Hal.: 1 Vektor

Adaptif

KELOMPOK 5

MAMAN 201013500655MEGA PRANITA 201013500663FIKA SELLA 201013500670ANISTIN KAROMAH 201013500646

Hal.: 2 Integral

Adaptif

Ringkasan SAP

1. Vektor2. Matriks 3. Determinan4. Matriks dan sistem Persamaan Linear5. Invers6. Ruang Euclid

Hal.: 3

Adaptif

Pengertian vektor

Adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah.

Ā

Vektor v

Hal.: 4

Adaptif

JENIS – JENIS VEKTOR5

vektor posisiSuatu vektor a yang bertitik awal di O (0,0) dan titik ujung di A (a,b) disebut vektor posisi dari vektor a.Contoh:

Ā = a1 atau a1, a2

a2

Vektor nolAdalah vektor yang tidak mempunyai panjang dan di notasikan dengan o

Hal.: 5

Adaptif

Vektor satuan Adalah suatu vektor yang panjangnya satu

satuan

vektor satuan dari Ā = a1

a2

Ū= ā = 1 a1

ā ā a2

☺ Vektor basis

Vektor satuan yang saling tegak lurus di sebut vektor basis.di dalam R 2

Terdapat dua vektor basis yaitu: i = 1,0 dan j = 0,1

Hal.: 6

Adaptif

RUANG PADA VEKTORDefinisi kan misal V sembarang himpunan benda yang dua operasinya di artikan dengan penambahan dan perkalian skalar (bilangan rill) jika aksioma –aksioma di penuhi oleh semua benda U,V,W pada vektor V dan vektor V tsb kita namakan ruang vektor dan benda –benda yang ada di vektor V di sebuat vektor.

sub ruang vektor

Yaitu sub himpunan W dari skala ruang vektor V dinamakan sub ruang atau subspace V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah permukaan dan perkalian skalar yang di definisikan pada V.

Hal.: 7

Adaptif

OPERASI –OPERASI PADA VEKTOR

A. Operasi penjumlahanDua vektor atau lebih dapat di jumlahkan Contoh:Vektor a di jumlahkan dengan vektor b penjumlahannya dapat di

tulis dengan Dua vektor atau lebih dapat di jumlahkan dengan menggunakan

metode – metode berikut ; Metode segitiga dengan metode segitiga vektor hasil atau resultan dari

penjumlahan dua vektor misalnya a + b di peroleh dengan menempatkan titik awal vektor b pada titik ujung vektor a.setelah itu titik awal vektor a di tempatkan ke titik ujung vektor b.dengan demikian hasil penjumlahan mempunyai titik awal vektor a dan titik ujung vektor b.

Hal.: 8

Adaptif

Metode jajargenjang dengan metode ini titik awal vektor b di tempatkan pada titik awal vektor a .selain itu titik ujung vektor a di lukis garis yang sama dn sejajar dengan vektor b.sama halnya dengan titik ujung vektor b juga di lukiskan garis yang sama dan sejajar dengan vektor a sehingga berbentuk jajargenjang.resultan atau hasil dari penjumlahan kedua vektor berupa diagonal jajargenjang.

Hal.: 9

Adaptif

metode poligon metode ini merupakan metode pengembangan dari metode segitiga.

Hal.: 10

Adaptif

Sifat – sifat penjumlahan vektor1.Komutatif a+b=b+a2.Asosiatif (a+b)+c=a+(b+c)3.Elemen identitas a+0=0+a4.Invers penjumlahan a+(-a)=(-a)+a=0

Hal.: 11

Adaptif

B.Pengurangan vektorPada hakekatnya pengurangan vektor merupakan proses penjumlahan vektor dengan vektor negatif (invers penjumlahan).vektor negatif b yaitu (-b) adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor b tetapi arahnya berlawanan

Jika ā = a1 dan ē = e1 ,e2

a2

Maka ā – ē = a1 - e1

a2 - e2

Hal.: 12

Adaptif

soal – soal vektor

1. Pada jajargenjang ABCD diketahui vektor posisi a=(2,-2),c=(-4,3),dan d (1,2) dengan demikian koordinat titik b adalah . . .a.(3,1) b.(-3,-1) c.(1,3) d.(-1,3) e.(2,3)

2. Jika v =(2,-1) + ( 5 , -3) – ( 1 , 4) maka panjang vektor v adalah . . . a.2 b.4 c.6 d.8 e.10

3. Jika a = (4,3),b =(3,1) dan c = a – bMaka panjang vektor c =a.Akar 2 b.akar 3 c.2 d.akar 5 e.akar 6

4. Jika a = (2,3) b=(0,5) maka b- a adalah . . .a.(2,2) b.(-2,2) c.(2,-2) d.(2,8) e.(-3,3)

5. Misal a = (3,-2) b= (1,0) c=(-5,4).jika d = a+b-c maka d= . . .a.(9,6) b.(-9,6) c.(9,-6) d. (-1,2) e.(1,-2)

Hal.: 13

Hal.: 14 MATRIKS

Adaptif

MATRIKS

adalah sekumpulan bilangan yang di susun secara baris dan kolom atau membentuk pola persegi panjang dan di tempatkan kedalam kurung biasa atau kurung siku.bilangan – bilangan pembentuk matriks di sebut elemen – elemen matriks.

Hal.: 15

Adaptif

JENIS-JENIS MATRIKS

Matriks baris dan kolom

Suatu matriks disebut matriks baris jika hanya mempunyai satu baris saja, sedangkan suatu matriks disebut matriks kolom jika hanya mempunyai satu kolom saja.

Contoh : a. A = ( 2 3 4 ) dan B = ( p q ) adalah matriks baris

b. C = 7 dan D = x adalah matriks kolom

3 y

1

Matriks persegi

Matriks yang banyak baris dan banyak kolom sama disebut matriks persegi atau bujur sangkar. Matriks An x n disebut matriks persegi atau matriks bujur sangkar berordo n.

Contoh : a. A = ( 2 ) adalah matriks persegi berordo 1

b. B = 4 1 adalah matriks persegi berordo 2 2 3

Hal.: 16

Adaptif

Matriks segitiga atas dan segitiga bawah

Matriks persegi A yang elemen-elemen aij = 0 untuk I > j atau elemen-elemen di bawah diagonal

utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang elemen-elemen aij = 0 untuk I < j atau

elemen-elemen di atas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah. Contoh :a. A = 1 4 3 adalah matriks segitiga atas 0 5 2 0 0 6 b. B = 2 0 0 6 3 0 4 1 5 adalah matriks segitiga bawah

Matriks diagonal

Matriks bujur sangkar D yang elemen-elemen dij = 0 untuk I tidak sama dengan j (elemen-elemen

di luar diagonal utama bernilai nol) disebut matriks diagonal.

Contoh : adalah matriks

D= 2 0 0 dan E = 3 0 diagonal 0 3 0 0 1 0 0 1

Hal.: 17

Adaptif

Matriks skalar adalah Matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.Contoh : S = 3 0 dan G = 2 0 0

0 3 0 2 0 0 0 2

Maka S dan G adalah matriks skalar.

Matriks IdentitasMatriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamayan

bernilai satu disebut matriks satuan atau matriks identitas, umumnya dinotasikan dengan I.Contoh : I= 1 0 dan I= 1 0 0

0 1 0 1 0 0 0 1adalah matriks satuan atau matriks identitas.

Hal.: 18

Adaptif

Matriks segitiga atas dan segitiga bawah

Matriks persegi A yang elemen-elemen aij = 0 untuk I > j

atau elemen-elemen di bawah diagonal utama bernilai 0 disebut

matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang elemen-elemen aij

= 0 untuk I < j atau elemen-elemen di atas diagonal utama

bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh :a. A = 1 4 3 adalah matriks segitiga atas

0 5 2 0 0 6

Hal.: 19

Hal.: 20 DETERMINAN

Adaptif

DETERMINANDeterminan adalah suatu matriks persegi atau matriks bujur sangkar yang dapat dikaitkan dengan suatu bilangan. Determinan dari matriks persegi A dinotasikan dengan A .

Jika A= a b maka determinan matriks A adalah : A = a b c d c d

Det = ad -bc

Contoh : a. jika A = 3 2 maka Det. A = 3.6 – 2.7 = 4

7 6

Determinan Matriks Berordo 2 x 2

Hal.: 21

Adaptif

CARA SEARUS MATRIKS 3 X 3Jika A = a b c maka determinan matriks A adalah :

d e f g h i

A = a b c = a b c a b d e f d e f d e

g h I g h i g h = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

Menentukan nilai determinan matriks 3x3 seperti ini, disebut aturan searus.

Contoh : jika A = 3 1 2 maka determinan adalah :5 1 45 2 6

A= 3 1 2 = 3 1 2 3 1 5 1 4 5 1 4 5 1 5 2 6 5 2 6 5 2

= 3.1.6 + 1.4.5 + 2.5.2 – 2.1.5 – 3.4.2 – 1.5.6 =18 + 20 + 20 -10 - 24 -30 = -6

Hal.: 22

Adaptif

SIFAT-SIFAT PADA OPERASI MATRIKS

Pada matriks A dan B berlaku:

1. AB = BA (tidak komutatif)

2. A. A-1 = A-1. A = I

3. (AB)-1 = B-1.A-1

4. A(B + C) = AB + AC (Distributif)

5. A(BC) = (AB)C (Assosiatif)

6. (B + C)A = BA + BC

7. (A-1)-1 = A

Hal.: 23

Adaptif

Determinan matriks 4x4

Dengan menggunakan transformasi elementer Hitunglah det. A=

Jawab;

−

−

0321

1314

2022

3211

128)]8.(4.1.1[4

8000

0400

1110

3211

4

0400

8000

1110

3211

4

3130

13550

1110

3211

4

3130

13550

4440

3211

0321

1314

2022

3211

34)3(

42)5(

32

)1(41

)4(31

)2(21

=−−=−

−−−

−=−−−

−

=

−−−−−

−

=

−−−−−

−

=−

−

−−

−−−

HHH

HHH

Hal.: 24

Hal.: 25Matriks dan sistem persamaan Linear

Adaptif

Matriks dan sistem persamaan linier

Jika sistem linier mempunyai penyelesaian disebut dengan konsisten sedangkan jika tidak memiliki penyelesaian disebut inkonsisten.

Hal.: 26

Adaptif

Diketahui SPL dengan m buah persamaan linear dan n peubah:

a x + a x + … + a₁₁ ₁ ₁₂ ₂ 1nxn = b1

a x + a x + … + a₁₂ ₁ ₂₂ ₂ 2nxn = b2

am1x + a₁ m2x2 + … + amn xn = bm

Sistem persamaan linear diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks AX = B dengan

A=

Pada SPL yang berbentuk seperti ini , matriks A juga biasa disebut sebagai matriks konstanta.

Hal.: 27

Adaptif

Jika b=b=....=b= 0 maka sistem tersebut dinamakan sistem persamaan linier homogen yaitu,

a x + a x + … + a₁₁ ₁ ₁₂ ₂ 1nxn = 0

a x + a x + … + a₁₂ ₁ ₂₂ ₂ 2nxn = 0

am1x + a₁ m2x2 + … + amn xn = 0

Jika sistem persamaan mempunyai penyelesaian

x₁= x₂ = ....= xn = 0 , disebut penyelesaian trivial.

Hal.: 28

Adaptif

Reduksi baris menggunakan operasi baris elementer

Metode ini tidak lepas dari metode ekspansi kofaktor yaitu pada kasus suatu kolom banyak mengandung elemen yang bernilai 0. Berdasarkan sifat ini maka matriks yang berbentuk eselon baris atau matriks segitiga akan lebih mudah untuk dihitung nilai determinannya karena hanya merupakan perkalian dari elemen diagonalnya.

Hal.: 29

Adaptif

Dalam melakukan reduksi baris operasi yangdigunakan adalah operasi baris elementer.Pada operasi baris elementer ada beberapa operasi yang berpengaruh terhadap nilaideterminan awal , yaitu :- Jika matriks B diperoleh dengan mempertukarkan dua baris pada matriks A makadet (B) = − det (A)- Jika matriks B diperoleh dengan mengalikan konstanta k ke salah satu barismatriks A maka det (B) = k det (A)- Jika matriks B didapatkan dengan menambahkan kelipatan suatu baris ke barislainnya , maka det (B) = det (A)

Hal.: 30

Adaptif

Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks.

Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A.

Rank Baris = Rank kolomMaka rank suatu matriks adalah harga

rank baris = rank kolom dari matriks tersebut.

Dapat ditulis dengan r(A)

Rank

Hal.: 31

Adaptif

Contoh:Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks dari sistem persamaan linier dalam contoh, adalah

−−

−

16000

61100

0230

0011

−−

−

16|16000

16|61100

8|0230

8|0011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan banyaknya unsur yang tak

diketahui yaitu 4

Hal.: 32

Adaptif

Penyelesaian umum persamaan linier

Contoh;3x1+x2+x3=3, x1+x2+2x3=-1, X1-2x2+x3=-5

Penyelesaian;

Bentuk eselon Baris2100

32/510

1211

3/136/1300

32/510

1211

3/43/110

32/510

1211

4130

6520

1211

5121

3113

1211

5121

1211

3113

)13/6(3

)1(32

)3/1(3

)2/1(2

)1(31

)3(2112

−−−

−−−

−−

−−−−−

−

−−

−=

−−−

−

−−−

−−

H

HHH

HHH

Hal.: 33

Adaptif

Penyelesaian dalam langkah mundur

X3=-2

X2+5/2x3=-3

X2+5/2(-2)=-3

X2-5=-3

X2=2

X1+x2+2x3=-1

X1+2+2(-2)=-1

X1+2-4=-1

X1-2=-1

X1=1

Maka nilai dariX1=1

X2=2 dan

X3=-2Hal.: 34

Hal.: 35 INVERS

Adaptif

MATRIKS INVERSSebuah matriks persegi A ordo n disebut

mempunyai invers bila ada suatu matriks B, sehingga A.B = In (In = matriks ordo n).

B disebut invers dari A dan ditulis dengan A-1 Sehingga A.A-1 = In.

Untuk matriks berordo 2X2

A = maka A-1 =

syarat det A ≠0det A = ad-bc

dc

ba

−

−ac

bd

Adet

1

Hal.: 36

Adaptif

Contoh ; Tentukan invers matriks A= jawab; A-1

56

43

−

−

=

−

−

=

−

−−

=

−

−−

=

−

−=

3

1

3

29

4

9

5

9

3

9

69

4

9

5

36

45

9

1

36

45

6.45.3

1

36

45

det

1

A

Hal.: 37

Adaptif

Matriks Adjoin Dari bentuk matriks A = (aij )

Kofaktor dari elemen aij adalah Aij,maka

Matriks Kofaktor A Maka,

Adjoin A

Matriks adjoin A adalahAdjoin A = Transpose dari matriks kofaktor A

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

......

::::

......

......

21

22221

11211

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

......

::::

......

......

21

22221

11211

Hal.: 38

Adaptif

Invers matriks dengan bantuan matriks adjoin

rumus :Contoh;Diket A Tentukan invers A???

A-1 =???? jawab; Langkah 1

det [A]

AAdjA

A .det

11 =−

−−

−=

511

241

432

57)3(4)3(3)18(2

11

414

51

213

51

242

−=−−−=−−

−−−−

=

Hal.: 39

Adaptif

Langkah2; Kofaktor elemen A

Jadi matriks kofaktor A adalah

1851

2411 −=

−−

+=A

1451

42

311

41

22

13

=−

+=

=−−

+=

A

A

511

32

1151

43

351

21

23

21

12

=−

−=

−=−

−−=

−=−=

A

A

A

1141

32

,821

42

,1024

43

33

32

31

−=−

+=

−=−

−=

−=−

−+=

A

A

A

−−−−

−−

11810

51411

3318

−−−−−−

=1153

8143

101118

.AAdj

Hal.: 40

Adaptif

Maka invers dari matriks Maka invers dari matriks A adalahA adalah

−−

−=

−−−−−−

−=∴

−

−

57

11

57

5

57

357

8

57

14

57

357

10

57

11

57

18

1153

8143

101118

57

1

1

1

A

A

Hal.: 41

Adaptif

Mencari invers matriks dengan transformasi elementer

Yaitu dengan menggandengkan matriks dengan matriks identitasnya kemudian dilakukan transformasi elementer baris. Setelah matriks(yang dicari inversnya)menjadi matriks segitiga atas, maka baris yang lebih bawah dapat dipakai untuk menyapu semua elemen diatas diagonal utama menjadi nol(sehingga menjadi matriks identitas).Gambaran prosedur

Transformasi Elementer baris

Transf.Elementer Baris

A-1

[ ]AIn |

[ ]

[ ]nI

atasm

|

.|

−−−↓

∆−−−↓

Hal.: 42

Adaptif

Jawab ;

ContohCara invers matriksdengan transf.Elementer

−−

−=

511

241

432

A

)3(32

)11/1(2

)1(31

)2(2

12

330|110

11/810|011/211/1

241|010

330|110

8110|021

241|010

511|100

432|001

241|010

511|100

241|010

432|001

−

−−

−−−

−

−−−

−

−−

−

−−

−

H

H

HH

H

Hal.: 43

Adaptif

−−−

−−−

−−

−−−−

−

−−−−

−

−

100|57/1157/557/3

010|57/857/1457/3

001|57/1057/1157/18

100|57/1157/557/3

010|57/857/1457/3

041|57/2257/6757/6

100|57/1157/557/3

11/810|011/211/1

241|010

11/5700|111/511/3

11/810|011/211/1

241|010

)4(12

)11/8(23

)2(13

)57/11(3

H

HH

H

−−−=∴ −

57/1157/557/3

57/857/1457/3

57/1057/1157/181A

Hal.: 44

Hal.: 45 Definisi-definisi Ruang Euclid

Adaptif

Definisi 1

Bila n adalah bilangan bulat positif, maka tupel berorder n(ordered tupel) adalah urutan n bilangan real yang terbentuk(a1,a2,a3,…,an)contoh;Untuk R1 contohnya bilangan 2,-2,0…..Untuk R2 contohnya bilangan (2,1),(1/2,1)…Untuk R3 contonya (1,2,1),(1,-1,-2),(1,0,1)…..Untuk R1 sampai R3 dapat digambarkan secara geometri sedangkan untuk n>3 sulit dibayangkan dan bahkan tidak dapat digambarkan.

Hal.: 46

Adaptif

Definisi 2

*Dua buah vektor U = (U1,U2,U3,…,Un) dan V = (V1,V2,V3…,Vn) di Rn disebut sama apabila u1=v1,u2=v2,u3=v3,…,un=vn.

Hal.: 47

Adaptif

Definisi 3

Penjumlahan dua vektor u,v di Rn didefinisikan sbb;u + v = (u1,u2,u3,…un)+(v1,v2,v3,…vn)

= (u1+v1,u2+v2,…,un+vn)

Hal.: 48

Adaptif

Definisi 4

Perkalian sebuah skalar k dengan sebuah vektor V di Rn didefinisikan sebagai;k V = K (v1,v2,v3,…vn)=(kv1,kv2,kv3,….kvn)

Hal.: 49

Adaptif

Definisi 5

Vektor nol dalam Rn adalah vektor yang sama komponennya adalah nol yaitu o=(0,0,0…,0)

Hal.: 50

Adaptif

Definisi 6

uu

uukuk

vkukvuk

ukuk

uuatauuu

uuu

wvuwvu

uvvu

=

+=+

+=+

=

=−=−+

=+=+

++=++

+=+

1.8

1)1.(7

)(.6

)1()1(.5

00)(.4

00.3

)()(.2

.1

Jika u di Rn adalah sebuah vektor sembarang, maka:-u =(-u1,-u2,-u3,…,-un)Beberapa hasil dari definisi-definisi diatas adalah sbb. Jika U,V,W di Rn dengan k dan l adalah skalar maka;

Hal.: 51

Adaptif

Definisi 7

Jika u =(u1,u2,u3…un) dan v(v1,v2,v3…vn) di Rn, maka perkalian dalam Euclid(perkalian titik) vektor u dan v didefinisikan sebagai berikut.

u.v = u1v1+u2v2+u3v3+…+unvn

Contoh;Jika u=(-1,2,-1,0,1) dan v= (1,1,1,2,2)di R5

maka:u.v =(-1,2,-1,0,1).(1,1,1,2,2)

=(-1)(1)+(2)(1)+(-1)(1)+(0)(2)+(1)(2)= -1+2-1+0+2=2

Jadi u.v=2

Hal.: 52

Adaptif

Definisi 8 ( jarak Euclid dalam Rn)

Jarak euclid antara vektor u =(u1,u2,u3,…,un) dan vektor v=(v1,v2,v3,…,vn) dalam Rn didefinisikan sbb;

d(u,v)=

Contoh;Jika u=(1,-1,1,0,1) dan v=(0,2,2,2,1),maka;

2222

211 )(....)()( nn vuvuvu −++−+−

15

)11()20()21()21()01().(

13)1()2()2()2()0(

24)1()0()1()1()1(

22222

22222

22222

=

−+−+−+−−+−=

=++++=

==+++−+=

vud

v

u

=− vu

Hal.: 53