Vol. XXVII, 1975 199

Quelques Remarques sur un Produit Tensoriel d'Op6rateurs

Pa r

:Nmo~x~, PoPx*)

Soit E un espace de Banach et Y un treillis de Banaeh. Sur E Q F , en dehors des normes tensorielles habituelles ~, e de Grothendieck [2],

on peut consid~rer la eross-norme suivante:

m( )--inf l ,ii.ly l : u = ~ x ~ @ y ~ ([5],[1],[12],[9]). i i = l

On note par E | le comp16t6 de E | pour la eross-norme ~----- e, m ou ~.

On sait que e <_m_< ~ et qne le produit tensoriel de deux op6rateurs T1, T~ (applications lin6aires et continues) ne s'6tend pas par continuit6 ~ E Q m F (on donnera plus ta rd un exemple), done m n'est pas une norme tensorielle.

Au cas qu'une telle extension existe, on l 'appelle l~roduit tensoriel m d'opdrateurs et l 'on note par T1 Qm T2.

En apphquant la m6thode de faetorisation de eertains op6rateurs utilis6e par Holub [3], nous 6tudions le probl~me suivant:

(P) Pour 1 ~ T < r le produit tensoriel m de deux op6rateurs lo-int~g-zaux est- il encore p-int6gral ?

On voit que le r~ponse est n~gatif pour p > 2 et affirmatif pour ID = 1, 2.

Soit 1 ~ p < r Un op~rateur T:E-->F s'appelle lo-intdgral [6], [8] s'il admet la factorisation:

(1) T :E ~-4*C(K) fis IF(t~ ) B~ F"

oh K est un sous-ensemble essentiel w*-ferm6 de la boule unifA dans E', lg est une mesure de Borel sur K et i e s t ] 'injection eanonique. T s'appelle l~-absolument som- mable [7] s'fl y a C > 0 telle que

IIx'll-<l \i=1 0 ~ . p < oo.

*) Cetf~ note a 6t~ pr~par~e pendant que l 'auteur 6~ait boursier de la Fond~tion d 'AIexander yon Humboldt.

200 N. PoPA ARCH. MATH.

T e s t un op~rateur O-absolument sommable [4] si pour tout 8 > 0, il existe ~ > 0, telle que si (x~)'~= 1 e E et

sup ~(1/~)miu{1, I<~,,~'>1} < �9 'e/r, II~'ll <1 i=1

alors ~O/n) rain{i, l[ ~"(~)II } < e.

On note par z~ (E, iv) l'espace des op(~rateurs p-absolument sommables. I1 est comm que ~q (E, iv) c ~ (E, F) si 0 =< q < 19 < ~ . Si T e ~ (E, iv), off 1 __< Io < 0% ] : iv--> F ~ (F) est l 'injeetion eanonique, /~ ~tant

la boule unit~ dans iv', on a la faetorisation suivante:

(2) i T :E ~-4. C(K) ~--* L~(tz ) ~-~ F~

K,/~, i ayant la m~me signifiear qu 'auparavant . Si E est un treillis de Banaeh, un op~rateur lequel admet la faetorisation:

E T_IL r_~' F

off L est un (AL)-espace, T i ~ 0 , s'appelle K-absoIument sommable. On salt [10] qu 'un op~rateur T :E-->iv' est K-absolument sommable si et seulement si T~ (E (~miv)'.

T :E-->iv est un op~rateur p-nuel~aire [6] s'iI se peut r~presenter sous la forme:

T x = (x, a~> y~, a~ e E ' , y~ e iv, ~ 11 a~ II ~ < oo, ~=1 i = l

~up 5 l<u, ,b>l~ '<~ , 1 / p + ~ / p ' = l . llbll_~l ~=i

On salt [6] que Test i~-nuel~aire si et seulement si l'on peut faetoriser de la mani~re suivante:

(3) T :E a-a--'lC~ ~--~l~-iv

or A, B sont des op~rateurs et q(2~) = (/z~2~), off (/z~) e l~ est positif. Un op~rateur du type q sera nomm~ o29drateur diagonal. Enfin T:E-->F est appel~ quazi-2-nucldaire [6] s'il y a la suite a~ e E ' telle que

i = 1 i

T e s t quasi-p-nuel~aire si et seulement si ~ T e s t p-nucl~aire. On dit, plus simplement, op~rateur integral, absolument sommable, etc. au lieu d'op~rateur 1-intAgral, 1-ab- solument sommable, etc.

Enfin C ( K 1 ) ~ m C ( K 2 ) = C(Ki • K~), K1,K~ ~tant deux espaees compacts, Co (~mco ---- co(~ X ]g), L~(iz) QmL~(v) -~ L~(~ ~ ~), /z et ~ ~tant deux mesures a-fmies, 1 _~ 1o < o~ et E | mL 1 (/~) ---- E (~)nL 1 (/z), E ~tant un espaee de Banach [5].

Vol. XXVII, 19~6 Produit Tensoriel d'0p~rateurs 201

I. La solution du probl~me (P) pour 2 ~ p ~ ~ .

Th~or~me 1. Soit 2 ~ p ~ o o . Alors ils existent les op~rateurs T, : Co--->l ~' (i --- 1, 2, 2 ~ T 2 ~ pl ~ p) ~-intdgraux, tels que T i Q T2 n'est ~gaz co'rdinu ~our la norme m.

D ~ m o n s t r a t i o n . Soient e, r i , r g > 0 tels que T 2 ~ - e ~ _ r i ~ P i et (p2~-e)" �9 (P2 ~- e -- 1) -1 _~ r2 ~ p2 (P2 -- 1)-1 __< q2. Alors on note par U l'op~rateur diagonal U:l~,__>lq,(pF1 W q~-i = 1), d~fini par la suite (n -i/r*) e l a', et par Ti l 'op4rateur diagonal Ti : co---~l p', d$fiui par la suite (n -1]r') e 1 p'. ]~videmment U est un op~rateur K-absolument sommable.

On montrera clue l'op~rateur Ti ' o U ~ z i (/2~, P).

En effet T~ e L( l q~, I i) est un op~rateur diagonal donn~ par la m~me suite que Ti , done T~ o U est un op~rateur diagonal donn~ par la suite (n-1/'~-l/r~). Puisque 1/rl ~- l/r2 <= (p~ + t) -1 ~- (1o2 -[- e -- 1) (p~ q- e) - i --~ 1 (n -llr'-llr') ~ l 1.

On salt du th~or~me 3 [11] qu 'un op~r~teur diagonal Veno(1 ~*,/1) si et seulement si V est dorm~ par une suite de l i. Done T" 1 o U (~ zo (l~',/i).

D'autre e6t~, en vertu du th~or~me 6 et de la remarquo 4 do [4], on a l'~galit~ ~0(/~,,/i) _-- ~ l ( / , , /i), ee qui entr~ine que T~ o U ~ ~i(/m,/i) . Alors fl existe la suite

x~ d'~l~ments de 1 ~*, telle que ~.](x' , x~>] < r pour tout x' e 1 a' e t ~ [I T~ U x, H ---- r i = l i = l

Soit maintenant Tu e L (co, 1 ~) donn~ par l'~galit~: oo

T 2 ( a ) = ~ a ~ x ~ pour a = ( a ~ ) e c 0 . i = I

On a 5 [ < U, T i e, ~ Tz el>] = 5 I< T'~ U T2 e I , e,>l = 5 II T i U Tz el l] = ~ Ii T'l U x 1It = 4,i i,] ~ 1

= 0% (e~)~ N 6rant la base canonique de co. I1 est imm6diat que si VeL(co(l~ • N), E) alors ~. ]<e', V(e4 Qef)> I < r (V) e' eE' .

$,1

Alors l'4galit~ de plus haut nous montre que Ti | Ts n'est pas continu pour la norme m, en tenant eompte que U e (1 ~' | l~*) '.

Mais, en vertu du th~or~me 7 et de la remarque 4 [4], on obtient que T~ e ~ (Co,/~') i = 1, 2, ee qui d6montre le th~or~me, puisque T~ sont m~me des op6rateurs p-in- t~graux [6].

Dans ce qui suit E l , F i (resp. E2, F2) seront des espaees (resp. des treillis) de Ba- nach.

Th~or~me2. Soient T~ :E~-->F~ (i = i, 2) deux op~rateurs 2-intdgraux. Alors Ti ~ra T2 est encore 2-intdgral.

D ~ m o n s t r a t i o n . Tn ont des factorisations du type (1).

Puisque L 2 (/~), n = 1, 2 sont des espaces de Hilbert, dans (1) on peut remplaeer F~' par Fn. i2A9. est un op~rateur prer~gulier, c'est-s tel que t~(i2A2) soit une difference des deux op~rateurs positifs.

202 N. POPA ARCH. MATH.

On a l e l emme suivant :

Lemme 1. Soient El , Fi (resp. E2, F2) des espaces (resp. des treiUis) de Banach, T~ e L(Ei, F~) i ---- 1, 2 et T~ prer~gulier. Alors T1 ~ m T2 existe.

D ~ m o n s t r a t i o n d u l e m m e 1. Soit u ---- ~x~ Q y i e E 1 (~E2. Alors i = l

II(T1QT2)ul[ra~ HTlX~tl " IT2y~] <=HTII[ "II lUTzlU Hx~][ �9 t , d 'oh i = l "=

i] Yl | T2 ]1 =< [] T1 ;1" ]i I t~T21 li-

En ver tu du l emme I (ilA1) | (i2Az) existe e t est 2- in~gral . Si (Xj)jEH~ , (Ya)a~H~ sont des bases or thonormales dans L s (ffl) et L 2 (if2), alors

(xi Q yh) est une base or thonormale dans L2(ffl | ce qui implique que J i | J2 : L 2 (ffl | if2) -* 12 (H1 • H2) es t une isom~trie, lorsque Jn, n = 1, 2, sont des isom~tries donn~es pa r le th~or~me de Riesz-Fischer.

I1 suffit done de prouver que D1QmD2eL(12(HI•174 lorsque DneL(12(Hn), Fn), n ---- 1, 2. E n ver tu du lemme 1, il suffit de mont re r que

I | D2 eL(lU(H1 • H2),/2(H1) | F2) .

Soit xa ---- D2 (eh), h e H2, (ea)he~ la base eanonique de l 2 (H2). Alors

~1<~,,~>1~< oo, (v)~'~F~. h

i1 rant ~ontrer que ~ I<U, ~ | x,~>i2 < oo, pour tout U ~ (~2 (~l) | ~) ' , on,

ce qui est ~quivalent, il f au t que ~ ][ Vx~][~< + 0% pour t ou t V:F2-.I~(Hi) K-ab- so lument sommable .

i~Iais, en ve r tu du th~or~me 5.1--[11], Ve g l (F2, l ~' (Hi)) c g~ (F~, lU (H~)), ee qui d~montre le th~or~me.

Dans le cas 1 ~ T ~ 2 le probl~me (P) reste ouvert .

I I . La solution du probl~me (P) pour p ~- 1. Dans ce cas il y a une version ren- forc6e du th~or~me 2:

Th~or~me 3. Soit T2 : E 2 - * F 2 un opdrateur intdgral et 1 ~ p ~ oo.

1) Si TI : E1---> F1 est un op~rateur p-absolument sommable, alors T1 | T2 est un opdrateur p-absolument sommable.

2) Si T1 :EI-->F1 est un opgrateur 19-integral, alors T1QmT2 est un opdrateur p-intdgral.

D ~ m 0 n s t r a t i o n . T2 adme t, conform~ment & (1), la factor isat ion:

As is 1 Be ,r (4) T2 :E2 ~ C (K2) - - L (~) - - F2 �9

u XXVII, 19~(~ Produit Tensoriel d'0p~rateurs 203

1) ] T1 :El -~s C (K1) j ~ L~ (/~) ~-A~/~176 avec les significations de (2). Mais A 2 ~tant un op~rateur prer~gulier, en vertu du lemme 1, AI|215 existe.

D'autre c5r i2 ~tant un op~rateur positif, il Qm i2 : C (K1 • Ks) ->L~ (/~) QmLl(v) existe et admet, ~videmment, la factorisation:

il | : C(K1 • Ks) -% L~(~u | v) = L~(/~)|

I| Lv(/~) | (v)

oh ~ et fl sont les op~rateurs canoniques. Puisque m est un op~rateur p-integral [6], il r~sulte que il | i2 est un op6rateur

p-integral. En notant par I l'op~rateur identique dans L 1 (v), du lemme 1, B1 | I existe et, raison de l'unieit~ du produit tensoriel m d'op~rateurs, il s'ensuit que

(IT1) | (i2As) ----- (B1 | I) (il | (A1 |

Done (IT1)Qm (i2A2) est un op6rateur p-intAgral. NIais /~176174 = /~(F1) | et du [2] on sait que ] | :F1 | -->/~176 | est une isom~trie. Alors, puisque (] T1) | (is As) = (] | I) (Ti | (is As)),

T1 | (is As) : E1 | E2 -~ F1 | L1 (v)

est un op~rateur l~-absolument sommable, ce qui attire que

T~ | Tu = 7 (I | B~) (T~ | (Q A2)) : E1 | E2 -> F1 | F s " - - . F , i ! . ,v est p-absolument sommable, ~ : ~ l x(~ 2 --> F~ | F2 ~tant l'op~rateur canonique.

Puisque F~ | est un sous-espace de Banach de F~ | [1], il r6sulte que T~ | T2 : E1 | E2 -->F1 | F~. est p-absolument sommable.

2) De (1) on a Tl :E1 ~--~ C(KI) ~ ~' "" LP (/~)--- _V~ et, en raisonnant d'une mani~re analogue ~ la d~monstration du point 1) on obtient que T~ | T2 :El (~m E2--> F~' | F~" est un op~rateur p-integral.

I1 existe un op~rateur eontinu 1 :F 1 | ":~ F ~" "' ~ ~ tel que l/F~| est ' F ~ F ' " m~me l'injection canonique de Fl~:zF2 dans ~ l ~ n 2~ , ce qui implique que

l (T l |174 (F~| 2) estT-intAgral. F . . . . . F ~ F ' " Puisqu'fl existe une projection continue de ( 1 | sur ~ ~ ~ n u~ , l'op~ra,

teur T1 | T2 : E1 | E2 --> F1 | F2 est p-integral, donc T~ | Ts en est aussi. En partieularisant les espaces F1, Fs on peut am~liorer l'~nonc~ du th~or~me 3:

Th~or~me 4. 1) Soit F2 un (AM)-esloace et T~ un op~rateur lo-absolument sommable. Si Ti est 10-absolument sommable (resp. lo-intdgral) alors T~ | Ts est p-absolument sommable (resp. p-intdgral).

2) Si T~ :El->Ll(y) (Y est une mesure (~-/inie) est T-absolument sommable et T2 est absolument sommable, alors T1 | Ts est p-absolument sommable.

D ~ m o n s t r a t i o n . Puisque (Fs)" s'identifie, par le th~or~me de Kakutani avec un C (S), S compact stonien, tout op6rateur p-absolument sommable est p-integral, ce qui implique que Ts admet la factorisation (4) avec L~ (~) au lieu de L ~ (v).

204 N. PoPA A~CH. MATH.

Supposons que T1 est p-absolument sommable. Alors, de la d6monstration du th6or~me 3, (j T1) @m (i2 A2) : E1 @m E2 ->/~ (/'1) @m L~ (~) est un op6rateur p-inte- gral lequel admet la factorisation:

(] T1) (~)m(i2A2) :El QmE2 ~h| F1 |

~| re(F1) | Puisque ] @m I e s t une isom6trie [5], T1 @m (i2A2) est p-absolument sommable.

Du lemme 1, I @m B2 existe, ce qui implique clue T1 (~ T2 = (I @m B2) (T1 @m (i2 A 2)) : t l

E1 @m E2-+ F1 @m F2 est aussi p-absolument sommable. Mais F1 @mF2 = ~1 (~-F2 est un sous-espaee de Banach de F1 | F~" = F1 | F~', e'es~-~-dire T1 | T2 : E1 | E2 --~ F1 | F2 est un op6rateur p-absolument sommable.

pl Au deuxi6me eas on utilise le fair qu'il existe un op6rateur continu / :Fi |

(Fx | tel que l/F1 | coincide avee l'injection canonique de F1 | darts (-~ | F2)".

2) En notant avec k : F2-+F(I'2) l'injection canonique, on a

A s i= r l k t'2 :E2 ~ C(K2) ~ ~ (v) ~ ff(F~).

En raisonnant eomme darts le theoreme 3 on obtient que

T1 ~m(i2A2):El ~mE2"->il(y) (~raLl(v) = Ll(y) (~rcLI(v) est un op6rateur iD-absolument sommable, ee qui hnplique que l'op6rateur

T1 @ (k T2) : E1 @m E2--> L 1 (?) @u/~ (F2) enest aussi.

Puisque I @~ k est une isom6trie, T1 @ T~ : E1 @m E2 -> L 1 (?) @, F2 est alors un op6rateux t0-absoIument sommable, e t a fortiori T1 ~)m T2.

Vu le th6orbme 4 on se peut demander si le produit tensoriel m de deux op6rateurs p-absolument sommables (1 ~ p < or est encore p-absolument sommable.

Les th6or6mes 1 et 2 nous montrent, eompte tenu de [6], que pour p > 2 le r6ponse est n6gatff et pour p = 2 est affirmatif.

Pour 1 __<p< 2 le probl6me reste ouver~. Enfin on peut mentionner le resultat suivant concernant les op6rafcurs p-nuel6aires.

Th~or~me 5. 1) Soit F2 un (AM).esl~ace et 1 <=P< r Si T1, T2 sont des opdrateur8 quasi-p.nucldaires (resp. p-i~ucldaires), alors T~ @m T2 est aussi quazi-p.nucldaire (resp. T-nucldaire ).

2) Soit T~ un op$rateur nucldaire et T~ un op~rateur quasi-p.nuddaire (rezp. p-nudd- aire). Alors T~ @m T2 est quasi.2.nucl~aire (resl~. l~.nucldaire).

3) Si F1 =Ll (? ) , (? une mesure a-/inie) et si T1, T~ sont des opdrateur~ quasi- nucl~aires, alors TI @ra T2 est quazi.nucldaire.

D 6 m o n s t r a t i o n . 1) Soit ~ :F1-->/~ (/'1), k :F2--> F~', les injections eanoniques. En vertu de (3) et en tenant compte du fair que F~' = C(S), oh S est compact stonien, o n ~ :

A s - - - qa - B s ~ , ,

Vol. XXVII, 1976 Produit Tensoriel d'Op6rateurs 205

On sait quc tout op~rateur diagonal de F dans l~ est p-nucl~aire [6]. Puisque on a la factorisation:

oh ~ est l ' injection canonique, (ql | q2) (e, | ej) = ( ~ ?j) (e~ @ ej), ql | q~ est un op~rateur p-nucl@aire. D 'aut re cSt~, en vertu du lemme 1, AI| existe. Alors (j T1) | (q2 A2) = (B1 | I ) (ql | q2) (A1 | A2) est un op~rateur T-nucl~aire et, puisque F~ | est un sous-espace de Banach de ~ (F1 ) | l~, Tl| est quasi-p-nucl~aire.

B2 ~tant un op~rateur prer~gulier, l | B2 existe et T1 | (~ T2) ---- (I| B2) �9 �9 (T1 | (q2 A2)) est quasi-i~-nucl~aire.

Mais on salt [1] que lv~ @mF2 est un sous-espace de Banach de _~x | donc Tx | T~ est aussi quasi-p-nucl~aire.

La d~monstration de la deuxi~me affirmation est analogue. 2) T1 | T2 : E~ | E2 -* F~ | F2 est quasi-p-nucl~aire (resp. T-nucl~aire). La

conclusion r~sulte du fait que m ~ ~. 3) La d~monstration se fair comme dans le th~or~me 4--2) .

Bibliographie

[I] J. CHA~Y, Banach lattices of compact maps. Math. Z. 129, 1--19 (1972). [2] A. GROTHEI~DIECK, Produits tensoriels topologiques et espaces nucl~aires. Mere. Amer.

Math. Soc. 16~ 1955. [3] J. R. HOLUB, Tensor products mappings II. Prec. Amer. Math. Soc. 42, 437--441 (1974). [4] S. KwAPr~, On a theorem of L. Schwartz and its applications to absolutely summing

operators. Studia Math. 38, 193--201 (1970). [5] V. L. L~vl~, Tensor products and functors in categories of Banach spaces defined by

KB-lineals. Trans. Moscow. Math. Soc. 20, 41--77 (1969). [6] A. P~RSSO~ und A. P ~ s c ~ , p-nukleare und p-integrale Abbildungen in Banachr~umen.

Studia Math. 33, 19--62 (1969). [71 A. PI~-~sc~, Absolut p-summierende Abbfldungen in normierten l~umen. Studia Math.

33, 333--353 (1967). [8] P. SAP~m, Produit tensoriels d'espaces de Banach et classes d'applications lin~aires.

Studia Math. 38, 70--100 (1970). [9] H. H. Sc~A~,F~, Normed tensor products of Banach lattices. Israel J. Math. 13, 400--415

(1972). [10] U. SCKLOTTP~R~SW.CX, ~ber Klassen majorisierbarer Operatoren auf Banachverbgnden.

Roy. Acad. Ci. Zaragoza 26, 585--614 (1971). [11] L. SCmw~RTZ, Probabilit~s cylindriques et applications radonifiantes. C.R. Acad. Sci. Paris

268, 646--648 (1969). [12] G. WrrTSTOCK, Eine Bemerkung fiber Tensorprodukte yon Banachverb~nden. Arch. Math.

25, 627--634 (1974).

Eingegangen am 10. 1. 1975

Anschrift des Autors:

Nico|ae Popa Institutul de Mathematica str. Academiei 14 Bucuresti Rum~nien