RACIOCÍNIO LÓGICO - igepp.com.br · PDF file(CESPE) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à

RACIOCÍNIO LÓGICO

RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo

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RACIOCÍNIO LÓGICO

ANÁLISE COMBINATÓRIA

1. Introdução

A Análise Combinatória nos ensina como

contar a quantidade de agrupamentos feitos com os

elementos de um conjunto.

Os agrupamentos podem diferenciar pela

quantidade, ordem e pela natureza, e os elementos

do agrupamento podem ser distintos ou repetidos.

2. Princípio fundamental da contagem (PFC)

Se uma ação é composta de duas etapas

sucessivas e independentes, sendo que a primeira pode

ser feita de m modos e, para cada um destes, a

segunda pode ser feita de n modos, então o número de

maneiras de realizar a ação, isto é, a primeira e a

segunda etapa é m.n.

3. Princípio aditivo

Se uma ação é composta de duas etapas

sucessivas e independentes, sendo que a primeira pode

ser feita de m modos e, para cada um destes, a

segunda pode ser feita de n modos, então o número de

maneiras de realizar a primeira ou a segunda etapa é

m n.

Repare a diferença:

Exemplos:

E.1) Se você tem quatro camisas e seis calças

diferentes, então terá 4 6 24 maneiras

distintas de trajar-se, usando camisa e calça.

E.2) Se você tem quatro pares de sapatos e seis pares

de tênis diferentes, então terá 4 6 10

maneiras distintas de calçar-se, usando sapato ou

tênis.

4. Arranjo Simples

São agrupamentos de elementos distintos que

diferem entre si pela ordem ou pela natureza.

Representação:

n,pA : lê-se arranjo simples de n elementos p a p

n,p

n!A n (n 1) (n 2) ... (n p 1).

(n p)!

Obs.: problemas que envolvem arranjos podem ser

resolvidos com o Princípio Fundamental da

Contagem.

5. Permutações

São agrupamentos realizados com todos os

elementos do conjunto. Se os elementos são distintos,

então chamamos Permutação Simples, se existirem

elementos repetidos no conjunto, então chamamos

Permutação de Elementos Repetidos. Representação:

5.1. Permutações Simples

nP : lê-se permutação de n elementos

nP n!

Obs.: As permutações simples são casos particulares

de arranjos simples quando n p, daí o número de

permutações simples de n elementos é dado por

n n,n

n!P A n!

(n n)!

.

5.2. Permutações de Elementos Repetidos

a,b,cnP : lê-se permutação de n elementos com a

elementos iguais, b elementos iguais e c elementos

iguais.

a,b,cn

n!P

a!b!c!

6. Combinação Simples

São agrupamentos de elementos distintos que

diferem entre si pela natureza.

Representação:

n,pC : lê-se combinação simples de n elementos p a p

n,p

n,p

A n!C

p! p!(n p)!

Observação: É Arranjo ou Combinação?

Quando estamos resolvendo problema de análise

combinatória devemos reconhecer quando envolve arranjos

ou combinações. Vamos usar os seguintes passos:

a) escolher um agrupamento qualquer que

satisfaça as condições do problema;

b) trocar as posições dos elementos desse

agrupamento escolhido. Se o novo

agrupamento for uma nova solução do

problema, ou seja, se a ordem for importante,

então trata-se de ARRANJO, caso contrário,

trata-se de COMBINAÇÃO.


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2

EXERCÍCIOS DE SALA

1. Calcular:

a) !5

b) !7

!8

c) !14

!16

d) !3!9

!12

2. De quantas maneiras diferentes se pode dispor as

letras da palavra CELIBATO?

3. Considere a palavra VESTIBULAR

a) quantos anagramas podem ser formados?

b) quantos anagramas iniciam pela letra E?

c) quantos anagramas terminam por R?

d) quantos anagramas iniciam por T e terminam por

B?

e) quantos anagramas começam pelas letras ATB,

nessa ordem?

f) quantos anagramas terminam pelas letras BAR,

em qualquer ordem?

g) quantos anagramas apresentam as letras LAR,

juntas nessa ordem?

h) quantos anagramas apresentam as letras VEST

juntas, em qualquer ordem?

4. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas

amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado

a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas

quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo

que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do

outro, é igual a:

a) 16

b) 24

c) 32

d) 46

e) 48


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3

5. (CESPE) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em

um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar

seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que

lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas

por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de

Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o

leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e capturar

o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja

dada a escolha de preparar uma lista colocando em

ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a

escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além

disso, considere que somente um trabalho seja

executado de cada vez. Com relação ao número de

possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os

itens subseqüentes.

O número máximo de possíveis listas que

Hércules poderia preparar é superior a 12 × 10!.

O número máximo de possíveis listas contendo o

trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira

posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.

O número máximo de possíveis listas contendo

os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na

primeira posição e “capturar o javali de

Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 × 42

× 20 × 6.

O número máximo de possíveis listas contendo

os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e

“capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas

posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! × 8!.

6. Quantos anagramas apresenta a palavra

ARAGUARI?

7. (CESPE) Em um tabuleiro quadrado, de 5x5,

mostrado na figura a seguir, deseja-se ir do quadrado

esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior

(DI).

ES

DI

Somente são permitidos os movimentos horizontal

(H), vertical (V) e diagonal (D), conforme

ilustrado nas representações seguintes.

(H) (V) (D)

Com base nessa situação e com o auxílio dos

princípios de análise combinatória, julgue os

itens que se seguem.

Se forem utilizados somente movimentos

horizontais e verticais, então o número de

percursos possíveis será igual a 70.

Se forem utilizados movimentos horizontais,

verticais e apenas um movimento diagonal, o

número de percursos possíveis será igual a 140.


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Utilizando movimentos horizontais, verticais e

três movimentos diagonais, o número de

percursos possíveis é 10.

8. Quantos anagramas das palavras seguintes tem as

vogais em ordem alfabética?

a) PADRE

b) PERNAMBUCO

9. (ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de

Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado

a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados.

Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em

qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam

ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda

para a direita. O número de diferentes maneiras que os

seis quadros podem ser expostos é igual a:

a) 20

b) 30

c) 24

d) 120

e) 360

10. (UFMG) Um aposentado realiza diariamente, de

segunda a sexta-feira, estas cinco atividades:

1ª) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a

escola;

2ª) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica;

3ª) passeia com o cachorro da família;

4ª) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na

escola;

5ª) rega as plantas do jardim de sua casa.

Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre

na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia,

vai realiza-las em uma ordem diferente.

Nesse caso, o número de maneiras possíveis de

ele realizar essas cinco atividades, em ordem

diferente, é:

a) 24

b) 60

c) 72

d) 108

e) 120

11. Quantos são os números com 3 algarismos diferentes

que poderemos formar, empregando os caracteres

{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?

12. Na cidade de Brasília (DF) os telefones são

identificados por um número constituído de oito

algarismos. Os quatro primeiros algarismos

constituem um número denominado prefixo. Na

região próxima a este curso o prefixo é 3345. Nessa

região:

O número máximo possível de telefones é igual a 410 .


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5

O número máximo de telefones que terminam

por um algarismo par é 3600.

O número máximo de telefones que, exceto o

prefixo, têm todos os algarismos distintos é 5040.

É possível ter 1680 telefones que não possuem o

algarismo zero.

É possível ter 1000 (mil) telefones que, exceto o

prefixo, têm o número com o primeiro algarismo

igual a 2 e o último algarismo par.

13. (ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones

têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três

primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se

que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos

são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o

número de telefones que podem ser instalados nas

farmácias é igual a:

a) 504

b) 720

c) 684

d) 648

e) 842

14. Uma empresa possui sete gestores, entre os quais, o

presidente e o vice-presidente da empresa. Responda:

a) Quantas comissões diferentes, com 3 membros,

poderemos constituir empregando os sete

gestores dessa empresa?

b) Em quantas comissões não figura o presidente da

empresa?

c) Em quantas aparecem juntos, o presidente e o

vice-presidente da empresa?

15. (FGV) Uma comissão de três membros vai ser

escolhida ao acaso dentre um grupo de quinze

pessoas, entre as quais estão Alice e Bárbara. Calcular

o número de diferentes comissões que poderão ser

formadas, de tal forma que Alice e Bárbara participem

dessas comissões.

a) 13

b) 39

c) 420

d) 210

e) 840


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6

16. Considera-se um conjunto de 4 rapazes e 7 moças.

Responda:

a) Quantas comissões de 4 elementos podem ser

formadas?

b) Quantas destas comissões conterão 2 rapazes e 2

moças?

17. Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se

comissões de 4 alunos e 2 alunas. O número de

comissões em que participa o aluno X e não participa

a aluna Y é:

a) 1260

b) 2100

c) 840

d) 504

e) 336

18.(ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por

sete meninos e quatro meninas foi convidado a

realizar apresentações de dança no exterior.

Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear

as passagens de apenas seis dessas crianças.

Sabendo-se que nas apresentações do programa de

danças devem participar pelo menos duas meninas,

o número de diferentes maneiras que as seis

crianças podem ser escolhidas é igual a:

a) 286

b) 756

c) 468

d) 371

e) 752

19. Considere duas retas r e s paralelas e distintas. Sobre a

reta r são marcados 5 pontos distintos (A, B, C, D, E)

e sobre a reta s, três pontos, também distintos (F, G,

H). Considerando apenas esses oito pontos, calcule:

a) o número de quadriláteros convexos

determinados.

b) o número de triângulos determinados.


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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Nas questões de 1 a 4 calcule o que se pede.

1. (UFPA) Quantos são os anagramas da palavra

BRASIL começados por B e terminados por L?

a) 24

b) 120

c) 720

d) 240

e) 1.440

2. Quantas são as permutações distintas das letras

da palavra ARARUTA?

3. Encontrar o número de números diferentes que

obteremos permutando os algarismos do número

2.718.281.828.

4. Quantos números diferentes acharemos,

permutando de todos os modos possíveis, os

algarismos do número 37.774.373?

5. Quantos números com 5 algarismos poderemos

formar empregando os algarismos ímpares 1, 3,

5, 7 e 9? Em quantos aparecem os algarismos 5 e

7 juntos? Em quantos deles comparece o

agrupamento 357, nessa ordem?

6. De quantos modos podemos sentar-se 6 pessoas

em linha, admitindo-se que dois indivíduos A e B

estejam sempre juntos?

7. Num determinado setor de um hospital trabalham

5 médicos e 10 enfermeiros. Quantas equipes

distintas, constituídas cada uma de um médico e

4 enfermeiros, podem ser formadas nesse setor?

a) 210

b) 1.050

c) 5.050

d) 10.080

e) 25.200

8. (VUNESP) Um certo número de garrafas

distinguíveis foi arranjado de 3 em 3, de todas as

maneiras possíveis. O número desses arranjos foi

120. Então, o número de garrafas era:

a) 12

b) 10

c) 6

d) 5

e) 4

9. (FUVEST) O número de anagramas da palavra

FUVEST que começam e terminam por vogal é:

a) 24

b) 48

c) 96

d) 120

e) 144

10. (PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e

Ernesto querem formar uma sigla com cinco

símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de

cada nome. O número total de siglas possíveis é:

a) 10

b) 24

c) 30

d) 60

e) 120

11. Dadas as letras A, B, C, p, q e r determinar o

número de permutações das mesmas que:

a) começam por maiúscula;

b) começam e finalizam por maiúscula.

12. (FGV) Um viajante, partindo da cidade A, deve

chegar à cidade D, passando obrigatoriamente

pelas cidades B e C.

Para viajar de A e B existem 3 meios de transporte:

avião, navio e trem; de B para C, 2 meios; táxi e

ônibus; e de C para D, 3 meios: carroça, moto e

bicicleta.

Quantas maneiras diferentes existem para viajar

de A para D?

a) 8

b) 3

c) mais de 15

d) menos de 10

e) n.r.a

13. (PUC) Com os algarismos do sistema decimal

formam-se todos os números de 4 algarismos

distintos, sendo que “x” deles possuem um

algarismo ímpar na ordem das centenas. O Valor

de “x” é:

a) 336

b) 567

c) 2.240

d) 3.335

e) 3.403

14. (UFRN) A quantidade de números pares de 5

algarismos, sem repetição, que podemos formar

com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 é igual a:


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8

a) 720

b) 1.440

c) 2.160

d) 2.880

e) 3.600

15. (MACK) Usando-se 5 dos algarismos 1, 2, 3, 4,

5, 6 e 7, e sem repeti-los, podemos formar:

a) 1.080 números pares;

b) 2.160 números pares;

c) 2.520 números pares;

d) 5.040 números pares;

e) 360 números pares.

16. Um grupo de 10 pessoas revolve jogar na MEGA

SENA, formando todos os cartões possíveis, cada

um com seis dezenas, usando 10 dezenas

distintas, previamente escolhidas pelos mesmos.

Depois de efetuado o jogo, dividiu-se o número

de cartões igualmente pelo jogadores. Quantos

cartões coube a cada um deles?

17. De quantas formas diversas podemos escolher

um romance, uma revista e um jornal entre 7

romances, 5 revistas e 10 jornais?

18. (FGV) Um restaurante oferece no cardápio 2

saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5

variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes.

Uma pessoa deseja uma salada, um prato de

carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas

maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?

a) 120

b) 144

c) 14

d) 60

e) 12

19. (CESPE) Uma pessoa faz uma relação de nomes

de 9 pessoas amigas. De quantas maneiras

distintas ela poderá convidar 5 dessas pessoas,

sabendo que na relação há um único casal

inseparável?

20. (PUC) O número de anagramas da palavra

ALUNO que têm as vogais em ordem alfabética

é:

a) 20

b) 30

c) 60

d) 80

e) 100

21. (FGV) As placas de automóveis constam de duas

letras e quatro algarismos. O número de placas

que podem ser fabricadas com as letras P, Q, R e

os algarismos 0, 1, 7 e 8 é:

a) 2.412

b) 2.304

c) 144

d) 216

e) 1.536

22. (CESPE) Em uma empresa existem 9 diretores,

sendo 3 desses de uma mesma família. Quantas

comissões de 3 diretores podem ser formadas

contendo cada uma, no máximo, 2 diretores da

mesma família?

23. (CESPE) Sete pessoas trabalham num setor de

uma fábrica que funciona em três turnos diários.

No primeiro turno trabalham 2 pessoas, no

segundo trabalham 2 e no terceiro 3. Calcule de

quantas maneiras pode-se fazer a escala do dia,

sabendo-se que as duas únicas mulheres da

equipe não podem trabalhar no terceiro turno.

24. (CESPE) Ao final de uma festa, ocorrem 28

apertos de mão para as despedidas. Considere

que cada participante despediu-se de todos os

demais. Calcule o número de pessoas que

estavam presentes.

25. (FAG) Com base nos princípios de contagem e

lógicos, julgue os itens que se seguem.

1. Uma proposição composta por 2 variáveis

proposicionais simples apresenta uma tabela-

verdade com 4 linhas.

2. O número de valorações possíveis para

Q ~ R P é inferior a 9.

3. O número de tabelas de valorações distintas

que podem ser obtidas para proposições com

exatamente duas variáveis proposicionais é

igual a 24.


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9

GABARITO

1. a

2. 420

3. 12.600

4. 280

5. 120, 48 e 6

6. 240

7. b

8. c

9. b

10. c

11. 360 e 144

12. c

13. c

14. b

15. a

16. 21

17. 350

18. a

19. 56

20. a

21. b

22. 83

23. 60

24. 8

25. CCC

GABARITO COMENTADO

01.São 6 letras distintas e duas destas estão presas em

certas posições, então sobram 4 letras livres para

trocarem (permutação simples)

4P 4! 24

Letra A

02.ARARUTA

A R

3 2

7

7!PR 420

3! 2!

03.O raciocínio dessa questão é idêntico ao de se

perguntar: Quantos anagramas tem a palavra

ARARA?

Só que nesta questão ao invés de letras na

composição da palavra, temos algarismos na

composição do número. E como os elementos

(algarismos) repetem, trata-se de uma permutação

com repetição:

2 3 4

10

10!PR 12.600

2!3!4!

1 2 8

04. 37.774.373 (mesmo raciocínio da anterior)

3 4

8

8!PR 280

3! 4!

3 7

05.Observe que são pedidas 3 coisas:

(1ª Parte) Cada troca entre algarismos na

composição do número, forma-se um novo

número. Como é pedido o total de números, então

tem de se fazer o total de trocas (permutações):

5P 5! 120

(2ª Parte) Vê raciocínio da questão 3 de aula, letra

(f). Entende-se 5 e 7 como um único algarismo,

uma vez que eles devem ficar juntos, totalizando,

então, 4 algarismos para permutar (permutação

externa). Lembrando também que eles podem

trocar entre si (permutação interna).

4 2

permutação permutaçãoexterna int erna

P P 24 2 48

(3ª Parte) Vê raciocínio da questão 3 de aula, letra

(e). Entende-se 3, 5 e 7 como um único algarismo,

uma vez que eles devem ficar juntos, totalizando,

então, 3 algarismos para permutar (permutação

externa). Nesse caso esses 3 algarismos não podem

trocar entre si, pela restrição do problema, já que

eles devem ficar nessa ordem.

3

permutaçãoexterna

P 6

06.São 6 pessoas, mas como A e B devem ficar

juntos, imagina-se que AB ocupa apenas um lugar,

ficando, então, uma permutação de 5 elementos

(permutação externa). Observe ainda que se A e B

trocarem entre si, muda-se a composição da fila

(permutação interna)

5 2

permutaçãopermutaçãoint ernaexterna

P P 120 2 240

07.Precisa-se escolher 1 médico, dentre 5; e 4

enfermeiros dentre 10

E

5,1 10,4C C 5 210 1.050

Letra B


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10

08. n,3A 120 n (n 1) (n 2) 120

Testando as alternativas, temos:

a) n 12 12 11 10 1.320 120

b) n 10 10 9 8 720 120

c) n 6 6 5 4 120 120 (funcionou!)

Letra C

09.Nesse caso vale a pena montar aquele esquema,

sempre lembrando de começar o preenchimento

pela(s) restrição(ões):

Restrições vogal vogal Total de opções 2 4 3 2 1 1 = 48

Letra B

10.A sigla é, então, formada pelas letras:

A,A,R,R,E , portanto o total de siglas diferentes é

igual ao total de possíveis trocas (permutação com

elementos repetidos):

A R

2 2

5

5!PR 30

2! 2!

Letra C

11.a) Restrição: Começar por maiúscula.

Restrição A,B,C Total de opções 3 5 4 3 2 1 = 360

b) Restrição: Começar e terminar por maiúscula.

Restrição A,B,C A,B,C Total de opções

3 4 3 2 1 2 = 144

12. A 3 B

2 C 3 D

3 2 3 18

Letra C

13.Formar números de 4 algarismos distintos,

escolhidos do sistema decimal

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 e com a restrição de o

algarismo das centenas ser ímpar:

Restrições 0 não Ímpar Total de opções 8 5 8 7 = 2.240

Obs. O primeiro algarismo nunca pode ser 0.

Letra C

14.Formar números pares de 5 algarismos distintos,

escolhidos do conjunto 2,3,4,5,6,7,8 . Restrição:

terminar com algarismo par (para o numero ser

par)

Restrições par Total de opções 6 5 4 3 4 = 1.440

Letra B

15.Formar números pares (observar as alternativas)

de 5 algarismos distintos, escolhidos do conjunto

1,2,3,4,5,6,7 . Restrição: terminar com

algarismo par (para o numero ser par)

Restrições par Total de opções 6 5 4 3 3 = 1.080

Letra A

16.Das 10 dezenas, escolhem-se 6 para montar um

cartão da mega-sena, então o total de diferentes

cartões é dado por:

10,6C 210

Como há 10 pessoas para dividirem os 210 cartões,

então sobram-se 21 cartões para cada pessoa.

17.Dos 7 romances, escolhe-se um e das 5 revistas,

escolhe-se uma e dos 10 jornais, escolhe-se uma:

E E

7,1 5,1 10,1C C C 7 5 10 350

18.Das 2 saladas, escolhe-se uma e dos 4 tipos de

carne, escolhe-se um e das 5 bebidas, escolhe-se

uma e das 3 sobremesas, escolhe-se uma:

E E E

2,1 4,1 5,1 3,1C C C C 2 4 5 3 120

Letra A


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11

19.Tem-se 9 pessoas, 2 inseparáveis e 7 outras que

não têm restrição. Como o referido casal é

inseparável, então ou o casal é convidado (das 5

pessoas convidadas, sobram-se 3 vagas,

disputadas entre as 7 pessoas), ou o casal não é

convidado (as 5 vagas são disputadas entre as 7

pessoas).

OU

7,3 7,5C C 35 21 56

20.Anagramas da palavra ALUNO com as vogais em

ordem alfabética. Uma vez que essa ordem for

estabelecida elas (as vogais) não podem trocar

entre si. Entenda, não é que as vogais não possam

permutar, mas é que elas não podem trocar entre si.

É como se fosse pedido para calcular os anagramas

da palavra ALANA, pois nesse caso, trata-se de

uma permutação com repetição da letra A, uma vez

que mesmo que esses A‟s troquem entre si a

palavra continua a mesma, ou seja, para calcular

esse anagrama de 5 letras, calcula-se 5! e divide o

resultado por 3!, originando a formula que já se

conhece para permutação com repetição:

A

3

5

5!PR 20

3!

A divisão por 3! deve ser entendida como uma

correção que se faz, pois àqueles A‟s não podem

trocar entre si (da mesma maneira que àquelas

vogais não podiam trocar entre si), uma vez que

essa troca não altera o anagrama.

Letra A

21.Note que é um problema de arranjo, pois ao se

mudar a ordem das letras ou números, muda-se a

placa do carro. Note também que se pode repetir os

elementos. Observe o esquema:

P, Q, R 0, 1, 7, 8 Total de opções 3 3 4 4 4 4 = 2.304

Letra B

22.Tem-se 9 diretores, sendo 3 de uma família A e 6

outros. Quer-se montar comissões de 3 diretores

com, no máximo, 2 diretores da família A, isto é,

dos 3 escolhidos, pode-se 2 ser da família A ou 1

ser da família A ou não ter diretor da família A,

observe:

E OU E OU

3,2 6,1 3,1 6,2 6,3

dos 3 de A, dos 6 outros, dos 3 de A, dos 6 outros, dos 6 outros,escolhe se 2 escolhe se 1 escolhe se 1 escolhe se 2 escolhe se 3

C C C C C

3 6 3 15 20 83

23.Das 7 pessoas, 5 são homens e 2 são mulheres.

Temos 3 turnos de trabalho (com 2 pessoas

trabalhando no 1º turno; 2 no 2º e 3 no 3º) e no 3º

as mulheres não podem trabalhar.

Iniciemos o trabalho montando a equipe para o 3º

turno (dos 5 homens, escolhem-se 3 para esse

turno), pois é o único que tem restrição, e depois

para o 2º (dos 4 funcionários, 2 mulheres e os 2

homens não escolhidos, escolhem-se 3 para esse

turno) e para o 1º (dos 2 funcionários restantes,

escolhem-se 2 para esse turno). Observe:

E E

5,2 4,2 2,2

dos 5 homens, dos 4 funcionários, dos 2 funcionários,escolhem se 2 escolhem se 2 escolhem se 2

C C C

10 6 1 60

24.Cada aperto de mão é dado entre duas pessoas, ou

seja, escolhe-se duas pessoas da festa e elas se

cumprimentam. Como na festa há n pessoas e

todos os apertos de mãos possíveis são dados

totalizando 28, faz-se o seguinte:

n,2

das n pessoas, escolhem se 2para darem um aperto de mão

2 2

n n 1C 28 28

2

n n 56 n n 56 0

n 8

ou

n 7 não serve


___________________________________________________________________________________________________________________________

12

PROBABILIDADE

1. Introdução

A teoria das probabilidades estuda situações

onde queremos estimar as chances de ocorrer um

determinado acontecimento.

2. Nomenclatura e notações

2.1. Experimento Aleatório

Denominamos experimento aleatório a todo

experimento que, repetido em condições idênticas,

produzem resultados que não podem ser previstos

com certeza.

Exemplos:

E.1) Lançar uma moeda e observar a face voltada para

cima.

E.2) Lançar um dado e observar o número da face

voltada para cima.

E.3) De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta

e observar o naipe.

2.2. Espaço Amostral

Denominamos espaço amostral de um

experimento aleatório ao conjunto de todos os

resultados possíveis deste experimento. Indicaremos o

espaço amostral pela letra S.

Exemplos:

E.1) No lançamento de uma moeda, o espaço amostral

é S {cara, coroa}.

E.2) No lançamento de um dado, o espaço amostral é

S {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

E.3) Na retirada de uma carta de um baralho e

posterior verificação do naipe, o espaço amostral

é S {ouros, copas, paus, espadas}.

2.3. Espaço Amostral Equiprovável

É quando os seus elementos têm a mesma

chance de ocorrer.

2.4. Evento

Denominamos evento a qualquer subconjunto

do espaço amostral de um experimento aleatório.

Exemplos:

E.1) No lançamento de uma moeda, o evento cara é A

{cara}.

E.2) No lançamento de um dado, o evento face com

número par é B {2, 4, 6}.

E.3) Na retirada de uma carta de um baralho, o evento

dama é C {dama de ouros, dama de copas,

dama de paus, dama de espadas}.

Observações:

O.1) O conjunto vazio, , é chamado evento

impossível.

O.2) O espaço amostral, S, é chamado evento certo.

2.5. Eventos Complementares

São eventos que não tem elementos comuns e

a união é igual ao espaço amostral.

3. Cálculo da Probabilidade

Quando o espaço amostral é equiprovável,

isto é, o experimento tem n resultados possíveis todos

com chances iguais de ocorrer, se um evento A é

constituído de k elementos, então a probabilidade de

ocorrer A é k

P(A)n

Neste caso, e somente neste caso, indicando

por n(A) e n(S) os números de elementos de A e S,

respectivamente, podemos escrever:

n(A)P(A)

n(S) .

Exemplo:

E.1) Ao jogar um dado “honesto”, cada resultado

possível tem probabilidade 1

6. A probabilidade

de ocorrer um número par, ou seja, a

probabilidade de ocorrer o evento A {2, 4, 6} é:

3 1P(A) 0,5 50%

6 2

4. Probabilidade de ocorrer o evento A ou B

Dados dois eventos A e B, a probabilidade de

ocorrer A ou ocorrer B significa a probabilidade de

ocorrer o evento A B.

A probabilidade de ocorrer A ou B é igual à

soma da probabilidade de A com a de B, menos a

probabilidade da intersecção A B.

P(A B) P(A) P(B) P(A B)

Observação:

O.1) Se A e B são mutuamente exclusivos, ou seja

A B , a probabilidade de ocorrer A ou B é

igual à soma da probabilidade de A com a de B,


___________________________________________________________________________________________________________________________

13

pois P(A B) P( ) 0 .

P(A B) P(A) P(B)

Exemplo:

E.1) No sorteio de um número natural de 1 a 100, a

probabilidade de sair um número múltiplo de 10

é a probabilidade do evento A {10, 20, 30, 40,

50, 60, 70, 80, 90, 100}. Temos 10

P(A)100

A probabilidade de sair um múltiplo de 15 é a

probabilidade do evento

B {15, 30, 45, 60, 75, 90}. Temos 6

P(B)100

Como A B {30, 60, 90}, temos

3P(A B)

100

Então,

P(A B) P(A) P(B) P(A B)

10 6 3 13

100 100 100 100

Assim, a probabilidade de sair um múltiplo de 10

ou 15 é igual a 13

100

5. Probabilidade Condicional

A probabilidade de um evento B ocorrer dado

que o evento A já ocorreu é calculado por:

P B AP B/ A

P A

6. Probabilidade de Eventos Independentes

O valor da probabilidade dos eventos A e B que são

independentes é dado por

P B A P B P A

Propriedades

P.1) A probabilidade de ocorrer o evento impossível é

zero.

P( ) 0 .

P.2) A probabilidade de ocorrer o evento certo é um.

P(S) 1 .

P.3) Qualquer que seja o evento A, a probabilidade de

ocorrer A é um número real compreendido entre

zero e um, inclusive.

0 P(A) 1 .

P.4) A probabilidade de não ocorrer o evento A é

igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer A.

P(A) 1 P(A) , onde A é o evento

complementar de A.

Exemplo:

E.1) Se a probabilidade de um atirador acertar um alvo

é 0,7, então a probabilidade de não acertar este

mesmo alvo é 1 0,7 0,3 .

7. Lei binomial de probabilidade

Considere a seguinte situação:

i. uma experiência é repetida n vezes (n N e n

2);

ii. cada experiência pode ter apenas dois resultados:

“SIM” com probabilidade p (constante em todos os

experimentos) e “NÃO” com probabilidade

1 p;

iii. as experiências devem ser realizadas sucessiva-

mente e nas mesmas condições.

Assim, a probabilidade de se obter k

resultados “SIM” (k N e k n) em n tentativas é

dada por

n kkn

p 1 pk

, onde

n n

k k n k

!

! !.


___________________________________________________________________________________________________________________________

14

EXERCÍCIOS DE SALA

1. Um número é escolhido ao acaso entre os 20

inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade de o

número escolhido:

a) Ser par?

b) Ser ímpar?

c) Ser primo?

d) Ser quadrado perfeito?

2. (CESPE) Um baralho comum contém 52 cartas

de 4 tipos (naipes) diferentes: paus (♣), espadas

(♠), copas (♥) e ouros (♦). Em cada naipe, que

consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as

figuras do rei, da dama e do valete,

respectivamente. Com base nessas informações,

julgue os itens subseqüentes.

A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma

carta de um baralho e ela conter uma das figuras

citadas no texto é igual a 3

13.

Sabendo que há 4 ases em um baralho comum,

sendo um de cada naipe, conclui-se que a

probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser

um ás de ouros é igual a 1

52.

A probabilidade de se extrair uma carta e ela

conter uma figura ou ser uma carta de paus é

igual a 11

26.

3. Uma cidade tem 50.000 habitantes e 3 jornais A,

B, C. Sabe-se que:

17.000 lêem o jornal A;

13.000 lêem o jornal B;

9.000 lêem o jornal C;

5.000 lêem os jornais A e B;

4.000 lêem os jornais A e C;

3.000 lêem os jornais B e C;

1.000 lêem os três jornais.

Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a

probabilidade de que

a) ela leia pelo menos um jornal?

b) leia só um jornal?

c) não leia nenhum dos três jornais?

d) leia exatamente dois dos três jornais?

e) não leia o jornal A?


___________________________________________________________________________________________________________________________

15

4. (ESAF) Quando Lígia pára em um posto de

gasolina, a probabilidade de ela pedir para

verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade

de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é

0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar

ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a

probabilidade de Lígia parar em um posto de

gasolina e não pedir nem para verificar o nível de

óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é

igual a:

a) 0,25

b) 0,35

c) 0,45

d) 0,15

e) 0,65

5. (ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo

daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão

estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os

eventos independentes, a probabilidade de

somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:

a) 2

25

b) 8

25

c) 2

5

d) 3

25

e) 4

5

6. (ESAF) Em uma sala de aula estão 10 crianças

sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças

são sorteadas para participarem de um jogo. A

probabilidade de as três crianças sorteadas serem

do mesmo sexo é:

a) 15%

b) 20%

c) 25%

d) 30%

e) 35%

7. Extrai-se duas bolas, com reposição da primeira,

de uma caixa contendo 3 bolas brancas e 2 bolas

pretas.

a) Determine a probabilidade de que as bolas

extraídas sejam da mesma cor.

b) Determine a probabilidade de que, pelo menos uma das

bolas extraídas, seja branca

8. Jogando ao mesmo tempo dois dados honestos,

qual a probabilidade de o produto dos pontos ser

12?

a) 1

3

b) 1

6

c) 1

9

d) 1

12

e) 1

15


___________________________________________________________________________________________________________________________

16

9. Lúcia lança um dado sem que Lúcio veja. Lúcia

diz que o número mostrado pelo dado é par. A

probabilidade agora de Lúcio acertar é:

a) 1

2

b) 1

6

c) 4

6

d) 1

3

e) 3

36

10. Dois jogadores A e B vão lançar um par de

dados. Eles combinam que, se a soma dos

números dos dados for 5, A ganha e se essa soma

for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados.

Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade

de B ter ganho?

a) 10

36

b) 5

32

c) 5

36

d) 5

35

e) Não se pode calcular sem saber os números

sorteados.

11. (ESAF) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão

viajando pela Europa. Com as informações que

dispõe, ele estima corretamente que a

probabilidade de Ana está hoje em Paris é 3/7,

que a probabilidade de Beatriz está hoje em Paris

é 2/7 e que a probabilidade de ambas, Ana e

Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos,

então, recebe um telefonema de Ana, informando

que ela esta hoje em Paris. Com a informação

recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora

estima corretamente que a probabilidade de

Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:

a) 1/7

b) 1/3

c) 2/3

d) 5/7

e) 4/7

12.(ESAF) Uma grande empresa possui dois

departamentos: um de artigos femininos e outro de

artigos masculinos. Para o corrente ano fiscal, o

diretor da empresa estima que as probabilidades de

os departamentos de artigos femininos e

masculinos obterem uma margem de lucro de 10%

são iguais a 30 % e 20 %, respectivamente. Além

disso, ele estima em 5,1% a probabilidade de

ambos os departamentos obterem uma margem de

lucro de 10 %. No final do ano fiscal, o diretor

verificou que o departamento de artigos femininos

obteve uma margem de lucro de 10%. Desse

modo, a probabilidade de o departamento de

artigos masculinos ter atingido a margem de lucro

de 10% é igual a:

a) 17%

b) 20%

c) 25 %

d) 24 %

e) 30 %

13. Um colégio é composto de 70% de homens e 30%

de mulheres. Sabe-se que 40% dos homens e

60% das mulheres são fumantes. Qual é a

probabilidade de que um estudante que foi visto

fumando seja homem?


___________________________________________________________________________________________________________________________

17

14. (ESAF) Carlos diariamente almoça um prato de

sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de

forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá

trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João;

40% das vezes por José, e 20% das vezes por

Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes,

José o faz em 5% das vezes e Maria 20% das

vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos

pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está

salgada demais. A probabilidade de que essa sopa

tenha sido feita por José é igual a

a) 0,15

b) 0,25

c) 0,30

d) 0,20

e) 0,40

15. (FGV) Em uma eleição para a prefeitura de uma

cidade, 30% dos eleitores são favoráveis a um

certo candidato A. Se uma pesquisa eleitoral for

feita sorteando-se 5 pessoas (sorteio com

reposição) entre os eleitores, qual a probabilidade

de que, nessa amostra:

a) todos sejam favoráveis ao candidato A?

b) haja exatamente 3 eleitores favoráveis ao

candidato A?

16. (ESAF) Luís é prisioneiro do temível imperador

Ivan. Ivan coloca Luís à frente de três portas e lhe

diz: “Atrás de uma destas portas encontra-se uma

barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um

tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes

escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha,

abrirei uma das portas, entre as que não escolheste,

atrás da qual sei que se encontra um dos tigres,

para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se

quiseres, poderás mudar a tua escolha”. Luís,

então, escolhe uma porta e o imperador abre uma

das portas não escolhidas por Luís e lhe mostra um

tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitando-se do

que dissera o imperador, muda sua escolha e diz:

“Temível imperador, não quero mais a porta que

escolhi; quero, entre as duas portas que eu não

havia escolhido, aquela que não abriste”. A

probabilidade de que, agora, nessa nova escolha,

Luís tenha escolhido a porta que conduz à barra de

ouro é igual a:

a) 1/2

b) 1/3

c) 2/3

d) 2/5

e) 1


___________________________________________________________________________________________________________________________

18

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

PROBABILIDADE

1. Uma urna contém 8 bolas brancas, 7 vermelhas e

6 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso na urna.

Qual a probabilidade de a bola escolhida ser:

a) branca?

b) vermelha?

c) azul?

2. Uma caixa contém 10 bolas numeradas de 1 a 10.

Extrai-se ao acaso uma bola da caixa. Determine a

probabilidade de que o número da bola seja 2, 6 ou

9.

3 (CESGRANRIO) Em uma amostra de 500 peças,

existem exatamente quatro defeituosas.

Retirando-se, ao acaso, uma peça dessa amostra,

a probabilidade de ela ser perfeita é de:

a) 99,0%

b) 99,1%

c) 99,2%

d) 99,3%

e) 99,4%

4. Uma urna contém 12 bolas pretas, 4 bolas

brancas e 20 amarelas. Uma bola é escolhida ao

acaso. Qual a probabilidade de:

a) a bola não ser amarela?

b) a bola ser branca ou preta?

c) a bola não ser branca, nem amarela?

5. Um indivíduo possui 2 notas de R$ 50,00, 4 de

R$ 10,00 5 de R$ 5,00, 8 de R$ 1,00 e 3 de

R$ 0,50. Escolhendo duas notas simultaneamente

e ao acaso, qual é a probabilidade de que ambas

sejam de R$ 5,00?

6. Numa cidade, 30% dos homens são casados, 40%

são solteiros, 20% são desquitados e 10% são

viúvos. Um homem é escolhido ao acaso.

a) Qual a probabilidade de ele ser solteiro?

b) Qual a probabilidade de ele não ser casado?

c) Qual a probabilidade de ele não ser solteiro

7. Suponha que uma caixa contenha 6 bolas

vermelhas e 4 bolas pretas. Extrai-se ao acaso uma

bola da caixa e a seguir extrai-se, também ao acaso,

uma segunda bola dentre as que ficaram na caixa.

Determine a probabilidade de que

a) ambas as bolas sejam vermelhas;

b) a primeira bola seja vermelha e a segunda preta;

c) a primeira bola seja preta e a segunda vermelha;

d) ambas as bolas sejam pretas.

8. Suponha que A e B sejam eventos tais que

P A 2/5 , P B 2/5 e P A B 1/ 2 .

Determine P A B .

9. Se P A 1/3 , P A B 1/ 2 , e

P A B 1/ 4 , determine P B .

10. Em um grupo de 1.500 estudantes, 240 estudam

Engenharia, 450 estudam Economia e 30

estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é

escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:

a) Ele estude Economia e Engenharia?

b) Ele estude somente Engenharia?

c) Ele estude somente Economia?

d) Ele não estude Engenharia nem Economia?

e) Ele estude Engenharia ou Economia?

11. Uma cidade tem 5.000 habitantes e 3 jornais, A,

B, C. Sabe-se que:

1.500 lêem o jornal A;

1.000 lêem o jornal B;

800 lêem o jornal C;

600 lêem os jornais A e B;

400 lêem os jornais A e C;

300 lêem os jornais B e C;

100 lêem os três jornais.

Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a

probabilidade de que:

a) ela leia pelo menos um jornal?

b) leia só um jornal?

12. De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator Rh

positivo, 100 têm sangue tipo O e 80 têm fator

Rh positivo e sangue tipo O. Se uma dessas

pessoas for selecionada ao acaso, qual a

probabilidade de:

a) seu sangue ter fator Rh positivo?

b) seu sangue não ser tipo O?

c) seu sangue ter fator Rh positivo ou ser tipo O?

13. (U.C.SALVADOR) Das 180 pessoas que

trabalham em uma empresa, sabe-se que 40%

têm nível universitário e 60% são do sexo

masculino. Se 25% do número de mulheres têm

nível universitário, a probabilidade de selecionar-

se um funcionário dessa empresa que seja do


___________________________________________________________________________________________________________________________

19

sexo masculino e não tenha nível universitário é:

a) 5

12

b) 3

10

c) 2

9

d) 1

5

e) 5

36

14. Um colégio tem 10.000 alunos. Destes:

2.000 estudam Matemática;

1.800 estudam Física ;

2.000 estudam Química;

200 estudam Matemática, Física e Química;

500 estudam Física e Química;

700 estudam somente Química;

500 estudam Matemática e Física.

Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual

a probabilidade de:

a) ele estudar só Matemática?

b) ele estudar só Física?

c) ele estudar Matemática e Química

15. (VUNESP) No lançamento simultâneo de dois

dados perfeitos, a probabilidade de sair como

soma dos pontos um número primo é um número:

a) que está entre 1

3 e

1

2;

b) que está entre 1

6 e

1

4;

c) que está entre 1

9 e

1

6;

d) maior que 1

2;

e) menor que 1

6.

16. (CESPE) Um levantamento estatístico efetuado

em uma videolocadora permitiu estabelecer a

seguinte distribuição dos filmes alugados,

disponíveis apenas nos formatos VHS e DVD.

60% dos filmes são produzidos nos Estados

Unidos da América (EUA), sendo 1

4 desses está

em formato DVD:

25% são filmes nacionais, sendo que 1

5 desses

está em formato DVD;

os demais são filmes de origem européia, sendo que 2

3

deles estão no formato VHS.

Caso se escolha um filme ao acaso, entre os

mencionados no texto acima,

a probabilidade de esse filme ser um DVD de origem

européia será igual a 0,1.

a probabilidade de esse filme não ser originário

dos EUA será igual a 0,6.

a probabilidade de esse filme ter sido produzido

nos EUA ou estar em formato VHS será igual a

0,75.

se esse filme for de origem européia, a

probabilidade de ele estar em formato DVD será

inferior a 0,3.

17. (ESAF) Genésio vai à Genebra para participar de

uma conferência. Ele ou vai de avião, ou vai de

navio, e a probabilidade de ele ir de navio é 60%.

Se ele for de avião, a probabilidade de chegar

atrasado é de 20%. Se ele for de navio, a

probabilidade de ele chegar atrasado é de 80%.

Sabendo que Genésio chegou atrasado, qual a

probabilidade de ele ter ido de avião?

18. Suponha que uma fábrica tem duas máquinas A e

B, responsáveis, respectivamente, por 60% e

40% da produção total. A máquina A produz 3%

de itens defeituosos, enquanto que a máquina B

produz 5% de itens defeituosos. Determine a

probabilidade de que um dado item defeituoso foi

produzido pela máquina B.

19. (CESPE) A tabela abaixo mostra os diferentes tipos

sanguíneos, com os correspondentes antígenos, e sua

distribuição em uma população de 10.000 indivíduos.

Antígenos presentes Tipo

sanguíneo

Número de

indivíduos A B Rh

Não Não Não O- 660

Não Não Sim O+ 3.740

Sim Não Não A- 630

Sim Não Sim A+ 3.570

Não Sim Não B- 150

Não Sim Sim B+ 850

Sim Sim Não AB- 60

Sim Sim Sim AB+ 340

No processo de doação de sangue, é preciso que

seja observada a seguinte restrição: se um dos

antígenos não está presente no sangue de um

indivíduo, esse não pode receber sangue que

contenha aquele antígeno. Com base nessas


___________________________________________________________________________________________________________________________

20

informações, julgue os seguintes itens, relativos à

população estudada.

Se um indivíduo for escolhido aleatoriamente na

população, a chance de ele possuir pelo menos

um dos três antígenos será inferior a 90%.

Se um indivíduo for escolhido aleatoriamente na

população, a chance de ele possuir pelo menos

dois dos antígenos será superior a 50%.

Se um indivíduo tiver sanguíneo O+, a chance de

alguém, escolhido aleatoriamente, poder doar

sangue para esse indivíduo será superior a 50%.

Se um indivíduo tiver tipo sanguíneo O+, a chance

de alguém, escolhido aleatoriamente, poder

receber sangue desse indivíduo será superior a

80%.

GABARITO

1. a) 8

21,

b) 1

3,

c) 2

7

2. 3

10

3. c

4. a) 4

9,

b) 4

9,

c) 1

3

5. 10

231

6. a) 0,4,

b) 0,7,

c) 0,6

7. a) 1

3

b) 4

15

c) 4

15

d) 2

15

8. 3

10

9. 5

12

10. a) 1

50

b) 7

50

c) 7

25

d) 14

25

e) 11

36

11. a) 21

50

b) 1

5


___________________________________________________________________________________________________________________________

21

12. a) 4

5

b) 1

2

c) 9

10

13. b

14. a) 7

100

b) 1

10

c) 1

10

15. a

16. EEEE

17. 1

7

18. 10

19

19. EEEC

GABARITO COMENTADO

Importante lembrar que para cálculos de

probabilidades devemos considerar a existência de

dois conjuntos:

Conjunto S : representa o espaço amostral, onde

teremos todos os casos possíveis de ocorrerem no

experimento.

Conjunto A : representa a parte que nos é favorável

do conjunto S , como ilustrado na figura abaixo.

Assim, para o cálculo da probalidade, de ocorrer o

evento A teremos:

( )

( )( )

n A númerodecasos favoráveisP A

n S númerodecasos possíveis

AA

S

S


___________________________________________________________________________________________________________________________

22

01) total de bolas: 3 2 5 10n S

a) evento A : escolher bola branca.

( ) 3( )

( ) 10

n AP A

n S

b) evento B : escolher bola vermelha.

( ) 2 1( )

( ) 10 5

n BP B

n S

c) evento C : escolher bola azul.

( ) 5 1( )

( ) 10 2

n CP C

n S

02) 3,4,5A

( ) 3( )

( ) 10

n AP A

n S

03) evento A : retirar peça perfeita (ou seja, retirar

peça não defeituosa).

( ) 500 4 496

( ) 496( ) 100% 99,2%

( ) 500

n A

n AP A

n S

04) total de bolas: 6 2 10 18n S

a) evento A : escolher bola não amarela (ou seja,

escolher bola preta ou branca).

( ) 6 2 8 4( )

( ) 18 18 9

n AP A

n S

b) evento B : escolher bola branca ou preta.

( ) 2 6 8 4

( )( ) 18 18 9

n BP B

n S

c) evento C : não escolher bola branca e nem bola

amarela (ou seja, escolher bola preta).

( ) 6 1( )

( ) 18 3

n CP C

n S

05) Como as notas devem ser retiradas

„simultâneamente‟ isto nos indica que não haverá

reposição da primeira. Assim:

Total de notas: 2 4 5 8 3 22n S

evento A: a primeira nota retirada ser de $ 5,00

evento B: a segunda nota retirada ser de $ 5,00

( ) 5 ( ) 4( ) ( )

( ) 22 ( ) 21

( ) ( )

5 4 10

22 21 231

n A n BP A P B

n S n S

P Ae B P A P B

06) Imaginando uma população de 100 homens,

temos::

hom :30

hom : 40

hom :20

hom :10

número de ens casados

número de ens solteiros

número de ens desquitados

número de ens viúvos

a) evento A : escolher um homem solteiro.

( ) 40( ) 0,4

( ) 100

n AP A

n S

b) evento B : escolher homem não casado (ou seja,

o homem escolhido deve ser solteiro,

desquitado ou viúvo).

( ) 40 20 10 100 30( )

( ) 100 100

700,7

100

n BP B

n S

c) evento C : escolher homem não solteiro (ou seja,

o homem escolhido deve ser casado,

desquitado ou viúvo).


___________________________________________________________________________________________________________________________

23

( ) 30 20 10 100 40( )

( ) 100 100

600,6

100

n CP C

n S

07) Importante: duas bolas serão retiradas sem haver

reposição da primeira.

Total de bolas: 6 vermelhas ( )V 4 pretas ( )P

a) evento A : retirar duas bolas vermelhas.

A VV

6 5 1( )

10 9 3P A

b) evento B : retirar a primeira bola vermelha e a

segunda bola preta (importante notar

que apenas esta ordem interessa).

B VP

6 4 4( )

10 9 15P B

c) evento C : retirar a primeira bola preta e a

segunda bola vermelha (importante

notar que apenas esta ordem

interessa).

C PV

4 6 4( )

10 9 15P C

d) evento D : retirar duas bolas pretas.

D PP

4 3 2( )

10 9 15P D

08)

1 2 2

2 5 5

2 2 1 4 4 5 3

5 5 2 10 10

P A B P A P B P A B

P A B

P A B

09)

1 1 1( )

2 3 4

1 1 1 6 4 3 5

2 3 2 12 12

P A B P A P B P A B

P B

P B

10)

a) evento A : estude economia e engenharia.

( ) 10 1( )

( ) 500 50

n AP A

n S

b) evento B : estude somente engenharia.

( ) 70 7( )

( ) 500 50

n BP B

n S

c) evento C : estude somente engenharia.

( ) 140 7( )

( ) 500 25

n CP C

n S

d) evento D : não estude engenharia e nem

economia.

( ) 280 14( )

( ) 500 25

n DP D

n S

70 10 14

0

280

eng. eco

n.


___________________________________________________________________________________________________________________________

24

e) evento E : estude engenharia ou economia (ou

seja, a união dos dois conjuntos) .

( ) 220 11( )

( ) 500 25

n EP E

n S

11)

a) evento A : leia pelo menos um jornal (ou seja,

todos aqueles que lêem).

( ) 21.000 21( )

( ) 50.000 50

n AP A

n S

b) evento B : leia só um jornal (ou seja,ler apenas A

ou apenas B ou apenas C).

( ) 6.000 2.000 2.000 1( )

( ) 50.000 5

n BP B

n S

12)

a) evento A : ter sangue fator RH positivo.

( ) 160 4( )

( ) 200 5

n AP A

n S

b) evento B : não ter sangue tipo O.

( ) 80 20 100 1( )

( ) 200 200 2

n BP B

n S

c) evento C : ter sangue com fator RH positivo ou

ser tipo O.

( ) 160 20 180 9( )

( ) 200 200 10

n CP C

n S

13)

evento A : sexo masculino e não tenha nível

universitário.

( ) 54 3( )

( ) 180 10

n AP A

n S

RH + RH -

TIPO TIPO

= O O = O O

80 80 20 20

160 40

HOMENS MULHERES

NÍVEL

UNIVERSITÁRIO

NÍVEL

UNIVERSITÁRIO

COM SEM COM SEM

54 54 18 54

108 72

B U

6

2

2

2

3 2

5

1 2

A

C 29


___________________________________________________________________________________________________________________________

25

14)

a) evento A : estude somente matemática.

( ) 70 7( )

( ) 1000 100

n AP A

n S

b) evento B : estude somente física.

( ) 100 1( )

( ) 1000 10

n BP B

n S

c) evento C : estude matemática e química.

( ) 80 20 1( )

( ) 1000 10

n CP C

n S

15) evento A : obter soma igual a um número primo.

(1,1) (1,2) (1,4) (1,6) (2,1)

(2,3) (2,5) (3,2) (3,4) (4,1)

(4,3) (5,2) (5,6) (6,1) (6,5)

( ) 15 5( )

( ) 36 12

A

n AP A

n S

opção a)

1 5 1 4 5 6

3 12 2 12 12 12

16) Supondo o número de fitas igual a 100, podemos

planilhar os dados da forma abaixo:

EUA BRA EUR TOTAL

VHS 45 20 10 75

DVD 15 5 5 25

TOTAL 60 25 15 100

5

0,05100

40

0,4100

45 15 20 10

0,9100

5

0,333... 0,315

17)

60% 80% 60% 48%

40% 20% 40% 8%

48% 8% 56%

atrasar

atrasar

atrasar

Navio de

Avião de

Total

evento A : ter ido de avião sabendo que atrasou

( ) 8 1( )

( ) 56 7

n AP A

n S

18) Supondo uma produção de 100 unidades;

60

40

máquina Aprodução

máquina B

3% 60 1,8

5% 40 2

1,8 2 3,8

ítens defeituosos

máquina A de

máquina B de

total deítens defeituosos

evento A : item ter sido produzido pela máquina

A sabendo que é defeituoso.

( ) 2 20 10( )

( ) 3,8 38 19

n AP A

n S

30

U

70

100

70

30 2

20

80

M F

600 Q


___________________________________________________________________________________________________________________________

26

19) em cada item serão indicados os tipos sangüíneos

que verificam a situação especificada.

evento A : escolher indivíduo com pelo menos 1

dos 3 antígenos (ou seja, somente não

interessa o tipo sangüíneo O ).

( ) 10.000 660 9.340

( ) 9340( ) 100% 93,4%

( ) 10000

n A

n AP A

n S

evento B : escolher indivíduo com pelo menos 2

antígenos.

, , ,

( ) 3.570 850 60 340 4.820

( ) 4820( ) 100% 48,2%

( ) 10000

B A B AB AB

n B

n BP B E

n S

Como o sangue tipo O apresenta apenas o

antígeno RH (ou seja, não apresenta os antígenos A e

B), um indivíduo deste grupo sangüíneo não poderá

receber sangue que contenha os antígenos A e B.

evento C : escolher indivíduo dos grupos

sangüíneos O eO .

,

( ) 660 3.740 4.400

( ) 4400( ) 100% 44%

( ) 10000

C O O

n C

n CP C

n S

O sangue tipo O apresenta apenas o antígeno

RH (ou seja, não apresenta os antígenos A e B),

Assim, um indivíduo deste grupo não poderá doar

sangue para indivíduos que contenham em seus

sangues o antígeno RH..

evento D : escolher indivíduo dos grupos

sangüíneos , ,O A B e AB .

, ,

( ) 3.740 3.570 850 340 8.500

( ) 8500( ) 100% 85%

( ) 10000

D O A B e AB

n D

n DP D

n S

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RACIOCÍNIO LÓGICO - igepp.com.br · PDF file(CESPE) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à