Racunanje Koeficijenta Prijelaza Toplote

Mirko Tadić TERMODINAMIKA

145

11 FORMULE ZA ODREĐIVANJE KOEFICIJENTA PRIJELAZA TOPLINE Empirijske formule izražavaju Nusseltov broj, Nu, kao funkciju karakterističnih bezdimenzijskih značajki: Reynoldsa (Re), Grashofa (Gr), Prandtla (Pr), Pecleta (Pe), Rayleigha (Ra) i dr. Ponekad se uzimaju u obzir neki posebni efekti, kao što su npr. oblikovanje profila brzine ili utjecaj temperature na fizikalna svojstva fluida. Bezdimenzijske značajke definirane su na slijedeći način:

Nu = αL/λ, značajka prijelaza topline; služi za dobivanje α. Re = wL/ν, značajka oblika prisilnog strujanja

2

30

ss

s gLGr

ν⋅

ρ

ρ−ρ= , značajka slobodnog gibanja

Pr = µcp/λ = ν/a, značajka fizikalnih svojstava fluida Pe = RePr = wL/a kombinirana značajka prisilnog strujanja Ra = Gr Pr kombinirana značajka slobodne konvekcije

Sve veličine u gornjim značajkama odnose se na fluid (kapljevinu ili plin), uključujući i veličine prostora u kome se fluid nalazi. Pojedinačno značenje je:

• α, prosječni koeficijent prijelaza topline, W/(m2K), • w protočna brzina, m/s, • L opća oznaka za karakterističnu linearnu veličinu, m, • λ koeficijent vodljivosti topline, W/(mK), • ρ gustoća, kg/m3, • µ dinamička viskoznost, Ns/m2, • cp specifični toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku, J/(kgK), • ν = µ/ρ kinematička viskoznost, m2/s, • a = λ/ρcp koeficijent temperaturne vodljivosti, m2/s, • g = 9,81 m/s2 gravitacijsko ubrzanje.

Navedene bezdimenzijske značajke predstavljaju karakteristične konstante fizikalnog modela. Osim Nu broja, sve ostale značajke moraju biti poznate, tj. moraju biti zadani ili dostupni računu svi podaci koji su potrebni za njihovo određivanje. Većina tih podataka slijedi iz opisa promatranog fizikalnog modela. Fizikalna svojstva fluida smatraju se konstantnima, a njihove se vrijednosti određuju prema referentnoj temperaturi. Ukoliko nije posebno naglašeno drukčije, sva fizikalna svojstva fluida treba uzeti prema prosječnoj temperaturi fluida, ϑm, koja se definira kao aritmetička srednja vrijednost ulazne, ϑ1, i izlazne, ϑ2, temperature:

2

21 ϑ+ϑ=ϑm . (11.1)


146

U inženjerskim proračunima koriste se formule za određivanje prosječne vrijednosti Nu broja na cjelokupnoj površini, A, prijelaza topline. Zatim se prosječni koeficijent prijelaza topline, α, određuje iz relacije:

NuL

λ=α . (11.2)

Izbor karakteristične linearne veličine, L, ovisi o promatranom modelu i geometriji strujanja. Fizikalni modeli koji su navedeni u nastavku spadaju u jednostavne i česte praktičke slučajeve. Podijeljeni su u dvije osnovne skupine, prema uzroku makroskopskog gibanja fluida: na prisilnu i slobodnu konvekciju, te prema obliku strujanja: na laminarno i turbulentno strujanje. U praksi se javljaju i kombinacije tih slučajeva koje ne ćemo razmatrati. Kriterijske jednadžbe Opća kriterijska jednadžba u kojoj se samo navode utjecajne značajke može se napisati u obliku relacije:

=

i

i

b

aPr,...,,GrRe,NuNu , (11.3)

gdje je ai/bi formalna bezdimenzijska oznaka posebnih efekata, koji se u nekom slučaju moraju posebno uzeti u obzir, a nisu obuhvaćeni klasičnim značajkama. Slučajevi mješovite konvekcije za koje bi vrijedio opći oblik kriterijske jednadžbe (11.3) nisu razmatrani. Slobodna konvekcija. Javlja se u svim slučajevima prijelaza topline, jer pojava temperaturnog polja unutar fluida dovodi do nejednolike razdiobe mase u prostoru, tj. polja gustoće. Pod utjecajem gravitacijskog polja uspostavlja se relativno gibanje čestica fluida (uzgon). Kako nema vanjskog uzroka gibanja govori se o mirujućem fluidu. Taj simbolički opis znači da ne postoji pojam protočne brzine, tj. w = 0, pa Reynoldsov broj nema smisla, Re = 0. Za opis gibanja, koje naravno postoji u takvom mirujućem fluidu, koristiti se značajka uzgona, Grashofov broj, Gr. U tim slučajevima kriterijska jednadžba (11.3) poprima oblik:

=

i

i

b

aPr,...,,GrNuNu . (11.4)

Prisilna konvekcija. Strujanje fluida izazvano je prisilno, djelovanjem nekog tehničkog uređaja (pumpe, ventilatora). Efekt slobodne konvekcije koji uvijek postoji biva potisnut i obično se može (računski) sasvim zanemariti. Time se gubi utjecaj Grashofovog broja, a oblik strujanja se procjenjuje prema Reynoldsovom broju, Re. Opća jednadžba (11.3) pojednostavljuje se u oblik:

=

i

i

b

aPr,...,Re,NuNu . (11.5)

Izbor formule Opći postupak odabira prikladne formule može se razložiti na nekoliko karakterističnih koraka.

1. Iz opisa fizikalnog modela procjenjuje se uzrok gibanja fluida, na osnovu čega se problem razvrstava ili u prisilnu ili u slobodnu konvekciju.


147

2. Izbor prikladne formule vrši se u skladu sa zadanim geometrijskim oblikom fizikalnog modela: a) Da bi se odredio oblik strujanja (laminaran ili turbulentan) najprije se prema propisanoj referentnoj temperaturi uzimaju fizikalna svojstva fluida iz toplinskih tablica. b) Izračuna se Pr broj. c) U skladu s uzrokom strujanja izračuna se:

- Re broj, ako se radi o prisilnoj konvekciji, ili - Gr broj, ako se radi slobodnoj konvekciji.

d) Zatim se procjenjuje oblik strujanja prema propisanom kriteriju : − za prisilno strujanje: Re < Rek laminarno, ili Re > Rek turbulentno. − za slobodnu konvekciju: GrPr < (GrPr)k laminarna, ili GrPr > (GrPr)k

turbulentna . U općem slučaju taj postupak ne dovode do jednoznačnog izbora formule, već je potrebno provjeriti daljnje kriterije koji su navedeni uz takav model, odnosno pripadnu formulu.

I. PRISILNA KONVEKCIJA

A. ZATVORENA STRUJANJA A1. Strujanje u cijevi kružnog presjeka Kriterij strujanja Za proračun prijelaza topline usvojen je pojednostavljen kriterij strujanja u obliku Rek = 3000. S ovim kriterijem treba usporediti vrijednost Reynoldsovog broja, koja je izračunata na osnovu zadanog problema, Re = wd/ν, gdje je w (m/s) protočna brzina, d (m) unutarnji promjer cijevi, a ν (m2/s) kinematički viskozitet. Ako je Re < Rek, tada je strujanje laminarno. Ako je Re > Rek, tada je strujanje turbulentno. A1.1 Laminarno strujanje u cijevi U tehničkim uvjetima uspostavlja se ovakav oblik najčešće pri strujanju kapljevina, kod kojih je potrebna zamjetna ulazna dužina termičkog oblikovanja, Lt, da bi svi slojevi kapljevine u nekom presjeku sudjelovali u izmjeni topline. Zato se u praksi najčešće koristi formula koju su preporučili Sieder i Tate, a koja vrijedi za

kratke cijevi:

14031

861,

s

/

L

dPe,

dNu

µ

µ

=

λ

α= (Sieder i Tate) (11.6)

Uvjeti za upotrebu formule:

- konstantna temperatura cijevi: ϑs = konst., - fluidi: 0,48 < Pr < 16700, - kratke cijevi: Pe(d/L) > 10, - referentna temperatura: ϑm = 0,5(ϑ1 + ϑ2), za sva svojstva fluida osim za µs koji se

uzima prema temperaturi stijenke, ϑs. - smjer toplinskog toka: 0,004 < (µ/µs)

0,14 < 9,75.


148

Napomena: područje vrijednosti korekcijskog faktora za smjer toplinskog toga spriječava uporabu formule na one slučajeve kod kojih se, zbog velike razlike temparatura fluida i stijenke, mora uzeti u obzir i utjecaj slobodne konvekcije. Takvi slučejevi se ne pojavljuju u zadacima. U slučajevima kada dužina cijevi L nije unaprijed poznata već slijedi na kraju računa, mora se L pretpostaviti (procijeniti), a kasnije provjeriti. Račun se ponavlja sve dok su početna pretpostavka za L i konačni rezultat za L zamjetno različiti (iterativni račun). Premda je formula Siedera i Tatea (11.6) vezana uz uvjet ϑs = konst. ona se smije upotrijebiti i za rješavanje zadataka u kojima taj uvjet nije ispunjen. Duge cijevi. Treba koristiti poluempirijsku formulu od Hausena:

( )( )[ ] 32401

06680663

/PeL/d,

PeL/d,,Nu

++= (Hausen) (11.7)

Za L → 4 slijedi Nu→ 3,66 što odgovara teorijskom rješenju za termički oblikovano laminarno strujanje i ϑs = konst. Fizikalna svojstava treba uzeti za ϑm= 0,5(ϑ1 + ϑ2). ...................................................................................................................................................... A1.2 Turbulentno strujanje u cijevi U praksi se pretežno susrećemo s turbulentnim strujanjem fluida, posebno pri strujanju plinova. Turbulentne oscilacije pojačavaju prijelaz topline, pa su i vrijednosti Nu broja veće nego kod laminarnog strujanja. I u ovom slučaju treba voditi računa o dužini cijevi L, jer je na ulaznom dijelu cijevi koeficijent prijelaza topline bitno veći. To je područje termički neoblikovanog strujanja, kada svi slojevi nisu zahvaćeni izmjenom topline. Obično je dovoljna relativno mala dužina cijevi da bi izmjena topline zahvatila cijeli presjek strujanja. Kada je temperatura stijenke konstantna (ϑs = konst.) ili je to gustoća toplinskog toka (qs= konst.) tada nastaje termički oblikovano strujanje kod kojeg je koeficijent prijelaza topline konstantan (α = konst.). Jednadžbe za određivanje Nu broja, koje ćemo koristiti pri rješavanju problema, počivaju jednom od ta dva uvjeta na stijenci. Dužina termičkog oblikovanja, Lt, iznosi od 10 do 50 promjera cijevi. Radi jednostavnosti, pri rješavanju ćemo se koristiti jednoznačnim kriterijem da je Lt = 40 d, gdje je d unutarnji promjer cijevi.

Kriterij oblikovanosti strujanja usporedba zadane dužine cijevi L s dužinom termičkog oblikovanja, Lt: - kratka cijev: ako je L < Lt = 40d, strujanje je termički neoblikovano, - duga cijev: ako je L > Lt = 40d, strujanje je termički oblikovano;

(utjecaj ulaznih efekata je zanemariv). Kratke cijevi:

18131800360

/

/,

L

dPrRe,Nu

= (Nusselt) (11.8)

Duge cijevi:

( )17411

039801250

750

−+=

− PrRe,

RePr,Nu

,

,

(Petukhov) (11.9)


149

A2. Strujanja kroz nekružne presjeke - ekvivalentni promjer Prethodne formule primjenjuju se i kod strujanja kroz presjeke strujanja koji nisu kružni. Kako u tim slučajevima ne postoji unutarnji promjer d potrebno je stvarno strujanje aproksimirati sa sličnim strujanjem kroz fiktivnu cijev ekvivalentnog promjera, dekv. Proračun za fiktivnu cijev provodi se samo radi određivanja Nu broja, odnosno α. Za daljni proračun izmjene topline kroz površinu između fluida i stijenke vrijedi stvarna geometrija strujanja. Ekvivalentni promjer definiran je s relacijom:

O

Adekv

4= , (11.10)

gdje je A (m2), površina presjeka strujanja, a O (m), je opseg tog presjeka.

A = a2 A = a ⋅ b

α

α

a

a

a

b

KVADRATNI PRAVOKUTNI

PRSTENASTI

O =2 (a +b)

ba

abdekv

+=

2adekv =O = 4a

( )22

4dDA −

π=

( )dDO +π=

dDdekv −=

dD

α

A

Slika 11.1 Ekvivalentni promjeri

B. OTVORENA STRUJANJA B1. Poprečno nastrujane cijevi Strujanje oko cilindra vrlo je kompleksno i zbog toga teško predvidivo. Na naletnom dijelu oblikuje se laminarni oblik strujanja, dok je na stražnjem dijelu stujanje turbulentno. Zbog toga se ovdje ne koristi kriterij strujanja u obliku Reynoldsovog Rek. Iz istih razloga teorijsko rješavanje prijelaza topline je vrlo otežano, pa se proračuni oslanjaju na empirijske formule. Reynoldsov broj se definira s vanjskim promjerom cijevi, d, i brzinom fluida, wo, ispred cijevi (neometano strujanje).

ν

=dw

Re 0 . (11.11)

Fizikalna svojstva treba uzeti prema prosječnoj temperaturi, ϑm = 0,5( ϑs + ϑo), gdje je ϑs temperatura cijevi, a ϑo temperatura fluida ispred cijevi.


150

B1.1 Poprečno strujanje na jednu cijev Formula od Žukauskasa:

41 /

s

onm

Pr

PrPrReC

dNu

=

λ

α= , (11.12)

koja vrijedi za ove uvjete: 0,7 < Pr <500 , (Prs za ϑs, Pro za ϑo), n = 0,37 (za Pr < 10), ili n = 0,36 (za Pr > 10), 1 < Re < 106

wo ϑo

ϑs

α

d

FLUID

Slika 11.2. Strujanje popreko cijevi

TEBELA I - Vrijednosti konstante C i eksponenta m u jednadžbi (11.12)

Područje Re broja C m

1 – 40 0,75 0,4

40 – 1000 0,51 0,5

103 - 2·105 0,26 0,6

2·105 - 106 0,076 0,7

B1.2 Poprečno strujanje na snop cijevi Snopovi cijevi koriste se u mnogim izmjenjivačima topline, a razmještaj cijevi može biti paralelan ili naizmjeničan (šahovski), to bitno utječe na brzinu strujanja. Zato se u ovim slučajevima Re broj određuje prema prosječnoj maksimalnoj brzini fluida, koja se javlja na mjestu minimalne slobodne površine unutar snopa. Reynoldsov broj se određuje prema brzini wm, koja ovisi i o rasporedu cijevi:

ν

=dw

Re m . (11.13)

Za paralelni raspored cijevi u snopu vrijedi:

dS

Sww

T

Tm

−= 0 , (11.14)


151

ϑo

wo

SL

ST

dwo

ϑs

αwm

Slika 11.3 Paralelan raspored cijevi

ϑo

wo

SL

SD

d

wo

ϑs

ST

αwm

Slika 11.4 Naizmjeničan raspored cijevi

Za naizmjeničan raspored važna je dijagonalna udaljenost, SD:

( )[ ]222 2/SSS TLD += . (11.14) Kod takvog rasporeda razlikuju se dva slučaja:

Ako je: 2(SD − d) > (ST − d), tada vrijedi jednadžba: dS

Sww

T

Tm

−= 0 , (11.15)

Ako je: 2(SD − d) < (ST − d), treba wm računati iz jednadžbe: ( )dS

Sww

D

Tm

−=

20 , (11.16)

Žukauskas je za takve slučajeve predložio novu formulu (11.17), umjesto jednadžbe (11.12):

41

031

/

s

/m

Pr

PrPrReC

dNu

=

λ

α= , (11.17)

vrijedi uz ove uvjete: 0,7 < Pr <500, 1 < Re < 106 (Re i Pr za ϑm, Prs za ϑs, Pr0 za ϑ0 )

TABELA II - Vrijednosti konstante C i eksponenta m PARALELAN IZMJENIČAN

Područje Re C m C m

1 - 40 0,8 0,40 0,40

40 - 1000 Primijeniti proračun za jednu cijev - jednadžba (11.12)

(ST/SL< 0,7) → izbjegavati ST/SL< 0,2 C = 0,35(ST/SL)1/5 0,60 103 - 2·105

(za ST/SL> 0,7) C = 0,27 0,63 ST/SL> 0,2 C = 0,40 0,60

2·105 - 106 0,021 0,84 0,84


152

B2. Ravna vertikalna stijenka Za prisilno strujanje pored ravne vertikalne stijenke dužine L obično se uzima kriterijski

Reynoldsov broj Rek = 500 000. Temperatura stijenke je ϑs = konst., a dovoljno daleko od stijenke (neometano strujanje) temperatura je ϑo i brzina fluida w. Fizikalna svojstva treba uzeti za prosječnu temperaturu ϑm = 0,5(ϑs+ϑo). B2.1 Laminarno strujanje:

31216640 //PrRe,

LNu =

ν

α= , (11.18) Re = wL/ν < Rek = 500 000

B2.2 Turbulentno strujanje:

318003250 /,PrRe,

LNu =

ν

α= , (11.19) Re = wL/ν > Rek = 500 000

II. SLOBODNA (PRIRODNA) KONVEKCIJA

Pri slobodnoj konvekciji nema prisilne brzine fluida, w, već se gibanje fluida ostvaruje prirodno, zbog razlike gustoće. U tim slučajevima važan je utjecaj temperature na fizikalna svojstva fluida, pa se kriterij forme strujanja definira u obliku produkta Grashofovog i Prandtlovog broja, tj. Rayleighovog broja, Ra = GrPr. (Vidi definicije Gr, Pr i Ra u uvodu). Grashofova značajka: - za kapljevine:

2

30

ss

s gHGr

νρ

ρ−ρ= , (11.20)

- za plinove:

2

3

0

0

s

s gH

T

TTGr

ν

−= , (11.21)

Fizikalna svojstva treba uzeti u skladu s indeksom: - indeks "s" , prema temperaturi stijenke ϑs, - indeks "o" , prema temperaturi fluida ϑo. Fizikalna svojstva, koja se javljaju u Nu i Pr broju treba uzeti za prosječnu temperaturu, ϑm= 0,5(ϑs+ϑo).

C. Vertikalna ravna stijenka

Vertikalna stijenka visine H i konstantne temperature ϑs u dodiru je s mirujućim fluidom (kapljevinom ili plinom) temperature ϑo. C1.1 Laminarno strujanje: ako je Ra = GrPr < 108 :

( ) 41520 /PrGr,

HNu =

λ

α= , (11.22)

C1.2 Turbulentno strujanje: ako je Ra = GrPr > 108

( ) 31170 /PrGr,

HNu =

λ

α= . (11.23)

H

ϑs, ρs

ϑo, ρo

"mirujući fluid"

GRIJANJE FLUIDA

ϑs > ϑo

α

Slika 11.5 Slobodna konvekcija


153

C2. Horizontalna cijev

Za slobodnu konvekciju fluida temperature ϑo, oko horizontalne cijevi vanjskog promjera d i temperature stijenke ϑs, vrijedi za područje Ra = GrPr > 103 slijedeća formula :

( )1/4

0, 41d

Nu GrPrα

= =λ

. (11.24)

d

ϑs

ϑo

"mirujući fluid"

α

Grijanje fluida

ϑs > ϑo

Slika 11.6 Slobodna konvekcija na horizontalnoj

cijevi

D. KONDENZACIJA Kondenzacija nastupa kada je temperatura stijenke, ϑs, manja od temperature zasićenja, ϑ´, pare s obzirom na tlak p pod kojim se para nalazi. Prema načinu oblikovanja kondenzata razlikujemo dva tipa kondenzacije: filmsku i kapljičastu. Ovdje se navode samo slučajevi filmske kondenzacije.

D1. Filmska kondenzacija

Kada na stijenci nastaje kontinuirani sloj kondenzata, koji pod utjecajem gravitacije otječe niz stijenku, govorimo o filmskoj kondenzaciji. Riječ film ukazuje na malu debljinu sloja kondenzata, a ta je činjenica omogućila Nusseltu da, uz neka pojednostavljenja, dobije analitičko rješenje prijelaza topline pri kondenzaciji. D1.1 Kondenzacija na vertikalnoj stijenci

K

Ts

1

s

1'

s

pH

x

wx

ϑ

y

�

g

ϑ s

T´1''

Tp

T

( ) hhssTq ′′−′=′′−′=

qpot ≈ 0 hhqpreg

′′−= 1

w∞= 0

pregrijana para

ρp , ϑp , p

kondenzat

stvarni profil

brzine wx

s 1' 1''

ϑ p

1

ααh

λ s

ϑ ′

ϑ h

rashladno

sredstvo

As = bH

qs

d

( ) ( )ϑ′−ϑα=ϑ′−ϑ= shs kq

Slika 7. Filmska kondenzacija na vertikalnoj stijenci


154

Prosječni Nusseltov broj, za stijenku visine H i temperature ϑs, na kojoj kondenzira pregrijana para entalpije h, ili suhozasićena para entalpije h˝, može se izračunati prema formuli:

4

3

)(43

4

H g h =

λ

H =Nu

sϑ−ϑ′νλ

ρ∆α, (11.25)

odnosno, za prosječni koeficijent prijelaza vrijedi konačna formula:

H

g h=

s

4

3

)(43

4

ϑ−ϑ′ν

λρ∆α , W/(m2 K), (11.26)

gdje je za pregrijanu paru ∆h = h − h´, a za suhozasićenu paru ∆h = h˝ − h´. Temperatura zasićenja ϑ' određena je tlakom pare, p. Fizikalna svojstva kondenzata: ρ, λ, µ i ν = µ/ρ, uzimaju se za srednju temperaturu kondenzata: ϑm = 0,5(ϑ′ + ϑs). Temperaturu stijenke ϑs treba pretpostaviti za proračun. Zbog te pretpostavke jednadžba (11.26) ne daje točnu vrijednost koeficijenta α, pa tako ni vrijednost gustoće toplinskog toka predanog stijenci: ( )ϑ′−ϑα= ssq , W/m2, (11.27)

koji još dodatno ovisi o pretpostavci temperature ϑ′. Rješenje se mora tražiti iterativno, tj. ponavljanjem proračuna uz promjenu pretpostavke. Račun se kontrolira pomoću jednadžbe za gustoću toplinskog toka:

( )ϑ′−ϑ= hs kq , W/m2, (11.28)

gdje je k koeficijent prolaza topline:

1

11−

α+

λ+

α=

sh

dk , W/(m2 K). (11.29)

Ovdje je αh koeficijent prijelaza topline na strani rashladnog sredstva, d debljina stijenke, a λs koeficijent vodljivosti topline stijenke.

U jednadžbi (11.28) je utjecaj pretpostavljene temperature ϑ′ uključen samo preko koeficijenta k, a ne neposredno u razlici temperatura. Zato će iz te jednadžbe izračunata vrijednost za qs biti mnogo točnija od one prema jednadžbi (11.27). Rezultat za qs iz (11.28) treba uvrstiti u jednadžbu (11.27) koja sada omogućava dobivanje točnijeg podatka za ϑ′ (kontrolni rezultat). S tom se temperaturom, kao novom pretpostavkom, račun ponavlja sve dok razlika između pretpostavke i kontrolnog rezultata za ϑ′ ne bude zanemariva. Jednadžba (11.26) može se koristiti i za određivanje α pri kondenzaciji na vertikalnim cijevima, ili unutar cijevi ako unutarnji promjer cijevi, du, nije malen.

D1.2 Kondenzacija na horizontalnoj cijevi

Za horizontalnu cijev vanjskog promjera dv i dužine L može se prosječni koeficijent prijelaza topline izračunati prama jednadžbi:

T T d

g h=

sv

4

3

)(4 −′ν

λρ∆α , W/(m2 K). (11.30)

Documents

Racunanje Koeficijenta Prijelaza Toplote