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¿Qué es Estadística?
Es la ciencia encargada de recoger, clasificar, describir y analizardatos numéricos que sirvan para deducir conclusiones y tomardecisiones a partir de estos análisis.
La Estadística se divide en dos grandes grupos: Estadística descriptiva o deductiva: Se ocupa de la recolección, organización y representación de datos en forma coherente. Estadística inductiva o inferencial: Se ocupa de interpretar los datos recogidos y obtener conclusiones a partir de ellas.
¿ Qué es una población?
Población o Universo: Es el conjunto de todos los individuos u objetos que poseen alguna característica común observable.Una población puede ser finita o infinita.
Ejemplo: - La población consistente en la fabricación de refrigeradores, en una empresa determinada, en un día determinado, es finita.- La población formada por todos los posibles sucesos (caras o sellos en tiradas sucesivas de una moneda es infinita.- La población formada por los Números Naturales es infinito- La población formada por el número de alumnos de un colegio determinado, en un año determinado es finito.
¿Qué es una muestra?
Muestra es un subconjunto de la población. Es una parte de ella.
Se dice que una muestra es representativa de la población, cuandocorresponde más o menos al 20% de ella. Y se pueden deducir importantes conclusiones acerca de ésta, a partir del análisis dela misma.
Ejemplo: Población: Padres de los alumnos de un colegio Muestra: Padres de los alumnos de Octavo año
La muestra se puede elegir en forma aleatoria, estratificada omixta
¿Qué es una variable?
Una variable es la característica o atributo a observar.
El conjunto de valores asignados a la variable se llama dato o dominio de la variable.Las variables pueden ser continuas o discretas.
Variable continua es aquella que puede tomar cualquier valorentre dos valores dados, es decir, en un rango determinado.Ejemplo: La estatura de los alumnos de un cuarto básico es continua, porque pueden medir 1,40 m 1,42 m 1,408 m etc
Variables discreta son aquellas que toman un valor entero
Ejemplo: El número de hijos de una familia es discreta, porque puede haber 1, 2, 3, ....etc. hijos
Ejercicios
Decir de las variables siguientes cuáles representan datos
discretos o datos continuos. Número de acciones vendidas cada día en un mercado de
valores.Respt: Discreta
Temperaturas registradas cada media hora en un observatorio.
Respt: Continua
Período de duración de ampolletas producidos por una empresa determinada
Respt: Continua
Censos anuales del colegio de profesores.Respt: Discreta
Número de billetes de $10000 circulando en Chile
Respt: Discreta Pulgadas de precipitación en una ciudad durante varios meses del año.
Respt: Continua
Alumnos matriculados en la Universidad Andrés Bello, en los últimos cinco años.
Respt: Discreta
Dar el dominio de cada una de las siguientes variables y decir si son continuas o discretas.
Número de litros de agua en una máquina de lavar.Dominio : cualquier valor de cero litros a la capacidad de la máquina ( 12,3 12,005 12,0047 etc)Variable : Continua
Número de libros en un estante de librería.
Dominio : 0, 1, 2, 3, ........ Hasta el mayor número de libros que puedan entrar en el estante.Variable : Discreta
Suma de puntos obtenidos en el lanzamiento de un par de
dadosDominio : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12Variable : Discreta
Tiempo de vuelo de un proyectil
Dominio : De cero en adelante ( 5 5,3 5.045 etc)Variable : Continua
Estado civil de un individuo
Dominio : Casado, soltero, viudoVariable : Discreta
Velocidad de un automóvil en kilómetros por hora. Dominio : De 0 en adelante ( 120 120,8 120,04 etc)Variable : Continua
Distribuciones de frecuencias
Toma de datos: Es la obtención de una colección de los mismos que no han sido ordenados numéricamente.
Ejemplo: Conjunto de alturas de 100 estudiantes, sacados de unalista alfabética de una Universidad.
Ordenación: Es una colocación de los datos numéricos tomados,en orden creciente o decreciente de magnitud.
Ejemplo:32 , 45, 100, 120 , 145, 186, 198, 200 ( ordenación creciente ) 200, 198, 186, 145, 120, 100, 45, 32 ( ordenación decreciente)
Al recoger información se obtiene un gran número de datos,que conviene presentar en forma resumida en una tabla llamada distribución de frecuencias.
Frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite un valorde la variable.
Ejemplo: Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas, en la asignatura de Matemática, por un grupo de 30 alumnos: 7 – 3 – 5 – 4 – 3 – 4 – 5 – 6 – 5 – 7 – 3 – 2 – 6 – 5 – 4 – 6 – 3 - 4 – 5 – 2 - 7 – 4 – 5 – 7 – 6 – 5 – 4 – 2 –3 - 1
Variable Estadística Frecuencia absoluta
Calificación Nº de alumnos
1 1
2 3
3 5
4 6
5 7
6 4
7 4
Frecuencia acumulada hasta un valor determinado: es el número de observaciones menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas.
Ejemplo:
3047
2646
2275
1564
953
432
111
-------------Nº de alumnosCalificación
Frecuencia acumuladaFrecuencia absolutaVariable estadística
Frecuencia relativa: es el cuociente entre la frecuencia absolutay el número total de individuos de la muestra
Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Calificación Nº de alumnos -----------
1 1 1 / 30
2 3 3 / 30
3 5 5 / 30
4 6 6 / 30
5 7 7 / 30
6 4 4 / 30
7 4 4 / 30
NOTA: La suma de las frecuencias relativas es igual a 1Ej. 1 / 30 + 3 / 30 + 5 / 30 + 6 / 30 + 7 / 30 + 4 / 30 + 4 / 30 = 30 / 30 = 1
Frecuencia relativa porcentual: Es la frecuencia relativa expresada en porcentajes.
Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia relativa porcentual
Calificación Nº de alumnos -----------
1 1 ( 1 / 30 ) • 100
2 3 ( 3 / 30 ) • 100
3 5 ( 5 / 30 ) • 100
4 6 ( 6 / 30 ) • 100
5 7 ( 7 / 30 ) • 100
6 4 ( 4 / 30 ) • 100
7 4 ( 4 / 30 ) • 100
NOTA: La suma de las frecuencias relativas porcentuales es el 100%
Ejercicios
Los siguientes datos son las calificaciones de un grupo de 27 alumnos en la asignatura de matemática: 5 6 5 7 4 2 3 5 4 6 7 5 4 6 5 4 5 6 4 3 4 6 7 5 4 5 6
a) Construya una tabla de distribución de frecuenciasb) ¿Cuántos alumnos tienen nota inferior a 5? c) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota 4? d) ¿Cuántos alumnos tiene nota 6? e) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota superior o igual a 4?
RespuestaCalificación frecuencia Frecuencia
acumuladaFrecuencia relativa
Frec. relat. porcentual
2 1 1 1 / 27 = 0,037 3,7
3 2 3 2 / 27 = 0,074 7,4
4 7 10 7 / 27 = 0,259 25,9
5 8 18 8 / 27 = 0,296 29,6
6 6 24 6 / 27 = 0,222 22,2
7 3 27 3 / 27 = 0,111 11,1
b) 10 alumnos tienen nota inferior a 5,0c) El 25,9% de los alumnos tiene nota 4,0d) 6 alumnos tienen nota 6,0 e) El 88,8% de los alumnos tiene nota igual o superior a 4,0
Una encuesta realizada a alumnos de Cuarto Medio acerca de su futura profesión, indica lo siguiente:
Variable profesión
F. absoluta Nº de alumnos
Ingeniería 10
Medicina 6
Economía 12
Periodismo 8
Derecho 5
Arquitectura 9
Otras 10
a) Completar la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual.b) ¿Cuántos alumnos fueron encuestados?c) ¿Cuál es la profesión que tiene mayor preferencia?d) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere arquitectura?e) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere medicina?
Respuesta
Profesión Frecuencia F. acumulada F. relativa F. relat. %
Ingeniería 10 10 10 / 60 = 0,166 16,6
Medicina 6 16 6 / 60 = 0,100 10,0
Economía 12 28 12 / 60 = 0,200 20,0
Periodismo 8 36 8 / 60 = 0,133 13,3
Derecho 5 41 5 / 60 = 0,083 8.3
Arquitectura 9 50 9 / 60 = 0,150 15,0
Otros 10 60 10 / 60 = 0,166 16,6
b) 60 alumnos fueron encuestados c) Economía es la profesión con mayor frecuenciad) El 15% de los alumnos prefiere Arquitecturae) El 10% de los alumnos prefiere Medicina
En una muestra de 40 familias, el número de hijos se distribuye según la tabla:
Variable F. absoluta
Nº de hijos Nº de familias
1 2
2 8
3 12
4 14
5 3
6 1
a) Completa la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual.b) ¿Cuántas familias tienen menos de 4 hijos?c) ¿Cuántas familias tienen 5 hijos?d) ¿Cuál es la frecuencia relativa de las familias que tienen 2 hijos? e) ¿Qué porcentaje de familias tiene 6 hijos?f) ¿Qué fracción representan las familias con 2 hijos?g) ¿Qué fracción representan las familias con 4 hijos?
RespuestaNº hijos Frecuencia F. acumulada F, relativa Frec. Relat. %
1 2 2 2 / 40 = 0,05 5
2 8 10 8 / 40 = 0,20 20
3 12 22 12 / 40 = 0,30 30
4 14 36 14 / 40 = 0,35 35
5 3 39 3 / 40 = 0,075 7,5
6 1 40 1 / 40 = 0,025 2,5
b) 22 familias tienen menos de 4 hijos c) 3 familias tienen 5 hijos d) La frecuencia relativa de familias con 2 hijos es de 0,20 e) El 2,5% de las familias tiene 6 hijosf) 1 / 5 de las familias tienen 2 hijosg) 7 / 20 de las familias tienen 4 hijos
Medidas de tendencia central en valores no agrupados.
Son valores representativos de la totalidad de los datos. Su cálculo permite analizar los datos en torno a un valor central.
Los valores centrales más usados son: Media aritmética. Mediana Moda.
Media aritmética ( X )
Media aritmética: corresponde al promedio de los valores. Se simboliza por X
La media aritmética se obtiene sumando los valores de la variabledividido por el número total de valores.
En forma General : X = x1 + x2 + x3 +....xn n
Ejemplo: Determinar el promedio de notas de un alumno, en la asignaturade Lenguaje y comunicación.
Las notas son: 3- 5 - 7 - 6 - 4 - 5 - 3 - 5 - 4 - 5 - 3 - 4
X = 3 + 5 + 7 + 6 + 4 +5 + 3 +5 + 4 + 5 + 3 + 4 = 54 = 4,5 12 12
Luego, el promedio de notas del alumno es 4,5
Mediana ( Me )
Es el valor de la variable que deja igual número de valores antes ydespués de él en una distribución de frecuencias
Según el número de valores de la variable se distinguen dos casos:
Si el número de valores es impar, la mediana coincide con el valor central. Ejemplo: 5 – 8 – 9 – 11 – 12 – 13 – 15 Luego, la mediana es el 11
NOTA: los valores deben estar ordenados. Puede ser en forma creciente o decreciente
Si el número de valores es par, la mediana es el promedio aritmético de los dos valores centrales.
Ejemplo: 2 – 3 – 5 – 6 – 8 – 9 – 11 – 12
El calculo sería: ( 6 + 8 ) : 2 = 14 : 2 = 7
Luego, la mediana es 7
Moda ( Mo )
Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia
Ejemplo:
Variable F. absoluta
Nº de hijos Nº de familias
1 2
2 8
3 12
4 14
5 3
6 1
La moda es 4 hijos, porque tienemayor frecuencia, que es del 14familias.
Ejercicios
Las calificaciones de un estudiante de la UNEMI, en seis pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar el promedio de sus notas.
Respuesta: X = 84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78 = 480 = 80 6 6
Luego, el estudiante tiene promedio 80
Diez medidas de diámetro de un cilindro fueron registradas como: 3,88 4,09 3,92 3,97 4,02 3,95 4,03 3,92 3,98 y 4,06
Respuesta:
X = 3,88 + 4,09 + 3,92 + 3,97 + 4,02 + 3,95 + 4,03 + 3,92 +3,98 +4 ,06 10
= 39,82 = 3,98 10
Luego, la media aritmética es 3,98
Calcular el salario medio semanal de 65 empleadosSalario Frecuencia
$ 55.000 8
$ 65.000 10
$ 75.000 16
$ 85.000 14
$ 95.000 10
$ 105.000 7
Respuesta
Salario ( x) Frecuencia F • X
$ 55.000 8 $ 440.000
$ 65.000 10 $ 650.000
$ 75.000 16 $ 1.200.000
$ 85.000 14 $ 1.190.000
$ 95.000 10 $ 950.000
$ 105.000 7 $ 735.000
X = 440.000 + 650.000+ 1.200.000 + 1.190.000 + 950.000 + 735.000 65
= 5.165.000 = 79.461,538 65
Luego, el sueldo promedio es $ 79.461,5
Las calificaciones de un estudiante de la UNEMI, en seis pruebas, fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar la mediana de sus calificaciones
Respuesta:Se deben ordenar las calificaciones: 68 72 78 84 87 91 Luego, la mediana es 78 + 84 = 162 = 81 2 2
Hallar la moda de los siguientes números: 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.
Respuesta: La moda es el número 5, ya que su frecuencia es mayor
Representación gráfica de la información
Gráfico lineal o de segmentos: Se utiliza especialmente para representar datos numéricos de situaciones que ocurren en períodos sucesivos.
0
5
10
15
20
25
30
35
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Tem
peratura
gráfico de Barra : Permite hacer comparaciones mediante barras paralelas colocadas en forma vertical u horizontal entre dos ejes perpendiculares.
010
203040
50607080
90
1ertrim.
2dotrim.
3ertrim.
4totrim.
MatematicaLenguaje
Gráfico circular: Consiste en un círculo dividido en sectores que representan las frecuencias relativas porcentuales de una distribución
Los 360 grados del círculo se dividen proporcionalmente alporcentaje correspondiente de cada frecuencia.
1er trim.13%
2do trim.17%
3er trim.57%
4to trim.13%
Distribución de frecuencias con datos agrupados
Rango: Es la diferencia entre el mayor valor y el menor de ellos.
Ejemplo: Si la estatura del alumno más alto de un curso es 1,92 m y la del menor es 1,68 m, entonces el rango de estos datos es: 1,92 m – 1,68 m = 0,24 m = 24 cm.
Clases o intervalos : En la ordenación de datos muy numerosos, es usual presentarlos agrupados y ordenados en clases o categorías.
Ejemplo: En un grupo de 50 alumnos se registraron los siguientes puntajes en una prueba:
61 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 78 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 7379 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 8077 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87
Para ordenarlos y agruparlos, se establecen los intervalos que se usarán, determinando el rango de los datos.
Dato mayor: 88 Dato menor: 61 Rango: 88 – 61 = 27
De acuerdo con el rango y teniendo en cuenta la cantidad de datos, se forman los intervalos.
Si quisiéramos formar 6 intervalos, se tiene que dividir el rangocon la cantidad deseada.27 : 6 = 4, 5 se aproxima a 5 ( amplitud aparente del intervalo)
Intervalo de puntajes Frecuencias
60 – 64 5
65 – 69 5
70 – 74 8
57 – 79 12
80 – 84 16
85 – 89 4
El intervalo 60 – 64 es unsímbolo para representara la clase respectiva
Los valores 60 y 64 sonlos límites aparentes dela clase.
Los límites reales de una clase se obtienen calculando el promedio entre el límite aparente superior de una clase y el límite aparente inferior de la clase siguiente.
Ejemplo: Calcular los límites reales de la clase 70 – 74
Lri = 2
7069=
2
139 = 69,5 Límite real inferior
Lrs = 2
7574=
2
149 = 75,5 Límite real superior
Tamaño o amplitud de una clase: Corresponde a la diferencia entre su límite real superior y el límite real inferior. Ejemplo: 75,5 – 69,5 = 5 Su amplitud es igual a 5
NOTA: Todas las clases tienen igual tamaño.
Marca de clase: Es el punto medio de un intervalo de clase.
Ejemplo.
7270 – 74
6765 – 69
6260 – 64
Marca de claseIntervalo
Frecuencia total: Es la suma de las frecuencias absolutas de todas las clases.
Ejemplo:
1011 -15
116 – 10
121 – 5
FrecuenciaIntervalo
Frecuencia total 12 + 11 + 10 = 33
Ejercicios
61 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 78 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 7379 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 8077 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87
Dado los siguientes puntajes, determinar:
a) Determinar seis intervalos b) Determinar el límite real superior e inferior de cada clasec) Determinar la marca de clase de cada intervalod) Determinar la frecuencia absoluta
RespuestaSe debe determinar el rango: Pje mayor – Pje menor: 88 – 61 = 27
Luego, 27 : 6 = 4,5 se aproxima a 5 la amplitud del intervalo
Intervalo Lri - Lrs Marca de clase Frecuencia
60 – 64 59,5 – 64,5 62 5
65 – 69 64,5 – 69,5 67 5
70 – 74 69,5 – 74,5 72 8
75 – 79 74,5 – 79,5 77 12
80 – 84 79,5 – 84,5 82 16
85 – 89 84,5 – 89,5 87 4
Ordena los siguientes datos de menor a mayor y calcula su rango: 3,22 2,92 3,01 4,48 5,06 4,31 2,98 3,07
Respuesta: Ordenado: 2,92 2,98 3,01 3,07 3,22 4,31 4,48 5,06Rango: 5,06 – 2,92 = 2,14
La siguiente distribución de frecuencias corresponde a los salarios de los empleados de una fábrica:
Salarios ( $ ) Frecuencia
50.000 – 54.999 7
55.000 – 59.999 18
60.000 – 64.999 32
65.000 – 69.999 45
70.000 – 74.999 52
75.000 – 79.999 28
80.000 – 84.999 16
85.000 – 89.999 8
f) Determina la frecuencia acumulada.
20685.000 – 89.999
19880.000 – 84.999
18275.000 – 79.999
15470.000 – 74.999
10265.000 – 69.999
5760.000 – 64.999
2555.000 – 59.999
750.000 – 54.999
FrecuenciaSalarios ( $ )
Respuesta:
acum
g) Determinar la frecuencia relativa
8 / 206 = 0,03885.000 – 89.999
16 / 206 = 0,07780.000 – 84.999
28 / 206 = 0,13575.000 – 79.999
52 / 206 = 0,25270.000 – 74.999
45 / 206 = 0,21865.000 – 69.999
32 / 206 = 0,15560.000 – 64.999
18 / 206 = 0,08755.000 – 59.999
7 / 206 = 0,03350.000 – 54.999
Frecuencia relativaSalarios ( $ )
Respuesta:
h) Determinar la frecuencia relativa porcentual
3,885.000 – 89.999
7,780.000 – 84.999
13,575.000 – 79.999
25,270.000 – 74.999
21,865.000 – 69.999
15,560.000 – 64.999
8.755.000 – 59.999
3,350.000 – 54.999
Frecuencia relativaSalarios ( $ )
Respuesta:
%
Ejercicio
Después de medir las alturas de 40 alumnos de un curso, resultaron los siguientes valores de la variable:
154 178 150 166 182 175 163 175 150 162 155 155 161 165 160 159 160 168 165 162 163 155 157 161 162 155 167 164 162 158 158 163 166 167 156 164 170 176 172 160
a) Determina el rango
Respuesta: 182 - 150 = 32
b) Determina 8 intervalos:
Respuesta: El rango es 32. Luego, 32 : 7= 4,5 (5 amplitud )
Intervalo
150 – 154
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
175 – 179
180 – 184
c) Determinar la frecuencia
Respuesta:
180 – 184
175 – 179
170 – 174
165 – 169
160 – 164
155 – 159
150 – 154
Intervalo
1
4
2
7
14
8
4
Frecuencia
g) Determinar la frecuencia acumulada
Respuesta:
180 – 184
175 – 179
170 – 174
165 – 169
160 – 164
155 – 159
150 – 154
Intervalo
40
39
35
33
26
12
4
F. acumh) Determinar la frecuencia relativa porcentual
Respuesta:
180 – 184
175 – 179
170 – 174
165 – 169
160 – 164
155 – 159
150 – 154
Intervalo
2,5
10
5
17,5
35
20
10
F. Relat %
i) ¿Cuántos alumnos miden menos de 160 ?
Respuesta: 12 alumnos miden menos de 160
j) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 170 y 174 ?Respuesta: El 5% de los alumnos miden entre 170 y 174k) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 160 y 174 ?
Respuesta: El 57,5 % de los alumnos mide entre 160 y 174l) ¿Cuál es la frecuencia total ?Respuesta: n = 40m) ¿Cuál es la amplitud del intervalo ?Respuesta: c = Lrs – Lri = 159,5 - 154,5 = 5
Representación gráfica en datos agrupados
Histograma: Es un gráfico de barras verticales que sirve para representar los datos de una distribución de frecuencias en la cual los valores de la variable están agrupados en intervalos.
Las bases de las barras o rectángulos están sobre el eje horizontal y su ancho ( longitud sobre el eje) es igual al tamaño de los intervalos de clase.
El histograma tiene la siguiente característica:
Ejemplo:
Esta tabla de distribución de frecuencias indica las edades de losalumnos que asisten a clases de Inglés.Edad frecuencia
5 – 7 8
8 – 10 10
11 – 13 7
14 – 16 5
17 – 19 4
2468
10
5- 7 8-10 11-13 14-16 17-19I
f
Eje x = intervalosEje y = frecuencia
Polígono de frecuencia
Es la modalidad de un gráfico de datos que se origina al unirlos puntos medios de los lados superiores de las barras de un histograma.
6 9 12 15 18
2468
10
x
f
•
•
••
•
El punto medio de cada intervaloes la marca de clase
Ejercicio
Dada la tabla de distribución de edades de un grupo de padrescuyos hijos están en primer año de universidad. Hallar: a) media aritmética b) Mediana c) Moda
Edad frecuencia
45 – 48 2
49 – 52 5
53 – 56 12
57 – 60 8
61 – 64 5
a) Media aritmética
Edad f x f • x
45 – 48 2 46,5 93
49 – 52 5 50,5 252,5
53 – 56 12 54,5 654
57 – 60 8 58,5 468
61 – 64 5 62,5 312,5
X = f • x = 1780 = 55,625 n 32
¡ Puff……!
b) Mediana
32561 – 64
27857 – 60
191253 – 56
7549 – 52
2245 – 48
F acumfEdad
n = 32
n / 2 = 32 / 2 = 16
L i m = 52 + 53 = 52,5 2
f (acum ant) = 7
c = 56,5 - 52,5 = 4
f m = 12
Me = 52,5 + ( 16 – 7 ) • 4 = 52,5 + 9 • 4 = 55,5 12 12
: El intervalo modal es [53 - 56] . Luego. La moda es su marca de clase: 53 + 56 = 54,5 2
c) Moda:
* Construye una tabla de distribución de frecuencias de datos
agrupados en intervalos de clase. Considera como limite inferior del primer intervalo = 10 y c = 10 El puntaje obtenido por 130 alumnos en una prueba de biología
es el siguiente:
12 45 53 85 23 91 34 56 65 70 72 74 86 95 32 45 56 58 33 49 55 70 66 62 64 55 83 26 34 72 60 64 72 80 58 98 50 20 35 76 68 90 99 56 48 56 68 82 40 92 38 56 84 66 78 74 25 15 48 50 66 49 53 83 91 42 64 72 54 89 92 28 34 40 56 64 68 63 35 56 66 38 82 78 74 90 85 66 70 72 58 66 80 80 95 96 99 94 40 42 58 65 67 81 90 50 48 52 62 70 80 93 45 36 49 81 73 56 38 51 23 90 84 96 75 38 28 36 83 29
Respuesta:
Intervalo
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 99
M. de Clase
14,5
24,5
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
frecuencia
2
8
13
14
22
20
17
17
17
F. acum.
2
10
23
37
59
79
96
113
130
F. Relat
0,015
0,061
0,100
0,107
0,169
0,153
0,130
0,130
0,130
F. Relat.%
1,5
6,1
10,0
10,7
16,9
15,3
13,0
13,0
13,0
De acuerdo con la tabla anterior, responder las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos?
Respuesta: Hay 27 alumnos
b) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 60 y 89 puntos?
Respuesta: Hay 54 alumnos
c) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 40 y 99 puntos?
Respuesta: Hay 107 alumnos
d) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron entre 30 y 49 puntos?
Respuesta: El 20,7 % de los alumnos
e) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo entre 50 y 59 puntos?
Respuesta: el 16,9 % de alumnos
f) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 60 puntos?
Respuesta: 59 alumnos
g) ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 30 puntos? Respuesta: 10 alumnos
h) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 50 o más puntos?Respuesta: 93 alumnos
i) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 70 o más puntos?
Respuesta: 51 alumnos
j) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo menos de 20 puntos?
Respuesta: 1,5 % de los alumnos
k) ¿Cuál es la marca de clase que representa al intervalo de mayor frecuencia?
Respuesta: la marca de clase de mayor frecuencia es 54,5
l) ¿Cuál es el límite aparente superior del tercer intervalo?
Respuesta: 39
m) ¿Cuál es el límite real inferior del quinto intervalo?
Respuesta: 49,5
n) ¿Cuál es la amplitud del intervalo?
Respuesta: c = 10
n) Calcula la media aritmética:
Respuesta:Intervalo
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 99
M. de Clase
14,5
24,5
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
f • x
29
196
448,5
623
1199
1290
1266,5
1436,5
1606,5
X = f • x n
17
17
17
20
22
14
13
8
2
frecuencia
n = 130
X = 8095 130
X = 62,26
ñ) Calcula la mediana:
Respuesta:
Intervalo
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 - 99 17
17
17
20
22
14
13
8
2
frecuencia
n = 130
F. acum.
2
10
23
37
59
79
96
113
130
n / 2 = 130 / 2 = 65
L i m = 59,5 c = 10
f(acum. ant) = 59
f m = 20
Me = 59,5 + ( 65 – 59 ) • 10 20
Me = 59,5 + 6 • 10 20Me = 59,5 + 3 = 62,5
o) Calcular el intervalo modal y la moda :
Respuesta:
El intervalo modal es [50 - 59] porque tiene la mayor frecuencia , que es 22.
La moda corresponde a la marca de clase de ese intervalo.
Luego, Mo = 50 + 59 = 54,5 2
a + b = c
Ejercicios
Calcular el rango entre. 3,22 2,93 3.01 4,48 5,06 4.31 2,98 3,07
Repuesta: 5,06 - 2,98 = 2,08
El siguiente cuadro muestra el consumo anual en Chile de kilogramos de carne de bovino per cápita.
Año 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1996
Consumo 17,0 15,0 14,7 14,0 15,6 17,3 18,5 18,1 17,6 20,0
a) Calcular el consumo promedio desde 1986 hasta 1992
Respuesta: X = 115,8 = 16,54 7
b) Calcular el consumo promedio de los 10 años?
Respuesta: X = 1678 = 16,78 10
La siguiente tabla representa las medidas de una pieza de motores
Intervalo Frecuencia
100 – 109 4
110 – 119 17
120 – 129 29
130 – 139 18
140 – 149 10
150 – 159 5
160 – 169 2
Dibuja en un mismo gráfico el histograma y el polígono de frecuencias.
Respuesta:
f
104,5 114,5 124,5 134,5 144,5 154,5 164,5
4
18
29
10
•
•
•
•
••
•
Marca de clase
Dado las siguientes frecuencias, calcular la mediana,
la moda y la media aritmética 6 - 7 - 7 - 3 - 4 - 1 - 7 - 5Respuesta:
Me : Para calcular la mediana se deben ordenar las frecuencias: 1 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 7 - 7 Luego, 5 + 6 = 11 = 5,5 Me = 5,5 2
Mo = La moda es 7 , porque es la frecuencia que más se repite
X = 6 + 7 + 7 + 3 + 4 + 1 + 7 + 5 = 40 = 5 8 8
Las notas obtenidas por 45 alumnos en una prueba de
Estadística son: Notas Frecuencia
1 1
2 4
3 5
4 6
5 9
6 12
7 8
Determinar : Mo, Me y X
Respuesta:
X = 1•1 + 2 • 4 + 3 • 5 + 4 • 6 + 5 • 9 + 6 • 12 + 7 • 8 = 221 = 4,9 45 45
Me = Como n / 2 = 45 / 2 = 22,5 Luego. la mediana es 5 , pues es el primer valor de la variable cuya f(acum.) es igual o mayor que 22,5
Mo = La moda es 6 pues es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta