¿QUÉ ES DIVISIBILIDAD?

Es una parte de la TEORIA DE NUMEROS que analiza las condiciones que debe tener un número para que sea DIVISIBLE por otro.

¿CUANDO UN NUMERO ES DIVISIBLE POR OTRO?

Un numero A es divisible entre otro número B, cuando A contiene a B exactamente un número entero de veces.

Es decir: Si dividimos A entre B, el COCIENTE debe ser: EXACTO

NUMERO ENTERO

Además, el RESIDUO debe ser cero.

Ejemplos:

- 114 es divisible entre 19Porque al dividir 11419 , el cociente resulta ser 6 que es un número entero y el RESIDUO resulta ser cero.

- 27 es divisible entre 3Porque al dividir 273 el cociente resulta ser 9 que es un número entero y el residuo resulta ser cero.

- 87 no es divisible entre 2Porque al dividir 872 el cociente es inexacto.

Criterios de Divisibilidad

Para saber en forma inmediata si un número es divisible entre otro, en algunos casos no es necesario efectuar la división correspondiente., porque bastará conocer algunas características de tal situación de divisibilidad; a estas características las conoceremos como CRITERIOS DE DIVISBILIDAD que son los siguientes:

DIVISIBILIDAD POR 2

Un número será divisible por 2 si termina en cero o un número par.Ejemplo: 16 ; 30 ; 46 ; etc.

DIVISIBILIDAD POR 4

Un número será divisible por 4 si termina en dos ceros ó las dos últimas cifras es un número divisible por 4.Ejemplo:

120 ............... 20 es múltiplo de 4.498 700 ........ termina en dos ceros34 344 ........... 44 es múltiplo de 4 1 208 ............. 08 es múltiplo de 4 23 416 ........... 16 es múltiplo de 4

DIVISIBILIDAD POR 8

Un número será divisible por 8 si termina en tres ceros ó las tres últimas cifras es un número divisible por 8.

Ejemplo: 5008 ............... 008 es múltiplo de 8.

498 016 ........ 016 es múltiplo de 8343 080 ........... 080 es múltiplo de 8 124 000 ............ termina en 3 ceros 234 024 ............ 024 es múltiplo de 8

DIVISIBILIDAD POR 5

Un número será divisible por 5 si termina en cinco ó cero. Ejemplo: 135 , 40 , 635 , 120 , 235

DIVISIBILIDAD POR 25

Un número será divisible por 25 si las dos últimas cifras son ceros o forman un número divisible por 5.Ejemplo:

8 350 , 400 , 6 355 , 1 225 , 2300

DIVISIBILIDAD POR 3

Un número es divisible por 3 , si la SUMA DE SUS CIFRAS da un número múltiplo de 3.Ejemplos:

a) 178 407Sumando las cifras: 1+7+8+4+0+7 = 27 que es múltiplo de 3.Luego 178 407 es divisible por 3.

b) 1’101 111Sumando las cifras: 1+1+0+1+1+1+1 = 6 que es múltiplo de 3.

DIVISIBILIDAD POR 9

Un número es divisible por 9 , si la SUMA DE SUS CIFRAS da un número múltiplo de 9.Ejemplos:

a) 57 231 Sumando cifras: 5+7+2+3+1 = 18 que es múltiplo de 9.

b) 707 454 Sumando cifras: 7+0+7+4+5+4=27 que es múltiplo de 9

DIVISIBILIDAD POR 6

Un número es divisible por 6, lo es también por 2 y por 3 simultáneamente.

Ejemplos:

a) 1 068

¿Es divisible por 2? .....Sí, porque termina en cifra par. ¿Es divisible por 3? ....Veamos: 1+0+6+8 = 15 que es múltiplo de 3. Luego el número 1 068 es divisible por 6.

b) 53 670

¿Es divisible por 2? .....Sí, porque termina en cero. ¿Es divisible por 3? ....Veamos: 5+3+6+7+0 = 21 que es múltiplo de 3. Luego el número 53 670 es divisible por 6.

DIVISIBILIDAD POR 7

Un número será divisible por 7 si cumple con la siguiente regla: Multiplicamos cada una de las cifras del número dado de derecha a izquierda por los siguientes

factores:1 ; 3 ; 2 ; -1 ; -3 ; -2 ; 1 ; 3 ; 2 ; -1 ; -3 ; -2 ; 1 ; 3 ; 2 ; .... etc Sumamos los números enteros obtenidos. Si el resultado final es CERO o múltiplo de 7 el

número dado será entonces divisible por 7.

Ejemplo: ¿Es 626 934 divisible por 7?Veamos:

Sumando los enteros obtenidos: –12 – 6 – 6 + 18 + 9 + 4 = 7Luego 626 934 es divisible por 7.

DIVISIBILIDAD POR 11

Un número será divisible por 11 si la suma de sus cifras de orden impar (empezando por la derecha) menos la suma de las cifras de orden par, resulta ser CERO ó múltiplo de 11.

Ejemplo: ¿Es 9’873 226 divisible por 11?

Sumamos primero las cifras de orden impar a partir de la cifra de las unidades: 6+2+7+9 = 24 .................... (1)

Sumemos luego las cifras de orden par a partir de la cifra de las decenas: 2+3+8 = 13 .........................(2)

Restemos ahora (1) – (2) : 24 – 13 = 11 Luego 9’ 873 226 es múltiplo de 11.

PRACTICA

I. Verificar si los siguientes números son divisibles por 4:

76 920 345 672 87 234 34 988

25 690 564 2 300 23 450

II. Verificar si los siguientes números son múltiplos de 25.

23 560 11 600 546 565 76 57523 625 89 000 87 530 90 890

III. Verificar si los siguientes números son múltiplos de 3.

336 124 620 345 238123 987 300

IV. Verificar si los siguientes números son múltiplos de 9.

639 342 100 008 23 00445 063 23 987 86 500

V. Verificar si los números son múltiplos de 6

2 736 3 522 2 322 1304 134 3 504 57 408 5 736

VI. Verificar si los siguientes números son múltiplos de 7.

40 152 46 109 69 118 671 118782 098 235 876 675 584

VII. Verificar si los siguientes números son múltiplos de 11

10 538 96 195 24 872 7591’ 084 017 23 595 86 295 676 522

PRACTICA

Marcar con una aspa si consideras que el número A de la columna izquierda es divisible por

alguno de los números de la fila horizontal superior.

Numero

A2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PAR

3

366x x x x x

72 110

4 496

392

2 585

6 180

2 528

5 080

2 235

48 265

43 767

8 046

775

69 575

5 712

PROBLEMAS

01.- ¿Cuántos valores toma “a”, para que se cumpla la igualdad?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

02.- Hallar el valor de “a”, si: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

03.- Si: ; hallar el valor de “x”a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

04.- Si: ; hallar la suma de los valores de “x”a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 38

05.- Si: ; hallar la suma de los valores de la cifra “b”.a) 15 b) 12 c) 16 d) 18 e) NA

06.- Si se cumple que: ; hallar “a”.a) 6 b) 3 c) 2 d) 4 e) 1

07.- Si: ; Hallar “x”a) 4 b) 3 c) 2 d) 8 e) 7

08.- Determinar el residuo de dividir: 12’ 134 134 entre 7.a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) 1

09.- Si: . Halle el valor de: “a+b”a) 6 b) 8 c) 8 d) 7 e) 10

10.- ¿Cuántos valores asume “a” si el numeral es múltiplo de 3?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11.- Hallar el valor de “a”, si: a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 8

12.- Del 1 al 500. ¿Cuántos números son múltiplos de 3 ó 5?a) 133 b) 266 c) 233 d) 100 e) 283

13.- Si: Calcule la suma de a, b y c que sea máxima.a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27

14.- Calcular cuánto debe valer "a" en: ; para que el numeral sea divisible por 9.a) 5 b) 6 c) 9 d) 4 e) 0

15.- Calcular cuánto debe valer "a" en: para que el numeral sea divisible por 5.a) 0 y 5 b) 0 c) 5 d) 2 e) 1

16.- ¿Cuánto debe valer "x" para que el numeral: sea divisible por 4?a) 2 y 4 b) 0 c) 4 d) 2 y 6 e) 6

17.- Hallar "a", si: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

18.- Hallar el valor de “x”, en cada caso:

I. II. III.

IV. V.