Raffaele SANTOROraffaelesantoro.weebly.com/.../trigonometria2007.pdf · 2016-10-16 · Raffaele SANTORO Elementi di trigonometria Scuola Europea di Lussemburgo - Anno Scolastico 1992-93/Seconda

Raffaele SANTORO

Elementi di trigonometria

Scuola Europea di Lussemburgo - Anno Scolastico 1992-93/Seconda edizione 2010

R. SANTORO:Elementi di trigonometria 2

1993/2010 - Tutti i diritti riservati

Riproduzione vietata con ogni mezzo


Indice

INTRODUZIONE ....................................................................................................................................................................... 4 NOTE SULLA SECONDA EDIZIONE ................................................................................................................................................ 4 1 MISURA DEGLI ANGOLI ......................................................................................................................................................... 5

Esercizi ........................................................................................................................................................................... 5 2 DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE SIN, COS, TAN E COT. ............................................................................................. 6 3 RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA E PRIME CONSEGUENZE ...................................................................................... 8

Esempi ............................................................................................................................................................................ 9 Esercizi ........................................................................................................................................................................... 9

4 RIDUZIONE AL PRIMO QUADRANTE ED AL PRIMO OTTANTE ......................................................................................................... 10 Esercizio ....................................................................................................................................................................... 11

5 CALCOLO DI FUNZIONI GONIOMETRICHE PER ANGOLI PARTICOLARI ............................................................................................... 11 Esercizi ......................................................................................................................................................................... 12

6 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE E DELLE LORO INVERSE ................................................................... 13 7 FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE ................................................................................................................................ 17

Esercizi ......................................................................................................................................................................... 19 8 FORMULE DI DUPLICAZIONE, DI BISEZIONE E FORMULE PARAMETRICHE ......................................................................................... 19

Esercizi ......................................................................................................................................................................... 21 9 EQUAZIONI GONIOMETRICHE FONDAMENTALI ......................................................................................................................... 23

a) Equazione sinx = m ............................................................................................................................................... 23 b) Equazione cosx = m .............................................................................................................................................. 24 c) Equazione tanx = m .............................................................................................................................................. 25 Esercizi ......................................................................................................................................................................... 27

10 EQUAZIONI GONIOMETRICHE DI TIPO PARTICOLARE ................................................................................................................. 27 a) Equazioni del tipo 𝒂𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄 = 𝟎 (con a, b e c ) ............................................................................ 27 b) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄 = 𝟎 (con a, b e c ) ............................................................................ 28 c) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟎 (con a e b ) .......................................................................................... 28 d) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒄 (con a, b e c ) ..................................................................................... 28 e) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒅 (con a, b, c e d )..................................................... 29 Esercizi ......................................................................................................................................................................... 29

11 RISOLUZIONE NUMERICA (GRAFICA) DI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ........................................................................................... 30 12 RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI ............................................................................................................................. 32

Esercizi ......................................................................................................................................................................... 33 13 RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE ........................................................................................................................ 34

Area di un triangolo ..................................................................................................................................................... 34 Area di un parallelogramma ........................................................................................................................................ 34 Teorema dei seni .......................................................................................................................................................... 34 Teorema delle proiezioni .............................................................................................................................................. 35 Teorema del coseno ..................................................................................................................................................... 35 Esercizi ......................................................................................................................................................................... 37

14 STUDIO DELLE FUNZIONI 𝒚 = 𝒌𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙 + 𝒃 E 𝒚 = 𝒌𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙 + 𝒃) ..................................................................................... 38 Esercizi ......................................................................................................................................................................... 42

15 DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE.......................................................................................................................................... 42 Esercizi ......................................................................................................................................................................... 48

16 APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA .................................................................................................................................. 48 Componenti di un vettore nel piano e nello spazio ..................................................................................................................... 48 Prodotto scalare di due vettori ................................................................................................................................................... 49 Prodotto vettoriale di due vettori ............................................................................................................................................... 49 Coordinate polari......................................................................................................................................................................... 50 Numeri complessi ........................................................................................................................................................................ 51 Fisica ............................................................................................................................................................................................ 54

Esercizi ......................................................................................................................................................................... 55 APPENDICE A – RISPOSTE AGLI ESERCIZI PROPOSTI ....................................................................................................................... 56 APPENDICE B: VALORI NUMERICI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE (0° X 45°) ........................................................................... 61 APPENDICE C: FORMULE DI TRIGONOMETRIA ............................................................................................................................. 62


Introduzione

Queste note di Trigonometria, se da una parte sono state scritte esplicitamente per gli studenti delle

Scuole Europee, dall'altra hanno anche l'ambizione di servire ad un triplice scopo:

1 come corso di base per studenti di scuola media superiore

2 come materiale di riferimento per una ripetizione per gli esami di maturità o per dei corsi

universitari

3 come corso rapido per qualunque persona dotata di cultura media che voglia cimentarsi per la

prima volta nello studio di tale disciplina.

Un'occhiata all'Indice mostra chiaramente i contenuti essenziali ed anche i limiti del lavoro

proposto. Infatti, se è possibile trovare chiaramente le definizioni delle funzioni goniometriche, le

loro proprietà, la loro rappresentazione grafica e quasi tutto il formulario indispensabile, manca la

discussione su come risolvere alcuni tipi particolari di equazioni goniometriche, mancano le formule

di Briggs (!), o altre applicazioni particolari alla geometria1.

Ho preferito non dedicare neanche una parola all'uso della calcolatrice elettronica, per il calcolo delle

funzioni goniometriche e delle loro inverse, in quanto esistono sul mercato diversi tipi di calcolatrici,

ciascuna delle quali munita del manuale d'uso. Per contro ho preferito mettere alla fine delle note

un'Appendice con una tavola numerica dei valori delle funzioni goniometriche per angoli che

vanno da 0 a 45.

Luxembourg, febbraio 1993

Note sulla seconda edizione

Questa seconda edizione conserva lo spirito della precedente a parte diversi cambiamenti e/o

aggiunte:

1. Tutte le figure sono state tutte rifatte (e delle nuove sono state aggiunte) con il programma

Geogebra

2. Sono stati aggiunti degli esempi e degli esercizi

3. I paragrafi 11 e 16 sono completamente nuovi

4. C’è una nuova appendice con i risultati numerici di tutti gli esercizi proposti.

Vieste, agosto 2010

1Nella speranza di non incorrere, in tal modo, nelle invettive del Prof. Giulio CORTINI, che molti anni fa scrisse sulla

terza pagina dell'Unità un articolo il cui titolo suonava vagamente: Trigonometria e patriottismo nazionale.


1 Misura degli angoli

Gli angoli si possono misurare in gradi sessagesimali, oppure in radianti.

Un grado sessagesimale () è la 360-ma parte dell'angolo giro. In questo modo:

- un angolo giro misura 360

- un angolo piatto misura 180

- un angolo retto misura 90 .

Esistono dei sottomultipli del grado, il primo ('), uguale a 1/60 di grado, ed il secondo ("), uguale

ad 1/60 di primo.

Un radiante è quell'angolo al centro di una circonferenza che si oppone ad un arco di lunghezza

uguale al raggio della circonferenza stessa. In questo modo:

- un angolo giro misura

- un angolo piatto misura radianti

- un angolo retto misura radianti.

In generale, per convertire i gradi sessagesimali in radianti e viceversa, basta tener conto della

seguente proporzione (dove indica la misura di un angolo in gradi sessagesimali e la misura

dello stesso angolo in radianti):

)2(180

)1(180

360

2

La relazione (1) consente di esprimere la misura di un angolo in radianti conoscendo la sua

misura in gradi.

La relazione (2) consente di esprimere la misura di un angolo in gradi conoscendo la sua misura

in radianti.

Esempi

1 Dalla relazione (2) si ha subito, ponendo in essa = 1, che un radiante corrisponde a circa

5717'44".

2 Dalla relazione (1), ponendo = 30, si ha per lo stesso angolo una misura in radianti = /6.

3 Si ha che 23,4126° = 23° + (0.4126x60)’ = 23°24’ + (0.756x60)’’ = 23°24’45’’.

4 Si ha che 47°25’56’’ = (47 + 25/60 + 56/3600)° = 47.4322°.

Esercizi

1 Convertire in radianti i seguenti angoli: 15, 45, 13020'18".

2 Convertire in gradi i seguenti angoli espressi in radianti: 0.123, 2.45, /8.

3 Calcolare: a) 82°17’22’’ + 13°45’54’’,

b) 82°17’22’’ – 13°45’54’’.

lunghezza circonferenza

raggio radianti radianti radianti

22

r

r

2


2 Definizione delle funzioni goniometriche sin, cos, tan e cot.

Si definisce, nel piano cartesiano, circonfe-

renza goniometrica quella circonferenza che

ha il centro nell'origine degli assi cartesiani e

raggio uguale ad 1.

Il punto P si chiama punto goniometrico

corrispondente all'angolo goniometrico

(misurato sempre a partire dalla direzione

positiva dell'asse x, in senso antiorario se

positivo, in senso orario se negativo). La

rappresentazione geometrica dell'angolo è

definita a meno di un multiplo intero di 360.

Si definisce seno dell'angolo il numero reale

indicato e dato da:

(3)

Si definisce coseno dell'angolo il numero reale indicato e dato da:

(4)

La definizione (3) consente di affermare che: il seno di un angolo goniometrico è uguale

all'ordinata del punto goniometrico corrispondente.

La definizione (4) consente di affermare che: il coseno di un angolo goniometrico è uguale

all'ascissa del punto goniometrico

corrispondente.

Si definisce tangente dell'angolo il

numero reale indicato e dato da:

(5).

Si definisce cotangente dell'angolo il

numero reale indicato e dato da:

(6).

Per trovare il significato geometrico di tan

, basta fare riferimento alla figura a lato e

scrivere che (tenendo presente la

similitudine dei due triangoli rettangoli OMP e OAT):

.

sin

sin PM

OP

PMPM

1

cos

cos OM

OP

OMOM

1

tan

tansin

cos

cot

cotcos

sin tan

1

tansin

cos

PM

OM

AT

OA

ATAT

1


Analogamente, dalla stessa figura (tenendo presente la similitudine dei triangoli rettangoli OMP e

OBQ), si ha il significato geometrico di cot:

Per completezza si riporta qui la definizione di due altre funzioni goniometriche (poco usate):

cosecante: 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼 =1

𝑠𝑖𝑛𝛼

secante: 𝑠𝑒𝑐𝛼 =1

𝑐𝑜𝑠𝛼

Dalle definizioni precedenti delle funzioni goniometriche è possibile stabilire la seguente tabella

sul segno di dette funzioni al variare dell'angolo :

La figura seguente illustra graficamente le variazioni nel segno delle funzioni goniometriche

quando il punto goniometrico corrispondente si trova in uno dei quattro quadranti:

L'ultima colonna della tabella precedente ('Periodicità') fa riferimento ad una proprietà

importante delle funzioni goniometriche: i valori di dette funzioni si ripetono periodicamente

come segue:

dove k è un numero intero (positivo o negativo) qualsiasi.

cotcos

sin.

OM

PM

BQ

OB

BQBQ

1

sin sin( ) sin( ) ... sin( )

cos cos( ) cos( ) ... cos( )

tan tan( ) tan( ) ... tan( )

cot cot( ) cot( ) ... cot( )

360 720 360

360 720 360

180 360 180

180 360 180

k

k

k

k

0<<90 90<<180 0<<270 0<<360 Periodicità

sin + + - - 360

cos + - - + 360

tan + - + - 180

cot + - + - 180

cosec + + - - 360°

sec + - - + 360°

funzioneangolo


La periodicità delle funzioni goniometriche è importante in quanto consente di limitare lo studio

di tali funzioni su un sottoinsieme opportuno dell'insieme dei numeri reali .

Infine tale aspetto (la periodicità) delle funzioni goniometriche fa sì che queste funzioni siano

molto utilizzate nella descrizione matematica di fenomeni naturali che hanno una periodicità

temporale: moti periodici in generale, oscillazioni, moti rotatori, moti ondulatori, e così via.

3 Relazione fondamentale della goniometria e prime conseguenze

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OMP della figura precedente si ha:

La relazione precedente si scrive anche:

𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 (7).

La (7) è detta anche relazione fondamentale della goniometria. Da questa è possibile dedurre

alcune conseguenze immediate:

a) Le funzioni seno e coseno sono funzioni limitate:

-1 sin +1

-1 cos +1

b) (8)

(9)

c) Dividendo entrambi i membri della (7) per cos2 (supposto diverso da 0) si ha

successivamente:

(10)

2tan1

1tancostancos

cos

sinsin

(11)

Le indeterminazioni nel segno delle relazioni (8), (9), (10) e (11) vengono risolte conoscendo la

misura dell'angolo .

Le formule (8)-(11) sono molto importanti in quanto consentono di determinare i valori delle

funzioni goniometriche di un angolo a partire dalla conoscenza di uno solo di questi valori.

La relazione (8) consente di calcolare sin conoscendo il valore di cos.

PM OM OP2 2 2 2 2 1 (sin ) (cos )

sin cos 1 2

cos sin 1 2

sin

cos costan

coscos

tan

2

2 2

2

2

2

21

11

1 1

1

costan

1

1 2

sintan

tan

1 2


La relazione (9) consente di calcolare cos conoscendo il valore di sin.

La relazione (10) consente di calcolare cos conoscendo il valore di tan.

La relazione (11) consente di calcolare sin conoscendo il valore di tan.

Per tutte le formule, bisogna fare attenzione al valore dell’angolo per attribuire il giusto segno al

valore della funzione goniometrica calcolata!

Esempi

1 Sia sin=2/3 ed compreso tra 90 e 180. Si ha:

.2

5

tan

1cot

55

2

5

2

35

32

tan

3

5

3

21cos

2

2 Sia tan=-3 ed compreso tra 270 e 360. Si ha:

.

Esercizi

1 Sapendo che e che è compreso tra 180 e 270, calcolare .

2 Sapendo che cot = 2 e che è compreso tra 180 e 270, calcolare .

3 Sapendo che , calcolare , distinguendo le varie soluzioni possibili.

4 Il numero reale m rappresenta il seno di un angolo e viene dato come soluzione

dell'equazione di secondo grado: 3m2 + 10m + 3 = 0.

a) Discutere le soluzioni dell'equazione.

b) Determinare, per i valori accettabili di m, i valori delle corrispondenti funzioni

goniometriche coseno, tangente, cotangente.

5 Un angolo acuto è tale che . Determinare i valori di sin, di cos e di cot.

sin( )

cos

cot .

3

1 3

3

10

1

10

1

3

2

sin 1

3cos , tan ,cot

sin , cos , tan

cos 1

2sin , tan ,cot

tan 4

3


6 Se m rappresenta la tangente di un angolo , trovare i valori possibili di m dati dall'equazione:

. (Attenzione: per un'equazione di secondo grado, il cui coefficiente del

termine di secondo grado si annulla, una radice è infinita...)

4 Riduzione al primo quadrante ed al primo ottante

Con l'espressione 'riduzione al primo quadrante' s'intende la possibilità di calcolo di una funzione

goniometrica di un angolo qualunque a partire dal valore di una opportuna funzione goniometrica

di un angolo compreso tra 0 e 90.

La cosa è possibile grazie alle relazioni seguenti:

tan)180tan(

cos)180cos(

sin)180sin(

(12)

tan)180tan(

cos)180cos(

sin)180sin(

(13)

tan)360tan(

cos)360cos(

sin)360sin(

(14) .

La figura a lato illustra le relazioni

(12). In effetti i triangoli OMP e

OM'P' sono uguali ed allora si ha:

P'M'=PM

OM'=-OM

e dunque anche:

Considerazioni analoghe, con le opportune modifiche, consentono di dimostrare anche le (13) e le

(14).

1

1

2

11

2

2 2

m

m

m

m

sin( ) sin180

cos( ) cos180

tan( )sin( )

cos( )

sin

costan

180180

180


Con l'espressione 'riduzione al primo ottante' s'intende la possibilità di calcolo di una funzione

goniometrica di un angolo qualunque a partire dal valore di una opportuna funzione goniometrica

di un angolo compreso tra 0 e 45.

La cosa è possibile grazie alle relazioni seguenti:

cot)90tan(

sin)90cos(

cos)90sin(

(15)

Le due operazioni combinate di riduzione al primo quadrante e di riduzione al primo ottante

consentono di calcolare le funzioni goniometriche di un angolo qualunque conoscendo una

opportuna funzione goniometrica di un angolo compreso tra 0 e 45. In questo modo è stato

possibile costruire delle tavole numeriche con i valori delle funzioni goniometriche solo per

angoli compresi tra 0 e 45 (vedi Appendice a pag. 42).

Esempi

1 sin245 = sin(180 + 65) = -sin65 = -sin(90 - 25) = -cos25.

2 tan330 = tan(360-30) = -tan30 .

In ogni caso oggi, con la larga diffusione delle calcolatrici elettroniche, questo aspetto pratico ha

perduto importanza. Resta comunque l'interesse teorico di queste trasformazioni, che possono

ritornare utili per semplificare, ad esempio, espressioni contenenti funzioni goniometriche.

Esercizio

Calcolare le funzioni goniometriche degli angoli seguenti: 70, 120, 230, 345, mediante

opportune funzioni goniometriche di angoli minori o uguali a 45.

5 Calcolo di funzioni goniometriche per angoli particolari

Utilizzando la definizione delle funzioni goniometriche ed alcune proprietà

geometriche elementari dei triangoli rettangoli, è possibile determinare il

valore esatto di queste funzioni per angoli particolari per cui tale calcolo

risulta particolarmente semplice.

Ad esempio, volendo determinare i valori delle funzioni goniometriche di 60,

basta fare riferimento alla figura seguente ed applicare ad essa il teorema di

Pitagora:


.3

21

23

60tan

;2

160cos

;2

3

2

11PM60sin

2

OM

E' possibile anche avere subito i valori delle funzioni goniometriche di 30.

Infatti si ha:

La tabella seguente fornisce i valori delle funzioni goniometriche per angoli particolari (espressi

in gradi sessagesimali e in radianti):

Esercizi

1 Determinare le espressioni esatte di sin45 e cos45.

2 Tenendo presente che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è uguale alla

sezione aurea del raggio della circonferenza, dimostrare (nell'ordine) che:

510255

118tan

52104

118cos

,154

118sin

.

sin sin( ) cos ;30 90 60 601

2

cos cos( ) sin ;30 90 60 603

2

tan tan( ) cot .30 90 60 603

3

in gradi in radianti sin cos tan cot

0 0 0 1 0

30

45

1

1

60

90

1

0

0

6

1

2

3

2

3

33

4

2

2

2

2

3

3

2

1

2 33

3

2


[Suggerimento: prendendo uguale a 1 il raggio della circonferenza, il lato del decagono è

uguale ; inoltre se x è il lato del decagono, per la proprietà enunciata deve valere la

proporzione: , da cui l'equazione: ...].

2 Determinare le espressioni esatte di: sin , cos , tan72 72 72 .

4 Calcolare:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

6 Rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche e delle loro inverse

Siccome le funzioni goniometriche sono definite per qualunque angolo, è possibile determinarne

il valore con l'ausilio di opportune tavole numeriche o, meglio, con l'ausilio di una calcolatrice

elettronica scientifica.

In questo modo, per una data funzione goniometrica, si stabilisce una corrispondenza tra un dato

angolo ed il valore della funzione goniometrica per tale angolo, come nello schema che segue:

sin: ℝ → ℝ ∶ 𝑥 → 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∈ −1,1 ⊂ ℝ

cos: ℝ → ℝ ∶ 𝑥 → 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∈ −1,1 ⊂ ℝ

𝑡𝑎𝑛: ℝ → ℝ ∶ 𝑥 → 𝑡𝑎𝑛𝑥 ∈ ℝ

E' possibile rappresentare graficamente queste funzioni, in un sistema di coordinate ortonormali

xOy, in cui x rappresenta l'angolo (ad esempio in radianti) e y rappresenta il valore della funzione

goniometrica considerata. Si ottengono, allora i grafici seguenti:

2 18sin

1 1: :x x x x x2 1

sin sin , sin30 60 90

cos sin sin30 60 2 18 sin cos

sin cos

30 30

60 60

sin cos

tan

45 45

30

tan tan , tan18 72 90

sin sin , sin18 72 90


Dai grafici precedenti è anche evidente la periodicità delle funzioni disegnate. Infine, è da notare

che la funzione tangente non è definita per angoli che sono multipli interi dispari (positivi o

negativi) di un angolo retto, mentre la funzione cotangente non è definita per angoli multipli

(positivi o negativi) di .

Per completezza seguono i grafici della funzione cosecante e della funzione secante:



Una funzione goniometrica inversa è una funzione che fa corrispondere al valore di una funzione

goniometrica il valore dell’angolo goniometrico che lo genera. In questa sede accenneremo a 3 di

queste funzioni:

arcoseno 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛: 𝑥 → 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥: −1,1 → 0,2𝜋

arcocoseno 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠: 𝑥 → 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥: −1,1 → 0,2𝜋

arcotangente 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛: 𝑥 → 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥: ℝ → −𝜋

2, +

𝜋

2

Così, ad esempio: arcsin 1

2 =

𝜋

6, perché 𝑠𝑖𝑛

𝜋

6 =

1

2; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3 =

𝜋

3, perché 𝑡𝑎𝑛

𝜋

3 = 3;

𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 − 2

2 =

3

4𝜋, perché 𝑐𝑜𝑠

3

4𝜋 = −

2

2 .

Su una calcolatrice scientifica le funzioni di sopra sono indicate con i simboli: sin-1

, cos-1

, tan -1

.

Per brevità si mostreranno solo i grafici delle suddette funzioni:


7 Formule di addizione e sottrazione

Con le funzioni goniometriche bisogna fare attenzione a non fare alcuni errori che deriverebbero

dall'applicazione di certe proprietà che si suppongono vere, quando vere non sono. Ad esempio,

risulta che:

60sin30sin)6030sin(1

2

31

2

3

2

160sin30sin

190sin)6030sin(

.

In questo paragrafo verranno dedotte delle formule corrette per calcolare le funzioni

goniometriche della somma o della differenza di due angoli, senza incorrere in errori ingenui.

E' possibile considerare i punti goniometrici P,

corrispondente all'angolo , Q corrispondente

all'angolo , R corrispondente all'angolo - e A

corrispondente all'angolo 0.

Allora i suddetti punti, nel piano cartesiano, hanno

coordinate:

A(0,1)

P(cos, sin)

Q(cos, sin)

R(cos(-), sin(-))

Le corde AR e PQ della circonferenza goniometrica hanno la stessa lunghezza, il che comporta:

AR = PQ AR2 = PQ2

L'ultima relazione si può riscrivere (tenendo conto delle coordinate dei punti implicati):

Tenendo conto della relazione fondamentale della goniometria e dividendo successivamente

primo e secondo membro della relazione precedente per -2, si ha:

(16)

La relazione (16) è la prima delle formule di addizione e sottrazione.

A partire dalla (16), cambiando in - e tenendo presente che

cos(-) = cos e che sin(-) = -sin, si ha:

(17)

cos( ) sin( ) (cos cos ) (sin sin ) 1 02 2 2 2

cos ( ) cos( ) sin ( )

cos cos cos cos sin sin sin sin

2 2

2 2 2 2

2 1

2 2

cos( ) cos cos sin sin



Se, invece, sempre nella (16), si cambia in 90-, si ha:

(18)

Dimostrazione spesso trovata nella letteratura anglosassone

sin 𝛼 + 𝛽 =𝐷𝐸

𝐴𝐷=

𝐷𝐹+𝐹𝐸

𝐴𝐷=

𝐷𝐹+𝐶𝐵

𝐴𝐷=

𝐶𝐵+𝐷𝐹

𝐴𝐷=

𝐶𝐵

𝐴𝐶∙

𝐴𝐶

𝐴𝐷+

𝐷𝐹

𝐶𝐷∙

𝐶𝐷

𝐴𝐷= 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽

Se, infine, nella (18), si cambia in -, si ha:

(19)

Dalle relazioni (16)-(19) è possibile ottenere le formule di addizione e sottrazione per la tangente.

Omettendo la facile dimostrazione, si può scrivere:

(20)

(21)

cos( ) cos ( ) cos( )cos sin( )sin90 90 90 90

sin( ) sin cos sin cos


tan( )tan tan

tan tan

1

tan( )tan tan

tan tan

1


Esempi

1 Calcolare sin75. Si ha:

31

4

2

2

3

2

2

2

2

2

1=cos30sin45+cos45sin30

=)45+sin(30=sin75

.

2 Calcolare tan15. Si ha:

3239

33

33

33

3

31

3

31 2

.

Esercizi

1 Calcolare: sin15, cos15, tan75, sin105.

2 Dimostrare le formule (20) e (21).

3 e sono angoli acuti tali che . Determinare le espressioni esatte di

tan,cos,sin .

4 è un angolo acuto e un angolo ottuso tali che sin cos 1

3

1

3e . Determinare le

espressioni esatte di tan,cos,sin .


cot,cos,sin .


tan,cos,sin .

8 Formule di duplicazione, di bisezione e formule parametriche

A partire dalle formule di addizione è possibile stabilire le formule di duplicazione, formule che

consentono il calcolo delle funzioni goniometriche di un angolo 2 a partire dalle funzioni

goniometriche dell'angolo .

In effetti si ha:

cossin2cossincossinsin2sin

2

2

22

sin21

1cos2

sincos

sinsincoscoscos2cos

.

Riassumendo, si sono ottenuti i seguenti risultati:

tan tan( )tan tan

tan tan15 45 30

45 30

1 45 30

sin cos 1

3

1

2e

sin cos 2

3

3

2e

cos 2

390e

tan tan( )tan tan

tan tan

tan

tan2

1

2

1 2


2

2

2

22

tan1

tan22tan

sin21

1cos2

sincos

2cos

cossin22sin

(22)

Le tre relazioni (22) si chiamano formule di duplicazione.

Riscrivendo la terza espressione di cos2 nelle (22) e ponendo in essa al posto di , si ha:

Riscrivendo la seconda espressione di cos2 nelle (22) e ponendo in essa al posto di , si ha:

cos cos coscos

22

12

1

2

2

Infine, facendo il rapporto membro a membro delle ultime due relazioni, si ha:

Da questa espressione 'irrazionale' di è possibile ottenere ancora due espressioni 'razionali',

moltiplicando sotto radice, numeratore e denominatore per espressioni opportune come segue:

cos1

sin

)cos1(

cos1

)cos1)(cos1(

)cos1)(cos1(

sin

cos1

cos1

)cos1(

)cos1)(cos1(

)cos1)(cos1(

2tan

2

2

2

2

Riassumendo, si sono ottenuti i risultati seguenti:

(23)

cos1

sin

sin

cos1

cos1

cos1

2tan;

2

cos1

2cos;

2

cos1

2sin

2

cos sin

1 22

2sin

cos

2

1

2

2

tan

sin

cos

cos

cos

2

2

2

1

1

tan

2


Le tre relazioni (23) si chiamano formule di bisezione e consentono di calcolare le funzioni

goniometriche di un angolo in funzione di opportune funzioni goniometriche di un angolo

doppio.

In queste formule, un certo interesse rivestono specialmente le due espressioni razionali di

.

Infine, riscrivendo la terza delle (22), ponendo in essa al posto di , si ha:

cos cos sin

tan

tan

tan

tan

tan

2 2

2

2

2

2

22 2

1

12

2

12

12

12

Ponendo , le tre formule precedenti si riscrivono così:

)24(

1

2tan

1

1cos

1

2sin

2

2

2

2

t

tt

tt

t

e si chiamano formule parametriche, in quanto consentono di determinare (in funzione del

parametro ) sin, cos e tan, con delle espressioni razionali, in cui non compaiono

radici quadrate.

Esercizi

1 Applicando opportunamente le formule di addizione e quelle di duplicazione, dimostrare le

seguenti formule di triplicazione:

tan

2

2

tan

tan

tan

22

12

2

sin sin cos

tan

tan tan

tan

tan

22 2

2 2

12

1

12

22

12

2 2 2

t tan

2

t tan

2

sin sin sin

cos cos cos

tantan tan

tan

3 3 4

3 4 3

33

1 3

3

3

3

2


2 Combinando opportunamente le formule di addizione, dimostrare le seguenti formule di

Werner:

sin sin cos( ) cos( )

cos cos cos( ) cos( )

sin cos sin( ) sin( )

1

2

1

2

1

2

3 Combinando opportunamente le formule di addizione, dimostrare le seguenti formule di

prostaferesi:

4 Gli angoli acuti e sono tali che e . Calcolare esattamente:

a)

b)

c)

d) .

5 Gli angoli acuti e sono tali che e . Calcolare le espressioni esatte di:

.

6 Calcolare le espressioni esatte di:

54tan,54cos,54sin

,36tan,36cos,36sin .

7 Utilizzando le formule di prostaferesi (esercizio 3 precedente) e di bisezione, dimostrare che:

𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 𝛽 − 𝛾 + 𝑠𝑖𝑛 𝛾 − 𝛼 = −4𝑠𝑖𝑛𝛼−𝛽

2𝑠𝑖𝑛

𝛽−𝛾

2𝑠𝑖𝑛

𝛾−𝛼

2

8 Utilizzando le formule di prostaferesi (esercizio 3 precedente), fattorizzare le seguenti somme:

a) sin4x - sin2x

b) cos4x + cos2x

c) sin3x + sinx

d) cos3x - cosx.

e)

f)

sin sin sin cos

sin sin sin cos

cos cos cos cos

cos cos sin sin

p qp q p q

p qp q p q

p qp q p q

p qp q p q

22 2

22 2

22 2

22 2

sin 4

5sin

2

3sin ,cos , tan ,cos( )2 2 2 45

sin ,cos , tan ,sin ( )3 3 3 2

cos ,sin , tan , tan

2 2 2 2

cot ,cot( )3

2

3

2

sin 1

2cos

2

3tan( ), tan( )2 2

sin sin4 6x x

cos cos4 6x x


9 Utilizzando le formule di prostaferesi (esercizio 3 precedente), semplificare le seguenti

frazioni:

a)

b)

c)

9 Equazioni goniometriche fondamentali

A volte è necessario trovare tutti gli angoli, se esistono, che soddisfano una determinata relazione

fra espressioni goniometriche. Relazioni di tal genere, che risultano soddisfatte solo per

particolari valori degli angoli, si chiamano equazioni goniometriche.

Per risolvere le equazioni goniometriche bisogna sempre fare riferimento ad equazioni

goniometriche fondamentali, che sono anche le più semplici possibili. Queste equazioni sono del

tipo: sinx = m, cosx = m, tanx = m, dove x è l'angolo incognito che bisogna determinare in modo

che l'equazione sia verificata.

a) Equazione sinx = m

Per questa equazione deve essere -1 m +1, altrimenti non ha significato e non ammette,

quindi, soluzioni.

Se m = 1, l'equazione sin x = 1 ammette la soluzione x = 90, se si considerano accettabili solo le

soluzioni comprese nel dominio D = [0,360[, e la soluzione x = 90 + k360 (con k intero,

positivo o negativo), se si considerano le soluzioni comprese nel dominio D = .

Se m = -1, l'equazione sin x = -1 ammette la soluzione x = 270, se si considerano accettabili solo

le soluzioni comprese nel dominio D = [0,360[, e la soluzione x = 270 + k360 (con k intero,

positivo o negativo, se si considerano le soluzioni comprese nel dominio D = .

Se -1 < m < +1, l'equazione sinx = m, ammette le due soluzioni

x = 1

x = 2 = 180 - 1,

se si considerano accettabili solo le soluzioni comprese nel dominio D = [0,360[, e le soluzioni:

se si considerano le soluzioni comprese nel dominio D = .

Le due soluzioni precedenti possono riassumersi nell'unica soluzione:

,

dove è il più piccolo angolo positivo tale che sin = m.

sin sin4 6x x

cos4x - cos6xcos cos

sin

6 4

2

x x

x

cos cos

sin

4 2

3

x x

x

x k k

x k k

1 1

1 1

360 2 180

180 360 2 1 180( )

x hh ( )1 180


Esempio

Risolvere l'equazione .

Essendo 210 il piú piccolo angolo positivo che verifica l'equazione data, tutte le soluzioni sono

date da:

.

In particolare, cercando solo le soluzioni comprese nell'intervallo [-180, 180], queste sono:

(ottenuta con h = 1) e (ottenuta con h = -2); cercando solo le soluzioni

comprese nell'intervallo [0, 360], queste sono (ottenuta con h = 0) e

(ottenuta con h = 3).

Sul grafico di sopra si vedono chiaramente le soluzioni nell’intervallo [-460°, +460°], soluzioni

ottenute come punti d’intersezione della funzione xy sin con la retta 𝑦 =1

2.

b) Equazione cosx = m

Per questa equazione deve essere -1 m +1, altrimenti non ha significato e non ammette,

quindi, soluzioni.

Se m = 1, l'equazione cos x = 1 ammette la soluzione x = 0, se si considerano accettabili solo le

soluzioni comprese nel dominio D = [0,360[, e la soluzione x = k360 (con k intero, positivo o

negativo), se si considerano le soluzioni comprese nel dominio D = .

Se m = -1, l'equazione cos x = -1 ammette la soluzione x = 180, se si considerano accettabili solo

le soluzioni comprese nel dominio D = [0,360[, e la soluzione x = 180 + k360 (con k intero,

positivo o negativo, se si considerano le soluzioni comprese nel dominio D = .

Se -1 < m < +1, l'equazione cosx = m, ammette le due soluzioni

sin x 1

2

x hh ( )1 210 180

x1 30 x2 150

x1 210 x2 330


x = 1 e x = 2 = 360 - 1,

se si considerano accettabili solo le soluzioni comprese nel dominio D = [0,360[, e le soluzioni:

𝑥 = 𝛼1 + 𝑘 ∙ 360° e 𝑥 = 360° − 𝛼1 + 𝑘 ∙ 360° = −𝛼1 + 𝑘 + 1 ∙ 360°

se si considerano le soluzioni comprese nel dominio D = .

Le due soluzioni precedenti possono riassumersi nell'unica soluzione:

𝑥 = ±𝛼 + 𝑘 ∙ 360° ,

dove è il piú piccolo angolo positivo tale che cos = m.

Esempio


Essendo 60 il più piccolo angolo positivo che verifica l'equazione data, tutte le soluzioni sono

date da: .


(ottenuta con h = 0 e prendendo il segno '+') e (ottenuta con h = 0 e

prendendo il segno '-'); cercando solo le soluzioni comprese nell'intervallo [0, 360], queste sono

(ottenuta con h = 0 e prendendo il segno '+') e (ottenuta con h = 1 e

prendendo il segno '-').

c) Equazione tanx = m

Per questa equazione m .

Sia è il più piccolo angolo positivo tale che tan = m; allora, per la periodicità della funzione

tangente, tutte le soluzioni dell'equazione sono date da: ,

dove, al solito, h .

cos x 1

2

x h 60 360

x1 60 x2 60

x1 60 x2 300

x h 180


Esempio


Essendo 120 il più piccolo angolo positivo che verifica l'equazione data, tutte le soluzioni sono

date da: .


(ottenuta con h = 0) e x2 60 (ottenuta con h = -1); cercando solo le soluzioni

comprese nell'intervallo [0, 360], queste sono (ottenuta con h = 0) e

(ottenuta con h = 1).

Dal grafico di sopra si vedono chiaramente 6 soluzioni dell’equazione data nell’intervallo [-480°,

+480°].

Il riquadro che segue riassume le soluzioni associate a ciascuna equazione goniometrica

fondamentale:

hxmxh

1sin

dove è il piú piccolo angolo positivo che soddisfa l'equazione e h .

tanx 3

x h 120 180

x1 120 x2 300

cos x m x h 2

tanx m x h


Esercizi

Risolvere le seguenti equazioni:

a) , nell'intervallo [0, 360]

b) , nell'intervallo [0, 360]

c) , nell'intervallo [-360, 360]

d) , nell'intervallo [0, 360]

e) , nell'intervallo [0, 360]

f) , nell'intervallo [-180, 180]

g) , nell'intervallo [0, 360]

h) , nell'intervallo [0, 180].

10 Equazioni goniometriche di tipo particolare

In questo paragrafo si vedrà rapidamente come risolvere delle equazioni goniometriche di tipo

particolare, facendo ricorso alle formule goniometriche conosciute ed alla risoluzione delle

equazioni goniometriche fondamentali viste nel paragrafo precedente.

In linea generale, non esistono delle regole precise per risolvere una qualunque equazione

goniometrica, ma bisogna cercare di rispettare le regole seguenti:

1 evitare di avere a che fare con equazioni goniometriche irrazionali (con le funzioni

goniometriche dell'incognita che compaiono sotto il segno di radice);

2 far comparire nell'equazione un'unica funzione goniometrica;

3 risolvere l'equazione ottenuta usando la funzione goniometrica come incognita.

4 ove possibile, anche se una o più delle regole precedenti non sono applicabili, cercare di

fattorizzare il primo membro dell'equazione ed annullare il secondo.

Si considerano, qui, solo le equazioni seguenti:

a) Equazioni del tipo 𝒂𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄 = 𝟎 (con a, b e c )

Queste equazioni si risolvono trasformando innanzitutto l'equazione in una equazione di secondo

grado rispetto a , con la trasformazione

e poi risolvendo l'equazione di secondo grado rispetto a .

sin x 2

2

sin x 2

3

cos x 5

3

cos x 2

2

tanx 5

tan x 3

3

sin( )2 301

2x

tan( )3 15 2x

sin x

cos sin2 21x x

sin x


Esempio


Con la trasformazione , l'equazione data diventa:

,

che, risolta rispetto a sinx, fornisce le soluzioni:

(con h ) e

(con h ).

b) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄 = 𝟎 (con a, b e c )

Queste equazioni si risolvono trasformando innanzitutto l'equazione in una equazione di secondo

grado rispetto a cosx, con la trasformazione

e poi risolvendo l'equazione di secondo grado rispetto a cosx.

Esempio

Risolvere l'equazione: .

Con la trasformazione , l'equazione data diventa:

02cos3cos20cos3cos12 22 xxxx ,

che, risolta rispetto a cosx, fornisce le soluzioni:

360120

2

1

R2

4

53

4

1693cos

hx

x

x .

c) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟎 (con a e b )

Queste equazioni si risolvono dividendo primo e secondo membro per cosx (diverso da zero). Si

ottiene l'equazione fondamentale .

Esempio


Dividendo primo e secondo membro per cosx, si ha subito:

.

d) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒄 (con a, b e c )

Queste equazioni si risolvono trasformando e cosx in , con le formule

parametriche:

Si ottiene una equazione di secondo grado in .

Esempio

Risolvere l'equazione

Trasformando con le formule parametriche, l'equazione data diventa:

cos sin2 1 0x x

cos sin2 21x x

1 1 0 02 2 sin sin sin sinx x x x

sin x x h 0 180

sin x x h 13

2360

sin cos2 21x x

2 3 02sin cosx x

sin cos2 21x x

tan xb

a

3 0sin cosx x

tan x x h 3

3150 180

sin x tx

tan2

sin cosxt

tx

t

t

2

1

1

12

2

2

tx

tan2

3 2sin cosx x


3

1013013232

1

1

1

23

22

2

2

2

tttt

t

t

t

t

Dunque: .

e) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒅 (con a, b, c e d )

Queste equazioni si risolvono trasformando e in con le formule:

Si ottiene una equazione di secondo grado in .

Esempio


Trasformando sinx e cosx in funzione di tanx, l'equazione data diventa:

18090

180202

13

tan1tan1

3

tan1

tan2

tan1

tan222

2

hx

hxx

xx

x

x

x,

dove la soluzione infinita per tanx viene fuori in quanto si annulla, nell'equazione risolvente, il

coefficiente di .

Esercizi

1 Risolvere, in , le equazioni:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

2 Trovare A e in modo che sia: 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝛼 .

3 Tenendo conto dei risultati dell’esercizio 2, risolvere le parti d), g) e h) dell’esercizio 1.

tanx x

h x h2

1

3 230 180 60 360

sin x cosx tanx

sintan

tancos

tanx

x

xx

x

1

1

12 2

tanx

sin sin cos cos2 22 3 1x x x x

tan2 x

2 3 02cos sinx x

3 2 02sin cosx x

sin cosx x 0sin cosx x 2 1

sin sin cos cos2 22 1x x x x

sin sin cos cos2 22 3 2x x x x

sin cosx x 3 1 0

sin cosx x 2 1

sin cos2 2 1

2x x

sin sin sin4 2x x x sin sin sin4 2 2 3x x x

cos cos cos3 2x x x

cos cos cos4 8 3 2x x x

3 2 1 2 1 1cos( ) sin( )x x


11 Risoluzione numerica (grafica) di equazioni goniometriche

Non sempre (anzi raramente) è possibile risolvere un’equazione goniometrica con i metodi visti

nel paragrafo precedente. Nei casi di risoluzione di problemi concreti (dalla fisica o

dall’ingegneria) è necessario ricorrere al calcolo numerico, il cui studio esula dagli scopi del

presente corso, in quanto il calcolo numerico si appoggia su un altro grande capitolo della

matematica: il calcolo differenziale e integrale.

Perciò, in questo contesto, si farà solo un cenno ad un metodo numerico grafico che si appoggia a

software grafico gratuito che si trova facilmente sulla rete. Qui si userà il programma Geogebra,

utilizzato anche per tutte le figure del presente corso.

Esempio 1:

Sia da risolvere l’equazione 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥2, che oltre alla soluzione banale 𝑥 = 0 ammette un’altra

soluzione. Un metodo efficace per trovare questa soluzione è rappresentare graficamente le

funzioni 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 e 𝑦 = 𝑥2 sullo stesso piano cartesiano:

Da cui si evince che l’ascissa del punto del secondo punto d’intersezione A è 𝑥 = 0.877 radianti.

La precisione del risultato ottenuto è migliorabile sia zoomando ulteriormente i due grafici

attorno al punto A, sia migliorando la possibilità che il programma offre di aumentare il numero

delle cifre decimali.

Esempio 2:

Sia da risolvere l’equazione 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 3𝑥 − 1.

Disegnando graficamente le due funzioni 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 e 𝑦 =3𝑥−1

𝑥 , si ha:


Dove l’ascissa del punto A fornisce la soluzione richiesta. Ma questa dal grafico di sopra è di

difficile lettura. L’unica cosa che si può dire è che questa ascissa è maggiore di 0 e minore di 0.5

radianti. Allora il grafico seguente fornisce una lettura migliore:

da cui si ‘vede’ con una certa facilità che la soluzione richiesta è 𝑥 = 0.474 radianti.


12 Risoluzione dei triangoli rettangoli

Con questo paragrafo inizia lo studio della trigonometria vera

e propria, in quanto finora si è solo studiato la goniometria.

Con la trigonometria si studia la misura degli angoli e dei lati

di un triangolo. In questo paragrafo si vedrà la risoluzione di

un triangolo rettangolo, che consiste nella determinazione

della misura di tutti i lati e di tutti gli angoli del triangolo, a

partire da alcuni elementi noti. Nel prossimo paragrafo si

vedrà la risoluzione di un triangolo qualunque.

Si considera il triangolo ABC, rettangolo in A. Sulla semiretta

[CB) si considera il punto P tale che CP = 1 (il punto P può

essere interno o esterno al segmento [CB]). Allora, in base alla

definizione della funzione goniometrica seno, deve essere:

Analogamente si può scrivere:

Siccome il triangolo ABC è rettangolo in A, deve essere = 90 - , le tre relazioni precedenti

diventano:

Le relazioni precedenti possono riassumersi nelle regole:

1 In un triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il seno

dell'angolo acuto opposto.

2 In un triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il coseno

dell'angolo acuto adiacente.

3 In triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la tangente

dell'angolo opposto al primo cateto.

4 In triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la cotangente

dell'angolo adiacente al primo cateto.

sin sin PM

CP

AB

BCAB BC

cos MC

CP

AC

BCAC BC osc

tan tan PM

CM

AB

ACAB AC

AB BC BC BC sin sin( ) cos 90

AC BC os BC BC c cos( ) sin90

AB AC AC AC tan tan( ) cot 90


In genere, per un triangolo rettangolo, si usano le notazioni della

figura a lato.

Allora le regole precedenti danno le formule:

1: 𝑏 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝛾

2: 𝑏 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛾 𝑐 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛽

3: 𝑏 = 𝑐𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑐 = 𝑏𝑡𝑎𝑛𝛾

4: 𝑏 = 𝑐𝑐𝑜𝑡𝛾 𝑐 = 𝑏𝑐𝑜𝑡𝛽

Dalle relazioni precedenti sono deducibili tutte le formule inverse possibili.

Esempi 1 Risolvere il triangolo rettangolo che ha a = 3 cm e b = 2 cm.

Si ha: sin ' " b

a

2

341 48 37 .

Inoltre .

Infine: .

2 Risolvere il triangolo rettangolo che ha b = 3 cm e c = 5 cm.

Si ha: .

Inoltre .

Infine: .

Esercizi

1 Risolvere i seguenti triangoli rettangoli, a partire dagli elementi forniti:

a) a = 5 cm, b = 2.5 cm.

b) a = 3 cm, = 40.

c) b = 3 cm, c = 4 cm.

d) b = 3 cm, = 30.

e) b = 5 cm, = 50.

2 Di un triangolo rettangolo si conosce a = 5 cm e = 40. Calcolare:

a) b, c, ;

b) l'altezza relativa all'ipotenusa

c) la mediana relativa all'ipotenusa ed i due angoli che questa mediana forma con l'ipotenusa

stessa.

3 Di un triangolo rettangolo si conosce b = 4 cm, c = 3 cm. Calcolare:

a) a, ,

b) le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

4 L'altezza relativa ad un lato di un triangolo ABC misura 3 cm. Le proiezioni degli altri due lati

sul primo misurano 4 cm e 5 cm. Determinare le misure dei lati e degli angoli del triangolo

ABC.

90 90 41 48 37 48 11 23' " ' "

c 3 2 52 2 cm cm

tan ' " b

c

3

530 57 50

90 90 30 57 50 59 02 10' " ' "

a 3 5 342 2 cm cm


13 Risoluzione di un triangolo qualunque

Per un triangolo qualunque bisogna vedere

innanzitutto le notazioni standard, come nella

figura a lato.

La risoluzione di un triangolo qualunque

necessita della conoscenza di alcuni teoremi

generali che verranno discussi brevemente nel

seguito.

Area di un triangolo

L'area del triangolo ABC è data da

. Ma, dal triangolo rettangolo

AHC del figura a lato si ha che h = bsin;

dunque si ha:

.

Analogamente si sarebbe potuto ottenere

anche:

Dunque: l'area di un triangolo qualunque è uguale al semiprodotto di due lati qualunque per il

seno dell'angolo compreso fra questi due lati.

Area di un parallelogramma

L'area del parallelogramma ABCD si può pensare uguale a due volte

l'area del triangolo ABD. Dunque l'area del parallelogramma è

uguale a:

sinADAB

sinADAB2

12

S

Dunque: l'area di un parallelogram-ma è uguale al prodotto di due

lati consecutivi per il seno dell'angolo compreso tra questi due lati.

Teorema dei seni

Dalle formule per l'area di un triangolo, viste in precedenza, si può scrivere:

S ah1

2

S ah ab 1

2

1

2sin

S bc ac 1

2

1

2sin sin


Moltiplicando tutti i membri delle uguaglianze precedenti per , si ha:

Le relazioni precedenti esprimono il teorema dei seni: in un triangolo qualunque, è costante il

rapporto tra il seno di un angolo ed il lato opposto a questo angolo.

Teorema delle proiezioni

Dalla figura precedente risulta:

BC = BH + HC = ABcos + ACcos a = ccos + bcos.

Analogamente, si ha anche:

b = acos + ccos

c = acos + bcos

Teorema del coseno

Si possono distinguere due casi:

a) triangolo ABC acutangolo

Dal triangolo rettangolo ABH si ha (HC = x):

.

Dal triangolo rettangolo AHC si ha: , che,

sostituito nella relazione precedente, dà:

perchè .

b) triangolo ABC ottusangolo

Dal triangolo rettangolo si ha (HC = x):

.

Dal triangolo rettangolo AHC si ha: , che,

sostituito nella relazione precedente, dà:

perché .

La relazione precedente si può ricavare per qualunque altro

lato del triangolo, in modo che si possono scrivere le tre relazioni generali:

1

2

1

2

1

2bc ac absin sin sin

2

abc

sin sin sin

a b c

c h a x2 2 2 ( )

h b x2 2 2

c b x a ax x

c a b ab

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

cos

x b cos

c h a x2 2 2 ( )

h b x2 2 2

c b x a ax x

c a b ab

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

cos

x b b cos( ) cos180

a b c bc

b a c ac

c a b ab

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

cos

cos

cos


che esprimono il teorema de coseno: in un triangolo qualunque, il quadrato della misura di un

lato è uguale alla somma dei quadrati della misura degli altri due lati diminuito del doppio

prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell'angolo da essi compreso.

Il teorema precedente, detto anche teorema di Pitagora generalizzato o teorema di Carnot,

fornisce pure tre formule inverse per il calcolo del coseno di un angolo in funzione delle misure

dei tre lati di un triangolo:

.

Esempi 1 Di un triangolo si sa che a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Risolvere il triangolo e calcolarne

l'area.

Dal teorema del coseno si ha:

= 2623'03''.

Applicando ancora il teorema del coseno si ha:

= 3620'10''.

Inoltre si ha: .

Infine, l'area del triangolo è:

.

2 Di un triangolo si sa che a = 4 cm, b = 3 cm, = 60. Risolvere il triangolo.

Applicando il teorema dei seni, si ha:

.

Inoltre si ha: .

Applicando ancora il teorema dei seni, si ha:

.

3 Di un triangolo ABC si sa che b = 3.16, c = 4.24 e = 45°. Risolvere il triangolo.

Applicando il teorema dei seni, si ha:

𝑠𝑖𝑛𝛾 =𝑐

𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼 =

4.24

3.16

2

2= 0.9488 da cui :

cos

cos

cos

b c a

bc

a c b

ac

a b c

ab

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

cos

b c a

bc

2 2 2 2 2 2

2

4 6 3

2 4 6

43

48

cos

a c b

ac

2 2 2 2 2 2

2

3 6 4

2 3 6

29

36

180 180 62 43 13 117 16 47( ) ' ' ' ' ' '

S ab 1

2

1

23 4 117 16 47 5 332 2sin sin ' ' ' . cm cm

sin sin ' ' ' b

a

3

4

3

2

3 3

840 30 19

180 60 40 30 19 79 29 41( ' ' ' ) ' ' '

c a sin

sin

.

..

0 986

0 8664 4 55cm cm


𝛾 = 71°34′55′′ e 𝛾′ = 180° − 71°34′ 55′′ = 108°25′5′′ (vedi figura sotto).

Infine, con il teorema del coseno, si trova, rispettivamente: a = BC = 4, α = BA C =63°25′5′′, a’ = BC’ = 2, α′ = BA C′ = 26°34′55′′.

Esercizi

1 Risolvere i seguenti triangoli qualunque, a partire dagli elementi noti:

a) a = 3 cm, b = 4 cm, c = 4 cm.

b) a = 3 cm, b = 4 cm, c = 2 cm.

c) a = 2 cm, b = 3 cm, = 30.

d) a = 5 cm, = 30, = 50.

e) = 66, = 40, a = 5 cm.

f) a = 5 cm, b = 4 cm, = 43.

2 Calcolare l'area dei seguenti triangoli:

a) a = 4 cm, c = 6 cm, = 30.

b) a = 7 cm, b = 5 cm, c = 6 cm.

3 Dimostrare che il diametro di una circonferenza circoscritta ad un triangolo è uguale al

rapporto tra un lato del triangolo ed il seno dell'angolo opposto al lato.

4 Dimostrare il teorema del coseno a partire dalle tre espressioni che esprimono il teorema delle

proiezioni.

5 Un parallelogramma ABCD ha AB = 5 cm, AD = 4 cm e = 50. Calcolare:

a) l'area del parallelogramma

b) la misura dell'altezza relativa al lato AB.

c) gli angoli che la diagonale uscente da A forma con i lati AB e BC.

6 Un triangolo rettangolo ABC ha a = 5 e = 30.

a) Risolvere il triangolo.

b) Determinare sul cateto AB un punto P tale che l'area del triangolo APC sia doppia dell'area

del triangolo PCB.

c) Se Q è il punto medio del cateto AC, calcolare le misure degli angoli acuti del triangolo

BQC.

7 Utilizzando il teorema dei seni, dimostrare che, in ogni triangolo ABC, risulta:

a)


b) .

[Tenere presente che, = - (+) e che 𝑡𝑎𝑛𝛼

2=

1−𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑠𝑖𝑛𝛼=

𝑠𝑖𝑛𝛼

1+𝑐𝑜𝑠𝛼 ]

8 Utilizzando la formula di addizione, il teorema dei seni e quello del coseno, dimostrare che in

un triangolo qualunque si ha:

22

22

)sin(

)sin(

cac

bab

.

9 La formula di Erone: 𝐴 = 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 consente di calcolare l’area di un

qualunque triangolo a partire dalla misura dei tre lati e del semiperimetro p del triangolo

stesso.

a) Dimostrare la formula.

[Suggerimento: tenere presente che 𝑠𝑖𝑛𝛾 = 2𝑠𝑖𝑛𝛾

2𝑐𝑜𝑠

𝛾

2= 2

1−𝑐𝑜𝑠𝛾

2

1+𝑐𝑜𝑠𝛾

2,

𝑐𝑜𝑠𝛾 =𝑎2+𝑏2−𝑐2

2𝑎𝑏 , …]

b) Dimostrare che: 𝑠𝑖𝑛𝛾 =2

𝑎𝑏 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 . [Questa formula consente di

evitare di applicare il teorema del coseno per calcolare gli angoli interni di un triangolo

se se ne conoscono le misure dei tre lati]

10 Un triangolo ABC ha i vertici che sono centri di 3

circonferenze tangenti esternamente a due a due, con

2𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.

a) dimostrare che i raggi delle circonferenze misurano

rispettivamente 𝑟𝐴 = 𝑝 − 𝑎, 𝑟𝐵 = 𝑝 − 𝑐, 𝑟𝐶 = 𝑝 − 𝑐.

b) a = 4.97 cm, b = 3.56 cm, c = 4.66 cm. Calcolare:

i) le misure dei 3 raggi;

ii) le ampiezze degli angoli , , .

iii) le lunghezze degli archi che si

oppongono, sulle rispettive

circonferenze, agli angoli , , .

iv) l’area dei 3 settori circolari aventi ampiezza , , .

v) l’area del triangolo curvilineo delimitato dalle 3 circonferenze.

14 Studio delle funzioni 𝒚 = 𝒌𝒔𝒊𝒏 𝒂𝒙 + 𝒃 e 𝒚 = 𝒌𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙 + 𝒃)

Lo studio di queste due funzioni sarà condotto 'in parallelo', cioè considerando

contemporaneamente le due funzioni e studiando la dipendenza di dette funzioni dai parametri

reali k, a e b.

Anche se esistono dei metodi generali di studio delle funzioni, metodi che fanno ricorso, in

particolare, al calcolo differenziale, in questa sede interessa per le funzioni date uno studio piú

intuitivo, che fa ricorso ad analogie immediate e alla periodicità delle funzioni considerate.

Tale studio 'intuitivo' consente di individuare subito zeri, massimi relativi, minimi relativi e flessi

di questa categoria di funzioni

Per maggiore chiarezza, si considerano prima alcuni casi particolari.

a b c

a b c

tan tan

2 2


Per tutti questi casi particolari, viene rappresentato, nello stesso riferimento cartesiano, anche la

'funzione di riferimento' y = sinx oppure y = cosx.

A) k = 3, a = 1 e b = 0. In questo caso le funzioni diventano: y = 3sinx e y = 3cosx. Le due figure

sottostanti mostrano i grafici di queste funzioni (disegnate nell’intervallo [0, 2]).

In questo caso (e negli altri analoghi in cui a = 1 e b = 0), le ascisse degli zeri, dei massimi e

minimi relativi e dei flessi della funzione y = 3sinx (rispettivamente y = 3 cosx) sono uguali a

quelle dei corrispondenti punti della funzione y = sinx (rispetti-vamente y = cosx). L'ampiezza

massima (o minima) è triplicata rispetto alle funzioni di riferimento. E' facile, allora, intuire che il

parametro k contribuisce solo a moltiplicare di un fattore k le ampiezze delle funzioni considerate.

B) k = 1, a = 2, b = 0. In questo caso le funzioni diventano: y = sin2x e y = cos2x. Le due figure

sottostanti mostrano i grafici di queste funzioni.


In questo caso, le ampiezze sono le stesse, ma il periodo è dimezzato. Il risultato è facilmente

generalizzabile, nel senso che le funzioni y = sin(ax) e y = cos(ax) avranno un periodo uguale 360

/a ed ampiezze uguali a quelle delle funzioni di riferimento.

C) k = 1, a = 1, b = 1 o b = -1. In questo caso le funzioni diventano: y = sin(x+1) o y = sin(x-1) e y

= cos(x+1) o y = cos(x-1). Le due figure sottostanti mostrano i grafici di queste funzioni.


In questo caso, le ampiezze sono le stesse, il periodo è lo stesso, ma le funzioni sono traslate di un

radiante parallelamente all'asse delle ascisse, verso sinistra se b = + 1, verso destra se b = -1. Il

risultato è facilmente generalizzabile, nel senso che le funzioni y = sin(x+b) e y = cos(x+b)

avranno un periodo uguale 360, ampiezze uguali a quelle delle funzioni di riferimento, ma

saranno traslate rispetto alle funzioni di riferimento di b radianti, verso sinistra se b > 0 oppure

verso destra se b < 0.

D) k = 3, b = 2, c = 1. Questo caso è riassuntivo dei tre casi particolari precedenti e le funzioni

diventano: y = 3sin(2x+1) e y = 3cos(2x+1). Le due figure sottostanti mostrano i grafici di queste

funzioni.

In questo caso, le ampiezze sono triplicate, i periodi dimezzati rispetto alle funzioni di

riferimento, ed i grafici complessivi sono traslati verso sinistra di 1/2 radiante, sempre

parallelamente all'asse delle ascisse x.


Riassumendo si può dire che le funzioni y = ksin(ax+b) e y = kcos(ax+b) hanno:

ampiezza k volte l'ampiezza di y = sinx (o y = cosx)

periodo uguale a 360/a

rappresentazione grafica traslata parallelamente all'asse delle ascisse di b/a radianti, verso

sinistra se b/a è positivo, verso destra se b/a è negativo.

Esercizi

Rappresentare graficamente le seguenti funzioni (specificando per ognuna anche il periodo),

nell'intervallo indicato:

a) , su D = [0,360]

b) , su D = [0,180]

c) , su D = [0,180]

d)

23

2cos3,

23

2sin3

xyxy , su D = [0,2].

e)

43

4cos,

43

4sin

xyxy , su D = [0,2].

15 Disequazioni goniometriche

Una disequazione goniometrica è una disequazione dove compaiono funzioni goniometriche.

Data la periodicità delle funzioni goniometriche per lo studio di una disequazione goniometrica

viene, in genere, fissato l'intervallo di studio.

Esempi di disequazioni goniometriche sono:

,

012sin5cos)(

2,0

01sin22cos)(

2,0

0)1cos2(sin)(

2,0

01sin2)(

x

xxd

x

xxc

x

xxb

x

xa

Come si vede dagli esempi di sopra, l'intervallo di studio di ciascuna disequazione goniometrica è

dato.

Sebbene possano essere considerati metodi diversi, il metodo migliore per studiare le

disequazioni goniometriche é quello grafico, come si vedrà dalla soluzione di alcuni esempi.

Esempi

1 Sia da risolvere la disequazione (a). S i ha:

2,0

2

1sin

2,0

01sin2

x

x

x

x

A questo punto basta disegnare, in uno stesso sistema di riferimento cartesiano, sia la

funzione sia la funzione e leggere dal grafico gli intervalli eventuali

per cui risulta: .

y x y x 1

2

1

2sin , cos

y x y x 1

23

1

23sin , sin

y x y x 2 4 5 2 4 5sin( ), cos( )

f x x( ) sin g x( ) 1

2f x g x( ) ( )


Ecco i grafici delle due funzioni in uno stesso sistema di riferimento cartesiano:

L'intervallo per cui risulta f x g x( ) ( ) è l'intervallo ],[ segnato in grassetto al disopra

dell'asse delle x. Per determinare e basta risolvere l'equazione

che dà subito = 30 = /6 radianti e = 150 = 5/6 radianti.

Dunque l'insieme soluzione della disequazione è l'intervallo aperto

6

5,

6.

2 La risoluzione della disequazione (b) conduce alla risoluzione di due sistemi di disequazioni

(in quanto il prodotto di due numeri è negativo quando il primo è positivo ed il secondo

negativo o viceversa):

2,0

01cos2

0sin

(2),

2,0

01cos2

0sin

(1)

2,0

0)1cos2(sin

x

x

x

x

x

x

x

xx

2,0

2

1cos

0sin

(2),

2,0

2

1cos

0sin

(1)

x

x

x

x

x

x

Allora, la soluzione S della disequazione data sarà: ''2'

2

''

1

'

121 SSSSSSS ,

dove S1 e S2 sono le soluzioni del primo e del secondo sistema rispettivamente, S1' e S1'' sono

le soluzioni della prima e della seconda disequazione del primo sistema, S2' e S2'' sono le

soluzioni della prima e della seconda disequazione del secondo sistema.

Passando alla soluzione S1 del primo

sistema, bisogna considerare il grafico

sottostante. L'intervallo S1', per cui risulta

sinx > 0, è l'intervallo ]0, [ segnato in

Passando alla soluzione S2 del secondo

sistema, bisogna considerare il grafico

sottostante.

L'intervallo S2' per cui risulta sinx < 0 è

sin x 1

2


grassetto al disopra dell'asse delle x. L'in-

tervallo S1'' per cui risulta, cosx < 1/2, è

l'inter-vallo ], [ segnato in grassetto al

disotto dell'asse delle x. Per determinare e

basta risolvere l'equazione cos x 1

2

che dà subito = 60 = /3 radianti e =

300 = 5/3 radianti. Dunque:

,

33

5,

3,01S .

l'intervallo ], 2[ segnato in grassetto al diso-

pra dell'asse delle x. L'intervallo S2'' per cui ri-

sulta cosx > 1/2 è l'unione degli intervalli ]0,

[ e ], 2[ segnati in grassetto al disotto

dell'asse delle x. Come in precedenza, = 60

= /3 radianti e = 300 = 5/3 radianti.

Dunque:

2,

3

52,

3

5

3,02,2S

.

Infine, la soluzione S del sistema considerato è data da:

2,

3

5,

321 SSS .

3 Sia da risolvere la disequazione:

2,0

01sin22cos

x

xx.

La disequazione precedente comporta la risoluzione dei due sistemi di disequazioni:

2,0

01sin2

02cos

)2(,

2,0

01sin2

02cos

)1(

x

x

x

x

x

x

2,0

2

1sin

02cos

)2(,

2,0

2

1sin

02cos

)1(

x

x

x

x

x

x

Allora, la soluzione S della disequazione data sarà: ''2'

2

''

1

'

121 SSSSSSS ,


dove S1 e S2 sono le soluzioni del primo e del secondo sistema rispettivamente, S1' e S1'' sono

le soluzioni della prima e della seconda disequazione del primo sistema, S2' e S2'' sono le

soluzioni della prima e della seconda disequazione del secondo sistema.

Passando alla soluzione S1 del primo sistema, bisogna considerare il grafico seguente:

L'intervallo S1' per cui risulta cos2x 0 è l'intervallo ,

segnato in grassetto al disopra dell'asse delle x. L'intervallo S1'' per cui risulta sinx 1/2 è

l'intervallo [, ] segnato in grassetto al disotto dell'asse delle x. Per determinare e basta

risolvere l'equazione che dà subito = 45 = /4 radianti e = 135 = 3/4 ra-

dianti. Dunque S1'' = [/4,3/4] e

4

3,

4

''

1

'

11 SSS .

Per la soluzione del secondo sistema bisogna considerare il grafico:

0 4 3 4 5 4 7 4 2, / / , / / ,

sin x 1

2


L'intervallo S2' per cui risulta cos2x 0 è l'intervallo

4

7,

4

5

4

3,

4,

segnato in grassetto al disopra dell'asse delle x. L'intervallo S2'' per cui risulta sinx 1/2 è

l'intervallo [0, ][, 2] segnato in grassetto al disotto dell'asse delle x.

Anche qui = 45 = /4 radianti e = 135 = 3/4 radianti. Allora:

S1'' = [0, /4][3/4, 2] e

4

7,

4

5

4

3,

4

''

2

'

22 SSS .

Dunque:

4

7,

4

5

4

3,

4221 SSSS .

Alternativamente, si sarebbero potute trarre le stesse conclusioni dall’unico grafico:

Vedendo dove le due funzioni sono nulle, entrambe positive o entrambe negative.

4 Risolvere la disequazione:

,

0cossin3

x

xx

Rapidamente, dal grafico che segue:


si trova subito che l'insieme soluzione della disequazione data è l'intervallo [-,][,],

dove e si determinano risolvendo (nell'intervallo considerato) l'equazione:

6

6

5

3

1tancossin3

xxx .

Dunque l'insieme soluzione è l'intervallo:

,

66

5, .

5 Risolvere la disequazione

2,0

04tan5tan2

x

xx.

Algebricamente, la disequazione data è equivalente alle due disequazioni:

2,0

4tan1

x

x.

Dal grafico (e con l’ausilio di una calcolatrice)


si ha subito che l'insieme soluzione è l'intervallo ], [], [, dove:

= 45 = /4,

= 7557'50'' = 1.326 radianti,

= 225 = 5/4,

= 25557'50'' = 4.467 radianti.

Esercizi

Risolvere le seguenti disequazioni goniometriche:

a)

2,0

0sincos

x

xx b)

2,0

02sincos

x

xx

c)

2,0

01sin1sin2

x

xx d)

,

02cos23cos2

x

xx

e)

,

01cos2

cos 2

x

xx

f)

2,0

03tan2tan

x

xx

16 Applicazioni della trigonometria

La trigonometria ha un vastissimo campo di applicazioni, in altri rami della Matematica, nella

Fisica, nell’Ingegneria. Non è possibile, in questa sede, affrontare sistematicamente queste

applicazioni. Basterà un rapido cenno alle principali applicazioni, facendo presente fin da ora che

i metodi appresi in questo corso sono sufficienti per affrontare in modo più puntuale le

applicazioni specifiche della trigonometria.

Componenti di un vettore nel piano e nello spazio.

Un vettore del piano 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 si può scrivere 𝑣 = 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑗 , dove 𝑣 = 𝑥2 + 𝑦2 è il

modulo (o la lunghezza) del vettore , 𝑖 , 𝑗 sono dei vettori unitari ortogonali di base dell’insieme

dei vettori del piano e 𝛼 è l’angolo che il vettore forma con il vettore 𝑖 :

Analogamente nello spazio 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 si può scrivere 𝑣 = 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑗 + 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑘 ,

dove = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 è il modulo o la lunghezza del vettore, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 sono dei vettori unitari


ortogonali di base dell’insieme dei vettori dello spazio e 𝛼, 𝛽, 𝛾 sono gli angoli che il vettore 𝑣

forma con i vettori di base.

Prodotto scalare di due vettori

Nel piano Nello spazio

𝑣 1 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 𝑣 1 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘

𝑣 2 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 𝑣 2 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘

𝑣 1 ∙ 𝑣 2 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 = 𝑣1𝑣2𝑐𝑜𝑠𝜗 𝑣 1 ∙ 𝑣 2 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 = 𝑣1𝑣2𝑐𝑜𝑠𝜗 𝒗 𝟏 ∙ 𝒗 𝟐 = 𝒗 𝟐 ∙ 𝒗 𝟏 𝒗 𝟏 ∙ 𝒗 𝟐 = 𝒗 𝟐 ∙ 𝒗 𝟏

𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑖 = 0 𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑖 = 0, 𝑖 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 𝑖 = 0, 𝑘 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑘 = 0

𝑖 ∙ 𝑖 = 1, 𝑗 ∙ 𝑗 = 1 𝑖 ∙ 𝑖 = 1, 𝑗 ∙ 𝑗 = 1, 𝑘 ∙ 𝑘 = 1

dove 𝜗 è l’angolo formato dai due vettori.

Esempio 1

Dati i vettori 𝑎 = 3𝑖 − 2𝑗 , 𝑏 = 𝑖 + 3𝑗 , 𝑣 = 4𝑖 − 𝑗 + 2𝑘 , 𝑤 = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘 , calcolare 𝑎 ∙ 𝑏 e

𝑣 ∙ 𝑤 . Risulta:

𝑎 ∙ 𝑏 = 3 − 6 = −3; 𝑣 ∙ 𝑤 = 8 − 3 − 2 = 3.

Esempio 2

Calcolare l’angolo tra le coppie di vettori dell’esempio precedente.

Dalla definizione risulta:

𝑐𝑜𝑠 𝑎 , 𝑏

=𝑎 ∙𝑏

𝑎𝑏=

−3

13 10= −

3

130, da cui 𝑎 , 𝑏

= 105°15′18"

𝑐𝑜𝑠 𝑣 , 𝑤 =𝑣 ∙𝑤

𝑣𝑤=

3

21 14=

3

7 6, da cui 𝑎 , 𝑏

= 75°40′27"

Prodotto vettoriale di due vettori

Nello spazio, dati i vettori 𝑣 1 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 e 𝑣 2 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 si definisce prodotto

vettoriale (indicato 𝑣 1 × 𝑣 2) dei due vettori il vettore che ha modulo 𝑣1𝑣2𝑠𝑖𝑛𝜗 , direzione

perpendicolare al piano definito dai due vettori e verso definito dallo schema seguente:


dove 𝜗 è l’angolo formato dai due vettori.

Come si vede dall’ultima definizione, il prodotto vettoriale di due vettori è cambia segno

(fornendo il vettore opposto) se si cambia l'ordine dei due vettori.

Esiste un modo rapido per calcolare il prodotto vettoriale di due vettori 𝑣 1 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘

e 𝑣 2 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 :

𝑣 1 × 𝑣 2 = 𝑖 𝑗 𝑘

𝑥1 𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

= 𝑦1𝑧2 − 𝑦2𝑧1 𝑖 + 𝑥2𝑧1 − 𝑥1𝑧2 𝑗 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 𝑘

Esempio 3

Determinare il prodotto vettoriale dei vettori 𝑣 e 𝑤 dell’Esempio 1.

Si ha: 𝑣 × 𝑤 = 8𝑖 + 8𝑗 + 14𝑘 e 𝑤 × 𝑣 = −8𝑖 − 8𝑗 − 14𝑘 = −𝑣 × 𝑤 .

Coordinate polari

Nel piano, normalmente, le coordinate di un punto sono le coordinate cartesiane (x, y), riferite

ad un sistema di assi cartesiani ortogonali monometrici (stessa unità di misura). Ma è

possibile scegliere altri sistemi di riferimento. Uno di questi è quello delle coordinate polari di

un punto. Con questo sistema si fissa un punto O (detto polo) ed una semiretta, normalmente

a destra di O, detta asse polare. Le coordinate polari di un punto P sono allora due: la

distanza r di P da O e l’angolo che OP forma con l’asse polare, come in figura.

Per passare da un sistema di coordinate all’altro si usano le relazioni:

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃

.


Esempio 4

L’equazione di una circonferenza di centro O e raggio R, in coordinate polari è r = R.

Esempio 5

L’equazione della circonferenza 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑦 = 0 in coordinate polari è:

𝑟2 − 8 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0

𝑟 𝑟 − 8𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0

da cui 𝑟 = 0 (polo) oppure 𝑟 = 8𝑠𝑖𝑛𝜃.

Esempio 6

L’equazione di una retta passante per O è 𝜃 = 𝛼 , dove 𝛼 è l’angolo che la retta forma con

l’asse polare.

Numeri complessi

I numeri immaginari sono stati introdotti in matematica per rispondere alle esigenze di poter

calcolare la radice quadrata di un numero negativo. In effetti, introducendo l’unità

immaginaria:

𝑖 = −𝟏 ⇔ 𝒊𝟐 = −𝟏

è possibile scrivere che −2 = 𝑖 2 e così via.

L’insieme dei numeri della forma 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 , con 𝑥 ∈ ℝ e 𝑦 ∈ ℝ costituisce l’insieme dei

numeri complessi (): x viene detta parte reale, y parte immaginaria. Così il numero com-

plesso 2-3i ha ‘2’ come parte reale e ‘-3’ come parte immaginaria.

Con i numeri complessi è possibile definire le classiche operazioni di addizione e

moltiplicazione, rispettando le proprietà formali dell’insieme dei numeri reali e la definizione

di unità immaginaria. Se 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 e 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, si ha:

𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑖 𝑦1 + 𝑦2

𝑧1𝑧2 = 𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2 + 𝑖 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1

L’opposto del numero complesso 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 è il numero complesso −𝑧 = −𝑥 − 𝑖𝑦

Si definisce complesso coniugato di un numero 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 il numero𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 e risulta che

il prodotto di un numero complesso per il suo complesso coniugato è un numero reale:

𝑧𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

L’inverso di un numero complesso 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 è il numero complesso:

1

𝑧=

𝑧

𝑧𝑧=

𝑥 − 𝑖𝑦

𝑥2 + 𝑦2

Il rapporto di due numeri complessi 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 e 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 è dato da:

𝑧1

𝑧2=

𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2

𝑥22+𝑦2

2 + 𝑖𝑥2𝑦1−𝑥1𝑦2

𝑥22+𝑦2

2

Esempio 7

Dati i numeri complessi 𝑧1 = 2 + 3𝑖 e 𝑧2 = −3 + 4𝑖, si ha:

𝑧1 + 𝑧2 = −1 + 7𝑖, 𝑧2 = −3 − 4𝑖 𝑧1𝑧2 = −18 − 𝑖

𝑧1

𝑧2=

6

25−

17

25𝑖


I numeri complessi hanno una rappresentazione grafica nel piano di Gauss-Argand:

Il numero r si chiama modulo del numero complesso 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ed è definito dalla relazione:

𝑟 = 𝑧 = 𝑧𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

Dalla figura precedente si evince anche la rappresentazione trigonometrica o polare di un

numero complesso:

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ⇔ 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃

Esempio 8

Dato i numeri complessi 𝑧1 = 2 + 3𝑖 e 𝑧2 = −3 + 4𝑖 , scriversi sotto forma trigonometrica.

Si ha:

𝑟1 = 𝑧1 = 22 + 32 = 13

𝑧1 = 13 2

13+ 𝑖

3

13 = 13 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝛼 , dove 𝑐𝑜𝑠𝛼 =

2

13 e 𝑠𝑖𝑛𝛼 =

3

13 ;

𝛼 = 56°18′36"

𝑟2 = 𝑧2 = −3 2 + 42 = 5

𝑧2 = 5 −3

5+ 𝑖

4

5 = 5 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝛽 , dove 𝑐𝑜𝑠𝛽 = −

3

5 e 𝑠𝑖𝑛𝛽 =

4

5 ; 𝛽 = 126°52′12"

Esempio 9

Dato il numero complesso 𝑧 = 2 3 + 𝑖 , calcolare 𝑧10 .

Si ha 𝑧 = 4 3

2+ 𝑖

1

2 = 4 𝑐𝑜𝑠30° + 𝑖𝑠𝑖𝑛30° .

Dunque:

𝑧10 = 410 𝑐𝑜𝑠 10 ∙ 30° + 𝑖𝑠𝑖𝑛 10 ∙ 30° = 410 𝑐𝑜𝑠300° + 𝑖𝑠𝑖𝑛300° = 410 1

2− 𝑖

3

2

E, infine: 𝑧10 = 524588 1 − 𝑖 3 .

Dalla forma trigonometrica dei numeri complessi è possibile dedurre una formula interessante

(e semplice da ricordare) per il prodotto di due (o più) numeri ed una per il rapporto di due

numeri complessi:


𝑧1 = 𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃1

𝑧2 = 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃2 ⇒

𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + 𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃1 + 𝜃2 𝑧1

𝑧2=

𝑟1

𝑟2 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃1 − 𝜃2

la cui facile dimostrazione si lascia per esercizio al lettore.

Per induzione, dalla formula precedente si ricava anche la formula che dà la potenza n-sima di

un numero complesso:

𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 ⇒ 𝑧𝑛 = 𝑟𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜃

Detta anche formula di De Moivre.

Per calcolare le radici n-sime di un numero complesso 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 si usa la formula:

𝑧𝑛

= 𝑟𝑛

𝑐𝑜𝑠𝜃+2𝑘𝜋

𝑛+ 𝑖𝑠𝑖𝑛

𝜃+2𝑘𝜋

𝑛 , con 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1 .

La radice corrispondente a k = 0 si chiama radice principale di z.

Esempio 10

Se 𝑧 = 3 𝑐𝑜𝑠85° + 𝑖𝑠𝑖𝑛85° e 𝑤 = 2 𝑐𝑜𝑠40° + 𝑖𝑠𝑖𝑛40° , si ha:

𝑧𝑤 = 6 𝑐𝑜𝑠125° + 𝑖𝑠𝑖𝑛125° ,

𝑧

𝑤=

3

2 𝑐𝑜𝑠45° + 𝑖𝑠𝑖𝑛45° =

3 2

4 1 + 𝑖

𝑤6 = 26 𝑐𝑜𝑠 6 ∙ 40° + 𝑖𝑠𝑖𝑛 6 ∙ 40° = 64 𝑐𝑜𝑠240° + 𝑖𝑠𝑖𝑛240° = 32 −1 − 𝑖 3

𝑤3

= 23

𝑐𝑜𝑠40°+𝑘360°

3+ 𝑖𝑠𝑖𝑛

40°+𝑘360°

3 , con k = 0, 1, 2.

k = 0 : 𝑤0 = 23

𝑐𝑜𝑠 40°

3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛

40°

3 ≈ 1.226 + 0.2906𝑖

k = 1 : 𝑤1 = 23

𝑐𝑜𝑠 400°


400°

3 ≈ −0.8646 + 0.9164𝑖

k = 2 : 𝑤2 = 23

𝑐𝑜𝑠 760°


760°

3 ≈ −0.3613 − 1.207𝑖

(le tre radici di sopra, nel piano di Gauss-Argand, sono i vertici di un triangolo equilatero

posti su una circonferenza di centro l’origine e raggio uguale a 23

)

L’osservazione precedente, si può estendere alle n radici n-sime di un numero complesso: nel

piano di Gauss-Argand sono vertici di un poligono regolare di n lati, posti su una circonferen-

za di centro l’origine e raggio uguale a 𝑟𝑛

.


Fisica

L’uso massiccio, in Fisica, del calcolo vettoriale, comprende anche le operazioni definite

prima sui vettori: somma vettoriale, prodotto scalare, prodotto vettoriale. E così il lavoro di

una forza si definisce tramite il prodotto scalare di due opportuni vettori, il momento

angolare, il momento di una forza, la forza agente su una particella carica in moto in un

campo magnetico sono esempi di grandezze fisiche definibili attraverso il prodotto vettoriale

di due opportune grandezze fisiche vettoriali. Le correnti alternate fanno un largo uso della

goniometria, così anche l’analisi armonica dei segnali. Ovviamente per una trattazione di tutto

quanto accennato sopra, si rimanda ai manuali di Fisica.

Qui si accennerà solo al caso del moto circolare uniforme e del moto armonico semplice.

Un punto si muove di moto circolare uniforme se, muovendosi lungo una traiettoria circolare,

percorre archi uguali in tempi uguali. In particolare tutta la circonferenza viene percorsa

sempre nello stesso tempo T, periodo del moto. Si chiama frequenza del moto circolare

uniforme l’inverso del periodo: 𝑓 =1

𝑇 , così se il periodo è uguale a 0.2 sec, la frequenza è

uguale a 5 giri al secondo o 5 Hz. Proiettando il moto del punto materiale che si muove di

moto circolare uniforme su un diametro della circonferenza traiettoria, si ottiene che la sua

proiezione ortogonale si muove di moto armonico semplice:

Così, mentre il punto P si muove sulla circonferenza di moto circolare uniforme, la sua

proiezione ortogonale M sul diametro AB si muove di moto armonico semplice. Il periodo di

P è anche il periodo di M: quando P fa un giro completo da B a B, M fa un percorso completo

da B ad A e di nuovo a B sul diametro AB. Con una differenza sostanziale: la velocità e

l’accelerazione di P sono costanti in modulo mentre la velocità e l’accelerazione di M

cambiano il loro valore istante per istante. La velocità di M è massima in O e nulla in A e in

B, l’accelerazione di M è nulla in O e massima in A e in B.

Se 𝜔 =2𝜋

𝑇 , 𝜃 = 𝜔𝑡 (dove t è il tempo trascorso), la posizione di M su AB è data da:

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ,

la sua velocità da:

𝑣 = −𝑟𝜔𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡,

la sua accelerazione da:

𝑎 = −𝑟𝜔2𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = −𝜔2𝑥 .

La dimostrazione delle ultime due formule si trova sui testi di Fisica.

Il moto armonico semplice risulta un utile modello matematico per studiare le piccole

oscillazioni di un pendolo semplice, di una lamina vibrante, dell’oscillazione di una massa

attaccata ad una molla...


Esercizi

1 Sono dati, nel piano, i vettori 𝑢 = 2𝑖 − 𝑗 e 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 . Calcolare:

a) I moduli u e 𝑣.;

b) 𝑢 ∙ 𝑣 ;

c) L’angolo tra i vettori 𝑢 e 𝑣 .

2 Sono dati, nello spazio, i vettori 𝑢 = 𝑖 + 𝑗 − 𝑘 e 𝑣 = 2𝑖 + 𝑗 − 3𝑘 . Determinare:

a) I moduli u e 𝑣.;

b) 𝑢 ∙ 𝑣 ;

c) L’angolo tra i vettori 𝑢 e 𝑣 .

d) 𝑢 × 𝑣 .

3 Trasformare il punto P(3, -2) in coordinate polari.

4 Trasformare il punto P(2,30°) in coordinate cartesiane.

5 Sono dati i numeri complessi 𝑧1 = 2 − 𝑖 , 𝑧2 = 3 + 𝑖 , 𝑧3 = −𝑖 . a) Rappresentare 𝑧1, 𝑧2 , 𝑧3 nel piano di Gauss-Argand.

b) Calcolare: 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 , 𝑧1𝑧2 , 𝑧1𝑧2𝑧3 .

c) Scrivere 𝑧2 sotto forma polare.

d) Calcolare 𝑧25 .

e) Determinare le radici seste di 𝑧3 e rappresentarle nel piano di Gauss-Argand.

6 Dimostrare la formula del prodotto di due numeri complessi espressi sotto forma

polare.


Appendice A – Risposte agli esercizi proposti

§ 1

1 0.2617 (/12); 0.7854 (/4); 2.2748

2 7°4’13’’; 140°22’29’’; 22°30’

3 a) 96°3’16’’;

b) 68°31’28’’

§ 3

1 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −2

3 2 ;

2 𝑡𝑎𝑛𝛼 =1

2 ; 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −

5

5 ; 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −2

5

5

3 𝛼 = 60°: 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 3

2 ; 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 3 ; 𝑐𝑜𝑡𝛼 =

3

3

𝛼 = 300°: 𝑠𝑖𝑛𝛼 = − 3

2 ; 𝑡𝑎𝑛𝛼 = − 3 ; 𝑐𝑜𝑡𝛼 = −

3

3

4 𝑚 = −1

3 , 180° < 𝛼 < 360° ; 𝑚 = −3 non accettabile

180° < 𝛼 < 270° : 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −2 2

3 ; 𝑡𝑎𝑛𝛼 =

2

4 ; 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 2 2

270° < 𝛼 < 360° : 𝑐𝑜𝑠𝛼 =2 2

3 ; 𝑡𝑎𝑛𝛼 = −

2

4 ; 𝑐𝑜𝑡𝛼 = −2 2

5 𝑠𝑖𝑛𝛼 =4

5 ; 𝑐𝑜𝑠𝛼 =

3

5 ; 𝑐𝑜𝑡𝛼 =

3

4

6 𝑚 = −1 ∨ 𝑚 = ∞

§ 4

𝑠𝑖𝑛70° = 𝑐𝑜𝑠20° , 𝑡𝑎𝑛70° = 𝑐𝑜𝑡20° , 𝑐𝑜𝑠70° = 𝑠𝑖𝑛20°

𝑠𝑖𝑛120° = sin 90° + 30° = 𝑐𝑜𝑠30° = 3

2; 𝑐𝑜𝑠120° = −

1

2 , 𝑡𝑎𝑛120° = − 3 , 𝑐 𝑜𝑡120° = −

3

3

𝑠𝑖𝑛230° = sin 180° + 50° = −𝑠𝑖𝑛50° = −𝑐𝑜𝑠40°; 𝑐𝑜𝑠230° = −𝑠𝑖𝑛40°; 𝑡𝑎𝑛230° = 𝑐𝑜𝑡40°; 𝑐𝑜𝑡230° = 𝑡𝑎𝑛40°

𝑠𝑖𝑛345° = −𝑠𝑖𝑛15° ; 𝑐𝑜𝑠345° = 𝑐𝑜𝑠15° ; 𝑡𝑎𝑛345° = −𝑡𝑎𝑛15° ; 𝑐𝑜𝑡345° = −𝑐𝑜𝑡15°

§ 5

1 𝑠𝑖𝑛45° = 𝑐𝑜𝑠45° = 2

2

3 72° = 𝑐𝑜𝑠18° =1

4 10 + 2 5 ; 𝑐𝑜𝑠72° = 𝑠𝑖𝑛18° =

1

4 5 − 1 ; 𝑡𝑎𝑛72° = 𝑐𝑜𝑡18° = 5 + 2 5

4 a) 3

2+

1

2; 𝑠𝑖𝑛90° = 1

b) 2 3+ 5−1

2

c) 1

d) 6

e) 1

5 25 − 10 5 + 5 + 2 5 ;

f) 1

4 5 − 1 +

1

4 10 + 5 ; 1

§ 7

1 2

4 3 − 1 ;

2

4 3 + 1 ; 2 + 3 ;

2

4 3 + 1

3 1+2 6

6 ;

2 2+ 3

6 ;

8 2+9 3

6

4 -1; −4

9 2 ; ∞

5 2 3+ 5

6 ;

15+2

6 ;

6 5−5 3

15+2 15 ;

8 5+9 3

7

6 1 ; 4

9 5 ;

5

20

§ 8

4 a) 24

25 ; −

7

25 ; −

27

7 ; −

2

10 ;

b) 44

125 ; −

23

27 ;

2

11 ; −

4

9


6 1

4 10 − 2 5 ,

1

4 5 + 1 , 5 − 2 5 ,

1

4 5 + 1 ,

1

4 10 − 2 5 ,

1

5 25 + 10 5

7 a) 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 b) 2𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 c) 2𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 d) −2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 e) 2𝑠𝑖𝑛5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

f) 2𝑠𝑖𝑛5𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

8 a) 𝑐𝑜𝑡𝑥

b) −𝑠𝑖𝑛5𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 ; −2𝑠𝑖𝑛𝑥

§ 9

a) 45°; 135°

b) 221°48’36” ; 318°11’24”

c) 63°25’56”

d) 135° ; 225°

e) 78°41’24” ; 258°41’24”

f) -30°; 150°

g) 0°; 60° ; 90° ; 240° ; 350°

h) 18°14’43” ; 78°14’43” ; 138°14’43”

§ 10

1 𝑎) 𝑥 ∉ ℝ

b) ±2.02 + 2𝑘𝜋 ; ±0.696 + 2𝑘𝜋

c) 3

4𝜋 + 𝑘𝜋

d) 2.498 + 2𝑘𝜋 ; 3

2𝜋 + 2𝑘𝜋

e) 1.249 + 𝑘𝜋 ; 𝜋

2+ 𝑘𝜋

f) 1.9635 + 𝑘𝜋 ; 2.7489 + 𝑘𝜋

g) 𝜋

4+ 𝑘𝜋 ;

7

12𝜋 + 𝑘𝜋

h) 4.008 + 2𝑘𝜋 ; 2.67 + 2𝑘𝜋

i) ±𝜋

3+ 𝑘𝜋

j) 𝑘𝜋 ; ±𝜋

9+

2

3𝑘𝜋

k) 𝑘𝜋

3 ; 2𝑘𝜋

m) ±𝜋

4+ 𝑘𝜋 ; ±

𝜋

36+ 𝑘

𝜋

3

n) 3

4𝜋 −

1

2+ 𝑘𝜋 ;

𝜋

12−

1

2+ 𝑘𝜋

2 𝐴 = 𝑎2 + 𝑏2, 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −𝑏

𝑎 .

§ 12

1 a) 𝛽 = 30° ; 𝛾 = 60°; 𝑐 = 4.33 𝑐𝑚

b) 𝛾 = 50°; 𝑏 = 1.93 𝑐𝑚 ; 𝑐 = 2.30 𝑐𝑚

c) 𝑎 = 5𝑐𝑚 ; 𝛽 = 36°52′12" ; 53°7′48"

d) 𝑐 =3 3

3 ; 𝛽 = 60° ; 𝑎 = 2 3 𝑐𝑚

e) 𝑐 = 4.20 𝑐𝑚 ; 𝛾 = 40° ; 𝑎 = 6.53 𝑐𝑚

2 a) 𝛾 = 50° ; 𝑏 = 3.214 𝑐𝑚; 𝑐 = 3.83 𝑐𝑚

b) ℎ =𝑏𝑐

𝑎= 2.46 𝑐𝑚 ; 𝑎1 = 2.46 𝑐𝑚 ; 89.12° ; 90.88°

3 a) 𝑎 = 5 𝑐𝑚; 𝛽 = 36°52′12" ; 𝛾 = 53°7′48"

b) 3.2 𝑐𝑚 ; 1.8 𝑐𝑚

4 = 5 𝑐𝑚 ; 𝛽 = 36°52′12 ; b= 34 cm ; γ=30°57'50; 𝛼 = 112°9′58"

§ 13

1 a) = 44°2′54 ; β=γ=67°58'33"

b) 𝛼 = 46°34′ 3 ; β=104°28'39; 𝛾 = 28°57′18"

c) 𝛽 = 48°35′ 25 ; γ=101°24'35; 𝑐 = 3.92 𝑐𝑚

d) 𝛾 = 100° ; 𝑏 = 7.66 𝑐𝑚 ; 𝑐 = 9.85 𝑐𝑚

e) 𝛽 = 74° ; 𝑐 = 3.52 𝑐𝑚 ; 𝑏 = 5.26 𝑐𝑚


f) 𝑐 = 3.43 𝑐𝑚 ; 𝛼 = 84°15′8" ; 𝛽 = 52°44′52"

2 a) 𝑆 = 6 𝑐𝑚2

b) 𝑆 = 6 6 𝑐𝑚2

5 a) 𝑠 = 15.32 𝑐𝑚2

b) ℎ = 3.06 𝑐𝑚

c) 22.03° ; 27.97°

6 a) 𝑏 = 2.5 ; 𝑐 = 5

2 3

b) 𝐴𝑃 =5

3 3

c) =5

4 13 ; 𝛾 = 60° ; 𝛽1 = 13°53′52"

10 b) i) 𝑟𝐴 = 1.625 𝑐𝑚 ; 𝑟𝐵 = 3.035 𝑐𝑚 ; 𝑟𝐶 = 1.935 𝑐𝑚 ii) 𝛼 = 73° ; 𝛽 = 43.18° ; 𝛾 = 63.82°

iii) 𝑠𝐴 = 2.07 𝑐𝑚 ; 𝑠𝐵 = 2.29 𝑐𝑚 ; 𝑠𝐶 = 2.15 𝑐𝑚

iv) 𝑆𝐴 = 1.68 𝑐𝑚2 ; 𝑆𝐵 = 3.47 𝑐𝑚2 ; 𝑆𝐶 = 2.09 𝑐𝑚2

v) 𝑆 = 0.69 𝑐𝑚2

§ 14

a) periodo = 360°

b) periodo = 180°


c) periodo = 90°

d) periodo = 3

e) periodo = (3/2)

§ 15

a) 𝑥 ∈ 0,𝜋

4 ∪

5

4𝜋, 2𝜋

b) 𝑥 ∈ 0,𝜋

2 ∪

7

6𝜋,

3

2𝜋 ∪

11

6𝜋, 2𝜋

c) 𝑥 ∈ 𝜋

6,

5

6𝜋 ∪

3

2𝜋

d) 𝑥 ∈ −𝜋, −𝜋

6 ∪

𝜋

6, 𝜋

e) 𝑥 ∈ −𝜋, −1.23 ∪ 1.23, 𝜋

f) 𝑥 ∈ 1.11,𝜋

2 ∪

𝜋

2, 1.89 ∪ 4.25,

3

2𝜋 ∪

3

2𝜋, 5.03


§ 16

1 a) 𝑢 = 5 , 𝑣 = 2 ;

b) 𝑢 ∙ 𝑣 = 1

c) 𝑢 , 𝑣 = 71°33′54′′

2 a) 𝑢 = 3 , 𝑣 = 14 ;

b) 𝑢 ∙ 𝑣 = 6 ;

c) 𝑢 , 𝑣 = 22°12′28";

d) 𝑢 × 𝑣 = −2𝑖 + 𝑗 − 𝑘

3 𝑃 13 , 𝜃 , dove 𝜃 ≈ −33.69°

4 𝑃 3 , 1

5

b) 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 5 , 𝑧1𝑧2 = 1 + 2 3 + 𝑖 , 𝑧1𝑧2𝑧3 = 1 − 1 + 2 3 𝑖 ;

c) 𝑧2 = 2 𝑐𝑜𝑠30° + 𝑖𝑠𝑖𝑛30°

d) 𝑧25 = 16 − 3 + 𝑖

e) 𝑤𝑘 = 𝑧36 = 𝑐𝑜𝑠

270°+𝑘360°

6+ 𝑖𝑠𝑖𝑛

270°+𝑘360°

6 =𝑐𝑜𝑠 45° + 𝑘60° + 𝑖𝑠𝑖𝑛 45° + 𝑘60° , con k = 0, 1, 2 3 4 5.

a) e)


Appendice B: Valori numerici delle funzioni goniometriche (0° x 45°)

x sinx cosx tanx cotx

0 0,0000 1,0000 0,0000

1 0,0175 0,9998 0,0175 57,2900

2 0,0349 0,9994 0,0349 28,6363

3 0,0523 0,9986 0,0524 19,0811

4 0,0698 0,9976 0,0699 14,3007

5 0,0872 0,9962 0,0875 11,4301

6 0,1045 0,9945 0,1051 9,5144

7 0,1219 0,9925 0,1228 8,1443

8 0,1392 0,9903 0,1405 7,1154

9 0,1564 0,9877 0,1584 6,3138

10 0,1736 0,9848 0,1763 5,6713

11 0,1908 0,9816 0,1944 5,1446

12 0,2079 0,9781 0,2126 4,7046

13 0,2250 0,9744 0,2309 4,3315

14 0,2419 0,9703 0,2493 4,0108

15 0,2588 0,9659 0,2679 3,7321

16 0,2756 0,9613 0,2867 3,4874

17 0,2924 0,9563 0,3057 3,2709

18 0,3090 0,9511 0,3249 3,0777

19 0,3256 0,9455 0,3443 2,9042

20 0,3420 0,9397 0,3640 2,7475

21 0,3584 0,9336 0,3839 2,6051

22 0,3746 0,9272 0,4040 2,4751

23 0,3907 0,9205 0,4245 2,3559

24 0,4067 0,9135 0,4452 2,2460

25 0,4226 0,9063 0,4663 2,1445

26 0,4384 0,8988 0,4877 2,0503

27 0,4540 0,8910 0,5095 1,9626

28 0,4695 0,8829 0,5317 1,8807

29 0,4848 0,8746 0,5543 1,8040

30 0,5000 0,8660 0,5774 1,7321

31 0,5150 0,8572 0,6009 1,6643

32 0,5299 0,8480 0,6249 1,6003

33 0,5446 0,8387 0,6494 1,5399

34 0,5592 0,8290 0,6745 1,4826

35 0,5736 0,8192 0,7002 1,4281

36 0,5878 0,8090 0,7265 1,3764

37 0,6018 0,7986 0,7536 1,3270

38 0,6157 0,7880 0,7813 1,2799

39 0,6293 0,7771 0,8098 1,2349

40 0,6428 0,7660 0,8391 1,1918

41 0,6561 0,7547 0,8693 1,1504

42 0,6691 0,7431 0,9004 1,1106

43 0,6820 0,7314 0,9325 1,0724

44 0,6947 0,7193 0,9657 1,0355

45 0,7071 0,7071 1,0000 1,0000


Appendice C: Formule di Trigonometria

sin cos2 2 1 sin cos 1 2 cos sin 1 2

costan

1

1 2 sin

tan

tan

1 2

Formule di addizione

sin cos tan cot

0 0 0 1 0

30

6

1

2

3

2

3

3

3

45

4

2

2

2

2

1

1

60

3

3

2

1

2

3 3

3

90

2

1

0

0

Formule di duplicazione Formule parametriche Formule di prostaferesi

sin sin cos

cos

cos sin

cos

sin

tantan

tan

2 2

2 2 1

1 2

22

1

2 2

2

2

2

sin

cos

tan

tan

2

11

12

1

2

2

2

2

2

t

tt

tt

t

t

Formule di bisezione

Formule di triplicazione





tan( )tan tan

tan tan

1

tan( )tan tan

tan tan

1

sin sin sin cos

sin sin sin cos

cos cos cos cos

cos cos sin sin

p qp q p q

p qp q p q

p qp q p q

p qp q p q

22 2

22 2

22 2

22 2

sincos

coscos

tan

cos

cos

cos

sin

sin

cos

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

1

Triangoli rettangoli Triangoli qualunque

b a a c sin cos tan

ab b b

c

sin cos; tan

a b c

sin sin sin

c a a b sin cos tan

ac c c

b

sin cos; tan

a b c bc

b a c ac

c a b ab

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

cos

cos

cos

sin2

1

sin2

1

sin2

1)ABC(

ab

ac

bcArea

A

a

b

c

b

C

a

B A C B

cos3cos43cos

sin4sin33sin

3

3

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Raffaele SANTOROraffaelesantoro.weebly.com/.../trigonometria2007.pdf · 2016-10-16 · Raffaele SANTORO Elementi di trigonometria Scuola Europea di Lussemburgo - Anno Scolastico 1992-93/Seconda