Upload
tranthuy
View
245
Download
15
Embed Size (px)
Citation preview
RANK MATRIKS ADJACENCY DARI GRAF
SKRIPSI
NOVITA ADELIA
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
SURABAYA
2012
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
RANK MATRIKS ADJACENCY DARI GRAF
SKRIPSI
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Bidang Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga
Oleh :
NOVITA ADELIA
NIM. 080810550
Tanggal Lulus : 14 Agustus 2012
Disetujui Oleh :
Pembimbing I
Nenik Estuningsih,S.Si, M.Si
NIP. 19720630 199702 2 001
Pembimbing II
Dra. Yayuk Wahyuni, M.Si
NIP. 19641224 199102 2 001
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
iii
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI
Judul : Rank Matriks Adjacency dari Graf
Penyusun : Novita Adelia
NIM : 080810550
Pembimbing I : Nenik Estuningsih, S.Si, M.Si
Pembimbing II : Dra. Yayuk Wahyuni, M.Si
Tanggal Seminar : 14 Agustus 2012
Disetujui Oleh :
Pembimbing I
Nenik Estuningsih,S.Si, M.Si NIP. 19720630 199702 2 001
Pembimbing II
Dra. Yayuk Wahyuni, M.Si NIP. 19641224 199102 2 001
Mengetahui :
Ketua Program Studi S-1 Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Airlangga
Dr. Miswanto, M.Si NIP. 19680204 199303 1 002
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
iv
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam
lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi
kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan
sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik
Universitas Airlangga.
Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
v
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.
Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan
rahmat-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
“Rank Matriks Adjacency dari Graf ”. Dalam penyusunannya,
penyusun memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penyusun
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Kedua orang tua tercinta, Achwan Arif dan Siti Lailatul Badriyah, serta adik
tersayang Dendy Adityawan P. yang telah memberikan dukungan, kasih
sayang, harapan dan kepercayaan yang begitu besar.
2. Nenik Estuningsih, S.Si, M.Si dan Dra.Yayuk Wahyuni, M.Si selaku dosen
pembimbing I dan II yang telah memberikan banyak arahan, masukan,
perhatian, semangat, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak
ternilai harganya.
3. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si selaku dosen penguji bersama Dr. Miswanto,
yang telah memberikan saran-saran untuk kesempurnaan skripsi ini.
4. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si. selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa
Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang telah banyak
memberikan arahan dan saran demi kesuksesan menjadi mahasiswa
Matematika.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
vi
5. Segenap dosen Departemen Matematika Universitas Airlangga yang telah
banyak memberikan bimbingan dan masukan mulai dari awal hingga akhir
masa perkuliahan.
6. Mas Edi, mas Udin, mas Aziz, mas Khoni, Pak Budi dan segenap karyawan
yang telah membantu memperlancar keperluan di kampus.
7. Mas Indra Kurniawan dan keluarga yang telah banyak memberikan semangat
dan motivasi. Terima kasih buat ketulusan dan kasih sayangnya.
8. Sahabatku Faizah, Safiq, Mbak Mei, Zuda, Citra, Arifah, Mas Aga, Mas Hari
yang banyak memberikan support .
9. Teman-teman Matematika 2008 atas kekompakan dan rasa kekeluargaan yang
begitu hangat.
10. Gesty, Mbak Astrid dan teman-teman kos Hayu Karang Menjangan, Ani,
Bayu, Vembri, Cahyono, dan teman-teman Nimsener, terima kasih atas
dukungan dan hiburannya.
11. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih
atas segala bantuan dalam penyelesaian skripsi ini.
Penyusun menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan,
untuk itu mohon kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan
skripsi ini.
Akhir kata, penyusun berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.
Wassalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.
Surabaya, Agustus 2012
Penyusun
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
vii
Novita Adelia, 2012, Rank Matriks Adjacency dari Graf . Skripsi ini di bawah bimbingan Nenik Estuningsih, S.Si, M.Si dan Dra.YayukWahyuni, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.
ABSTRAK
Graf dan matriks memiliki banyak peranan penting dalam kehidupan sehari-
hari. Karena itulah banyak penelitian telah dilakukan mengenai graf, salah satunya
adalah tentang rank matriks adjacencynya. Selama beberapa tahun terakhir sejumlah
penelitian telah dilakukan mengenai rank matriks adjacency dari cross product dua
graf khusus. Matriks adjacency dari graf dengan titik, adalah suatu
matriks dengan jika titik terhubung dengan titik di dan jika
titik dan tidak terhubung, dengan and adalah titik-titik di . Sedangkan
rank adalah banyaknya baris atau kolom dari matriks tersebut yang bebas linier.
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk menentukan hubungan antara
rank matriks adjacency dengan rank matriks adjacency dari masing-masing
graf tangga dan graf path . Sebelum menentukan bentuk umum dari matriks
adjacency graf terlebih dahulu ditentukan bentuk umum dari matriks
adjacency graf tangga . Selanjutnya untuk menentukan rank matriks adjacency
dari graf tangga dan graf digunakan program M-file MATLAB. Hasil
program tersebut kemudian dianalisis sesuai dengan konsep aljabar. Dari hasil
analisis diperoleh rumusan umum rank matriks adjacency dari graf tangga adalah
untuk dan untuk dengan . Sementara dari
hasil analisis rank matriks adjacency dari graf , tidak ditemukan keteraturan
pola rank berdasarkan dan .
Kata Kunci: Graf Tangga, Matriks Adjacency, Rank.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
viii
Novita Adelia, 2012, The Rank of Adjacency Matrices from Graph.
This final project is under advised by Nenik Estuningsih, S.Si, M.Si and Dra. Yayuk Wahyuni, M.Si, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya.
ABSTRACT
Graphs and matrices have many important roles in everyday life. That's why a
lot of research has been done on the graph, one of which is about the rank of its
adjacency matrix. During recent years numerous studies have been done regarding
the rank of the adjacency matrix from the cross product of two special graphs. The
adjacency matrix of a graph with vertices, is a matrix in which
if vertex is adjacent to in and , otherwise, where and are
vertices of . While rank is the number of rows or columns of the matrix which are
linearly independent.
The purpose of this final project is to determine the relationship between the
rank of adjacency matrix from graph and the one from ladder graph and
path respectively. Before determining the general form of adjacency matrix
from graph, first we determine the general form of the adjacency matrix from
ladder graph . Then, to determine the rank of the adjacency matrix from ladder
graph and graph we use M-file MATLAB program. The results of the
program is then analyzed according to the concepts of algebra. From the analysis we
obtain the formula of the rank of adjacency matrix from ladder graph is for
and for where . While, from the analysis of the
rank of adjacency matrix from graph, it can’t be found the regularity of the
pattern of rank according to and .
Kata Kunci: Ladder Graph, Adjacency Matrix, Rank.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
ix
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i
LEMBAR PERNYATAAN ................................................................................ ii
LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................... iii
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ........................................................... iv
KATA PENGANTAR ........................................................................................ v
ABSTRAK ........................................................................................................ vii
ABSTRACT ..................................................................................................... viii
DAFTAR ISI ...................................................................................................... ix
DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... x
DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... xi
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang Masalah .......................................................................... 1
1.1 Rumusan Masalah ................................................................................... 3
1.2 Tujuan ..................................................................................................... 3
1.3 Manfaat ................................................................................................... 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................... 4
2.1 Graf ......................................................................................................... 4
2.2 Matriks .................................................................................................... 6
BAB III METODOLOGI PENELITIAN.......................................................... 15
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .......................................................... 18
4.1 Rank Matriks Adjacency dari Graf Tangga .......................................... 18
4.2 Rank Matriks Adjacency dari Graf ......................................... 33
BAB V PENUTUP ............................................................................................ 46
5.1 Kesimpulan ........................................................................................... 46
5.2 Saran ...................................................................................................... 46
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 47
LAMPIRAN
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
x
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Gambar Halaman
1 Gambar 1 4
2 Gambar 2 5
3 Gambar 3 6
4 Gambar 4 18
5 Gambar 5a 33
6 Gambar 5b 33
7 Gambar 5c 34
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul Lampiran
1. Program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf tangga
dengan M-File MATLAB beserta outpunya pada command window.
2. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf Tangga dengan
3. Program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf
dengan menggunakan bantuan M-File MATLAB beserta outputnya di
command window.
4. a. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf dengan
dan
b. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf dengan
dan
c. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf dengan
dan
d. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf dengan
dan
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan bagian penting dari ilmu pengetahuan dan teknologi
saat ini. Hal ini disebabkan teori graf banyak diaplikasikan pada berbagai
macam bidang, di antaranya adalah kimia, fisika, biologi, teknik lingkungan,
arsitektur, jaringan transportasi, riset operasi, teknik industri, teknik sipil,
bahkan di bidang ekonomi. Karena alasan itu pula sejumlah penelitian telah
dilakukan untuk mengembangkan teori-teori yang sudah ada sebelumnya.
Salah satu penelitian yang banyak dilakukan adalah penelitian tentang
keterhubungan suatu graf. Hal ini berkaitan erat dengan salah satu aplikasi
graf dalam kehidupan sehari-hari yaitu untuk menentukan lintasan terpendek
(shortest path) dengan ketentuan bahwa suatu titik harus terhubung dengan
titik-titik yang lain.
Graf G didefinisikan sebagai himpunan berhingga GV yang tidak
kosong yang anggota-anggotanya disebut titik (vertice) dan himpunan GE
yang mungkin kosong, yang anggota-anggotanya terdiri dari himpunan bagian
dari GV dengan dua elemen dan disebut garis (edge). Sebuah graf dapat
disajikan dalam suatu matriks yang dinamakan matriks adjacency (matriks
keterhubungan) dengan baris dan kolomnya menyatakan titik – titik graf dan
elemen matriks menyatakan keterhubungan antar titik graf tersebut. Jika kedua
titik dalam graf tersebut terhubung maka elemen matriks tersebut bernilai 1
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
2
dan jika kedua titik dalam graf tersebut tidak terhubung maka elemennya
bernilai 0.
Rank matriks adalah banyaknya baris atau kolom dari matriks tersebut
yang bebas linier. Penelitian tentang rank matriks adjacency dari graf khusus
(graf sikel, lengkap, bintang dan path) serta join dua graf khusus telah
dilakukan oleh Estuningsih (2008). Selain operasi join, dalam graf juga
terdapat operasi hasil kali kartesian antara dua graf (cross product), yaitu graf
yang terbentuk dari keterhubungan antar setiap titik-titik pada dua graf.
Penelitian tentang rank matriks adjacency hasil cross product graf path
dengan graf sikel telah dilakukan oleh Handayani (2011). Penelitian tentang
rank matriks adjacency hasil cross product graf star dengan graf sikel telah
dilakukan oleh Latifah (2011). Sedangkan penelitian tentang rank matriks
adjacency hasil cross product graf sikel dengan graf sikel telah dilakukan oleh
Istiqomah (2012). Berdasarkan uraian tersebut peneliti tertarik untuk
melanjutkan penelitian menentukan rank dari matriks adjacency hasil cross
product dua graf yang merupakan pengembangan dari graf-graf khusus yang
telah disebutkan di atas. Graf yang digunakan adalah graf tangga dan
graf path dengan ordo . Graf tangga sendiri adalah graf hasil cross
product dari graf path berordo dengan graf , dengan kata lain
(Ngurah, dkk, 2010). Selanjutnya akan diteliti mengenai
hubungan antara rank matriks adjacency dari graf hasil cross product antara
graf tangga dan graf path dengan rank matriks adjacency dari
masing-masing graf tangga dan graf path dan kemudian dianalisis
menurut konsep aljabar.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
3
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah tersebut di atas, maka rumusan
masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah bagaimana hubungan rank
matriks adjacency graf tangga , dan graf path dengan rank matriks
adjacency dari graf ?
1.3 Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan skripsi ini
adalah menentukan hubungan rank matriks adjacency graf tangga , dan
graf path dengan rank matriks adjacency dari graph .
1.4 Manfaat
Manfaat dari tulisan ini diharapkan dapat menambah keluarga graf yang
sudah diketahui rank matriks adjacencynya. Selain itu, informasi yang didapat
dari penulisan ini akan membantu penelitian lebih lanjut tentang matriks
adjacency dari cross product antara dua graf khusus yang lain.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
4
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Graf
Definisi 2.1 Graf didefinisikan sebagai himpunan berhingga yang tidak
kosong yang anggota-anggotanya disebut titik (vertice) dan himpunan
yang mungkin kosong, yang anggota-anggotanya terdiri dari
himpunan bagian dari dengan dua elemen dan disebut garis (edge).
Elemen dari dinotasikan dengan dan elemen dari
dinotasikan dengan . Jika terdapat garis yang menghubungkan titik dan ,
maka dikatakan adjacent dengan , dalam hal ini titik dan dikatakan
incident dengan .
(Chartrand dan Oellerman, 1993)
Contoh 1 : Pada Gambar 1 graf terdiri dari
dan .
v1
v2
v5 v6
e2
e3
e4
e6
e7
v3
e1
e8
e5
Gambar 1. Graf
e9
v4
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
5
Definisi 2.2 Jumlah titik dalam sebuah graf dinamakan ordo (order) dari ,
dan jumlah garis dalam graf dinamakan ukuran (size) dari . Ordo dari
dapat ditulis dan ukuran dari dapat ditulis .
(Chartrand dan Oellerman, 1993)
Definisi 2.3 Perjalanan (walk) dari graf adalah rangkaian secara bergantian
elemen dan elemen yang berbentuk
yang diawali dan diakhiri dengan titik,
sehingga setiap garisnya incident dengan dua titik terdekat sebelum dan
sesudahnya. Penulisan dapat disingkat menjadi
.
Panjang walk adalah banyaknya garis dalam walk tersebut.
(Chartrand dan Oellerman, 1993)
Definisi 2.4 Lintasan (Path ) adalah walk yang semua titiknya berbeda.
Graf path merupakan graf dengan ordo yang merupakan lintasan. Graf
path dengan ordo n dinotasikan dengan .
(Chartrand dan Oellerman, 1993)
Gambar 2
Contoh 2 : Pada Gambar 2, merupakan titik-titik pada graf path
yang dinotasikan dengan .
Definisi 2.5 Hasil kali kartesian (cross product) dua graf dan dinotasikan
dengan didefinisikan sebagai graf yang memiliki himpunan titik
v1 v2 v3 v4 v5
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
6
, dan dua titik dan adjacent pada
jika hanya jika
dan E(G2) , atau
dan E(G1)
(Chartrand dan Oellerman, 1993)
Contoh 3 : Pada Gambar 3,
merupakan titik-titik pada graf hasil cross pruduct graf path berordo 3
dengan graf path berordo 2 yang dinotasikan dengan .
Definisi 2.6 Graf tangga ( ) merupakan hasil cross product dari graf path
berordo n dengan graf path berordo dua, atau dapat ditulis .
(Ngurah, dkk, 2010)
2.2 Matriks
Bahasan mengenai matriks dapat menyangkut banyak hal, mulai dari jenis-
jenisnya hingga komponen-komponen yang ada di dalamnya. Salah satu jenis
matriks yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah matriks simetri
yang dijelaskan dalam definisi berikut
Gambar 3
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
7
Definisi 2.7 Matriks simetri merupakan sebuah matriks persegi yang
hasil transposenya adalah dirinya sendiri . Dengan kata lain untuk
setiap baris ke-i dan kolom ke-j dengan dan berlaku
, dengan ) menyatakan elemen ke – dari matriks
.
(Jacob, 1990)
Selain jenis-jenis matriks, bahsan mengenai matriks juga menyangkut
komponen-komponen di dalamnya, seperti ruang baris, ruang kolom, dan rank.
Sebelum membahas tentang rank terlebih dahulu diberikan definisi mengenai
operasi baris elementer, ruang baris, dan ruang kolom, serta basis dan dimensi.
Definisi 2.8 Diberikan sebarang matriks berukuran , sebuah operasi
baris [kolom] elementer yang diterapkan pada matriks adalah salah
satu dari aturan berikut:
i. Menukar baris [kolom] ke-i dan baris [kolom] ke-j, dinyatakan dengan
bij [kij].
ii. Menggandakan setiap elemen baris [kolom] ke i dengan skalar 0l ,
dinyatakan dengan bi(l) [ki(l)].
iii. Menambahkan l kali elemen-elemen baris [kolom] ke-j (l skalar)
kepada baris [kolom] ke-i, dinyatakan dengan bij(l) [kij(l)].
(Friedberg, Insel dan Spence, 2003)
Definisi 2.9 Matriks Elementer adalah matriks yang didapat dari matriks
identitas berukuran dengan satu operasi baris elementer.
(Jacob, 1990)
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
8
Teorema 2.10 Diberikan matriks berukuran dan matriks yang
diperoleh dari dengan satu operasi baris elementer, maka terdapat
sebuah matriks elementer berukuran yang memenuhi ,
dimana diperoleh dari sebuah matriks identitas berukuran
dengan operasi baris elementer yang sama yang diterapkan pada untuk
mendapatkan . Sedangkan jika matriks yang diperoleh dari dengan
satu operasi kolom elementer, maka terdapat sebuah matriks elementer
berukuran yang memenuhi , dimana diperoleh dari sebuah
matriks identitas berukuran dengan operasi kolom elementer yang
sama yang diterapkan pada untuk mendapatkan .
(Friedberg, Insel dan Spence, 2003)
Teorema 2.11 Setiap matriks elementer mempunyai invers, dan invers dari
matriks elementer adalah matriks elementer.
(Jacob,1990)
Definisi 2.12 Misalkan adalah sebuah matriks berukuran atas bilangan
real. Ruang bagian dari ruang vektor yang dibangun oleh baris-baris dalam
matriks disebut sebagai ruang baris dari , dan dinotasikan row( ).
Sedangkan ruang bagian dari ruang vektor yang dibangun oleh kolom-kolom
dalam matriks disebut sebagai ruang kolom dari , dan dinotasikan col( ).
Ruang bagian dari yang berisi semua penyelesaian dari disebut ruang
null dari , dan dinotasikan ker( ).
(Jacob, 1990)
Definisi 2.13 Suatu vektor dapat disebut sebagai kombinasi linier (linear
combination) dari vektor-vektor , jika dapat dinyatakan
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
9
sebagai jumlahan berhingga yang berbentuk
dengan merupakan skalar, .
(Jacob, 1990)
Definisi 2.14 Sebuah himpunan vektor-vektor dikatakan bebas
linier (linearly independent) jika
mengakibatkan skalar .
(Jacob, 1990)
Definisi 2.15 Himpunan semua kombinasi linier dari disebut ruang bagian
yang dibangun oleh dan dinotasikan atau span . Dalam hal ini
dikatakan sebagai pembangun atau generator dari span .
(Jacob, 1990)
Definisi 2.16 Himpunan vektor-vektor disebut basis dari ruang
vektor jika :
i. bebas linier.
ii. = span
Banyaknya vektor dalam suatu basis disebut dimensi.
(Jacob, 1990)
Teorema 2.17 Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah
matriks.
(Jacob, 1990)
Dalam teori matriks, dikenal suatu bentuk matriks yang dinamakan bentuk
eselon baris tereduksi. Bentuk ini didapatkan dengan cara melakukan sejumlah
operasi baris elementer tertentu pada suatu matriks. Berdasarkan Teorema 2.17,
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
10
ruang baris dari suatu matriks adalah sama dengan ruang baris dari bentuk eselon
baris terduksinya, sehingga dapat dicari basis dari ruang baris dan ruang kolom
suatu matriks dengan menggunakan bantuan dari bentuk eselon baris
tereduksinya. Sehingga hal tersebut dituliskan dalam teorema berikut
Teorema 2.18 Misalkan adalah matriks berukuran dan adalah bentuk
eselon baris tereduksi dari , maka
i. Basis dari row( ) adalah baris-baris tidak nol dari .
ii. Basis dari col( ) adalah kolom-kolom yang bersesuaian dengan
kolom-kolom yang memuat 1 utama pada .
(Jacob, 1990)
Definisi 2.19 Misalkan adalah matriks berukuran , rank dari matriks
adalah dimensi dari ruang baris atau ruang kolom , dinotasikan dengan
rk( ).
(Jacob, 1990)
Berdasarkan teorema 2.18, dari definisi di atas didapatkan
Akibat 2.20 Rank matriks adalah jumlah baris dalam matriks tersebut yang
saling bebas linier.
(Abadir dan Magnus, 2005)
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
11
Teorema 2.21 Misalkan merupakan matriks berukuran . Jika dan
merupakan matriks yang mempunyai invers yang masing-masing
berukuran dan maka berlaku:
a. rank rank
b. rank rank
c. rank rank
(Friedberg, Insel dan Spence, 2003)
Dalam aplikasinya di kehidupan sehari-hari, sering dijumpai matriks dengan
ukuran dan yang besar. Hal tersebut tentu menyulitkan dalam melakukan
analisis terhadap matriks tersebut. Maka dari itu matriks yang berukuran besar
tersebut dapat dijadikan matriks dengan ukuran yang lebih kecil, dengan cara
mempartisinya menjadi beberapa blok baris dan blok kolom. Secara detail
penggambaran matriks partisi dijelaskan dalam definisi berikut
Definisi 2.22 Matriks partisi (blok) merupakan matriks yang terdiri dari
submatriks-submatriks dan terpartisi menjadi blok baris dan blok
kolom, berbentuk
Submatriks-submatriks yang terletak pada satu blok kolom, memiliki
jumlah kolom yang sama. Submatriks-submatriks yang terletak pada satu
blok baris, memiliki jumlah baris yang sama.
(Abadir dan Magnus, 2005)
Jika dalam matriks dikenal operasi baris elementer, maka dalam matriks
partisi juga berlaku operasi yang analog dengan operasi baris elementer, yang
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
12
dinamakan operasi blok baris elementer. Bedanya, dalam operasi blok baris
elementer tidak dilakukan operasi pertukaran blok baris, perkalian blok baris
dengan skalar, atapun penjumlahan suatu blok baris dengan blok baris yang lain
seperti dalam operasi baris elementer. Dalam operasi blok baris elementer setiap
operasinya diwakili oleh perkalian matriks tersebut dengan suatu matriks blok
elementer tertentu yang didefinisikan sebagai berikut
Definisi 2.23 Operasi blok baris elementer pada matriks partisi yang berbentuk
= DC
BA
didefinisikan sebagai:
1. Mengalikan dari kiri dengan matriks blok elementer .
2. Mengalikan dari kiri dengan matriks blok elementer
3. Mengalikan dari kiri dengan matriks blok elementer .
(Abadir dan Magnus, 2005)
Teorema 2.24 Misalkan Z1 merupakan matriks partisi yang berbentuk
Z1 = DC
BA
dengan A matriks non singular, maka rk(Z1) = rk(A) + rk(D BCA 1 )
(Abadir dan Magnus, 2005)
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
13
Akibat 2.25 Misalkan Z2 merupakan matriks partisi yang berbentuk
Z2 = DO
BA
dengan A matriks non singular, maka rk(Z2) = rk(A) + rk(D).
(Abadir dan Magnus, 2005)
Bahasan mengenai graf dan matriks tentu tidak lepas dari suatu bentuk
matriks yang disebut matriks keterhubungan atau yang sering disebut dengan
matriks adjacency. Penjelasan mengenai matriks keterhubungan dituliskan dalam
definisi berikut
Definisi 2.26 Matriks Keterhubungan (Adjacency Matrix) sebuah graf adalah
suatu matriks dengan baris dan kolomnya menyatakan titik – titik graf dan
elemen matriks menyatakan keterhubungan antar titik graf tersebut. Jika
kedua titik dalam graf tersebut terhubung maka elemen matriks tersebut
bernilai 1 dan elemennya bernilai 0 jika kedua titik dalam graf tersebut
tidak terhubung. Matriks adjacency merupakan matriks simetri.
(Foulds, 1992)
Contoh 4 : Graf pada Gambar 1 dapat disajikan dalam matriks adjacency ,
yaitu
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
14
Teorema 2.27 Misalkan matriks merupakan matriks adjacency dari graf path
berordo . Untuk sebarang dengan , bentuk umum
adalah:
, ,
dengan
(Estuningsih dan Wahyuni, 2008)
Contoh :
Teorema 2.28 Rank matriks adjacency graf path bernilai untuk genap dan
bernilai untuk gasal.
(Estuningsih dan Wahyuni, 2008)
Definisi 2.29 Algoritma adalah suatu himpunan langkah-langkah atau instruksi
yang telah dirumuskan dengan baik (well defined) untuk memperoleh
suatu keluaran khusus (spesific output) dari suatu masukan khusus
(spesific input) dalam langkah yang jumlahnya berhingga.
(Chartrand and Oellerman, 1993 )
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
15
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
Langkah-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan
dalam penelitian ini adalah:
1. Mengkaji hasil penelitian sebelumnya tentang hubungan antara graf path
dengan matriks adjacencynya serta rumusan umum untuk rank matriksnya.
2. Menggambarkan graf tangga sebagai hasil cross product dari graf
dengan graf .
3. Menentukan pola penomoran titik-titik pada graf tangga yang terbentuk
pada langkah 2 dan menyajikannya dalam matriks adjacency .
4. Mengulangi langkah 2 dan 3 untuk graf .
5. Menentukan bentuk umum dari matriks adjacency graf tangga.
6. Menguji hasil yang diperoleh pada langkah 5 untuk graf tangga dengan .
7. Membuat algoritma dan program dari bentuk umum matriks adjacency graf
tangga dengan bantuan M-file MATLAB untuk menentukan bentuk matriks
adjacency dari graf dan menghitung ranknya dengan bantuan paket
program dari software MATLAB.
8. Mengulangi langkah 7 dengan memasukkan nilai .
9. Menggunakan hasil pada langkah 7 untuk menentukan rumusan umum rank
matriks adjacency dari graf tangga.
10. Menguji hasil yang diperoleh pada langkah 8 untuk graf tangga dengan
.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
16
11. Menggambarkan graf sebagai hasil cross product dari graf dengan
graf .
12. Menentukan pola penomoran titik-titik pada graf yang terbentuk pada
langkah 11 dan menyajikannya dalam matriks adjacency .
13. Mengulangi langkah 11 dan 12 untuk graf
.
14. Menentukan bentuk umum dari matriks adjacency graf .
15. Mengulangi langkah 13 dan 14 dengan mengubah nilai (ordo graf path)
dengan .
16. Menentukan bentuk umum dari matriks adjacency graf .
17. Menguji hasil yang diperoleh pada langkah 15 untuk graf dengan
.
18. Membuat algoritma dan program dari bentuk umum matriks adjacency graf
dengan bantuan M-file MATLAB untuk menentukan bentuk matriks
adjacency dari graf dan menghitung ranknya dengan bantuan paket
program dari software MATLAB.
19. Mengulangi langkah 17 dengan memasukkan nilai .
20. Menggunakan hasil pada langkah 19 untuk menentukan rumusan umum rank
matriks adjacency dari graf .
21. Mengulangi langkah 18 dan 19 dengan memasukkan nilai .
22. Menggunakan hasil pada langkah 21 untuk menentukan rumusan umum rank
matriks adjacency dari graf .
23. Menguji hasil yang diperoleh pada langkah 22 untuk graf dengan
.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
17
24. Menganalisis dan menyimpulkan hubungan antara rank matriks adjacency
graf dengan rank matriks adjacency graf tangga dan graf path sesuai
dengan konsep aljabar.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
18
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan hubungan antara rank matriks
adjacency dari graf dengan rank matriks adjacency dari graf tangga dan
graf path. Sejauh ini peneliti hanya menemukan literatur mengenai rumusan
umum rank matriks adjacency dari graf path. Jadi, sebelum menentukan
hubungan antara rank matriks adjacency dari graf dengan rank matriks
adjacency dari graf tangga dan graf path, terlebih dahulu akan dicari bentuk
umum matriks adjacency dari graf tangga dan graf serta rumusan umum
ranknya.
4.1 Rank Matriks Adjacency Graf Tangga
Berdasarkan Definisi 2.6, graf tangga ( ) merupakan hasil cross product
dari graf path berordo n dengan graf path berordo dua, atau dapat ditulis
. Dalam tulisan ini disebut panjang graf tangga atau dapat dikatakan
terdiri dari anak tangga.
Contoh :
Panjang graf tangga adalah 3, sehingga dapat dikatakan graf terdiri dari 3
anak tangga.
Gambar 4.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
19
Misalkan adalah matriks adjacency dari graf tangga , maka ada banyak
bentuk tergantung pada cara penamaan titik-titiknya. Sebagai contoh untuk
penamaan graf dan dapat dilakukan dengan beberapa cara, di antaranya
adalah :
a)
berdasarkan aturan ini diperoleh
Dengan rank dan rank
b)
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
20
berdasarkan aturan ini diperoleh
Dengan rank dan rank
c)
berdasarkan aturan ini diperoleh
dengan rank dan rank
d)
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
21
berdasarkan aturan ini diperoleh
Dengan rank dan rank
Perbedaan bentuk matriks-matriks adjacency tersebut merupakan akibat dari
perbedaan penomoran titik-titik pada graf tangga, dan perbedaan aturan penamaan
pada graf tangga tersebut sebenarnya hanyalah pertukaran posisi antar titiknya.
Dalam matriks adjacencynya, pertukaran posisi antar titik tersebut diwakili oleh
pertukaran baris dan kolom. Jadi, setiap matriks adjacency dari suatu graf tangga
dapat diperoleh dari matriks adjacency lain dari graf tangga yang sama dengan
melakukan berhingga banyak pertukaran baris dan kolom. Pertukaran baris dan
kolom ini dipresentasikan oleh perkalian matriks-matriks permutasi atau matriks
elementer jenis pertukaran baris dan kolom.
Misalkan dan masing-masing adalah matriks adjacency dari graf
dengan aturan penomoran titik yang berbeda. Berdasarkan penjelasan di atas,
dapat diperoleh dari yang dikenai berhingga banyak operasi pertukaran baris
dan kolom. berdasarkan Teorema 2.10, hubungan antara dan ini dapat ditulis
sebagai berikut :
dengan adalah perkalian berhingga matriks permutasi baris dan adalah
perkalian berhingga matriks permutasi kolom. . Karena masing-masing matriks
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
22
permutasi tersebut nonsingular, maka dan juga nonsingular. Sehingga
berdasarkan Teorema 2.21:
rank rank , sehingga
rank rank
Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa perbedaan urutan
penomoran titik-titik pada graf tangga hanya mempengaruhi bentuk matriks
adjacencynya saja, tetapi tidak berpengaruh terhadap nilai ranknya.
Walaupun setiap aturan akan menghasilkan nilai rank yang sama, tetap
harus dipilih satu aturan yang paling efektif untuk penamaan titik-titik pada graf
tangga. Tujuannya adalah untuk mempermudah dalam menentukan rumusan
umum matriks adjacency dari graf tangga tersebut. Dari beberapa aturan di atas
dipilih aturan penamaan b yang secara umum membentuk pola sebagai berikut :
Penamaan dimulai dari pojok kiri atas dilanjutkan ke kanan sampai titik
ke-
kembali lagi ke titik pojok bawah dan berlanjut ke kanan lagi sehingga
titik terletak tepat di atas titik .
Berdasarkan aturan penamaan tersebut, penyajian matriks dapat ditulis
dalam bentuk matriks partisi sebagai berikut:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
23
.
.
.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa rumusan umum matriks adjacency graf tangga
adalah
dengan adalah matriks adjacency dari graf path dan adalah matriks
indentitas.
Matriks adjacency dari graf tangga dapat juga dinyatakan dengan bentuk
, , yang didefinisikan sebagai berikut :
dengan .
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
24
Adapun program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf
tangga disajikan pada Lampiran 1. Dari running program tersebut dengan
memasukkan banyaknya yang berbeda-beda diperoleh beberapa rank matriks
adjacency sesuai dengan . Selanjutnya hasil rank tersebut dinyatakan dalam tabel
rank dengan yang disajikan pada Lampiran 2. Dari tabel tersebut
dapat diperoleh rumusan rank matriks adjacency dari graf tangga berdasarkan
banyaknya . Dari hasil perumusan rank tersebut terlihat bahwa terdapat matriks
adjacency yang mempunyai rank penuh dan juga terdapat matriks adjacency yang
mempunyai rank tidak penuh. Pada matriks adjacency yang mempunyai rank
penuh, semua baris-barisnya bebas linear. Sedangkan pada matriks adjacency
yang mempunyai rank yang tidak penuh terdapat baris yang bergantung linear
dimana baris tersebut merupakan kombinasi linear dari baris-baris yang lain.
Untuk mengetahui baris manakah yang bergantung linear pada suatu matriks,
perlu dilakukan pengecekan pada setiap baris dalam matriks tersebut. Selanjutnya
perumusan tersebut disajikan sebagai teorema berikut.
Teorema 4.1 Misalkan merupakan matriks adjacency dari graf tangga dengan
, maka
(i) untuk , dan
(ii) untuk .
Bukti.
(i) Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika atas .
Diketahui matriks adjacency berukuran . Jika rank ,
berarti terdapat dua baris yang merupakan kombinasi linier dari baris-baris yang
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
25
lain. Dengan menggunakan induksi matematika akan ditunjukkan bahwa rumus
benar dengan sebagai variabelnya.
Pangkal.
Untuk , maka . Bentuk adalah
Dari matriks tersebut terlihat bahwa baris pertama sama dengan baris keempat dan
baris kedua sama dengan baris ketiga. Baris pertama dan baris kedua saling bebas
linier, sehingga rank( .
Langkah.
Misalkan rumusan benar untuk , maka . Dalam hal ini matriks
berukuran dan rank
. Bentuk umum dari adalah
Dari matriks tersebut diperoleh dua baris yang merupakan kombinasi linear dari
baris-baris yang lain yaitu baris yang pertama dan baris ke- , dalam
hal ini adalah baris ke- ). Rumusan baris yang merupakan kombinasi linear
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
26
dari baris-baris yang lain pada matriks adjacency graf tangga tersebut dinyatakan
sebagai berikut
o Untuk , maka
o Untuk , maka
Selanjutnya akan dibuktikan rumus benar untuk , yaitu rank
. Graf dapat diperoleh dari graf
dengan menambahkan 3 anak tangga, yang berarti penambahan 6 titik pada
graf tangga tersebut. Berdasarkan aturan penamaan graf tangga, titik-titik yang
ditambahkan tersebut akan dinamai dan ,
dengan adjacent dengan , adjacent dengan , dan
adjacent dengan .
Berdasarkan aturan di atas, maka matriks dibentuk dari
dengan penambahan 6 baris dan 6 kolom sebagai berikut
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
27
dengan dan adalah baris yang ditambahkan, serta dan adalah kolom
yang ditambahkan. Dengan demikian ukuran dari matriks adalah
.
Bentuk matriks di atas dapat juga dinyatakan sebagai
Berdasarkan bentuk tersebut dapat dipastikan bahwa baris-baris pada bukan
merupakan kombinasi linier dari baris ke- dan baris-baris di atasnya.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
28
Baris-baris pada tersebut juga bukan merupakan kombinasi linier dari baris-
baris di bawahnya, yaitu baris di bawahnya, maupun baris-baris pada .
Begitu pula dengan baris –baris pada yang bukan merupakan kombinasi linier
dari baris di atas dan baris di bawah .
Selain itu, penambahan 6 baris serta 6 kolom tersebut tidak mengubah pola
umum dari matriks , sehingga posisi baris-baris yang tidak bebas linier juga
tidak berubah. Baris-baris tersebut adalah baris pertama yang dinotasikan dengan
dan baris ke- , dalam hal ini adalah baris ke- yang
dinotasikan dengan . Rumusan baris yang merupakan kombinasi linear
dari baris-baris yang lain tersebut dinyatakan sebagai berikut
o Untuk , maka
o Untuk , maka
sehingga untuk terdapat dua baris yang bergantung linier dengan baris-
baris yang lain. Dengan demikian banyaknya baris-baris yang bebas linier adalah
, sehingga rank .
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
29
(ii) Untuk akan dicari nilai rank dari masing-masing
untuk dan . Diketahui bentuk umum dari adalah
Untuk menghitung rank dilakukan perkalian dengan matriks blok elementer
sebagai berikut:
1. Mengalikan dengan matriks blok elementer , yaitu
Berdasarkan Teorema 2.21, karena adalah matriks nonsingular, maka,
rank = rank
2. Mengalikan matriks hasil operasi pada langkah 1 dengan matriks blok
elementer , yaitu
Berdasarkan Teorema 2.21, karena adalah matriks nonsingular, maka
rank = rank .
Dari langkah 1 dan 2 di atas diperoleh rank = rank .
Berdasarkan Akibat 2.25, rank rank rank ,
sehingga rank rank rank . Diketahui rank ,
sehingga untuk menghitung rank terlebih dahulu akan dicari rank dari
matriks .
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
30
Bentuk umum dari matriks adalah
Matriks dapat juga dinotasikan dengan ,
dengan
Untuk menghitung rank dari dilakukan serangkaian operasi baris
elementer untuk membawa ke dalam bentuk matriks segitiga atas.
Rangkaian operasi baris elementer ini dibedakan menjadi dua, yaitu untuk
dan +1.
Untuk , algoritmanya adalah sebagai berikut:
1. a. menukar baris pertama dengan baris ke-3
b. menukar baris ke- dengan baris ke-(
sehingga bentuk menjadi
2. a. baris ke- dikurangi dengan baris ke- , dengan
b. baris ke- dikurangi dengan baris ke- , dengan
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
31
c. menukar baris ke- dengan baris ke- , dengan
3. mengulangi langkah 2 untuk
sehingga bentuk menjadi
4. a. baris ke- dikurangi dengan baris ke-
b. baris ke- dikurangi dengan baris ke-
sehingga bentuk menjadi
Untuk , algoritmanya adalah sebagai berikut:
1. a. menukar baris pertama dengan baris ke-3
b. menukar baris ke- dengan baris ke-(
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
32
sehingga bentuk menjadi
2. a. baris ke- dikurangi dengan baris ke- , untuk
b. baris ke- dikurangi dengan baris ke- , untuk
c. menukar baris ke- dengan baris ke- , untuk
3. a. mengulangi langkah 3.a untuk
b. mengulangi langkah 3.b untuk
c. mengulangi langkah 3.c untuk
sehingga bentuk menjadi
4. a. baris ke- dikurangi dengan baris ke-
b. baris ke- dikurangi dengan baris ke-
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
33
sehingga bentuk menjadi
Berdasarkan hal tersebut, diperoleh rank rank . Karena
operasi baris elementer tidak mengubah nilai rank, maka rank ,
rank rank , sehingga rank rank rank
.
4.2 Rank Matriks Adjacency dari Graf
Hasil yang didapat dari analisis mengenai matriks adjacency graf tangga di
atas selanjutnya digunakan untuk menentukan bentuk umum matriks adjacency
dari graf hasil cross product graf tangga ( ) dengan graf path berordo ( )
yang dapat dinotasikan dengan , serta rumusan umum ranknya.
Gambar 5a. Gambar 5b.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
34
Misalkan matriks adjacency dari graph dinotasikan dengan
dengan merupakan panjang graf tangga dan merupakan ordo dari graf
path. Seperti graf tangga, graf pada Gambar 5a, 5b, dan 5c juga dapat disajikan
dalam banyak matriks adjacency tergantung pada penentuan titik awal serta
urutan penempatan titik-titik pada baris dan kolom. Walaupun terdapat banyak
matriks adjacency dari graf tersebut, semua nilai ranknya tetap sama.
Pada bahasan sebelumnya telah diketahui bahwa matriks adjacency dari
graf tangga memuat matriks adjacency dari graf path dan matriks identitas. Hal
tersebut dikarenakan graf tangga sendiri merupakan graf hasil cross product dari
sebuah graf path dengan path berordo 2. Karena graf adalah graf hasil
cross product dari graf tangga dan graf path, maka cara penamaannya juga analog
dengan cara penamaan graf tangga. Dalam penelitian ini urutan titik-titik dari graf
yang berjumlah ditentukan sebagai berikut:
1. sebagai titik awal adalah salah satu titik pada graf tangga berordo
yang letaknya paling atas sebelah kiri.
2. Urutan dengan sesuai dengan aturan penamaan titik pada
graf tangga.
3. adalah titik yang terletak tepat di bawah .
Gambar 5c.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
35
4. Untuk urutan titik sampai titik mengikuti pola titik sampai
titik .
Selanjutnya titik dengan disajikan dalam baris ke-i dan kolom
ke-j pada matriks yang berukuran .
Berdasarkan aturan penamaan tersebut diperoleh:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
36
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
37
Berturut-turut matriks dan dapat dipartisi menjadi:
Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat ditentukan pola umum matriks adjacency
dari graf adalah sebagai berikut :
(i)
(ii)
(iii)
Dari (i),(ii),dan (iii) dapat ditentukan bahwa matriks adjacency dari graf
merupakan matriks partisi dengan blok baris dan blok kolom yang
berbentuk
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
38
dengan merupakan matriks adjacency graf tangga yang berukuran ,
merupakan matriks identitas berukuran , dan merupakan matriks
nol berukuran .
Matriks adjacency dari graf dapat juga dinyatakan dalam bentuk
, , untuk berlaku
dengan ; ; ; ; ;
; .
Adapun program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf
disajikan pada Lampiran 3. Dari running program tersebut dengan
memasukkan dan yang berbeda-beda diperoleh beberapa rank matriks
adjacency sesuai dengan dan . Selanjutnya hasil rank tersebut dinyatakan
dalam tabel rank dengan dan yang disajikan pada
Lampiran 4. Berbeda dengan tabel rank matriks adjacency graf tangga, dari tabel
rank matriks adjacency graf tidak ditemukan keteraturan pola rank
berdasarkan banyaknya dan . Dari tabel tersebut hanya terlihat bahwa
rank rank .
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
39
Karena graf merupakan hasil cross product dari graf tangga dan
graf path, maka analisis mengenai rank matriks adjacency dari graf dapat
ditinjau dari dua sisi, yaitu dari rank matriks adjacency graf tangga dan rank
matriks adjacency graf path. Keteraturan pola rank matriks adjacency dari graf
tangga dibagi menjadi dua, yaitu untuk dan . Pada tabel
rank , tidak ditemukan keteraturan pola untuk . Sebagai contoh
ketika , rank adalah untuk . Diketahui pula rank
adalah untuk . Ketika , rank adalah
untuk atau . Rank bernilai untuk
, dan untuk yang lain. Sementara ketika , rank
adalah untuk dan untuk .
Rank juga bernilai untuk dengan bukan kelipatan
, dan untuk yang lain.
Hal yang sama juga terjadi ketika . Kondisi ini dapat dibagi
menjadi dua, yaitu untuk dan . Pada tabel rank matriks
tidak ditemukan keteraturan pola rank baik untuk maupun
.
Selain ditinjau dari keteraturan pola rank matriks adjacency graf tangga,
analisis mengenai rank juga ditinjau dari pola rank matriks adjacency
graf path. Keteraturan pola rank matriks adjacency dari graf path dibagi menjadi
dua, yaitu untuk dan . Pada tabel rank , tidak
ditemukan keteraturan pola untuk . Sebagai contoh ketika , rank
adalah untuk dan untuk . Ketika ,
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
40
rank adalah untuk dan untuk .
Sedangkan ketika , rank adalah untuk semua nilai .
Sementara untuk , nilai rank juga tidak membentuk
sebuah pola tertentu. Sebagai contoh ketika , rank adalah untuk
dan untuk . Ketika , rank adalah
untuk dan untuk . Sedangkan ketika
, rank adalah untuk atau , untuk
, dan untuk yang lain.
Berdasarkan tabel rank matriks , untuk semua nilai dan secara
umum tidak ditemukan pola yang teratur. Meski demikian, keteraturan pola rank
matriks dapat terlihat untuk suatu nilai dan tertentu. Sebagai contoh
untuk genap dan maka rank matriks adalah . Rumusan tersebut
dapat dituliskan dalam teorema berikut.
Teorema 4.2 Misalkan adalah matriks adjacency dari graf . Jika
dan maka rank
Bukti.
Untuk dan , bentuk matriks adalah
dengan adalah matriks adjacency dari graf tangga dan adalah matriks
identitas berukuran Untuk mencari nilai rank dari matriks
dilakukan operasi blok baris elementer untuk mengubah bentuk
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
41
menjadi matriks segitiga atas. Operasi blok baris elementer yang dilakukan adalah
sebagai berikut:
1. Mengalikan dengan matriks blok elementer ,
yaitu
Berdasarkan Teorema 2.21, karena adalah matriks nonsingular, maka
rank rank
2. Mengalikan matriks hasil operasi pada langkah 1 dengan matriks blok
elementer , yaitu
Berdasarkan Teorema 2.21, karena adalah matriks nonsingular, maka
rank rank
Dari langkah 1 dan 2 di atas diperoleh
rank rank (i)
Berdasarkan Akibat 2.25,
rank rank rank (ii)
Karena nilai rank sudah diketahui yaitu , maka selanjutnya adalah mencari
nilai rank dari matriks . Untuk mempermudah perhitungan, maka
terlebih dahulu dilakukan penyederhanaan bentuk sebagai berikut
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
42
Selanjutnya bentuk dapat difaktorkan sebagai berikut
Berdasarkan teorema 2.28, untuk dengan , rank bernilai . Hal
ini berarti memiliki rank penuh, yang mengakibatkan juga
memiliki rank penuh, sehingga adalah matriks yang invertibel atau
nonsingular. Karena nonsingular, maka
rank rank rank (iii)
Selanjutnya akan dicari nilai dari rank matriks . Berdasarkan
Teorema 2.24,
rank rank rank
= rank rank (iv)
Karena nilai rank sudah diketahui yaitu , maka selanjutnya yang dicari
adalah nilai rank .
Untuk memudahkan perhitungan, bentuk diubah menjadi
bentuk lain dengan pola yang lebih sederhana, yaitu
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
43
, sehingga rank rank
. Karena nonsingular, maka
rank rank rank (v)
Bentuk memiliki struktur yang hampir sama dengan bentuk
yang telah dibahas saat pembuktian Teorema 4.2 (ii) di halaman 30.
Maka dari itu untuk mencari rank dari digunakan cara yang sama
seperti ketika mencari rank . Bentuk umum dari adalah
sebagai berikut
Matriks dapat juga dinotasikan dengan ,
dengan
dengan .
Untuk menghitung rank dari dilakukan serangkaian operasi
baris elementer untuk membawa ke dalam bentuk matriks segitiga
atas, dengan algoritma sebagai berikut
1. Baris ke- ditambahkan dengan kali baris ke-
dengan
2. Mengulangi langkah 1 untuk .
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
44
Dari langkah tersebut diperoleh bentuk matriks segitiga atas sebagai berikut
Misalkan matriks akhir tersebut dinamakan , maka dapat dinyatakan sebagai
, dengan
dengan .
Berdasarkan hasil tersebut diperoleh rank . Karena oparasi baris
elementer tidak mengubah nilai rank, maka rank rank .
Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (vi) ke persamaan (v)
diperoleh rank . Kemudian hasil tersebut disubstitusikan ke
persamaan (iv), sehingga
rank rank rank .
Hasil tersebut kemudian di substitusikan ke persamaan (iii) sehingga diperoleh
rank . Selanjutnya dengan mensubstitusikan hasil ini ke
persamaan (ii) diperoleh
rank rank rank .
Dengan demikian, hasil substitusi persamaan di atas ke persamaan (i)
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
45
menghasilkan rank rank , sehingga terbukti bahwa
rank .
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
46
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Rank matriks adjacency dari graf tangga dan graf diperoleh
dari running program dengan bantuan M-File MATLAB. Dari hasil tersebut
dilakukan analisis secara aljabar mengenai rumusan umum rank matriks
adjacency graf tangga serta graf sehingga diperoleh :
1. Rank matriks adjacency dari graf tangga adalah untuk
, dan untuk dengan .
2. Berdasarkan tabel rank matriks , untuk semua nilai dan secara
umum tidak ditemukan pola yang teratur. Meski demikian, keteraturan
pola rank matriks dapat terlihat untuk suatu nilai dan tertentu.
Salah satunya adalah untuk genap dan maka rank matriks
adalah .
5.2 Saran
Dari hasil penelitian ini disarankan pengadaan penelitian selanjutnya untuk
menentukan rumusan umum rank matriks adjacency dari graf untuk
suatu nilai dan tertentu, misalkan untuk atau .
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
47
DAFTAR PUSTAKA
1. Abadir, K, M. and Magnus, Jan R., 2005, Matrix Algebra, Cambridge University Press, New York.
2. Chartrand, G., Oellerman, O, R., 1993, Applied and Algorithmic Graph
Theory, McGraw-Hill Inc, Canada.
3. Estuningsih, N. dan Wahyuni, Y., 2008, Rank Matriks Adjacency Join Dua
Graph, Laporan Penelitian DIPA, Universitas Airlangga, Surabaya.
4. Foulds, L,R., 1992, Graph Theory Applications, Springer Verlag Inc. New York.
5. Friedberg, S. H, Insel, A. J, and Spence, E. L., 2003, Linear Algebra Fourth Edition, Pearson Education Inc, New York.
6. Handayani, Ayuk Fitri, 2011, Rank Matriks Adjacency dari Graf Prisma
Bersusun. Skripsi, Universitas Airlangga, Surabaya.
7. Istiqomah, Yulia, 2012, Rank Matriks Adjacency dari Graf , Skripsi,Universitas Airlangga, Surabaya.
8. Jacob, Bill., 1990, Linear Algebra, W.H Freeman and Company, New York.
9. Latifah, Ummy, 2011, Rank Matriks Adjacency dari Graf , Skripsi, Universitas Airlangga, Surabaya.
10. Ngurah, A.A.G., Salman, A.N.M., Susilowati, L., 2010, H-Supermagic Labelings of Graphs, Elsevier, vol 310, pp 1293-1300.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
Lampiran 1.
Program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf tangga dengan
M-File MATLAB beserta outputnya pada command window.
clc;
disp('matriks adjacency graf tangga');
n=input('masukkan nilai n : ');
L=zeros(2*n);
for i=1:2*n
for j=1:2*n
L(i,j)=L(j,i);
for b=0:1
for k=1:n-1
if (i==b*n+k && j==i+1)
L(i,j)=1;
else
if if j==i+n
L(i,j)=1;
end;
end;
end;
end;
end;
end;
disp('L = ');
disp(L
disp('rank L = ');
rank(L)
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
Tampilan di command window :
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
Lampiran 2.
Tabel Rank Matriks Adjacency dari graf tangga dengan
rank
2 2
3 6
4 8
5 8
6 12
7 14
8 14
9 18
10 20
11 20
12 24
13 26
14 26
15 30
16 32
17 32
18 36
19 38
20 38
rank
21 42
22 44
23 44
24 48
25 50
26 50
27 54
28 56
29 56
30 60
31 62
32 62
33 66
34 68
35 68
36 72
37 74
38 74
39 78
40 80
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
Lampiran 3.
program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf
dengan menggunakan bantuan M-File MATLAB,
Versi 1 :
clc;
disp('====== RANK MATRIKS ADJACENCY DARI GRAF Ln x Pm ======');
n=input('masukkan panjang graf tangga : ');
m=input('masukkan ordo graf path : ');
T=zeros(2*n*m);
for i=1:2*n*m
for j=1:2*n*m
T(i,j)=T(j,i);
for b=0:1
for k=1:n-1
for l=1:n
for p=0:m-1
for q=0:m-2
for r=1:2*n
if (i==(2*p+b)*n+k && j==i+1)
T(i,j)=1;
end;
if (i==2*p*n+l && j==i+n)
T(i,j)=1;
end;
if (i==2*q*n+r && j==i+2*n)
T(i,j)=1;
end;
end;
end;
end;
end;
end;
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
end;
end;
end;
disp(T)
disp('ranknya adalah ')
disp(rank(T))
tampilan di command window:
versi 2 :
clc;
n=input('Masukan panjang tangga = ');
m=input('Masukan ordo graf path = ');
for j=1:m
if(j==1)
for i=1:m-1
if i==1
hasil1=[tangga(n) eye(2*n)];
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
else
hasil1=[hasil1 zeros(2*n)];
end;
end;
finish=hasil1;
%%----------------------------------------------------------------
elseif j==m
for i=1:m-1
if i==1
hasil2=zeros(2*n);
elseif i==(m-1)
hasil2=[hasil2 eye(2*n) tangga(n)];
else
hasil2=[hasil2 zeros(2*n)];
end;
end;
finish=[finish;hasil2];
%%----------------------------------------------------------------
else
for i=1:m
if (j==2 && i==1)
hasil=eye(2*n);
elseif(j~=2 && i==1)
hasil=zeros(2*n);
elseif (j==(i-1))
hasil=[hasil eye(2*n)];
elseif (j==(i+1))
hasil=[hasil eye(2*n)];
elseif i==j
hasil=[hasil tangga(n)];
else
hasil=[hasil zeros(2*n)];
end;
end;
finish=[finish;hasil];
%%--------------------------------------------------------------
end;
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
end;
disp(finish);
R=rank(finish);
disp('ranknya adalah ');
disp(R);
tampilan di command window:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
Lampiran 4.
a. Tabel rank matriks adjacency dari graf dengan dan .
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 8 10 16 18 24 26 32 34 40 42 48 50 56 58 64 66 72 74 80 3 10 18 24 28 36 42 46 54 60 64 72 78 82 90 96 100 108 114 118 4 16 24 28 40 48 56 64 68 80 88 96 104 108 120 128 136 144 148 160 5 18 28 40 46 60 68 78 88 100 106 120 128 138 148 160 166 180 188 198 6 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 7 26 42 56 68 84 98 110 126 140 152 168 182 194 210 224 236 252 266 278 8 32 46 64 78 96 110 128 142 160 174 192 206 224 238 256 270 288 302 320 9 34 54 68 88 108 126 142 158 180 196 216 234 246 270 288 304 324 338 358 10 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 11 42 64 88 106 132 152 174 196 220 238 264 284 306 328 352 370 396 416 438 12 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 432 456 480 13 50 78 104 128 156 182 206 234 260 284 312 338 362 390 416 440 468 494 518 14 56 82 108 138 168 194 224 246 280 306 336 362 388 418 448 474 504 526 560 15 58 90 120 148 180 210 238 270 300 328 360 390 418 450 480 508 540 570 598 16 64 96 128 160 192 224 256 288 320 352 384 416 448 480 512 544 576 608 640 17 66 100 136 166 204 236 270 304 340 370 408 440 474 508 544 574 612 644 678 18 72 108 144 180 216 252 288 324 360 396 432 468 504 540 576 612 648 684 720 19 74 114 148 188 228 266 302 338 380 416 456 494 526 570 608 644 684 718 758 20 80 118 160 198 240 278 320 358 400 438 480 518 560 598 640 678 720 758 800
Keterangan : = rank penuh
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
b. Tabel rank matriks adjacency dari graf dengan dan .
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 82 126 168 208 252 294 334 378 420 460 504 546 586 630 672 712 756 798 836 22 88 132 176 220 264 308 352 396 440 484 528 572 616 660 704 748 792 836 880 23 90 136 184 226 276 320 366 412 460 502 552 596 642 688 736 778 828 872 918 24 96 144 188 240 228 336 384 428 480 528 576 624 668 720 768 816 864 908 960 25 98 150 200 248 300 350 398 450 500 548 600 650 698 750 800 846 900 950 998 26 104 154 208 258 312 362 416 466 520 570 624 674 728 778 832 882 936 968 1040 27 106 162 216 268 324 378 430 486 540 592 648 702 754 810 864 916 972 1026 1078 28 112 168 224 280 336 392 448 504 560 616 672 728 784 840 896 952 1008 1064 1120 29 114 172 228 286 348 404 462 516 580 634 696 752 806 868 928 982 1044 1096 1158 30 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020 1080 1140 1200 31 122 186 248 308 372 434 494 558 620 680 744 806 866 930 992 1052 1116 1178 1238 32 128 190 256 318 384 446 512 574 640 702 768 830 896 958 1024 1086 1152 1214 1280 33 130 198 264 328 396 462 526 594 660 724 792 858 922 990 1056 1120 1188 1254 1318 34 136 204 268 340 408 476 544 608 680 748 816 884 948 1020 1088 1156 1224 1288 1360 35 138 208 280 346 420 488 558 628 700 766 840 908 978 1048 1120 1186 1260 1328 1398 36 144 216 288 360 432 504 576 648 720 792 864 936 1008 1080 1152 1224 1296 1368 1440 37 146 222 296 368 444 518 590 666 740 812 888 962 1034 1110 1184 1256 1332 1406 1478 38 152 226 304 378 456 530 608 682 760 834 912 986 1064 1138 1216 1290 1368 1442 1520 39 154 234 308 388 468 546 622 698 780 856 936 1014 1086 1170 1248 1324 1404 1478 1558 40 160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960 1040 1120 1200 1280 1360 1440 1520 1600
Keterangan : = rank penuh
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
c. Tabel rank matriks adjacency dari graf dengan dan .
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
2 82 88 90 96 98 104 106 112 114 120 122 128 130 136 138 144 146 152 154 160 3 126 132 136 144 150 154 162 168 172 180 186 190 198 204 208 216 222 226 234 240 4 168 176 184 188 200 208 216 224 228 240 248 256 264 268 280 288 296 304 308 320 5 208 220 226 240 248 258 268 280 286 300 308 318 328 340 346 360 368 378 338 400 6 252 264 276 288 300 312 324 336 348 360 372 384 396 408 420 432 444 456 468 480 7 294 308 320 336 350 362 378 392 404 420 434 446 462 476 488 504 518 530 546 560 8 334 352 366 384 398 416 430 448 462 480 494 512 526 544 558 576 590 608 622 640 9 378 396 412 428 450 466 486 504 516 540 558 574 594 608 628 648 666 682 698 720
10 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 620 640 660 680 700 720 740 760 780 800 11 460 484 502 528 548 570 592 616 634 660 680 702 724 748 766 792 812 834 856 880 12 504 528 552 576 600 624 648 672 696 720 744 768 792 816 840 864 888 912 936 960 13 546 572 596 624 650 674 702 728 752 780 806 830 858 884 908 936 962 986 1014 1040 14 586 616 642 668 698 728 754 784 806 840 866 896 922 948 978 1008 1034 1064 1086 1120 15 630 660 688 720 750 778 810 840 868 900 930 958 990 1020 1048 1080 1110 1138 1170 1200 16 672 704 736 768 800 832 864 896 928 960 992 1024 1056 1088 1120 1152 1184 1216 1248 1280 17 712 748 778 816 848 882 916 952 982 1020 1052 1086 1120 1156 1186 1224 1256 1290 1324 1360 18 756 792 828 864 900 936 972 1008 1044 1080 1116 1152 1188 1224 1260 1296 1332 1368 1404 1440 19 798 836 872 908 950 986 1026 1064 1096 1140 1178 1214 1254 1288 1328 1368 1406 1442 1478 1520 20 838 880 918 960 998 1040 1078 1120 1158 1200 1238 1280 1318 1360 1398 1440 1478 1520 1558 1600
Keterangan : = rank penuh
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita
d. Tabel rank matriks adjacency dari graf dengan dan .
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
21 882 924 964 1008 1050 1090 1134 1176 1216 1260 1302 1342 1386 1428 1468 1512 1554 1594 1638 1680 22 924 986 1012 1056 1100 1144 1188 1232 1276 1320 1364 1408 1452 1496 1540 1584 1628 1672 1716 1760 23 964 1012 1054 1104 1148 1194 1240 1288 1330 1380 1424 1470 1516 1564 1606 1656 1700 1746 1792 1840 24 1008 1056 1104 1148 1200 1248 1296 1344 1388 1440 1488 1536 1584 1628 1680 1728 1776 1824 1868 1920 25 1050 1110 1148 1200 1250 1298 1350 1400 1448 1500 1550 1598 1650 1700 1748 1800 1850 1898 1950 2000 26 1090 1144 1194 1248 1298 1352 1402 1456 1506 1560 1610 1664 1714 1768 1818 1872 1922 1976 2026 2080 27 1134 1188 1240 1296 1350 1402 1458 1512 1564 1620 1674 1726 1782 1836 1888 1944 1998 2050 2106 2160 28 1176 1232 1288 1344 1400 1456 1512 1568 1624 1680 1736 1792 1848 1904 1960 2016 2072 2128 2184 2240 29 1216 1276 1330 1388 1448 1506 1564 1624 1674 1740 1796 1854 1912 1968 2026 2088 2144 2202 2256 2320 30 1260 1320 1380 1440 1500 1560 1620 1680 1740 1800 1860 1920 1980 2040 2100 2160 2220 2280 2340 2400 31 1302 1364 1424 1488 1550 1610 1674 1736 1796 1860 1922 1982 2046 2108 2168 2232 2294 2354 2418 2480 32 1342 1408 1470 1536 1598 1664 1726 1792 1854 1920 1982 2048 2110 2176 2238 2304 2366 2432 2494 2560 33 1386 1452 1516 1584 1650 1714 1782 1838 1912 1980 2046 2110 2178 2244 2308 2376 2442 2506 2574 2640 34 1428 1496 1564 1628 1700 1768 1836 1904 1968 2040 2108 2176 2244 2308 2380 2448 2516 2584 2648 2720 35 1468 1540 1606 1680 1748 1818 1888 1960 2026 2100 2168 2238 2308 2380 2448 2520 2588 2658 2728 2800 36 1512 1584 1656 1728 1800 1872 1944 2016 2088 2160 2232 2304 2376 2448 2520 2592 2664 2736 2808 2880 37 1554 1628 1700 1776 1850 1922 1998 2072 2144 2220 2294 2366 2442 2516 2588 2664 2738 2810 2886 2960 38 1594 1672 1746 1824 1898 1976 2050 2128 2202 2280 2354 2432 2506 2584 2658 2736 2810 2888 2962 3040 39 1638 1716 1792 1868 1950 2026 2106 2184 2256 2340 2418 2494 2574 2648 2728 2808 2886 2962 3038 3120 40 1680 1760 1840 1920 2000 2080 2160 2240 2320 2400 2480 2560 2640 2720 2800 2880 2960 3040 3120 3200
Keterangan : = rank penuh
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita