Random Walk

2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 1

Random Walk

36 försök medRandom walk med 1000 steg.

Beräknad genomsnittligräckvidd är 100032.

Visualisering av utfallsrummed en gränsfunktion.


Vad är slumptal?

• Äkta slumptal utgår från fysikaliska processer!- singla slant- kasta tärning (jmf Lotto-spelen)- antal radioaktiva sönderfall under en viss tid

• Pseudo-slumptal genereras genom någon(matematisk) metod!- 7:e decimalen ur kvadratroten(ur alla heltal)t.ex. (för att ta en enkel – men dålig – metod).

• En standardslumptalsgenerator genererar slumptalmellan 0 och 1 med en flat gränsvärdesfördelning.


Slumptal mellan 0 och 1

10 slumptal(bin=1/1000)

100 slumptal(bin=1/1000)

1 000 slumptal(bin=1/1000)

10 000 000 slumptal(bin=1/10000)

Funktionen rand() i MatLab


Summera slumptal mellan 0 och 1

Vi noterar att fördelningarna samlas kring det sanna värdet som i dessa fall är 1 (vänster), 2,5 (mitten) och 10 (höger)

I varje histogram finns 10 000 samplade värden på summorna

2

1iix

5

1iix

100

1iix


Gränsvärdesfunktionen

Grön kurva

5

1iix

Blå kurva

100

1iix

Röd kurva

2

1iix


Centrala gränsvärdessatsen

Om vi summerar ett stort antal slumpmässigt fördelade tal, så kommer den asymptotiska fördelningen för summan attunder vissa allmänna villkor, gå mot en normalfördelning.

Detta gäller oberoende av hur fördelningen ser ut för de termer som ingår i summan!!

Central Limit Theorem på engelska eller Normal Convergence Theorem


Normalfördelningsfunktionen

Normerad till 1, dvs integralen av f för - < x < + är 1. Maximum vid x = Symmetrisk runt x = När är litet så blir exponenten stor -> lutningen blir större. När är litet så blir normaliseringskonstanten större -> höjden vid

toppen blir relativt sett högre.

Men hur ser den ut då?

2

2

2 2

)(exp

2

1),f(x;

x


Grafisk form av f(x;, ) 1

2 2exp

(x )2

2 2

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

sigma = 1.0

sigma = 0.5

sigma = 0.1

Genom att sätta para-metern = 0 (medel-värdet noll) skrivsfunktionen:

2

2

2 2exp

2

1),0f(x;

x

Sätter vi dessutombredden = 0 får vi:

2

exp2

1)1,0f(x;)1,0(

2xN


Tolkningen av: f(x;, ) 1

2 2exp

(x )2

2 2

Tolkning av normalfördelningsfunktionen som en sannolikhetsfördelning.Utfallet av en mätning ges med en viss sannolikhet.

(99,73 %)

(95,45 %)

(68,27 %)


Felfunktionen erf(t)

Notera att MatLabs erf(t) ärdefinierad med s2 = 1/2 i motsatstill bokens s2 = 1.Dvs sannolikheten att vid en mätningfinna ett värde mellan -1 < t < +1blir = erf(1/sqrt(2)) = 68,27%

0,6827


Parametrarna för denasymptotiska fördelningen

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

4

5

6

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

4

5

6

Teorin ger oss en asymptotisk fördelning

Mätningar ger oss en verklig fördelningsom av många olika skäl bara innehåller ett mycket begränsat antal mätningar!

Minsta kvadratmetoden låter oss bestämma vilka värden på de teoretiska parametrarna som ger bästa överensstämmelsen


”Real life” example!

Vi noterar att statistiken (antalethändelser) är inte överväldigande.

Stora fluktuationer i data – vad ärsignal och vad är inte signal?

Generering av bakgrund (blå linje)med hjälp av slumptal (många stor-leksordningar högre statistik så attosäkerheten blir liten).

Den röda kurva motsvarar enavvikelse från den röda med 5,3standardavvikelser.


Längden av en student!

Längden hos 18 manliga studenter på fysiklinjen 2002:

179, 176, 173, 174, 182, 191, 192, 182, 169, 170, 181, 183, 178, 173, 171, 177, 176, 184.

140 150 160 170 180 190 200 210 2200

0.5

1

1.5

längd i cm

Manliga studenter Fysiklinjen 2002

160 165 170 175 180 185 190 195 2000

1

2

3

4

5

6

längd i cm


Mindre bra

Bättre


Histogram med anpassade data

160 165 170 175 180 185 190 195 2000

1

2

3

4

5

6

längd i cm


Medelvärde 178.4

Sigma 6.57


En ”riggad” tärning

Nedan visas utfallet för kastmed en normal tärning.Gränsfunktionen förväntasvara en konstant P(x) = 1/6för 1 x 6.

Denna tärning misstänker vi vara riggad!


Bestämning av P(x)

x

y

z

a b c d e f

Antag att vi har antalet utfall som i figuren:p(1) = a, P(2) = b, P(3) = c, P(4) = d, P(5) = e, P(6) = f.Antag vidare att den ”sanna” fördelningen bör vara:P(1) = x, P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = y, P(6) = z.

Vilka värden på parametrarna för den asymptotiska (sanna) fördelningen ger bäst överensstämmelse med observationerna?

Ett sätt att välja de “bästa” värdena för parametrarna är att minimera skillnaden mellanobservationer och förväntade värden:

• Vi kan inte gärna välja att summera skillnaderna (observation – förväntad). Bidrag med olikatecken kan då summeras till noll även om bidragen i sig är stora.

• Summan av |observation – förväntad| löser det problemet, men två små avvikelser blirlika viktiga som en stor.

• Summan av (observation – förväntad)2 löser även det problemet. Denna metod - minsta kvadratmetoden har i allmänhet andra teoretiska fördelar, och är den som oftast används.


Minstakvadratmetoden

Obs medelvärdet av b,c,d,e!

”a” mätt endast en gång (liksom ”y”)!


Exempel på utfall!

Utfall från en riggad tärning

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

1 2 3 4 5 6

Utfall

Pro

ce

ntu

ell

förd

eln

ing

# Nomi-nellt

Utfall Beräk-nat

Alterna-tivt

1 0,143 0,146 0,146 0,148

2 0,164 0,163 0,165 0,165

3 0,164 0,156 0,165 0,165

4 0,164 0,166 0,165 0,165

5 0,164 0,176 0,165 0,165

6 0,200 0,192 0,194 0,192


Nomenklaturen

Medelvärdet (stickprovsmedelvärdet)kan skrivas

Standardavvikelsen (stickprovsvariansen)kan skrivas (V = variansen)

N

ii

N xNN

xxxxx

1

21 1

N

iix xx

NsxV

1

222 )(1

1)(

I MatLab beräknas medelvärdet: <x> = mean(x)

I MatLab beräknas kvadratroten ur variansen: s = std(x)


Uppgifter

4.2 medelvärdet 9,7 Standardavvikelsen = 0,2 (0,16)

4.3 Räkna själva med samma mall som ovan

4.5 På tavlan

4.9


Problem 4.2

Student g (gi - <g>) (gi - <g>)^2

1 9,9 0,2 0,04

2 9,6 -0,1 0,01

3 9,5 -0,2 0,04

4 9,7 0,0 0,00

5 9,8 0,1 0,01

<g> 9,7 Summan= 0,10

Medelvärdet blir 9,70 och standardavvikelsen blir 0,10 som beräknas genom

Observera att 0,10 (standardavvikelsen) INTE är ett mått på osäkerheten i medelvärdet!Detta återkommer vi till i nästa lektion.

16,0)15(

10,0

Documents

Random Walk