Rapport Projet Dds

Projet de Mécanique du SolideÉtude vibratoire d’un portique

Antoine Dauphin, Jean-Baptiste de Vaulx

25 avril 2012

Table des matières

1 Approche expérimentale 71.1 L’analyse modale expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Introduction à la fonction de réponse en fréquence à l’aide de l’os-

cillateur élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Démarche de l’analyse modale expérimentale . . . . . . . . . . . . 101.1.4 Méthode de mesure dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.5 Quelques moyens de mesure dynamique . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.6 Méthode d’extraction modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.7 Limites de l’analyse modale méthode SDOF . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Présentation du système et du dispositif de mesure . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Le système à étudier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Le dispositif de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Obtention des deux premiers modes et analyse des incertitudes . . 191.3.2 Réciprocité et Reproductibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3 Obtention des déformées propres expérimentalement . . . . . . . . 231.3.4 Influence de la position de l’accéléromètre sur la structure . . . . . 241.3.5 Détermination des fréquences propres “exactes” du portique . . . . 27

2 Approche théorique 292.1 Un degré de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Quatre degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2 champ de déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.3 Matrices élémentaires et assemblage du problème . . . . . . . . . . 372.2.4 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.5 Prise en compte du capteur de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Approche numérique 513.1 Présentation succincte des notions clés du logiciel . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Un premier modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.1 Étape 1 : Création et maillage de la fibre moyenne de la structure . 533.2.2 Étape 2 : Définition des paramètres physique du matériaux consti-

tutif de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.3 Étape 3 : Définition des conditions aux limites . . . . . . . . . . . 59

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Table des matières Table des matières

3.2.4 Étape 4 : Définition des paramètres géométrique des éléments finis 623.2.5 Étape 5 : définition de l’étude souhaitée . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.6 Étape 6 : paramétrisation du solveur et résolution . . . . . . . . . 653.2.7 Étape 7 : visualisation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.8 Prise en compte de la masse du capteur . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3 Modèle de la « tôle pliée » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Synthèse 734.1 Avantages et inconvénients de chaque méthode . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Confrontation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.1 Les fréquences propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

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Introduction

Le problème des vibrations est un problème que l’on retrouve dans de nombreux do-maines. Ainsi seront étudiées les vibrations au sein des voies ferrées et des ponts, lesvibrations dans les disques et les aubes de turbines, les vibrations de torsion des arbreset des trains d’engrenage, etc... Il s’agit par exemple de dimensionner les divers organesd’un mécanisme afin de maintenir le système soumis aux vibrations aussi loin que pos-sible des conditions critiques de résonances, conditions auxquelles risquent de se produireles grandes vibrations. L’enjeu est de taille : citons par exemple l’effondrement du pontde Tacoma, en 1940 où celui-ci s’était mis à osciller fortement sous l’action d’un ventmodéré d’environ 70 km/h.Mais les vibrations, même tenues loin de la résonance, continuent à avoir un impact

néfaste sur la structure. Loin des conditions critiques, elles ne peuvent être réduites austatut d’inconvénient mineur. En effet, les vibrations, quelque soit la fréquence d’exci-tation du système, altèrent la structure même des matériaux et donc leur endurance.Elles peuvent aussi simplement engendrer des pertes de confort telles que de la pollutionsonore ou des sensations désagréables.Dans tous les cas, il importe de les réduire et, pour cela, de les étudier.Nous allons, dans cette étude, étudier les vibrations d’une poutre coudée et encastrée.

Afin de mieux cerner le sujet et de pallier à d’éventuelles erreurs, l’étude des vibrations dela structure sera abordée de trois façons différentes : expérimentalement, théoriquementet numériquement. L’enjeu principal de ces trois approches est l’évaluation des modespropres du portique, c’est-à-dire la détermination de l’allure des déformations subiespar la structure aux fréquences de résonance. Nous aurons donc également accès auxfréquences de résonance du système. Il s’agira ensuite de confronter et de comparer, dansune dernière partie, les résultats obtenus dans chaque approche.

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1 Approche expérimentale

1.1 L’analyse modale expérimentale

1.1.1 Définition

L’analyse modale permet d’établir un modèle du comportement vibratoire d’une struc-ture en basses fréquences. En identifiant par la mesure les fréquences, déformées modaleset amortissements modaux d’un système, on peut construire un modèle analytique quipourra être employé en simulation pour connaître le comportement dynamique de ce sys-tème dans d’autres cas pratiques. En moyennes et hautes fréquences la densité de modedevient trop importante pour que cette méthode soit applicable. Ces considérations demoyennes et hautes fréquences dépendent du problème étudié : pour une simple poutreou plaque, le domaine d’utilisation de l’analyse modale est beaucoup plus large que dansle cas d’une voiture ou d’un bateau par exemple. Mais avant toute chose précisons lesquelques hypothèses de l’analyse modale expérimentale :

– Le système est linéaire dans la gamme des amplitudes étudiées– L’amortissement est supposé proportionnel et vérifie la condition de Caughey.– Le système, s’il est continu, peut se représenter par un système discret où les pa-

ramètres sont exprimés pour chaque nœud du maillage (nombre de degré de libertétotal = nombre de nœuds × nombre de degré de liberté par nœud).

Précisons que le caractère linéaire du système peut être validé expérimentalement s’ilvérifie les quatre propriétés suivantes :

– La reproductibilité : deux excitations identiques espacées dans le temps donnerontune réponse en fréquence similaire.

– L’homogénéité : une mesure de réponse en fréquence ne dépend pas du niveau d’ex-citation.

– La réciprocité : un système mécanique linéaire présente une symétrie particulière quiest décrite par le théorème de réciprocité de Maxwell. Cela implique que la réponseen fréquence mesurée entre deux degrés de liberté quelconques est indépendante dufait que l’on choisisse l’un ou l’autre comme excitation ou comme réponse. Nousvérifierons cette hypothèse par la suite.

– La superposition : Si une excitation f1(respectivement f2) donne une réponse x1(respectivementx2), alors l’excitation f1 + f2 donne la réponse x1 + x2.

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CHAPITRE 1. Approche expérimentale 1.1. L’analyse modale expérimentale

1.1.2 Introduction à la fonction de réponse en fréquence à l’aide del’oscillateur élémentaire

m

k,c

m

k,c

f(t)

x(t)

Figure 1.1.1: Un oscillateur élémentaire

Où :– Le déplacement est caractérisé par x(t)– La force appliqué par f(t)– m est la masse du système, c son coefficient d’amortissement et k celui de sa rigidité

A l’aide de la deuxième loi de Newton, il est aisé d’établir l’équation différentielle sui-vante :

m..x(t) + c

.x(t) + kx(t) = f(t)

Supposons que la force d’excitation soit de la forme suivante :

f(t) = Fcos(ωt)

Alors une solution particulière de l’équation précédente s’écrit :

x(t) = Xcos(ωt+ φ)

A présent, passons au symbolisme de Laplace :x−= X−ej(ωt+φ)

f−= F−ejωt

L’équation différentielle donne :

(−mω2 + jcω + k)X−ej(ωt+φ) = F

−ejωt

Exprimons le rapport :

H(jω) =X−

F−

=1

m[ω20 + 2jωλ+ (jω)2

] avec

ω0 =

√km

λ = c2m

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Cette fonction complexe (appelé aussi “FRF”) décrit le rapport déplacement sur forceen fonction de la fréquence. Celle-ci permet de déterminer la fréquence de résonance dusystème lorsqu’on la représente graphiquement. En effet, nous savons que le phénomènede résonance intervient lorsque :

– L’amplitude de la FRF atteint un maximum– La partie réelle de la FRF passe par 0– La partie imaginaire de la FRF atteint un minimum (ou maximum) local

Les quatre graphiques ci-dessous illustrent la situation en montrant comment déterminerune fréquence de résonance :

Inertie

Statique

= 0

Résonnance = 0 ≈ 3

+

Re

Im

(a) Tracé de H(jω) en fonction de ω

Statique

Phase = 0,la massesuit laforce

Inertie

Phase = -Pi,la masse nesuit plus laforce

Résonnance d’amplitude

Phase = – Pi/2

Amplitude Max

(b) Diagrammes Amplitude/Phase

+

Origine Statique, = 0

Débutamplification,

4

Résonance, = 5

Amplitudemax

Finamplification,

6

(c) Diagramme de Nyquist

Résonance, = 5

Amplitude max

Amplitude max

(d) Diagrammes Réel-Imaginaire

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Ainsi, grâce à cette FRF, il est très facile de déterminer graphiquement la fréquencede résonance du système à un degré de liberté.Lorsque l’on a affaire à un système oscillant à n degrés de liberté, il suffit juste deconsidérer que le comportement de cet oscillateur est une superposition du comportementde n oscillateurs élémentaires, chaque oscillateur élémentaire correspondant à un modepropre. Bien entendu, il est nécessaire que le système à n degrés de liberté soit linéaireet que l’amortissement vérifie la condition de Caughey.

1.1.3 Démarche de l’analyse modale expérimentale

– Mesure dynamique : Exciter la structure, mesurer les entrées et sorties de façon àobtenir un ensemble de FRF : c’est à dire établir un modèle fréquentiel expérimen-tal. Lors de notre expérience, les capteurs et l’analyseur bicanal nous permettronsd’effectuer cela “automatiquement”.

– Analyse (ou extraction) modale : Identifier les paramètres modaux (fréquencespropres, amortissements et formes des modes) à partir des mesures fréquentielles :c’est à dire établir un modèle modal expérimental. C’est ce que nous ferons lorsquenous analyserons les courbes fréquentielles que nous fournira l’analyseur bicanal reliéaux deux capteurs.

1.1.4 Méthode de mesure dynamique

Le but est de mesurer les fonctions de réponses en fréquences (“FRF”) pour plusieurspoints de mesure et d’excitation. La démarche à effectuer peut se décrire en quatre étapes :

– Première étape : discrétiser la structure étudiée en n points.– Deuxième étape : mesure temporelle de la force d’excitation fs(t) appliquée au point

d’indice s et de la réponse en accélération xr(t) de la structure au point d’indice r.– Troisième étape : transformée de Fourrier de ces deux signaux temporelles pour

obtenir les spectres de la force Fs(jω) et de l’accélération Xr(jω).

– Quatrième étape : calcul du rapport hrs(jω) =Xr(jω)

Fs(jω)et représentation en dia-

gramme de Bode, Nyquist...

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Rappelons le, l’analyseur bicanal effectuera tout le traitement numérique nécessaireà l’obtention des représentations des FRF dans le domaine fréquentiel. Le schéma ci-dessous résume la démarche à entreprendre pour obtenir des mesures :

Figure 1.1.2: Illustration de la méthode de mesure dynamique

A condition de pouvoir avoir accès directement aux fonctions Fs(jω) et Xr(jω), il estpossible en procédant de manière similaire, de construire la matrice caractérisant la ré-ponse en fréquence de notre système discrétisé :

Figure 1.1.3: Fonction de Réponse en Fréquence du système discrétisé

Cependant l’objectif du TP n’est pas d’obtenir la FRF du système discrétisé, puisquel’analyseur bicanal est présent. Il s’agit seulement de déterminer les différents paramètresmodaux de notre portique.

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1.1.5 Quelques moyens de mesure dynamique

Système d’excitation– Excitation par impact : Marteau instrumenté, explosif, etc.– Excitation continue : pots vibrants, haut parleurs, vérins.– Types de « signaux » : Dirac, Sinus, Swept Sine, Pseudo- Random, Chirp.– Mesure de l’impact par cellule de charge piézoélectrique.

Systèmes de mesures de réponse dynamique– Déplacement : capteurs inductifs / capacitifs, méthodes optiques (speckle, hologra-

phie, Moiré).– Vitesse : interféromètres laser à effet Doppler.– Accélération : accéléromètres piézoélectriques.

1.1.6 Méthode d’extraction modale

Le but est de trouver les fréquences propres ωk, les amortissements modaux ηk etles formes des modes à partir des FRF mesurées. Pour cela, il faut supposer que notresystème à n degrés de liberté se comporte comme n systèmes à 1 degré de liberté. Celapermet d’émettre l’hypothèse qu’au voisinage du mode k, seul le mode k à de l’influence :cela revient donc à identifier les paramètres d’un oscillateur élémentaire autour d’un pic.C’est ce que l’on appelle la méthode SDOF. Comme nous l’avons vu précédemment, ilest possible d’identifier une fréquence modale en traçant la module de la FRF en fonctionde la fréquence. Ci-dessous, nous l’illustrons à nouveau :

2

Mode 2

Figure 1.1.4: Identification de la fréquence propre du mode numéro 2

A présent, pour identifier ηk, il suffit de mesurer la largeur du pic à amplitude Xk√2.

Signalons que ηk correspond à l’amortissement structural du mode k et vaut deux foisl’amortissement visqueux du mode k. C’est à dire :

ηk = 2ξk

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'"

'-"

kk

kkkη

+

=

Figure 1.1.5: Identification du coefficient d’amortissement structural du mode k

Nous ne chercherons pas à déterminer expérimentalement ces coefficients d’amortisse-ment.

A présent, nous traçons la partie imaginaire de la FRF en fonction de la fréquence. Ilest possible d’avoir une idée du déplacement de l’endroit où l’on “tape” en fonction de lafréquence. En effet, l’amplitude de cette fonction est proportionnelle au déplacement dupoint sollicité. Ce déplacement dépend donc de la fréquence : d’où l’intérêt d’effectuerune analyse modale. Nous expliquerons plus en détail l’obtention des formes propres dansla suite du rapport.

342 4 6 8 10 12 14 16 18

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Im

hrsMode k

Figure 1.1.6: Partie Imaginaire de La FRF en fonction de la fréquence

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1.1.7 Limites de l’analyse modale méthode SDOF

Les limites d’une analyse modale SDOF simple proviennent de l’hypothèse que « au-tour de ωk = ω seul le mode k a de l’importance ». Les limites de validité apparaissent si :

– Plusieurs modes sont très proches– L’amortissement structurel est élevé (pics « larges »)– Les amplitudes des modes sont très différentes (pic noyé dans un autre pic)

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CHAPITRE 1. Approche expérimentale1.2. Présentation du système et du dispositif de mesure

1.2 Présentation du système et du dispositif de mesure

1.2.1 Le système à étudier

Nous travaillons sur un portique en acier assimilable à une poutre coudée. Les deuxmontants verticaux sont encastrés à leur base grâce à des mors que l’on peut facilementdesserrer pour obtenir un montant libre de contraintes. Celui-ci est posé sur un lit desable afin que la structure soit isolée des vibrations parasites extérieures.

Figure 1.2.1: Notre structure

Ci-dessous, nous présentons ses dimensions :

A

AVue de dessus

B B

b

L1

a b

A-A B-B

Encastrements

L1

L1

Figure 1.2.2: Détail du portique

Cette structure a une infinité de degrés de liberté, mais nous n’étudierons expérimen-talement que ses deux premiers modes propres.

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1.2.2 Le dispositif de mesure

Pour effectuer l’analyse modale expérimentale de notre structure, nous disposons d’unanalyseur bicanal. Celui-ci est relié à un marteau d’excitation et à un accéléromètrepiézoélectrique.

L’accéléromètre piézoélectrique

La réponse de la structure aux forces d’excitation est mesurée avec un accéléromètrede type piézoélectrique.

Figure 1.2.3: L’accéléromètre sur notre structure

Celui-ci dispose de plusieurs avantages car il offre :

– une bonne linéarité– une grande gamme dynamique– une gamme de fréquence étendue– une faible sensibilité transversale

Cependant, le capteur pèse 72g soit environ 15% de la masse du portique. La massede l’accéléromètre n’est donc pas négligeable et devra être prise en compte dans l’étudenumérique afin de réaliser une étude modale de qualité.

Le marteau d’excitation

Il nous permet d’appliquer des excitations de type Dirac à la structure. C’est uneméthode pratique et rapide car le marteau n’ajoute pas de masse supplémentaire ausystème, ce qui est avantageux pour une structure légère telle que la notre. Par ailleurs,il suffit d’un nombre limité d’essais pour obtenir une moyenne convenable de la mesure.En outre, il est muni d’un capteur de force, ce qui nous permet de mesurer l’excitation.

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Figure 1.2.4: Le marteau d’excitation

L’analyseur bicanal

Figure 1.2.5: L’analyseur bicanal utilisé

Celui-ci est muni de deux entrées : l’une est branchée au marteau d’excitation et l’autreà l’accéléromètre piézoélectrique.

Figure 1.2.6: L’analyseur bicanal et ses deux entrées

C’est ainsi qu’il obtient l’acquisition des signaux d’excitation et de réponse. L’analy-seur peut à présent traiter les données reçues et nous fournir la fonction de réponse enfréquence sous différentes formes :

– Diagrammes amplitude-phase– Diagrammes réel-imaginaire

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– Diagramme de Nyquist

Grâce à ces diagrammes, il est possible de déterminer les fréquences propres et déforméesdes deux premiers modes. Rappelons la procédure à suivre :

Les fréquences propresA la fréquence modale, la partie réelle de la FRF est nulle. Ainsi, à l’aide du dia-

gramme représentant la partie imaginaire de la FRF en fonction de la fréquence, il esttrès simple de déterminer cette fréquence.

Les déformées modalesUne déformée propre est une allure particulière de déformation associée à une fré-

quence modale particulière. C’est un paramètre abstrait qui définit une allure de défor-mation comme si ce mode existait isolément de tous les autres. Toute réponse dynamiqueforcée d’une structure peut être représentée comme la somme pondérée de ses déforméespropres.Expérimentalement, pour déterminer une déformée propre, il suffit de savoir que l’am-

plitude de la partie imaginaire de la FRF (obtenue pour une expérience de type : je fixel’accéléromètre, je “tape” à un des “nœuds du maillage”) est proportionnelle au dépla-cement (de ce nœud). C’est pourquoi, on fixe alors un point de réponse (où l’on placel’accéléromètre), et on effectue une série de mesures en déplaçant le point d’excitationsur la structure. On relève, aux fréquences modales, l’amplitude de la partie imaginairede la FRF, qui va représenter le déplacement modal du nœud sollicité. On peut alorstracer les déformées propres associées à chacun des modes de la structure .

Figure 1.2.7: Obtention des déformées modales d’une structure

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CHAPITRE 1. Approche expérimentale 1.3. Résultats expérimentaux

1.3 Résultats expérimentaux

Avant toute chose, précisons deux définitions essentielles, l’incertitude absolue et l’in-certitude relative :

– L’incertitude absolue δx est l’erreur maximale que l’on est susceptible de commettredans l’évaluation de x. Elle s’exprime donc dans les unités de la grandeur mesurée.

– L’incertitude relative δr(x) =δx

xreprésente l’importance de l’erreur par rapport à

la grandeur mesurée. Elle s’exprime généralement en % et n’a pas d’unité.

Signalons qu’avant toute séance de travaux pratiques, il est nécessaire d’effectuer uncalibrage de l’excitation puis de préciser à l’analyseur bicanal de procéder à un moyennagedes cinq “meilleurs coup de marteau” à chaque expérience. Ces cinq “meilleurs coup demarteau” correspondent aux coup qui se rapprochent le plus de la moyenne de ceux quiont été donné lors du calibrage.

Dans toute l’étude expérimentale, nous ne nous occuperons que des deux premiersmodes. Pour cela, nous avons choisi que l’analyseur bicanal affiche la plage fréquentielle[0, 400Hz] : ceci induit une incertitude absolue δf = 0.5Hz sur les mesures de fréquenceet δA = 1dB sur les mesures d’amplitude de la partie imaginaire de la FRF.

1.3.1 Obtention des deux premiers modes et analyse des incertitudes

Pour cette première approche, nous avons placé l’accéléromètre sur le milieu de la faceinterne du montant gauche et nous avons excité la structure par l’extérieur pour faciliterl’utilisation du marteau d’impact :

AccéléromètreMarteau d’excitation

Figure 1.3.1: Schéma de l’expérience

A partir de cette configuration, nous effectuons une série de quatre mesures afin dedéterminer les fréquences propres des deux premiers modes :

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Essai numéro : 1 2 3 4Mode 1 2 1 2 1 2 1 2

Fréquence (Hz) 102.0 372.0 101.5 372.0 101.5 372.5 102.5 371.5Amplitude Im(FRF )

(dB)140 211 144 216 141 213 140 214

Table 1.1: Tableau récapitulant les données récoltés lors de nos quatre essais

Le tableau de données nous indique deux choses :

– Les différentes mesures de fréquence pour le mode un ou deux ne diffèrent quepar l’erreur absolue δf = 0.5Hz. L’erreur provient des appareils de mesure ou detraitement des données (l’analyseur) qui ne sont pas assez précis. Ainsi, nous avons :

f1 = 102± 0.5Hz

f2 = 372± 0.5Hz

Précisons que ces valeurs ne sont valables que pour cette configuration. En effet,la masse de l’accéléromètre modifie la structure ce qui change les valeurs de cesfréquences propres de quelques Hertz. Nous étudierons ce phénomène plus tard dansle rapport.

– En revanche, pour les mesures d’amplitude les différentes valeurs peuvent s’écarterde bien plus que δA = 1dB. Ceci s’explique ainsi : lors de l’essai numéro i, nousne sommes pas exactement dans les mêmes conditions que l’essai numéro j (forced’excitation plus ou moins forte, application au même endroit ou non..). Contraire-ment aux fréquences (elles ne dépendent que de la structure) l’amplitude dépend dela structure bien sur, mais aussi du point d’application et de la valeur de la forced’excitation. Ainsi, de manière grossière, lorsque l’on souhaite “répéter la même ex-périence”, on obtient une erreur d’environ 2.8% pour l’amplitude du premier mode etde 2.3% pour celle du second. Signalons que le calibrage de début de séance (moyen-nage de plusieurs “coups”) est censé réduire ces erreurs (à chaque essai, l’analyseurbicanal compare le “coup” au calibrage : si celui-ci est proche, il accepte ce “coup”sinon il le refuse).

Calculs de deux incertitudes relatives :

– Pour la fréquence du mode un de l’essai numéro trois : δr(f31 ) =δf

f31≈ 0.49%

– Pour la mesure d’amplitude du mode deux de l’essai numéro un : δr(A12) =

δA

A12

≈0.47%

Pour les autres incertitudes relatives, on obtient des ordres de grandeur similaires (saufdans les cas où l’amplitude est faible, c’est à dire inférieur à 100dB). Cela signifie quel’incertitude absolue (en fréquence ou en amplitude) a peu d’influence sur la mesure (enfréquence ou en amplitude) : les appareils sont plutôt efficaces pour l’étude de ce portique.

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1.3.2 Réciprocité et Reproductibilité

La reproductibilité

Afin de vérifier que les mesures sont reproductibles, il est nécessaire d’essayer de re-produire plusieurs essais identiques et légèrement espacés dans le temps. On obtient unesérie de donnée comme le tableau précédent puis on compare ces résultats. On remarquedeux choses :– les fréquences propres et amplitudes sont très proches– la différence existant entre ces valeurs provient de notre expérience qui n’est pas

rigoureusement identique à chaque essai ainsi que des incertitudes absolues.Ce qui permet de conclure que nos mesures sont reproductibles. Ce constat peut semblerévident mais il est important de le préciser. Quand à la non reproductibilité (dans notresituation avec le portique), elle ne peut exister que si la durée entre deux essais excèdedes années. La détérioration de la structure à cause du temps peut expliquer cette nonreproductibilité.

La réciprocité

Nous souhaitons vérifier le théorème de réciprocité de Maxwell Betty : la réponse en unpoint i de la structure suite à l’excitation en un point j doit être identique à la répondeen j lorsque l’excitation est appliquée en i. Compte tenu de ces considérations, soientalors les deux configuration suivante :

Réponse Excitation

RéponseExcitation

Configuration 1 Configuration 2

Figure 1.3.2: Deux configurations afin de vérifier le théorème de Maxwell Betty

Les résultats obtenus sont les suivants :

Configuration numéro : 1 2Mode 1 2 1 2

Fréquence (Hz) 98.5 365 104.0 375Amplitude Im(FRF ) (dB) 544 230 509 245

Table 1.2: Résultats obtenus pour les deux configurations précédentes

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Analyse des résultats :

Les fréquencesComme nous l’avons vu précédemment les fréquences que l’on relève sur l’appareil

sont valable à 0.5Hz soit l’incertitude absolue de mesure. Comparons donc “directement”ces valeurs : grossièrement on remarque une différence de 5.3% pour le premier modeet 2.6% pour le second. A première vue, ces différences semblent réfuter le théorèmede Maxwell-Betty. Cependant, si l’on considère que la masse de l’accéléromètre est nonnégligeable (ce qui est le cas puisque celui-ci représente près de 15% de la masse du por-tique), les deux configurations précédentes ne vérifient pas les conditions d’applicationdu théorème de Maxwell Betty puisqu’elles ne sont pas identiques. Quant à ces diffé-rences, nous les expliquerons plus en détails lors de la section “Influence de la positionde l’accéléromètre sur la structure”.

Les amplitudesCelles-ci semblent différer de “beaucoup”. Mais, comme nous l’avons constaté précé-

demment lors de notre série de quatre mesures, il est nécessaire de prendre en compte“l’incertitude de notre expérience”. Nous ne sommes pas exactement dans les conditionsdu théorème de Maxwell Betty puisque lors de l’essai sur la configuration deux, nousn’avons peut être pas réussi à exciter la structure avec la même force que lors de l’essaisur la configuration un, mais aussi à l’endroit exact où nous avions placé notre accélé-romètre. En supposant que nous avons une erreur grossière de 2.8% pour les amplitudesdu premier mode et de 2.3% pour le second, on obtient les encadrements suivants :

Configuration 1 :

528.8 dB 6 A1 6 559.2 dB

224.7 dB 6 A2 6 235.3 dB

Configuration 2 :

494.7 dB 6 A1 6 523.3 dB

239.4 dB 6 A2 6 250.6 dB

Ces encadrements ne peuvent expliquer la différence qu’il existe entre les mesuresd’amplitude des deux configurations. Comme pour les fréquences, c’est la masse de l’ac-céléromètre qui en est à la cause : elle est non négligeable et modifie la structure. Re-commençons donc en prenant en compte cet accéléromètre : pour cela nous utiliseronsune masse de même valeur que l’accéléromètre que nous placerons à l’endroit où nousexcitons la structure.

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Soient alors les deux configurations suivantes :

Réponse Excitation

RéponseExcitation

Configuration 1 Configuration 2

Figure 1.3.3: Deux configurations rigoureusement identiques afin de vérifier le théorèmede Maxwell Betty

Les résultats obtenus sont les suivants : (on s’est appliqué à essayer d’exciter la struc-ture avec la même force que lors de l’essai sur la configuration un, mais aussi à l’endroitexact où nous avions placé notre accéléromètre)

Configuration numéro : 1 2Mode 1 2 1 2

Fréquence (Hz) 97 360 96.5 361Amplitude Im(FRF ) (dB) 603 278 605 280

Table 1.3: Résultats obtenus pour les deux configurations précédentes

Grossièrement, on s’aperçoit que les écarts de mesure entre les deux configurationssont inférieurs à 0.5% : ce qui est très satisfaisant. Le théorème de réciprocité de MaxwellBetty est bien vérifié ! En outre, l’ajout de masse semble diminuer la valeur des fréquencespropres (si l’on compare avec le tableau obtenue sans la masse rajouté) : ceci corroborenos résultats pratiques et ceux du cours.

1.3.3 Obtention des déformées propres expérimentalement

On procède exactement de la même façon que celle qui est décrite à la fin de la sectionprécédente : on discrétise le portique en 39 points équidistants, puis on fixe l’accéléromètresur un de ces points (si possible assez éloigné des coins). C’est le théorème de réciprocitéqui nous permet d’affirmer qu’il n’est pas nécessaire de changer la place de l’accéléromètrepour relever en chaque point l’amplitude de la déformée associée à son mode propre.Précisons que nous cherchons seulement à obtenir les déformées modales associées auxdeux premiers modes.

23


Voici nos résultats :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

2

4

6

8

10

12

14

Mode 1Référence

(a) Au premier0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

2

4

6

8

10

12

14

Mode 2Référence

(b) Au second

Figure 1.3.4: Déformées modales expérimentales associées aux deux premiers modes

Ces déformées nous semblent satisfaisantes malgré les incertitudes de mesure et le faitque nous n’étions pas rigoureusement dans les conditions d’application du théorème deMaxwell Betty (nous n’avons pas utilisé une seconde masse pour rendre le portique symé-trique puisque cela aurait changé la structure à chaque changement de point d’applicationde l’excitation).

1.3.4 Influence de la position de l’accéléromètre sur la structure

Comme nous l’avons vu précédemment, la présence du capteur augmente la masse dela structure : ceci a pour conséquence de diminuer les fréquences propres. Mais il fauttenir compte de sa position également puisqu’en fonction de sa place, l’amplitude de ladéformée sera plus ou moins importante, ce qui aura comme conséquence une variationde position en fonction du temps plus ou moins importante. Or l’énergie cinétique ducapteur dépend de sa vitesse au carré : c’est à dire qu’en fonction du placement ducapteur, l’énergie cinétique sera plus ou moins importante. En outre, plus cette énergieest importante, plus les fréquences propres diminuent.

24


Les quelques essais ci-dessous illustrent ces propos :

Configuration 7

Configuration 1 Configuration 2 Configuration 3


Configuration 8

Figure 1.3.5: Les différentes configurations que nous avons testées.

Configuration 1 2 3 4 5 6 7 8Fréquence premier mode (Hz) 110.5 101.0 99.0 99.0 101.5 110.0 100.0 107.0Fréquence second mode (Hz) 400.0 NM 370.0 NM 386.0 397.0 310.0 375.5

Table 1.4: Tableau récapitulant les différentes fréquences propres obtenues avec lesconfigurations précédentes. “NM” signifie non mesurable.

25


Analyse des résultats

Le mode 1

– La fréquence propre est maximale pour les configurations 1 et 6, soit près des encas-trements

– La fréquence propre est minimale pour les configurations 2,3,4 et 5, soit près descoins

– On observe une fréquence intermédiaire pour la 8

Le mode 2

– La fréquence propre est maximale pour les configurations 1 et 6– La fréquence propre est minimale pour la configuration 7– On observe pas de pic de fréquence pour les configurations 2 et 4, et les autres

fréquences sont intermédiaires.

Selon le mode, plus l’influence de la masse est grande plus la fréquence sera faible car lafréquence propre est homogène à

√km .

Par exemple, conformément à la déformée du mode 1, l’énergie cinétique sera plusélevée si on place l’accéléromètre en haut d’un des montants latéraux plutôt qu’en bas.(Les coefficients de la matrice de masse sont donnés par l’énergie cinétique, donc plusl’énergie cinétique est élevée plus ces coefficients sont élevés et plus les fréquences sontfaibles.) D’où, f1 (fréquence propre mode 1) plus élevé dans la configuration 1 que dansla configuration 2 ou 7.

En guise de deuxième exemple, ce raisonnement permet d’expliquer pourquoi f2 plusélevé dans la configuration 1 que dans la configuration 7).

Par ailleurs, il nous a été parfois difficile de distinguer un pic de fréquence des bruitsde mesure ce qui nous a empêché de donner une valeur de fréquence propre : d’où les“NM”.

26


1.3.5 Détermination des fréquences propres “exactes” du portique

Nous utilisons un accéléromètre et nous n’avons pas le choix : mais celui-ci introduit uneerreur de mesure compte tenu de sa masse non négligeable. C’est à dire que les fréquencespropres que nous obtenons ne correspondent pas exactement à celles du système portiquesans accéléromètre.Nous avons alors pensé à une astuce : si l’on suppose que la variation d’une fréquence

propre et proportionnelle à la variation de la masse du système (la masse en un point,il ne faut pas changer la structure..), il suffit de mesurer cette fréquence sur quelquesconfigurations où la masse totale (en ce point) est différente. Nous avons choisi de fairecette expérience sur trois cas, les voici :


Figure 1.3.6: Les trois configurations que nous avons mis en scène

On obtient les régressions linéaires suivantes :

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 2600

100

200

300

400

500

600

f(x) = -0,3196602356x + 404,9598770702

f(x) = -0,0480408059x + 111,3917534574

Mode 1

Mode 2

Figure 1.3.7: Régression linéaire des résultats

27


Ainsi, en regardant l’ordonnée à l’origine des deux droites (c’est à dire “une masse nulleau point où est situé l’accéléromètre”), on trouve les deux fréquences propres suivantes :

f1 = 111.39 Hz

f2 = 404.95 Hz

Elles sont supérieures (de très peu) à toutes les fréquences que l’on a obtenu précé-demment : encore une fois cela corrobore les résultats du cours (masse moins importante,fréquence plus élevée). Le cas où nous obtenions les fréquences les plus élevées (avecl’accéléromètre bien entendu) était celui de la configuration 1 (cf. 1.3.5). Les valeurs quenous obtenions sont les suivantes :

f1 = 110.5± 0.5Hz

f2 = 400.0± 0.5Hz

Elles sont très proches des valeurs trouvés avec la régression linéaire. Ceci s’expliqueavec l’étude de l’influence de la position de l’accéléromètre sur la réponse de la structure.

Explication

Sur la configuration 1, l’accéléromètre est placé près de l’encastrement. Ainsi, confor-mément aux déformées des modes 1 et 2, l’accéléromètre apportera très peu d’énergiecinétique (il est près des encastrements, sa vitesse est proche de zéro). Les coefficients dela matrice de masse seront donc plus faibles (que si le capteur avait était placé ailleurs)puisqu’ils ne prendront pas en compte l’accéléromètre. Ce qui a pour conséquence, desfréquences propres plus élevées.C’est pourquoi, les deux couples de fréquences ci-dessus sont très proches. Pour ré-

sumer, placer l’accéléromètre près des encastrements modifie moins la structure que sion le place ailleurs. Néanmoins, les mesures sont plus difficiles puisque l’amplitude dudéplacement est bien plus faible qu’ailleurs. (A cause de l’encastrement.)

28

2 Approche théorique

Introduction

Ce chapitre tend à présenter l’aspect progressif de la démarche théorique que nousavons menée sur ce projet. De prime abord, nous nous sommes lancés - à nos dépends- dans une discrétisation complète de la structure, sans tenter une approche simple duproblème. Nous avons alors rapidement compris que cette démarche brutale nous condui-sait à faire des hypothèses qui n’avaient aucun sens physique, et donc inévitablement àdes résultats faux !

Le travail présenté ici nous a donc permis, de saisir l’importance d’un problème bienposé, c’est-à-dire avant tout simple, et possédant une réalité physique. Il est pour cela né-céssaire d’utiliser ses sens, ses perceptions naturelles, au profit de la modélisation : sentirquels vont être les degrès de liberté privilégiés par la structure, les types de contrainteprépondérants, etc...

Afin d’extraire le premier mode propre, nous avons donc dans un premier temps mo-délisé le portique comme une structure à un unique degré de liberté. Puis nous avonsafiné le modèle en rajoutant trois degrés supplémentaire, puis six...

Toute l’étude qui va suivre s’inscrit dans un cadre d’hypothèses fondamentales qu’ilest nécessaire de préciser :

– l’Hypothèse des Petites Perturbations sera vérifiée et justifiera ainsi toutes les su-perpositions envisagées dans la suite (états de contraintes, etc...)

– le matériaux étudié sera isotrope, perpétuellement dans son domaine d’élasticitélinéaire

– on négligera le gauchissement et le glissement éventuel des sections droites (hypo-thèse de Bernouilli et absence d’effort tranchant)

– le problème sera considéré comme intégralement plan et l’étude pourra être ramenéeà celle de la fibre moyenne.

Rappelons tout d’abord les conventions de notations relatives à la géométrie et au ma-tériaux constitutif de la structure :

29

CHAPITRE 2. Approche théorique 2.1. Un degré de liberté

Dimension suivant O~z : a = 0.05m

Épaisseur : b = 3.1 10−3m

Hauteur : L1 = 0.135m

Longueur : L2 = 0.152m

Masse volumique : ρ = 7800 kg.m−3

Module d’Young : E = 2.1 1011GPa

Coefficient de Poisson : ν = 0.3

A

AVue de dessus

B B

b

L1

a b

A-A B-B

Encastrements

L1

L1

Figure 2.0.1: Notations suivies dans le problème

2.1 Un degré de liberté

Dans cette section nous traiterons donc de la manière la plus simple d’obtenir unordre de grandeur du mode vibratoire fondamental de la structure étudiée. Pour celanous nous sommes tout d’abord demandé quelle était la première déformation privilégiéepar la structure, nous en avons conclu qu’il devait s’agir du mouvement de translationhorizontale du montant supérieur. Nous avons donc modélisé le portique de manièreextrêmement simpliste en octroyant un unique degré de liberté q1 à ce montant :

30

CHAPITRE 2. Approche théorique 2.1. Un degré de liberté

q1 q1

L2

L1 L1

(a) Portique à un seul degréde liberté

⇔ q1

k

k m

F

F

P

(b) Problème ponctuel équivalent

Figure 2.1.1: Modélisation à un degré de liberté

Nous permettant ainsi de nous ramener à un problème ponctuel où les deux montantsverticaux réaliseraient l’association en parallèle de deux ressorts de raideurs identiquesk = 12EI

L31

= E.a.b3

L31

comme le montre la figure 2.1.1b.

Nous aboutissons alors, par application du Principe Fondamental de la Dynamique, àl’équation différentielle suivante :

q1 +2k

mq1 = 0

Où m désigne la masse du montant horizontal du portique. Ceci nous conduit donc àun unique mode propre :

ω =

√2k

m=

√2E.b2

ρL31L2

ie : f = 183.4Hz

Afin de nous rapprocher des mesures pratiques que nous avons faites, nous pouvonsaffiner le modèle en intégrant à la masse du montant suppérieur la masse du capteur(environ 1/3 de la masse du montant). Nous obtenons alors :

ω =

√3k

2mie : f = 158.9Hz

31

CHAPITRE 2. Approche théorique 2.2. Quatre degrés de liberté

Conclusion :

Cette modélisation nous permet d’avoir presque instantanément accès àla valeur du premier mode propre de la structure. Bien que, nous nous endoutons, celle-ci soit plus élevé que la valeur réelle, cette modélisation aussisimpliste soit-elle nous fourni un bon ordre de grandeur de la première fréquencede résonnance avec un minimum de calcul.

2.2 Quatre degrés de liberté

Si l’ordre de grandeur établit dans la question précédente nous permetterait de jauger(à une cinquantaine de Hertz près) la valeur en fréquence du mode vibratoire fondamen-tal, il est clair que pour une étude dynamique approfondie cette information est bientrop insuffisante. Et ce, tant d’un point de vue qualitatif que quantitatif. Afin d’affinercette valeur, et de déterminer d’autres modes vibratoires consécutifs, il nous a donc falluaugmenter le nombre de degrés de liberté de notre modèle.La méthode par éléments finis repose sur l’étude préalable du système en déplacements,

et non en contraintes. L’idée est donc de se donner un champ de déplacements que l’onsupposera admissible, et qui sera fonction des quatres degrés de liberté que nous au-rons choisis. Nous introduirons pour cela un certain nombre de fonctions d’interpolation,autrement appelées fonctions de forme.

2.2.1 Démarche

Le premier degré de liberté qu’il paraîtrait naturel d’ajouter est un déplacement q2traduisant la déformation libre d’un montant latéral par rapport l’autre :

q1 q2

L2

L1 L1

Figure 2.2.1: Ajoût d’un degré de liberté

32


Néanmoins, dans ces conditions, on remarque nettement le travail en traction/compressionpure du montant supérieur. Une simple comparaison numérique de la raideur normale etd’une raideur en flexion permet de fixer les idées :

Kx =EA

L2= 2.10 108N.m−1 et Kθ =

12EI

L32

= 8.4 104N.m−1

La raideur 3000 fois plus importante en compression nous laisse donc imaginer quesi q1 diffère de q2, ça n’est pas la première déformation privilégiée par cette poutre.Nous décidons cependant de conserver q2 afin de valider par le calcul la maladresse dece choix. Nous en ajouterons donc deux nouveau, θ1 et θ2, désignant les rotations dessections droites aux deux coins supérieurs du portique :

q 1 2

L2

L1 L1

θ1 2

qθ

Figure 2.2.2: Système à quatre degrés de liberté

2.2.2 champ de déplacement

Ne pouvant nous contenter d’une approche aussi simpliste que celle effectuée au cha-pitre 2.1, nous allons devoir modéliser un champ de déplacement admissible pour cettestructure à quatre degrés de liberté. Pour cela nous aurons recours aux fonctions deformes traditionnelles des éléments de poutre chargées en traction et/ou en flexion.

Le but est donc ici de nous placer dans le cas le plus général d’un élément de poutre encompression et flexion afin de déterminer toute les fonctions de forme que nous pourronsêtre amenés à utiliser dans notre problème.

Soit alors un élément de poutre dit de Bernouilli-Euleur (conservation de l’orthogona-lité des sections droites à la fibre moyenne) :

33


tan (α) =∂f

∂s

x

y

u y

θ1

u x

f(s)

xu y2

θ2

u x2

u y1

u x1 ξ(s)ξ(s) ξ(s)

Figure 2.2.3: Poutre de Bernouilli-Euleur en flexion pure

Sur le shéma ci-dessus la fonction f désigne la fonction de déformée globale de la fibremoyenne suivant (Oy). Dans ce cas précis, la poutre est en sollicitations combinées. Lechamp de déplacement est ainsi entièrement donné par la connaissance de cette fontion fet d’une seconde fonction g relatif aux déplacements suivant (Ox), nous avons à priori :

ξx(x, y, t) = −y dfdx (x, t) + g(x, t)

ξy(x, y, t) = f(x, t), x ∈ [0, L], y ∈ [− b

2,b

2]

Notons tout d’abord que le déplacement suivant (Ox) donné par −y dfdx (x, t) découle

directement de l’hypothèse de Bernouilli-Euler selon laquelle les sections droites restentperpétuellement planes et orthogonales à la fibre moyenne.Notons finalement que le terme df

dx caractérise la rotation des sections droites. Enparticulier, en x = 0 ou L ce terme sera égal à θ1 ou θ2.

Flexion seule : Considérons tout d’abord le cas de la flexion uniquement. Le problèmeest donc d’obtenir f . On sait néanmoins, d’après la méthode de Rayleigh-Ritz, que fpeut s’écrire comme la superposition d’autant de fonctions qu’il y a de degrés de libertépouvant l’affecter, ici il s’agit donc de uy1, θ1, uy2, θ2 :

f(x) = Nf1 (x) f(0)︸︷︷︸

uy1

+Nf2 (x)

df

dx(0)︸︷︷︸θ1

+Nf3 (x) f(L)︸︷︷︸

uy2

+Nf4 (x)

df

dx(L)︸︷︷︸θ2

Où Nf1 , N

f2 , N

f3 , N

f4 forment alors une base de fonctions dites « fonctions de formes ».

Le choix de ces fonctions est arbitraire du moment que celles-ci satisfassent aux conditionsaux limites en x = 0 et x = L. De manière courante, les fonctions choisies sont desfonctions dites « cubiques » c’est à dire des polynomes d’ordre au plus égal à 3. Sachantcela, elles se déterminent assez facilement en considérant les quatres relations :

34


f(0) = Nf1 (0)f(0) +Nf

2 (0)dfdx (0) +Nf

3 (0)f(L) +Nf4 (0)

dfdx (L)

f(L) = Nf1 (L)f(0) +Nf

2 (L)dfdx (0) +Nf

3 (L)f(L) +Nf4 (L)

dfdx (L)

dfdx (0) =

dNf1

dx (0)f(0) +dNf

2dx (0)dfdx (0) +

dNf3

dx (0)f(L) +dNf

4dx (0)dfdx (L)

dfdx (L) =

dNf1

dx (L)f(0) +dNf

2dx (L)dfdx (0) +

dNf3

dx (L)f(L) +dNf

4dx (L)dfdx (L)

Et qui conduisent donc inévitablement - par liberté de la base[Nf

1 Nf2 Nf

3 Nf4

]- aux

relations :

Nf1 (0) = 1 et Nf

1 (L) =dNf

1dx (0) =

dNf1

dx (L) = 0

Nf3 (L) = 1 et Nf

3 (0) =dNf

3dx (0) =

dNf3

dx (L) = 0

dNf2

dx (0) = 1 et Nf2 (0) = Nf

2 (L) =dNf

2dx (L) = 0

dNf2

dx (L) = 1 et Nf2 (0) = Nf

2 (L) =dNf

2dx (0) = 0

Soit quatre relations distinctes pour chaque fonction de forme, permettant de trouverles quatre coefficients de chaque polynôme :

Nf1 (x) = 1− 3

(xL

)2+ 2

(xL

)3Nf

2 (x) = L[(

xL

)− 2

(xL

)2+(xL

)3]Nf

3 (x) = 3(xL

)2 − 2(xL

)3Nf

4 (x) = −L[(

xL

)2 − ( xL)3]Ces polynômes sont communément appelés « polynômes de Hermite ». Les fonctions

de formes traduisent dans le cas présent la déformée d’un élément de poutre qui seraitsoumis à un déplacement unitaire selon un degré de liberté, les autres étant bloqués (cffigure 2.2.4a).

Contraintes Normales seules : Il nous reste dorénavant à déterminer la fonction gtraduisant les déplacements longitudinaux. Les plus simples des fonctions continues dontla dérivée n’est pas identiquement nulle (i.e. il existe des déformations) sont les fonctionslinéaires.Prenant en compte deux degrés de liberté ux1 et ux2 suivant (Ox), nous savons que la

fonction g s’écrira comme la superposition de deux fonctions d’interpolation Nn1 et Nn

2 :

35


g(x) = Nn1 (x) g(0)︸︷︷︸

ux1

+Nn2 (x) g(L)︸︷︷︸

ux2

Si on suppose que les déplacements de la barre varient linéairement entre les extrémitésx = 0 et x = L, on a besoin de déterminer deux coefficients par fonction de forme.Procédant comme précédemment, les conditions limites nous donnent :

Nn1 (x) =

xL

Nn2 (x) = 1− x

L

Ce qui s’interprète graphiquement par des droites dont le tracé est fourni à la figure2.2.4b.

Dans ces conditions, le champ de déplacement s’écrit finalement 1 :

ξe(x, y, t) =

(ξxξy

)=

[Nn

1 (x) −ydNf

1dx −y dNf

2dx Nn

2 (x) −ydNf

3dx −y dNf

4dx

0 Nf1 (x) Nf

2 (x) 0 Nf3 (x) Nf

4 (x)

]︸︷︷︸

Ne

ux1(t)uy1(t)θ1(t)ux2(t)uy2(t)θ2(t)

Nous avons ainsi déterminé tous les éléments d’interpolation qui nous seront nécessairespour la suite du problème. S’agissant néanmoins d’un cas très général de solicitationscombinées, la matrice d’interpolation Ne sera bien souvent d’écriture plus simple.

1. Selon qu’il s’agisse d’un élément vertical ou horizontal, il faudra prendre soin d’opérer certainesmodifications telles que l’intervertion du couple (x, y), etc. Cette étape méritera le plus grand soin carsource de nombreuses erreurs. Nous tâcherons donc de la détailler au mieux.

36


y=1

y=1

θ=1

θ=1

4

L

L

L

L

y

x

x

x

x

(a) Fonctions de formes pour un élément depoutre en flexion

1

Lx

0

(b) Fonctions de formes relatives aux dépla-cements normaux

Figure 2.2.4: Fonctions d’interpolations du porblème

2.2.3 Matrices élémentaires et assemblage du problème

De part les degrés de liberté octroyés à la structure, nous pouvons subdiviser l’étudede notre structure en l’étude de trois sous-structures formées des montants verticaux etdu montant horizontal.

Nous allons alors considérer dans un premier temps chacun de ces montant de ma-nière indépendante et établir pour chacun d’eux les matrices de masse et de raideurcorrespondantes.

Deux choses sont néanmoins nécessaires de préciser de sorte que l’on reste cohérentdans la définition des matrices élémentaires et de manière à clarifier l’étape d’assemblagedes matrices globales de raideur et de masse :

– l’orientation de la fibre moyenne :

37


X

Y

Y

Y

X

X

x

y

O

A B

C

1

2

3

Figure 2.2.5: Orientation de la fibre moyenne

– le vecteur de coordonnées généralisées global du portique :

q−(t) =

q1(t)θ1(t)q2(t)θ2(t)

Élément ¬ :

Cet élément de poutre est assimilable à une poutre encastrée à une extrémité, etsoumise des déplacements q1 et θ1 à son autre extrémité :

q1

L1

Y

X

y

x

O

A

θ1

Figure 2.2.6: Élément ¬

L’élément subit donc uniquement de la flexion. Ici, tout se passe comme si nousavions un vecteur coordonnées élémentaire (v.c.e.) q′ =

(q′1 θ′1 q′2 θ′2

)définissant

38


un champ de déplacement local élémentaire : ξ′Y =[Nf

1 Nf2 Nf

3 Nf4

]q−′. Or, pour cet

élément les ddl q′1 et θ′1 sont bloqués. Il ne nous reste plus que deux fonctions de formesNf1

3 et Nf14 :

Nf13 (X) = 3

(XL1

)2− 2

(XL1

)3Nf1

4 (X) = −L1

[(XL1

)2−(XL1

)3]∣∣∣∣∣∣∣∣∣

dNf13

dX (X) = 6 XL2

1− 6 X

L31

2

dNf14

dX = −L1

[2 XL2

1− 3 X

L31

2]

Il vient alors, en prenant[Y = −xX = y

]et en se replaçant dans la base structurale

(xOy) :

ξe′(X,Y, t) =

[ξXξY

]=

[0 0 −Y dNf1

3dX (X) −Y dNf1

4dX (X)

0 0 Nf13 (X) Nf1

4 (X)

]00

q′2(t)θ′2(t)

[

ξy−ξx

]=

[0 0 x

dNf13

dX (y) xdNf1

4dX (y)

0 0 Nf13 (y) Nf1

4 (y)

]00

−q1(t)θ1(t)

ξe(x, y, t) =

[ξxξy

]=

[0 0 Nf1

3 (y) −Nf14 (y)

0 0 −xdNf13

dX (y) xdNf1

4dX (y)

]00

q1(t)θ1(t)

︸︷︷︸

qe1

Ainsi ξe(x, y, t) =

0 0 3(yL1

)2− 2

(yL1

)3L1

[(yL1

)2−(yL1

)3]0 0 6 xy

L21

[yL1− 1]

xyL1

[3 yL1− 2]

︸︷︷︸

Ne(x,y)

·qe1(t)

On en déduit alors directement la matrice de masse élémentaire dans la base structuraleen partant de sa définition :

Me =

ˆ

Ω

ρ tNe ·Ne dv = m · a ·ˆ b/2

−b/2

ˆ L1

0

tNe(x, y) ·Ne(x, y) dy dx

Ce qui, par intégration de chaque coefficient le long de la fibre moyenne, nous conduitfinalement à :

39


Me = mL1

0 0 0 00 0 0 0

0 0 b2

10L21+ 13

35−b2

120L1− 11L1

210

0 0 −b2120L1

− 11L1210

b2

90 −L2

1105

Où m caractérise la masse linéique de la barre.

Nous nous intéressons désormais à la matrice d raideur et nous avons de même nousavons par définition :

Ke =

ˆ

Ω

tBe ·H ·Be dv

où

– H est la matrice de Hooke en déformations planes : E(1+ν)(1−2ν)

1− ν ν νν 1− ν νν ν 1−2ν

2

– Be = D · Ne, D étant l’opérateur gradient symétrique D =

∂/∂x 00 ∂/∂y

∂/∂y ∂/∂x

, ce qui

donne :

Be =

0 0 0 0

0 0 0− x(

6L2

1− 12y

L31

)x(

2L1− 6y

L21

)0 0 0 0

D’où l’on déduit la matrice de raideur :

Ke = Cν12EIzL31

0 0 0 00 0 0 0

0 0 1 L12

0 0 L12

L213

où : Cν = (1−ν)

(1+ν)(1−2ν) = 1, 35 pour ν = 0, 3.

Pour ce qui est de la matrice de masse, on peut noter que si l’on néglige les termes enbα on retrouve le résultat établi dans la cadre du cours pour un élément de poutre enflexion seule. Nous négligerons désormais ces termes.

Pour la matrice de raideur, on retrouve aussi le résultat de ce même chapitre, moduloun coefficient Cν > 1.

40


La matrice de raideur du cours est élégamment obtenu par l’unique considérationσxx = E εxx = E

(−y df

dx

)ce qui revient à supprimer les états de contraintes σyy et σzz.

Or ceci n’est valable que dans le cas où le coefficient de poisson du matériaux serait nul(d’après la loi de Hook). Ce qui reviendrait à Cν=0 = 1 et donc au résultat du cours,mais qui est impossible en réalité.

Si nous avons choisi cette méthode quelque peu brutale pour la détermination desmatrices locales, ce n’est que dans un but d’homogénéité de la méthodologie d’un élémentà un autre, l’élément ne pouvant se ramener au cas simple du cours.

Élément :

Nous sommes cette fois dans le cas de solicitations combinées. En effet, comme nousl’avons fait remarqué précédemment, bien que nous ayons introduit les degrés de liberté θ1et θ2 en pensant que cet élément travaillerait en flexion avant de travailler en contraintesnormales, il est clair que la flexion pure ne permet pas les déplacements q1 et q2 (mis àpart dans le cas de grandes déformations, flambement etc... et qui sort donc du cadre denotre problème).

q1

θ1

A

θ2

B

q2

L1

Y

X

y

x

Figure 2.2.7: Élément : solicitations combinées

Le v.c.e. s’écrit ici :

q−′(t) =


Comme nous le constatons sur la figure 2.2.7, dans ces conditions, chaque point de la

fibre moyenne observent des déplacements suivant (Ox) et (Oy). Le champ de déplace-ment s’écrit donc :

ξ−′(x, y, t) =

[ξ′Xξ′Y

]=

[Nn2

1 (x) −y dNf22

dx Nn22 (x) −y dNf2

4dx

0 Nf22 (x) 0 Nf2

4 (x)

]︸︷︷︸

Ne(x,y)


︸︷︷︸

qe2(t)

Où les fonctions de forme s’écrivent :

41


Nn21 (x) = x

L2

Nn22 (x) = 1− x

L2

Nf22 (x) = L2

[(xL2

)− 2

(xL2

)2+(xL2

)3]

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Nf24 (x) = −L2

[(xL2

)2−(xL2

)3]dNf2

2dx = 1− 4 x

L2+ 3

(xL2

)2dNf2

4dx = −2 x

L2+ 3

(xL2

)2

De la même manière que pour l’élément ¬, nous obtenons les matrices de masse et deraideur élémentaires :

Me = mL2

13

L260

16

L260

L260

L22

35L215 −3L2

2140

16

L215

13 −L2

10L260 −3L2

2140 −L2

10L2

235

Ke = Cν

EAL2

0 −EAL2

0

0 4EIzL2

0 2EIzL2

−EAL2

0 EAL2

0

0 2EIzL2

0 4EIzL2

Élément ® :

La démarche pour cet élément est en tout point identique à celle de l’élément ¬, à ceciprès que le v.c.e. s’écrit cette fois :

qe3(t) =

q2(t)θ2(t)00

L’élément suit en effet la configuration suivante :

42


θ2

q2

L1

Y

XX

y

x

B

C

Figure 2.2.8: Élément ®

Ce qui nous amène donc à un champ de déplacement élémentaire :

ξe′(X,Y, t) =

[ξXξY

]=

[−Y dNf3

1dX (X) −Y dNf3

2dX (X) 0 0

Nf31 (X) Nf3

2 (X) 0 0

]q′1(t)θ′1(t)00

[−ξyξx

]=

[−xdNf3

1dX (y) −xdNf3

2dX (y) 0 0

Nf31 (y) Nf3

2 (y) 0 0

]q2(t)θ2(t)00

Ainsi ξe(x, y, t) =

1− 3(yL1

)2+ 2

(yL1

)3L1

[yL1− 2

(yL1

)2+(yL1

)3]0 0

6xyL2

1

(yL1− 1)

x

[1− 4 y

L1+ 3

(yL1

)2]0 0

︸︷︷︸

Ne(x,y)

qe3(t)

Et ainsi nous avons 2

Me = mL1

1335

11L1210 0 0

11L1210 − L2

1105 0 0

0 0 0 00 0 0 0

et

Ke = Cν12EIzL31

1 L1

2 0 0L12

L213 0 0

0 0 0 00 0 0 0

2. On prendra garde à mener l’intégration de L à 0 de sorte que X varie de 0 à L.

43


Assemblage des matrices globales :

Comme nous l’avons précisé ci-avant, le vecteur des coordonnées généralisées s’écrit,compte tenu des encastrements en O et C,

q−(t) =


Les matrices élémentaires ont été écrites relativement à ce vecteur et nous obtien-

drons donc les matrices globales de raideur et de masse par superposition des matricesélémentaires :

M = m

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 0L2

3+

13

35L1

L22

60+

11

210L2

1

L2

6

L22

600 0

0 0L2

2

60+

11

210L2

1

L32

35−

L31

105

L22

15−

3L32

1400 0

0 0L2

6

L22

15

L2

3+

13

35L1 −

L22

10−

11

210L2

10 0

0 0L2

2

60−

3L32

140−

L22

10−

11

210L2

1

L32

35−

L31

1050 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

Ce qui donne finalement, en supprimant les lignes relatives aux encastrements :

M = m

L2

3+

13

35L1

L22

60+

11

210L21

L2

6

L22

60L22

60+

11

210L21

L32

35− L3

1

105

L22

15−3L3

2

140L2

6

L22

15

L2

3+

13

35L1 −L

22

10− 11

210L21

L22

60−3L3

2

140−L

22

10− 11

210L21

L32

35− L3

1

105

On procède de manière identique à l’assemblage de la matrice de raideur, ce qui nous

donne :

K = Cν

EA

L2+

12EIzL31

6EIzL21

−EAL2

0

6EIzL21

EIz3L3

2

+4EIzL1

0EIz6L3

2

−EAL2

0EA

L2+

12EIzL31

6EIzL21

0EIz6L3

2

6EIzL21

EIz3L3

2

+4EIzL1

44


2.2.4 Résolution

Connaissant ainsi les matrices de masse et de raideur globales du problème, nouspouvons soumettre le problème K · x = ω2M · x à un solveur tel que Matlab®. Noustrouvons alors quatre modes propres :

Modes 1 2 3 4Fréquence (Hz) 140 515 816 13068

Table 2.1: Quatre modes isolés par notre modélisation

Le quatrième mode est excessivement éloigné des précédents, et pour cause, il s’agit dumode de relatif au travail en contrainte normale du montant supérieur. En d’autre terme,cette valeur justifie la maladresse de la prise en compte d’un déplacement q1 différentde q2 compte tenu des nombreux modes intermédiaires qu’aurait pu induire un choix dedegrés de liberté différents.

Les tracés des déformée relatives à ces fréquences sont obtenus grâce aux vecteurspropres solutions de l’équation précédente :

x1 =

1

0.141

0.14

, x2 =

010−1

, x3 =

0101

, x4 =

1

0.08−1−0.08

et donnent bien les résultats attendus :

45


(a) Déformée du premier mode (b) Déformée du deuxième mode

(c) Déformée du troisième mode (d) Déformée du quatrièmemode

Figure 2.2.9: Déformées induites

2.2.5 Prise en compte du capteur de vitesse

De même qu’à la section 2.1, afin de nous rapprocher des résultats pratiques nouspouvons intégrer à notre modèle la présence (forcément intrusive) du capteur de vitesse.Nous garderons comme convention que la masse de celui-ci est peu ou prou égale à 72g.

Préalable :

Le capteur est aimenté sur la structure, il ne doit donc en aucun cas interférer dansdes considérations géométriques. En effet, il faut garder à l’esprit que cet outils n’est passolidaire du portique, (ce dernier peut même l’éjecter dans certaines conditions d’exci-tation !). Par conséquent, nous ne modifierons pas la matrice de raideur globale établieprécédemment.En revanche, l’influence du capteur est fortement présente en terme d’énergie cinétique

ajoutée :

Ec =1

2mcv

2c

Il est donc à prévoir que nous allons rajouter des termes dans la matrice de masse.

46


Vitesse du capteur :

Tout le problème est donc de déterminer la vitesse du capteur (supposé placé au centredu montant supérieur (x = L2/2)) en fonction des coordonnées généralisées.

q1

θ1

A

θ2

B

q2m gc

v

M

c

Figure 2.2.10: Capteur lié au montant supérieur

Nous l’avons expliqué lors de l’étude de l’élément , chaque point de la fibre moyennesubit un déplacement suivant (Ox) et (Oy). En particulier, en x = L2/2 et y = b/2, nousaurons :

ξM (t) = ξ (L2/2, b/2, t) =

1

2(q1(t) + q2(t)) +

b8(θ1(t) + θ2(t))

L2

8(θ1(t)− θ2(t))

Remarquant finalement que OM(t) = OM0 + ξM (t), nous aurons :

vc(t) = ˙ξM =

1

2(q1(t) + q2(t)) +

b8(θ1(t) + θ2(t))

L2

8

(θ1(t)− θ2(t)

)Matrice de masse du capteur :

D’où une énergie cinétique :

Ec = mc128

[16q21 + 32q1q2 + 8b · q1θ1 + 8b · q1θ2 + 16q22 − 8b · q2θ1 − 8b · q2θ2

+(b2 + L22)θ

21 + 2(b2 − L2

2)θ1θ2 + (b2 + L22)θ

22

]Les coefficients de la matrice de masse locale étant donnés par la relation :

msr = mrs =∂2Ec∂ps∂pr

, (s, r) = 1...4, et p =

p1p2p3p4

=

q1θ1q2θ2

47


Nous obtenons :

Mc =mc

128

16 8b 32 8b8b (b2 + L2

2) −8b 2(b2 − L22)

32 −8b 16 −8b8b 2(b2 − L2

2) −8b (b2 + L22)

Il nous suffit de superposer (puisque nous sommes en HPP) cette matrice à la matricede masse locale relative à l’élément et de reconduire la résolution de l’équation auxvaleurs propres effectuée précédement. Nous avons alors :

Modes 1 2 3Fréquence (Hz) 129 484 791

Table 2.2: Trois modes isolés par notre modélisation avec prise en compte de la masse

On remarque alors, comme lors de l’étude à un degré de liberté, la diminution defréquence induite par la présence du capteur.

Les vecteurs propres ne sont quasiment pas modifiés :

x1 =

1

0.131

0.13

, x2 =

010−1

, x3 =

0101

48


Conclusion :

L’étude que nous avons menée avec ces quatre degrés de liberté est uneapproche plus complète de la méthode de Rayleigh-Ritz. Celle-ci fait d’ailleursressurgir l’importance du choix des premiers degrés de liberté à octroyer à notremodèle théorique.

On peut effectivement remarquer que le choix d’un travail en compres-sion/traction n’est absolument pas judicieux dans le cas de notre structure puis-qu’il fourni un mode vibratoire écarté de 13KHz des précédents.

On remarque de plus le fait que nous soyons encore assez éloigné des valeurspratiques, bien qu’en dessous de la valeur fourni par l’étude à un ddl. Ce quiconfirme néanmoins le principe selon lequel on s’approche (par valeurs suppé-rieures) aux fréquences propres réelles, au fur et à mesure que l’on ajoute desdegrés de liberté à notre modèle.

Enfin, nous n’avons par remis en cause la configuration géométrique en por-tique à angles droit plutôt qu’à coins arrondis (ce qui est le cas de la structureréelle).Ce modèle, que nous appellerons dans la suite « tôle pliée », est fastidieux àmettre en œuvre par le calcul car il implique la prise en considération de deuxsingularités. Celles-ci nécessitent alors un maillage fin à leurs voisinages, et doncune grande quantité de degrés de liberté supplémentaires. Nous nous en charge-rons dans l’étude numérique.

49

3 Approche numérique

A présent, nous allons utiliser le code de calculs par éléments finis MSC Marc Men-tat II. Celui-ci nous permettra de déterminer les différentes fréquences propres et défor-mées de notre système.

3.1 Présentation succincte des notions clés du logiciel

Mesh Generation Cette commande nous permet de définir la structure et de construirele maillage, définir le nombre de noeuds. Il faut faire attention aux points doubles, c’està dire aux points confondus. On les supprime en utilisant la commande Sweep : All ;Remove Unused : Nodes, Points. Ainsi, on est sûr qu’il n’y aura pas de problèmesde maillage. De même, on peut utiliser la commande Check, Check Elements : FlipElements, Curves, Surfaces.

Boundary Conditions On accède à un sous-menu nous permettant de définir les condi-tions aux limites et les appliquer aux endroits désirés. Ne pas oublier de faire New pourentrer une nouvelle condition pour ne pas écraser la précédente et penser à l’appliqueraux endroits désirés puis terminer par End List.

Material Properties Ce menu permet de définir les propriétés mécaniques du matériau(module d’Young, coefficient de Poisson, masse volumique...). Il ne faut pas oublier desélectionner les éléments de la structure où ces paramètres seront pris en compte. On peutaffecter différentes propriétés à différents éléments. On peut aussi rentrer des tables pourdéfinir les propriétés de notre matériau à partir de données expérimentales par exemple.

Geometric Properties On sélectionne ici le type de propriétés géométriques, le modede calcul.

Loadcases Dans ce menu, on précise ce que l’on souhaite obtenir.

Jobs C’est à partir de ce menu que l’on va lancer le calcul avec Run. Il faut d’abordpréciser le type d’éléments pour le calcul, ainsi que la méthode d’analyse : on précise ceque l’on souhaite obtenir comme résultat, on sélectionne le Loadcase précédent, notélcase1 par défaut. Il faut penser à vérifier si les conditions aux limites sont bien prisesen compte. Le calcul est correct lorsque le nombre dans Exit Number est 3004.

51

CHAPITRE 3. Approche numérique 3.2. Un premier modèle

Results On rentre dans ce menu afin de visualiser le résultat du calcul. On ouvre lefichier de résultat (Open Default) puis on choisit ce que l’on veut observer, on peuttracer des courbes...

3.2 Un premier modèle

Dans cette première approche, nous ne tiendrons pas compte de la masse de l’accélé-romètre. En outre, nous considérons que les angles aux coins sont droits.

Tout d’abord présentons graphiquement lemenu principal s’intitulant Main Menu.Le rôle des différentes commandes essen-tielles à la réalisation du calcul d’une struc-ture a été décrit précédemment.

Pour ce premier modèle, nous détaillerons précisément en sept étapes ce que nous avonseffectuer sous le code de calcul par éléments finis MSC Marc Mentat.

52


3.2.1 Étape 1 : Création et maillage de la fibre moyenne de la structure

On clique sur le bouton Mesh Genera-tion, ce qui nous permet d’obtenir le sous-menu suivant :

Puis, pour définir la grille on clique sur Setet on règle la fenêtre de la manière suivante :

53


A présent, nous cherchons à construire lafibre moyenne de notre structure. Pour cefaire, il faut tout d’abord revenir dans lemenu Mesh Generation (à l’aide du bou-ton Return). Rappelons que notre struc-ture n’est qu’un simple portique constituéde droites. On choisi donc Crvs Line puison clique sur Crvs Add et on rentre lescoordonnées des points qui définissent cesdroites dans le terminal de contrôle à l’aidede la commande point(x,y,z). Celle-ci per-met de créer les points nécessaires à l’élabo-ration de la fibre moyenne.

Voici ce que l’on obtient :

54


La première étape n’est pas terminée, ilreste à faire la discrétisation de notrefibre moyenne.Pour cela, toujours dans lemenu Mesh Generation nous cliquons surConvert pour afficher la fenêtre de com-mande suivante.On choisit le nombre d’éléments par courbeque l’on désire (ici 10 dans les directionsu et v), on clique sur Curves To Ele-mets et on sélectionne les droites que nousavons créées précédemment. On valide enappuyant sur End List.

Voici la discrétisation de notre structure :

55


Dernière procédure à effectuer avant la réa-lisation de la première étape : vérifier qu’iln’y ait pas de points et de nœuds doubles !A ce stade de la modélisation, il n’y a quecela à contrôler puisque notre structure estsimple.La commande permettant cette vérificationest Sweep : elle se trouve dans le menuMesh Generation. Celle-ci ouvre la fe-nêtre suivante : on choisit une valeur pourla Tolérance (0.01 est correct, cela signi-fie que si deux points ou deux nœuds sontà une distance inférieure ou égale à 0.01,le logiciel les fusionnera). Pour lancer cetteprocédure tout en s’assurant que l’on n’ou-blie aucun type de données (points, sur-faces, nœuds..) il suffit de cliquer sur All.Un message nous indiquant le nombre dechaque élément supprimé s’affiche dans leterminal de contrôle.

56


3.2.2 Étape 2 : Définition des paramètres physique du matériauxconstitutif de la structure

A présent, nous allons indiquer au logi-ciel les propriétés du (ou des) matériau(x)constitutif(s) de notre structure. Pour cefaire, il faut tout d’abord revenir au MainMenu, puis cliquer sur la commande Ma-terial Properties :

Cette commande ouvre la fenêtre suivante.Par défaut, le logiciel donne le nom ma-terial1 au matériau que l’on va définir. Ilfaut savoir que l’on peut élaborer plusieursmatériaux dans cette rubrique : il suffit decliquer sur New et de donner un nom aumatériau que l’on construit. Ensuite il estpossible de “naviguer” entre les différentsmatériaux à l’aide des commandes Prev etNext. Revenons à notre problème :on choisit Isotropic, ce qui affiche une fe-nêtre nous proposant de rentrer quelquespropriétés isotropiques bien connues.

57


Plus particulièrement, celle-ci permet de dé-finir le module d’Young, le coefficient dePoisson et la masse volumique de notre ma-tériau. Dans notre problème nous nous li-miterons à ces trois paramètres.

Une fois notre matériau défini complète-ment, toujours dans le menu MaterialProperties, on clique sur Elements Addpuis sur All Exist et enfin sur End List.Ceci permet d’appliquer toutes ces proprié-tés isotropiques à notre structure et d’enfinir avec la seconde étape !

58


3.2.3 Étape 3 : Définition des conditions aux limites

Il faut indiquer au logiciel les conditions auxlimites. Dans notre problème nous avonsun seul “type” de condition limite s’appli-quant à deux endroits clés du portique : lesdeux encastrements. Pour cela, revenons auMain Menu et cliquons sur la commandeBoundary Conditions.

S’ouvre alors la fenêtre suivante. Premièrechose à faire : donner un nom à notrecondition limite. Compte tenu qu’il s’agitd’encastrements, nous la nommons encas-trement. Puis, on clique sur Structuralpuisque celle-ci correspond à une conditionmécanique.

59


De manière à définir le type de conditionlimite mécanique, une nouvelle fenêtre s’af-fiche à notre écran. On choisit la commandeFixed Deplacement ce qui ouvre à nou-veau une fenêtre permettant de donner lavaleur que l’on souhaite aux déplacementschoisis.

Dans notre cas nous avons affaire à un en-castrement : nous fixons donc à zéro la va-leur de tous les déplacements !

60


Pour en finir avec cette étape, il reste à pré-ciser au logiciel où est ce que ces condi-tions limites s’appliquent sur notre struc-ture. Pour cela, on reste dans le sous-menuStuctural BC’s et on clique sur NodesAdd, puis à l’aide de la souris on cliquesur les deux nœuds où l’on souhaite appli-quer cette condition limite. Enfin commetoujours, il faut lui signaler que l’on a fini :on clique donc sur End List.

On obtient à l’écran l’illustration suivante :

61


3.2.4 Étape 4 : Définition des paramètres géométrique des éléments finis

Ayant défini précédemment la fibremoyenne et sa discrétisation, les propriétésdu matériau et les conditions limites, ilreste bien évidemment à préciser au logi-ciel les propriétés géométriques de notrestructure !Pour cela, revenons comme d’habitude ànotre Main Menu et cliquons sur le sous-menu Geometric Properties.

S’ouvre alors la fenêtre suivante :On nomme notre géométrie geo, puis onclique sur l’icône Planar. En effet, notreproblème est plan !

62


A présent il faut définir le type d’élémentqui compose notre portique. Puisque noséléments sont de type poutre droite, onclique sur 2-D Straight Beam !

S’affiche alors à notre écran, une fenêtrepermettant de préciser au logiciel deux va-leurs non sans importance : l’aire de la sec-tion de notre poutre droite ainsi que sonépaisseur (la plus petite dimension).

Pour en finir avec cette étape, il reste àsignaler au logiciel quels éléments sont af-fectés par cette géométrie. Pour cela, tou-jours dans le sous-menu Mechanical Pla-nar GP’s, on clique sur Elements Addpuis sur All Exist et enfin sur End List.Ceci permet d’appliquer la géométrie dé-finie précédemment à l’ensemble des élé-ments constitutifs de notre portique !

63


3.2.5 Étape 5 : définition de l’étude souhaitée

On retourne au Main Menu, et on cliquesur le sous-menu Loadcase. Celui-ci vanous permettre de préciser au logiciel ce quel’on compte obtenir !

S’affiche alors la fenêtre suivante :On laisse le nom lcase1 que le logiciel adonné par défaut et nous cliquons sur Me-chanical. Ceci affiche la fenêtre ci-après.

64


Nous choisissons Dynamic Modal.

Enfin, il faut choisir la plus petite fréquencepropre désirée (ici zéro) ainsi que le nombrede fréquence que l’on souhaite calculer ! Ici,nous en demandons dix.

3.2.6 Étape 6 : paramétrisation du solveur et résolution

Encore une fois, nous revenons au MainMenu et nous choisissons le sous-menuJobs.

65


Celle-ci ouvre la fenêtre suivante où nouscliquons sur Mechanical et laissons le nomdonné par défaut au “job”.

On choisi lcase1 (c’est à dire que l’oncharge dans le logiciel le travail défini lorsde l’étape cinq) puis on clique sur PlaneStress. On vérifie que les conditions aux li-mites sont bien prises en considération encliquant sur Initial Loads.

66


On revient alors dans le sous-menu Jobs,on clique sur Run et on obtient la fenêtresuivante ! On appuie sur le bouton Submit,puis on vérifie que le nombre situé en facede la case Exit Number est bien 3004.Cela signifie alors que notre programmene comporte pas d’erreur. Mais attentioncela ne veut pas dire que les résultats ob-tenus correspondront à la réalité. En effettout dépend du modèle que nous avons dé-fini. Lorsque l’on obtient 3004, cela veuttout simplement dire que le logiciel n’a pastrouvé de problème avec les conditions auxlimites, de degrés de libertés...

3.2.7 Étape 7 : visualisation des résultats

On revient au Main Menu et on choisi lesous-menu Results. Ce qui ouvre la fenêtresuivante ! On clique alors sur Open De-fault, ce qui ouvre le fichier contenant lesrésultats enregistré par défaut lors du lan-cement du “job”. Il est conseillé de cliquersur Deformed Shape Settings puis, unefois la fenêtre affichée, sur le bouton Auto-matic. Ceci a pour effet de régler automa-tiquement l’amplitude des déformées : c’estplutôt pratique !

Ci-dessous nous présentons les trois déformées de nos trois premiers modes ainsi queles fréquences propres des dix premiers modes.

67


(a) Déformée du premier mode (b) Déformée du second mode

(c) Déformée du troisième mode

Figure 3.2.1: Déformées des trois premiers modes

Voici le tableau récapitulatif des dix premier modes propres de la strucure étudiée :

Mode 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Fréquence (Hz) 121 449 792 832 1497 2145 2412 3191 4403 4559

Table 3.1: Fréquences propres des dix premiers modes

La structure présentées ci-avant est constituée de 31 noeuds et possède donc, pour unproblème plan, 3× 31− 6 = 87 ddl.L’étude des dix premiers modes peut ainsi être estimée comme étant relativement

précise.

68


3.2.8 Prise en compte de la masse du capteur

Comme nous l’avons fait dans l’approche théorique, afin de nous rapprocher des résul-tats pratiques, nous allons modéliser la présence du capteur.

Pour se faire, nous avons défini un nouveau type de matériaux, appelé « Capteur »comme nous l’avons fait à l’étape 2, dont la seule propriété différant de celle de l’Acierest sa masse volumique. En effet, changer le module d’Young ou le coefficient de Poissonaurait changé la rigidité de la structure.

Le calcul de la masse volumique résultante a été conduit de la manière suivante. Nousavons modélisé la présence du capteur comme le montre le schéma suivant :

mc

Ve

ame

Figure 3.2.2: Présence modélisée du capteur

Nous cherchons dès lors la masse volumique résultante ρ′ de l’élément de volume Ve :

ρ′ =mc +me

Veie ρ′ =

mc

Ve+ ρa = 25666 kg.m−3

Où ρa = 7800 kg.m−3 désigne la masse volumique de l’ensemble de la structure.

Ceci étant, nous avons affublé ce matériaux à quelques éléments consécutifs du montantsupérieur du portique et nous avons relancé la modélisation :

69


Figure 3.2.3: Structure avec prise en compte du capteur

Modes 1 2 3 4Fréquences (Hz) 114 421 783 805

Table 3.2: Quatre premiers modes avec prise en compte du capteur

Conclusion :

Nous avons donc considérablement affiné le modèle et nous tendons clai-rement vèrs les valeurs pratiques mesurées. Néanmoins, la structure présentéeici n’est pas géométriquement identique à celle du portique étudié en pratiquecar en réalité la structure est une tôle pliée et comporte donc des coins arrondisau lieu d’être des angles droits. Nous pouvons donc nous demander si lesrésultats que nous obtenons ne seraient pas parasité par cette imprécision.

70

CHAPITRE 3. Approche numérique 3.3. Modèle de la « tôle pliée »

3.3 Modèle de la « tôle pliée »

A présent, nous considérerons donc que les coins ne sont pas droits : nous les rempla-çerons par un arc de cercle. Nous utiliserons pour cela l’outils Bezier disponible dansle menu Curve Type de Mesh Generation. Cette courbe de Bezier sera donc définiepar trois points reliant les extrémités des montants verticaux et horizontaux :

(a) Outils « Courbe de Bezier » (b) Courbe définie par trois points

Figure 3.3.1: Dessin des coins arrondis

Les coins seront maillés plus finement pour s’assurer que cette sigularité géométriquesoit bien prise en compte dans l’analyse modale.

En lançant la résolution nous nous sommes aperçus, que, contrairement à nos attentes,le spectre était plus haut en fréquence qu’avant :

Modes 1 2 3 4Fréquences (avec

arrondis)125 452 802 855

Fréquences (sansarrondis)

121 449 792 832

Table 3.3: Quatres premiers modes avec et sans prise en compte des arrondis

Avec la prise en compte de la présence du capteur nous obtenons de même :

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CHAPITRE 3. Approche numérique 3.3. Modèle de la « tôle pliée »

Modes 1 2 3 4Fréquences (avec

arrondis)117 425 792 823

Fréquences (sansarrondis)

114 421 783 805

Table 3.4: Quatres premiers modes avec capteur

Si ce résultat peu paraître étonnant compte tenu du caractère plus « réaliste » de cenouveau modèle, il faut garder à l’esprit que le précédent modèle pouvait très bien êtreplus faux, tout en fournissant des résultats plus proche de nos attentes.

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4 Synthèse

Chacune des trois méthodes détaillées ci-avant portent intrinsèquement leurs lots d’avan-tages et d’inconvénients. Qui plus est, les approches étant radicalement différentes ellesne mettent pas forcément en relief les mêmes informations. Bien qu’elles tendent vers lesmêmes objectifs - déterminer les premiers modes propres de la structure et leur déforméeassociée - il est intéressant de faire un bilan de ce que chaque approche a apporté et deconfronter les résultats obtenus. C’est donc le propos de cette section.

4.1 Avantages et inconvénients de chaque méthode

Approche pratique :

– Bonne précision : on obtient unefréquence propre à 0,5 Hz près.L’analyseur bicanal, en plus d’uncalibrage au démarrage, permet d’ef-fectuer une série d’excitations dont ilne sélectionnera que les plus prochesdes conditions de calibrage, permet-tant une reproductibilité maximumdes conditions d’expérience.

– Rapidité : mise en œuvre facile, onpeut par exemple faire un grandnombre d’essais en déplaçant simple-ment l’accéléromètre.

– Efficacité : ne nécessite aucun calculpréalable et donne instantanément lesmodes propres et les déformées asso-ciées. De nombreuses fonctionnalitéssont de plus proposées par l’analy-seur bicanal, telles que la mesure del’amortissement, etc...

Avantages

– Présence intrusive de l’accéléro-mètre : sa masse a nécessairementune influence sur la valeurs desfréquences propres et sur l’allure desdéformées. Et ce, d’autant plus surune petite structure comme la nôtreoù il représente 15% de sa massetotale.

– Difficulté de mesure aux coins : étantdonné que l’accéléromètre est encontact avec la structure étudiée,la présence de points anguleux surcelle-ci rend impossible les mesures àleurs niveau. Un capteur à distancetel qu’un télémètre laser pourraispallier à ce problème.

– Nécessite d’être en possession d’unprototype, ce qui peut être coûteuxpour l’étude de systèmes complexes.

Inconvénients

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CHAPITRE 4. Synthèse 4.1. Avantages et inconvénients de chaque méthode

Approche théorique :

– Permet une meilleure compréhensiondes phénomènes vibratoires subis parla structure et des équations qui ysont associées.

– Donne un ordre de grandeur obtenuavec un raisonnement logique, ce quipermet de confirmer des résultatsthéoriques et numériques.

Avantages

– Au delà de un degré de liberté, lescalculs deviennent très vite difficilespour quelqu’un qui n’est pas rigou-reux.

– Établir un modèle simple, utile et réa-liste demande du temps de la réflexionet du savoir-faire.

Inconvénients

Approche numérique :

– Bonne précision : écarts inférieurs à6% pour nos deux fréquences propres.

– Bonne souplesse du logiciel : aprèsavoir programmé l’ensemble du pro-blème, il est très facile de modifierdes paramètres comme le moduled’Young, le coefficient de Poissonou encore la masse volumique et deretenter l’expérience.

– Logiciel comportant beaucoup defonctionnalités.

– Permet de réaliser toute une analysemodale sur un objet qui n’existe quenumériquement et non physiquement.Une étude numérique satisfaisante va-liderai l’élaboration physique de l’ob-jet.

Avantages

– Logiciel difficile à prendre en mainlors de la première expérience.

– Établir le modèle le plus réalistepossible.

– Nécessité de discerner les erreurs demodélisation (possibilité avec une ap-proche théorique). En effet le logicielpeut fournir des résultats mais ceux cipeuvent être faux : s’ils sont associésà un modèle non réaliste.

Inconvénients

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CHAPITRE 4. Synthèse 4.2. Confrontation des résultats

4.2 Confrontation des résultats

4.2.1 Les fréquences propres

Pour les trois approches, nous considérons les résultats obtenus lorsque l’accéléromètreest placé au milieu de la poutre horizontale. C’est à dire la configuration suivante :

Figure 4.2.1: Schéma de l’expérience

Résultats choisis lors de chaque approche

Approche pratiquePour une expérience où l’accéléromètre est placé comme sur le schéma ci-dessus,

nous obtenons les fréquences propres suivantes :

f1 = 110.5± 0.5Hz

f2 = 400.0± 0.5Hz

Nous choisissons cette position de l’accéléromètre puisque lors des meilleures étudesthéoriques et numériques, nous l’avons placé à cet endroit. Or, pour pouvoir comparercorrectement, l’accéléromètre doit être placé à la même position dans les trois approches.

Approche théoriqueNous choisissons le modèle à quatre degré de liberté où la masse de l’accéléromètre

est prise en compte (meilleur modèle théorique que nous avons établi car 4DDL+MasseCapteur) et placé comme sur le schéma ci-dessus (au milieu de la poutre horizontale).Nous obtenons les fréquences propres suivantes :

f1 = 129Hz

f2 = 484Hz

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Approche numériqueNous choisissons le modèle de la « tôle pliée » (coins arrondis+prise en compte de la

masse du capteur placé au milieu de la poutre horizontale) car c’est ce modèle qui noussemble être le plus réaliste (les coins sont en réalité arrondis et non à angles droits). Nousobtenons les fréquences propres suivantes :

f1 = 117Hz

f2 = 425Hz

Comparaison

Approche pratique/théoriqueNous avons les différences suivantes :

Mode 1 : 14.3%

Mode 2 : 17.3%

Approche pratique/numériqueNous avons les différences suivantes :

Mode 1 : 5.6%

Mode 2 : 5.9%

Approche théorique/numériqueNous avons les différences suivantes :

Mode 1 : 9.3%

Mode 2 : 12.2%

Approche Pratique Numérique ThéoriqueMode 1 (Hz) 110.5 117 129Mode 2 (Hz) 400.0 425 484

Table 4.1: Récapitulatif des résultats obtenus pour chaque meilleure approche.

Si l’on peut noter des différences notables entre les différentes approches en terme defréquence, ça n’est pas le cas en terme de déformées.

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En effet, comme le montre la figure 4.2.2, ramenées à un déplacement maximum uni-taire les déformées ont les mêmes allures. Il est impossible de faire le distingo entre lesincertitudes de mesures des résultats pratiques et un écart induit par l’incertitude desmodèles théoriques ou numériques.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

2

4

6

8

10

12

14

Numérique

Théorique

Pratique

(a) Déformée du premier mode

0

2

4

6

8

10

12

Numérique

Théorique

Pratique

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(b) Déformée du second mode

Figure 4.2.2: Superposition des déformées selon les trois approches

On peut néanmoins noter, pour le deuxième mode, la présence d’une amplitude dedéformation plus grande au centre du montant supérieur par rapport aux déforméesthéorique et numérique.Cet écart est d’ailleurs accentué lorsque l’on ne prend pas du tout en compte le capteur

dans le modèle numérique :

0

2

4

6

8

10

12

Numérique

Pratique

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Figure 4.2.3: Écart entre les déformées pratique et numérique (sans prise en compte ducapteur)

Ceci témoigne de l’influence du capteur qui n’est pas suffisamment prise en comptedans les modèles que nous avons établi. Nous aurions pu prendre en compte son inertiepar exemple, en plus de sa masse.

77


L’ensemble de ces résultats corrobore ceux du cours. En effet, les fréquences obtenueslors de l’approche pratique sont inférieures à celles obtenues lors de l’approche numériquequi sont elles-mêmes inférieures à celles obtenues lors de l’approche théorique.En outre, les résultats pratiques sont les plus proches de la réalité puisque le matériel

de qualité assure des mesures précises. Néanmoins, les autres approches ne sont pas pourautant inintéressantes :

– L’approche théorique permet de saisir précisément les phénomènes vibratoires et leséquations associées tout en nous apportant un ordre de grandeur des résultats àobtenir. Ces valeurs théoriques, obtenues avec un raisonnement logique, confortentnos résultats pratiques et numériques.

– L’approche numérique donne des résultats très proches de ceux obtenus lors de l’ex-périence : les différences sont approximativement inférieures à 6%. Ainsi, un modèlenumérique réaliste permet d’approcher finement les fréquences propres. C’est trèsintéressant pour l’ingénieur travaillant dans un domaine de recherche et développe-ment ayant affaire à un problème d’analyse modale. En effet, comme nous l’avonsprécisé précédemment, imaginons un objet à réaliser qui n’existe pas physiquementmais dont on a conçu un modèle numérique, où ses modes propres sont à rechercher.Les mesures pratiques sont impossibles : il reste le modèle numérique qui permet-tra de réaliser toute l’étude modale sur l’objet. Une étude numérique satisfaisantevaliderait l’élaboration physique de l’objet. Enfin, des mesures pratiques seraient àfaire pour vérifier nos prévisions numériques.

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Conclusion

Ce projet nous a permis d’aborder un problème vibratoire selon trois approches, dansson intégralité.L’étude théorique nous a donné l’occasion de comprendre précisément les phénomènes

vibratoires, d’établir un modèle simple et réaliste, puis de réaliser des calculs longs etdifficiles.L’étude numérique nous a enseigné les bases essentielles à la compréhension du logiciel

de calcul par éléments finis MSC Marc & Mentat puis nous a appris à réaliser différentsmodèles de plus en plus réalistes.L’étude pratique nous a montré comment se servir du matériel nécessaire à toute

analyse modale expérimentale : l’accéléromètre, le marteau d’excitation et l’analyseurbicanal. Lors de ces expériences, des propriétés comme la réciprocité et la reproductibilitéont pu être explicités.A première vue ces trois approches semblent n’être que différentes. En réalité elles

s’avèrent être complémentaires. En effet, l’approche théorique donne l’ordre de gran-deur permettant de confirmer des futurs résultats théoriques et numériques. L’approchenumérique permet d’effectuer toute une analyse modale d’un objet n’existant que numé-riquement et de valider ou non sa « fabrication physique ». Enfin, l’approche pratiquequant à elle facilite grandement l’étude modale d’un objet ayant une réalité physique etfourni de très bon résultats.C’est pourquoi ces trois approches sont indissociables et indispensables à l’ingénieur

qui souhaite réaliser des objets à l’abri du phénomène de résonance.

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Documents

Rapport Projet Dds