Mechanika kvapalín a plynov

1

Základné vlastnosti kvapalín a plynov:

1. Kvapaliny a plyny sa vyznačujú schopnosťou tiecť. Túto ich spoločnú vlastnosť nazývame tekutosť. Kvapaliny a plyny preto označujeme spoločným názvom tekutiny. Tekutinou, ktorá neprúdi sa v prípade kvapaliny zaoberá hydrostatika, a v prípade plynu aerostatika. Štúdiom prúdiacej tekutiny sa zaoberá hydrodynamikaa aerodynamika.

2. Tekutosť rôznych kvapalín je rôzna, charakterizujem ju veličinou viskozita, vnútorné trenie.Viskozita tekutín sa prejavuje aj v ich odpore proti pohybu a zmene tvaru kvapalného či plynného telesa. Rozdielna viskozita tekutín súvisí s rozdielnou veľkosťou síl súdržnosti (vnútorných medzi molekulových síl) medzi časticami tekutiny.

3. Kvapaliny majú stály objem (sú nestlačiteľné).Plyny sú stlačiteľné. Tlak v kvapaline vyvolaný vonkajšou silou:

4. Tlak je skalárna fyzikálna veličina definovaná podielom veľkosti tlakovej sily F pôsobiacej kolmo na určitú plochu a veľkosti S tejto plochy:

𝑭

𝑺 𝑡𝑙𝑎𝑘 𝒑 =

á 𝐅

, ú ô í 𝑺

5. Ak je v určitom mieste kvapaliny tlak p, potom kolmo na ľubovoľne orientovanú plochu

s veľkosťou S pôsobí kvapalina tlakovou silou: 𝑭 = 𝒑 𝑺

6. Ak na voľný povrch kvapaliny v uzavretej nádobe pôsobí vonkajšia tlaková sila, tlak vytvorený v kvapaline sa v dôsledku vzájomného pôsobenia jej častí prenáša na všetky miesta a do všetkých smerov.

PASCALOV ZÁKON

Tlak v kvapaline, ktorý vznikne pôsobením vonkajšej sily na povrch kvapaliny v uzavretej nádobe, je v každom mieste kvapaliny rovnaký

𝒑 =𝑭𝟏

𝑺𝟏=

𝑭𝟐

𝑺𝟐

7. 𝑭𝟐 = 𝑭𝟏𝑺𝟐

𝑺𝟏

8. Zubárske kreslá, pneumatické zbíjačky, vyklápacie zariadenia nákladných áut, hydraulické ramená bagrov, hydraulické zdviháky, lisy a mnoho rôznych stavebných strojov, to sú zariadenia, založené na platnosti Pascalovho zákona.

Mechanika kvapalín a plynov

2

9. Úloha:Hydraulické napínacie zariadenie určené na skúmanie pevnosti materiálov namáhaných ťahom má plochu malého piesta 5 cm2 a plochu veľkého piesta 100 cm2. Akú veľkú napínaciu silu dosiahneme na veľkom pieste, ak na malom pieste budeme pôsobiť silou 10 N?

Tlak v kvapaline vyvolaný tiažou kvapaliny

Hydrostatický tlak

Hydrostatický tlak je priamo úmerný hĺbke h pod voľnou hladinou kvapaliny (výške kvapalinového stĺpca), hustote ρ kvapaliny a tiažovému zrýchleniu g.

𝒑𝒉 = 𝒉 𝝆 𝒈

𝐇𝐲𝐝𝐫𝐨𝐬𝐭𝐚𝐭𝐢𝐜𝐤ý 𝐭𝐥𝐚𝐤𝒑𝒉 = 𝐡ĺ𝐛𝐤𝐚 𝒉 ℎ𝑢𝑠𝑡𝑜𝑡𝑎𝑘𝑣𝑎𝑝𝑎𝑙𝑖𝑛𝑦 𝝆 𝑡𝑖𝑎ž𝑜𝑣é 𝑧𝑟ý𝑐ℎ𝑙𝑒𝑛𝑖𝑒 𝒈

Spojené nádoby

10. Pri naliatí kvapaliny do nádob, ktoré sú spolu spojené, tak že kvapalina môže pretekať z jednej do druhej, pozorujeme, že voľné hladiny sú vo všetkých spojených nádobách v rovnakej výške.

Platí:ph1 = ph2 = h.ρ.g

11. Pretože veličiny ρ, g sú stále, musí byť i hĺbka h v susedných nádobách rovnaká. 12. Využitie:

a. vodovod b. čajník c. vodotrysk d. nivelačné váhy e. plavebné komory

Hydrostatický paradox: Veľkosť hydrostatickej tlakovej sily nezávisí od tvaru a celkového objemu kvapaliny v nádobe.

1. Vo všetkých nádobách je rovnaká kvapalina a hydrostatická tlaková sila pôsobiaca na rovnaké

plochy dna je vo všetkých prípadoch rovnaká, Hoci množstvá kvapaliny, a tým aj ich tiaže v týchto nádobách sú rôzne

Atmosférický tlak:

1. Tlak vzduchu súvisí s tiažou vzduchu. Podobne ako hydrostatický tlak aj tlak vzduchu je v nižších miestach väčší.

2. Pre výpočet veľkosti atmosférického tlaku nemôžeme použiť vzťah pa = hρg používaný pre tlak v kvapalinách, pretožehustota vzduchu s rastúcou výškou nad zemským povrchom klesá.

Mechanika kvapalín a plynov

3

3. Prečo stúpa voda v slamke, ktorou pijeme vodu? Hydrostatická vztlaková sila:

1. Výslednica týchto síl Fvz = F1+ F2 pôsobiaca na valec zvisle nahor sa nazýva hydrostatická

vztlaková sila.

FVZ = F2 – F1

FVZ = (h2 – h1)ρkgS FVZ = hSρkg

FVZ = Vρkg

Archimedov zákon

Teleso ponorené do kvapaliny je nadľahčované hydrostatickou vztlakovou silou, ktorej veľkosť sa rovná veľkosti tiaže kvapaliny vytlačenej ponorenou časťou telesa.

Ustálené prúdenie tekutiny

1. Pod pojmom prúdenie tekutiny rozumieme pohyb tekutiny prevažne v jednom smere. Fyzikálnymi zákonitosťami, ktorými sa riadi prúdiaca tekutina a silami pôsobiacimi na tuhé telesá nachádzajúce sa v prúdiacom tekutom prostredí sa zaoberá dynamika tekutín(hydrodynamika a aerodynamika).

2. Prúdnicaje myslená čiara, ktorej tvar je taký, aby dotyčnica zostrojená v jej ľubovoľnom bode

mala smer rýchlosti častice pohybujúcej sa tekutiny. Každým bodom prúdiacej tekutiny prechádza najviac jedna prúdnica. Prúdnice sa nemôžu navzájom pretínať. Hustotou prúdnic modelujeme veľkosť rýchlosti prúdiacej tekutiny. Prúdnicový model tekutiny nazývame prúdové pole

Rovnica spojitosti toku (rovnica kontinuity)

Mechanika kvapalín a plynov

4

3. Vyjadruje, že pri ustálenom prúdení je hmotnostný tok tekutiny so stálou hustotou v každom priereze prúdovej trubice rovnaký. Tento vzťah vyjadruje zákon zachovania hmotnosti pre ustálené prúdenie tekutiny

S.v.ρ = konšt.

S1.v1 = S2.v2

4. Celková mechanická energia prúdiacej kvapaliny (na jednotku objemu):

∆𝑬

∆𝑽= 𝒑 + 𝒉. 𝝆. 𝒈 +

𝟏

𝟐 𝝆. 𝒗𝟐

𝒕𝒊𝒂ž𝒐𝒗á 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊á𝒍𝒏𝒂 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 − 𝒉. 𝝆. 𝒈

𝒕𝒍𝒂𝒌𝒐𝒗á 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊á𝒍𝒏𝒂 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 − 𝒑

𝑲𝒊𝒏𝒆𝒕𝒊𝒄𝒌á 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 − 𝟏

𝟐 𝝆. 𝒗𝟐

Bernoulliho rovnica:

Celková mechanická energia jednotkového objemu prúdiacej kvapaliny sa pri prúdení ideálnej kvapaliny zachováva Prúdenie skutočnej kvapaliny

Pri prúdení ideálnej tekutiny majú všetky jej častice prechádzajúce určitým prierezom rovnakú rýchlosť. V skutočných kvapalinách je vzájomné silové pôsobenie prúdiacich častíc príčinou javu-viskozita.

experiment: Do lievika sme naliali kvapalinu s veľkou viskozitou, napr. med, hustý olej… a pozorujeme ako postupuje trubicou. Najväčšou rýchlosťou sa pohybujú častice v osi trubice. Smerom ku stenám nádoby ich rýchlosť klesá. Tesne pri stenách trubice je medzná vrstva, v ktorej sú častice kvapaliny s nulovou rýchlosťou.

Ideálna kvapalina preteká trubicou tak, že každá jej častica má v určitom priereze trubice rovnakú rýchlosť.

Skutočná kvapalina sa správa tak, akoby sa v trubici po sebe posúvali kvapalinové vrstvy, ktorých rýchlosť sa v smere od stien trubice k stenám zväčšuje. Vrstvy sa navzájom nemiešajú a trajektórie jednotlivých častícsa nepretínajú a ani sa do seba neuzatvárajú. Takéto prúdenie nazývamelaminárne prúdenie skutočnej kvapaliny.

Mechanika kvapalín a plynov

5

Vnútorné trenie v kvapaline

Sily, ktorými na seba pôsobia častice skutočnej kvapaliny, a ktorými na častice kvapaliny pôsobia steny trubice, sú orientované proti smeru prúdenia a brzdia pohybkvapaliny. Nazývame ich sily vnútorného treniav kvapaline. Práca spotrebovaná silami vnútorného trenia v prúdiacej kvapaline sa prejaví zväčšenou vnútornou energiou kvapaliny: Zrýchlia sa tepelné pohyby molekúl a zvýši sa teplota kvapaliny.

Práca síl vnútorného trenia sa prejaví úbytkom energie prúdiacej kvapaliny. Pre ideálnu kvapalinu platí Bernoulliho rovnicu. Podľa nej energia jednotkového objemu prúdiacej ideálnej kvapaliny sa rovná súčtu tlakovej a kinetickej energie a má konštantnú hodnotu

(1)

Pri prúdení skutočnej kvapaliny hodnota tohto súčtu neustále klesá, tým viac, čím väčšie sú sily vnútorného trenia.

Z rovnice kontinuity, zo vzťahu Sv = konšt. vyplýva, že nestlačiteľná kvapalina prúdiaca trubicou so stálym prierezom nemôže meniť svoju rýchlosť, a preto sa nemôže meniť ani jej kinetická energia.

Energia prúdiacej kvapaliny vyjadrená súčtom na ľavej strane rovnice (1) sa teda zmenšuje tak, že klesajú hodnoty zložky p, ktorú sme nazvali tlaková energia jednotkového objemu kvapaliny: Dôsledkom pôsobenia síl vnútorného trenia je pokles tlaku v trubici, ktorou kvapalina prúdi.

Klesanie tlaku pozdĺž trubice s prúdiacou skutočnou kvapalinou vidíme zo zobrazenia experimentu na obr. 6-25. Z obrázku by sme mali vyčítať, že vo vodorovnej trubici prúdi kvapalina rýchlosťou v a tlak pozdĺž trubice lineárne klesá v závislosti od jej dĺžky.

Obr. 6-25 Výšky stĺpcov v tlakomerných trubiciach zodpovedajú tlaku (tlakovej energii jednotkového objemu) prúdiacej kvapaliny. Zvyšná tlaková energia sa postupne premení pozdĺž celej trubice na vnútornú energiu kvapaliny, čo m á za následok, že sa mení jej teplota.

konšt. 2

2

1vp

Mechanika kvapalín a plynov

6

Prúdenie laminárne a turbulentné

Pozri: Ako vyrobiť laminárny prúd a pekná fontánka

Fontánky v Burj Al Arab

Pripravme si najprv jednoduchý experiment s prostriedkami, ktoré každý deň používame niekoľkokrát. Otáčajme pomaly vodovodný kohútik tak, aby sa vytekajúci objemový tok pomaly zvyšoval. Sledujme, ako sa mení vytekajúci vodný prúd.

Obr. 6-27Vzhľad vodného prúdu vytekajúceho z vodovodného kohútika a) pri malej rýchlosti, b) pri väčšej rýchlosti prúdenia, ktorá prekročila kritickú hodnotu tak, že prúdenie je turbulentné.

Na začiatku pripomína pramienok vody vytekajúci z vodovodnej rúry hladkú, postupne sa zužujúcu trubicu. Keby sme použili presné meradlo, mohli by sme odmerať jej priemer a vypočítať obsah S plochy prierezu v závislosti od vzdialenosti od ústia vodovodnej rúry.

a) Prirovnanie vytekajúceho prúdu vody k trubici nie je náhodné. Prúd vody sa riadi rovnicou spojitosti (pozri článok 6.6) – súčin plochy prierezu a rýchlosti je konštantný Sv = konšt. Kvapalina padá voľným pádom, jej rýchlosť sa postupne zväčšuje. Preto sa musí postupne zmenšovať plocha S prierezu trubice. Pokiaľ rýchlosť prúdenia neprekročí určitú kritickú hodnotu, prúdenie ostáva laminárne – vrstvičky kvapaliny sa šmýkajú jedna po druhej a prúdové čiary, trajektórie kvapalinových častíc, sa nepretínajú.

b) Ak otočíme vodovodným kohútikom tak, že rýchlosť prúdenia vzrastie nad určitú hodnotu – kritickú rýchlosť vkr, povrch vodnej trubice sa zvlní. To je znakkvalitatívnej zmeny vo vodnom prúde: Po prekročení kritickej rýchlosti prúdenieuž nie je laminárne. Prúdové čiary sa vlnia, pretínajú a vytvárajú uzavreté slučky –víry. Tvorba vírov je charakteristický znak turbulentného prúdenia tekutiny.

Vznik vírov – turbulentné prúdenie

Turbulentné prúdenie obvykle pozorujeme v okolí telies, ak prúd tekutiny v ich okolí prekročí kritickú rýchlosť vkr.

Mechanika kvapalín a plynov

7

Obr. 6-30 Turbulentné a laminárne prúdenie.

Odporová sila

Uvažujme teraz o turbulentnom prúdení, vzájomnom relatívnom pohybe, pri ktorom je relatívna rýchlosť telesa a prostredia väčšia ako kritická rýchlosť v>vkr, ale nie je tak veľká, aby dochádzalo k stláčaniu prúdiacej tekutiny. Teleso sa vtedy stretáva s odporovou silou, ktorú môžeme vypočítať podľa experimentálne určeného vzťahu

Sila je priamo úmerná ploche S prierezu telesa kolmého na smer pohybu, hustote prostredia a druhej mocnine rýchlosti. Veličina C je tvarový koeficient odporu – konštanta, ktorá charakterizuje tvar pohybujúceho sa telesa. (Pozri obr. 6-32.)

Obr. 6-32Tvarové koeficienty odporu pre telesá rôzneho tvaru. Hodnoty sú získané experimentálne a sú len orientačné. Odchýlky od týchto hodnôt môžu byť ovplyvnené aj kvalitou povrchu telesa.

2

2

1vCSF

Mechanika kvapalín a plynov

8

Základy fyziky lietania

Odporová sila F by vznikla pri prúdení vzduchu aj vtedy, keby krídlo malo tvar rovnej dosky. Pri menších rýchlostiach by však táto sila nebola dostatočne veľká, aby udržala lietadlo vo vzduchu. Preto nosné plochy sa obvykle tvarujú tak, aby sa uplatnili zákonitosti prúdenia opísané Bernoulliho rovnicou: Okolo hornej časti krídla prúdi vzduch po dlhšej dráhe ako po spodnej časti, a preto aj väčšou rýchlosťou. Pri väčšej rýchlosti prúdenia je tlak pozdĺž hornej časti menší ako pri spodnej časti krídla. Preto je nosná plocha „nasávaná“ smerom nahor. Tlaková sila pôsobiaca na krídlo zo spodnej strany je väčšia ako tlaková sila, ktorá pôsobí smerom nadol. Výsledná tlaková sila pôsobí smerom nahor.

Obr. 6-33 Výsledná aerodynamická odporová sila F jej zložky vztlaková sila – F2 (Fy) a odporová

sila – F1 (Fx). Výslednica všetkých síl vznikajúcich pri pohybe lietadla – výsledná odporová sila (F na obr. 6-

33) pôsobí v bode O, ktorý nemusí byť totožný s ťažiskom (zvykne sa nazývať „tlakový stred“). Jej zložka Fyje dynamická vztlaková sila, ktorá udržuje pohybujúce sa lietadlo vo vzduchu – vyrovnáva tiažovú silu pôsobiacu na lietadlo. Vodorovná zložka Fx je odporová sila, ktorú treba premáhať silou, pôsobiacou na lietadlo v smere pohybu pri činnosti motora.

Odporová aerodynamická sila Fx má rovnaký smer ako rýchlosť vzduchu pred krídlom. Jej veľkosť vyjadruje vzťah

V tomto vzťahu je zahrnutý aj odpor trenia spôsobeného skutočným plynom či kvapalinou.

Konštanta úmernosti Cx sa nazýva súčiniteľ odporu. Jeho veľkosť závisí okrem tvaru telesa aj od orientácie telesa vzhľadom na smer prúdenia vzduchu, od spôsobu obtekania, kvality povrchu…

Vztlaková aerodynamická sila Fy je kolmá na smer pritekajúceho vzduchu. Pre jej veľkosť máme vzťah

kde Cy je súčiniteľ vztlaku. Na veľkosť vztlaku a odporu, aj na ich vzájomný pomer, má vplyv uhol nábehua (obr. 6-33).

2

2

1vSCF xx

2

2

1vSCF yy

Mechanika kvapalín a plynov

9

Snahou konštruktérov lietadiel je minimalizovať odporovú silu a maximalizovať vztlakovú aerodynamickú silu.

Sila Fx, odporová sila vznikajúca pri obtekaní krídla vzduchom, nie je jedinou odporovou silou, ktorú musia premáhať motory pri pohybe lietadla. S odporom vzduchu sa stretáva napr. aj trup lietadla, kabína a ostatné jeho časti. Konštruktéri sa snažia, aby tieto časti lietadla kládli pohybu lietadla čo najmenší odpor, a preto dávajú lietadlu aerodynamický tvar.

Z rovnakého dôvodu sa dáva aerodynamický tvar aj iným dopravným prostriedkom, najmä vtedy, ak sa majú voči prostrediu – tekutine, pohybovať pomerne veľkými rýchlosťami (preskúmajte tvar rýchlych automobilov, vlakových súprav, lodí…)

Koeficienty Cx a Cy sa obvykle určujú experimentálne.