まえがき

著者は，10年近く前に大阪大学理学部物理学科の学生を対象に，群論の物理学への応用を主題と

した講義を担当していた．そのときに準備した講義ノートを，教科書として出版しないかとのお誘

いをサイエンス社から受け，有限群に関係する部分を圧縮しつつ，連続群に関係する部分を膨張さ

せてでき上がったのが本書である．

連続群に関係する部分を膨張させたのにはそれなりの理由がある．著者が学部学生あるいは大学

院学生だった頃は，3次元回転群，ローレンツ群の初歩程度の連続群の知識があれば一応なんとか間

に合った．ところがその後の数理物理学や素粒子論の発展により，近頃の理論物理系大学院学生は

ずっと幅広い数学的素養を求められる場合が増えてきた．それは連続群に関係する部分が多い．そ

ういう方面への準備となる連続群の題材を揃えるだけでも，与えられたページ数のかなりの部分を

占めてしまう．連続群に重きを置いた理由はこの点のみにあり，物性論や化学への有限群の応用に

ついては他の書物で学習されることを期待したい．

著者は物理学とりわけ素粒子論を主たる研究分野としており，量子力学や素粒子論への応用を念

頭におくならば，SU(2)や SU(3)といった群の個別の解説を避けることはできないと思った．一方

で物理学専攻学生の将来に向けての学習に備えるためには，リー群やリー代数の一般論も取り入れ

るべき事項である．限られたページ数の中で，個別的な内容と一般論をいかに調和させつつ配置す

るか，この本を執筆するにあたっての 1つの課題であった．でき上がった原稿を眺めてみると，雑

多な素材の寄せ集めという印象は免れず，内心忸怩たる思いである．全体に流れる通奏低音を欠い

ている点，読者のご海容をひたすら請うのみである．また，記述の仕方等々について，数学を専門

とされる方々からの忌憚のないご批判を頂ければと願っている．

この本を執筆するにあたり，定理の証明方法等については，古今東西の多くの先達，諸先生方の

論文や著作を参考にしている．教科書という性格上，細かい引用を付さなかったことをご容赦願え

ればと思っている．同僚の中津了勇氏（大阪大学大学院理学研究科）からは多くの示唆に富んだご

教示を頂いた．同氏には厚くお礼を申し上げたい．勿論本書にもし瑕疵があるならば，それはすべ

て著者一人の責任であることは言うまでもない．サイエンス社の平勢耕介氏には多くのご助力を賜

り，怠惰な著者を叱咤激励されて何とか本書の上梓にこぎつけて下さった．深く感謝申し上げる次

第である．

2008 年 5 月

窪田　高弘

大阪市立大学の糸山浩司教授ならびに大阪市立大学の大学院学生の方々からは，この本の初版の

中にあった多くの誤植，誤謬のご指摘を頂いた．心からお礼を申し上げたい．

2014 年 2月 20日

窪田高弘

この本における記号について

(1) 行列の右肩に ∗を付けたものは，その行列の複素共役を意味する．(2) 行列の右肩に tを付けたものは，その行列の転置行列を意味する．

(3) 行列の右肩に †を付けたものは，その行列のエルミート共役（複素共役を取り，転置したもの）を意味する．

(4) Rは実数体，C は複素数体を表す．

(5) RあるいはC の上の n行 n列の行列の集合を，それぞれM(n,R)，M(n,C)と記す．

ii

目 次

第 1章 序論 1

1.1 群の考え方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 対称群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 1次元ユニタリー群 U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 3次元回転群 SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 2次元特殊ユニタリー群 SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 正規部分群，剰余類群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 群の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 既約表現，可約表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9 様々な群の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

第 2章 連続変換群 12

2.1 座標の連続的変換と群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 リーの基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 リー代数の随伴表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 具体的な例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 構造定数からのリー群の構成（リーの定理の逆） . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 SO(3)と so(3)，SU(2)と su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

第 3章 線形リー群とそのリー代数 29

3.1 線形変換とリー理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 線形リー群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 指数表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 線形リー群の単位元近傍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 微分表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6 連結成分，ホモトープ，単連結 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.6.1 連結成分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.6.2 ホモトープ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6.3 単連結 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6.4 リー代数とリー群の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.7 普遍被覆群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 線形リー群とそのリー代数の具体例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

第 4章 単純リー代数の分類 49

4.1 イデアル，単純，半単純 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 ランク，カルタン部分代数，ルート . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 計量テンソル，キリング形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4 ルートの性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 標準基底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6 キリング・カルタンの分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.6.1 Al−1 タイプ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.6.2 Dl タイプ (l > 2)： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.6.3 Bl タイプ： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.6.4 Cl タイプ： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.6.5 E6 タイプ： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6.6 E7 タイプ： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6.7 E8 タイプ： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6.8 F4 タイプ： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.6.9 G2 タイプ： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.7 基本系とカルタン行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.8 ディンキン図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

第 5章 3次元空間の回転と角運動量 77

5.1 3次元空間回転の代数構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2 球面調和関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3 半整数の角運動量の場合の代数の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4 角運動量の合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4.1 2種類の角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4.2 基底の変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4.3 ユニタリティーの条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4.4 合成された角運動量の大きさ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4.5 位相に関する約束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.4.6 漸化式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4.7 対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

第 6章 回転群の表現 92

6.1 SO(3)と SU(2)の関係（再論） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2 群の随伴表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.3 SU(2)のユニタリー表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.4 D(j)mk(α, β, γ)の直交関係および満たすべき微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.5 クレブシュ・ゴルダン係数の一般公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

iv 目 次

6.6 3次元回転群のスピノル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.7 テンソル演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.8 ウィグナー・エッカートの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.9 勾配公式（ウィグナー・エッカートの定理の応用） . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.10 ベクトル場と調和関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.11 スピノル群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.11.1 N 次元回転群（N ≥ 3） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.11.2 クリフォード代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.11.3 N 次元空間におけるスピノル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.11.4 Spin(2n)とフェルミ粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

第 7章 既約表現の分類 119

7.1 ウェイト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.2 鏡映 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.2.1 Al タイプ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.2.2 Bl タイプ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.2.3 Cl タイプ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.2.4 Dl タイプ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.3 ワイル群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.4 最高ウェイト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.4.1 Al タイプ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.4.2 Bl タイプ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.4.3 Cl タイプ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.4.4 Dl タイプ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.4.5 例外型リー代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.5 ウェイト図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.5.1 su(2), A1 の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.5.2 su(3), A2 の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.6 ディンキンラベル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.7 既約表現の次元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

第 8章 群上の積分 140

8.1 不変積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.1.1 群 U(1)の不変測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.1.2 n次元実線形変換群GL(n,R)の不変測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.1.3 群 SU(2)の不変測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.1.4 群 SO(3)の不変測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.2 指標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

v

8.3 SU(2)の積表現のクレブシュ・ゴルダン分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.4 SU(2)上の調和解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

第 9章 ハドロンの分類 150

9.1 1950年代以降の素粒子論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.2 クォーク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.3 SU(3)の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9.4 直積表現とその分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.5 中間子，重粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

9.6 カシミール演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.7 SU(3)のクレブシュ・ゴルダン係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.8 SU(3)の場合のウィグナー・エッカートの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

第 10章ゲージ相互作用の統一的記述 162

10.1 電弱統一理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

10.2 素粒子のさらなる統一的記述に向けて . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

10.2.1 SU(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

10.2.2 SO(10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10.2.3 E6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

10.3 半単純リー代数の部分代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

10.3.1 正則部分リー代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

10.3.2 拡大ディンキン図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

第 11章ローレンツ群 172

11.1 ローレンツ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.2 SL(2,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

11.3 ローレンツ群のスピノル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

11.4 相対論的方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

11.4.1 ワイル方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

11.4.2 ディラック方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

11.4.3 マヨラナ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

付録A 定理 3.13の証明 180

付録B 角運動量と生成・消滅演算子 184

付録C 例外型リー代数の基本ウェイト 187

索 引 189

vi 目 次

第 1 章

序論

群論の起源は，1832年に決闘で倒れた，夭折の天才数学者ガロアの名前と結

び付けられることが多い．ガロアの遺稿はリウヴィルの努力により，1846年に

なって漸く数学の雑誌に掲載された．しかしこのガロアの理論を数学界が注視

するようになったのは，ジョルダンの著作，「置換ならびに代数方程式について

の論稿」が出版された 1870年以降であったという．群論はその誕生から学界

の舞台中央に登場するまで，実に数十年の歳月を必要としたことになる．この

例外的に長期の受容過程を必要とした群論の考え方を，僅か十数ページの本章

で概観してみよう．

1.1 群の考え方

集合 Gが群であるとは，Gが次の性質を満たす場合のことである．

1. ∀a, ∀b ∈ Gに対して演算 ◦が定義されており，a ◦ b ∈ Gである．a ◦ bのことを aと bの積と呼ぶ．

2. 演算 ◦は結合法則 (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)を満たす．3. ∀a ∈ Gに対して a ◦ e = e ◦ a = aを満たす e ∈ Gが存在する．eを単位

元と呼ぶ．

4. ∀a ∈ Gに対して a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e を満たす a−1 ∈ Gが存在する．

a−1 のことを aの逆元と呼ぶ．

1.2 対称群

群の最も簡単な例として置換を考えよう．3個の区別できる物体の置き換え

を考える．3個の物体は「林檎」「蜜柑」「梨」でもよいし「甲」「乙」「丙」で

も何でもよい．ここでは「1」「2」「3」と名付けることにする．これら 3個の

物体の並べ替えは全部で 3! = 6個あり

第 2 章

連続変換群

ノルウェー出身の数学者リーは，1872年頃以降，変換群のもとで不変な偏微

分方程式を研究していたが，次第に変換群そのものを研究の対象とするように

なった．そして連続な変換群を調べることと，恒等変換近傍の無限小変換を調

べることの関係を明らかにした．彼の研究の中核をなすのは，彼の名前を冠せ

られた 3つの基本定理，ならびにそれらの逆定理である．リー群の古典的な部

分の考え方をリーの基本定理を中心にして述べ，リー群とリー代数の関係を論

じよう．

2.1 座標の連続的変換と群

n個の変数の組 (x10, x20, · · · · · · , xn0 ) を

xi = f i(x10, · · · · · · , xn0 ; a1, · · · · · · , ar), (i = 1, · · · · · · , n) (2.1)

という公式で (x1, x2, · · · · · · , xn) に変換することを考えよう．変換には(a1, a2, · · · · · · , ar) という r 個のパラメータが含まれているとする．これら

の変数の組やパラメータは，実数でも複素数でもどちらでもよいとする．また

パラメータの変域を述べておく必要があるのだが，ここでは差し当たり，ある

有界閉領域としておく．例えば 3次元回転群の場合，変数の数は実数で数えて

n = 3個であり，パラメータも実数で数えて r = 3個である．2次元特殊ユニ

タリー群の場合は，変数は複素数として数えればn = 2個であり，パラメータ

の数は実数で数えれば r = 3個である．

(2.1)のように変数やパラメータをすべて書き並べていては式が煩雑になるの

で，(2.1)を

x = f(x0; a) (2.2)

のように略記することにする．変換 (2.1)の集合は，以下の (1)，(2)，(3)，(4)

第 3 章

線形リー群とそのリー代数

本章では行列の指数関数を導入し，線形リー群の元を具体的に表示する．この

方法ではリー代数とリー群の間の関係を直接的に知ることができる．またリー

群の大域的な性質を調べることも可能になる．SU(2)と SO(3) はそのリー代数

は同一であるのに，群としては異なるということをこの方法で明らかにしよう．

3.1 線形変換とリー理論

座標変換 (2.1)が線形変換の場合について，第 2章で展開した理論の意味す

るところを考えてみよう．リーの第 1定理に登場した微分方程式 (2.9)を解い

てみる．線形変換の場合，(2.8)で定義される uiτ (x)は，

uiτ (x) =

n∑j=1

(Tτ )ijx

j

という形になる．ここで Tτ は n行 n列の行列で，変換のパラメータ a には依

存しないとする．2.5節で述べたように，N τσ には (2.44)の任意性があるの

で，(2.45)の条件を課して (2.9)を解く．(2.9)の両辺に aσ を掛け σについて

の和を取れば

aσ∂xi

∂aσ= uiτ (x)N

τσ(a)a

σ = uiτ (x)aτ =

n∑j=1

(aτTτ )ijx

j

という方程式を得る．この方程式は，aについての冪展開の形で次のように求

まる．

xi(a) = xi(0) +

n∑j=1

(aτTτ )ijx

j(0) +1

2!

n∑j=1

(aτTτaρTρ)

ijx

j(0) + · · ·

=∞∑k=1

n∑j=1

1

k!

((aτTτ )

k)i

jxj(0).

第 4 章

単純リー代数の分類

リー代数として可能なタイプをすべて列挙することは，途方もなく難しい問

題のように思える．しかしルートという概念に着目し，リー代数を標準的な形

に書き替えると，リー代数の組織的な分類が可能になる．重要なことは，ルー

トというベクトルの間の角度が厳しく制限されることである．単純リー代数は，

古典的に知られているもの以外には，いくつかの例外的なタイプのものを許す

のみである．

4.1 イデアル，単純，半単純

hをあるリー代数 gの部分代数とする．hが gの部分代数であるとは，gの

部分ベクトル空間であって，∀X, ∀Y ∈ h ならば [X,Y ] ∈ h が成り立つという

ことである．もしこれよりも強い条件，すなわち ∀X ∈ h, ∀Y ∈ g に対して

[X,Y ] ∈ hが成り立つならば，hは g のイデアルであると言う．次元が 2以上

のリー代数 gのイデアルが {0}と gのみの場合，リー代数 gは単純リー代数で

あると言う．単純リー代数の直和で書ける代数は半単純リー代数であると言う．

あるいは可換なイデアル (�= {0})を含まないリー代数のことを半単純リー代数と定義してもよい．

単純，半単純という概念を対応する群について定義することもできる．群が

単位元のみの部分群以外に正規部分群を持たないとき，その群は単純群と呼ぶ．

群が単位元のみの部分群以外に可換な正規部分群を持たないときその群は半単

純群と呼ぶ．本章では単純リー代数あるいは単純群としてどのようなものが存

在可能なのか，その分類を行う．

4.2 ランク，カルタン部分代数，ルート

与えられた構造定数 Cρστ を持つリー代数

第 5 章

3次元空間の回転と角運動量

群論は量子力学では実に幅広く応用されている．その中でもまず最初に学ぶ

のは角運動量の交換関係，リー代数 su(2)である．これは，3次元空間の無限

小回転を表している．その代数の表現を量子力学に使いやすい形でまとめてお

こう．

5.1 3次元空間回転の代数構造

3 次元回転群 SO(3) あるいは 2 次元特殊ユニタリー群 SU(2) のリー代数，

so(3), su(2)が，(2.39), (2.43) あるいは (4.36) で与えられることは既に学ん

だとおりである．このリー代数を量子力学での習慣に従って

[J2, J3] = iJ1, [J3, J1] = iJ2, [J1, J2] = iJ3, (5.1)

と書くことにする．Ji, (i = 1, 2, 3)を角運動量ベクトルと呼ぶ．J1, J2, J3は，

(2.39)あるいは (2.43) におけるリー代数とは，純虚数倍だけ定義を変えたも

の，−iXδ, −iXβ, −iXαにそれぞれ対応している．

この節の目標は，このリー代数の表現を求めること，すなわち (5.1)と同じ

交換関係を満たす，いろいろな大きさの行列を求めることである．この問題は，

純粋に (5.1)の交換関係のみを用いて比較的容易に解くことができる．それは

代数的方法ではあるが，極めて一般的でもある．この節ではその代数的な方法

を呈示し，5.2節では，解析的な方法，微分方程式を用いるやり方で同じ問題

を解くことにする．

角運動量ベクトルの一次結合を取って，昇演算子 J+ と降演算子 J− を

J+ = J1 + iJ2, J− = J1 − iJ2

によって定義する．そうすると

第 6 章

回転群の表現

第 5章では 3次元空間の無限小回転を調べたが，本章では有限角度の回転を

調べる．回転群の表現を学べば，量子力学における様々な行列要素の計算が見

通しよく行えることがある．また，回転群の表現に関連して，スピノルと呼ば

れる量も登場する．本章の最後では，一般の次元における回転群，ならびに一

般次元におけるスピノルについても学ぶ．

6.1 SO(3)とSU(2)の関係（再論）

第 1章，1.5節で，SO(3)と SU(2)が 1対 2の関係にあることを述べた．こ

の事実をやや違った角度から調べてみよう．記憶を呼び戻すために(1.9)，(1.10)

を再録しておく．

D(α, β, γ) =

⎛⎝ e−i(α+γ)/2 cos

β2 −e−i(α−γ)/2 sin

β2

ei(α−γ)/2 sinβ2 ei(α+γ)/2 cos

β2

⎞⎠

≡(

a b

−b∗ a∗

). (6.1)

まず，次の 2行 2列の行列を定義しよう．

X ≡(

z x− iy

x+ iy −z

). (6.2)

ここで x, y, z は実数とする．X は明らかにエルミート行列であり，対角成分

の和がゼロ，すなわちX† = X, Tr(X) = 0 を満たしている．

さて (6.1)を用いてX に

X ′ ≡ D(α, β, γ)XD(α, β, γ)† (6.3)

というX → X ′ の変換を施したとする．X ′の成分を具体的に計算してみるま

第 7 章

既約表現の分類

第 5章で角運動量あるいは su(2)の表現を論じた際には，|j j〉という J3 の

固有値が最高の状態から出発して，降演算子 J− を掛けることによって 2j + 1

個のすべての状態を得ることができた（(5.13)式参照のこと）．これと類似の

操作が一般のリー代数においても可能であることを以下に説明する．ウェイト，

最高ウェイトという概念を導入し，その満たすべき性質を明らかにすることが

肝要となる．

7.1 ウェイト

ランク lのリー代数のある表現が与えられたとする．カルタン部分代数の表

現行列Hi (i = 1, 2, · · · , l)の固有値問題

Hiψ = miψ, (i = 1, 2, · · · · · · , l) (7.1)

を考えよう．ここで ψ は，すべての Hi についての同時固有ベクトルである．

l次元空間の中のベクトル

m = (m1,m2, · · · · · · ,ml)

をウェイトと呼ぶ．またこの l次元空間のことをウェイト空間と呼ぶ．同じウェ

イトの固有ベクトルが複数存在する場合，その数のことを重複度と呼ぶ．

4.2節で導入したルートは，実はウェイトの一つの例になっている．実際随

伴表現の場合，(4.8)を

ad(Hi)Eα = [Hi, Eα] = αiEα

という形に書き直してみると明らかなように，(7.1)と同じ固有値問題の形に

なっている．すなわち，ルートは随伴表現の場合のウェイトである．ウェイト

の具体的な例をいくつか挙げてみよう．

第 8 章

群上の積分

リー群の表現を議論する場合，リー代数を活用するやり方は言わば「微分型」

の方法と言える．リー代数は単位元近傍の無限小の変換にほかならないからだ．

これとは対照的に，同じ問題を「積分型」の方法で論じることも可能である．以

下に説明する群の上の積分は，群の表現を論じる一つの方法を提供する．

8.1 不変積分

群の元を記述するパラメータの空間を群多様体と呼ぶ．群多様体の上で定義

された関数を積分する場合，積分に一定の重み（測度）をつけることによって

積分結果に普遍的な意味を与えることができる．そこでは不変測度という概念

が重要な役割を演じる．

リー群 Gの任意の元 g ∈ G の近傍の積分の測度を，dg と書くことにする．

群上で定義された任意の被積分関数 f(g)に対して∫G

f(h ◦ g)dg =

∫G

f(g)dg, ∀h ∈ G

が成り立つとき，測度 dg のことを左不変ハール測度と呼び，この積分を左不

変積分と言う．この不変積分は次の性質を満足する．

(1)群上の任意の関数 f , hに対して次の式が成り立つ．∫G

(af(g) + bh(g))dg = a

∫G

f(g)dg + b

∫G

h(g)dg, ∀a, ∀b ∈ C.

(2) f(g) ≥ 0 (∀g ∈ G)ならば，次の式が成り立つ．∫G

f(g)dg ≥ 0.

(3) f(g) ≥ 0 (∀g ∈ G)であって，かつ f(g)が恒等的にゼロではないとする

ならば，次の不等式が成り立つ．

第 9 章

ハドロンの分類

群論が物理学に応用された最初の例は，結晶物理学においてであり，それは結

晶の形態を扱うための応用であった．その次なる目覚しい応用の場が量子力学

である．第 5章で説明した角運動量の理論はその一例である．群論の 3番目の

応用例が，本章で扱う素粒子の分類学である．3次の特殊ユニタリー群，SU(3)

を用いた素粒子の分類が大きな成功を収めたことを以下に解説しよう．

9.1 1950年代以降の素粒子論

素粒子とは「素」なる粒子，基本的な粒子という意味である．言い換えれば

素粒子は内部構造を持たない粒子である．いかなる粒子が素粒子であるか，と

いう点については，時代とともに考え方が変化してきた．1950年頃以前の考え

方では，電子，光子，陽子，中性子，そしてパイ中間子やミューオンといった

ものが素粒子であった．

ところが 1950年頃を境にして予期せぬ新しい素粒子が続々と発見される事態

となった．理論物理と実験物理の両面で活躍をしていた鬼才フェルミは，彼の

弟子のヤンとともに論文を書き，素粒子の数が増えれば増えるほど，その粒子

が「素」である確率は減少すると断じた．フェルミ・ヤンの論文を契機にして，

多くの粒子を整理整頓する分類学が盛んになり始め，発見された粒子をより基

本的な素粒子の複合系であるとする可能性が追究された．そして最終的には，

強い相互作用をする粒子（ハドロン）は，アップ (u)，ダウン (d)，ストレイン

ジ (s)と呼ばれる 3種類のクォーク，ならびにその反粒子の複合粒子であると

いう結論になった．1970年代以降は，これら 3つのクォークに加えて，チャー

ム (c)，ボトム (b)，トップ (t)のクォークもその存在が確かめられ，現在では

クォークは合計 6種類であると考えられている．

u, d, sの 3つについては，質量も比較的軽く，対称性の考え方が極めて有効

に働く．ここにおいて活躍するのは，SU(3)という群，あるいは su(3)という

第 10 章

ゲージ相互作用の統一的記述

素粒子間の相互作用には，重力相互作用，電磁相互作用，弱い相互作用，

強い相互作用の 4 種類がある．このうち電磁相互作用と弱い相互作用は，

SU(2)L × U(1)Y という群を用いて統一的に記述することが大きな成果を収

めている．強い相互作用については群 SU(3)C の理論が成功している．これら

の群を 1つの単純群の中に埋め込み，重力相互作用以外の素粒子間相互作用を

統一的に記述しようという試みが「大統一理論」である．この理論はまだ発展

途上にあるが，その数学的側面についてまとめてみよう．

10.1 電弱統一理論

いわゆるマクスウェル・ローレンツの電磁気学は，電場と磁場に関する法則

である．電磁場の法則は，ベクトル・ポテンシャルA(x)とスカラー・ポテン

シャル φ(x)を用いて書き表されることが多い．A(x)と φ(x)を決定する基礎

方程式には

A(x) → A(x) −∇Λ(x), φ(x) → φ(x) +1

c

∂Λ(x)

∂t

という不変性，ゲージ不変性が存在することが知られている．cは光速であり，

Λ(x)は時空座標の任意の関数である．量子論では，この変換に伴って波動関数

ψ(x)が

ψ(x) → exp

(− ie

c�Λ(x)

)ψ(x)

という位相の変換を受ける．�はプランク定数を 2πで割ったものである．この

ゲージ変換の集合は群をなし，それをゲージ群と呼ぶ．電磁気学の場合，ゲー

ジ群は SO(2), あるいは U(1)である．

素粒子間の相互作用には，電磁相互作用のみならず，ベータ崩壊等々に関係

した弱い相互作用，原子核を構成する核子の間に働く強い相互作用，そして古

第 11 章

ローレンツ群

マクスウェル方程式の形を不変に保つローレンツ変換の集合が，1つの群を

構成していることを指摘したのはポアンカレであった．それはアインシュタイ

ンの特殊相対性理論の論文が出た 1905年とほぼ同時期であった．しかしロー

レンツ群の数学的な研究は，ディラックが電子に対する相対論的波動方程式を

提唱した 1928年以降に盛んになった．そしてそれはポアンカレ群の研究へと

発展し，現在の素粒子論の基礎をなしている．

11.1 ローレンツ変換

特殊相対性理論では，我々が住んでいる 3 次元の空間 (x, y, z) に時間 t を

加えて，(t, x, y, z) という 4 次元の空間を扱う．この空間では，(t, x, y, z)と

(t+ dt, x+ dx, y + dy, z + dz)の距離が

ds2 = c2(dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2

で与えられる．ここで cは光速を表す．微小に離れた 2点間の距離がこのよう

に与えられた空間のことをミンコフスキー空間と呼ぶ．以下では，座標を表す

記号として，x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z を用いることにする．

ローレンツ変換とは，xμ, (μ = 0, · · · , 3)の一次変換

xμ → Λμνx

ν (11.1)

のもとで

xμημνxν = (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 (11.2)

を不変に保つものとして定義される．ここで ημν はミンコフスキー計量と呼ば

れる対角行列で，

付録 A

定理3.13の証明

X , Y をあるリー代数の元とし

Z(t) = log (etXetY ) (A.1)

と定義する．tは実数とする．Z(t)を tの冪で

Z(t) =

∞∑k=1

tkZk (A.2)

と展開したときの展開係数 Zk を求める方法を示そう．まず量子力学で習う次

の補題から始める．

補題 1 : X , Y をあるリー代数の元，tを任意の実数とするとき，次の関係式が

成り立つ．

e−tYXetY = X +(−t)1!

[Y,X ] +(−t)22!

[Y, [Y,X ]] + · · ·

= e−t ad(Y )X.

f(t) = e−tYXetY と置くと

df(t)

dt= −[Y, f(t)] = −ad(Y )f(t),

d2f(t)

dt2= −ad(Y )

df(t)

dt= (−1)2ad(Y )2f(t),

d3f(t)

dt3= (−1)2ad(Y )2

df(t)

dt= (−1)3ad(Y )3f(t),

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

というように微分が次々に求まっていく．f(0) = Xであるからdnf(t)/dtn|t=0 =

(−1)nad(Y )nX であることが分かる．よって

付録 B

角運動量と生成・消滅演算子

生成・消滅演算子

量子電磁力学の研究で有名なシュウィンガーは，1952年のハーヴァード大学

における講義で，リー群 SU(2)あるいはリー代数 su(2) を，物理学者に馴染

み深い方法で取り扱った．彼の技法を以下に解説する ∗1）．物理学者に馴染み深

い方法とは，調和振動子を生成消滅演算子で扱う量子力学的方法のことである．

すなわち aζ = (a+, a−) という 2種類の演算子が

[aζ , aζ′ ] = 0,[a†ζ , a

†ζ′

]= 0,

[aζ , a

†ζ′

]= δζζ′ , (ζ, ζ ′ = + or−)

(B.1)

という交換関係を満足すると仮定する．これらの生成消滅演算子を用いて，su(2)

の元を構成しようというのが基本的なアイディアである．次の J+, J−, J3 を

定義しよう．

J+ =(a†+, a

†−)(

0 1

0 0

)(a+

a−

)= a†+a−,

J− =(a†+, a

†−)(

0 0

1 0

)(a+

a−

)= a†−a+,

J3 =1

2

(a†+, a

†−)(

1 0

0 −1

)(a+

a−

)=

1

2

(a†+a+ − a†−a−

).

これら J+, J−, J3 は，(5.2), (5.3), (5.4) の角運動量の交換関係を満足するこ

とは容易に確認できる．角運動量ベクトルの大きさの 2乗を求めてみると

J2 =1

2(J+J− + J−J+) + J2

3 =n+ + n−

2

(n+ + n−

2+ 1

)*1） J. Schwinger, “On Angular Momentum” (January 26, 1952, Harvard University,

90 pages). シュウィンガーのこの講義録は，彼の論文選集 “A Quantum Legacy, Sem-

inal Papers of Julian Schwinger ” (ed. by K.A. Milton, World Scientific Pub. Co.,

2000) に収められている．

付録 C

例外型リー代数の基本ウェイト

例外型リー代数のルートの基本系 (4.68)−(4.73), およびカルタン行列

(4.78)−(4.81)，ならびに基本ウェイトの定義式 (7.18) を用いて導いた，例外

型リー代数の基本ウェイトを以下に列挙しておく．

E6 : ω(1) =2

3(e8 − e7 − e6) ,

ω(2) =1

2(e1 + e2 + e3 + e4 + e5 − e6 − e7 + e8) ,

ω(3) =5

6(e8 − e7 − e6) +

1

2(−e1 + e2 + e3 + e4 + e5) ,

ω(4) = e3 + e4 + e5 − e6 − e7 + e8,

ω(5) =2

3(e8 − e7 − e6) + e4 + e5,

ω(6) =1

3(e8 − e7 − e6) + e5.

E7 : ω(1) = e8 − e7,

ω(2) =1

2(e1 + e2 + e3 + e4 + e5 + e6 − 2e7 + 2e8) ,

ω(3) =1

2(−e1 + e2 + e3 + e4 + e5 + e6 − 3e7 + 3e8) ,

ω(4) = e3 + e4 + e5 + e6 − 2e7 + 2e8,

ω(5) =1

2(2e4 + 2e5 + 2e6 + 3e8 − 3e7) ,

ω(6) = e5 + e6 − e7 + e8,

ω(7) = e6 +1

2(e8 − e7) .

E8 : ω(1) = 2e8,

ω(2) =1

2(e1 + e2 + e3 + e4 + e5 + e6 + e7 + 5e8) ,

ω(3) =1

2(−e1 + e2 + e3 + e4 + e5 + e6 + e7 + 7e8) ,

ω(4) = e3 + e4 + e5 + e6 + e7 + 5e8,

ω(5) = e4 + e5 + e6 + e7 + 4e8,

ω(6) = e5 + e6 + e7 + 3e8,

ω(7) = e6 + e7 + 2e8,

ω(8) = e7 + e8.

索 引

ア行アイソスカラー因子, 159

アイソスピン, 151

アイソスピンの大きさ, 157

イデアル, 49

因子群, 9

ウェイト, 119

ウェイト空間, 119

エルミート共役, 79

カ行階数, 50

カイラリティー, 115

角運動量ベクトル, 77

拡大ディンキン図, 168

カシミール演算子, 158

可約表現, 10

カラー, 163

カルタン行列, 72

カルタン部分代数, 51

完全可約, 10

軌道角運動量, 80

基本ウェイト, 128

基本系, 71

奇妙さ, 151

既約行列要素, 106, 161

逆元, 1

既約テンソル演算子, 104, 160

既約表現, 10

鏡映, 57

局所準同形写像, 44

キリング形式, 52

クライン・ゴルドン方程式, 177

クリフォード代数, 112

クレブシュ・ゴルダン係数, 86

クレブシュ・ゴルダン展開, 158

クレブシュ・ゴルダン分解, 148

群, 1

計量テンソル, 52

ゲージ群, 162

ゲージ不変性, 162

ゲージ変換, 22

ケーリー・クラインのパラメータ, 7

結合法則, 1

降演算子, 77

交換関係, 17

交換子, 17

構造定数, 17

古典型リー代数, 62

混合テンソル, 152

サ行最高ウェイト, 126

最大正則部分群, 167

最大正則部分リー代数, 167

3次元回転群, 5

自己双対, 188

指標, 135, 146

指標の直交関係, 147

重複度, 119

重粒子数, 151

重力相互作用, 163

縮退, 126

順序, 126

準同形写像, 10, 18

昇演算子, 77

商群, 9

剰余類群, 9

simply-laced, 76

シンプレクティック群, 67

随伴表現, 19, 42, 93

スピノル, 101

スピノル群, 115

正, 126

正規部分群, 8

正則, 52

正則部分リー代数, 167

正ルート, 71, 136

積, 1

積分可能条件, 25

線形リー群, 31

相対論的方程式, 176

素粒子の標準模型, 163

タ行第 1種標準座標, 30

対称群, 2

対数関数, 32

大統一理論, 164

第 2種標準座標, 30

高さ, 72

単位元, 1

単位の道, 44

単純群, 49

単純リー代数, 49

単純ルート, 72

単連結, 42, 44

置換群, 2

中心, 9

中心元, 9

中心正規部分群, 9

強い相互作用, 162

ディラック・スピノル, 178

ディラック方程式, 113, 178

ディンキン図, 74

ディンキンラベル, 134

電磁相互作用, 162

電弱統一理論, 163

テンソル力, 104

点付きスピノル, 174

点なしスピノル, 174

同形写像, 10

同値, 147

ナ行中野・西島・ゲルマンの法則, 151

2次元特殊ユニタリー群, 7

2次元ユニタリー群, 7

ノルム, 31

ハ行パーシヴァル等式, 149

ハイパーチャージ, 151

ハドロン, 150

半単純群, 49

半単純リー代数, 49

左剰余類, 8

左不変積分, 140

左不変ハール測度, 140

ヒッグス粒子, 163

微分表現, 41

表現, 10

標準基底, 60

フォック空間, 116

部分群, 2

部分代数, 49

普遍被覆群, 48

不変部分群, 8

プランク定数, 162

負ルート, 71

フレーバー対称性, 163

ペーター・ワイルの定理, 149

ポアソン括弧式, 18

ホモトープ, 42

マ行マウレル・カルタンの微分形式, 17

マクスウェル方程式, 177

マヨラナ方程式, 179

右剰余類, 8

右不変積分, 141

右不変ハール測度, 141

ミンコフスキー空間, 172

ミンコフスキー計量, 172

ヤ行ヤコビ多項式, 97

ヤコビの恒等式, 17

有限群, 3

ユニタリー表現, 10

弱い相互作用, 162

190 索　引

ラ行ランク, 50

リー環, 18

リー群, 13

リー代数, 18

リー代数の次元, 18

リー代数の表現, 18

立体射影, 5

量子色力学, 163

ルート, 51

ルート系, 71

ルート・ベクトル, 51

例外型リー代数, 68

連結成分, 42

連続群, 3

連続変換群, 13

ローレンツ群, 173

ローレンツ・スカラー, 176

ローレンツ・ベクトル, 174

ローレンツ変換, 172

ワ行ワイル群, 125

ワイルの次元公式, 136

ワイル方程式, 177

索　引 191

著者略歴

窪くぼ田た 高たか弘ひろ

1952 年 兵庫県生まれ1975 年 東京大学理学部物理学科卒業1980 年 東京大学大学院理学系研究科物理学専攻博士課程修了 理学博士（東京大学）1981 年 ケンブリッジ大学キャベンディシュ研究所研究員1983 年 大阪大学理学部助手1987 年 欧州原子核研究機構（CERN）理論部研究員1988 年 シカゴ大学エンリコ・フェルミ研究所研究員1991 年 大阪大学教養部助教授2006 年 大阪大学大学院理学研究科教授2012 年 大阪大学全学教育推進機構教授2018 年 大阪大学名誉教授専　門 素粒子論主要著書「相対性理論」（共著，裳華房，2001）「力学入門」（培風館，2006）「初歩の量子力学を取り入れた力学」（朝倉書店，2017）

臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ-66

『物理のための リー群とリー代数』（電子版）

著　者　窪田 高弘2018 年 7 月 10 日　初版発行　ISBN 978─4─7819─9954─8この電子書籍は 2008 年 9 月 25 日初版発行の同タイトルを底本としています．

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