Questao Matrizes Puc

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1. (Ufrn 2013) Considere, a seguir, uma tabela com as notas de quatro alunos em três avaliações e a matriz M formada pelos dados dessa tabela.

Avaliação 1 Avaliação 2 Avaliação 3Thiago 8 9 6Maria 6 8 7Sônia 9 6 6André 7 8 9

O produto corresponde à média

a) de todos os alunos na Avaliação 3. b) de cada avaliação. c) de cada aluno nas três avaliações. d) de todos os alunos na Avaliação 2. 2. (Ufsc 2013) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) Uma conhecida marca de chocolate utiliza como embalagem um prisma regular de base

triangular cuja aresta da base mede 3,5cm. Se sua altura tem o dobro do perímetro da base, então sua área lateral é igual a 220,5cm2.

02) Seja Então existem exatamente dois valores reais x tais que

04) Sabemos que aplicando um capital C0 após n meses a uma taxa i, obtemos o valor a ser

resgatado Cf através da seguinte equação Dessa forma, uma pessoa que

aplica um capital de R$10.000,00 a uma taxa de 1% ao mês durante três meses deve resgatar um valor igual a R$10.303,01.

08) A equação tem exatamente duas soluções no intervalo

16)

32) Dadas as matrizes e então a matriz não admite

inversa. 64) Quatro cidades, A, B, C, D, estão localizadas nos vértices de um quadrado. As linhas nas

figuras 1 e 2 são dois caminhos que interligam as quatro cidades. O ângulo mede 120° e os segmentos AQ, BQ, CP e DP têm a mesma medida. Então o comprimento do caminho na figura 1 é menor do que o comprimento do caminho na figura 2.

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3. (Uel 2013) Atualmente, com a comunicação eletrônica, muitas atividades dependem do sigilo na troca de mensagens, principalmente as que envolvem transações financeiras. Os sistemas de envio e recepção de mensagens codificadas chamam-se Criptografia. Uma forma de codificar mensagens é trocar letras por números, como indicado na tabela-código a seguir.

1 2 3 4 51 Z Y X V U2 T S R Q P3 O N M L K4 J I H G F5 E D C B A

Nessa tabela-código, uma letra é identificada pelo número formado pela linha e pela coluna, nessa ordem. Assim, o número 32 corresponde à letra N. A mensagem final M é dada por

onde B é uma matriz fixada, que deve ser mantida em segredo, e A é uma matriz enviada ao receptor legal. Cada linha da matriz M corresponde a uma palavra da mensagem, sendo o 0 (zero) a ausência de letras ou o espaço entre palavras.José tuitava durante o horário de trabalho quando recebeu uma mensagem do seu chefe, que continha uma matriz A. De posse da matriz B e da tabela-código, ele decodificou a mensagem.O que a chefia informou a José?

Dados:

a) Sorria voce esta sendo advertido. b) Sorria voce esta sendo filmado. c) Sorria voce esta sendo gravado. d) Sorria voce esta sendo improdutivo. e) Sorria voce esta sendo observado. 4. (Udesc 2012) Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma que:

• aij = i + j• bij = j e os elementos de cada coluna, de cima para baixo, formam uma progressão

geométrica de razão 2.

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Analise as proposições abaixo:

( ) A = AT

( ) Os elementos de cada uma das linhas da matriz B estão em progressão aritmética.( ) Os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas da matriz AB estão em

progressão aritmética.( ) Existe a matriz inversa da matriz C = A − B .

O número de proposição(ões) verdadeira(s) é: a) 0 b) 3 c) 1 d) 2 e) 4

5. (Unesp 2012) Dada a matriz e definindo-se A0 = I, A1 = A e AK = A A A … A,

com k fatores, onde I é uma matriz identidade de ordem 2, a matriz A15 será dada por: a) I. b) A. c) A2. d) A3. e) A4.

6. (Uern 2012) Sejam as matrizes O menor

elemento da matriz P é a) – 7. b) – 1. c) – 5. d) 2.

7. (Fgv 2012) A matriz é a solução da equação matricial em que:

e Então vale:

a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) 71 8. (Uem 2012) Duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem, são semelhantes, se existir uma matriz C, possuindo a mesma ordem de A e B, de determinante não nulo, tal que

. Com relação a matrizes semelhantes, é correto afirmar que 01) matrizes com determinantes distintos podem ser semelhantes. 02) a matriz identidade de ordem n× n só é semelhante a si mesma. 04) se A é semelhante a B, então, necessariamente, é semelhante a .

08) se e , então .

16) se A é semelhante a B, então, 2A é semelhante a 2B.

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9. (Unioeste 2012) Considere as matrizes

e

Denotemos por a matriz transposta de A e por a matriz produto É correto afirmar que

a) qualquer que seja tem-se que

b) para todo tem-se que

c) se então a matriz é inversível.

d) se para algum então é inversível.

e) qualquer que seja a matriz nunca será inversível.

10. (Insper 2012) Leia o texto a seguir.

Existe uma matriz quadrada M de ordem 2 que possui uma propriedade bem interessante: sendo A outra matriz quadrada de ordem 2, o produto sempre resulta numa matriz que tem em sua diagonal principal os elementos da diagonal secundária de A e em sua diagonal secundária os elementos da diagonal principal de A.

Dentre as opções abaixo, a única que pode representar a matriz M descrita acima é

a)

b)

c)

d)

e)

11. (Unicamp 2012) Seja dada a matriz

x 2 0

A 2 x 6

0 6 16x

, em que x é um número real.

a) Determine para quais valores de x o determinante de A é positivo.

b) Tomando

3

C 4

1

, e supondo que, na matriz A, x = –2, calcule B = AC.

12. (Espm 2012) Sendo uma matriz quadrada de ordem 2, a soma de todos os

elementos da matriz é dada por: a) a2 + b2 + c2 + d2 b) (a + b + c + d) 2 c) (a + b) 2 + (c + d) 2 d) (a + d) 2 + (b + c) 2

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e) (a + c) 2 + (b + d) 2 13. (Insper 2012) A multiplicação de matrizes quadradas de ordem 2 possui, sob vários aspectos, semelhanças com a composição de funções. Para começar, as duas operações não são comutativas, isto é,

1. existem matrizes quadradas M e N de ordem 2 tais que

2. existem funções f e g tais que ou seja,

Além disso, as duas operações possuem um elemento neutro. No caso da multiplicação de

matrizes, trata-se da matriz Para qualquer matriz quadrada M de ordem 2, tem-se

que O elemento neutro da operação de composição de funções é a função i dada pela lei

a)

b)

c)

d)

e)

14. (Ufu 2012) Em computação gráfica, é frequente a necessidade de movimentar, alterar e manipular figuras em um sistema 2D (bidimensional). A realização destes movimentos é feita, em geral, utilizando-se transformações geométricas, as quais são representadas por matrizes

Assim — considerando um polígono P no plano cartesiano xOy de vértices (a1,b1), ...,

(an,bn), o qual é representado pela matriz em que n é o número de vértices

do polígono — a transformação de P por é feita pela realização do produto matricial

obtendo a matriz resultante cujas colunas determinam os vértices

(c1,d1), ..., (cn,dn) do polígono obtido.

Nesse contexto, para o que se segue, considere a transformação e P

o triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(4, 0) e

Execute planos de resolução de maneira a encontrar:a) os vértices do triângulo resultante Q obtido da transformação do triângulo P por

quando b) a área do triângulo resultante Q obtido na transformação do item A. 15. (Epcar (Afa) 2012) Uma montadora de automóveis prepara três modelos de carros, a saber:

MODELO 1 2 3

CILINDRADA (em litro) 1.0 1.4 1.8

Essa montadora divulgou a matriz abaixo em que cada termo representa a distância

percorrida, em km, pelo modelo i, com um litro de combustível, à velocidade

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Com base nisso, é correto dizer que a) para motoristas que somente trafegam a o carro 1.4 é o mais econômico.

b) se durante um mesmo período de tempo um carro 1.4 e um 1.8 trafegam a o 1.4 será o mais econômico.

c) para motoristas que somente trafegam a velocidade de o carro 1.8 é o de maior consumo.

d) para motoristas que somente trafegam a o carro 1.0 é o mais econômico.

16. (Espm 2012) A rotação de um ponto P(x, y) do plano cartesiano em torno da origem é um outro ponto P’(x’, y’), obtido pela equação matricial:

onde é o ângulo de rotação, no sentido anti-horário. Desse modo, se P = ( 1) e = 60º, as coordenadas de P’ serão: a) (−1, 2) b) (−1, )

c) (0, ) d) (0, 2) e) (1, 2) 17. (Uftm 2012) Considere as matrizes

tal que e

tal que

Determine:a) pela lei de formação, a matriz C resultante da soma das matrizes A e B.b) a matriz M de ordem 2 que é solução da equação matricial em que 0

representa a matriz nula de ordem 2. 18. (Unb 2012) Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, durante vários meses, um levantamento para determinar a preferência dos consumidores em relação a duas marcas de detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-se, inicialmente, que, entre 200 pessoas pesquisadas, 120 usavam a marca 1 e 80, a marca 2. Com base no levantamento inicial, a equipe compilou a seguinte estatística:

a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 30% mudaram para a marca 2;

b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 20% mudaram para a marca 1.

Esses resultados podem ser expressos pela matriz em que pij, 1 i, j

2, representa a probabilidade do consumidor da marca j consumir a marca i após um mês, supondo-se que tais probabilidades sejam mantidas constantes de um mês para o outro. Dessa

forma, obtém-se a fórmula de recorrência em que representa a

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distribuição, no mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada detergente pesquisados; ak e bk representam os percentuais de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no referido período.

Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes.

a) A sequência b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2 representa uma progressão geométrica decrescente de razão 0,5.

b) Se é tal que Xk + 1 = Xk, para algum k 0, então = 0,4 e = 0,6.

c) A probabilidade de um consumidor do detergente da marca 1 comprar o da marca 2 ao final do 2.º mês é superior a 50%.

19. (Enem 2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as medias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.

1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestreMatemática 5,9 6,2 4,5 5,5Português 6,6 7,1 6,5 8,4Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0História 6,2 5,6 5,9 7,7

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por

a)

b)

c)

d)

e)

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20. (Udesc 2012) Considere as matrizes e

A soma dos quadrados das constantes x, y, a, b e c que satisfazem

a equação matricial é: a) 26 b) 4 c) 41 d) 34 e) 16

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Gabarito:

Resposta da questão 1: [C]

Efetuando o produto, obtemos

o que corresponde à média de cada aluno nas três avaliações.

Resposta da questão 2: 01 + 02 + 04 + 32 = 39.

01) Verdadeira. AL =3.3,5.(2.3.3,5) = 220,5 cm2.02) Verdadeira. Basta observar o gráfico das funções y = cosx e y = I x I

04) Verdadeira, pois 10 000.(1,03)3 = 10 303, 01.

08) Falsa, pois (não existe cosseno maior que 1).

16) Falsa.

32) Verdadeira, pois D = e det(D) = 0

64) Falsa.

Resposta da questão 3: [B]

A matriz é tal que

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Portanto, a chefia informou a José: “Sorria, você está sendo filmado”.


Temos que e

Como é simétrica, segue que

Os elementos da primeira linha da matriz estão em progressão aritmética de razão 1; os da segunda linha estão em progressão aritmética de razão 2 e os da terceira linha estão em progressão aritmética de razão 4.

Calculando a matriz obtemos Logo, os elementos de cada uma das

linhas e de cada uma das colunas dessa matriz estão em progressão aritmética.

O determinante da matriz é dado por Portanto,

não admite inversa.


Observa-se que quando o expoente for par, o resultado é a matriz identidade, e quando o expoente for ímpar, o resultado é a própria matriz, portanto A15 = A.

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Obs.: a alternativa [D] – A3 – também poderia ser considerada como correta, já que seu expoente é ímpar e A3 = A.

Resposta da questão 6: [A]

A matriz é tal que

Portanto, o menor elemento da matriz é


Logo, a = 7, b = 3 e c = 3.

Portanto, a2 + b2 + c2 = 72 + 32 + 32 = 67.

Resposta da questão 8: 02 + 04 + 08 + 16 = 30.

(01) Falso.

(02) Verdadeiro.

(04) Verdadeiro.

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(08) Verdadeiro.

Sendo e

Temos:

(16) Verdadeiro.

Resposta da questão 9: [D]

[A] Falsa.

[B] Falsa.

[C] Falsa.

O determinante dessa última matriz é nulo, portanto, ela não é inversível.

[D] Verdadeira.Considerando, b = 2k, temos:

Este último determinante só será zero se portanto, é diferente de zero para todo

inteiro.Logo, a matriz será inversível para todo

[E] Falsa.

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Se k =1, então b=2 e . Como o determinante é -5 (diferente de zero) a matriz

admite inversa.

Resposta da questão 10: [C]

O que nos mostra que a matriz da alternativa [C] é a correta.

Resposta da questão 11: a) Calculando o determinante temos det(A) = x3 – 100x.

Considerando 16x3 – 100x > 0 4x.(4x2 – 25) > 0, temos x x /-5/2< x < 0 ou x > 5/2.

b)

2 2 0 3 2.3 2.4 0.( 1) 2

B 2 2 6 4 2.3 2.4 6.( 1) 8

0 6 32 1 0.3 6.4 32.( 1) 56

.

Resposta da questão 12: [E]

Como segue que

Portanto, a soma pedida é


Para uma função f qualquer, temos: f(i(x)) = i(f(x)).

Portanto, a função elemento neutro deverá ser dada por I(x) = x.

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Resposta da questão 14: a) Sabendo que e com vem

e

Desse modo,

e, portanto,

ou seja, os vértices do triângulo são e

b) A área do triângulo é dada por


[A] – Na terceira coluna o carro mais econômico é o 1.0.

[B] – A coluna 5 indica que o carro 1.8 será o mais econômico.

[C] – Na coluna 7 o de menor consumo é o mais econômico.

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[D] – Na coluna 8 o carro 1.0 é o mais econômico.


Resposta da questão 17: a) A lei de formação da matriz é tal que

Portanto,

b) Pela lei de lei formação da matriz obtemos Daí, o determinante de é

Assim, podemos obter a inversa de que é dada por

Portanto, como segue que

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Resposta da questão 18:

a) Correto. Temos que e Então, como vem

e

Segue que e

Portanto, a sequência é uma progressão

geométrica de razão

b) Correto. Sabendo que vem

Desse modo, e, portanto, c) Incorreto. A probabilidade de um consumidor do detergente da marca comprar o da marca

ao final do 2º mês, corresponde ao elemento da matriz Então, como

segue que


A média de cada matéria é a soma das notas dividido por 4, e a única matriz que possibilita esta condição é a da alternativa [E].

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. =


Como vem

Igualando os termos correspondentes, segue que

e

Além disso,

e

Portanto, a soma pedida é

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Resumo das questões selecionadas nesta atividade

Data de elaboração: 19/07/2013 às 15:16Nome do arquivo: Matrizes -PUC

Legenda:Q/Prova = número da questão na provaQ/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®

Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo

1.............122645.....Baixa.............Matemática....Ufrn/2013.............................Múltipla escolha 2.............123913.....Média.............Matemática....Ufsc/2013.............................Somatória 3.............121888.....Média.............Matemática....Uel/2013...............................Múltipla escolha 4.............114617.....Média.............Matemática....Udesc/2012..........................Múltipla escolha 5.............115104.....Média.............Matemática....Unesp/2012..........................Múltipla escolha 6.............119034.....Média.............Matemática....Uern/2012............................Múltipla escolha 7.............115606.....Média.............Matemática....Fgv/2012..............................Múltipla escolha 8.............110554.....Média.............Matemática....Uem/2012.............................Somatória 9.............119330.....Média.............Matemática....Unioeste/2012......................Múltipla escolha 10...........115690.....Média.............Matemática....Insper/2012..........................Múltipla escolha 11...........110755.....Média.............Matemática....Unicamp/2012......................Analítica 12...........119867.....Baixa.............Matemática....Espm/2012...........................Múltipla escolha 13...........115693.....Média.............Matemática....Insper/2012..........................Múltipla escolha 14...........121505.....Elevada.........Matemática....Ufu/2012...............................Analítica 15...........117048.....Média.............Matemática....Epcar (Afa)/2012..................Múltipla escolha 16...........114748.....Média.............Matemática....Espm/2012...........................Múltipla escolha 17...........118617.....Média.............Matemática....Uftm/2012.............................Analítica 18...........114903.....Elevada.........Matemática....Unb/2012..............................Analítica 19...........122087.....Média.............Matemática....Enem/2012...........................Múltipla escolha 20...........118631.....Média.............Matemática....Udesc/2012..........................Múltipla escolha

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