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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE FISICA
QUEBRA DA DEGENERESCENCIA DE SPIN VIA
ASSIMETRIA DE INVERSAO ESTRUTURAL: APLICACAO
A ESTADOS ELETRONICOS EM HETEROJUNCOES III-V
Marcelo Alejandro Toloza Sandoval
Dissertacao apresentada ao Programa de Pos Graduacao em Fısica do Instituto de
Fısica da Universidade Federal da Bahia, orientada pelo Prof. Dr. Antonio Ferreira da
Silva e pelo Prof. Dr. Erasmo Assumpcao de Andrada e Silva, como parte dos requisitos
para obtencao do tıtulo de Mestre em Fısica.
Salvador
2009
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE FISICA
QUEBRA DA DEGENERESCENCIA DE SPIN VIA
ASSIMETRIA DE INVERSAO ESTRUTURAL: APLICACAO
A ESTADOS ELETRONICOS EM HETEROJUNCOES III-V
Marcelo Alejandro Toloza Sandoval
Dissertacao apresentada ao Programa de Pos Graduacao em Fısica do Instituto de
Fısica da Universidade Federal da Bahia, orientada pelo Prof. Dr. Antonio Ferreira da
Silva e pelo Prof. Dr. Erasmo Assumpcao de Andrada e Silva, como parte dos requisitos
para obtencao do tıtulo de Mestre em Fısica.
Salvador
2009
Toloza Sandoval, Marcelo AlejandroQUEBRA DA DEGENERESCENCIA DE SPIN VIA AS-
SIMETRIA DE INVERSAO ESTRUTURAL: APLICACAOA ESTADOS ELETRONICOS EM HETEROJUNCOES III-V/ Universidade Federal da Bahia, 2009. 59p.;
Spintronica, Nanoestruturas Semicondutoras, Degene-
rescencia de Kramers, Assimetria de Inversao Espacial, In-
teracao Spin-Orbita, Efeito Rashba.
AGRADECIMENTOS
Meus sinceros agradecimentos a minha famılia pelo amor, carinho, apoio e incentivo.
Por terem me acolhido durante o tempo em que desenvolvi este trabalho, agradeco a
minha amiga e ex-companheira Ana Emilia e toda sua famılia.
Aos meus companheiros de republica Bruno, Denis, Niemer e Olıvio e aos meus grandes
amigos Ildeli e Dehan, nao sei o que seria de mim sem todas essas amizades.
Agradeco ao Prof. Dr. Antonio Ferreira da Silva pela amizade, pela confianca, pela orien-
tacao, pela oportunidade de trabalhar com um tema de interesse atual e, principalmente,
pelo apoio nos momentos de dificuldade.
Ao Prof. Dr. Erasmo de Andrada e Silva pela orientacao, pela amizade, pela paciencia e
pelo rigor com que conduziu a supervisao deste trabalho.
Ao Prof. Dr. Jailton Souza de Almeida pela amizade, pela motivacao, pelas discussoes e
tambem pelo apoio tecnico.
Ao Prof. Dr. Ivan Costa da Cunha Lima pela amizade e pelas sugestoes muito uteis a
versao final desta dissertacao.
A Rogerio da Silva Neves pela amizade.
Aos Professores Iuri, Denis pela motivacao e incentivo ao longo deste trabalho.
Aos colegas do LaPO e tambem da Pos Graduacao em Fısica.
Aos funcionarios e Professores do Instituto de Fısica da UFBA que, de forma direta ou
indireta, contribuıram para tornar a conclusao deste trabalho possıvel.
Por fim, agradeco a Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior e a
Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado da Bahia pelo financiamento deste trabalho.
RESUMO
O teorema de Kramers garante a degenerescencia de spin para estados eletronicos ape-nas na presenca de ambas simetrias de inversao temporal e inversao espacial. Os estadospermitidos para eletrons confinados em heterojuncoes compostas por ligas semiconduto-ras III-V, possuem a degenerescencia de spin levantada pela interacao spin-orbita (SO),devido a ausencia de simetria de inversao espacial tanto do potencial cristalino (em escalamicroscopica) quanto do perfil da banda de conducao (em escala mesoscopica). O aper-feicoamento das tecnicas de fabricacao dos materiais nanoestruturados, dentre os quaisas heterojuncoes semicondutoras, trouxe a realidade um sistema fısico que ate entao re-presentava apenas uma idealizacao: o gas bidimensional de eletrons (2DEG). O sistemaem questao, alem de formar uma classe de transistores conhecida pela sua alta mobi-lidade eletronica, mostrou possuir propriedades particulares e extraordinarias relativasao transporte de carga (KLITZING et al., 1980; TSUI et al., 1982) e de spin (KATO et al.,2004), quando consideradas, de forma respectiva, a presenca e a ausencia de um campomagnetico externo. Uma perspectiva tecnologica de grande importancia veio a tona coma proposta teorica pioneira do dispositivo atualmente conhecido como spin-field effecttransistor (SPIN-FET) (DATTA; DAS, 1990), onde a precessao do spin eletronico e respon-savel pela funcionalidade de tal dispositivo (WINKLER, 2004). Motivados em parte peloforte apelo tecnologico da proposta de Datta e Das e tambem pela riqueza de fenone-mos observados ou mesmo os de ocorrencia teoricamente especulada em nanoestruturassemicondutoras, estudamos, nesta dissertacao, 2DEGs confinados em interfaces de hete-rojuncoes semicondutoras III-V e o efeito da interacao SO, ou seja, o efeito relativısticopersistente no limite de baixas energias que corresponde a interacao entre o momentode dipolo magnetico intrınseco do eletron (momento magnetico de spin) e um eventualcampo magnetico sentido no referencial do mesmo. Utilizando o modelo de Kane de oitobandas tratamos o problema do bulk, ou seja, o problema do solido cristalino onde sepreserva a simetria de translacao em sua forma quase contınua, ja levando em conta otermo de interacao spin-orbita no Hamiltoniano 8 × 8 de Kane. Em seguida usamos aaproximacao de funcao envelope para resolver o problema do confinamento espacial unidi-mensional provocado pela descontinuidade do perfil de conducao (conduction band offset)na direcao de crescimento. Desenvolvemos um formalismo variacional dependente de spinpara estados de conducao com polarizacao de spin definida (up ou down); obtivemos arelacao de dispersao para ambos estados e o decorrente desdobramento Rashba em funcaodo vetor de onda no plano. Tambem obtivemos o nıvel de Fermi e a funcao de onda parao estado fundamental, ambos calculados segundo a aproximacao de Hartree. Mostramos amodulacao do parametro de acoplamento spin-orbita com a densidade eletronica superfi-cial (2D) explicitando sua dependencia com os parametros dos materiais que compoem aheteroestrura; em especial, levamos em conta o offset da banda de conducao assim como osparametros dos materiais da regiao de barreira. Calculamos as populacoes das subbandasup e down em funcao da densidade eletronica 2D, com o objetivo de possibilitar compara-coes diretas com resultados experimentais provenientes das oscilacoes Shubnikovde Haas.Por fim verificamos o caso da aproximacao de barreira infinita ou barreira perfeitamenteisolante onde recuperamos resultados conhecidos da literatura especializada (SILVA et al.,1994).
ABSTRACT
The Kramers theorem guarantees the spin degeneracy of electronic states only in the pre-sence of both symmetries of time reversal and spatial inversion. The allowed states forelectrons confined in heterojunctions composed by semiconductor elements type III andV has the spin degeneracy lifted by the spin-orbit (SO) interaction due to the absence ofspatial inversion symmetry of the crystalline potential (in microscopic scale) as well as ofthe conduction profile (in mesoscopic scale). The improvement of production techniquesof nanostructured materials, among them the semiconductor heterojunctions, brought toreality the two-dimensional electron gas (2DEG). Such system, besides forming a class oftransistors known by its high electron mobility, has shown extraordinary properties rela-ted to the transport of charge (KLITZING et al., 1980; TSUI et al., 1982) and spin (KATO et
al., 2004), when considered, respectively, the presence and absence of an external magneticfield. In a technological view, an exciting perspective came up with the pioneer proposal ofa hypothetical device nowadays known as spin field-effect transistor (spin-FET) (DATTA;
DAS, 1990); the electron spin precession is responsible by the functionality of such de-vice. Motivated by the technological appeal of the Datta and Das proposal, as well as bythe abundance of phenomena experimentally observed or even theoretically speculated insemiconductor nanostructures, we studied 2DEGs confined at interfaces of III-V semicon-ductor heterojunctions and the effect of SO interaction, i.e., the relativistic effect whichpersists in the limit of low energies and corresponds to the interaction between the spinmagnetic moment of the electron and an eventual magnetic field seen in its frame. Weuse, taking into account the spin-orbit interaction effect, the eight bands Kane model forthe bulk problem, i.e., the problem of a crystalline solid in which the quasi-continuoustranslational symmetry remains preserved; and the envelope function approximation tosolve the problem of the spatial confinement in one dimension due to the discontinuityof the conduction band (conduction band-offset) in the growth direction. We develop aspin-dependent variational theory for spin-polarized conduction states and then obtainthe dispersion relations, the Rashba splitting, the Fermi level and the wave function forthe ground state (calculated within the Hartree approximation). The modulation of theSO coupling parameter with the 2D electron density and its dependence with the he-terostructure parameters was obtained; in particular, we take into account the offset ofthe conduction band as well as the parameters of the barrier materials. We calculate thespin-split subband populations as a function of the 2D electron density, with the goal ofenabling direct comparisons with experimental results from the Shubnikov-de Haas oscila-tions. Finally, we check the case of the infinite barrier approximation (or perfect insulatingbarrier) where well-known results are exactly reproduced (SILVA et al., 1994).
SUMARIO
Pag.
LISTA DE FIGURAS
1 INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 ESTRUTURA ELETRONICA DO BULK . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Alguns conceitos basicos em fısica da estado solido . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Eletrons de Bloch: a rede ionica estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Representacao k · p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Modelo de Kane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Interacao spin-orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 APROXIMACAO DE FUNCAO ENVELOPE . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Estados eletronicos em heterointerfaces: o limite de baixas energias . . . . . . 34
3.2 Aproximacao de barreira infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Hamiltoniano de massa efetiva no limite de baixas energias . . . . . . . . . . . 38
4 SOLUCAO VARIACIONAL DEPENDENTE DE SPIN . . . . . . . . 41
4.1 Funcao de Fang-Howard modificada dependente de spin . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Relacao de dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Parametro de acoplamento spin-orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Energia de Fermi e as populacoes das subbandas . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Aproximacao de barreira perfeitamente isolante . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1 Heterojuncao: insulator/InAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Heterojuncao: InAlAs/InGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Heterojuncao: AlGaAs/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 CONCLUSOES E PERSPECTIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
LISTA DE FIGURAS
Pag.
1.1 A figura adaptada (ZUTIC et al., 2004) representa de forma esquematica a pro-
posta de Datta e Das. A fonte e o dreno sao constituıdos de materiais ferro-
magneticos e possuem momentos magneticos paralelos. Atraves da fonte, os
eletrons sao injetados com uma determinada polarizacao de spin e com vetor
de onda k. Os eletrons sao transportados balisticamente da fonte ao dreno e
seu momento angular de spin precessa em torno do campo magnetico efetivo
(denotado por Ω) associado ao potencial de confinamento assimetrico; e pos-
sıvel, atraves de um eletrodo, alterar a intensidade de tal campo magnetico e
assim controlar a precessao de spin dos eletrons. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 (a) Representacao pictorica de uma heterojuncao; uma interface abrupta en-
tre diferentes materiais semicondutores, produzida artificialmente com precisao
em escala atomica. (b) Diagramacao pictorica para as bandas de conducao e
valencia na situacao de equilıbrio termodinamico. Na interface, o diagrama
apresenta uma descontinuidade abrupta oriunda da diferenca da energia de
gap entre os materiais que compoem a heterojuncao; o potencial de condu-
cao permite o confinamento de um gas (bidimensional) de eletrons no plano
paralelo a interface entre os materiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Representacao pictorica de uma estrutura cristalina hipotetica. Os atomos (ou
ıons) ocupariam as posicoes correspondentes aos vertices de cada celula unita-
ria (representada pelo cubo elementar); tais posicoes definem a geometria da
rede de Bravais para a estrutura em questao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Resultados obtidos segundo o modelo de Kane de tres bandas (CB, LH e HH).
Assumimos Eg = 0.42eV para a liga InAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1 Diagrama de bandas para uma heterojuncao semicondutora III-V. Mostra o
perfil das bandas de conducao e valencia para estados confinados proximos a
interface. Mostra tambem a componente da funcao envelope para a banda de
conducao e o preenchimento dos nıveis de energia ate a chamada energia de
Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Diagrama de bandas para uma heterojuncao semicondutora na aproximacao
de barreira infinita (ou barreira perfeitamente isolante). Mostra o perfil das
bandas de conducao e valencia em uma regiao proxima a interface entre os
materiais. Mostra tambem a componente da funcao envelope para a banda de
conducao e a energia de Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1 (escala a esquerda) Perfil de conducao para uma heterojuncao
In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47As com ns = 1.4 × 1012cm−2. Desdobra-
mento Rashba no nıvel de Fermi. (escala a direita) Funcao modificada
de Fang-Howard dependente de spin. As linhas pontilhadas mostram o caso
isolante/In0.53Ga0.47As para o mesmo valor de ns. . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 (a) Spin-splitting total em funcao do modulo do vetor de onda paralelo a
interface entre os materiais (ou vetor de onda no plano). O inset mostra a
relacao de dispersao resolvida por spin e a aproximacao parabolica representada
pela linha tracejada. O caso limite insulator/In0.53Ga0.47As e representado
em linhas pontilhadas. (b) Mostra a decomposicao do spin-splitting total em
contribuicoes δεi (notacao mostrada na Tabela 4.1) e sua dependencia com o
vetor de onda no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1 Modelo de um 2DEG, com ns = 1.04 × 1012cm−2, confinado em uma hete-
rojuncao do tipo isolante/InAs . (escala a esquerda) Perfil de conducao e o
desdobramento Rashba no nıvel de Fermi. (escala a direita) Funcao de onda
variacional de Fang e Howard (FANG; HOWARD, 1966). . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 (a) Relacao de dispersao para estados eletronicos com spin up (+) e down
(−). A linha tracejada mostra a aproximacao parabolica. (b) Spin-splitting em
funcao do vetor de onda no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 (a) Mostra a variacao relativa entre as populacoes das subbandas com spin
up (+) e down (−). (b) Parametro efetivo de acoplamento SO em funcao da
densidade eletronica superficial do gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Mostra o spin-splitting no nıvel de Fermi para um 2DEG confinado
em uma heterojuncao do tipo In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47As. O caso
insulator/In0.53Ga0.47As (barreira infinita) esta representado pelas linhas pon-
tilhadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 (a) Variacao relativa entre as populacoes das subbandas (spin up e
down). (b) Parametro efetivo de acoplamento spin-orbita. A heterojuncao
In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47As esta representada pelas linhas solidas e o caso
de barreira infinita (isolante/In0.53Ga0.47As) pelas linhas pontilhadas. . . . . . 51
5.6 (a) Variacao relativa entre populacoes das subbandas de spin para os casos
Al0.3Ga0.7As/GaAs (linha solida) e isolante/GaAs (linha pontilhada). (b) Pa-
rametro de acoplamento spin-orbita αeff para ambos os casos. . . . . . . . . . 52
1 INTRODUCAO
Do desenvolvimento das lampadas incandescentes aos computadores atuais, os estudos so-
bre a carga do eletron e seu fluxo em meios materiais propiciaram um avanco tecnologico
sem precedentes. Em particular, os transıstores, presentes aos milhoes nos computadores
atualmente utilizados, sao dispositivos onde a passagem de corrente eletrica e utilizada
como meio de informacao (MALVINO, 1974); entretanto, a crescente necessidade da mini-
aturizacao desses dispositivos, com o objetivo de tornar os computadores cada vez mais
eficientes, devera em breve inviabilizar a atual forma de funcionamento dos transıstores.
O desenvolvimento de tecnicas sofisticadas de crescimento de cristais permitiu a fabri-
cacao de materiais com precisao em escala atomica, ampliando a fronteira de aplicacoes
dos chamados materiais nanoestruturados para alem daquela estabelecida pela eletronica
tradicional. Como consequencia tivemos um enorme avanco e aperfeicoamento dos dispo-
sitivos eletronicos in solid state. Um novo patamar de desenvolvimento tecnologico sera
alcancado assim que obtivermos o controle das propridedades decorrentes da polarizacao
eletronica ou spin, utilizando-as como unidade basica ao processo de informacao, forne-
cendo assim o suporte necessario ao desenvolvimento de tecnologias de alto desempenho e
baixo consumo de energia, como a spintronica (ZUTIC et al., 2004) e a computacao quantica
(AWSCHALOM et al., 2002).
Em tal contexto, a producao em laboratorio das chamadas nanoestruturas semicondu-
toras acabou por agregar um valor ainda maior ao estudo dos sistemas de baixa di-
mensionalidade. Amplamente discutidos na literatura especializada (BASTARD, 1990; DA-
VIES, 1998), pocos, fios e pontos quanticos podem armazenar eletrons confinando-os em
duas, uma e zero dimensoes. Particularmente no campo da spintronica, as nanoestruturas
nao-magneticas, cujos efeitos dependentes de spin derivam exclusivamente da interacao
spin-orbita, tem recebido especial atencao devido ao seu potencial para aplicacoes sem
a necessidade da influencia de campos externos e com maior facilidade de integracao a
eletronica tradicional (DATTA; DAS, 1990).
Em decorrencia do teorema de Kramers (LAX, 1974), os estados eletronicos permitidos em
fios, pocos e pontos quanticos fabricados com compostos semicondutores III-V, possuem a
degenerescencia de spin removida pela interacao spin-orbita, devido a falta de simetria de
inversao espacial. Tal ausencia de simetria ocorre nos nıveis microscopico, conhecido como
Dresselhaus (DRESSELHAUS, 1955) ou BIA (Bulk Inversion Asymmetry), e mesoscopico,
conhecido como Rashba (BYCHKOV; RASHBA, 1984) ou SIA (Structural Inversion Asym-
metry), o que da origem a dois termos distintos da interacao spin-orbita no Hamiltoniano
efetivo para eletrons.
15
O efeito Rashba (BYCHKOV; RASHBA, 1984) e o mecanismo que da suporte a proposta
pioneira para o transistor de spin (DATTA; DAS, 1990), a qual alcancou enorme impacto na
comunidade cientıfica; propostas posteriores surgiram (TING; CARTOIXA, 2002; KOGA et
al., 2002; LUSAKOWSKI et al., 2003; PEREL’ et al., 2003; SCHLIEMANN et al., 2003), algumas
consideram tambem o termo de interacao spin-orbita em nıvel microscopico.
Figura 1.1 - A figura adaptada (ZUTIC et al., 2004) representa de forma esquematica a proposta de Datta e Das.A fonte e o dreno sao constituıdos de materiais ferromagneticos e possuem momentos magneticosparalelos. Atraves da fonte, os eletrons sao injetados com uma determinada polarizacao de spine com vetor de onda k. Os eletrons sao transportados balisticamente da fonte ao dreno e seumomento angular de spin precessa em torno do campo magnetico efetivo (denotado por Ω)associado ao potencial de confinamento assimetrico; e possıvel, atraves de um eletrodo, alterar aintensidade de tal campo magnetico e assim controlar a precessao de spin dos eletrons.
O efeito de interacao spin-orbita ocorre entre o momento de dipolo magnetico intrınseco
do eletron (o spin do eletron) e um eventual campo magnetico sentido no referencial desse
mesmo eletron. Rashba mostrou que o campo magnetico efetivo (Ω) induzido por um
potencial de confinamento assimetrico possui a seguinte forma:
Ω = (2/~)αk× ez = (2/~)α(kyex − kxey) (1.1)
onde α e um coeficiente que depende das caracterısticas do potencial de confinamento.
O Hamiltoniano que descreve a interacao entre o spin do eletron e tal campo magnetico
efetivo sera dado por
HSIA =1
2~σ ·Ω. (1.2)
No entanto, no caso de pocos quanticos de materiais semicondutores, as controversias
referentes ao estudo, tanto experimental quanto teorico, da influencia da interacao spin-
orbita (do tipo Rashba) sobre as propriedades eletronicas e de transporte nao foram
completamente exauridas. Um exemplo diz respeito ao desdobramento de energia no nıvel
16
de Fermi para diferentes auto-estados de spin (chamado spin-splitting) e sua dependencia
com a densidade eletronica; as duas principais tecnicas experimentais de investigacao do
chamado desdobramento Rashba, as oscilacoes Shubnikov-de Hass e a tecnica conhecida
como weak localization (localizacao fraca), ja apresentaram resultados divergentes para
heterojuncoes do tipo isolante/InAs (MATSUYAMA et al., 2000; SCHIERHOLZ et al., 2004).
Tambem nao se encontra completamente esgotada a discussao sobre a relacao entre a
magnitude do spin-splitting e o grau de assimetria da estrutura em questao.
Entre as nanoestruturas com potencial de aplicacao para a spintronica, particularmente
para spin-FETs, as heterojuncoes semicondutoras formam uma classe especial.
Figura 1.2 - (a) Representacao pictorica de uma heterojuncao; uma interface abrupta entre diferentes materi-ais semicondutores, produzida artificialmente com precisao em escala atomica. (b) Diagramacaopictorica para as bandas de conducao e valencia na situacao de equilıbrio termodinamico. Na inter-face, o diagrama apresenta uma descontinuidade abrupta oriunda da diferenca da energia de gapentre os materiais que compoem a heterojuncao; o potencial de conducao permite o confinamentode um gas (bidimensional) de eletrons no plano paralelo a interface entre os materiais.
Para o sistema em questao, o alto grau de assimetria do perfil da banda de conducao
permite o confinamento dos eletrons atraves de um poco quantico triangular, o que da
origem a um acoplamento Rashba forte o qual tambem varia com a densidade de eletrons
do gas. Uma aproximacao que permite incluir (em primeira ordem) o efeito Rashba no Ha-
miltoniano efetivo para estados de conducao em uma heterojuncao, tem sido amplamente
17
discutida (SILVA et al., 1994)
Hc =~2k2
‖
2m∗+ α∗σ · k× ez, (1.3)
onde
α∗ =~2
2m∗∆
Eg
2Eg + ∆
(Eg + ∆)(3Eg + 2∆)eE . (1.4)
Nesse caso, considera-se o poco triangular na aproximacao de barreira infinita e, portanto,
os parametros utilizados (m∗, Eg e ∆) sao do material que constitui a regiao do poco.
E fornece o modulo do campo eletrico na regiao proxima a interface. O desdobramento
entre os nıveis de energia correspondentes a auto-estados para eletrons com spin up (+) e
down (−) e conhecido como Rashba spin-splitting ; o desdobramento Rashba no nıvel de
Fermi e dado por
δε = 2α∗kF . (1.5)
Entretanto, esse modelo apresenta limitacoes importantes. A funcao envelope foi conside-
rada na aproximacao de barreira infinita, para baixas energias e no limite de k pequeno.
Como veremos a nao-parabolicidade e os efeitos de interface como as condicoes de contorno
dependentes de spin (SILVA et al., 1997) e sua conexao com o efeito de penetracao de bar-
reira (GRUNDLER, 2000) nao devem ser simplesmente desprezados; entretanto, nao existe
consenso na melhor maneira de incluir esses efeitos. Muito comummente estes efeitos sao
incluıdos atraves de integracao numerica (WINKLER, 2003; YANG; CHANG, 2006; LAMARI,
2007; LI et al., 2008), podendo levar a solucoes espurias e a inconsistencia na analise da
continuidade da funcao envelope na regiao de fronteira entre os diferentes materiais.
Nesta dissertacao, desenvolvemos uma solucao variacional para descrever estados de con-
ducao em uma heterojuncao levando em conta o efeito Rashba; utilizamos o modelo de
Kane de oito bandas para o estudo dos estados permitidos em um solido cristalino per-
feito e a aproximacao de funcao envelope para tratar o problema das descontinuidades
nos perfis das bandas. Tal solucao variacional permite descrever auto-estados (spin up
e down) da banda de conducao e obter expressoes analıticas para as correspondentes
auto-energias; tambem permite mostrar a influencia do efeito de penetracao de barreira
sobre o desdobramento Rashba. Assim, modelamos 2DEGs confinados nas heterojuncoes
insulator/InAs, InAlAs/InGaAs e AlGaAs/GaAs e obtivemos, para cada um dos casos, a
modulacao do acoplamento Rashba com a densidade eletronica do gas. Encontramos um
bom acordo com medidas experimentais independentes (YANG et al., 2006; MATSUYAMA
et al., 2000).
18
2 ESTRUTURA ELETRONICA DO BULK
2.1 Alguns conceitos basicos em fısica da estado solido
Um solido cristalino possui uma estrutura microscopica que se caracteriza pelo ordena-
mento espacial dos atomos (ıons) ou moleculas que o constituem; define-se, conceitual-
mente, uma estrutura cristalina como o produto resultante de um ordenamento espacial,
com periodicidade perfeita, de replicas de uma estrutura elementar conhecida como ce-
lula unitaria, conforme mostrado de forma pictorica na Figura 2.1 para o caso de uma
estrutura cristalina hipotetica.
Figura 2.1 - Representacao pictorica de uma estrutura cristalina hipotetica. Os atomos (ou ıons) ocupariam asposicoes correspondentes aos vertices de cada celula unitaria (representada pelo cubo elementar);tais posicoes definem a geometria da rede de Bravais para a estrutura em questao.
No escopo da teoria dos solidos cristalinos, um conceito fundamental e o da rede de
Bravais. As seguintes definicoes para a rede de Bravais, sao equivalentes:
(I) Uma rede de Bravais e um arranjo infinito de pontos discretos, o arranjo e a orientacao
de seus pontos parecem exatamente os mesmos quando visualizados de qualquer ponto
pertencente a rede.
(II) Uma rede de Bravais (tridimensional) e constituıda por todos os pontos com vetores
de posicao R da forma:
R = n1a1 + n2a2 + n3a3 (2.1)
onde a1, a2 e a3 sao chamados de vetores primitivos e n1, n2 e n3 sao numeros inteiros
(conforme pode ser visto na figura acima). Qualquer ponto de rede com vetor posicao R
19
poder ser obtido atraves de uma combinacao linear dos vetores primitivos, entao dizemos
que os vetores primitivos geram a rede.
Considere a celula unitaria mostrada na figura 2.1; imagine que cada replica esteja trans-
ladada por um dos vetores (R) da rede, em relacao a posicao original mostrada na figura.
Tal processo de replicacao, para uma celula chamada unitaria, deve permitir preenchi-
mento do espaco sem que haja sobreposicao entre as celulas. A Fig. 2.1 mostra, alem
da celula unitaria, os vetores primitivos e alguns dos pontos de rede; lembrando que a
rede de Bravais e uma construcao geometrica definida por conjunto infinito de pontos,
o que corresponde, portanto, a um cristal perfeito e infinito. Em um solido cristalino de
dimensoes macroscopicas, a grande maioria dos pontos de rede estarao longe da influen-
cia da superfıcie do solido; o conjunto dos pontos de rede que nao sao influenciados pela
superfıcie e o que denominamos por bulk ou cristal volumetrico.
Apos o conceito de rede de Bravais, convem introduzirmos a definicao de rede recıproca
(RR). A rede recıproca sera o conjunto de vetores pertences ao espaco de momentos (de-
notado por K, tambem chamado de espaco recıproco) que satisfazem a seguinte condicao:
RR = G ∈ K | eiG·R = 1 (2.2)
onde G = m1b1 + m2b2 + m3b3, com m1, m2 e m3 inteiros; b1, b2, e b3 sao os vetores
primitivos da rede recıproca, os quais se relacionam com os vetores primitivos da rede de
Bravais conforme segue
b1 = 2πa2 × a3
a1 · a2 × a3
. (2.3)
Obtemos b2 e b1 permutando ciclicamente os ındices. E importante observar que a rede
recıproca e definida em relacao a uma determinada rede de Bravais (por esse motivo a
rede Bravais e tambem chamada de rede direta) e que, pela definicao geometrica de rede
de Bravais, a rede recıproca tambem constitui uma rede de Bravais.
Uma propriedade importante do conjunto de vetores definidos pela Eq. 2.2, e a de que
todos os vetores pertencentes a RR produzem ondas planas que, por sua vez, possuem a
mesma periodicidade da rede de Bravais a qual correspondem. Entao, se R pertence a
uma determinada rede de Bravais e G pertence a recıproca de tal rede, temos que
eiG·(r+R) = eiG·r. (2.4)
O conceito de rede recıproca permite a determinacao das bandas de energia (ASHCROFT;
MERMIN, 1976) para um solido cristalino, considerando a lei de conservacao do momento
associada a simetria de translacao da rede de Bravais que caracteriza o solido em questao.
20
2.2 Eletrons de Bloch: a rede ionica estatica
A teoria de Drude fornece a mais simples descricao para a condutividade finita observada
em determinados materiais; os atomos que compoem tais materiais sao constituıdos por
um nucleo, os eletrons de core (eletrons pertencentes as camadas mais internas) e os
eletrons de valencia. O nucleo e os eletrons de core formam os ıons que ocupam posicoes
estaticas (em primeira aproximacao) e bem definidas na rede cristalina, conforme visto
na Figura 2.1. O ıons resultantes terao o valor de sua massa aproximado pelo valor da
massa do nucleo, e sua carga sera correspondente a soma da carga dos eletrons de core
com a carga dos protons do nucleo. Os eletrons pertencentes ao core e os eletrons de
valencia possuem diferentes valores para suas respectivas energias de ligacao, digamos que
os eletrons de valencia estejam mais fracamente ligados.
No intuito de deixar claro o modelo que utilizaremos, devemos mencionar que, apesar do
sistema fısico em questao (o gas de eletrons e os ıons da rede ) se tratar de um sistema de
muitas partıculas, as interacoes de natureza quantica atuantes entre os pares de partıculas
(particularmente para os eletrons, os efeitos de correlacao e troca) nao serao levadas em
consideracao; assim, o Hamiltoniano total do sistema em questao levara em conta todas
as partıculas que constituem tal sistema (os eletrons e os ıons da rede) e suas possıveis
interacoes (eletron-eletron e eletron-rede), excetuando as interacoes de troca e correlacao.
Como consequencia, tal Hamiltoniano podera ser escrito como uma soma simples sobre
os Hamiltonianos das n partıculas que constituem o sistema. Por fim, consideremos que
em um solido cristalino, os eletrons de valencia formem um gas de eletrons e os ıons
ocupem as posicoes estaticas correspondentes aos pontos de rede (aproximacao de Born-
Openheimer); o Hamiltoniano monoeletronico He sera, sob todas consideracoes feitas, tal
que
He = He(r, p) =p2
2me
+ Ve−e(r) + Ve−rede(r). (2.5)
Obviamente os potenciais de interacao eletron-eletron e eletron-rede sao dependentes da
posicao; o primeiro e um potencial do tipo Coulombiano e o segundo e um potencial com
periodicidade espacial perfeita.
De acordo com um dos postulados da mecanica quantica (COHEN-TANNOUDJI et al., 1977),
o vetor posicao, na condicao de variavel dinamica, possui um operador correspondente que
atua no espaco de Hilbert; na descricao de Schrodinger, onde os operadores nao dependem
do tempo, o conjunto dos auto-estados do operador posicao forma base no espaco de
Hilbert de acordo com as seguintes relacoes ∀ |r′〉 ∈ |r〉:
r|r′〉 = r′ |r′〉 (2.6)
21
com
〈r|r′〉 = δ(r− r′) e
∫ ∞−∞
dr′ |r′〉〈r′ | = 1. (2.7)
O conjunto de auto-valores r forma um espectro contınuo; as duas relacoes acima defi-
nem, respectivamente, a ortogonalidade e a completude dos estados da base.
Voltemos ao Hamiltoniano dado pela equacao 2.5, a interacao eletron-eletron sera tra-
tada, em um momento posterior, segundo a aproximacao de Hartree. O Hamiltoniano
que considera apenas a influencia de um potencial cristalino perfeito e conhecido como
Hamiltoniano de Bloch , ou seja
HBloch(r, p) =p2
2me
+ Ve−rede(r); (2.8)
seus auto-estados (|ΨE〉) e auto-valores (E) satisfazem a seguinte equacao:[p2
2me
+ Ve−rede(r)
]|ΨE〉 = E|ΨE〉. (2.9)
Projetando a equacao acima na base da posicao e utilizando a relacao de completude,
segue que ∫ ∞−∞
dr′〈r|[p2
2me
+ Ve−rede(r)
]|r′〉ΨE(r
′) = EΨE(r). (2.10)
Os elementos de matriz sao (COHEN-TANNOUDJI et al., 1977)
〈r|p|r′〉 = −i~∇δ(r− r′) (2.11)
e
〈r|Ve−rede(r)|r′〉 = Ve−rede(r′)δ(r− r
′). (2.12)
Por fim, da Eq. 2.10 teremos[− ~2
2me
∇2 + Ve−rede(r)
]ΨE(r) = EΨE(r). (2.13)
Observe que o potencial de interacao eletron-rede possui simetria de transla-
cao discreta, definida pela estrutura cristalina em questao, assim a identidade
Ve−rede(r) = Ve−rede(r + R) sera valida para R pertencente a rede Bravais definida
para tal estrutura. O teorema de Bloch determina a forma dos auto-estados ΨE(r); pode
ser verificado que o teorema de Bloch surge como uma consequencia natural da compati-
bilidade entre o Hamiltoniano de Bloch e o operador de translacao definido para a rede de
22
Bravais da estrutura cristalina em questao (ASHCROFT; MERMIN, 1976), ou seja, os auto-
estados do Hamiltiniano de Bloch tambem sao auto-estados de tal operador de translacao.
Teorema 1 (Bloch). Os autoestados de HBloch(r,−i~∇) = −~2∇2/2me+Ve−rede(r) onde
Ve−rede(r) = Ve−rede(r + R) podem assumir a forma
Ψnk(r) = eik·runk(r) (2.14)
onde
unk(r) = unk(r + R) (2.15)
para todo R pertence a rede de Bravais.
Nas expressoes acima, k ∈ RR e n e o ındice de banda (ASHCROFT; MERMIN, 1976).
2.3 Representacao k · p
Chamado de metodo k · p, veremos que este e um metodo perturbativo que utiliza uma
expansao em ondas de Bloch e que permite explorar em detalhes a estrutura de ban-
das nas proximidades de certos pontos pertencentes a rede recıproca; chamados pontos
de alta simetria (ASHCROFT; MERMIN, 1976). Em um trabalho amplamente difundido
(DRESSELHAUS, 1955), Dresselhaus estabeleceu alguns criterios para a determinacao da
estrutura de bandas (nas vizinhancas de um dado ponto do espaco recıproco) assim como
sua dependencia com um pequeno numero de parametros, os quais podem ser determina-
dos experimentalmente com boa precisao (como por exemplo a energia de gap e a massa
efetiva). Considere, inicialmente, substituir a Eq. 2.14 na Eq. 2.13; segue que[p(op)2
2me
+ Ve−rede(r) +~me
k · p(op) +~2k2
2me
]unk(r) = En(k)unk(r). (2.16)
Entao defina
Hk·p(r,−i~∇; k) =p(op)2
2me
+ Ve−rede(r) +~me
k · p(op) +~2k2
2me
(2.17)
onde p(op) =∫∞−∞〈r|p|r
′〉dr′ = −i~∇. Consideremos que, para um dado k = k0, o ope-
rador Hk·p(r,−i~∇; k = k0) possua um conjunto completo de autofuncoes u`k0(r);denominamos este conjunto de representacao k · p (ou base k · p). Com efeito
Hk·p(r,−i~∇; k = k0)u`k0(r) = E`(k0)u`k0(r). (2.18)
Agora utilizaremos uma expansao na base u`k0(r) como solucao para a Eq. 2.16.
23
2.4 Modelo de Kane
Entre os chamados pontos de alta simetria, o ponto Γ representa a origem do espaco
recıproco, ou seja, k = (0, 0, 0) ≡ Γ. No caso de ligas entre semicondutores com estrutura
cristalina do tipo Zinc-Blend (ASHCROFT; MERMIN, 1976), o ponto Γ localiza, assumindo
pequenos valores para k, os pontos de maximo relativo da curva que representa a banda de
valencia e o de mınimo relativo da curva que representa a banda de conducao; a diferenca
de energia entre estes dois pontos extremos e denominada a energia de gap do material
em questao. Seja, portanto, a Eq. 2.18 para k0 = Γ = (0, 0, 0)
Hk·p(r,−i~∇; k = Γ)u`Γ(r) = E`(Γ)u`Γ(r), (2.19)
e defina
HΓ0 = Hk·p(r,−i~∇; k = Γ) =
p(op)2
2me
+ Ve−rede(r). (2.20)
Assim, os auto-estados de HΓ0 sao estados de Bloch que levam em conta as propriedades
de simetria do ponto Γ; neste ponto, os estados de conducao possuem simetria esferica
(equivalente a um orbital atomico do tipo s) e o auto-valor da energia correspondente
ao topo da banda de valencia e degenerado com relacao aos auto-estados que possuem
simetrias equivalentes aos orbitais atomicos px, py e pz (YU; CARDONA, 1996).
O modelo de Kane (KANE, 1982) restringe os estados da base u`Γ(r) ao sub-espaco
|S〉, |X〉, |Y 〉, |Z〉; o ket |S〉 indica um estado com a simetria de um orbital do tipo s, os
estados |X〉, |Y 〉 e |Z〉 possuem, respectivamente, as mesmas simetrias dos orbitais px, py
e pz. Considere a seguinte notacao para base acima descrita: |`〉 (onde ` = S,X, Y, Z);
entao vamos fixar os auto-valores no ponto Γ da seguinte forma: ` = S e auto-estado de HΓ0
com energia correspondente ao ponto de mınimo da banda de conducao (E`=X(Γ) ≡ Ec),
` = X, Y, Z sao auto-estados degenerados de HΓ0 com energia correspondente ao ponto
de maximo da banda de valencia (E`=X,Y,Z(Γ) ≡ Ev). Portanto, a acao de HΓ0 sobre os
estados da base |`〉 sera tal que
HΓ0 |S〉 = Ec|S〉 (2.21)
e
HΓ0 |`〉 = Ev|`〉 (2.22)
se ` = X, Y, Z. A base em questao deve ser ortonormal, ou seja
〈`|HΓ0 |j〉 =
Ecδ`j se j = S,
Evδ`j se j = X, Y, Z.(2.23)
24
Entao, se queremos obter a representacao matricial de Hk·p(r,−i~∇; k) (dado pela Eq.
2.17) na base |`〉, inicialmente devemos obter os elementos de matriz 〈j|p(op)|`〉; para
tanto, considere o operador
p(op) = −i~(ex∂x + ey∂y + ez∂z) (2.24)
e sua atuacao sobre a base |`〉. Com efeito
p(op)|X〉 = −i~∂x|X〉ex = p(op)x |X〉ex, (2.25)
pois a simetria dos estados da base e tal que ∂x〈r|Y 〉 = ∂x〈r|Z〉 = 0. De forma analoga
teremos p(op)|Y 〉 = p(op)y |Y 〉ey e p(op)|Z〉 = p
(op)z |Z〉ez, os elementos de matriz nao nulos se-
rao: 〈S|p(op)|X〉 = 〈S|p(op)x |X〉ex, 〈S|p(op)|Y 〉 = 〈S|p(op)
y |Y 〉ey e 〈S|p(op)|Z〉 = 〈S|p(op)z |Z〉ez
com 〈j|p(op)|`〉 = 〈`|p(op)|j〉∗. Os integrais seguintes assumirao um mesmo valor (DRESSE-
LHAUS, 1955; KANE, 1982; BASTARD, 1990; YU; CARDONA, 1996; DAVIES, 1998)
〈S|p(op)x |X〉 = 〈S|p(op)
y |Y 〉 = 〈S|p(op)z |Z〉 = i
me
~
√3
2P. (2.26)
Consideremos a expansao na base |`〉 como solucao para a Eq. 2.16, ou seja
unk(r) =∑
`=S,X,Y,Z
a`|`〉. (2.27)
Substituindo a expansao acima na Eq. 2.16 e projetando o resultado obtido sobre um
estado qualquer (|j〉) pertencente a base, teremos
∑`=S,X,Y,Z
[E`(Γ) +
~2k2
2me
− En(k)
]δj` +
~me
k · 〈j|p(op)|`〉a` = 0, (2.28)
de onde segue o seguinte sistema de equacoes:Ec + εk − En(k) i
√3/2Pkx i
√3/2Pky i
√3/2Pkz
−i√
3/2Pkx Ev + εk − En(k) 0 0
−i√
3/2Pky 0 Ev + εk − En(k) 0
−i√
3/2Pkz 0 0 Ev + εk − En(k)
as
ax
ay
az
=
0
0
0
0
onde, por conveniencia, fizemos εk = ~2k2
2me. Tal sistema de equacoes e facilmente diagonali-
zavel; das tres ultimas equacoes obtemos ax, ay e az em funcao de as, entao os resultados
obtidos sao substituıdos na primeira equacao do referido sistema. Os auto-valores encon-
25
trados serao
ECB(k) =1
2(Ec + Ev) +
1
2
√E2g + 6P 2k2 +
~2k2
2me
' Ec +~2k2
2me
(1 + 3
meP2
~2Eg
), (2.29)
ELH(k) =1
2(Ec + Ev)−
1
2
√E2g + 6P 2k2 +
~2k2
2me
' Ev +~2k2
2me
(1− 3
meP2
~2Eg
)(2.30)
e
EHH(k) =~2k2
2me
. (2.31)
Observe que, para pequenos valores de k, podemos expandir em series de Taylor as relacoes
obtidas para os auto-valores. Entao, na aproximacao parabolica, cada banda tera um
espectro equivalente ao de partıcula livre com uma correspondente massa efetiva:
1
mCB
=1
me
(1 + 3
meP2
~2Eg
),
1
mLH
=1
me
(1− 3
meP2
~2Eg
)(2.32)
e mHH = me. Os integrais que permitem obter o valor de P sao estimados de acordo com
a seguinte relacao: Ep = 32
2me
~2 P2 = 22eV (YU; CARDONA, 1996). Entao, assumindo Eg =
1.5eV para a liga binaria GaAs, obtemos os valores mCB = 0.061me e mCB = 0.073me; em
otimo acordo tanto com o valores medidos (valores experimentais) quanto com os valores
provenientes de calculos mais elaborados. Assim distinguimos a massas para estados de
conducao (mCB), para buracos leves (mLH) e para buracos pesados (mHH). Fica evidente
que o modelo nao consegue descrever adequadamente a relacao de dispersao para buracos
pesados, para estes estados perde-se a informacao sobre a renormalizacao da massa.
0 1 2
E L H ( k )
E H H ( k )
E C B ( k )
E V
E g
I n A s
k ( n m - 1 )
G a A s
E C
0 1 2 - 1
0
1
2
3
Energ
y (eV)
Figura 2.2 - Resultados obtidos segundo o modelo de Kane de tres bandas (CB, LH e HH). Assumimos Eg =0.42eV para a liga InAs.
26
2.5 Interacao spin-orbita
Em materiais semicondutores com estrutura cristalina do tipo Zinc-Blend, a interacao
spin-orbita e responsavel pela remocao da degenerescencia da banda de valencia no ponto
Γ. No caso onde os espectros observados sao de baixas energias (como no caso em questao),
deve-se considerar o limite nao-relativıstico da equacao de Dirac (SAKURAI, 1978); mostra-
se que, nesse limite, a interacao spin-orbita aparece como uma correcao de primeira ordem
sobre a equacao de Schroedinger:
Hso =~
4m2ec
2
(∇V × p(op)
)· σ (2.33)
onde σ e o operador de Pauli e suas componentes serao representadas por matrizes as
quais, na base dos auto-estados de σy, sao tais que
σx =
(0 −ii 0
); σy =
(1 0
0 −1
); σz =
(0 1
1 0
).
Defina
hso =~
4m2ec
2∇V × p(op) = hsox ex + hsoy ey + hsoz ez. (2.34)
Portanto, Hso tera a seguinte representacao matricial
Hso = hso · σ =
hsoy hsoz − ihsox
hsoz + ihsox −hsoy
.
Considere a equacao de auto-valor para H0 +Hso na base em que H0 e diagonal, ou seja H0 + hsoy hsoz − ihsox
hsoz + ihsox H0 − hsoy
b(r)
c(r)
= 1E
b(r)
c(r)
.
As componentes b(r) e c(r) do spinor devem ser escritas nas base |S〉, |X〉, |Y 〉, |Z〉:
b(r) =∑
`=S,X,Y,Z
b`|`〉 (2.35)
c(r) =∑
`=S,X,Y,Z
c`|`〉. (2.36)
27
Teremos, portanto, o sistema de equacoes∑`=S,X,Y,Z
[ (H0 + hsoy
)b` + (hsoz − ihsox ) c`
]|`〉 = E
∑`=S,X,Y,Z
b`|`〉 (2.37)
∑`=S,X,Y,Z
[(nsoz + ihsox )b` +
(H0 − hsoy
)c`
]|`〉 = E
∑`=S,X,Y,Z
c`|`〉. (2.38)
A simetria dos elementos de matriz e tal 〈X|hsoy |Z〉 = 〈Y |hsoz |X〉 = 〈Z|hsox |Y 〉. Define-se o
parametro dimensao de energia conhecido como split-off e que correponde ao desdobra-
mento de energia, no ponto Γ, provocado pela interacao spin-orbita, conforme segue
∆ = −3i〈X|hsoy |Z〉 = −3i~
4m2ec
2〈X|(∇V × p(op))y|Z〉. (2.39)
As Eqs. 2.37 e 2.38 podem ser expressas pelo seguinte sistema
Ec 0 0 0 0 0 0 0
0 Ev 0 i∆/3 0 0 −i∆/3 0
0 0 Ev 0 0 i∆/3 0 −∆/3
0 −i∆/3 0 Ev 0 0 ∆/3 0
0 0 0 0 Ec 0 0 0
0 0 −i∆/3 0 0 Ev 0 −i∆/30 i∆/3 0 ∆/3 0 0 Ev 0
0 0 −∆/3 0 0 i∆/3 0 Ev
bs
bx
by
bz
cs
cx
cy
cz
= 1E
bs
bx
by
bz
cs
cx
cy
cz
ou de forma equivalente
Ec − E 0 0 0
0 Ec − EEv − E −i∆/3 i∆/3
0 i∆/3 Ev − E ∆/3 0
−i∆/3 ∆/3 Ev − EEv − E −i∆/3 −i∆/3
0 0 i∆/3 Ev − E −∆/3
i∆/3 −∆/3 Ev − E
bs
cs
bx
cy
bz
cx
by
cz
=
0
0
0
0
0
0
0
0
.
A forma obtida para a representacao matricial de H0 + Hso e diagonal por blocos, entao
podemos obter os auto-valores e auto-estados para cada bloco separadamente. Os resul-
tados, onde redefinimos a energia da banda de valencia no ponto Γ: E′v = Ev + ∆/3, sao
mostrados na Tabela 2.1.
28
Tabela 2.1 - Parte angular e de spin da funcao de onda no ponto Γ.
E(k = Γ) |n, σy〉 unkEc |CB,+〉 |S ↑〉
|CB,−〉 | − S ↓〉
E′v −∆ |SO,+〉 | − (1/3)1/2[Y ↓ −(Z − iX) ↑]〉
|SO,−〉 | − (1/3)1/2[Y ↑ +(Z + iX) ↓]〉
E′v |HH,+〉 | − (1/2)1/2(Y ↓ −iX ↑)〉
|LH,+〉 |(2/3)1/2Z ↑ +(1/6)1/2(Y ↓ +iX ↑)〉|LH,−〉 | − (2/3)1/2Z ↓ +(1/6)1/2(Y ↑ +iX ↓)〉|HH,−〉 | − (1/2)1/2(Y ↑ −iX ↓)〉
Calculamos, com os auto-estados mostrados na Tab. 2.1, os eletementos de matriz nao
nulos (~/me)p(op)nn′ = (~/me)〈n,±|p(op)|n′,±〉 (com p
(op)nn′ = p
(op)n′n
∗), conforme segue
(~/me)p(op)nn′ |LH,+〉 |HH,+〉 |SO,+〉 |LH,−〉 |HH,−〉 |SO,−〉
〈CB,+| P(iez − 1
2ex)−√
32Pex
P√2(iez + ex) iP
2ey −i
√3
2Pey −i P√
2ey
〈CB,−| −iP2ey i
√3
2Pey i P√
2ey P
(iez + 1
2ex) √
32Pex
P√2(iez − ex)
Por fim, utilizando a base mostrada na Tab. 2.1 calculamos os seguintes elementos de
matriz
(H8×8k·p )nn′ = 〈n, σy|(H0 +Hso + (~/me)k · p(op))|n′, σ′y〉. (2.40)
Portanto, H8×8k·p tera a representacao matricial mostrada na Tab. 2.2 presente na proxima
pagina.
29
Tab
ela
2.2
-R
epre
sen
taca
om
atri
cialH
8×8
k·p
obti
da
na
bas
e|n,σ
y〉
.
|CB
,+〉
|LH
,+〉
|HH
,+〉
|SO
,+〉
|CB
,-〉
|LH
,-〉
|HH
,-〉
|SO
,-〉
〈CB,+|
Ec
P
( ikz−kx 2
) −√
3 2Pkx
P √2
(ikz
+kx)
0iP
2ky
−i√
3 2Pky
−iP √
2ky
〈LH,+|
P
( −ikz−kx 2
)Ev
00
iP
2ky
00
0
〈HH,+|
−√
3 2Pkx
0Ev
0−i√
3 2Pky
00
0
〈SO,+|
P √2
(−ikz
+kx)
00
Ev−
∆−iP √
2ky
00
0
〈CB,−|
0−iP
2ky
i√3 2Pky
iP √
2ky
Ec
P
( ikz
+kx 2
)√
3 2Pkx
P √2
(ikz−kx)
〈LH,−|
−iP
2ky
00
0P
( −ikz
+kx 2
)Ev
00
〈HH,−|
i√3 2Pky
00
0
√3 2Pkx
0Ev
0
〈SO,−|
iP √
2ky
00
0P √
2(−ikz−kx)
00
Ev−
∆
30
3 APROXIMACAO DE FUNCAO ENVELOPE
Conforme foi visto, o teorema de Bloch permite o estudo dos auto-estados para o Hamil-
toniano associado a uma estrutura cristalina perfeita. A aproximacao de funcao envelope
descreve os auto-estados para o Hamiltonioano associado a uma heteroestrutura semi-
condutora, onde a simetria de translacao e perdida, em escala mesoscopica, devido a
descontinuidade no potencial de conducao na direcao de crescimento.
A aproximacao de funcao envelope pode ser obtida como uma adaptacao da teoria de
massa efetiva ao problema de impurezas (LUTTINGER; KOHN, 1955) e nanoestruturas
(BASTARD, 1990; DAVIES, 1998) para os quais o potencial associado varia lentamente
em relacao ao parametro de rede (dito potencial mesoscopico) de forma que pode ser
considerado constante sobre o volume de uma celula unitaria. No caso em que a simetria
de translacao e removida em apenas uma direcao, digamos z, entao a homogeneidade
espacial no plano x-y ficara preservada e portanto a funcao de onda podera ser escrita
como
Ψk‖(r) = eik‖·r∑n
fn(z)unk(r) (3.1)
onde n representa o ındice de banda, fn(z) e a componente da funcao envelope para a
n-esima banda, k‖ = kxex + kyey e o vetor de onda no plano paralelo a interface entre os
materiais e unk(r) sao os estados de bulk mostrados na Tab. 2.1.
Como sabemos (MARQUES; SHAM, 1982; GERCHIKOV; SUBASHIEV, 1992; SILVA et al., 1994),
em uma heteroestrutura com a configuracao acima descrita, pode ser de grande utilidade
levar em conta a simetria do sistema e, alem de escolher z como direcao de crescimento,
escolhermos tambem y como direcao de quantizacao de spin e x como sendo a direcao do
vetor de onda no plano. Nesse caso, H8×8k·p mostrado na Tab. 2.2 tera uma representacao
matricial diagonal por blocos conforme segue
H8×8k·p =
H4×4k·p+ 04×4
04×4 H4×4k·p−
31
onde
H4×4k·p± =
|CB,±〉 |LH,±〉 |HH,±〉 |SO,±〉
〈CB,±| Ec P(ikz ∓ kx
2
)∓√
32Pkx
P√2(ikz ± kx)
〈LH,±| P(−ikz ∓ kx
2
)Ev 0 0
〈HH,±| ∓√
32Pkx 0 Ev 0
〈SO,±| P√2(−ikz ± kx) 0 0 Ev −∆
A aproximacao de funcao envelope (Eq. 3.1) leva em conta o fato de que k‖ e um bom
numero quantico, conquanto que kz → −id/dz. Entao, considerando a descontinuidade nas
bandas de conducao Ec(z), valencia Ev(z) e split-off ∆(z) e introduzindo nos elementos
da diagonal da matriz acima o potencial mesoscopico de confinamento v(z), teremos
H4×4eff±F± = 1ε±F± (3.2)
ou ainda
Ec(z) + v(z) P(ddz∓ k‖
2
)∓√
32Pk‖
P√2
(ddz± k‖
)P(− ddz∓ k‖
2
)Ev(z) + v(z) 0 0
∓√
32Pk‖ 0 Ev(z) + v(z) 0
P√2
(− ddz± k‖
)0 0 Ev(z)−∆(z) + v(z)
f±CB
f±LH
f±HH
f±SO
= 1ε±
f±CB
f±LH
f±HH
f±SO
.
Da primeira equacao do sistema acima segue que
[Ec(z)+v(z)]f±CB+P
(d
dz∓k‖2
)f±LH∓
√3
2Pk‖f
±HH+
P√2
(d
dz± k‖
)f±SO = ε±f
±CB. (3.3)
As outras equacoes do sistema permitem escrever f±HH , f±LH e f±SO em funcao de f±CB, ou
32
seja
F± =
f±CB
−Pε± − Ec(z)− v(z)
(d
dz±k‖2
)f±CB
∓√
3Pk‖2[ε± − Ec(z)− v(z)]
f±CB
−P√2[ε± − Ec(z)− v(z) + ∆(z)]
(d
dz∓ k‖
)f±CB
.
Substituindo f±HH , f±LH e f±SO na Eq. 3.3 segue que(d
dz∓k‖2
)−P 2
ε± − Ec(z)− v(z)
(d
dz±k‖2
)+
3
4
P 2k2‖
[ε± − Ec(z)− v(z)]
−1
2
(d
dz± k‖
)P 2
ε± − Ec(z)− v(z) + ∆(z)
(d
dz∓ k‖
)+ Ec(z) + v(z)
f±CB = ε±f
±CB.
Desenvolvendo a equacao acima, teremos a seguinte equacao para a banda de conducao[−~2
2
d
dz
1
m(z, ε±)
d
dz+
~2k2‖
2m(z, ε±)+ Ec(z) + v(z)∓ k‖
d
dzβ(z, ε±)
]f±CB(z) = ε±f
±CB(z)
(3.4)
onde m(z, ε±) e β(z, ε±) sao descritos de acordo com as seguintes expressoes
1
m(z, ε±)=P 2
~2
[2
ε± − v(z)− Ev(z)+
1
ε± − v(z)− Ev(z) + ∆(z)
](3.5)
e
β(z, ε±) =P 2
2
[1
ε± − v(z)− Ev(z)− 1
ε± − v(z)− Ev(z) + ∆(z)
]. (3.6)
Daqui em diante estaremos sempre tratando dos estados de conducao f±CB ≡ f± em uma
heterointerface semicondutora (bulk 1/ bulk 2), onde 1 correponde a regiao z ≤ 0 e 2 a
z ≥ 0. Portanto, da Eq. 3.4 seguem as seguintes expressoes para as condicoes de contorno
f±1 (z = 0) = f±2 (z = 0) (3.7)[~2
2m1(z, ε±)
d
dzf±1 (z)± β1(z, ε±)k‖f
±1 (z)
]z=0
=
[~2
2m2(z, ε±)
d
dzf±2 (z)± β2(z, ε±)k‖f
±2 (z)
]z=0
.
(3.8)
33
3.1 Estados eletronicos em heterointerfaces: o limite de baixas energias
A Fig. 3.1 representa uma boa ilustracao para o diagrama de bandas de uma heterojuncao
semicondutora (single interface semiconductor heterostructure), ou seja, ilustra o perfil das
bandas de conducao e de valencia para estados confinados proximos a interface (confinados
em uma regiao onde o potencial e aproximadamente linear em z). No caso de estados cujas
energias se aproximam da borda da banda de conducao na regiao do poco (para pequenos
valores de ε), uma solucao elegante, analıtica e transparente para a Eq. 3.4 pode ser
obtida. Para isso vamos utilizar expansoes em series de Taylor para 1/m(z, ε) e β(z, ε)
em torno de um parametro δ = δ(z, ε) escolhido suficientemente pequeno para valores
tambem pequenos de z e de ε.
Figura 3.1 - Diagrama de bandas para uma heterojuncao semicondutora III-V. Mostra o perfil das bandas deconducao e valencia para estados confinados proximos a interface. Mostra tambem a componenteda funcao envelope para a banda de conducao e o preenchimento dos nıveis de energia ate achamada energia de Fermi.
Conforme pode ser visto na Fig. 3.1, o gas de eletrons 2D sera confinado em um poco de
potencial triangular; a densidade eletronica bidimensional homogenea no plano paralelo
a interface dara origem a um potencial eletrostatico considerado no regime linear em z,
ou seja v(z) = eEz. O perfil triangular e obtido pela superposicao de tal potencial linear
com a descontinuidade na banda de conducao em z = 0 (Fig. 3.1). O campo eletrico sera
dado por E = ens/εsc, onde ns e a densidade de eletrons e εsc e a constante dieletrica
34
do meio em questao. Restringindo nosso estudo a estados eletronicos no limite de baixas
energias, vamos, no material 1 (z ≤ 0), renormalizar os valores dos parametros levando
em conta o efeito do band-offset (BROZAK et al., 1990); no material 2 (z ≥ 0), para cada
valor a densidade carga (ns), a energia de Fermi devera estar suficientemente proxima
ao fundo da banda de forma que a convergencia da expansao fique garantida (SILVA et
al., 1994). Utilizamos expansoes em series de Taylor para 1/m(z, ε) e β(z, ε) em torno de
um parametro pequeno δ e substituımos os resultados dessas expansoes no Hamiltoniano
efetivo abaixo identificado pela Eq. 3.4,
Heff±
(z, ε±; k‖,−i
d
dz
)= −~2
2
d
dz
1
m(z, ε±)
d
dz+
~2k2‖
2m(z, ε±)+Ec(z) + v(z)∓ k‖
d
dzβ(z, ε±)
(3.9)
onde m(z, ε±) e β(z, ε±) sao dados respectivamente pelas Eqs. 3.5 e 3.6. As expansoes de
1/m(z, ε±) e β(z, ε±) no limite de baixas energias, ou seja
1
m(z, ε±)=∑n
Anδn e β(z, ε±) =∑n
Bnδn, (3.10)
podem ser obtidas segundo a formula de Taylor para a expansao de uma funcao f arbitraria
em torno de um parametro pequeno δ,
f(δ) =∞∑n=0
(1
n!
dnf
dδn
)δ=0
δn. (3.11)
Interessante observar que δ depende do valor da energia e tambem da posicao, entao, na
medida em que variam os valores da energia e posicao, quanto menor for o valor numerico
de δ mais preciso serao os resultados previstos pelo nosso modelo. Para um sistema em
acordo com as aproximacoes feitas ate aqui, mostra-se que
δ =ε± − v(z)
Eg(z) + ∆(z)(3.12)
e um parametro que nos permite obter resultados com uma boa margem de seguranca.
Lembrando que v(z) = eEz, Eg(z) = E(1)g Θ(−z) + E
(2)g Θ(z) e ∆(z) = ∆(1)Θ(−z) +
∆(2)Θ(z). Utilizando expansoes em primeira ordem, ou seja
1
m(z, ε±)= A0 +A1δ e β(z, ε±) = B0 + B1δ, (3.13)
35
ja obtemos correcoes de nao-parabolicidade e de interacao spin-orbita. Com efeito
Heff± =~2
2A0
(− d2
dz2+ k2
‖
)+
~2
2A1
(− d
dzδd
dz+ δk2
‖
)+Ec(z) + v(z)∓ k‖
d
dz(B0 +B1δ).
(3.14)
A equacao acima mostra que em ordem zero a interacao SO se manifesta nas condicoes
de contorno. Em primeira ordem aparecem no Hamiltoniano efetivo as correcoes de nao-
parabolicidade e do acoplamento spin-orbita.
3.2 Aproximacao de barreira infinita
Modelos com muitas bandas derivados da aproximacao de massa efetiva que utilizam
expansoes em series de potencias considerando um regime de estados eletronicos com
baixas energias sao bem conhecidos na literatura (LASSNIG, 1985; SILVA et al., 1994). Via
de regra, em um modelo com muitas bandas a massa depende da coordenada da posicao
e tambem da energia; e, portanto, a correspondente equacao de massa efetiva nao pode,
nesse caso, ser solucionada analiticamente. Veremos que, alem de considerar o sistema
no limite de baixas energias, pode ser muito util tambem considerar o poco quantico na
aproximacao de barreira infinita.
Figura 3.2 - Diagrama de bandas para uma heterojuncao semicondutora na aproximacao de barreira infinita(ou barreira perfeitamente isolante). Mostra o perfil das bandas de conducao e valencia em umaregiao proxima a interface entre os materiais. Mostra tambem a componente da funcao envelopepara a banda de conducao e a energia de Fermi.
36
Os efeitos da nao-parabolicidade e da interacao SO foram estudados, de acordo com a Eq.
3.14, para o caso em que a regiao de barreira corresponde a um material perfeitamente
isolante, ou seja, um poco quantico triangular na aproximacao de barreira infinita (SILVA
et al., 1994). Em tal aproximacao perde-se a dependencia dos resultados com parametros
dos materiais de barreira; e nula a probabilidade de que os eletrons sejam encontrados na
regiao barreira. Portanto, o sistema fica completamente determinado pelos parametros do
material do poco (material 2), ou seja, Eg = E(2)g e ∆ = ∆(2); e as expressoes 3.5 e 3.6
escritas em termos de δ (com δ dado pela Eq. 3.12) sao tais que
1
m(z, ε)=P 2
~2
1
Eg + ∆
(2
δ − ∆Eg+∆
+ 1+
1
δ + 1
)(3.15)
e
β(z, ε) =P 2
2
1
Eg + ∆
(1
δ − ∆Eg+∆
+ 1− 1
δ + 1
). (3.16)
Entao, de acordo com a Eq. 3.11, em ordem zero temos
A0 =1
m∗=P 2
~2
3Eg + 2∆
Eg(Eg + ∆)(3.17)
e
B0 = β∗ =~2
2m∗∆
Eg(Eg + ∆). (3.18)
Verifica-se que, em ordem zero, a Eq. 3.14 corresponde ao modelo parabolico para a banda
de conducao: [~2
2m∗
(− d2
dz2 + k2‖
)+ eEz
]f0 = ε0f0. (3.19)
Pela equacao Eq. 3.14, fica evidente que os termos de nao-parabolicidade e spin-orbita sao
as correcoes de primeira ordem; e os coeficientes em primeira ordem sao
A1 = − 1
m∗
[Eg
2 + 2 (Eg + ∆)2
Eg (3Eg + 2∆)
]= − a
m∗(3.20)
onde a e a constante de nao-parabolicidade e
B1 = − ~2
2m∗∆
Eg
2Eg + ∆
(3Eg + 2∆). (3.21)
Vemos, pela Eq. 3.14, que a correcao de primeira ordem (em δ) resulta em um termo
linear em k‖ no Hamiltoniano efetivo; tal termo e identificado no formalismo que estamos
37
utilizando como sendo uma forma efetiva do termo de Rashba (BYCHKOV; RASHBA, 1984).
E o coeficiente Rashba sera dado por
α∗ = B1d
dzδ =
~2
2m∗∆
Eg
2Eg + ∆
(Eg + ∆)(3Eg + 2∆)eE . (3.22)
Embora a expressao acima para o coeficiente Rashba leve em conta simplificacoes que
tornam limitado seu uso, tal expressao permite calcular o splitting Rashba para um poco
quantico conhecendo apenas os parametros do material do poco e a densidade eletronica
do gas. A correcao de nao-parabolicidade e obtida de forma auto-consistente; substituımos
ε por ε0 na expressao de δ (Eq. 3.12), onde ε0 e dado de acordo com a equacao de massa
efetiva em ordem zero (Eq. 3.19). Com efeito
~2
2A1
(− d
dzδd
dz+ δk2
‖
)= −~2
2
a
m∗
− d
dz
~22m∗
(− ddz
+ k2‖
)Eg + ∆
d
dz+
~22m∗
(− ddz
+ k2‖
)Eg + ∆
k2‖
= −a
[~2
2m∗
(− d2
dz2+ k2
‖
)]2
Eg + ∆. (3.23)
Por fim, da Eq. 3.14 teremos que
H∗± =~2
2m∗
(− d2
dz2 + k2‖
)− a
[~2
2m∗
(− d2
dz2+ k2
‖
)]2
Eg + ∆+ eEz ∓ α∗k‖ (3.24)
e o Hamiltoniano de massa efetiva para estados de conducao em um poco quantico
triangular na aproximacao de barreira infinita, ja levando em conta os efeitos de nao-
parabolicidade e da interacao spin-orbita; as aproximacoes consideradas possibilitam o
estudo desses efeitos atraves de uma solucao analıtica para os auto-estados desse Hamil-
toniano (SILVA et al., 1994).
3.3 Hamiltoniano de massa efetiva no limite de baixas energias
Na regiao de barreira, o limite de baixas energias sera valido para valores de ε muito
menores do que o valor de E(1)g + ∆(1) (e o que torna possıvel a expansao em serie de
potencias dada pela Eq. 3.11); entretanto, se o valor de v0 e comparavel ao valor de
E(1)g + ∆(1), entao os parametros da regiao de barreira terao seus valores renormalizados
(BROZAK et al., 1990). Definindo E(1)c −E(2)
c = v0, as equacoes 3.5 e 3.6 escritas em termos
de δ serao respectivamente dadas por
1
m(z, ε)=P 2
~2
1
Eg + ∆
(2
δ + 1− v0+∆Eg+∆
+1
δ + 1− v0Eg+∆
)(3.25)
38
e
β(z, ε) =P 2
2
1
Eg + ∆
(1
δ + 1− v0+∆Eg+∆
− 1
δ + 1− v0Eg+∆
). (3.26)
De acordo com a Eq. 3.11, teremos em ordem zero
A0 =1
m=
1
m∗1− v0/(Eg + 2∆/3)
(1− v0/Eg)[1− v0/(Eg + ∆)](3.27)
e
B0 = β = β∗1
(1− v0/Eg)[1− v0/(Eg + ∆)]. (3.28)
A expansao em primeira ordem fornece o parametro renormalizado de acoplamento SO
α = α∗1− v0/(Eg + ∆/2)
(1− v0/Eg)2[1− v0/(Eg + ∆)]2eE . (3.29)
Para v0 = 0, recuperamos os parametros para o fundo da banda de conducao, ou seja,
m = m∗, β = β∗ e α = α∗; lembrando que nas expressoes acima estamos considerando os
parametros de bulk do material 1 (m∗ = m∗1, Eg = E(1)g e ∆ = ∆(1)). Entao, segundo as
consideracoes feitas, o Hamiltoniano de massa efetiva na regiao de barreira sera tal que
H± =~2
2m
(− d2
dz2 + k2‖
)+ v0 + eEz ∓ αk‖. (3.30)
Por fim, reunindo os resultados da expansao (a nao-parabolicidade na regiao de barreira
foi desprezada por ser a correcao menos significativa) e indexando os parametros de acordo
com a regiao (material 1 se z ≤ 0 e material 2 se z ≥ 0), obtemos o seguinte Hamiltoniano
efetivo para estados de conducao em uma heterojuncao
Heff± =
~2
2m1
(− d2
dz2 + k2‖
)+ v0 + eEz ∓ α1k‖ , z ≤ 0
~2
2m∗2
(− d2
dz2 + k2‖
)− a
[~2
2m∗2
(− d2
dz2+ k2
‖
)]2
E(2)g + ∆(2)
+ eEz ∓ α∗2k‖ , z ≥ 0
(3.31)
e, das Eqs. 3.7 e 3.8, as correspondentes condicoes de contorno
f1±(z = 0) = f2±(z = 0) (3.32)[~2
2m1
d
dzf1±(z)± β1k‖f1±(z)
]z=0
=
[~2
2m∗2
d
dzf2±(z)± β∗2k‖f2±(z)
]z=0
. (3.33)
39
4 SOLUCAO VARIACIONAL DEPENDENTE DE SPIN
A funcao variacional de Fang-Howard (FH) (FANG; HOWARD, 1966) tem ampla utiliza-
cao no contexto dos sistemas de baixa dimensionalidade (ANDO et al., 1982) em especial
das heterojuncoes semicondutoras (DAVIES, 1998). A funcao de Fang-Howard modificada
(FHM), alem de oferecer o mesmo arcabouco teorico de sua predecessora, permite modelar
com maior rigor a funcao envelope na interface entre os diferentes materiais (BASTARD,
1990). Nos vamos alem, nossa modelagem da amplitude de onda na interface leva em
conta o efeito da interacao spin-orbita; ou seja, a funcao de Fang-Howard modificada de-
pendente de spin (FHMDS) atribui para cada auto-estado de spin (+ ou -) um valor para
a amplitude de onda na interface. Utilizaremos a funcao (FHMDS) no estudo do efeito
Rashba, onde o desdobramento de energia no nıvel de Fermi e altamente influenciado pelo
grau de assimetria do perfil de conducao. Veremos que formalismo associado a funcao
FHMDS permite identificar diferentes contribuicoes ao desdobramento Rashba. No limite
de barreira infinita recuperamos a funcao FH (caso que corresponde a uma heterojuncao
com uma barreira perfeitamente isolante).
4.1 Funcao de Fang-Howard modificada dependente de spin
Seja
f b±(z) =
f1± = A±e
kbz/2 , z ≤ 0,
f2± = B±(z + c±)e−bz/2 , z ≥ 0,(4.1)
onde kb = 2√
2m1v0/~2 e b e o parametro variacional (BASTARD, 1990). As equacoes 3.32
e 3.33 impoem respectivamente
A± = B±c± (4.2)
e
c± =2
b+m∗2m1kb ± 4
m∗2~2 (β1 − β∗2)k‖
. (4.3)
Da normalizacao segue que
〈f1±|f1±〉+ 〈f2±|f2±〉 = 1 (4.4)
o que implica em
B± =
√√√√ b3/2
1 + bc± +b2c2±
2(1 + b
kb). (4.5)
A equacao 4.3 mostra explicitamente que a imposicao estrita das condicoes de contorno
(Eqs. 3.32 e 3.33) e responsavel pelo acoplamento entre o vetor de onda no plano e o grau
de liberdade de spin na solucao variacional para a funcao envelope.
41
Figura 4.1 - (escala a esquerda) Perfil de conducao para uma heterojuncao In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47Ascom ns = 1.4 × 1012cm−2. Desdobramento Rashba no nıvel de Fermi. (escala a direita) Fun-cao modificada de Fang-Howard dependente de spin. As linhas pontilhadas mostram o casoisolante/In0.53Ga0.47As para o mesmo valor de ns.
4.2 Relacao de dispersao
Obtemos os auto-valores de energia ε±(k) calculando os seguintes valores esperados:
ε±(k‖, b) = 〈f b±|Heff±|f b±〉 = 〈Heff±〉b±. (4.6)
Para uma dada densidade de electrons ns, o valor de b e determinado de forma que a
energia total do sistema seja mınima, ou seja
[d
dbε±(k‖, b)
]b=bmin
= 0, e levando em conta
a aproximacao de Hartree para a interacao eletron-eletron (DAVIES, 1998). Entao a relacao
de dispersao deve ser tal que ε±(k‖) = ε±(k‖, b = bmin) = 〈Heff±〉b=bmin± = 〈Heff±〉±.
Considerando o Hamiltoniano efetivo dado pela Eq. 3.31 como uma soma de seus termos,
ou seja Heff± =∑i
H(i)eff±, entao segue que
ε±(k‖) = T± + Tnp± + V± + Vso± (4.7)
e os valores esperados T±, Tnp±, V± e Vso± terao componentes nas regioes de barreira (1)
42
e poco (2) de acordo com a Eq. 3.31. Assim
T± =
⟨~2
2
(1
m1
θ(−z) +1
m∗2θ(z)
)(− d2
dz2 + k2‖
)⟩±, (4.8)
Tnp± =
⟨−a
[~2
2m∗2
(− d2
dz2+ k2
‖
)]2
E(2)g + ∆(2)
θ(z)
⟩±
, (4.9)
V± = 〈eEz + v0θ(−z)〉± (4.10)
e
Vso± = 〈∓ (α1θ(−z) + α∗2θ(z)) k‖〉±. (4.11)
Figura 4.2 - (a) Spin-splitting total em funcao do modulo do vetor de onda paralelo a interface entre os materi-ais (ou vetor de onda no plano). O inset mostra a relacao de dispersao resolvida por spin e a apro-ximacao parabolica representada pela linha tracejada. O caso limite insulator/In0.53Ga0.47As erepresentado em linhas pontilhadas. (b) Mostra a decomposicao do spin-splitting total em con-tribuicoes δεi (notacao mostrada na Tabela 4.1) e sua dependencia com o vetor de onda noplano.
43
4.3 Parametro de acoplamento spin-orbita
Definimos um parametro efetivo de acoplamento SO (αeff ) atraves da seguinte relacao:
δε =| 〈Heff+〉+ − 〈Heff−〉− |= 2αeffk‖. (4.12)
Entao ao i-esimo termo do Hamiltoniano efetivo (H(i)eff±) correspondera um spin-splitting
(δεi) dado pela diferenca entre o valores esperados de tal termo quando calculados com
f−(z) e com f+(z), ou seja
δεi = 〈H(i)eff−〉− − 〈H
(i)eff+〉+. (4.13)
O spin-splitting total sera dado pela soma de contribuicoes
δε =∑i
δεi ≥ 0. (4.14)
Conforme pode ser visto no sistema descrito pela Fig. 4.1 a pequena diferenca entre as
amplitudes f±(z) e responsavel por um aumento significativo no spin-splitting total o que
pode ser melhor evidenciado na Fig. 4.2 (a) assim como a dependencia desse aumento
com o vetor de onda no plano. A decomposicao do spin-splitting total esta mostrada na
Fig. 4.2 (b) e a notacao utilizada para designar a i-esima contribuicao (δεi = εi− − εi+)
esta de acordo com a Tabela 4.1.
Tabela 4.1 - Expressoes para as integrais de normalizacao e para os valores esperados εi± = 〈H(i)eff±〉±.
〈f1±|f1±〉A2±kb
〈f2±|f2±〉 B2±
(2b3
+ 2c±b2
+c2±b
)T±
~22m1
(−A±2 kb
4+ 〈f1±|f1±〉k2
‖
)T ∗±
~22m∗2
[B2±
(12b
+ c±2− bc2±
4
)+ 〈f2±|f2±〉k2
‖
]V± v0〈f1±|f1±〉 − eE
A2±k2b
V ∗± eEB2±
(6b4
+ 4 c±b3
+c2±b2
)T ∗np± −a ~4/4m∗22
E(2)g +∆(2)
[B2±b
8
(c2±b
2
2− 3c±b− 3
)+B2
±
(1b
+ c± −bc2±2
)k2‖ + 〈f2±|f2±〉k4
‖
]Vso± ∓α1〈f1±|f1±〉k‖V ∗so± ∓α∗2〈f2±|f2±〉k‖
44
4.4 Energia de Fermi e as populacoes das subbandas
Com o sistema em seu estado fundamental nao-degenerado a primeira subbanda de con-
ducao se desdobra em duas subbandas denotadas por ε±(k‖); eletrons em estados com
um mesmo valor de k‖, mas com spins opostos, terao energias dadas por ε±(k‖). Digamos
que, na medida em que a densidade eletronica cresce, cada eletron adicionado ocupara
sempre o estado de menor energia, ou seja ocupara o estado com o menor valor possıvel
de k‖; para cada estado associado a k‖ a degenerescencia sera dada pelo circulo de raio
k‖. Entao para cada valor de ns o ultimo nıvel de energia preenchido corresponde a ener-
gia de Fermi (εF ). Considerando que para cada valor de εF esta associado um valor kF ,
entao a densidade de eletrons esta relacionada com a area interior ao circulo de raio kF .
Desprezando efeitos de temperatura, as populacoes n± das subbandas ε±(k‖) serao, para
um dado valor de ns sempre que n+ + n− = ns, dadas por
n± =1
(2π)2
∫dk θ[εF − ε±(k)] =
k2F±
4π. (4.15)
4.5 Aproximacao de barreira perfeitamente isolante
A aproximacao de barreira perfeitamente isolante e obtida pelo nosso modelo quando
fazemos v0 −→∞. Nesse limite recuperamos o formalismo variacional de Fang-Howard e
o parametro de acoplamento SO se reduz a expressao obtida por de Andrada e Silva et al
(SILVA et al., 1994).
Fazendo v0 −→∞ verificamos os seguinte limites: kb −→∞, c± −→ 0, 〈v0θ(−z)〉± −→ 0,
B2± −→ b3/2 e 〈z〉± −→ 3/b. Substituindo esses resultados nas expressoes da Tabela 4.1
teremos da Eq. 4.7
ε±(k‖) =~2
2m∗2
(b2
4+ k2
‖
)− a ~4/4m∗22
E(2)g + ∆(2)
(−3b4
16+b2k2‖
2+ k4
‖
)+
3eEb∓ α∗2k‖. (4.16)
Imediatamente temos que
δε = 2α∗2k‖ (4.17)
com
α∗2 =~2
2m∗2
∆(2)
E(2)g
2E(2)g + ∆(2)
(E(2)g + ∆(2))(3E
(2)g + 2∆(2))
eE . (4.18)
Portanto, no limite de barreira infinita, o parametro de acoplamento SO depende line-
armente da densidade eletronica 2D e o coeficiente dessa relacao e uma caracterıstica
exclusiva do material do poco (depende apenas dos parametros do material 2).
45
5 RESULTADOS
Nosso modelo e aplicavel a heterojuncoes entre ligas compostas por elementos semicon-
dutores dos grupos III e V, ou seja, AlGaAs/GaAs, AlGaAs/InGaAs, InP/InGaAs e etc.
Essas heterojuncoes foram exaustivamente estudadas, tanto de forma teorica quanto ex-
perimental, desde que tais materiais comecaram a ser produzidos com precisao em escala
nanometrica. Recentemente, com o advento da spintronica, o estudo das heterojuncoes
semicondutoras ganhou enorme motivacao; em particular, a proposta de Datta e Das
para o transistor de spin considera uma heterojuncao do tipo AlGaAs/InGaAs. Portanto,
interessa conhecer quais materiais favorecem a modulacao do acoplamento SO com a den-
sidade eletronica superficial do gas. Restringiremos nosso estudo aos casos com resultados
experimentais previamente divulgados na literatura.
5.1 Heterojuncao: insulator/InAs
Conhecida por ter o acoplamento Rashba forte (SILVA et al., 1994; GRUNDLER, 2000; MAT-
SUYAMA et al., 2000; SCHIERHOLZ et al., 2004), entretanto nao existe um consenso entre
os seguintes resultados experimentais (MATSUYAMA et al., 2000; SCHIERHOLZ et al., 2004)
com relacao a dependencia entre o parametro de acoplamento SO e a densidade eletronica.
Figura 5.1 - Modelo de um 2DEG, com ns = 1.04 × 1012cm−2, confinado em uma heterojuncao do tipoisolante/InAs . (escala a esquerda) Perfil de conducao e o desdobramento Rashba no nıvel deFermi. (escala a direita) Funcao de onda variacional de Fang e Howard (FANG; HOWARD, 1966).
47
A Fig. 5.1 mostra o perfil de conducao para a heterojuncao em questao, ou seja,
insulator/InAs; o 2DEG esta confinado por um campo eletrico forte e um material iso-
lante (z ≤ 0) o qual e representado por uma barreira de potencial infinita. Mostramos
tambem a amplitude de probabilidade modelada pela funcao variacional de Fang-Howard,
assim como o desdobramento Rashba no nıvel de Fermi. Esses resultados foram obtidos
fixando a densidade eletronica em 1.04× 1012cm−2 (valor correspondente a um dos pon-
tos mostrados na Fig. 5.3 (a)). Foram utilizados os seguintes parametros para o InAs:
m∗ = 0.023me, Eg=0.418 eV, ∆=0.38 eV, e εsc=12.2ε0.
Figura 5.2 - (a) Relacao de dispersao para estados eletronicos com spin up (+) e down (−). A linha tracejadamostra a aproximacao parabolica. (b) Spin-splitting em funcao do vetor de onda no plano.
As relacoes ε±(k‖) sao mostradas na Fig. 5.2 (a). A linha tracejada representa a aproxi-
macao parabolica. A Fig. 5.2 (b) mostra o spin-splitting como funcao do vetor de onda
paralelo a interface entre os materiais 1 e 2. O parametro efetivo de acoplamento SO e
definido em relacao ao splitting no nıvel de Fermi (εF ) atraves da Eq. 4.6.
48
A Fig. 5.3 (a) mostra a variacao relativa entre as populacoes das subbandas com spin up
e down, mostra tambem dois dos pontos experimentais obtidos por (MATSUYAMA et al.,
2000). Lembrando que o metodo k·p, enquanto expansao perturbativa, impoem que k seja
pequeno (em torno do ponto Γ); tambem o Hamiltoniano efetivo e desenvolvido no limite
de baixas energias; assim, restringimos nossa comparacao aos resultados experimentais
que se adequam aos limites do nosso modelo.
Figura 5.3 - (a) Mostra a variacao relativa entre as populacoes das subbandas com spin up (+) e down (−).(b) Parametro efetivo de acoplamento SO em funcao da densidade eletronica superficial do gas.
A 5.3 (b) mostra a modulacao do parametro efetivo de acoplamento SO com a densidade
eletronica superficial do gas. Consideramos a regiao de barreira como um isolante perfeito
e, portanto, perde-se completamente a dependencia entre o parametro de acoplamento SO
e os parametros do material que constitui a regiao de barreira; o parametro de acoplamento
SO e caracterizado exclusivamente pelo material do poco (regiao z ≥ 0) de acordo com a
Eq. (4.17) e conforme proposto por de Andrada e Silva et al (SILVA et al., 1994).
49
5.2 Heterojuncao: InAlAs/InGaAs
Conforme foi mencionado, este caso e de especial interesse pois a proposta pioneira
para o transistor de spin (DATTA; DAS, 1990) considera uma heterojuncao do tipo
In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47As; por conseguinte, interessa conhecer a dependencia do pa-
rametro efetivo de acoplamento SO (αeff ) com a densidade de carga do gas e, no intuito
de fornecer um caracter mais realista ao nosso modelo, considerar a influencia do efeito de
penetracao de barreira sobre tal parametro; a Fig. 4.1 descreve em detalhes o sistema fısico
em questao, para o qual utilizamos os seguintes parametros: m∗ = 0.041me, Eg=0.813 eV,
∆ = 0.326 eV, e εsc = 13.1ε0 para In0.53Ga0.47As, e Eg = 1.513 eV e ∆ = 0.309 eV para
In0.52Al0.48As. O valor utilizado para o band-offset foi v0 = 0.5 eV. O spin-splitting no
nıvel de Fermi esta mostrado na Fig. 5.4; conforme pode ser visto, o efeito de penetracao
na barreira aumenta significativamente o spin-splitting.
Figura 5.4 - Mostra o spin-splitting no nıvel de Fermi para um 2DEG confinado em uma heterojuncao dotipo In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47As. O caso insulator/In0.53Ga0.47As (barreira infinita) estarepresentado pelas linhas pontilhadas.
A Fig. 4.2 (a) mostra o spin-splitting (δε) em funcao do vetor de onda no plano (k‖). O
inset mostra a relacao de dispersao para as subbandas (spin up e down). A aproximacao
parabolica esta representada pela linha tracejada. A Fig. 4.2 (b) mostra a decomposicao
do spin-splitting ; a dependencia de cada contribuicao com o vetor de onda no plano.
Obtivemos δε = 3.11 meV para o spin-splitting mostrado na Fig. 5.4. O valor de cada
contribuicao tambem foi calculado: δT = 0.30 meV, δT ∗ = 0.30 meV, δT ∗np = 0.03 meV,
δV = −0.34 meV, δV ∗ = 0.52 meV, δVso = 0.02 meV e δV ∗so = 2.33 meV. Conforme
esperado, no limite de barreira infinita restara apenas o termo δV ∗so = 2αkF = 2.37 meV.
50
O sistema em questao apresenta dados experimentais bem conhecidos (NITTA et al., 1997;
ENGELS et al., 1997), tambem trabalhos mais recentes relatam valores empıricos para o
parametro de acoplamento SO (YANG et al., 2006; CUI et al., 2002); dentro dos limites do
nosso modelo e conforme mostrado na figura abaixo, comparamos nossos resultados com
os resultados obtidos por Yang et al (YANG et al., 2006) para uma de suas amostras.
Figura 5.5 - (a) Variacao relativa entre as populacoes das subbandas (spin up e down). (b) Parametro efetivo deacoplamento spin-orbita. A heterojuncao In0.52Al0.48As/In0.53Ga0.47As esta representada pelaslinhas solidas e o caso de barreira infinita (isolante/In0.53Ga0.47As) pelas linhas pontilhadas.
Medidas das oscilacoes Shubnikov-de Hass permitem obter as populacoes das subbandas
(n+ e n−). A Fig. 5.5 (a) fornece a quantidade δn/ns (δn = |n+ − n−|) como funcao da
densidade eletronica (ns). A Fig. 5.5 (b) mostra o parametro de acoplamento spin-orbita.
Em ambas a aproximacao de barreira infinita esta representada pelas linhas pontilhadas.
51
5.3 Heterojuncao: AlGaAs/GaAs
Amplamente estudada no contexto dos sistemas de baixa dimensionalidade, esta hetero-
juncao tambem tem sido estudada em funcao de seu potencial de aplicacao para dispo-
sitivos spintronicos e em particular para spin-FETs. Sabemos que este material tem um
acoplamento Rashba fraco (conforme pode ser verificado no grafico abaixo), entretanto
uma perspectiva de grande interesse (SCHLIEMANN et al., 2003) inclui o termo de Dresse-
lhaus e a possibilidade de supressao do mecanismo Dyakonov-Perel de relaxacao de spin
(DYAKONOV; PEREL, 1971) para determinadas direcoes do vetor de onda no plano.
Figura 5.6 - (a) Variacao relativa entre populacoes das subbandas de spin para os casos Al0.3Ga0.7As/GaAs(linha solida) e isolante/GaAs (linha pontilhada). (b) Parametro de acoplamento spin-orbitaαeff para ambos os casos.
A Fig. 5.6 (a) apresenta a quantidade δn/ns em funcao de ns. O parametro de acoplamento
SO como funcao de ns e mostrado na Fig. 5.6 (b). Os parametros utilizados foram Eg =
1.893 eV e ∆ = 0.334 eV para Al0.3Ga0.7As, e m∗ = 0.067me, Eg = 1.519 eV e ∆ = 0.34
eV para o GaAs. Usamos o valor εsc = 12.85ε0 para constante dieletrica do GaAs.
52
6 CONCLUSOES E PERSPECTIVAS
Conforme foi visto, uma heterojuncao semicondutora e um sistema fısico cujo o potencial
varia em escala mesoscopica e, em especial, tal potencial nao possui simetria de inversao
especular; com isso, os estados eletronicos permitidos em heterojuncoes III-V possuem a
degenerescencia de spin levantada pela interacao spin-orbita e o desdobramento de ener-
gia correpondente e, nesse caso, chamado de desdobramento Rashba (Rashba splitting).
Nos desenvolvemos uma teoria variacional dependente de spin afim de investigar do efeito
Rashba para eletrons confinados em heterojuncoes compostas por ligas formadas por ele-
mentos semicondutores pertencentes aos grupos III e V da tabela periodica.
Utilizamos como ponto de partida o modelo de Kane de oito bandas para tratar a estrutura
eletronica do bulk, ja levando em conta a interacao SO. A descontinuidade no perfil de
conducao, assim como o decorrente efeito de confinamento dos eletrons, sao considerados
segundo a aproximacao de funcao envelope. Conforme foi visto, as simetrias do sistema
favorecem escolhas de direcoes de quantizacao de spin, do vetor de onda no plano e da
direcao de crescimento que levam a uma representacao bloco diagonal da matriz de Kane;
mais do que isto, tais escolhas permitem obter uma equacao de massa efetiva para a banda
de conducao com as componentes para spin up e down desacopladas .
Nossa solucao variacional permite modelar explicitamente o caracter dependente de spin
da funcao envelope e assim mostrar analiticamente como a interacao spin-orbita para
eletrons, em uma regiao de interface, perturba os valores esperados dos observaveis dando
origem a uma serie de contribucoes para o desdobramento Rashba na banda de conducao.
Na aproximacao de barreira infinita retomamos a solucao variacional de Fang-Howard para
a funcao de onda e o parametro de acoplamento SO tambem conhecido (SILVA et al., 1994).
Por fim obtivemos um bom acordo entre nossa teoria e alguns resultados experimentais
que permitem uma comparacao dentro dos limites do nosso modelo.
Perspectivas para trabalhos futuros incluem a introducao termo de Dressalhaus e o de-
corrente efeito de anisotropia para o desdobramento da energia no nıvel de Fermi. Tal
correcao permitira a comparacao do nosso modelo com uma serie de outros resultados
experimentais (GIGLBERGER et al., 2007; AKABORI et al., 2008). Para possibilitar a com-
paracao com medidas experimentais efetuadas para pocos quanticos estreitos devemos
considerar o efeito de penetracao na barreira em ambas as interfaces do poco.
53
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J Supercond Nov Magn (2010) 23: 171–173DOI 10.1007/s10948-009-0543-0
O R I G I NA L PA P E R
Variational Rashba Effect in GaAlAs/GaAs Heterojunctions
M.A. Toloza Sandoval · A. Ferreira da Silva ·E.A. de Andrada e Silva · G.C. La Rocca
Received: 3 August 2008 / Accepted: 15 June 2009 / Published online: 23 September 2009© Springer Science+Business Media, LLC 2009
Abstract The Rashba α parameter at the Fermi energyof 2DEGs in AlGaAs/GaAs heterojunctions is calculatedwith a new variational solution to the multi-band envelope-function effective Schroedinger equation based on the 8-band kp Kane model for the bulk. Modified Fang–Howardtrial wave-functions that depend on spin and satisfy spin-dependent boundary conditions, are introduced; and the spinsplitting is obtained by minimizing the total energy of the2DEG. The results are compared with simpler model cal-culations and shown, in particular, to be quite sensitive tothe barrier penetration of the first subband wave-function inthese heterojunctions.
Keywords Rashba effect · 2DEG · Semiconductorheterojunctions · Spin–orbit interaction
1 Introduction
The desired control, as in the Datta and Das spin transis-tor [1], of the spin–orbit splitting (or effective magneticfield) for 2DEGs in III–V semiconductor heterojunctions,
M.A. Toloza Sandoval · A. Ferreira da SilvaInstituto de Física, Universidade Federal da Bahia, Salvador,Bahia, Brazil
E.A. de Andrada e Silva ()Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, CP515,12201 São José dos Campos, São Paulo, Brazile-mail: [email protected]
G.C. La RoccaScuola Normale Superiore and CNISM, Piazza dei Cavalieri 7,56126 Pisa, Italy
has not been achieved yet. A quantitative agreement be-tween theory and experiment is far from complete. Exper-imentally, most of the observations have been done with theShubnikov–de Haas oscillations, and the results are stronglysample-dependent and do not always compare well withother techniques [2]. Theoretically, most of the calculationsare based on multi-band envelope-function models, but de-spite reasonably good agreement with a few experiments,are not free from concerns like numerical error control, spu-rious solutions, operator ordering, correct boundary condi-tions or the use of too many parameters [3–5]. In particu-lar, AlGaAs/GaAs heterojunctions have been much studiedin view of different applications and Rashba split 2DEGsare created in these structures, where the electrons are con-fined by a near-triangular potential. The strength of the spin–orbit Rashba coupling, as well as the carrier density ns,can be controlled with the gate voltage. However, the ex-act control requires detailed modeling of the Rashba cou-pling, which has not been easy for different reasons. Here,using a new variational solution to the multi-band envelope-function effective Hamiltonian [6], which is free from theabove mentioned concerns and leads to analytical expres-sions for the different contributions to the splitting, we cal-culate the Rashba splitting and discuss the controversial ef-fects of barrier penetration.
2 Model and Results
We consider heterojunctions with only the first subband oc-cupied and look at the spin-splitting (or Rashba couplingparameter α) at the Fermi energy, as a function of the elec-tron density. With the proper choice of the spin quantiza-tion and parallel k directions and some simple algebra, the8 × 8 Kane model effective Schroedinger equation for the
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envelope-functions can be seen to reduce to two indepen-dent equations for each spin, quantized along the direc-tion perpendicular to both growth and parallel k directions.Eliminating the other components, one obtains the follow-ing effective Hamiltonian for the conduction band envelope-function [7]:
Heff = −
2
∂
∂z
1
m(E,z)
∂
∂z+
2k2
2m(E,z)∓ α(E, z)k + V (z),
(1)
where the energy-dependent effective mass and Rashba cou-pling parameters are given by simple expressions in termsof the bulk band parameters [7]. Corresponding spin depen-dent boundary conditions at the interface are also simply de-rived [8]. Following Refs. [7–9], we now use different smallparameters on both sides of the interface (at z = 0), andexpand the energy-dependent parameters in a power seriesaround the GaAs conduction band edge, and keep only theleading order terms. Energy-independent renormalized pa-rameters and non-parabolic corrections then follow, and infirst order the effective Hamiltonian reads:
Heff =
⎧⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
2
2m(− ∂2
∂z2 + k2) + v0 + eEz ∓ αk; z ≤ 0,
2
2m∗ (− ∂2
∂z2 + k2)
− aEg+Δ
(− ∂2
∂z2 + k2)2 + eEz ∓ α0k; z ≥ 0,
(2)
where v0 is band offset, E the electric field (= ens/ε,e being the electric charge and ε the dielectric constant1),a the non-parabolic parameter, and the renormalized effec-tive mass and Rashba coupling parameter are given by:
1
m= 1
m∗Eg(Eg + Δ)
3Eg + 2Δ
3(Eg + v0) + 2Δ
(Eg − v0)(Eg − v0 + Δ)(3)
and
α =
2m∗Eg(Eg + Δ)
3Eg + 2Δ
2Δ(Eg + v0) + Δ2
(Eg − v0)2(Eg − v0 + Δ)2eE, (4)
which reduce exactly to the band edge values m∗ and α0,respectively, when the band offset v0 goes to zero. Withthese renormalized, energy-independent, parameters, a vari-ational solution to the Rashba effect is then possible. Forthat, we introduce the following spin-dependent modifiedFang–Howard wave-functions:
±(z) =
A±ekbz/2; z ≤ 0,
B±(z + c±)e−bz/2; z ≥ 0,(5)
1Note that the system is assumed infinite and the electric field to be dueto the 2DEG electrons themselves, in the linear Hartree approximation;the change in the dielectric constant and the contribution from othercharges in the interface region are neglected.
where the constants A, B and c are determined by the spin-dependent boundary conditions at z = 0, kb is the decayingcoefficient given by the effective mass and band-offset inthe barrier, and b is the variational parameter obtained, foreach carrier concentration ns , by minimizing the total en-ergy which is obtained analytically [6]. The e–e interactionis included in the Hartree or mean-field approximation [7].A constant electric field is assumed and differences in thedielectric constants neglected.
3 Discussion and Conclusions
In Fig. 1, the resulting splitting is plotted as a function of theparallel wave-vector, for the electrons at the Fermi level. Thedashed line shows, for comparison, the corresponding resultin the infinite barrier approximation. The Rashba splittingin AlGaAs/GaAs heterojunctions is seen to be quite small,of the order of 10−2 meV, in accord with other calculations[3–5]. The barrier penetration is seen to be quite important,leading to a near 35% increase in the splitting. Summarizing,we have obtained the Rashba splitting in AlGaAs/GaAs het-erojunctions with a new variational solution to the envelope-function effective Hamiltonian. The model provides simpleand accurate analytical results for the spin resolved electronsubbands, in good quantitative agreement with more com-plicated models, and should contribute to the semiconductorspintronics development. Comparison with experiment re-quires inclusion of the Dresselhaus term and knowledge ofthe true electric field at the interface.
Fig. 1 Rashba spin–orbit splitting for electrons in a Al0.3Ga0.7As/GaAs heterojunction (solid line), compared with the infinitebarrier approximation (dashed line). In both cases, we havens = 2.0 × 1011 cm−2. The parameters used in the calculation wereEg = 1.893 eV and Δ = 0.334 eV for the AlGaAs, and m∗ = 0.067me ,Eg = 1.519 eV, Δ = 0.34 eV and εsc = 12.85 for GaAs. For the con-duction band discontinuity we have used 0.269 eV
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Acknowledgements The authors are thankful to CAPES, CNPq andPRONEX/FAPESB for the financial support.
References
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Spinsplit Conduction Subbands of III–V Semiconductor HeterojunctionsM. A. Toloza Sandoval, A. Ferreira da Silva, E. A. de Andrada e Silva, and G. C. La Rocca Citation: AIP Conf. Proc. 1199, 391 (2010); doi: 10.1063/1.3295466 View online: http://dx.doi.org/10.1063/1.3295466 View Table of Contents: http://proceedings.aip.org/dbt/dbt.jsp?KEY=APCPCS&Volume=1199&Issue=1 Published by the American Institute of Physics. Related ArticlesMagnetotransport studies of SiGe-based p-type heterostructures: Problems with the determination of effectivemass Low Temp. Phys. 38, 1145 (2012) The Thomas-Fermi model in the theory of systems of charged particles above the surface of liquid dielectrics J. Math. Phys. 53, 103302 (2012) Investigation of the full configuration interaction quantum Monte Carlo method using homogeneous electron gasmodels J. Chem. Phys. 136, 244101 (2012) Polarization engineered 1-dimensional electron gas arrays J. Appl. Phys. 111, 043715 (2012) Magnetic field induced quantum criticality at a Lifshitz transition with interactions J. Appl. Phys. 111, 07E101 (2012) Additional information on AIP Conf. Proc.Journal Homepage: http://proceedings.aip.org/ Journal Information: http://proceedings.aip.org/about/about_the_proceedings Top downloads: http://proceedings.aip.org/dbt/most_downloaded.jsp?KEY=APCPCS Information for Authors: http://proceedings.aip.org/authors/information_for_authors
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Spin-split Conduction Subbands of III-V Semiconductor Heterojunctions
M.A. Toloza Sandoval1, A. Ferreira da Silva1, E.A. de Andrada e Silva2 and G.C. La Rocca3
1 Instituto de Física, Universidade Federal da Bahia, Salvador, Bahia, Brazil 2 Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, CP515, 12201 São José dos Campos, São Paulo, Brazil
3 Scuola Normale Superiore and CNISM, Piazza dei Cavalieri 7, I-56126 Pisa, Italy
Abstract. The spin-orbit splitting or Rashba α parameter at the Fermi energy of 2DEGs in InAlAs/InGaAs heterojunctions is calculated as a function of the electron density, with a variational solution to the multi-band envelope-function model, based on the 8-band Kane model for the bulk. Spin-dependent boundary conditions and mean-field approximation for the electron-electron interaction are used and reasonable good quantitative agreement is obtained with recent Shubnikov-de Haas experimental data.
Keywords: Rashba 2DEG, heterojunctions, spin-orbit. PACS: 71.70.Ej, 73.21.Fg, 73.22.Dj
INTRODUCTION
The desired control, as in the Datta and Das spin transistor [1], of the spin-orbit splitting (or effective magnetic-field) for 2DEGs in III-V semiconductor heterojunctions, has not been achieved yet. A quantitative agreement between theory and experiment is far from complete. Experimentally, most of the observations have been done with the Shubnikov-de Haas oscillations, and the results are strongly sample dependent and do not always compare well with other techniques [2]. Theoretically, most of the calculations are based on multi-band envelope-function models, but despite reasonably good agreement with different experiments, are not free from concerns like numerical error control, spurious solutions, operator ordering and correct boundary conditions or the use of too many parameters.
Semiconductor heterojunctions form a special class of Rashba split 2DEGs. The electrons are confined by a triangular potential and the strength of the Rashba coupling, together with the carrier density ns, can be varied with the gate voltage. In particular, InAs and InGaAs heterojunctions have been much studied. We here consider such heterojunctions, with only the first subband occupied as illustrated in Fig. 1, and calculate the spin-splitting or Rashba α parameter at the Fermi energy, as a function of the electron density in
particular in a InAlAs/InGaAs heterojunction, using a variational solution to the multi-band envelope-function effective Hamiltonian free from the above mentioned concerns.
FIGURE 1. Scheme of the heterojunction and its constant electric field model, with the first subband occupied up to the Fermi energy; and, on the right, the scheme of the Rashba spin-orbit split, with the two Fermi wave vectors k±.
MODEL AND RESULTS
With the proper choice of the spin quantization and parallel k directions and some simple algebra, the 8x8 Kane model effective Schroedinger equation for the envelope-functions can be reduced to two independent equations, for each spin quantized along the direction
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perpendicular to both growth and parallel k directions [2]. Eliminating the other components, one obtains the following effective Hamiltonian for the conduction band envelope-function:
( )zVkzEzEm
kzzEmz
Heff +±+∂∂
∂∂
−= ),(),(2),(
12
22
. α , (1)
with simple expressions for the energy dependent effective mass, for the Rashba coupling parameter and for the spin dependent boundary conditions at the interface [3]. Following Ref. [4], we now use different small parameters on both sides of the interface, in order to expand the energy dependent parameters in a power series around the InGaAs conduction band edge, and keep only the leading order terms, what results in energy independent renormalized parameters or non-parabolic corrections, which in turn allow now a variational treatment to the Rashba splitting. For that, we introduce spin-dependent modified Fang-Howard wave-functions, which satisfy the spin-dependent boundary conditions at the interface (z=0) and read:
⎪⎩
⎪⎨⎧
>+
<=Ψ
−±±
±± 0;)(
0;)(
2/
2/
zeczB
zeAz
bz
zkb
(2)
where kb is the decaying coefficient given by the effective mass and band-offset in the barrier, and b is the variational parameter.
FIGURE 2. (a) The difference in occupation of the spin-orbit split subbands in an InGaAs/InAlAs heterojunction (solid line) and insulator/InGaAs (dash line). (b) The α parameter for both case. This is the paragraph spacing that occurs when you use the Enter key.
For every carrier concentration ns, we determine
the value of b which minimizes the total energy including e-e interaction in the Hartree approximation. With the obtained dispersion relation then we calculate the frequency of the magneto oscillations semi-classically by the k-space areas illustrated in Fig.1. The obtained results are shown in Fig. 2, where we plot both the occupation difference in the split subbands and the Rashba parameter at the Fermi energy as a function of ns . The band parameters used were m* = 0.041me, Eg = 0.813 eV, ∆ = 0.326 eV, and εsc = 13.1ε0 for InGaAs; and Eg = 1.513 eV, and ∆ = 0.309 eV for InAlAs barrier. For the conduction band offset we have used 0.5 eV. A constant electric field is assumed and differences in the dielectric constants are neglected. A recent data from Ref.[6] is also included in Fig. 2, showing quantitative good agreement with the present model. The infinite barrier approximation is also shown for comparison.
CONCLUSIONS
The 8-band Kane model based envelope-function approximation for the Rashba split subbands in III-V semiconductor heterojunctions has been applied here to the 2DEG in a InAlAs/InGaAs heterojunction. With a variational solution, we have calculated the Rashba α parameter as a function of electron density. The effect of the barrier penetration, including the spin dependent boundary conditions at the interface, is seen to be an enhancement in the Rashba α parameter of the order of 25%. The model provides simple and accurate analytical results for the spin resolved electron subbands, in good quantitative agreement with the recent experiment in Ref. [6], and should contribute to the semiconductor spintronic development.
ACKNOWLEDGMENTS
The authors are thankful to Capes and CNPq for the financial support.
REFERENCES
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