Radiazione Cosmica di Fondo e Determinazione dei Parametri ...einstein.na.infn.it/~astropar/doc/tesiale.pdf · 8.4 Generalizzazione dello spettro di potenza ... ma piu` in generale

Universita degli Studi di Napoli “Federico II”

Facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e NaturaliCorso di Laurea in Fisica

Tesi di Laurea

Radiazione Cosmica di Fondo eDeterminazione dei Parametri

Cosmologici dall’Esperimento WMAP

Relatori:Prof. G. ManganoProf. G. Miele

Candidato:Alessandro CuocoMatricola 60/694

Anno Accademico 2002/2003

Indice

Introduzione i

1 Cosmologia 1

1.1 Principio cosmologico e metrica di FRW . . . . . . . . . . . . 11.2 Tempo conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Equazioni di Einstein e di Friedmann . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Redshift cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Distanza di diametro angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 La scala delle distanze della CMB . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Degenerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Analisi Statistica 15

2.1 Media d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Funzione di correlazione a due punti e spettro di potenza . . 162.3 Spettro di Harrison-Zeldovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Fluttuazioni su una superficie sferica . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Bispettro e gaussianita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Statistica della CMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Teoria Perturbativa e Liberta di Gauge 23

3.1 Linearizzazione delle equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Liberta di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Scalari, vettori, tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Tensore Energia-Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Trasformazioni di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5.1 Trasformazioni della metrica . . . . . . . . . . . . . . 293.5.2 Trasformazioni della materia . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6 Gauge sincrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.7 Gauge longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.8 Formalismo gauge-invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Equazioni cosmologiche 35

4.1 Analisi di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Equazioni di Einstein e fluidi non relativistici . . . . . . . . . 36

1

2 INDICE

4.3 Cold Dark Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 Fluidi relativistici e teoria cinetica . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Soluzione per il background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.6 Sviluppo perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.7 Neutrini non massivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.8 Neutrini massivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.9 Fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.10 Ricombinazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.11 Barioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.12 Spettro della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.13 Soluzioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Polarizzazione 59

5.1 Parametri di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Produzione di polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3 Modi elettrici e magnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 Simulazione di una mappa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.5 Significato della polarizzazione E e B . . . . . . . . . . . . . 71

5.6 Modi E e B per le fluttuazioni scalari . . . . . . . . . . . . . 72

6 CMBFAST e l’integrazione lungo la linea di vista 75

6.1 Integrazione lungo la linea di vista . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2 Approssimazioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7 Comprensione dello Spettro di Potenza 83

7.1 Breve storia della CMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.2 Approssimazioni fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.3 Grandi Scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.4 Scale Intermedie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.5 Piccole Scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.6 Approssimazione dello Spettro di Polarizzazione . . . . . . . . 94

8 Condizioni Iniziali 99

8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.2 Condizioni Iniziali adiabatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.3 Conteggio dei modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.4 Generalizzazione dello spettro di potenza . . . . . . . . . . . 107

8.5 Significato fisico delle perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.5.2 Legame con la Teoria dei Fluidi . . . . . . . . . . . . . 112

8.5.3 Interpretazione dei modi . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

INDICE 3

9 Analisi Numerica 119

9.1 I Dati Sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.2 La pipeline della CMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.3 Rumore degli strumenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.4 Confronto tra teoria ed esperimento . . . . . . . . . . . . . . 127

9.4.1 Statistica χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.4.2 Statistica log-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.5 Fit dei dati e stima dei parametri cosmologici . . . . . . . . . 1309.6 Commenti sulla normalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.7 Discussione dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.8 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

A Modello per la velocita del suono in un universo di radia-

zione e materia 141

B Armoniche Sferiche Spinoriali 143

Introduzione

Il Modello Cosmologico Standard sembra oggi ben adattarsi all’universonel suo complesso. Nell’ambito di questo modello, come suggerito da varieevidenze sperimentali,l’universo viene assunto omogeneo ed isotropo il cheequivale, formalmente, a descriverlo in termini di una metrica di Friedmann-Robertson-Walker (FRW); la sua evoluzione e poi determinata dalle equa-zioni di Einstein e dal suo contenuto in energia, fondamentalmente materiae radiazione, in cui distinguiamo, nello specifico, materia barionica e nonbarionica (Dark Matter), fotoni e neutrini non massivi.

Ne emerge il quadro di un universo originatosi da una singolarita iniziale(Big Bang) e che va ora lentamente espandendosi e raffreddandosi; il suofuturo, invece, e ancora fondamentalmente incerto e dipende dal contenu-to complessivo di energia in rapporto alla densita critica: a seconda chela densita sia maggiore o minore di quella critica, l’universo si arrestera ecominciera a contrarsi o continuera ad espandersi indefinitamente.

Questo modello spiega molto bene la maggior parte delle caratteristicheosservabili dell’universo, ma dipende inevitabilmente da alcuni parametriche vanno determinati in base ad osservazioni sperimentali.

Vari esperimenti sono in corso allo scopo: la misura della relazione lu-minosita-redshift nelle supernove di tipo Ia [14], sensibile soprattutto alrate di espansione (la costante di Hubble H0), la misura dell’abbondanzaprimordiale degli elementi (prevista dalla nucleosintesi [43]) e, soprattut-to, la misura delle anisotropie della Radiazione Cosmica di Fondo (CosmicMicrowave Background), argomento di questa tesi.

La CMB e la radiazione formatasi alla fine dell’epoca della radiazione,quando la temperatura dell’universo e diventata sufficientemente bassa daconsentire ad elettroni e protoni di combinarsi in atomi di idrogeno (la ri-combinazione): i fotoni, che fino a quel momento formavano un unico fluidocon gli elettroni, si disaccoppiano e rendono l’universo, infine, trasparente.

I parametri del Modello Standard sono sostanzialmente di due tipi: i pa-rametri cosmologici che descrivono l’universo attuale (il rate di espansione, ilcontenuto di materia, la curvatura . . . ) e quelli che specificano le condizioniiniziali. Mentre ogni esperimento e piu o meno sensibile ai vari parametricosmologici, la CMB sembra attualmente l’unica in grado di porre limitistringenti sulle condizioni iniziali e testare, quindi, l’epoca inflazionaria.

i

ii INTRODUZIONE

Per questo, e per la particolare sensibilita ai parametri cosmologici, glisforzi sperimentali per la misura delle anisotropie della CMB sono statinotevoli con esperimenti da terra come BOOMERanG [54] e con satelliticome COBE [55] ed attualmente WMAP [56] di cui ci proponiamo in questatesi l’analisi dei dati; infine, nei prossimi anni e previsto PLANCK [57].

Rispetto agli altri esperimenti la teoria della CMB e decisamente com-plessa; per una previsione delle fluttuazioni bisogna infatti sviluppare unateoria perturbativa, come descriveremo nel capitolo 3; inoltre, le previsio-ni possibili sono solo di tipo statistico e l’analisi dei dati richiede, quindi,il formalismo delle funzioni di correlazione ad N punti, che svilupperemonel capitolo 2; le equazioni perturbative che descrivono l’evoluzione dei varifluidi cosmologici sono poi descritte nel capitolo 4.

L’informazione nella CMB non e contenuta solo nelle fluttuazioni ditemperatura, ma anche nella polarizzazione misurata per la prima voltaproprio da WMAP; il capito 5 e quindi dedicato alla comprensione del-le caratteristiche fondamentali della polarizzazione e ai meccanismi che lagenerano.

L’obiettivo di questa tesi e, comunque, la stime dei parametri cosmologicidai dati di WMAP; nell’ultimo capitolo viene quindi dato spazio alla meto-dologia necessaria per l’analisi dei dati e alla descrizione dei problemi praticida affrontare; nelle conclusioni vengono, infine, discusse le conseguenze deirisultati ottenuti per la cosmologia.

I risultati della CMB, uniti a quelli , complementari, degli altri espe-rimenti hanno posto limiti notevoli sui parametri che definiscono il Mo-dello Cosmologico Standard; non bisogna, pero, dimenticare che i risul-tati dipendono in maniera cruciale da una serie di assunzioni e da unacorretta analisi degli errori sistematici. Queste ipotesi sono fondamentaliper l’interpretazione dei risultati e vengono piu volte sottolineate nel corsodell’esposizione.

Nel testo, se non specificato diversamente, si adotta la convenzione c = 1.

Capitolo 1

Cosmologia

La cosmologia e di per se un argomento vasto che richiederebbe molto spazioper una trattazione esauriente. In questo capitolo, invece, richiameremo soloi concetti fondamentali soffermandoci piu in dettaglio su quelli che hanno ri-levanza per la CMB. In particolare verra investigato il ruolo della distanza didiametro angolare nella determinazione di alcune degenerazioni e soprattut-to nella determinazione della scala tipica delle fluttuazioni nella radiazionecosmica di fondo.

1.1 Principio cosmologico e metrica di FRW

L’idea fondamentale della relativita e quella di descrivere spazio e temponon piu come due enti separati, ma come un tutt’uno (lo spazio-tempo), chepuo essere piatto (nel caso della relativita ristretta) e quindi descritto dauna metrica di Minkowsky, ma piu in generale curvo in presenza di corpimassivi (relativita generale).

Che forma avra la metrica che descrive il nostro universo nel suo com-plesso? Per semplificare il problema sembra naturale richiedere un certogrado di simmetria: l’ipotesi che generalmente si fa e che l’universo si possadescrivere con buona approssimazione come omogeneo ed isotropo (principiocosmologico). Questo ovviamente non e vero a piccole scale (planetarie) doveosserviamo grandi concentrazioni di massa come stelle e pianeti contrappo-ste ad enormi vuoti interstellari; tuttavia a scale molto piu grandi (dell’or-dine dei cluster di galassie) effettivamente la materia sembra distribuita congrande regolarita, dando un evidenza sperimentale, se non dell’omogeneita,almeno dell’isotropia.

La richiesta di omogeneita ed isotropia vincola fortemente la forma dellemetriche possibili, determinandola del tutto, in effetti, solo a meno di unafunzione del tempo. La metrica che si ottiene viene comunemente dettametrica di Friedmann-Robertson-Walker(F.R.W.):

1

2 CAPITOLO 1. COSMOLOGIA

ds2 = gµνdxµdxν = −dt2 + a2(t)

[

dr2

1− kr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

]

= −dt2 + a2(t)γijdxidxj (1.1)

dove r, θ, φ sono coordinate polari e γij e la metrica della parte spaziale chea seconda che k valga −1, 0,+1 diventa quella di un iperboloide, un iper-piano, o un’ipersfera. La funzione a(t) e invece una misura dell’andamentotemporale delle dimensioni dell’universo, che, quindi, puo espandersi oppurecontrarsi a seconda che a cresca o decresca.

Le coordinate r, θ, φ sono dette comoventi, in quanto misurano la posizio-ne di un oggetto in riferimento all’universo stesso mentre evolve. La sceltadi questo tipo di coordinate e molto comoda in quanto in questo riferimentola materia e’ a riposo ed ha quindi una descrizione molto semplice. Comun-que, r non e’ ovviamente la misura di una lunghezza propria; le dimensionifisiche si ottengono, piuttosto, riscalando le coordinate tramite il fattore discala:

~x(t) = a(t) ~r(t) (1.2)

Nel seguito adotteremo una forma della metrica spaziale leggermentediversa, che si ottiene con il cambio di coordinate: r −→ χ−1(r)

γijdxidxj = dr2 + χ2(r)(dθ2 + sin2 θdφ2) (1.3)

dove

χ(r) =

r k = 0sin r k = 1sinh r k = −1

(1.4)

1.2 Tempo conforme

La legge di propagazione dei raggi luminosi si ottiene imponendo che la lucesi muova lungo geodetiche nulle, vale a dire ds2 = 0. Per una metrica diMinkowsky

ds2 = gµνdxµdxν = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2 (1.5)

questa condizione si riduce semplicemente a dt = dr, quindi, la luce, in dia-gramma spazio temporale, descrive (in unita naturali) coni con un’ aperturadi 45; inoltre t rappresenta la distanza percorsa dalla luce. Questa sempliceproprieta non vale per la metrica di FRW e questo a causa dell’asimmetriacon cui vengono trattati spazio e tempo. Per ristabilire la simmetria e allo-ra utile introdurre un nuovo parametro temporale (che chiameremo tempoconforme) tramite il cambio di coordinate:

dτ =dt

a(t)(1.6)

1.3. EQUAZIONI DI EINSTEIN E DI FRIEDMANN 3

in termini del quale, la metrica si riscrive come:

gµνdxµdxν = a2(τ) (−d2τ + γijdx

idxj) (1.7)

che, nel caso particolare k = 0, diventa:

gµνdxµdxν = a2(τ) (−d2τ + dx2 + dy2 + dz2) (1.8)

cioe, il prodotto di a2 per la metrica di Minkowsky.Questo ci permette di trarre un importante interpretazione fisica per il

tempo conforme τ(t) : esso rappresenta la distanza (comovente) percorsadalla luce al tempo t. Poiche due regioni possono comunicarsi segnali, equindi influenzarsi, al piu alla velocita della luce, in definitiva τ(t) non ealtro che la dimensione (comovente) della regione causalmente connessa altempo t, che usualmente viene chiamata orizzonte causale.

1.3 Equazioni di Einstein e di Friedmann

Resta comunque da determinare la funzione a(t), fino a questo momentoarbitraria, la cui forma non puo essere determinata dalle sole proprieta disimmetria. Piu in generale, pur in assenza di simmetrie, gµν non puo esserearbitrario, ma soddisfera delle equazioni di campo fornite dalla teoria che,nel caso particolare della relativita generale, sono le equazioni di Einstein:

Gµν [gαβ ] = 8πG Tµν [gαβ ] (1.9)

dove Gµν e il tensore di Einstein, una quantita puramente geometrica (chedipende cioe solo da gµν) mentre Tµν e il tensore energia-impulso della ma-teria, funzione anch’esso di gµν e dei parametri che specificano quale tipo dimateria consideriamo.

Le equzioni di Einstein, in realta, non sono tutte undipendenti, ma sod-disfano alcuni vincoli derivati dalla geometria differenziale, le identita diBianchi, che si esprimono formalmente come Gµν;ν = 0 dove ; indica la deri-vata covariante sulla metrica spazio-temporale. Queste importanti identitageometriche, comunque, hanno una notevole conseguenza fisica: unite alleequazioni di Einstein implicano

Tµν;ν = 0 (1.10)

cioe la conservazione del tensore energia-impulso o, equivalentemente, leequazioni del moto per la materia, che avremo modo di usare in seguito.

La principale novita di queste equazioni, rispetto a quelle analoghe dellateoria Newtoniana della gravita, e che la materia non e piu vista come unacomponente statica, da assegnare come condizione iniziale, bensı come unaparte dinamica che influenza la curvatura dello spazio tempo e, allo stesso


tempo, viene influenzata da esso. Questo, ovviamente rende il problemamolto piu complicato, ma sicuramente piu ricco ed interessante.

Piu avanti daremo una descrizione piu dettagliata della materia; per ilmomento supporremo di poterla descrivere tramite 2 parametri: una densitaρ e una pressione P , cioe come un fluido perfetto. Allora nelle 3 incognitea, P, ρ le equazioni di Einstein si riducono alle 2 equazioni di Friedmann:

(

a

a

)2

+ k ≡ H2 + k =8

3πG a2ρ+

Λ

3a2 (1.11)

dρa3

da= −3Pa2 (1.12)

dove il punto (·) indica la derivazione rispetto al tempo conforme e dovee stata ammessa la possibilita di una costante cosmologica Λ. Ovviamenteper risolvere il sistema serve una terza equazione; questa e una condizioneaggiuntiva che lega P e ρ ed e detta equazione di stato. Solitamente siassume che abbia la forma

P = wρ (1.13)

con w costante (o, al piu, dipendente da τ); casi particolari sono:

P = 0 w = 0 : polvere (1.14)

P =ρ

3w = 1

3 : radiazione (1.15)

Definendo la costante di Hubble come

H ≡ da/dt

a=

a

a2=Ha

= 100 hKm/s

Mpc(1.16)

l’equazione (1.11) si puo scrivere come:

1 +k

a2H2=

8πG

3H2ρ+

Λ

3H2(1.17)

da cui si vede che la quantita ρc = 3H2

8πG ha le dimensioni di una densita, ede infatti detta densita critica:

ρc =3H2

8πG= 10−29 h2 g

cm3(1.18)

Il nome deriva dal fatto che, in assenza di costante cosmologica, ρc e esatta-mente la densita media necessaria a rendere piatto (k = 0) il nostro universo.In termini di ρc possiamo ancora riscrivere la (1.17) come

1− ρkρc

=ρ

ρc+ρΛ

ρc(1.19)

1.3. EQUAZIONI DI EINSTEIN E DI FRIEDMANN 5

dove abbiamo introdotto le 2 quantita

ρk = − 3k

8πGa2(1.20)

ρΛ =Λ

8πG(1.21)

che permettono di assimilare la costante cosmologica e l’effetto della curva-tura a quello di 2 fluidi.Infine introduciamo le quantita:

Ωi =ρiρc

(1.22)

ωi = Ωih2 (1.23)

in termini delle quali la prima equazione di Friedmann si scrive nelle 2 formemolto comuni:

1 = Ωk + Ω + ΩΛ =∑

i

Ωi (1.24)

h2 = ωk + ω + ωΛ =∑

i

ωi (1.25)

La notazione si e compattata notevolmente, ma e bene ricordare che laΩi sono in realta quantita dipendenti dal tempo:

Ωi = Ωi(τ) (1.26)

ωi = ωi(τ) (1.27)

mentre, in generale, quantita che si riferiscono all’istante attuale sarannoindicate con un pedice 0:

Ω0i = Ωi(τ0) (1.28)

ω0i = ωi(τ0) (1.29)

Per quanto riguarda Ω, ai fini della CMB considereremo 4 possibilicontributi:

Ωb : materia barionica

Ωc : Cold Dark Matter (CDM)

Ωγ : fotoni

Ων : neutrini non massivi

e, in piu, porremo

Ωm = Ωb + Ωc materia

Ωr = Ωγ + Ων radiazione


in prima approssimazione, cioe, possiamo considerare Ωb e Ωc come un unicofluido, la materia e ugualmente per Ωγ e Ων , la radiazione. Tuttavia, a livelloperturbativo, lievi differenze nell’equazione di stato o interazioni tra le variecomponenti rendono necessaria la trattazione come 4 fluidi distinti, comevedremo nei capitoli successivi.

Fortunatamente le equazioni di Friedman, pur essendo non lineari, sonoabbastanza semplici da poter essere risolte analiticamente; in particolare lesoluzioni sono molto semplici nel caso di universo piatto (k = 0):

• Universo dominato dalla radiazione con k = 0 e Λ = 0:

ρ = ρ0

(

a0

a

)4

(1.30)

a(τ) = a0τ

τ0(1.31)

• Universo dominato dalla materia con k = 0 e Λ = 0:

ρ = ρo

(

aoa

)3

(1.32)

a(τ) = a0

(

τ

τ0

)2

(1.33)

• Polvere + radiazione con k = 0 e Λ = 0:

a(τ) = aeq[

(βτ)2 + 2βτ]

(1.34)

dove

aeq =Ω0r

Ω0mβ =

(

Ω0mH0

4aeq

)1/2

(1.35)

• Universo dominato dalla costante cosmologica:

ρ = ρ0 = const. (1.36)

a(τ) =a0

1 +H0a−10 (τ0 − τ)

(1.37)

L’espansione in presenza di costante cosmologica viene spesso riferitacome esponenziale; questo e dovuto alla forma che assume il fattore discala in termini del tempo ”usuale”:

a(t) = a0eH0t (1.38)

La costante cosmologica e una forma di energia alquanto esotica; lasua equazione di stato implica che, affinche ρ rimanga costante, nuovaenergia deve essere creata continuamente (Etot ∝ V ); inoltre, in questimodelli, il parametro (a) e positivo, cioe l’universo e in una fase diespansione accelerata! Generalmente, Λ viene associata all’energia delvuoto.

1.4. REDSHIFT COSMOLOGICO 7

Vale la pena notare come la densita di energia della radiazione vada a zero(∝ a−4) piu velocemente della densita di energia della materia (∝ a−3);quindi c’e stato un periodo dell’universo in cui la radiazione era la formadi energia dominante (epoca della radiazione), per poi lasciare posto ad unperiodo dominato dalla materia (epoca della materia).

Va notato che dall’equazione di Friedmann 1.17 si deduce che curvaturae costante cosmologica, intesi come fluidi, hanno densita che decresconorispettivamente come a−2, a0, ( sempre che k,Λ 6= 0!) lasciando prevedereche prima o poi potrebbe esserci un’epoca dominata dalla curvatura o dallacostante cosmologica. In effetti, come vedremo in seguito, i piu recenti daticosmologici sembrano suggerire un valore positivo dell’accelerazione e quindiun valore non nullo di Λ indicando che attualmente stiamo vivendo un epocadi transizione tra materia e costante cosmologica.

1.4 Redshift cosmologico

Il modello cosmologico fin qui delineato, che chiameremo Modello Cosmolo-gico Standard (SCM), descrive, quindi, un universo omogeneo ed isotropoin evoluzione, cioe in contrazione o in espansione. Se il modello e correttoci aspettiamo allora un qualche tipo di effetto nella propagazione della luce;in particolare se l’universo si espande, durante il suo cammino la luce verra”stirata”, e la sua lunghezza d’onda (λ) aumentera mentre contemporanea-mente la frequenza (ν) e dunque l’energia dei fotoni di cui e composta (hν)diminuira; si ha esattamente l’opposto nel caso in cui l’universo si contragga.Per quantificare l’effetto introduciamo la variabile z, usualmente chiamataredshift :

z =λ0 − λλ

(1.39)

che misura la variazione percentuale di lunghezza d’onda dall’istante dell’e-missione (λ) della luce fino al tempo attuale in cui viene rivelata (λ0).

Per quanto detto, ci aspettiamo che z > 0 (che e associato ad una diminu-zione di ν e quindi ad un redshift) corrisponda ad un universo in espansione,mentre z < 0 (blueshift) corrisponda ad un universo in contrazione:

z > 0 redshift universo in espansione

z < 0 blueshift universo in contrazione

La misura sperimentale di z non presenta particolari problemi: λ0 puo es-sere misurato dallo spettro della sorgente a cui siamo interessati, mentreλ, la lunghezza d’onda all’emissione, puo essere riprodotta e misurata inlaboratorio se e noto l’elemento che ha emesso quella luce.

Ma cosa indicano i dati sperimentali? A piccole distanze i moti relativitra noi e le sorgenti (piu o meno casuali) sono predominanti ed il segno di zvaria a seconda dei casi; tuttavia, a partire da una certa distanza, l’effetto


cosmologico domina e il segno di z si stabilizza e diventa positivo. Le misuredi redshift sembrano, quindi, dare una forte evidenza per un universo inespansione! Storicamente, furono proprio le prime misure di un z positivo,da parte di Hubble nel 1932, a portare all’ipotesi di un universo in espansionee confutare la convinzione, (fino ad allora molto radicata) che l’universo fossestatico.

Sara, comunque, necessario collegare z alle quantita introdotte prece-dentemente; a tale scopo utilizziamo la condizione di propagazione dellaluce ds2 = 0 e supponiamo che il raggio si propaghi in maniera radiale(dθ = dφ = 0), dalla 1.1 allora si ha:

dt2 = a2(t)dr2

1− kr2 (1.40)

da cui∫ t0

t1

dt

a(t)=

∫ r1

0

dr

1− kr2 = χ−1(r1) (1.41)

dove r1 e la posizione comovente della sorgente, t1 il tempo di emissione eχ−1(r) e l’inversa della funzione introdotta precedentemente.

Se al tempo t1 + δt1 parte un altro raggio che viene ricevuto a t0 + δt0si ha:

∫ t0+δt0

t1+δt1

dt

a(t)= χ−1(r1) =

∫ t0

t1

dt

a(t)(1.42)

cioe∫

δt1

dt

a(t)=

∫

δt0

dt

a(t)(1.43)

trascurando la variazione di a su δt (che faremo corrispondere ad un periodo(T ) ed e quindi per la luce nel visibile dell’ordine di 10−14 s), si ha ancora:

δt1a(t1)

=δt0a(t0)

(1.44)

cioe (λ = cT = c/ν):δt1δt0

=λ1

λ0=ν0

ν1=a(t1)

a(t0)(1.45)

da cui finalmente:

1 + z =a0

a(1.46)

Da notare che, se ripetiamo lo stesso ragionamento con il tempo conformeτ , invece del tempo ordinario, otteniamo la relazione:

τ0 − τ1 = χ−1(r1) (1.47)

che ci sara utile in seguito.

1.5. DISTANZA DI DIAMETRO ANGOLARE 9

Figura 1.1: Geometria della distanza di diametro angolare

1.5 Distanza di diametro angolare

Nel comune spazio euclideo, quello che sperimentiamo giornalmente, la di-stanza e un concetto univoco e ben definito che non dipende dal particolaremetodo adottato per misurarla. La generalizzazione a spazi curvi e alla re-lativita non e pero cosı immediata, ed in generale la distanza non e unaquantita ben definita; in cosmologia, anzi, la misura pratica delle distanze ela loro corretta interpretazione e un problema serio, che ancora oggi e fontedi grandi difficolta e fraintendimenti.

In generale, vi saranno vari tipi di distanze: distanza di luminosita,distanza di diametro angolare, distanza di parallasse, distanza di moto pro-prio, ognuna delle quali prende il nome dal metodo impiegato per misurarlee a seconda del particolare problema verra impiegata la distanza piu adat-ta. La distanza di luminosita, per esempio, viene comunemente usata per lamisura di sorgenti di cui non si distingue la struttura, come stelle lontaneo supernove. Nel caso della CMB, invece, il ruolo fondamentale e giocatodalla distanza di diametro angolare: nel cielo nelle microonde, infatti, sononettamente distinguibili delle anisotropie, cioe delle strutture di dimensioneangolare ben definita e misurabile. Questo fa della distanza di diametroangolare il parametro piu importante per la fisica della CMB.

Riferendoci alla figura (1.1), in geometria euclidea se l’angolo θ e piccolo,allora abbiamo semplicemente che:

θE ≈λ

r(1.48)

come ovvia generalizzazione, in uno spazio curvo avremo:

θ ≈ λ

χ(r)=

λ

χ(τ0 − τ1)(1.49)

dove, pero, questa volta λ ed r rappresentano, rispettivamente, la dimensio-ne intrinseca e la distanza della sorgente comoventi.Le dimensioni fisiche della sorgente si ottengono, invece, moltiplicando λ peril fattore di scala al tempo τ1:

d = λ a(τ1) (1.50)


da cui, infine, otteniamo la distanza di diametro angolare come:

DA =d

θ(1.51)

ovvero, utilizzando la 1.49:

DA(z1) = a(τ1) χ((τ0 − τ1)(z1)) (1.52)

Nel caso di uno spazio chiuso, le soluzioni dell’equazione di Friedmann mo-strano che l’espansione e molto piu lenta rispetto al caso euclideo [1]; aparita di dimensioni, quindi, una sorgente apparira piu vicina e si vedra,allora, sotto un angolo maggiore rispetto al caso piatto; analogamente, inuno spazio aperto si avra che θ < θE , come e illustrato schematicamentenella figura (??).

Per ottenere dei risultati numerici, anche nel caso piu semplice k = 0,abbiamo pero bisogno della funzione τ(z); per ricavarla ripartiamo dall’e-quazione di Friedmann:

1 = Ωk + Ωm + Ωr + ΩΛ (1.53)

ed esplicitiamo le varie componenti:

Ωm = 8πG3H2 ρm = Ω0m

H20

H2

(

aoa

)3

(1.54)

Ωr = 8πG3H2 ρr = Ω0r

H20

H2

(

aoa

)4

(1.55)

ΩΛ = Λ3H2 = Ω0Λ

H20

H2(1.56)

Ωk = −ka2H2 ρm = Ω0k

H20

H2

(

aoa

)2

(1.57)

in maniera tale da avere

H = H0a2

0

a2

√

Ω0Λ

(

a

a0

)4

+ Ω0k

(

a

a0

)2

+ Ω0m

(

a

a0

)

+ Ω0r (1.58)

che, insieme a

aH = Ha2 =da

dτ(1.59)

da’ infine:

τ(a)− τ0 =

∫ a

a0

da

H0a20

√

Ω0Λ

(

aa0

)4+ Ω0k

(

aa0

)2+ Ω0m

(

aa0

)

+ Ω0r

(1.60)

Da questa, τ(z) si ottiene facilmente ricordando che, dalla 1.46 si ha

da = − a0

(1 + z)2dz (1.61)

1.6. LA SCALA DELLE DISTANZE DELLA CMB 11

cioe

τ0 − τ(z) =

∫ z

0

dz

H0a30

√

Ω0r(1 + z)4 + Ω0m(1 + z)3 + Ω0k(1 + z)2 + Ω0Λ

(1.62)

1.6 La scala delle distanze della CMB

La quantita fisica piu importante da cui dipende la fisica della CMB e ladimensione dell’orizzonte all’epoca del disaccopiamento, cioe al tempo in cuii fotoni smisero di interagire con la materia rendendo l’universo trasparentead un redshift di ∼ 1100. In realta, poiche quello che osserviamo e laproiezione sulla superficie sferica del cielo, quello che contera sara l’angolosotto cui si vede l’orizzonte che si scrive, in base alle (1.49) e (1.47), come:

θH(z1) =τ1

χ(τ0 − τ1)=

τ1χ((τ0 − τ1)(z))

(1.63)

dove

τ1 =

∫ +∞

z1

dz

H0a30

√

Ω0r(1 + z)4 + Ω0m(1 + z)3 + Ω0k(1 + z)2 + Ω0Λ

(1.64)

Per il calcolo di τ1 possiamo trascurare Ωm,Ωk,ΩΛ il cui peso e ininfluenteall’epoca della radiazione, mentre per il calcolo di τ0 − τ1, analogamente,possiamo trascurare Ωr dato che l’integrale e esteso all’epoca della materia;numericamente, assumendo k = 0, si ottiene

θH ≈ 2o l ≈ 100 (1.65)

dove l si ottiene tramite la corrispondenza l = π/θ, e si riferisce ad unosviluppo in multipoli delle fluttuazioni.

L’angolo θH determina una transizione netta nel comportamento dellefluttuazioni per scale maggiori o minori di esso. A piccole scale le fluttuazionisono determinate dal comportamento del plasma di fotoni e materia, mentrea grandi scale, quando la radiazione e disaccoppiata, le fluttuazioni evolvonoessenzialmente solo per redshift gravitazionale. Questo punto sara esaminatoin dettaglio in seguito.

Insieme a θH , un ruolo importante e giocato anche dall’angolo sottesodal cosiddetto orizzonte acustico (Sound Horizon), definito come la distanzapercorsa da un onda acustica che si propaghi nel plasma di fotoni-barioni:

λSH(t) =

∫ t

0

cs(t)

a(t)dt (1.66)

del tutto analogo all’orizzonte causale, tranne per il fatto che adesso nonabbiamo c, la velocita della luce,ma cs, la velocita del suono nel fluido.


Figura 1.2: Andamento di θH(z) per varie combinazioni dei parametricosmologici

Possiamo calcolare θSH in maniera simile a θH , ma, in piu, abbiamobisogno di un modello che ci dia la funzione cs(t); assumendo un modello incui la pressione dei barioni sia trascurabile (vedi appendice A) si ricava:

cs(t) =1

3

(

1 +3

4R

)−1

=1

3

(

1 +3R0a(t)

4a0

)−1

(1.67)

dove R = ρm/ρr e il rapporto tra la densita’ di energia della materia e dellaradiazione e grazie a cui si ottiene:

θSH ≈ 1o l ≈ 200 (1.68)

Come vedremo, questa scala corrisponde all’ultima volta in cui la lunghez-za d’onda delle fluttuazioni e stata in risonanza con le dimensioni dell’u-niverso, lasciando come netto segno distintivo un picco nell’intensita dellefluttuazioni.

Infine, l’ultima scala che considereremo e la scala del Silk Damping.Qualitativamente, nel fluido di radiazione e barioni il fotone avra un certocammino libero medio dato da:

λMFP =1

σT ne(1.69)

dove σT e la sezione d’urto Thompson e ne e la densita di elettroni non legatiad atomi e quindi liberi di interagire con i fotoni. A λMFP corrisponde unangolo

θSD(z) =λMFP

a(z) χ((τ0 − τ1)(z))(1.70)

1.7. DEGENERAZIONI 13

dove il fattore a e stato aggiunto per avere le dimensioni comoventi diλMFP . Assumendo ragionevolmente che al disaccoppiamento un decimodegli elettroni sia libero (ne ∼ 0.1ρb) si ottiene infine

θSD ≈ 0.1o l ≈ 800 (1.71)

Per scale minori di θSD il cammino libero medio finito fa venire meno l’ap-prossimazione di fluido perfetto ed il plasma diventa estremamente viscoso;ogni fluttuazione viene rapidamente smorzata e l’intensita delle anisotropieva a zero esponenzialmente.

1.7 Degenerazioni

Abbiamo visto come, piu che dai parametri cosmologici (ωb, ωΛ, . . .), le ani-sotropie della CMB dipendano, in realta, da alcuni parametri fisici come θHe θSH ; questo, spesso, fa sı che diverse combinazioni dei parametri cosmo-logici diano gli stessi parametri fisici, determinando virtualmente le stessefluttuazioni e dando origine a quella che viene detta una degenerazione. Es-senzialmente, comunque, esistono due tipi qualitativamente differenti di de-generazioni. Le prime sono dette degenerazioni geometriche, ed un esempiotipico si ha per due modelli che hanno gli stessi valori:

• dell’abbondanza di materia ωm

• della densita di radiazione ωr

• delle fluttuazioni iniziali (stesse condizioni iniziali)

• del parametro θH = θH(Ωm,Ωr,Ωk,ΩΛ)

La degenerazione risultante e bidimensionale nei parametri Ωk,ΩΛ, e puoessere rappresentata graficamente come le curve di livello della funzioneθH = θH(Ωk,ΩΛ). La degenerazione geometrica e intrinseca della fisica chestiamo studiando: anche una misura infinitamente precisa delle anisotropienon permette una determinazione separata di Ωk e ΩΛ ma solo della lorolinea di degenerazione.

In generale, comunque, un dato esperimento avra un suo limite di accura-tezza, e questo, pur assumendo ad esempio k = 0, determinera la comparsadi altre degenerazioni. L’esempio tipico e quello di un esperimento in gradodi determinare unicamente solo la posizione del primo picco risultando inuna degenerazione tra Ωm e ΩΛ data dalle linee di livello della funzione:

θSH = θSH(Ωm,ΩΛ) (1.72)

Tuttavia, questa degenerazione non e geometrica; infatti, con un esperimentopiu preciso, sensibile ad esempio alla larghezza del primo picco o alla posi-zione del secondo, sarebbe possibile di volta in volta restringere l’intervallodei valori ammissibili fino a determinare gli Ωm e ΩΛ effettivi.


Figura 1.3: (a)Linee di degenerazione nel piano Ωk-ΩΛ determinate dallelinee di livello di θH , (b)Spettri corrispondenti a 5 punti presi sulla stessalinea di degenerazione e differenza rispetto ad un modello di riferimentospazialmente piatto. Le linee tratteggiate rappresentano la varianza cosmica.Le differenze ad l elevati non sono fisiche, ma dovute ad errori numerici delcodice CMBFAST; le differenze a bassi l, invece, sono il risultato di un effettofisico non considerato in questo capitolo l’effetto Sacks-Wolfe integrato, cherisolve marginalmente la degenerazione geometrica (Dalla [19]).

Capitolo 2

Analisi Statistica

La determinazione dei parametri cosmologici si basa su un confronto tra lefluttuazioni osservate sperimentalmente e le previsioni teoriche del modelloche svilupperemo nei prossimi capitoli; inoltre, per le previsioni delle flut-tuazioni, oltre ad un modello per l’evoluzione abbiamo bisogno di assegnarecondizioni iniziali da cui partire. La conoscenza di tali condizioni e, pero, inrealta, impossibile esattamente, in quanto, in definitiva, queste sono fruttodi un processo casuale; comunque, e ancora possibile affrontare il problemafacendo la ragionevole ipotesi che , pur essendo casuali, le fluttuazioni deri-vino da una distribuzione di probabilita ben definita; teorie come l’inflazione,infatti, pur non essendo in grado di predire le esatte condizioni iniziali, for-niscono risultati precisi sulle loro proprieta statistiche. Il problema, quindi,e, piu propriamente, quello del confronto tra proprieta statistiche dei datisperimentali e proprieta statistiche del modello; a tale scopo, in questo ca-pitolo, introdurremo il formalismo delle funzioni di correlazione ad N punti[7], adeguato per questo tipo di analisi, e vedremo come applicarlo al casodella CMB.

2.1 Media d’ensemble

Assegnata la distribuzione iniziale, a priori non nota, e possibile calcolareil valore medio delle quantita a cui siamo interessati mediante le tecnicheusuali della meccanica statistica. Per definizione, porremo

< ζ(x) >≡∫

f(ζ)dζ (2.1)

dove ζ(x) e un generico campo fisico, mentre f(ζ) e la distribuzione diprobabilita da cui deriva ζ.

Nel quadro che stiamo delineando, quindi, il nostro universo si configuracome una possibile realizzazione di un certo ensemble statistico. La con-seguenza piu immediata di questo punto di vista e che, potendo osservare

15

16 CAPITOLO 2. ANALISI STATISTICA

solo una realizzazione dell’ensemble, il nostro universo appunto, le mediesaranno determinate con un grosso errore, anzi, esistera un limite intrinsecoalla precisione con cui possiamo calcolarle, che viene detto varianza cosmicae che discuteremo piu in dettaglio nel capitolo sull’analisi numerica.

Di fatto, che forma ci aspettiamo per f(ζ)? L’ipotesi piu naturale e chesia gaussiana:

f(ζ) =1√2σ

exp(− ζ2

2σ2) (2.2)

come ci aspettiamo, in base al teorema del limite centrale, se le fluttuazionisono il risultato di molti piccoli effetti piu o meno equivalenti tra loro. None, comunque, necessario accettare la gaussianita come un dato di fatto, ma,fortunatamente, quest’ipotesi e testabile dai dati sperimentali, e vedremo trabreve come verificarla, introducendo anche una definizione di gaussianita piurigorosa della (2.2) che e, in reata, imprecisa.

2.2 Funzione di correlazione a due punti e spettro

di potenza

Le funzioni di correlazione ad N punti sono lo strumento che utilizzeremoper l’analisi statistica dei dati; il loro significato, in effetti, e quello di mo-menti di ordine N della distribuzione d’ensemble. Poiche, nel nostro caso,analizzeremo fluttuazioni δ(x), definite dalla condizione di avere media nulla

< δ(x) >= 0 (2.3)

la funzione di correlazione ad un punto si mostra poco utile, mentre la primaquantita significativa e la funzione di correlazione a due punti:

< δ(x)δ(x + ξ) >= C(ξ) (2.4)

che rappresenta, in un certo senso, la correlazione tra i dati ad una certadistanza fissa ξ.

Per inciso, i metodi dell’analisi statistica sono generali e possono essereapplicati in molti contesti fisici, oltre al caso specifico della CMB; per il mo-mento, quindi, saremo generici e non assegneremo nessun osservabile fisicoa δ che rimarra,allora, una ”generica” fluttuazione.

Piu che in termini di C(ξ), le proprieta statistiche dei dati vengono, inrealta, specificate tramite le sua trasformata di Fourier o spettro di potenza:

P (k) =

∫

d3ξeik·ξC(ξ) (2.5)

L’uso dello spettro di potenza presenta un notevole vantaggio rispetto allasemplice funzione di correlazione: a k puo essere comunque associata unadistanza tramite la relazione λ ∝ 1

k , quindi anche P (k) ha il significato

2.3. SPETTRO DI HARRISON-ZELDOVICH 17

di covarianza tra i dati alla distanza λ; tuttavia, adesso, P (k) e ottenutotramite uno sviluppo in funzioni ortogonali (le onde piane) eliminando cosıogni correlazione tra λ diversi, al contrario di quanto accadeva per C(ξ)dove ξ diversi non erano in realta indipendenti. Lo spettro di potenza P (k),dunque, e una misura intrinseca dell’ampiezza delle fluttuazioni alla scalaλ.

Una formula che ci sara molto utile in seguito, si ottiene considerandola trasformata di Fourier di δ(x):

δ(k) =

∫

d3xeik·xδ(x) (2.6)

in termini della quale lo spettro di potenza si esprime come:

P (k) =< |δ(k)|2 > (2.7)

Nel seguito faremo l’importante assunzione di isotropia statistica, cheequivale ad ammettere che le proprieta statistiche dei dati siano indipendentidal particolare orientamento del sistema di riferimento e siano, in realta,funzione solo della separazione tra i punti. Con questa assunzione, le formuleprecedenti si semplificano come:

C(ξ) = < δ(x)δ(x + ξ) > (2.8)

C(ξ) =

∫

d3kP (k)eik·ξ = 4π

∫

dkk2P (k)sin kξ

kξ(2.9)

P (k) =1

4π

∫

dΩ < |δ(k)|2 > (2.10)

dove dΩ = sin θdθdφ rappresenta l’elemento di superficie sulla sfera. L’ul-tima formula non e altro che una media della (2.7) sulle possibili direzioni,giustificata in base all’ipotesi di isotropia.

2.3 Spettro di Harrison-Zeldovich

Un modello di spettro di potenza che sembra rispecchiare le proprieta dimolti fenomeni fisici si ottiene assumendo la forma di una legge di potenza:

P (k) = Akn−4 (2.11)

Tra questi il caso n = 1 e il piu significativo, in quanto, come si vede dalla(2.9) la funzione di correlazione diventa dimensionalmente indipendente dak, producendo quello che viene chiamato spettro invariante di scala o diHarrison-Zeldovich. La sua importanza non e solo matematica, ma ha unanotevole interpretazione fisica: con questo spettro le fluttuazioni vengono”distribuite” in egual misura tra grandi e piccole scale; nel caso della CMB,ad esempio, questo permette la formazione a grandi scale delle strutture


da cui si sono poi sviluppate le galassie ed i cluster, mentre , al tempostesso, evita che a piccole scale ci siano fluttuazioni estreme, per esempiouna quantita eccessiva di micro buchi neri. I dati sperimentali stessi, quindi,come vedremo anche nel capitolo finale, sembrano indicare che le fluttuazioniiniziali provengano da uno spettro invariante di scala, ed invero, anche leprevisioni teoriche dell’inflazione portano ad un valore di n molto prossimoad 1.

Per comprendere piu intuitivamente la natura dello spettro, consideriamouna sfera di raggio R e centro x0 (SR,x0); l’eccesso di massa contenuto nellasfera, rispetto alla media, e dato da:

δMx0(R) =

∫

SR,x0

d3xδ(x) =

∫

SR

d3xδ(x− x0) (2.12)

dove abbiamo posto SR,0 = SR. La varianza dell’eccesso di massa si otterra,inbme, mediando δM2 sui possibili x0 nel volume V :

(δMx0(R))2 =1

V

∫

d3x0 (δMx0(R))2 (2.13)

che, considerando la trasformata di Fourier di δ, si puo scrivere come:

δM2x0

(R) =

∫

d3k

(2π)3|δ(k)|2|WR(k)|2 (2.14)

dove

WR(k) =

∫

SR

d3x exp(ik·x) =4π

k2(sin kR−R cos kR) (2.15)

viene chiamata funzione di finestra (Window Function). Possiamo riscriverela (2.14) in maniera piu familiare come:

δM2x0

(R) =

∫

d3k

(2π)3P (k)|WR(k)|2 (2.16)

avendo assunto che la media d’ensemble si possa sostituire con una mediaspaziale (principio ergodico). Infine, se assumiamo per P (k) la forma (2.11),si ottiene facilmente:

δM2(R) ∝ 1

Rn−7(2.17)

e, per le fluttuazioni di densita

δ2(R) =δM2(R)

M2(R)∝ 1

Rn−7

(

4

3πR3

)−2

∝ 1

Rn−1(2.18)

Il significato fisico dello spettro invariante di scala diventa, adesso, moltopiu chiaro: indipendentemente dalla scala che scegliamo per osservare lefluttuazioni, la loro varianza sara sempre la stessa! Nel caso della CMB, daidati sperimentali si osserva che la varianza delle fluttuazioni di temperaturae di circa (30µK)2 attorno al valore medio di 2.73K.

2.4. FLUTTUAZIONI SU UNA SUPERFICIE SFERICA 19

2.4 Fluttuazioni su una superficie sferica

La teoria sviluppata nei precedenti paragrafi si applica a fluttuazioni in unvolume tridimensionale; tuttavia, per poterla utilizzare nel caso della CMB,bisogna modificarla leggermente in maniera da adattarla ad una geometriasferica:

• nel nostro caso il campo di fluttuazioni non sara piu funzione dellaposizione ξ, bensı della direzione sulla sfera:

δ = δ(θ, φ) = δ(n) (2.19)

e sara sviluppato nella appropriata base di funzioni ortogonali sullasfera, cioe le armoniche sferiche Y l

m(n):

δ(n) =+∞∑

l=0

+l∑

m=−l

almYlm(n) =

∑

lm

almYlm(n) (2.20)

• la funzione di correlazione a due punti si scrivera come:

< δ(n1)δ(n2) >= C(n1 − n2) (2.21)

che, nell’ipotesi di isotropia, dipendera solo da θ12, l’angolo tra n1 en2:

< δ(n1)δ(n2) >= C(θ12) (2.22)

e che, quindi, non essendoci dipendenza da φ, potra essere sviluppatanelle armoniche con m = 0:

C(θ) =∑

l

Cl0Yl0 (θ) =

∑

l

ClPl(cos θ) (2.23)

dove Y l0 (θ) = Pl(cos θ) sono i polinomi di Legendre.

• Lo spettro di potenza, Cl, si esprimera in termini delle fluttuazioni, ingenerale, come:

Cl =< |alm|2 > (2.24)

e, nel caso di isotropia, come:

Cl =∑

m

< |alm|2 >2l + 1

(2.25)

• Infine, uno spettro invariante di scala si scrivera come

Cl ∝1

l2(2.26)

in realta, comunque, un calcolo dettagliato di come uno spettro deltipo P (k) ∝ 1

k3 viene proiettato su una superficie sferica, darebbe piurigorosamente:

Cl ∝1

l(l + 1)(2.27)


2.5 Bispettro e gaussianita

Possiamo, adesso, essere piu precisi sulla definizione di gaussianita. In ana-logia con il caso tridimensionale Cl rappresenta una varianza intrinseca dellefluttuazioni alla scala angolare θ ∼ π

l , cosı che le fluttuazioni alm sarannogaussiane se derivate dalla distribuzione

f(alm) =1√2Cl

exp

(

−|alm|2

2Cl

)

(2.28)

Un’importante proprieta della distribuzione gaussiana e che i momenti diordine pari sono specificati in termini della sola varianza, mentre quelli diordine dispari sono tutti nulli; in particolare sara cosı per il momento terzo:

< x3 >=

∫

x3f(x)dx ∝∫

x3 exp

(

− x2

2σ2

)

dx = 0 (2.29)

Questa importante proprieta e valida anche nel caso delle fluttuazioni e sitraduce nell’annullarsi della funzione di correlazione a tre punti o bispettro[42]:

< δ(n1)δ(n2)δ(n3) >= 0 (2.30)

fornendo cosı un importante criterio quantitativo per stabilire se un deter-minato campo di fluttuazioni e gaussiano o meno.

Sperimentalmente il problema di stabilire la gaussianita e complesso.I piu semplici modelli di inflazione prevedono una distribuzione gaussianaper le fluttuazioni primordiali, ma quelle che osserviamo oggi non lo sonoe l’analisi e complicata dall’effetto dell’evoluzione. Comunque, finquandol’evoluzione e retta da equazioni lineari, ed e questo il caso della CMB,la distribuzione iniziale viene mantenuta e l’effetto puo essere trascurato.Un’altra complicazione e data dalla radiazione nelle microonde diversa dallaCMB, come fotoni prodotti da elettroni accelerati dal campo magneticodella nostra galassia (radiazione di sincrotrone), o fotoni diffusi dalla polvereintergalattica. Questa radiazione e statisticamente molto non gaussiana e,prima di testare la gaussianita della CMB, i due contributi devono essereseparati ad un livello accettabile, compito non sempre facile.

Fatte queste premesse, comunque, i dati attuali, cioe le misure del bi-spettro dai dati del satellite COBE e, naturalmente, WMAP, non sembranoindicare livelli significativi di non gaussianita, anche se gli errori sperimentalirimangono elevati. Del resto, i modelli piu accreditati di inflazione predi-cono livelli di non gaussianita decisamente modesti e difficilmente rilevabilianche dai futuri e piu accurati esperimenti. Non approfondiremo ulterior-mente questo punto; ulteriori dettagli, comunque, si possono trovare nellareferenza [31].

2.6. STATISTICA DELLA CMB 21

2.6 Statistica della CMB

Per trattare il caso della CMB dovremo fare un’ulteriore generalizzazione.La complicazione e dovuta al fatto che l’informazione non e contenuta solonella mappa di temperatura ma anche nella polarizzazione che puo esserespecificata tramite due funzioni che indicheremo con E(n) e B(n). Que-sto, ovviamente, e anche un vantaggio in quanto ci consente di avere adisposizione piu informazione:

Temperatura

T (n) =∑

lm

aT lmYlm(n) (2.31)

Polarizzazione

E(n) =∑

lm aElmYlm(n)

B(n) =∑

lm aBlmYlm(n)

(2.32)

Nel calcolare le possibili funzioni di correlazione a due punti, arriviamoadesso a costruire una matrice 3x3 di spettri simmetrica:

CTT l CTEl CTBlCETl CEEl CEBlCBTl CBEl CBBl

(2.33)

dove ogni elemento e dato da

< X(n1)Y (n2) >= CXY (cos θ12) =∑

l

CXY lPl(cos θ12) (2.34)

con X,Y = T,E,B.Gli spettri indipendenti da calcolare sono allora 6, complicando di molto

la nostra descrizione. Fortunatamente, pero, come vedremo in seguito, glispettri E e B sono scelti in maniera da avere semplici proprieta di simmetria,in particolare E e invariante per riflessione, mentre B e uno pseudoscalare.Quindi B non puo correlare con ne con E ne con T , ed i corrispondentispettri CBTl e CBEl sono nulli:

CBTl = 0 (2.35)

CBEl = 0 (2.36)

lasciandoci, in definitiva, solo con 4 spettri: 3 autocorrelazioni ed una solacorrelazione vera e propria, che chiameremo spettro C:

CTEl = CCl spettro di correlazione (2.37)

con la rappresentazione matriciale

CT l CCl 0CCl CEl 00 0 CBl

(2.38)


Capitolo 3

Teoria Perturbativa e

Liberta di Gauge

Le fluttuazioni di temperatura che osserviamo nella radiazione cosmica difondo sono estremamente piccole, dell’ordine ∼ 1

105 . Questo, se da una par-te e fonte di notevoli difficolta sperimentali, fornisce, in realta, un grandevantaggio: ci permette di usare un approccio perturbativo e di ottenere ot-timi risultati gia con una semplice approssimazione lineare del problema. Inquesto capitolo vedremo, quindi, come ottenere uno sviluppo in serie delleequazioni che regolano l’evoluzione delle perturbazioni ed in particolare cisoffermeremo sull’approssimazione lineare. Inoltre, vedremo in che modo,la simmetria fondamentale della relativita generale, l’invarianza per un ge-nerico cambio di sistema di riferimento, influenza i nostri risultati, dandoorigine a quella che viene detta liberta di gauge[10].

3.1 Linearizzazione delle equazioni

Per semplicita, ci riferiremo al caso di equazioni algebriche, ma lo stessoragionamento si applica in maniera del tutto analoga al caso piu generale diequazioni differenziali. Sia allora

Fi(y1, y2, . . . yn) = 0 i = 1, . . . ,m (3.1)

il sistema di equazioni che vogliamo studiare, e supponiamo di conoscereuna soluzione y0

i :

y0i : Fj(y

0i ) = 0 (3.2)

Considereremo, ora, una curva di soluzioni yi(λ) che passi per y0i e cerche-

remo di trovare un approssimazione lineare delle equazioni a cui obbedisce.A tale scopo da

Fi(yj(λ)) = 0 (3.3)

23

24 CAPITOLO 3. TEORIA PERTURBATIVA E LIBERTA DI GAUGE

derivando rispetto a λ e calcolando in λ = 0, si ottiene:

∂Fi∂yj

∣

∣

∣

∣

y0vj = 0 (3.4)

dove

vj =dyj

dλ

∣

∣

∣

∣

∣

y0

(3.5)

e il vettore tangente alla curva nella soluzione data. A questo punto, icoefficienti:

Aij =∂Fi∂yj

∣

∣

∣

∣

y0(3.6)

sono ovviamente noti e le vj si ottengono dalle equazioni lineari :

Aijvj = 0 (3.7)

Dopodiche, la curva di soluzioni, corretta fino al primo ordine, sara:

yi(λ) ' y0i + λvi + o(λ2) (3.8)

In linea di principio, continuando in questo modo, e possibile procedere oltrenello sviluppo perturbativo fino ad ottenere, sempre che il punto di partenzay0i non sia troppo ”patologico”, lo sviluppo in serie completo della soluzioney(λ):

yi(λ) = y0i + y′0iλ+ . . .+ y

(n)i0

λn

n!+ o(λn+1) (3.9)

Se, invece di equazioni algebriche, abbiamo, piu in generale, equazionidifferenziali, del tipo

ε(Φj)(x) = 0 (3.10)

lo spazio delle soluzioni non sara piu un’ipersuperficie, ma uno spazio fun-zionale di cui considereremo la ”curva”:

Φj(x, λ) : Φj(x, 0) = Φ0j (x) (3.11)

dove Φ0j (x) e una soluzione nota della (3.10). La linearizzazione ci portera

al sistemaLΦ0γ = 0 (3.12)

dove LΦ e l’operatore lineare che si ottiene dalla (3.10) e

γ =dΦj

dλ

∣

∣

∣

∣

λ=0(3.13)

e l’analogo del vettore tangente tale che, infine, la soluzione si scrivera:

Φj(x, λ) ' Φ0j (x) + λ

dΦj

dλ

∣

∣

∣

∣

λ=0+ o(λ2) (3.14)

3.2. LIBERTA DI GAUGE 25

Nel caso della relativita generale, le equazioni da linearizzare sono leequazioni di Einstein:

Gµν [gαβ ] = 8πG Tµν [gαβ ] (3.15)

attorno alla soluzione di background:

g0µν(x

α) T 0µν(x

α) (3.16)

In generale, l’espressione dell’operatore LΦ e complicata e non la riporteremoqui (comunque si veda la [3]); nel prossimo capitolo, invece, vedremo come sispecializzano le equazioni nel caso in cui il background sia la metrica di FRWe lo scopo sia quello di calcolare piccole fluttuazioni attorno alla metrica difondo.

3.2 Liberta di gauge

Nel primo capitolo abbiamo visto come la relativita generale si basi su duefondamentali assunti:

• La descrizione di spazio e tempo come un’unica varieta differenzialecon tensore metrico gµν

• L’evoluzione della metrica regolata dalle equazioni di Einstein

In realta, vi e un terzo punto fondamentale strettamente connesso con iprimi due:

• La teoria e formulata in maniera tale da essere indipendente dallaparticolare scelta del sistema di riferimento; vale a dire, covariante peruna generica trasformazione di coordinate spazio-temporali.

L’uso della geometria differenziale e dei tensori, enti astratti indipendentidalle coordinate, permette di venire incontro a questa richiesta ed inoltrevincola fortemente la forma delle equazioni di Einstein che, in ultima ana-lisi, possono essere definite come le equazioni piu semplici che soddisfanol’invarianza per scelta arbitraria delle coordinate. Un’analisi dettagliata diquesta simmetria si puo trovare nella referenza [3], mentre, nel nostro caso,ci limiteremo ad applicarla alla teoria perturbativa appena descritta dove,vedremo, assume una forma molto simile a quella dell’invarianza di gaugein elettromagnetismo.

Consideriamo un generico cambio di coordinate ad un parametro:

x′µ

= Xµ(x, λ) (3.17)

che coincide con l’identita per λ = 0:

x′µ

= Xµ(x, 0) = xµ (3.18)


allora, alla famiglia ad un parametro di soluzioni

gµν(xα, λ) (3.19)

corrispondera la nuova curva

g′µν(x′α, λ) (3.20)

tramite le leggi di trasformazione tensoriali

gµν(x, λ) = g′ρσ(X(x, λ), λ)∂Xρ(x, λ)

∂xµ∂Xσ(x, λ)

∂xν(3.21)

che derivata rispetto a λ, e calcolata per λ = 0 da’:

γµν = γ′µν + ∂ρgµνξρ + gρν∂µξ

ρ + gµρ∂νξρ (3.22)

o, in forma piu compatta:

γµν = γ′µν + Lξgµν (3.23)

dove

ξµ =∂Xµ

∂λ

∣

∣

∣

∣

λ=0γµν =

∂gµν

∂λ

∣

∣

∣

∣

λ=0(3.24)

e Lξ indica la derivata di Lie lungo ξ.

Le soluzioni γ e γ′ sono matematicamente diverse ma, fisicamente, de-scrivono la stessa situazione. La differenza deriva unicamente da una diversascelta del sistema di coordinate e non riguarda intrinsecamente il fenomenoda studiare. Tuttavia, a causa di questa liberta di gauge, spesso si pre-sentano soluzioni ridondanti, che non hanno alcun significato fisico; questesoluzioni vanno individuate e scartate.

La (3.23) presenta una stretta analogia con la trasformazione di gaugein elettromagnetismo:

A′µ = Aµ + ∂µα(xν) (3.25)

In effetti, anche l’interpretazione e simile: la (3.25) permette di usare diversipotenziali elettrodinamici (infiniti!) per descrivere la stessa situazione fisica,rappresentata in questo caso da una particolare configurazione dei campi Ee B. Approfondiremo piu avanti questa analogia elettromagnetica.

3.3 Scalari, vettori, tensori

In generale, la metrica perturbata non avra nessuna simmetria particolaree si scrivera in forma completa come:

gµνdxµdxν = a2(τ)

[

α(x)dτ2 + βi(x)dτdxi + γijdx

idxj]

(3.26)

3.3. SCALARI, VETTORI, TENSORI 27

Tuttavia, una semplificazione e ancora possibile, anche se su un altra base.In una trasformazione di coordinate le varie componenti di gµν si mesco-lano per ottenere g′µν secondo la legge di trasformazione di un tensore dirango due, secondo la (3.21); tuttavia queste trasformazioni non sono, percosı dire, irriducibili ma e possibile individuare delle combinazioni che han-no trasformazioni piu semplici, come scalare e vettore ed isolare la partepuramente tensoriale.

Piu precisamente, la separazione in scalare, vettore, tensore, si riferiscea trasformazioni che coinvolgono la sola parte spaziale della metrica: gliscalari a cui ci riferiamo, quindi, sono gli scalari di SO(3).

Ricordando che la metrica di background si puo scrivere come

ds2 = a2(τ)(−dτ2 + γijdxidxj) (3.27)

e tenuto conto che per costruire tensori possiamo usare la metrica spazialeγij e la derivata covariante su di essa (che indicheremo con |i), e facile vedereche la metrica (3.26) si scompone nelle 3 parti:

Scalare

δgµν = a2(τ)

(

2φ −B|i

−B|i 2(ψγij − E|ij)

)

(3.28)

che ha quindi 4 gradi di liberta corrispondenti ai 4 ”potenziali” φ, ψ,E,B

Vettore

δgµν = a2(τ)

(

0 −Si−Si Fi|j + Fj|i

)

(3.29)

dove i vettori Si, F i soddisfano l’ulteriore condizione Si|i = F i|i = 0.

Infatti, se cosı non fosse, Si si potrebbe scrivere come

Si = V i + α|i V i|i = 0 (3.30)

e conterrebbe, in realta, una parte scalare. La parte vettoriale e quindidescritta da 6 quantita con 2 vincoli, cioe 4 gradi di liberta.

Tensore

δgµν = a2(τ)

(

0 00 hij

)

(3.31)

dove, affinche hij sia puramente tensoriale, devono valere le condizioni

hii = 0 hij|j = 0 (3.32)

lasciando in tutto solo 2 gradi di liberta.


Nel limite in cui usiamo solo l’approssimazione lineare i 3 modi evol-vono separatamente e possono quindi essere considerati distintamente; inparticolare, nel seguito, ci occuperemo solo di modi scalari. I modi tenso-riali possono essere associati ad onde gravitazionali e sono importanti soloa larghe scale, mentre i modi vettoriali sono in genere decadenti nel tempoe vengono, quindi, trascurati a meno che non si consideri un modello che neproduca in continuazione, come i difetti topologici, il quale, pero, richiedeuna fisica ben diversa da quella che stiamo sviluppando.

3.4 Tensore Energia-Impulso

Nel primo capitolo abbiamo descritto la materia in termini di 2 quantita,densita di energia ρ e pressione P ; In termini tensoriali questo equivale ascrivere il tensore Energia-Impulso (EI) come quello di un fluido perfetto:

Tµν = (ρ+ P )uµuν − Pδµν (3.33)

dove uµ e la 4-velocita del fluido che in coordinate comoventi si scrivesemplicemente come:

uµ = (1, 0, 0, 0) uµuµ = −1 (3.34)

In presenza di perturbazioni considereremo la quantita aggiuntiva δTµν

che, esattamente come δgµν , puo essere decomposto in scalare, vettore,tensore, dove la parte scalare si scrivera:

δTµν(Scal) =

(

δρ −(ρ+ P )a−1V|i(ρ+ P )aV|i −δPδij + σ|ij

)

(3.35)

con δρ, δP, V, σ l’analogo di φ, ψ,B,E rispettivamente, che dalla forma im-perturbata di δTµν hanno l’interpretazione:

δρ : perturbazione in energia (3.36)

δP : perturbazione della pressione (3.37)

V : potenziale della 3-velocita del fluido: δui = V|i (3.38)

σ : stress anisotropo (shear) (3.39)

dove σ, che conviene scrivere nella forma

σ|ij = Tij − δijT kk3

= Tij − δijδP (3.40)

e legato alla parte anisotropa (a traccia nulla) della parte spaziale del tensoreEI ed e, in effetti. una misura delle forze, diverse da quelle di pressione, chetendono a modificare e distorcere il flusso ordinario del fluido. Da questo,

3.5. TRASFORMAZIONI DI GAUGE 29

inoltre, e chiaro che la pressione puo essere definita direttamente in terminidella traccia di T ij

P =T ii3

(3.41)

il che ci fornisce un modo molto naturale per definirla; inoltre, in una suc-cessiva generalizzazione, in cui il tensore EI verra ricavato da principi primi,piuttosto che postulato in termini di P e ρ, questo ci permettera di studia-re le proprieta dell’equazione di stato P = P (ρ), di nuovo, piuttosto chepostularla.

3.5 Trasformazioni di gauge

3.5.1 Trasformazioni della metrica

In seguito ad una trasformazione di gauge, la metrica cambia secondo

γ′µν = γµν − Lξgµν (3.42)

corrispondente al cambio di coordinate

x′µ(τ, xi) = xµ + ξµ(τ, xi) (3.43)

o, piu brevemente,

x′µ

= xµ + ξµ (3.44)

dove anche a ξµ si applichera la solita separazione in scalare-vettore-tensore,cosı che ξ0 e uno scalare, mentre ξi si scrive

ξi = ξiTR + γijξ|j (3.45)

dove

ξiTR|i = 0 ξ|i|i = ξi|i (3.46)

in modo che ξiTR sia la parte puramente vettoriale, mentre ξ la parte scalare,e dove si e usato γij per alzare gli indici dei vettori. Se, allora, ci limitiamoai modi scalari, solamente le quantita ξ0 e ξ saranno importanti; le trasfor-mazioni di gauge, quindi, avranno due gradi di liberta indipendenti, che, neicalcoli, si manifesteranno come due soluzioni non fisiche (i modi di gauge)che andranno individuate e scartate.

Da notare che, ovviamente, la trasformazione di gauge non ha partetensoriale; questo vuol dire che la parte tensoriale della metrica, hij , rimarrainvariata ed e, quindi, una quantita gauge invariante.

La parte scalare, invece, dalla (3.42) si trasformera come

φ = φ−(

a

a

)

ξ0 − ξ0 (3.47)


ψ = ψ −(

a

a

)

ξ0 (3.48)

B = B + ξ0 − ξ (3.49)

E = E − ξ (3.50)

Ci sara utile scrivere la trasformazione relativa a φ anche come

φ = φ− a−1(

aξ0 + aξ0)

= φ− a−1

(

d(aξ0)

dτ

)

. (3.51)

Come affrontare il problema della liberta di gauge? Vediamo prima ilcaso analogo dell’elettromagnetismo; quı e possibile operare essenzialmentein due modi: si puo introdurre la quantita Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, il tensore diFaraday, gauge invariante, che ha un interpretazione univoca indipendentedalla scelta di gauge e che in effetti corrisponde nient’altro che a considerarei campi fisici E e B piuttosto che i potenziali; a volte invece si preferisce con-tinuare a lavorare con i potenziali eliminando la liberta di gauge fissandolaesplicitamente con delle condizioni aggiuntive come nel caso della gauge diLorentz o di Coulomb.

Anche nel nostro caso e possibile un formalismo gauge invariante, mol-to utile per l’interpretazione fisica di alcuni risultati, ma poco adatto aicalcoli, per svolgere i quali, invece, introdurremo una gauge specifica, lagauge sincrona, insieme alla gauge Newtoniana, particolarmente utile perl’interpretazione del limite non relativistico.

3.5.2 Trasformazioni della materia

Insieme alle quantita legate alla metrica anche quelle che descrivono la ma-teria, e cioe il tensore E-I, sono dipendenti dalle coordinate ed avranno an-ch’esse le relative trasformazioni di gauge. In particolare la formula (3.23)e in realta valida per ogni tensore di rango due e puo essere utilizzata perricavare la trasformazione di gauge della perturbazione del tensore E-I:

δTµν

= δTµµ − Lξgµν (3.52)

da cui si puo ricavare:

δρ = δρ− ρ ξ0 (3.53)

δP = δP − P ξ0 (3.54)

V = V − ξ (3.55)

σ = σ (3.56)

da cui si vede che lo shear e una quantita gauge-invariante ed ha quindi unsignificato indipendente dalle coordinate.

3.6. GAUGE SINCRONA 31

Possiamo guistificare euristicamente le trasformazioni precedenti se pen-siamo a come si trasforma uno scalare s; se sriviamo s(τ,x) = so(τ) + δs(τ,x),dove so dipende solo da τ per l’isotropia del backgroud, da s(τ,x) = s(τ ′,x′) =s(xµ + ξµ) si ricava:

δs(τ,x) = δs(τ,x)− so ξ0 (3.57)

quindi, sebbene uno scalare sia ovviamennte per definizione invariante, none cosı per la sua perturbazione la cui legge di trasformazione e data dalla(3.57). Questa applicata a δP e δρ fornisce le prime due delle (3.53)-(3.56) edanche la quarta se ricordiamo che σ e nullo per il tensore E-I di background.Infine, la terza e una diretta conseguenza del fatto che alle trasformazioni dicoordinate x′i = xi+ξ|i corrisponde la trasformazione di velocita x′i = xi+ ξ|iche determina nel potenziale V lo shift ξ.

3.6 Gauge sincrona

E’ definita dalla condizione

φ = 0 B = 0 (3.58)

Se siamo in un generico sistema di coordinate (τ, xi), dalle (3.47)-(3.50),ponendo φ = B = 0, risulta che per passare alla gauge sincrona dobbiamoeffettuare il cambio di coordinate:

τs = τ + a−1∫

aφdτ (3.59)

xis = xi + γij[∫

Bdτ +

∫

a−1dτ

∫

aφdτ

]

|j(3.60)

da cui si vede che la condizione (3.58) non fissa completamente la gauge,dato che un ulteriore cambio di coordinate dal sistema (τs, x

is) del tipo:

τ ′s = τs + a−1C1(x) (3.61)

x′is = xis + γijC1|j(x)

∫

a−1dτ + γijC2|j(x) (3.62)

dove C1(x) e C2(x) sono funzioni arbitrarie (interpretabili in effetti, comele costanti di integrazione della formula precedente) lascia ancora verificatala condizione B = φ = 0. Nonostante la residua liberta di gauge, e lacomparsa, quindi, di soluzioni non fisiche, la gauge sincrona rende i calcolimolto efficienti ed inoltre e facilmente generalizzabile ai modi vettoriali etensoriali definendola, piu in generale, come una gauge in cui la parte tempo-tempo e tempo-spazio della metrica, rimangono imperturbati:

ds2 = a2(τ)(

dτ2 + [(1− 2ψ)γij + 2E|ij ]dxidxj

)

(3.63)


3.7 Gauge longitudinale

E’ definita dalla condizione

E = 0 B = 0 (3.64)

dalla quale la metrica si scrive

ds2 = a2(τ)[

−(1− 2φ)dτ2 + (1 + 2ψ)γijdxidxj

]

(3.65)

Questa volta la trasformazione di coordinate che porta alla gauge longitu-dinale si scrive:

τl = τ − (B − E) (3.66)

xil = xi + γijE|j (3.67)

che corrisponde alla trasformazione dei potenziali

Bl = B −B = 0 (3.68)

El = E − E = 0 (3.69)

φl = φ+ a−1 d

dτ

[

a(B − E)]

(3.70)

ψl = ψ − a

a(B − E) (3.71)

La gauge longitudinale non e realmente una gauge, dato che non vi e uncriterio simile a quello della gauge sincrona per generalizzarla ai modi vet-toriali e tensoriali; tuttavia, come si vede dalle (3.66)-(3.67), ha il vantaggiodi non avere liberta residua e di non originare, quindi, modi di gauge. Ipotenziali ψl e φl, inoltre, hanno una semplice interpretazione fisica: comevedremo in seguito, purche per la materia sia assente il termine di shear(σ = 0), ψ e φ risultano uguali e soddisfano

∇2ψ = ρ (3.72)

cioe l’equazione di Poisson! Nel limite non relativistico, quindi, il potenzialeψ viene naturalmente interpretato come potenziale Newtoniano; per questomotivo la gauge longitudinale e anche detta conforme Newtoniana.

Le trasformazioni da gauge sincrona a longitudinale e viceversa, si otten-gono facilmente specializzando le formule precedenti al caso in cui la gaugedi partenza sia l’una o l’altra:

τl = τs + Esxil = xis + γijEs|j

φl = − aaEs − Es

ψl = ψs + aaEs

(3.73)

nel caso della gauge longitudinale, e

τs = τl + a−1∫

a(τ)φldτxis = xil + γij

[∫

dτa−1(τ)∫

dτa(τ)φl]

|j

ψs = ψl +aa2

∫

aφldτEs = −

∫

dτa−1(τ)∫

dτaφl(3.74)

per quella sincrona.

3.8. FORMALISMO GAUGE-INVARIANTE 33

3.8 Formalismo gauge-invariante

Diamo, infine, un cenno del formalismo gauge-invariante che utilizzeremosporadicamente in seguito. Come abbiamo visto, pur avendo quattro varia-bili scalari, lo spazio delle quantita fisiche, a causa della liberta di gauge,e solo bidimensionale. I quattro potenziali possono essere, in realta, com-binati in infiniti modi per ottenere quantita gauge-invarianti; tuttavia, duerisultano particolarmente utili:

Φ = φ+ a−1 d

dτ

[

a(B − E)]

(3.75)

Ψ = ψ − a

a(B − E) (3.76)

detti anche potenziali di Bardeen.Bisogna sottolineare, comunque, che le quantita gauge-invarianti sono

invarianti solo al primo ordine della teoria perturbativa, vale a dire, solose ci limitiamo ad una trasformazione di gauge; in seguito ad un genericocambio di coordinate, dunque, anche Φ e Ψ risulteranno trasformati.

Come si vede dalle (3.70)-(3.71), i potenziali gauge-invarianti coincidono,in realta, con i potenziali φ e ψ della gauge longitudinale, il che suggerisceun metodo molto elegante per trovare le equazioni di evoluzione per Φ e Ψ:basta scrivere le equazioni analoghe per φ e ψ nella gauge longitudinale ereinterpretarle poi nel formalismo gauge invariante, trasformando al piu solole quantita legate alla materia.

In seguito, in particolare nel capitolo dove discuteremo le condizioniiniziali, introdurremo altre quantita gauge-invarianti che saranno partico-larmente utili per chiarire il significato fisico di alcune soluzioni.


Capitolo 4

Equazioni cosmologiche

Abbiamo gia chiarito nel capitolo precedente lo schema concettuale da se-guire per sviluppare una teoria perturbativa; ci soffermeremo ora sull’espo-sizione dei risultati che si ottengono applicandola al caso della cosmologia.In particolare presenteremo le equazioni perturbative che si derivano dalleequazioni di Einstein, adatte a descrivere, oltre alla metrica, i fluidi non re-lativistici, e dall’equazione di Boltzmann, che descrive i fluidi relativistici tracui, in particolare, i fotoni. Per l’esposizione di questi concetti ci riferiremoessenzialmente alla referenza [9].

4.1 Analisi di Fourier

Poiche le equazioni che andremo a studiare sono lineari, la maniera piu natu-rale di risolverle e quella di sviluppare la soluzione in una base ortonormaledi funzioni opportune. Nel seguito ci limiteremo ad analizzare solo il casocon curvatura spaziale nulla (Ωk = 0), dove le soluzioni saranno sviluppatein serie di Fourier ; questo, oltre a semplificare matematicamente il proble-ma, ha il vantaggio di dare una comprensione intuitiva di quello che accadealle varie scale, cioe ai vari k.

Per i calcoli utilizzeremo la gauge sincrona, nella quale, come abbiamovisto la metrica e descritta in termini delle due variabili ψ ed E

gµν = a2(τ)(

dτ2 + [δij + δgij ]dxidxj

)

(4.1)

δgij = −2ψδij + 2∂i∂jE (4.2)

dove, poiche Ωk = 0, abbiamo utilizzato la derivazione ordinaria, invece diquella covariante e dove abbiamo introdotto la perturbazione spaziale δgij .Per semplificare i calcoli, comunque, utilizzeremo un set di due variabiliequivalenti definite come:

h(x) = Tr(δgij) = −6ψ(x) + 2∇2E(x) (4.3)

η(x) = ψ(x) (4.4)

35

36 CAPITOLO 4. EQUAZIONI COSMOLOGICHE

dove abbiamo rinominato ψ in η per evitare ambiguita riguardo al significatodi ψ, che, in questa gauge, non e interpretabile come potenziale Newtoniano,e per uniformarci alla letteratura corrente [9].

Per comodita successiva conviene introdurre la variabile α(τ,x) = E(τ,x);dalla (4.3) scritta in trasformata di Fourier si ha:

h(τ,x) =

∫

d3xeik·x(

−6η(k, τ) + 2k2α(k, τ))

(4.5)

o, piu semplicemente, α = (h+ 6η)/2k2.Infine, in termini della trasformata di Fourier di h ed η

h(k, τ) =

∫

d3xeik·xh(x, τ) (4.6)

η(k, τ) =

∫

d3xeik·xη(x, τ) (4.7)

la metrica perturbata assume la forma

δgij =

∫

d3keik·x

kikjh(k, τ) +

(

kikj −1

3δij

)

6η(k, τ)

(4.8)

che si giustifica in base alla (4.3).Anche se in seguito considereremo solo spazi piatti, per completezza da-

remo una breve descrizione della generalizzazione a spazi curvi. Su unametrica con Ωk 6= 0 le onde piane non sono piu una base ortogonale enon possono essere usate per un’analisi armonica, tuttavia l’opportuna ge-neralizzazione si ottiene considerando una base di autostati dell’operatoreLaplaciano [39]:

∇2Y (k) = −k2Y (k) (4.9)

dove, in generale, l’operatore ∇2 e definito come:

∇2Y = Y|i|i (4.10)

In effetti, nel caso k = 0 e facile verificare che le onde piane soddisfano

∂i∂ieik·x = −k2 eik·x (4.11)

ritrovando cosı i risultati precedenti.

4.2 Equazioni di Einstein e fluidi non relativistici

Per sviluppare una teoria perturbativa abbiamo bisogno di una soluzioneda cui partire, il background ; nel nostro caso il background che assumeremonon e nient’altro che la metrica di FRW, con materia e radiazione che nedeterminano l’evoluzione nella forma:

a(τ) = aeq(

(βτ)2 + (βτ))

(4.12)

4.2. EQUAZIONI DI EINSTEIN E FLUIDI NON RELATIVISTICI 37

Oltre a limitarci ad uno spazio piatto, per semplicita trascureremo an-che i modi tensoriali, concentrandoci, invece, su quelli scalari; ci aspet-tiamo di conseguenza 4 equazioni dalla linearizzazione delle equazioni diEinstein, scritte in termini delle 2 quantita h, η della gauge sincrona e delle4 componenti scalari del tensore E-I:

k2η − a

2ah = 4πGa2 δT 0

0 (Syn) (4.13)

k2η = 4πGa2 (ρ+ P )θ(Syn) (4.14)

h+ 2a

ah− 2k2η = −8πGa2 δT ii (Syn) (4.15)

h+ 6η + 2a

a(h+ 6η)− 2k2η = −24πGa2 (ρ+ P )σ(Syn) (4.16)

dove con (Syn) abbiamo ricordato che le varie quantita sono scritte nellagauge sincrona e dove ancora abbiamo utilizzato ρ e P , la densita e pressionemedia del fluido imperturbato. Le 4 componenti del tensore E-I al secondomembro hanno l’interpretazione fisica gia chiarita nel capitolo precedente:

δT 00 = δρ (4.17)

(ρ+ P )θ = ikjδT 0j =

∫

d3xeik·xdiv~V (4.18)

δT ii = δP (4.19)

(ρ+ P )σ = −(

kikj −1

3δij

)

[

T ij − T kk3δij]

(4.20)

cioe sono legate, rispettivamente, alle perturbazioni di densita, velocita, epressione del fluido e al suo shear.

Fino a questo punto, comunque, la descrizione e incompleta, come sivede dal fatto che abbiamo 6 incognite (2 per la metrica e 4 per la materia),ma solo 4 equazioni; le 2 equazioni mancanti si ottengono, in realta, dalleidentita di Bianchi, le equazioni di consistenza legate alle equazioni di Ein-stein che danno l’evoluzione della materia e si traducono nella conservazionedel tensore E-I:

δTµν;ν = 0 (4.21)

Da queste, insieme all’equazione di stato P = wρ si ottiene

δ = −(1 + w)

(

θ +h

2

)

− 3a

a

(

δP

δρ− w

)

δ (4.22)

θ = − aa(1− 3w)θ − w

1 + wθ +

δP/δρ

1 + wk2δ − k2σ (4.23)

che rende, infine, chiuso il sistema complessivo con 6 equazioni in 6 incognite,e dove abbiamo introdotto la variabile δ = δρ/ρ che chiameremo contrasto


di densita, e la notazione δf che si riferisce ad un differenziale, vale a direδP = wδρ+ ρδw.

Le equazioni appena scritte descrivono il comportamento di fluidi nonrelativistici e le utilizzeremo tra breve per la CDM e la materia barionica;

per entrambe, comunque, trascureremo il termine(

δPδρ − w

)

importante solo

se il fluido,nella sua evoluzione, produce apprezzabili quantita di entropia,fenomeno che in questo caso trascuriamo. Con questa approssimazione iltermine δP/δρ si interpreta semplicemente come la velocita del suono nelfluido c2s

Le equazioni sviluppate fino a questo momento si riferiscono ad un solofluido; tuttavia possono essere adattate facilmente al caso di piu fluidi, ge-neralizzazione che ci sara utile tra breve. A questo scopo diamo dei brevicenni di teoria dei fluidi a piu componenti: la differrenza piu evidente e che,in generale, a causa delle interazioni tra le varie componenti, il tensore E-Idel singolo fluido non sara piu conservato ma verifichera:

Tµνi ;i = Qµi (4.24)

dove Qµi contiene gli effetti complessivi degli altri N − 1 fluidi e puo essereinterpretato come un termine di quadriforza; solo il tensore E-I complessivosara ancora conservato verificando

Tµν;i = 0 (4.25)

Tµν =∑

i

Tµνi (4.26)

e imponendo il vincolo sulle Qµi :∑

i

Qµi = 0 (4.27)

In definitiva, sebbene la situazione si complichi perche il termine di quadri-forze deve in genere essere ricavato da un modello, e anche possibile sfruttarele equazioni di consistenza per non far proliferare i gradi di liberta e dedurreautomaticamente le altre interazioni incognite.

L’introduzione di ogni nuovo fluido, dunque, porta a due ulteriori equa-zioni del tutto analoghe alle (4.22)-(4.23), per le componenti del fluido stes-so, con un termine di interazione che eventualmente puo essere inserito ri-cavandolo da un modello. La metrica, invece, si accoppia solo alla materiacomplessiva, e le equazioni di evoluzione rimangono le stesse, a patto di rein-terpretare le quantita a secondo membro come le componenti del tensore E-Idella materia complessiva:

ρ =∑

i

ρi (4.28)

P =∑

i

Pi (4.29)

4.3. COLD DARK MATTER 39

(

ρ+ P)

θ =∑

i

(

ρi + Pi)

θi (4.30)

(

ρ+ P)

σ =∑

i

(

ρi + Pi)

σi (4.31)

4.3 Cold Dark Matter

Come semplice applicazione del formalismo appena sviluppato, deriviamole equazioni di evoluzione per la CDM; questa e definita come materia nonrelativistica che non interagisce direttamente con gli altri tipi di fluidi equindi caratterizzata da un equazione di stato P = 0(w = 0). E’ possibilemostrare che la condizione che definisce la gauge sincrona e equivalentea richiedere che il fluido sia a riposo in questo sistema di riferimento; lavariabile θc, quindi, e identicamente nulla; se, inoltre assumiamo di potertrascurare lo shear σc = 0, rimaniamo, infine, con una sola equazione:

δc = −1

2h (4.32)

Da notare che, pur non interagendo direttamente con i fotoni, la CDM hauna notevole influenza sulle anisotropie della CMB; questo e dovuto all’in-terazione indiretta tramite la metrica che, in realta, rende accoppiati tutti ifluidi, persino in assenza di reali interazioni!

4.4 Fluidi relativistici e teoria cinetica

Nei paragrafi precedenti siamo passati ad una descrizione della materia viavia piu completa, dapprima come fluido perfetto in termini di due soli pa-rametri P e ρ e in seguito, in termini di un generico tensore E-I, con 4parametri nel caso delle fluttuazioni scalari. Tuttavia, allo stato attuale, vie una notevole dipendenza da parametri incogniti e da ipotesi ad hoc, adesempio riguardo all’equazione di stato che rendono la teoria, in definitiva,insoddisfacente.

Il modo naturale di ovviare a questi problemi e dare una descrizione dellamateria piu fondamentale: partire dalla conoscenza delle proprieta micro-scopiche, ad esempio la sezione d’urto dell’interazione che tiene in equilibrioil fluido, ed arrivare a predire le componenti del tensore E-I e l’equazione distato, senza piu parametri incogniti.

Per utilizzare le proprieta microscopiche ci serviremo di un approcciostatistico, e supporremo che le proprieta macroscopiche del fluido possanoessere descritte in termini di una distribuzione nello spazio delle fasi.

Nella forma non relativistica, f(x,p, t), la distribuzione nello spazio dellefasi e definita come

f(xi, pi, t)dx1dx2dx3dp1dp2dp3 = dN (4.33)


cioe , in modo che il numero di particelle nel volume di spazio delle fasid3xd3p sia proporzionale oltre al volume, alla distribuzione stessa.

Nell’usuale meccanica statistica la distribuzione nello spazio delle fasiviene utilizzata per descrivere le proprieta di un fluido all’equilibrio termo-dinamico; esempi di distribuzione di equilibrio, a cui ci riferiremo anche inseguito, sono la distribuzione di Boltzmann per un gas classico:

f0(E) ∝ eE

kBT (4.34)

e le distribuzioni per un gas di fermioni o bosoni:

f0(E) =gsh3P

1

eE

kBT ±1(4.35)

dove il segno (-) si riferisce ai bosoni, ed il segno (+) ai fermioni mentre hPe kB sono rispettivamente le costanti di Planck e di Boltzmann e gs i gradidi liberta di spin.

Quello che ci servira in seguito, invece, e un modo per descrivere cosaaccade anche in situazioni di non equilibrio, e come il fluido evolve da esse.E’ naturale supporre che questo si possa fare in termini di una distribuzionedipendente dal tempo; il punto centrale della teoria e, dunque, l’equazioneper l’evoluzione della distribuzione nello spazio delle fasi o, equazione diBoltzmann, che adesso discuteremo.

In assenza di interazioni l’evoluzione del sistema sara regolata dall’equa-zione di Liouville:

df

dt(t,x(t),p(t)) = 0 (4.36)

che, intuitivamente, puo essere interpretata dicendo che la distribuzione ri-mane, in realta di equilibrio se si seguono le linee di flusso nello spazio dellefasi. Comunque, a dispetto della sua apparente semplicita l’equazione diLiouville e, in realta, una complicata equazione differenziale alle derivateparziali che piu esplicitamente, dovremmo scrivere:

(

∂

∂t+~p

m·~∇r + ~Fext·~∇p

)

f(t, ~x, ~p) = 0 (4.37)

dove ~∇r,p indica il gradiente rispetto alle coordinate e ai momenti, mentre~Fext e la risultante delle forze esterne agenti sul fluido.

In generale, comunque, la situazione sara complicata dall’interazione trale particelle di fluido o dall’interazione con un altro fluido e l’equazione dovraessere modificata con un termine opportuno; la forma di questo terminedovra essere ricavata caso per caso dai dettagli dell’interazione, quindi, peril momento, scriviamo formalmente

df

dt=

(

∂f

∂t

)

coll(4.38)

4.5. SOLUZIONE PER IL BACKGROUND 41

che rappresenta l’equazione di Liouville collisionale o equazione di Boltz-mann. Il caso fondamentale a cui la applicheremo e il fluido di fotoni ebarioni tenuti assieme dallo scattering Compton tra i fotoni e gli elettronilegati ai barioni; la trattazione, comunque, risulta notevolmente complessae ci limiteremo a dare dei cenni.

Per poterla utilizzare correttamente, comunque, avremo bisogno di unageneralizzazione relativistica; tenendo conto che in questo caso la distribuzio-ne dipende dal quadrivettore delle coordinate e dal quadrimpulso, avremo:

d

dλf(xµ(λ), pµ(λ)) =

(

∂f

∂λ

)

coll(4.39)

dove, questa volta, invece che dal tempo, il moto e descritto dal parametroaffine λ, proporzionale al tempo proprio vale a dire al tempo come misuratoda un osservatore che si muova lungo le linee di flusso ([3]). Per rendere piuesplicita la (4.39) dobbiamo utilizzare l’analogo relativistico dell’equazionedi Newton, vale a dire l’equazione delle geodetiche:

d2xµ

dλ2+ Γµνρ

dxν

dλ

dxρ

dλ= 0 (4.40)

in termini della quale abbiamo(

pµ∂

∂xµ+ Γµνρp

νpρ∂

∂pµ

)

f(xµ, pµ) =

(

∂f

∂λ

)

coll(4.41)

In generale, la ricerca di una soluzione della (4.41) (che e non lineare!) risultaestremamente complessa; bisogna, quindi procedere con semplificazioni edipotesi come vedremo nei due casi fondamentali di seguito.

4.5 Soluzione per il background

Nel caso in cui la metrica di fondo sia quella di FRW, la f dipendera da xµ

e pµ, per ovvie ragioni di simmetria, solo tramite τ , p0 = E e P = PiPi:

f = f(τ, E, P ) (4.42)

inoltre, poiche momento ed energia sono legati da E2 = P 2 +m2, possiamo,in definitiva, ridurci a due sole variabili, una temporale τ ed una a scelta trap0 e P ; la scelta che semplifica di piu le equazioni e quella di τ e P ; in terminidi queste variabili l’equazione di Liouville non collisionale si puo scrivere(trascurando il termine collisionale e semplificando in maniera opportuna laparte operatoriale) [4]:

∂f

∂τ− P a

a

∂f

∂P= 0 (4.43)

che ammette come soluzione generale:

f = f(Pa) (4.44)


dove f e una generica funzione. Come si vede da questa soluzione, pero, lascelta di P non e in realta la piu conveniente; la soluzione diventa banale seintroduciamo il momento comovente p = Pa in termini del quale l’equazionedi Liouville si scrive semplicemente:

∂f

∂τ= 0 (4.45)

con soluzionef = f(p) (4.46)

Per completare il quadro dobbiamo inoltre ricavare un’importante pro-prieta del momento comovente; riscrivendo l’equazione delle geodetiche (4.40)in termini di p si trova 1 :

dp

dλ= 0 =⇒ p = const (4.47)

che ci dice che il momento comovente rimane costante durante il moto dellaparticella (un risultato atteso dal teorema di Liouville in base all’isotropiadella metrica); allo stesso tempo, invece, il momento fisico P = p/a redshiftadurante l’espansione dell’universo; in particolare per i fotoni, in cui ε =P ritroviamo risultato familiare: l’energia dei fotoni diminuisce (redshifta)linermente con l’espansione.

La (4.44) ha notevoli conseguenze per la CMB. Infatti, resta fino a questomomento inspiegato perche lo spettro della CMB sia oggi, con tale precisio-ne, uno spettro di corpo nero, cioe uno spettro di equilibrio, nonostante ifotoni siano usciti dall’equilibrio termodinamico all’epoca della ricombina-zione, cioe appena 100.000 anni dopo il Big Bang. La spiegazione e che, inbase alla (4.44), la distribuzione di equilibrio

f =gsh3P

1

eE

kBT − 1(4.48)

e ancora una soluzione dell’equazione di Boltzmann (non collisionale), pur-che si reinterpretino E e T come:

E = P = p/a (4.49)

T = (T 0aO)a−1 (4.50)

in cui ritroviamo ancora il risultato secondo cui i fotoni, mentre l’universosi espande, perdono energia per redshift gravitazionale mentre, equivalente-mente, la loro temperatura si abbassa come 1/a. Grazie alla (4.50), inoltre,

1Per poter confrontare il risultato con la notazione del [4], bisogna fare attenzione allaposizione degli indici; infatti Pi 6= P i e risulta invece Pi = a2P i; in termini coordinatiil momento comovente e definito come pi = pi = aP i = a−1Pi e p2 =

∑

ip2

i = |pi|2 e

l’equazione (4.47) si scrive piu precisamente dpi/dλ = 0.

4.6. SVILUPPO PERTURBATIVO 43

che possiamo riscrivere come

T

T0=a0

a= 1 + z (4.51)

e al fatto che la ricombinazione e avvenuta ad una temperatura di ∼ 13.5 eV ,l’energia di legame degli elettroni nell’idrogeno, possiamo dedurre il red-shift della ricombinazione stessa (z ∼ 1100), quando l’universo era solo2.73K/13.5eV ∼ 1/105 delle dimensioni attuali.

Conviene, comunque, sottolineare che la T che compare nella (4.50) none piu, in realta, una temperatura, in quanto la distribuzione non e piu pro-priamente di equilibrio, ma dovrebbe essere semplicemente considerata comeun parametro che specifica lo stato del sistema. La differenza, in ogni caso,e solo formale e, nel seguito, continueremo a parlare di ”temperatura”.

4.6 Sviluppo perturbativo

Rimane, comunque, da vedere come la teoria sviluppata finora si ricolleghiall’usuale descrizione in termini di tensore E-I, necessario per completare leequazioni di Einstein. La connessione e data dall’espressione del tensore E-Iin termini della distribuzione ([7]):

Tµν =

∫

dp1dp2dp3(−g)−1/2 pµpν

p0f(xi, pi, τ) (4.52)

dove g indica il determinante della metrica e dove

d3p√−g = d4p δ(pµpµ −m2) (4.53)

e l’elemento di volume covariante; infine, la dipendenza da E e determinatadalla norma del quadrimpulso (pµpµ = E2 −m2).

L’espressione (4.52) si puo vedere come uno sviluppo in multipoli finoal secondo ordine della funzione di distribuzione e suggerisce che l’usualedescrizione in termini di tensore E-I e solo un’approssimazione, del secondoordine, relativamente ad una teoria piu completa, la teoria cinetica. Vedremoun esempio esplicito di questa corrispondenza nell’analisi dei neutrini e deifotoni.

Nel seguito, nell’analisi perturbativa, approssimeremo la funzione di di-stribuzione con uno sviluppo attorno alla distribuzione di equilibrio (4.35)come:

f(xi, pi, τ) = f0(p)[

1 + Ψ(xi, p, ni)]

pi = p ni (4.54)

da cui il tensore E-I si scrive come:

T 00 = −a−4

∫

p2dpdΩ√

p2 +m2a2f0(p) (1 + Ψ) (4.55)


T 0i = a−4

∫

p2dpdΩ pnif0(p) Ψ (4.56)

T ij = a−4∫

p2dpdΩp2ninj

√

p2 +m2a2f0(p) (1 + Ψ) (4.57)

espressione valida in tutte le gauge. 2 L’equazione di Boltzmann perturbata,invece, si scrive, nella gauge sincrona, in trasformata di Fourier:

∂Ψ

∂τ+ i

q

ε(k·n)Ψ +

d ln f0

d ln p

[

η − h+ 6η

2

(

k·n)2]

=1

f0

(

∂f

∂τ

)

coll(4.58)

dove ε =√

p2 +m2a2 e l’energia ”fisica”.A commento di questa espressione notiamo che vi e dipendenza esplicita

da k solo attraverso i termini del tipo k·n; questo ci permette di ottenere unanotevole semplificazione se supponiamo che le fluttuazioni siano assialmentesimmetriche attorno a k; infatti, eventuali fluttuazioni non simmetriche nonvengono fatte evolvere dall’equazione (4.58) e rimangono invariate rispettoalla situazione iniziale, cosı, in assenza di meccanismi specifici che le generi-no, e naturale assumere che siano nulle sin dall’inizio, eliminando in questomodo un grado di liberta dall’analisi del problema. Il notevole vantaggio diquest’assunzione e che dobbiamo, adesso, risolvere le equazioni solo per varik e non per vari k, riducendo corrispondentemente il tempo di calcolo.

In realta, comunque, questa semplificazione e possibile solo per i modiscalari, mentre per i modi vettoriali e tensoriali, che definiscono naturalmen-te una direzione privilegiata, la simmetria di rotazione non vale; per questomotivo, pur essendo le equazioni relative simili, il tempo di calcolo richiestoe notevolmente piu elevato.

4.7 Neutrini non massivi

Il caso piu semplice a cui possiamo applicare la teoria cinetica e quellodei neutrini non massivi. La fisica della CMB che riguarda i neutrini siriferisce al periodo in cui questi si sono ormai disaccoppiati dal resto dellamateria; il termine collisionale nell’equazione di Boltzmann potra, allora,essere trascurato producendo una notevole semplificazione.

Tenuto conto dell’equazione di stato dei neutrini, P = ρ/3, caratteristicadella radiazione, le varie componenti del tensore E-I si possono scrivere

ρν = 3Pν = a−4∫

p2dpdΩ pf0(p) (4.59)

2Da notare che il fattore a2 compare nell’espressione perche il tensore E-I dipende dalmomento ”fisico” o proprio piu che da quello ottenuto in coordinate comoventi, ed i duesono legati da pphys = p/a, analogamente a come la distanze fisiche sono legate a quellecomoventi da xphys = ax.Comunque, una giustificazione rigorosa richiede di esaminarealcune difficolta legate alla scelta della gauge e alla definizione del momento proprio; perulteriori dettagli si veda [9]

4.7. NEUTRINI NON MASSIVI 45

δρν = 3δPν = a−4∫

p2dpdΩ pf0(p) Ψ (4.60)

δT 0νi = a−4

∫

p2dpdΩ pf0(p) niΨ (4.61)

Σiνj = T iνj − Pνδij = a−4

∫

p2dpdΩ p(ninj −1

3δij)f0(p) Ψ (4.62)

dove abbiamo sfruttato il fatto che, in questo caso, la relazione tra energiae impulso e semplicemente ε = p.

Per proseguire l’analisi e conveniente introdurre la funzione Fν(k, n, τ)ottenuta dalla distribuzione originaria Ψ integrando la dipendenza da p.Grazie alla precedente assunzione di simmetria di rotazione, possiamo espan-dere Fν in polinomi di Legendre:

Fν(k, n, τ) =

∫

p2dp pf0(p)Ψ∫

p2dp pf0(p)=

+∞∑

l=0

(−1)l(2l + 1)Fνl(k, τ)Pl(k·n) (4.63)

dove il fattore di normalizzazione (−1)l(2l + 1) e stato introdotto in modoche le Fνl coincidano con le funzioni sferiche di Bessel (jl(k)) nel caso in cuiFν sia un’onda piana:

Fν(k, n) = eik·n =∑

l

(−1)l(2l + 1)jl(k)Pl(k·n) (4.64)

In termini delle Fνl le varie componenti del tensore E-I si scrivono:

δν =1

4π

∫

dΩFν(k, n, τ) = Fν0 (4.65)

θν =3i

16π

∫

dΩ(k·n)Fν(k, n, τ) =3

4kFν1 (4.66)

σν = − 3

16π

∫

dΩ

[

(

k·n)2− 1

3

]

Fν (k, n, τ) =Fν22

(4.67)

vale a dire i termini di densita, velocita e shear si esprimono come momentodi monopolo, dipolo e quadrupolo della funzione di distribuzione. In effetti,ritroviamo il risultato anticipato nella sezione precedente secondo cui la de-scrizione in termini di tensore E-I e un limite al secondo ordine della teoriacinetica.

Infine, l’equazione di Boltzmann perturbata si scrive:

∂Fν∂τ

+ ikµFν = −2

3h− 4

3(h+ 6η)P2(µ) (4.68)

con µ = k·n, e dove la dipendenza da p, rispetto alla (4.58) e stata elimina-ta tramite integrazione. Equivalentemente, l’equazione si puo esprimere intermini delle Fνl come il sistema:

δν = −4

3θν −

2

3h (4.69)


θν = k2(

1

4δν − σν

)

(4.70)

2σν =8

15θν −

3

5kFν3 +

4

15h+

8

5η (4.71)

Fνl =k

2l + 1

[

lFν(l−1) − (l + 1)Fν(l+1)

]

l ≥ 3 (4.72)

che va risolto congiuntamente alle equazioni della metrica (4.13).Il sistema ottenuto e una gerarchia infinita di equazioni accoppiate per

la metrica e la funzione di distribuzione; la ricerca di una soluzione esat-ta, sia analitica che numerica, e, ovviamente, improponibile; per risolverlo,dunque, e necessaria una prescrizione su come troncarlo ad un certo ordine.Allo scopo notiamo che il sistema delle Fνl e omogeneo da l = 3 in poi, ed hatermini di ”sorgente” solo fino al quadrupolo; questo significa che il ”flusso”della soluzione puo propagarsi solo da piccoli a grandi l e non viceversa; sicapisce, allora, perche la semplice scelta di porre Fνl = 0 per l > lmax siapoco felice: il ”flusso” della soluzione viene riflesso ad l = lmax e cominciaad oscillare tra l = 0 e l = lmax creando di fatto un comportamento ano-malo non presente nel sistema originario che determina grandi errori nellasoluzione numerica.

Per ovviare a questo inconveniente e allora piu utile utilizzare uno schemadi taglio del tipo:

Fν(lmax+1) =2lmax + 1

kτFνlmax

− Fν(lmax−1) (4.73)

basato su una relazione di ricorrenza valida per le funzioni sferiche di Besseljl(kτ). In effetti, si trova che questo tipo di troncamento e estremamenteefficiente e consente di avere risultati praticamente corretti fino ad un certolmax andando solo di poco piu avanti nell’ordine di multipolo.

4.8 Neutrini massivi

L’analisi in presenza di neutrini massivi e concettualmente identica a quelladei corrispondenti non massivi, con una fondamentale differenza formaleche adesso sottolineeremo. Tenuto conto che la relazione che lega energia emomento e, in questo caso, quella generale ε =

√

p2 + a2m2, si ha:

δρh = a−4∫

p2dpdΩ εf0(p) Ψ (4.74)

δPh =1

3a−4

∫

p2dpdΩ εf0(p) Ψ (4.75)

δT 0hi = a−4

∫

p2dpdΩ pnif0(p) Ψ (4.76)

Σihj = a−4

∫

p2dpdΩp2

ε(ninj −

1

3δij)f0(p) Ψ (4.77)

4.8. NEUTRINI MASSIVI 47

La differenza piu evidente rispetto al caso precedente e che, stavolta, l’equa-zione di stato non e piu semplicemente quella della radiazione P = ρ/3, mauna complicata funzione che va da P = ρ/3 quando i neutrini sono altamen-te relativistici e quindi assimilabili a radiazione, a P = 0 quando dominal’energia di massa dove il comportamento e quello della materia ordinaria. Acausa di questa complicazione l’integrazione in p non e piu utile per sempli-ficare il problema; questa volta, invece, espandiamo in polinomi di Legendredirettamente la funzione di distribuzione Ψ:

Ψ(k, p, n, τ) =+∞∑

l=0

(−1)l(2l + 1)Ψl(k, p, τ)Pl(k·n) (4.78)

da cui le componenti del tensore E-I si possono scrivere:

δρh = 4πa−4∫

p2dp εf0(p) Ψ0 (4.79)

δPh =4

3πa−4

∫

p2dpp2

εf0(p) Ψ0 (4.80)

(ρh + Ph)θh = 4πka−4∫

p2dp pf0(p) Ψ1 (4.81)

(ρh + Ph)σh =8

3πa−4

∫

p2dpp2

εf0(p) Ψ2 (4.82)

Nel caso dei neutrini non massivi il tensore E-I era legato ai primi tre mo-menti di multipolo della distribuzione tramite una semplice integrazione inp; in questo caso, invece, contano ancora solo i primi tre momenti, ma l’in-tegrazione avviene in una maniera non banale; la dipendenza dalla variabilep, allora, non puo piu essere trascurata ed e necessario considerare l’evolu-zione della distribuzione completa di tutte le variabili, tramite l’equazionedi Boltzmann perturbata (4.58) che, in termini della gerarchia infinita chene deriva, si scrivera:

Ψ0 = −pkε

Ψ1 +1

6hd log f0

d log p(4.83)

Ψ1 =pk

3ε(Ψ0 − 2Ψ2) (4.84)

Ψ2 =pk

5ε(2Ψ1 − 3Ψ3)−

(

1

15h+

2

5η

)

d log f0

d log p(4.85)

Ψl =pk

(2l + 1)ε[l Ψl−1 − (l + 1)ψl+1] l ≥ 3 (4.86)

E’ evidente la complicazione aggiuntiva che comporta la risoluzione diquesto sistema: questo va risolto non solo per i vari k, ma anche per ivari p aumentando il tempo di calcolo in proporzione al campionamento chescegliamo per questa variabile; inoltre, insieme alle equazioni di Einstein,


abbiamo ora un sistema di equazioni integro-differenziali, ovviamente moltopiu complicato da risolvere.

La discussione relativa al troncamento della gerarchia e del tutto analogaal caso precedente, e non la ripeteremo qui.

4.9 Fotoni

Le equazioni per la funzione di distribuzione dei fotoni sono il punto centraledella nostra analisi in quanto e da queste che ricaveremo la previsione teoricaper lo spettro delle anisotropie della CMB. Il trattamento dei fotoni seguein parte quello dei neutrini non massivi, ma contiene due importanti novita:

• questa volta il termine collisionale nell’equazione di Boltzmann nonpuo essere trascurato in quanto e proprio l’interazione dei fotoni congli elettroni tramite lo scattering Compton (o il suo analogo non re-lativistico, lo scattering Thomson) a determinare l’evoluzione dellefluttuazioni nel fluido di fotoni-barioni-elettroni.

• vi e un ulteriore grado di liberta legato al fatto che il fotone ha di-versi stati di polarizzazione descritti, a loro volta, da una funzione didistribuzione ed uno spettro di potenza.

In realta, le due cose sono strettamente connesse: attraverso lo scatteringThomson anisotropie nella densita di fotoni vengono convertite in anisotropiedella polarizzazione e viceversa; quindi, se si richiede una certa accuratezza,e necessaria un’analisi di entrambe anche qualora si voglia solo lo spettro ditemperatura.

Per il momento assumeremo che la polarizzazione possa essere descrittada un’altra funzione di distribuzione che indicheremo con Gγ , e scriveremoi termini collisionali come:

(

∂Fγ∂τ

)

C= aneσT

[

−Fγ + Fγ0 + 4n·ve −1

2(Fγ2 +Gγ0 +Gγ2)P2

]

(4.87)

(

∂Gγ∂τ

)

C= aneσT

[

−Gγ +1

2(Fγ2 +Gγ0 +Gγ2) (1− P2)

]

(4.88)

mentre i membri di sinistra dell’equazione di Boltzmann rimangono glistessi del caso dei neutrini non massivi. La derivazione di questi risultatie molto complessa e non la tratteremo qui [20], comunque, rimandiamo alprossimo capitolo una comprensione piu approfondita della polarizzazioneed una giustificazione, almeno qualitativa, delle formule impiegate.

Nelle equazioni abbiamo introdotto σT , la sezione d’urto totale Thomson,P2(µ) il polinomio di Legendre di ordine 2, ed infine ve e la velocita mediadegli elettroni tale che

n·ve = − iθbkP1(k·n) (4.89)

4.10. RICOMBINAZIONE 49

La giustificazione della (4.89) sta nel fatto che, pur essendo molti elettroniliberi dai barioni, complessivamente, i due fluidi sono legati dall’attrazioneelettrostatica e l’inerzia del fluido di elettroni e fornita dai barioni. Infine,ne rappresenta la frazione di elettroni non legati ai barioni e quindi liberi diinteragire con i fotoni, per cui svilupperemo un semplice modello nel seguito.

L’analisi successiva procede come al solito espandendo le due distribu-zioni in polinomi di Legendre per ottenere:

δγ =4

3θγ −

2

3h (4.90)

θγ = k2(

1

4δγ − σγ

)

+ aneσT (θb − θγ) (4.91)

Fγ2 = 2σγ =8

15θγ −

3

5kFγ3 +

4

15h+

8

5η − 9

5aneσTσγ +

1

10aneσT (Gγ0 +Gγ2) (4.92)

Fγl =k

2l + 1

[

lFγ(l−1) − (l + 1)Fγ(l+1)

]

− aneσTFγl l ≥ 3 (4.93)

Gγl =k

2l + 1

[

lGγ(l−1) − (l + 1)Gγ(l+1)

]

+ aneσT

[

−Gγl1

2(Fγ2 +Gγ0 +Gγ2)

(

δl0 +1

5δl2

)]

(4.94)

che e una gerarchia infinita per i fotoni e la loro polarizzazione.

4.10 Ricombinazione

Per calcolare ne e necessario sapere cosa avviene durante la ricombinazione,un periodo fondamentale per le anisotropie della CMB. In questa fase latemperatura media della radiazione scende al di sotto dell’energia di legamedell’atomo di idrogeno, ed i fotoni non sono piu in grado di ionizzarlo; inbreve tempo, quindi, quasi tutti gli elettroni si legano ai protoni e formanoatomi neutri. Il cammino libero medio dei fotoni, fino a questo momentobreve a causa della rapida interazione con gli elettroni, diventa rapidamentepiu grande dell’orizzonte causale e questi sono infine liberi di viaggiare, finoad arrivare, oggi, ai nostri rivelatori.

Come e mostrato in figura, la funzione ne ha un andamento a salti pas-sando da un valore ∼ 1 prima della ricombinazione per arrivare rapidamentea zero subito dopo. Il quadro e solo leggermente complicato dal fatto che ol-tre ai protoni vi sono anche nuclei di elio, e poco prima della ricombinazionedell’idrogeno, a causa dell’energia di legame maggiore vi e anche la ricombi-nazione dell’elio. In figura questo e evidente dal fatto che, per tempi piccoli,ne e leggermente maggiore di 1, in proporzione ai nuclei di elio presenti.

Come abbiamo visto, fortunatamente nei calcoli non sono necessarie lefluttuazioni di ne, ma solo il suo valore di ordine zero; un modello euristicoper il calcolo di ne e dato dalla schematizzazione come equilibrio cinetico dipiu specie chimiche secondo la reazione:

e− +H+ ←→ H (4.95)


Figura 4.1: Frazione di elettroni liberi ne/nH in funzione del redshift. Laquantita vale 1 quando l’idrigeno e totalmente ionizzato, ed 1+2nHe/nHquando l’elio e doppiamente (totalmente) ionizzato.

governato dall’equazione dell’azione di massa o equazione di Saha:

ne nH+

nH∝ e−

χ

kBT ne + nH+ = nH (4.96)

dove ni e la frazione delle varie specie e χ e il potenziale di ionizzazionedell’atomo di idrogeno, che vale ∼ 13.5 eV . Il modello descritto da’ unacomprensione intuitiva di quello che accade durante la ricombinazione; tut-tavia, e chiaro che per un calcolo accurato e insufficiente. Per una previsionedettagliata, invece, e necessario descrivere il processo tramite l’equazione diBoltzmann ed includere gli effetti delle transizione dell’elettrone tra i diversilivelli dell’idrogeno.

I recenti dati sperimentali, comunque,([29]) sembrano indicare che l’an-damento di ne non si sia stabilizzato dopo la ricombinazione, ma sia tornatoad aumentare nuovamente grazie al processo noto come reionizzazione: inseguito alla formazione delle prime generazione di stelle si e venuto a for-mare un flusso costante di radiazione ultravioletta che ha, infine, reionizza-to l’idrogeno interstellare e creato un nuovo equilibrio con un valore di neleggermente diverso da zero.

Per visualizzare questi fenomeni, invece di ne e piu utile considerare lacosiddetta funzione di visibilita:

g(τ) = κe−κ (4.97)

κ = aneσT (4.98)

4.11. BARIONI 51

Figura 4.2: Funzione di visibilita in funzione del tempo conforme; il primopicco corrisponde all’epoca della ricombinazione, mentre il secondo, menopronunciato, all’epoca della reionizzazione.

che si puo interpretare come densita di probabilita che il fotone subiscaultimo scattering al tempo τ . Il picco maggiore in figura e l’effetto dellaricombinazione, mentre quello piu piccolo successivo e dovuto alla reioniz-zazione. Solitamente l’effetto della reionizzazione viene misurato tramite ilparametro κ, la profondita ottica alla superficie di ultimo scattering. Comevedremo nell’ultimo capitolo, l’analisi dei dati di WMAP indica un valoredi κ = 0.14±0.01 che corrisponde ad un redshift di ∼ 20 per la formazionedelle prime stelle. In seguito, comunque, avremo modo di discutere piu indettaglio gli effetti della reionizzazione, in particolare sulla polarizzazione.

4.11 Barioni

Rimangono, infine, da scrivere le equazioni per il fluido di barioni. I barionisono una specie non relativistica, e possono essere descritti, analogamentealla CDM, in termine del solo tensore E-I; utilizzeremo, allora le equazioni(4.22)-(4.23) ponendo w = δP/δρ = 0; cs, invece, compare al primo ordinee non puo essere trascurato:

δb = −θb −1

2h (4.99)

θb = − aaθb + c2sk

2δb +4

3

ργρbσT (θγ − θb) (4.100)


L’ultimo termine nell’espressione precedente, comunque, non puo esseregiustificato solo dalla (4.23), ma e, in realta, conseguenza dell’accoppia-mento con i fotoni. Per ottenerlo e sufficiente considerare l’equazione diconservazione complessiva

Tµν; ν = 0, Tµν = Tµνγ + Tµνb (4.101)

e la relazione che lega T a θ

ikjδT 0j = (ρ+ P )θ (4.102)

e considerare il termine analogo nell’equazione (4.91) per i fotoni, responsa-bile dell’interazione.

Come ne, invece, cs e necessario solo all’ordine zero e puo esser calcolatocon un modello [9].

4.12 Spettro della temperatura

Bisogna, infine, collegare le quantita che abbiamo studiato, le fluttuazioninella funzione di distribuzione dei fotoni, con quelle effettivamente misura-bili, le anisotropie di temperatura. Allo scopo definiamo una temperaturaefficace, in termini della distribuzione di equilibrio secondo la relazione

f(xi, p, nj , τ) = f0

(

p

1 + ∆TT

)

= f0

(

p

1 + ∆

)

(4.103)

da cui si puo ricavare

∆ = −(

d ln f0

d ln p

)−1

Ψ (4.104)

In generale, Teff dipendera da tutte le variabili:

∆ = ∆(xi, p, nj , τ) (4.105)

e somigliera, realmente, molto poco ad una temperatura, non avendo piula distribuzione una forma di corpo nero. Fortunatamente, pero, nel nostrocaso ∆ non dipende da p e possiamo, quindi, almeno pensare ad una ”tem-peratura” che dipenda dal punto e dalla direzione di osservazione. Il motivodi questa semplificazione (almeno come argomento di plausibilita) e che l’in-terazione gravitazionale non ha ”colore”, cioe e indipendente dalla frequenzadel fotone; formalmente, comunque, il risultato e dovuto alla presenza deltermine d ln f0

d ln p nell’equazione (4.58) di evoluzione per Ψ.

In definitiva, dunque, si ha:

∆ = ∆(xi, nj , τ) (4.106)

4.12. SPETTRO DELLA TEMPERATURA 53

con ∆ che sara legata direttamente alla funzione di distribuzione mediatasui momenti tramite ∆ = Fγ/4.

Per il calcolo dei Cl consideriamo l’espansione di ∆ in polinomi di Legen-dre, possibile per la simmetria di rotazione sottolineata precedentemente:

∆(x, nj , τ) =

∫

d3keik·x+∞∑

l=0

∆l(k, τ)Pl(µ) (4.107)

Quello che in realta ci interessa sono i coefficienti alm dell’espansione di ∆in armoniche sferiche; dalla relazione precedente si ha:

alm(x, τ) =

∫

dΩ Y lm(n)∆(x, n, τ) (4.108)

=

∫

d3k eik·x+∞∑

l′=0

∆l(k, τ)

∫

dΩY lm(n)Pl′(k·n) (4.109)

L’integrale in dΩ e facilmente calcolabile nel sistema di riferimento in cuik ≡ e3; in tal caso:

∫

dΩY lm(n)Pl′(cos θ) = δll′δ

m0 (4.110)

per riottenerlo nel sistema originario ruotato di k ricordiamo che coefficientia e a′ in due sistemi ruotati sono legati tra loro dalle matrici di rotazioneche mischiano tra loro solo gli indici m (in meccanica quantistica questo unrisultato familiare per i momenti angolari):

a′lm′ =∑

m

Dlm′m alm (4.111)

da cui si ha:δll′δ

m0 −→

∑

m

Dlm′mδ

ll′δ

m0 = Dl

0mδll′ (4.112)

Nel caso particolare in cui m′ = 0 si puo mostrare ([8]) che Dlm0 = Y l

m, dacui in definitiva:

alm(x, τ) =

∫

d3k eik·xY lm(k)∆l(k, τ) (4.113)

alm(k, τ) = Y lm(k)∆l(k, τ) (4.114)

Utilizzando, infine, le formule del capitolo 2 con l’assunzione di isotropiastatistica, si ha

Cl =∑

m

< |alm|2 >2l + 1

=

∫

d3k∑

m

Y lm(k)Y l

m(k) < ∆2l (k, τ) >

=

∫

d3k < ∆2l (k, τ) > (4.115)


dove abbiamo sfruttato la relazione∑

m Ylm(n1)Y

lm(n2) = Pl(n1·n2), (che

equivale ad un caso particolare del teorema di somma dei momenti angolari).

In generale, comunque, visto che le equazioni per i ∆l non dipendono dak, e possibile fattorizzarli come

∆l(k, τ) = ψi(k)∆l(k, τ) (4.116)

cioe con la dipendenza da k contenuta solo nelle condizioni iniziali che ri-marra inalterata durante l’evoluzione. La funzione ∆l(k, τ) che si ottieneponendo ψ = 1 e anche detta funzione di trasferimento. Introducendo lospettro di potenza iniziale Pψ(k), indipendente da k sempre per l’assunzionedi isotropia, come

< ψi(k1)ψi(k2) >= Pψ(k) δ(k1 + k2) (4.117)

la (4.115) si scrive infine

Cl =

∫

d3kPψ(k) ∆2l (k, τ) (4.118)

4.13 Soluzioni numeriche

L’integrazione del sistema di equazioni introdotto fino a questo momentorichiede la specificazione di opportune condizioni iniziali; per il momentorimandiamo la discussione di questo punto ed assumiamo le usuali condi-zioni iniziali adiabatiche. Con questo assunto descriveremo ora i risultatidell’integrazione numerica del sistema e ne discuteremo le implicazioni.

Riferendoci alle figure possiamo dividere l’analisi in 3 punti fondamentalia seconda della scala che consideriamo:

• A tempi piccoli la lunghezza d’onda delle perturbazioni e piu gran-de delle dimensioni dell’orizzonte causale: la perturbazione e ancora”fuori” dall’orizzonte; l’andamento e una semplice legge di potenzama dipendente dalla gauge, crescente nella gauge sincrona, costantein quella Newtoniana ad indice del fatto che fuori dall’orizzonte leperturbazioni non hanno ancora un vero significato fisico.

• In seguito, quando le perturbazioni ”entrano” nell’orizzonte il lorocomportamento dipende dal numero d’onda e dalla specie. Il compor-tamento delle CDM, dopo la fase iniziale in cui e gauge-dipendente,diventa univoco: le fluttuazioni tendono ad aumentare e diventano ilseme per la formazione di strutture come galassie e cluster.

Il comportamento dei barioni, invece, dipende dalla scala; in partico-lare, la scala importante e la dimensione dell’orizzonte all’epoca dellaricombinazione, a cui corrisponde krec = 2π/τrec = 0.025Mpc−1; per

4.13. SOLUZIONI NUMERICHE 55

k < krec i modi entrano nell’orizzonte dopo la ricombinazione ed ilcomportamento e molto simile a quello della CDM; per k > krec,invece, entrano nell’orizzonte prima della ricombinazione: in tal ca-so i barioni formano un fluido accoppiato con i fotoni e sono quindisottoposti ad oscillazioni acustiche che durano fine alla fine della ri-combinazione. Se poi k e particolarmente elevato, (k > 2π/λSD), lalunghezza d’onda del modo sara piu piccola della scala del Silk dam-ping, e il fluido di barioni-fotoni produrra oscillazioni smorzate, comerisulta evidente in particolare nella figura (c). Dopo essersi disaccop-piati, comunque, i barioni cadranno nella buca di potenziale creatadalla CDM e l’ampiezza delle fluttuazioni crescera rapidamente.

• Per capire il comportamento dei neutrini massivi la scala fondamentalee fissata dalla lunghezza di Jeans. La lunghezza di Jeans, o meglio, ilnumero d’onda di Jeans

kj =

(

4πG ρa2

c2s

)(1/2)

(4.119)

si ricava da un’approssimazione Newtoniana [1], e serve a discrimi-nare tra oscillazioni (k > kj) e andamento crescente (k < kj) nelcomportamento delle fluttuazioni. Nel caso dei neutrini, in realta,non e ben definita, in quanto non esiste una velocita del suono inun fluido di particelle non interagenti; comunque, puo essere anco-ra una quantita utile se al posto di cs utilizziamo la velocita mediavmed (kj = 4πGρa2/v2

med). In questo caso, distinguiamo due diversiandamenti: quando il neutrino e relativistico vmed ∼ c e kj decrescecome a−1 (ρ ∝ a−4); mentre quando e ormai non relativistico, nel-l’epoca dominata dalla materia (ρ ∝ a−3), la sua velocita e termica,v2med ∼ 3kBT/m ∝ a−1 e, complessivamente, kj ∝ a1/2. quindi, per k

molto piccoli si ha sempre k < kj e i neutrini massivi si comportanoesattamente come i barioni e la CDM; per k elevati, invece, inizialmen-te si ha k > kj e si osservano oscillazioni (free-streaming del neutrino),finche, infine, poiche kj cresce, le oscillazioni si arrestano e i neutriniseguono l’andamento dell’altra materia.

Per i fotoni e i neutrini non massivi il criterio e simile, ma, poichesono sempre relativistici, kj e sempre decrescente (kj ∝ a−1 nell’epocadella radiazione e kj ∝ a−1/2 nell’epoca della materia) e vi e semprefree-streaming.


4.13. SOLUZIONI NUMERICHE 57


Figura 4.3: Evoluzione delle perturbazioni a grandi (a), medie (b) e piccole(c) scale nella gauge sincrona (sopra) e in quella Newtoniana (sotto). Irisultati su riferiscono ad un modello spazialmente piatto di HDM+CDMcon Ωb = 0.05, h0 = 0.5 e Ων = O.2 corrispondente a mν = 4.7eV ; dallaref. [9]. Le 5 linee in ogni figura si riferiscono a δc (continua), δb (punto etratto), δγ (tratto lungo), δν (punteggiato) e δh (tratto corto).

Capitolo 5

Polarizzazione

L’informazione nella radiazione cosmica di fondo e racchiusa non solo nellospettro della temperatura, ma anche nella sua polarizzazione; per poterlasfruttare, comunque, bisogna sviluppare un formalismo adeguato. In questocapitolo, dunque, entreremo piu in dettaglio nella fisica della polarizzazione:inizialmente la radiazione sara descritta in termini classici introducendo iparametri di Stokes; in seguito, verra esplicitato il legame con gli usualicampi E e B usati per descrivere la polarizzazione della CMB; verra poistabilito un collegamento con il capitolo precedente, chiarendo il significatodelle equazioni usate per l’evoluzione della polarizzazione; infine, vista laloro importanza, cercheremo di chiarire intuitivamente il significato deglispettri E e B attraverso l’analogia con i campi elettromagnetici.

5.1 Parametri di Stokes

Quando un’onda elettromagnetica si dice polarizzata? Per chiarirlo conside-riamo un’onda monocromatica che si propaga nella direzione z, di pulsazioneω0, e soffermiamoci sulla sua descrizione in termini di campo elettrico:

Ex(t) = ax(t) cos(ω0t+ θx(t)) (5.1)

Ey(t) = ay(t) sin(ω0t+ θy(t)) (5.2)

dove ax,y(t), θx,y(t) sono funzioni lentamente variabili del tempo, ed intro-duciamo le 4 quantita, i parametri di Stokes:

I = < a2x > + < a2

y > (5.3)

Q = < a2x > − < a2

y > (5.4)

U = < 2axay cos(θx − θy) > (5.5)

V = < 2axay sin(θx − θy) > (5.6)

dove < . . . > indica, in questo caso, una media temporale da non confondersicon la media d’ensemble.

59

60 CAPITOLO 5. POLARIZZAZIONE

Il parametro fondamentale e naturalmente I, l’intensita dell’onda, sem-pre diverso da zero; la presenza di polarizzazione e, invece, segnalata da unvalore non nullo dei rimanenti 3 parametri: in particolare Q e U sono legatiad una polarizzazione lineare, mentre V e una misura della polarizzazionecircolare. In generale, quindi, la polarizzazione non e nient’altro che la pre-senza di una qualche correlazione tra le componenti dei campi nelle direzionix e y.

Nel seguito saranno importanti le proprieta di trasformazione dei para-metri di Stokes per rotazione degli assi x e y di un angolo φ. Si puo vedere,in questo caso, che I e V sono scalari mentre Q e U si trasformano secondo:

Q′ = Q cos(2φ) + U sin(2φ)U ′ = −Q sin(2φ) + U cos(2φ)

(5.7)

In effetti, a meno del fattore 2, Q e U cambiano esattamente come un vettoredi cui costituiscono le componenti x e y, tanto che, usualmente, viene definitoil ”vettore” di polarizzazione

P = Qx + U y (5.8)

che ha modulo√

Q2 + U2 e forma con l’asse x l’angolo 12 tan−1 U

Q . Il vet-tore di polarizzazione, comunque, manca di verso (ruotando di 180 vienemandato in se stesso) ed e per questo che in seguito sara indicato con unafreccia priva di direzione.

Queste proprieta di trasformazione, comunque, risultano piu chiare seintroduciamo la matrice di polarizzazione:

P =1

2(σ0I + σxQ+ σyU + σzV ) =

1

2

(

I −Q U − iVU + iV I +Q

)

(5.9)

con σµ ≡ (1, σi) e σi le matrici di Pauli ; infatti, le trasformazioni precedentisi riassumono per P nella legge di trasformazione di un tensore doppio,mentre le proprieta dei singoli parametri sono legate semplicemente allascomposizione nelle matrici Pauli ed alla loro interpretazione come invariantidella matrice.

5.2 Produzione di polarizzazione

Il processo fondamentale tramite cui la radiazione interagisce con la materiae lo scattering Compton o, classicamente, lo scattering Thomson. La solainterazione tra fotoni e materia, comunque, non e sufficiente per la produ-zione di polarizzazione in quanto il processo, in generale, e simmetrico, enon favorisce nessuno stato di polarizzazione in particolare. La situazionecambia, comunque, se la distribuzione iniziale della radiazione e anisotro-pa. Per vederlo, consideriamo il caso classico; la sezione d’urto Thomson si

5.2. PRODUZIONE DI POLARIZZAZIONE 61

I

y

∋

∋

x

∋

x

∋

y

I

θ

Θ = π − θ

Figura 5.1: Diffusione della luce in un sistema di riferimento in cui l’elettronee a riposo nell’origine.

scrive:dσ

dΩ=

3σT8π

∣

∣ε′·ε∣

∣

2(5.10)

dove σT e la gia citata sezione d’urto Thomson, mentre ε′ e ε sono i versoridei vettori di polarizzazione rispettivamente dell’onda incidente e diffusadall’elettrone, nel sistema di riferimento in fig (5.1)in cui questo e a riposo;inoltre l’asse z coincide con la direzione del fotone diffuso e εy ed ε′y giacciononel piano formato dai due fotoni mentre εx ed ε′x vi sono ortogonali.

Sia inoltre I ′ ed I l’intensita complessiva della luce incidente e diffusae supponiamo che la luce incidente non sia polarizzata; introducendo ledue quantita Ix = (I + Q)/2 e IY = (I − Q)/2 questo si esprime comeI ′x = I ′y = I/2; allora si ha:

Ix =3σT8π

[

I ′x(

ε′x·εx)2

+ I ′y

(

ε′y·εx)2]

=3σT8π

I ′ (5.11)

Iy =3σT8π

[

I ′x (εx·εy)2 + I ′y

(

ε′y·εy)2]

=3σT8π

I ′ cos2 θ (5.12)

da cui

I = Ix + Iy =3σT8π

I ′(

1 + cos2 θ)

(5.13)

Q = Ix − Iy =3σT8π

I ′ sin2 θ (5.14)

mentre per calcolare U , dalla formula (5.7), bastera ripetere lo stesso calcoloin sistema di riferimento ruotato di 45 dove il nuovo Q sara il vecchio U :

Q′ = UU ′ = −Q (5.15)


I parametri di Stokes complessivi per la radiazione diffusa si otterrannointegrando sulle possibili direzioni di incidenza:

I =3σT16π

∫

dΩ(

1 + cos2 θ)

I ′(θ, φ) (5.16)

Q =3σT16π

∫

dΩsin2 θ cos(2φ)I ′(θ, φ) (5.17)

U =3σT16π

∫

dΩsin2 θ sin(2φ)I ′(θ, φ) (5.18)

dove la dipendenza da φ nell’integrale perQ ed U deriva dall’adattamento adun sistema di riferimento comune per le varie direzioni di incidenza, rispettoa quello scelto inizialmente, comodo per i calcoli. Infine, sviluppando I ′(n)in armoniche sferiche, I ′(n) =

∑

lm almYlm(n), si ottiene facilmente:

I =3σT16π

[

8

3

√π a00 +

4

3

√

π

5a20

]

(5.19)

Q =3σT4π

√

2π

15Re a22 (5.20)

U = −3σT4π

√

2π

15Im a22 (5.21)

Come si vede, quindi, la produzione di polarizzazione e legata alla pre-senza di un termine di quadrupolo nell’intensita della radiazione. Questomodello classico coglie appieno la fisica del fenomeno; in effetti, conside-rando un modello piu complesso, in cui teniamo conto della sezione d’urtoCompton e dell’evoluzione in termini dell’equazione di Boltzmann, si otter-rebbe l’equazione completa (4.88) del capitolo precedente, dove, appunto,l’equazione per Gγ e omogenea tranne per il termine di sorgente dato dalquadrupolo della radiazione.

Cosa si puo dire, invece su V ? Il modello di questo paragrafo sembraindicare che V non possa essere prodotto tramite scattering Thomson; in ef-fetti, un trattamento piu rigoroso mostrerebbe che l’equazione di Boltzmannper V e omogenea e completamente disaccoppiata dagli altri parametri, enon ha, quindi, nessun termine di sorgente; ponendo V = 0, allora, si ot-tiene una soluzione coerente in cui se V non e presente inizialmente, nonverra prodotto. Va notato, comunque, che non mancano processi, diversidallo scattering Thomson, in grado di produrre polarizzazione circolare, e,tra questi, la bremsstrahlung dovuta alla presenza di campi magnetici pri-mordiali e un naturale candidato. Non ci soffermeremo, comunque, su questiprocessi, e, nel seguito, trascureremo V .

5.3 Modi elettrici e magnetici

Il formalismo delle funzioni di correlazione puo essere sviluppato diretta-mente in termini dei campi Q(n) e U(n); tuttavia, a causa della dipendenza

5.3. MODI ELETTRICI E MAGNETICI 63

dal sistema di coordinate, il metodo si rivela molto poco pratico da usaree non adatto ad esplicitare le eventuali simmetrie del sistema. Meglio sa-rebbe avere una descrizione in termini di quantita scalari in modo tale darendere manifeste le invarianze del sistema. Una scelta intuitiva potrebbeessere quella di usare il modulo e la fase del vettore di polarizzazione, mala non linearita insita nella loro definizione ne rende l’utilizzo problemati-co. Svilupperemo, invece, una descrizione delle fluttuazioni in un opportunageneralizzazione delle armoniche sferiche che include la polarizzazione, evedremo come, in maniera del tutto naturale, restano definite due quan-tita scalari E(n) e B(n) con proprieta del tutto simili ai campi elettrici emagnetici.

A tale scopo, invece di Q e U consideriamo Q±iU la cui legge di trasfor-mazione per rotazioni

(Q±iU)′ = e±2iϕ (Q±iU) (5.22)

e del tutto simile alle componenti m = ±2 di uno spinore con spin= 2!

La generalizzazione delle armoniche sferiche in cui e possibile espanderefunzioni con queste proprieta sono le armoniche sferiche spinoriali sY

lm(n)

(vedi [52], [51]), in termini delle quali si ha:

(Q+ iU) (n) =∑

lm

a2,lm 2Ylm(n) (5.23)

(Q− iU) (n) =∑

lm

a−2,lm −2Ylm(n) (5.24)

La proprieta delle armoniche sferiche spinoriali che ci interessa maggior-mente, e che esistono degli operatori (che indicheremo con ′∂ e ′∂ ), analoghiagli operatori a gradino L± per l’indice m, che agendo sull’indice s di spindi una funzione lo aumentano o diminuiscono di un’unita [52], [51]:

(

′∂ sf)′

= e−i(s+1)ϕ ′∂ sf (5.25)(

′∂ sf)′

= e−i(s−1)ϕ ′∂ sf (5.26)

E’ chiaro, allora, come ottenere quantita scalari da Q±iU : agendo sulle(5.23)-(5.24) due volte con gli operatori di spin, si ottengono le quantita′∂ (Q+ iU) e ′∂ (Q− iU) che hanno, infine, spin zero, e si possono svilupparenelle usuali armoniche sferiche:

′∂ (Q+ iU) (n) =∑

lm

[

(l + 2)!

(l − 2)!

]1/2

a2,lm Y lm(n) (5.27)

′∂ (Q− iU) (n) =∑

lm

[

(l + 2)!

(l − 2)!

]1/2

a−2,lm Y lm(n) (5.28)


Definendo ulteriormente i coefficienti

aE,lm = − (a2,lm + a−2,lm) /2 (5.29)

aB,lm = −i (a2,lm − a−2,lm) /2 (5.30)

e tralasciando il fattore (l+2)!(l−2)! ∼ l4, concettualmente ininfluente, abbiamo

quindi:

E(n) =∑

lm

aE,lm Y lm(n) (5.31)

B(n) =∑

lm

aB,lm Y lm(n) (5.32)

che sono, infine, le quantita scalari che cercavamo per descrivere la pola-rizzazione! I nomi E e B derivano da una stretta analogia con i campielettromagnetici che chiariremo meglio tra poco; per il momento sottolinea-mo solo le proprieta di trasformazione per parita: per inversione di parita(θ → θ, φ→ −φ) i versori eθ e eφ cambiano secondo:

e′θ = eθ (5.33)

e′φ = −eφ (5.34)

Da questo, e dalle proprieta di trasformazione delle armoniche di spin (vedisempre appendice X) si ha:

E′(n′) = E(n) (5.35)

B′(n′) = −B(n) (5.36)

da cui si vede che E e realmente uno scalare, mentre B e, piu propriamente,uno pseudoscalare.

5.4 Simulazione di una mappa

Come abbiamo chiarito precedentemente, una mappa di fluttuazioni si pre-senta come una possibile realizzazione di un ensemble statistico; questo fa sıche l’informazione sia contenuta, piu che nella mappa stessa, nello spettrodi potenza, la quantita statistica che ne deriva. In realta, altra informazio-ne sara contenuta anche nei momenti di ordine superiore, come il bispet-tro; se supponiamo gaussianita, comunque, un dato modello e specificatounicamente in termini del suo spettro di potenza.

Il processo e facilmente invertibile: se abbiamo lo spettro Cl e immediatoottenere la simulazione di una mappa, alm, generando dei numeri casuali dauna distribuzione gaussiana di valore medio nullo e varianza Cl. Il processoe solo leggermente complicato dalla polarizzazione; in questo caso bisogneratenere conto della covarianza tra lo spettro T e quello E tramite CCl e le duemappe aT lm e aElm saranno generate da una distribuzione multigaussiana:

5.4. SIMULAZIONE DI UNA MAPPA 65

Figura 5.2: Simulazione di una mappa di polarizzazione E, e T (piu avanti)con le tecniche del paragrafo §(5.3) con relativi vettori di polarizzazione(ottenuti supponendo che la polarizzazione B sia nulla): la lunghezza deivettori e proporzionale al loro modulo. La mappa e stata realizzata a partireda un modello ”standard” ΛCDM , e nell’approssimazione di piccole scalein modo da poter usare una geometria piana piuttosto che sferica. Si puovedere come le fluttuazioni positive e negative di polarizzazione E sianoassociate a trame radiali e tangenziali del vettore di polarizzazione.



Figura 5.3: La stessa mappa della fig.(5.2), ma intesa come fluttuazioni dellapolarizzazione B: i vettori di polarizzazione, si ottengono semplicementeruotando di 45 quelli della figura precedente. Le fluttuazioni di intensita B

¯sono questa volta associate a trame in cui il vettore di polarizzazione routain senso orario o antiorario.



Figura 5.4: Mappa di temperatura e relativo campo di polarizzazione co-me nella figura (5.2) (B = 0); e evidente come trame tangenziali e radia-li si dispongano preferenzialmente intorno alle zone in cui la temperatu-ra e piu calda o piu fredda, indicando una correlazione tra temperatura epolarizzazione.


5.5. SIGNIFICATO DELLA POLARIZZAZIONE E E B 71

f(aT lm, aElm) ∝ exp

−1

2

(

aT lm aElm)

(

CT l CClCCl CEl

)−1(

aT lmaElm

)

(5.37)Alternativamente, possiamo diagonalizzare la matrice di covarianza e ge-nerare le mappe da due distribuzioni unidimensionali; dai calcoli si trova([18])

aT lm = ξ1(CT l)1/2 (5.38)

aElm = ξ1CCl

(CT l)1/2+ ξ2

(

CEl −(CCl)

2

CT l

)1/2

(5.39)

dove per m > 0, ξ1 e ξ2 sono due variabili casuali gaussiane complessecon valore medio nullo e varianza unitaria o, equivalentemente,

√2 Re ξi e√

2 Im ξi sono variabili casuali reali; per m = 0 la situazione e simile ma leξi sono variabili casuali reali; e per m < 0 aT lm e aElm si ottengono da

a∗Xlm = (−1)m aXl,−m (5.40)

che assicura che le mappe T (n) e E(n) siano reali.La polarizzazione B non ha nessuna correlazione con la polarizzazione E

e con la temperatura; una sua simulazione, allora, si ottiene semplicementecome

aBlm = ξ3(CBl)1/2 (5.41)

con ξ3 variabile casuale con le stesse caratteristiche di ξ1 e ξ2.

5.5 Significato della polarizzazione E e B

L’analogia con i campi elettromagnetici non si ferma alle sole proprieta disimmetria per riflessione, ma e piu profonda; come gli analoghi elettroma-gnetici i campi E(n) e B(n) sono, in effetti, la scomposizione del campo dipolarizzazione nella parte a divergenza nulla (B) e in quella a rotore nullo(E). Queste proprieta risultano evidenti dall’analisi di una generica map-pa di polarizzazione: in figura (5.2) abbiamo riportato una simulazione diuna mappa a partire da uno spettro E assegnato, con in piu, su una grigliaquadrata, il vettore di polarizzazione, calcolato supponendo che la polarizza-zione derivi solo da E, cioe B = 0 (tramite le formule (5.23)-(5.24)); inoltrela mappa si riferisce ad una regione della sfera molto piccola in modo chegli effetti di curvatura possano essere trascurati e si possa utilizzare unasemplice geometria sul piano [40]. La figura (pattern) disegnata dal campodi polarizzazione risulta composta da trame radiali e tangenziali come ci siaspetterebbe per un campo a rotore nullo. I risultati sono riassunti in figura(5.5).


Figura 5.5: Trame fondamentali per la costruzione di un campo dipolarizzazione E e B.

Per evidenziare le proprieta di B, possiamo intendere la stessa mappacome una mappa di polarizzazione B, e calcolare di conseguenza (con E = 0)il vettore di polarizzazione. Per quanto detto ad inizio capitolo, comunque,e chiaro che il pattern per B si otterra semplicemente ruotando di 45 ivettori di polarizzazione calcolati per la mappa E. 1 In figura (5.5)(b) sonoriassunti i risultati, che evidenziano le tipiche caratteristiche di un camposolenoidale; e importante notare, come ci aspettavamo, che il pattern nonsia invariante per riflessione, ma una figura si trasforma nell’altra come deveessere per una quantita pseudo-scalare; al contrario, invece, per lo spettroE entrambe le figure sono invarianti per riflessione, riflettendo la simmetriadi questo tipo di polarizzazione.

5.6 Modi E e B per le fluttuazioni scalari

Dalla precedente discussione, dovrebbe essere chiaro come per i modi scalarinon puo esservi uno spettro B in quanto introdurrebbe una parita che,

1In realta, abbiamo stabilito questo per Q e U ; ma, in virtu dell’approssimazione apiccole scale che stiamo considerando, le due cose sono equivalenti; per ulteriori dettaglisi veda [40]

5.6. MODI E E B PER LE FLUTTUAZIONI SCALARI 73

per natura delle fluttuazioni, non puo essere presente. Al contrario, lospettro B e una caratteristica fondamentale dei modi tensoriali; ed unasua evidenza sperimentale costituirebbe una chiara prova della presenzadi onde gravitazionali cosmologiche. Rendiamo, comunque, piu preciso ilragionamento.

Consideriamo un modo di Fourier alla volta, e scegliamo il sistema di ri-ferimento in maniera tale che sia k‖z; consideriamo inoltre coordinate polarie i versori ortogonali sulla sfera (eθ ed eφ). I modi scalari godono di dueimportanti simmetrie: sono invarianti per trasformazioni di parita ed assial-mente simmetrici attorno a k = z; per invariante, in termini di coordinate,intendiamo dire che δ′(n) = δ(n) dove il primo indica le quantita trasfor-mate e δ e una qualunque quantita caratterizzante le fluttuazioni; bisognanotare che non vi e primo nell’argomento di δ′, altrimenti non avremmoinvarianza, ma, semplicemente, la legge di trasformazione di una quantitascalare.

Questa simmetria ha importanti conseguenze; consideriamola ad esempioper i parametri di Stokes Q e U , in tal caso: (Q±iU)′(n) = (Q±iU)(n).Ricordiamo che Q e U sono le componenti del vettore di polarizzazione eche per rotazioni si trasformano secondo la (5.7), mentre per trasformazionidi parita (θ′ = θ, φ′ = −φ), nelle coordinate sferiche che abbiamo scelto,cambiano secondo Q′ = Q, U ′ = −U , essendo le proiezioni rispettivamentelungo eθ ed eφ. Sfruttiamo, dunque le varie simmetrie: per l’invarianza perrotazione Q e U non potranno dipendere da φ, cosı avremo Q = Q(θ), U =U(θ) e possiamo limitarci a considerare cosa accade lungo la direzione n =(θ, 0). Se facciamo adesso una trasformazione di parita, si avra n′ = (θ, 0) =n e, come gia detto, Q′(n′) = Q′(n) = Q(n) e U ′(n′) = U ′(n) = −U(n);d’altra parte, per l’invarianza per parita si deve avere Q′(n) = Q(n) eU ′(n) = U(n), da cui si deduce che, in questo sistema di riferimento, U eidenticamente nullo.

Quindi, per caratterizzare la polarizzazione e sufficiente una sola quan-tita che possiamo indicare equivalentemente con ∆s

P = Q = Q±iU = ±2∆s

che e la quantita usata nel capitolo precedente per descrivere la polarizza-zione. Infine, il fatto che Q + iU = Q − iU ci dice che a−2,lm = a2,lm, edimostra che, per i modi scalari, B e nullo! Da notare che l’aver provatoquesto in un particolare sistema di riferimento non e importante, in quan-to, per definizione, B e invariante per rotazioni. Non e cosı, invece per U :sebbene sia nullo in questo sistema di riferimento, in generale non lo e inaltri; complessivamente, quindi, quando sommiamo i vari modi di Fourier,ruotando le varie quantita ad un sistema di riferimento comune prima disommarle, il campo B complessivo continuera ad essere nullo, mentre Q eU saranno entrambe diversi da zero.

Una volta ottenute le quantita che caratterizzano la radiazione (∆T l(k, τ)e ∆El(k, τ)) tramite le equazioni di evoluzione del capitolo precedente, gli


spettri relativi si scrivono generalizzando la formula (4.118) come:

C(T,E),l = (4π)2∫

dkk2Pψ(k)∆2(T,E),l(k, τ = τ0) (5.42)

CC,l = (4π)2∫

dkk2Pψ(k)∆T,l(k, τ = τ0)∆E,l(k, τ = τ0) (5.43)

Capitolo 6

CMBFAST e l’integrazione

lungo la linea di vista

Dall’analisi dei capitoli precedenti e facile rendersi conto di come il calcolodell’evoluzione delle anisotropie sia estremamente dispendioso dal punto divista numerico. Se supponiamo di essere interessati alle fluttuazioni finoad un multipolo di lmax ∼ 1500, un rapido conteggio mostra che dobbiamorisolvere un sistema di ∼ 6000 equazioni differenziali accoppiate! E questo,ovviamente, per un solo k; in generale, il sistema dovra essere risolto ∼ 102

volte per vari k in modo da avere un campionamento opportuno per questavariabile. Tipicamente, a causa di queste difficolta, il calcolo di uno spettrorichiede giorni di elaborazione su super computer paralleli rendendo, di fat-to, impossibile l’analisi dei dati sperimentali attuali per i quali e richiestoil calcolo di decine di migliaia di spettri. Vedremo ora come rimediare aquesto inconveniente grazie ad un metodo introdotto per la prima volta daZaldarriaga [40] e che e alla base del codice CMBFAST, lo standard con cuivengono effettuate tutte le attuali analisi e su cui ci si e basati per l’analisinumerica dell’ultimo capitolo.

6.1 Integrazione lungo la linea di vista

Per capire come funziona il metodo partiamo dal sistema di equazioni perla temperatura e la polarizzazione a cui siamo giunti nel capitolo 4:

∆T + ikµ∆T + κ∆T = −1

6h− 1

3(h+ 6η)P2(µ) + κ

[

∆sT0 +

1

2P2(µ)Π + iµvb

]

∆P + ikµ∆P + κ∆P = κ [−Π (1− P2(µ))] (6.1)

che, ricordiamo, e scritto nel sistema di riferimento in cui k ‖ z e in cuiquindi µ = k·n = cos θ; e dove inoltre abbiamo definito vb = −ikθb la ve-locita dei barioni e Π = ∆T2 + ∆P0 + ∆P2 il contributo di quadrupolo al-le equazioni. Ricordiamo, inoltre, che le incognite sono funzioni di k, µ, τ ,

75

76CAPITOLO 6. CMBFAST E L’INTEGRAZIONE LUNGO LA LINEA DI VISTA

∆T = ∆T (k, µ, τ) e ∆P = ∆P (k, µ, τ) e che sono legate alle fluttuazioni nelledistribuzioni Fγ e Gγ da ∆T = Fγ/4 e ∆P = Gγ/4.

Le equazioni (6.1), nonostante le apparenze complicate, sono in realtaequazioni alle derivate totali standard abbastanza semplici da poter esse-re risolte; cominciamo col considerare la versione omogenea che si ottieneponendo uguale a zero i membri di destra; in questo caso la soluzione eimmediata: 1

∆T,P (k, µ, τ) = AT,P e−ikµ(τ−τ0) e−∫ τ

τ0κ(t)dt

=

= AT,P e−ikµ(τ−τ0) e+κ (6.2)

Considerando poi i membri di destra come funzioni note del tempo τ lasoluzione completa si ottiene facilmente variando la costante A:

∆sT (k, τ0, n) =

∫ τ0

0dτeikµ(τ−τ0)e−κ

κ

[

∆sT0 +

1

2P2(µ)Π + iµvb

]

−1

6h− 1

3(h+ 6η)P2(µ)

(6.3)

∆sP (k, τ0, n) =

1

4

∫ τ0

0dτeikµ(τ−τ0)e−κκ Π P 2

2 (µ) (6.4)

soluzione che anche detta integrale lungo la linea di vista o lungo il cono diluce passata del fotone.

In realta, pero, i secondi membri nelle (6.1) non sono noti ma contengonoessi stessi le incognite; quella trovata non e quindi realmente una soluzionema solo una forma integrale del sistema di equazioni; comunque, e ”quasi”una soluzione nel senso che nei secondi membri (che chiameremo da ora ter-mini di sorgente) compaiono le incognite solo fino al quadrupolo; se questefossero note i rimanenti si potrebbero determinare semplicemente effettuan-do un’integrazione cioe appunto l’integrazione lungo il cono di luce passatodel fotone.

Affinche il metodo funzioni, quindi, bisogna determinare i multipoli finoad l = 2. Per calcolarli possiamo ricorrere al metodo iniziale risolvendo ilsistema nella sua forma differenziale; questa volta, pero, siamo interessatia conoscere solo i primi tre multipoli; di conseguenza, le dimensione delsistema da risolvere saranno molto ridotte dell’ordine di ∼ 40 equazioni.

Con questo metodo, quindi si e riusciti a ridurre di un fattore ∼ 100 ilnumero di equazioni da risolvere e a velocizzare il codice di un fattore analogoportando da giorni a minuti il tempo di calcolo tipico per uno spettro.

Per i calcoli successivi ci sara utile una forma alternativa delle equazioni(6.4) o meglio dei termini di sorgente; effettuando vaie integrazioni per parti

1nota che per convenzione si definisce κ(τ) =∫ τ0

τκ(t)dt e quindi d(κ(τ))

dτ= −κ; in

termini di κ la funzione di visibilita si scrive g = κ e−κ

6.1. INTEGRAZIONE LUNGO LA LINEA DI VISTA 77

e ricordando che la funzione di visibilita si annulla per τ = τ0, 0, e possibileeliminare µ dai termini di sorgente e scrivere:

∆sT (k, τ0, µ) =

∫ τ0

0dτeikµ(τ−τ0) ST (k, τ)

∆sP (k, τ0, µ) =

∫ τ0

0dτeikµ(τ−τ0) SP (k, τ)(1− P2(µ)) (6.5)

dove le sorgenti ”efficaci” sono

SsT (k, τ) = g

(

∆sT0 + 2α+

vbk

+Π

4+

3

4

Π

k2

)

+

e−κ(η + α) + g

(

vbk

+ α+3

4

Π

k2

)

+3

4

gΠ

k2

SsP (k, τ) = −3

4gΠ (6.6)

con α = (h+6η)/(2k2) variabile che avevamo gia introdotto precedentemen-te.

Scritte in questa forma e immediato ricavare la soluzione anche per isingoli multipoli; infatti utilizzando lo sviluppo delle onde piane in polinomidi Legendre:

eik·n(τ−τ0) = eiµx =∑

l

(−1)l(2l + 1)jl(x)Pl(µ) (6.7)

x = k(τ − τ0) (6.8)

si ricava infine

∆sT l(k, τ = τ0) =

∫ τ0

0SsT (k, τ)jl(x)dτ (6.9)

Per la polarizzazione il risultato e meno immediato; la (6.4), infatti, siriferisce all’elemento della matrice di polarizzazione, cioe ∆P = ∆Q±U = ∆Q

con U che si annulla grazie alla particolare scelta del sistema di riferimentocon k ‖ e3; quello a cui siamo invece interessati e la polarizzazione scalareE che si ottiene da ∆P agendo due volte con l’operatore di innalzamento dispin; utilizzando la loro forma esplicita data in appendice B si ottiene:

∆sE(k, τ = τ0, µ) =

∫ τ0

0dτ

3

4gΠ ∂2

µ

[

(

1− µ2)2eixµ

]

(6.10)

=

∫ τ0

0dτ

3

4gΠ

(

1 + ∂2x

)2 (

x2eixµ)

(6.11)

Utilizzando nuovamente lo sviluppo in multipoli (6.7) si ottiene infine:

∆sP l(k, τ = τ0) =

∫ τ0

0SsP (k, τ)

jl(x)

x2dτ (6.12)


che abbiamo messo in questa forma sfruttando l’equazione esplicita soddi-sfatta dalle funzioni di Bessel, j′′l + 2(lx)j′l + [1− l(l + 1)lx2]jl = 0.

Riassumendo, possiamo scrivere per i multipoli della temperatura e dellapolarizzazione:

∆sT l(k, τ = τ0) =

∫ τ0

0SsT (k, τ)jl(x)dτ (6.13)

∆sP l(k, τ = τ0) =

∫ τ0

0SsP (k, τ)

jl(x)

x2dτ (6.14)

con i termini di sorgente dati dalle (6.6); queste espressioni sono il principalerisultato dell’analisi di questo capitolo.

L’integrazione lungo la linea di vista (line of sight integration) presen-ta anche un altro notevole vantaggio: come risulta chiaro dall’espressionedei ∆l il problema di determinare le fluttuazioni viene nettamente separatonelle sue parti geometrica e fisica. Le funzioni che compaiono nell’integrale,infatti, sono le funzioni sferiche di Bessel indipendentemente dal modellocosmologico che stiamo considerando, le cui caratteristiche, invece, sonocontenute unicamente nei termini di sorgente. Oltre ad offrire una notevo-le chiarezza concettuale, inoltre, questa separazione contribuisce a ridurreulteriormente il tempo di calcolo nel caso in cui siano richiesti molti mo-delli: le jl(x), infatti, possono essere calcolate inizialmente e memorizzate,ed inseguito utilizzate per tutti i modelli, per ognuno dei quali dovra esserecalcolato solo il termine di sorgente.

Per la descrizione dell’integrazione lungo la linea di vista ci siamo limitatiad una geometria spaziale piatta (Ωk = 0); la generalizzazione a spazi curvi,comunque, e possibile, anche se piu complessa, e coinvolge le funzioni ultra-sferiche di Bessel ; per un analisi dettagliata rimandiamo, comunque, allabibliografia ([53]).

6.2 Approssimazioni numeriche

La potenza del metodo esposto consiste nella sua accuratezza e velocita;e possibile ottenere codici molto veloci impiegando delle approssimazionisemi-analitiche per l’espressione dei multipoli, ma questo a scapito dell’ac-curatezza che raramente e superiore al 10%; l’integrazione lungo la lineadi vista, invece, e del tutto equivalente al sistema di equazioni differenzialioriginario, e, quindi, in linea di principio, esatto, ma, in piu, due ordini digrandezza piu veloce.

Le limitazioni nell’accuratezza verranno adesso determinate fondamen-talmente da problemi di tipo numerico come il numero di cifre significativecon cui vengono svolti i calcoli, o l’accuratezza con si puo ottenere un in-tegrale o una derivata. Un aumento nel controllo dell’accuratezza di questifattori richiedera un aumento del tempo di calcolo; conviene, quindi stabilire

6.2. APPROSSIMAZIONI NUMERICHE 79

in anticipo la precisione richiesta nel calcolo, in modo da evitare che vengaimpiegato troppo tempo ad esempio per il calcolo accurato di un integra-le che e, invece, necessario solo con una modesta precisione. Quale sia laprecisione richiesta viene di solito determinato da altri fattori; nel nostro ca-so, principalmente, possono essere di natura teorica, ad esempio la varianzacosmica che, in ogni caso, impedisce di conoscere i multipoli reali con unaprecisione arbitraria, o di natura sperimentale: i futuri esperimenti per lamisura delle anisotropie, come Planck o i nuovi dati di WMAP, fornirannorilievi molto accurati per i multipoli e l’accuratezza delle previsioni teorichedovra essere adeguata di conseguenza.

Quali fattori possono influenzare l’accuratezza e il tempo di calcolo? Neelenchiamo alcuni:

Numero di equazioni

I momenti richiesti nel calcolo delle sorgenti arrivano solo fino al qua-drupolo; tuttavia, e chiaro che per ottenere un quadrupolo accuratosara necessario risolvere il sistema includendo qualche multipolo inpiu. Come gia illustrato nel capitolo sulle equazioni cosmologiche unbuon metodo per troncare la gerarchia di equazioni e quello di utiliz-zare una relazione di ricorrenza tipica delle funzioni sferiche di Bessel;grazie a questo schema i multipoli richiesti per un calcolo accuratodi ∆T2 sono solo qualche unita e, tipicamente, troncando la gerarchiaa lmax = 6-7 si ottiene gia una precisione notevole, dell’ordine del %.Ulteriore precisione richiede, ovviamente, di aumentare lmax.

Numero di multipoli

Lo spettro di potenza Cl e, in realta, tranne che per l molto piccoli dovela sua natura discreta e importante, una funzione regolare (”smooth”)di l; questo consente di evitare il calcolo per ogni l e, piuttosto, dicalcolare lo spettro solamente per step ∆l dove la variazione di Cl esignificativa e dedurre i rimanenti per interpolazione. Tipicamente,tranne per i primi l, che e necessario calcolare uno ad uno, per unaprecisione al % e sufficiente ricavare lo spettro solo ogni 40-50 l, ridu-cendo, di conseguenza, di un fattore analogo il tempo necessario per ilcalcolo dello spettro.

Campionamento del tempo

L’integrale nel tempo conforme presente nelle formule per ∆l sara ef-fettuato campionando in modo opportuno le sorgenti SsT (τ) e SsP (τ).Tipicamente, comunque, queste sono delle funzioni molto regolari deltempo e bastano quindi pochi punti per averne l’andamento con suf-ficiente precisione, tranne che per l’epoca della ricombinazione dovesi ha invece una brusca variazione e bisognera, quindi, concentrarela maggior parte dei punti. L’accuratezza nel calcolo dell’integrale,


quindi, e determinata essenzialmente dalla densita del campionamentodell’epoca della ricombinazione.

E’ chiaro, inoltre, che, se in modello considerato prevede un epoca direionizzazione, anche questa dovra essere campionata opportunamenteaumentando in proporzione il tempo di calcolo.

Campionamento del numero d’onda

La fase che richiede piu tempo nel calcolo dello spettro e, in defi-nitiva, la risoluzione del sistema di equazioni accoppiate; sebbene iltempo necessario sia stato ridotto di due ordini di grandezza grazieall’integrazione lungo la linea di vista, e ancora necessario risolvere ilsistema molte volte per vari k in modo da avere un numero sufficientedi punti per calcolare l’integrale sul numero d’onda. Diventa, quindi,vitale determinare quale sia il minimo numero di k richiesti in basealla precisione fissata, perche da questo dipendera la velocita finaledel codice.

Fissato l, ∆l(k) e una funzione rapidamente oscillante di k, e, per ave-re un campionamento adeguato, sara necessario calcolarla in almenouna decina di punti per periodo portando cosı i numeri d’onda richiestiad un numero molto elevato. Tuttavia, come si vede dalla figura, leoscillazioni di frequenza maggiore sono dovute solo alla presenza, nellaformula (6.9) per ∆l(k), delle jl(x) (cioe del termine geometrico), men-tre le sorgenti hanno una frequenza di oscillazione molto minore. Leoscillazioni delle sorgenti, infatti, sono dovute ad oscillazioni acustichenel fluido di fotoni-barioni ed hanno una frequenza tipica legata alle di-mensioni dell’orizzonte acustico all’epoca della ricombinazione, moltominore dell’orizzonte causale che e la quantita geometrica a cui e lega-ta la frequenza di oscillazione delle funzioni di Bessel (che, ricordiamo,

asintoticamente hanno l’andamento jl(x) ∼√

2πx cos

(

x− lπ2 − π4

)

con

x = kτ). In effetti, quantitativamente, in media la frequenza di oscil-lazione delle sorgenti e minore di un fattore 40-50 rispetto al teminegeometrico consentendo di campionare ∆l(k) con una densita 40-50volte minore e riducendo il tempo di calcolo di un fattore analogo.Il campionamento necessario per le jl(x), invece, e molto fitto e puorichiedere un tempo notevole; tuttavia una volta ottenuto andra beneper tutti i modelli e non sara piu necessario ricalcolarlo.

Riassumendo, quindi, l’integrazione lungo la linea di vista e in grado direndere l’algoritmo per il calcolo dello spettro estremamente veloce, primariducendo di due ordini di grandezza le dimensioni del sistema di equazionidifferenziali ed in seguito riducendo di almeno un altro fattore 10 al numerodi volte per cui questo deve esser risolto; tipicamente il codice risultante,di cui CMBFAST e stato il primo esempio, impiega su un PC solo pochisecondi per il calcolo di uno spettro! Con questo strumento e finalmente

6.2. APPROSSIMAZIONI NUMERICHE 81

Figura 6.1: Oscillazioni di ∆150(k) (sopra) separate nella componente geo-metrica (jl(kτ0)) e fisica (

∫

S(k, τ)dτ) (sotto). La separazione mostrata erigorosamente valida solo per lunghezze d’onda superiori alle dimensionidell’orizzonte alla ricombinazione (k < τ−1

rec); il campionamento necessarioper le sorgenti, comunque, e sempre molto inferiore a quello del terminegeometrico, a tutte le scale.


possibile esplorare in maniera sistematica modelli a molti parametri peri quali e necessario il calcolo dello spettro migliaia di volte e studiare inmaniera approfondita questioni, come la gaussianita o le condizioni iniziali,che potevano essere affrontati prima solo in maniera approssimata.

Capitolo 7

Comprensione dello Spettro

di Potenza

Nei capitoli precedenti, partendo da principi primi, abbiamo ricavato le equa-zioni della teoria perturbativa che descrivono l’evoluzione delle fluttuazioninei vari fluidi cosmologici ed in particolare i fotoni. La complessa strutturadi queste equazioni, tuttavia, e di scarso aiuto nella comprensione intuitivadei fenomeni fisici che generano le fluttuazioni; questi invece sono tuttosom-mato molto piu semplici e si possono in definitiva ricondurre alle oscillazio-ni acustiche nel fluido di fotoni e barioni sostenute dall’inerzia dei barionicontrastata dalla pressione dei fotoni. In effetti, con alcune ragionevoli ap-prossimazioni possiamo ottenere un’espressione semplificata delle equazioniche pero descrive la maggiorparte della fisica in gioco; dalla soluzione diqueste equazioni diventa piu chiaro quali siano i processi fondamentali cheavvengono, e come questi siano controllati dai parametri cosmologici. Peruna descrizione accurata, comunque, la forma completa delle equazioni eancora necessaria e sono queste che vengono utilizzate nei codici numericicome CMBFAST.

7.1 Breve storia della CMB

z > 107 In quest’epoca sono ancora attive reazioni che cambiano il numerodi fotoni come lo scattering doppio Compton o la Bremsstrahlung;grazie a queste reazioni la radiazione e in equilibrio termico e la suadistribuzione e quella di corpo nero; inoltre, l’eventuale immissionedi nuova energia, derivante, ad esempio, dal possibile decadimento diparticelle in fotoni, pur creando una momentanea situazione di nonequilibrio, viene rapidamente termalizzata, senza lasciare segni nellastoria successiva.

z ∼ 107 Approssimativamente a questo redshift, a causa dell’espansione

83

84 CAPITOLO 7. COMPRENSIONE DELLO SPETTRO DI POTENZA

cosmica, le reazioni che cambiano il numero di fotoni divengono inef-ficaci; di conseguenza, lo spettro di corpo nero viene ”congelato”, epossiamo dire che questo e l’istante della sua formazione. Se dell’ener-gia termica viene prodotta successivamente a questa fase, non vi e piumodo di portarla all’equilibrio, e questa rimane come una distorsionepermanente alla forma di corpo nero dello spettro. Sperimentalmente,comunque, i dati attuali (quelli dell’esperimento FIRAS sul satelliteCOBE) indicano che lo spettro in frequenza si adatta estremamentebene ad uno spettro di corpo nero (i limiti relativi sulle distorsionisono < 10−5 [50]) e non indicano distorsioni evidenti, ponendo limitiseveri sulla presenza di nuove particelle ad un redshift z < 107 ed ingenerale su possibili meccanismi di produzione di energia.

107 > z > 103 E’ la fase che viene usualmente descritta in termini di teoriacinetica e che abbiamo trattato in dettaglio nei capitoli precedenti: ifotoni sono legati ai barioni tramite lo scattering Thomson con glielettroni e durante quest’epoca si comportano come un’unico fluidoin un regime detto di tight-coupling. Per z ∼ 4500 si ha, inoltre, l’equivalenza materia-radiazione, l’istante in cui la densita di energiadella materia e della radiazione sono uguali.

z ∼ 103 E’ il redshift della ricombinazione; i fotoni cessano di interagire congli elettroni ed il loro cammino libero medio diventa maggiore dell’oriz-zonte causale; si forma la superficie di ultimo scattering (LSS) e l’uni-verso diventa trasparente. Le fluttuazioni presenti alla LSS rimangonosostanzialmente invariate nella storia successiva e sono direttamentequelle che osserviamo oggi nelle microonde.

103 > z > 0 Trascurando la reionizzazione i fotoni viaggiano liberamen-te fino all’istante attuale evolvendo solo per free-streaming, cioe so-lamente perdendo energia per redshift gravitazionale; le fluttuazioniche osserviamo oggi sono quindi un’evidenza diretta ci come appari-va l’universo all’epoca della ricombinazione. Generalmente modestoe l’effetto Sacks-Wolfe integrato, legato ad una variazione temporaledel potenziale Newtoniano, che complica leggermente questo quadroproducendo piccole anisotropia in epoche piu recenti.

Tenendo presente la storia della CMB e facile comprendere le principalicaratteristiche dello spettro di potenza; in sintesi la sua struttura peculiaree dovuta al fatto che viviamo in universo che si espande; vi e, quindi, unacorrispondenza monotona e biunivoca tra tempo e dimensioni complessivedell’universo per cui scale molto grandi non possono che riferirsi ad epo-che molto recenti; riferendosi alla figura lo spettro suddiviso in tre regionifondamentali:

7.1. BREVE STORIA DELLA CMB 85

Sacks-Wolfe Plateau

l d100

Oscillazioni Acustiche

100 d l d800

Silk Damping

l t800

Figura 7.1: Le regioni in cui e diviso la spettro di potenza.

grandi scale 0 < l < 100 , dove lo spettro e il risultato dell’evoluzionedelle fluttuazioni nell’epoca successiva alla ricombinazione.

medie scale 100 < l ≤ 800 , che si riferisce all’epoca in cui le fluttuazio-ni sono determinate delle oscillazioni acustiche nel fluido di fotoni ebarioni accoppiati prima della ricombinazione.

piccole scale ≥ 800 ; la regione del Silk damping, dove le fluttuazioni sonosmorzate per effetti di viscosita del fluido.

In effetti, per comprendere appieno il meccanismo fisico che genera lefluttuazioni bisogna partire da un’epoca ancora precedente a quella dellastria appena delinata: l’inflazione. In breve in quest’epoca in virtu di pro-cessi non ancora chiariti, che coinvolgerebbero particelle superpesanti nonancora osservate sperimentalmente (inflatoni) l’universo subisce una fase diespansione esponenziale (simile alla (1.38) dovuta ad una costante cosmolo-gica) in cui piccole fluttuazioni quantistiche sarebbero espanse fino a scalecosmologiche con uno spettro calcolabile dalla teoria; come si vede sempredalla (1.38) in questa fase l’orizzonte causale τ(t) = const rimane costante,cosicche la porzione di universo effettivamente visibile diviene sempre piupiccola, e zone precedentemente in contatto causale vengono allontanate eprivate della possibilita di comunicare. In seguito alla fase inflazionaria poi,l’universo riprende l’usuale espansione a legge di potenza (∝ ta nell’epocadella radiazione e ∝ tb nell’epoca della materia ) con l’orizzonte causale checresce invece piu velocemente (∝ tc, td rispettivamente) aumentando la zona


effettiva in contatto causale. Questo schema, oltre a risolvere in manieramolto naturale i problemi annosi della cosmologia (ad esempio il proble-ma dell’isotropia o il problema della piattezza) ha notevoli conseguenze perla CMB: in fatti lo spettro prodotto dall’inflazione viene previsto (a menodi piccole correzioni) invariante di scala! Questo spettro e quello che vie-ne usualmente assunto come spettro iniziale per la CMB. In seguito, conuna terminologia non rigorosa, mentre l’orizzonte causale si espande, le va-rie lunghezze d’onda dello spettro iniziale, che fino a quel momento eranorimaste ”congelate” al di fuori dell’orizzonte, ”rientrano” nell’orizzonte e co-minciano a partecipare ai processi tipici di quell’epoca, oscillazioni acustichenell’epoca della radiazione o free-streaming dopo la ricombinazione.

In definitiva, nel quadro che abbiamo delineato, lo spettro che osserviamooggi e l’evoluzione dello spettro primordiale invariante di scala, distorto daivari processi fisici presenti all’epoca in cui il particolare ”modo” e rientratonell’orizzonte. Nei prossimi paragrafi analizzeremo le varie caratteristiche diogni zona e cercheremo di comprenderle in termini di approssimazioni dellateoria completa sviluppata in precedenza.

7.2 Approssimazioni fondamentali

Come punto di partenza consideriamo la soluzione del capitolo precedente,l’integrazione lungo la linea di vista, nella forma (6.5)-(6.6), ed esprimiamo lesorgenti nella gauge Newtoniana, decisamente piu utile per l’interpretazionefisica. Per le trasformazioni possiamo utilizzare direttamente le formuledel capitolo 3; dalle (3.73) si deduce che il vettore di passaggio e dato da(ξ0, ξ|i) ≡ (Es, Es|i); ricordando che in trasformata di Fourier E e legato ad

η ed h da −E = α = (h + 6 ˙eta)/2k2, si trova per i potenziali φ e ψ dellagauge Newtoniana (sempre dalla 3.73)):

ψ(k, τ) = α+ aaα

φ(k, τ) = η − aaα

(7.1)

Individuato il vettore di trasformazione, e poi immediato anche le leggidi trasformazione per le quantita legate alla materia; dalle (3.53)-(3.56) sitrova:

δcon = δsyn + ρρα

θcon = θsyn + αk2

vcon = vsyn + αkVcon = Vsyn + α

δPcon = δPsyn + αPσcon = σsyn

(7.2)

Mettendo assieme le trasformazioni precedenti e facile verificare che, inoltre,risulta:

φ+ ψ = α+ η (7.3)

7.2. APPROSSIMAZIONI FONDAMENTALI 87

e

δcon4

+ ψ = ∆conT0

+ ψ

=δsyn4

+ α+ α

(

ρ

4ρ+a

a

)

=δsyn4

+ α = ∆synT0

+ α (7.4)

dove il termine proporzionale ad α si annulla perche ρrad ∝ a−4.Trascurando quindi il termine di quadrupolo Π ed utilizzando le identita

precedenti si trova:

Scon(k, τ) = g(

∆conT0

+ ψ)

+d

dτ

(

gvconk

)

+ e−κ(φ+ ψ) (7.5)

L’approssimazione fondamentale che utilizzeremo e quella di ricombinazioneistantanea; la ricombinazione e il momento fondamentale in cui le fluttuazio-ni si formano e la sua descrizione accurata complica molto il modello fisicoed i calcoli necessari; in questa approssimazione, invece, la fluttuazioni nelsono ”congelate” all’istante della ricombinazione e si possono calcolare velo-cemente; l’approssimazione e anche equivalente a considerare come infinita-mente sottile la superficie di ultimo scattering e matematicamente si esprimesostituendo g, la funzione di visibilita, con δ(τ − τrec) una delta centrata at-torno a τrec, l’istante della ricombinazione. Con questa approssimazione lefluttuazioni si scrivono:

∆T (k, µ, τ) = eikµ(τrec−τ0)

[

(∆T0+ψ)con|LSS+iµvconb|LSS

]

+

∫

dτ eikµ(τ−τ0)e−κ(φ+ψ)

(7.6)dove il secondo termine viene da un’integrazione per parti. In letteraturaquesta formula e ben nota, ma la dipendenza da eikµ(τrec−τ0) viene spessosottintesa; in effetti, la parte fisica e quella scritta esplicitamente, mentre ilruolo dell’onda piana e puramente geometrico ed e il termine responsabiledella presenza delle funzioni di Bessel. Questa formula riassume in manieraesplicita quanto avevamo gia trovato per la soluzione come integrazione lun-go la linea di vista; come si vede, le fluttuazioni alle varie scale (angolari)sono dovute fondamentalmente al contributo di monopolo e dipolo (i primi2 termini della (7.6)) della distribuzione al momento della ricombinazione;le fluttuazioni ad alti multipoli sono sostanzialmente un effetto geometrico,di proiezione, e sono dovuti all’espansione dell’universo modulata dall’ondapiana eikµ(τrec−τ0).

Il primo termine, usualmente quello dominante, non e in realta esatta-mente il monopolo della distribuzione, ma una ”temperatura” efficace da-ta dal monopolo piu un contributo gravitazionale; e questo l’effetto Sacks-Wolfe: un addensamento di energia, radiazione o materia, crea un pozzo


gravitazionale da cui i fotoni possono uscire solo perdendo parte della lo-ro energia, cioe raffreddandosi; una zona calda, dunque, si forma sia perle fluttuazioni positive di energia nel plasma sia perche i fotoni hanno piudifficolta ad uscirne.

Il termine di dipolo e in genere sub-dominante; esso produce anisotro-pie per effetto Doppler : se le regioni dai cui osserviamo la provenienza deifotoni aveva, all’istante della ricombinazione, una velocita positiva nella no-stra direzione, il fotone avra una frequenza piu elevata e quella zona sem-brera piu calda; il contrario avviene se la materia in quella regione stavaallontanandosi.

Infine, l’ultimo termine e quello che viene detto effetto Sacks-Wolfe inte-grato. Questo contributo e qualitativamente molto differente dai primi due;mentre questi producono anisotropie solo alla superficie di ultimo scatterig,l’effetto Sacks-Wolfe integrato puo produrne durante tutta la storia dellaCMB; in particolare e l’unico che produce anisotropie dopo il momento del-la ricombinazione. Il meccanismo tramite cui le fluttuazioni vengono createe una variazione temporale dei potenziali Newtoniani; questo effetto e quindiimportante, ad esempio, per i modelli con costante cosmologica che sono ac-compagnati da una rapida variazione di φ e ψ. Sfortunatamente, comunque,i suoi effetti sono degeneri con la reionizzazione (tramite il fattore e−κ nella(7.6)) ed importanti solo a larghe scale (l ≤ 100) dove la varianza cosmicadomina gli errori; l’individuazione di questo effetto e quindi difficile anche semisure precise di polarizzazione, e quindi di κ come vedremo poi, potrannoaiutare ad isolarlo.

Con la stessa approssimazione di ricombinazione istantanea e facile ot-tenere una formula approssimata anche per i singoli multipoli; dalla (7.5) edalla (6.9), trascurando l’effetto Sacks-Wolfe integrato si ha:

∆l(k, τ) =

∫ τ0

0SsT (k, τ)jl(x)dτ

=

∫ τ0

0dτ

g(∆T0 + ψ) +d

dτ

(

gv

k

)

jl(x)

=

∫ τ0

0dτ g

(∆T0 + ψ)jl(x)− v j′l(x)

' (∆T0 + ψ)con|LSSjl(kDLSS)− vcon|LSS

j′l(kDLSS) (7.7)

dove DLSS = τ0 − τrec e la distanza dalla superficie di ultimo scattering. Inquesta approssimazione lo spettro di potenza risulta:

Cl =

∫

d3k Pφ(k)[

Sm(k) jl(kDLSS) + Sv(k) j′l(kDLSS)]2

(7.8)

dove per semplicita di notazione abbiamo rinominato i termine di sorgentedi monopolo e di velocita:

Sm(k) = (∆T0 + ψ)con|LSS(7.9)

Sv(k) = −vcon|LSS(7.10)

7.3. GRANDI SCALE 89

Utilizzeremo questa formula nei prossimi paragrafi.

7.3 Grandi Scale

L’approssimazione di grandi scale puo essere ottenuta formalmente riferen-dosi ai modi ancora ”fuori” dall’orizzonte, vale a dire approssimando kτ 1nelle equazioni di evoluzione delle fluttuazioni; la fisica relativa a queste sca-le, inoltre, si svolge interamente nell’epoca dominata dalla materia; ponendoquindi a ∝ τ2 e trascurando, in prima approssimazione, il contributo dellaradiazione si puo vedere che la soluzione per il potenziale Newtoniano e unacostante ψ = ψ0 (per i dettagli vedi [39]), mentre l’intensita delle fluttuazio-ni di densita dei fotoni δconγ e pari a −(8/3)ψ in modo che complessivamenteil contributo all’effetto Sacks-Wolfe risulta 1 :

∆T0 + ψ =ψ0

3(7.11)

Se assumiamo di poter trascurare il termine Doppler, visto che non vi evariazione temporale dei potenziali Newtoniani, il contributo dominate saraproprio quello dell’effetto Sacks-Wolfe, che dara (dalla (7.7)):

∆l(k) =ψ0

3jl(kDLSS) (7.12)

da cui, infine, lo spettro risulta

Cl =

∫

d3k Pφ(k)

(

ψ0

3

)2

j2l (kDLSS) ∝Γ(3− n)Γ

(

l − 12 + n

2

)

23−nΓ2(

2− n2

)

Γ(

l + 52 − n

2

)

(7.13)dove abbiamo assunto uno spettro primordiale con legge di potenza del tipoPφ(k) ∝ kn−4; in particolare per uno spettro iniziale invariante di scalan = 1 si ottiene:

Cl ∝1

l(l + 1)(7.14)

o, equivalentemente,

l(l + 1)Cl ∼ const (7.15)

E’ facile comprendere il tipo di andamento ottenuto per lo spettro di po-tenza: a grandi scale le fluttuazioni rientrano nell’orizzonte in un epocasuccessiva alla ricombinazione e non subiscono quindi oscillazioni acustichenel fluido di barioni-fotoni che si sono gia disaccoppiati; rimangono allora

1Questo, almeno, nel caso di fluttuazioni adiabatiche; mentre nel caso di fluttuazionidi isocurvatura, come vedremo nel prossimo capitolo, si ottengono risultati diversi, inparticolare risulta ∆T0 + ψ = 2 ψ0 vale a dire le fluttuazioni di temperatura sono 6 volte

piu intense che nel caso adiabatico


praticamente invariate preservando la loro iniziale invarianza di scala chesi ritrova dunque nello spettro osservato oggi; la regione invariante di scalanello spettro e evidente in figura nella regione piatta per l ≤ 100; usualmentequesta regione viene indicata come Sacks-Wolfe Plateau.

7.4 Scale Intermedie

A scale intermedie le fluttuazioni entrano nell’orizzonte nell’epoca in cui ifotoni sono accoppiati con i barioni e le anisotropie sono dunque il risul-tato delle oscillazioni acustiche di questo plasma. I fotoni e i barioni sonoin questo caso fortemente legati dalle rapide interazioni Thomson tra glielettroni e i fotoni stessi, tanto che per descriverli e adeguata l’approssima-zione di tight-coupling [24] che, in definitiva, equivale a considerarli come ununico fluido equivalente. In quest’approssimazione le equazioni si possonosemplificare come [24]:

δγ +R

1 +Rδγ + k2c2sδγ = F (7.16)

F = 4

[

φ+R

1 +Rφ

1

3k2ψ

]

(7.17)

δγ = −4

3kvγ + 4φ (7.18)

dove R = 3ρb/4ργ e il rapporto tra barioni e fotoni e vγ = −3vbρb/4ργ =−Rvb e la velocita dei fotoni, mentre, come al solito, cs e la velocita delsuono del fluido che vale c2s = 1/3(1 +R) (vedi anche appendice A).

In generale, l’andamento di ψ φ non e semplice; se, pero, ci limitiamo aconsiderare oscillazioni nella sola epoca dominata dalla materia (una buo-na approssimazione visto che nella maggior parte dei modelli cosmologici ildisaccoppiamento avviene dopo l’epoca di equivalenza radiazione-materia)come nel caso precedente delle grandi scale si puo vedere che i potenziali ri-mangono costanti (vedi sempre [39]) e si puo quindi considerare costante an-che il termine di forza nelle equazioni precedenti; trascurando per semplicitaanche la variazione temporale di R si ottiene infine:

δγ + k2c2sδγ = F (7.19)

che e l’equazione di un oscillatore armonico che descrive le oscillazioni acu-stiche del fluido in cui l’inerzia e fornita dai barioni mentre la pressione edata dai fotoni.

L’approssimazione con cui sono state ottenute questa equazioni sonodrastiche; tuttavia, sono sufficienti a catturare la maggior parte della fisi-ca. Ad esempio le due soluzioni della (7.19) illustrano bene il problemadelle condizioni iniziali: la soluzione che sceglieremo in seguito sara quel-la ∝ cos(kcsτ) corrispondente a condizioni iniziali adiabatiche, mentre la

7.4. SCALE INTERMEDIE 91

presenza di fluttuazioni di isocurvatura e in questo caso rappresentata dallasoluzione ∝ cos(kcsτ). In questo semplice modello considerare perturbazionidi isocurvatura equivale a dare una velocita iniziale all’oscillatore o, equiva-lentemente, a considerare oscillazioni con una fase iniziale diversa rispetto aquelle adiabatiche.

La soluzione completa adiabatica si puo scrivere:

(∆T0 + ψ)|LSS=

φ0

3(1 + 3R) cos(kcsτR)− φ0R (7.20)

vγ|LSS= −φ0(1 + 3R)cs sin(kcsτR) (7.21)

dove le perturbazioni sono calcolate alla superficie di ultimo scattering (τ =τR). Da questa si ricava facilmente:

∆T (n, k) = (∆T0 + ψ)|LSS+ n·vb|LSS

=

(

φ0

3(1 + 3R) cos(kcsτR)− φ0R

)

+ cos θ φ0(1 + 3R)cs sin(kcsτR) (7.22)

che, confrontata con la (7.7), da’ infine:

∆l(k, τR) = Sm(k) jl(kDLSS) + Sv(k) j′l(kDLSS) (7.23)

Sm =(

1+3R3 cos(kcsτR)−R

)

Sv = (1 + 3R)cs sin(kcsτR)(7.24)

cioe il contributo di monopolo (Sm) e dipolo (Sv) alle fluttuazioni ∆l(k).Riguardo allo spettro di potenza, consideriamo per il momento solo il con-tributo di monopolo:

Cl =

∫

d3k Pφ(k) |∆l(k)|2

=

∫

d3k Pφ(k) |Sm(k) jl(kDLSS)|2 (7.25)

Un valore approssimato dell’integrale si puo ottenere facilmente conside-rando che le funzioni sferiche di Bessel sono fortemente piccate attorno akDLSS ' l, cosicche l’integrale riceve contributi solo da pochi k attorno ak∗ ∼ l/DLSS ; in effetti questa caratteristica delle jl determina il modo incui scale lineari (∝ 1/k) sono trasformate in scale angolari (l) attraverso ilfattore di conversione DLSS . Con questa approssimazione i Cl si scrivono:

Cl = Sm(k∗)2∫

d3k Pφ(k) j2l (kDLSS)

∝ 1

l(l + 1)

[

1 + 3R

Rcos

(

csτRDLSS

l

)

−R]2

(7.26)


!

$ $

Figura 7.2: Il picco nelle funzioni sferiche di Bessel attorno a kDLSS ' ldetermina la corrispondenza tra scale lineari e scale angolari.

come al solito, assumendo uno spettro invariante di scala (n = 1).

La formula (7.26) a cui siamo giunti e ricca di significato. Innanzituttomostra come oscillazioni acustiche nel plasma si traducano in una serie dioscillazioni e quindi di picchi nello spettro di potenza: questo risultato non eaffatto scontato indicando una notevole coerenza di fase tra le varie oscilla-zioni delle diverse lunghezze d’onda che, rafforzandosi a vicenda, produconoun effetto macroscopico che lascia la sua impronta nello spettro di potenza.In effetti, la situazione e equivalente a quella di una serie di onde staziona-rie in una cavita: al suo interno esistono dei modi normali di vibrazione esolo le onde di frequenza corrispondente possono oscillare mentre le altre so-no fortemente soppresse; analogamente, nel nostro caso, in un determinatoistante le oscillazioni acustiche del plasma si trovano in risonanza con le di-mensioni dell’universo determinando un netto picco nello spettro di potenzaalle scale corrispondenti. La peculiarita di queste caratteristiche evidente seconsideriamo modelli rivali come i difetti topologici: in questo caso non visono fluttuazioni iniziali preesistenti, ma le disomogeneita sono il risultatodi un continuo processo di creazione alimentato da strutture esotiche noteappunto come difetti topologici; questo processo e pero intrinsicamente in-coerente, manca cioe di un organizzazione precisa complessiva ed in effettinello spettro risultante la struttura a picchi e cancellata e sostituita da unamedia delle fluttuazioni.

La (7.26), comunque, fornisce informazioni addizionali anche sulla strut-tura dei picchi; ad esempio, e chiaro che esistono due tipi di picchi, piu omeno pronunciati, che si alternano nella struttura dello spettro. La differen-

7.4. SCALE INTERMEDIE 93

Figura 7.3: Picchi di espansione e di compressione nello spettro della CMB,trascurando per semplicita gli effetti di dissipazione.

za tra i due e (1+R)2−1 ed e quindi estremamente sensibile all’abbondanzadei barioni! Fisicamente e facile capire il motivo di questo comportamen-to: le oscillazioni acustiche nel plasma sono il risultato della competizionedella pressione dei fotoni e dell’inerzia dei barioni; questo processo e peroovviamente asimmetrico: l’espansione e supportata dai fotoni, ma frenatadall’inerzia dei barioni mentre la compressione e molto accentuata dalla gra-vita stessa dei barioni; questo, in definitiva determina la differenza tra picchidi espansione e picchi di compressione che e alla base della determinazionedi ωb tramite la CMB.

Il modello sviluppato fa una previsione anche sulla posizione del primopicco che viene posto a

lpeak =πDLSS

csτR(7.27)

in accordo con quanto avevamo trovato nel primo capitolo

λSH =

∫ tR

0

cs(t)

a(t)dt ' csτR. (7.28)

Tuttavia e chiaro come questo risultato dipenda criticamente dall’assunzionedi adiabaticita; piu in generale, considerando la possibilita di fluttuazionidi isocurvatura che aggiungono una fase iniziale δiso alla soluzione (δγ ∝cos(kcsτ + δiso)), il primo picco viene spostato proporzionalmente in

lpeak = πDLSS

csτR− δiso

DLSS

csτR(7.29)

Pur assumendo Ωk = 0 allora il primo picco non sara piu attorno a ∼ 220,


ma variera approssimativamente nell’intervallo [39]

100 ≤ lpeak ≤ 300 (7.30)

Al contrario di quanto viene generalmente affermato, dunque, la posizio-ne del primo picco non e un buon indicatore della curvatura dipendendocriticamente dal tipo di condizioni iniziali. In questo modello semplifica-to si puo ancora rimediare considerando, invece che la posizione del primopicco, la spaziatura tra i picchi che, come si vede, e indipendente da δiso:∆lp = πDLSS/csτR; piu in generale, pero, quando consideriamo l’insiemedelle possibili soluzioni di isocurvatura (vedi prossimo capitolo) anche questoparametro sara solo debolmente legato alla curvatura dello spazio.

Infine, bisogna aggiungere che, per queste considerazioni, abbiamo tra-scurato le anisotropie prodotte dal dipolo, che comunque sono usualmentesubdominanti; il suo effetto, poiche e ∝ sin(kcsτR) e simile a quello del-le perturbazioni di isocurvatura creando anisotropie sfasate di π/2; oltre aspostare i picchi, un’importante conseguenza e quella di riempire le ”gole”dello spettro che altrimenti andrebbero bruscamente a zero e di rendere ipicchi stessi piu slargati, meno netti per il contributo incoerente che ricevono.

7.5 Piccole Scale

In questo caso vale il modello gia descritto nel primo capitolo: a scale moltopiccole l’accoppiamento tra elettroni e fotoni diviene inefficiente e il fotonemostra in realta un cammino libero medio piccolo ma finito (λMFP ) chedetermina la scala del Silk Damping che come abbiamo stimato e l ∼ 800;al disotto di questa scala il plasma non si comporta piu come un fluidoperfetto ma mostra effetti di viscosita; tutte le anisotropie vengono allorarapidamente appiattite e lo spettro di potenza mostra a partire da questascala una rapida attenuazione delle fluttuazioni. Nel modello di questo capi-tolo si puo vedere che lo smorzamento dello spettro dovuto al Silk-Dampinge esperienziale, vale a dire in questa zona lo spettro si puo approssimarecome:

l(l + 1)Cl ∝ e−2l2/l20

[

1 + 3R

Rcos

(

csτRDLSS

l

)

−R]2

(7.31)

Per un discorso piu dettagliato, comunque, si rimanda alla referenza [25].

7.6 Approssimazione dello Spettro di Polarizza-

zione

Per spiegare le caratteristiche dello spettro di polarizzazione abbiamo biso-gno di una formula analoga alla (7.6) da specializzare stavolta al caso della

7.6. APPROSSIMAZIONE DELLO SPETTRO DI POLARIZZAZIONE95

polarizzazione; si puo procedere come nel caso dello spettro di temperatura,comunque, il risultato finale:

(Q+ iU)(n) ' ∆τRmimj∂ivj|LSS

(7.32)

e facile da capire in base a quanto gia sappiamo sulla polarizzazione; ricor-diamo, infatti che la polarizzazione viene prodotta principalmente da un’a-nisotropia di quadrupolo nella distribuzione dei fotoni; mentre la velocita delfluido e associata al dipolo della distribuzione, per ottenere un quadrupoloabbiamo bisogno almeno di un gradiente della velocita, che e appunto quan-to espresso dalla (??); il versore di polarizzazione m = ex+ iey compare poinaturalmente per saturare gli indici, mentre ∆τR e una lunghezza tipica delfenomeno che serve per rendere adimensionale l’espressione e corrisponde ineffetti allo spessore della superficie di ultimo scattering o, equivalentemente,alla distanza percorsa dai fotoni nelle ultime due collisioni.

Grandi Scale Per produrre polarizzazione, oltre ad un’anisotropia di qua-drupolo, l’altro ingrediente fondamentale e lo scattering Thomson; do-po la ricombinazione i fotoni si disaccoppiano dai barioni e possonoevolvere solo per redshift gravitazionale; la produzione di polarizza-zione e quindi fortemente soppressa a queste scale e si capisce co-me l’intensita delle fluttuazioni scende quindi bruscamente a zero perl ≤ 100.

Questo quadro puo essere leggermente modificato se e presente un’epo-ca di reionizzazione per cui la materia viene di nuovo ionizzata per ef-fetto dell radiazione ultravioletta emessa dalle prime stelle rilasciandoelettroni liberi; in tal caso i fotoni possono di nuovo interagire tramitescattering Thomson e vi e un’ulteriore produzione di polarizzazioneche si manifesta nello spettro con un picco a bassi l. I dati speri-mentali, in effetti, come vedremo anche nell’ultimo capitolo, sembranopreferire un valore non nullo di κ, la quantita che parametrizza l’epo-ca di reionizzazione; in base ai dati di WMAP si trova κ = 0.12±0.1che indica z ' 20 come redshift della formazione delle prime stelleresponsabili della reionizzazione.

Scale intermedie Il modello sviluppato nei paragrafi precedenti descrivein maniera approssimata le oscillazioni del plasma di fotoni e puo ov-viamente essere utilizzato anche per descrivere la polarizzazione. Perla velocita del fluido vγ avevamo trovato:

vγ|LSS= −φ0(1 + 3R)cs sin(kcsτR) (7.33)

Sostituendo questa espressione nella (7.32) ed operando in manierasimile a quanto fatto per lo spettro di temperatura si trova, in questocaso:

l(l + 1)ClE ∝ (1 + 3R)2(k∗∆τR)2 sin2(k∗csτR) (7.34)


%

Figura 7.4: Confronto tra lo spettro di Temperatura e quello di polarizza-zione; per comodita lo spettro di polarizzazione e moltiplicato per un fattore100, mentre quello di correlazione di unfattote 10 .

7.6. APPROSSIMAZIONE DELLO SPETTRO DI POLARIZZAZIONE97

avendo assunto uno spettro primordiale invariante di scala e dove k∗ =l/DLSS e lo stesso del caso della temperatura mentre la presenza delfattore k∗2 e riconducibile all’azione del gradiente nell’espressione dipartenza. Piu esplicitamente abbiamo:

l(l + 1)ClE ∝ (1 + 3R)2(

∆τRDLSS

)2

l2 sin2(

csτRDLSS

l

)

(7.35)

che ha l’andamento mostrato in figura.

Con questo semplice modello possiamo spiegare in maniera natura-le molte delle caratteristiche dello spettro di polarizzazione come adesempio la presenza del picco principale ad l elevati: la presenza belfattore l2 dovuta al gradiente del campo di velocita nell’espressionedella polarizzazione unita al Silk-Damping che comincia ad attenuarele fluttuazioni ad l elevati determina infine il massimo dello spettroa scale intermedie, contrariamente a quanto accadeva per lo spettrodella temperatura per il quale il primo picco e essenzialmente legatoalle dimensioni dell’orizzonte acustico all’epoca della ricombinazione.

Nell’espressione della polarizzazione inoltre manca la densita e quindiil termine proporzionale a cos(k∗csτR) presente invece per la tempera-tura; di conseguenza, questa volta lo spazio tra i picchi non viene piuriempito da una componente fuori fase e l’intensita delle fluttuazioniscende quasi a zero; i picchi stessi, inoltre per lo stesso motivo sonopiu netti e stretti di quelli della temperatura. La polarizzazione quindie proporzionale a sin2(k∗csτR), mentre la temperatura dipende prin-cipalmente da cos2(k∗csτR); questa osservazione spiega infine, ancheperche i picchi degli spettri di temperatura e di polarizzazione sianoquasi opposti in fase, caratteristica evidente nella figura in cui i duesono a confronto.


Figura 7.5: Confronto tra uno spettro di polarizzazione come calcola-to da CMBFAST (sopra) e il modello approssimato di questo capitolo∝ e−l

2/l20 l2 sin(k∗csτR); come si vede il modello coglie gli aspetti essenzialidello spettro.

Capitolo 8

Condizioni Iniziali

Nei precedenti capitoli abbiamo ricavato le equazioni che ci permettono distudiare l’evoluzione temporale di fluttuazioni cosmologiche come ad esem-pio quelle della temperatura del fluido di fotoni o le fluttuazioni del poten-ziale gravitazionale generato dalla materia; questo ci permette di indagaregenericamente il comportamento dei vari fluidi durante le diverse epocheattraversate dall’universo; tuttavia per prevedere uno specifici campo difluttuazioni all’istante attuale le sole equazioni non bastano ma bisogna im-porre delle specifiche condizioni iniziali. La scelta delle condizioni inizialideve essere fatta in maniera indipendente dal contesto della teoria cinetica,ad esempio dalla teoria inflazionaria, la quale infatti prevede varie possibi-lita; anche cosı, comunque, ogni scelta si basa in realta su un assunzione esulla base di questa assunzione bisognera poi essere cauti nell’interpretazionedei dati sperimentali.

8.1 Introduzione

Cosa intendiamo esattamente per istante iniziale? Qual e il τin dal qualedobbiamo cominciare ad integrare il nostro sistema di equazioni? la rispo-sta non e scontata ed e in effetti diversa a seconda del fenomeno fisico checonsideriamo e della precisione con cui richiediamo il risultato finale. Se sia-mo interessati a conoscere lo spettro fino ad un multipolo lmax questo vuoldire che intendiamo indagare la struttura delle anisotropie solo fino ad unacerta scala minima λmin = 2π/kmax, cioe fino ad un certo numero d’ondakmax; per questa scala minima e naturale richiedere che l’integrazione co-minci quando le dimensioni dell’orizzonte causale τmin siano ben piu piccoledi λmin (τmin λmin) in modo che la fluttuazione sia ancora congelatasenza aver avuto la possibilta di evolvere. La condizione si traduce in :

τmin/λmin 1, kmaxτmin 1 (8.1)

che, fissato kmax, determina l’istante iniziale τmin = τin da cui partire.

99

100 CAPITOLO 8. CONDIZIONI INIZIALI

Questo discorso si basa pero su di un’implicita assunzione che convienesottolineare, e cioe il fatto che dopo τin solo la fisica della CMB sia impor-tante mentre altri fenomeni si siano gia conclusi o abbiano esaurito il loroeffetto. Ad esempio il disaccoppiamento dei neutrini dal bagno termico eun fenomeno che avviene qualche secondo dopo il Big Bang quando la fisicadella CMB e gia importante almeno per multipoli molto elevati; per tenerneconto sarebbe quindi corretto considerare l’interazione tra CMB e neutrinie partire da un istante molto anteriore a quello indicato semplicisticamentedalla (8.1).

Fortunatamente, comunque, (e sorprendentemente) la storia dell’univer-so si sviluppa in maniera sequenziale procedendo tra periodi di relativa tran-quillita che sappiamo descrivere banalmente, e che possiamo considerare co-me condizione iniziale per i fenomeni complessi che seguano subito dopo. Indefinitiva, questa e una conseguenza della corrispondenza che esiste tra etadell’universo e scala di energia in gioco che diminuisce con la sua espansionea mano a mano che il plasma si raffredda. Questo discorso vale quindi nonsolo per la CMB ma anche per la BBN o la Bariogenesi ed e quello che cipermette di parlare delle varie ”epoche” dell’universo.

8.2 Condizioni Iniziali adiabatiche

La condizione kτ 1 permette di semplificare il complicato sistema diequazioni dei capitoli precedenti in maniera radicale; limitandosi a tempicosı piccoli tutti i calcoli si riferiscono all’epoca della radiazione per la qualea/a = τ−1 ed il contributo dei barioni e della CDM e trascurabile; trascu-rando inoltre i momenti superiori ad l = 3 nella gerarchia di fotoni e neutrini(che differiscono per potenze successive di kτ) si ha [9]:

τ2h+ τ h+ 6[(1−Rν)δγ +Rνδν ] = 0 (8.2)

δγ4

3θγ +

2

3h = 0 θγ −

1

4k2δγ = 0 (8.3)

δν4

3θν +

2

3h = 0 θν −

1

4k2(δν − 4σν) = 0 (8.4)

σν −2

15(2θν h+ 6η) = 0 (8.5)

Nelle formule abbiamo utilizzato Rν = ρν/(ρν + ργ) la frazione in energiadi neutrini o, piu in generale, di particelle relativistiche diverse dai fotoni,e l’analogo Rγ = ργ/(ρν + ργ). A questo e collegato il parametro Nν ilnumero di neutrini definito come ρν/ργ = 7/8(4/11)4/3Nν dove i fattori 7/8 e(4/11)4/3 tengono conto dei gradi di liberta di spin dei neutrini e della diversatemperatura del fondo di neutrini [2] e sono stati inseriti per normalizzareNν

in modo tale che Nν = 3 per 3 specie di neutrini relativistici. Va notato cheessendo legato alla densita numericaρν , Nν puo assumere anche valori non

8.2. CONDIZIONI INIZIALI ADIABATICHE 101

interi in virtu, ad esempio, di correzioni relativistiche o potenziale chimicoµ dei neutrini non nullo; un valore di Nν significativamente diverso da 3 adesempio ha importanti conseguenze sulla fisica della BBN [37]; per questimotivi e preferibile non fare assunzioni sul valore di Nν e lasciarlo comeparametro libero da determinare dai dati sperimentali; faremo questa sceltanell0ultimo capitolo, dedicato all’analisi dati.

Ritornando al sistema precedente, da questo si puo ottenere una singolaequazione del quarto ordine per h:

τd4h

dτ4+ 5

d3h

dτ3= 0 (8.6)

che ammette come soluzione generale

h = A+B(kτ)−1 + C(kτ)2 +D(kτ) (8.7)

Esistono, quindi, 4 differenti soluzioni (4 modi) del sistema complessivo; diquesti, i primi due (proporzionali ad A e B) non sono fisici ma sono il risul-tato della residua liberta di gauge presente nella gauge sincrona (vedi [38]),mentre il modo proporzionale a D, crescente nell’epoca della radiazione, di-venta, in realta, decrescente nell’epoca della materia e puo essere anch’essotrascurato.

In definitiva, assumeremo come condizione iniziale la soluzione C, chepossiamo estendere ai fotoni e ai neutrini tramite il sistema (8.2) e ai barionie alla CDM tramite la condizione di adiabaticita

δc = δb =3

4δν =

3

4δγ (8.8)

che avremo di chiarire tra breve:

δγ =−2

3C(kτ)2 δc = δb =

3

4δν =

3

4δγ

θc = 0 θb = θγ = − 1

18C(k4τ3) θν =

23 + 4Rν15 + 4Rν

θγ

σν =4C

3(15 + 4Rν)(kτ)2

h=C(kτ)2 η = 2C − 5 + 4Rν6(15 + 4Rν)

C(kτ)2

In questo caso dunque, il problema delle condizioni iniziali non si pone:in base a diverse considerazioni abbiamo escluso tutti i vari modi tranne unoche determina quindi univocamente la condizione iniziale da cui partire.

Da notare che per determinare h(k, τ) univocamente bisognera specifi-care anche la costante D la quale e dimensionale e dipende quindi da k.In linea di principio bisogna quindi assegnare una funzione arbitraria D(k)


come condizione iniziale. In realta, come abbiamo visto nei capitoli prece-denti, quello che viene assegnato e una sorta di media statistica di D(k),cioe P (k) lo spettro iniziale di perturbazioni che viene assunto generalmenteinvariante di scala.

Questa difficolta e ben distinta e non bisogna confonderla con quella chein letteratura e detto ”problema delle condizioni iniziali” ,e che occuperail resto del capitolo, il quale e invece legato come abbiamo appena visto alfatto che un sistema di N equazioni lineari ammette in generale N soluzioniindipendenti delle quali bisogna valutare quali siano fisicamente accettabili.

8.3 Conteggio dei modi

Cosa succede se cerchiamo di generalizzare il risultato precedente includen-do il contributo dei barioni ed ella CDM? In tal caso oltre alla soluzioneadiabatica precedente, che rimane invariata, quattro nuove soluzioni accet-tabili compaiono che pero non verificano la condizione di adiabaticita (8.8)e vengono invece chiamati di isocurvatura.

A grandi linee il conteggio dei modi e il seguente. Abbiamo visto comel’aggiunta di ogni nuovo fluido comporta due nuove equazioni lineari per δi eθi da aggiungere alle equazioni di Einstein ed accoppiate con esse; ci aspet-tiamo allora che con ogni nuovo fluido compaiono due nuovi modi di cui vapoi valutata la rilevanza fisica. Considerando solo un universo di radiazioneelettromagnetica abbiamo la precedente soluzione adiabatica crescente piuuna soluzione adiabatica decrescente che trascuriamo. I modi decrescentiinfatti, se inizialmente hanno intensita paragonabili ai modi regolari, di-vengono comunque trascurabili dopo un po’; questi modi, inoltre, pongonoanche un problema formale: estrapolandoli indietro nel tempo hanno infattiintensita che divergono e non sono piu descrivibili come fluidi perfetti; lastessa approssimazione perturbativa viene meno e la soluzione e quindi nonaccettabile.

Se insieme ai fotoni consideriamo i barioni e la CDM 4 nuovi modi com-paiono, di cui due sono soluzioni fisiche: un modo di isocurvatura dei barionied uno di isocurvatura per la CDM. Un grado di liberta viene eliminato invirtu dell’approssimazione di tight coupling in cui fotoni e barioni sono for-temente legati dalle rapide interazioni Thomson tra i fotoni e gli elettroni deibarioni; in questo modo i due fluidi hanno uguali velocita, cioe θb = θγ = θγb.Infine, l’ultimo grado di liberta puo essere interpretato come la velocita dellaCDM ed e in realta un modo di gauge: anche questo puo essere eliminatofacilmente scegliendo opportunamente il sistema di riferimento in manieratale che la CDM sia inizialmente a riposo; poiche questa non e legata aglialtri fluidi da nessuna interazione, evolvera rimanendo in quiete ed il mododi gauge verra rappresentato dalla soluzione θc = 0.

Abbiamo trovato fino a questo momento tre modi regolari; se infine con-

8.3. CONTEGGIO DEI MODI 103

sideriamo anche la presenza dei neutrini abbiamo due ulteriori modi regolaridi isocurvatura che possiamo interpretare come la densita e la velocita delfluido di neutrini.

Tralasciando gli aspetti formali con cui vengono ricavate le soluzioni(che richiedono di specificare alcuni dettagli che abbiamo trascurato [38])possiamo scrivere i 5 modi come:

Adiabatico Crescente (AD).

h =1

2k2τ2,

η = 1− 5 + 4Rν12(15 + 4Rν)

k2τ2,

δc = −1

4k2τ2,

δb = −1

4k2τ2,

δγ = −1

3k2τ2,

δν = −1

3k2τ2,

θc = 0,

θγb = − 1

36k4τ3,

θν = − 1

36

[

23 + 4Rν15 + 4Rν

]

k4τ3,

σν =2

3(12 +Rν)k2τ2. (8.9)

Isocurvatura Barioni (BI).

h = 4Ωb,0τ − 6Ωb,0τ2,

η = −2

3Ωb,0τ + Ωb,0τ

2,

δc = −2Ωb,0τ + 3Ωb,0τ2,

δb = 1− 2Ωb,0τ + 3Ωb,0τ2,

δγ = −8

3Ωb,0τ + 4Ωb,0τ

2,

δν = −8

3Ωb,0τ + 4Ωb,0τ

2,

θc = 0,


θγb = −1

3Ωb,0k

2τ2,

θν = −1

3Ωb,0k

2τ2,

σν =−2Ωb,0

3(2Rν + 15)k2τ3. (8.10)

Isocurvatura CDM (CDMI).

h = 4Ωc,0τ − 6Ωc,0τ2,

η = −2

3Ωc,0τ + Ωc,0τ

2,

δc = 1− 2Ωc,0τ + 3Ωc,0τ2,

δb = −2Ωc,0τ + 3Ωc,0τ2,

δγ = −8

3Ωc,0τ + 4Ωc,0τ

2,

δν = −8

3Ωc,0τ + 4Ωc,0τ

2,

θc = 0,

θγb = −1

3Ωc,0k

2τ2,

θν = −1

3Ωc,0k

2τ2,

σν =−2Ωc,0

3(2Rν + 15)k2τ3. (8.11)

Isocurvatura Densita dei Neutrini (NID).

h =Ωb,0Rν10Rγ

k2τ3,

η = − Rν6(15 + 4Rν)

k2τ2,

δc =−Ωb,0Rν

20Rγk2τ3,

δb =1

8

RνRγ

k2τ2,

δγ = −RνRγ

+1

6

RνRγ

k2τ2,

δν = 1− 1

6k2τ2,

8.3. CONTEGGIO DEI MODI 105

θc = 0,

θγb = −1

4

RνRγ

k2τ +3Ωb,0Rν

4R2γ

k2τ2,

θν =1

4k2τ,

σν =1

2(15 + 4Rν)k2τ2. (8.12)

Isocurvatura Velocita dei Neitrini (NIV).

h =3

2Ωb,0

RνRγ

kτ2,

η = − 4Rν3(5 + 4Rν)

kτ +

(

−Ωb,0Rν4Rγ

+20Rν

(5 + 4Rν)(15 + 4Rν)

)

kτ2,

δc = −3Ωb,0

4

RνRγ

kτ2,

δb =RνRγ

kτ − 3Ωb,0Rν(Rγ + 2)

4R2γ

kτ2,

δγ =4

3

RνRγ

kτ − Ωb,0Rν(Rγ + 2)

R2γ

kτ2,

δν = −4

3kτ − Ωb,0Rν

Rγkτ2,

θc = 0,

θγb = −RνRγ

k +3Ωb,0RνR2γ

kτ +RνRγ

(

3Ωb,0

Rγ− 9Ωb,0

2

R2γ

)

kτ2 +Rν6Rγ

k3τ2,

θν = k − (9 + 4Rν)

6(5 + 4Rν)k3τ2,

σν =4

3(5 + 4Rν)kτ +

16Rν(5 + 4Rν)(15 + 4Rν)

kτ2,

Fν3 =4

7(5 + 4Rν)k2τ2. (8.13)

Nell’epoca dominata dalla radiazione grandi fluttuazioni nel contrasto didensita della materia non corrispondono a grandi fluttuazioni nella densitadi energia complessiva e non generano quindi grandi fluttuazioni di curva-tura, da cui il nome per gli ultimi 4 modi, di isocurvatura. Rigorosamentepero, questo non vale per gli ultimi due modi visto che i neutrini sono unaforma di radiazione; infatti la caratteristica distintiva di questi modi e quelladi generare una notevole quantita di entropia; chiariremo tra breve questeconsiderazioni.


Dalle precedenti equazioni possiamo dare un interpretazione fisica deivari modi; nel modo adiabatico il rapporto tra le varie densita e costanteindipendentemente da k; questo significa che per questo modo si ha unaperturbazione complessiva dei vari fluidi, indipendente dal punto che con-sideriamo. Questa, ovviamente, e il tipo piu semplice di perturbazione chepossiamo avere, ma non il piu comune che invece e dato da perturbazioni incui il rapporto tra le varie specie varia da punto a punto, cioe dipende da k,ed e appunto quanto avviene nei modi isocurvatura. 1 Nel modo di isocur-vatura dei barioni, ad esempio, CDM, fotoni e neutrini hanno un rapportocostante mentre i barioni hanno con questi densita relative che variano dapunto a punto; un comportamento analogo si ha per il modo di isocurva-tura della CDM, mentre i modi dei neutrini presentano comportamenti piuanomali con variazione locale non solo del rapporto i densita ma anche dellevelocita relative con le altre componenti.

Va sottolineato che le caratteristiche dei vari modi sono appunto soloprimordiali, cioe valide in questi istanti iniziali che stiamo considerando;la distinzione in modi adiabatici e di isocurvatura e quindi solo iniziale enon e necessariamente mantenuta dalla successiva evoluzione temporale delfluido; in generale anzi la soluzione numerica delle equazioni mostra chia-ramente come ad esempio nel modo adiabatico, pur rimanendo dominantela componente adiabatica, emergono a tratti le caratteristiche dei modi diisocurvatura.

Dopo aver individuato le soluzioni ammissibili, e necessario trovare unmeccanismo fisico in grado di eccitare i vari modi. Come al solito questa dif-ficolta va al di fuori della teoria cinetica e va risolta in base ad altri modelli.L’inflazione ”classica”, la piu semplice , formulata in termini di un solo cam-po scalare, porta alla previsione di condizioni iniziali adiabatiche, gaussiane,con spettro pressoche invariante di scala. Per avere modi di isocurvatura,invece, bisogna ricorrere a modelli piu esotici con ad esempio 5 campi scalariin interazione. La teoria, pero, lascia molti parametri liberi: infatti, oltrealle intensita relative dei vari modi (5 ampiezze), e possible una correlazionetra i campi scalari visto che gli autostati dei campi inflazionari possono noncoincidere con gli autostati di interazione perturbativi (altre 10 correlazioniincognite). Si puo in parte rimediare a questi problemi introducendo mo-delli in cui ai generici campi inflazionari si associano degli effettivi campi diparticella coinvolti in qualche meccanismo fisico; 2 in definitiva, pero, solo idati sperimentali possono fissare in ,maniera non ambigua questi parametri.

1In maniera equivalente possiamo rappresentare la differenza pensando che per il modoadiabatico si hanno perturbazioni di densita e pressione che lasciano invariata l’equazionedi stato, δρ = wδP ; mentre per i modi di isocurvatura e l’equazione di stato stessa cheviene perturbata: δρ = wδP + Pδw; riprenderemo questo punto piu avanti.

2Sono stati proposti campi legati alle teorie di grande unificazione, o, campi di assioniderivanti dalla rottura spontanea di simmetria di Peccey-Queen della QCD [48].

8.4. GENERALIZZAZIONE DELLO SPETTRO DI POTENZA 107

8.4 Generalizzazione dello spettro di potenza

Ricordiamo dal capitolo precedente che lo spettro di potenza e una quantitache dipende quadraticamente dalla soluzione delle equazioni cosmologiche:

Cl =

∫

d3kP (k)∆2l (k, τ0) (8.14)

dove P (k) indica lo spettro iniziale mentre ∆l(k) e la funzione di trasferimen-to, cioe la soluzione normalizzata in maniera tale che ∆l(k, τin) = 1.Poichepero, come abbiamo appena visto, esistono in realta 5 soluzioni accetta-bili per le equazioni di evoluzione di barioni, CDM,fotoni e neutrini, piucorrettamente non abbiamo un solo spettro, bensı una matrice 5x5 di spettri:

Cabl =

∫

d3kP ab(k)∆al (k, τ0)∆

bl (k, τ0) (8.15)

dove P ab(k) e una matrice 5x5 generalizzazione dello spettro iniziale P (k)e ∆a

l (k, τ) e la funzione di trasferimento riferita ai vari modi. Infine, comeulteriore generalizzazione, possiamo considerare gli spettri di polarizzazionee scrivere:

Cabl,XY =

∫

d3kP ab(k)∆al,X(k, τ0)∆

bl,Y (k, τ0) (8.16)

X,Y = T,E,B (8.17)

o, eqivalentemente, in forma grafica:

CT CC 0CC CE 00 0 CB

AD,AD


AD,BI

. . .


AD,BI


BI,BI

. . .

......

. . .

(8.18)

La situazione, quindi, e diventata molto piu complessa, ma anche piuvaria; invece di un solo spettro, tenendo conto di correlazioni ed autocorre-lazioni, abbiamo adesso ben 15 spettri, ognuno con delle specifiche caratteri-stiche; conseguentemente, specificare esattamente una determinata soluzionerichiedera adesso in tutto 15 parametri che indicano l’ampiezza con cui pesaciascuno spettro nello spettro complessivo:

Cl =∑

ab

αabCabl (8.19)

La situazione e solo leggermente semplificata dal fatto che la matrice sim-metrica αab non puo essere arbitraria, ma, dovendo lo spettro complessivo


Cl essere positivo, dovra essere definita positiva; le sue componenti, quindi,dovranno soddisfare alcune disuguaglianze che limitano il comunque moltoampio spazio dei parametri. Sottolineamo che la formula (8.19) non e unaapprossimazione, ma e esatta nel limite in cui usiamo la teoria perturbati-va; infatti, poiche le equazioni che abbiamo usato sono lineari, la soluzionevera sara una sovrapposizione delle 5 particolari trovate, specificata da 5parametri:

∆l(k, τ) =∑

a

αa∆al (k, τ) (8.20)

mentre, per quantita quadratiche nelle ∆al come i Cl vale esattamente la

(8.19).In figura (8.1) sono disegnati i vari spettri possibili per un fissato modello

cosmologico piatto; il modo BI e CDMI danno spettri praticamente identicie per questo non vengono considerati separatamente; a parte questo, comun-que, e evidente l’estrema vaieta di spettri possibili, e tutto questo variandosolamente le condizioni iniziali. Riassumendo, gli spettri che coinvolgono ilmodo BI hanno intensita paragonabili all’usuale spettro adiabatico solo agrandi scale, mentre sono soppressi a piccole scale; gli spettri che coinvol-gono i modi NIV e NID hanno invece caratteristiche molto simili a quelloadiabatico; tutti, invece, hanno un’alternanza di picchi equamente spaziatidi ∼ 300 multipoli mentre variano arbitrariamente quanto a fase relativa:questo e esattamente quanto avevamo anticipato nel capitolo precedente ederiva dal fatto che le perturbazioni di isocurvatura si possono interpreta-re come usuali oscillazioni nei fluidi cosmologici sfasate pero rispetto alla”usuale” soluzione adiabatica.

Questa situazione ha radicali conseguenze sulla determinazione dei pa-rametri cosmologici in particolare sulla curvatura Ωk dell’universo; l’analisidei recenti dati sperimentali sulla radiazione cosmica di fondo da COBE aBOOMERanG a WMAP indicano tutti un valore nullo di Ωk, tanto chel’assunzione di universo piatto e ormai comune ed un punto di partenza pernumerose altre analisi; il risultato si basa sul fatto che i dati evidenziano unprimo picco nello spettro ad un multipolo di ∼ 220 che e appunto quanto cisi aspetta per un universo piatto; questa conclusione si basa pero sulla fon-damentale (e spesso implicita)assunzione di condizioni iniziali adiabatiche,ma e ben diversa se includiamo le fluttuazioni di isocurvatura; ammettendoinfatti, la possibilita di condizioni iniziali piu generali introduciamo, comeabbiamo appena visto, la possibilita di una fase arbitraria che sposta laposizione del primo picco in un range di valori possibili che e circa 150-300[39]. tenendo conto delle perturbazioni di isocurvatura la posizione del primopicco non e piu, quindi, un buon indicatore di curvatura; estrarre questo pa-rametro dalla CMB diventa una questione che non puo essere trattata conleggerezza e che affrontata contemporaneamente alla determinazione dellecondizioni iniziali; attualmente, comunque, i dati disponibili sono ancoratroppo imprecisi per un’analisi cosı complessa e la questione della curvatura

8.4. GENERALIZZAZIONE DELLO SPETTRO DI POTENZA 109

Figura 8.1: Sno mostrati in figura i vari spettri possibili per un fissato model-lo cosmologico. Si hanno in tutto 10 spettri, 4 autocorrelazioni (a sinistra)e 6 correlazioni (1 a sinistra e 5 al centro); l’ultima colonna mostra la sen-sibilta dello spettro complessivo ai vari parametri cosmologici (gli elementidella matrice di Fisher); nella seconda e terza riga lo stesso per gli spettridi polarizzazione e correlazione TP; dalla ref. [38].


dell’universo rimane ancora, almeno in base alla sola CMB, una questioneaperta.

Da queste considerazioni emerge che il ruolo delle condizioni iniziali neldeterminare l’universo attuale non e meno importante di quello degli usualiparametri cosmologici h,κ,ωb,. . . ; la maniera coerente di procedere e quindiquella di considerare incognite sia le condizioni iniziali che i p.c. per cercaredi estrarli contemporaneamente dal fit dei dati sperimentali. Questo com-plica la situazione fondamentalmente in 2 modi. Come primo punto, infatti,il numero dei parametri da fittare cresce enormemente; se assumiamo chetutti i vari spettri iniziali siano leggi di potenza e che gli spettri della materiabarionica e della CDM siano indistinguibili, si ha:

Pab(k) = Aabk(nab−4) (8.21)

che contiene, complessivamente, 10 + 10 = 20 parametri! Se, quindi, primaavevamo ∼ 7 parametri da considerare, adesso ne abbiamo ∼ 25; l’analisisi e quindi complicata di un ordine di grandezza. Analizzare uno spazio diparametri a 25 dimensioni e, anche con i computer piu veloci attualmentedisponibili, impossibile; oltretutto questo spazio ha sicuramente una strut-tura molto ricca e complessa a causa della varieta di caratteristiche delleperturbazioni di isocurvatura che abbiamo descritto; certamente sono pre-senti varie degenerazioni, ad esempio quella tra Ωk e le condizioni inizialidi cui abbiamo parlato che permette di avere picchi ad l ∼ 220 con uni-versi non piatti; ancora, le somiglianze degli spettri adiabatici e dei modineutrinici fa pensare che sia possibile ottenere best fit anche molto lontanidal solo modello adiabatico, con i modi neutrinici dominanti. Per questimotivi, sembrerebbe che un analisi sistematica sia indispensabile; il modoper rimediare e pero quello di studiare teoricamente il problema per farsiun idea approssimativa della struttura dello spazio dei parametri e facilitarecosı l’analisi numerica. In tal senso molte ricerche sono in corso per le qualirimandiamo alla piu recente letteratura.

Avere uno spazio dei parametri cosı grande da ovviamente luogo anchead un altro problema: per determinare cosı tanti parametri e necessario chei dati sperimentali siano sufficientemente accurati in modo da avere incertez-ze ragionevoli. Con i dati di WMAP si ottengono determinazioni accuratedei parametri cosmologici solo con l’assunzione di adiabaticita, mentre i da-ti sono ancora troppo imprecisi per estrarre infoermazioni sulle condizioniiniziali e p.c. contemporaneamente; e in questo senso che dai dati attualinon si puo dedurre molto sulla curvatura dell’universo, mentre la situazionee ancora peggiore per gli altri parametri tanto da non riuscire ad ottenerenessun limite utile ([49] [16]). Allo stato attuale, quindi, i risultati sullaCMB dipendono troppo dalle assunzioni fatte durante l’analisi e non posso-no essere considerati definitivi; per avere un’analisi competa parametri co-smologigi+condizioni iniziali bisognera invece aspettare i dati di PLANCK,

8.5. SIGNIFICATO FISICO DELLE PERTURBAZIONI 111

che misurera temperatura e polarizzazione con l’accuratezza necessaria perun’analisi congiunta ([57]).

Bisogna, comunque, sottolineare che i dati attuali sono di estrema impor-tanza: i parametri cosmologici possono essere infatti assunti anche da altreevidenze come la BBN o l’esperimento sulle supernove Ia; fissati questi, laCMB, vista la sua forte sensibilita alle condizioni iniziali, e al momento l’u-nico strumento che ci permette di indagare la fisica dell’universo primordialeed in particolare epoche, ancora in gran parte oscure, come l’inflazione.

8.5 Significato fisico delle perturbazioni

8.5.1 Introduzione

Fino a questo momento i vari tipi di perturbazione sono emersi solo daun’attenta analisi delle equazioni perturbative e delle soluzioni non singo-lari; le varie soluzioni non sono state, per cosı dire, ”previste” peche nonabbiamo considerato uno schema piu generale in cui inquadrarle, come adesempio la teoria dei fluidi. Questo nuovo punto di vista non aggiunge moltoalle soluzioni in termini numenrici, tuttavia e fondamnetale per chiarire ilreale significato fisico delle perturbazioni stesse: infatti, conoscere il com-portamento dinamico dei vari fluidi nei possibili modi aiuta a giudicare laragionevolezza della soluzione e a confrontarla piu facilmente con modellinoti che possono fornire possibili meccanismi fisici per generarle.

Consideriamo ad esempio la soluzione piu comune, quella che abbiamoindicato come modo adiabatico; qualitativamente abbiamo visto che in que-sto caso non vi sono variazioni locali del rapprto tra le varie specie, mail rapporto e costante e vale δr/δm = 4/3; questa ”condizione di adiabati-cita” e facilmente giustificabile: poiche le variazioni locali non sono impr-tanti l’evoluzione delle fluttuazioni e in sostanza determinato unicamentedal background; ricordando che ρr ∝ a−4 mentre ρm ∝ a−3 risulta appuntoδρr/ρr = 4δρm/3ρm.

Il risultato puo anche essere posto in una forma piu esplicita. L’e-nergia della materia e, in realta, proporzionale al numero di partocelle,ρm = Mmnm, menter per la radiazione e piu utile considerare la sua en-tropia: poiche ρr ∝ T 4 mentre l’entropia s ∝ T 3 si ha δs/s = 4δρr/3ρr equindi lo ”scostamento” dall’adiabaticita, cioe l’entropia prodotta, e datoda:

Srm =δρmρm− 3

4

δρrρr

=δρmρm− δs

s=δ (nm/s)

nm/s; (8.22)

l’entropia, almeno per la radiazione, e in realta proporzionale al numero difotoni nγ per cui in definitiva possiamo scrivere:

Srm =δ (nm/s)

nm/s=δ (nm/nγ)

nm/nγ; (8.23)


le perturbazioni adiabatiche quindi sono tali perche non c’e perturbazione equindi produzione di entropia durante l’evoluzione, e questo avviene percheil rapporto tra le varie specie e costante e non varia da punto a punto;perturbazioni alternative sono invece isoterme: producono entrpia tramiteuna variazione locale del rapporto relativo delle specie.

Possiamo scrivere il parametro Srm anche come Srm = δm − 3δr/4 =δm/(1 + wm) − δr/(1 + wr) che puo essere facilmente generalizzato ad Nspecie generiche:

Sαβ =δα

1 + wα− δβ

1 + wβ(8.24)

Questi ragionamenti sono solo qualitativi, ma e naturale interpretare Srmcome fluttuazione dell’entropia relativa tra 2 specie; comunque, questa quan-tita emengera anche nella prossima sezione con approccio piu rigoroso.

Da dove deriva l’entropa prodotta dal un fluido durante la sua evoluzio-ne? Un’equazione di stato che leghi universalmente p a ρ non e in generalepossibile, mentre esiste sempre un’eauzione che leghi p a ρ e all’entropia S:

p = p (ρ, S) (8.25)

da cui:

δp =∂p

∂ρ

)

S

δρ+∂p

∂S

)

ρδp = c2sδρ+ τδS (8.26)

dove cs e come al solito la velocita del suono del fluido; in generale, dunque,vi sara variazione di entropia δS a meno che τ = 0, cioe l’equazione di statonon dipenda da S, p = p(ρ). Ovviamente, l’entropia prodotta e attribuibileagli attriti interni del fluido che dissipano in calore parte dell’energia cineticadel fluido; in quest’ottica il coefficiente τ e interpretabile come un coefficientedi viscosita.

La quantita τδS = δp − c2sδρ, che useremo tra poco, ha inoltre un’ul-teriore notevole proprieta nell’ambito della teoria dei fluidi cosmologici: egauge invariante! Come ci si poteva aspettare, quindi, l’entropia e una ca-ratteristica intrinseca del fluido e non e soggetta ad ambiguita legate allascelta del sistema di riferimenteo.

8.5.2 Legame con la Teoria dei Fluidi

Il problema della (8.24) e che non e espressa in una forma invariante di gaugee non e quindi affidabile sul significato fisico delle perturbazioni di entropia;per questo, in questo paragrafo saremo piu formali e cercheremo di derivareun’espressione equivalente ma gauge-invariante per isolare le caratteristichefisiche da quelle derivanti dai problemi di scelta delle coordinate.

La teoria dei fluidi, in particolare applicata alla cosmologia, e comunquedi per se un argomento molto bvasto, impossiblie da trattare in manieracompleta in poche pagine. In seguito, quindi, introdurremo solo i concetti


fondamnetali ed in particolare solo quelli rilevanti per ricavare la formula(8.42), obbiettivo principale di questa sezione. Una trattazione piu completasi puo comunque trovare nelle referenze [45] [46] [47].

Abbiamo visto nel capitolo 3 che al primo ordine perturbativo e limi-tandoci ai modi scalari la materia puo essere descritta da 4 quantita δρ,δp, V e σ interpretabili come perturbazioni di densita, pressione, potenzia-le del campo di velocita e shear. Ora, cosı come per le quantita metricheera possibile definire i potenziali di Bardeen, gauge-invarianti, un’analogaoperazione e possibile per la materia; tuttavia se ci limitiamo solo alle va-ribili della materia possiamo costruire solo 2 quantita indipendenti gaugeinvarianti che sono σ stesso (come abbiamo gia visto nel paragrafo §3.5.2)che rinominiamo Σ ed inoltre τδS = δp− c2sδρ come abbiamo anticipato nelparagrafo precedente che si puo interpretare come perturbazione di entro-pia; introduciendo la variabile π = δp/p perturbazione relativa di pressione,possiamo quindi scrivere:

Σ = σ (8.27)

Γ =τδS

p= π − c2sδ

w(8.28)

Per le perturbazioni di velocita e densita, invece, la situazione e piu com-plicata e bisogna necessariamnete ricorrere alle veriabili geometricheper co-struire quantita gauge-invarianti; per quanto riguarda la velocita assumiamo(in trasformanta di Fourier, con le variabili che implicitamente dipendonoda τ e k):

V = V − k−1E (8.29)

mentre per δ varie scelte sono possibili come:

∆s = δ + 3(1 + w)a

ak−1σg

∆g = ∆s + 3(1 + w)Φ

∆s = ∆s + 3(1 + w)a

ak−1V (8.30)

dove σg = k−1E−B e Φ e uno dei potenziali di Bardeen. Questa ambiguitaderiva dal fatto che le variabili gauge-invarinti non sono univocamnete defi-nite, ma ne esistono di fatto infinite che sono date da combinazioni linearidelle precedenti con coefficienti funzioni arbitrarie del tempo; la scelta piuaragionevole e comunque ∆ che si puo interpretare come contrasto di densitain un sistema di riferimento in cui il fluido e a riposo; inoltre, con questascelta, le equazioni di Einstein assumono la forma piu semplice.

Cosa succede se proviamo a generalizzare l’approccio gauge invarianteper il caso di piu fluidi? 3 Il tensore E-I complessivo e semplicemente la

3Per non complicare la descrizione assumenremo che i fluidi non siano interagenti;


somma di quello dei vari fluidi:

Tµν =∑

α

Tµνα (8.31)

cosı le perturbazioni si scriveranno:

ρδ =∑

α

ραδα δ =∑

α

δρα

hV =∑

α

hαVα

pΠ =∑

α

pαΠα δp =∑

α

δpα

σ =∑

α

σα (8.32)

dove abbiamo introdotto la notazione h = ρ+ p.Per le variabili gauge invarianti questa volta concentriamoci prima su δ

e V ; per V la scelta e abbastanza semplice e data da

hV =∑

α

hαVα (8.33)

mentre per δ la situazione e piu complessa; come al solito, varie scelte sonopossibili, tuttavia adesso altre alle (8.30) e possibile definire come densitagauge-invariante anche:

∆cα = δα + 3(1 + wα)a

ak−1(V −B)

= ∆α + 3(1 + wα)a

ak−1(V − Vα) (8.34)

che si puo interpretare come la densita del fluido α nel sistema di riferimentoin cui la materia complessiva e a riposo; e in effetti naturale utlizzare ∆cα

per definire la densita g.i. complessiva che si puo srivere:

ρ∆ =∑

α

ρα∆cα (8.35)

Infine, per le unltime 2 variabili la situazione e invariata rispetto al caso disingolo fluido; si ha:

Σ =∑

α

Σα =∑

α

σα (8.36)

Γ = π − c2swδ (8.37)

cioe che il termine di quadriforza Qµα sia nullo. Le considerazioni successive per il caso

cosmologico sono ancora valide se ricordiamo che fotoni e barioni, che interagiscono tramiescattering Thomson, sono considerati nell’approssimazione di tight-coupling, cioe come ununico fluido disaccoppiato da neutrini e CDM.


dove π e δ sono date dalle (8.32) mentre w = p/ρ e c2s = p/ρ e il quadratodella velocita del suono del fluido complessivo.

Vediamo quindi che mentre per δ e V la definizione e in realta ambigua,l’entropia e invece univocamnte determinata anche per il fluido complessivo;in che relazione e Γ con le singole Γα? E’ facile vedere che

∑

α Γα non coincidecon Γ ed e in realta solo una sua parte che chiameremo ”intrinseca”, mentreper riottenere Γ dobbiamo aggiungere anche un termine ”relativo”:

pΓ = pΓint + pΓrel (8.38)

pΓint =∑

α

pΓα (8.39)

pΓrel =∑

α

(

c2α − c2s)

δρα (8.40)

Nel capitolo 4 abbiamo visto che le equazioni pertubative vengono sem-plificate assumndo un evoluzione aıdiabatica per il singolo fluido: questoequivale ad assumenre nullo il termine Γint e le singole Γα; tuttavia, e chiaroche e ancora possiıbile produzione di entropia tramite il termine Γrel; questotermine e, in definitiva, responsabile delle perturbazioni di isocurvatura. Iltremine fondamentale e quibdi Γrel che, utilizzando in varie combinazioni leformule precedenti, si puo esplicitare, infine, come:

pΓrel =1

2

∑

αβ

hαhβh

(

c2α − c2β)

Sαβ (8.41)

dove

Sαβ =∆α

1 + wα− ∆β

1 + wβ(8.42)

Le formule (8.41) e (8.42 sono il principale risultato a cui volevamo arriva-re. Grazie al formalismo gauge-invariante siamo giunti ad un’espressione perl’entrpia relativa generalizzazione della (8.24 ma questa volta indipendentedla sistema di coordinate. Come possiamo interprtare Sαβ? Per Facilitare ilcompito ricordiamo la relazione (8.34) che lega le diverse definizioni di ∆g−i

e consideriamo un sistema di riferimneto in cui la materia complessiva e ariposo; risulta V = 0 e ∆α = δα e:

∆cα = δα + 3(1 + wα)a

ak−1Vα (8.43)

da cui

Sαβ =δα

1 + wα− δβ

1 + wβ− 3

a

ak−1 (Vα − Vβ) (8.44)

= S′αβ − 3

a

ak−1 (Vα − Vβ) (8.45)

Vediamo allora che, fissato un sitema di riferimneto, l’entropia relative puoessere prodotta non solo nel modo usuale che corrisponde come abbiamo


visto ad una variazione del rapporto relativo tra le varie specie, ma anche se2 fluidi hanno una certa velocita relativa; in ogni caso, questta distinzionenon e gauge-invariante e non e quindi realmente fisica; in entrambi i casi,pero, si puo dire che l’entropia e prodotta per ”attrito” tra i vari fluidi.

8.5.3 Interpretazione dei modi

L’espressione invariante trovata per Sαβ e direttamnet applicabile alle 5soluzioni (i 5 modi) trovati precedentemente per le equazioni cosmologiche;usando la notazione Vαβ = Vα − Vβ i risultati si riassumono come 4 :

Modo Adiabatico

Sαβ = 0 ∀ α, βVαβ = 0 ∀ α, β

Modo di isocurvatura dei barioni

Sαβ = 1 α = c, γ, ν

Sαβ = 0 α, β 6= b

Vαβ = 0 ∀ α, β

Modo di isocurvatura della CDM

Sαβ = 1 α = b, γ, ν

Sαβ = 0 α, β 6= c

Vαβ = 0 ∀ α, β

Modo di isocurvatura densita dei neutrini

Sαβ = 1 α = b, γ, c

Sαβ = 0 α, β 6= ν

Vαβ = 0 ∀ α, β

Modo di isocurvatura velocita dei neutrini

Sαβ = 0 ∀ α, βVν,γβ = 1−GSν,c = 1/5

Vγβ,c = G+ 4/5

4Per un confronto diretto e necessario ricordare la relazione tra V e θ (4.18) che intrasformata di Fourier si scrive (ρ+ p)θ(k) = k2V (k)


dove G = .... Come ci aspettavamo, la differenza in velocita Vαβ 6= 0 e cioche distingue appunto i modi ”velocita”; tra questi solo quello dei neutrini eregolare mentre gli altri, per vari motivi, sono esclusi: il modo velocita dellaCD; coincide con un modo di gauge, il modo velocita dei barioni e eliminatodall’assunzione di tight-coupling tra fotoni e barioni, ed infine un’ulterioremodo adibatico e decrescente equindi singolare a tempi piccoli.

Riassumendo, il formalismo gauge invariante ci ha permnesso di concen-trarci sulle quantita che hanno realmente un significato fisico e non sonoaffette dalle ambiguita legate alla scelta del sistema di cooerdinate. Traqueste si e trovato che l’entropia del sistema ha una definizione del tuttonaturale e si compone di 2 parti: la prima e la somma delle entropie dei sin-goli fluidi; anche assumendo nulla questo contributo rimane comunque untermine relativo che puo essere interpretato come prodotto per attrito tra levarie componebti. Questa parte relativa e completamente responsabile delcomportamneto dei modi isocurvatura trovati comens soluzione delle equa-zioni cosmologoiche e sono quindi, piu correttamnbte, modi di perturbazionedi entropia. I vari modi possono essere facilmente classificati all’interno diquesto modello.


Capitolo 9

Analisi Numerica

L’obiettivo di questa sezione e una stima dei parametri cosmologici dai re-centi dati sulle fluttuazioni di temperatura e polarizzazione resi disponibilidal satellite WMAP. L’analisi dei dati e un problema molto complesso enon lo tratteremo per intero; ci soffermeremo, invece, sulla fase finale checonsiste nel confronto dello spettro sperimentale con quello teorico per ladeterminazione dei parametri cosmologici e discuteremo i problemi praticida affrontare per realizzare il fit dei dati. Infine, illustreremo i risultati delbest fit, e ne discuteremo le implicazioni per la cosmologia. L’analisi svoltae originale ed i risultati ottenuti sono in ottimo accordo con altre analisianaloghe [34], [35] e con quelle effettuate dal gruppo di WMAP stesso [29].

9.1 I Dati Sperimentali

La difficolta principale nella misura delle fluttuazioni della CMB e la pre-senza dell’atmosfera; questa, infatti, non e completamente trasparente allemicroonde e il segnale che giunge a terra risulta molto attenuato e distrur-bato e di certo non adatto alla misura di piccole fluttuazioni. Varie strategiesono possibili per ovviare al problema: la piu semplice e quella di porre unrivelatore in un luogo di notevole altitudine, dove l’atmosfera e rarefatta,e molto freddo, in modo da ridurre l’agitazione termica; tipicamente, comecompromesso migliore viene scelto il polo sud e, in effetti, questo e il sito dimolti esperimenti (come SP, Phyton, White Dish).

Un’altra possibita e quella di utilizzare palloni sonda con gli strumentia bordo per un osservazione a quote elevate ∼ 30-40Km: in questo modo ilproblema dell’atmosfera viene superato e si possono ottenere misure moltoaccurate, che compensano abbondantemente i costi aggiuntivi e la complica-zione tecnica legata all’impiego di strumenti in volo, difficili da stabilizzaree da calibrare. Questo metodo e stato usato dall’esperimento MAXIMAe, soprattutto da BOOMERanG, che ha fornito la prima misura accuratadelle anisotropie a scale intermedie fornendo una chiara evidenza del primo

119

120 CAPITOLO 9. ANALISI NUMERICA

picco acustico. Inevitabilmente, comunque, questo tipo di esperimento pre-senta delle limitazioni: la durata del volo e limitata a qualche giorno e, diconseguenza, anche la raccolta dei dati non puo essere protratta a lungo;inoltre, la regione di cielo esplorata si limita alla zona soprastante il sito del-l’esperimento, consentendo l’analisi delle fluttuazioni solo a medie e piccolescale.

La soluzione ideale (ma estremamente dispendiosa!) e, sicuramente, l’os-servazione da satellite. Oltre ad eliminare completamente il problema del-l’atmosfera, le misure da satellite possono coprire tutto il cielo e sondare,quindi, anche le scale piu grandi, cioe i multipoli piu piccoli, fondamentali,ad esempio, per la determinazione delle onde gravitazionali o per studiarele caratteristiche della reionizzazione; la durata della missione puo essereanche di vari anni, permettendo cosı di ottenere una considerevole quantitadi dati.

Il primo esperimento di questo tipo e stato COBE [55], lanciato nel1989 con una durata di 4 anni; con un fascio di risoluzione ∼ 7 (l ≤ 30-40) COBE ha sondato fondamentalmente solo grandi scale ed ha fissato lanormalizzazione dello spettro.

Sull’esperimento WMAP, satellite lanciato dalla NASA nel 2001, che hada poco completato la prima scansione del cielo, ci soffermeremo a lungosuccessivamente, con l’analisi dei dati forniti e la discussione dei risultati.

Nei prossimi anni, infine, e previsto il lancio di PLANCK, satellite del-l’ESA, che migliorera notevolmente le prestazioni di WMAP. In effetti, sele specifiche dell’esperimento verranno confermate, lo spettro della tempe-ratura verra determinato fino ad un multipolo di ∼ 2500 con una precisionelimitata solo dalla varianza cosmica, estraendo, quindi, tutta l’informazio-ne in esso contenuta. Ulteriori miglioramenti nelle misure sono comunquepossibili almeno nella polarizzazione, anche se, al momento, non vi e ancoranessun progetto preciso in tal senso.

9.2 La pipeline della CMB

Lo spettro di potenza non e la quantita direttamente misurata dagli esperi-menti descritti in precedenza ; prima di ottenerlo e, in realta, necessaria unalunga analisi che possiamo schematicamente dividere in varie fasi (pipeline):

Dati temporalmente ordinati La quantita primaria misurata dai rivela-tori e l’intensita delle radiazione ad una data frequenza; l’orientazionedel rivelatore viene lentamente modificata (con un metodo dipendentedal tipo di esperimento), in modo da esplorare via via tutto il cielomolte volte producendo cosı una sequenza continua di dati ordinati neltempo che contengono la direzione di osservazione e l’intensita dellaradiazione registrata. I dati ottenuti dopo un periodo sufficiente di os-

9.2. LA PIPELINE DELLA CMB 121

Figura 9.1: Confronto tra la mappa delle anisotropie realizzata in 4 anni daCOBE, e il primo anno di volo di WMAP (WMAP Media Resources).


servazione vengono poi integrati per realizzare una prima mappa delleanisotropie.

Mappa del cielo La mappa ottenuta nella fase precedente e ancora ”grez-za” e non puo essere utilizzata per la determinazione dello spettro: ilproblema principale e che, oltre alla radiazione cosmica di fondo, il cie-lo nelle microonde riceve numerosi altri contributi, i foregrounds (neabbiamo accennato a proposito del bispettro), che coprono le fluttua-zioni dovute al solo fondo di fotoni. Notevoli emissioni nelle microondesi hanno, ad esempio, per effetto della radiazione di sincrotrone pro-dotta dai campi magnetici galattici, o per effetto dell’assorbimentoe successiva riemissione da parte delle nubi di polvere interstellari;anche le sorgenti puntiformi danno un loro contributo: le stelle o iquasar, infatti, emettono anche nelle microonde e sono viste come unafluttuazione.

Il modo in cui questi contributi possono essere separati e in realtaconcettualmente molto semplice: ognuno di questi fenomeni, infatti,ha una dipendenza caratteristica dalla frequenza che e, generalmente,molto diversa da quella tipica della CMB; se, allora, si ha a disposizio-ne un modello, anche molto approssimato, dello spettro in frequenzadei vari contributi, lo si puo usare per confrontare tra loro mappe rea-lizzate a varie frequenze e fittare l’effetto di ogni singolo contributoper individuarlo e, quindi, sottrarlo dal resto. A questo scopo, in ef-fetti, vengono realizzate misure delle anisotropie a varie frequenze: adesempio, WMAP ha fornito mappe in 5 frequenze in un range che vada 23 GHz a 94 GHz, mentre per PLANCK, per in quale il problemadei foregrounds e particolarmente delicato, si prevede di realizzare 9mappe nel range da 20 GHz a 150 GHz.

Questi effetti hanno anche una dipendenza tipica dalla scala oltre chedalla frequenza: ad esempio, e chiaro che il contributo delle sorgenti”puntiformi” avra importanza solo alle scale inferiori alla loro realeestensione, mentre le nubi di polveri creeranno anisotropie legate allaloro dimensione tipica. Questa dipendenza dalla scala permette inlinea di principio di separare i vari contributi anche da una sola mappa,anche se con notevoli incertezze.

Spettro di potenza Una volta ottenuta la mappa della sola CMB, la de-terminazione del migliore spettro sperimentale si puo ottenere facil-mente dalla formula 2.25 che puo essere vista come uno stimatore.

Cl =∑

m

< |alm|2 >2l + 1

−→ Cl =∑

m

|alm|22l + 1

(9.1)

dove i Cl sono, quindi, i Cl effettivamente misurati. Per un confrontocon la teoria, pero, il solo valore migliore non e sufficiente, ma e ne-

9.2. LA PIPELINE DELLA CMB 123

cessaria, in linea di principio, l’intera distribuzione di probabilita deiCl che, in questa fase, sono a tutti gli effetti dei parametri ricavatida un fit con la loro funzione di likelihood. Tenendo presente che i Clsono ∼ 103, ricavare 1000 parametri dai dati ed analizzare una fun-zione di likelihood L(Cl) 1000-dimensionale, sembra decisamente unproblema piu complesso della determinazione di ∼ 10 parametri co-smologici! Fortunatamente, comunque, varie semplificazioni rendono ilproblema piu accessibile; la funzione di likelihood, infatti, e sufficiente-mente priva di struttura da poter essere esplorata velocemente: i variCl sono con buona approssimazione indipendenti l’uno dall’altro de-terminando una forma della likelihood fattorizzate nei vari parametri econsentendo, in pratica, di separare il problema multidimensionale inpiu problemi unidimensionali. La debole correlazione, comunque, puosempre essere deteminata successivamente in maniera perturbativa.

Un’ulteriore semplificazione e data poi dalla regolarita caratteristicadello spettro; l’analisi multipolo per multipolo e, quindi, eccessiva ebasta considerare un punto, ad esempio, ogni venti in modo che lastruttura dello spettro vari apprezzabilmente (la procedura e chiamatabinning [11]).

Anche con queste semplificazioni, comunque, la determinazione dellospettro e soprattutto l’analisi della sua likelihood risultano notevol-mente lunghe. In definitiva, per un calcolo in tempi ragionevoli, si ri-corre a delle approssimazioni semi-analitiche unite a metodi iterativi;i risultati in proposito sono numerosi e non li discuteremo oltre (vedi[11]); in seguito, comunque, avremo modo di descrivere almeno una diqueste approssimazioni, l’approssimazione log-normale, fondamentaleper il confronto tra dati e teoria.

Parametri cosmologici E’ la parte finale della pipeline che discuteremoin dettaglio nei prossimi paragrafi.

Fondamentalmente, e una fase simile alla stima dello spettro di poten-za, ma senza le semplificazioni relative! Questa volta, infatti, la fun-zione di likelihood L(ωb, h, κ, . . .)

1 e una funzione multidimensionaledei parametri cosmologici ricca di strutture come degenerazioni, cioeforti correlazioni, o, comunque, di zone in cui si discosta sensibilmenteda un semplice andamento gaussiano. Anche le approssimazioni semi-analitiche dello spettro in funzione dei parametri non sono possibili see richiesto un certo grado di precisione.

In definitiva,, il processo deve essere svolto per intero senza partico-lari approssimazioni, calcolando prima un database di spettri su una

1In questo capitolo ci riferiremo ai parametri cosmologici solo al momento attuale; perbrevita omettiamo, quindi, il pedice (0).


griglia sufficientemente fitta da catturare le strutture della likelihood,ed in seguito calcolando punto per punto, cioe spettro per spettro, lalikelihood stessa (confrontando gli spettri grazie alla likelihood dei Clottenuta nella fase precedente) che viene quindi costruita per punti:

L = L(ωbi, ωcj , hk, . . .)

ωb = ωb1, . . . ωbi, . . . ωbNb

ωc = ωc1, . . . ωcj , . . .

h = . . ....

Vedremo tra breve come realizzare in pratica le varie fasi.

9.3 Rumore degli strumenti

L’ampiezza delle fluttuazioni della CMB e estremamente piccola, dell’ordinedi 1/105 per la temperatura e solo 1/106 per la polarizzazione; la sensibilitadei rivelatori, quindi, viene sfruttata al limite e spesso l’intensita del segnalee solo di poco superiore al naturale rumore prodotto dagli strumenti. Di-venta allora indispensabile avere un modello del rumore per tenerne contonell’analisi dei dati. L’ipotesi piu semplice e quella di supporre che il segnaledlm sia la somma del segnale reale alm e della parte sperimentale anoiselm , eche i due siano scorrelati; inoltre se si suppone costante il rumore per pixelsi ricava subito che lo spettro del rumore e costante [18]; in definitiva:

dlm = alm + anoiselm (9.2)

< anoiselm a∗lm > = 0 (9.3)

< anoiselm (anoiselm )∗ > = 4π(σTpix)

2

Npixδll′δmm′ (9.4)

dove σ2pix e la varianza del rumore per pixel, mentre Npix e il numero di pixel

della mappa. Da questo si ricava:

< dlmd∗lm >=

(

CT l∣

∣

∣W bl

∣

∣

∣

2+ 4π

(σTpix)2

Npix

)

δll′δmm′ (9.5)

dove il fattore∣

∣

∣W bl

∣

∣

∣

2tiene conto degli effetti di risoluzione finita del fascio

sulla mappa (beam smearing) ed e generalmente ben approssimato da unandamento gaussiano, W b

l ' exp(

−l2/2σ2b

)

, dove σb = θFWHM/√

8 ln 2 =0.00742(θFWHM/1

) e θFWHM e l’ampiezza del fascio a mezza altezza delmassimo.

9.3. RUMORE DEGLI STRUMENTI 125

n, n , Q, T/ST

Ω, Ω , Λ, τ, hb

Pixel 1 Pixel 2 ∆T

6422347 6443428 -454.841

3141592 2718281 141.421

8454543 9345593 654.766

1004356 8345388 -305.567

... ... ...

TIME-

ORDERED

DATA

SKY

MAP

POWER

SPECTRUM

PARAMETER

ESTIMATES

10 000 000 000

NUMBERS

10 000 000

NUMBERS

10 000

NUMBERS

10

NUMBERS

~

~

~

~

W

E

COMPRESS

COMPRESS

COMPRESS

Figura 9.2: Schema esemplificativo della pipeline della CMB (dalla ref [44]).


Da questo si vede che una formula piu corretta per la stima dei Cl(unbiased estimator) e:

Cl =(

Dl − w−1T

) ∣

∣

∣W bl

∣

∣

∣

−2(9.6)

dove

Dl =∑

m

|dlm|22l + 1

(9.7)

avendo posto w−1T = 4π(σTpix)

2/Npix. Generalizzando alla polarizzazioneabbiamo:

< dXlm(dXlm)∗ >=

(

CXX′

l

∣

∣

∣W bl

∣

∣

∣

2+ w−1

XX′

)

δll′δmm′ (9.8)

dove X = T,E,B si riferisce alle varie mappe, mentre w−1XX′ = δXX′ w−1

XX

con w−1TT = 4π(σTpix)

2/Npix e w−1EE = w−1

BB = w−1P = 2π(σPpix)

2/Npix; infineper gli stimatori dei Cl si ricava:

CXX′

l =(

ˆDXX′

l − w−1XX′

) ∣

∣

∣W bl

∣

∣

∣

−2(9.9)

DXX′

l =∑

m

(dXlm)∗dX′

lm

2l + 1(9.10)

Oltre ai Cl, per il confronto con lo spettro teorico, abbiamo bisogno diconoscere anche i loro errori; le varianze e le covarianze sono dei momentiquarti della distribuzione, del tipo < almal′m′al′′m′′al′′′m′′′ > e fanno partedel cosiddetto trispettro; quello che ci servira, comunque, non e l’interotrispettro, ma solo una parte ridotta, la matrice di covarianza dei CXX

′

l ,vale a dire:

ΞAA′ =< (CAl − CAl )(CA′

l − CA′

l ) >=(

< DAl D

A′

l > −DAl D

A′

l

)

(9.11)

con A = XX ′.Generalizzando i metodi di calcolo precedenti per i Cl (vedi sempre [18]),

per i soli elementi non nulli di ΞAA′ si trova:

ΞXX,XX =(

∆CXXl

)2=

2

2l + 1

(

CXXl + w−1X

∣

∣

∣W bl

∣

∣

∣

−2)2

ΞTE,TE = (∆CCl)2 =

1

2l + 1

(

CCl + w−1T

∣

∣

∣W bl

∣

∣

∣

−2)(

CEl + w−1P

∣

∣

∣W bl

∣

∣

∣

−2)

(9.12)

per gli elementi diagonali, con XX = TT,EE,BB; mentre per gli elementinon diagonali

ΞTT,EE = ∆ (CT lCEl) =2

2l + 1C2Cl

ΞTE,TT = ∆ (CClCT l) =2

2l + 1CCl

(

CT l + w−1T

∣

∣

∣W bl

∣

∣

∣

−2)

ΞTE,EE = ∆ (CClCEl) =2

2l + 1CCl

(

CEl + w−1T

∣

∣

∣W bl

∣

∣

∣

−2)

(9.13)

9.4. CONFRONTO TRA TEORIA ED ESPERIMENTO 127

infine, i rimanenti, che coinvolgono la polarizzazione B sono nulli per lenote ragioni di simmetria.

E’ importante notare il fattore 2/(2l + 1) che compare in tutte le for-mule precedenti; questo rappresenta, in effetti, la varianza cosmica a cuiabbiamo accennato varie volte precedentemente. La varianza cosmica co-stituisce un limite teorico fondamentale alla precisione con cui si puo cono-scere lo spettro sperimentale: anche in un esperimento ideale, con coper-tura completa del cielo, risoluzione angolare infinita e nessun rumore deglistrumenti, i vari multipoli sarebbero determinabili al piu con una varianza∆C2

l = 2/(2l + 1) C2l . Questo limite e dovuto al fatto che possiamo osserva-

re una sola realizzazione, il nostro universo, dell’ensemble statistico da cuiderivano le fluttuazioni; anche assumendo isotropia, quindi, possiamo avereal piu 2l + 1 determinazioni indipendenti per ogni multipolo Cl.

Come si vede dalla formula, l’effetto della varianza cosmica e evidentesoprattutto ai multipoli piu piccoli e limita notevolmente la conoscenza deifenomeni importanti a larga scala, come la reionizzazione o il fondo di ondegravitazionali cosmologiche.

Un’altro punto da tenere presente e che la covarianza tra i Cl per l diversie in questo caso nulla; questo e conseguenza di una copertura completa delcielo e di un espansione delle anisotropie in armoniche sferiche che, per ldiversi, sono ortogonali; piu realisticamente, pero, un dato esperimento nonavra una copertura completa del cielo e vi sara in realta anche una certacorrelazione ad l diversi; vedremo piu avanti anche questo punto.

9.4 Confronto tra teoria ed esperimento

9.4.1 Statistica χ2

Con gli errori ∆Cl sullo spettro sperimentale Cl, il modo piu semplice diconfrontare spettro teorico e sperimentale e quello di calcolare il χ2 chescriviamo esplicitamente come:

χ2 = χ2(si) =∑

lAA′

(

CAl (si)− CAl) [

Ξ−1]

AA′

(

CA′

l (si)− CA′

l

)

(9.14)

dove si sono i parametri cosmologici e dove A,A′ = T,E,B,C. Da questola funzione di likelihood si scrive subito come [6]:

L = L(si) = A exp(

−χ2(si)/2)

(9.15)

con A fattore di normalizzazione tale che∫

dsL(si) = 1, in modo che L(si)si possa interpretare come distribuzione di probabilita degli si. Da L e poifacile ricavare i parametri di best fit ed i loro errori.

L’uso della (9.14) e giustificato solo se la distribuzione dei Cl e gaussiana;ma come sono distribuiti, in realta, i Cl? Trascuriamo per semplicita il


rumore e facciamo la ragionevole ipotesi che le fluttuazioni siano gaussiane(vedi §2.4); allora da

Cl =∑

m

|alm|22l + 1

(9.16)

e chiaro che i Cl hanno una distribuzione di χ2 con 2l + 1 gradi di liberta!Vale a dire

fν(χ2) = Aν exp

(

−χ2

2

)

(χ2)ν/2−1 (9.17)

dove ν sono i gradi di liberta e Aν una costante di normalizzazione. Piuprecisamente, per avere una distribuzione di χ2 la forma (9.16) deve esserenormalizzata come

(2l + 1)ClCl

=∑

m

|alm|2Cl

=∑

i

(x− xi)2σ2i

(9.18)

da cui la distribuzione dei Cl e la (9.17) dove, pero, χ2 = (2l + 1)Cl/C2l e

ν = 2l + 1.Ricordando che la varianza di fν(χ

2) e σ2χ2 = 2ν, ritroviamo il risultato

familiare

σ(Cl) =2

2l + 1Cl

2(9.19)

cioe la varianza cosmica!Sebbene la statistica χ2 non sia completamente corretta resta comun-

que di notevole utilita e puo essere impiegata, ad esempio, per un analisirapida, anche se approssimata: per il teorema del limite centrale, infatti,all’aumentare dei gradi di liberta, cioe per l elevati, la distribuzione dei Cltende comunque ad una gaussiana.

9.4.2 Statistica log-normale

Per una determinazione accurata dei parametri cosmologici l’uso della sta-tistica χ2 non e sufficiente e bisogna ricorrere alla piena distribuzione 9.17,corretta con il rumore degli strumenti; il confronto con la teoria diventa,pero, estremamente laborioso e, tipicamente, richiede un tempo di calcolotroppo elevato per un analisi in tempi ragionevoli; diventa quindi fondamen-tale trovare un’approssimazione della distribuzione che sia piu maneggevolee rapida da calcolare.

A questo proposito ricordiamo che una distribuzione gaussiana del tipoL(Cl) ∝ exp(−C2

l /2σl)e definita in termini di due soli parametri, la mediaCl e la varianza σl, quest’ultima interpretabile come curvatura del logaritmo

della distribuzione: −∂2 lnL(Cl)∂2Cl

= 1σ2

l

; l’errore δCl = σl e, quindi, in questo

caso, costante. Nel caso generale, invece, abbiamo trovato che l’errore deiCl e dato dalla varianza cosmica: δCl =

√

2/(2l + 1) Cl; l’errore, quindi non

9.4. CONFRONTO TRA TEORIA ED ESPERIMENTO 129

e costante ma dipende da Cl rispecchiando il fatto che al distribuzione realedei Cl non e gaussiana.

E’ facile, comunque, rimediare all’inconveniente: se consideriamo la quan-tita Zl = lnCl si ha δZl = δCl/Cl =

√

2/(2l + 1) che risulta, quindi, costantee giustifica, almeno approssimatamente, l’uso di una distribuzione gaussiananei Zl, cioe una distribuzione log-normale:

L(CL) ∝ exp

(

− Z2l

2δZ2l

)

(9.20)

Ovviamente il ragionamento euristico appena esposto puo essere reso piurigoroso; inoltre puo essere incluso il rumore; si trova [12] che, in generale,i ZL vanno scritti come Zl = ln(Cl + xl), dove gli xl sono un offset da de-terminarsi; ed inoltre che vi puo essere correlazione tra i vari Zl sotto formadi una matrice di covarianza M−1

ll′ , anch’essa da determinarsi. In definitiva,un’approssimazione piu appropriata della distribuzione complessiva dei Clsara:

L(Cl) ∝ exp

(

−1

2

∑

ll′

ZlMll′Zl′

)

(9.21)

detta offset log-normale.

Sottolineamo, comunque, che l’approssimazione log-normale viene im-piegata solamente per un confronto rapido tra dati e teoria; la distribuzionereale dei Cl, infatti, e nota e puo essere determinata generalizzando le con-siderazioni del paragrafo precedente [11]; il calcolo di questa distribuzione epiuttosto laborioso e richiede molto tempo,tuttavia questa va calcolata unavolta sola all’inizio; in seguito, i parametri della offset log-normale possonoessere determinati per confronto o da un fit e, in tutti i calcoli successivi (inparticolare nella costruzione della likelihood dei parametri cosmologici), siutilizzera questa forma approssimata.

E’chiaro il vantaggio di usare l’approssimazione log-normale per il calcolodella likelihood: in questo modo possiamo di nuovo usare la statistica gaus-siana e confrontare lo spettro teorico con quello sperimentale semplicementecalcolando un χ2, che sara, questa volta, quadratico nei Zl:

χ2(si) =∑

l

[

ln(Cl(si) + xl)− ln(Cl + xl)]

Mll′

[

ln(Cl′(si) + xl′)− ln(Cl′ + xl′)]

=∑

l

(

Zl(si)− Zl)

Mll′

(

Zl′(si)− Zl′)

(9.22)

in cui le caratteristiche dell’esperimento sono contenute interamente in xl eMll′ ; mentre la likelihood si scrivera, al solito,

L = L(si) = A exp

(

−1

2χ2(si)

)

(9.23)


Riassumendo, alla fine della fase di determinazione dello spettro, l’ana-lisi dei dati sperimentali fornisce non solo lo spettro migliore Cl, ma anchela distribuzione di probabilita relativa, che, con alcune ragionevoli approssi-mazioni, puo essere interamente caratterizzata dai parametri xl e Mll′ ; notiquesti e poi possibile calcolare il χ2 (9.22) per ogni spettro teorico del data-base precedentemente realizzato e, quindi, costruire la funzione di likelihood(9.23) per i parametri cosmologici da cui ricavare il valore migliore degli sied i loro errori.

Nel caso di WMAP il team addetto all’analisi dei dati, ha reso pubblica-mente disponibili tutti i dati: Cl, xl, Mll′ ; ed ha, anzi, fornito un codice che,dato uno spettro teorico, calcola il χ2. Il codice (disponibile al sito [59]) cal-cola fondamentalmente la formula (9.22), tenendo conto, inoltre, di alcunepiccole correzioni di cui non abbiamo discusso; una descrizione dettagliata,comunque, si puo trovare nella ref. [30].

Con la discussione relativa al calcolo della funzione di Likelihhod ab-biamo, in pratica, esaurito le conoscenze teoriche necessarie per la stimadei parametri cosmologici; possiamo, quindi, finalmente descrivere il lavoronumerico svolto che esporremo nei prossimi paragrafi.

9.5 Fit dei dati e stima dei parametri cosmologici

E’, infine, tutto pronto per realizzazione del fit da cui stimare i parametricosmologici.

Nei capitoli precedenti, abbiamo ampiamente descritto come ricavare lospettro teorico a partire dai parametri cosmologici; nel presente capitolo,invece, ci siamo soffermati sui dati sperimentali e sul loro confronto con lateoria che avviene tramite la funzione di likelihood L(si); questa va calcolataper punti su un database di spettri precedentemente costruito ed, infine,analizzata per ricavare i parametri cosmologici ed i loro errori.

Il passo successivo, quindi, e la costruzione di un database. Nel nostrocaso, il database di spettri teorici e stato calcolato usando CMBFAST sullagriglia di parametri:

densita barionica ωb = Ωbh2, 0.020÷ 0.029, ∆ωb = 0.0015

cold dark matter ωc = Ωch2, 0.023÷ 0.226, ∆ωc = 0.011

parametro di Hubble h, 0.6÷ 0.8, ∆h = 0.017

profondita ottica τ, 0÷ 0.4, ∆τ = 0.05

indice scalare ns, 0.8÷ 1.2, ∆ns = 0.036

densita di particelle relativistiche Nν , 0÷ 9, ∆Nν = 1

normalizzazione Amp, 6.5÷ 9.5, ∆Amp = 0.2 .

dove oltre ai parametri introdotti precedentemente, abbiamo consideratoNν ,la densita numerica di particelle relativistiche (un numero che, generalmente

9.5. FIT DEI DATI E STIMA DEI PARAMETRI COSMOLOGICI 131

Figura 9.3: I punti sperimentali degli spettri T e TE come ricavati dai datidi WMAP; vengono anche riportati il modello di best fit (linea continua) ela varianza cosmica (ombreggiata). (dalla ref. [33])


viene assunto = 3.04 ed e, in pratica, il numero di neutrini non massivi [37])e Amp, cioe la normalizzazione complessiva dello spettro, di cui discuteremomeglio successivamente; la curvatura Ωk, invece, viene assunta nulla pertutti gli spettri. Complessivamente, il database ammonta a ∼ 107 modelli!

Per ogni spettro del database e stata poi calcolata la likelihood:

L = L(ωbi, ωcj , hk, κl, nsm, Nνn, Ampo) (9.24)

che e, quindi, nota per punti.Come discusso diffusamente in precedenza, il tempo necessario a com-

pletare l’analisi e, in linea di principio, estremamente lungo; per velocizzarel’analisi abbiamo descritto vari metodi come l’integrazione lungo la linea divista per il calcolo dello spettro o l’approssimazione log-normale per la like-lihood; il tempo necessario, in questo modo e stato ridotto notevolmente eportato entro limiti ragionevoli, anche se rimane ancora notevole: in defini-tiva, (con gli attuali strumenti a disposizione) un’analisi completa richiede∼ 2 settimane!

Un po’ di numeri: il calcolo di uno spettro teorico richiede su un PC∼ 1 secondo; per 107 modelli sono in totale necessarie ∼ 16 settimane; icalcoli sono stati, pero, eseguiti su un cluster di computer costituito da 8processori consentendo di ridurre il tempo a 2 settimane; tuttavia, gli spettrirelativi a diversi Amp non devono essere ricalcolcolati con CMBFAST ma siottengono semplicemente moltiplicando per Amp uno spettro fisso; anche glispettri relativi ai vari ns si calcolano velocemente: questi, infatti, differisconosolo per lo spettro iniziale P (k), mentre la funzione di trasferimento ∆l(k)e la stessa per tutti i modelli; in definitiva, il tempo di calcolo viene ridottodi un fattore ∼ 100 e portato a solo poche ore.

Anche il calcolo di un punto della likelihood richiede ∼ 1 secondo; tut-tavia, in questo caso, le semplificazioni precedenti non valgono ed il temponecessario rimane ∼ 2 settimane; complessivamente, dunque, il tempo richie-sto per l’intera procedura di analisi (database+likelihood) e ∼ 2 settimaneed e, in pratica dominato dal calcolo della likelihood.

Il problema del tempo e stato determinante nel forzare la scelta di ununiverso spazialmente piatto (Ωk = 0). La fisica della CMB per Ωk 6= 0 econcettualmente identica a quella che abbiamo sviluppato per Ωk = 0; tutta-via il calcolo deve essere svolto con molta piu accuratezza e la campionaturadelle funzioni in gioco deve essere molto piu densa; di conseguenza il calcolodi uno spettro tipico con Ωk 6= 0 non richiede qualche secondo, ma qual-che minuto, cioe un fattore 102 in piu! E’ chiaro, quindi, che includere glieffetti della curvatura richiede risorse informatiche decisamente superiori oapprossimazioni drastiche; nel nostro caso, per semplicita, abbiamo preferitoassumere curvatura nulla.

Il risultato finale e, dunque, rappresentato dalla funzione di likelihoodche, nel nostro caso, e 7-dimensionale. La L(si) e la distribuzione di pro-babilita dei parametri cosmologici; il modo piu semplice per visualizzare i

9.5. FIT DEI DATI E STIMA DEI PARAMETRI COSMOLOGICI 133

Figura 9.4: Likelihood bidimensionali in tutte le possibili coppie di para-metri; le likelihoods sono in forma di contour a livelli arbitrari, indicatividell’andamento della funzione; i ripple visibili in vari grafici non sono fisici,ma sono conseguenza della risoluzione finita con cui si e esplorata la funzionedi likelihood, cioe le dimensioni tipiche della griglia utilizzata. Mentre le li-kelihoods unidimensionali forniscono l’errore assoluto sul singolo parametro,da quelle bidimensionali e possibile ricavare un’indicazione della degenera-zione tra 2 parametri e l’influenza sul risultato finale; add esempio e chiarodai contour come ci sia una forte degenerazione tra Nnu e ωc e Nν e h; nelladeterminazione del limite finale su Nν sono, quindi, importanti anche i priorscelti ed in particolare quello su h.


risultati e, quindi, quello di calcolare da essa le distribuzioni in dimensioniinferiori, in particolare quelle bidimensionali per ogni coppia di parame-tri e quelle unidimensionali, una per ogni parametro. Queste si ottengonomarginalizzando, ovvero integrando sui parametri rimanenti:

L1d(si) =

∫

ds1 . . . dsi−1dsi+1 . . . dsN L(s1 . . . si . . . sN ) (9.25)

L2d(si, sj) =

∫

ds1 . . . dsi−1dsi+1 . . . dsj−1dsj+1 . . . dsN L(s1 . . . si . . . sj . . . sN )(9.26)

(9.27)

Nelle figure vediamo i risultati: le likelihood unidimensionali dei singoliparametri e quelle bidimensionali tramite i loro contour plot. Da queste siricavano facilmente il best fit con gli errori che viene riportato in tabella.

Da notare che la costante di Hubble non compare nella tabella; il suorange di variazione, infatti, e molto ristretto ed e, in effetti, un prior cheabbiamo assunto sulla base di evidenze diverse da quelle della CMB, in par-ticolare i dati sulle supernove di tipo Ia che stabiliscono h = 0.72±0.02 (1σ)[14]. In figura, la likelihood di h e sostanzialmente piatta indicando che laCMB non favorisce nessun valore particolare all’interno di questo range.

Rimandiamo, per il momento, il commento dei risultati; ci soffermeremo,invece, sulla discussione di alcune difficolta relative al calcolo della likelihoode alle tecniche numeriche.

9.6 Commenti sulla normalizzazione

Lo spettro primordiale P (k) = Ampkns−4 non e definito solo in termini

di ns, l’indice scalare, ma anche di Amp, la normalizzazione complessiva;questa si fattorizza nella formula (4.118) per i Cl e costituisce, quindi, anchela normalizzazione dello spettro di potenza attuale. Per poter confrontarespettro teorico e sperimentale, Amp va trattato come un generico parametrodello spettro ed inserito tra i parametri di fit anch’esso con un suo range divariazione ed un suo step.

E’ subito evidente, pero, che la normalizzazione Amp ha una natura di-versa dagli altri parametri cosmologici, e non e direttamente interpretabile.

ns ωc ωb τ Neff

marginalizzati (2σ) 0.98+0.11−0.09 0.11+0.09

−0.06 0.023+0.004−0.002 0.12+0.22

−0.09 2.6+3.9−2.4

best fit 0.982 0.115 0.023 0.15 3.0

Tabella 9.1: Limiti sui parametri cosmologici come ricavati dalle distribu-zioni marginalizzate (gli errori sono a 2 σ); sono anche riportati i valori delbest fit.

9.6. COMMENTI SULLA NORMALIZZAZIONE 135

0.020.0220.0240.0260.028

Lwb

0 0.05 0.1 0.15 0.2LCDM

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Lk

0.8 0.9 1 1.1 1.2

Lns

0 2 4 6 8

Neff

6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5

Amp

Figura 9.5: Likelihood marginalizzate unidimensionali per i vari parametricosmologici; la scala dell’asse y e arbitraria.


Per far variare Amp, infatti, e, in ogni caso, necessario scegliere un criterioper normalizzare lo spettro teorico . Se cosı non fosse, ogni spettro teoricosarebbe normalizzato in maniera arbitraria ed ogni volta sarebbe necessariofar variare Amp in un range differente; sebbene questo sia, in linea di prin-cipio, possibile, il procedimento diventerebbe poco controllabile e, quanto-meno, poco trasparente; con un criterio di normalizzazione, invece, il rangedi variazione e unico, e Amp diventa a tutti gli effetti, un parametro di fit.

Varie scelte sono possibili per il criterio di normalizzazione; la nostrae stata quella di usare una routine di CMBFAST, COBENORMALIZE: inpratica, la routine considera i primi 30-40 multipoli dello spettro teorico,cioe il range sondato da COBE, e determina la normalizzazione da un fitcon i dati di COBE stesso, tramite una particolare formula approssimata(Bunn e White fitting formula).

Sebbene la scelta della normalizzazione sia, fondamentalmente, arbitra-ria, per non complicare eccessivamente l’analisi dei dati, deve almeno cerca-re di soddisfare un criterio: gli effetti dei parametri cosmologici non devonoessere degeneri con un semplice cambio di normalizzazione.

Con COBENORMALIZE questo criterio e soddisfatto solo in parte; in-fatti, una normalizzazione a bassi l e sicuramente degenere con un effettoche puo produrre fluttuazioni a larghe scale, ad esempio l’effetto Sacks-Wolfeintegrato, e, quindi, con i parametri che lo descrivono, cioe, fondamental-mente, ωm e h che caratterizzano l’epoca della materia, l’unica importantea queste scale. Dai contour in figura, in effetti, la degenerazione tra Amp eωc e evidente, mentre quella tra Amp e h non e visibile a causa dello strettorange di variazione di questo parametro.

Sono, ovviamente, possibili altre scelte per la normalizzazione che nonpresentano questo inconveniente; in generale, pero, un certo grado di degene-razione sembra inevitabile. Altri esempi con relativa discussione si possonotrovare in [13].

9.7 Discussione dei risultati

La principale caratteristica che risalta dai grafici riassuntivi precedenti ela presenza di degenerazioni. Come abbiamo gia avuto modo di chiarire,queste sono dovute al fatto che la CMB dipende direttamente, piu che daiparametri cosmologici, da alcuni parametri ”fisici” come DLSS , la distan-za dalla superficie di ultimo scattering, o lpeak il multipolo del primo piccoacustico. I parametri fisici (di cui quelli fondamentali non sono molti) so-no funzione degli usuali parametri cosmologici; richiedendo spettri uguali,cioe parametri fisici uguali, imponiamo dei vincoli che individuano, appunto,linee di degenerazione nello spazio dei parametri cosmologici. Se le degene-razioni fossero esatte, le misure della CMB potrebbero determinare solo iparametri fisici e nei contour plot vedremmo delle linee estese che non si

9.7. DISCUSSIONE DEI RISULTATI 137

chiudono a limitare definite regioni dello spazio dei parametri; in pratica,comunque, le degenerazioni non saranno mai perfette, ma vari effetti con-tribuiranno a risolverele (ad esempio l’effetto Sacks-wolfe integrato nel casodella degenerazione Ωk-ΩΛ), individuando, infine, dei contour chiusi.

Avendo assunto nella nostra analisi Ωk = 0 non vi e possibilita di studiarela degenerazione geometrica tra Ωk e ΩΛ; altre degenerazioni sono comunqueevidenti; l’indeterminazione nella posizione del primo picco si traduce in unadegenerazione tra i parametri che caratterizzano l’epoca della materia cioeh e ωm (nel primo capitolo erano, equivalentemente, Ωm e ΩΛ) ed e visibilenei contour che coinvolgono ωc, ωb e h.

Con dei dati piu precisi, come quelli di PLANCK, molte di queste dege-nerazioni possono essere ridotte (non quelle geometriche, pero!); in generale,comunque, il guadagno di informazione ottenibile e modesto rispetto al no-tevole impegno necessario; il modo migliore per eliminare le degenerazioni e,in realta, ricorrere ad esperimenti alternativi, sensibili a differenti parametrifisici: dall’intersezione delle linee di degenerazione dei vari esperimenti, siriesce, infine, ad avere una determinazione accurata dei singoli parametricosmologici. Attualmente, vi sono vari esperimenti di questo tipo: ad esem-pio lo studio dello spettro di potenza della distribuzione di materia attuale(Il Large Scale Survey) particolarmente sensibile ai neutrini massivi, o, so-prattutto l’analisi della relazione luminosita-redshift nelle supernove di tipoIa, che fornisce una determinazione diretta di h e del parametro di decele-razione (a/a2)0 [14]; nella nostra analisi stessa abbiamo, in pratica, assuntoil valore di h suggerito da questo esperimento.

Dai risultati notiamo anche l’importanza del ruolo della polarizzazione;la presenza della varianza cosmica limita notevolmente la quantita di infor-mazione disponibile a larghe scale; l’informazione contenuta nella polarizza-zione e, allora, essenziale per chiarire gli effetti importanti a piccoli multipolicome la reionizzazione o la produzione di onde gravitazionali cosmologiche(che non abbiamo esaminato qui, ma che contribuisce solo a larghe scale). Ineffetti, come si vede dalla figura la determinazione di κ e interamente dovutaagli effetti sulla polarizzazione, ed il solo uso dello spettro di temperaturaconsente, al piu, di porre un limite superiore al suo valore.

Grazie ai dati di WMAP, abbiamo ottenuto una determinazione note-volmente accurata dei parametri cosmologici; i risultati ottenuti, comun-que, non indicano sostanziali rivoluzioni, e confermano il modello andatodelineandosi in base ai precedenti dati, soprattutto quelli di BOOMERanG.

Per mostrare i risultati in una forma piu chiara possiamo passare daiparametri fin qui usati, utili per l’analisi, alle usuali frazioni in termini didensita critica Ωi, vale a dire:

Ωb = ωb/h2

Ωc = ωc/h2


0 0.1 0.2 0.3 0.4LksolospettroT

0 0.1 0.2 0.3 0.4

LkSpettroTeC

Figura 9.6: Likelihood per il parametro κ tenendo conto della polarizzazionee con l’uso del solo spettro di temperatura; in quest’ultimo caso, come sivede, non vi e detezione di κ.

ΩΛ = 1− ωc + ωbh2

Traducendo i dati ottenuti, l’universo emerso dal fit dei parametri cosmolo-gici e sostanzialmente costituito da energia oscura (∼ 70%) e materia oscura(∼ 25%), mentre l’ordinaria materia barionica, visibile con i rivelatori, e so-lo una parte trascurabile dell’energia complessiva. Con i risultati sull’indicescalare ns e l’ampiezza Amp, invece, abbiamo varie conseguenze per la faseinflazionaria; in questo caso sia un test del quadro generale delineato dal-l’inflazione (il successo nella previsione delle anisotropie a partire da modiche ”rientrano” nell’orizzonte, una forte ipotesi dell’inflazione sulla struttu-ra causale dell’universo) e sia un limite sullo spazio dei parametri e sullagrande varieta di modelli specifici possibili tra i quali e difficile scegliere susole basi teoriche.

Nel sottolineare questi successi non bisogna pero dimenticare che i risul-tati ottenuti dipendono sensibilmente dall’assunzione di adiabaticita dellecondizioni iniziali; d’altra parte assumendo condizioni iniziali generiche cer-cando di determinarle dal fit aumenta eccessivamente il numero di parametricoinvolti e l’errore con cui si possono ottenere, rendendoli, in pratica pri-vi di significato [16]. Fortunatamente, comunque, la disponibilita di datipiu precisi, soprattutto quelli di PLANCK, consentira di avere ragionevolideterminazioni sia dei parametri cosmologici che delle condizioni iniziali .

Oltre ai successi vogliamo, infine, far notare una singolare discrepanzatra i dati di partenza ed il best fit ottenuto: se calcoliamo il quadrupolocorrispondente ai parametri di best fit (il modello viene usualmente indicatocome ΛCDM ) ci accorgiamo che il valore predetto e ∼ 5 σ superiore a quellosperimentale! Come spiegare questa discrepanza? In realta, abbiamo vistoche a piccoli l la distribuzione dei Cl e molto poco gaussiana e presentauna notevole asimmetria; se calcoliamo la probabilita di ottenere un valoresuperiore a quello predetto in base alla reale distribuzione otteniamo ∼ 20%,che e piu che accettabile [11]. La discrepanza, quindi, ha una naturale

9.8. CONCLUSIONI 139

spiegazione, anche se dei dubbi rimangono; nei punti sperimentali, infattie chiaramente presente un ”trend” per cui vi e un massimo per l = 5-6ed un andamento decrescente fino ad l = 2, andamento non previsto dalmodello di best fit (vedi figura (9.4.2)). Naturalmente, a causa della grandevarianza cosmica a queste scale, tutto puo essere spiegato in termini difluttuazioni statistiche; tuttavia, gli indizi fanno pensare il contrario e laspiegazione del basso quadrupolo potrebbe trovarsi in nuova fisica [29]; inuovi dati sperimentali, soprattutto quelli sulla polarizzazione a basse scale,contribuiranno a diminuire gli errori e potranno forse mostrare se vi e unareale inconsistenza.

9.8 Conclusioni

Nella prima parte della tesi ci siamo ampiamente soffermati sulla previsioneteorica dello spettro. L’esposizione e stata molto generale partendo dai con-cetti basilari come la cosmologia, il formalismo delle funzioni di correlazionee la teoria perturbativa, per poi finalmente sviluppare le equazioni che de-scrivono l’evoluzione delle fluttuazioni e dunque lo spettro attuale. La fisicarelativa e notevolmente complessa; per semplicita di esposizione ci siamolimitati ai concetti fondamentali trascurando questioni piu tecniche, anchese di notevole interesse, come la derivazione dei risultati sulla polarizzazioneo la giustificazione rigorosa di alcune complicazioni dovute all’invarianza digauge.

Lo scopo, comunque, e stato di dare una descrizione generale della fisicadella CMB, in modo da avere una comprensione, almeno qualitativa, di qualesia la corrispondenza tra i parametri cosmologici e la struttura dello spettrodi potenza della temperatura e della polarizzazione el’evoluzione delle flut-tuazioni. L’analisi numerica dell’ultimo capitolo, infatti, e sostanzialmenteindipendente dal contesto teorico e puo essere applicata, in linea di prin-cipio, ad altri dati (come lo spettro di potenza della materia o la LymanAlpha forest). Tuttavia, gli stessi dati sarebbero molto meno interessantise non si riferissero alla struttura dell’universo e alle condizioni presenti neisuoi primi istanti; e quindi fondamentale la descrizione del contesto in cuiquesti risultati vanno interpretati.

La parte originale della tesi e proprio l’analisi numerica; nel capitolo re-lativo, oltre a descrivere i risultati, ci siamo soffermati sui modelli necessariper l’analisi statistica e sull’effetto degli strumenti sulle misure, che, perquesto tipo di esperimenti, deve essere tenuto necessariamente in considera-zione. Abbiamo, inoltre, evidenziato i numerosi problemi pratici riscontratidurante il lavoro e il metodo con cui sono stati risolti.

I risultati ottenuti sono di notevole interesse; propongono, infatti, allacosmologia un nuovo modello standard (ΛCDM) in cui l’energia dominantee sotto forma di costante cosmologica e materia oscura non barionica e de-


terminano, inoltre, condizioni restrittive sui possibili scenari inflazionari; laquestione di cosa sia pero, realmente la costante cosmologica o la materiaoscura rimane aperta e costituisce una forte spinta per indagini future.

L’analisi svolta puo decisamente essere migliorata; uno degli obiettivifuturi e quello di costruire il database direttamente nei parametri fisici: inquesto modo il problema delle degenerazioni viene notevolmente ridotto ei punti necessari per un’analisi corretta diminuiscono notevolmente; i puntiin piu possono quindi utilmente servire ad indagare altri parametri comela curvatura o, soprattutto, le condizioni iniziali, che hanno ormai assuntoun’importanza cruciale.

Infine, si cerchera di velocizzare ulteriormente l’analisi con l’impiego ditecniche di esplorazione random della funzione di likelihood (MonteCarloMarkov Chain) che non utilizzano griglie ma concentrano i punti laddovela likelihood e maggiormente variabile, utilizzandoli, quindi, in maniera piurazionale.

Questi miglioramenti sono sicuramente necessari in vista dei nuovi e piuprecisi dati di WMAP e PLANCK che richiederanno, per essere interpretati,un’analisi proporzionalmente accurata.

Appendice A

Modello per la velocita del

suono in un universo di

radiazione e materia

Un universo in cui consideriamo l’evoluzione di radiazione e materia si pre-senta semplicemente come un caso particolare della teoria che abbiamo de-scritto nel capitolo 8; in questo caso, il fluido complessivo avra una pressio-ne p = p(ρ, S) funzione non solo della densita ma anche dell’entropia e lavelocita del suono sara data da:

δp = c2sδρ+ τδS (A.1)

c2s =∂p

∂ρ

)

S

(A.2)

τ =∂p

∂S

)

ρ(A.3)

dove, inoltre, τ sara un coefficiente che misura la dissipazione di energia incalore cioe la viscosita del fluido.

Nel nostro caso, nell’epoca dominata dalla radiazione, possiamo tra-scurare il contributo della materia alla pressione complessiva ed assumereche:

δp = δpr = δρr/3 (A.4)

δρ = δρr + δρm (A.5)

L’entropia prodotta, come mostrato nel capitolo 8, sara data da:

δS

S=

3

4

δρrρr

+δρmρm

(A.6)

Queste relazioni sono sufficienti a calcolare il differenziale δp; svolgendo icalcoli si trova che:

δp = c2sδρ+ τδS (A.7)

141

142APPENDICE A. MODELLO PER LA VELOCITA DEL SUONO IN UN UNIVERSO DI RADIAZIONE

c2s =1

3

(

1 +3ρm4ρr

)−1

(A.8)

τ =1

3Sρmc

2s (A.9)

In effetti, poiche ρm ∝ a−3 e ρr ∝ a−4 si ha c2s = (1 + a/α)−1/3, dove αcontiene tutti i vari fattori costanti; questo andamento e un’interpolazionetra l’epoca della radiazione in c2s = 1/3 come ci si aspetta per un fluidorelativistico, e l’epoca della materia (a α) in cui cs ' 0 come per unfluido di materia non relativistica.

Questo esempio illustra bene quanto trovato nel capitolo 8: sebbenel’evoluzione dei singoli fluidi sia adiabatica (δpm = 0, δpr = δρr/3)il flui-do complessivo puo presentare invece effetti di dissipazione (τ 6= 0)dovutiall’attrito tra le varie componenti.

Appendice B

Armoniche Sferiche

Spinoriali

Abbiamo visto nel capitolo 5 come la polarizzazion della radiazione cosmicadi fondo sia descritta in termini statistici dalla marice di polarizzazione che e,in definitiva, un tensore di rango 2 sulla sfera. Per descrivere queste quantita,le sole armoniche sferiche, adatte ad espandere una funzione scalare, nonsono sufficienti, ma bisogna introdurre le armoniche sferiche spiniriali. Lateoria di queste funzioni e descritta accuratamnte nelle referenze [51] e [52];i questa appendice ci limitiamo a darele definizioni e le principali proprietache abbiamo utilizzato durante la tesi.

Pe essre generali consideriamo un generico spin s; alla direzione n sullasfera e associata una base per i vettori data da (e1, e2); una funzione sf(θ, φ)e detta di spin s se per una rotazione in senso antiorario (right-handed) diun angolo ψ di (e1, e2) si trasforma come sf

′(θ, φ) = e−isψsf(θ, φ); ad esem-pio, dato un vettore b le quantita b· (e1 + ie2), b·n, b· (e1 − ie2), hanno,rispettivamente spin 1, 0 e −1.

Indichiamo con sYlm(θ, φ) le armoniche sgeriche di spin in cui espandiamo

una funzione di spin s come sf(θ, φ); le sYlm(θ, φ) hanno le stesse proprieta

di ortogonalita e completezza delle usuali armoniche sferiche:

∫ 2π

0dφ

∫ 1

−1d cos θ sY

∗l′m′(θ, φ) sYlm(θ, φ) = δl′lδm′m

∑

lm

sY∗lm(θ, φ) sYlm(θ′, φ′) = δ(φ− φ′)δ(cos θ − cos θ′).(B.1)

La proprieta che maggiormente ci interessa, comunque, e l’esistenza di dueoperatori ′∂ e ′∂ che agendo su sY

lm(θ, φ) possono rispettivamente aumen-

tare o diminuire di un unita lo spin, vale a dire ( ′∂ sf)′ = e−i(s+1)ψ ′∂ sf ,

( ′∂ sf)′ = e−i(s−1)ψ ′∂ sf ; ′∂ e ′∂ operano in maniera analoga agli aperatoria gradino L± della meccanica quantistica che agiscolno sulla terza compo-nente del momento angolare cambiandola di un’unita; possiamo scrivere la

143

144 APPENDICE B. ARMONICHE SFERICHE SPINORIALI

loro espressione esplicita come:

′∂ sf(θ, φ) = − sins(θ)

[

∂

∂θ+ i csc(θ)

∂

∂φ

]

sin−s(θ) sf(θ, φ)

′∂ sf(θ, φ) = − sin−s(θ)

[

∂

∂θ− i csc(θ) ∂

∂φ

]

sins(θ) sf(θ, φ) (B.2)

in particolare per funzioni dipendenti da θ tramite µ = cos θ e da φ solotramite e±imφ come nel caso del capitolo 7 si ha:

′∂ 22f(µ, φ) =

(

−∂µ+m

1− µ2

)2 [

(1− µ2) 2f(µ, φ)]

′∂ 2−2f(µ, φ) =

(

−∂µ− m

1− µ2

)2 [

(1− µ2) −2f(µ, φ)]

, (B.3)

Gli operatori ′∂ e ′∂ consentono di esprimere le sYlm in termini delle usuali

armoniche sferiche; tenendo conto delle opportune normalizzazioni, si ha:

sYlm =

[

(l − s)!(l + s)!

]

12

′∂ sYlm , (0 ≤ s ≤ l)

sYlm =

[

(l + s)!

(l − s)!

]

12

(−1)s ′∂ −sYlm , (−l ≤ s ≤ 0). (B.4)

E’ anche possibile ricavare una forma piu esplicita; in particolare risulta:

sYlm(n) = eimφ[(l +m)!(l −m)!

(l + s)!(l − s)!2l + 1

4π

]1/2sin2l(θ/2)

×∑

r

(

l − sr

)(

l + s

r + s−m

)

(−1)l−r−s+mcot2r+s−m(θ/2). (B.5)

questa forma risulta comunque poco maneggievole; nel caso particolare s =±2, invece, che e quello di maggiore interesse, si puo scrivere:

(B.6)

Infine, da queste espressioni, e facile verifgicare che le armoniche sferiche dispin soddifano le seguenti utili identita:

sY∗lm = (−1)s−sYl−m

′∂ sYlm = [(l − s)(l + s+ 1)]12 s+1Ylm

′∂ sYlm = − [(l + s)(l − s+ 1)]12 s−1Ylm

′∂ ′∂ sYlm = −(l − s)(l + s+ 1) sYlm . (B.7)

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