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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN-MATURÍN

DESARROLLO DE GUÍA PRÁCTICA DE LABORATORIO PARAEL USO DE VECTORES EN EL ÁREA DE FÍSICA

Trabajo de Nivelación de Índice

Autor: Ramón Cañizales

Tutor:

Maturín, octubre de 2013



2

ÍNDICE

Pp.CAPÍTULO I …………………………………………………………… 3

Introducción ………………………………………………………….. 3Planteamiento del Problema ………………………………………. 4Objetivos de la Investigación ………………................................. 6

Objetivo General ……………………………………………….. 6Objetivos Específicos ………………………………………….. 6

CAPÍTULO II .…………………………………………... ..................... 7Desarrollo ……………………………………………... ................... 7

Definición de Vectores ………………………………………… 7Magnitudes Escalares …………………………………………. 8Magnitudes Vectoriales ………………………………………... 9Tipos de Vectores ……………………………………………… 10Descomposición en un Sistema de Ejes Cartesianos …….. 12Vectores Unitarios y Componentes de un Vector ………….. 13Suma de Vectores ……………………………………………… 14Resta de Vectores ……………………………………………… 18Producto de un Vector por un Escalar ……………………….. 19Producto Escalar de Dos Vectores …………………………... 20Producto Vectorial ……………………………………………… 21Modulo de un Vector …………………………………………… 22Definición del Cálculo Vectorial ………………………………. 23

Resultados ………………………………………………………….. 24CONCLUSIÓN…………………………………………………………. 38RECOMENDACIONES ………………………………………………. 39

REFERENCIAS………………………………………………………... 40





4

Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente

matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no

más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento

orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos:su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual

puede ser representada mediante la suma de sus componentes

vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o

mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector

con los ejes positivos de coordenadas.

Planteamiento del Problema

La Física es una ciencia experimental, y como tal, los experimentos

juegan un papel vital en su desarrollo. Está basada en la medida de

determinadas magnitudes. Se denomina magnitud a toda aquella propiedad

susceptible de ser medida. Por otra parte, medir una magnitud física no es

más que compararla con un patrón. Por ejemplo, para medir la distancia

entre dos puntos se puede utiliza como patrón una vara, el paso de una

persona. Siempre que se realice una medida se tiene que dar como

resultado un número con su unidad correspondiente, que determina el patrón

que se ha utilizado. Además, en cualquier medida habrá que añadir otro

número que nos informe acerca del error cometido al realizarla.

Los vectores son muy importantes para estudiar fenómenos que

suceden alrededor. Con ellos se pueden explicar por ejemplo: ¿Por qué si se

eleva una cometa cuando el viento está soplando en contra, y se empieza a

correr para mantenerla en el aire, ésta retrocede al punto en que la cuerdacon la que se sostiene, queda inclinada hacia atrás?. En este sentido, se usa

los vectores para representar la velocidad que lleva la cometa y la velocidad

del viento. Lo importante es ubicar los vectores en la dirección en la que se

mueve cada uno.





6

universidades que cuentan con un desarrollo optimo de estos. Siendo esto el

punto de partida para que los estudiantes tengan una mala base de la

asignatura imposibilitando el proceso de enseñanza-aprendizaje. Por otra

parte la física es una de las ciencias naturales que más ha contribuido aldesarrollo y bienestar del hombre, porque gracias a su estudio e

investigación ha sido posible encontrar en muchos casos, una explicación

clara y útil a los fenómenos que se presentan en la vida diaria.

Tomando en cuenta lo expuesto, se lleva a cabo la siguiente

investigación con el propósito de desarrollar una guía para la elaboración de

prácticas basadas en el estudio de los vectores y todo lo que ellos

involucran, a fin de establecer los contenidos programáticos que le serviránal estudiante en el aprendizaje del tema.

Objetivos de la Investigación

Objetivo General

Elaborar una guía práctica de laboratorio para el conocimiento de

vectores en el área de la física, a fin de servir de apoyo a los estudiantes y

docentes en el desarrollo del tema.

Obj etivo s Esp ecífic os

1. Identificar los materiales y equipos que van a intervenir en la práctica de

laboratorio.

2. Describir el procedimiento experimental para el desarrollo de la práctica. 3. Exponer las fórmulas que se utilizarán durante la práctica.

4. Establecer el análisis adecuado en base a los resultados que se

esperan obtener.



7

CAPÍTULO II

DESARROLLO

Definición de Vectores

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector

posee unas características que son:

1. Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto

sobre el que actúa el vector.

2. Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso

conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo

del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

3. Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo

contiene.

4. Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo

del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores,

que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema

de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. El

sistema de referencia que se usa, como norma general, es el Sistema de

Coordenadas Cartesianas. (Ver figura 1)

Figur a 1. Plano Cartesiano. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl



8

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas

cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios,

son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí

y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia. Por ello,

al eje de las X, le corresponde el vector unitario o también denominado

. Del mismo modo, al eje Y le corresponderá el vector unitario o

también denominado j. Finalmente, al eje z, le corresponde el vector unitario

. por tanto, se obtendrá un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente

forma: (Ver figura 2)

Figur a 2. Eje de Coordenadas Cartesiano. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl

Magni tudes Escalares

Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas

quedan correctamente expresadas por medio de un número y la

correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre

otras:1. Masa

2. Temperatura

3. Presión

4. Densidad



9

Magni tudes Vector iales

Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar

determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y unpunto de aplicación.

Vector

Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier

magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en

el que cabe distinguir:

1. Un origen o punto de aplicación: A.

2. Un extremo: B.

3. Una dirección: la de la recta que lo contiene.

4. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.

5. Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB. (Ver figura 3)

Figur a 3. Vector. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl

Clasificación de los Vectores

1. Vectores iguales: Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo

módulo y la misma dirección.

2. Vector libre: Un vector libre queda caracterizado por su módulo,dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se

encuentra.



10

Tipos d e Vectores

Existen distintos tipos o clases de vectores:

Vectores Equipolentes. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo,

dirección y sentido se dice que son equipolentes. ¿Qué quiere decir? Que

miden igual, se encuentran en líneas paralelas y apuntan hacia el mismo

lado. (Ver figura 4)

Figur a 4. Vectores Equipolentes. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl

Vectores Libres: El conjunto de los vectores equipolentes recibe el nombre

de vectores libres. Es decir, que un vector libre es el grupo de vectores que

cuentan con el mismo modulo, dirección y sentido. (Ver figura 5)

Figur a 5. Vectores Libres. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl



11

Vectores Fijos: un vector fijo es el representante de un vector libre. Es decir

que estos serán iguales sólo si tienen igual módulo, dirección, sentido y si

cuentan con el mismo punto inicial. (Ver figura 6)

Figur a 6. Vectores Fijos. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl

Vectores Ligados: son aquellos vectores equipolentes que se encuentran en

la misma recta. Así, esta clase de vectores tendrán la igual dirección,

módulo, sentido y además formarán parte de la misma recta. (Ver figura 7)

Figur a 7. Vectores Ligados. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl

Vectores Opuestos: cuando dos vectores tienen la misma dirección, el mismo

módulo pero distinto sentido reciben el nombre de vectores opuestos. (Ver

figura 8)

Figur a 8. Vectores Equipolentes. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl



12

Vectores Unitarios: son vectores de módulo uno. Si se quiere obtener un

vector unitario con la misma dirección y sentido, a partir del vector dado, se

debe dividir a este último por su módulo. (Ver figura 9)

Figur a 9. Vectores Unitarios. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl

Vectores Concurrentes: si dos vectores tienen el mismo origen se los

denomina vectores concurrentes. (Ver figura 10)

Figur a 10. Vectores Concurrentes. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl

Descomponiendo en u n Sistema de Ejes Cartesianos

a+b=(axi+ay j+ azk)+(bxi+by j+ bzk)=(ax+bx)i+(ay +by) j+(az+bz)k



13

Figura 11. Descomposición de un Sistema de Ejes Cartesianos. Fuente:http://www.profesorenlinea.cl

Propiedades

1. Conmutativa: a+b=b+a

2. Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)

3. Elemento Neutro: a+0=a

4. Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0

Vectores Uni tar ios y Componentes de un Vector

Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de

tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes

coordenados.

Normalizar un Vector

Normalizar un vector consiste en obtener otro vector unitario, de

la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un

vector se divide éste por su módulo.



14

Ejemplo: Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector

unitario de su misma dirección y sentido.

Suma d e Vectores

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de

la siguiente forma:

Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del

otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero

y su extremo en el extremo del segundo. Por tanto, el vector suma de dos

vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo

que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal

representa la resta de dichos vectores. (Ver figura 12)

Figur a 12. Suma de Vectores. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.



15

Propiedades de la Suma de Vectores

Asociativa

+ ( + ) = ( + ) +

Conmutativa

+ = +

Elemento neutro

+ =

Elemento opuesto

+ (− ) =

Procedimiento Gráfico

Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada

Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores

hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que

obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la

diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en la siguiente figura 13

(p. 16)



16

Figura 13. Suma de Vectores. Método Gráfico. Fuente:http://www.profesorenlinea.cl

Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el

segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el

extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que

vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la

siguiente manera: (Ver figura 14)

Figura 14. Suma de Vectores. Traslado de Vectores. Fuente:http://www.profesorenlinea.cl

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma

dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de

vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se

puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A



17

continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores. (Ver figura 8,

p. 15)

Figur a 15. Suma y Resta de Vectores. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl

Método Algebraico para la Suma de Vectores

Dados tres vectores

La expresión correspondiente al vector suma es:

o bien

siendo, por tanto,



18

Resta de Vector es

Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto

de . Las componentes del vector resta se obtienen restando las

componentes de los vectores. (Ver figura 16)

Figur a 16. Resta de Vectores. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl

Ejemplo:



19

Producto de un Vector por un Escalar

El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado

analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características:1. Tiene la misma dirección que v.

2. Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el

opuesto, si k es un número negativo.

3. El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k

es 0 el resultado es el vector nulo).

Analíticamente, se tiene que multiplicar el escalar por cada una de las

coordenadas del vector.

Ejemplo: Dado el vector v de componentes: vxi + vy j + vzk, el producto 3 · v =

3 · vxi + 3 · vy j + 3 · vzk.

La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas

veces como indica el escalar. (Ver figura 17)

Figura 17. Multiplicación de Vector por un Escalar. Fuente:http://www.profesorenlinea.cl

Propiedades

El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes

propiedades:



20

Producto Escalar de Dos Vectores

El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r ·

v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de

uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un

mismo sistema de coordenadas:r = r xi + r y j + r zk

v = vxi + vy j + vzk

teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :

i · i = j · j = k · k = 1

i · j = i · k = j · k = 0

el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:

r · v = r x· vx + r y · vy+ r z · vz

Esta operación no solo permite el cálculo de la longitud de los

segmentos orientados que representan (sus módulos), sino también calcular

el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar

también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo

que forman mediante la fórmula:

r · v = |r| · |v| · cos (r , v)



21

Propiedades

Conmutativa: r · v = v · r

Distributiva: r · (v + u) = r · v + r · u

Asociativa: (k · r ) · v = k · (r · v) = r · (k · v) siendo k escalar.

Además:

1. r · r = 0 si, y sólo sí r = 0.

2. Si r y v <> 0 y r · v = 0, esto implica que los vectores son

perpendiculares, (cos 90º = 0).

3. El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar

escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él.

Ejemplo:

Proyección ortog onal (r v) de r sobre v

rv= |r| cos (r, v) -> r · v = |v| · r v

Producto Vector ial

El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector,

donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del

movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto

de a a b. (Ver figura 18)

Figur a 18. Producto Vectorial. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl



22

Donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el

sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b.

Propiedades

Módulo d e un Vector

Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una

magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo. Gráficamente, es la

distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:

Coordenadas Cartesianas

En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre

tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un

sistema cartesiano tridimensional. Si se toman tres vectores unitarios, i sobreOX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces se puede encontrar puntos ax, ay, az

sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:



23

Figur a 19. Coordenadas Cartesianas. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl

Y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el

módulo de a es:

Definic ión del Cálcu lo Vecto rial

El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis

real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie

de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la

ingeniería y la física. Se considera los campos vectoriales, que asocian un

vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un

escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una

piscina es un campo escalar: a cada punto se asocia un valor escalar de

temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a

cada punto se asocia un vector de velocidad. Cuatro operaciones son

importantes en el cálculo vectorial:

1. Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar;

el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.



24

2. Rotor o rotacional : mide la tendencia de un campo vectorial a rotar

alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo (seudo)

vectorial.

3. Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse en oa converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un

campo escalar.

4. Laplaciano

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente

usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo

vectorial forma un subconjunto.

Resultados

A continuación se exponen los ejercicios que sirven para el desarrollo

de prácticas sobre vectores.

1. Las coordenadas polares de un punto son r = 5.5 m y θ = 240°. ¿Cuáles

son las coordenadas cartesianas de este punto?

X = 5,5 cos 240

X = 5,5 * (-0,5)

X = - 2,75 metros

Y = 5,5 sen 240

Y = 5,5 * (-0,866)

Y = - 4,76 metros

http://es.wikipedia.org/wiki/Laplaciano

http://es.wikipedia.org/wiki/Laplaciano



25

2. Si las coordenadas rectangulares y polares de un punto son (2,Y) y

(r,300 ) respectivamente. Determine Y y r.

Coordenadas cartesianas (2, Y)Coordenadas polares (r, 300)

Y = 2 * tg 30

Y = 2 * (0,5773)

Y = 1,15 metros



26

3. Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares (2.5 m, 300) y (3.8

m, 120°). Determine (a) las coordenadas cartesianas de estos puntos y

(b) la distancia entre ellos.

Y1 = 2,5 sen 30

Y1 = 2,5 * 0,5

Y1 = 1,25 metros

X1 = 2,5 cos30

X1 = 2,5 * 0,866

X1 = 2,16 metros

(X1 , Y1) = (2.16 , 1.25) metros

Y2 = 3,8 sen 120

Y2 = 3,8 * 0,866

Y2 = 3,29 metros



27

X2 = 3,8 cos 120

X2 =3,8 * (-0,5)

X2 = - 1,9 metros

(X2 , Y2) = (-1.9 , 3.29) metros

ΔX = (X2 – X1 )= (-1.9 – 2.16)

ΔX = (- 4.06)

ΔY = (Y2 – Y1 )= (3.29 – 1.25)

ΔY = (2.04)



28

4. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior

izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de

coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada

en el punto que tiene coordenadas (2, 1) m, (a) ¿qué tan lejos está de la

esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?

5. Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas (2, -4) m y (-

3,3) m. Determine (a) la distancia entre estos puntos y (b) suscoordenadas polares

(x1, y1) = (2, -4)

(x2, y2) = (-3, 3)



29

d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

d2 = (-3- 2)2 + (3- [ - 4])2

d2 = (-5)2 + (3 + 4)2

d2 = (-5)2 + (7)2 d2 = (25) + (49)

d2 = (74)

d = 8,6 m

r 2 = - 32 + (3)2

r 2 = 9 + 9

r 2 = 18

r = 4,24 m

β = arc tg - 1

β = - 45°

θ1 + β = 180°



30

θ1 = 180° - 45

θ1 = 135°

6. Un avión vuela 200 km rumbo al oeste desde la ciudad A hasta laciudad B y después 300 km en la dirección de 30 grados al noroeste de

la ciudad B hasta la ciudad C.

a) En línea recta, que tan lejos está la ciudad C de la ciudad A.

b) Respecto de la ciudad A en qué dirección está la ciudad C?

BX = 300 cos 30BX = 300 * (0,866)

BX = 259,8 metros

RX = BX + 200

RX = 259,8 + 200

RX = 459,8 metros

CY = 300 sen 30

CY = 300 * 0,5

CY =150 metros

Por Pitágoras

R2 = (CY)2 + (RX)2

R2 = (150)2 + (459,8)2

R2 = 22500 + 211416,04

R2 = 233916,04

R = 483,64 metros



31

Tg β = 0,326228

β = arc tg 0,326228

β = 18,06°

La ciudad C esta a 483,64 km de la ciudad A. La ciudad C esta 18,06

grados al Nor-Oeste de la ciudad A

7. Las coordenadas cartesianas de un punto del plano xy son (x,y) = (-

3.5,-2.5) m, como se ve en la figura 3.3. Hállense las coordenadas

polares de este punto.

tg β = 0,714

β = arc tg 0,714

β = 35,520

θ = 180 + β

θ = 180 + 35,52

θ = 215,520



32

8. Un perro que busca un hueso camina 3,5 metros hacia el sur, después

8,2 metros en un ángulo de 300 al Nor-Este y finalmente 15 metros al

Oeste. Encuentre el vector de desplazamiento resultante del perro

utilizando técnicas graficas.

BY = 8,2 * sen 30

BY = 8,2 * 0,5

B Y = 4,1 metros

3,5 + AY = BY

3,5 + AY = 4,1

AY = 4,1 – 3,5

A Y = 0,6 metros

BX = 8,2 * cos 30

BX = 8,2 * 0,5866

BX = 7,1 metros

15 = DX + BX

15 = DX + 7,1

15 – 7,1 = DX



33

DX = 7,9 metros

tg β = 7,5949 * 10- 2

β = arc tg 7,5949 * 10- 2

β = 4,340

9. Los vectores mostrados en la figura tienen la misma magnitud (10

unidades). El vector (b+c) + (d+a) - 2c, es de magnitud:

a. 0

b. 20

c. 10

d. 20 2

e. 10 2

Solución:

Este es un problema de aplicación del método del polígono. Proceda

primeramente a encontrar el vector ( b + c), haga lo mismo con el vector (d +

a). Notará usted observando el gráfico, que el vector (b + c) tiene la mismamagnitud del vector ( d + a), pero dirección contraria, por tanto:

(b + c) + (d + a) = 0





35

para que no oculte a los otros vectores en el diagrama, el vector resultante

es el que se dirige desde el origen del primero al extremo del último

Sería un vector de 5 unidades dirigido a la izquierda.

11. Dos vectores a y b tienen 10 y 15 unidades respectivamente, si la

resultante de la suma de los vectores tiene 20 unidades, el ángulo entre

los vectores es

a. 75,5º

b. 70,0º

c. 65,5º

d. 60,0

e. 55,5º

Solución:

En este problema disponemos de las magnitudes de los dos vectores

componentes y de la resultante de la suma de ellos. Un problema típico de

aplicación de la ley del coseno. Recuerde que la ley del coseno relaciona las

magnitudes de los vectores componentes y de la resultante, así como del

ángulo formado entre los vectores componentes. Llamemos c al vectorresultante de la suma de los vectores a y b.



36

12. Para el paralelepípedo de la figura, determine el ángulo formado entre

los vectores a y b.

a. 45,0º

b. 48,2º

c. 50,2º

d. 53,8º

e. 55,2º



37

Solución:

Apliquemos nuevamente la ley del coseno para encontrar el ángulo

entre los vectores. Aquí necesitamos conocer las magnitudes de los vectores

a y b y de la resultante de la suma de ellos. Con los valores de los lados delparalelepípedo obtenemos los vectores a y b en función de sus componentes

rectangulares, una vez determinados a y b pasamos a calcular la resultante

de la suma de los dos, digamos el vector c; (c = a + b).



38

CONCLUSIONES

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como

representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida

con el extremo origen del otro vector.

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es

el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual

a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es

negativo.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es

mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando

están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base)

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por

, , paralelos a los ejes de coordenadas x , y , z positivos.

Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendoreferencia al origen y al extremo del segmento orientado que la

representa geométricamente.

Un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud

o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede

ser representada mediante la suma de sus componentes

vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o

mediante coordenadas polares.



39

RECOMENDACIONES

Elaborar guías para el desarrollo de prácticas en el área de física, que

sirvan de apoyo a los estudiantes a la hora de estudiar.

Aplicar estrategias educativas acorde a las necesidades de los

alumnos.



REFERENCIAS

Pinela, F. (2008). Ejercicios de Vectores. Documento en línea disponible en

http://academia2011.files.wordpress.com/2012/03/vectores-

problemas.pdf

Racero, O. (2000). Vectores. Documento en línea disponible en

http://www.monografias.com/trabajos35/vectores/vectores.shtml

http://tochtli.fisica.uson.mx/electro/vectores/definici%C3%B3n_de_vectores.ht

m

http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1.html

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