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Corrigé Mines Ponts MP Physique II- 2013

I- Diode à Vide

1- div ~E = �div( ~gradV ) = ��V =⇢

✏0donc il vient:

d2V (x)

dx2= �⇢(x)

✏0.

2- On se sert des valeurs numériques données un peu plus loin: VA

= 10,0V et d = 3,00 mm. L’ordre de

grandeur du champ électrique interarmature sera donc de l’ordre de E ⇡ VA

d⇡ 3.103V/m donc la force élec-

trique s’exerçant sur l’électron sera de l’ordre de grandeur de 5.10-16N, à comparer au poids dont l’ordre degrandeur sera de 10-29N. Le poids de l’électron pourra donc être négligé devant la force électrostatique.3- La force électrostatique s’exerçant sur une charge ponctuelle située dans une zone de potentiel électrostatiqueV est: ~F = q ~E = �q( ~gradV ) = � ~grad(qV ) = � ~grad(E

p

). Il vient donc Ep

= qV .4- Comme on néglige tout phénomène dissipatif, le système d’actions s’exerçant sur un électron est conservatif,l’énergie mécanique se conserve donc.

On obtient donc Em

=1

2mv2(x)� eV (x) = 0. D’où: ~v(x) =

r2eV (x)

m~ex

.

5- On convient d’orienter l’intensité de l’anode vers la cathode, de façon à ce qu’elle soit positive. Or le vecteurdensité de courant est: ~j = ⇢(x)~v(x). D’où: I(x) = �

R~j.dS~e

x

. D’où I(x) = �⇢(x)v(x)S .6- En régime permanent, le vecteur densité de courant est à flux conservatif, donc son flux à travers toutesection droite de surface S à x = cste sera le même, donc I(x) = I, indépendante de x .

7- I = ✏0Sd2V

dx2

r2eV (x)

m, d’où

pV (x)

d2V

dx2=

rm

2e

I

✏0S= a .

8-dV

dx

d2V

dx2=

1

2

d

dx((dV

dx)2) = a

dV

dx

1pV (x)

= 2adpV (x)

dx, d’où, en intégrant, avec V(0) = 0, et E(0) =

dV

dx(0) = 0 on obtient:

V (x) =

✓3

2

pax

◆ 43

.

9- En remplaçant ci-dessus par V(d) = VA

pour x = d, on aboutit à:

VA

=

✓3d

2

◆ 43✓

I

S✏0

◆ 23 ⇣m

2e

⌘ 13

.

10- Cette relation n’est pas vraie si VA

<0. En effet, dans ce cas, les électrons arrachés sur la cathode ne peuventêtre accélérés par le champ électrique qui dans ce cas est dirigé de C vers A, et donc ne peuvent pas atteindrl’anode. Ils restent donc sur la cathode, et l’intensité est donc nulle.VA

< 0 ! I = 0 .

VA

I

11- En utilisant la relation du 9-, on obtient: I =4S✏09d2

r2e

mV

3/2A

.

L’application numérique donne: I = 2,46mA .Le courant est très faible pour une tension appliquée assez élevé:ceci ne correspond pas à ce qu’on attend pour une diode. Ilfaudrait diminuer d pour que I puisse être plus important....12- Pour moi, dans les équations de Mawxell, cette interactionest nécessairement prise en compte car le champ électrique estle champ total résultant de cette distribution de charge. Parcontre, dès qu’on passe en mécanique, et qu’on néglige les chocsentre électrons, on omet des interactions. Donc, à mon avis, cesinteractions ont été prises en compte mais de manière partielle.

1

II- Diode à jonction PN

13- Cette question me parait être assez contestable compte tenu du programme de MP.... Dans un semi-conducteur, l’accroissement de température s’accompagne d’une augmentation des ionisations thermiques, onaura donc plus de porteurs libres disponibles, et donc la conductivité augmentera.Dans un métal, l’augmentation de la température va être responsable d’une augmentation des chocs entre por-teurs libres, et donc la conductivité diminuera.14- Il vient immédiatement: ⇢1 = �N

A

e et ⇢2 = ND

e .15- Le milieu étant initialement neutre, et la charge se conservant, on doit avoir: �⇢1xA

+ ⇢2xD

= 0, d’où:�N

A

xA

= ND

xD

.

xA xDx

- exD NDe

E

xA xDx

- exA2 NA2 e

exD2 ND2 e

V

16- Pour x 2 [xA

, 0], on adE

dx=

⇢1✏

= �NA

e

✏, d’où, après

intégration: E(x 2 [xA

, 0]) = �NA

e

✏(x� x

A

) .

Pour x 2 [0, xD

], on adE

dx=

⇢2✏

=N

D

e

✏, d’où, après intégration:

E(x 2 [0, xD

]) =N

D

e

✏(x� x

D

) .

17- On utilise E(x) = �dV (x)

dx. Il vient alors, en intégrant, et en

utilisant V(0) = 0 et la continuité du potentiel en xA

et xD

:

V (x 2 [�1, xA

]) = �NA

e

✏

x2A

2

V (x 2 [xA

, 0]) =N

A

e

✏

✓x2

2� x

A

x

◆

V (x 2 [0, xD

]) = �ND

e

✏

✓x2

2� x

D

x

◆

V (x 2 [xD

,1]) =N

D

e

✏

x2D

218- V0 = V (x

D

)� V (xA

). On aboutit donc à:

V0 =e

2✏(N

D

x2D

+NA

x2A

)

19- On a: w = xD

- xA

. Or, d’après 15-, xD

= �NA

ND

xA

et

xA

= �ND

NA

xD

. On peut donc exprimer xD

et xA

en fonction de

w: xD

=N

A

w

ND

+NA

et xA

= � ND

w

ND

+NA

. En réinjectant dans l’expression de V0

, on obtient finalement:

w =

s2✏V0

e

✓1

NA

+1

ND

◆. AN: w = 1, 15µm .

III- Jonction PN polarisée.

V‰S

i20- En inversant la relation donnée dans le texte, on obtient:

V =kB

T

eln

✓1 +

i

IS

◆. A.N: V = 0,29V .

On s’aperçoit donc que des courants importants peuvent êtreobtenus pour des tensions beaucoup plus faibles que dans la diodeà vide, où, pour 10V, on n’avait que quelques mA!!! Ce systèmeest donc beaucoup plus intéressant.kB

T est l’énergie d’agitation thermique par particule.21- Quand la diode est passante (V>V

0

) , la différence de poten-tiel V

0

-V est donc négative. Les porteurs majoritaires (électronsdans la zone N, trous dans la zone P) peuvent migrer facilementdans la zone où ils sont minoritaires (P pour les électrons, Npour les trous), car ils ne voient plus de barrière de potentiel à

2

franchir, et cette migration est donc responsable de l’apparition d’un courant de P vers N.Quand la diode est bloquée (V<V

0

), V0

-V est donc positive, le champ électrique est orienté de N vers P, il n’ya donc pas possibilité pour les porteurs majoritaires de migrer facilement, car la barrière de potentiel leur estdéfavorable, d’ou l’annulation du courant.

22- QA

= �SxA

⇢1 = SNA

xA

e = �QD

Or, w =

s2✏(V0 + U)

e

✓1

NA

+1

ND

◆, x

D

=N

A

w

ND

+NA

et xA

=

� ND

w

ND

+NA

. On obtient donc:

QA

= �S

s2✏(V0 + U)eN

D

NA

NA

+ND

= �QD

. AN: QD

= �QA

= 3, 95.10�10C .

23- On utilise la différentiation logarithmique:�Q

D

QD

=1

2

�U

V0 + U, d’où :

Cdyn =�Q

D

�U=

QD

2(V0 + U)= S✏

seN

D

NA

2✏(V0 + U)(NA

+ND

)=

S✏

w. AN: Cdyn = 42, 1pF .

3

III. � Étude d'une pin e ampèremétrique

13. � L'approximation des états quasi-stationnaires (AEQS) a été présentée à la question 8 : elle onsiste

à négliger le ourant de dépla ement ǫ0∂ ~E

∂tdevant le ourant de ondu tion

~j, don à al uler le

hamp magnétique par les équations

−→rot ~B = µ0

~j et div ~B = 0, exa tement omme dans le as

magnétostatique. Le théorème de Stokes

∮

(C)

~B · d~r =

∫

(S)

−→rot ~B · d~S pour un ontour ferme (C)

servant de bord orienté à la surfa e (S) permet alors d'énon er le théorème d'Ampère, la ir ulation

de

~B sur un tel ontour fermé véri�e

∮

(C)

~B · d~r = µ0i(S) où le ourant enla é i(S) est elui qui

traverse la surfa e (S).

14. � Tout plan ontenant l'axe (Oz) est un plan de symétrie matérielle des ourants i(t) et i1(t) don le

hamp

~B réé par es ourants est perpendi ulaire à es plans de symétrie :

~B(M) = B(r, θ, z)uθ. Ce hamp est également invariant par tout rotation d'un angle multiple de 2π/N ; si N est assez grand,

il s'agit pratiquement d'une invarian e de révolution don

~B(M) = B(r, z)uθ. On applique alors le

théorème d'Ampère à un er le (C) de rayon r et d'axe (Oz), don à r et z �xés, et entièrement situé

à l'intérieur du tore ; on a alors d~r = rdθuθ don

∮

(C)

~B · d~r = 2πrB(r, z). Le ourant traversant un

disque de rayon r omporte (dans le sens positif) le ourant i au entre en N ourants tous égaux à

i1 (puisque le er le (C) est intérieur au tore, le disque est traversé une seule fois par ha un des �ls

formant un re tangle) soit i(S) = i+Ni1 et

~B(M) = B(r)uθ où B(r) =µ0

2πr(i+Ni1) .

15. � Considérant que le bobinage de la pin e ampèremétrique est formé de N re tangles de �tés b − a

et c, il vient Φ = N

∫

~B · d~S ave d~S = dr dz uθ don Φ =µ0N

2π(i + Ni1)

∫ b

a

dr

r

∫ c

0dz ou en�n

Φ =µ0Nc

2πln

a+ b

a(i+Ni1) . Puisque Φ = Li1 +Mi pour i et i1 quel onque, on peut identi�er les

deux termes L =µ0N

2c

2πln

a+ b

aet M =

µ0Nc

2πln

a+ b

a=

L

N.

16. � Ave une résistan e par unité de longueur λ et un bobinage formé de N re tangles de �tés b− a et c

don de longueur 2(b+ c− a), on a Rp = 2λN(b+ c− a) .

17. � En ir uit fermé, le bobinage est un ir uit (Rp, L,M) ave u = 0 = Rpi1 + Ldi1dt

+Mdi

dt= 0 qu'on

é rit en notation omplexe (Rp + ωL) i1 = −Mωi soit H =i1i= −

Mω

Rp + Lω.

18. � On réalise une mesure de i au moyen d'une mesure de i1 si la relation entre les deux grandeurs

est linéaire, indépendamment de la forme e�e tivement sinusoïdale ou non de es deux ourants ; il

faut don que ω ≫Rp

Lpour toutes les pulsations ω �gurant dans le spe tre de Fourier du signal à

mesurer. Dans e as, i1 = −M

Li don i1 = −

i

N; le oe� ient N permet de mesurer un orant i

assez élevé ave un fort oe� ient d'atténuation.

IV. � Étude d'un transformateur torique (PSI)

19. U atériau f romag étique est un matériau présentant une aimantation rémanente forte, rémanente

même après la suppression du hamp qui lui a donné naissan e.

20. N t le v teur a mantation (densité vo mique de oments d es magné ques), la relati

s'é rit, dans le as d'une aimantation selon une dire tion unique, ,