RAÍCES CUADRADAS

CORPORACIÓN MUNICIPAL DE DESARROLLO SOCIAL DE CALAMA LICEO MINERO AMÉRICA ASIGNATURA: MATEMÁTICA

PROFESOR: GUILLERMO CRUZ SAIRE [email protected] (2° A, B)

HÉCTOR COCA MAMANI [email protected] (2° C, D)

MIRNA CARVAJAL MIRANDA [email protected] (2° E, F)

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MATERIAL EDUCATIVO N° 3 RAÍCES CUADRADAS

APELLIDO PATERNO : % EXIGENCIA : 60

APELLIDO MATERNO: % EVALUACION : 60%

NOMBRE : PTJE. IDEAL :

R.U.T. : PTJE. REAL :

CURSO : 2° FECHA : / /2020 PTJE. OBTENIDO :

Unidad N° 1

Nombre de la Unidad: Números reales

Objetivo de Aprendizaje:

Realizar cálculos y estimaciones que involucren operaciones con números reales:

Utilizando la descomposición de raíces y las propiedades de las raíces. Combinando raíces con números racionales. Resolviendo problemas que involucren estas operaciones en contextos diversos.

Criterios o Indicadores de Evaluación:

Operan con números racionales e irracionales. Utilizan la descomposición de raíces y las propiedades de las raíces. Representan números irracionales como puntos sobre la recta real. Determinan la existencia de raíces de manera concreta, pictórica y simbólica. Resuelven problemas que involucren raíces en diferentes contextos.

Retroalimentación y Consultas a través de Plataforma meet google.

Profesora Mirna Carvajal: [email protected]

Profesor Héctor Coca: [email protected]

Profesor Guillermo Cruz: [email protected]

Material de apoyo audio visual: (sugerencia)

Simplificación de raíces cuadradas:

https://www.youtube.com/watch?v=B3j4L2KrnaY

https://www.youtube.com/watch?v=V-51dVyFknM

Suma de raíces cuadradas:

https://www.youtube.com/watch?v=DmFAhGxLYPI

Cálculo de diagonales

https://www.youtube.com/watch?v=l31AivdmK9M

Racionalización

https://www.youtube.com/watch?v=6ACzZyn99v8

https://www.youtube.com/watch?v=eGoiGnI0ZGw

mailto:[email protected]






https://www.youtube.com/watch?v=B3j4L2KrnaY

https://www.youtube.com/watch?v=V-51dVyFknM

https://www.youtube.com/watch?v=DmFAhGxLYPI

https://www.youtube.com/watch?v=l31AivdmK9M

https://www.youtube.com/watch?v=6ACzZyn99v8

https://www.youtube.com/watch?v=eGoiGnI0ZGw





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NÚMEROS REALES Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℝ. Es decir: ℝ = ℚ ∪ 𝕀 ORDENAR NÚMEROS IRRACIONALES En el caso de las raíces cuadradas, dos o más raíces cuadradas se pueden ordenar observando su

cantidad subradical. Así, si 𝑎 < 𝑏, se cumple que √𝑎 < √𝑏, con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ EJEMPLO

Ordenar de menor a mayor los siguientes números irracionales: 2√5, 4√2, 2√3, 4√3 Lo primero que debemos hacer es elevar al cuadrado cada número:

(2√5)2

= 22 ∙ (√5)2

= 4 ∙ 5 = 20

(4√2)2

= 42 ∙ (√2)2

= 16 ∙ 2 = 32

(2√3)2

= 22 ∙ (√3)2

= ∙ = 12

(4√3)2

= ∙ ( )2 = ∙ =

Ahora ordenamos los números obtenidos de menor a mayor 12 < 20 < 32 < 48

Finalmente, ordenamos los números irracionales en el mismo orden 2√3 < 2√5 < 4√2 < 4√3 RESUELVE

Ordenar de menor a mayor los números 2√6, √19, 5√2 1° Elevar al cuadrado cada número

2√6 = ∙ ( )2 = ∙ =

√19 = ( )2 =

5√2 = ∙ ( )2 = ∙ = 2° Ordenar los numero obtenidos: 3° Ordenar los números irracionales:

Recuerda que el 2 y la √6 se deben elevar al cuadrado

Aquí la √19 no está multiplicado por ningún número,

por lo tanto, solo elevas al cuadrado a la √19








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ACTIVIDAD 1 a) Ordena de menor a mayor según corresponda:

1) 3√5, 2√3, 3√2, √17

2) 2√7, 5√3, √29, 6√2

b) Ordenar de mayor a menor según corresponda

3) 3√3, 2√3, √28, 3√2

4) 10√3, 7√2, 5√3, √320

Solucionario

1) 2√3 < √17 < 3√2 < 3√5 2) 2√7 < √29 < 5√3 < 6√2

3) √28 > 3√3 > 3√2 > 2√3 4) √320 > 10√3 > 7√2 > 5√3








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OPERACIONES CON RAÍCES

DESCOMPONER RAÍCES CUADRADAS No todas las raíces cuadradas son exactas, por ejemplo

√16 = 4 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 4 ∙ 4 = 16

√49 = 7 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 7 ∙ 7 = 49

√169 = 13 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 13 ∙ 13 = 169

√8 = √4 ∙ 2 = √4 ∙ √2 = 2√2

√18 = √9 ∙ 2 = √9 ∙ √2 = 3√2

√20 = √4 ∙ 5 = √4 ∙ √5 = 2√5

√32 = no hay un número que elevado al cuadrado nos dé como resultado 32 ¿qué debemos hacer en estos casos? Descomponer la raíz en factores primos. PROCEDIMIENTO

Finalmente,

√32 = √16 ∙ 2 = √16 ∙ √2 = 4√2

1

2

3

Recuerda que el conjunto de números

primos tiene los siguientes elementos

Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13 17, 19…}

Como 32 es número par empezamos por el primer

número primo que es 2, dividimos 32 : 2 = 16, fíjate

el 16 se coloca debajo del 32, como 16 sigue siendo

par volvemos a dividir por 2 y así seguimos hasta

llegar a 1

Como son raíces cuadradas, vamos

eligiendo de a dos factores y los

multiplicamos 2 ∙ 2 = 4

Luego, multiplicamos 𝟒 ∙ 𝟒 = 𝟏𝟔,

como en la columna de los factores

primos quedó un 2 libre, podemos

escribir 𝟑𝟐 = 𝟏𝟔 ∙ 𝟐 y 16 tiene raíz

cuadrada, siempre uno de los

factores debe tener raíz cuadrada

exacta.

La raíz de 16, 49 y 169 son raíces exactas

La raíz de 8, 18 y 20 no son exactas en

estos casos factorizamos de tal forma que

uno de los factores tenga raíz cuadrada,

por ejemplo 4 ∙2 = 8 y el 4 tiene raíz








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Descomponer √180 =

Finalmente, escribimos

√180 = √4 ∙ 9 ∙ 5 = √4 ∙ √9 ∙ √5 = 2 ∙ 3 ∙ √5 = 6√5 ACTIVIDAD 2 Descomponer las siguientes raíces cuadradas

a) √12 =

b) √24 =

c) √27 =

d) √45 =

e) √50 =

f) √108 =

g) √200 =

h) √252 =

i) √396 =

j) √675 = Solucionario

a) 2√3 b) 2√6 c) 3√3 d) 3√5 e) 5√2

f) 6√3 g) 10√2 h) 6√7 i) 6√11 j) 15√3

Empezamos dividiendo por el primer número

que es 2, porque 180 es número par 180 : 2 =

90, luego, dividimos 90 : 2 = 45.

El 45 no se puede dividir por dos, entonces

dividimos con el siguiente número primo que

es 3 (45 es divisible por 3, porque 4 + 5 = 9 y 9

es divisible por 3) 45 : 3 = 15, luego, dividimos

15 : 3 = 5 y 5 : 5 = 1

Como son raíces cuadradas multiplicamos de a

dos factores iguales y nos queda 2 ∙ 2 = 4 y

3 ∙ 3 = 9, el 5 queda libre no tiene raíz

cuadrada








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ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RAÍCES Para resolver adiciones y sustracciones que involucren raíces cuadradas, se puede aplicar un procedimiento similar a la reducción de términos semejantes agrupando aquellas que tengan la misma cantidad subradical y sumando sus factores enteros.

𝟑√𝟏𝟏

EJEMPLO 1

Resuelve 3√2 + 5√2 − 2√2

8√2 − 2√2

6√2 EJEMPLO 2

Resuelve √18 + 2√2 − √8 =

√9 ∙ 2 + 2√2 + √4 ∙ 2 =

√9 ∙ √2 + 2√2 + √4 ∙ √2 =

3√2 + 2√2 + 2√2 =

7√2 ACTIVIDAD 3 Resuelve las siguientes expresiones

a) √2 + 2√2 + 3√2 b) 4√6 − 3√5 − 5√6 + 2√5

c) 4√48 − 2√27 d) 3√7 + 2√28 − 6√63

Solucionario

a) 6√2 b) −√5 − √6 c) 10√3 d) −11√7

11 es la cantidad subradical 3 es el factor entero

Misma cantidad subradical

Sumamos los factores enteros positivos: 3 + 5 = 8

Luego, restamos 8 – 2 = 6

Conservamos la cantidad subradical √2

Recuerda que para sumar o restar raíces éstas deben

tener la misma cantidad subradical

Al descomponer las raíces, nos queda

Al extraer las raíces exactas, resulta

Como todos los sumandos tienen la misma cantidad

subradical, podemos sumar sus factores enteros y

conservamos √2








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DIAGONAL DE UN CUADRADO EJEMPLO 1

Aplicando el teorema de Pitágoras calcula la diagonal del cuadrado

El teorema de Pitágoras dice: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Los pasos para la resolución son los siguientes:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Primero se calcula el cuadrado de cada cateto

𝑥2 = 12 + 12

𝑥2 = 1 + 1 Segundo, se suman los cuadrados 𝑥2 = 2 Tercero, se calcula la raíz cuadrada

𝑥 = √2

Luego, la hipotenusa es √2 EJEMPLO 2 Calcular el valor de x cuando uno de los catetos es una raíz cuadrada

El teorema de Pitágoras dice: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Primero se calcula el cuadrado de cada cateto

𝑥2 = 12 + (√2)2

𝑥2 = 1 + 2

Segundo, se suman los cuadrados

𝑥2 = 3 Tercero, se calcula la raíz cuadrada

𝑥 = 3

Luego, la hipotenusa es 3

Recuerda que, en un triángulo

rectángulo como el de la figura,

los lados menores forman el

ángulo recto se llaman catetos y

el lado mayor se llama

hipotenusa, entonces, x es

hipotenusa, 1 es cateto y el otro

1 también es cateto

En este caso los catetos

son 1 y √2, la hipotenusa

es 𝑥

El cuadrado

elimina la raíz








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ACTIVIDAD 4 Calcular el valor de x en las siguientes figuras

a) b) c) d) Solucionario

a) 2√2 b) 3√2 c) 2 d) √5








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RACIONALIZACIÓN

Consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción.

Dependiendo de las operaciones involucradas dentro de ese denominador pueden presentarse diversos casos:

a) Denominador contiene una raíz cuadrada, sin adiciones ni sustracciones.

Ejemplo 1

Racionalizar 8

√2

Para racionalizar, amplificamos la fracción por el valor del denominador, en

este caso √2 , de la siguiente manera:

8

√2=

8

√2∙

√2

√2=

8 ∙ √2

√2 ∙ 2=

8√2

√4=

8√2

2= 4√2

Ejemplo 2

Racionalizar √2

2√3

√2

2√3=

√2

2√3∙

√3

√3=

√2 ∙ 3

2√3 ∙ 3=

√6

2√9=

√6

2 ∙ 3=

√6

6

ACTIVIDAD 5 Racionaliza las siguientes expresiones

a) 1

√5 b)

6

√2

c) 3

2√3 d)

5

2√2

Solucionario

a) √5

5 b) 3√2 c)

√3

2 d)

5√2

4

Denominador

Amplificando por √2 Multiplicamos

las cantidades

subradicales

Siempre

queda una

raíz exacta

√4 = 2

Finalmente, al

dividir 8 ∶ 2 = 4

Fíjate que solo se

amplifica por √3

Denominador

Multiplicamos

las cantidades

subradicales

Raíz

exacta

√9 = 3

2 ∙ 3 = 6








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b) Denominador contiene una raíz cuadrada, con adiciones o sustracciones.

Cuando el denominador es un binomio, se amplifica la fracción por su conjugado. Si se trata, por

ejemplo, de √3 + √2 se amplifica por √3 − √2. La idea es formar el producto de la suma por la

diferencia que es igual a la diferencia de los cuadrados, con lo cual se consigue eliminar las raíces.

Ejemplo 1

Racionalizar 8

2−√2

8

2 − √2∙

2 + √2

2 + √2=

8 ∙ (2 + √2)

(2 − √2)(2 + √2)=

16 + 8√2

4 − √2 ∙ 2=

16 + 8√2

4 − √4=

16 + 8√2

4 − 2=

16 + 8√2

2=

16

2+

8√2

2= 8 + 4√2

EJEMPLO 2

Racionalizar √3

5+√2

√3

5 + √2∙

5 − √2

5 − √2=

√3 ∙ (5 − √2)

(5 + √2)(5 − √2)=

5√3 − √3 ∙ √2

25 − √2 ∙ 2=

5√3 − √3 ∙ 2

25 − √4=

5√3 − √6

25 − 2=

5√3 − √6

23

Amplificamos por el

conjugado de 2 − √2

que es 2 + √2

Se forma una suma

por su diferencia

Multiplicamos

2 ∙ 2 = 4

− ∙ + = −

√2 ∙ √2 = √2 ∙ 2 = √4

√4 = 2 4 − 2 = 2 16 ∶ 2 = 8

8 ∶ 2 = 4

Amplificamos por el

conjugado de 5 + √2

que es 5 − √2

Suma por su diferencia Multiplicamos

5 ∙ 5 = 25

+ ∙ − = −

√2 ∙ √2 = √2 ∙ 2 = √4

√4 = 2 25 − 2 = 23

√3 ∙ 2 = √6








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ACTIVIDAD 6 Racionaliza las siguientes expresiones

a) 1

√2+1=

b) 5

4−√3=

c) √3

3+√3=

d) 5

√5−√2=

e) 4

√6+√12=

Solucionario

a) √2 − 1 b) 20+5√3

13 c)

√3−1

2 d)

5√5 + 5√2

3 e)

4√12−4√6

6








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MATERIAL EDUCATIVO N° 3 NÚMEROS IRRACIONALES (𝕀)

APELLIDO PATERNO : % EXIGENCIA : 60

APELLIDO MATERNO: % EVALUACION : 60%

NOMBRE : PTJE. IDEAL :

R.U.T. : PTJE. REAL :

CURSO : 2° FECHA : / /2020 PTJE. OBTENIDO :

Nivel: 2° MEDIOS: Taller de Resolución de Problemas – Artes Visuales

Unidad 1: Números Irracionales

Objetivos de Aprendizajes:

Realizar cálculos y estimaciones que involucren operaciones con números reales.

Indicadores:

Ordenar números irracionales y representarlos en la recta numérica.

Breve descripción de actividad formativa:

Se utilizará juegos didácticos involucrando la aplicación de propiedades de los

números Reales.

Instrucciones:

Lea cuidadosamente cada enunciado.

El dibujo realizado debes enviarlo en una foto al profesor que corresponda a través del

correo institucional, colocando en “ASUNTO” claramente su NOMBRE, APELLIDOS y

CURSO.

Horarios de Consultas:

Se realizarán por plataforma google meet

ROMINA NAVARRO: [email protected] (2° F)

GUILLERMO CRUZ: [email protected] (2° A, B)

HÉCTOR COCA: [email protected] (2° C, D, E)

Sugerencia:

https://www.youtube.com/watch?v=IY-d7Colwfc

ARTES VISUALES: Se evaluará la creación del dibujo y decoración. Lo

puede realizar en su croquera u hoja de block. Enviar la fotografía al correo de

la profesora Rosa Guerrero [email protected]







https://www.youtube.com/watch?v=IY-d7Colwfc





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LA ESPIRAL DE TEODORO

,ACTIVIDAD: Formaremos “La Espiral de Teodoro” para ello, necesitarán una

regla o escuadra y un transportador.

La Espiral de Teodoro, también conocida como caracola pitagórica, espiral

pitagórica, o espiral de raíces cuadradas, es una espiral formada por triángulos

rectángulos adyacentes (uno al lado de otro) donde parte con un triángulo

rectángulo de lado 1 de unidad de medida

Con regla y transportador construye la caracola siguiendo las instrucciones:

‣ Dibuja un triángulo rectángulo de catetos de 1 centímetro cada uno.

‣ Sobre la hipotenusa dibuja el siguiente triangulo rectángulo considerando esta

hipotenusa como cateto y el otro cateto de 1 centímetro.

‣ Repite la acción anterior sobre cada una de las hipotenusas hasta la raíz de 13.

Una vez que haya realizado la espiral deberás agregar un toque artístico como

verás en los siguientes ejemplos:

Estimado(a) alumna y alumno lo invito a responder en el siguiente link; debe

copiar y pegar la dirección en la barra de navegación, allí encontrarás está

evaluación, Evaluación Formativa N°3, debes subir tu imagen, foto al

Formulario para su revisión y enviar.

2° A, B https://forms.gle/kMoE6VviLRuW7VH59

2° C, D, E https://forms.gle/yYPwRTwueayMsg1f9

2° F https://forms.gle/za5WJKgHcWx3ijjGA




https://forms.gle/kMoE6VviLRuW7VH59

https://forms.gle/yYPwRTwueayMsg1f9

https://forms.gle/za5WJKgHcWx3ijjGA

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RAÍCES CUADRADAS