7/17/2019 Radicali Si Logaritmi

http://slidepdf.com/reader/full/radicali-si-logaritmi 1/3

Radicali şi logaritmi 

1. Arătaţi că: 

a)14

1

7

85

2

7142   ; b) 362526113   ;

c) 321241286   .

2.  Se consideră numerele a 2 2  şi  b 2 2 . Arătaţi că 2

a

 b   Q.

3.  Arătaţi că numărul 24622321217a    este raţional. 

4.  Determinaţi a, b  Q, ştiind că )21( ba)21( 2 .

5.  Fiex1x

1

x1x

1)x(E

. a) Determinaţi x pentru care E(x) este definită.

 b) Arătaţi că1x2

x12)x(E

. c) Calculaţi  

  

 4

3E .

6. Aduceţi la o formă mai simplă: 

a) 2223 ; b) 3 6

36 18 :

2

; c) 422312   .

7. a) Calculaţi

7

8

12

42

3

x

y:

xy

yxE

 

  

   pentru x = 10 şi y = 2. 

 b) Arătaţi că numărul12

9

33

4

33

16

23

274a  

 este raţional. 

8. a) Fie 1684 2222a    şi 16 2 b  . Arătaţi că a  b este număr raţional. 

 b) Arătaţi că 635371553a     Q.

9. Arătaţi că 3

3322

124

1

12

1

.

10*. Considerăm numărul real 33

257257a   .

a) Arătaţi că a3 = 14 – 3a.

 b) Arătaţi că a3 + 3a – 14 = (a – 2)(a

2 + 2a + 7).

c) Demonstraţi că a  Q.

11. Ordonaţi crescător numerele 43 5,4,2 .  (Variante Bac, 2009)

12. Comparaţi numerele:

7/17/2019 Radicali Si Logaritmi

http://slidepdf.com/reader/full/radicali-si-logaritmi 2/3

Enunţuri  Error! No text of specified style in document. 

2

a) 21a    şi 3

32 b   ; b)*  44 53a    şi  44 62 b   .

13.  Ordonaţi crescător numerele  2c,16

1log b,27a

2

3 .  (Variante Bac, 2009)

14. a) Arătaţi că numărul 3

34279log16loga    este natural. 

 b) Demonstraţi că numărul 3

492log3loga    este raţional.  (Variante Bac, 2009)

15. Calculaţi:  a) b – a, unde a = log23 şi 

 b = log26; b)2 10

lg lg ... lg ;1 2 9

 

c) 3log2)75(log)75(log222

  . (Variante Bac, 2007)

16. Aduceţi la o formă mai simplă: 

a) 3log9log3

13  ; b)

8log

3

4log

2

2log

1

2793

; c) 5log3log5log3log117711

  .

17. Arătaţi că numărul a este raţional, unde:

a) a = log25100  log1625 – 2log165; b)* 

2log

192log

2log

24loga

12

2

96

2 ;

c) a = log2725  log49  log58 ; d) 2 3 11 1

2

1a log 3 log 4 ... log 12 log 6

2 .

18. Arătaţi că numărul625

3log

32

9loga

3

13

 este natural.

19. Demonstraţi că:  a) log34 > log43; b)2

55log

4

92

  ; c)* log34 > log45. 

(Variante Bac, 2007) 

20. Demonstraţi că: a) 2   )5,4(log3

; b) )5log,2(32

3 ;

c)*    2, 2 log 3, .  (Variante Bac, 2009)

21. Calculaţi partea întreagă a numărului log2500. (Variante Bac, 2008) 

22. a) Arătaţi că 23log2

32

  .

 b) Calculaţi partea întreagă a numărului a = log23 + log32.

23.  Dacă log32 = a, calculaţi log1218 în funcţie de a. 24

*. Dacă log40100 = a, calculaţi log2050.

25. Calculaţi: a) 32lg 27100   ; b)lg7 310 343.   (Variante Bac,

2008)

26. Se consideră a, b  R*+ astfel încât a2 + 4b2 = 12ab. Arătaţi că 2lg(a + 2b) – 4 lg 2 = lg a + lg b. 

(Variante Bac, 1999)

7/17/2019 Radicali Si Logaritmi

http://slidepdf.com/reader/full/radicali-si-logaritmi 3/3

Radicali şi logaritmi

3

27*. Fie a, x  (0, ), a  1. Arătaţi că 3 15 24n 1 aa a a

nlog x log x ... log x log x

2n 1

, n  N*.

28*. Fie a, b, c, x numere reale strict pozitive şi diferite de 1. Arătaţi că a, b, c sunt termeni consecutivi

ai unei progresii geometrice dacă şi numai dacăa b c

1 1 1, ,

log x log x log x sunt termeni consecutivi

ai unei progresii aritmetice.  (Variante Bac, 1999)

***

1. a) Arătaţi că (a + b + c)3 = a

3 + b

3 + c

3 + 3(a + b)(b + c)(c + a), pentru orice a, b, c  R.

 b) Rezolvaţi, în R, ecuaţia 8xx)2xx( 3933 .

c) Aflaţi soluţiile reale ale ecuaţieixxx3xxx 125278)532(   . (Variante Bac, 2005) 

2*.  Rezolvaţi ecuaţia x2

  2x+1 + 2

x–3+2 = x

2  2x–3+4

 + 2x–1

.  (Variante Bac, 1999) 

3.  Rezolvaţi inecuaţiax3x

)1x3x2ln(2

2

  0.  (Variante Bac, 1998) 

4*.  Rezolvaţi sistemele: a)

6324

1954

yxx

yx

; b)

3lg4lg

ylgxlg

)y3()x4(

43.  (Variante Bac, 1998) 

5. Determinaţi suma primilor 9 termeni ai unei progresii geometrice cu termeni pozitivi, pentru caretermenii al treilea şi al cincilea sunt cea mai mică, respectiv cea mai mare soluţie a ecuaţiei

)11x101(log)]2x3(log1[21

44   .  (Variante Bac, 1999) 

6. Se consideră inegalitatea loga(x2 – x – 2) > loga(–x

2 + 2x + 3), a > 0, a  1.

a) Determinaţi valorile lui x pentru care are sens inegalitatea.

 b) Ştiind că inecuaţia admite soluţia x =4

9, d eterminaţi a.

c) Rezolvaţi inecuaţia pentru a  (0, 1). (Variante Bac, 1999) 

7*. Se consideră inegalitatea 1 + log5(x

2 + 1)  log5(ax

2 + 4x + a), a parametru real.

a) Dacă a = 3, aflaţi x pentru care inegalitatea este adevărată.

 b) Determinaţi pentru care inegalitatea este adevărată oricare ar fi x  R. (Variante Bac, 1999)