Quantitative Portfolio Management handouts - 2012 May 7

Gestión de CarterasGestión de Carteras

Gerard Albà

Xavier Noguerola

FME UPC – Mayo 2012

Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

1. Carteras óptimas

1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en modelos de un período.

1.2 Carteras eficientes de Markowitz.

1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.

2

1.4 Cestas reducidas. Tracking error


• Rentabilidad

– Consideramos una acción S con precio inicial S0 y final STen los instantes de tiempo 0 y T respectivamente

– La rentabilidad relativa (simple o continua) de esta acciónserá:

1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.

3

ó

– La rentabilidad, más generalmente, incluye las gananciasde capital y dividendos en el periodo [0,T]:

0

0

S

SSr T −=

0

lnS

Sr T=

0

0

S

SSdr T −+=


• La distribución de las rentabilidades diarias observadas para una acción se asemeja a la distribución estadística Normal.

4


• Sin embargo, la distribución observada a menudo muestra una cierta asimetría o mayor frecuencia de valores extremos (fat tails) que los predichos por la Normal.

• Los parámetros usados para medir las desviaciones de


5

• Los parámetros usados para medir las desviaciones de la distribución observada respecto de la normal son el coeficiente de asimetría (skew) y la curtosis.


• Curtosis: es una medida de la existencia de fat tails en la distribución de rentabilidades

4

4)(

σrrE

K−=


6

– Si K>3, se tienen fat tails (Leptokurtosis, mayor probabilidad de que los retornos estén alejados de la media).

– K=3 para la distribución Normal.


• Coeficiente de asimetría (sesgo, Skew): es una medida de la asimetría de la distribución respecto al promedio

3

3)(

σrrE

skew−=


7

– Si el coeficiente es positivo (negativo), la asimetría implica más peso a valores mayores (menores) que la media.

– Skew = 0 para distribuciones simétricas.



8


• Si suponemos como modelo para la distribución de rentabilidades que es aproximadamente una Normal:

– La probabilidad que la rentabilidad esté en un intervalo de longitud 1 x desviación típica alrededor de la media es aproximadamente 0.68


9




• El parámetro que mide cuanto varían las rentabilidades respecto a su valor medio es la desviación típica (o volatilidad)

• Un valor pequeño de indica que la mayoría de casos se concentran cerca del valor medio. Un valor grande de

σ

σ


10

concentran cerca del valor medio. Un valor grande de indica que los datos están más dispersos.

• La volatilidad es una medida de Riesgo

σσ


• La volatilidad histórica de la rentabilidad r de unavariable de mercado S en el instante n se puede calculara partir de una muestra de m observaciones anterioresy el estimador estadístico no sesgado:

nσ

∑=

− −−

=m

iinn rr

m 1

22 )(1

1σ


11

– ri es la rentabilidad compuesta continua de la variable Sentre los instantes ti-1 y ti. Es decir, si Si es el valor de S enel instante ti

– es la rentabilidad media:

=− im 11

1

ln−

=i

ii S

Sr

r

∑=

−=m

iinrm

r1

1


• Supongamos que tenemos una cartera con N activos, sean:

– Si el precio actual del activo i

– ri la rentabilidad del activo Si en el periodo T. ri es una variable aleatoria, que supondremos con distribución de

T⋅µ


12

variable aleatoria, que supondremos con distribución de rentabilidades Normal de media y desviación típica . Las variables y corresponden a la media y volatilidad de la rentabilidad ri , que escalamos para el tiempo T.

– es la correlación entre las rentabilidades de los activos i y j.

– wi es la cantidad (peso) del activo i en la cartera

Ti ⋅µTi ⋅σ iµ iσ

ijρ


• Cálculo correlaciones a partir de rentabilidades observadas (correlación histórica):

Estimadores estadísticos:

ijρ

mtNir it ,...,1,...,1 ==


13

( )( )∑=

−−−

=m

t

jt

jt

it

itji rrrr

mrrCov

11

1),(

ji

jiij

rrCov

σσρ

⋅=

),(


• El valor de la cartera es Π

∑=

⋅=ΠN

iii Sw

1


14

• Al final del periodo T, el valor de la cartera es:

∑=

+⋅⋅=Π+ΠN

iiii rSw

1

)1(δ


• Considerando los pesos normalizados (suma=1):

∑=

⋅

⋅=

N

iii

iii

Sw

SwW

1


15

• El cambio relativo (en porcentaje) de la cartera es:

∑=

⋅=ΠΠ N

iii rW

1

δ


• El valor de la rentabilidad esperada de la cartera es:

∑=

Π ⋅=

ΠΠ=

N

iiiWE

T 1

1 µδµ


16

• Y la desviación típica (volatilidad) de la suma de v.a:

∑∑==

Π ⋅⋅=

ΠΠ⋅=

N

ijiijji

N

i

WWT 11

var1 σσρδσ


• Si aceptamos la hipótesis de normalidad de los retornos:

– Riesgo/Rentabilidad de un activo están caracterizados por Volatilidad y Rentabilidad Esperada.


17

– Una Cartera de activos también tiene v.a. rentabilidad con distribución Normal (modelo).


• Diversificación. Efecto de reducción de riesgo que se produce al combinar adecuadamente los valores de una cartera.

• Tradicionalmente, diversificar consistía en poseer valores en cada uno de los sectores existentes.

• Markowitz cambia este concepto en busca de reducir el riesgo


18

• Markowitz cambia este concepto en busca de reducir el riesgo sin sacrificar rentabilidad, escogiendo en su cartera valores con covarianza (correlación) pequeña entre ellos.

Un inversor puede reducir el riesgo eligiendo acciones cuyas oscilaciones no sean paralelas. La rentabilidad esperada y la volatilidad de cada valor no cambian con la diversificación, lo que varía es el riesgo de todos como unidad.


• El riesgo de una cartera se divide en (veremos formalización en el apartado correspondiente al modelo Sharpe/CAPM):

– Riesgo sistemático: inherente al mercado (no diversificable)


19

– Riesgo no sistemático o específico: propio del título (diversificable)

222em σβσσ +=


• Construyendo una cartera adecuadamente diversificada, el riesgo no sistemático (diversificable) es pequeño en comparación con el riesgo sistemático. Con lo que el riesgo total de la cartera está compuesto, básicamente, por el riesgo no diversificable.


20

• Una manera de reducir el riesgo diversificable es aumentando el número de títulos


• Efecto del aumento del número de títulos sobre el riesgo de la cartera. Consideremos una cartera formada por N activos equiponderados (Wi = 1/N),

- La varianza media de sus activos será:

- Covarianza media:

NVar

N

ii

M

∑== 1

2σ

2Cov jiij

M −=

∑<

σ


21

- Covarianza media:

- Por otro lado, la varianza de la cartera será:

- El riesgo de una cartera compuesta por “muchos activos” tiende a la covarianza media de éstos (ley de la covarianza media). Por otro lado, la covarianza media depende del número de activos N, de manera que su valor decrece cuando N crece

2)( 2 NN

CovM −=

MMji

ij

N

ii

CovN

N

N

Var

NN

)1(2

221

2

2 −+=+=∑∑

<=Π

σσσ

MN Cov → ∞→

Π2σ


1.2 Carteras eficientes de Markowitz

• ¿Qué cartera elegirías?

20%

25%

Re

nd

ibili

dad E

22

• Cartera eficiente, frontera eficiente.

0%

5%

10%

15%

0% 10% 20% 30% 40%

Riesgo

Re

nd

ibili

dad

A B

C D


• Comportamiento racional del inversor: desea rentabilidad y rechaza el riesgo

• Leit Motiv: máxima rentabilidad posible con el mínimo riesgo.


23

• Cartera óptima (eficiente): aquella que proporciona máxima rentabilidad para un nivel determinado de riesgo o mínimo riesgo para un nivel determinado de rentabilidad (Análisis de Media-Varianza)


• Una vez determinada la frontera eficiente,

¿cómo elegimos la cartera óptima para cada caso?

La aversión al riesgo del inversor nos fijará el punto de la frontera eficiente que debemos elegir.


24


• Formulación del problema de hallar la Frontera Eficiente(conjunto de carteras óptimas), programación cuadrática:

– Maximizar:

con las restricciones:

∑=

Π ⋅=N

iiiW

1

µµ


25


*

11

2 σσσρσ =⋅⋅= ∑∑==

Π ji

N

jijji

N

i

WW

∑=

=N

iiW

1

1

0≥iW


• Formulación del problema de hallar la Frontera Eficiente(conjunto de carteras óptimas), programación cuadrática:

– O Minimizar :


ji

N

jijji

N

i

WW σσρσ ∑∑==

Π ⋅⋅=11

2


26


*

1

µµµ =⋅=∑=

Π

N

iiiW

∑=

=N

iiW

1

1

0≥iW


• La restricción significa que la posición en cada uno de los activos es larga (los activos están comprados).

• La restricción significa que agotamos el presupuesto.

• µ* y σ* son parámetros que hacemos variar dentro de un

0≥iW

∑=

=N

iiW

1

1


27

• µ* y σ* son parámetros que hacemos variar dentro de un rango lógico de valores para obtener los puntos de la frontera eficiente.



Rentabilidades esperadas

Volatilidades y Optimización de Frontera eficiente

28

Volatilidades y Correlaciones estimadas

Restricciones sobre la composición de la cartera

Optimización de carteras

Frontera eficiente Media-Varianza

Cartera seleccionada


• El análisis de Markowitz también se puede formular mediante Lagrangianos (Ver: Handbook of Portfolio Construction, J B. Guerard).

• Si consideramos el ratio de Sharpe de la cartera:

• La cartera óptima se puede obtener resolviendo el sistema de ecuaciones:

29


• Ejemplo

Volatilidades diarias anualizadas

TEF 15.75% BBVA 15.82% ACX 20.08%

Matriz de correlaciones:


30

Matriz de correlaciones:

TEF BBVA ACX

TEF 1 0.75 0.52

BBVA 0.75 1 0.45

ACX 0.52 0.45 1


• Carteras media-varianza para el ejemplo BBVA-ACX

BBVA ACX rent volat

100% 0,00% 7,72% 15,82%

90% 10,00% 7,90% 15,26%

80% 20,00% 8,08% 14,92%


31

80% 20,00% 8,08% 14,92%

70% 30% 8,26% 14,82%

60% 40% 8,43% 14,97%

50% 50% 8,61% 15,35%

40% 60% 8,79% 15,96%

30% 70% 8,96% 16,76%

20% 80% 9,14% 17,73%

10% 90% 9,32% 18,84%

0% 100% 9,50% 20,08%


• Universo de carteras de inversión para el ejemplo BBVA-ACX

Markowitz BBVA-ACX

9,50%

10,00%


32

7,00%

7,50%

8,00%

8,50%

9,00%

9,50%

14,00% 15,00% 16,00% 17,00% 18,00% 19,00% 20,00% 21,00%


• Frontera eficiente de Markowitz BBVA-ACX

Frontera eficiente BBVA-ACX

10,00%


33

7,00%

7,50%

8,00%

8,50%

9,00%

9,50%

14,00% 15,00% 16,00% 17,00% 18,00% 19,00% 20,00% 21,00%


• Resultados obtenidos para el ejemplo TEF-BBVA-ACX

Markowitz TEF-BBVA-ACX

9.00%9.50%

10.00%


34

4.00%4.50%5.00%5.50%6.00%6.50%7.00%7.50%8.00%8.50%9.00%

14.00% 15.00% 16.00% 17.00% 18.00% 19.00% 20.00% 21.00%


• Comparación de resultados: añadir una acción más nos puede permitir reducir el riesgo pero no aumentar la rentabilidad ya que la cartera de 2 activos tiene la acción de máxima rentabilidad (ACX).

10.00%

TEF-BBVA-ACX BBVA-ACX


35

4.00%4.50%5.00%5.50%6.00%6.50%7.00%7.50%8.00%8.50%9.00%9.50%

10.00%

14.00% 15.00% 16.00% 17.00% 18.00% 19.00% 20.00% 21.00%


• Modelo de Markowitz para carteras de 2 activos:

Donde, como agotamos el presupuesto,

21122122

22

21

21

2

2211

2 σσρσσσµµµ

WWWW

WW

++=

+=

Π

Π

12 1 WW −=


36

Donde, como agotamos el presupuesto,

• Estudiemos el efecto de la correlación sobre la fronteraeficiente:

– Caso 1: Títulos independientes

– Caso 2: Títulos perfectamente correlacionados

– Caso 3: Títulos correlacionados de forma inversa

12 1 WW −=

012 =ρ112 =ρ

112 −=ρ


• Caso 1:

Buscamos el mínimo de esta función de variable w1 paraobtener la cartera de mínima varianza y obtenemos que los

012 =ρ

22

21

21

21

2 )1( σσσ WW −+=Π


37

obtener la cartera de mínima varianza y obtenemos que lospesos para la cartera de mínima varianza son:

Y para éstos, la rentabilidad esperada de la cartera es:

22

21

22

1 σσσ+

=W22

21

21

2 σσσ+

=W

22

21

212

221

σσσµσµµ

++=Π


• Caso 1:

Tenemos ya el primer punto de la frontera eficiente, el resto vendrá determinado por la parábola de ecuación:

012 =ρ


38

221

22

21

21

22

221

221

212

221

22

2122

)()(2

)( µµσµσµ

µµσµσµµ

µµσσµσ

−++

−+−

−+= ΠΠΠ


• Gráficamente, tomando las rentabilidades y volatilidades de BBVA-ACX:

9,50%

10,00%


39

7,50%

8,00%

8,50%

9,00%

9,50%

12,00% 14,00% 16,00% 18,00% 20,00%

Correlación Cero

Correlación real


• Caso 2:

Tenemos por lo tanto:

112 =ρ2

2211212122

21

21

21

2 )(2)1( σσσσσσσ WWWWWW +=+−+=Π

)1( σσσ WW −+=


40

Y esta vez la ecuación de la frontera eficiente será la recta:

2111 )1( σσσ WW −+=Π

−−+

−−= ΠΠ

12

2112

12

12

µµσµσµ

µµσσµσ



9,50%

10,00%


41

7,50%

8,00%

8,50%

9,00%

9,50%

12,00% 14,00% 16,00% 18,00% 20,00%

Correlación CeroCorrelación realCorrelación 1


• Caso 3:

Tenemos por lo tanto:

112 −=ρ2

2211212122

21

21

21

2 )(2)1( σσσσσσσ WWWWWW −=−−+=Π

( )1 σσσ ⋅−−= WW


42

Y esta vez la ecuación de la frontera eficiente serán 2 rectas:

−+−

−+±= ΠΠ

21

1221

21

21

µµσµσµ

µµσσµσ

( ) 2111 1 σσσ ⋅−−=Π WW


• Caso 3:

En este caso obtenemos una cartera de riesgo nulo cuando:

112 −=ρ

21

212111 )1(

σσσσσ+

=⇒−= WWW


43

que tiene una rentabilidad esperada de:

Notemos que, por tanto, podemos tener una cartera deriesgo nulo si partimos de dos activos perfectamente“descorrelacionados”.

21

1221

σσσµσµµ

++=Π



9,50%

10,00%


44

7,50%

8,00%

8,50%

9,00%

9,50%

0,00% 3,00% 6,00% 9,00% 12,00% 15,00% 18,00% 21,00%

Correlación CeroCorrelación realCorrelación 1Correlación -1



9,50%

10,00%


45

7,50%

8,00%

8,50%

9,00%

9,50%

0,00% 3,00% 6,00% 9,00% 12,00% 15,00% 18,00% 21,00%

Corr: 0Corr: realCorr: 1Corr: -1Corr: - real


• Triángulo de diversificación de Markowitz:

– Espacio delimitado por las fronteras eficientescorrespondientes a las correlaciones extremas ( )

– Los vértices de este triángulo son las carteras de máxima

1±


46

– Los vértices de este triángulo son las carteras de máximay mínima rentabilidad y la de riesgo nulo:

– En el gráfico del triángulo de Markowitz observamos quea medida que desciende la correlación, desciende elriesgo de la cartera.

++

21

12212211 ,0 ),( ),,(

σσσµσµµσµσ y



• El modelo de Tobin es una variante del modelo de Markowitz que introduce en el análisis un activo con volatilidad nula (activo libre de riesgo del mercado monetario).

• Este modelo presenta este activo como una tasa de

47

• Este modelo presenta este activo como una tasa de interés a la que podemos invertir o endeudarnos sin riesgo. Esto es, si denominamos W0 al peso del activo libre de riesgo, W0 <0 significará endeudamiento.


• Formulación del modelo de Tobin para N activos:

Minimizar

con las restricciones

ji

N

jijji

N

i

WW σσρσ ∑∑−

=

−

=Π ⋅⋅=

1

0

1

0

2


48

con las restricciones

*1

0

µµ =⋅∑−

=

N

iiiW

∑−

=

=1

0

1N

iiW

1-N1i ,0 K=∀≥iW


• Modelo de Tobin para 2 activos

Consideramos el activo libre de riesgo y un activo con riesgo.

Sean y sus parámetros.

Notemos que la covarianza entre estos activos es 0 (al ser 0

( )0,0 µ ( )11,µσ


49

Notemos que la covarianza entre estos activos es 0 (al ser 0 la volatilidad del activo libre de riesgo) y, por tanto, la función objetivo es:

21

21

2 σσ W=Π


• De esta forma, la frontera eficiente que obtenemos con un activo libre de riesgo y otro con riesgo degenera en la recta que une los puntos que los representan en el espacio de rentabilidad/varianza. Y tiene por ecuación:

0 σµµσ

−= Π


50

o, de manera equivalente:

101

0 σµµµµσ

−−= Π

Π

( )ΠΠ

−+= σσ

µµµµ1

010


• Tobin para 2 activos

8%

10%

12%

W0=0


51

0%

2%

4%

6%

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00%

Riesgo

Ren

t.

W0>0 W0<0


• En general, la frontera eficiente de Tobin para N activos será, del conjunto de rectas que unen el activo libre de riesgo a la frontera eficiente de Markowitz para los N-1 activos restantes, aquella cartera que es tangente a la frontera eficiente de Markowitz.

16%


52

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%

Riesgo

Renta

bili

dad


• Ecuación de la frontera eficiente de Tobin para N activos

– Extrapolando el resultado obtenido para 2 activos obtenemosque, si denominamos a la rentabilidad esperada de lacartera de Markowitz en el punto de tangencia y a suvolatilidad, la ecuación de la frontera eficiente de Tobin es larecta del plano de Riesgo/Rentabilidad que pasa por estos 2

TµTσ


53

recta del plano de Riesgo/Rentabilidad que pasa por estos 2puntos:

( )ΠΠ

−+= σσ

µµµµT

T 00


• Esta recta tangente se denomina Línea de Mercado de Capitales (Capital Market Line).

• El punto de tangencia corresponde a una cartera que no contiene el activo sin riesgo. Se denomina cartera de mercado.


54

• Todas las carteras óptimas se pueden escribir como combinaciones de estas dos carteras: la libre de riesgo y la de mercado. Una vez conocida la composición de la cartera de mercado, la composición de la cartera óptima será:

donde es la composición de la cartera de mercado.TiW

11 )1( , 00 −=∀− NiWWW Ti K


• Las carteras a la izquierda de la Cartera de Mercado soncarteras en las que invertimos parte del capital disponible enel activo sin riesgo y otra parte en la Cartera de Mercado ylas carteras a la derecha de la Cartera de Mercado sonaquellas en las que tomamos prestado dinero a la tasa delactivo sin riesgo para invertir más capital en la Cartera deMercado.


55

Mercado.

• La pendiente de la CML mide el rendimiento extra que exige el mercado por unidad de riesgo.

( )T

Tσ

µµ 0−


• Teorema de separación de Tobin

Todos los inversores que decidan invertir sólo en activos de riesgo invertirán en la Cartera de Mercado. Ahora bien, el inversor puede tomar la decisión de invertir en un activo libre de riesgo o una decisión de


56

un activo libre de riesgo o una decisión de financiamiento.


• En realidad, no existe una tasa igual para el endeudamiento y para la inversión sino que la tasa a la que podemos invertir es menor a la de endeudamiento

En este caso, la frontera eficiente de Tobin se convierte en:

I0µ

E0µ

W0E = 0


57

Riesgo

Ren

tab

ilid

ad

W0I = 0


1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.

• Gestión pasiva: “seguir” al mercado.

• El mercado está representado por los diferentes índices (Ibex-35, Eurostoxx50, S&P 500…)

• Replicar a los índices puede ser un método de cobertura

58

• Replicar a los índices puede ser un método de cobertura o arbitraje respecto a los futuros de los índices.


• Fondos cotizados (ETF, Exchange Traded Funds):

– Se trata de híbridos entre fondos de inversión y acciones.

– Son carteras que, al igual que muchos fondos, suelen replicar a un índice pero que se negocian en bolsa como las acciones.


59

las acciones.

– Ventajas:

• frente a las acciones: diversificación (comprando un ETF se puede invertir en todo un mercado).

• Frente a los fondos de inversión: mayor liquidez y menores comisiones.


• ¿Cómo replicar a un índice?

– Comprando los mismos activos que componen el índice de manera que tengan en nuestra cartera el mismo peso que tienen en el índice.


60

– Con cestas reducidas: intentan conseguir “el mismo comportamiento” del índice pero con menos valores.


• Factores que determinan una cesta reducida:

– Número de acciones con el que se desea replicar al índice.

– Las acciones que la forman (criterio de capitalización, por


61

– Las acciones que la forman (criterio de capitalización, por sectores,…).

– El peso de estas acciones en la cesta.


• El número de acciones lo fijará el gestor, las acciones que formen parte de la cesta y su peso es lo que hemos de hallar.

• Observemos que una vez determinado el peso de las acciones en la cesta, el número de títulos que compraremos de cada una de ellas será:


62

ii S

índicevalorW ×


• Cesta Reescalada.

Ordenar los valores del índice de mayor a menor peso y quedarnos con los N primeros, siendo N el número de activos que deseamos tener en la cesta reducida.


63

Una vez elegidos los valores, determinaremos el peso de manera que las proporciones entre los distintos valores elegidos sean las mismas que las existentes entre dichos valores en el índice.


• Cesta Reescalada

Sean los pesos de las m acciones que componen elíndice de manera que

Según el procedimiento anterior, elegiríamos las N primerasacciones y calcularíamos sus pesos según la siguiente

mixi K1 , =

1+≥ ii xx


64

acciones y calcularíamos sus pesos según la siguienteexpresión:

Nix

xW N

jj

ii K1

1

=∀=∑

=


• Ejemplo IBEX-35 con 10 valores

% en IBEX % en cesta

TEF SM 18.75% 24.94%

SAN SM 16.33% 21.72%

BBVA SM 11.81% 15.71%


65

BBVA SM 11.81% 15.71%

REP SM 6.91% 9.19%

IBE SM 5.21% 6.93%

ELE SM 5.11% 6.80%

POP SM 3.35% 4.46%

ALT SM 2.68% 3.57%

ABE SM 2.56% 3.40%

ITX SM 2.47% 3.29%

75.17% 100.00%


• El método de la “cesta reescalada” no se fija en el comportamiento del índice de referencia (benchmark) sino que sólo confía en que replicando las relaciones de los valores principales del índice repliquemos también su comportamiento.


66


• Cesta óptima

Este tipo de construcción se basará en intentar replicar los valores de rentabilidad y riesgo del índice.

Introducimos un nuevo concepto: Tracking Error.


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Introducimos un nuevo concepto: Tracking Error.


• Tracking Error (TE)

El TE es una medida de la diferencia existente entre lasrentabilidades de la cesta reducida y las del índice quereplica.

Su cálculo expresado en forma matricial sería:


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Su cálculo expresado en forma matricial sería:

donde Cov es la matriz de covarianzas de los valores delíndice, xind es el vector que contiene los pesos de los valoresdel índice y xcr es el vector que contiene los pesos de losvalores que forman parte de la cesta reducida (máximo Nelementos distintos de 0).

)()( indcrT

indcr xxCovxx −−


• Cesta óptima

Nuestro problema vuelve a ser pues la resolución de un problema de optimización, debemos minimizar el TE.

En este caso, podemos resolver el problema de dos


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En este caso, podemos resolver el problema de dos formas distintas:

- introduciendo variables binarias

- mediante un proceso iterativo


Si planteamos nuestro problema de optimización como:

Minimizar TE

con las restricciones y0≥crx 11

=∑=

m

i

icrx


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El programa de optimización nos dará como resultado lospesos de los activos en el índice puesto que no estamosindicando que deseamos un número menor de activos.


• Cesta óptima-Variables binarias

Para introducir en el modelo de optimización el número devalores que queremos que tenga la cesta reducida debemosintroducir variables binarias tales que: 1 , mibi K=


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casootroenb

xb

i

icri

0

01

=>⇔=

Nbm

ii =∑

=1


• Ejemplo IBEX-35 con 10 valores

% cesta rsc. núm títulos% cesta ópt. núm títulos

TEF SM 24.94% 171 TEF SM 20.81% 143

SAN SM 21.72% 216 SAN SM 17.75% 177

BBVA SM 15.71% 117 POP SM 13.67% 26


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BBVA SM 15.71% 117 POP SM 13.67% 26

REP SM 9.19% 42 ELE SM 13.14% 71

IBE SM 6.93% 31 ABE SM 12.38% 65

ELE SM 6.80% 37 BBVA SM 9.58% 72

POP SM 4.46% 8 AMS SM 5.19% 66

ALT SM 3.57% 10 UNF SM 3.65% 14

ABE SM 3.40% 18 IDR SM 3.15% 21

ITX SM 3.29% 13 MAP SM 0.68% 5

100.00% 100.00%


• Cesta óptima-proceso iterativo

El proceso iterativo consiste en, realizar el primer proceso de optimización eliminando el valor con menor peso en el índice. Del vector de pesos obtenido como solución al minimizar el TE, eliminar aquellos con peso nulo y nuevamente el de menor peso de los restantes.


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nulo y nuevamente el de menor peso de los restantes. Así sucesivamente hasta que tengamos el número de valores deseado.

• En cualquiera de los problemas de optimización propuestos podemos añadir las restricciones que deseemos en función de normativas a cumplir, decisiones del inversor, deseos de rentabilidad, etc

Documents

Quantitative Portfolio Management handouts - 2012 May 7