Rapport de Stage d'Initiation à la Recherche

Ahmed-amine HommanEcole Normale Supérieure de Lyon, France

Stage eectué sous la tutelle d'Augustin Mouze, chercheur au laboratoirePaul Painlevé (Lille)

25 juin 2009

1 Introduction : Un premier pas vers l'universalité

Pour commencer, on montre au lecteur qu'il connait déjà (peut-êtresans le savoir) des objets mathématiques qui approximent toute une classed'autres objets. En eet, dans R, il se produit des phénomènes de passage à lalimite assez surprenants, où des séries peuvent approcher n'importe quel réel,modulo un réarrangement des termes. C'est le théorème de réarrangementdes séries de Riemann. Sa démonstration est élémentaire. Ce phénomèneest un premier pas vers des phénomènes bien plus généraux qu'on appellerauniversalité dans les sections suivantes.

Théorème 1.1 (Réarrangement de Riemann) Soit (un) une suite réelle

telle que la série

+∞∑k=0

uk soit convergente mais pas absolument convergente,i.e :

limn→+∞

n∑k=1

|uk| = +∞

Alors ∀l ∈ R , il existe une bijection µ : N→ N telle que :

limn→+∞

n∑k=0

uµ(k) = l

Proof. Soit l ∈ R. On pose an = max(0,un) et bn = min(0,un). On a :

un = an + bn (1)

|un| = an − bn (2)

Puisque la série+∞∑k=0

uk est convergente, on a par (1) que, soitn∑k=0

ak etn∑k=0

bk

convergent, soit elles divergent toutes les deux. Dans le premier cas, on aurait+∞∑k=0

|uk| =+∞∑k=0

ak −+∞∑k=0

bk qui serait convergente, ce qui contredit (2). On a

donc :

limn→+∞

n∑k=0

ak = +∞ et limn→+∞

n∑k=0

bk = −∞ (3)

On construit alors µ de la façon suivante : on commence par sommer lestermes positifs ou nuls jusqu'à dépasser l (possible par (3)). Puis on sommeles termes négatifs ou nuls jusqu'à ce que la somme partielle soit inférieureou égale à l (encore possible par (3)). Puis on itère le procédé. On a bienconstruit une permutation de N.

2

Soit ε > 0. Comme∑uk est convergente, on peut trouver N0 ∈ N

tel que : ∀n ≥ N0 |un| ≤ ε. On peut donc trouver N1 ∈ N tel que :∀n ≥ N1 uµ(n) ≤ ε. Par exemple : N1=1+max( µ−1(1),. . .,µ−1(N0)).On prend ensuite N2 le plus petit entier strictement supérieur à N1 tel queuµ(N2+1) et uµ(N2+2) soient de signe opposés.On a donc :

|l −N2∑k=0

uµ(k)| ≤ |uµ(N2+1)| ≤ ε

On suppose alors que |l −n∑k=0

uµ(k)| ≤ ε pour un n ∈ N avec n ≥ N2.

Premier cas : 0 ≤ l −n∑k=0

uµ(k) ≤ ε. On a donc 0 ≤ uµ(n+1) ≤ ε (car

n ≥ N2 ≥ N1), ce qui implique −ε ≤ l −n+1∑k=0

uµ(k) ≤ ε.

Deuxième cas : −ε ≤ l −n∑0

uµ(k) ≤ 0. La preuve est analogue.

Par induction, on a donc montré que, pour ε > 0 xé, on a :

∀n ≥ N2, |l −n∑k=0

uµ(k)| ≤ ε

Ce qui est exactement le résultat voulu pour l ∈ R.

Le cas l = +∞ se traite de la manière suivante (le cas l = −∞ se fera demanière analogue) : on somme les an jusqu'à dépasser 1, puis on ajoute b1.On recommence à sommer les an suivants jusqu'à dépasser 2, puis on sommeb2. En itérant le procédé, on a construit une bijection µ de N dans N telle

que+∞∑k=0

uµ(k) diverge vers +∞. le th'eorème est prouvé.

Dans la suite, on étudie d'autres phénomènes de passage à la limite toutaussi surprenants, via des séries que l'on appelle Séries Universelles. C'est lethème principal de ce rapport.

2 Les Séries Universelles dans H(D)

Dans cette section, on dénit la notion de série universelle dans H(D), oùD = z ∈ C; |z| < 1, et on étudie quelques propriétés de ces objets. Avantcela, on rappelle deux résultats utiles pour la suite.

3

2.1 Deux Théorèmes bien utiles

Théorème 2.1 (Théorème de Baire) Tout espace métrique complet est

une espace de Baire, i.e un espace où tout intersection dénombrable d'ouverts

dense est dense.

De manière équivalente, par passage au complémentaire, toute union dé-

nombrable de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide.

Proof. On note E l'espace ambiant, qui est un espace métrique complet.Soit (Fn)n∈N une suite de fermés d'intérieur vide. On considère F =⋃

n∈NFn. On suppose aussi

F 6= ∅. Alors soit x1 ∈

F et r1 ≤ 1

2 tels que

B(x1, r1) ⊂F . Puisque l'on a

F1= ∅, on a aussi F c1 = E. Soit donc x2 ∈

F c1⋂B(x1, r1).

On a toujours x2 ∈F . L'ensemble F c1

⋂B(x1, r1) est ouvert, on prend

donc r2 ≤ 14 tel que B(x2, r2) ⊂ F c1

⋂B(x1, r1). De même, on a F c2 = E.

On choisit donc x3 ∈ B(x2, r2)⋂F c2 . En itérant le processus, on construit

une suite (xn) telle que :

∀n ∈ N : xn ∈F et d(xn, xn+1) ≤ 1

2n

La suite (xn) est donc une suite de Cauchy dans E qui est un espace métriquecomplet. La suite (xn) converge donc vers x ∈ E. Or comme F est fermé, etque ∀n ∈ N, xn ∈ F , on a x ∈ F .Or : ∀n ∈ N∗, d(x, xn) ≤ rn donc x ∈ B(xn, rn) ⊂ F cn−1. Ainsi x /∈ F . Onobtient une contradiction.

Théorème 2.2 (Théorème de Runge) Soit K un compact de C à com-

plémentaire connexe. Soit h une fonction holomorphe sur un voisinage de

K.

Alors pour tout ε > 0, on peut trouver un polynôme P tel que :

supz∈K|h(z)− P (z)| < ε

On peut se reporter à [4] page 268 pour une démonstration de ce résultat.

2.2 Qu'est-ce qu'une série Universelle ?

On considère H(D) l'espace des fonctions holomorphes sur D le disqueunité ouvert. On munitH(D) de la topologie de Fréchet, dénie de la manièresuivante :Soit (Ln) une exhaustion de D (i.e une suite de compacts tels que

⋃Ln = D

et ∀n ∈ N, Ln ⊂

Ln+1). Par exemple, on choisit Ln = D(0, 1− 1n+1), le disque

fermé de centre 0 et de rayon 1n+1 .

4

Dénition 2.1 Pour tout f ∈ H(D), on pose ||f ||n = supz∈Ln|f(z)|. Clai-

rement, ||.||n est une norme sur Ln, pour tout n ∈ N.

Dénition 2.2 Soient f, g ∈ H(D). On pose

d(f, g) =∑n∈N

||f − g||n1 + ||f − g||n

12n

Clairement, d est une distance sur H(D).

On va maintenant montrer que l'espace métrique (H(D), d) est complet.

Proposition 2.3 (H(D), d) est un espace métrique complet

Proof. Soit (fn) une suite de Cauchy dans H(D). Comme ∀N ∈ N, ||f −g||N ≤ d(f, g), la suite (fn|LN

)n∈N est de Cauchy ∀N ∈ N.Et puisque LN est compact, H(LN ) muni de la norme de convergence uni-forme est complet. On a donc : fn|LN

−→ fN selon ||.||N lorsque n→ +∞.

On pose ∀z ∈ D, f(z) = fN (z) si z ∈ LN . Montrons que f est bien dénie :Pour cela, il sut de montrer que pour tout N ∈ N, fN et fN+1 coïncidentsur LN . Or :

supz∈LN

|fN (z)− fN+1(z)| ≤ supz∈LN

|fN (z)− fn(z)|︸ ︷︷ ︸−→0

n→+∞

+ supz∈LN

|fn(z)− fN+1(z)|︸ ︷︷ ︸−→0

n→+∞

Ainsi fN et fN+1 coïncident sur LN . De plus :

(fn) converge simplement vers f sur D. (fn) converge uniformément vers f sur tout compact de D (car (Ln) estune exhaustion de D).

On a donc f ∈ H(D).

Soit ε > 0, Soit N assez grand tel que :+∞∑

k=N+1

12k

<ε

2On a :

d(f, fn) ≤N∑k=0

||f − g||k1 + ||f − g||k

12k

++∞∑

k=N+1

||f − g||k1 + ||f − g||k

12k

≤ 2||f − fn||N ++∞∑

k=N+1

12k

< 2||f − fn||N +ε

2

5

Comme (fn) converge uniformément vers f sur LN , alors on peut trouvern ∈ N assez grand tel que ||f − fn||N < ε

4 .On a donc pour ce n : d(f, fn) < ε. Ainsi (fn)n∈N converge vers f ∈ H(D),ce qui achève la preuve.

On peut maintenant entrer dans le vif du sujet et dénir ce qu'est uneSérie Universelle. On se place dans un cadre légèrement plus restreint que legénéral. Le cas général à été traité dans [2].

On rappelle que toute fonction f ∈ H(D) est développable en série deTaylor, série dont le rayon de convergence est supérieur ou égal à 1.

Dénition 2.3 (Série Universelle) Une série Universelle est une fonc-

tion f ∈ H(D), dont la série de Taylor∑n∈N

anzn satisfait la propriété sui-

vante :

pour tout compact K ⊂ Dc à complémentaire connexe, et pour toute fonction

h ∈ H(C), il existe une suite croissante (λn) de N telle que :

supz∈K|λn∑k=0

akzk − h(z)| −→ 0, lorsque n→ +∞.

Notation 2.1 On note U l'ensemble des séries universelles.

Notation 2.2 Soit µ = (µn)n∈N une suite croissante d'entiers telle que

µn −→ +∞, pour n −→ +∞.

On note Uµ l'ensemble des f ∈ H(D) qui vérient les mêmes conditions que

les Séries Universelles, à l'exception près que l'on impose que (λn) soit une

sous-suite de µ.On dit que Uµ est l'espace des fonctions µ-universelles

Dans la suite, on note Ω l'ensemble des compacts K ⊂ Dc à complémentaireconnexe.

3 Un espace dense dans H(D)

Les Séries Universelles sont des séries dont les sommes partielles approxi-ment uniformément n'importe quelle fonction entière sur beaucoup de com-pacts, ce sont donc des séries trés puissantes ! On pourrait logiquement penserque leur ensemble est assez, voire très restreint.

Il n'en n'est rien ! On démontre dans cette section que l'ensemble desSéries Universelles, non seulement n'est pas vide ni "petit", mais est densedans H(D), pour la topologie dénie en 2.2. De plus, on va montrer que Uest aussi algébriquement dense.

Dans la suite, pour P un polynôme, on note deg(P ) son degré.

6

3.1 Un espace topologiquement dense

Le théorème principal de cette section est le suivant :

Théorème 3.1 L'ensemble des séries universelles U est non vide et Gδ-dense, i.e l'ensemble des Séries Universelles U est une intersection dénom-

brable d'ouverts dense dans H(D) qui est donc lui-même dense dans H(D).

Ce théorème a été trouvé par V. Nestoridis dans [2]. On détaille ici sapreuve. Pour cela, on aura besoin de quelques lemmes.

Lemme 3.1 Il existe une suite de compacts (Km)m∈N ∈ ΩN, telle que :

pour tout K ∈ Ω, il existe un m ∈ N tel que K ⊂ Km.

Proof. Soit K ∈ Ω. Si K est ni, on trouve facilement un K ′ inni telque K ⊂ K ′, avec K ′ ayant les même propriétés que K. On suppose donc Kinni.Soit n ∈ N tel que K ⊂ z ∈ C; 1 ≤ |z| ≤ n. On a donc 0, (n+ 1) ∈ Kc. OrKc étant connexe, on peut joindre 0 et n+ 1 dans Kc par une ligne polygo-nale Γ. On peut même supposer que les sommets de Γ sont à coordonnéesdans Q+ iQ. L'ensemble de tels polygônes Γ, noté Θ, est donc dénombrable.On a de plus d(Γ,K) > 0.On pose alors : L(n,Γ, s) = z ∈ C; 1 ≤ |z| ≤ n, d(z,Γ) ≥ 1

s pour(n, s) ∈ N2 et Γ ∈ Θ. Clairement, l'ensemble des L(n,Γ, s) est un ensemblede compacts qui est aussi dénombrable.Puisque l'on a d(Γ,K) > 0, on peut trouver s ∈ N tel que K ⊂ L(n,Γ, s).On a donc prouvé le résultat.

On xe donc (Km) une telle suite de compacts. L'ensemble des polynômesà coecient dans Q + iQ est dénombrable. On énumère donc ces polynômespar (fj)j∈N. On note Sn(f) la nie somme partielle de la série de Taylor de

f ∈ H(D), i.e Sn(f)(z) =n∑j=0

f (j)(0)j!

zj .

On considère les ensembles

E(m, j, s, n) =g ∈ H(D); sup

z∈Km

|Sn(g)(z)− fj(z)| <1s

.

Lemme 3.2 On a : U =+∞⋂m=1

+∞⋂j=1

+∞⋂s=1

+∞⋃n=1

E(m, j, s, n).

Proof. On a, de manière évidente, U ⊂+∞⋂m=1

+∞⋂j=1

+∞⋂s=1

+∞⋃n=1

E(m, j, s, n).

On montre maintenant l'inclusion inverse.

7

On considère f ∈+∞⋂m=1

+∞⋂j=1

+∞⋂s=1

+∞⋃n=1

E(m, j, s, n).

Soient K ∈ Ω et h ∈ H(C). Pour montrer qu'il existe une sous-suite (τn) deN telle que Sτn(f) converge uniformément vers h sur K, il sut de montrer :

∀ε > 0, ∀ν ∈ N,∃N ≥ ν : supz∈K|SN (f)(z)− h(z)| < ε (4)

En eet, si on a (4), on construit (τn) de la sorte : τ0 = 1 et τn ≥ max (n, τn−1)+1 tel que supz∈K |Sτn(f)(z)− h(z)| < 1

n .Soit donc (ε, ν) ∈ R∗ × N. La fonction h est entière, donc holomorphe surun voisinage de K à complémentaire connexe. Donc d'aprés le théorème deRunge, on peut trouver un polynôme P tel que : supz∈K |h(z)− P (z)| < ε

2Comme Q+iQ est dense dans C, il existe un j ∈ N tel que supz∈K |P (z)− fj(z)| <ε4 (voir lemme 3.5). On peut aussi, quitte à modier légèrement le coécientde degré 0 de fj , supposer que fj(0) 6= f(0).

Soit K ⊂ Km. On a : ∀s ∈ N, f ∈+∞⋃n=0

E(m, j, s, n). Donc :

∀s ∈ N,∃ns ∈ N : supz∈Km

|Sns(f)(z)− fj(z)| <1s.

Si (ns)s∈N est bornée, on peut trouver un λ tel que ns = λ pour une innitéde s. Donc Sλ(f) = fj sur Km. Or Km est inni. Donc Sλ(f) ≡ fj , doncf(0) = fj(0). Ce qui est contraire aux hypothèses.Ainsi la suite (ns) est non bornée et en choisissant Ns > ν avec 1

s <ε4 , on

en déduit :

∃N ≥ ν : supz∈Km

|SN (f)(z)− fj(z)| ≤1s<ε

4

Par l'inégalité triangulaire, et le fait que K ⊂ Km, on a :

∃N ≥ ν : ∀n ≥ N, supz∈K|Sn(f)(z)− h(z)| ≤ ε (5)

Ainsi, la condition (4) est satisfaite, et la preuve est complète.

Remarque 3.1 Il est facile de remarquer que le résultat est toujours valable

pour Uµ où (µn) est une sous-suite de N.

Lemme 3.3 ∀(m, j, s, n) ∈ (N∗)3 × N, l'ensemble E(m, j, s, n) est ouvert

dans H(D)

Proof. Soit f ∈ E(m, j, s, n). On a donc supz∈Km|Sn(f)(z)− fj(z)| < 1

s .Soit M un majorant de Km.

8

On pose : a =1s − supz∈Km

|Sn(f)(z)− fj(z)|∑nλ=0 2λMλ

> 0.

On pose : G = g ∈ H(D); supz≤ 12|g(z)− f(z)| < a. G est un voisinage

ouvert de f dans H(D) (pour plus d'information voir la remarque 3.2), et onva montrer que G ⊂ E(m, j, s, n). On aura ainsi E(m, j, s, n) est un voisinagede tous ses points, donc est ouvert.Soit g ∈ G. On a :

∀z ∈ Km, |Sn(g)(z)− fj(z)| ≤ |Sn(g − f)(z)|+ |Sn(f)(z)− fj(z)|

On écrit Sn(f − g)(z) =∑n

λ=0 bλzλ. De la formule de Cauchy, on tire :

|bλ| =∣∣∣ 12iπ

∫∂D(0,1/2)

f(z)− g(z)zλ+1

∣∣∣=

∣∣∣ 12π

∫ 2iπ

0

f(12eiθ)− g(1

2eiθ)

(12eiθ)λ+1

i12eiθdθ

∣∣∣Donc :

|bλ| ≤1

2π

∫ 2π

0

|f(12eiθ)− g(1

2eiθ)|

(12)λ+1

12dθ

< 2λa

On a donc pour tout z ∈ Km

|Sn(g)(z)− fj(z)| ≤n∑λ=0

|bλ|Mλ + supz∈Km

|Sn(f)(z)− fj(z)|

< an∑λ=0

2λMλ + supz∈Km

|Sn(f)(z)− fj(z)|

< 1s

On a donc g ∈ E(m, j, s, n), et ceci pour tout élément g de G. Donc on aG ⊂ E(m, j, s, n) et E(m, j, s, n) est ouvert.

Remarque 3.2 Si l'on ne veut pas se fatiguer à montrer que

G = g ∈ H(D)∣∣ supz≤ 1

2|g(z)− f(z)| < a est un voisinage ouvert de f dans

(H(D), d), on peut simplement considérer Bd(f, a) la boule de centre f et de

rayon a selon d (où d est la distance que l'on a dénie dans la section 2.2).

Cet ensemble nous donne la relation supz≤ 12|g(z)− f(z)| < a qui est la seule

relation utilisée dans la démonstration. On montre donc que

Bd(f, a) ⊂ E(m, j, s, n) et on a le résultat.

Lemme 3.4 Pour tous (m, j, s) entiers naturels strictement positifs, on a+∞⋃n=0

E(m, j, s, n) est ouvert et dense dans H(D)

9

Proof.

+∞⋃n=0

E(m, j, s, n) est ouvert car c'est une réunion dénombrable

d'ouverts d'après le lemme précédent. Reste à prouver la densité.Soient f ∈ H(D) et ε > 0. On a, pour n ∈ N :

+∞∑k

||f − g||k1 + ||f − g||k

12k≤

+∞∑k

12k−→ 0 pour n→ +∞.

On prend donc N assez grand tel que

∀(g, f) ∈ H(D)2,+∞∑

k=N+1

||f − g||k1 + ||f − g||k

12k

<ε

2.

De plus, on a facilement

N∑k=0

||f − g||k1 + ||f − g||k

12k≤ ||f − g||N

N∑k=0

12k≤ 2||f − g||N .

On peut donc se restreindre à trouver g ∈+∞⋃n=0

E(m, j, s, n) tel que ||f−g||N ≤ε4 . Les compacts Km et LN sont disjoints. Le complémentaire de Km ∪ LNest donc connexe. On prend F holomorphe au voisinage de Km ∪ LN telleque :

F (z) =f(z) si z ∈ LNfj(z) si z ∈ Km

Le théorème de Runge donne un polynôme g tel que

supz∈Km∪LN

|F (z)− g(z)| < min(ε

4, 1/s)

On pose n = deg(g). On a donc Sn(g) = g et :

∀z ∈ Km, |fj(z)− Sn(g)(z)| < 1/s i.e g ∈ E(m, j, s, n) ⊂+∞⋃n=0

E(m, j, s, n)

∀z ∈ Ln, |f(z)− Sn(g)(z)| < α i.e g ∈ Bd(f, ε).

Ceci achève la preuve du lemme.

Remarque 3.3 Dans la démonstration, on peut choisir n'importe quel en-

tier n ≥ deg(g). En particulier, on peut en choisir un appartenant à une

suite extraite µ donnée. Ainsi, on a aussi⋃+∞n=0E(m, j, s, µn) dense dans

H(D) pour toute sous-suite µ de N.

10

Preuve du Théorème. On a donc U =+∞⋂m=1

+∞⋂j=1

+∞⋂s=1

+∞⋃n=1

E(m, j, s, n)

est une intersection dénombrable d'ouverts denses dans H(D). De plus,(H(D), d) est un espace métrique complet, donc un espace de Baire par leLemme de Baire. Ainsi U est non vide et Gδ-dense !

D'après la remarque 3.3 on a aussi le théorème suivant :

Théorème 3.2 L'ensemble Uµ est un Gδ-dense dans H(D) pour toute sous-suite µ non bornée de N.

On a donc obtenu un résultat topologique sur la taille de U . On va main-tenant démontrer un résultat algébrique.

3.2 Un espace algébriquement dense

Dans cette partie, on montre que U∪0 contient un sous-espace vectorielde H(D) qui est dense dans H(D). On va même généraliser à Uµ pour µ sous-suite non bornée de N.

Avant cela, on énonce un résultat préliminaire utile pour la suite.

Lemme 3.5 L'ensemble des polynômes à coecients dans Q + iQ est dense

dans H(D).

Proof. D'après le théorème de Runge, l'ensemble des polynômes estdense dans H(D). Et Q + iQ est dense dans C.Soient f ∈ H(D) et ε > 0. Soit aussi Q ∈ C[z] avec Q ∈ Bd(f, ε2). On note

Q(z) =n∑k=0

qkzk.

On prend q1, . . . , qn tels que : |qi−qi| < ε4(n+1) pour i = 0, . . . , n (qi ∈ Q+iQ).

On pose : P (z) =n∑k=0

qkzk.

On a :

∀z ∈ D, |P (z)−Q(z)| ≤n∑k=0

|qk − qk||z|k <ε

4

On a alors d(P,Q) <ε

4

+∞∑k=0

(1/2)k =ε

2ce qui implique

d(P, f) < ε.

On a alors le phénomène suivant.

11

Théorème 3.3 Pour toute sous-suite µ de N, Uµ⋃0 contient un sous-

espace vectoriel dense.

Proof. On pose µ0,m = µ pour tout m ∈ N.Uµ est dense dans H(D). Soit donc a1 ∈ Uµ telle que d(a1, f1) < 1.Or la fonction nulle appartient à H(C), donc ∀m ∈ N, on trouve µ1,m une

sous-suite de µ telle que : supz∈Km

|µ1,m

n∑k=0

a1kzk| −→ 0, pour n −→ +∞.

De plus, l'intersection⋂m∈N Uµ

1,mest un Gδ-dense d'aprés le résultat du

théorème 3.2. Soit donc a2 ∈⋂m∈N Uµ

1,mtelle que d(a2, f2) < 1/2. D'aprés

la dénition de Uµ1,m, on peut trouver une sous-suite µ2,m de µ1,m telle que :

supz∈Km

|µ2,m

n∑k=0

a2kzk| −→ 0, pour n −→ +∞.

En itérant le procédé on a construit une suite (al)l∈N et une suite (µl,m)l,m∈N)telles que, ∀(m, l) ∈ (N∗)2, les propriétés suivantes sont vériées :

1. al ∈⋂m∈N Uµ

l−1,m.

2. µl,m est une sous-suite de µl−1,m et µ0,m = µ.

3. d(al, fl) < 1/l.

4. supz∈Km

|µl,m

n∑k=0

alkzk| −→ 0, pour n −→ +∞.

Soit B = Vectl∈N∗(al) l'espace vectoriel engendré par les al. Clairement, Best dense (grâce à la relation 3.).il reste à montrer qu'il est inclus dans Uµ.

Soit a ∈ B avec a =n∑i=0

αiai et αn 6= 0. On note a = (an)n∈N.

Soient K ∈ Ω et h ∈ H(C). On a K ⊂ Kp pour un p ∈ N. De plus, on aaussi an ∈ Uµn,p

, (1/αn)h ∈ H(C). Soit donc λ une sous-suite de µn−1,p telleque :

supz∈Km

|λj∑k=0

ankzk − h(z)

αn| −→ 0, pour j −→ +∞. (6)

Or pour tout l < m, λ est une sous-suite de µl,p. Et, puisque

supz∈Km|∑µl,p

j

k=0 alkzk| −→ 0, pour j −→ +∞, on a donc :

supz∈Km

|λj∑k=0

alkzk| −→ 0, pour j −→ +∞. (7)

Les relations (6) et (7) donnent

supz∈Km

|λj∑k=0

akzk − h(z)| −→ 0, pour j −→ +∞

12

Donc :

supz∈K|λj∑k=0

akzk − h(z)| −→ 0, pour j −→ +∞

Ce qui signie exactement a ∈ Uµ.Ainsi U est non seulement dense topologiquement dans H(D), mais en

plus, si l'on regarde H(D) comme un espace vectoriel, U reste dense d'unpoint de vue algébrique. Cet ensemble de fonctions très puissantes permeten plus d'approcher toute fonction holomorphe dans D.

4 Une méthode constructive pour démontrer la den-

sité

On a établi une première démonstration de la densité de l'espace desSéries Universelles. Cependant, l'outil central de cette démonstration est lethéorème de Baire. Or la démonstration de ce dernier théorème est construc-tive. On peut donc se poser la question de l'existence d'une démonstrationconstructive de l'existence et de la densité des Séries Universelles.

4.1 Dessine-moi une Série Universelle !

Dans cette section, on construit étape par étape une série universelle.

L'espace (Km, fj)(m,j)∈N2 est dénombrable. On l'énumère donc en notant(Kmk

, fjk)k∈N.

4.1.1 Etape 1

Soit F1 une fonction holomorphe au voisinage de Km1

⋃L1 telle que

F1(z) =

0 si z ∈ L1,fj1(z) si z ∈ Km1 .

Le compact Km1

⋃L1 est à complémentaire connexe car L1 et Km1 sont

disjoints par dénition.Donc d'aprés le théorème de Runge, on peut trouver P1 ∈ C[z] tel que :

supz∈Km1

|P1(z)− fj1(z)| < 1,

supz∈L1

|P1(z)| < 1.

On pose Q1 = P1 et N1 = deg(P1) + 1.

13

4.1.2 Etape 2

Soit M2 ≥ supz∈Km2|z| un majorant de Km2 .

La fonction g2(z) = fj2(z)

zN1reste holomorphe au voisinage de Km2 par dé-

nition de ce dernier. On peut donc trouver F2 une fonction holomorphe auvoisinage de Km2

⋃L2 telle que :

F2(z) =

0 si z ∈ L2

fj2(z) si z ∈ Km2

Le compact Km2

⋃L2 est à complémentaire connexe car L2 et Km2 sont

disjoints par dénition.Donc d'aprés le théorème de Runge, on peut trouver P2 ∈ C[z] tel que :

supz∈Km2

|P2(z)− fj2(z)−Q1(z)zN1

| < 12

1MN1

2

supz∈L2

|P2(z)| < 122

On pose Q2(z) = zN1P2(z) et N2 = N1 + deg(P2) + 1 = deg(Q2) + 1.

4.1.3 Etape l

Soit Ml ≥ supz∈Kml|z| un majorant de Kml

.

La fonction gl(z) =fjl

(z)

zNl−1reste holomorphe au voisinage de Kml

par dé-nition de ce dernier. On peut donc trouver Fl une fonction holomorphe auvoisinage de Kml

⋃Ll telle que :

Fl(z) =

0 si z ∈ Llfjl(z) si z ∈ Kml

Le compact Kml

⋃Ll est à complémentaire connexe car Ll et Kml

sontdisjoints par dénition.Donc d'aprés le théorème de Runge, on peut trouver P2 ∈ C[z] tel que :

supz∈Kml

|Pl(z)−fjl(z)−

∑l−1k=1Qk(z)

zNl−1| < 1

l

1

MNl−1

l

supz∈Ll

|Pl(z)| <1l2

On pose Ql(z) = zNl−1Pl(z) et Nl = Nl−1 + deg(Pl) + 1 = deg(Ql) + 1.

4.1.4 Fin de la construction

On itère le procédé pour l ∈ N. On a donc construit une suite de poly-nômes à coecients complexes (Pl)l∈N∗ qui vérie :

14

supz∈Kml

|l∑

k=1

Qk(z)− fjl(z)| <1l

supz∈Ll

|l∑

k=1

Qk(z)| <1l2

Ql(z) = zNl−1Pl

On pose : u(z) =∞∑k=1

Qk(z). On va montrer que u ∈ U .

Soient K ∈ Ω et h ∈ H(C). Soient ε > 0 et p ∈ N. Il nous sut detrouver n ≥ p tel que :

supz∈K|n∑k=1

Qk(z)− h(z)| < ε pour avoir le résultat (cf preuve du lemme 3.2

pour la démonstration). En eet, on aura ainsi une sous-suite qui approcherauniformément h sur K, pour K ∈ Ω et h ∈ H(C) choisis arbitrairement.D'après le théorème de Runge, on peut approcher uniformément h sur Kpar les fj . Soit donc fjk tel que supz∈K |fjk(z)− h(z)| < ε

2 .Puisqu'il y a une innité de fj qui vérient cette relation, et que (Kmk

, fjk)k∈Nest une énumération de (Km, fj), on peut prendre k ∈ N tel que :

1k <

ε2

mk est tel que K ⊂ Kmk.

k ≥ pOn a donc :

supz∈K|k∑i=1

Qi(z)− h(z)| ≤ supz∈K|k∑i=1

Qi(z)− fjk(z)|+ supz∈K|fjk(z)− h(z)|

< supz∈Kmk

|k∑i=1

Qi(z)− fjk(z)|+ ε

2< 1

k + ε2

< ε

avec k ≥ p.

Pour avoir u ∈ U , il reste à montrer que le rayon de convergence R de uest égal à 1.

Soit L un compact de D. Soit n ∈ N tel que L ⊂ Ln. On a :

||u||L ≤ ||u||n ≤+∞∑i=1

||zNi−1Pi||n ≤+∞∑i=1

||Pi||n

15

Or

+∞∑i=1

||Pi||n =n−1∑i=1

||Pi||n ++∞∑i

||Pi||n

≤n−1∑i=1

||Pi||n ++∞∑i

||Pi||i

≤n−1∑i=1

||Pi||n ++∞∑i

1i2

< +∞ (addition d'une somme nie et d'une série convergente)

Ainsi R ≥ 1. Si R > 1, alors on prend K = 1 et h n'importe quel nombrecomplexe a. La série u est absolument convergente sur ∂D, il sut donc deprendre |a| > |u(1)| pour obtenir une contradiction.Donc R = 1.

On a donc le résultat : la série construite est bien universelle.

4.2 Dessine-moi beaucoup de Séries Universelles ! !

On a maintenant une preuve constructive du fait que U est non vide. Nousallons donc continuer dans cette voie et montrer grâce à cette constructionque U est dense dans H(D).

Pour cela, il sut de remarquer que pour tout polynôme P ∈ C[z], u+Pest encore universelle.

En eet, soient K ∈ Ω et h ∈ H(C). La fonction h − P est toujoursentière. Puisque u est universelle, il existe (λn) telle que

supz∈K|Sλn(u)(z)− h(z) + P (z)| −→ 0, pour n −→ +∞.

Ainsi, dès que λn > deg(P ), on a aussi

supz∈K|Sλn(u+ P )(z)− h(z)| −→ 0, pour n −→ +∞.

Donc, on a bien u+ P ∈ U .

On obtient alors la densité topologique de la manière suivante.

Soient g ∈ H(D) et ε > 0. Soit aussi L un compact de D.

On choisit N ∈ N tel que : ||+∞∑

k=N+1

Qk||L <ε

2.

16

On a g−N∑k=1

Qk ∈ H(D). L'espace des polynômes est dense dans H(D). Soit

donc P ∈ C[z] tel que : ||g −N∑k=1

Qk − P ||L <ε

2

Par l'inégalité triangulaire, on a : ||g − (u+ P )||L < ε. Ce qui prouve ladensité de U .

5 Une étude dans un cadre restreint

On a étudié dans les parties précédentes la densité de l'espace U desSéries Universelles dans l'espace des fonctions holomorphes sur D. On seplace maintenant dans un cadre un peu plus restreint : les compacts K surlesquels on approche toute fonction entière h n'ont plus le droit de toucherle bord du disque unité.Ainsi, l'étude se porte sur les séries complexes de rayon R = 1 qui approchenttoute fonction entière sur tout compact K à complémentaire connexe etinclus dans Dc

.

Notation 5.1 On note

Ω′ = K ⊂ Dc; K compact, à complémentaire connexe .

On note aussi U1 l'ensemble des séries universelles pour les K ∈ Ω′.

On va montrer que U1 n'est pas égal à U . Et que U1 est encore non-videet encore Gδ-dense !

Lemme 5.1 Il existe une suite de compacts (K ′m)m∈N ∈ ΩN, telle que :

∀K ∈ Ω, on a K ⊂ K ′m pour un m ∈ N.

Proof. La démonstration est la même que celle du lemme 3.1 avec desK ∈ Ω′. Les étapes à suivre sont exactement les mêmes, avec la modicationsuivante : la famille que nous cherchons n'est pas L(n,Γ, s) = z ∈ C; 1 ≤|z| ≤ n, d(z,Γ) ≥ 1

s mais :L′(n,Γ, s) = z ∈ C

∣∣1 + 1n ≤ |z| ≤ n, d(z,Γ) ≥ 1

s pour (n, s) ∈ N2 et Γ ∈ Θ.On a alors le résultat !

Théorème 5.1 L'espace U1 est Gδ-dense dans H(D)

Proof. Elle s'écrit comme celle du théorème 3.1 en tenant compte dulemme 5.1

Dans la suite, on montre que l'ensemble U est strictement contenu dans U1.Ce résultat a été établi dans [1]. On en donne ici une preuve légèrementdiérente en construisant des séries de U1 à coecients dans `1. Cette sériene pourra donc pas réaliser d'approximations sur le bord du disque unité.

17

Théorème 5.2 L'espace U1 contient des séries à coecients dans `1. Ainsi,U1 6= U .

Proof. L'idée de la démonstration va être de construire une série u(z) =∑k∈N

anzn appartenant à U1 et telle que

∑k∈N|ak| <∞, i.e u1 ∈ `1.

Tout d'abord on reprend l'énumération (Kml, fjl)l∈N. Pour tout entier l,

on a : d(Kml,D) > 0. On prend donc rml

∈ R∗+ tel qued(Kml

,D) > rml− 1 > 0. L'ensemble Kml

⋃D(0, rml

) est un compact àcomplémentaire connexe pour tout entier l.Ainsi, en reprenant les notations de la construction de la section 4, et enpassant directement à l'étape l, on trouve, grâce au théorème de Runge,Pl ∈ C[z] tel que :

supz∈Kml

|Pl(z)−fjl(z)−

∑l−1k=1Qk(z)

zNl−1| < 1

l1

MNl−1l

supz∈D(0,rml

)|Pl(z)| <

1− 1rmll2

.

On pose alors u1(z) =+∞∑l=1

Ql(z). On montre de manière analogue à la

section 4.1.4 que u1 ∈ U1.

En notant Pl =deg(Pl)∑j=0

al,jzj , on peut écrire u1 sous la forme :

u1(z) =+∞∑l=1

deg(Pl)∑j=0

al,jzNl−1+j

De la formule de Cauchy (pour les coecients d'une série de Taylor), on tire :

∀l ∈ N, ∀j ∈ [|0, deg(Pl)|], al,j =1

2iπ

∫∂D(0,rml

)

Pl(z)zj+1

dz.

On peut donc majorer les al,j par :

|al,j | <1− 1

rml

l2(rml)j.

18

On obtient :+∞∑l=1

deg(Pl)∑j=0

|al,j | <

+∞∑l=1

deg(Pl)∑j=0

1− 1rml

l2rjml

≤+∞∑l=1

1− 1rml

l2

<+∞∑l=1

1l2

< +∞.

Ainsi u1 ∈ `1. On a donc le résultat.

Remarque 5.2 En reprenant la démonstration de la section 4, on peut donc

montrer que l'espace U`1 = a =+∞∑k=0

akzk ∈ U1;

+∞∑k=0

|akzk| < +∞ est dense

(pour la topologie de `1) dans H(D).Ce qui nous interesse le plus cependant, c'est de savoir qu'ainsi, puisque

U1 ⊂ H(D), on a U`1 dense pour la topologie de `1 dans U1 !

6 Hypercyclicité et Universalité

L'Universalité, formellement, peut se décrire ainsi : on considère un es-pace topologique X d'objets, un espace topologique Y d'éléments à appro-cher, et une famille (généralement une suite) d'applications Tl : X → Y (avecl ∈ I un ensemble d'indices). Alors, un élément x de X est dit universel sichaque élément y de Y peut être approché par des Tl(x), i.e Tl(x); l ∈ Iest dense dans Y . par exemple, dans le cas de l'ensembleU , X est l'ensembleH(D), les Tl les opérateurs de somme partielle Sl et Y l'ensemble H(C) munide la topologie de la convergence uniforme sur un compact K ∈ Ω.

On s'interesse maintenant à un cas particulier d'Universalité, lorsque l'onimpose à la famille (Tl) d'êtres les itérés d'un opérateur T : X → Y ,i.e Tl = T l, pour l ∈ N. Ce cas particulier d'Universalité est nommé Hyper-cyclicité. On peut donc dénir cette notion comme suit :

Dénition 6.1 Soit E une espace vectoriel topologique et A un opérateur

continu de E. On dit que x est un vecteur hypercyclique (pour A) si son

orbite

An(x)|n ∈ N

est dense dans E.

Pour une étude détaillée de ces deux phénomènes, on peut consulter [7].Dans la suite, on énonce un résultat de MacLane [8], où l'on considère l'opé-rateur de dérivation dans H(C).

19

Théorème 6.1 Il existe une fonction entière f telle que l'ensemble

fn|n ∈ N des dérivés de f est dense dans H(C) l'espace des fonctions

entières, muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts.

Si l'on pose E = H(C) et d la distance de la topologie de Fréchet (aussidite la topologie de la convergence uniforme, cf la section 2.2), ce théorèmedit tout simplement que l'opérateur dérivation est hypercyclique.

On en présente une preuve élémentaire due à Charles Blair et Lee A.

Rubel [6].Proof. Soit (fj)n∈N l'ensemble des polynômes à coecients dans Q+ iQ.

Soit I l'opérateur d'intégration :I(h)(z) =

∫[0,z] h(w)dw.

On notera In(h) l'application de I n fois sur h. On construit une suite denombre (Kn) vériant :

1. ∀j ∈ [|0, n− 1|], Kn > Kj + deg(fj)

2. En posant Hn = IKn(Pn), ∀j ∈ [|0,Kn−1|], |H(j)n (z)| ≤ 1

2n pour |z| ≤n.

La relation 1. est facile, on suppose la relation 2. vraie pour l'instant. Ondénit :

f =∑

IKn(fn)

Soit un compact K, soit j ∈ N. On a un l ∈ N tel que K ⊂ B(0, l) etj ≤ Kl−1. On prend N > Kl :

N∑i=0

||IKi(fi)(j)||K ≤Kn−1∑i=0

||IKi(fi)(j)||K +N∑

i=Kn

||IKi(fi)(j)||K

≤Kn−1∑i=0

||H(j)i ||K +

N∑i=Kn

||H(j)i ||K

≤Kn−1∑i=0

||H(j)i ||K︸ ︷︷ ︸

somme nie

+N∑

i=Kn

12n︸ ︷︷ ︸

converge lorsque N → +∞

Ainsi, la série des dérivées je converge normalement sur tout compact de C,et ce pour tout j ∈ N.La série dénissant f converge donc uniformément sur tout compact de C etest dérivable terme à terme.

Par la propriété 1. de (Kn), on a : ∀j < Kn, H(Kn)j ≡ 0. Ainsi :

f (Kn)(z) = fn(z) ++∞∑

k=Kn+1

H(Kn)k (z)︸ ︷︷ ︸

En(z)

20

Avec |En(z)| ≤+∞∑

k=Kn+1

12n≤ 1

2n−1pour |z| ≤ n.

On a montré dans le lemme 3.5 que les (fj) sont dense dans H(D) selonla distance d dénie dans la section 2.2. Vu que la topologie de Fréchet deH(C) est exactement la même que celle de H(D) (en prenant (B(0, n))ncomme exhaustion par exemple), on obtient que l'ensemble (fj) est densedans l'espace des fonctions entière muni de la topologie de Fréchet.

Ainsi, on va montrer que l'on peut approcher g ∈ H(C) par des dérivéesde f :

Soit ε > 0, soit fk qui approche g uniformément sur B(0, N) à ε6 prés.

On prend k et N assez grand tels que : 1

2k−1 <ε6

+∞∑n=N

12n

<ε

3On a donc :

d(f (k), g) ≤ 2||fk − g||B(0,k) + 2||Ek||B(0,k) ++∞∑l=N

12l

d(f (k), g) < ε

Il reste donc à démontrer qu'une suite (Kn) vériant les propriétés 1. et2. existe. On a pour tout r et k entiers :

|Ik(zr)| = | zr+k

(r + 1)(r + 2) . . . (r + k)| ≤ |zr| |z|

k

k.

Ainsi, sur n'importe quel disque xé, |z|k

k tend uniformément vers 0. Lespolynômes fn étant une combinaison linéaire d'un nombre ni de zr (pour rentier), on peut trouver, sur B(0, n), un k assez grand tel que ||Ik(fn)||n ≤

12n−1 . Vu que l'on veut que cette condition soit vériée pour un nombre nide dérivées de Ik(fn), et que ces dérivées sont toujours des polynômes, onpeut trouver un Kn assez grand vériant la relation 2.

D'où l'existence de la suite (Kn).

D'où le résultat !

Références

[1] A. Melas, V. Nestoridis, I. Papadoperakis : Growth of coecients

of universal Taylor series and comparison of two classes of functions,J. Anal. Math. 73 (1997), 187202.

[2] V. Nestoridis : Universal Taylor Series, Ann. Inst. Fourier (Grenoble)46 (1996), no. 5, 12931306.

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[3] F. Bayart, K.-G. Grosse-Erdmann, V. Nestoridis and C. Papa-dimitropoulos : Abstract theory of universal series and applications,Proc. Lond. Math. Soc. (3) 96 (2008), no. 2, 417463.

[4] E. Amar and E. Matheron : Analyse Complexe, Chap. 9, section 9.1.

[5] K. Yosida : Functional Analysis, Sixth Edition, Grundlehren der Ma-thematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of MathematicalSciences], 123. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980.

[6] C. Blair ; L. A. Rubel : A Universal Entire Function, Amer. Math.Monthly 90 (1983), no.5, 331332.

[7] Karl-Goswin Grosse-Erdmann : Universal Families and Hypercy-

clic Operators, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 36 (1999), no.3, 345381.

[8] G. R. Maclane : Sequences of derivatives and normal families, J. Anal.Math. 2 (1952/53), 72-87.

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