito.

Ecco alcuni esempi delle numerose propriet di questo quadrato magico:

SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_1.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_2.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_3.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_4.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_5.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_6.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_7.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_8.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_9.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_10.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_11.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_12.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_13.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_14.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_15.jpg-REPLACE_ME SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/ProprietaQuadratoMagicoFranklin/Quadrato_magico_Franklin_proprieta_16.jpg-REPLACE_ME Si rimane davvero affascinati nel cogliere propriet e schemi di questo quadrato e Franklin probabilmente approfittava di questa "magia" per ammaliare i suoi interlocutori ed esaltare le sue doti di "mate-mago", sicuramente notevoli, ma, magari..., i tempi dichiarati... Da buon politico sapeva che qualche "piccola bugia" pu aiutare. Si dice che Franklin avesse inventato un altro quadrato intorno ai quarant'anni. In una sola sera compose un incredibile quadrato 16 x 16 che, a suo dire, era "il pi magicamente magico di tutti i quadrati magici mai realizzati da un mago". Ai quadrati di Franklin non vengono attribuiti messaggi esoterici particolari o simbolismi culturali o religiosi di vario genere. Forse per la prima volta queste griglie numeriche assumono il loro corretto valore; si tende ad esaltare le capacit di chi, in qualche modo, riesce a completarli o ad inventarne di nuovi. E' l'abilit logico-matematica che stupisce ed interroga molti e, come nel caso del quadrato "magicamente magico" 16x16, molti, allora (ma credo anche oggi), passarono notti insonni a cercar di comprendere come fosse possibile costruire e creare una tale "perfezione". Divenne un vero e proprio "rompicapo" da risolvere, anche grazie alle sue pubblicazioni su giornali importanti dell'epoca, che gli diedero notoriet e spianarono la strada verso quella che in qualche modo, pi tardi, verr definita "Matematica ricreativa".E' un quadrato magico imperfetto di ordine 16 (16x16)con costante magica M(n) uguale a 2056.E' imperfetto in quanto la somma delle due diagonali 1928 per la prima e 2184 per la seconda. Anche qui Franklin ha sacrificato le diagonali intere in favore delle mezze diagonali, ma questa volta non mi lascio tentare: niente calcoli e "scervellamenti" alla ricerca di qualche schema da evidenziare e immagini di strutture da proporre... "Non esagerato dire che si potrebbe passare la vita a contemplarne la meravigliosa struttura", ebbe a scrivere Clifford A. Pickover. Io colgo il suggerimento, e, avendo anche altro..., passo volentieri la mano.BibliografiaAlex Bellos, "Il meraviglioso mondo dei numeri", Edizioni EINAUDI

Martin Gardner, "Enigmi e giochi matematici", Edizioni BUR

L. Berzolari, "Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi", vol. 3, parte 2.

M. Cipolla, "Matematica ricreativa", cap. LVII, punto IV, Edizioni HOEPLI, Milano 1971.

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Non finisce qui... Avevo iniziato a scrivere sull'argomento quadrati magici senza avere un'idea ben chiara di dove volessi arrivare; mi piacevano, ci avevo giocato spesso da ragazzino e, a volte, anche oggi, ma durante gli approfondimenti e la stesura l'argomento si fatto sempre pi interessante e soprattutto si sono aggiunti aspetti e punti di vista sempre pi numerosi, curiosit da chiarire ed altro. A questo punto, visto che la pagina si sta sempre pi "gonfiando", ma che di aspetti da trattare ce ne sono ancora molti, decido di fermarmi qui. Ho bisogno di riordinare le idee e magari anche i contenuti, collocandoli in una posizione pi opportuna o migliorandone l'usabilit. Ho intenzione di continuare questo "percorso" attraverso le griglie numeriche e, appena pronti nuovi contenuti, provveder ad aggiornare questa pagina. Chi volesse essere informato sugli aggiornamenti, basta che me lo faccia sapere, ed io provveder a tenerlo informato.

Riguardo alle innumerevoli fonti che dovrei citare, provveder cercando di selezionare, possibilmente, quelle originali, cosa alquanto complicata visto che molti contenuti sul web sono veri e propri copia/incolla che si ripetono e quindi risulta quasi impossibile risalire alle fonti originali. A tal proposito rimango disponibilissimo ad inserire i dovuti Link qualora ne venga fatta richiesta da chi di quei contenuti il reale "proprietario intellettuale". Non ci dovrebbero essere contenuti duplicati se non alcune frasi o citazioni che meritavano di essere proposte senza "interferenze" da parte mia. Ho cercato di studiare l'argomento, comprenderlo, rielaboralo e presentarlo in modo molto personale (a volte forse anche troppo). Quale sia stato il risultato, lo lascio decidere a voi...

SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/carnevale_matematica38.gif-REPLACE_ME Carnevale della Matematica SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/costante_magica_quadrati_magici.jpg-REPLACE_ME Quadrato magico con costante magica 15 SPECIAL_IMAGE-http://marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/Lo_shu_quadrato_magico.jpg-REPLACE_ME Lo Shu, il primo quadrato magico SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/Lo_shu_quadrato_magico_numeri_cinesi_1.jpg-REPLACE_ME Il quadrato magico Lo Shu con numeri cinesi costante magica righe SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/Lo_shu_quadrato_magico_numeri_cinesi_2.jpg-REPLACE_ME Il quadrato magico Lo Shu con numeri cinesi costante magica righe colonne diagonali SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it/Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/Lo_shu_quadrato_magico_numeri_indo_arabi.jpg-REPLACE_ME Il quadrato magico Lo Shu con numeri indo-arabi costante magica righe colonne diagonali SPECIAL_IMAGE-http://www.marcosroom.it//Didatticando/Tra_I_Numeri/QuadratiMagiciStoriaTrucchiGiochi/Ordine_quadrati_magici.png-REPLACE_ME Ordine dei quadrati magici marcosroom.it