Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấpNHÓM- VÀNH -TRƯỜNG

1. NHÓM- NHÓM CON VD 1 : Trên tập các số hữu tỉ, xét phép toán như sau :

a) Tính

b) Chứng minh rằng là một nhóm aben.

c) Hỏi có phải làm một nhóm không ? Tại sao ? Giải

a) 1+2-3.1.2=-3; = ; =

b) Đặt X= , ta chứng minh (X,*) là nhóm aben.

+ , ta có : phép toán * có tính chất giao hoán. (1)+

=a+b+c-3bc-3ab-3ac+9abc=phép toán * có tính chất kết hợp.(2)

+

Như vậy đó e=0 là phần tử trung hòa của phép toán * (3)+Mọi phần tử đều khả đối xứng

ta có : ( vì a .

Như vậy, phần tử đối xứng của a là (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra ( đpcm)

c) không phải là một nhóm vì phần tử không có phần tử đối xứng.

Thật vậy, ,

VD2 : Trên tập xác định phép toán như sau : . CMR : là một nhóm aben.

Giải+ Tính chất giao hoán : + Tính chất kết hợp :

=x+y+z+2

=

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 1

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp+ Phần tử trung hòa : . Như vậy,

+ Mọi phần tử khả đối xứng :

và . Như vậy , phần tử đối x là –x-2

Vậy, là một nhóm aben. VD3: Chứng minh rằng tập với phép cộng thông thường là 1 nhóm.

GiảiĐể chứng minh X là một nhóm, ta chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng các số thực Thật vậy, Ta có : + vì 0=+

trong đó a,b,c,d Do đó: x-y = . Vậy (X,+) là một nhóm.VD4 : Gọi X là tập hợp các số thực có dạng trong đó a,b

a) CMR tập X cùng với phép toán nhân thông thường là một nhóm.b) Nếu thay bởi thì (X,*) có phải là 1 nhóm không ?

Giảia) Để chứng minh (X,*) là 1 nhóm, ta c/m X là nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0 (Ta có : + + với a,b,c,d , Do đó : x.y=

Và

Vậy(X,*) là một nhóm.b) Nếu thay bởi , ta có :

khi đó với Ta có : . Tức là phần tử

không khả nghịch.Vậy ( X,*) không phải là 1 nhóm.

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 2

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấpVD5  : Trên tập xác định phép toán * như sau : (a,b)*(c,d)=(ad+c,bd), a) Chứng minh rằng : (X,*) là một nhómb) Hỏi X có phải là một nhóm aben không ? Tại sao ?c) CMR : Tập với phép toán * là một nhóm con của nhóm X.

Giảia) + Phép toán * có tính chất kết hợp :

, Ta có : ((a,b)*(c,d))*(e,f))=Và : (a,b)*((c,d)*(e,f))=(a,b)*(cf+e,df)=(adf+cf+e,bdf)=((a,b)*(b,c))*(e,f)+ Tồn tại phần từ trung hòa e=(e1,e2)

ta có : (a,b)*(e1,e2)=(a,b)

Như vậy, ta có : =.

Do đó là phần tử trung hòa.+ Mọi phần tử đều khả đối xứng :

ta có :

Và . Vậy

Như vậy, phần từ đối xứng của (a,b) là

Kết luận : (X,*) là một nhóm. b) , ta có : + và Chọn (c,d)=(0,2) (a,b)=(1,1) . Khi đó : và (c,d)*(a,b)=(0.1+1,2.1)=(1,2)Vậy (a,b)*(c,d) . Nên phép toan * không có tính chất giao hoán. Do đó (X,*) không phải là nhóm aben. c) + vì (0,1)

ta có và .

Vậy A là nhóm con của X.

VD6 : Tập A= với phép nhân thông thường có phải là 1 nhóm không ? Tại

sao ?

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 3

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấpGiải ( P)

Lưu ý : bài có thể giải 2 cách : 1. Dựa vào ĐN, 2. Dựa vào tiêu chuẩn nhận biết nhóm con( có 2 cách cm)Cách 2   : Dựa vào KN nhóm con ( Có 2 cách)Để xem (A,.) có phải là 1 nhóm không, Ta xét xem (A,.) có phải nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0 không ?

+ Ta có : , vì

+ Ta có : và

.

Vậy, (A,.) là nhóm con của nhóm ( nên (A,.) là một nhóm.Hoặc có thể giải là :

Để xem (A,.) có phải là 1 nhóm không, Ta xét xem (A,.) có phải nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0 không ?

+ Ta có : , vì

+ Ta có : và

.

Vậy, (A,.) là nhóm con của nhóm ( nên (A,.) là một nhóm.

VD7: Trên tập các lớp đồng dư modulo 5, cho phép cộng a) Hãy lập bảng cộng b) Phép cộng trên có những tính chất nào ? ( ,+) có phải là nhóm không ?

Giảia) = Bảng cộng :

+

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 4

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấpb) Phép cộng có t/c giao hoán

Phép cộng có t/c kết hợp :

Phép cộng có phần tử trung hòa e=0. Vì Mọi phần tử đều khả đối xứng : Phần tử đối xứng của : , là , là , là , là .Vậy ( ,+) là một nhóm. VD8 : (P) Lập bảng cộng và bảng nhân của và tìm các phần tử khả nghịch của Bảng cộng :

+

Bảng nhân :

Phần tử khả nghịch là : và ( dựa vào bảng nhân)VD9: Trên ,tập các lớp đồng dư modulo 7 cho phép nhân

a) Lập bảng nhânb) Gọi A là tập các phần tử khả nghịch của . CMR : (A,.) là một nhóm.

Giải ( P) a) = Bảng nhân

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 5

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp

Tập hợp các phần tử khả nghịch của là A= . Ta chứng minh (A,.) là một nhóm.Phép nhân có tính chất kết hợp: Phép nhân có phần tử trung hòa là e= . Vì Mọi phần tử của A đều khả đối xứng: + Phần tử đối xứng của là + Phần tử đối xứng của là + Phần tử đối xứng của là + Phần tử đối xứng của là + Phần tử đối xứng của là + Phần tử đối xứng của là Vậy (A,.) là một nhóm.

Bài tập:Bài 1   : Trên tập các số hữu tỉ, xét phép toán như sau :

a) Chứng minh rằng là một nhóm aben.b)Hỏi có phải làm một nhóm không ? Tại sao ?

Giải ( P)a) Đặt X= , ta chứng minh (X,*) là nhóm aben. + , ta có : phép toán * có tính chất giao hoán. (1)+

=a+b+c+bc+ab+ac+abc=

phép toán * có tính chất kết hợp.(2)+ Như vậy đó e=0 là phần tử trung hòa của phép toán * (3)+Mọi phần tử đều khả đối xứng :

ta có : ( vì a .

a* và

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 6

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp

Như vậy, phần tử đối xứng của a là (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra ( đpcm)b) không phải là một nhóm vì phần tử không có phần tử đối xứng. Thật vậy, ,

Bài 2: Trên tập các số hữu tỉ, xét phép toán như sau :

a)Chứng minh rằng là một nhóm aben.

b) Hỏi có phải làm một nhóm không ? Tại sao ? Giải (P)

a) Đặt X= , ta chứng minh (X,*) là nhóm aben.

+ , ta có : phép toán * có tính chất giao hoán. (1)+

=a+b+c+5bc+5ab+5ac+25abc= phép toán * có tính chất kết hợp.(2)

+

Như vậy đó e=0 là phần tử trung hòa của phép toán * (3)+Mọi phần tử đều khả đối xứng :

ta có : ( vì a .

a* và

Như vậy, phần tử đối xứng của a là (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra ( đpcm)

b) không phải là một nhóm vì phần tử không có phần tử đối xứng.

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 7

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp

Thật vậy, ,

Bài 3 : Trên tập các số nguyên xác định phép toán như sau :

a) Tính b) CMR : là một nhóm aben

Giải: ( P)a) 1+0+10=11; -10+0+10=0; =1+1+10=12

b) + Tính chất giao hoán : + Tính chất kết hợp :

=a+b+c+20

=+ Phần tử trung hòa : . Như vậy,

+ Mọi phần tử khả đối xứng :

và . Như vậy , phần tử đối của a là –a-20

Vậy, là một nhóm aben. Bài 4 : Trên tập các số hữu tỉ, xét phép toán như sau : .

Chứng minh

Giải

Đặt X= , ta chứng minh (X,*) là nhóm aben.

+ , ta có : phép toán * có tính chất giao hoán. (1)+

Và =a+b+c-2bc-2ab-2ac+4abc= phép toán * có tính chất kết hợp.(2)

+

Như vậy đó e=0 là phần tử trung hòa của phép toán * (3)+Mọi phần tử đều khả đối xứng

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 8

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp

ta có : ( vì a .

Như vậy, phần tử đối xứng của a là (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra ( đpcm)

Bài 5 : Tập A= với phép nhân thông thường có phải là 1 nhóm không ? Tại

sao ? Giải

Cách 2   : Dựa vào tiêu chuẩn nhận biết nhóm con Để xem (A,.) có phải là 1 nhóm không, Ta xét xem (A,.) có phải nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0 không ?

+ Ta có : , vì

+ Ta có : và

.

Vậy, (A,.) là nhóm con của nhóm ( nên (A,.) là một nhóm. ( Ngoài ra phép nhân thông thường trên A có tc giao hoán nên (A,.) là nhóm aben.)Bài 6 : Chứng minh rằng tập với phép cộng thông thường là 1 nhóm. Phép nhân thông thường trên X có những tc nào ?

GiảiĐể chứng minh X là một nhóm, ta chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng

các số thực Thật vậy, Ta có : + vì 0=+ +c

trong đó Do đó: x-y = ( )= . Vậy (X,+) là nhóm con của nhóm cộng các số thực R, nên (X,+) là một nhóm. Phép nhân thông thường trên X có những tc : kết hợp và giao hoán.Vì ta có x,y,z là các số thực nên (xy)z=x(yz) và xy=yxBài 7 : Cho . Phép tóan * xác định như sau :

Chứng minh (F,*) là nhóm. Nhóm đó có giao hoán không ? Giải

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 9

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp+ , ta có : [(a,b)*(c,d)]*(e,f)=(ac,ad+b)*(e,f)=(ace,acf+(ad+b)=(ace,acf+ad+b) (1)(a,b)*[(c,d)*(e,f)]=(a,b)*(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)=(1) Phép toan * trên F có tc kết hợp. +Phần tử trung hòa : Đặt e=(e1+e2) , ta có : (a,b)* (e1,e2)=(a,b)

(ae1,ae2+b)=(a,b) Do a

Như vậy, , ta có (a,b)*(1,0)=(a1,a0+b)=(a,b)=(1,0)*(a,b) là phần tử trung hòa của phép toán * trên F.+ Phần tử đối xứng : ta có :

(vì

)

Như vậy, , phần tử đối xứng của (a,b) là

KL : (F,*) là một nhóm., tao có : (a,b)*(c,d)=(ac,ad+b) (c,d)*(a,b)=(ca,cb+d) phép

toán * trên F không có tính chất giao hoán nên nhóm này không giao hoán ( không phải là nhóm aben)Bài 8 : Cho và phép toán trên G xác định bởi (*) :

  . CMR là một

nhóm.Giải

, ta có :

+ =

)= (1)

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 10

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp

+

)= =(1) có

tính chất kết hợp. giả sử , sao cho

Như vậy, ta có

nên (1,0) là phần tử trung

hòa. giả sử sao cho

Như vậy, ta có

. Do đó là phần

tử đối xứng của (x,y) là =

Suy ra : là một nhóm.Bài 9 : Trên xác định như sau : xác định các tính chất và phần tử đặc biệt của phép toán.

Giải+ Tính chất giao hoán : ta có :

+ Tính chất kết hợp : (1)

Và : a+b+c+2bc+2ab+2ac+4abc=(1) có tc kết hợp.

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 11

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp+ Phần tử trung hòa : giả sử

. Như vậy, . Vây e=0 là phần tử trung hòa.+ phần tử đối xứng : giả sử sao cho

. Do đó không có phần tử đối

xứng. Bài 10 : Trên xác định phép toán . CMR là một nhóm aben.

Giải+ Tính chất giao hoán : + Tính chất kết hợp :

=a+b+c-10

=+ Phần tử trung hòa : . Như vậy,

+ Mọi phần tử khả đối xứng :

và . Như vậy , phần tử đối của a là –a+10

Vậy, là một nhóm aben. Bài 11   : phép toán xác định bởi : , . CMR là một nhóm aben.

Giải+ Tính chất giao hoán : + Tính chất kết hợp :

=a+b+c-ab-ac- bc+abc

=

+ Phần tử trung hòa : vì . Như vậy,

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 12

Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp+ Mọi phần tử khả đối xứng :

(

.Như vậy , phần tử đối của a là

Vậy, là một nhóm aben.

Bài 12   : phép toán xác định bởi : , .

CMR là một nhóm aben. Giải

+ Tính chất giao hoán : + Tính chất kết hợp :

=a+b+c-4ab-4ac-4bc+4abc

=

+ Phần tử trung hòa : vì

. Như vậy,

+ Mọi phần tử khả đối xứng :

(

.Như vậy , phần tử đối

của a là

Vậy, là một nhóm aben.

Người soạn : Trương Thành Phú-K8 13