Račun uloga I tablice

J

J.U. Mjeovita srednja

Ekonomsko-hemijska

kola Lukavac

Finansijska matematika:

Tema: Raun uloga/I tablice

Mentor: Uenik:

________________ ________________

Osmanovi Alma Ali Sabina

Sadraj

Uvod......................................................................................................................3

1. Krajnja vrijednost kapitala ili jednog uloga......................................................5

2. Izraunavanje sadanje vrijednosti uloga........................................................16

3. Izraunavanje sloenih kamata........................................................................25

4. Izraunavanje vremena i kamatne stope..........................................................28

4.1. Izraunavanje vremena ukamaenja..........................................................28

4.2. Izraunavanje kamatne stope.....................................................................31

5. Relativna i konformna stopa............................................................................33

Zakljuak.............................................................................................................35

Literatura.............................................................................................................36

Uvod

Iz predmeta finansijska matematika obradila sam oblast Raun uloga/I tablice odnosno Dekurzivni obraun kamata.

Teze koje sam obradila u ovoj temi su:

-Krajnja vrijednost kapitala ili jednog uloga

-Izraunavanje sadanje vrijednosti uloga

-Izraunavanje sloenih kamata

-Izraunavanje vremena i kamatne stope

-Relativna i konformna stopa

U tezi Krajnja vrijednost kapitala ili jednog uloga je prikazano izraunavanje konane vrijednosti uloga (Kn). Izraunavanje je vreno pomou algebarske formule i pomou I tablice sloenih kamata odnosno picerove tablice kamate na kamatu.

U tezi Izraunavanje sadanje vrijednosti uloga je prikazana obrada sadanje ili poetne vrijednosti uloga (K). Izraunavanje poetne vrij. uloga izvreno je pomou algebarske formule, pomou I tablice i pomou II tablice sloenih kamata.

U treoj tezi, Izraunavanje sloenih kamata, izraunavane su sloene kamate odnosno interes na interes. Za izraunavanje sloene kamate mogua su dva rjeenja: posredno i neposredno.

U tezi Izraunavanje vremena i kamatne stope je prikazana obrada broja perioda (n) i kamatne stope (p). Broj perioda (n) i kamatna stopa (p) su izraunavani pomou algebarske formule, I tablice i II tablice sloenih kamata. Takoer je primjenjivana i linearna interpolacija, kada se treio taan broj perioda ili tana kamatna stopa.

U tezi Relativna i konformna stopa obraunati su periodi (za koje se obino raunaju sloene kamate) za cijele godine, semestre (polugodita), kvartale i mjesece. Za izraunavanje konformne stope postoje dva metoda: pomou formule i pomou I tablice sloenih kamata.

1. Krajnja vrijednost kapitala ili jednog uloga

Krajnja vrijednost kapitala predstavlja vrijednost jednog uloga zajedno sa sloenim kamatama, poslije 1. , 2. , 3. i n termina.

Kod krajnje vrijednosti jednog uloga mogu se pojaviti slijedei elementi:

K poetna ili sadanja vrijednost uloga

n broj perioda ukamaenja

p kamatna stopa

Kn konana vrijednost uloga ili vrijednost uloga zajedno sa sloenim kamatama

I sloene kamate

Kako se rauna vrijednost uloga, pokazat emo na slijedeim primjerima:

Primjer 1.

Neko je uloio 30 000 KM u banku koja plaa 6% kamata godinje dekurzivno i vri godinje kapitalisanje. Na koji iznos e narasti ulog nakon 9 godina?

U naem primjeru je poznato:

K = 30 000

p = 6%

n = 9 godina____________

Kn = ?

Ako poemo od pretpostavke da smo u banku uloili 1 KM, konana vrijednost e biti:

Na poetku prve godine 1 KM

Na kraju prve godine

36000

120

4

84

,

1163705

36000

=

=

K

d

p

G

K

= = r

Na kraju druge godine

r

r

p

r

rp

r

=

+

=

+

100

1

100

=

2

r

Na kraju tree godine

r

r

p

r

p

r

r

=

+

=

+

2

2

2

2

100

1

100

=

3

r

Na kraju etvrte godine

r

r

p

r

p

r

r

=

+

=

+

3

3

2

3

100

1

100

=

4

r

.............

.............

.............

Na kraju n-te godine ..... =

n

r

Prema tome konana vrijednost uloga od jedne KM iznosi

n

r

, to piemo:

Kn =

n

r

Ako u banku uloimo K KM, onda e konana vrijednost biti:

Kn = K

n

r

Tako smo dobili algebarsku formulu za izraunavanje krajnje vrijednosti uloga ili kapitala. Poto imamo formulu, preimo na rjeavanje zadataka.

Primjer 1.

Kn = K

2

r

Kn = 3000

6

10

,

1

Ako logoritmujemo i lijevu i desnu stranu gornje formule dobit emo:

log Kn = log 3000 + 6 log 1,10

log Kn = 3,47712 + 6

04139

,

0

log Kn = 3,47712 + 0,24834

log Kn = 3,72546

Kn =N

72546

,

3

Zadatak smo rijeili pomou logaritama, ali se zadatak moe lake i bre rijeiti pomou prve

(

)

n

p

I

picerove tablice kamate na kamatu, jer se kamatni dekurzivni faktori r nalaze izraunati u

n

p

I

, te moemo napisati da je:

n

r

=

n

p

I

Dekurzivni kamatni faktori r su izraunati na slijedei nain:

Izvoenje tablice

n

p

I

n 6%

1. 1,10= r =

100

1

p

+

2. 1,21=

2

r

=

r

r

=

10

,

1

10

,

1

3. 1,4641=

3

r

=

r

r

2

=

10

,

1

4641

,

1

4. 2,14358=

4

r

=

r

r

3

=

10

,

1

14358

,

2

Itd.

5.............. .....................

6.............. .....................

7.............. .....................

8.............. .....................

9.............. .....................

10. 1,55933 =

r

r

r

=

9

10

.. ............. .....................

.. ............. .....................

50. ............. .....................

Gornje faktore nije potrebno da raunamo; oni se ve nalaze izraunati i sloeni u I tablici sloenih kamata. Ovi faktori koji se nalaze izraunati daju nam krajnju vrijednost jedne KM zajedno sa sloenim kamatama, poslije 1. , 2. , 3. i n termina.

Ako sada u algebarskoj formuli:

Kn = K

n

r

Zamjenimo

n

r

sa

n

p

I

onda emo imati konanu vrijednost uloga:

Kn = K

n

p

I

Ako u ovu formulu uvrstimo poznate elemente iz 1. primjera, onda emo dobiti:

6

6

3000

I

Kn

=

41819

,

1

3000

=

Kn

Kn = 4255,557 KM

Faktor 1,418519 smo uzeli gotov iz prve tablice u 6-tom redu pod 6%. Kako vidimo, pompu tablica sloenih kamata mnogo je lake rjeavati zadatke nego pomou logaritama. Dalje primjere za konanu vrijednost emo iskljuivo raditi pomou tablica sloenih kamata:

Primjer 2.

Na koliko e narasti kapital od 90 000 KM uz 3% kamata godinje dekurzivno, za 10 godina, ako je kapitalisanje godinje?

Poznati elementi:

p = 3%

n = 10 godina

K = 90 000 KM____

Kn = ?

Uvrstimo date elemente u ve poznatu formulu:

Kn = K

n

p

I

343916

,

1

900000

90000

10

3

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 120 952,44 KM

Ako u tablicama za kamatu na kamatu ne postoji zadani broj perioda, onda se opet moemo posluiti I tablicama, imajui na umu pravilo: da se stepeni istih baza mnoe tako da se baza prepie, a eksponenti saberu. Tako, ako je broj perioda 80 (n = 80), a tablice imaju vrijednost 50 perioda, onda e za 4% biti:

30

4

50

4

80

4

30

50

80

I

I

I

r

r

r

=

=

Primjer 3.

Na koju e sumu narasti 40 000 KM uz 4% godinje dekurzivno, za 34 godine, ako se kapitalisanje vri polugodinje?

n = 68

(

)

2

34

polugodita

p = 2%

(

)

2

4

polugodinja stopa

K = 40 000 KM__________________

Kn = ?

Kn = K

n

p

I

68

2

40000

I

Kn

=

U naem sluaju imamo 68 polugodita. Meutim, u naim tablicama imamo vrijednosti za kamatne dekurzivne faktore (r) do 50 perioda; zato emo traenu koliinu

68

2

I

predstaviti kao proizvod dva faktora:

18

2

50

2

68

2

I

I

I

=

U naem primjeru imamo:

844249

,

3

40000

428246

,

1

691588

,

2

40000

40000

18

2

50

2

=

=

=

Kn

Kn

I

I

Kn

Kn = 153 769,96 KM

Primjer 4.

Koliko e banka isplatiti naulog od 10 000 KM poslije 10 godina ako je stopa 4% godinje dekurzivno, i ako se kapitalisanje vri:

a) godinje

b) semestralno

c) kvartalno?

Izrada pod a)

K = 10 000 KM

n = 10 godina

p = 4%_________

Kn = ?

Ako u poznatu formulu Kn = K

n

p

I

uvrstimo poznate elemente dobit emo:

480244

,

1

10000

10000

10

4

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 14 802,44 KM_

Izrada pod b)

n = 20

(

)

2

10

semestra

p = 2%

(

)

2

4

semestralno

K = 10 000 KM___

Kn = ?

Kn = K

n

p

I

485947

,

1

10000

10000

20

2

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 14 859,47 KM_

Izrada pod c)

n = 40

(

)

4

10

kvartala

p = 1%

(

)

4

4

kvartalna

K = 10 000 KM___

Kn = ?

Kn = K

n

p

I

488863

,

1

10000

10000

40

1

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 14 888,63 KM_

Kako vidimo, to je ee kapitalisanje, to je sve vea krajnja vrijednost uloga, to znai da je za dunika nejbolje da se obraun kamata vri godinje, ili da se nae odgovarajua ekvivalentna stopa, o kojoj emo govoriti kasnije.

Znai, krajnju vrijednost ma kog uloga K poslije n termina u p% (d) dobijamo kada poetnu vrijednost datog uloga pomnoimo odovarajuom vrijednou iz prve tablice za poznati broj perioda.

Meutim, u praksi se esto deava da broj termina ukamaenja nije cijeli broj, ve je broj termina dat u mjeovitom broju, odnosno imamo izvjestan broj cijelih termina i dijelove termina (mjesec ili dane, npr. n = 3 godine, 4 mjeseca i 30 dana; ili n = 8 i 3/4 godine = 8 godina i 9 mjeseci = 8 godina i 9/12 godine = 8 godina i 270 dana).

Za izraunavanje konane vrijednosti uloga u takvim sluajevima moemo postupiti na slijedei nain:

-za pune termine se izraunava konana vrijednost a za dio naredne godine rauna se prosta kamata od sume na koju je narastao ulog za pune termine. Dakle, kombinovano se raunaju sloene i proste kamate.

Pored ovog kombinovanog naina izraunavanja krajnje vrijednosti, moemo pomou tablica sloenih kamata izraunati potreban faktor sa kojim treba pomnoiti poetni ulog, a moemo raditi i pomou logaritama.

Primjer 5.

Uloeno je na knjiicu 01.01.1975. godine 25 000 KM uz 5% godinje dekurzivno. Na koliko KM e narasti ulog i kamate 30.05.1980. godine ako se kamate obraunavaju godinje?

Poznati elementi:

K = 25 000 KM

p = 5%

n = 5 godina i 150 dana (ili 5 mjeseci ili 5/12 godine)

Kn = ?

Vrijeme ukamaenja: od 01.01.1975. 31.12.1979. ima 5 godina

od 01.01.1980. 30.05.1980. ima 150 dana

Najprije emo traiti konanu vrijednost uloga za cijeli broj godina 5:

Kn = K

n

p

I

276281

,

1

25000

25000

5

5

=

=

Kn

I

Kn

Kn =31 907,025 KM

Od ove sume 31 907,025 KM treba dalje raunati proste kamate za 150 dana ili 5 mjeseci:

7200

5

36000

=

=

D

KM

D

d

G

K

=

=

73

,

664

7200

150

025

,

31907

=

KM

Ili, ako dane izrazimo u mjesecima (5 mjeseci), bie:

73

,

664

1200

5

5

025

,

31907

1200

=

=

=

m

p

G

K

KM

Ili, ako dane izrazimo u godinama (150/360 = 5/12 godine), bie:

73

,

664

100

12

5

5

025

,

31907

100

=

=

=

g

p

G

K

KM

Poslije ovoga, konano moemo napisati emu obrauna:

Obraun

Ulog 01.01.1975. godine KM 25 000,00

Ulog 31.12.1979. godine KM 31 907,025

+ 151/5% prostih kamata ___KM 664,73_

Konana vrij. uloga 31.05.1980. godine ___KM 32 571,755

Ovakav nain izraunavanja novanog uloga, kada je vrijeme dato mjeovito, usvojila je praksa iako nije taan, samo to je raunanje bre i lake. Matematski taan rezultat dobio bi se logoritmovanjem. Za gornji primjer dobili bismo:

Kn = K

n

r

Kn = N

512565

,

4

100

1

p

+

_Kn = 32 551,05 KM_

Primjer 6.

Neko je uloio 20.10.1970. godine 80 000 KM. Koliko e kamata imati 20.05.1977. godine ako banka rauna 6% kamata godinje dekurzivno a vri kvartalno kapitalisanje?

U ovom primjeru 80 000 KM ostaje u banci, pored odreeneg broja cijelih perioda kapitalisanj, jo i izvjestan broj dana. Prvo redovno kapitalisanje bie 31.10.1970. godine.

Poznati elementi:

G = 80 000 KM

p = 1,5% kvartalno

n = 11 dana, 26 kvartala i 20 dana_

Kn = ?

Dani za prvo ukamaenje od 20.10.1970. 30.10.1970. godine ima 11 dana, a proste kamate za 11 iznose:

36000

120

4

84

,

1163705

36000

=

=

K

d

p

G

K

K = 146,66 KM

Prema tome, 31.10.1970. godine vrijednost uloga iznosila je:

80 000,00 + 146,66 = 80 146,66 KM

Cijeli period kapitalisanja:

Od 31.10.1970. do 30.04.1977. godine ima 26 kvartala. Sada emo traiti konanu vrijednost uloga na dan 30.04.1977. godine, te imamo:

Kn = K

n

p

I

472709

,

1

66

,

80146

66

,

80146

26

5

,

1

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 118 032,70 KM - stanje uloga 30.04.1977. god.

Na ovaj iznos od 118 032,70 treba raunati proste kamate od 30.04.1977. do 20.05.1977. godine tj. za 20 dana.

Dakle, imamo:

44

,

393

36000

20

6

70

,

118032

=

=

K

KM

Konano stanje uloga je: 118 032,70 + 393,44 = 118 426,14 KM. Cijeli proces raunanja ematski moemo pisati ovako:

Vrijednost uloga 20.10.1970. godine 80 000,00 KM

+ 11/6% kamata ______146,66 KM

Stanje uloga 30.10.1970. godine ___80 146,66 KM

Konana vrijednost 30.04.1977. godine 118 032,70 KM

+20/6% kamata ______393,44 KM

Traena vrijednost uloga 20.05.1977. godine __118 426,14 KM

Primjer 7.

Na osnovu ugovora radnoj organizaciji je odobren 15.10.1975. godine investicioni kredit od 950 000 KM s tim da se odmah stavi na raspolaganje cijeli iznos kredita. Prema investicionom projektu kredit e biti u koritenju od 30.04.1981. godine. Kamata se rauna 45 godinje dekurzivno pri semestralnom kapitalisanju. Izraunati koliko treba isplatiti na ime odobrenog kredita i kamate 30.04.1981. godine?

U ovom primjeru prvi redovni obraun kredita bie 31.12.1975. godine za 44 dana. Proste kamate za 44 dana iznose:

9000

4

36000

36000

=

=

=

p

D

44

,

4644

9000

44

950000

=

=

=

K

D

d

G

K

KM

Prema tome 31.12.1975. godine vrijednost investicionog kredita iznosila je:

950 000 + 4 644,44 = 954 644,44 KM

Sada emo izraunati vrijednost investicionog kredita na dan 31.12.1980. godine, te imamo:

Kn = K

n

p

I

218994

,

1

44

,

954644

44

,

954644

10

2

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 1 163 795,84 KM

Na 1 163 705,84 KM treba izraunati kamate od 01.01.1981. do 30.04.1981. godine, tj. za 120 dana. Prema tome, imamo:

36000

11

6

80000

36000

=

=

K

d

p

G

K

K = 15 516,08 KM

Konane obaveze po investicionom kreditu iznose 1 163 705,84 + 15 516,80 = 1 179 221,92 KM. Cijeli obraun ematski moemo pisati ovako:

Obraun, 30.04.1981. godine

Investicioni kredid,

a

V

15.10.1975. 950 000,00 KM

+ 44/4% prostih kamata __ 4 644,44 KM

Investicioni kredit,

a

V

31.12.1975. 954 644,44 KM


a

V

31.12.1980. 1 163 705,84 KM

+ 120/4% prostih kamata 15 516,08 KM


a

V

30.04.1981. 1 179 221,92 KM

Primjer 8.

Nacionalni dohodak po glavi stanovnika iznosi $ 1 600,00. Drutvenim planom razvoja predvieno je da se dohodak po glavi stanovnika povea za 11%. Koliki se nacionalni dohodak moe oekivati na kraju 8. godine?

Poznati elemensti:

K = $ 1 600

n = 8 god.

p = 11%_____

Kn = ?

Ako u formulu za krajnju vrijednost jednog uloga uvrstimo poznate elemente dobijamo:

Kn = K

n

p

I

304537

,

2

1600

1600

8

11

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 3 687,26 $

Primjer 9.

Na koliko e narasti 60 000 KM za 15 godina uz 3% godinje dekurzivno, ako se kapitalisanje vri:

a) godinje

b) semestralno

c) kvartalno?

a) K = 60 000

n = 15 god.

p = 3%____

Kn = ?

Kn = K

n

p

I

557967

,

1

60000

60000

15

3

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 93 478,02 KM

b) K = 60 000

n = 30 semestara

p = 1,5%______

Kn = ?

Kn = K

n

p

I

563020

,

1

60000

60000

130

5

,

1

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 93 784,80 KM

c) K = 60 000

n = 60 kvartala

p = 0,75%______

Kn = ?

Kn = K

n

p

I

077582

,

1

452956

,

1

60000

60000

60000

10

75

,

0

50

75

,

0

60

,

75

,

0

=

=

=

Kn

I

I

Kn

I

Kn

Kn = 93 940,75 KM

Primjer 10.

Uloili smo na knjiicu 50 000 KM u banku koja plaa 5% kamata godinje dekurzivno i vri godinje kapitalisanje. Koliko e banka isplatiti na ime uloga i kamata poslije 4 godine?

K = 50 000 KM

n = 4 god.

p = 5%____

Kn = ?

Kn = K

n

p

I

215506

,

1

50000

50000

4

5

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 60 775,30 KM

Primjer 11.

Na koji e iznos narasti 130 000 KM za 25 godina i 9 mjeseci uz 9% godinje, dekurzivno, ako je kapitalisanje:

a) godinje

b) semestralno

c) kvartalno?

a) K = 130 000 KM

n = 25 god. i 9 mj.

p = 9%_____

Kn = ?

Kn = K

n

p

I

623080

,

8

130000

130000

25

9

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 1 121 000,40 KM

Proste kamate:

53

,

75667

1200

9

9

40

,

1121000

1200

=

=

=

m

p

G

K

KM

Obraun:

Poetni ulog 1 121 000,40 KM

+ proste kamate 9/9% 75 667,53 KM

Konana vrijednost uloga 1 196 667,93 KM

b) K = 130 000 KM

n = 51 sem. i 6 mj.

p = 4,5%_____

Kn = ?

Kn = K

n

p

I

045

,

1

032636

,

9

60000

130000

130000

1

5

,

4

50

5

,

4

51

5

,

4

=

=

=

Kn

I

I

Kn

I

Kn

Kn = 1 227 083,60 KM

76

,

55218

1200

6

9

60

,

1227083

1200

=

=

=

m

p

G

K

KM

Obraun:

Poetni ulog 1 227 083,60 KM

+ proste kamate 6/9% 55 218,76 KM

Konana vrijednost uloga 1 282 302,36 KM

c) K = 130 000 KM

n = 103 kvar.

p = 2,25%_____

Kn = ?

Kn = K

n

p

I

069030

,

1

042046

,

3

042046

,

3

130000

130000

130000

3

25

,

2

50

25

,

2

50

25

,

2

103

25

,

2

=

=

=

Kn

I

I

I

Kn

I

Kn

Kn = 1 286 070,57 KM

Primjer 12.

Prema sporazumu izmeu dunika i povjerioca, dunik sadanje dugovanje od 40 000 KM treba da vrati poslije 3 godine. Kolika e biti krajnja vrijednost ovog duga alp su kamate 8% godinje dekurzivno pri semestralnom kapitalisanju?

K = 40 000 KM

n = 6 sem.

p = 4%_____

Kn = ?

Kn = K

n

p

I

265379

,

1

40000

40000

6

4

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 50 612,76 KM

Primjer 13.

U nekoj radnoj organizaciji se danas proizvodi 20 000 tona neke robe. U narednih 6 godina proizvodnja treba da raste godinje po 10%. Kolika se proizvodnja moe oekivati na kraju 6-te godine?

K = 20 000 t

n = 6 god.

p = 10%_____

Kn = ?

Kn = K

n

p

I

790849

,

1

20000

20000

6

10

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 35 816,94 t

2. Izraunavanje sadanje vrijednosti uloga

U dosadanjim primjerima izraunavali smo krajnju vrijednost kapitala, tj. uloga uveanog za kamatu. Meutim, ponekad emo u praksi izraunavati sadanju ili poetnu vrijednost uloga. Krajnja vrijednost je uvean ulog, sadanja vrijednost je poetni ulog.

Primjer 1.

Krajnja vrijednost uloga poslije 8 godina iznosi 24 500 KM. Kolika je poetna vrijednost ako je ulog ukamaenja 4% godinje dekurzivno i ako se vri godinje kapitalisanje?

Zadatak emo izvriti na tri naina:

1. pomou algebarske formule

2. pomou prve tablice

3. pomou druge tablice

1. pomou algebarske formule

Poznati elementi:

Kn = 24 500,00 KM

n = 8 god.

p = 4%_____

K = ?

Poi emo od ve poznatog obrasca:

Kn = K

n

r

Ako ovaj obrazac Kn = K

n

r

, u kojem je nepoznato K, rijeimo po K, dobit emo:

n

n

r

Kn

r

Kn

K

1

=

=

Prema tome, poetna vrijednost uloga K se dobije kada se krajnja vrijednost uloga Kn podijeli n-tim stepenom dekurzivnog faktora.

U naem primjeru poetna vrijednost iznosi:

n

r

Kn

K

=

8

04

,

1

25500

=

K

EMBED Equation.3

n

r

Kn

K

=

Ako logoritmujemo ovu jednainu, dobit emo:

25292

,

4

log

13624

,

0

38916

,

4

log

01703

,

0

8

38916

,

4

log

04

,

1

log

8

24500

log

log

=

-

=

-

=

-

=

K

K

K

K

K = N

25292

,

4

K = 17 902,76 KM

2. pomou druge tablic

Ako obrazac Kn = K

n

p

I

, u kojem je K nepoznato, rijeimo po K, dobit emo:

n

p

I

Kn

K

=

Za gornji primjer biti e:

368569

,

1

24500

24500

8

4

=

=

K

I

K

K = 17 901,91 KM

3. pomou druge tablice

Vrijednosti druge tablice reciprone vrijednosti prve tablice, tj.:

n

p

n

p

II

I

=

1

Vrijednost druge tablice su sadanje vrijednosti jedne KM, te kao takve moraju biti manje od jedan. Druga tablica je kamatni diskontni faktor.

Obrazac

n

p

I

Kn

K

=

moemo pisati ovako

n

p

II

Kn

K

=

Prema tome, sadanja vrijednost jedng uloga se izraunava tako da se pomnoi krajnja vrijednost uloga sa drugom tablicom. Za na primjer e biti:

730690

,

0

24500

24500

8

4

=

=

K

II

K

K = 17 901,91 KM

Izvoenje druge tabloce:

Kako smo ranije vidjeli, vrijednost prve tablice raste sa rastom broja perioda, jer je svaki slijedei faktor vei od prethodnog za kamate. Meutim, kako su vrijednosti drugih tablica reciprone vrijednosti prve tablice, to e sruga opadati s rastom broja perioda. Faktore za drugu tablicu emo najlake dobiti ako poemo od zadnjeg retka prve tablice. Dakle, ovako:

n

p

II

n 6%

1 0,943396226415

2 .......

3 .......

4 .......

. .......

. .......

. .......

. .......

.. .......

.. itd.

49 0,057545663526

50 0,054288361217

17

0542883618

,

0

87

4201542749

,

18

1

1

50

6

50

6

=

=

=

I

II

+ 6% kamata (od 0,054288361817) = 0,003257302___

26

0575456635

,

0

49

6

=

II

Kako vidimo, 50-ti redak smo dobili kada smo jedan podjelili sa faktorom iz 50-tog retka prve tablice. Tome iznosu smo dodali 6% kamata i dobili faktor za 49-ti redak. Ako tako redom dodajemo iznos dobit emo 48. , 47. , 46. itd redak, koji odgovara za 6%. Ako smo ispravno radili, onda emo na prvu poziciju, kada dodajemo njene kamate, dobiti jednu KM.

Primjer 2.

Neko treba da primi 30 000 KM nakon 9 godina. Kolika je sadanja vrijednost tog potraivanja ako se rauna 6% kamata godinje dekurzivno i vri semestralno kapitalisanje?

Poznati elementi:

Kn = 30 000 KM

n = 18 sem.

p = 3%______

K = ?

Primjer emo rijeiti pomou druge tablice uvrtavanjem poznatih elemenata u obrazac:

n

p

II

Kn

K

=

587394

,

0

30000

30000

18

3

=

=

K

II

K

K = 17 621,82 KM

Primjer 3.

tedia danas raspolae sa 700 000 KM. Koliko je uloio prije 6 godina uz 4% godinje dekurzivno i uz semestralno kapitalisanje?

Poznati elementi:

Kn = 700 000 KM

n = 12 sem.

p = 2%_____

K = ?

Ovaj primjer emo rijeiti pomou druge tablice. U jednainu

n

p

II

Kn

K

=

uvrstimo poznate elemente i dobijemo:

788493

,

0

700000

700000

12

2

=

=

K

II

K

K = 551 945,10 KM

Dakle, ulaga je uoio prije 6 godina 551 945,10 KM i danas ima 700 000 KM.

Primjer 4.

Neko je duan da plati 90 000 KM 06.02.1970. godine. Kojim bi iznosom mogao da plati isti dug 31.12.1970. godine, ako je kamatna stopa 5% godinje dekurzivno i vri godinje kapitalisanje?

U ovom primjeru dug koji je plativ kasnije, svodimo na dug plativ ranije. Da bi se dug sveo na 31.12.'70. god., treba ga diskontovati za 37 dana i 10 godina.

Cijeli obraun emo postaviti u slijedeu emu:


Dug 31.12.1970. godine ____________KM

Dug 31.12.1980. godine ____________KM

+ 37/5% kamata ____________KM

Dug 06.02.1981. godine 90 000,00 KM

U ovom sluaju 90 000 KM je uveana glavnica. Iz gornjeg primjera moemo izdvojiti ove elemente, za prosti kamatni raun:

G + K = 90 000 KM

d = 37

p = 5%______

K = ?

(od 01.01.1981. do 06.02.1981. ima 37)

(

)

36185

16650000

185

36000

185

90000

37

5

36000

37

5

90000

36000

=

+

=

+

=

+

+

=

K

K

K

d

p

d

p

K

G

K

K = 460,14 KM

Ako od 90 000 KM oduzmemo proste kamate 460,14 KM, dobit emo dug 31.12.'80. god., dakle, 90 000,00 460,14 = 89 539,86 KM.

Ovo je dug 31.12.'80. god. koji emo diskontovati za 10 godina.

613913

,

0

86

,

89539

86

,

89539

10

5

=

=

K

II

K

K = 54 969,68 KM

Odgovor: 31.12.'70. godine platio bi 54 969,68 KM.

Sada naene podatke unosimo na odgovarajue mjesto u prednjoj emi. Kada se unesu podaci, ema izgleda ovako:


Dug 31.12.1970. godine 54 969,68 KM

Dug 31.12.1980. godine 89 539,86 KM

+ 37/5% kamata _____460,14 KM

Dug 06.02.1981. godine 90 000,00 KM

Primjer 5.

Koliko KM je uloeno na tednu knjiicu 18.09.1975. godine uz 6% godinje dekurzivno uz semestralno kapitalisanje ako je ulaga imao 31.12.1980. godine 55 000 KM ?

I ovaj zadatak emo rijeiti kombinacijom prostog kamatnog rauna i druge tablice.

Najprije emo postaviti emu zadatka:

Ulog 18.09.1975. god. ____________KM

+ 104/6% prostih kamata ____________KM

Ulog 31.12.1975. god. ____________KM

Ulog 31.12.1980. god. 55 000,00 KM

Iznos od 50 000 KM je krajnja vrijednost uloga, koju emo najprije diskontovati za 5 godina tj. za 10 semestara, te emo dobiti:

744093

,

0

55000

55000

10

3

=

=

K

II

K

K = 40 925,12 KM

Ako posmatramo u gornjoj emi iznos od 40 925,12 KM, vidimo da je to uveana glavnica; primjenjujui formulu iz prostog kamatnog rauna dobit emo traeni ulog.

Prema tome, imamo:

(

)

624

36000

36000

12

,

40925

104

6

36000

36000

12

,

40925

36000

36000

+

=

+

=

+

+

=

G

G

d

p

K

G

G

G = 40 227,84 KM

Odgovor: dana 18.09.'75. godine bilo je uloeno 40 227,84 KM, proste kamate su 697,28 KM.

Sada izraunate podatke unosimo na odgovarajue mjesto u prednjoj emi. Kada se unesu podaci ema izgleda ovako:

Ulog 18.09.1975. god. 40 227,84 KM

+ 104/6% prostih kamata 697,28 KM

Ulog 31.12.1975. god. 40 925,12 KM

Ulog 31.12.1980. god. 55 000,00 KM

Primjer 6.

Koliko je uloeno prije 45 godina uz 5% godinje dekurzivno, uz semestralno kapitalisanje, ako danas raspolaemo sa 50 000 KM ?

Poznati elementi:

Kn = 50 000 KM

n = 45 2 = 90 sem.

p = 5% 2 = 2,5%__

K = ?

Ako uvrstimo vrijednosti u formulu

n

p

II

Kn

K

=

, dobijemo:

90

5

,

2

50000

II

K

=

U naim finansijskim tablicama sadrane su vrijednosti diskontnih faktora za 50 termina/rokova. Zbog toga emo se posluiti pravilom mnoenja istih baza. Naime, kako je:

,

1

1

1

40

50

90

=

r

r

r

a poto je:

90

5

,

2

90

1

II

r

=

to moemo pisati :

40

5

,

2

50

5

,

2

90

5

,

2

II

II

II

=

te u naem zadatku imamo:

108355

,

0

50000

0372430

,

0

290942

,

0

50000

50000

90

5

,

2

90

5

,

2

=

=

=

K

K

II

II

K

K = 5 417,75 KM

Odgovor: prije 45 godina bilo je uloeno 5 417,75 KM.

Primjer 7.

Radna organizacija treba da plati 31.03.1990. godine na ime investicionog kredita i kamata 5 094 300 KM. Koliko KM je iznosio odobreni kredit 01.11.1988. godine ako je kamata raunata po 10 % godinje dekurzivno pri semestralnom kapitalisanju?

U ovom primjeru kredit treba svesti na dan odobrenja, tj. 01.11.1988. godine, a to znai da ga treba diskontovati za 89 dana, 1 godinu i 60 dana.

Obraun diskontovanja emo postaviti u slijedeu emu:

Obraun 01.11.1988.


a

V

01.11.'88. god. .....................KM

+ 60/10% prostih kamata .....................KM


a

V

31.12.'88. god. .....................KM


a

V

31.12.'89. god. .....................KM

+ 89/10% prostih kamata .....................KM


a

V

31.03.'90. god. 5 094 300,00 KM

U ovom primjeru 5 094 300,00 KM je uveana glavnica. Iz istog primjera moemo izdvojiti ove elemente, za prosti kamatni raun:

G + K = 5 094 300,00 KM

d = 89

p = 10%____

K = ?

Dani od 31.31.'90. 31.03.'90. godine = 89 dana

Ako u obrazac

(

)

d

D

d

K

G

K

+

+

=

, uvrstimo poznate elemente dobijamo prostu kamatu, tj.:

3689

89

5094300

=

K

K = 122 903,96 KM

Ako od 5 094 300,00 KM oduzmemo proste kamate 122 903,96 KM dobit emo kredit 31.12.'89. godine, dakle, 5 094 300,00 122 903,96 = 4 971 396,04 KM.

Ovaj iznos je radna organizacija duna 31.12.1989. godine, koji emo diskontovati za 2 semestra (1 godinu):

n

p

II

Kn

K

=

905730

,

0

04

,

4971396

04

,

4971396

5

2

=

=

K

II

K

K = 4 502 742,54 KM

Prema tome, kredit na dan 31.12.'88. godine iznosi 4 502 742,54 KM. Od ovog iznosa jo treba obraunati i oduzeti prostu kamatu za 60 dana, tj. od 01.11.'88. 31.12.'88. (60 dana). Dakle, imamo:

(

)

d

D

d

K

G

K

+

+

=

3660

60

54

,

4502742

=

K

K = 73 815,45 KM

Ako od 4 502 742,54 KM oduzmemo proste kamate 73 815,45 KM dobit emo odobreni kredit na dan 01.11.'88. godine, tj. 4 502 742,54 - 73 815,45 = 4 429 527,07 KM.

Odgovor: odobreni kredit radnoj organizaciji na dan 01.11.'88. godine iznosi 4 429 527,07 KM.

Sada izraunate podatke unosimo na odgovarajue mjesto u prednjoj emi. Kada se unesu podaci, ema izgleda ovako:

Obraun 01.11.1988.


a

V

01.11.'88. god. 4 429 527,07 KM

+ 60/10% prostih kamata __73 815,45 KM


a

V

31.12.'88. god. 4 502 724,52KM


a

V

31.12.'89. god. 4 917 396,54 KM



a

V

31.03.'90. god. 5 094 300,00 KM

Primjer 8.

Koliko je KM uloeno uz 4% kamata godinje dekurzivno pri godinjem kapitalisanju prije 12 godina ako danas imamo 300 000 KM ?

Poznati elementi:

Kn = 300 000 KM

p = 4%

n = 12 god.__

K = ?

n

p

II

Kn

K

=

12

4

300000

II

K

=

624597

,

0

300000

=

K

K = 187 379,10 KM

Primjer 9.

Koliko bi trebalo uloiti danas na knjiicu uz 5% kamata godinje dekurzivno, ako elimo da poslije 7 godina imamo 300 000 KM, uz uslov da se cijeli iznos kamata dodaje ulogu, a kapitalisanje se vri:

a) godinje

b) semestralno

c) kvartalno?

a) Kn = 300 000 KM

p = 5%

n = 7____

K = ?

n

p

II

Kn

K

=

7

5

300000

II

K

=

710681

,

0

300000

=

K

K = 213 204,30 KM

b) Kn = 300 000 KM

p = 5% 2 = 2,5%

n = 7 2 = 14____

K = ?

n

p

II

Kn

K

=

14

5

,

2

300000

II

K

=

707727

,

0

300000

=

K

K = 212 318,10 KM

c) Kn = 300 000 KM

p = 5% 4 = 1,25%

n = 7 4 = 28____

K = ?

n

p

II

Kn

K

=

28

25

,

1

300000

II

K

=

706218

,

0

300000

=

K

K = 211 865,40 KM

Primjer 10.

U nekoj OUR-a se danas proizvodi 200 000 kom. nekog artikla. Koliko se komada proizvodilo prije 8 godina ako je proizvodnja rasla prosjeno po 12 % godinje?

Kn = 200 000 KM

p = 12%

n = 8_____

K = ?

n

p

II

Kn

K

=

8

12

200000

II

K

=

403883

,

0

200000

=

K

K = 80 776,60 kom.

3. Izraunavanje sloenih kamata

Do sada smo govorili o krajnjoj vrijednosti ulolga i o poetnoj vrijednosti uloga. Sloena kamata ili interes na interes emo dobiti ako od krajnje vrijednosti uloga, oduzmemo poetni ulog.

Primjer 1.

Koliko e sloenih kamata donijeti ulog od 70 000 Km za 7 godina uz 5% godinje dekurzivno, uz godinje kapitalisanje?

Poznati elementi:

K = 70 000 KM

n = 7 god.

p = 5%_____

7

I

= ?

Na osnovu ve poznatog obrasca Kn = K

n

p

I

mogua su 2 rjeenja:

a) posredno: da prvo naemo krajnju vrijednost uloga i od tako dobijene vrijednosti oduzimamo poetnu vrijednost uloga. Krajnja vrijednost uloga iznosi:

Kn = 70000

7

5

I

Kn = 70000

4071004

,

1

Kn = 98 497,028 KM

a poetni ulog 70 000 KM, sloene kamate:

7

I

=

7

K

- K

7

I

= 98 497,028 70 000

7

I

= 28 497,028 KM

b) neposredno: budui da su sloene kamate razlika izmeu krajnje i poetne vrijednosti jednog uloga, moemo pisati slijedei obrazac:

In = Kn K

S obzirom da je Kn = K

n

p

I

, gornju jednainu moemo pisati i u obliku:

In = K

n

p

I

- K

Izvlaenjem zajednikog faktora K na desnoj strani jednaine dobijemo obrazac za izraunavanje sloenih kamate:

In = K

)

1

(

-

n

p

I

Zamjenom poznatih elemenata iz gornjeg primjera imamo:

7

I

= 70 000 (1,4071004 1)

7

I

= 70 000 0,4071004

7

I

= 32 970,28 KM

Primjer 2.

Koliko e sloenih kamata donijeti ulog od 165 000 KM za 6 godina i 8 mjeseci uz semestralno kapitalisanje?

Poznati elementi:

K = 165 000 KM

n = 13 sem. i 4 mj.

p = 2,5%_____

In = ?

U ovom primjeru imamo 13 semestara i 4 mjeseca, pa emo najprije 165 000 KM ukamatiti za 13 polugodita uz 2,5%, a zatim na tako dobijen iznos raunati i 5% prostih kamata, koje sabrane sa prvim iznosom daju krajnju vrijednost uloga.

Ako od krajnje vrijednosti uloga oduzmemo poetni ulog 165 000 Km, dobit emo sloene kamate. itav postupak izgleda ovako:

Poetna vrijednost uloga K = 165 000,00 KM

Krajnja vrijednost uloga 165 000

13

5

,

2

I

= 227 454,32 KM

+ 4/5% prostih kamata

1200

4

5

32

,

227454

= 3 790,90 KM

Krajnja vrijednost uloga 396 245,22 KM

Razlike izmeu krajnje vrijednosti i poetne vrijednosti uloga su treene sloene kamate. Dakle:

In = 396 245,22 165 000

In = 231 245,22 KM

Primjer 3.

Nekoj radnoj organizaciji je odobren 01.01.'80. godine investicioni kredit od 800 000 KM. Kredit je koriten do 30.04.'84. godine. Kamatu raunati po 10% godinje dekurzivno pri semestralnom kapitalisanju. Izraunati interkalarne kamate.

Imamo:

K = 800 000 KM

n = 10 sem. i 184 dana

p = 5%_____

Ik = ?

U ovom primjeru investicioni kredit je koriten od 01.01.'80. 30.04.'84. godine, tj. 10 semestara i 184 dana i za cijelo vrijeme koritenja kredita treba platiti kamatu.

Najprije emo obraunati sloenu kamatu za prvih 10 semestara po 5%, na slijedei nain:

Kn = K

n

p

I

628894

,

1

800000

800000

10

5

=

=

Kn

I

Kn

Kn = 1 303 115,20 KM

Ako od 1 303 115,20 KM oduzmemo odobreni investicioni kredit sloene interkalarne kamate za prvih 10 semestara koritenja, tj. 1 303 115,20 800 000 = 503 115,20 KM. Prema tome, interkalarne kamate 31.12.'84. godine iznose 503 115,20 KM. Meutim, kredit je koriten do 31.04.'84. godine, pa treba obraunati na 1 303 115,20 KM jo proste kamate za 184 dana.

Dakle, imamo:

3600

1847

20

,

1303115

=

=

K

D

d

G

K

K = 66 603,66 KM

Ako iznos od 66 603,66 KM prostih kamata dodamo na 503 115,20 KM dobit emo ukupne interkalarne kamate, tj. 503 115,20 + 66 603,66 = 569 718,86 KM

Prema tome, ukupne interkalarne kamate iznose 569 718,86 KM. Obraun interkalarnih kamata moe se obaviti slijedeom emom:

Obraun 30.04.1984. godine


a

V

01.01.'80. god. 800 000,00 KM


a

V

31.12.'83. god. 1 303 115,20 KM



a

V

30.04.'84. god. 1 369 718,86 KM

- odobreni kredit 800 000,00 KM

Interkalarna kamata 569 718,86 KM

4. Izraunavanje vremena i kamatne stope

4.1. Izraunavanje vremena ukamaenja

Nepoznati broj perioda n vrijeme se dobije ako su nam poznati:

poetna vrijednost uloga (K)

krajnja vrijednost uloga (Kn)

kamatna stopa (p)

Postupak za izraunavanje vremena ukamaenja emo pokazati na primjerima koji slijede, a za obraun emo koristiti jedan od ve poznata tri obrasca:

Kn = K

n

r

; Kn = K

n

p

I

;

n

p

II

Kn

K

=

Primjer 1.

Koliko je godina bilo uloeno 5 000 KM pod sloene kamate uz 5% godinje dekurzivno ako je krajnja vrijednost tog uloga 7 927,28 KM pri godinjem kapitalisanju?

Poznati elementi:

K = 5 000 KM

p = 5%

Kn = 7 387,28 KM

n = ?

a) pomou algebarske formule Kn = K

n

r

Najprije emo rijeiti jednainu po

n

r

, jer se tu krije broj perioda. Dakle, imamo:

K

Kn

r

n

=

Ako jednainu logoritmujemo, dobit emo:

K

Kn

r

n

log

log

log

-

=

to znai

r

K

Kn

n

log

log

log

-

=

U ovu formulu emo uvrstiti poznate elemente iz primjera i dobit emo nepoznatu n:

021189

,

0

698970

,

3

868484

,

3

05

,

1

log

5000

log

28

,

7387

log

-

=

-

=

n

n

n = 8 godina

b) pomou I tablice Kn = K

n

p

I

to znai:

K

Kn

I

n

p

=

i zamjenom sa poznatim elementima iz gornjeg primjera, dobijemo:

5000

28

,

7387

5

=

n

I

477456

,

1

5

=

n

I

U prvoj tablici u koloni 5% traimo faktor 1,477456 i vidimo da se tano nalazi u 8. redu tablice, to znai da je 5 000 KM bilo pod sloenim kamatama 8 godina, pa je:

n = 8 godina.

c) rjeenje pomou II tablice

n

p

II

Kn

K

=

pa je:

Kn

K

II

n

p

=

i zamjenom poznatih elemenata za gornji primjer imaemo:

28

,

7387

5000

5

=

n

II

676839

,

0

5

=

n

II

Dobijeni broj se nalazi u II tablici u koloni pod 5% u 8-mom redu. Prema tome, traeni broj godina je 8. Dakle, dobijemo da je:

n = 8 godina.

Primjer 2.

Koliko godina je leao ulog u banci od 20 000 KM koja plaa 4% kamata godinje dekurzivno i vri kvartalno kapitalisanje, ako je krajnja vrijednost tog uloga 25 394,68 KM ?

K = 20 000 KM

p = 1%

Kn = 25 394,68 KM

n = ?

K

Kn

I

n

p

=

20000

68

,

25394

1

=

n

I

269734

,

1

1

=

n

I

U prvoj tablici u koloni 1 se nalazi taan broj 1,269734 u 24. redu, a to znai da je ulog leao u banci 24 kvartala ili 6 godina (24/4). Dakle:

n = 24 kvartala

n = 6 godina.

Primjer 3.

Za koje e vrijeme 3 000 KM pri polugodinjem kapitalisanju narasti zajedno sa sloenim kamatama na 4 200 KM ako je kamatna stopa 6% godinje dekurzivno?

Poznati elementi:

K = 3 000 KM

Kn = 4 200 KM

p = 3%______

n = ?

a) pomou I tablice

K

Kn

I

n

p

=

3000

4200

3

=

n

I

4

,

1

3

=

n

I

Kako se broj 1,4 ne nalazi tano u prvoj tablici u koloni 3%, to emo slino i kod izraunavanja kamatne stope, taniji broj perioda n traiti linearnom interpolacijo. U prvoj tablici, u koloni pod 3%, emo uzeti priblino manji broj 1,384233 koji se nalazi u 11. retku i priblino vei broj 1,4257608 koji se nalazi u 12. retku.,

Dakle, izmeu broja 11 i 12 nalazi se traeni broj godine.

Kako broj perioda raste srazmjerno sa krajnjim vrijednostima jedne KM, to emo interpolacijom odrediti taniji broj perioda, primjenjujui pravilo trojno.

4257608

,

1

3842330

,

1

12

3

11

3

=

=

I

I

4

,

1

3842330

,

1

3

11

3

=

=

n

I

I

1 0,0415278 n 11 0,015767

Odavde zakljuujemo da, ako poemo od 11. perioda i dekurzivnog faktora koji njemu odgovara, kada je broj perioda povean za 1 (od 11 do 12), tada se kamatni dekurzivni faktor povea za 0,0415278, a mi treba da utvrdimo koliko e se poveati broj perioda 11 kada se kamatni dekurzivni faktorpovea za 0,015767.

Postavimo iz gornje tabele proporciju:

1 (n 11) = 0,0415278 0,015767

Odavde unutranji lan proporcije iznosi:

0415278

,

0

1

015767

,

0

11

=

-

n

n 11 = 0,38 pa je

n = 11,38 polugodita

n = 5 godina, 7 mjeseci i 4 dana

b) algebarskom formulom

r

K

Kn

n

log

log

log

-

=

03

,

1

log

3000

log

4200

log

-

=

n

012837

,

0

477121

,

3

623249

,

3

-

=

n

n = 11,38 polugodita

n = 5 godina, 7 nmjeseci i 4 dana

4.2. Izraunavanje kamatne stope

Pomou ve poznatih obrazaca:

Kn = K

n

r

; Kn = K

n

p

I

;

n

p

II

Kn

K

=

moemo izraunati svaku od etiri veliine, koje se u njima javljaju, ako poznajemo preostale tri veliine. Ako nam nije poznata kamatna stopa (p) a poznata nam je krajnja i poetna vrijednost kapitala i broj termina ukamaenja, kamatnu stopu emo dobiti pomou jednog od gornjih obrazaca.

Primjer 1.

Sa kojom e godinjom kamatnom stopo, pri godinjem kapitalisanju, ulog od 6 000 KM za 10 godina narasti na 10 745,08 KM ?

Poznati elementi:

K = 6 000 KM

n = 10 godina

Kn = 10 745,08 KM

p = ?

a) pomou algebarske formule

Kn = K

n

r

Kamatna stopa se krije u kamatnom dekurzivnom faktoru r jer je r =

100

1

p

+

, pa emo gornju jednainu rijeiti po

n

r

. Dakle, imamo:

K

Kn

r

n

=

Ako logoritmujemo jednainu, dobijemo:

K

Kn

r

n

log

log

log

-

=

r

K

Kn

n

log

log

log

-

=

n

K

Kn

p

log

log

100

1

log

-

=

+

10

6000

log

08

,

10745

log

100

1

log

-

=

+

p

p = 5,9999%

10

778151

,

3

031209

,

4

100

1

log

-

=

+

p

p = 6%______

10

253057

,

0

100

1

log

=

+

p

=

+

100

1

p

N

0253057

,

0

=

+

100

1

p

1,059999

=

100

p

0,059999

p = 0,059999 100

b) pomou I tablice

Kn = K

n

p

I

K

Kn

I

n

p

=

790847

,

1

6000

08

,

10745

10

=

=

p

I

U 10. redu prve tablice trait emo broj 1,790847 i vidjet emo da se nalazi u koloni 6%, a to znai da je p = 6% , godinja kamatna stopa.

Prva tablica ima praktinu primjenu naruito ako je poetna vrijednost zaokruena suma, kao to je u naem primjeru 6 000 KM.

c) pomou druge tablice

K = Kn

n

p

II

Kn

K

II

n

p

=

558395

,

0

08

,

10745

6000

10

=

=

p

II

Ovaj diskontni faktor, tj. sadanju vrijednost jedne KM traimo u 10. redu druge tablice i vidimo da se nalazi u koloni 6%. Prema tome, traena kamatna stopa je 6%. Dakle, traeni rezultat se podudara u sva tri sluaja. Pomou druge tablice praktino je traiti kamatnu stopu kada je konana vrijednost uloga data u zaokruenom iznosu.

Primjer 2.

Ulog od 18 533,43 KM poslije 7 godina narastao je na 30 000 Km. Treba izraunati godinju kamatnu stopu ako je polugodinje kapitalisanje.

Poznati elementi:

K = 18 533,43 KM

Kn = 30 000 KM

n = 14 semestara

p = ?

Poto je konana vrijednost 30 000 KM zaokrueni broj, kamatnu stopu emo traiti pomou II tablice. Dakle:

Kn

K

II

n

p

=

617781

,

0

30000

43

,

18533

14

=

=

p

II

U koloni pod 3,5% u 14. redu nalazi se diskontni faktor 0,617781 to znai da je polugodinja stopa 3,5%, a godinja e biti dva puta vea tj.:

p = 3,5% 2

p = 6 %

(traena kamatna stopa)

Primjer 3.

Uz koju kamatnu stopu, pri kvartalnom kapitalisanju e 7 000 KM narasti na 21 000 KM za 10 godina?

Poznati elementi:

K = 7 000 KM

Kn = 21 000 KM

n = 40 kvartala

p = ?

K

Kn

I

n

p

=

7000

21000

40

=

p

I

3

40

=

p

I

Ako se u tablici ne nalazi izraunati faktor, kao to je to sluaj za ovaj primjer, onda emo kamatnu stopu traiti linearnom interpolacijom.

U 40. redu emo traiti jedan broj manji od naeg izraunatog 3 i jedan broj koji je vei od 3. U naem primjeru priblino manji broj se nalazi za 2,75% u 40. redu 2,95987, a priblino vei broj u koloni pod 3% u 40. redu 3,26204.

Ponekad je dovoljan i takav zakljuak.

Ako elimo taniju stopu, traimo je interpolacijom, tako to odmah uzimamo faktore za gornju neposredno manju i neposredno veu stopu. I pomou pravila trojnog moemo odrediti taniju stopu. Prema tome, imamo:

26204

,

3

95987

,

2

40

3

40

75

,

2

=

=

I

I

3

95987

,

2

40

40

75

,

2

=

=

p

I

I

0,75 0,30217 n 2,75 0,04013

0,75 (p 2,75) = 0,30217 0,0413

p 2,75 = 0,033

p = 2,75 + 0,033

p = 2,783% kvartalno

p = 11,132% godinje

5. Relativna i konformna stopa

Periodi za koje se obino raunaju sloene kamate su cijele godine, semestri (polugodita), kvartali i mjeseci. Kamatna stopa je uvijek za godinu dana. Zbog toga, ako se kamate obraunavaju polugodinje, onda se data godinja stopa dijeli sa dva i na taj nain od godinjekamatne stope dobijamo polugodinju.

Npr. 5% godinje = 5/2 = 2,5% semestralno

8% godinje = 8/2 = 4% semestralno itd.

Isto tako, ako se obraunava kvartalno, onda se data godinja stopa dijeli sa etiri i na taj nain od godinje stope se dobije kvartalna stopa (tromjesena).

Npr. 5% godinje = 5/4 = 1,25% kvartalno

8% godinje = 8/4 = 2 % kvartalno

Ovako dobijena stopa, nastala prostim djeljenjem godinje kamatne stope, naziva se relativna kamatna stopa.

Primjer 1.

Na koliko e narasti 20 000 KM za jednu godinu uz 6% kamata, ako se kapitalisanje vri:

a) godinje

b) semestralno (relativnom kamatnom stopom) 3%

a) kada je godinje kapitalisanje

Ulog na poetku godine 20 000 KM

+6% kamata za 1 godinu 1 200 KM

Ulog na kraju godine 21 200 KM

Prema tome, ulog e narasti na 21 200 KM uz godinje kapitalisanje.

b) kada je polugodinje kapitalisanje

Ulog na poetku prvog polugodita 20 000 KM

+ 3% kamata 600 KM

Ulog na kraju prvog polugodita 20 600 KM

+ 3% kamata 618 KM

Ulog na kraju godine 21 218 KM

Dakle, ako je kapitalisanje polugodinje, krajnja vrijednost uloga iznosi 21 218 KM.

Iz primjera se vidi da nijesvejedno kakvo je kapitalisanje, da li je godinje ili polugodinje relativnom kamatnom stopom,jer postoji materijalna razlika u kamatama za 18 KM (21 218 21 200). Jasno se vidi da je za povjerioca povoljnije kada je obraun kamata ei relativnom stopom. Ovo vai bez obzira koja je kamatna stopa.

Ako bismo htjeli da se u oba sluaja dobije ista suma, tj. da u oba sluaja budu krajnje vrijednosti iste, semestralno kapitalisanje trebalo bi vriti kamatom stopom koja je manja od relativne stope 3%.

Ova manja stopa kojom se dobija ista krajnja vrijednost, kao godinjom kamatnom stopm, naziva se ekvivalentna ili konformna stopa.

Zakljuak

Elementi koji se, u temi Raun uloga/I tablice pojavljuju su:

K poetna ili sadanja vrijednost uloga

n broj perioda ukamaenja

p kamatna stopa

Kn konana vrijednost uloga ili vrijednost uloga zajedno sa sloenim kamatama

I sloene kamate

Zadatake rijeavamo pomou logaritama, I tablice i II tablice sloenih kamata. Zadaci se lake i bre rijeavaju pomou prve

(

)

n

p

I

picerove tablice kamate na kamatu, nego pomou logaritama; jer se kamatni dekurzivni faktori r nalaze izraunati u

n

p

I

.

U tablicama maksimalan broj periodaje 50, pa ako u tablicama za kamatu na kamatu ne postoji zadani broj perioda, onda se opet moemo posluiti I tablicama, imajui na umu pravilo: da se stepeni istih baza mnoe tako da se baza prepie, a eksponenti saberu.

Vrijednost druge tablice su sadanje vrijednosti jedne KM, te kao takve moraju biti manje od jedan. Druga tablica je kamatni diskontni faktor.

Periodi za koje se obino raunaju sloene kamate su cijele godine, semestri (polugodita), kvartali i mjeseci. Kamatna stopa je uvijek za godinu dana. Zbog toga, ako se kamate obraunavaju polugodinje, onda se data godinja stopa dijeli sa dva i na taj nain od godinjekamatne stope dobijamo polugodinju; kvartalno dijeli se sa etiri i tako dobijemo tromjesenu, itd.

Ovakvo izraunavanje, pomou sloenih kamata, nije u potpunosti tano. Ako bismo eljeli savim tane rezultate raunali bismo pomou logaritama. Ali, ovakvo izraunavanje je mnogo lake i njegova tanost je sasvim dovoljna u praksi.

Literatura

B. Divjak, T. Hunjak: Zbirka zadataka iz matematike, TIVA 2002

B. ego: Finansijska matematika, Sarajevo 2008

picerove tablice Kamate na kamatu

http//www.openpdf.com/ebook/finansijska_matematika_pdf.html

http//www.prilika.net/kamatni.pdf

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Interkalarne kamate su kamate koje se plaaju na investicione kredite koji se nalaze u koritenju. Plaa se od momenta dobijanja kredita pa do zavretka objekta i zajedno sa investicionim kreditom ine osnovicu anuiteta.

1

512565

,

4

log

114725

,

0

39794

,

4

log

02118

,

0

12

5

5

39794

,

4

log

05

,

1

log

12

5

5

25000

log

log

05

,

1

25000

12

5

5

=

+

=

+

=

=

=

Kn

Kn

Kn

Kn

Kn

512565

,

4

log

114725

,

0

39794

,

4

log

02118

,

0

12

5

5

39794

,

4

log

05

,

1

log

12

5

5

25000

log

log

05

,

1

25000

12

5

5

=

+

=

+

=

=

=

Kn

Kn

Kn

Kn

Kn

36000

11

6

80000

36000

=

=

K

d

p

G

K

44

,

4644

9000

44

950000

=

=

=

K

D

d

G

K

_1332429804.unknown

_1333205671.unknown

_1333234466.unknown

_1333240080.unknown

_1333241863.unknown

_1333243566.unknown

_1333243982.unknown

_1333244379.unknown

_1333245138.unknown

_1333245506.unknown

_1333245554.unknown

_1333245908.unknown

_1333245954.unknown

_1333245545.unknown

_1333245193.unknown

_1333244640.unknown

_1333245131.unknown

_1333244604.unknown

_1333244049.unknown

_1333244351.unknown

_1333244038.unknown

_1333243831.unknown

_1333243878.unknown

_1333243912.unknown

_1333243855.unknown

_1333243718.unknown

_1333243796.unknown

_1333243715.unknown

_1333242283.unknown

_1333242845.unknown

_1333242872.unknown

_1333242616.unknown

_1333241892.unknown

_1333242255.unknown

_1333241875.unknown

_1333240743.unknown

_1333241022.unknown

_1333241512.unknown

_1333241541.unknown

_1333241502.unknown

_1333240920.unknown

_1333241017.unknown

_1333240892.unknown

_1333240419.unknown

_1333240592.unknown

_1333240694.unknown

_1333240557.unknown

_1333240269.unknown

_1333240296.unknown

_1333240141.unknown

_1333236607.unknown

_1333237101.unknown

_1333238507.unknown

_1333240045.unknown

_1333238747.unknown

_1333239603.unknown

_1333237624.unknown

_1333238377.unknown

_1333237521.unknown

_1333236967.unknown

_1333237039.unknown

_1333237074.unknown

_1333237032.unknown

_1333236791.unknown

_1333236844.unknown

_1333236624.unknown

_1333235657.unknown

_1333235863.unknown

_1333236433.unknown

_1333236473.unknown

_1333236233.unknown

_1333235831.unknown

_1333235840.unknown

_1333235667.unknown

_1333235400.unknown

_1333235538.unknown

_1333235650.unknown

_1333235524.unknown

_1333235046.unknown

_1333235346.unknown

_1333235103.unknown

_1333235337.unknown

_1333235036.unknown

_1333209568.unknown

_1333217127.unknown

_1333232402.unknown

_1333232859.unknown

_1333234029.unknown

_1333234266.unknown

_1333233953.unknown

_1333232745.unknown

_1333232746.unknown

_1333232624.unknown

_1333219500.unknown

_1333232006.unknown

_1333232380.unknown

_1333231762.unknown

_1333217397.unknown

_1333219093.unknown

_1333217364.unknown

_1333215408.unknown

_1333215676.unknown

_1333216386.unknown

_1333216427.unknown

_1333215955.unknown

_1333215572.unknown

_1333214652.unknown

_1333215077.unknown

_1333215173.unknown

_1333214839.unknown

_1333215046.unknown

_1333209611.unknown

_1333207368.unknown

_1333208415.unknown

_1333209306.unknown

_1333209533.unknown

_1333208112.unknown

_1333208124.unknown

_1333208411.unknown

_1333207656.unknown

_1333206569.unknown

_1333207182.unknown

_1333207196.unknown

_1333206740.unknown

_1333206137.unknown

_1333206552.unknown

_1333205781.unknown

_1332532822.unknown

_1332540450.unknown

_1333130696.unknown

_1333204204.unknown

_1333205146.unknown

_1333205484.unknown

_1333131078.unknown

_1333129295.unknown

_1333130427.unknown

_1333130499.unknown

_1332618698.unknown

_1332618998.unknown

_1332540474.unknown

_1332535139.unknown

_1332539432.unknown

_1332539592.unknown

_1332535210.unknown

_1332534967.unknown

_1332535104.unknown

_1332532915.unknown

_1332433631.unknown

_1332433865.unknown

_1332532766.unknown

_1332532776.unknown

_1332433945.unknown

_1332434001.unknown

_1332433680.unknown

_1332430063.unknown

_1332430278.unknown

_1332429972.unknown

_1332426710.unknown

_1332427316.unknown

_1332429020.unknown

_1332429380.unknown

_1332429762.unknown

_1332429254.unknown

_1332428140.unknown

_1332428783.unknown

_1332428017.unknown

_1332427789.unknown

_1332427875.unknown

_1332427020.unknown

_1332427096.unknown

_1332427120.unknown

_1332427043.unknown

_1332426923.unknown

_1332426956.unknown

_1332426715.unknown

_1332424720.unknown

_1332425504.unknown

_1332426343.unknown

_1332426509.unknown

_1332425968.unknown

_1332424913.unknown

_1332425027.unknown

_1332424747.unknown

_1332423896.unknown

_1332424293.unknown

_1332424508.unknown

_1332424070.unknown

_1332423752.unknown

_1332423839.unknown

_1332423511.unknown

Documents

Račun uloga I tablice