Quan_ARMA1 時間序列是指按時間有順序排列的一串資料，如每月物價，每年產值，等影響時間序列變化有四個成因： 1.Trend ：長期向上或向下的移動趨勢

Quan_ARMA 1

• 時間序列是指按時間有順序排列的一串資料，如每月物價，每年產值，等

• 影響時間序列變化有四個成因：1. Trend ：長期向上或向下的移動趨勢2. Seasonal variation ：以年為基礎的變動原型3. Cycle ：在 2 到 10年中向上或向下的改變4. Irregular flutuation ：無固定規律性的不規則

震盪

第六章時間序列模式

Quan_ARMA 2

• ARMA model 又稱為 Box-Jankin model ， 1970 年代推出

• 用來配適時間序列中的不規則震盪• 適用於 Stationary series ，可解釋序列中的自相關現象。• Stationary series (平穩序列 )

定義：一時間序列的統計特性與時間 t 無關，皆是固定值，稱為平穩序列

E(Yt) =μ ， var(Yt) =σ2， cor(Yt ,Yt+k) =ρk for all t

ARMA 模式

僅與時差 k 有關

Quan_ARMA 3

Stationary series

Nonstationary series

6.1 平穩序列 Stationary series

Quan_ARMA 4

t y 1stDiff

1 15

214.406

4

-0.593

6

314.938

30.531

9

416.037

41.099

1

5 15.632

-0.405

4

614.397

5

-1.234

5

713.895

9

-0.501

6

814.076

50.180

6

9 16.3752.298

5

1016.534

20.159

2

First Differences Zt = Yt – Yt-1

此為一 nonstationary 序列

Y(t)

-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80 100 120

如果手中的時序資料不是 stationary, 必須將它轉為 stationary如何轉換？利用差分轉換

Quan_ARMA 5

例 6.1

• 一 hotel 每週住房人數資料，共 120 筆

Quan_ARMA 6

例 6.1 nonstationary series

First difference

Second difference

Quan_ARMA 7

1. 圖形觀察：原資料圖、差方資料圖2. 觀察自相關係數函數圖 (ACF 圖 )

3. 檢定法：

如何檢測 stationarity ( 平穩性 ) ?

Dickey-Fuller test

Phillips-Perron test

Random-walk with drift test

Quan_ARMA 8

1. Backward 運算： B(Yt) = Yt-1, B2(Yt) = Yt-2

2. First difference 一階差分 :

3. Second differences 二階差分 :

1 ttt YYY

差分運算

2112 2)( tttttt YYYYYY

ttt YBBYBY )21()1( 222

tttt YBYYY )1( .4 1

5. Difference with lag k ： tk

ktt YBYY )1(

Quan_ARMA 9

差分功能

一階差分消去直線 trend

二階差方消去二次 trend

4 ttt YYY

12 ttt YYY

消除季節因素

四季節差分

月季節差分

Quan_ARMA 10

6.2 自相關係數函數 (ACF)

• autocorrelation at lag k : cor(Yt ,Yt+k) =ρk • k 階自相關係數：

n

t

kn

tktt

k

YY

YYYYr

1

2

1

)(

))((

• ACF : autocorrelation function, 由 rk , k= 0,1,2,….. 組成的函數

• Standard error of rk :

2,3,....k if )(

21

1k if

2/1

2/1

1

2

)(1

2/1

n

rsk

jj

n

rk

Quan_ARMA 11

In general, 1. If the ACF either cuts off fairly quickly or dies

down fairly quickly, then the time series shoud be considered stationary.

2. If the ACF dies down extremely slowly, then

the time series should be considered

nonstationary.

3. 檢定 ρj = 0, for all j

以 ACF 判斷平穩性

Quan_ARMA 12

Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error

0 19.162294 1.00000 | |********************| 0

1 18.445606 0.96260 | . |******************* | 0.091287

2 17.388503 0.90743 | . |****************** | 0.154197

3 16.349929 0.85323 | . |***************** | 0.193651

4 15.343692 0.80072 | . |**************** | 0.222787

5 14.232902 0.74276 | . |*************** | 0.245601

6 13.116331 0.68449 | . |************** | 0.263656

7 12.028851 0.62774 | . |************* | 0.278071

8 11.088860 0.57868 | . |************ | 0.289639

9 10.185709 0.53155 | . |***********. | 0.299119

10 9.493686 0.49544 | . |********** . | 0.306890

11 8.977998 0.46852 | . |********* . | 0.313484

12 8.517382 0.44449 | . |********* . | 0.319266

13 7.970955 0.41597 | . |******** . | 0.324382

14 7.347767 0.38345 | . |******** . | 0.328797

15 6.760440 0.35280 | . |******* . | 0.332503

16 6.188561 0.32296 | . |****** . | 0.335608

17 5.566404 0.29049 | . |****** . | 0.338187

18 4.803283 0.25066 | . |***** . | 0.340260

19 3.882712 0.20262 | . |**** . | 0.341796

20 2.961125 0.15453 | . |*** . | 0.342795

21 2.144619 0.11192 | . |** . | 0.343375

22 1.389010 0.07249 | . |* . | 0.343679

"." marks two standard errors

ACF for Exp6.1

Quan_ARMA 13

Autocorrelation Check for White Noise

To Lag

Chi-Square

DF Pr > ChiSq

Autocorrelations

6 518.57 6 <.0001 0.963 0.907 0.853 0.801 0.743 0.684

12 739.59 12 <.0001 0.628 0.579 0.532 0.495 0.469 0.444

18 836.62 18 <.0001 0.416 0.383 0.353 0.323 0.290 0.251

24 848.87 24 <.0001 0.203 0.155 0.112 0.072 0.033 0.002

Test H0 : ρj = 0, j=1,2, … k

註： White noise (純雜訊 ) 是一獨立常態分佈的序列 εt ~ NID(0, σ2) , then εt is a white noise ρj = 0, for all j

檢定 1~6 階自相關係數皆為 0 自相關係數

Quan_ARMA 14


0 1.208715 1.00000 | |********************| 0

1 0.370658 0.30665 | . |****** | 0.091670

2 -0.078249 -.06474 | . *| . | 0.099919

3 -0.086619 -.07166 | . *| . | 0.100271

4 0.126391 0.10457 | . |** . | 0.100700

5 0.101691 0.08413 | . |** . | 0.101609

6 0.027608 0.02284 | . | . | 0.102192

7 -0.160292 -.13261 | .***| . | 0.102235

8 -0.143891 -.11904 | . **| . | 0.103671

9 -0.210121 -.17384 | .***| . | 0.104813

10 -0.142910 -.11823 | . **| . | 0.107209

11 -0.062396 -.05162 | . *| . | 0.108299

12 0.025252 0.02089 | . | . | 0.108505

13 0.049984 0.04135 | . |* . | 0.108539

14 0.023417 0.01937 | . | . | 0.108672

15 -0.073248 -.06060 | . *| . | 0.108701

16 -0.0029263 -.00242 | . | . | 0.108984

17 0.154399 0.12774 | . |***. | 0.108985

18 0.259741 0.21489 | . |**** | 0.110236

19 0.067449 0.05580 | . |* . | 0.113701

20 -0.054839 -.04537 | . *| . | 0.113931

21 -0.084327 -.06977 | . *| . | 0.114083

ACF for Exp6.1一次差分後

Quan_ARMA 15

Autocorrelation Check for White Noise

To Lag Chi-Square DF Pr > ChiSq Autocorrelations

6 14.96 6 0.0206 0.307 -0.065 -0.072 0.105 0.084 0.023

12 25.27 12 0.0136 -0.133 -0.119 -0.174 -0.118 -0.052 0.021

18 34.95 18 0.0096 0.041 0.019 -0.061 -0.002 0.128 0.215

24 37.22 24 0.0416 0.056 -0.045 -0.070 -0.035 -0.052 -0.038

Test H0 : ρj = 0, j=1,2, … k

Quan_ARMA 16

• Sample partial autocorrelation at lag k is

2,3,...k if 1

1k if

1

1,1

1

1,1

1

k

jjk

k

jjkjkk

kk

rr

rrr

r

r

• PACF : partial autocorrelation function, 由 rkk , k= 0,1,2,….. 組成的函數

• Standard error of rkk : 2/1)(1

nrkks

•ACF 及 PACF 是辨識 Box-Jenkins 模式的重要工具

Quan_ARMA 17

6.3 ARMA model

•ARMA model 由二部份組成： AR 及 MA•AR ： autoregression 自迴歸，是依變數的自行迴歸，如

•MA ： moving average 移動平均，是誤差項的加權和，如

•二者都是將前段時間的資訊納入迴歸模式中，來對目前的觀察現象作解釋Let εt be white noise process, Zt be a stationary series.

white noise : 純雜訊 εt ~ NID( 0, σ2)

Quan_ARMA 18

AR(p), Autoregressive model with order p is defined as

tptptt ZZZ ...11

...11 qtqtttZ

MA(p), Movingaverage model with order q is defined as

ARMA(p,q), Autoregressive and movingaverage with order (p,q) is defined as

...... 1111 qtqttptptt ZZZ

註： δ 是一 constant ，並不一定是 μ

Quan_ARMA 19

註：1 、 AR(p) model 可以下列式表示 (assume δ=0) ：

(B) or Z ,)...1( tt1 tq

qt BBZ

ity)(stationar 0)(

(B) or Z (B)Zor )...1( 1tt1

滿足平穩性之根需在單位圓外，始

B

ZBB ttttp

p

)()(

t Zor, )()( BB

tt BZB

2 、 MA(q) model 可以下列式表示：

3 、 ARMA(p,q) model 可以下列式表示：

)(B

)(B

是 B 的 p 次多項式，

是 B 的 q 次多項式，

lity)(invertibi 0)( 滿足可逆性之根需在單位圓外，始 B

Quan_ARMA 20

MA(q) model

),0(~ )(... 2t11 NBZ tqtqttt

qkk

q

qq

q

qq

for ,0)...1(

.............)...1(

...

221

221

12111

Zt 之變異數及自相關係數：222

12 )...1( qZ

Movingaverage with order q:

由此得到參數估計量

註： For MA(q) model ， μ=δ

Quan_ARMA 21

Zt 偏自相關係數 (partial autocorrelation)：

.............

21

212

122

111

For MA model ， ACF cuts off after lag q, PACF dies down.

Quan_ARMA 22

MA(1) model

2for ,0)1(

:ACF

k

21

11

k

0 112

11

1|| ,)1( 1111 tttt BZ

}1/{}1{

:)1(2

12

11 kk

kk

PACF

由此得到估計量

theta 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 -0.1 -0.3 -0.5 -0.7 -0.9

Rho_1 -0.50 -0.47 -0.40 -0.28 -0.10 0.10 0.28 0.40 0.47 0.50

phi_11

-0.50 -0.47 -0.40 -0.28 -0.10 0.10 0.28 0.40 0.47 0.50

phi_22

0.33 0.28 0.19 0.08 0.01 0.01 0.08 0.19 0.28 0.33

phi_33

-0.24 -0.19 -0.09 -0.02 0.00 0.00 0.02 0.09 0.19 0.24

phi_44

0.19 0.13 0.05 0.01 0.00 0.00 0.01 0.05 0.13 0.19

Quan_ARMA 23

Quan_ARMA 24

, 2211 ttttZ MA(2) model

3for ,0)1(

)1(

:

k

22

21

22

22

21

2111

k

ACF

由此得到參數估計

量

Quan_ARMA 25

Quan_ARMA 26

AR(p) model

, ....., kkppkk 21for , ...11

Autoregressive with order p

tt

tptptt

B

ZZZ

)( Z Z(B) ,0

,...1

tt

11

此模式滿足平穩性的條件：係數使得方程式的根在單位圓外

2221

2 )...1( qZ

Variance for AR(p) model

Autocorrelation for AR(p) model

0)( B

Quan_ARMA 27

Partial Autocorrelation for AR(p) model

...

..........

, ...

, ...

112211

2132112

1231211

ppppp

pp

pp

稱為 Yule-Walker 等

式 , 由此得到估計量

1for ,0 .......

,

22

212

1

22

111

p kkk

For AR model ， ACF dies down, PACF cuts off after lag p.

Quan_ARMA 28

1||

B)Z-(1or , :)1(

1

t111

tttt ZZAR

Stationarity 之條件

ACF 呈指數下降，或波動下降； PACF 在 k=2 處切斷

2for 0 , :

, :

111

1k11

kPACF

ACF

kk

k

11̂ 估計量：

註： AR(1) 過程又稱為馬可夫過程 (Markov process)

........ ,0 ,8.0

,)8.0( ,8.0

2211

1

k

k

例： Zt = 6 - 0.8 Zt-1 + εt

Quan_ARMA 29

Quan_ARMA 30

之根在單位圓外 (B)

B-B-1 (B) , :)2( 2212211

tttt ZZZAR

Stationarity 之條件

Yule-Walker 等式 :2112

1211

2

21

2

1

1

22

1

1

3for ,0 , , 222111 k φkk

例： Zt = Zt-1 - 0.6Zt-2 + εt

...... ,35.0 ,025.0

0 ,66.0 ,625.0

32

22111

kk

Quan_ARMA 31

Quan_ARMA 32

Quan_ARMA 33

ARMA(p,q) model

,...... 1111 ptptqtqttt ZZZ

若 q<= p ，則 ACF 遞減 (damped exponentially or sine-wave) 若 q > p ，前面 q-p+1 個 p 和其它的 p 呈二段式遞減

Quan_ARMA 34

1|| 1,|| ,

:)1,1(

111111 tttt ZZ

ARMA

2k ,

,

11

2-1

))(1(1

1

112

1

1111

kk

ACF 與 PACF 皆漸漸消失型 (damped exponentially or sine-wave)

1

Quan_ARMA 35

Quan_ARMA 36

Model acf Pacf

MA(q) 時差 q 之後切斷指數或正弦函數式漸漸消失

AR(p) 指數或正弦函數式漸漸消失時差 p 之後切斷

ARMA(p,q) 指數或正弦函數式漸漸消失指數或正弦函數式漸漸消失

ARMA model 中 acf 與 pacf 的表象

以上列出的 acf 與 pacf 的特性將作為辨識適合的 ARMA模式的準則。

Quan_ARMA 37

6.4 ARMA 建模的步驟

1) Stationize: 檢測序列的平穩性，對不平穩的序列，差分轉換為平穩序列。

2) Tentative identification: 由資料的 acf, pacf 辨識適合的 ARMA模式 , 選出數個可能模式。

3) Estimation: 對遴選模式估計參數4) Diagnostic Checking: 由各種診斷法來檢視模式的適合性，挑選出一模式，視為用於預測的模式

5) Forecasting: 以最終模式預測未來值6) 應隨時做模式的更新。

Quan_ARMA 38

(1) 平穩化過程

• 如果手中的時序資料不是 stationary，以一次差分轉換，使成為一 stationary series，必要時用多次差分。

• 利用檢定確認它是一平穩序列

Quan_ARMA 39

(2) 初步辨識• 由樣本的 acf 及 pacf 的走勢及變化來辨識 ARMA 模式中

的 p ， q 值• 選出數個候選模式• 模式應力求簡單

Model acf Pacf

MA(q) 時差 q 之後切斷指數或正弦函數式漸漸消失

AR(p) 指數或正弦函數式漸漸消失時差 p 之後切斷

ARMA(p,q) 指數或正弦函數式漸漸消失指數或正弦函數式漸漸消失

Quan_ARMA 40

(3) 參數估計• 原則上用 least square estimate• 估計的係數必滿足平穩性及可逆性之條件• ARMA 係數的估計有時需以遞迴的數值法得

解，有可能遇到不收歛情況

Quan_ARMA 41

例：一平穩序列，依據下列現象分別以 AR(1), MA(1), 及 ARMA(1,1) 配適：

Autocorrelations

Lag Correlation 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 -

0 1.00000 | |********************| 0

1 -.43773 | |*********| . | 0.100000

2 0.05214 | . |* . | 0.117610

3 -.00119 | . | . | 0.117841

4 -.07136 | . *| . | 0.117841

5 -.00389 | . | . | 0.118273

6 -.09027 | . **| . | 0.118274

7 0.08643 | . |** . | 0.118961

8 -.04553 | . *| . | 0.119587

9 0.08755 | . |** . | 0.119760

10 -.13564 | . ***| . | 0.120399

11 0.18628 | . |****. | 0.121917

12 -.24375 | *****| . | 0.124731

ACF PACF

Partial Autocorrelations

Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 -0.43773 | *********| . |

2 -0.17253 | .***| . |

3 -0.06368 | . *| . |

4 -0.11413 | . **| . |

5 -0.11104 | . **| . |

6 -0.19625 | ****| . |

7 -0.07274 | . *| . |

8 -0.08091 | . **| . |

9 0.02756 | . |* . |

10 -0.14766 | .***| . |

11 0.07253 | . |* . |

12 -0.20707 | ****| .

Quan_ARMA 42

以 AR(1) 配適：

Conditional Least Squares Estimation

Parameter Estimate Standard Error

t Value ApproxPr > |t|

Lag

AR1,1 -0.44383 0.09084 -4.89 <.0001 1

Variance Estimate 1.185361

Std Error Estimate 1.088743

AIC 301.7874

SBC 304.3926

Number of Residuals

100

Model for variable ZtNo mean term in this model.

Autoregressive Factors

Factor 1: 1 + 0.44383 B**(1)

Quan_ARMA 43

以 MA(1) 配適：


Parameter

Estimate

Standard Error

t Value

ApproxPr > |t|

Lag

MA1,1 0.64635 0.07778 8.31 <.0001 1



AIC 295.3204

SBC 297.9256

Number of Residuals

100


Moving Average Factors

Factor 1: 1 - 0.64635 B**(1)

Quan_ARMA 44

以 ARMA(1,1) 配適：



Factor 1: 1 - 0.37117 B**(1)


Factor 1: 1 - 1 B**(1)


Parameter Estimate Standard Error t Value ApproxPr > |t|

Lag

MA1,1 1.00000 0.01565 63.89 <.0001 1

AR1,1 0.37117 0.09579 3.87 0.0002 1



AIC 287.1952

SBC 292.4055

Number of Residuals 100

Quan_ARMA 45

(3) 模式診斷• 一個適合的模式需滿足：殘差為 white

noise 、及係數顯著• 若殘差不為 white noise ，表示仍有自相關

現象存在於殘差內，所選的階數不夠• 若係數不顯著，表示自變數之間有相關性，

參數個數太多，所選的階數超過

Quan_ARMA 46

殘差為 white noise 之檢測： 1 、 autocorrelation check for residual (chi-square test)

H0 ： ρ1= ρ2= …=ρk=0 ( 在 SAS 中每六個檢定一次 )

p-value < 0.05 ，結論為其中至少有一個不為 0

2 、依據殘差的 ACF, PACF ，考慮要增加的項目

係數的檢測： 1 、顯著性 t-test

p-value < 0.05 ，結論為係數不為 0 ，考慮刪去 p-value > 0.05 的 2 、共線性狀況檢查係數的相關係數

Quan_ARMA 47

AIC, SBC 模式判定值

AICk = n ln(SSEk) – n ln(n) + 2k

SBCk = n ln(SSEk) – n ln(n) + ln(n) k

此處 SSE 為誤差平方值， k 為估計參數個數，判定值愈小，模式愈佳。

預測式的選取

當我們得到了數個適合的模式，比較 AIC 、 SBC 、標準誤、以及相關的適合現象，最後選一最理想的做為預測式。原則上，預測式愈簡單愈好。

Quan_ARMA 48

例題：一、以 AR(1) 配適：

Autocorrelation Check of Residuals

To Lag

Chi-Square

DF Pr > ChiSq

Autocorrelations

6 6.43 5 0.2663 -0.076 -0.163 -0.020 -0.105 -0.096 -0.088

12 10.35 11 0.4991 0.060 0.023 0.029 -0.062 0.062 -0.147

18 17.83 17 0.3997 0.093 -0.067 0.064 0.077 -0.141 0.135

24 24.79 23 0.3613 0.101 -0.105 -0.164 0.075 -0.015 0.017

另由殘差的 ACF PACF 顯示無自相關

二、以 MA(1) 配適：


To Lag

Chi-Square

DF Pr > ChiSq

Autocorrelations

6 8.15 5 0.1484 0.067 0.061 -0.051 -0.151 -0.141 -0.151

12 13.10 11 0.2870 0.003 -0.039 0.018 -0.107 0.043 -0.167

18 19.11 17 0.3225 0.093 -0.053 0.081 0.097 -0.074 0.129

24 24.51 23 0.3761 0.035 -0.078 -0.169 0.022 -0.073 0.004


Quan_ARMA 49

三、以 ARMA(1,1) 配適：


To Lag

Chi-Square

DF Pr > ChiSq

Autocorrelations

6 4.61 4 0.3297 -0.079 0.158 0.057 -0.037 -0.021 -0.088

12 12.81 10 0.2343 0.051 -0.044 0.042 -0.127 0.090 -0.203

18 21.03 16 0.1773 0.126 -0.099 0.062 0.090 -0.124 0.123

24 26.35 22 0.2371 0.006 -0.055 -0.158 0.059 -0.093 0.027

Correlations of ParameterEstimates

Parameter MA1,1 AR1,1

MA1,1 1.000 0.117

AR1,1 0.117 1.000

共線性現象微弱


Quan_ARMA 50

參數顯著性Is residual white noise?

Std Error

AIC, SBC

Model_1

AR(1) 顯著 Yes 1.089 302, 304

Model_2

MA(1) 顯著 Yes 1.054 295, 298

Model_3

ARMA(1,1)

顯著，但有一估計值為 1 ，不滿足可逆性

Yes 1.007 287, 292

在此三模式中， MA(1) 最適合資料，選定預測式為 Yt = εt – 0.646 εt-1 ， S = 1.054

三模式比較

Quan_ARMA 51

Step 1、平穩性檢測Step 2、遴選模式及診斷Step 3、預測

y

0

20

40

60

80

100

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161

原始資料序列

6.5 Case Study DVD weekly sale series

Quan_ARMA 52

Step 1.1 、平穩性檢測Autocorrelations


0 234.852 1.00000 | |********************| 0

1 228.692 0.97377 | . |******************* | 0.07

2 219.550 0.93485 | . |******************* | 0.13

3 211.028 0.89856 | . |****************** | 0.16

4 202.545 0.86244 | . |***************** | 0.19

5 193.677 0.82468 | . |**************** | 0.21

6 186.454 0.79392 | . |**************** | 0.23

7 182.484 0.77702 | . |**************** | 0.25

8 179.699 0.76516 | . |*************** | 0.26

9 176.953 0.75347 | . |*************** | 0.28

10 174.970 0.74502 | . |*************** | 0.29

Dickey-Fuller Unit Root Tests

Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F

Zero Mean 0 0.4544 0.7937 0.78 0.8800

Single Mean 0 -1.9634 0.7812 -0.84 0.8051 0.87 0.8489

Trend 0 -8.9177 0.5030 -2.18 0.4962 2.49 0.6796

原始資料非平穩序列

Quan_ARMA 53

Step 1.2 、差分一次，平穩性檢測

Autocorrelations

Lag

Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error

0 7.916369 1.00000 | |********************| 0

1 3.442783 0.43489 | . |********* | 0.079057

2 -0.065133 -.00823 | . | . | 0.092813

3 0.015437 0.00195 | . | . | 0.092817

4 -0.136313 -.01722 | . | . | 0.092817

5 -1.889516 -.23868 | *****| . | 0.092837

6 -2.656235 -.33554 | *******| . | 0.096597

7 -0.890803 -.11253 | . **| . | 0.103625

8 -0.523478 -.06613 | . *| . | 0.104386

Dickey-Fuller Unit Root Tests

Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F

Zero Mean 0 -88.5965 <.0001 -7.76 <.0001

Single Mean 0 -89.1810 0.0012 -7.78 <.0001 30.26 0.0010

Trend 0 -89.2742 0.0005 -7.76 <.0001 30.13 0.0010

一次差分資料為平穩序列

Quan_ARMA 54

Step 2 、遴選模式及診斷 (設定平均數為 0) 觀察 ACF, PACF ； r1>0 r6>0 acf dies down r11>0 r22>0 pacf dies down

儲選模式一： AR(1) or ARMA(1,1)

Partial Autocorrelations

Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 0.43489 | . |********* |

2 -0.24339 | *****| . |

3 0.14715 | . |*** |

4 -0.11389 | .**| . |

5 -0.23959 | *****| . |

6 -0.14628 | ***| . |

7 0.08505 | . |**. |

8 -0.15793 | ***| . |

9 0.03565 | . |* . |

10 -0.05646 | . *| . |

11 0.01943 | . | . |

12 0.06090 | . |* . |

PACF

Quan_ARMA 55

Step 2.1 、模式 1 AR(1)

AR(1) 配適結果，殘差仍有自相關現象


To Lag

Chi-Square

DF

Pr > ChiSq

Autocorrelations

6 32.93 5 <.0001 0.104

-0.244

0.029

0.107

-0.165

-0.297

12 37.32 11

0.0001 0.058

0.007

-0.073

-0.028

0.069

0.105

18 40.89 17

0.0010 0.063

0.028

0.031

-0.113

-0.037

0.007

24 48.93 23

0.0013 0.040

-0.092

-0.054

0.144

0.028

-0.091

30 53.69 29

0.0035 0.100

0.116

-0.030

-0.017

-0.006

0.003


Factor 1: 1 - 0.44279 B**(1)


Parameter

Estimate

Standard Error

t Value

ApproxPr > |t|

Lag

AR1,1 0.44279

0.07159 6.19 <.0001

1

Quan_ARMA 56

Step 2.2 、模式 2 ARMA(1,1)

ARMA(1,1) 配適結果，殘差仍有自相關現象，在 k=6


Factor 1: 1 - 0.01541 B**(1)


Factor 1: 1 + 0.57105 B**(1)


To Lag

Chi-Square

DF

Pr > ChiSq

Autocorrelations

6 18.23 4 0.0011 0.000

-0.006

-0.009

0.045

-0.131

-0.299

12 22.07 10

0.0148 0.054

-0.075

-0.034

-0.032

0.072

0.080

18 27.56 16

0.0356 0.084

0.000

0.061

-0.132

0.002

-0.049

24 32.62 22

0.0675 0.039

-0.081

-0.043

0.112

0.031

-0.059

30 36.71 28

0.1253 0.092

0.093

-0.034

0.015

-0.049

0.015

Autocorrelation Plot of Residuals

Lag Covariance Correlation

-1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

Std Error

0 6.008539 1.00000 | |********************| 0

1 0.00067648 0.00011 | . | . | 0.079057

2 -0.038079 -.00634 | . | . | 0.079057

3 -0.056140 -.00934 | . | . | 0.079060

4 0.269243 0.04481 | . |* . | 0.079067

5 -0.785409 -.13072 | ***| . | 0.079226

6 -1.794893 -.29872 | ******| . | 0.080562

7 0.324296 0.05397 | . |* . | 0.087211

Quan_ARMA 57

Step 2.3 、模式 3 AR with B,B^6, MA with B

配適結果，殘差無自相關現象， AR1,1 係數不顯著


Factor 1:

1 + 0.02809 B**(1) + 0.32725 B**(6)


Factor 1: 1 + 0.569 B**(1)


To Lag Chi-Square

DF Pr > ChiSq

Autocorrelations

6 3.38 3 0.3367 0.015 -0.015 -0.025 0.036 -0.134 -0.001

12 7.10 9 0.6270 0.079 -0.085 -0.030 -0.075 0.038 -0.013

18 14.65 15 0.4772 0.134 -0.054 0.041 -0.128 0.028 -0.051

24 20.06 21 0.5176 0.108 -0.052 -0.037 0.083 0.021 -0.077

30 24.78 27 0.5869 0.084 0.087 -0.075 0.018 -0.059 -0.016

Correlations of Parameter Estimates

Parameter

MA1,1 AR1,1 AR1,2

MA1,1 1.000 0.752 -0.139

AR1,1 0.752 1.000 -0.010

AR1,2 -0.139 -0.010 1.000


Parameter

Estimate

Standard Error

t Value

ApproxPr > |t|

Lag

MA1,1 -0.56900

0.10222 -5.57 <.0001

1

AR1,1 -0.02809

0.11684 -0.24 0.8103

1

AR1,2 -0.32725

0.08051 -4.06 <.0001

6

Quan_ARMA 58

Step 2.4 、模式 4 AR with B^6, MA with B


Factor 1:

1 + 0.32052 B**(6)


Factor 1: 1 + 0.55465 B**(1)


Parameter

Estimate

Standard Error

t Value

ApproxPr > |t|

Lag

MA1,1 -0.55465

0.06761 -8.20 <.0001

1

AR1,1 -0.32052

0.08004 -4.00 <.0001

6


Parameter

MA1,1 AR1,1

MA1,1 1.000 -0.188

AR1,1 -0.188 1.000


To Lag

Chi-Square

DF Pr > ChiSq

Autocorrelations

6 3.10 4 0.5410 0.008

-0.019

-0.013

0.042 -0.127

0.000

12 6.83 10 0.7411 0.093

-0.078

-0.025

-0.066

0.044 -0.006

18 13.93 16 0.6039 0.135

-0.047

0.048 -0.119

0.035 -0.041

24 19.71 22 0.6010 0.116

-0.044

-0.030

0.094 0.028 -0.072

30 24.57 28 0.6510 0.090

0.093 -0.071

0.025 -0.050

-0.008

Quan_ARMA 59


Factor 1:

1 - 0.43226 B**(1)Moving Average Factors

Factor 1: 1 - 0.28716 B**(6)

Step 2.5 、模式 5 AR with B, MA with B^6


Parameter

Estimate

Standard Error

t Value

ApproxPr > |t|

Lag

MA1,1 0.28716 0.07961 3.61 0.0004 6

AR1,1 0.43226 0.07289 5.93 <.0001 1


Parameter MA1,1 AR1,1

MA1,1 1.000 -0.118

AR1,1 -0.118 1.000


To Lag Chi-Square

DF Pr > ChiSq

Autocorrelations

6 15.30 4 0.0041 0.107 -0.247 0.013 0.032 -0.135 -0.029

12 21.41 10 0.0184 0.110 -0.053 -0.073 -0.051 0.029 0.108

18 25.61 16 0.0598 0.117 -0.007 -0.004 -0.094 -0.031 0.005

24 32.99 22 0.0620 0.101 -0.058 -0.067 0.111 0.018 -0.094

30 38.56 28 0.0883 0.111 0.112 -0.053 -0.010 -0.017 -0.029

Quan_ARMA 60

Step 2.6 、模式 6 MA(2) with B & B^6


Factor 1: 1 + 0.61177 B**(1) - 0.32354 B**(6)


Parameter

MA1,1 MA1,2

MA1,1 1.000 0.682

MA1,2 0.682 1.000


Parameter

Estimate

Standard Error

t Value

ApproxPr > |t|

Lag

MA1,1 -0.61177

0.05499 -11.13 <.0001 1

MA1,2 0.32354 0.05476 5.91 <.0001 6Autocorrelation Check of Residuals

To Lag Chi-Square

DF Pr > ChiSq

Autocorrelations

6 2.24 4 0.6912 0.011 -0.004 -0.001 0.015 -0.107 -0.039

12 5.87 10 0.8263 -0.069 0.006 -0.058 -0.044 0.051 0.091

18 9.52 16 0.8905 0.067 0.034 0.004 -0.107 0.033 -0.045

24 14.69 22 0.8751 0.057 -0.026 -0.070 0.108 0.046 -0.070

30 20.07 28 0.8618 0.115 0.081 -0.053 0.033 -0.063 -0.011

Quan_ARMA 61

參數Is residual white noise?

Std Error AIC, SBC

Model_1

AR(1) 顯著 No 2.54 753.6, 756.7

Model_2

ARMA(1,1)

顯著 No 2.45 743.9, 753.2

Model_3

AR: B, B^6 MA: B

AR_B 不顯著 Yes 2.336 729.5, 741.8

Model_4

AR: B^6 MA: B

顯著 Yes 2.330 726.7, 732.8

Model_5

AR: BMA: B^6

顯著 yes 2.440 741.4, 747.6

Model_6

MA: B,B^6

顯著 yes 2.278 719.7, 725.9選擇 Model 6 為預測式

Step 2.7 、 Summary

Quan_ARMA 62

Step 3 預測式

ttttt

tt

ZZ

BBZB

611

6

324.0612.0

or ,)324.0612.01()1(

Sample mean = 59.3

Quan_ARMA 63

Forecasts for variable y

Obs Forecast

Std Error

95% Confidence Limits

162 83.1502 2.2797 78.6820 87.6184

163 84.6215 4.3242 76.1463 93.0967

164 84.1300 5.6745 73.0083 95.2517

165 82.7623 6.7602 69.5125 96.0121

166 81.8336 7.6943 66.7531 96.9141

167 81.0599 8.5266 64.3481 97.7718

168 81.0599 9.0182 63.3846 98.7353

169 81.0599 9.4843 62.4710 99.6489

170 81.0599 9.9286 61.6002 100.5197

171 81.0599 10.3539 60.7667 101.3532

預測 – 未來 10星期的預測區間

Quan_ARMA 64

Documents

Quan_ARMA1 時間序列是指按時間有順序排列的一串資 料，如每月物價，每年產值，等 影響時間序列變化有四個成因： 1.Trend ：長期向上或向下的移動趨勢

Quan_ARMA1 時間序列是指按時間有順序排列的一串資料，如每月物價，每年產值，等影響時間序列變化有四個成因： 1.Trend ：長期向上或向下的移動趨勢