R. Plečkaitis - Logikos pagrindai, 2009

5/23/2018 R. Ple kaitis - Logikos pagrindai, 2009

1/437

TYTO ALBA


2/437

R O M A N A S P L E K A I T I S

Logikos

pagrindai

Scanned by

loud Dancing

VILNIUS 2009


3/437

U D K 1 6 ( 0 . 7 5 . 3 )

PI -47

2 - o j i p a t a i s y t a l a i d a

I S B N 9 7 8 - 9 9 8 6 - 1 6 - 3 2 2 - 0

R o m a n a s P l e k a i t i s , 2 0 0 4

E g l J o k u b o n y t , v i r e l i o

d i z a i n a s , 2 0 0 4

Tyto a lba" , 2006


4/437

Tlirinys

I

SKYRIUS

Logikos objektas

1. Minties login struktra . Form alizacijos procesas 9

2. Log iniai pastovieji ir kintam ieji dyd iai 13

3. Logikos apibrim as 15

4. Prigim tin ir teorin log ika 17

5. Log ikos santykis su kitais mok slais. Jos reikm 18

SKYRIUS

Teigini logika

1. Teig inio sam prata 21

2. Login is neigim as 23

3. Kon junkcija 27

4. Prietarav imo dsnis 31

. Disju nkc ija 33

6. Negalimo

treiojo dsnis 37

7. Imp likacija 40

8. Ekviva lencija 46

9. S imbo linio ym jimo s istemos 49

10. Sudtini teigin i neigim as 50

11. Teig ini form aliza cija 53

12. Sudtinio teig inio teis ingum o reikms nustatymas 54

13. Log ini jung i pakeit imas 57

14. Dvejyb ikuma s 61

15. Teig ini logik os dsniai 62

16. Samp rotavim pagrindim as teigini logikos priemonm is 70

17. Log ins sekos principa i 74

18. Isprendiam um as 75

19. Kon junkcin norm alioj i form a 81

20. Dis junkcin norm alioj i form a 87

21. Teigini logikos ta ikym as technikoje 92

III SKYRIUS

Predikat logika

S A V Y B I T E O R I J A

1. Propo zicin funk cija, jos pavertimas teig iniu 94

2. Savybi teorijos alfabe tas 100


5/437

3. Savybi teorijos dsniai 103

4. Iraik pertvarkym as savybi teorijoje 110

5. Form alioji implikacija 112

S A N T Y K I T E O R I J A

6. Santy ki sam prata 113

7. Teigin i form aIizacija 116

8. Veik sm ai su santy kiais 117

9. Specialios logins santyk i savybs 122

10. Tap atyb 124

11. San tyk i teor ijos dsn iai 127

12. Santyk i ireikimas savybi teorijos term inais 128

13. Isprendiam um as pred ikat logik oje 129

14. Iplstin pre dika t log ika 131

15. Predikat Iog ikos taik ym asf i lo sof i jo je 132

IV SKYRIUS

Logini klasi teorija

1. Log in klas ir jos stru kt ra 135

2. Izomorf izm as ir hom om orf izmas 139

3. San tykiai tarp logini klasi 141

4. Veik sm ai su klasm is 144

5. Klasi teo rijos dsn iai 156

6. Svokos, j sudaryma s 159

7. Svok apib rim as 162

v SKYRIUS

Daugiareikm logika

1. Dau giareikm s logiko s sam prata 177

2. Trij reikmi logika 179

3. J. Luka siew icziaus tri j reikmi logikos sistema 185

4. Ketu ri reikmi logik a 189

5. Dau giareik m s logikos prasm 193

V SKYRIUS

Modalin logika

1. M oda luma i 195

2. Login iai ir f izinia i mo dalu ma i 198

3. M odalum pakeit imas 200

4. Keturi reikmi mod al in logika 203

5. Poriniai m oda lum ai 207

6. M odalins logiko s dsniai 210

7. Kartotiniai mod alumai 213

8. Grietosios implikacijos sistema 215


6/437

VII

SKYRIUS

Deontin logika

1. Teigin i fun kcijos 219

2. Norm rys 220

3. Deo ntini samp rotavim pagrindim as 222

4. Norm os strukt ra ir norm log iko s sistemos 223

5. Abso l iut i norm logika 224

6. M inimali norm log ika 234

7. Auk tesns eils norm os 238

VIII

SKYRIUS

Vertinim logika

1. Vert inimo struktra 239

2. G rio rys 241

3. Vert inanij samp rotavim pagrindim as 242

4. Abso l iui vert inim log ika 244

5. Auk tesns eils vertin ima i 249

6. Vertinim ai ir normo s 250

7. Preferencij log ika 253

IX

SKYRIUS

Klausim logika

1. Klausimo login struktra 257

2. Klausim rys 259

3. Atsakym ai 262

SKYRIUS

Login semantika

1. Sintaks ir sem antika 264

2. Reikm ir prasm log iko je 265

3. Reikm kaip iraikos varto jimo bd as 275

4. Supra timas 276

5. Ekstension alas ir intensiona las 277

6. Ga limi pa sau liai 281

7. An alitiku m as ir sintetikum as 283

8. M odelis ir interpretacija 285

9. Logiko s antinom ijos 287

10. Sem antin tiesos sam prata 300

11. Kalb a ir log ika 302

X

SKYRIUS

Dedukcinis metodas

1. Ded ukcinio me todo struktra 304

2. Teigini logika kaip dedu kcin s istema 306

3. Reikalavimai dedu kcinei teori jai 310


7/437

XII SKYRIUS

Tikimybiniai samprotavimai

1. Ne dedu kciniai samp rotavimai 313

2. Ind ukc ija 316

3. An alog i ja 323

4. Hipo tez 330

5. Ikiteism inio tyrim o versija 333

6. Tik imybiniai nededukcini samprotavim pagrind ai 342

7. Tik imyb in logika 345

XIII SKYRIUS

rodymas

1. rodym o struktra 351

2. Pakan kam o pagrindo principas 353

3. rod ym rys 355

4. rodym o taisykls 358

5. Login s klaidos 363

XV SKYRUS

Senoji formalioji logika

1. Te igin iai ir j rys 367

2. Termin suskirstymas teigin iuose 370

3. Log inis kvad ratas 371

4. Si logistika. Si logizm o struktra 373

5. Si log izm o taisykls 375

6. Si log izm o figros 378

7. S i logizmo f igr mod ai 379

8. Ak siom inis silogistikos idstymas 383

9. Sutrum pinti ir sudtiniai si logiz m ai 386

10. Si logistika iuolaikins logikos po iriu 388

XV SKYRUS

Logikos istorija

1. Lo gik a senovs Ryt alyse 395

2. An tik in logika 397

3. Vidura mi logika 404

4. Lo gika naujaisiais am iais 414

5. Simbolins logikos formavim asis ir raida X IX -X X am iais 417

6. Log iko s istorija Lietuvo je 421

Pratim atsakym ai 427


8/437

I S K Y R I U S

Logikos objektas

1. Minties login struktra. Formalizaci jos procesas

Logika tiria mogaus mstym. Jj savaip tiria ir kiti mokslai - psi-

chologija,filosofija,nerv sistemosfiziologija,psichiatrija. D ar nuo

antikos laik yra susiformavs loginiu vadinamas poiris j msty-

m. Juo sekant, mstymas turi turin ir form. Mstymo turinys -

tai objekt, apie kuriuos mstome, vaizdai, svokos smonje. Kai

sakome iandien a vykstu Kaun", tai mstymo turin sudaro

operavimas smonje objektais a", i diena", vykti", Kaunas".

Logika atsivelgia mstymo turin, taiau ji neturi tikslo j tirti.

Logika tiria kit mstymo proceso pus - mstymo form. Ji tiria

ne

kas

mstoma, bet

kaip

mstoma.

Norda m i isiaikinti, kas yra login mstymo fo rm a, panag rin-

kime samprotavim:

Jei iandien pirmadienis, tai rytoj antradienis.

iandien pirmadienis.

Vadinasi, rytoj antradienis.

Teigin iandien pirm adien is" paymkime ra ide

p,

teigin Rytoj

antradienis" - raide

q.

Gauname:

Je i

p,

ta i

q.

P

yra-

Vadinasi,

q

yra.

Panagrinkime dar tok samprotavim:


9/437

Jei moku angl kalb, tai galiu skaityti Hemingway'aus krini originalus.

Angl kalb moku.

Vadinasi , gal iu skaityt i Hemingway'aus krini originalus.

Teigin Moku angl kalb" paymj raide p, teigin galiu skaity-

ti Hemingway'aus krini originalus" - raide q, gauname:

Jei p, tai q.

P yra.

Vadinasi , q yra.

Si iraika ir yra login dviej nagrint samprotavim forma.

Samprotaujant pagal i form, pasakomas koks nors teiginys (p)

ir i jo iplaukiantis teiginys (q). Paskui p patvirtinamas, ir tada

ivadoje telieka patvirtinti q.

Matome, kad ta paia logine forma galima ireikti vair turin.

Pateikt samprotavim turinys visikai skirtingas: pirmajame kal-

bama apie savaits dien sek, antrajame - apie angl kalbos mo-

kjim ir literatros skaitym. Taiau abiem samprotavimams ben-

dra tai, kad j login struktra vienoda.

Pagal struktr

Jei p, tai

q.

P

yra-

Vadinasi , q yra.

mes sudarome vairiausio turinio samprotavimus, pvz.:

Jei laikrodis rodo 7 vai. 30 min., a turiu eiti j darb.

Laikrodis rodo 7 vai. 30 min.

Vadinasi, a turiu eiti j darb.

Panagrinkime iuos teiginius:


10/437

2 > 1.

Prieastis sukelia pasekm.

Jonas sdi greta Petro.

Nepaisant to, kad ie trys teiginiai savo turiniu skirtingi, jiems

bendra tai, kad juose pasakomi du objektai (2 - 1, prieastis - pa-

sekm, Jonas - Petras) ir tarp j nustatomas santykis (bti dides-

niam, sukelti, sdti greta). Jei objektus paymsime raidmis

ir

y , o

santyk - raide R,gausime iraik

R y

i iraika ir yra pateikt trij teigini login struktra.

Minties login struktra yra jos sudtini dali sujungimo bdas,

bendras skirtingo turinio mintyse.

Minties login struktra dar ki-

taip vadinam a

logine forma.

Logika tiria priemones mini strukt-

roms nustatyti, atranda mini struktr dsningumus.

M inties login struktra , arba login form a, nu statom a

formali-

zacijos metodu.

Vartojant formalizacijos metod, prastos natra-

lios kalbos odiai ir teiginiai uraom i loginiais simboliais (alfab e-

to didiosiomis ir maosiomis raidmis, vairiais kitais simboliais),

sukuriama dirbtin kalba. Pvz., formul y

yra jau

logins kal-

bos iraika. Dirbtin kalb vartoja ne tik logika. Esant auktam

teorinio mstymo lygiui, moksluose be dirbtini kalb apsieiti

nemanoma. Matematikos formuli kalba, chemini reakcij u-

raymai - taip pat d irbtins kalbo s. D irb tin kalba p aalina vai-

rius dviprasmikumus, lengvai galinius atsirasti prastoje kalbo-

je, ji galina ekonomikiausiai ir tiksliausiai reikti tyrim rezulta-

tus. Dirbtini, arba simbolini, kalb struktra panai natrali

kalb struktr. Simbolins kalbos turi savo alfabet, taisykles,

pagal kurias i alfabeto vienet sudaromos formuls. Nepaisant

dirbtin i ka lb reikm s, jos tra pag albin pr iem on pras tai ne-

kamajai kalbai, nes paias dirbtines kalbas reikia aikinti prasta

natralia kalba.


11/437

Kalb sudaro dvejopo pobdio odiai. Vieni odiai turi siau-

resn reikm, kiti - labai plai. i pastarj dka i siauresns

reikms odi galima sudaryti teiginius.

Tarkime, kad reikia nustatyti, kokius mones vadiname broliais.

Apibrime taip: vienas mogus yra kito mogaus brolis tada ir tik

tada, kai jis vyrikis ir yra kas nors, kas yra j abiej tvai. iame

apibrime odiai mogus", brolis", vyrikis", tvai" turi kur

kas siauresn reikm negu visi kiti likusieji odiai: vienas... yra

kito... tad a ir tik ta da , kai jis..., ir yra ka s no rs, kas yra j ab iej...".

Pastarieji odiai turi plaiausi reikm, jie aptinkami vairiuose

teiginiuose. Jie yra pr iem on siauresn s reikm s odiams jung ti

teigin.

Galima padaryti tok palyginim. Kai namas statomas i plyt,

tai vien tik i plyt namo pastatyti nemanoma, reikia skiedinio,

cem ento , kuris plytas surit. Panaiai yra ir

kalboje.

S iauresns reik-

ms odiai - tai odiai-plytos, o plaiausios reikms odiai - tai

odiai-cementas. odiai-plytos rodo minties turin, o odiai-ce-

mentas rodo minties struktr. Logikos tikslas - nustatyti odi-

cemento prasm ir j vartojimo bdus.

Pateikiame kai kuriuos odius, kuriuos tiria logika:

tas visi

ne objektas

ivada

kuris kai kur ie ta ip k las rody m as

vienas

y r a g a l b t

poymis t iesa

toks pat egz i s tu o ja ir santyk is k la id ingu m as

sk i r t ingas nra arba s a m p r o t a v i m a s t i k t i n u m a s

Pratimas

Nu sta tyki te , k ur ie odia i iam e te ig inyje yra odia i -p ly tos ir kur ie - o-

d ia i -cementas : Teta yra tvo arba mot inos sesuo" .


12/437

2. Loginiai pastoviej i i r k intamiej i dydiai

Kai nagrinjame kok nors reikin, proces, matome, kad tame

reikinyje ar procese esama dvejopo pobdio dydi. Vieni i j

ilieka pastovs, nekinta, o kiti kinta. Panagrinkime lktuvo skri-

dim. iame reikinyje ilieka pastovs: keleivi skaiius, j baga-

o svoris, lktuvo matmenys ir kt. Bet, lktuvui skrendant, kai ku-

rie dydiai neilaiko pastovios reikms: kinta lktuvo atstum as nuo

pakilimo ir iki nusileidimo vietos, degal ir tepalo atsargos, kinta

lktuvo greitis, skridimo auktis, keleivi nuotaikos ir daugelis kit

dydi.

Panau ir logikoje. Logikos formules, kuriomis uraomi logi-

niai mini ryiai, sudaro dvejopo pobdio dydiai - pastovieji ir

kintamieji.

Loginiaipastoviejidydiaiyra tokie loginiai dydiai, tungrietai

apibrt reikm ir j isaugo samprotavime.

Loginiai pastovieji dydiai skirstomi tris grupes.

Pirmj logini pastovij dydi grup sudaro logikos termi-

nai: teiginys, svoka, samprotav imas, ivada, rodymas, poymis, kla-

s ir t. t. Visi logikos terminai turi grietai apibrt reikm, ne-

kintani samprotavime.

A nt rj logini pastov ij dydi g rup suda ro p laiausios reik-

ms odiai (odiai-cemen tas), ku ri dka siauresns reikm s o-

diai (odiai-plytos) jungiami teiginius: ir, arba, jei..., tai, yra,

nra, vienas, kiekvienas, toks pat, skirtingas ir 1.1.

Trei logini pastovij dydi grup sudaro loginiai simboliai,

ymintys tam tikrus loginius veiksmus: -, V , >, c ir kt.

Loginiai pastovieji dydiai dar kitaip vad inami

loginmis

konstan-

tomis.

Loginiai kintamieji dydiai

yra

tokie loginiai

dydiai,

kurie neturi

grietai apibrtosreikms;j reikm samprotavime gali kisti.

Loginiai kintamieji dydiai ymimi didiosiomis ir maosiomis

lotynikojo alfabeto raidmis:


13/437

... , Y;

a, b, ...,, .

Logini kintamj dydi reikm samprotavime kinta priklau-

somai nuo to, kok turin jiems priskiriame. Iraikoje

Jei p, tai q.

p teisingas.

Vadinasi,

q

teisingas.

odiai jei..., tai", vadinasi", teisingas" yra logins konstantos, o p

ir

q

yra loginiai kintam ieji dydiai, kuriems galima priskirti vair kon-

kret turin, t. y. p ir

q

galima pakeisti vairiais konkreiais teiginiais.

Iraikoje p ir q" odis ir" - loginis pastovusis dydis, o p ir q -

loginiai kintam ieji. Iraikos p ir reikm kinta priklausom ai

nuo to, kokiais konkreiais teiginiais pakeiiame p ir q. Pvz., p pa-

keitus teiginiu A yra studentas", o q - teiginiu A studijuoja tei-

s", gauname: A yra studentas ir A studijuoja teis". Pakeitus p

teiginiu Sode auga obelys", o q - teiginiu Sode auga kriaus",

gauname: Sode auga obelys ir kriaus".

Logini pastovij ir kintamj dydi vaidmen galima paly-

ginti su anketa. Mausimai, suformuluoti anketoje, - pastovieji dy-

diai. Tarpai, palikti anke tai upildyti, - kintam ieji dydiai, nes kiek-

vienas asmuo upildo anket savaip. Kaip anketa gauna apibrt

ko nk ret turin, upildius jo je pa liktas vietas, taip ir login for m u-

l, loginius kintam uosiu s p ak eitu s kon kreiais teiginiais ar odiais,

gauna konkrei apibrt reikm.

prastoje nekamojoje kalboje nra kintamj. Kintamj vie-

toje joje vartojami vardiai, ypa neymimieji vardiai kakas",

kas nors", ir kt. Sakinys Jei kas nors i ko nors k nors pasiskoli-

no, tai privalu t jam grinti" reikia t pat, k ir sakinys Jei

pasiskolino z

i y, tai

privalo asmeniui y

grinti z". Bet sudtin-

gesniais atvejais, formuluojant teiginius, vardi nepakanka, dl

to vietoj prastos natralios kalbos vartojama dirbtin kalba.


14/437

0 b Pratimai

1. A t rask i t e l og in ius pas tov iuos iu s i r l og in ius k in t am uo s iu s dyd ius iose

irai kose: je i p , t a i q ; p arba


15/437

stalas arba stalo joje nra" nereikia tikrinti patyrimu. Kiekvienam

aiku, kad auditorijoje arba yra stalas, arba jo nra. Sio teiginio

teisingum suprantame i logini konstant yra", arba", nra"

prasms.

Tegul turime teiginius:

Je iA tapatus B,ta i Btapatus A.

Jei bulvs maie, o maias veime, tai ir bulvs veime.

U te nk a tik sup rasti iuos teiginius, kad sitikintum e, jog jie tei-

singi. Visai nereikia iekoti objekt

A

ir

B,

nereikia pilti bulvi

mai, paskui maio kelti veim ir pan. i teigini teisingum

su pra nta m e teorikai, jie yra logins tiesos, j teisingum as priklau-

so iimtinai nuo j logins formos, arba logins struktros.

Logins

tiesos - taiteiginiai, kuri patyrimu patikrintinereikia, j teisingumas

priklauso tik nuo j

logins

struktros.

Nustatant, ar sakinys x patinka y" teisingas, reikia j patikrinti

patyrimu. Bet sakin galima ivesti ir grynai logikai i patyrimu

inom prielaid. Tarkime, kad inome, jog

patinka logika,

y patinka logika,

patinka visi , kuriems patinka logika.

Tada

ivada aiki:

patinka y. Be to, gaunama dar viena

ivada:

pats sau patinka.

Logins tiesos gaunam os pe rdirb ant paioje ini sistemoje esan-

i informacij. Fakto tiesos surandamos gyjant informacij, iei-

nani u esamos ini sistemos rib.

Logikos tikslas - nustatyti logines painimo teisingumo slygas,

sukurti efektyv loginio pa inim o meto d, nustaty ti priem on es, ga-

linanias i vien teigini ivesti kitus teiginius.


16/437

Pratimas

Nusta tyk i t e , ku r i e t e ig in i a i empi r ins t i esos i r ku r i e - l og ins t i esos :

1 . Sode augo serben ta i i r ag ras t a i .

2 . S o d e au g o ag r a s t a i a r b a ag r a s t a i s o d e n eau g o .

3 . O n u t p a r a r a i d A .

4 . J e i O n u t p a r a r a i d A , t a i O n u t p a r a p i r m j a l f ab e t o r a i d .

4. Prigimtin ir teo rin log ika

mons skirtingai supranta daiktus, reikinius, taiau visi msto to-

mis paiomis loginmis struktrom is. Loginis mstymas nra rasinio,

tautinio ar klasinio pobdio reikinys. Nra skirtumo ir lyties poi-

riu -v y r ir moter loginis mstymas toks pats, skiriasi tik j psichika.

Logins struktros bendros visiems monms, visi msto pagal tuos

paius logikos dsnius. Logika yra bendramogiko pobdio.

B dam as tas pa ts visiems m onms, loginis mstymas egzistuoja

dviem pavidalais. Pirmas pavidalas -prigimtinlogika - yra prastas

natralu s mstymo procesas. Neu ron tinklai smegenyse ir impul-

sai juose sudaro loginio mstymo fiziologin pagrind, kuris pavel-

dimas. Impuls nea m turin suform uoja ugdymo, mokymo, ben-

dravimo, darbo procesai. Prigimtin logika yra normalus moni

mstymas, t. y. sveikas protas.

Nors sveikas protas yra galinga painimo priemon, mokslinia-

me painime vien tik jo veiksenos nepakanka. Btinas antras logi-

kos pavidalas -teorin logika,ne tik prasm inan ti sveiko pro to veik-

sen, bet ir sukurianti tokias konstrukcijas problem om s sprsti, ku-

rias sprsti prastinis protas

nepajgus.

E idam a ivien su sveiku p ro-

tu, teorin logika engia toliau u j ir nuveikia tai, ko prastas

natralus mstymas nuveikti negali. Teorin logika savo objekt

iskiria ne stebdama ir apraydama minties raikos priemon -

kalb ir jos vartotojus, bet ipltodama logikai galimas, logikai

manomas situacijas; ji yra konstruojantis mokslas.


17/437

Logins struktros kyla i patyrimo. Jos ireikia bendriausius

tikrovs bruous, su kuriais mons susiduria bet kurioje praktin-

je veikloje: koks nors daiktas egzistuoja arba neegzistuoja, vieni

reikiniai slygoja kitus reikinius ir nra taip, kad daiktas turt

kok nors poym ir kartu jo neturt. ia prasme logins strukt-

ros (jos specialios, ne p sichins ir ne m atem atins) yra objektyvaus

pobdio, t. y. nepriklauso nuo mogaus nor, valios.

Kurdama savas konstrukcijas, teorin logika tobulina samprota-

vimo b dus, juos keisdam a ir m odifikuo dam a pratsia sveiko p ro-

to veiksen.

5. Logikos santykis su kitais mokslais. Jos reikm

Senovje logika buvo vaizduojama kilnios moters (mzos mokslo

globjos), rankoje laikanios raktus, pavidalo: logika atrakinanti

duris ties, atverianti keli visiems mokslams, ji esanti paintinis

vis moksl instrumentas.

iuolaikiniuose moksluose, esant auktam teorinio mstymo ly-

giui, ikyla daug logini pro blem : koks yra to ar kito mo kslo var-

tojamas samprotavimo bdas, kokios logins priemons gali sk-

mingiausiai padti sprsti tuos ar kitus klausimus ir pan. Tai svar-

bs klausimai, nes kiekvienas mokslas, kaip ir kiekvienas paskiras

mogus, tiria savo srities reikinius, vadovaudam asis tam tikru sam-

protavimo bdu, tam tikra logika. Kuo samprotavimo bdas, tas

loginis tinklelis, bus geresnis, tuo skmingiau bus galima sprsti

problemas. Cia mokslams pagalb ateina logika, nes turi tiksl

nustatyti paias efektyviausias logines tiesos pasiekim o priem ones.

Tad logika aptarnauja kitus mokslus. ia prasme

logika yra

bendras

metodas visiems mokslams, jiyra mokslinio mstymo technika.

Daug logini problem yra lingvistikoje. Pati lingvistika neturi

priem on i jom s isprsti, todl ji turi kviestis pagalb logik. G ra-

matikai analizuojant sakin, btina remtis sakinio logika. Panaiai

ir lingvistin semantika susijusi su logine semantika.


18/437

Logika glaudiai susijusi su matematika.

Ryys ia abipusis: ma-

tematika vartoja logikos sukurtas priemones, o logika ima i mate-

matikos kai kuriuos jos metodus ir pagal juos pltoja savo teorijas.

Logika remiamasi teiss moksluose, ypa teismini rodym teo-

rijoje. Kas yra pats rodymas, kaip reikia rodyti, kas yra hipotez,

versija, kaip versija virsta rodyta tiesa - visa tai logikos klausimai.

Logika glaudiai susijusi su filosofija. Ryys ia taip pat abipusis.

Filoso fija ap iben drin a logikos pasiekimu s, rem iasi jais. K ita vertus,

logikoje yra filosofini problem.

Pastaruoju metu logikos teorijos skmingai taikomos ir tuose

m oksluose, ku rie i pirm o vilgsnio atro do nu tol nu o logikos. Nerv

sistemos fiziologijoje prieita ivada, kad smegen nervini lsteli

veikl galima aprayti simbolins logikos priemonmis.

Jau i to, kad logika tiria loginius moksl pagrindus, kad ji yra

bendras metodas visiems mokslams, aikja logikos reikm. Pati

didiausia logikos vert yra ta, kad ms laikais ji taikoma techni-

koje, kad tiesiogiai gausindama materialines ir dvasines grybes,

tapo prieakins technikos metodu. Automatizuojant ir telemecha-

nizuojant gamyb, konstruojant skaiiavimo mainas, siekiant au-

tomatizuoti vairias protinio darbo ris, apsieiti be simbolins lo-

gikos nemanoma. Audringai besipltojanti kompiuterizacija atve-

ria logikai dar platesnes taikymo perspektyvas.

Loginius mstymo veiksmus galima palyginti su achmat aidi-

m o taisyklmis, kurios nustato, kaip leistina perkelti figras i vieno

achm at lentos laukelio kit. Taiau achm at aidim o taisykls -

tai ne achmat strategija, ne kombinacij krimas ir realizavimas.

Panaiai ir loginiai mstymo veiksmai yra gaunam osinformacijosper-

dirbimas

(i

vien teigini ivedami kiti teiginiai). Taiau loginiai ms-

tymo veiksmai negali nurodyti, kaip a trasti prob lem , kaip j isprs-

ti. M oksliniame tyrime logika b tina , taiau bt iliuzija manyti, kad ,

neinant faktins mediagos, o inant tik logik, galima skmingai

atrasti ir sprsti bet kurio mokslo problemas.

Kodl naudinga studijuoti logik? Logikos studijavimas pakelia

intelektin mogaus lyg jo potencines intelektines galias, kaip kad


19/437

utvankos statymas pakelia vandens lyg Logika formuoja kritin

mogaus poir kit moni ir savo teiginius, pairas, sitikini-

m us. Pagal poir, neu ten ka pa teik ti vien tai, kas teigin pa tvir-

tina, reikia inagrinti ir tai, kas teiginiui prietarauja. Kiekvien

teigin galima laikyti teisingu, jei jis turi pa ka nk am teisingum o pa -

grind. Logins klaidos turi kur kas didesn praktin reikm, ne-

gu paprastai manoma. Jos leidia jas daraniajam laikytis sau nau-

dingos nuomons kiekvienu klausimu. Kiekviena grieta logikai

pagrsta teorija padeda veikti paplitusius prietarus.

Norint samprotavimuose prieiti teising ivad, reikia laikytis

dviej pagrindini slyg:

1. Turi bti teisingi pradiniai samprotavimo teiginiai.

2. Samprotavimo eiga turi bti logikai taisyklinga.

Logika nurodo, kaip reikia taisyklingai mstyti. Norint susipa-

inti su logikos pagrindais, nebtina turti koki nors speciali i-

ni, pakanka bendro isilavinimo.


20/437

I I S K Y R I U S

Teigini logika

Logikos moksl sudaro daug teorij. Pagrindin logikos teorija yra

teigini logika. Dsningumai, nustatyti teigini logikoje, galioja ir

kitose logikos teorijose.

Teigini logika yralogikosteorija, nagrinjanti teigini ryius, gau-

namus

logini

konstant

ne , ir , arba , jei..., tai , jei ir

tik jei...,

tai" dka.

1. Teiginio samprata

Teiginiu

vadinamas

bet kuris sakinys,

kuris

yra teisingas arba klaidingas

Teiginys gali turti ir koki nors kit reikm: gali bti neapi-

brtas, tiktinas, galimas ir pan. Taiau teigini logikoje teiginiai

nag rinjami kaip turintys tik dvi reikmes - jie gali bti teisingi ar-

ba klaidingi. Teisingumas ir klaidingumas vadinami teiginio reik-

mmis. Teigini pavyzdiai: Ms gatve vaiuoja troleibusai",

iandien vieia saul".

Teiginiai skiriasi nuo gramatini sakini. Ne visi gramatiniai sa-

kiniai gali bti laikomi teiginiais, nes ne visi gramatiniai sakiniai

gali bti teisingi arba klaidingi. Hausiamieji sakiniai nra nei tei-

singi, nei klaidingi. Hausimas Kaip jums sekasi?" nra nei teisin-

gas, nei klaidingas, galima kalbti tik apie tai, ar klausimas kelia-

mas teisingai ar neteisingai. Pvz., klausimas Ar tiksliai Marse

veria Aristotel?" keliamas neteisingai dl to, kad ia numato-

ma: 1) M arse yra proting btybi; 2) jos turi Aristotelio krini;

3) jos gali Aristotelio krinius versti. O tiesa yra tai, kad A ristotelio

kriniai Marse niekaip negaljo atsidurti.


21/437

Ska tinam ieji sakiniai taip pa t n ra ne i teisingi, nei klaidingi, pvz.:

Paduokite man stiklin vandens", Eik namo", Kaip noriau,

kad ry toj b t geras oras " iais sakiniais reikiamos mo gaus nuo -

taikos, jo jausm ai ir nora i. Teigini logikavisa tai nekreipia dm e-

sio, ie veiksniai jai nesvarbs. Taiau tai nereikia, kad negalima

klausiamj ir skatinamj sakini login analiz. Mausimus, ko-

mandas, vertinimus tiria atitinkamos logikos sritys, kurios bus ap-

tartos toliau.

I gra m atini sakini teigini logikoje teiginiais laikom i tiesiogi-

niai sakiniai. Tiesioginiuose sakiniuose tvirtinama, kad yra tam tik-

ri objektai arba j nra, kad tie objektai turi arba neturi tam tikr

poymi; tiesioginiuose sakiniuose nu rod om a, k ad yra tam tikri fak-

tai arb a j n ra. Tokie sakiniai yra teisingi arba klaidingi, ir tod l jie

yra teiginiai.

Teigini logikoje teiginys nedalomas jokias sudtines dalis, jis

nagrinjamas kaip vieninga nedaloma visuma. Paskirus teiginius

ymsime m aosiomis alfab eto raidm is:

p ,

q

,

r,

s.

Kiekvien teigi-

n reikia ymti atskira raide: teigin Ms gatve vaiuoja trolei-

busai" ymsime raide

p ,

teigin iandien vieia saul" - raide

q

ir pan.

Teiginius galima neigti, jungti, atskirti, ivesti i kit teigini, at-

rasti teigini ekvivalentum. i operacij analiz ir sudaro teigi-

ni logik.

Pratimas

Kurie i pa te ik t sak in i t e ig in i log iko je l a ikomi te ig in ia i s :

1 . Tegul bg a m s u p s m ar ia s gi l iaus ias .

(J. Ma ironis)

2 . Ar t ave ske rsv j i s pe rp t?

(P. Cvirka)

3 . I t ik r j , kokie g ras i t i e ka lna i

(A. Vienuolis)

4 . P a s ve ik ina u d ra ug s u g im im o d i e na .

5 . Te i s ingumas yra va l s tybs pamatas .


22/437

2. Login is neigimas

Loginis neigimas reikiam as odiais ne", n ra", netiesa, kad ...",

klaidinga, kad...". Teiginio Kambaryje yra stalas" neigimas rei-

kiamas taip:

Kambaryje nra stalo.

Netiesa, kad kambaryje yra stalas.

Klaidinga, kad kambaryje yra stalas.

Visi ie teiginiai lygiaverts. prastoje kalboje neigimas gali bti

reikiamas dar ir kitais odiais: be", iskyrus" ir pan. Teiginys

Jonas buvo be kepurs" lygiaverts teiginiui Jonas nebuvo usi-

djs kepurs".

Logikoje neigimas ymimas tam tikru simboliu - brkniu, kuris

deda m as v ir teiginio. Teigin paymjus ra ide

p ,

jo neigim as ymi-

mas p ir skaitoma: ne -p ;netiesa, kad p ; klaidinga, kad p .

Centrin

svoka logikoje -

teisingumas.Tad kyla k lausimas, koks

santykis tarp pradinio teiginio p ir jo neigimo p teisingumo poi-

riu. Tuo tikslu sudaroma teisingumo lentel:

P P

Kam bary je yra stalas. Ka m ba ryje nra stalo.

teis inga k la id inga

klaid inga teis inga

Kurkastrumpiau loginio neigimo teisingumo lentel sudarom a taip:

k

t

Raidst,

k

len telje yra odi teisinga" ir klaidinga" san trum -

pos. I lentels matom e, kad jei prad inis teiginys p teisingas, tai jo


23/437

neigimas p klaidingas; o jei p klaidingas, tai p teisingas. Jei teiginys

Kambaryje yra stalas" teisingas, tai jo neigimas Kambaryje nra

stalo" klaidingas; jei teiginys K am bary je yra stalas" klaidingas, tai

jo neigimas Kambaryje nra stalo" teisingas.

Teisingumo lentels kitaip dar vad inam os

teisingumo matricomis.

Mes jas vadinsime tiesiog

matricomis.

Dvigubas neigimas

lygiaverts

teigimui.

Sis teiginys vad inam as

dvi-

gubo neigimo dsniu. Uraomas jis taip:

p ~ p .

Inagrinsime i iraik. J sudaro teiginys p, io teiginio nei-

gima s p , teiginio p neigim as p ir enk las ym intis lygiavertum

(ekvivalencij). p reikia suprasti taip: netiesa, kad p teisingas; ne-

tiesa, kad p klaidingas; klaidinga, kad p klaidingas. Vis iraik

p ~ p skaitom e: teiginys N etiesa, kad n e -p " lygiaverts teiginiui p .

Logikos

dsnis yra

visuomet

teisingas teiginys. Jei iraika visuomet

teisinga, tai, kintamuosius pakeitus konkreiais teiginiais, gausime

ties. Dv igubo neigimo dsnyje kintam j p reikia pakeisti kokiu no rs

konkreiu teiginiu, paliekant nepakitusius dvigub neigim ir lygia-

ve rtum o enkl, nes jie yra loginiai pastovs dydiai. Pakeit p teigi-

niu R aom oji lenta juo da ", iraik p ~ p skaitome: teiginys Ne-

tiesa, kad raomoji lenta nejuoda", lygiaverts teiginiui Raomoji

lenta juoda". Tai teisinga. Pakeit p teiginiu A studijuoja german

filologij", iraik p ~ p skaitom e: teiginys N etiesa, kad A nes tu-

dijuoja german filologijos" lygiaverts teiginiui A studijuoja ger-

manfilologij .Tai taip pa t teisinga. Pasirodo , kad iraikoje p ~ p

kintamj p galima pakeisti bet kokiu konkreiu teiginiu, vis tiek i-

raika bus teisinga. Taip yra todl, kad i iraika yra logikos dsnis.

Logikos dsniai kitaip d ar vadinam i

bendrareikmmis, tapaiai tei-

singomis

iraikomis.

B end rareikm - tai visuom et teisinga iraika.

Iliustravimas pavyzdiais dar nerodo, kad iraika yra logikos

dsnis. Pavyzdiai niekad neturi rodomosios galios, jie ne rodo, o

tik parodo, iliustruoja. Galima manyti ir taip: kur nors labai toli yra


24/437

toks teiginys, j kur vedus du neigimus, jie nebus ekvivalentus tei-

gimui. Teigini juk begalyb. Todl dvigubo neigimo dsnio tikru-

mas nustatomas ne pavyzdiais, o teorikai.

Nustatyti, ar iraika yra logikos dsnis, galima grynai loginmis

priemonmis. Reikia iraikai sudaryti teisingumo lentel. Dvigu-

bo neigimo dsnio teisingumo lentel tokia:

P P P

P ~ P

t k t t

k

t

k t

Teisingumo lentel (teisingumo matric) sudaro eiluts ir stulpe-

liai. Virutinje eilu tje ymimi visi loginiai k om ponentai, sud aran-

tys iraik. Dvigubo neigimo dsn sud aro : teiginys p , jo neigim as p ,

teiginio p neigimas p ir ekvivalencijos ta rp p ir p nustatym as. Eilui

po horizon taliu brkniu tra dvi, nes pradinis teiginys yra vienas -

teiginys p . Pirm am e m atricos stulpelyje paym ta, kad teiginys p ga-

li

bti teisingas arba klaidingas. A ntr am e stulpelyje nustato m a p reik-

m . I loginio neigim o ino me, kad jei teiginys p teisingas, tai jo nei-

gimas klaidingas, ir jei p klaidingas, tai jo neigimas teisingas. Treia-

me stulpelyje nustatoma p reikm. Vl reikia taikyti loginio neigi-

m o taisykl, nes p yra p neigimas. Taigi jei p klaidingas, tai p teisin-

gas, ir jei p teisingas, tai p klaidingas. Pasku tiniam e stulpe lyje nusta -

tom as iraikos p ~ p teisingumas. Treiame ir pirm am e stulpeliuo-

se paymtos teigini p ir p teisingum o reikms. i stulpeli pirm a

eilut vienoda - reikm teisinga". Skaitome: reikm teisinga"

ekvivalenti reikmei teisinga". Tai tiesa. itai uraome paskutinio

stulpelio pirm oje e ilutje. Treio ir pirm o stulpelio an tra eilut taip

pat vienoda - reikm klaidinga". Skaitome: reikm klaidinga"

ekvivalenti reikmei klaidinga". Tai tiesa, ir itai uraome paskuti-

nio stulpelio antroje eilutje. Vadinasi, jei du teiginiai vienodi savo

teisingumo reikmmis, tai jie ekvivalentus.

I m atricos m ato m e, kad iraika p ~ p visais atvejais teisinga

(nors toki atvej ia tra du).


25/437

Kadangi p ekvivalentu p, tai dvigub neigim visuomet galima

nu bra uk ti. Trigubas neigimas ekvivalentus neigim ui: p ~ p . Jei tei-

ginyje lyginis neigim skaiius, tai juos visus galima nubraukti, nes

jie ekvivalentus teigimui. Jei teiginyje nelyginis neigim skaiius,

tai jie visi ekvivalentus vienam neigimui.

Loginis neigimas taikomas loginei gramatini sakini analizei.

Tegul turime sakin A melavo, kad jis mat B". iame sakinyje

ireiktos dvi mintys, ir bt netikslu teigti, kad viena j priklauso

pagrindiniam sakiniui, o kita - alutiniam. Tos dvi mintys ios:

1. A teigia, kad j is mat B.

2. A nemat B.

Ianal izav gauname sakin : A te ig, kad j is mat B, i r A nemat B .

N at rali nek am oji kalba n e visada pa jgia grietai ireikti logi-

nius bvius. Lietuvi kalboje teigin vestas vienas neigimas kar-

tais tegali bti isakomas dviem ar net trimis neigimo prasm tu-

riniais odiais. Teiginyje Nutariau nieko nedaryti" yra du tokie

odiai, nors logikai odiais nieko nedaryti" isakomas vienas

neigimas ir teiginys uraomas p. Angl kalboje iuo atveju apsiei-

nama vienu neigiamu odiu to do nothing.Teiginyje Niekas niek o

nepasak" trimis neigiamais odiais isakomas vienas loginis nei-

gimas: nra tokio, kuris k nors bt pasaks.

1. Pateik i te i te ig in i neig imus i r nustatyki te j te i s ingum:

a) part i j kova yra pol i t in kova;

b) l i e tuvi kalbos daik tavardiai kai tomi g iminmis;

c) logika t i r ia mogaus nuotaikas .

2 . Teig in Pr ie o pu ol im as ne bu vo ne lau kta s" uray ki te login iai s s imbo -

l iais i r nustatyki te, kokiam teiginiui j is lygiavertus.

3 . I n ag r inki te te ig in A suk lydo te igd am as, ka d B sak n et ie s" .

Pratimai


26/437

3. Konjunkci ja

Visi teiginiai skirstomi paprastus ir sudtinius.

Paprastu teiginiu vadinamas teiginys, kuris jokius kitus teiginius

neskaidomas.

Sudtiniu teiginiu vadinamas

teiginys,

sudalytas i keli paprast

teigini, sujungt

loginmis

jung timis.

Logini jungi yra keturios: ir, arba,

jei...,

tai,

jei ir tik

jei...,

tai.

iomis jungtimis paprastus teiginius Kambaryje yra stalas", Prie

lango stovi kd" jungiame j iuos sudtinius junginius:

Kambaryje yra stalas ir prie lango stovi kd.

Kambaryje yra stalas arba prie lango stovi kd.

Jei kambaryje yra stalas, tai prie lango stovi kd.

Jei ir tik jei kambaryje yra stalas, tai prie lango stovi kd.

Paprasto teiginio teisingumas nustatomas ne loginiu bdu, o pa-

tyrimu, stebjimu , eksperimentu . Sudtinio teiginio teisingumas nu-

statomas loginmis priemonmis. Sudtinio teiginio teisingumo

reikm priklauso nuo:

a) j sudarani paprast teigini teisingumo reikmi;

b) j sudarani logini jungi pobdio.

Konjunkcija ireikiama jungtimi ir".

Konjunkciniu

teiginiu

vadinam as sudtinis

teiginys, sudarytas

ike-

liu paprastteigini, sujungtloginejungtimiir .

Teiginys iandien vieia saul ir dangus giedras" yra konjunk-

cinis, sudarytas i dviej papra st teigini: iandien vieia saul"

(p) ir Dangus giedras" (q ). Turime: p ir q. Jungt ir" paymj

simboliu " (taku), gauname i konjunkcijos formul:

P q-


27/437

K on jun kc inj teigin trum pia u vadinsime tiesiog

konjunkcija.

Tei-

giniai p ir q vadinami konjunkcijos nariais.

Konjunkcijosnarius galima sukeisti vietomis. A r pasakysime p ir q,

ar

q

irp , nuo to dalyko esm nepakis. Taigi

(p.q)~(q. p).

Teiginys ia stovi stalas ir ia stovi kd" ekv ivalentus teigin iui

ia stovi kd ir ia stovi stalas". Pana iai 2 + 3 = 3 + 2. Taiau

konjunkcijos nari perstatymas ne visada manomas. Konjunkcijos

Numir ir buvo palaidotas" nari perstatyti nemanoma, persta-

ius (Buvo palaidotas ir numir") pakinta teiginio prasm.

Konjunkcij gali sudaryti ne tik du , bet ir daug iau p ap rast teigi-

ni. Teigin Asmenys A, B, C ir D buvo patraukti baudiamojon

atsakomybn" sudaro keturi paprasti teiginiai: Asmuo A buvo pa-

trauktas baudiamojon atsakomy bn" (p) ,Asm uo B buvo patrauk-

tas baudiam ojon atsakomybn" (g), ,A sm uo Cbuvopatrauktas bau -

diamojon atsakomybn"

(r),

Asmuo D buvo patrauktas baudia-

m ojon a tsakomy bn" (s) .io teiginio stru kt ra: p ir

q

ir

r

irs,t .

y.

p. q. r. s.Kad ir kiek pa pras t teigini sudaryt konjunkcin teigin,

pagrindinis santykis konjunkcijoje yra santykis tarp dviej teigini.

Antai teigin p . q r s pertvarkius (p q) (r . s), tursime du

konjunkcijos narius, ku ri kiekvienas - vlgi konjunkcijos teiginys.

Konjunkcinio teiginio teisingumas priklauso nuo j sudarani

paprast teigini teisingumo reikmi. Nustatysime konjunkcijos

teisingumo slygas.

P

Kambaryje yra stalas.

q

Prie lango stovi kd.

p.q

Kam bary je yra stalas ir

prie lango stovi kd.

teis inga teis inga teis inga

teis inga

klaid inga

k la id ing a


k la id ing a

k la id ing a

k la id ing a k la id ing a


28/437

Konjunkcijos matrica sudaroma taip:

P q p q

t t t

t

k k

k t k

k k k

Pirmuose dviejuose stulpeliuose paymti visi galimi paprast tei-

gini p ir q teisingumo ir klaidingumo atvejai. Toki atvej tebus

keturi: 1) p teisingas,

q

teisingas; 2) p teisingas,

q

klaidingas; 3) p

klaidingas,

q

teisingas; 4) p klaidingas,

q

klaidingas.

Pirma eilut po horizontaliu brkniu: teiginys p teisingas, teigi-

nys

q

teisingas - konjunkcija p .

q

teisinga.

A ntra eilut: p teisingas,

q

klaidingas -konjunkcijap .

q

klaidinga.

Treia eilut: p klaidingas,

q

teisingas -

konjunkcija

p .

q

klaidinga.

Ketvirta eilut: p klaidingas,

q

klaidingas - konjunkcija p .

q

klaidinga.

Konjunkcijos taisykl:

konjunkcija

teisinga,

kai

teisingi

visi jos

nariai.

Konjunkcinis teiginys Kambaryje yra stalas ir prie lango stovi

kd" teisingas tik tad a, kai kam baryje tikrai yra stalas ir prie lango

tikrai stovi kd. O jei ka m baryje stalas yra, taiau prie lan go kd

nestovi, tai teiginys Kambaryje yra stalas ir prie lango stovi kd"

klaidingas. Matricoje is teiginys atitinka antr eilut: p teisingas,

q

klaidingas, konjunkcija p .

q

klaidinga.

pras toje kalbo je konjun kcija reikiama ne tik odiu ir". Ms

natrali kalba turtinga. Daugeliu atvej loginiu poiriu jungiai

ir" lygiaveriai ie gramatiniai jungtukai: o", bet", taiau",

nors". Sie teiginiai savo logine reikme lygiaveriai:

Petrait is dar Vi lniuje i r atostogaus gimtajame kaime.

Petrait is dar Vi lniuje, o atostogaus gimtajame kaime.

Petrait is dar Vi lniuje, bet atostogaus gimtajame kaime.

Petrait is dar Vi lniuje, taiau atostogaus gimtajame kaime.

Petrait is dar Vi lniuje, nors atostogaus gimtajame kaime.


29/437

Visi ie teiginiai teisingi tik tada, kai teisingi juos sudarantys pa-

prasti teiginiai, todl ie penki teiginiai yra logikai lygiaverts.

Pavieniais atvejais konjunkcij ireikia odis kuris". Teiginys

Jis pa m knyg, kuri guljo ant stalo" - kon junkcinis: Jis p am

knyg, ir knyga guljo ant s talo". K ad teiginys kon junk cinis, da na i

nurodo kablelis, pavyzdiui: Automobilis vaiavo greitai, plente

jud jim as buvo n edidelis, sankry beveik nepa sitaikydav o". Teigi-

nys Ten augo m edis, pan au s

gluosn" ta ip pat kon junkcinis: Ten

augo medis, ir jis buvo panaus gluosn". Danai konjunkcij i-

reikia odis tik". Teiginys Tik asmuo A padar nusikaltim" su-

prantamas taip: Asmuo A padar nusikaltim (p), ir niekas kitas

nusikaltimo ne pa dar (q)" . io teiginio struktr a - p - q . K onjunk-

cij nurodo odis iskyrus". Teigin Visi susirinkimo dalyviai bal-

savo u pateikt pasilym, iskyrus asmen A", sudaro du teigi-

niai: Visi kiti susirinkimo dalyviai balsavo u pateikt pasilym

(p )" ir A sm uo A u j nebalsavo (q )". K onju nkc ij taip pat irei-

kia gramatiniai jungtukai nei..., nei", kaip..., taip", tai..., tai",

pavyzdiui: Nei vjai pt, nei sodai " (p q).

Kad ir kokiom is kalbinm is priem onm is b t ireikta ko njun k-

cija, visais atvejais ji teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai.

i ^ D P r a t i m a s

Teig in i log ikos s imbol ia i s u rayki te iuos t e ig in ius :

a) Jonas nei kvai las , ne i t inginys ;

b ) M on ika e gz a m inu i pa s i r e ng , t a i a u t i k v idu t in i ka i ;

c ) a s m u o n u s k e n d o , n o r s p l a u k t i m o k j o ;

d ) j oks k i t a s po i r i s ne p r i im t ina s .


30/437

4. Prietaravimo dsnis

is dsnis laikomas vienu svarbesni logikos dsni. Jis uraomas

formule

P-P.

kuri skaitoma taip: netiesa, kad teiginys p irjo neigimas ne-p yra

kartu teisingi.Prietaravimo dsnis dar ir taip nusakomas:teiginys

negali bti kartuteisingas ir klaidingas.

Iraik p .p sudaro teiginys p, jo neigimas p, teigini p ir p

konjunkcija, ios konjunkcijos neigimas. Iraik p . p pradedame

skaityti nuo ilgojo brknio, reikianio p . p neigim: netiesa, kad

teiginys p ir jo neigimas ne-p yra kartu teisingi.

Kadangi iraika p .p yra logikos dsnis, tai kintam j p pak eitus

kokiu nors konkreiu teiginiu, visuomet gausime ties. Pakeit p

teiginiu Asmuo A mokosi universitete", iraik skaitome: netie-

sa, kad teiginys A smuo A mokosi un iversitete" ir jo neigimas As-

muo A nesimoko universitete" yra kartu teisingi. Kiekvienam ai-

ku, kad negali bti taip, jog koks nors asm uo mokytsi universitete

ir drauge jame nesimokyt.

Patikrin ti, ar iraika p .p yra logikos dsnis, galima sudarant jai

matric:

P

P P P P-P

t k

k t

k

t k

t

Pirmame matricos stulpelyje paymta, kad teiginys p gali bti

teisingas arba klaidingas. Antrame stulpelyje nustatoma p reik-

m: jei p teisingas, tai p klaidingas, jei p klaidingas, tai ne-p teisin-

gas. Treiame stulpelyje nustatoma konjunkcijos p p teisingumo

reikm. inome, kad konjunkcija teisinga tik tada, kai teisingi visi

jos nariai. Pirmoje eilutje p teisingas, bet p klaidingas, tad kon-


31/437

junkcija p . p klaidinga. Antroje eilutje p klaidingas, p teisingas,

konjunkcija p . p taip pat klaidinga. Paskutiniame lentels stulpe-

lyje nustatoma p . p teisingumo reikm. Remiams loginio neigi-

m o taisykle. Kadangi p

.

p yra iraikos p

.

p neigim as, tai kai irai-

ka p .p klaidinga, jos neigim as teisingas. N eigian t tai, kas klaidinga

(treio stulpelio pirma ir antra eilut), gauname reikm teisin-

ga" (ketv irto stulpelio pirm a ir an tra e ilut). Taigi iraika p . p yra

visuomet teisingas teiginys.

A tkreip kim e dmes tai, kad iraika p

.

p yra visuomet klaidin-

ga. Jei tik mintys gaus i form, tiesos nerasime. Teiginys Asmuo

A mokosi universitete ir asmuo A nesimoko universitete" klaidin-

gas.

Teiginiai p ir p vadinami prietaraujaniais. Du teiginiai vienas

kitam prie tara uja , jei nra teiginio, kuris patvirtint juos ab u. L o-

gikoje nra teiginio, kuris patvirtint ir p, ir ne-p.

Prietaravimo dsnis draudia apie objekt mstyti prietarin-

gai, jis nurodo, kad negalima suderinti teiginio ir to paties teiginio

ne igim o. Pagal dsn, nega lima laikyti kartu teisingais t teigin i,

kuri vienas k nors teigia apie objekt, o antras t pat neigia.

Prietaravimo dsnis yra vienas pagrindini logikos dsni, ku riuo

mes nuola t vadovaujams samprotaudami . Kai te ismas skelbia

nuosprend, teisiamasis, padars nusikaltim, niekuomet negali bti

pripaintas kaltu ir drauge nekaltu.

Taikant teiginiams p ir p prietaravimo dsn, iuos teiginius rei-

kia vartoti vienu ir tuo paiu poiriu, viena ir ta paia prasme. Jei

teigin p vartosime vienu poiriu, o jo neigim p - kitu poiriu,

tai prietaravimo dsnis toki teigini atvilgiu negalios. Pavyzdiui,

pagal prietaravimo dsn, negali bti laikomi kartu teisingi teigi-

niai A esu auditorijoje", A nesu auditorijoje". Jei kas nors sa-

ko, kad vis dlto galima bti auditorijoje (pvz., sdti auditorijos

suole) ir kartu joje nebti (pvz., mintyse persikelti praeit), tai

aiku, kad ia teiginiai A esu auditorijoje" ir A nesu auditorijo-

je" vartojami skirtingomis prasmmis. Logika reikalauja, kad sam-

protaujant vienas ir tas pats teiginys bt vartojamas viena ir ta


32/437

paia prasme. j reikalavim visuomet reikia prisiminti diskusijo-

se, sekti, ar oponentas vartoja teiginius ta paia prasme.

Prietaravimo dsnis yra tam tikr realios tikrovs bruo at-

spindjimas mstyme. Jis atspindi t fak t, kad objektas negali kar-

tu egzistuoti ir neegzistuoti, turti koki nors poymi ir tuo paiu

metu j neturti.

^Q P r a t i m a i

1. K o k i k l a i d a t s k l e i d ia S o b ak ev i i u s C i ik o v o s am p r o t av i m e :

J s , r o d o s , e s a t e g an p r o t i n g as mo g u s , t u r i t e mo k s l o i n i . J u k

da lykas , ku r js pa rd u od at e , - t i es iog tu ias bu rbu las K o j is

v e r t a s ? K am r e i k a l i n g as ?

- Na , j s perka te , t a i , vad inas i , j ums re ika l ingas .

iikovas p r ik an do lp ir nesus ig r i eb , k a t saky t i ."

(N. Gog olis)

2 . Se nov s g ra ik f i l o so f i jos k ryp t i es - ske p t i c i z m o - a l in inka i t v i r t i no ,

kad pasau l i s nepa inus , kad joks t e ig inys log i ka i n ra s t i p resn i s a rba t e i -

s ingesn i s u j a m p r i e t a ra u j an t t e ig in, ka d k i ekv iena s t e ig inys ne da u-

g iau t i k ras ne gu j a m pr i e t a r au jan t i s te ig inys . Te ig in i r j o p r i e t a rav im

skep t ika i paske lb lyg iaver ia i s . Skep t ik mokyk los kr jas P i ronas kar -

t s u p y k o an t s av o v i r j o u n es k an i a i p ag ami n t u s p i e t u s . A r p ag a l s k ep -

t i c i zmo p r inc ipus P i ronas tu r jo t e i s an t v i r jo supyk t i ?

5. Disjunkcija

Disjunkcija reikiama logine jungtimi arba".

Disjunkciniuteiginiuvadinamas sudtinisteiginys,sudarytas i ke-

li

paprast

teigini,

sujungt

logine

jungtimi

arba .

Teiginys Nusikaltim padar asmuo A arba nusikaltim padar

asmuo B" yra disjunkcinis, sudarytas i dviej paprast teigini:

Nusikaltim padar asmuo A" (p), Nusikaltim padar asmuo

B" (q ). Turime: p arba q.


33/437

Jun gt a rba " ym sime simboliu V. D isjunkcijos form ul i:

pVq.

Teiginys p ir teiginys

q

vadinami disjunkcijos nariais. Disjunkci-

n teigin trumpiau vadinsime tiesiog disjunkcija.

Disjunkcijos, kaip ir kon junk cijos, nariu s galima sukeisti vieto-

mis: p V q lygiavertu qV p. Paskiri disjunkcijos nariai - tai alterna ty-

vos.Alternatyvayra vienas galim atvej. Teigin pV q sud aro alter-

natyva p ir alternatyva

q.

Disjunkcij gali sudaryti ne tik du, bet ir

daugiau pa pra st teigini, t. y. alternatyv gali b ti ne tik dvi, be t ir

daugiau. Teigin Uduot galima atlikti labai gerai arba gerai, arba

pate nk inam ai" sud aro trys disjunkcijos nariai: U duo t galima at-

likti labai gerai" (p), Uduot galima atlikti gerai" (q), Uduot

galima atlikti patenkinamai"

(r).

Kad ir kiek paprast teigini su-

daryt disjunkcin teigin, pagrindinis santykisdisjunkcijojeyra san -

tykis tarp dviej teigini.

Jung tis arba " turi dvi reikm es - grie tj ir silpnj. Priklauso-

mai nuo to skiriamos dvi disjunkcijos rys

-grietoji disjunkcija

ir

silpnoji disjunkcija.

Grietojoje disjunkcijoje i keli galim atvej vykdomu laikomas

tik

vienas.G rietoji disjunkcija ymima simboliu V. Grietosios dis-

junkcijos matrica yra tokia:

P

p V q

t t

k

t k t

k

t t

k k k

I matricos matome, kad grietoji disjunkcija teisinga tada, kai

teisingas tik vienas jos narys.

Tarkim e, kad m eta m e vir m on et ir sakom e: Ikris h erb as

arba skaiius". i disjunkcij patikrinsime teisingumo lentele.


34/437

P

q

pS/q

Ikris herbas

Ikris skaiius Ikris herb as arb a ikris skaiius

teis inga teis inga k la id in ga

teisinga


klaid inga teis inga teis inga

k la id ing a

k la id ing a k la id ing a

Herbas ir skaiius abu i karto ikristi negali (reikm klaidin-

ga" paskutinio stulpelio pirmoje eilutje). Gali bti taip, kad i-

krinta herbas, o skaiius neikrinta (reikm teisinga" paskutinio

stulpelio antroje eilutje). Gali bti taip, kad herbas neikrinta, o

skaiius ikrinta (reikm teisinga" paskutinio stulpelio treioje

eilutje). Galiausiai negali bti taip, kad neikrinta nei herbas, nei

skaiius (reikm klaidinga" ketvirtoje eilutje).

Teiginys Uduot galima atlikti labai gerai arba gerai, arba pa-

tenkinamai" yra grietoji disjunkcija. Grietoji disjunkcija reikia:

teisingas tik p arba tik q.

Silpnojoje disjunkcijoje i keli galim atvej vykdomu laikomas

bentvienas,taiau num atoma, kad gali bti vykdom i ir kiti atvejai.

Silpnoji disjunkcija ymima enklu V (be tako viduryje). Silpno-

sios disjunkcijos matrica i:

P Q

pMq

t t t

t k

t

k t

t

k k

k

Tarkime, kad laikratyje ispausdintas tokio turinio skelbimas:

Firmai reikalinga sekretor, kalbanti anglikai arba vokikai". Pa-

irkime, kokie asmenys atitiks iame teiginyje isakyt reikalavi-

m. Jei kandidat kalbs anglikai ir vokikai, tai ji geriausiai ati-

tiks reikalavim (reikm teisinga" paskutinio stulpelio pirmoje

eilutje). Jei ji kalba anglikai, o vokikai nekalba, ji taip pat atitiks


35/437

skelbime nurodyt slyg (reikm teisinga" antroje eilutje). Jei

kandidat anglikai nekalba, o kalba vokikai, ji irgi atitiks slyg

(reikm teisinga" treioje eilutje). Ojeiji nekalba nei anglikai,

nei vokikai, tai skelbim o nu rodytos slygos neatitiks ( reikm klai-

dinga" ketvirtoje eilutje).

Silpnosios disjunkcijos taisykl:

silpnoji disjunkcija klaidinga tik

tada, kai klaidingivisijos nariai.

Samprotavimuose svarbu skirti grietj ir silpnj disjunkcij.

Teigin Nusikaltim padar asmuo A arba asmuo B" galima su-

prasti dvejopai - priklausomai nuo to, koki reikm priskirsime

jungiai arba". Jei jungt arba" suprasime grietja reikme, tai

duotj teigin turime suprasti taip, kad nusikaltim padar tik vie-

nas kuris nors asmuo - tik A arba tik B. Jungiai arba" priskyr

silpnj reikm, duotj teigin turime suprasti taip, kad nusikalti-

m padar arba asmuo A, arba asmuo B, arba jie abu. Jei tardymo

organ ai ino, kad n usikaltim tikrai pa da r vienas kuris nors asm e-

n A ir B, taiau neino, kuris btent padar, ir neino, ar antrasis

asmuo taip pat dalyvavo nusikaltime, tai teigin Nusikaltim pa-

dar asm uo A arb a asm uo B " form uluo ja kaip silpnosios disjunkci-

jos teigin.

Silpnoji disjunkcija yra bendresnio, abstraktesnio pobdio ne-

gu grietoji disjunkcija. Todl loginse iraikose var toja m a silpno-

ji disjunkcija, nes logikai rpi sukurti abstrakius alfabetus, tinka-

mus vartoti vairiuose moksluose.

Disjunkcija prastoje kalboje reikiama ne tik jungtimi arba",

be t kar tai s ir kitais od iais. Ji gali bti reik iam a dalelytmis gal...,

gal", pvz.: Gal melavo seni tvai, gal ties porino, o gal tikrai taip

buvo."

(VKrv)

pra sto je ka lboje karta is, va rto jan t login jung t a rba ", p asirei-

kia psichologinio pobdio veiksniai. Tarkime, kad klausim, ka-

da ivaiuos, ms pastamas atsako, kad jis ivaiuos iandien ar-

ba rytoj. Vliau suinome, kad, prie mums paklausiant, jis buvo

nusprends ivaiuoti t pai dien ir kaip tik tada ivaiavo. To-

kiu atveju susidaro spdis, kad buvome smoningai klaidinami, ir


36/437

manome, kad mus pastamas sumelavo, nors vienas disjunkcijos

narys pasirod ess teisingas.

1. N u s t a t y k i t e , k u r i u o s e i p a t e i k i a m t e ig i n i j u n g t i s a r b a" p av a r t o t a

g r i e t j a r e ikme i r ku r iuose - s i l pn ja r e ikme:

a) i byla c iv i l in arba baudiamoj i ;

b) ar vjuis pt , ar g i ru , ar lendrul s ibavo;

c) a r ku r m a ra s nuga laby s , a r ba a l t is sus t ingdys , a r ba sa rg as k ok s

s u g l eb s k ak t o n b u o m s u v a r y s . (A. Pukinas)

2. Buvo su laikyt i t rys asmenys, tar iant juos padar ius mogudyst . Buvo

aiku, kad nusika l tl i s - t ik v ien as kur i s nor sij t r i j . P er pa re ng t in tard y-

m i aikjo , kad v ien as su laikyt j - v i s ge rbi am as m ies to p i l ie t i s, k i tas -

inomas apgavikas , o t re ias - neymus mies to p i l ie t i s . J pavards: Brau-

nas , Donsas i r Smi tas . Kiekv ienas apk laus t j dav parodymus .

B r a u n a s : A t o n e p a d a r i a u . D o n s a s t o n e p a d a r .

D o n s as : B r au n as t o n ep ad a r . Ta i p ad a r S mi t a s .

S mi t a s : A t o n ep ad a r i au . Ta i p ad a r B r au n as .

To l i au t i r i an t by l i a i k jo , kad v i s gerb iamo p i l i e io abu parodymai

t e i s ing i , apgav ikas abu kar tus sumelavo , o neymus i s p i l i e t i s v i en kar t

sumelavo , o k i t kar t pasak t i es . Nus ta tyk i t e v i s gerb iamo p i l i e io ,

apg av ik o i r ne y m au s p i li eio pa va rde s ir pasa kyk i t e , ku r i s i j ud ikas .

Rem iantis d isjunkcijos ir neigimo taisyklmis, rodom as svarbus lo-

gikos dsnis, vadinamas negalimo treiojo dsniu. Jis uraomas

P r a t i m a i

6. Negal imo treiojo dsnis

formule

PVp,


37/437

kuri skaitoma taip:teiginys p teisingas arba jo neigimas ne-p teisin-

gas - treios galimybs nra.

Negalimo treiojo dsnis dar ir taip

nusakomas:

kiekvienas

teiginys yra teisingas

arba klaidingas - treios

galimybs nra.

Negalimo treiojo dsnis danai formuluojamas lotyn kalbos

posakiu tertium

datur

(treios galimybs nra).

Kadangi iraika pVp yra logikos dsnis, tai kintamj p pakei-

tus kokiu nors konkreiu teiginiu, visuomet gausime ties. Kinta-

mj p pakeitus teiginiu Lietuvi kalba yra indoeuropietikos kil-

ms", iraik pVp skaitome: Lietuvi kalba yra indoeuropieti-

kos kilms arba lietuvi kalba yra neind oeuro pietik os kilms". Tre-

ios galimybs nra. I i teigini tra teisingas kuris nors vienas -

arba teiginys p , arba jo neigimas p. R em iantis loginio neigim o tai-

sykle, nustatoma: jei p teisingas, tai jo neigimas p klaidingas; jei p

klaidingas, tai jo neigimas p teisingas.

Iraikoje pV p kintam j p pake itus teiginiu Liudytojas A m at

nusikaltim", j skaitome: Liudytojas A mat nusikaltim arba liu-

dytojas A nem at nusikaltim o". Treios galimybs nra. I i dviej

teigini teisingas tik vienas, o antras - klaidingas. Taiau logika ne-

gali nustatyti, kuris btent teiginys teisingas - p ar p. Tam logika

neturi priemoni. Kuris i i dviej prietaraujani teigini teisin-

gas, nustato paskiri mokslai, praktika. Ar liudytojas mat nusikalti-

m, ar nem at, nus tato pareng tinis tardymas. Logika nu stato tik ben -

dro pobdio taisykl, b ten t: jei turim e kok no rs teigin, tai arba jis

teisingas, arba jo neigimas teisingas, treios galimybs nra.

Negalimo treiojo dsnio pVp matrica tokia:

P P

p V p

t k t

k t

t

i matrica sudaryta remiantis neigimo ir disjunkcijos taisykl-

mis. Pirmame stulpelyje nurodyta, kad teiginys p gali bti teisingas

arba klaidingas. Antrame stulpelyje pagal loginio neigimo taisykl


38/437

nustatoma p reikm. Treiame stulpelyje turime disjunkcij pVp.

Pirmoje eilutje nurodyta, kad vienas ios disjunkcijos nari teisin-

gas, o kitas klaidingas. Vadinasi, disjunkcija pVp teisinga. Panaiai

ir antro je eilutje. Taigi pask utiniam e stulpelyje ga un am e tik reik-

m teisinga"; tai rodo, kad iraika pVp yra logikos dsnis.

Negalimo treiojo dsn galima urayti pavartojus ir grietj

disjunkcij: pVp. Bet esame nurod, kad silpnoji disjunkcija yra

bendresnio pobdio, todl kaip tik ji vartojama loginse irai-

kose.

Kaip ir prietaravimo dsnis, negalimo treiojo dsnis yra vienas

i pagrindini dsni, nuolat vartojam samprotavimuose. Pavyz-

diui, teisiamasis kaltas arba nekaltas, treios galimybs nra.

Negalim o treiojo dsnis atspindi m styme t pa pra st fak t, kad

koks nors obje ktas egzistuoja arba neegz istuoja, kad jis turi kokius

nors poymius arba j neturi.

Negalimo treiojo dsnis negalioja begalinms aibms. Kai baig-

tinje aibje iekome objekto, turinio tam tikr savyb, tai t ob-

jekt rad, patvirtiname p, o jo nerad, patvirtiname p. Taiau kai

aib begalin, situacija keiiasi. Objekt rad, patvirtiname p, o jo

nerad, apie p nieko negalime pasakyti, nes begalin aib neper-

velgiama.

P r a t i m a i

1 . Kur iam i pa te ik t t e ig in i t a ikomas nega l imo t re io jo dsn is i r ku-

r i a m ne t a ikom a s :

a) Bt i a r nebt i - ta i msl" (W Shakespeare),

b) l iudytojas painiojas i parodymuose arba smoningai nutyl i faktus .

2 . A r p r i t a r i a t e ia m s a m pro t a v im u i :

T e ig in iu i S i s pop i e r iu s ba l t a s a rba j uoda s " t a ikom a s ne ga l im o t r e io jo

dsn is . Vienas i dv ie j - a rba te i s inga , kad popie r ius ba l ta s , a rba te i s in -

ga , kad popie r ius juodas . T re ios ga l imybs nra .


39/437

7. Implikacija

Implikacija ireikiama logine jungtimi jei..., tai". Ji rodo teiginio

ivedim i kito teiginio.

Implikacija

yra

sudtinis

teiginys, sudarytas

i

dviej paprast teigi-

ni, sujungtloginejungtimi jei..., tai".

Teiginys Jei iandien pirmadienis, tai rytoj antradien is" yra im-

plikacija, sudaryta i dviej paprast teigini: iandien pirmadie-

nis" (p), Rytoj antradienis" (q ). Turime: jei p , tai q.Jungt jei...,

tai" ymsime enklu

>.

Implikacijos formul i:

Pirmasis implikacijos narys p vadinamas antecedentu, o antrasis

narys q - konsekventu. Iraika p>q skaitoma dvejopai: 1) jei p,

tai q ; 2) i p seka

q.

Tad implikacijos pra sm ta, kad i an teceden to

seka konsekventas.

Pateiktas dvejopas iraikos p ^ q skaitymas naudingas tada, kai

implikacija

teiginyje

pasikartoja kelis kartus. Iraika

p^(q>r)

skai-

toma taip: jei p, tai i q seka r. Skliaustai parodo, kuris teiginys i

kurio teiginio seka. Jei nebt skliaust, tai bt sunku suvokti i-

raik.

prastoje nekamojoje kalboje implikacija reikiama vairiais o-

diais. Jung ties jei..., tai" teiginyje gali ka rtais ir neb ti, taiau tei-

ginys turi im plikacijos prasm , pvz.: K pasjai, t ir pjaus i", D-

si grd prie grdo - pripilsi aruod" . Jung timi jei..., tai" ie teigi-

niai reikiami taip: Jei t pasjai, tai t ir pjausi", Jei dsi grd

prie grdo, tai pripilsi aruod". Implikacijos yra ir ie teiginiai:

Kai mogus visas atsiduoda melui, j apleidia protas ir talentas"

(VBielinskis),

Norint atlikti didelius darbus, reikia bti kvptiems"

(C.

Saint Simonas

). Implikacij taip pat ireikia odiai taigi",

vadinasi" ir pan.

Jungtis jei..., tai" - sudtingiausia i vis logini jungi. Teigi-

nio ivedimas i kito teiginio yra sudtingiausia login veiksena.


40/437

Pasaulio objekt ir j poymi begalin vairov negalina sampro-

tavimus ap ie pasaul apimti vienintele logine seka. Apvelgsime svar-

biausias implikacijas.

Kauzalin implikacija

ireikia pr ieastin ry ta rp reik ini. Tei-

ginyje Jei trintis didja, tai kno judjimo greitis maja" jungtis

jei..., tai" turi kauzalins implikacijos reikm: i p prieastingai

seka q.

Grietoji

implikacija

ireikia btin ry tarp reikini. Prieasti-

niai ryiai taip pat btini, taiau ne visi btini ryiai yra prieasti-

niai. Teiginyje Jei skaiius dalijasi i 4, tai jis dalijasi ir i 2", jung tis

jei..., tai" turi g rietosios im plikacijos reikm : i p b tina i seka

q.

Form alioji implikacija

ireikia ry tarp objekto ir jo poymio.

Teiginyje Jei

yra mogus, tai -

mstanti btyb" pasakoma,

kad jei kas nors turi poym bti mogumi", tai jis turi poym

bti mstania btybe". iame

teiginyje

jungtis jei..., tai" turi for-

maliosios implikacijos reikm.

Materialioji

implikacija

yra pati bendriausia, pagrindin implika-

cijos ris. Materialiojoje implikacijoje neatsivelgiama nei prie-

astinius, nei btinus ar kokius nors kitus ryius. Materialiojoje

implikacijoje abstrahuojamasi nuo vis prasmini ryi ir atsivel-

giama tikvien fak tori - teigini teisingum ir klaidingum . For-

m ul ir yra materialiosios implikacijos simbolinis uraymas.

J ir vartosime loginse iraikose ir, uuot sak materialioji im-

plikacija", sakysime tiesiog implikacija".

Implikacijos matrica yra tokia:

P

q

P-^q

t t t

t

k k

k t t

k k t

Pirma eilut: i teisingo antecedento p seka teisingas konsek-

ventas q, implikacija p>qteisinga. Taip ir bna sam protav imuose:


41/437

kai tur im e teising teigin p ir i jo ived am e k it teising teigin

q,

tai reikia, kad ms samprotavimo bdas teisingas.

Antra eilut: i teisingo antecedento p seka klaidingas konsek-

ventas q, implikacija

p>Q teisinga. is implikacijos atvejis prade-

dantiesiems danai atrodo netikimas. Argi galima i klaidingo tei-

ginio logikai ivesti teising teigin? Pasirodo, galima. Logika eina

ivien su sveiku protu, taiau ji eina toliau u sveik prot. I klai-

dingo an tec ed en to Vilniaus universitetas buvo kurtas X am iuje"

(iame amiuje universitet apskritai nebuvo) seka teisingas kon-

sekventas Vilniaus universitetas nebuvo kurtas IX amiuje". I

klaidingo teiginio M. K. iurlionis suk r op er F austas" seka

teisingas teiginys M. K. iurlionis buvo talen tingas kom poz ito-

rius". Sukurti i oper tegaljo talentingas kompozitorius, tad vi-

sa implikacija Jei iurlionis suk r op er F austas", tai iurlio-

nis buvo talentingas kompozitorius" teisinga.

Tegul turime samprotavim:

Akmuo maist ingas .

Duona ikepta i akmens.

Vadinasi , duona maistinga.

Nors iame samprotavime prielaidos Akmuo maist ingas" i r

Duona ikepta i akmens" klaidingos, ivada Duona maistinga"

teisinga, ir ji ivesta visikai logikai.

Panaiai i klaiding prielaid

Mes negyvename Lietuvoje.

Lietuva - didiausia Europos valstyb.


42/437

seka teisinga ivada Mes negyvename didiausioje Europos vals-

tybje". Tad i klaiding teigini galima ivesti teisingus teiginius,

ir iuo atveju implikacija turi bti laikoma teisinga. inoma, teisin-

g teigini ivedimas i klaiding teigini yra ne dsningas, bet at-

sitiktinis reikinys. Todl logika negali nurodyti, kada i klaiding

teigini gausime teisingus teiginius.

Ketvirta eilut: i klaidingo antecedento p seka klaidingas kon-

sekventas q, implikacija p ^ q teis inga. is atvejis prad ed antie -

siems taip pat danai kelia abejoni. Tuo tarpu dalykas ia visai

paprastas. Kai i klaidingo teiginio p ivedame klaiding teigin


43/437

io dsnio reikm ta, kad jis drau dia vartoti klaidingus teiginius.

Jei teorijoje pasirodo klaidingas teiginys, tai

i

jo galima ivesti daug

kit klaiding teigini. Jei kas nors varto ja klaidingus teiginius, tai jis

gali rodyti k tik nori. I klaidingo teiginio, kad P. Cvirka nepara

Frank Kruk", seka, kad jis para bet kur kit krin, pavyzdiui,

Tykj Don". Istorija pateikia nemaai pavyzdi, kaip klaidingos

pairos, sitikinimai atved daugel kit klaid. Klaidingi faizmo

teiginiai atved didiausias katastrofas monijos gyvenime.

Susumuojant tai, kas pasakyta implikacijos matricos pirmoje ir

treioje eilutse, nustatomas kitas dsnis: teisingasteiginys seka i

bet kurio kito teiginio (teisingo arba klaidingo). is dsnis urao-

mas iraika

p(p),

kuri skaitoma taip: jei p, tai i q seka p. Kitaip tariant, jei turime

teising teigin p, tai jis seka i bet kokio teiginio q (teisingo arba

klaidingo).

Tegul turim e teigin Jei ms pastam as se rga , tai mes j ap lan-

kome". Patikrinkime teigin implikacijos matrica, nustatydami,

kada savo paad itessime ir kada jo neitessime.

Pirma eilut: p teisingas (ms pastamas serga), q teisingas

(mes j aplankome). Implikacija Jei ms pastamas serga, tai

mes j aplankome" teisinga, paadas itestas.

Antra eilut: p teisingas (ms pastamas serga), q klaidingas

(mes jo n eap lank om e). Implikacija Jei ms pastamas serga, tai

mes j aplankome" klaidinga, paadas neitestas.

Treia eilut: p klaidingas (ms pastamas neserga), q teisin-

gas (mes j aplankome). Implikacija Jei ms pastamas serga,

tai mes j aplankome" teisinga, paadas nesulauytas. Pagal duot

paad nedraudiama lankyti pastamo tada, kai jis neserga.

Ketvirta eilut: p klaidingas (ms pastamas neserga), q klai-

dingas (mes jo neaplankome). Implikacija Jei ms pastamas

serga, tai mes j aplankome" teisinga, paadas nesulauytas.


44/437

Kadangi materialiojoje implikacijoje abstrahuojamasi nuo vis

prasmini ryi, antecedentas ir konsekventas nagrinjami tik j

teisingum o po iriu, tai m aterialiojoje

implikacijoje

jungtim i jei...,

tai" galima jungti bet kokius teiginius. Svarbu tik tai, kad tie teigi-

niai bt prasmingi, nors jie gali priklausyti skirtingoms objekt

sritims.

I pirm o vilgsnio ie teiginiai a tro do lyg ir prie tara uja nty s blai-

viam protui:

Jei 2 + 2 = 4, tai sniegas baltas.

Jei 2 + 2 = 4, tai sniegas juodas.

Jei 2 + 2 = 5, tai sniegas baltas.

Jei 2 + 2 = 5, tai sniegas juodas.

i teigini antecedentas ir konsekventas priklauso skirtingoms

objekt sritims, taiau i j sudaryti teiginiai nra kakas bepras-

mika. Trys teiginiai netgi teisingi, o klaidingas tik antras teiginys,

nes jo antecedentas (2 + 2 = 4) teisingas, o konsekventas (sniegas

juo das ) klaidingas. ia nereikia m anyti, kad pa teiktj im plikacij

antecedentas ir konsekventas susieti kokiais nors prasminiais ry-

iais. Jei atsivelgiama tik j antecedento ir konsekvento ry teisin-

gumo poiriu, tai jungtimi jei..., tai" galima jungti teiginius, pri-

klausanius skirtingoms objekt sritims. Tokie atvejai pasitaiko

m oksluo se. Netgi pras tinje kalbo je pasa kom e teigini, kurie visai

panas pateiktuosius. Tarkime, kad studentas puikiai pasireng

egzaminui ir sako: Jei io egzamino neilaikau, tai tegul prasmeg-

siu skradiai em ". ios implikacijos an tec ed en tas ir konsek ven-

tas priklauso visai skirtingoms sritims, kurios susiejamos siekiant

isakyti negalimyb - egzam ino neilaikyti nem anom a. L aikan t kon-

sekvent klaidingu, teisingoje implikacijoje turi bti laikomas klai-

dingu ir antecedentas.

Teiginius, priklausanius skirtingoms objekt sritims, galima su-

sieti taip pat jung timis ir", arba ", pavyzdiui: i ro rau do na , ir

cukrus saldus".


45/437

Jungtis jei..., tai" gali ireikti ne tik sek, bet ir kitas jungtis.

Teiginys Jei pirmoji raytojo knyga buvo patraukli, tai antroji jo

knyga sunkiai skaitoma" yra konjunkcinis: Pirmoji raytojo knyga

buvo patraukli ir antroji jo knyga sunkiai skaitoma".

1. P e rs ka ity k it e i ra i k ( p ^ q ) ^ ( q - ^ r ) .

2 . Kon junkci jos i r d i s junkc i jos nar ius ga l ima suke i s t i v i e tomis . Ar ga l ima

ta i padary t i impl ikac i jo j e?

3. I kl aid in go teig ini o 2 = 1" ives ki te teising teigin 2 = 2".

4 . Je i v i s i metalai yra skysiai i r vanduo yra metalas , t a i kas i to seka?

A p t a r k i t e s am p r o t a v i m .

5 . A pt ar k i te rod ym . V ien as iuola ik ins logikos kr j B. Rus sel las

kar t ska i t popu l i a r i paska i t ap ie modern i j log ik i r j o s ver t . Pa-

s k a i t o j e j is a i k i n o , k o d l v i s u o m en n e m g s t a k l a i d i n g t e i g in i - m a t

j a i s ga l ima rody t i k t i k no r i . V ienas k l ausy to j as pa t e ik B . Russe l lu i

kl ai din g teig in 2 2 = 5 ir pas i l i jo i vest i, ka d Ru sse l las ess p op ie-

ius. Ru sse l l as i ved t a ip : i l ygybs 2 x 2 = 5 ab ie j pus i a tm us po 3 ,

ga us im e, kad 1 = 2 . B e t j e i 1 = 2 , t a i ir 2 = 1, t ad po pie iu s i r a es am e tas

p a t s a s m u o .

Du teiginiai, sujungtiloginejungtimi jei ir tikjei..., tai", vadinami

logikai

ekvivaleniais,

arba

lygiaveriais.

Ekvivalencij ymsime enklu Iraika

ska itom a dvejopa i: 1) jei ir tik jei p, tai q ; 2) p ekvivalentus (lygia-

vertus)

q.

P r a t i m a i

8. Ekvivaienci ja

p ~ q


46/437

Teiginius Visi konjunkcijos naria i teisingi" ir K onjunk cija teisin-

ga"sujungusjung timi jei ir tikjei...,tai", gausime ekvivalencij: Jei

ir tik jei visi konjunkcijos nariai teisingi, tai konjunkcija teisinga".

Logins ekvivalencijos matrica tokia:

P

q

p~q

t t t

t k

k

k t

k

k k t

Pirma eilut: p teisingas,

q

teisingas. Teiginys Teisingumas ek-

vivalentus teisingumui" teisingas.

Antra eilut: p teisingas, qklaidingas. Teiginys Teisingumas ek-

vivalentus klaidingumui" klaidingas.

Treia eilut: p klaidingas, q teisingas. Teiginys Klaidingumas

ekvivalentus teisingumui" klaidingas.

Ketvirta eilut: p klaidingas,

q

klaidingas. Teiginys Maldingu-

mas ekvivalentus klaidingumui" teisingas.

Ekvivalencijos taisykl tokia:

du

teiginiai

logikai ekvivalents, jei

j teisingumo reikms vienodos (abu teisingi arba abu klaidingi).

Teigin Jei ir tik jei ms pastamas serga, tai mes j aplanko-

me" patikrinkime teisingumo lentele, nustatydami, kada paad

itessime ir kada neitessime.

Pirma eilut: p teisingas (ms pastamas serga),

q

teisingas

(mes j aplankome). Teiginys Jei ir tik jei ms pastamas serga,

tai mes j aplankome" teisingas, paadas itestas.

Antra eilut: p teisingas (ms pastamas serga), q klaidingas

(mes jo neaplankome). Paadas neitestas.

Treia eilut: p klaidingas (ms pastamas neserga), q teisin-

gas (m es j ap lank om e). Paadas n eitestas, nes pasia djom e ap-

lankyti j tik tuo atveju, kai jis serga.

Ketvirta eilut: p klaidingas (ms pastamas neserga), q klai-

dingas (mes jo neaplankome). Paadas itestas.


47/437

Matome, kad ekvivalencija skiriasi nuo implikacijos. Implika-

cija teisinga ir treioje eilutje, o ekvivalencija toje eilutje klai-

dinga.

Login

ekx'ivalencija

- tai implikacija abiem kryptim:

(p ~ q) ~ [(p>qf) (q->p )].

Skaitom e: teiginys Jei ir tik jei p , tai lygiavertus teiginiui I

p seka q ir iq seka p".

Teiginys Jei ir tik jei gaminys atitinka pasaulinius s tandartus , ta i

jis yra auktos kokybs" yra implikacija abiem kryptim: Jei gami-

nys atitinka pasaulinius standartus, tai jis auktos kokybs, ir jei

gaminys auktos kokybs, tai jis atitinka pasaulinius standartus".

prastoje kalboje ekvivalencija reikiama vairiais odi jungi-

niais: tik tada", tada ir tik tada", tik tuo atveju" ir kt. Kartais

jungiai jei..., tai" suteik iam a jungties jei ir tik jei..., tai" reikm .

Inagrinj keturias logines jungtis, sudarysime ben dr j teisin-

gumo lentel.

P q pq PVq PVq p~q

i

t t k

t t t

t

k k

t t k k

k

t k t t

t

k

k k k k k

t t

i matrica ko n ors n au ja nepa teikia, ia tik vienoje vietoje nuro -

dytos vis logini jungi teisingumo slygos. Konjunkcijos, dis-

junkcijos, implikacijos, ekvivalencijos, taip pat loginio neigimo tei-

singumo slygas btina gerai inoti. J neinant, nemanoma to-

liau studijuoti logikos kurso.


48/437

^ D P r a t i m a s

A r pakis t log in te igini p ra sm , jun gt je i. .. , ta i" pak ei t us jun gt im i je i

ir tik jei.. . , tai":

1. Je i mokate lotyn kalb, ta i nesunkiai i moksi te i ta l kalb.

2. Je i i ra ika yra log ikos dsnis , ta i j i vis uo m et te is inga.

9. S imbol inio ymj imo s istemos

iuolaikin logik kr daugelis mokslinink vairiose alyse. Dl

to tiems patiems loginiams veiksmams ymti jie neretai vartojo

skirtingus enklus. Pateikiame bdingiausius simbolinio ymjimo

atvejus teigini logikoje.

neigimas

konjunkcija

disjunkci ja implikaci ja

ekv iva lenc i ja

Schroderis Peirce'as

P'

P

p + q

p=q

Peano Russel las

~P P ' Q p\Jq pz)q

( P - Q )

Hilbertas

P

p q

pvq

P-^q p ~ q

t u k a s i e w i c z i u s

Np

Kpq

Apq

Cpq

Epq

Kiti

p/\q

Patraukiadmes lenk logiko J. Lukasiewicziaus sukurta vadina-

mojibeskliaust simbolika. Pvz., joje iraika p-^(pV q) uraoma taip:

CpApq.

Iraika (p ~

q) ~

[(p->q)

(q-)]

uraoma

EEpqKCpqCqp.

iuolaikinje logikos literatroje vartojamos vairios simbolinio

ymjimo sistemos.

j ) P r a t i m a s

I ra i k (p->q) V (p

q )

urayki te va i r i s imbol in io ymj imo s i s tem

enklais .


49/437

10. Sudtini teigini neigimas

Neigti galima ne tik paprastus, bet ir sudtinius teiginius. Sudti-

ni teigini neigimo procedra ta pati, kaip ir paprast teigini.

Konjunkc ijos neigimas: (netiesa, kad

p

ir

g).

Disjunkcijos neigimas: p V g (netiesa, kad p arba g).

Implikacijos neigimas:

p>q

(netiesa, kad i

p

seka

g).

Ekvivalencijos neigimas: p ~

g

(netiesa, kad p lygiavertus

g).

Panagrinkime konjunkcijos neigim. Tegul turime teigin Ne-

tiesa, kad liudytojo A ir liudytojo B parodym ai teisingi". Ar tai rei-

kia, kad abiej liudytoj parodymai neteisingi? Ne, nereikia. Ma-

nyti, kad jie abu m eluoja , reikt sudaryti iraik

p . g ~

(p . q).

J

skaitom e: teiginys N etiesa, kad

p

ir

g

ekvivalentus teiginiui N e

-p

ir ne

-g *.

Taiau iraika

p . g ~

(p

q) nra logikos dsnis. Tai

rodo jos teisingumo lentel:

P q

P

q p q

p q

P

Q

p q ~ (p q)

t t k k

t k k

t

t k k

t k

t k k

k

t

t

k k

t k k

k k

t t k

t t

t

i matrica sudaryta remiantis tuo, k jau inome. Turime du tei-

ginius -

p

ir

g .

Paraome visus galimus j teisingumo ir klaidingu-

mo atvejus;

p

ir

g

teisingumo reikmes ivedame remdamiesi logi-

niu neigimu: jei

p

teisingas, tai

p

klaidingas, ir t. t. Teiginio

p . g

teisingum nustatome pagal

p

(pirmas stulpelis) ir

g

(antras stulpe-

lis) teisingumo reikmes. Konjunkcija teisinga tik tada, kai teisingi

visi jos nariai,

p g

yra

p . g

neigimas. Jei

p . g

teisingas, tai

p . g

klaidingas, ir

1.1.

Teiginio

p g

reikm nustatome pagal

p

(treias

stulpelis) ir

g

(ketvirtas stulpelis) teisingumo reikmes, taikydami

konjunkcijos taisykl. Paskutiniame len tels stulpelyje taikom e ek-

* I ra ikosf.Tq nere ik ia suskl iaus t i , nes sk l iaus tus a ts to ja neig im ymint is brknys .


50/437

vivalencijos taisykl: du teiginiai ekvivalentus, kai j reikms vie-

no do s (abu teisingi arba abu klaidingi). Taiau teiginiai p .q ir p .q

antroje ir treioje eilutse nevienodi savo reikmmis, todl ir ne-

ekvivalents. Vadinasi, iraika p q ~ (p q) nra visuomet teisin-

gas teiginys, nra logikos dsnis. Todl ir teiginio Netiesa, kad liu-

dytojo A ir liudytojo B parodym ai teisingi" negalim a su prasti taip,

kad jie abu sako neties. teigin reikia taip suprasti: liudytojas A

sako neties arbaliudytojas B sako neties (a rba abu sak o neties,

nes silpnojoje disjunkcijoje numatoma, kad ir abu atvejai gali bti

reals). Visa tai uraoma:

P q ~ (pVq).

i iraik skaitome: teiginys Netiesa, kad p ir q" ekvivalentus

teiginiui Ne-p arba ne-q". Patikrinsime j matrica.

P q

P

q p

q p

q

p\Jq p. q~ (pVq)

t t k k t k k t

t

k k t k

t t t

k t t

k k t

t t

k k t t

k t

t t

Paskutiniame matricos stulpelyje yra tik reikm teisinga", va-

dinasi, duotoji iraika yra visuomet teisingas teiginys, logikos ds-

nis. Tai reikia, kad konjunkcijos neigim suprantame teisingai.

Panagrinkime disjunkcijos neigim. Teiginys Netiesa, kad liu-

dytojo A arba liudytojo B parod ym ai teisingi" reikia ne tai, kad A

sako neties

arba

B sako neties, bet tai, kad A sako neties

ir

B

sako neties:

(pVg) ~(p .

q).

Skaitome: teiginys Netiesa, kad p arba q" ekvivalentus teiginiui

,Ne-p ir ne-q".


51/437

Iraikos

p. q ~ (pVq),

pVq ~ (p. q)

vadinamos de Morgano taisyklmis*. Skaitome pirmj taisykl:

konjunkcijos

neigimas ekvivalentus kiekvieno disjunkcijos na rio nei-

gimui. Skaitome antrj taisykl: disjunkcijos neigimas ekvivalen-

tus kiekvieno konjunkcijos nario neigimui.

Panagrinkime implikacijos neigim. Jis suprantamas taip:

p^q

~ (p .

q).

Skaitome: iraika Netiesa, kad i p seka qf" ekvivalenti irai-

kai p ir ne-


52/437

Ar t e i s inga , kad j i s ekv iva len tus t e ig in iu i Net i esa , kad mano d raugas sa -

k t ies i r a sakiau t ies"?

3 . Kam ekv iva len tus t e ig inys Net i esa , kad j e i mano d raugas k lydo , t a i a

k l y d a u " ?

4 . Su pras t ink i t e s ud t in io t e ig in io ne ig im: Ne t i esa , kad j e i P l a to na s kr

A k ad emi j , t a i , j e i A r i s t o t e l i s b u v o P l a t o n o mo k i n y s , t a i A r i s t o t e l i s n e -

l a n k A k a d e m i j o s " .

11. Teigini formalizaci ja

Remdamiesi tuo, k inome apie logines jungtis ir login neigim,

lengvai galime teiginius form alizuoti, t. y. urayti juo s logini sim-

boli kalba.

Turime teigin: Jeigu kas i draug pavluodavo maldai arba

ateidavo gandai apie kok gimnazist pokt, arba matydavo pa-

nel klass aukltoj vlai vakare su karininku, tai jis labai jau-

dindavosi ir vis kalbdavo, kad ko nors neieit"

(A. echovas).

Formalizuojant teigin, btina nustatyti j sudaranius paprastus

teiginius ir juos jung ianias logines jungtis. N ag rinjam ojo teigi-

nio jungtys isidst taip: jei... arba... arba... tai... ir... Kiekvien

paprast teigin ymime skirtingu simboliu: jei p arba q, arba

r,

tai s ir z. Paymj simboliais logines jungtis, gauname iraik

(pVgVr)>(s

z).

Skliaustai parodo, i koki teigini seka kon-

sekventas

s z.

Disjunkcija pavartota silpnja reikme, nes galimi

visi trys atvejai drauge.

Formalizuosime teigin Jei nra statymo, tiesiogiai isprendian-

io ali gin, ir jei nra normos, numatanios pana atvej, tai

teismui suteikiama teis ali gin sprsti remiantis bendraisiais

statym principais ir prasme". Nustatysime paprastus teiginius:

Nra statymo, tiesiogiai isprendianio ali gin" (p); Nra

norm os, num atanios pana atvej" (q); Teismui suteikiama teis

ali gin sprsti remiantis bendraisiais statym principais"

(r);

Teismui suteik iam a teis ali gin sprsti rem iantis bendrja sta-


53/437

tym prasm e"

(s).

Logins jungtys isidst taip: jei... ir..., tai... ir...

Nagrin jamo jo teiginio struk tra - (p s).

Teigin Jei asmuo serga psichine liga, tai jis negali atpainti sa-

vo veiksm arba negali kontroliuoti savo elgesio, taigi toks asmuo

nep aka ltinam as" sudaro ke turi paprasti teiginiai ir logins konstan-

tos: je i . . . , ta i . . . ne. . . arba. . . ne. . . ta igi . . . ne. Formalizavus:

[p->(Vr) ] - .

P r a t i m a i

Formal i zuok i t e t e ig in ius :

1 . Ka i g i rd i s ampro t av imus , nepagrs tus f ak t a i s i r l og in iu a rgumentav i -

mu, s i t ik in imus be j prot ingo pa tv i r t in imo, pr ie in i i vad, kad ka lb ies i

s u d o g m a t i k u , s a v o s a m p r o t a v i m u o s e b e s i v a d o v a u j a n i u i a n k s t i n e n u o -

s ta ta .

Documents

R. Plečkaitis - Logikos pagrindai, 2009