6
European Journal of Control 2003)9:279±284 # 2003 EUCA Quantum Control and Quantum Entanglement C. Ahn 1 , H.M. Wiseman 2 and G.J. Milburn 3 1 Institute for Quantum Information, California Institute of Technology, Pasadena, CA 91125, USA; 2 Centre for Quantum Computer Technology, Centre for Quantum Dynamics, School of Science, Griffith University, Brisbane, QLD 4111 Australia; 3 Department of Physics, Centre for Quantum Computer Technology, University of Queensland Brisbane, QLD 4072, Australia We discuss quantum error correction for errors that occur at random times as described by a conditional Poisson process. We show how a class of such errors, detected spontaneous emission, can be corrected by continuous closed loop feedback. Keywords: Quantum computing; Error correction; Feedback; Quantum coherence; Entanglement; Noise 1. Qubits and Entangled States In the last decade we have come to realise that quantum physics enables information processing and commu- nication tasks that are not possible in classical physics [8]. This is due to the nature of quantum states which make it possible for a system to be in a superpositon of different physical states. Bits are encoded in ortho- gonal quantum states which ensures that they may be readout unambiguously. For example, to store a single bit in the physical states of a spin-half particle, we may encode logical bits in the eigenbasis of, say, the z-component of spin as j0i L $j#i z , j1i L $j"i z . Unlike classical bits, a quantum bit can be in the super- position state j i 1 2 p 0 ji L 1 ji L : 1 This is a pure quantum state with zero entropy and is thus completely speci®ed. However the value of the logical qubits is indeterminate and, if measured, will produce either result with equal probability. It is important to note that the superposition state is physically distinct from a mixed quantum state in which the system is in either of the logical states with equal probability. The state ji is in fact an eigen- state of the x-component of spin so, unlike the mixed quantum state, the superposition state ji will give a determinate result when the spin in the x-direction is measured. The superpositon of distinct logical bits in a single, completely speci®ed, physical state is a unique feature of the quantum world. To emphasise this uniqueness, we will refer to bits so encoded as qubits. The new information processing tasks enabled by quantum mechanics arise due to the ability to access superpositon states. We need not restrict ourselves to systems with only two Hilbert space dimensions. Indeed, the discovery of quantum error correction shows that it is often advantageous to encode qubits in a two-dimensional subspace of a higher dimensional system [9,10]. For example, the Hilbert space of two spin-half systems is the four-dimensional tensor product space spanned by the eigenstates of the z-component of spin; {j""i, j"#i, j#"i, j##i}, where j""i j"ij"i, etc.), 0 ji L 1 2 p "" j i ## j i, 2 1 ji L 1 2 p "" j i ## j i: 3 Correspondence and offprint requests to: C. Ahn, Institute for Quantum Information, California Institute of Technology, Pasadena, CA 91125, USA. Received 2 April 2003; Accepted 17 April 2003. Recommended by I. Postlethwaite, J.M. Maciejowski, K. Glover and P.J. Fleming.

Quantum Control and Quantum Entanglement

  • Upload
    gj

  • View
    224

  • Download
    5

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Quantum Control and Quantum Entanglement

������� ����� �� ����� ���������������� ���� �� �

������� ���� ��� ������� �����������

� ���� �!� "#$�%�� �& '�� !#�(���

�)$�#���� ��� *����% )���%��#�� ��#���#� )$�#���� �� +�,����-.� /�$�&��� � ����0� �1�2 � ���� ��� *����% �%�����+�,����-.� ���� ��� *����% 3.�%#,$� 1,���� �� 1,#�,�� '�#��#�� �#4��$#�.� 5�#$(��� *63 ���� ��$����#�2 �3�����%�� �� /�.$#,$� ���� ��� *����% �%����� +�,����-.� �#4��$#�. �� *���$��& 5�#$(��� *63 ����� ��$����#�

�� ������� ���� ����� ���������� ��� ������ �������� � ���� �� �� � ��������� �� ����������������� �������� �� ���� ��� ���� �� ���� ��������������� ���������� � ������� �� �� ��������� ������������ ������ ���� ��������

������� *����% ,�%���#-2 ����� ,����,�#�27��&(�,82 *����% ,�����,�2 ���-��%��2 9�#$�

�� ������ ��� �������� ������

) ��� ��$� &�,�&�:� ��4� ,�%� �� ����#$� ���� ;����%��.$#,$ ��(��$ #���%��#� ���,�$$#- �& ,�%%�<#,��#� ��$8$ ���� ��� �� ��$$#(�� # ,��$$#,�� ��.$#,$=�>� +�#$ #$ &�� �� ��� ����� �� ;����% $����$ :�#,�%�8� #� ��$$#(�� ��� � $.$��% �� (� # � $������$#�� ��&#������ ��.$#,�� $����$� 5#�$ ��� �,�&�& # �����<-��� ;����% $����$ :�#,� �$���$ ���� ���. %�. (����&��� ��%(#-���$�.� 7�� �?�%���� �� $���� � $#-��(#� # ��� ��.$#,�� $����$ �� � $�#<���� ����#,��� :�%�. �,�&� ��-#,�� (#�$ # ��� �#-�(�$#$ ��� $�.� ����<,�%���� �� $�# �$ ���������� ���������� ��#8�,��$$#,�� (#�$� � ;����% (#� ,� (� # ��� $����<��$#�#� $����

�� � � ����

�� ��� �� ���� ��+�#$ #$ � ���� ;����% $���� :#�� @��� �����. �& #$���$ ,�%������. $��,#A�&� �:�4�� ��� 4���� �� ���

��-#,�� ;�(#�$ #$ #&����%#��� �&� #� %��$���&� :#�����&�,� �#���� ��$��� :#�� �;��� ���(�(#�#�.� )� #$#%������ �� ��� ���� ��� $������$#�#� $���� #$��.$#,���. &#$�#,� ���% � %#?�& ;����% $���� #:�#,� ��� $.$��% #$ # �#���� �� ��� ��-#,�� $����$ :#���;��� ���(�(#�#�.� +�� $���� � � � #$ # ��,� � �#-�<$���� �� ��� �<,�%���� �� $�# $�� ��#8� ��� %#?�&;����% $����� ��� $������$#�#� $���� � � � :#�� -#4� �&����%#��� ��$��� :�� ��� $�# # ��� �<&#��,�#� #$%��$���&� +�� $������$#�� �� &#$�#,� ��-#,�� (#�$ # �$#-��� ,�%������. $��,#A�&� ��.$#,�� $���� #$ � �#;��������� �� ��� ;����% :���&� +� �%���$#$� ��#$�#;���$$� :� :#�� ����� �� (#�$ $� �,�&�& �$ ������+�� �: #���%��#� ���,�$$#- ��$8$ ��(��& (.;����% %�,��#,$ ��#$� &�� �� ��� �(#�#�. �� �,,�$$$������$#�� $����$�"� ��& �� ��$��#,� ���$��4�$ �� $.$��%$ :#�� ��.

�:� #�(��� $��,� &#%�$#�$� )&��&� ��� &#$,�4��.�� ;����% ����� ,����,�#� $��:$ ���� #� #$ �����&4���-���$ �� �,�&� ;�(#�$ # � �:�<&#%�$#���$�($��,� �� � �#-��� &#%�$#��� $.$��% =����>� 7���?�%���� ��� #�(��� $��,� �� �:� $�#<���� $.$��%$ #$��� ����<&#%�$#��� ��$�� ���&�,� $��,� $���& (.��� �#-�$����$ �� ��� �<,�%���� �� $�#2 B����� ���������� ����C� �:���� ����� �������� ��,���

�� ��� ����

��� � � ��� ��� ��

�� ��� ����

��� � ��� ��� ��

�������������� �� �������� ������� ��� � ��� )$�#���� ���*����% )���%��#�� ��#���#� )$�#���� �� +�,����-.�/�$�&��� � ����0� �1��

����� �� ! "���� !##$% "������� &' "���� !##$����� ����� �� (� ������������� )�*� *���+������ ,� -�� �� ����)� .�� ��/�

Page 2: Quantum Control and Quantum Entanglement

+��$� $����$ ��� �����-���� ) ��,� ���. ��� ��� �:���$$#(�� :�.$ �� �����$�� ��� ,�������#� D(��� $�#$��� # ��� $�%� &#��,�#�E� +���� ��� �:� &#$�#,� :�.$�� ����#$� ��� $��,#A�& ,�������#� $�� �,,��&#- �� ���&�%���� ���� �� ;����% �����.� :� $������$���� &#������ $����$ ���� ����#$� ��� ,�������#�� 1�,�$����$ ��� ,����& ����/��� �$ ���. ,��� (� :�#��� �$� $#-�� ��,����& ���&�,� �� ���� $����$� ���-��&$����$ ��� ��� $���,� �� %�. �� ��� ,����� #��#�#4����&#,�#�$ �� ;����% ��.$#,$ �&� :�� %�#��$� #� ��.$#,�� $.$��%� ���4#&� � ��$���,� ��� �: #���<%��#� ���,�$$#- ��$8$ =�>�) :��� �����:$ :� :#�� &���� ��� (�$#$ �� � -���#,

�:�<&#%�$#��� #�(��� $��,� (. ��� $.%(��$ ���� �����& :� ����� �� ���$� �$ ��� ������� ������ +�� ��-#,��;�(#�$ :#�� (� &����& (. �&&#- � $�($,�#��� ����?�%���� ����� ����� ����� "� :#�� ��$� &��� ��<%��#$��#� ���%$ #� #� ,� (� &�� :#����� ,���$#��

�� ����� ��������� ���

F�� �(#�#�. �� ���,�$$ ;�(#�$ #$ �#%#��& (. ��� #�(#�#�.�� 8��� ;����% $.$��%$ #$�����& ���% �8�:#����,�#�$ :#�� ��� �?����� :���&� F� ,���$� ��#$ #$���� �� ,��$$#,�� (#�$ �$ :���� :���� �8�: #����,<�#�$ ��� ���� &�$,�#(�& # ���%$ �� �#$� �� ��������,�$$�$� �:�4�� ;�(#�$� ����#,�����. ���-��&;�(#�$� ��� �$��,#���. ���-#�� # ��� ���$�,� �� �#$��& #�$ ,�%���%����. ������� ������������ :�#,� #$� �#;�� ������� �� ��� ;����% $.$��%$�� ,��$$#,�� ��.$#,�� $.$��% :�#,� $����$ �� (#� ��

#���%��#�� �& #$ $�(G�,� �� �8�: #���<�,�#�$:#�� #�$ �4#��%��� ,� �&��-� � (#� ��#�� +���� ���:��� 8�: ����� ,����,�#� ,�&�$ ��� &���#- :#��$�,� �����$ ���� #4��4� �,�&#- � ��-#,�� (#� #%���#��� ��.$#,�� (#�$� 5#� ��#�$ ,� ��$� ����� �� �;�(#�� 7�� �?�%���� :� %#-�� ��4� �,�&�& � ��-#,��@��� # ��� -���& $���� �� $�%� $.$��%� $�. ��� $�#<&�: $���� �� � $�#<���� $.$��%� 3�� �� #����,�#�$:#�� � ����%�� �4#��%��� ��#$ $���� %�. (� ���,�&�� �&��-� ���$#�#�$ (��:�� ���-. �#-�$����$� )��� $�# �?�%���� � $�#<&�: $���� :���& ���$#� ��$�#<�� ��& 4#,� 4��$�� �& ��� ,����$��&#- ;�(#�:���& ��4� �&��-�� � (#� ��#�� ���� ��� �� :����� #$ �&&#�#� (�$�<��+�#$ &��$ �� $��% 4��. &#������ ���% :��� ���<

��$ :#�� � ,��$$#,�� (#�� 1����$� ��:�4�� ��� ;�(#�������& �� (� # ��� $���� � �� ��� ���� )� ����� #$ �(#� ��#� # ��� ��-#,�� (�$#$� ��� ��#$ $���� ���$���%$�$ � �� � �� "��� ��� :� �� %�8� �� ��#$ 8#&�� ���$� ������ :�#,� ��$ � ,��$$#,�� ����-��HI�� %#-�� :��� ����. ���� #� &��$ �� %������ �$ �

�4����� ���$� ,��� (� $��� �:�4�� $����$� ��$�%� ��#� ��� $.$��% :�$ # ��� $������$#�#� $����������� ���(#� ��#� ����� # ��� ��-#,�� (�$#$ ,����#�.&��$ ��8� �$ �� � &#$�#,� ��.$#,�� $���� # ��#$ ,�$��) ��� ;����% $.$��%$ :�%�$� ��$� ��8� �,,���

�� ������ 8#& �� ������ ��� ���$� ������ ) ��� $�#�?�%��� #� %�. (� ��� ,�$� ���� :� ��4� ,����&��� $.$��% �� $�,� � �?��� ���� ���$#�#�$ ��� ����� -���& $���� ��� 4��. ��#8��.� �:�4��� ���$�,��-#- #����,�#�$ %�. $�#�� �,,�� &�� �� �4#��<%���� #��%�-��#�#�$ # ��� ��,�� %�-��#, �#��&�1�,� #����,�#�$ #&�,� � ��&�% �����#4� ���$�(��:�� ��� �:� $�# $����$� 7�� $#%��#,#�. $����$���#$ ���$� #$ �� +�#$ ����0���� ����� #$ ��� &�$,�#(�&(. ���� ���� ���� ����"� ,� �����$�� ��� �:� 8#&$ �� �����$ :� ��4�

#���&�,�& # ���%$ �� /���# %���#,�$ # ��� ��-#,��(�$#$� +��$ 1� ������� ������� �& 2� ��������������� #&�,� ���$�< �& (#�<��#� �����$ # ��� ��-#<,�� (�$#$� ��$��,�#4��.� �$����. ��� ;�(#� #$ $�(G�,��� ,��#���$ #����,�#�$ :#�� ��� �4#��%���� $#%��� %�&�� ��� ��#$ ,� (� $��,#�#�& (. &��##-� /�#$$� ���,�$$ &3��� :#�� ���� �� ���� -#4�$ �$�;��,� �� ��&�% �#%�$ �� :�#,� ��� ����� �,,��$�+� (� $��,#�#,� ,�$#&�� (#� ��#� �����$� ) � �#%� &� :�%�. �� 8�: #� � ����� ��$ �,,����& �� ��� )-����� ��#$ ��4�� �� #-���,� %��$ :� ,� � ��-��&�$,�#(� ��� $���� �� ��� ;�(#� �$ � ���� $����� 7���?�%��� #� ��� $���� �� �#%� � #$ ��� ���� $���� ��� ���$���� �� �#%� �� &� #$ ��� %#?���� � &�2������2��� � &��������� F� ,���$� :� %�. �� 8�: :��� ����#$���. �� �����$ #$ �� �� �#%� � $� # ��,� ��� $������ ���� �#%� #$ �#8��. �� (� � %#?�& $���� ���� ,����<$��&#- �� � %#?���� �� %�. &#������ �#$���#�$ ����� /�#$$� ���,�$$� ) ���� ,�$� ��� ,��-� # ���$���� �� ��� $.$��% # �#%� �� #$ ��$#�. $�� �� (� =�>

&��� � �2���2 ����&�� ��

+�#$ #$ � ���� ������ ��� ��� ����� ���,�$$�"� ������� 2 �$ ��� +� � �������� 7��% ��#$ �;���#� #� #$ ���$. %����� �� $�� ���� �4���-�$ �#8� �1�� �4� &�,�. ����� ���� ��� � ��� 4� #������� ������� #$ ��� ��#�&/���# %���#?�� F� ,���$� �2� &��$ �� &�,�. �� ���� �:�4�� ��� ���<&#�-���%���#? ���%��$ # ��� �#-�<(�$#$ �� 2 &�,�. �� ��� ���� �� +�#$ &�,�. �� ���<&#�-��� ,�����,� # ���2 (�$#$ #$ ,����& ������������5����� :� %�4� �� :� ��& �� &#$,�$$ �:� �����

#%������ 8#&$ �� ������ � ����� ��� ����� �& ���������& ���������� � ������ ������ )� � ��.$#,�� ;�(#�#$ # ��� $���� ����� ���� �& :� %�8� � %��$���%���� ��� ��.$#,�� $����$ �� ��� ;�(#�� :� -�� ��� ��$�������� :#�� ���(�(#�#�. ����������� )� ��� %��$���%�� #$

��� �� "�� �� ��

Page 3: Quantum Control and Quantum Entanglement

#&���� ��� $���� �� ��� ��.$#,�� ;�(#� ,�&#�#��& ���� %��$���%�� ��$���� #$ ��������� ��$��,�#4��.� )� ���%��$���%�� �,,��$ ���$#&� ��� ,������ ��� ��#$,����$��&$ �� � �<�#���. ,��-� # $���� �� �����.$#,�� ;�(#� �& ,�$�#����$ � ������ "� :#�� ,�����#$ � &���,��& 1<%��$���%�� ������ 1����#$#-�. ��#$�%��� �� #���%��#� $���#,�$ �� &�$#- � $#%�������� ,����,�#� ,�&� �$ :� &#$,�$$ (���:�� ������& ����� #$ ��� $�������$ �%#$$#� ������

+�#$ #$ �#8� � &�$���,�#4� 1<%��$���%�� ������ :������� ,�&#�#��� $���� #$ ��:�.$ ���� �� /�#$$� &#$<��#(���& �#%�$� ��� $.$��% %�8�$ � ���$#�#� ���������� ��� :#�� ���� ������ )� ��� G�%� #$ &���,��&� �����#$ #$ �;�#4���� �� � 1<%��$���%��� �$ ��� $.$��%,� ��. �&��-� $�������$ �%#$$#� #� #� #$ # ���$���� ���� +�� G�%� �������� # ��#$ ,�$� #$ � � �� ��� � ��

�2 #4 � �& ��� ���(�(#�#�. �� � G�%� �� �#%� � #$-#4� (. � ���������� ��� � -����� %#?�& $�����+�� G�%� �������� ��� $�������$ �%#$$#� �����

#$ �� �#���. �& ��#$ ���&$ �� � &#������ ���% �� ���%�$��� �;���#� �� ���� �$�& �(�4� ��� (#� ��#� �����$�+�� G�%� ���% #$ ��� $�%�� (�� ��� ���% ,����$��&<#- �� �<G�%�$ #$ &#������� "� �����: ��� ����#� ��"#$�%� =��>� �%�$ ��� �����$���& (. � ���������� �

�����&�

� $� ���� ���. �,,�� :#�� ���(�(#�#�. ���&�

:���� �#�$ �� �#%� ��� ,��$� $� ���� ��� G�%� ���� #$�#�.� 9��%��#@��#� ��;�#��$ ������ ������������ ( � &�J� #5 &�� :���� 5 #$ ��� �%#���#��+�� ��� �,�&#�#��� %�$��� �;���#� :#��������&(�,8 #$ G�$� ��� ��%#�#�� 6#&(��& ���% =�>

&� � ������ � ����

�� �

� #�5� ��&�� �� &� �� ��� ���&��

0� � ��������� �������� ��� �����!�"����

"� ,� �(��# � %�$��� �;���#� &�$,�#��#� ��,��$�&<���� ���&(�,8 (. �#�$� �$8#- ��� � &�$,�#��#��� ��� ,�&#�#��� $���� �� ��� $.$��% /� �� ���� �����#�� ��,��& �� /�#$$� &#$��#(���& G�%�$ #$ $��,#�#�&�1�,� � ��,��& ,�%��#$�$ � �#$� �� ��� �,���� �#%�$ ��:�#,� G�%� �4��$ �,,����&� +�� #��#�#4� #&�� (��#&��#$ #$ ����� #� ��� G�%�$ ��� �� ��� ���;���� #� $����&(� ��$$#(�� �� &���,� :�� ��,� G�%� �,,��$ (.%�#���#- ��� ,��-�$ # ��� �4#��%��� ��?�%��� #$ � ����� ,���#- �?���#%�� # ;����%���#,$� )� ��� $.$��% $����$ # � ���� $����� �& :�8�: :�� ��,� G�%� �,,��$� :� ��4� �� ��$� �.#���%��#� �(��� ��� $.$��% $����� ) ��#$ ,�$� :� ,��#& � ,��#���$ $��,��$�#, 1,���K &#-�� �;���#� ��&�$,�#(� ��� ,�&#�#��� &.�%#,$ �� ��� $.$��%� "�:#�� ,��� ��#$ ��� +� � ��� �����/� F��� ��:�4�� ���

G�%�$ �,,�� ��� ���;����. �� (� $���#,#���. ��$��4�&(. ��� ��������$� ) ���� ,�$� :� �$� ��� :��� 8�:���,�&��� �� �����?#%��#- � /�#$$� ���,�$$ (. �,��#���$ &#���$#� ���,�$$ �� �(��# � &#������$��,��$�#, 1,���K &#-�� �;���#� ,����& ��� ������� ���� �����/� ) (��� ,�$�$� � �4���-� �4�� ���$��,��$�#, ���%$ # ��,� �;���#� $����& -#4� ��� $�%�%�$��� �;���#� ��� ��� �,�&#�#��� &.�%#,$ ����� $.$��%�)� ��� %��$���& �%(�� �� G�%�$ �� �� �#%� � #$

&����& 3���� ��� ��� #,��%�� &3��� #$ &��#�& (.

&3���� � &3���� L�

6�&3���� � ���� &�� ��

��� 6 = > &�A�$ � ,��$$#,�� �$�%(�� �4���-�� �& ���$�($,�#�� � � ��� ;����% �4���-� ��%#&$ �$ ������� ���� �� ��� ���,�$$ �� �#%� � &���&$ � ��� ,�<&#�#��� $���� �� ��� ;����% $.$��% �� �� ���� �#%��+��� #$ �� $�.� #� &���&$ � ��� $���� �� ��� ;����%$.$��% ,�&#�#��& � ��� ��#�� ���4#��$ �#$���. ����� ,����� &3J&�� +�#$ ,�&#�#��� $���� #$ &����%#�&(. � $��,��$�#, 1,���K &#-�� �;���#�

&������ � &3��� ������������������������� �

� �� &�

� �������

��

#5� �������

��"�:#�� ����� �� ��#$ �$ � +� � ��� ����/� )� :� �4���-��4�� ��� %��$���%�� ��,��& �� ���% �����6 =��,������,����>� #� #$ ��$$#(�� �� $��: ���� ���� �(�.$ ����,�&#�#��� %�$��� �;���#� -#4� # �;� �0��9�: ,�$#&�� !��8�4#�� �%#���#� ���&(�,8�

�#��� # ��� ,������

5�(�� � &3��&�

7 ��

:#�� 7 � ��%#�#� ��������� +�8#- #�� �,,������� ��� ���&(�,8 %�$� �,� ����� ��� %��$���%���#� ,� (� $��: =��> ���� ��� ���&(�,8 %�&#A�$��� ,�&#�#��� �4����#� (. ,��-#- ��� # ����%������ �� ��� A�$� ���% #�� � #7� 1#,� �#8�:#$�,��-#- ��� �� ��� ����� �,,����,�$ �� ��$ �����,�� ��� �$�%(�� �4���-� (���4#��� #$ ��� $�%� �$(������ :#�� ,��-�& �� � #7� +��� #$ �� $�.� ������&(�,8<%�&#A�& %�$��� �;���#� #$

�� � #�5� �� � ��� #7��� ���

:���� ���� � �� ��� �����

8���� ������� �� 8���� 6���/�� ��� ���

Page 4: Quantum Control and Quantum Entanglement

� 4��. &#������ ���4���#- %�. (� &��#�& (. �#�$���#- ���� -#4� $�%� ,�%���? �%(�� �� ����#� :�%�. %�8� ��� ���$���%��#�

� � ��

5 � 5 #����

� # �#�����

�& �(��# ��� $�%� %�$��� �;���#�� ) ��� �#%#� �$��� (�,�%�$ 4��. ���-�� ��� ���� �� ��� /�#$$� ���,�$$#$ &�%#���& (. ��� ���% ����� ) ��#$ ,�$� #� %�.(�,�%� #%��$$#(�� �� %�#��� �4��. G�%� ���,�$$��& � (����� $�����-. #$ �� �����?#%��� ��� /�#$$�$��,��$�#, ���,�$$ (. � '��$$#� :�#��<�#$� ���,�$$�7�� ���-� �� :� ,� ,�$#&�� ��� $.$��% ��� � �#%� ��

# :�#,� ��� $.$��% ,��-�$ �-�#-#(�. (�� ��� �%(���� &���,�#�$ �3���� ������ #$ 4��. ���-�2 ��� :� ,������?#%��� �3��� �$ =��>

�3�� � ������� ����� #� ��#����� �����������

:���� ����� #$ ��%���. &#$��#(���& :#�� %�� @����& 4��#�,� ���"� �: &��#� ��� $��,��$�#, %��$���%�� ��,��&

�$ ��� ,�����

&8��&�

� �#%���

�3�� ����������� ���

� �� #� �#��� � &���&�� ���'#4� ��#$ $��,��$�#, %��$���%�� ��,��&� :� ,�&����%#� ��� ,�&#�#��� $���� �� ��� ;����% $.$��%(. ��� $��,��$�#, %�$��� �;���#� �1!��

&���� � #�5� �����&����� #�����&����� #�����&���� �0�

) ��� �(�4� �;���#�$� ��� �?��,���#� ��� &����$������� &� #$ � ��%���. &#$��#(���& #A#��$#%����&�% 4��#�(�� :#�� %�� @��� �& 4��#�,� &��� ������ ����� ����� �& � #$ � $������������ ������8�$ � G�%� �������� �$ � ��-�%�� �& �,�$ �&�$#�. %���#,�$ �$

���� � �� �� � ����� ���� �L�"� ���$ ��4� � &#������ ���4���#- �� ��� ��#-#��%�$��� �;���#� �;� �0�� 5�,��$� �� ��� :�#�� �#$� #��� 1!� ��0� :� ,��� ��#$ � &#���$#4� ���4���#-� )�����#�$� ��� �?�%���� :�� �� ������%$ � ,��#���$:��8 ��%�&.� %��$���%�� �� � A��& (. A�$�%#?#- #� :#�� � ,��$$#,�� ��,�� �$,#������ # � (��%$<��#���� �& ��� %��$��#- ��� ������ (��%$ :#�������&���,���$ =��>� ) ���� ,�$� ��� %��$���%�����,�$$ &8��� &����%#�$ ��� �($��4�& �����<,����������� %��$���%�� %�&�� # :�#,� #� %�. (��������#��� �� �����?#%��� � /�#$$� %��$���%��

���,�$$ (. � :�#��<�#$� %��$���%�� ���,�$$ #$ ������,���#, ��#� ,���,� %�&�� ��� %�#���#- � $#-��;����% &�� =0��>� ) ���� ,�$� ��� ���% �� ��� %�$����;���#� #�$��� &����%#�$ � ���-� (�,8-���& G�%������ ������ ��� � #%��$�& ,��$$#,�� A��& ��#�� ��&���,�#��"� �: ,�$#&�� !��8�4#� ���&(�,8 �� ��� :�#��<

�#$� %��$���%�� ��,��& 4#� � �%#���#�� :������� $���-�� �� ��� ���&(�,8 #$ � �#��� ��,�#� �� ���%��$���%�� ,������

5�(�� � &8��&�

.� ���

:���� . #$ � ��%#�#� ��������� )� ,� (� $��: ������� �&&#�#� �� $�,� ���&(�,8 ���&$ �� ��� ,�&#�#��&%�$��� �;���#� =����>

�� � ���#�.� � �.���5� ��� ��� � #. ��� &������ � #. ��� ���

) ��&�� �� &��#4� ���.�#, ��$���$ -#4� $�,� ���&(�,8�#� #$ ,�4�#�� �� ,�$#&�� ��� �4���-� �4�� %�.$�,� �4����#� ���G�,���#�$� 1#,� ��� �?��,���#�4���� �� &� #$ @���� �4���-#- .#��&$ � �,�&#�#��&%�$��� �;���#�

�� � ���#�.� � #.���5� ��� ��� # #. ��� ���

9��� ���� ���$� �;���#�$ ��� ��. 4��#& ��� �����,���#�<��A,#�,.� &���,�#�2 ��� ,����$��&�,�$(��:�� ����� ,����,�#� �& ���&(�,8 ��� %������&#�. $�� # ��#$ ,�$��

#� ������ �� $������%

+�� �(G�,�#4� # ;����% ����� ,����,�#� #$ �� �,�&���� ��-#,�� ;�(#� # � �:� &#%�$#��� $�($��,� �� ��� #�(��� $��,� �� %���#��� ;�(#�$ $� ���� � ��(#����.$������$#�#� $���� # ��� ��-#,�� (�$#$ ,� (� ��,�4<���& ����� ��� ����� ��$ �,,����&� � -����� &#$,�$$#�,� (� ���& # =�>� ��� :� ��. ,�$#&�� ��� 4��.$��,#�� ,�$� �� &���,��& $�������$ �%#$$#� �����$�� #���$����� ��� #&��� +�#$ %�&�� :�$ �#�$� ���$���& (.�� �� ��� =�>+�� $#%���$� $.$��% ��� :�#,� :� ,� �����,�

�-�#$� &���,��& $�������$ �%#$$#�$ #$ � $.$��% ���:� ;�(#�$� "� ,�$#&�� ��� %�&�� # :�#,� ��� ��.&�,�����,� ���,�$$ #$ &�� �� $�������$ �%#$$#����% $���#$�#,���. #&���&�� ��$��4�#�$� ) ��#$%�&��� �����$ ����� # �4��. �#%� #���4�� &� �& ,�(� ,����,��& �����,��. �& #$�������$�.� "� :#��$��: ���� � $#%��� ,�&�� �$�& # ,�G�,�#� :#�� �

��� �� "�� �� ��

Page 5: Quantum Control and Quantum Entanglement

&�#4#- �%#���#�� �����,�$ ��� ,�&�$��,� :�� ���$�������$�. �%#��#- ;�(#� #$ 8�: �& � ,��<��,�#- �#���. #$ ����#�& #$�������$�.2 ��� ,�&�<$��,� $�����$ � &�,�����,��+�� ,�&�:��&$ �� ��� ,�&� ��� -#4� (. ���

�����:#-�

���� � ���� � ���������

���� � ���� � ���������

� ���

) ��� $��(#�#@�� ����#�� ��#$ #$ � $��(#�#@�� ,�&� :#��$��(#�#@�� -������� 22� 5��� ,�&�:��&$ ��� � ��#-�$����$ �� 22�"� �: :#$� �� &�$,�#(� � $#����#� :���� (���

;�(#�$ �&��-� $�������$ �%#$$#� �� ��&�%�#%�$� +�� G�%� ��������$ ��� $�������$ �%#$$#��� ��� +�� ;�(#� ���

�+ �����������+ &�

� 2+ �4+�� ���

:���� �8+ #$ ��� &�,�. ���� ��� ���� ;�(#�� ) ����($�,� �� �. ���&(�,8� ��� %�$��� �;���#� #$

�� ��+�� �

�+��2+ #4+�� #�5� ��� ���

)� ��� �%#$$#� #$ &���,��&� $�,� ���� ��� ;�(#� + ���%:�#,� #� ��#-#���& #$ 8�:� #� #$ ��$$#(�� �� ,����,�(�,8 �� ��� ,�&�$��,� :#����� 8�:#- ��� $�����)� � $�������$ �%#$$#� � ��� �#�$� ;�(#� �,,��$�� � � ��� � �& � � � ��� �� ��� $�������$ �%#$$#�� ��� $�,�& ;�(#�� 1#,� ���$� ��� �����-��� $����$���#$ ����#��$ ��� ,�&#�#� -#4� # ����� $� � �#���.�?#$�$ ���� :#�� ,����,� ��#$ $�������$ �%#$$#� ������F� ,��#,� ��� ��� ,����,�#- �#���. #$

9� � 2( 12 �����

9� � (2 21�����

� ���

� ������� ,�%��#,��#� #$ ��� �<��#4#�� �4����#� ����� $���� # ��� �#%� (��:�� $�������$ �%#$$#�$�+�#$ #$ &�$,�#(�& (. ��� %��$���%�� ��������

�� � ((� �� � ���&�� �� &� 1( �� &� (1 #5��� ���

+�� �<�#���. ���� �� ��#$ �4����#� ,� (� ,��<��,��& (. �$$�%#- � &�#4#- �%#���#� �� ������%

5 � ��42� ��24�� �0�

+�#$ ��$��� ,� ��$#�. (� $�� (. ���--#- �;� ��L� #���;� ��0� :#�� � $�#��(�� ������-�%�� �� ���%$�

�� � ((� �� � ���&�� �� &� 1((( 22� �� &� (1(( 22�� �L�

�& $#,� (( 22 �,�$ �� �#�#���� ��� ,�&�$��,�� ���,�$ ��#4#���. � ��� ,�&�$��,��"� ��� ��4� ��� �����:#- %�$��� �;���#� ��� ���

�4����#� �� ��� $.$��%�

&�� ������ �� &�

�+��� ��

�+9++��+ 9

�+ � ���

:���� 9+ #$ ��� ��,�4��. �������� ��� � $�������$�%#$$#� ���% ;�(#� +� +��$� �#���#�$ ,� (� �,�#�4�&(. ��� ���&(�,8 �%#���#�

5�( ��+�� �

&3+��&�

7+� ���

:���� 3+��� #$ ��� $�������$ �%#$$#� ,��� ���;�(#� +� �&9+� �?�� #7+�� ���� :� ,� $�� ���% ���$#%��� ���% �� �;� ���� ���� 7+ #$ G�$� �������#��� ��9+� 1#,� 9++�

�+ 9

�+ �,�$ �$ ��� #&��#�. � ��� ,�&�<

$��,� (. &�A#�#�� �& $#,� :� ��4� $��: ��������

�� ���$��4�$ ��� ,�&�$��,�� �;� ���� %�$� ���$��4�

��� ,�&�$��,��1�,� � ,�&� #$ ���#%�� # ��� $�$� ���� #� �$�$ ���

$%����$� ��$$#(�� �%(�� �� ;�(#�$ ��;�#��& �� ������%��� ��$8 �� ,����,�#- � $�������$ �%#$$#� ������ �$:� 8�: ���� ��� #���%��#� $����& # �� ��<,�&�& ;�(#� #$ &�$���.�& (. $�������$ �%#$$#��� $#%#��� $#����#� ����#�$ ��� ���&(�,8 �� � ,�<

�#���$ %��$���%�� ��,��& :#�� :�#�� �#$�� �$ ���%��%�&.� &���,�#� �� ��� �%#$$#�� "� �$� ��� $�%�,�&�:��&$� �& ,���$� +� �J� ��� ��� %��$���<%��� +�� �;� ���� $�--�$�$ �$#- ��� �����:#-���&(�,8 ��������$�

.� � �������

2( 12 ��.� � �����

�� (2 21�� ���

)� :� �$� ���$� ���&(�,8 �%#���#�$ :#�� ��� $�%�&�#4#- �%#���#� ��L� �$ # ��� G�%� ,�$�� �����$���#- %�$��� �;���#� #$�

�� � ����4( #12 ��� ����(4 #21��� ���

"� ,� $�� ���� ��#$ %�$��� �;���#� ���$��4�$ ���,�&�$��,�� (. �-�# ��#- ���� 4( #12�4(�(( 22�� �& $#%#����. ��� (4 #21� +�� ��������(( 22 �� ,���$� �,�$ �� �#�#���� ��� ,�&�$��,��

8���� ������� �� 8���� 6���/�� ��� ���

Page 6: Quantum Control and Quantum Entanglement

&� ��������

"� ��4� $��: ��: ;�(#� �����$ #���&�,�& (.$�������$ �%#$$#� ,� (� ,����,��&� #� ���. ���&���,��&� (. � ,��$�& ���� ���&(�,8 ,������ +�� %���-����� ,�$� # :�#,� ��� �����$ ��� �� &���,��&��;�#��$ � %��� $���#$�#,���& ,�&�� ) ��� ,�$� �� (#���#� �����$ ��.� � $#%��� ����� ;�(#� ,�&� ,� (� �$�&�$ &#$,�$$�& # �� �� ��� =�>� ) ���$� �?�%���$ ��������$� �� ��� ���&(�,8 #$ �� ���4�� � ,����# ,��$$ �����-��& $����$� ��� ,�&� :��& $����$� ���% &�,�.#-�"#�� ��� ���&(�,8 ���� ,��$�& �& ��#-� ����,�&#�#��� &.�%#,$ %�8�$ ��� �4#��%�� #4#<$#(�� �� $����$ # ��� ,�&� $��,��

'�(������

�� �� � 3�����. � � 6�&��� �� /�.$ M�4 ����� L0�������

�� �� � "#$�%� !� !#�(�� '� /�.$ M�4 � ������ ��%#,���� � � ��� $.$��%$ ������,� �� *��<��% ���#,$� 1��#-��<N����-� 5���#� ����

�� '�� 1� !#�(�� '� "#$�%� !� 1� 5�/�.$#,�� M�4#�: 5 ����� L�� ��0��L

0� '�� 1� !#�(�� '� /�.$ M�4 5 ����� L�� ��0���L� O#�� �� 6����%%� M� /�.$ M�4 � ����� 00� ���� ;���<��J�L�����

�� !#�(�� '� /�.$ M�4 � ����� �L� ��������� 9#��$� !�� ���- )6� *����% ,�%�����#� �&;����% #���%��#�� �%(�#&-� �#4��$#�. /��$$� �%(�#&-�� ����

�� 1��� /"� /�.$ M�4 � ���0� 0�� ������� 1���� �� /�.$ M�4 6��� ���L� ��� ������ "#$�%� !� *��� 1�%#,��$$ F��#,$ ���L� �� ��0��� "#$�%� !� /�.$ M�4 � ����� ��� ����2 ������� #

/�.$ M�4 � ����� ��� 0�0�2 /�.$ M�4 � ����� 0�� ������� "#$�%� !� !#�(�� '� /�.$ M�4 � ����� ��� L����� "#$�%� !� !#�(�� '� /�.$ M�4 6��� ����� ���

0��

��� �� "�� �� ��