Rapport Kalman

8/3/2019 Rapport Kalman

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SOUBIGOU Antoine DEA Mulhouse Janvier 2003

FFiillttrraaggee ddee KKaallmmaannssoouuss MMaattllaabb

Projet Automatique M. Bigu


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Introduction2

I Prsentation du problme....3

II Premire partie...5

Les bruits de mesures affectant chaque srie de mesure sont dcorrls.

Les bruits dtat et de mesure sont galement dcorrls.

III Deuxime partie.....9

Les bruits de mesures affectant chaque srie de mesure sont corrls.

Les bruits dtat et de mesure sont galement dcorrls.

Technique de partage des mesures

IV Troisime partie......11

Les bruits de mesures affectant chaque srie de mesure sont corrls.

Les bruits dtat et de mesure sont galement corrls.

Conclusion.13

Index des figures...14

Projet Automatique M. Bigu- 1 -


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Introduction

Le cours dautomatique de DEA, avec Mr. Bigu, nous a permis de dcouvrir un

nouveau filtrage : le filtrage de Kalman. Aprs un cours thorique, nous avons mis en pratiqueces connaissances en dveloppant sous Matlab un algorithme de Kalman, lors de deux sances

de travaux pratiques.

Le filtrage de Kalman, invent presque en mme temps que l'observation d'tat donne

une solution optimale une classe de problmes bien poss et une solution satisfaisante assez

souvent (mais pas toujours !). D'un certain point de vue, cette efficacit du filtrage de Kalman

loin de ses hypothses canoniques a fini par occulter son rel champ d'application.

La technique du filtre de Kalman est un outil privilgi de lestimation des modles

structurels composantes inobservables. Elle consiste en un ensemble dquations rcursives

et procde en deux temps. Premirement, une tape de filtrage qui permet dobtenir la

meilleure approximation de ltat Zt du systme la date t, conditionnellement linformation

disponible jusquen t. Deuximement, une tape de lissage qui donne lapproximation

optimale du vecteur dtat linstant t, conditionnellement toute linformation disponible

sur lensemble de la priode, de 1 T. Le lissage fournit des estimations des diverses

composantes inobservables (tendance, cycle et irrgularit) de la srie initiale, permettant

ainsi de la dsagrger date par date.

Pour ce projet dautomatique, le travail fait suite celui fait en TP. En effet les lignes

de codes restent dans lensemble les mmes. Les modifications sont dues la prsence dedeux bruits de mesures pour chaque partie au lieu dun seul.



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I Prsentation du problme

Au cours de ce projet, on va reprendre un exemple abondamment trait en cours : un

processus de Gauss Markov. Le processus considr est stationnaire ; sa densit spectrale de

puissance est donne par :

( )1

22 +

=p

pS

Les observations du processus sont entaches de bruits dont les caractristiques restent

dterminer. A la diffrence du TP dj suivi, on dispose de 2 mesures bruites du mme

signal chaque instant. La mthodologie pour rsoudre ces deux cas a t prsente en cours.

Dans un premier cas, les bruits de mesures affectant chaque srie de mesure sontdcorrls. Les bruits dtat et de mesure sont galement dcorrls.

Dans un second cas, les bruits de mesures affectant chaque srie de mesure sont corrls.Les bruits dtat et de mesure sont dcorrls.

Dans un troisime cas, les bruits de mesures affectant chaque srie de mesure sontcorrls. Les bruits dtat et de mesure sont corrls.

Le modle dtat continu pour ce systme scrit :

Avec A = -1

B = sqrt (2).u est un bruit blanc gaussien.

On chantillonne toutes les 20 ms. On montre que le modle dtat discret pour ceprocessus scrit :

kkkkk vxx += ++ .,11



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Avec :

[ ]9802,0

.

,1 == + eeTkTA

kk

Et

( ) ( ) ( ) duBtvk

k

t

tkk ...,

1

1+

+=

On montre que vkest aussi une squence blanche gaussienne, et que sa covariance Qk scrit :

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) + +

++ ==1 1 ..,.....,. 11

k

k

k

k

t

t

t

tk

TTTk

Tkkk ddtBuuEBtvvEQ

Dans notre cas :

[ ] ( ) 03921.0.2. 02.00

2

==

dvvEQ eT

kkk

Nous allons maintenant passer lapplication de ce filtrage de Kalman, en examinant

leffet du filtrage pour les trois cas de mesures vu prcdemment.



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II Premire partie

Le fichier de donnes fourni (TP2003.mat) contient 3 sries de variables (suffixes 1,

2 et 3). La premire de ces srie est constitue de 3 variables : z1 , zbruite1 et bruit1. Nous allons ltudier.

Premire question : bruit1 contient les valeurs relatives une ralisation du

bruit de mesures pour chaque mesure (une matrice 2 lignes x 1000 colonnes, 1 lignepar ralisation de bruit).Dterminez rapidement les caractristiques de ces bruits.

La premire figure montre lvolution temporelle des deux bruits de mesures. Ensuiteon peut voir la densit spectrale de ces bruits.

Lanalyse des histogrammes montre bien que ces deux signaux sont Gaussiens. Leur

autocorrelation prsentent bien un pic central. Les conditions sont donc satisfaites pour

appliquer la mthode de Kalman pour un filtrage.

De plus on obtient les valeurs caractristiques suivantes :

Moyenne du premier bruit : -0.0340

Moyenne du deuxime bruit : -0.0892

Covariance du premier bruit : 1.0160

Covariance du deuxime bruit : 0.9940



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Deuxime question : Une fois les caractristiques des bruits connues, utilisezlalgorithme de filtrage de Kalman pour dbruiter les donnes zbruite1 .Commenter.

Figure 1 : Rsultat du filtrage bruits de mesures et dtat dcorrls

Cette figure montre trois courbes : En bleu, on observe le signal bruit, en rouge laprdiction faite et en vert, le signal non bruit. Ce filtrage de Kalman permet de conclure que, premire vue, la prdiction semble trs bonne par rapport au vrai signal non bruit. Lerreurcommise est faible.

Troisime question : Tracer lvolution temporelle des variables P et K.Commentez.



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Le premier graphe montre lvolution de P et traduit la rapidit du dbruitage. Onobserve alors que le filtrage est trs performant au niveau de la vitesse. Le deuxime graphemontre lvolution de K et traduit la stabilit du filtrage qui savre elle aussi trs bonne.

Quatrime question : A partir des donnes non bruites (variable z1 ),

observez l'volution temporelle de lerreur avant et aprs filtrage.Comparez.

Voici les diffrentes erreurs releves :

o Erreur quadratique pour le premier signal avant filtrage : 982.8o Erreur quadratique pour le deuxime signal avant filtrage : 947.0o Erreur quadratique aprs le filtrage : 107.9

On peut donc en conclure que l'erreur quadratique a donc considrablement chute. Lefiltrage de Kalman est donc clairement efficace pour ces mesures de bruits.

Cinquime question : Comparer le filtrage ainsi ralis (fusion de donnes

partir de deux mesures) et le filtrage classique, en nutilisant par exemple que lapremire srie de mesures.

Figure 2 : Rsultat du filtrage bruits de mesures et dtat dcorrls sans fusion de

donnes

En observant de prs les dtails de ce graphe, on peut voir que le filtrage ralis ici -

sans fusion de donnes - est lgrement moins performant. En effet, la prdiction (en rouge)

admet un petit retard par rapport au vrai signal. On observe aussi que la prdiction est tropforte certains endroits.



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Le relev des erreurs est le suivant :

o Erreur quadratique pour le premier signal avant filtrage : 982.8o Erreur quadratique aprs le filtrage : 148.0

L'erreur quadratique a donc aussi considrablement chute, mais moins que lorsque

l'on fusionne les donnes de mesures. Le filtrage est toujours efficace. Par contre la fusion des

donnes apporte quelque chose de plus intressant au niveau de la prdiction.



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II Deuxime partie

Le fichier de donnes contient une deuxime srie de variables, avec une deuxime srie

de ralisations de bruit dobservations.

Premire question : bruit2 contient les valeurs relatives une ralisation du

bruit de mesures pour chaque mesure (une matrice 2 lignes x 1000 colonnes, 1 lignepar ralisation de bruit). Dterminez rapidement les caractristiques de ces bruits.

La premire figure montre lvolution temporelle des deux bruits de mesures. Ensuite

on peut voir la densit spectrale de ses bruits.

Lanalyse des histogrammes montre bien que ces deux signaux sont, pour cette

deuxime srie de mesures, Gaussiens. Leur autocorrelation prsentent encore un pic central.

Les conditions sont donc satisfaites pour appliquer la mthode de Kalman pour un filtrage.

De plus on obtient les valeurs caractristiques suivantes :







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Deuxime question : Une fois les caractristiques des bruits connues, utilisezlalgorithme de filtrage de Kalman avec la technique de partage des mesures pourdbruiter les donnes zbruite2 . Commentez.

Pour cette partie, les deux bruits de mesures sont corrls. Il est donc ncessaire, avant

dappliquer le filtrage de Kalman, de les dcorrls.Lide, comme on la vu la fin du cours, est de diagonaliser la matrice R de covariance

du bruit de mesure. La premire tape est donc de calculer les termes de la matrice R, ensuitelalgorithme de Kalman est modifi lgrement, puis on lance les calculs afin de filtrer le signal.

Voici le rsultat obtenu :

Figure 3 : Rsultat du filtrage bruits de mesures corrls et bruits dtat dcorrls.

Partage des mesures.

Le rsultat est trs satisfaisant, la prdiction est proche du signal non bruit. Mais pourconclure sur la qualit du filtrage, regardons les erreurs quadratiques avant et aprs filtrage.

Troisime question : A partir des donnes non bruites (variable z2 ), observezl'volution temporelle de lerreur avant et aprs filtrage. Comparez.Quatrime question : Comparez avec le cas prcdent

Voici les diffrentes erreurs releves des erreurs :


Lerreur quadratique en fin de filtrage est bien plus grande que pour lexemple prcdent.

Mme si le filtrage semble bon, il est meilleur pour la premire srie de mesure dont lerreur enfin de filtrage tait 4 fois plus faible.



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II Troisime partie

Le fichier de donnes contient une troisime srie de variables, avec en particulier unetroisime srie de ralisations de bruit dobservations.

Premire question : bruit3 contient les valeurs relatives une ralisation du bruit demesures pour chaque mesure (une matrice 2 lignes x 1000 colonnes, 1 ligne par ralisationde bruit). La covariance entre U et le premier bruit de mesure est covU1 , entre U et ledeuxime bruit de mesure covU2 . Dterminez rapidement les caractristiques desbruits de mesure

La premire figure montre lvolution temporelle des deux bruits de mesures. Ensuite

on peut voir la densit spectrale de ses bruits.

Lanalyse des histogrammes montre bien que ces deux signaux sont, pour cettedeuxime srie de mesures, Gaussiens. Leur autocorrelation prsentent encore un pic central.

Les conditions sont donc satisfaites pour appliquer la mthode de Kalman pour un filtrage.

On obtient les valeurs caractristiques suivantes :







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Deuxime question : Une fois les caractristiques des bruits connues, utilisezlalgorithme de filtrage de Kalman pour dbruiter les donnes zbruite3 . Commentez.

Dans cet exemple, les bruits de mesures affectant chaque srie de mesure sont corrls et lesbruits dtat et de mesure sont aussi corrls. Le premier algorithme sera modifier au niveau de la

matrice R qui sera alors diagonale avec les valeurs covU1 et covU3 dans sa diagonale.

On obtient le rsultat suivant :

Figure 4 : Rsultat du filtrage bruits de mesures et dtat corrls

Le rsultat est encore trs satisfaisant, la prdiction est proche du signal non bruit.Regardons les diffrentes erreurs.

Troisime question : A partir des donnes non bruites (variable z3 ), observezl'volution temporelle de lerreur avant et aprs filtrage. Comparez.

Voici les diffrentes erreurs releves des erreurs :


L'erreur quadratique a chute, cependant un des bruits avait dj une erreur quadratiquefaible. Ce filtrage a lair dtre le plus efficace. Cependant, cette grande baisse est peut-tre due la faible valeur de lerreur quadratique du deuxime signal avant filtrage. On ne peut donc pas

vraiment comparer ce filtrage avec les deux prcdents dont les erreurs quadratiques des bruits demesures taient relativement proches



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Conclusion

Ces sances de TP et ce dernier TP test, transform en projet, nous ont permis dedcouvrir une nouvelle technique de filtrage quest celle de Kalman. De plus la

programmation se faisait sous lenvironnement de calcul Matlab ; cela nous a donc permis de

nous amliorer au niveau de lcriture du langage.

Ces domaines dapplication sont aujourdhui trs vastes et les rsultats obtenus,

comme dans notre exemple de dbruitage de signaux, montrent leurs grandes possibilits.

Les trois programmes constituants chaque partie de ce projet son disponible sur la

disquette jointe. Il sy trouve galement le rapport en PDF.



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Figure 1 : Rsultat du filtrage bruits de mesures et dtat dcorrls .....................................5

Figure 2 : Rsultat du filtrage bruits de mesures et dtat dcorrls sans fusion de

donnes ....................................................................................................................................6

Figure 3 : Rsultat du filtrage bruits de mesures corrls et bruits dtat dcorrls.

Partage des mesures ...............................................................................................................9

Figure 4 : Rsultat du filtrage bruits de mesures et dtat corrls .......................................11

Documents

Rapport Kalman