1

Århus universitet

Radialhastigheder

Radialhastigheden af den åbne stjernehob NGC 2506

Christian Schultz4/4/2008

AbstractMålet med denne opgave er at finde radialhastigheden af stjerner i hoben NGC 2506, samt at undersøge brugbarheden af krydskorrelation som værktøj i astrospektroskopi. Opgaven er med dette in mente udformet dels som en præsentation af resultaterne, dels som en instruktion i hvordan man bruger krydskorrelationsfunktionen i astrospektroskopi.

Den valgte metode er ved krydskorrelation mellem stjernens spektrum og solens spektrum som reference. Ud fra dette bestemmes Dopplerforskydningen som omsættes til en hastighed.

Der blev undersøgt 15 spektre hørende til 15 forskellige tidspunkter for 6 forskellige stjerner. Metoden viste sig god til automatisk at behandle større datamængder. Generelt blev resultaterne meget præcise.

Stjernerne 1519, 2349 og 2663 blev bestemt til at være medlemmer af hoben. Stjernerne 1839 og 2841 blev bestemt til ikke at være medlemmer af hoben. Stjernen 2019 er sandsynligvis en dobbeltstjerne, og det er ikke utænkeligt at systemet er medlem af hoben.

IndholdAbstract........................................................................................................................................................1

Indledning.....................................................................................................................................................2

Teori.............................................................................................................................................................2

Matlab program og metode.........................................................................................................................3

Resultater og diskussion...............................................................................................................................4

Metodens og programmets begrænsning og fejlkilder................................................................................6

Konklusion....................................................................................................................................................7

Bilag 1...............................................................................................................................................................8

Bilag 2...............................................................................................................................................................9

Tabel 1: Resultater.........................................................................................................................................10

Tabel 2: Kombination af resultater 100 Å.......................................................................................................10

Tabel 3: Kombination af resultater 50 Å.........................................................................................................10

Figur 1: Krydskorrelation af pænt spektrum...................................................................................................11

Figur 2: Krydskorrelation af støjfyldt spektrum..............................................................................................12

Figur 3: En dobbeltstjerne..............................................................................................................................13

Figur 4: Smalt hastighedsbælte......................................................................................................................14

2

IndledningJeg vil i denne opgave forsøge at undersøge radialhastighederne af stjernerne ’NGC2506-1519’ ’NGC2506-1839’ ’NGC2506-2349’ ’NGC2506-2663’ ’NGC2506-2841’ ’NGC2506-2019’ i stjernehoben NGC2506. Denne åbne stjernehob ligger i en afstand af ca. 3.5 kpc1. Jeg har valgt at skrive et program i Matlab der kan behandle spektrene af de forskellige stjerner ved at krydskorrelere med solens spektrum. Jeg har valgt denne metode ud fra overvejelser om effektivitet og præcision. Med en krydskorrelation tager man det meste af dataen i betragtning, samtidig med at algoritmen er forholdsvist effektiv. Man kunne have valgt en mere sofistikeret algoritme som f.eks. Broadening function2., men grundet opgavens omfang syntes det at skyde over målet.Alle spektrene er optaget med ESOs VLT og den tilhørende spektrograf UVES/FLAMES.

Hver stjerne har 15 spektre, kaldt epoker, der er taget på forskellige tidspunkter af året.

TeoriKrydskorrelationsfunktionen fungerer på den måde at den lægger to datasæt oven i hinanden, multiplicerer indgangsvist dataen og summerer til sidst alle disse tal op. Krydskorrelationsfunktionen får her en værdi for x=0, hvor x er forskydningen. Derefter rykker den det ene datasæt en plads til højre eller venstre, multiplicerer og summerer. Herefter får krydskorrelationsfunktionen en ny værdi for x=±1 alt efter om forskydningen er til højre eller venstre3. Dette fortsætter indtil de to datasæt kun har et overlap på kun én værdi. Hvis de to oprindelige datasæt havde størrelse N, bliver resultatet nu derfor en funktion på intervallet fra –N+1 til N-1 så antallet af værdier er altså 2N-1. Da krydskorrelationsfunktionen ikke tager højde for at de to datasæt ikke nødvendigvis rækker over samme målinger, er det nødvendigt at man har samplet sit signal sådan at de er evalueret på samme måling. De to datasæt skal så at sige indgangsvist have samme x-koordinater. Der hvor krydskorrelationsfunktionen har maksimum, er altså den flytning der får de to datasæt til at matche bedst (altså den flytning der skal til for at f.eks. to spektre ligger oven i hinanden).

Formlen for Doppler-forskydning er givet som

Δ vc

= Δ λλ

=λ− λ0λ0

Ønsker man derfor en inddeling af bølgelængder sådan at forskellen mellem to bølgelængder svarer til en konstant hastighedsforskel får man derfor:

Δ vc

= Δ λλ

=λ1−λ0λ0

⇒ λ1=λ0(1+ Δ vc )= λ0 (1+r )

hvor r ≡ Δ vc i det følgende kaldes opløsningen. Tilsvarende for den næste bølgelængde:

λ2=λ1 (1+r )=λ0 (1+r )2⇒ λn=λ0 (1+r )n

1 http://www.univie.ac.at/webda/cgi-bin/ocl_page.cgi?cluster=ngc2506 2 http://www.astro.utoronto.ca/~rucinski/SVDcookbook.html3 For en mere udtømmende og matematisk diskussion se: http://www.johnloomis.org/ece561/notes/xcorr/xcorr.html eller http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/other/correlate/

3

Ønsker vi bølgelængder inden for et interval fra λ0 til λmax bliver antallet af punkter i inddelingen med en given opløsning altså:

λmax= λ0 (1+r )n⇒ n=log( λmaxλ0 )=n log (1+r )⇒n=log ( λmax )−log ( λ0 )

log(1+r )

Antallet af punkter, n, skal selvfølgelig afrundes for at man får noget meningsfyldt ud af det. Når vi ønsker at krydskorrelere to spektre for at finde en radialhastighed, er det derfor smart at have sine bølgelængder samplet på denne hastigheds-ækvidistante måde. Det er ikke givet at den rå data fra spektret er samplet på denne måde (det er vel nærmest usandsynligt), så det er nødvendigt at interpolere den rå data fra det oprindelige spektrum til et nyt spektrum der er samplet på disse nye bølgelængder. Det er et standardtrick i signalanalyse, og der findes mange måder at gøre det på. Jeg har valgt at bruge Matlabs interp1 funktion efter modellen ’spline’. Ved aflæsning af krydskorrelationsfunktionens maksimum har man altså et mål for hastighedsforskellen (det er igen vigtigt at understrege at bølgelængderne der er samplet på skal være ens

for de to spektre der korreleres). Hvis man har valgt sin opløsning som r=1km /sc vil maksimum af

krydskorrelationsfunktionen være hastighedsforskellen i km/s.

Det ligger i krydskorrelationens natur at maksimum har et heltalligt koordinat. Det er derfor en god ide for præcisionens skyld at fitte en gaussfunktion eller anden funktion til maksimum.

Matlab program og metodeSelve hovedprogrammet hedder EXTRACT_DATA.m4. Jeg har så vidt muligt forsøgt at kommentere min kode grundigt nok til at det ikke burde være et problem at forstå hvad der foregår. EXTRACT_DATA.m udregner middelhastigheden for stjernerne i forskellige bølgelængdeintervaller ud fra de 15 forskellige epoker til rådighed, og udregner standard afvigelsen (spredningen). Som standard udregner programmet først for hele spektret, dernæst fra start til slut i bølgelængde-intervaller af 100 Å. Output bliver skrevet til kommando-prompten. Først bliver stjernens navn skrevet, dernæst bliver der skrevet en matrice med middel hastigheden i venstre søjle, standard afvigelsen i højre søjle. Første række er værdierne for hele spektret, de følgende rækker er i de specificerede bølgelængde-intervaller. Man kan ændre start og slut værdierne for spektret ved at indstille på lambda_min og lambda_max i linie 24-25. Man kan ændre på bølgelængde-intervallet i linie 26. Output er også et data array med data for alle stjernerne der i sin første række indeholder stjernenavnet, i 2. række 1. søjle indeholder en tekst-streng der fortæller hvilke bølgelængde-intervaller der er udregnet over. Dette data array skal læses som en tabel hvis man får det skrevet det ud5. Se Bilag 1 for eksempel på output

Der er også en funktion ved navn PLOT_SPECTRUM.m som kan plotte et spektrum med tilhørende krydskorrelationsfunktioner. Funktionen er stort set den samme som EXTRACT_DATA.m blot med en lidt anden struktur og tilsat plot-funktioner. Syntaksen er PLOT_SPECTRUM(sti til data mappe, filnavn (uden filtype), antallet af epoker, opløsning, start bølgelængde, slut bølgelængde). Se Bilag 2 for eksempel på funktionskald og output.

4 Alle funktioner som jeg selv har skrevet har uppercase navne. Det er for at undgå eventuel konflikt med eksisterende matlab funktioner5 Man kan f.eks. skrive det ud med fprintf funktionen i Matlab. Det har jeg dog ikke gjort i mit program, jeg synes ikke det var nødvendigt.

4

Jeg vil i det følgende kort gøre rede for hvordan EXTRACT_DATA.m kommer frem til sine resultater. Ideen i programmet er at det indlæser data filerne med funktionen WORKDATA.m. Denne funktion indlæser og bearbejder data sådan at spektret bliver centreret om 0 og vendes om sådan at H-alfa linien vender opad. Alle emissionslinier fra jordens atmosfære slettes (sættes lig 0). Fluxen skaleres også sådan at den relativ til den maksimale flux. Funktionen DOPPLER_RESAMPLE.m laver de resamplede bølgelængdevektorer svarende til ækvidistant hastighedsforskel sådan som det er omtalt i teori afsnittet. Stjernespektret krydskorreleres med solens spektrum med funktionen CROSSCORR.m. Krydskorrelationsfunktionens maksimum fittes med en Gaussfunktion. Alt data der ligger uden for et bælte af ±50 km/s i forhold til maksimum af krydskorrelationsfunktionen ekskluderes. Gaussfittet er meget følsomt over for begyndelsesbetingelser og støj, så det er ret vigtigt med nogle gode gæt. Det område der skal ekskluderes data udenfor, og de værdier for de forskellige koefficienter der søges i, er bestemt empirisk fra min side. Jeg har prøvet forskellige kombinationer, og jeg har ud fra dette vurderet de medfølgende spredninger på hastighed. Der var en generel tendens til, at de stjerner hvor der i forvejen var lille spredning, var meget ufølsomme over for begyndelsesbetingelser, mens de stjerner der var stor spredning på var meget følsomme.

En parameter som har stor betydning er de bølgelængde intervaller man kører over. Jeg har som standard kørt over intervaller af 100 Å, fordi regnetiden ellers bliver forlænget en hel del. Man kan faktisk opnå en lidt bedre præcision ved at skære dette interval ned til 50 Å. Der er naturligvis også en nedre grænse.

Det skal for en god ordens skyld nævnes, at jeg ikke har fittet til en Gaussfunktion som de oftest bliver defineret, men en translateret Gaussfunktion:

aexp (− (x−x0 )2

2σ2 )+bDen parameter vi er interesseret i, er konstanten x0 der er forskydningen i x-retningen. Matlab udregner middelværdien over epokerne, og med Matlabs std funktion udregnes standardafvigelsen. Der er naturligvis også korrigeret for jordens egen bevægelse efter at hastigheden er blevet bestemt ud fra de enkelte epoker.

Resultater og diskussionSe ”Tabel 1: Resultater” for resultater for EXTRACT_DATA.m. En negativ hastighed svarer til rødforskydning. Det ses straks at stjernerne 1839, 2349 og 2841 alle giver et godt, konsistent resultat. Stjernerne 1519 og 2663 giver også et rimeligt resultat, mens 2019 synes at være meget upræcis.

Har man n antal målinger kan man udregne spredningen på disse6:

sn=√ 1n−1∑i (x−x i )

2

hvor x er gennemsnittet. Ud fra dette kan man finde usikkerheden som7

6 Helge Knudsen: Fysik 6. Kvarter: Laboratorie øvelser formel 1.12. Findes som funktionen std i Matlab7 Helge Knudsen: Fysik 6. Kvarter: Laboratorie øvelser formel 1.18

5

Sn=sn ( x )√n

Ønsker man så at kombinere flere resultater af typen X n±Sn kan man bruge formlen8

X=∑i=1

n

S i−2 X i

∑i=1

n

Si−2

til at udregne et vægtet gennemsnit. Usikkerheden på denne kombination af måleresultater er givet ved9

S=(∑i=1

n

Si−2)

−1 /2

Så altså bliver resultatet af formen X ±S

Gør man dette på stjernerne får man et noget mere præcist resultat. Se ”Tabel 2: Kombination af resultater 100 Å”10. For stjernerne 1839, 2349 og 2841 er der ingen tvivl om, at de spektrallinier der er blevet krydskorreleret til, er faktiske spektrallinier i stjernen, og ikke støj eller spektrallinier fra jordens atmosfære. Det kan man også se hvis man kører funktionen PLOT_SPECTRUM.m og sammenholder med et billede af solens spektrum. For et eksempel på en pæn krydskorrelation se ”Figur 1: Krydskorrelation af pænt spektrum”. Dette er taget for stjernen 2841 i bølgelængdevinduet 6600 Å-6690 Å. Vi ser at Gaussfunktionen ligger fuldstændigt oveni krydskorrelationsfunktionen.

Anderledes forholder det sig med stjernerne 1519, 2663 og 2019. Både stjernen 1519 og 2663 får en lidt dårligere præcision der skyldes at der i nogle bølgelængde-vinduer ikke er tilstrækkeligt stærke spektrallinier til at krydskorrelere med solens spektrum. Dette er tydeligt afspejlet i ”Tabel 1: Resultater”. Hermed får støj en dominerende rolle. For et særligt grelt tilfælde se ”Figur 2: Krydskorrelation af støjfyldt spektrum”. Det første man her lægger mærke til er at fittet ser ud til at være helt forfærdeligt. Det er dog ikke helt sandt. Formen af Gaussfunktionen er ikke optimal, men toppunktet passer rimelig godt. Det er ikke svært at få Gaussfunktionen til at ligge oveni toppunktet ved blot at indsnævre afsøgningsområdet til et bælte på 10 km/s omkring toppunktet, men spredningen bliver ikke mindre af den årsag11. Rent visuelt kan man jo også se at en Gaussfunktion ikke er nogen god model for denne krydskorrelation. Bemærk at dette er særligt grelt eksempel, og det er kun brugt til at illustrere en af metodens begrænsninger. Langt de fleste krydskorrelationer og Gaussfunktioner stemmer rigtig godt overens hvis bare man har pæn data. Figuren er taget for stjernen 1519 i bølgelængdevinduet 6300 Å – 6400 Å.

Pointen med at metoden er følsom overfor den del af spektret man krydskorrelerer over, bliver yderligere understeget af, at hastigheden for stjernen 2663 i bølgelængdevinduet 6600 Å – 6690 Å lige pludselig ser ud til at være positiv. Det er selvfølgelig ikke korrekt, og det kan være svært at sige præcis hvad der er årsag

8 Helge Knudsen: Fysik 6. Kvarter: Laboratorie øvelser formel 1.259 Helge Knudsen: Fysik 6. Kvarter: Laboratorie øvelser formel 1.2610 Bemærk at jeg i ”Tabel 2: Kombination af resultater” har ekskluderet data for bølgelængdevinduet 6600 Å – 6690 Å.11 Se kommentar i næste afsnit

6

til dette. Hvis man plotter spektret af stjernen, kan man se at spektret her er meget svagt, så måske er det man ser en gas/støv sky der ligger i forgrunden. Hvis stjernens spektrum er svagt i dette vindue, kan skyen, selv hvis den er meget diffus, godt gå ind og dominere her. Hvis skyen er meget diffus vil stjernens spektrum dominere i de andre vinduer. Det kunne måske også være emissionslinier fra jordens atmosfære, men det er svært at forklare hvordan disse kan give anledning til en så stor positiv radialhastighed. Hastigheden er jo ca. målt til 50 km/s, og jordens egenbevægelse er ca. 25 km/s relativt, så det er ikke jordens bevægelse i forhold til hoben man ser. Det er netop derfor at jeg har valgt at ekskludere data og 6600-6690 Å for denne stjerne i kombinationerne af måleresultater.

På ”Figur 3: En dobbeltstjerne” er krydskorrelationen for stjernen 2019 plottet i bølgelængdevinduet 6400 Å – 6500 Å. Der er en kæmpe spredning på hastighederne, det kunne næsten se ud som at stjernen havde en variabel radialhastighed. En hastighedsændring af denne størrelsesorden for en isoleret stjerne er dog udelukket på den tidsskala målingerne er taget over. Den mest oplagte forklaring er, at vi her har at gøre med en dobbeltstjerne. Det ville kunne forklare hvorfor radialhastigheden tilsyneladende ændrer sig, fordi vi på jorden modtager spektret fra to stjerner med forskellig radial hastighed. Normalt vil krydskorrelationen af en dobbeltstjerne have to dominerende maksimum forskudt fra hinanden. At denne stjerne ikke har et sådant fast mønster, kan måske tilskrives at den ene stjerne er meget mere lysstærk end den anden.

Som nævnt i afsnittet ”Matlab program og metode” er programmet følsomt for de bølgelængdevinduer man kigger i. I ”Tabel 3: Kombination af resultater 50 Å” ser man nogle lidt bedre resultater ved et vindue på 50 Å.

Det virker ud fra resultaterne naturligt at konkludere at stjernerne 1519, 2349 og 2663 alle af medlemmer af hoben da de stort set har samme hastighed. Ud fra betragtninger fra virialsætningen virker det usandsynligt at 1839 og 2841 er medlem af hoben, da deres hastigheder adskiller sig så meget fra de andre at de ikke kan være gravitationelt bundne. En forsigtig konklusion kunne nok også være at 2019 er medlem af hoben, men der er stor usikkerhed hæftet på denne måling.

Metodens og programmets begrænsning og fejlkilderDet er som allerede diskuteret en vigtig pointe at man finder et godt udsnit af spektret at krydskorrelere over. Præcis hvad ”et godt udsnit” er, afhænger af flere faktorer. Hvis det er en stjerne med en smal H-alfa linie er et udsnit over denne linie som regel et godt bud. Har stjernen derimod en meget bred H-alfa linie får man bedre resultater i et andet område med smallere linier. Udsnittet afhænger også af stjernetypen i forhold til reference spektret. Havde man f.eks. en O stjerne ville man nok vælge et referencespektrum med tydelige He II linier og krydskorrelere over dette.

En vigtig begrænsning i programmet er at det med al sandsynlighed vil være upålideligt for tætte stjernesystemer som f.eks. de centrale dele af kuglehobe. Programmet kan ikke skille spektrene fra to forskellige stjerne fra hinanden, så hvis der ligger en forgrunds- eller baggrunds-stjerne med en anden radialhastighed vil programmet give upålidelige resultater.

Et af de steder hvor der tydeligvis også er plads til forbedring er i dobbeltstjernesystemer. Her vil man med fordel kunne fitte en dobbelt Gaussfunktion til de to maksimum (hvis de er synlige). Man skal dog have en rimelig sofistikeret algoritme til at gætte på hvordan forskriften skal være. Et sådant fit vil være ekstremt

7

følsomt overfor begyndelsesbetingelser. Man kan naturligvis altid gøre det manuelt, men en mulig algoritme kunne være at man fittede en Gaussfunktion til først det ene maksimum, skar dette væk og dernæst bestemte maksimum af det resterende spektrum. Herefter kunne man så fitte en ny Gauss kurve til dette. Denne metode forudsætter naturligvis at den første Gauss funktion ligger meget tæt op af det første maksimum.

Det er nok også værd at overveje hvor bredt et hastighedsbælte man skal tillade fittet at tage med i sine overvejelser. På ”Figur 2: Krydskorrelation af støjfyldt spektrum” ser vi krydskorrelationen af et støjfyldt spektrum, og vi ser at Gaussfunktionen ikke er optimal til at detektere formen af maksimum. Dette plot er taget hvor programmet har ekskluderet data der svarede til en afvigelse på mere end ±50 km/s i forhold til maksimum af krydskorrelationen. ”Figur 4: Smalt hastighedsbælte” viser samme krydskorrelation med alt data der afviger med mere end 5 km/s ekskluderet. Her passer Gaussfunktionen meget bedre til toppen12, men spredningen er gået fra 11.64 km/s til 20.17 km/s. Det virker derfor mere naturligt at have et lidt bredere hastighedsbælte der tager mere af krydskorrelationen i betragtning. Der er selvfølgelig også en øvre grænse, for det nytter jo ikke at fitte til hele krydskorrelationen. Som jeg nævnte i afsnittet ”Matlab program og metode” er 50 km/s valgt empirisk ud fra adskillelige forsøg med forskellige bælter. Overordnet set over alle spektre var 50 km/s det bælte der gav de pæneste fit med lavest spredning.

KonklusionRadialhastighederne med tilhørende usikkerheder er som før omtalt sat op i ”Tabel 3: Kombination af resultater 50 Å”. Overordnet set er tallene meget pålidelige med en meget lille usikkerhed. Specielt er stjernerne 1839, 2349 og 2841 rigtigt gode eksempler på metodens præcision. Stjernen 2019 havde en usikkerhed på ca. 5 km/s, og dette kan måske tilskrives at det er en dobbeltstjerne.

Stjernerne 1519, 2349 og 2663 er medlemmer af hoben. Stjernerne 1839 og 2841 er ikke medlemmer af hoben. Stjernen (eller stjernerne) 2019 kan godt tænkes at være medlem af hoben, men det er svært at sige med sikkerhed

Metoden viste sig meget velegnet til denne stjernehob. At bestemme hastigheden for stjerner i en hob i en afstand af 3.5 kpc med en præcision på mindre end 0.5 km/s må siges at være et pænt resultat.

12 Men man skal ikke lade sig narre: Når alt kommer til alt er vi jo interesserede i konstanten x0 der angiver forskydningen og ikke i de andre koefficienter. I et så støjfyldt spektrum som dette, er det ikke givet at maksimum af krydskorrelationen svarer til der hvor spektrallinierne er bedst korrelerede

8

Bilag 1Programmet er kun kørt for stjernen 2841 i intervaller af 100 Å

9

Bilag 2

>> PLOT_SPECTRUM('E:\My Documents\MATLAB\TØ i observationelle værktøjer\Projekt\Data\', 'NGC2506-2841', 15, 1, 6400, 6500)

gns =

-64.1121

afv =

1.1893

>>

Udover dette kommer der så to figurer, en med spektret efter det har været gennem WORK_DATA.m, og en med krydskorrelationerne. Bemærk at filnavnet er uden filtype, så hvis ikke ikke filtypen på data filerne for de forskellige epoker er ep1, ep2 osv giver programmet en fejl

10

Tabel 1: ResultaterTallene for stjernerne ved EXTRACT_DATA.m. Kørt i bølgelængde vinduer af 100 Å over alle 15 epoker

Stjerne 1519 1839 2019 2349 2663 2841Interval Hastighed13 Spredning14 Hastighed Spredning Hastighed Spredning Hastighed Spredning Hastighed Spredning Hastighed Spredning6300 Å-6690 Å -88.79 2.45 6.39 1.40 -97.94 48.64 -85.38 1.35 -88.09 1.77 -64.67 1.116300 Å-6400 Å -83.16 11.64 6.47 1.40 -95.82 45.30 -85.20 1.43 -66.46 33.80 -64.55 1.096400 Å-6500 Å -88.76 5.29 7.13 1.40 -90.88 49.96 -85.06 1.39 -86.26 5.97 -65.11 1.196500 Å- 6600 Å -88.69 3.94 5.73 1.49 -98.11 44.49 -85.12 1.23 -88.51 1.23 -65.24 1.016600 Å- 6690 Å -90.22 8.05 6.33 1.25 -80.51 76.22 -85.53 1.20 58.48 8.60 -65.28 0.91

Tabel 2: Kombination af resultater 100 Å

Stjerne

1519 1839 2019 2349 266315 2841

Hastighed Usikkerhed Hastighed Usikkerhed Hastighed Usikkerhed Hastighed Usikkerhed Hastighed Usikkerhed Hastighed Usikkerhed-88.70 0.48 6.42 0.16 -94.53 5.79 -85.27 0.15 -88.29 0.25 -64.84 0.12

Tabel 3: Kombination af resultater 50 Å

Stjerne

1519 1839 2019 2349 266316 2841

Hastighed Usikkerhed Hastighed Usikkerhed Hastighed Usikkerhed Hastighed Usikkerhed Hastighed Usikkerhed Hastighed Usikkerhed

13 Hastighed er i km/s. Negativ hastighed svarer til rødsforskydning14 Spredning er i km/s15 Data fra 6600 Å – 6690 Å er ekskluderet. Se kommentar i opgave16 Data fra 6650 Å – 6690 Å er ekskluderet.

11

-88.76 0.46 6.58 0.12 -85.22 4.74 -85.20 0.11 -88.35 0.25 -64.85 0.09

12

Figur 1: Krydskorrelation af pænt spektrum

13

Figur 2: Krydskorrelation af støjfyldt spektrum

14

Fig

15

ur 3: En dobbeltstjerne

16

Figur 4:

17

Smalt hastighedsbælte

18