Rappresentazione dell’Informazione

Rappresentazione delle informazioni in codice binario

Caratteri Naturali e Reali positivi Interi Razionali

Rappresentazione del testo

Una stringa di bit per ogni simbolo (caratteri maiuscoli, caratteri minuscoli, cifre, ...)

ANSI (American National Standards Institute) ha adottato il codice ASCII (American Standard

Code for Information Interchange): 7 bit per ogni simbolo + 0 come bit piu’ significativo =un byte

Rappresentare numeri

Il codice ASCII e’ inefficiente: per rappresentare numeri con n cifre servono n byte

Meglio usare metodi che sfruttano la notazione binaria (base 2)

Base 2: solo le cifre 0 e 1 invece che 0, 1, ..., 9 (base 10)

Base 10 e base 2

Rappresentazione decimale

Base 10 cifre da 0 a 9 Sequenza di cifre decimali

d k-1 … d1 d0

numero intero ∑j=0…k-1 dj 10j

dk-1 x 10 k-1 + … d1 x 10 + d0

Esempio: 102 in base 10 è 1x100 + 0x10 + 2x1

Rappresentazione binaria Base 2 cifre 0 e 1 Sequenza di cifre binarie

d k-1 … d1 d0

numero intero (stesso procedimento ma su base 2) ∑j=0…k-1 dj 2j

Esempio: 01011012 = 1·25 + 1·23 + 1·22 + 1·20

= 32 + 8 + 4 + 1

= 4510

Rappresentazione binaria

Valore minimo di una sequenza di n

cifre binarie: 000 … 0 (n volte) = 010

Valore massimo: 1111…111 (n volte)

=

2n-1 + 2 n-2 + … + 22 + 21 + 20 = 2n –1

Esempio con n=3: 111 = 22 + 2 + 1 = 7

= 23 -1

Da 0 a 8: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110,

111, 1000

Una proprietà dei numeri binari

1001001= 73

100100 = 36 = 73/2 e questo è il resto

Eliminare il bit più a destra corrisponde a dividere per 2 il valore, ed il bit eliminato è il resto

Trasformazione di un numero in base 10 a numero binario

125

125/2=62 resto 1 62/2=31 resto 0 31/2=15 resto 1 15/2=7 resto 1 7/2=3 resto 1 3/2=1 resto 1 1/2=0 resto 1

125 in binario è

1111101rappresenta 62

rappresenta 31

Etc.

Esercizio 1

•Scrivere la rappresentazione binaria dei numeri decimali:

•30

•36

•15

Esercizio 2

•Scrivere la rappresentazione decimale dei numeri binari:

•1000

•1010

•01011

•10111

Correzione degli esercizi

•Scrivere la rappresentazione binaria dei numeri decimali:

•30 11110

•36 100100

•15 1111

•Scrivere la rappresentazione decimale dei numeri binari:

•1000 8

•1010 10

•01011 11

•10111 23

Correzione degli esercizi

Somma binaria

Somma binaria

Riporto: 1 1 1 1 0 0

0111002 + 1001112 = ----------- 10000112

Colonna per colonna, da destra a sinistra Riporto se la somma su una colonna supera la base

Tre cifre binarie (prima riga, seconda riga, riporto), somma =1 se una o tre sono 1, riporto = 1 se almeno due sono 1

1 11 riporti 1010011 + 1100011 =

----------

10110110

Si vuole quindi costruire un circuito per sommare due numeri binari

10000110 riporti 1010011 + 1100011 =

----------

10110110

Iniziamo con un circuito che faccia la somma su una colonna

Abbiamo tre cifre binarie X, Y, R in input mentre in output vogliamo ottenere la somma S ed il riporto R'

Tabella di verità

X Y R S R'

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

Supponiamo di avere i circuiti che calcolano somma e riporto

SOMMA

XYR

S

RIPORTO

XYR

R'

Possiamo allora combinare i circuiti SOMMA e RIPORTO per ottenere il seguente circuito 1-ADD

SOMMAXYR

S

RIPORTOR'

1-ADD

Il circuito RIPORTO puo` essere realizzato nel seguente modo

X

Y

R

R'

RIPORTO

Basta infatti verificare la corrispondente tabella di verita’

Il circuito SOMMA naturalmente puo' pure essere realizzato (vedi dispensa).

A questo punto componendo K circuiti 1-ADD e` possibile realizzare un circuito K-ADD che somma due numeri binari di K cifre.

Vediamo l'esempio della somma di due numeri binari di 4 cifre.

Y3 Y2 Y1 Y0 X3 X2 X1 X0

1-add 1-add 1-add 1-add

0 riporto iniziale

riporto finale inutile

risultato

Somma di numeri di 4 bit

S0S1S2S3

0R0R1R2R3

0 1 1 0 0 1 1 1

1-add 1-add 1-add 1-add

1 1 0 1

00110

Esempio

0111 + 0110 =

------

1101

Attenzione

Si e` trascurato il problema del cosiddetto overflow, cioe’ il risultato e’ troppo grande per essere contenuto nei bit disponibili.

Per esempio:

0111 + 1110 =

------

10101

Esercizi

11011+ 1100---------

11111+ 1---------

Correzioni

11011+ 1100---------

11111+ 1---------

100111

1

100000

11111

Rappresentazione dei reali

Reali in notazione binaria

bk-1 bk-2 … b2 b1 b0 , b-1 b-2 …

bk-1 x 2 k-1 + bk-2 x 2 k-2 +… + b2 x 22 + b1 x 2 + b0 x 20 + b-1 x 2-1 + b-2 x 2-2 +…

Da decimale a binario:Per la parte intera, come sappiamo fare

(metodo delle divisioni)

REALE--> BINARIO

cosa significa una parte frazionaria binaria:

.1101001

2-1+ 2-2 + 2-4 + 2-7

.1101001 moltiplicarlo per 2 significa spostare il punto di un posto a destra

1.101001

2-1 2-2...

20 2-1.......

Se abbiamo un valore decimale in base 10:

0.99 come troviamo la sua rappresentazione in base 2? Ragioniamo come segue:

Supponiamo che .99 = .b1b2b3...bk (binario)

Allora 2 .99 = 1.98 = b1.b2b3...bk

Quindi b1 è 1

e .98 è rappresentato da .b2b3...bk

Per trovare la rappresentazione binaria di un decimale lo moltiplichiamo per 2 ed osserviamo se 1 appare nella parte intera:

.592= 1.18

.182= 0.36

.362= 0.72

.722= 1.44

.442= 0.88

.882= 1.76 .......

.100101.....dipende da quanti bit abbiamo

rappresentazione binaria di .59

Esempio

18.59

18 10010 (metodo della divisione per 2)

.59 .100101...(metodo della moltiplic. per 2)

10010.100101....

Esercizi Convertire i seguenti numeri binari in formato

decimale: 11,01 101,111 10,1

Esprimere i seguenti valori in notazione binaria: 4.5 2.75

Eseguire le seguenti somme binarie: 1010,001+1,101 111,11+0,01

Correzione degli esercizi

Convertire i seguenti numeri binari in formato decimale: 11,01 3 +1/4 = 13/4 = 3.25 101,111 5 + 7/8 = 47/8 = 5.87 10,1 2.5

Esprimere i seguenti valori in notazione binaria: 4.5 100,1 2.75 10,11

Eseguire le seguenti somme binarie: 1010,001 + 1,101 1011,110 111,11 + 0,01 1000,00

Rappresentazione degli interi

Notazione in complemento a 2 n bit per la notazione

Nella realta’ n=32 Per comodita’ noi supponiamo n=4

Numeri positivi 0 si rappresenta con 4 zeri 0000 1 0001, 2 0010 e cosi’ come gia’ visto fino al

massimo positivo rappresentabile 0111 7 Numeri negativi

-1 si rappresenta con 4 uni 1111 -1 -2 -> 1110, -3 1101 fino al minimo negativo

rappresentabile 1000 -8 Gli interi rappresentabili con n bit [-2n-1 , 2n-1 -1]

Nell’esempio [-24-1,24-1-1]=[-8,7]

Complemento a due su 3 e 4 bit

Complemento a due

Bit piu’ a sinistra: segno (0 per positivi, 1 per negativi)

Confrontiamo k e –k: da destra a sinistra, uguali fino al primo 1 incluso, poi una il complemento dell’altra

Esempio (4 bit): 2=0010, -2=1110

Complemento a due: decodifica

Se bit di segno =0 positivo, altrimenti negativo Se positivo, basta leggere gli altri bit Se negativo, scrivere gli stessi bit da destra a

sinistra fino al primo 1, poi complementare, e poi leggere

Es.: 1010 e’ negativo, rappresenta 110 (6), quindi -6

Da k a -k

Metodo alternativo: codifica e decodifica Intero positivo x complemento a due su n bit:

se x 2n-1-1 scrivo (x)2 , altrimenti non e’ rappresentabile Esempio: n=4, x=5, (5)2=0101, x=8>23-1=7

Intero negativo –x complemento a due su n bit: se –x -2n-1 calcolo 2n+(-x)=y e scrivo (y)2

Esempio: n=4, –x=-3 y=24-3=16-3=13 (13)2=1101

Compl. a due positivo (0 = bit + significativo) decimale: decodifica dal binario Esempio: n=4, 0111=(7)2

Compl. a due negativo (1 = bit + significativo)decimale: decodifico dal binario a decimale, ottengo y e poi sottraggo y-2n Esempio 1010 = (10)2 10-16=-6

Somma in complemento a due

Si utilizza il solito metodo Anche per sottrazione basta avere i

circuiti per somma e complementoEs. (4 bit): 7-5 = 7 +(-5) = 0111 + 1011 = 00105 = 0101 -5 = 1011L’eventuale n+1-simo bit generato a sinistra

dal riporto deve essere troncatoEsempio 0111+1011=10010

7 -5 2

Esempi di somme

Overflow Si sommano due numeri positivi tali che il

risultato e’ maggiore del massimo numero positivo rappresentabile con i bit fissati (lo stesso per somma di due negativi)

Si ha un errore di overflow se: Sommando due positivi si ottiene un numero che

inizia per 1: 0101+0100=1001, 5+4=-7 Sommando due negativi viene un numero che inizia

per 0: 1011+1100= (1)0111, -5+(-4)= 7

Nei computer c’e’ overflow con valori superiori a 2.147.483.647= 231

Esercizi

Da complemento a 2 a base 10:00011, 01111, 11100, 11010, 00000, 10000

Da base 10 a complemento a 2 su 8 bit:6, -6, 13, -1, 0

Numero piu’ grande e piu’ piccolo per la notazione in complemento a 2 su 4, 6, 8 bit

Correzioni Da complemento a 2 a base 10:

00011 3, 01111 15, 11100 -4, 11010 -6, 00000 0, 10000 -16

Da base 10 a complemento a 2 su 8 bit: 6, -6, 13, -1, 0 00000110, 11111010, 00001101, 11111111, 00000000

Numero piu’ grande e piu’ piccolo per la notazione in complemento a 2 su 4, 6, 8 bit Numero piu’ piccolo -2n-1 (n=6 -25 = -32) Numero piu’ grande 2n-1 -1 (n=6 25-1 = 31)

Notazione in eccesso

n bit 2n possibili configurazioni binarie ordinate da n zeri a n uni

Supponiamo per comodita’ che n=4 0 e’ rappresentato da un 1 seguito da n-1 zeri:

01000 n zeri codifica -2n-1: - 2 4-1 = -8 0000 (0-8 = -8)

n uni codifica 2n-1 – 1: 2 4-1-1= 7 1111 (15-8 = +7)

n bit: notazione in eccesso 2n-1 rispetto al corrispondente binario Es.: 4 bit, notazione in eccesso 8

Notazione in eccesso 8

Esercizi

Da eccesso 8 a decimale:1110, 0111, 1000,0010, 0000, 1001

Da decimale a eccesso 85, -5, 3, 0, 7, -8

Numero piu’ grande e piu’ piccolo per la notazione in eccesso 8, 16, 32

Correzioni (1) Da eccesso 8 a decimale:

1110 14-8=6 0111 7-8=-1 1000, 0010, 0000, 1001 0, -6, -8, 1

Da decimale a eccesso 8 5 5+8 13 1101 -5 -5+8 3 0011 3, 0, 7, -8 1011, 1000, 1111, 0000

Correzioni (2)

Numero piu’ grande e piu’ piccolo per la notazione in eccesso 8, 16, 32

eccesso 8: 8=2n-1 n=4 numero piu’ piccolo: -8, numero piu’ grande 7

eccesso 16: 16=2n-1 n=5 numero piu’ piccolo: -16 numero piu’ grande 15

eccesso 32: 32=2n-1 n=6 numero piu’ piccolo: -32 numero piu’ grande 31

Rappresentazione dei numeri reali(floating point)

Rappresentazione dei reali in un computer

Bisogna rappresentare la posizione della virgola Notazione in virgola mobile (floating point):

suddivisione in tre campi Esempio con 8 bit:

Partendo da sinistra: primo bit segno (0 pos., 1 neg.) Tre bit per esponente Quattro bit per mantissa

V = 0.mantissa * 2^{exp}

Da floating point a decimale 01101011 1. Segno: 0 positivo, 1 negativo2. Anteporre 0, alla mantissa

01101011 0,1011

3. Interpretare l’ esponente come un numero in eccesso su tre bit (eccesso 4) 1106, 6-4 =2

4. Spostare la virgola della mantissa della quantita’ ottenuta dall’esponente a dx se il numero positivo a sx se e’ negativo 0,1011 10,11

5. Tradurre da binario a decimale mettendo il segno a seconda del bit piu’ significativo del foating point 10,11 2,75

6. Aggiungere il segno: +2,75

Altro esempio di decodifica

10111100 Segno: 1 negativo Mantissa: 1100 0,1100 Esponente: 011 -1 in notazione in

eccesso 4 virgola a sinistra di 1 posto 0,01100 (3/8, infatti 2x2^(-2) + 2x2^(-3) )

Numero decimale: -3/8 = -0,375

Da decimale a floating point1. Da decimale a binario:

0.375 (=3/8) 0,011

2. La mantissa si ottiene dall’1 piu’ a sinistra completando con zeri i quattro bit 1100

3. Contare di quante posizioni si deve spostare la virgola per passare da 0,mantissa a 0,011. Il numero e’ negativo se la virgola va a sinistra 1 bit a sinistra -1

4. Codificare il numero ottenuto in eccesso 4 -1 +4= 3 011

5. Mettere nel bit piu’ significativo il bit di segno 00111100

Errori di troncamento

Codifichiamo 2 + 5/8= 2.625 in 8 bit Binario: 10,101 Mantissa: vorremmo scrivere 10101, ma abbiamo

solo 4 bit 1010, tronco il bit meno significativo Esponente: 110 (2) Risultato: 01101010, che rappresenta 2.5 e non 2

+ 5/8 Infatti: 0,1010 110 (2) 10,10 2+ ½ = 2.5

Esercizi

Decodifica: 01001010, 01101101, 00111001

Codifica: 2.75, 5.25 Qual e’ il piu’ grande tra 01001001 e

00111101?

Correzioni (1)

Decodifica: 0 100 1010 5/8 = 0.625 Infatti:

0 100 1010 --> positivo0,1010 100 --> 4-4=00.10101/2+1/8= 5/8 = 0.625 --> 0.625

Codifica: 2.75 --> 0 110 1011 Infatti: binario 10,11 1011 --> 2 posti a dx 2 --> 110 0 110 1011

Correzioni (2)

Decodifica: 0 110 1101 3 + 1/4 = 13/4 = 3.25 0 011 1001 9/32

Codifica: 5.25 0 111 1010 Qual e’ il piu’ grande tra 01001001 e 00111101? Il primo e’ 0.56, il secondo e’ 0.40 il piu’ grande e’ il

primo