Raqunska hidraulika Otvoreni tokovi - grf.bg.ac.rs · upravo na naqin na koji se to predaje studentima hidrotehnike. Da bi materijal obra en u ovoj monografiji bio jox interesantniji

Marko V. Iveti�

Raqunska hidraulika

Otvoreni tokovi

Beograd, 2000.

2

Sadr�aj

1 Opxte o neustaǉenom teqeǌu u kanalima 71.1 Osnovne pretpostavke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Hidrauliqki skok - diskontinuitet u fluidnoj struji 10

1.2.1 Stabilan hidrauliqki skok . . . . . . . . . . . 101.2.2 Pokretan hidrauliqki skok . . . . . . . . . . . 12

1.3 Matematiqki model neustaǉenog teqeǌa . . . . . . . . 151.3.1 Brzina prostiraǌa poreme�aja . . . . . . . . . 151.3.2 Karakteristike i invarijante . . . . . . . . . . 181.3.3 Gubitak energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Osnovne jednaqine 272.1 Jednaqina odr�aǌa mase . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Zakon odr�aǌa koliqine kretaǌa u pravcu toka . . . 302.3 Razliqiti oblici Sen-Venanovih jednaqina . . . . . . 352.4 Jednaqine za ustaǉeno teqeǌe . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.1 Diferencijalni oblik . . . . . . . . . . . . . . 362.4.2 Integralni oblik . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Kinematiqki talas 413.1 Pojednostavǉeni oblici jednaqina . . . . . . . . . . . 413.2 Transformacija talasa u akumulaciji . . . . . . . . . 423.3 Osnovne jednaqine modela kinematiqkog talasa . . . . 43

3.3.1 Analitiqko rexeǌe . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.2 Numeriqki model kinematiqkog talasa . . . . 49

3.4 Maskingam-Kan� metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3

3.5 Difuziona jednaqina kao model neustaǉenog teqeǌau otvorenim tokovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5.1 Numeriqki model . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Metoda karakteristika 654.1 Numeriqki model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 Metoda karakteristika tri taqke . . . . . . . . . . . . 684.3 Poqetni i graniqni uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4 Primer 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.5 Primer 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Matematiqki modeli dinamiqkog talasa 815.1 Praismanova metoda qetiri taqke . . . . . . . . . . . . 81

5.1.1 Numeriqki model . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2 Eksplicitne metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2.1 Laksova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3 Metoda razdvajaǌa operatora . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.1 Graniqni uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.3.2 Primer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A Proraqun linije nivoa u otvorenim tokovima 93A.1 Belexka o autoru (i slika mu) . . . . . . . . . . . . . 100

4

Predgovor

Ova monografija je jox jednom ponovǉeno izdaǌe Bele�aka,ovog puta dostupno preko Interneta u PDF formatu. U odnosu naprethodno, koje je izaxlo 1997. godine, a obnovǉeno 2000. godine,nema bitnijih izmena. Neke grexke su ispravǉene a korix�en jei �iriliqni slog. Po tehniqkoj obradi odgovara pravoj kǌizi,ali po sadr�aju i kompletnosti obra�enog materijala jox uvek jedaleko od toga. Osnovna namera, koja je dovela do xtampaǌa prvogizdaǌa, a to je da se studentima obezbedi materijal koji u pot-punosti pokriva gradivo koje se predaje, nije ni ovoga puta iznev-erena. Obra�eno je sve xto se predaje, pa i malo vixe od toga, i toupravo na naqin na koji se to predaje studentima hidrotehnike. Dabi materijal obra�en u ovoj monografiji bio jox interesantnijiin�eǌerima, koji nisu imali prilike da sluxaju ovaj predmet,nedostaje jox toga. U prvom redu to je deo o ustaǉenom teqeǌuu otvorenim tokovima (xto predajem studentima Arhitektonsko-gra�evinskog fakulteta u Baǌoj Luci) i o regulacionim karakter-istikama ustava i preliva. O tome razmixǉam i namera mi je dase ve� za slede�u generaciju studenata pojavi kompletnije izdaǌeove monografije, koje �e doprineti da se cela linija od Mehanikefluida do Hidraulike 2, mo�e prouqavati na jedinstven naqin, izaslu�iti naziv kǌige. I ovo xto definitivno nije kǌiga izgledakorektno najvixe zahvaǉuju�i Donaldu Knutu i ǌegovom TEX-u.

Marko V. Iveti�Beograd, jun 1997. (mart 2000.)

5

6

1

Opxte o neustaǉenomteqeǌu u kanalima

1.1 Osnovne pretpostavke

Teqeǌe u otvorenim tokovima karakterixe neodre�enost konturefluidne struje. Jedan deo konture je slobodna povrxina na kojojje pritisak jednak okolnom (slika 1.1).

Ustaǉeno teqeǌe razmatrano je u okviru predmeta Mehanikafluida a delom u okviru Hidraulike 1. Neustaǉeno teqeǌe uotvorenim tokovima prouqava se u okviru ovog kursa uz slede�epretpostavke:

• Teqeǌe je linijsko (jednodimenzionalno). Koriste se veli-qine reprezentativne za popreqni presek. Umesto komponentibrzine ui u svakoj taqki preseka, koriste se proticaj, odnosno,sredǌa brzina, kao reprezentativne veliqine za ceo popreqni

scalescale

Slika 1.1: Osnovni pojmovi

7

presek:

vk =Q

Ak=

1Ak

∫Ak

uinidA,

gde je Ak povrxina popreqnog preseka kanala, Q, proticajzapremine kroz povrxinu Ak. Na sliqan naqin definixu se iostale veliqine kao, pijezometarska kota, kinetiqka energija,ukupna energija, sila pritiska itd. Tako�e, pretpostavǉa seda je nivo u popreqnom preseku kanala horizontalan.

• Sve veliqine vezane za popreqni presek blago se meǌaju du�toka. Vertikalno ubrzaǌe u popreqnom preseku kanala jezanemarǉivo. Strujnice su me�usobno pribli�no paralelne.

Odavde sledi hidrostatiqka raspodela pritisaka u popreq-nom preseku kanala, kao i to da se pijezometarska kota zapresek poklapa sa kotom nivoa.

• Fluid je homogen i nestixǉiv.

• Treǌe se uzima kao kod ustaǉenog teqeǌa.

• Podu�ni nagib dna vodotoka je mali, cos2 α ≈ 1, tako da je sve-jedno da li se dubina meri vertikalno na dole, ili upravnona popreqni presek fluidne struje.

Osnovni zadatak u prouqavaǌu linijskog teqeǌa u otvorenimtokovima je odre�ivaǌe promena veliqina reprezentativnih za pop-reqni presek fluidne struje du� toka u svakom vremenskom trenutku.

Postoje dve (me�usobno nezavisne) promenǉive veliqine kojedefinixu staǌe u svakom popreqnom preseku otvorenog toka. Zaǌihovo odre�ivaǌe potrebne su dve jednaqine, koje predstavǉajudva fiziqka zakona. Na raspolagaǌu su tri zakona odr�aǌa odkojih treba definisati dva uslova. U upotrebi su dva pristupa,koji su na prvi pogled ekvivalentni:

1. zakon odr�aǌa mase i zakon odr�aǌa koliqine kretaǌa, i

2. zakon odr�aǌa mase i zakon odr�aǌa energije.

Kod ustaǉenog teqeǌa dobijaju se identiqni rezultati sve dok susve promenǉive kontinualne du� kanala. Me�utim, u otvorenimtokovima postoje diskontinuiteti (hidrauliqki skok, naprimer)koji se ne mogu ignorisati. Kao xto je poznato, na konaqnu masu

8

fluida koji se u posmatranom trenutku nalazi izme�u dva preseka,ispred i iza stabilnog hidrauliqkog skoka, inercijalne sile isile pritiska su u ravnote�i, odakle se mo�e odrediti gubitakenergije. Energetska jednaqina se ne mo�e direktno primenitiupravo zbog nepoznatog gubitka energije.

Daǉe, kod primene osnovnih zakona Mehanike fluida na kon-trolnu zapreminu karakteristiqnu za teqeǌe u otvorenim tokovima,postoje dva pristupa:

• integralni, kod koga se osnovni zakoni odr�aǌa primeǌujuna konaqnu zapreminu fluida izme�u dva popreqna preseka nakonaqnom rastojaǌu (unutar kontrolne zapremine mogu�i sudiskontinuiteti),

• diferencijalni, kod koga se, uz pretpostavku linearne promenesvih veliqina izme�u dva bliska preseka, i primenom opera-tora limes, dolazi do jednaqina koje va�e u okolini taqke.

Diferencijalni pristup dovodi do matematiqkih modela slede�egoblika (Streeter & Wylie, 1975):

dh

dx=

Id − Ie

1− Fr

odnosno:ddx

(Zd + h +

v2

2g

)= −Ie Ie = Cτ

1R

v2

2g

koji va�e za ustaǉeno i blago promenǉivo teqeǌe u prizmatiqnimkanalima. Diskontinuiteti u fluidnoj struji moraju se posebnoidentifikovati i razmatrati na drugi naqin.

Ukoliko su matematiqki (i numeriqki) modeli spremni da bezvelikih problema uzmu u obzir i diskontinuitet, to im je znaqa-jan kvalitet. U nastavku �e se relacije izvedene za hidrauliqkiskok iskoristiti za definisaǌe generalnog modela neustaǉenogteqeǌa, za pribli�no horizontalno dno i zanemarǉiv uticaj treǌa.Tako definisan model neustaǉenog teqeǌa mo�e se primeniti zarexavaǌe problema neustaǉenog teqeǌa na kra�im deonicama plov-nih i melioracionih kanala kod kojih se nivo regulixe ustavama,i upoxte kanala kod kojih su mogu�e nagle promene nivoa ili pro-ticaja.

9

1.2 Hidrauliqki skok - diskontinuitet u flu-idnoj struji

1.2.1 Stabilan hidrauliqki skok

Posmatra se kontrolna zapremina izme�u preseka 1-1 i 2-2 (slika1.2), koja obuhvata deonicu za koju, zbog velikog vertikalnog ubrza-ǌa, nisu zadovoǉene pretpostavke o prouqavaǌu fluidnih struja.Dno kanala je pribli�no horizontalno i zanemaruje se treǌe.

Slika 1.2: Hidrauliqki skok

Uzvodno i nizvodno od hidrauliqkog skoka teqeǌe je pribli�nohorizontalno.

Zakon odr�aǌa mase primeǌen na kontrolnu zapreminu izme�upreseka 1-1 i 2-2, pravougaonog kanala, xirine b, daje

ρv1h1b = ρv2h2b (1.1)

Sile koje deluju na stabilan hidrauliqki skok u presecima 1-1 i2-2 su u ravnote�i, pa zakon odr�aǌa koliqine kretaǌa glasi:

12ρgh2

1b + ρh1bv21 =

12ρgh2

2b + ρh2bv22 (1.2)

Zamenom jednaqine kontinuiteta (1.1) u dinamiqku jednaqinu(1.2), dobijaju se dve ekvivalentne jednaqine:

v21 = gh2

(h1 + h2)2h1

(1.3)

10

v22 = gh1

(h1 + h2)2h2

(1.4)

Zbog nepoznavaǌa naqina prelaza fluida iz staǌa u preseku 1-1u staǌe u preseku 2-2, u kojima je teqeǌe pribli�no horizontalno,zakon odr�aǌa energije se pixe:

v21

2g+ h1 =

v22

2g+ h2 + ∆E (·ρg(vh)1b) (1.5)

gde ∆E predstavǉa razliku energije izme�u dva preseka.Jednakost je napisana za energiju po jedinici te�ine, kako je

to uobiqajeno u hidrotehniqkoj praksi. Mno�eǌem sa izrazom uzagradi dobijaju se proticaji energije kroz preseke 1-1 i 2-2.

Na osnovu jednaqina (1.3) i (1.4) mo�e se pokazati da je veliqina∆E razliqita od nule za svaki, konaqno veliki, hidrauliqki skoki da je jednaka:

∆E =(h2 − h1)3

4h1h2(1.6)

Ako je h1 < h2 radi se o smaǌeǌu (gubitku) energije, dok bi se, zah1 > h2, radilo o pove�aǌu energije u nizvodnom smeru. Prema pr-vom zakonu termodinamike1 i jedno i drugo je mogu�e (primer za tosu hidrauliqke maxine). Me�utim, ovde nema pokretne konture isve se dexava u fluidu unutar kontrolne zapremine. Drugi zakontermodinamike govori o te�ǌi prirodnih sistema da zauzmu staǌeve�e neodre�enosti (entropije). Linijsko, pribli�no paralelnoteqeǌe, predstavǉa najure�eniji oblik teqeǌa (Abbott, 1979), pa jesvaki prelazak u maǌe ure�en oblik teqeǌa u potpunosti mogu�.Me�utim, pretvaraǌe neure�enog kretaǌa u ure�eno, odnosno par-alelno, kakvo je iza skoka, ne mo�e se ostvariti u potpunosti(Muxicki, 1975), pa jedan deo energije ostaje u neure�enom kre-taǌu.

Vixak energije u ulaznom preseku prelazi, delom u oscila-torno kretaǌe sa malom periodom, a delom u energiju turbulentnogteqeǌa. Za ve�e razlike (h2 − h1), pove�ava se i deo energije kojiprelazi u turbulentno teqeǌe. Nijedan od ovih oblika energijese ne mo�e prikazati veliqinama linijskog modela, pa se taj deo

1U izolovanom sistemu, rad kojim se sistem prevodi iz staǌa A u staǌe B,odnosno, iz staǌa B u staǌe A, jednak je razlici unutraxǌih energija sistemau staǌu A i staǌu B.

11

energije smatra gubitkom. Hidrauliqki skok je, dakle, primerireverzibilnog procesa.

Iako to kod ustaǉenog teqeǌa nema mnogo smisla, stabilanskok, kod koga je h1 < h2, zove se pozitivan hidrauliqki skok. Zaprelazak toka iz staǌa 1 u staǌe 2 pri h1 > h2, trebalo bi dodatienergiju linijskom toku, xto se ne mo�e desiti na horizontalnomdnu kanala. Postojaǌe stabilnog negativnog hidrauliqkog skokaje fiziqki nemogu�e. U stvari, negativni hidrauliqki skok semo�e pojaviti samo trenutno u neustaǉenom teqeǌu, ali se brzogubi i prelazi u blago promenǉivo teqeǌe.

1.2.2 Pokretan hidrauliqki skok

Kada sile u presecima 1-1 i 2-2, koje deluju na kontrolnu za-preminu, nisu u ravnote�i, diskontinuitet se pomera du� kanala.

Korix�eǌem Galilejevog pokretnog koordinatnog sistema (sli-ka 1.3), koji se kre�e zajedno sa diskontinuitetom, mo�e se do�ido relacija za pokretni hidrauliqki skok analognih jednaqinama(1.1), (1.2) i (1.5).

Slika 1.3: Galilejev koordinatni sistem

Na slici 1.3 prikazano je jednoliko pravolinijsko kretaǌe taq-ke (I), posmatrano u odnosu na koordinatni sistem A (referentni,uslovno reqeno, apsolutni), kao i ǌeno kretaǌe u odnosu na koor-dinatni sistem B, koji se ravnomerno kre�e brzinom v u odnosu nasistem A. Veza izme�u polo�aja taqke u ova dva sistema glasi:

(XI)A = (XI)B + v · t (1.7)

gde je t vreme, a (XI)A i (XI)B, polo�aji taqke u koordinatnomsistemu A, odnosno, B. Odatle se lako dobija i veza brzina u dva

12

Slika 1.4: Pokretni hidrauliqki skok

koordinatna sistema:

(vI)A = (vI)B + v (1.8)

Svi zakoni odr�aǌa se mogu primeniti i na kontrolnu za-preminu u pokretnom koordinatnom sistemu, pod uslovom da seradi sa relativnim brzinama. Uostalom, i to xto smatramo apso-lutnom brzinom (brzina u odnosu na dno), je relativna brzina akose posmatra kretaǌe Zemǉe.

Kod pokretnog hidrauliqkog skoka se uzima da se koordinatnisistem kre�e zajedno sa skokom, brzinom c (slika 1.4).

Posmatraju�i relativne brzine u pokretnom koordinatnom sis-temu smer teqeǌa mora biti od maǌe dubine ka ve�oj, da bi biozadovoǉen energetski uslov, E1 > E2, ili, drugim reqima, da bihidrauliqki skok bio stalan. Ako se uzme da je ∆h = h2 − h1, uvekpozitivno, iz jednaqina (1.3) i (1.4) sledi:

(v1 − c)2 = g(h1 + ∆h)(h1 + (h1 + ∆h))

2h1> gh1 (1.9)

(v2 − c)2 = g(h2 −∆h)((h2 −∆h) + h2)

2h2< gh2 (1.10)

Za posmatraqa, koji se kre�e zajedno sa diskontinuitetom, izgledakao da tok prelazi iz burnog u mirno teqeǌe jer su odgovaraju�iFrudovi (Froude) brojevi jednaki:

(v1 − c)2

gh1> 1,

(v2 − c)2

gh2< 1

Za (h1 > h2) izgleda da tok prelazi sa ve�e dubine na maǌu.Tada se radi o negativnom hidrauliqkom skoku, koji se vrlo brzo

13

Slika 1.5: Zakon odr�aǌa mase u nepokretnom koordinatnom sis-temu

gubi jer zbog prvog i drugog zakona termodinamike zahteva spoǉnuenergiju da bi se odr�ao.

Zakoni odr�aǌa mase i koliqine kretaǌa za pokretan poziti-van hidrauliqki skok glase:

(v1 − c)h1 = (v2 − c)h2 (1.11)

(v1 − c)2h1 + gh2

1

2= (v2 − c)2h2 + g

h22

2(1.12)

Posle sre�ivaǌa dolazi se do izraza u kojima figurixu proticajimase i koliqine kretaǌa u odnosu na dno:

c(h2 − h1) = (v2h2 − v1h1) / · ρb , (1.13)

c(v2h2 − v1h1) =

[(v22h2 + g

h22

2

)−(

v21h1 + g

h21

2

)]/ · ρb , (1.14)

Prethodni izrazi se mogu napisati skra�eno

c[h]21 = [vh]21 (1.15)

c[vh]21 =

[v2h + g

h2

2

]2

1

(1.16)

gde uglaste zagrade predstavǉaju razlike veliqina u dva popreqnapreseka. Iz prve jednaqine se vidi da je proizvod brzine pomer-aǌa skoka i promene dubine u skoku (odnosno, pove�aǌe zapremineizme�u fiksnih preseka 1-1 i 2-2), jednak razlici proticaja krozpreseke 1-1 i 2-2. Isto to je prikazano na slici (1.5).

14

Ovo je diskontinualni oblik zakona odr�aǌa, koji predstavǉamatematiqki, ali ujedno i numeriqki, model pokretnog hidrauliq-kog skoka.

Zakoni odr�aǌa (1.15) i (1.16) mogu se napisati i u matriqnojformi:

c

[ρhρvh

]2

1

=

[ρvh

ρ(v2h + g h2

2

) ]2

1

(1.17)

Veliqine na levoj strani jednaqine (1.17) se zovu ”nivoi” mase ikoliqine kretaǌa (neuobiqajen termin u srpskom jeziku), dok suveliqine na desnoj strani proticaji mase i koliqine kretaǌa.

Uz pretpostavku da se radi o proizvoǉno malim promenama du-bine i brzine, dolazi se do diferencijalnog oblika zakona odr�a-ǌa:

c dh = d(vh) (1.18)

c d(vh) = d

(v2h + g

h2

2

)(1.19)

1.3 Matematiqki model neustaǉenog teqeǌa

Prethodna razmatraǌa o pokretnom hidrauliqkom skoku se mogudaǉe uopxtiti, tako�e, uz zanemareǌe treǌa i za horizontalnodno. Ono xto dokazano va�i za diskontinuitet u otvorenom toku,kao xto je pokretni hidrauliqki skok, va�i�e i za jako maleporeme�aje, na koje se mo�e razlo�iti nekakva kontinualna prom-ena dubine ili proticaja na granici, koja putuje kao poreme�ajdu� kanala, qime �e se do�i do modela neustaǉenog teqeǌa uotvorenim tokovima.

1.3.1 Brzina prostiraǌa poreme�aja

Za razliqite kombinacije dubina i brzina mogu�e je razlikovatiqetiri oblika pokretnog hidrauliqkog skoka (slika 1.6) me�u ko-jima mo�e biti onih koji su stalnog (a. i g.) i koji su privremenogtipa (b. i v.).

Problem stalnosti skoka �e se ostaviti na stranu, a posma-tra�e se sva qetiri sluqaja kretaǌa beskonaqno malog poreme�ajau pozitivnom i negativnom smeru x ose, kao xto je to prikazano na

15

Slika 1.6: Oblici pokretnog hidrauliqkog skoka

slici (1.7). Poreme�aj, promena dubine ±dh, izazvan je konstant-nim beskonaqno malim izvorom (sluqajevi (a) i (b)) ili ponorom(sluqajevi (v) i (g)), smextenim u koordinatnom poqetku x = 0.

Uz pretpostavku da se kao zavisno promenǉive javǉaju v i h,jer se mo�e napisati v1, v2 → v i h1, h2 → h, jednaqine (1.3) i (1.4)se svode na:

(c− v1)2 → (c− v)2 =gh2(h1 + h2)

2h1→ gh (1.20)

(c− v2)2 → (c− v)2 =gh1(h1 + h2)

2h2→ gh (1.21)

Brzine prostiraǌa beskonaqno malih poreme�aja su jednake:

c± = v ±√

gh (1.22)

Prethodni rezultat se mo�e prikazati i shematski na slici (1.8),relativno u odnosu na brzinu fluida. Tragovi koje ostavǉajuporeme�aji (beskonaqno mali hidrauliqki skokovi) u ravni (x, t)zovu se karakteristike (slika 1.7). U svakoj taqki ravni (x, t)seku se dve karakteristike, pozitivna i negativna, u zavisnostiod znaka u jednaqini (1.22).

16

Slika 1.7: Trodimenzionalni prikaz qetiri oblika elementarnihporeme�aja

Slika 1.8: Brzine propagacije poreme�aja u otvorenim tokovima

17

1.3.2 Karakteristike i invarijante

Na osnovu zakona odr�aǌa koliqine kretaǌa doxlo se do brzinepropagacije poreme�aja c, a veza izme�u promene dubine dh i brzinedv u elementarnom poreme�aju, mo�e se dobiti iz zakona o odr�aǌumase:

d(vh) = cdh.

Iz jednaqine (1.22) sledi

d(vh) = (v ±√

gh)dh (1.23)

d(vh) = v dh + h dv (1.24)

Posmatraju se promene, posebno za svaki pravac karakteristika:

1. preko beskonaqno malog poreme�aja, koji putuje u pozitivnomsmeru brzinom, v +

√gh:

h dv =√

ghdh

odakle se dobije:

dv =√

g

hdh odnosno, dv − d(2

√gh) = 0 (1.25)

2. preko beskonaqno malog poreme�aja, koji putuje u negativnomsmeru brzinom, v −

√gh:

hdv = −√

gh dh

odakle se dobije:

dv = −√

g

hdh odnosno, dv + d(2

√gh) = 0 (1.26)

Izrazi (1.25) i (1.26) predstavǉaju osnovna rexeǌa u diferenci-jalnom obliku za blago promenǉivo, odnosno, pribli�no horizon-talno teqeǌe. Promena brzine usled konaqno velikog poreme�ajamo�e se dobiti sabiraǌem (odnosno, integracijom) elementarnihpromena.

U ravni (x, t) postoji proizvoǉno mnogo linija du� kojih semogu integrisati promene brzine i dubine. Pogodno je da te linijebudu karakteristike, zato xto posmatraq koji se kre�e du� jedne

18

Slika 1.9: Ukupna promena dubine i brzine du� pozitivne karak-teristike izazvana je elementarnim poreme�ajima (hidrauliqkimskokovima) koji putuju u negativnom smeru

karakteristike ”susre�e” samo poreme�aje koji mu dolaze u susretdu� karakteristika iz suprotne familije (slika 1.9).

Du� pozitivne karakterisitke integrixe se (1.26) i dobije seda je:

v + 2√

gh = const = I+ (1.27)

a du� negativne karakterisitke integrixe se (1.25) i dobije se:

v − 2√

gh = const = I− (1.28)

Veliqine I+ i I− su nepromenǉive du� pozitivne i negativne karak-teristike, i zovu se Rimanove (Riemann) invarijante. Zajedno sapravcima prostiraǌa poreme�aja dx/dt = c±, Rimanove invari-jante predstavǉaju osnovu Metode karakteristika o kojoj �e bitireqi u narednim poglavǉima.

1.3.3 Gubitak energije

Postoji jedna nedoumica koju treba raxqistiti. Poxlo se odpokretnog hidrauliqkog skoka u kome je postojao odre�eni gubitakenergije ∆E. Prelaskom na beskonaqno male promene, od kojih sesastoje konaqne kontinualne promene, i formulisaǌem Rimanovihinvarijanti, koje postoje i kod diferencijalnih jednaqina, xta sedexava sa gubitkom energije? Da li postoji ili i on te�i nuli?

Posmatra se promena dubine du� jedne karakteristike (slika1.10). Izvrxena je podela du� x na podintervale u kojima se du-

19

Slika 1.10: Promena dubine du� jedne karakteristike

bina h meǌa monotono. Ako se pretpostavi da je teqeǌe blagopromenǉivo broj ovih intervala mora da bude konaqan. Teqeǌese daǉe aproksimira u svakom podintervalu kao niz hidrauliqkihskokova i horizontalnih teqeǌa, za koje su zanemareni gubici en-ergije usled treǌa. Uzima se da je ukupna promena dubine na pod-intervalu jednaka celom broju jednakih priraxtaja ∆kh. Ako jeJk broj elementarnih hidrauliqkih skokova u k-tom podintervalu,ukupan gubitak energije (ustvari, ukupna promena energije u je-dinici vremena du� jedne karakteristike), je uvek maǌi od

K∑k=1

Jk∑j=1

(ρg|Vj |4hj

)k

|∆kh|3 , (1.29)

jer su svi gubici raqunati kao pozitivni. Daǉe je

dE

dt≤

K∑k=1

[max

j

(ρg|vj |4hj

)]k

Jk|∆kh|3 . (1.30)

Mo�e se iskoristiti jednakost

Jk|∆kh| = |h(ak)− h(bk)| (1.31)

gde su h(ak) i h(bk) dubine na poqetku i na kraju podintervala k.Na celom intervalu du� karakteristike, od preseka a1 do presekabK , tra�i se najve�a vrednost qlana

(ρg|v(x)|4h(x)

)dE

dt≤ max

a1<x<bk

(ρg|v(x)|4h(x)

) K∑k=1

|h(ak)− h(bk)||∆kh|2 . (1.32)

Na kraju mo�e se napisati

dE

dt≤ K · max

a1<x<bk

(ρg|v(x)|4h(x)

)max

k[|h(ak)− h(bk)||∆kh|2] . (1.33)

20

Za ∆h → 0 gubitak energije dEdt

te�i nuli proporcionalno(∆kh)2. Poxto K nije funkcija ∆h, ovo va�i za proizvoǉno K.Ne treba zaboraviti ni uslove pod kojim je ovo izvedeno. Radise o blago promenǉivom teqeǌu koje je aproksimirano jako malimhidrauliqkim skokovima.

1.4 Primeri

U nastavku �e se na nekoliko primera objasniti korix�eǌe Ri-manovih invarijanti za rexavaǌe praktiqnih zadataka i postavitiosnove Metode karakteristika.

Karakteristike, ili putaǌe poreme�aja u ravni (x, t), defin-isane su izrazom

dx

dt= c± = v ±

√gh (1.34)

gde znak (+), odgovara pozitivnoj, a znak (−), negativnoj karakter-istici. Du� ovih linija konstantne su vrednosti I+ i I−, pozi-tivna i negativna Rimanova invarijanta. U svakoj taqki, u ravni(x, t), seku se dve karakteristike, a da bi se odredilo staǌe u tojtaqki potrebno je znati vrednosti invarijanti za te karakteris-tike. Za karakteristike koje seku osnovnu liniju (t = 0), invar-ijante odre�uju poqetni uslovi, vrednosti brzine i dubine du�kanala u poqetnom trenutku. Staǌe na granici oblasti u kojoj setra�i rexeǌe (x = 0 i x = L), odre�uje jedna karakteristika kojadolazi iz kanala, i dodatni uslov, koji se zove graniqni uslov2.

Primer 1

Posmatra se deonica pravougaonog kanala xirine 4 m, du�ine200 m sa definisanim proticajem na uzvodnom kraju i ustavom nanizvodnom kraju. Dno je horizontalno a dubina je na celoj de-onici pribli�no konstantna. Odrediti dubinu u kanalu u poqet-nom trenutku ako se zna da je proticaj jednak 10 m3/s, a veliqinaotvora ustave e = 0.3 m (CA = 0.70, CV = 0.95). Na uzvodnoj stranikanala dolazi do linearne promene proticaja od ∆Q = +2 m3/s, za10 sekundi. Odrediti kolika je promena proticaja u nizvodnompreseku u trenutku kada ukupni poreme�aj dospe do ustave.

2Ovo va�i za kanal u kome je mirno teqeǌe. Me�utim, to ne treba shvatitikao neko ograniqeǌe, jer zapravo, samo za sluqajeve kada je brzina u kanalu jakomala ima smisla zanemariti treǌe, kao xto je to ovde i ura�eno

21

Proticaj u ustaǉenom teqeǌu iznosi:

Q0 = CA · CV · e ·B√

2g(H0 − CA · e)

odakle se dobije da je dubina jednaka

H0 = 8.21m

Promena dubine u uzvodnom preseku dobija se preko negativne Ri-manove invarijante koja dolazi iz neporeme�ene sredine i poznatepromene proticaja

Q1 = 12m3

s(I0)− =

10.04.0 · 8.21

− 2√

9.81 · 8.21 = −17.64m

s

12.04.0 · h1

− 2√

g · h1 = −17.64m

sh1 = 8.26m

Nova dubina i proticaj u preseku uzvodno od ustave dobi�e sena osnovu pozitivne Rimanove invarijante koja va�i du� karak-teristike koja nosi poreme�aj, i na osnovu jednaqine isticaǌaispod ustave.

(I1)+ = 0.363 + 2√

g · h1 = 18.37m

s

Q2

b · h2+ 2

√g · h2 = 18.37

m

s

Q2 = 10.06m3

sh2 = 8.31m

Vremenski trenutak u kojem se ostvaruje dubina h2 je

t2 = 10 +200

0.363 +√

9.81 · 8.26= 31.36s

Primer 2

U kanalu pravougaonog popreqnog preseka xirine 4 m, du�ine 200m nalazi se spuxtena ustava na nizvodnom kraju. U poqetnomtrenutku voda u kanalu miruje, a dubina je jednaka 5 m. Dno kanalaje horizontalno. Ustava na nizvodnom kraju kanala se postepenopodi�e brzinom de

dt= 0.5 cm

s , dok ne dostigne vrednost e = 20cm.Koeficijent kontrakcije mlaza je CA = 0.7, koeficijent brzine

22

CV = 0.95. Odrediti promene dubine i proticaja u kanalu tokomprvih 100 s.

Na slici (1.11) u ravni (x, t) nacrtane su linije kojima putujuporeme�aji (karakteristike). Staǌe u bilo kojoj taqki ravniodre�eno je vrednostima Rimanovih invarijanti za karakteris-tike koje se seku u toj taqki.

Slika 1.11: Primer 2

Na slici se mogu uoqiti tri oblasti:

• Neporeme�ena zona; nalazi se u doǌem levom uglu dijagrama.Invarijante du� bilo koje karakteristike koja polazi iz ovezone imaju istu vrednost.

• Zona prostog talasa; nalazi se iznad neporeme�ene zone, iograniqena je linijama A0−A1 i A1−A2. Sve karakteristikeu toj zoni su prave linije jer se negativne karakteristikekoje nose poreme�aj sa nizvodne strane seku sa pozitivnimkarakteristikama koje dolaze iz neporeme�ene zone.

• Zona slo�enih talasa; Sve iznad taqaka A1 – A2.

23

Polo�aj taqke A1 dobija se na osnovu negativne karakteristikekoja kre�e iz taqke A0.

tA1 = tA0 +L

|vA0 − cA0 |= 0 +

2007.0

= 28.6s

Proticaj u taqki B0, za tB0 = 20s i e = 0.10m, odre�uju pozi-tivna invarijanta koja dolazi iz neporeme�ene zone i jednaqinaisticaǌa ispod ustave

(I0)+ = v + 2√

g · h0 = 14m

s

QB0 = 0.7 · 0.96 · 4 · 0.1√

2g(hB0 − 0.07)

Proticaj i dubina dobijaju se iterativno

QB0 = 2.59m3

shB0 = 4.90m

Polo�aj taqke B1 dobija se na osnovu negativne karakteristikekoja kre�e iz taqke B0.

tB1 = tB0 +L

|vB0 − cB0 |= 20 +

200|0.13− 6.93|

= 20.0 + 29.4 = 49.4s

Proticaj i dubina u taqki C0 odre�uju se na slede�i naqin

vC0 + 2√

g · hC0 = 14m

s

QC0 = 0.7 · 0.96 · 4 · 0.1√

2g(hC0 − 0.07)

QC0 = 5.09m3

shC0 = 4.81m

Polo�aj taqke C1 dobija se na osnovu negativne karakteristikekoja polazi iz taqke C0

tC1 = tC0 +L

|vC0 − cC0 |= 40 +

200|0.265− 6.87|

= 40.0 + 30.3 = 70.3s

U raqunu je pretpostavǉeno da su negativne karakteristike kojepolaze iz taqaka A0, B0 i C0 prave linije. To je taqno samo za lin-iju A0−A1, dok je za preostale dve to taqno samo na delu do presekasa linijom A1 − A2, odnosno do taqaka B

′1 i C

′1 (U ovom primeru

24

odstupaǌe od prave linije nije veliko, ali to je qiǌenica o kojojse mora voditi raquna. To je posledica toga xto brzina prosti-raǌa poreme�aja zavisi od dubine i xto je istog reda veliqinekao brzina fluida koja je tako�e premenǉiva.

Proticaj na uzvodnoj granici kanala jednak je nuli (to je gra-niqni uslov) a dubina se odre�uje na osnovu negativne karakter-istike koja dolazi sa nizvodnog kraja kanala.

IB0 = vB0 − 2√

ghB0 = −13.73m

shB1 = 4.80m

U taqkama A2, B2 itd. staǌe se odre�uje na osnovu pozitivneinvarijante koja dolazi sa uzvodnog kraja iz taqaka u kojima supoznate vrednosti dubine i proticaja i nizvodnog graniqnog uslova,jednaqine isticaǌa ispod ustave. Tako se, naprimer, dobija da jedubina u taqki A2 jednaka 4.81 m, a proticaj 5.09 m3/s. Polo�ajtaqke A2 se mo�e pribli�no odrediti pomo�u karakteristike A1−A2, tA2 = 57.2s. Taqnije odre�ivaǌe polo�aja neke taqke kadakarakteristika nije prava linija, mogu�e je ako se to radi u seg-mentima na kojima se pretpostavǉa da je karakteristika prava.Za taqku na kanalu, recimo, C

′1, staǌe odre�uju invarijante du�

karakteristika B′1 − C

′1 i C0 − C

′1.

Literatura

[1] Abbott M.B., 1979, Computational Hydraulics, Pitman.

[2] Abbott M.B. & Basco D.R., 1989, Computational Fluid Dynamics - AnIntroduction for Engineers, Longman Scientific & Technical.

[3] Muxicki, �., 1975, Uvod u teorijsku fiziku, II deo, Statis-tiqka fizika, ICS Beograd.

[4] Streeter V.L. & Wylie E.B., 1975, Fluid Mechanics, 6th edition,McGraw-Hill.

[5] Radojkovi�, M. i Klem N., 1989, Primena raqunara u Hidraulici,Gra�evinska kǌiga.

25

26

2

Osnovne jednaqine

Na isti naqin kao xto je to ura�eno u prethodnom poglavǉu za po-jednostavǉeni sluqaj kada se zanemare podu�ni nagib dna kanala itreǌe, zakoni odr�aǌa mase i koliqine kretaǌa mogu se primenitina konaqne zapremine deonica otvorenih tokova proizvoǉnog ob-lika popreqnog preseka. Namera je da se do�e do opxteg oblikajednaqina matematiqkog modela i do odgovaraju�eg numeriqkog mo-dela.

2.1 Jednaqina odr�aǌa mase

Posmatra se deonica toka, du�ine ∆x, izme�u dva popreqna pre-seka fluidne struje, koji se nalaze na xk i xk+1, u vremenskomintervalu, ∆t (slika 2.1). Fluid je nestixǉiv (ρ = const).

Slika 2.1: Skica uz objaxǌeǌe zakona o odr�aǌu mase

27

• Razlika ulaza i izlaza iz kontrolne zapremine jednaka je

[(ρvA)k+1 − (ρvA)k]∆t (2.1)

• Promena mase (zapremine) dela toka izme�u dva preseka jed-naka je [

(ρA)n+1 − (ρA)n]∆x (2.2)

Izrazi (2.1) i (2.2) odgovaraju jedan drugom: suma proticaja masekroz kontrolnu povrxinu jednaka je promeni mase unutar kontrolne za-premine (zakon odr�aǌa mase). Treba voditi raquna da pozitivnojvrednosti qlana (2.1) odgovara smaǌeǌe mase fluida izme�u dvapreseka.

Zakon odr�aǌa mase mo�e se napisati u diskretnom obliku,direktno za potrebe numeriqkog modela

[(ρvA)k+1 − (ρvA)k]∆t +[(ρA)n+1 − (ρA)n

]∆x = 0 (2.3)

U izrazu (2.1), za veliqine u presecima k i k + 1, nije naznaqenvremenski nivo na koji se to odnosi. To treba da bude reprezen-tativno za ceo interval ∆t. Tako�e, u izrazu (2.2) nije naznaqenpresek, jer to treba da bude reprezentativno za celu deonicu ∆x.

Od jednaqine (2.3) lako se dolazi do numeriqkog modela. U za-visnosti od taqnosti koja se �eli posti�i mogu�i su razliqitinumeriqki modeli. Ako se kao reprezentativne vrednosti kod pr-vog qlana uzmu veliqine na poqetku intervala ∆t, a kod drugogqlana, na polovini intervala ∆x, dobija se

[Qn

k+1 −Qnk

]∆t +

[An+1

k+1 + An+1k

2−

Ank+1 + An

k

2

]∆x = 0 (2.4)

Prvi qlan je aproksimiran sa taqnox�u prvog reda (pravilo pravo-ugaonika, Ojlerova metoda), a drugi sa taqnox�u drugog reda(trapezno pravilo, centralne razlike). Aproksimacija vixeg redataqnosti mo�e se dobiti na slede�i naqin[

Qn+1k+1 + Qn

k+1

2−

Qn+1k + Qn

k

2

]∆t +

[An+1

k+1 + An+1k

2−

Ank+1 + An

k

2

]∆x = 0

(2.5)gde su oba qlana aproksimirana sa taqnox�u drugog reda.

28

Slika 2.2: Smaknuta mre�a (staggered grid)

Formalno ista taqnost, ali sa dvostruko maǌe veliqina pos-ti�e se na tzv., smaknutoj mre�i (staggered grid) (slika 2.2), gdedubine i proticaji nisu definisani u istim presecima[

Qn+1k+1 + Qn

k+1

2−

Qn+1k−1 + Qn

k−1

2

]∆t +

[An+1

k −Ank

]2 ∆x = 0 (2.6)

Zakon odr�aǌa mase (2.3) mo�e se napisati i u integralnomobliku. Tada se formalno uzima u obzir stvarna promena svihveliqina u intervalu ∆t, odnosno na rastojaǌu, ∆x, a ne linearna,odnosno, skokovita kao u prethodnim izrazima.∫ tn+1

tn[Qk+1 −Qk] dt +

∫ xk+1

xk

[An+1 −An

]dx = 0 (2.7)

Zakon odr�aǌa mase se mo�e napisati i u diferencijalnom ob-liku. Razlike definisane izrazima (2.1) i (2.2) napisa�e se naslede�i naqin

(ρvA)k+1 − (ρvA)k ≡ ∆x(ρvA) (2.8)

(ρA)n+1 − (ρA)n ≡ ∆t(ρA) (2.9)

Izraz (2.3) mo�e se napisati u slede�em obliku

∆x(ρvA) ·∆t + ∆t(ρA) ·∆x = 0 (2.10)

Ako se jednaqina podeli sa ∆x ·∆t 6= 0, dobija se

∆x(ρvA)∆x

+∆t(ρA)

∆t= 0 (2.11)

29

Ako su intervali ∆t i ∆x jako mali, odnosno, ako se pret-postavi da, ∆t, ∆x → 0, dolazi se do diferencijalnog oblika za-kona odr�aǌa mase

∂(ρvA)∂x

+∂(ρA)

∂t= 0 (2.12)

Uzimaju�i u obzir da je gustina konstantna mo�e se napisati

∂(Q)∂x

+∂(A)∂t

= 0 (2.13)

2.2 Zakon odr�aǌa koliqine kretaǌa u pravcutoka

Posmatra se deonica toka izme�u dva popreqna preseka na konaq-nom rastojaǌu, ∆x, u vremenskom intervalu ∆t (slika 2.3). Silekoje deluju na masu fluida unutar tako ograniqene zapremine dovodedo promene koliqine kretaǌa te mase.

Slika 2.3: Sile koje deluju na konaqnu masu fluida

• Promena koliqine kretaǌa, (m v), konaqne mase, (m = ρA∆x),u intervalu, [tn, tn+1] jednaka je[

(ρvA∆x)n+1 − (ρvA∆x)n]

(2.14)

odnosno, [(ρvA)n+1 − (ρvA)n

]∆x (2.15)

• Proticaj koliqine kretaǌa kroz povrxinu koja ograniqavakontrolnu zapreminu (inercijalne sile) u intervalu [tn, tn+1][

(ρβv2A)k − (ρβv2A)k+1

]∆t (2.16)

30

Zbog neravnomernosti brzine po popreqnom preseku uvodi sekoeficijent neravnomernosti brzine βv2A =

∫A ui(niui)dA.

• Sile pritiska na konaqnu zapreminu;

– Sile u popreqnim presecima1

Hidro-statiqka sila u jednom popreqnom preseku fluidne strujejednaka je

Pk =∫ hk

0ρg[hk − η]b(xk, η)dη = ρgS1 (2.17)

gde je, S1 statiqki moment povrxine popreqnog preseka uodnosu na nivo

S1 =∫ Bk

0

η2(ζ)2

dζ . (2.18)

Bk je xirina vodenog ogledala, a promenǉiva ζ se meriod jedne obale, 0 ≤ ζ ≥ Bk.Uticaj sile pritiska na promenu koliqine kretaǌa ukontrolnoj zapremini u intervalu ∆t (impuls sile) iznosi

ρg [(S1)k − (S1)k+1]∆t (2.19)

– Sile usled neprizmatiqnosti kanala.Ukoliko se dva preseka ne mogu preklopiti pomeraǌem poparalenim izvodnicama, od kojih osnovna spaja najni�etaqke u preseku, radi se o neprizmatiqnim kanalima. Na

1Kod crtaǌa linija nivoa du� kanala i potrebe distorzije razmere (jednarazmera za du�ine, druga za dubine), usvojeno je da se preseci kanala crtaju”vertikalno na dole”, zbog toga xto se u ve�ini praktiqnih sluqajeva radi omalim nagibima dna, kod kojih se cos2 ne razlikuje mnogo od 1. Me�utim, ovde sezbog malog rastojaǌa preseka (k) i (k+1), popreqni preseci crtaju upravno na osux, koja se orijentixe u pravcu toka, pa sile pritiska u presecima deluju u pravcuose x. Nagib dna na ovoj i nekoliko narednih slika je namerno prenaglaxen.

31

skici je xrafiran deo povrxine za koliko se razlikujudva preseka.

Sila na elementarni deoxrafirane povrxine na skici iznosi

ρg

[(∂b

∂x

)∆xdη

]h0=const

[h(x)− η] (2.20)

Na celoj deonici ∆x sila iznosi

ρg

∫ hk

0

[(∂b

∂x

)h0=const

∆x

][h(x)− η] dη = ρgS2∆x (2.21)

gde je S2∆x statiqki moment xrafiranog dela povrxineu odnosu na nivo u preseku (k). U intervalu [tn, tn+1] do-prinos (impuls) sile pritiska usled neprizmatiqnostiiznosi

ρg [S2]∆x∆t (2.22)

Treba ga uzeti sa znakom + jer za pove�aǌe xirine unizvodnom smeru, ve�a je sila u nizvodnom preseku. Kon-tura kao reakcija deluje u pravcu teqeǌa.

• Komponenta sile te�ine u pravcu teqeǌa.

Doprinos sile te�ine iznosi

ρgA∆x︸︷︷︸G

∆zd

∆x∆t (2.23)

32

Uvodi se nagib dna

I0 = −∆zd

∆x= tan α ≈ sinα (2.24)

a pribli�na jednakost sinusa i tangensa, iako va�i za rela-tivno male nagibe, zadovoǉava ve�inu praktiqnih problema.

• Sila treǌa Ukupna sila treǌa na masu fluida izme�u pre-seka xk i xk+1 iznosi

T = τ̄ O ∆x (2.25)

gde je τ̄ sredǌa vrednost tangencijalnog napona, koji se raqunakao u ustaǉenom teqeǌu, a O okvaxeni obim

τ̄ =12Cτρv2 =

12Cτ

Q2

A2ρ (2.26)

Doprinos (impuls) sile treǌa u intervalu ∆t iznosi T ∆t.

Jednaqina odr�aǌa koliqine kretaǌa za neustaǉeno linijskoteqeǌe sa slobodnom povrxinom, mo�e se napisati na slede�inaqin [

(ρvA)n+1 − (ρvA)n]∆x =[

(ρv2A)k − (ρv2A)k+1

]∆t + ρg [(S1)k − (S1)k+1]∆t +

ρg

[S2 + AI0 −

12Cτρv2O

]∆x∆t (2.27)

Ovo je diskretni oblik zakona odr�aǌa koliqine kretaǌa, za kojise mo�e direktno tra�iti odgovaraju�i numeriqki model.

U integralnom obliku jednaqina (2.27) mo�e se napisati∫ xk+1

xk

[(ρvA)n+1 − (ρvA)n

]dx =∫ tn+1

tn

[(ρv2A)k − (ρv2A)k+1

]dt + ρg

∫ tn+1

tn[(S1)k − (S1)k+1] dt +

ρg

∫ tn+1

tn

∫ xk+1

xk

[S2 + AI0 − Cτ

v2

2gO

]dxdt (2.28)

Na isti naqin kao xto je to ura�eno za jednaqinu odr�aǌamase mo�e se do�i do diferencijalnog oblika jednaqine odr�aǌakoliqine kretaǌa. Uvode se konaqne razlike oblika:

(ρvA)n+1 − (ρvA)n = ∆t(ρvA) itd. (2.29)

33

∆t(ρvA)∆x + ∆x(ρv2A)∆t + ρg∆x(S1)∆t =

ρg

[S2 + AI0 − Cτ

v2

2gO

]∆x∆t , (2.30)

odakle se deǉeǌem sa ρg∆t∆x, i primenom operatora lim, sa za-htevom da ∆t, ∆x −→ 0, dobija

∂Q

∂t+

∂

∂x

(Q2

A+ gS1

)= gS2 + gAI0 − Cτ

Q2

2AR(2.31)

Jednaqina (2.13) i jednaqina (2.31) mogu se napisati u matriqnomobliku:

∂f

∂t+

∂G

∂x= D (2.32)

gde je

f =

[AQ

]G =

[QQ2

A + gS1

]

D =

[0gS2 + gAI0 − Cτ

Q2

2AR

]Ovo je tzv. konzervativni oblik diferencijalne jednaqine odr�aǌakoliqine kretaǌa. Ako je desna strana jednaqine (2.31) jednakanuli, za svaku zatvorenu konturu u ravni (x, t), masa i koliqinakretaǌa se odr�avaju. Mogu�e je obuhvatiti i diskontinuitetu fluidnoj struji. Qlanovi na desnoj strani jednaqine predstav-ǉaju izvore ili ponore koliqine kretaǌa (sila treǌa, sila te�nei sila pritiska usled neprizmatiqnosti). Mo�e se formulisatirexeǌe diferencijalne (a i integralne) jednaqine za diskontinu-itet u tzv. slabom obliku (weak solution), koje odgovara onome xtoje izvedeno za pokretni hidrauliqki skok (Cunge et al., 1980).

Jednaqina (2.31) nije pogodna za primenu jer se javǉaju nekene bax bliske veliqine, kao xto su statiqki momenti povrxinepopreqnog preseka itd. Do uobiqajenog oblika dolazi se prekoslede�ih zamena i Lajbnicove teoreme o diferenciraǌu integrala

∂

∂x(gS1) = g

∂

∂x

∫ h(x)

0[h(x)− η] b(x, η)dη

= g∂h

∂x

∫ h(x)

0b(x, η)dη + g

∫ h(x)

0[h(x)− η]

[∂b

∂x

]h=const

dη

= gA(x)∂h

∂x+ gS2 (2.33)

34

U prethodnom izrazu iskorix�eno je da je∫ h0 bdη = A.

Na kraju dolazi se do uobiqajenog oblika jednaqine (2.31) kojinije u potpunosti ekvivalentan polaznoj jednaqini jer nije kon-zervativan za koliqinu kretaǌa.

∂Q

∂t+

∂

∂x(vQ) + gA

(∂h

∂x− I0

)+

12Cτ

Q2

AR= 0 (2.34)

Jednaqina (2.34) zove se ”dinamiqka jednaqina”, a zajedno sa jed-naqinom kontinuiteta (2.13) qini jedan oblik tzv. Sen-Venanovihjednaqina.

2.3 Razliqiti oblici Sen-Venanovih jednaqina

U zavisnosti od izbora zavisno promenǉivih veliqina (dubinaili nivo, brzina ili proticaj itd.) postoji nekoliko osnovnihoblika jednaqina:

a) Osnovne veliqine su proticaj, Q(x, t), i dubina h(x, t);

∂A(h)∂t

=∂A

∂h

∂h

∂t= B

∂h

∂t

∂h

∂t+

1B

∂Q

∂x= 0 (2.35)

∂Q

∂t+

∂

∂x

(Q2

A

)+ gA

(∂h

∂x− I0

)+

12Cτ

Q2

AR= 0 (2.36)

b) Osnovne veliqine su proticaj, Q(x, t), i nivo, z(x, t).

Umesto dubine, h, uvodi se nivo, z, prema izrazu

h = z − zd

gde je zd, kota dna u preseku. Koriste se i slede�e zamene

∂h

∂t=

∂z

∂t

∂h

∂x=

∂z

∂t− ∂zd

∂x=

∂z

∂x+ Id

∂z

∂t+

1B

∂Q

∂x= 0 (2.37)

∂Q

∂t+

∂

∂x

(Q2

A

)+ gA

∂z

∂x+

12Cτ

Q2

AR= 0 (2.38)

35

c) Osnovne veliqine su brzina, v(x, t), i dubina, h(x, t),

∂h

∂t+

A

B

∂v

∂x+ v

∂h

∂x+

v

B

(∂A

∂x

)h=const

= 0 (2.39)

∂v

∂t+ v

∂v

∂x+ g

(∂h

∂x− I0

)+

12Cτ

v2

R= 0 (2.40)

d) Osnovne veliqine su brzina, v(x, t), i nivo, z(x, t),

∂z

∂t+

A

B

∂v

∂x+ v

(∂h

∂x+ I0

)+

v

B

(∂A

∂x

)z=const

= 0 (2.41)

∂v

∂t+ v

∂v

∂x+ g

∂z

∂x+

12Cτ

v2

R= 0 (2.42)

Pojedini oblici jednaqina vixe odgovaraju odre�enim problemima.Tako na primer, dubina vixe odgovara kod vextaqkih vodotoka, samalim varijacijama popreqnog preseka, kao xto su kanali, kana-lizacione cevi i sliqno, posebno kada je veliki nagib dna. Sadruge strane, nivo vixe odgovara kod malih nagiba nivoa i kodprirodnih vodotoka.

Jednaqine su uslovno ekvivalentne polaznoj, jer su izvedene uzpretpostavku da su sve veliqine kontinualne po vremenu i pros-toru. Za hidrauliqki skok se, me�utim, ne mogu koristiti.

2.4 Jednaqine za ustaǉeno teqeǌe

2.4.1 Diferencijalni oblik

Polazi se od jednaqina (2.35) i (2.36) u kojima su izvodi po vre-menu jednaki nuli, a parcijalni izvodi po rastojaǌu x postajutotalni.

dQ

dx= 0 (2.43)

Q

gA

ddx

(Q

A

)+

dh

dx− I0 +

12g

CτQ2

A2R= 0 (2.44)

Jednaqina kontinuiteta daje da se proticaj du� toka ne meǌa

Q = const odnosno, Qk −Qk+1 = 0

36

Prvi qlan u jednaqini (2.44) mo�e se daǉe razviti

Q

gA

ddx

(Q

A

)= − Q2

gA3

dA

dx

Poxto se povrxina popreqnog preseka meǌa i u zavisnosti od du-bine i od rastojaǌa, odnosno, A = A(h, x), mo�e se napisati

dA

dx= B

dh

dx+(

dA

dx

)h=const

gde je drugi qlan po definiciji jednak nuli kod prizmatiqnihtokova. Ako se to zameni u jednaqinu (2.44) dobija se

dh

dx− Q2

gA3

[B

dh

dx+(

dA

dx

)h=const

]− I0 +

12g

CτQ2

A2R= 0 (2.45)

odakle sledi

dh

dx=

Q2

gA3

(dAdx

)h=const

+ I0 − 12gCτ

Q2

A2R

1− Q2BgA3

(2.46)

Za prizmatiqne kanale prethodni izraz se svodi na

dh

dx=

I0 − 12gCτ

Q2

A2R

1− Q2BgA3

(2.47)

Odnosnodh

dx=

I0 − IE

1− Fr(2.48)

Numeriqki modeli za rexavaǌe ove jednaqine dobro su poznatistudentima i in�eǌerima hidrotehnike (Wylie & Streeter, 1975). UPrilogu 1 jox jednom je pokazano kako se to radi, uz razmatraǌavezana za stabilnost i smer raqunaǌa.

2.4.2 Integralni oblik

Matematiqki modeli (2.46) i (2.47) nisu pogodni za odre�ivaǌelinije nivoa u prirodnim vodotocima. Ako se po�e od jednaqine(2.38) i ako se ona podeli sa (gA) dobija se

Q

gA

ddx

(Q

A

)+

dz

dx+

12g

CτQ2

A2R= 0 (2.49)

37

odnosno,ddx

[12g

(Q

A

)2

+ z

]+

12g

CτQ2

A2R= 0 (2.50)

Izraz u uglastoj zagradi predstavǉa ukupnu energiju fluidne strujepo jedinici te�ine, E.

dE

dx+

τ̄

ρgR= 0 (2.51)

Po definiciji, nagib linije energije, IE, jednak je

−dE

dx= IE

pa se iz jednaqine (2.50), lako dolazi do korisne relacije za usta-ǉeno teqeǌe u otvorenim tokovima

τ̄ = ρgIER (2.52)

Numeriqki model mo�e se dobiti integracijom jednaqine (2.50)u intervalu [xk, xk+1]

12g

(Q

A

)2

k+ zk =

12g

(Q

A

)2

k+1+ zk+1 +

12g

∫ xk+1

xk

CτQ2

A2Rdx (2.53)

Ovaj izraz potpuno odgovara Bernulijevoj jednaqini (koja je, usuxtini upore�ivaǌe energija u dva popreqna preseka). Taqnostnumeriqkog modela zavisi od naqina rexavaǌa integrala qlana satreǌem u jednaqini (2.53) (vidi Radojkovi�, Klem, 1989).

12g

∫ xk+1

xk

CτQ2

A2Rdx ≈

(CτQ

2

2gA2R

)xk+1

∆xk (2.54)

≈ 12

[(CτQ

2

2gA2R

)k+1

+

(CτQ

2

2gA2R

)k

]∆xk (2.55)

Pribli�na integracija izrazom (2.54) je prvog reda taqnosti (Oj-lerova metoda), dok je integracija izrazom (2.55) drugog reda taq-nosti (trapezno pravilo). Tako�e, prva metoda je eksplicitna jerse nepoznata veliqina mo�e direktno dobiti. Izraz je napisan podpretpostavkom da se radi o mirnom teqeǌu i da je smer raqunaǌasuprotan smeru teqeǌa, odnosno, da je dubina u preseku (xk+1) poz-nata. Kao xto je to objaxǌeno u Prilogu 1, o smeru proraquna

38

mora se formalno voditi raquna i u izrazu (2.55), qija desnastrana se ne mo�e eksplicitno sraqunati.

Zbog toga xto se Maningov koeficijent hrapavosti maǌe meǌaod koeficijenta tangencijalnog napona, u problemima sa teqeǌemu otvorenim tokovima qlan usled treǌa prikazuje se i ovako:(

n2Q2

A2R4/3

)xk+1

∆xk

Literatura

[1] Abbott M.B., 1979, Computational Hydraulics, Pitman.


[3] Cunge J., Holly F.M. & Verwey A., 1980, Practical Aspects of Compu-tational River Hydraulics, Pitman, London


39

40

3

Kinematiqki talas

3.1 Pojednostavǉeni oblici jednaqina

Polazi se od oblika jednaqina (a), prema numeraciji u prethodnompoglavǉu, odnosno jednaqina, (2.35) i (2.36).

∂h

∂t+

1B

∂Q

∂x= 0 (3.1)

∂Q

∂t︸︷︷︸1

+∂

∂x

(Q2

A

)︸︷︷︸

2

+ gA∂h

∂x︸︷︷︸3

− gAI0︸︷︷︸4

+12Cτ

Q2

AR︸︷︷︸5

= 0 (3.2)

Pojedini qlanovi iz dinamiqke jednaqine nisu istog znaqajau svim uslovima teqeǌa pa se neki od ǌih mogu zanemariti xtomo�e znatno da pojednostavi proraqun. Qlan (1) je inercijalnii predstavǉa uticaj promene brzine u jednom preseku kroz vreme(lokalno ubrzaǌe). Qlan (2) predstavǉa promenu brzinske visinedu� toka (potiqe od konvektivnog ubrzaǌa). Qlan (3) je prom-ena dubine du� toka i predstavǉa doprinos sila pritiska, dok je(4) sa nagibom dna doprinos sile te�ine. Zajedno (3) i (4) pred-stavǉaju promenu pijezometarske kote. Qlan (5) je uticaj treǌa isadr�i nagib linije energije

gAIE = gACτQ

2

2gA2R= gA

n2Q2

A2R4/3.

Razmatraǌa u prvom poglavǉu zasnivala su se na eksplicit-noj pretpostavki da se zanemaruju gubici energije i da je dnohoriznontalno. Dobijeni izrazi su dakle reprezentativni za jednuklasu prizmatiqnih tokova gde su brzine relativno male a dubinevode relativno velike. Na drugoj strani su tokovi kod kojih je

41

dominantno treǌe. To su tokovi sa velikim brzinama i velikimnagibima dna kod kojih su promene dubine i brzine du� toka rela-tivno male.

Jedan od najjednostavnijih matematiqkih modela neustaǉenogteqeǌa u kanalima je model kinematiqkog talasa. Mnogo fiziqkihprocesa mo�e se opisati na ovaj naqin (konvekcija obele�ene ma-terije, talasno kretaǌe), pa model ima veliki praktiqni znaqaj.

Pre toga objasni�e se jox jednostavniji sluqaj neustaǉenogteqeǌa: transformacija talasa u akumulaciji.

3.2 Transformacija talasa u akumulaciji

Iako se i ovaj matematiqki model svrstava u grupu modela prosti-raǌa poplavnih talasa u otvorenim tokovima (flood routing models)ovde vixe odgovara termin transformacija talasa1. Koristi seza delove vodotoka pod znaqajnim usporom.

Slika 3.1: Osnovne veliqine za model transformacije poplavnogtalasa u akumulaciji

Polazi se od jednaqine kontinuiteta integrisane na celoj de-onici vodotoka [x1, xN ] (slika 3.1)∫ xN

x1

∂A

∂tdx =

ddt

∫ xN

x1

Adx =dV

dt(3.3)

∫ xN

x1

∂Q

∂xdx =

∫ xN

x1

dQ = QN −Q1 (3.4)

odakle sledidV

dt= QN −Q1 (3.5)

1 Koriste se slede�i nazivi level-pool routing i storage routing

42

Uvodi se promenǉiva V, zapremina vode na celoj deonici, koja jefunkcija samo vremena, i proticaji, Q1, (ili, QI) ulazni proticaj,i QN , (ili, QO) izlazni proticaj. Ovo je opravdano kod kratkiha velikih akumulacija kod kojih se podu�ni nagib slobodne povr-xine mo�e zanemariti. Tako�e, izraz (3.3) mo�e se napisati uslede�em obliku∫ xN

x1

B∂z

∂tdx =

dz

dt

∫ xN

x1

B(z, x)dx =dz

dtA(z) (3.6)

gde je A(z) horizontalna povrxina akumulacije.

dz

dtA(z) = QO −QI (3.7)

Ovo je obiqna nelinearna diferencijalna jednaqina koja se stan-dardno rexava numeriqkim metodama. Na dijagramima (slika 3.2)naznaqena je jedna mogu�nost koja se mo�e iskazati i slede�imizrazom

Vn+1 − Vn

∆t=

Qn+1I + Qn

I

2− Qn+1

O + QnO

2(3.8)

Izlazni proticaj mo�e biti jednoznaqna funkcija nivoa, QO(z),odnosno zapremine, QO(V), kao xto je kod slobodnog prelivaǌa,ili isticaǌa kroz otvor nepromenǉivih karakteristika. U tomsluqaju ulazni i izlazni hidrogram izgledaju kao na slici (3.2),odnosno, maksimum izlaznog hidrograma nalazi se u preseku saopadaju�om granom ulaznog hidrograma. Maksimalni izlazni pro-

ticaj se javǉa pri maksimalnom nivou u akumulaciji kada jedz

dt=

0, a to se dexava kada je QI −QO = 0. Izlazni proticaj mo�e bitidefinisan upravǉaǌem, a mo�e obuhvatati i proticaj kroz tur-bine. Tada prethodna razmatraǌa o polo�aju maksimuma izlaznogproticaja ne va�e.

3.3 Osnovne jednaqine modela kinematiqkog ta-lasa

Model kinematiqkog talasa koristi se za proraqun neustaǉenogteqeǌa u relativno strmim kanalizacinim cevima, slivaǌa sapovrxine terena u modelima za simulaciju oticaǌa sa gradskih i

43

Slika 3.2: Ulazni i izlazni hidrogram i odgovaraju�a promenazapremine u akumulaciji

neure�enih slivova itd. Od Sen-Venanovih jednaqina, jednaqinakontinuiteta se uzima u kompletnom obliku,

∂h

∂t+

1Bs

∂Q

∂x= 0 (3.9)

a dinamiqka jednaqina se svodi na slede�i oblik

Id =12g

CτQ2

A2R(3.10)

U jednaqini (3.9) Bs predstavǉa ukupnu xirinu vodenog ogledalaglavnog toka i inundacije, koja mo�e da se razlikuje od xirineB �ivog preseka, (slika 3.3) na koji se odnosi povrxina A, kojafigurixe u dinamiqkoj jednaqini.

44

Jednaqina (3.10) mo�e se napisati na slede�i naqin

Q =(

2gId

Cτ

)1/2

A√

R = CcA√

RId (3.11)

gde je, Cc =√

2g/Cτ , Xezijev (Chezy) koeficijent treǌa. Prethodnajednaqina se svodi na pretpostavku o jednoznaqnoj vezi proticajai dubine u svakom preseku, Q = f(h), i na osnovu toga, broj nepoz-natih se smaǌuje za jedan. Zbog toga je mogu�e u jednaqini (3.9)uvesti smenu

∂Q

∂x=(

dQ

dh

)x=x0

∂h

∂x

odakle se dobija

∂h

∂t+

1Bs

(dQ

dh

)x=x0

∂h

∂x= 0 (3.12)

Iz jednaqine kontinuiteta za beskonaqno mali pokretni hidra-uliqki skok napisane za nepokretni koordinatni sistem (x = x0)(1.18)

c dh = d(v h) / ·Bs

c Bs dh = d(Q)

vidi se da je fiziqko znaqeǌe izraza uz parcijalni izvod dubinepo rastojaǌu, brzina prostiraǌa poreme�aja u otvorenom toku, c,odnosno

c =1Bs

(dQ

dh

)x=x0

(3.13)

Konaqno, matematiqki model kinematiqkog talasa mo�e se napisatiu slede�em obliku

∂h

∂t+ c

∂h

∂x= 0 (3.14)

Slika 3.3: Popreqni presek vodotoka sa inundacijom

45

Brzina prostiraǌa poreme�aja u matematiqkom modelu kine-matiqkog talasa jednaka je

c =1Bs

Cc

√Id

ddh

(R1/2A

)(3.15)

Za neke jednostavnije oblike popreqnog preseka mogu�e je jed-nostavno proceniti brzinu prostiraǌa poreme�aja. Tako, na pri-mer, za xiroki pravougaoni kanal (A = B h, R ≈ h), i uz pret-postavku da je Xezijev koeficijent, Cc, odnosno, Cτ , koeficijenttangencijalnog napona, konstantan, brzina prostiraǌa kinematiqkogtalasa iznosi

c =32

B

BsCc

√hId (3.16)

odnosnoc =

32

B

Bsv (3.17)

gde je v sredǌa brzina toka.Sa druge strane, ako se pretpostavi da je Maningov koeficijent

konstantan (xto je u ve�ini sluqajeva logiqnija pretpostavka),dobi�e se da je brzina prostiraǌa talasa u xirokom pravougaonomkanalu jednaka

c = 1.67v

Kao xto je poznato, koeficijent tangencijalnog napona, a i Xezi-jev koeficijent, koji je u direktnoj vezi sa ǌim, nisu konstantnipri promeni dubine kod otvorenih tokova, ni kada je obloga hra-pava. Zato se inaqe i uvodi Maningov koeficijent hrapavosti, n,prema ovoj relaciji Cc = 1

nR1/6).Za logaritamski zakon raspodele brzina i hrapav zid koristi

se izraz za Cτ (Abbott, Basco, 1989)(2

Cτ

)1/2

= 6 + 2.5 lnR

k(3.18)

gde je k apsolutna hrapavost obloge.Preko izraza c = 1

B

(dQdh

)x=const

dolazi se relativno jednostavnodo slede�eg izraza

c = βv (3.19)

gde je

β = 1 +m

2

(1 + 5

(Cτ

2

)1/2)

(3.20)

46

Slika 3.4: Odre�ivaǌe koeficijenta m u izrazu za brzinu pro-stiraǌa kinematiqkog talasa

m =A

R

dR

dA=

d(lnR)d(lnA)

(3.21)

Za pravilne oblike kanala i za√

2/Cτ ≈ 15 dobijaju se slede�evrednosti:

1. pravougaoni kanal

m = 1 c = 1.67 v

2. paraboliqni kanal

m =23

c = 1.44 v

3. trougaoni kanal

m =12

c = 1.33 v

Za proizvoǉni oblik kanala mo�e se koristiti dijagram (slika3.4) i izraz (3.21).

3.3.1 Analitiqko rexeǌe

U jednaqini (3.14) x i t su nezavisne promenǉive. Ako se pakpretpostavi da je c = dx/dt, dobija se

∂h

∂t+

∂h

∂x

dx

dt= 0 ⇒ Dh

Dt= 0 (3.22)

xto znaqi da du� linija, c = dx/dt, koje se zovu karakteristike,nema promene dubine. Analitiqko rexeǌe jednaqine (3.22) glasi

h(x, t + ∆t) = h(x− c ∆t, t) (3.23)

47

Slika 3.5: Prostiraǌe kinematiqkog talasa u ravni (x, t)

Slika 3.6: Deformacija kinematiqkog talasa

Zbog jednoznaqne veze dubine i proticaja, isto va�i i za proticaje

Q(x, t + ∆t) = Q(x− c ∆t, t) (3.24)

Brzina prostiraǌa kinematiqkog talasa nije konstantna, pabez obzira xto nema promene dubine dolazi do deformacije talasa(slike 3.5 i 3.6)

Kod poplavnih talasa u prirodi, u kanalizacionim sistemima,kao i svuda gde je dominantno treǌe, odgovara matematiqki modelkinematiqkog talasa. Ukoliko su dominantni inercijalni qlanovii sila pritiska, treba koristiti slo�eniji model, recimo, modeldinamiqkog talasa.

Brzine prostiraǌa kinematiqkog talasa razlikuju se od brz-ina prostiraǌa poreme�aja dobijenih u Poglavǉu 1 (v±

√gh). Za

xiroki pravougaoni kanal brzina kinematiqkog talasa je ve�a odbrzine dinamiqkog talasa ako je Fr > 4 (Henderson, 1966). Za maǌe

48

vrednosti Frudovog broja postoji prethodnica kinematiqkom ta-lasu u vidu dinamiqkog talasa koji se brzo gasi izuzev ako se neradi o oxtrom pove�aǌu nivoa. Za ve�e vrednosti Frudovog brojadolazi do formiraǌa talasa sa strmim qelom. Interesantno jeda se isto dexava i sa talasima u kanalima drugaqijeg popreqnogpreseka.

Osnovni nedostatak matematiqkog modela kinematiqkog talasaje nedostatak difuzije, odnosno, ubla�eǌa talasa, koje je uoqǉivou prirodi. Rexeǌe, koje se nalazi izme�u kinematiqkog i di-namiqkog talasa, je tzv. matematiqki model difuzionog talasa,gde se dinamiqka jednaqina koristi u slede�em obliku

∂h

∂x− Id +

12g

CτQ2

A2R= 0 (3.25)

Me�utim, postoji jox jedan naqin da se dobiju prihvatǉivirezultati. Numeriqki model kinematiqkog talasa, koji predstavǉapribli�no rexeǌe matematiqkog modela, ima numeriqku difuziju,koja, ako se kontrolixe, daje ubla�eǌe talasa blisko onom kojese javǉa u prirodi. Na taj naqin, zbog svog pribli�nog rexeǌa(posebno metoda Kan�-Maskingam, koja �e biti objaxǌena u nas-tavku), kinematiqki model ima i daǉe veliku ulogu u simulacijineustaǉenog teqeǌa u otvorenim tokovima.

3.3.2 Numeriqki model kinematiqkog talasa

U ravni (x, t), u okolini taqke (k, n), qiji polo�aj je definisanx = k∆x, t = n∆t, parcijalni izvodi aproksimiraju se konaqnimrazlikama

∂h

∂t

∣∣∣∣nk≈

hn+1k − hn

k

∆t(3.26)

∂h

∂x

∣∣∣∣nk≈

hnk − hn

k−1

∆x(3.27)

Postoji formalno taqnija aproksimacija izvoda po x, tzv. cen-tralnom razlikom,

∂h

∂x|nk ≈

hnk+1 − hn

k−1

2∆x(3.28)

ali se ona ne mo�e koristiti jer daje bezuslovno nestabilan nu-meriqkim model. Numeriqki model se dobija zamenom ovih aproksi-

49

Slika 3.7: Karakteristike za stabilno i nestabilno rexeǌe mod-ela kinematiqkog talasa

macija u osnovnu jednaqinu (3.14)

hn+1k − hn

k

∆t+ c

hnk − hn

k−1

∆x= 0 (3.29)

odnosno,

hn+1k = hn

k −c∆t

∆x

(hn

k − hnk−1

)(3.30)

hn+1k = (1− Cr)hn

k + Crhnk−1 (3.31)

gde je Cr = c∆t∆x , Kurantov (Courant) broj. Ovo je eksplicitna xema,

koja se ponekad obele�ava kao FTBS (Forward in Time, Backward inSpace), razlika unapred po vremenu, razlika unazad po prostoru).

Stabilnost. Postoji detaǉna analiza stabilnosti xeme (recimo,fon Nojmanova), ali i in�eǌerska, koja �e se ovde prikazati.

Na slici (3.7. a) prikazane su karakteristike koje prolaze kroztaqke (k − 1, n) i (k, n) za sluqaj kada je ∆x

∆t ≥ c. Tako�e, naznaqenaje i karakteristika kojom se dolazi do analitiqkog rexeǌa

hn+1k = hn

A (3.32)

gde se vrednost hnA dobija linearnom interpolacijom preko izraza

(3.31)Sluqaj kada je ∆x

∆t ≤ c, prikazan na slici (3.7. b), oqiglednone vaǉa jer se od numeriqkog modela tra�i vrednost van inter-vala u kojem se radi interpolacija. Kao posledica toga dolazido nekontrolisanog meǌaǌa vrednosti dubine, xto je poznato kao

50

nestabilnost. Nestabilnost je naqin na koji brojevi kazuju da jenexto kontradiktorno u numeriqkom modelu (Abbott, Basco, 1989).

Uslov stabilnosti je, dakle,

c∆t

∆x≤ 1 (3.33)

Ovo je tzv. CFL (Courant-Fridrisch-Lewy) uslov stabilnosti (Rycht-myer, Morton, 1967) za eksplicitne metode. Mo�e se tako�e re�i ito da vremenski korak kod proraquna ne mo�e biti du�i od vre-menskog priraxtaja karakteristike. To je vreme koje je potrebnoda informacija doputuje do susedne taqke na narednom vremenskomnivou. Zbog smera putovaǌa informacije i odgovaraju�e aproksi-macije konvektivnog qlana ova xema se zove upwind ili, upstreamili pigpen.

Veoma lako se pokazuje da je numeriqki model koji se zasniva naaproksimaciji izvoda po prostoru razlikom unapred, dakle down-stream shema, bezuslovno nestabilan.

Za aproksimaciju centralnim razlikama, koja je, formalno,drugog reda taqnosti, fon Nojmanovom analizom stabilnosti mo�ese pokazati da je bezuslovno nestabilna.

Pretpostavimo da imamo poqetni uslov

h(x, 0) = h0 cos(mx) + H

odnosno, ako se zna da je reiθ = r(cos θ + i sin θ),

h(x, 0) = h0 eimx + H

U taqkama numeriqke mre�e imamo

hk = h0eikξ

gde je ξ = m∆x = 2π∆x/L, a L, talasna du�ina.Zamenom ovih vrednosti u jednaqini numeriqkog modela, dobija se

hk = h0eikξ − 1

2c∆t

∆x

(h0e

i(k+1)ξ − h0ei(k−1)ξ

)hk = h0e

ikξ

[1− 1

2Cr

(eiξ − e−iξ

)]Mo�e se iskoristiti poznata relacija 1

2 (eiξ − e−iξ) = i sin ξ, da bi se nakraju dobilo

hk = h0eikξ(1− Cri sin ξ)

51

Izrazρ = 1− Cri sin ξ

predstavǉa faktor uve�aǌa kojim se mno�i vrednost na prethodnom ko-raku. Amplituda se mno�i sa |ρ|. Mo�e se videti da je za bilo koje Cr iξ, |ρ| je ve�e od 1, odakle sledi da je ova numeriqka xema neupotrebǉiva.

Taqnost. Iz jednaqine (3.31) jasno je da se za Cr = 1 dobija taqnorexeǌe (matematiqkog modela).

hn+1k = hn

k−1 (3.34)

Sa druge strane, naprimer, za Cr = 0.5, dobija se

hn+1k =

hnk−1 + hn

k

2(3.35)

pa, ma koliko nagla, promena dubine na granici biva brzo pri-guxena. Pored priguxeǌa (smaǌeǌa amplitude talasa), dolazi ido xireǌa (disperzije) talasa, xto je zajedno numeriqka difuzija.

Ako se napravi modifikovana jednaqina numeriqkog modela (vidiUvod kǌige Iveti�, 1996)

∂h

∂t+ c

∂h

∂x= α

′ ∂2h

∂x2(3.36)

primeti�e se da postoji jedan qlan koji ne postoji u polaznoj jed-naqini matematiqkog modela. Qlan na desnoj strani jednaqineodgovoran je za raspliǌavaǌe pribli�nog rexeǌa. On je posle-dica aproksimacije izvoda konaqnim razlikama, a α

′se zove koefi-

cijent numeriqke difuzije. Mo�e se pokazati da va�i jednakost

α′=

12c∆x(1− Cr) ,

odnosno, da za Cr = 1 nema numeriqke difuzije jer izraz (3.31)daje taqno rexeǌe.

Kod kinematiqkog talasa nije samo izbor vremenskog korakauzrok nestabilnosti. Na slici (3.8) prikazan je sluqaj kada ne-linearnost (brzina prostiraǌa talasa nije konstantna) dovodi donestabilnosti. Zbog deformacije talasa usled br�eg putovaǌaǌegovog vrha (taqka B), dolazi se do oblasti gde fiziqki postojitrostruko rexeǌe.

52

Slika 3.8: Uticaj nelinearnosti na pojavu neodre�enosti rexeǌa

Slika 3.9: Oscilacije zbog vixeznaqnosti rexeǌa

53

Numeriqki model ne mo�e da da vixestruko rexeǌe pa �e sepojaviti oscilacije kada je mala numeriqka difuzija (puna lin-ija na slici 3.9) ili znaqajno ubla�eno rexeǌe kada je velikanumeriqka difuzija (isprekidana linija na slici 3.9).

Jedan od naqina da se do�e do prihvatǉivog numeriqkog modelasa centralnom razlikom za izvod po x je da se po�e od opxtegizraza

hn+1k − 1

2α(hnk+1 + hn

k−1)− (1− α)hnk

∆t+ c

hnk+1 − hn

k−1

2∆x= 0 (3.37)

sa parametrom α qijom promenom utiqemo na taqnost i stabilnostnumeriqkog modela.

Fon Nojmanova analiza daje da je faktor pove�aǌa jednak

ρ = 1− α + α cos ξ − Cr sin ξ (3.38)

gde je ξ = 2π∆x/L, a L talasna du�ina promene dubine. ξ sekre�e u granicama [0, π], xto odgovara ekstremnim vrednostima ∆x,min∆x = 0 i max ∆x = L/2.

Uslov stabilnosti je

|ρ| ≤ 1 za sve vrednosti ξ (3.39)

odnosno,|ρ| = (1 + α(cos ξ − 1))2 + C2

r sin2 ξ ≤ 1 (3.40)

1 + 2α(cos ξ − 1) + α2(cos ξ − 1)2 + C2r (1− cos2 ξ) ≤ 1 (3.41)

Ako prethodni izraz podelimo sa

(cos ξ − 1) ≤ 0 (3.42)

dobija se2α + α2(cos ξ − 1)− C2

r (1 + cos ξ) ≥ 0 (3.43)

Ovo je linearna funkcija cos ξ pa ako je nejednakost zadovoǉena zadve ekstremne vrednosti ±1, va�i i za one izme�u

cos ξ = 1 → 2α− 2C2r ≥ 0 → C2

r ≤ α (3.44)

cos ξ = −1 → 2α− 2α2 ≥ 0 → 0 ≤ α ≤ 1 (3.45)

xto zajedno daje opxti uslov stabilnosti

C2r ≤ α ≤ 1 (3.46)

54

Ako je α = 1 radi se o Laksovoj xemi

hn+1k − 1

2(hnk+1 + hn

k−1)∆t

+ chn

k+1 − hnk−1

2∆x= 0 (3.47)

Kada je α = Cr radi se standardnoj FTBS (upstream) shemi(3.31), za koju je pokazano da je uslovno stabilna. U ovim raz-matraǌima pretpostavǉeno je da je brzina prostiraǌa talasa po-zitivna. Osnovna karakteristika ove xeme aproksimacija konvek-tivnog qlana razlikom unazad u odnosu na smer prostiraǌa ta-lasa, ne u odnosu na koordinatni sistem. Kurant-Fridrih-Levijev(CFL) uslov stabilnosti mo�e se napisati kao

|c|∆t

∆x≤ 1 (3.48)

3.4 Maskingam-Kan� metoda

Zbog CFL ograniqeǌa vremenskog koraka proraquna qovek lakoposegne za implicitnim metodama, koje zahtevaju vixe matematiqkihoperacija po koraku, ali su zato obiqno bezuslovno stabilne. Ovosvojstvo bezuslovne stabilnosti ne mo�e se previxe koristitizbog taqnosti.

Jedna od najpoznatijih takvih metoda je tzv. Maskingam (Musk-ingum) metoda. Radi se o ”hidroloxkoj” metodi koja je prvi putprimeǌena pedesetih godina na slivu reke Maskingam u dr�aviOhajo, u Severnoj Americi, a za koju se ispostavilo da se zasnivana fiziqkim zakonima odr�aǌa (Cunge, 1969), pa se metoda zoveMaskingam-Kan�.

Slika 3.10: Maskingam-Kan� metoda

Zapremina vode na deonici toka izme�u preseka (k) i (k + 1)(slika 3.10) je linearna kombinacija proticaja na granicama de-

55

onice (u originalnoj metodi govori se o tome da je to nekakvakombinacija prizmatiqne i klinaste zapremine)

V = KQk+1 + K X (Qk −Qk+1). (3.49)

K i X su empirijski parametri do kojih se dolazi kalibracijomkoriste�i izmerene ulazne i izlazne hidrograme. Parametar Xse bira tako da zavisnost izme�u V i [Qk+1 + X (Qk − Qk+1)] budejednoznaqna, a nagib te linije je K. X se nalazi u granicama od0.0 (za proraqun transformacije talasa u akumulaciji) do 0.5, dokse za prirodne vodotoke, najqex�e uzima vrednost 0.3.

Promena zapremine vode na posmatranoj deonici iznosi

Vn+1 − Vn = ∆V (3.50)

gde su zapremine vode u pojedinim trenucima jednake

Vn = KQnk+1 + K X (Qn

k −Qnk+1)

Vn+1 = KQn+1k+1 + K X (Qn+1

k −Qn+1k+1)

Promena zapremine (3.50) izjednaquje se sa razlikom ulaza iizlaza

Vn+1 − Vn =12(Qn

k + Qn+1k )− 1

2(Qn

k+1 + Qn+1k+1) (3.51)

Sre�ivaǌem izraza (3.51) dolazi se do jednaqine

Qn+1k+1 = C1Q

nk + C2Q

n+1k + C3Q

nk+1 (3.52)

Koeficijenti se raqunaju na slede�i naqin

C1 =∆tK + 2X

∆tK + 2(1−X)

C2 =∆tK − 2X

∆tK + 2(1−X)

C3 =2(1−X)− ∆t

K∆tK + 2(1−X)

(3.53)

Do sliqnog izraza doxao je Kan� (Cunge) polaze�i od mate-matiqkog modela kinematiqkog talasa (Cunge, 1969). Uz pretpostavku,Q|x=x0 = Q(h), i koriste�i zamenu

∂A

∂t=(

dA

dQ

)x0

∂Q

∂t(3.54)

preko jednaqine kontinuiteta

∂A

∂t+

∂Q

∂x= 0 (3.55)

56

dolazi se do jednaqine

∂Q

∂t+(

dQ

dA

)x=x0

∂Q

∂x= 0 (3.56)

Analogno prethodno napisanom, brzina prostiraǌa talasa je jed-naka

c =dQ

dA(3.57)

Brzina prostiraǌa talasa zavisi od proticaja pa je jednaqina ne-linearna. Kao xto je pokazano, nema promene dubine i proticajadu� jedne karakteristike, ali dolazi do deformacije oblika ta-lasa.

Mo�e se pretpostaviti da je brzina prostiraǌa talasa kon-stantna i tada je jednaqina linearna (Cunge, 1969). Tada se birareprezentativna brzina prostiraǌa talasa (kod simulacije neusta-ǉenog teqeǌa u kru�nim kanalizacionim cevima uzima se kao repre-zentativna brzina ona koja odgovara polovini ispuǌenosti cevi),a analitiqko rexeǌe je jednostavna translacija talasa (Ponce &Yevdjevich, 1989).

Izvodi u jednaqini (3.56) aproksimiraju se na slede�i naqin(slika 3.12)

∂Q

∂t≈

θ(Qn+1k −Qn

k) + (1− θ)(Qn+1k+1 −Qn

k+1)∆t

(3.58)

∂Q

∂x≈

Ψ(Qn+1k+1 −Qn+1

k ) + (1−Ψ)(Qnk+1 −Qn

k)∆x

(3.59)

Te�inski koeficijent Ψ je fiksiran i jednak 1/2, dok se θ kre�eu granicama 0 ≤ θ ≤ 1/2.

Vrednost proticaja u taqki (k + 1, n + 1) mo�e se prikazati naisti naqin kao u jednaqini (3.52).

Kan� je pokazao da se, K i X, parametri definisani u origi-nalnoj metodi Maskingam, mogu i sraqunati

K =∆x

cX =

12

(1− Q

BIdc∆x

)(3.60)

i da K predstavǉa vreme za koje talas pre�e deonicu ∆x. Koefi-cijenti u jednaqini (3.52) mogu se izraziti i na slede�i naqin

C1 =1 + Cr −D

1 + Cr + DC2 =

−1 + Cr + D

1 + Cr + DC3 =

1− Cr + D

1 + Cr + D(3.61)

57

gde je Cr Kurantov broj, a D = QBIdc∆x .

Numeriqki model (3.52) mo�e da da ubla�eǌe talasa zato xtoon, ustvari, boǉe aproksimira (drugi red taqnosti) ovu jednaqinu

∂Q

∂t+ c

∂Q

∂x−D′∂

2Q

∂x2= 0 (3.62)

nego jednaqinu matematiqkog modela kinematiqkog talasa. D′, para-metar koji ima ulogu koeficijenta difuzije, jednak je

D′ =[(

θ − 12

)+ Cr

(12−Ψ

)]c∆x (3.63)

Kao xto je ve� reqeno, uzima se da je Ψ = 12 , a mo�e se pokazati da

je metoda nestabilna za

θ >12

(3.64)

Ubla�eǌe talasa je nula za θ = 0.5, a najve�e za θ = 0. Uslov danumeriqko priguxeǌe odgovara fiziqkom glasi

θ = X =12

(1− Q

BIdc∆x

).

Da bi jednaqina (3.52) imala smisla, koeficijenti C1, C2 iC3, moraju da budu pozitivni (Miller, Cunge, 1975). Oblast pri-hvatǉivih vrednosti za koeficijente prikazana je na dijagramu(slika 3.11). Na slici (3.12) prikazano je gde se aproksimiraju

Slika 3.11: Dijagram prihvatǉivih vrednosti za koeficijente uMaskingam-Kan� metodi

izvodi u jednaqinama (3.58) i (3.59).

58

Slika 3.12: Aproksimacija izvoda u Maskingam Cunge metodi

Ako rezultati ne odgovaraju onome xto bismo oqekivali jediniparametar koji se mo�e meǌati je X, odnosno, θ.

Daǉe, iako se jednoznaqnost veze proticaja i dubina podrazumevasamim matematiqkim modelom kinematiqkog talasa, nivoe ne bitrebalo tra�iti na osnovu Xezijeve jednaqine nego iz jednaqinekontinuiteta.

∂h

∂t= − 1

B

∂Q

∂x(3.65)

Za Ψ = 12

1B

∂Q

∂x≈ 1

2B∆x

(Qn+1

k+1 −Qn+1k + Qn

k+1 −Qnk

)(3.66)

hn+1k+1/2 ≈ hn

k+1/2 +∂h

∂t∆t ≈ hn

k+1/2−Qn+1

k+1 −Qn+1k + Qn

k+1 −Qnk

2B∆x∆t (3.67)

U dinamiqkoj jednaqini su zanemarena tri qlana

1g

∂v

∂t

v

g

∂v

∂x

∂h

∂x

pa je neophodno proveriti da li je to bilo i opravdano, odnosno,da li je svaki od qlanova znaqajno maǌi od Id. Tako, na primer,ako se dobiju rezultati simulacije, kao na slici (3.13), gde suprikazani hidrogrami u presecima A i B, koji se nalaze na med-jusobnom rastojaǌu od ∆x = xB − xA, mo�e se proceniti veliqinapojedinih zanemarenih qlanova:

1g

∂v

∂t≈ VA − VB

gK(� Id)

59

Slika 3.13: Procena veliqine zanemarenih qlanova

v

g

∂v

∂x=

∂

∂x

(v2

2g

)≈ V 2

A − V 2B

2g∆x(� Id)

∂h

∂x≈ hA − hB

∆x(� Id)

Matematiqkim modelom kinematiqkog talasa ne uzima se u obziruticaj uspora. Poqetni uslov je poznat proticaj u svakom raqun-skom preseku. Graniqni uslov se zadaje samo na uzvodnoj strani,qime se definixe smer proraquna, od uzvodnog preseka ka nizvod-nom. Formulacija metode je implicitna, ali se ne zahteva is-tovremeno rexavaǌe svih jednaqina.

3.5 Difuziona jednaqina kao model neustaǉenogteqeǌa u otvorenim tokovima

Kod kinematiqkog talasa i metode Maskingam-Kan� ne uzima se uobzir uspor (qlan ∂h/∂x je zanemaren), nego se koristi relacijakoja va�i samo za jednoliko teqeǌe. Ovo je vrlo gruba pret-postavka, ali zbog numeriqke difuzije mogu se dobiti realistiqnirezultati. Na istom principu zasnivaju se jox neke hidroloxkemetode, kao xto je metoda Kaliǌin-Miǉukova itd. Zajedniqkinedostatak im je da se ne mo�e uzeti u obzir nizvodni graniqniuslov.

Ukoliko se, pak, u dinamiqku jednaqinu ukǉuqi samo qlan ∂h/∂xdobija se matematiqki model koji uzima u obzir i nizvodni graniqniuslov a sama jednaqina pored konvekcije ima i qlan odgovoran za

60

difuziju. Polazi se od dinamiqke jednaqine u slede�em obliku(1

gA

∂Q

∂t+)

∂h

∂x− Id −

Cτ

2g

Q2

A2R= 0 (3.68)

U zagradi je dat qlan koji treba uzeti ako se �eli modeliratii povratno teqeǌe. Bez tog qlana praktiqno je neizvodǉivo imodeliraǌe teqeǌa u pozitivnom smeru pod jaqim usporom. Izjednaqine (3.68) proticaj se mo�e izraziti eksplicitno

Q =

√2g

CτA

√R

(Id −

∂h

∂x

)(3.69)

odakle se mo�e dobiti ∂Q/∂x i zameniti u jednaqinu kontinuiteta.Posle sre�ivaǌa dobija se jednaqina u slede�em obliku

∂h

∂t+ c

∂h

∂x−D

∂2h

∂x2= 0 (3.70)

gde je c brzina prostiraǌa talasa

c =Q

B

(1Cc

dCc

dh+

1A

dA

dh+

12R

dR

dh

)(3.71)

a D koeficijent ”difuzije”

D =Q

2B(Id − ∂h

∂x

) (3.72)

Jednaqina (3.70) liqi na jednaqinu linijskog transporta, koja sejox zove i linijska difuzija, pa se matematiqki model (3.70) zovejox i model difuzionog talasa ili difuziona analogija.

3.5.1 Numeriqki model

Jednaqine (3.9) i (3.68) mogu se diskretizovati na smaknutoj mre�i(slika 3.14).

hn+1k − hn

k

∆t+

1B

Qnk+1 −Qn

k−1

2∆x= 0 (3.73)

Qn+1k+1 =

√√√√K̄2

(Id −

hn+1k+2 − hn+1

k

∆x

)(3.74)

61

Slika 3.14: Numeriqki model difuzionog talasa

gde je

K̄2 = C2c

(An+1

k+2 + An+1k

2

)2Rn+1

k+2 + Rn+1k

2(3.75)

Zahteva se da veliqina pod korenom bude uvek pozitivna xto ogra-niqava primenu ovog jednostavnog modela na sluqajeve relativnomalih uspora (linije depresije se rade bez takvih ograniqeǌa) ivrlo sporih promena na nizvodnoj granici.

Objaxǌena metoda je eksplicitna i samim tim je uslovno sta-bilna. Vremenski korak treba da zadovoǉi CFL uslov

∆t ≤ ∆x

c(3.76)

Graniqni uslovi se relativno lako ukǉuquju u model. Za pro-raqun neustaǉenog mirnog teqeǌa, na xta je ograniqena primenaovog modela, pogodno je odrediti kao uzvodni graniqni uslov taqkuu kojoj se raquna proticaj Q, i tada zadati hidrogram u toj taqki,a kao nizvodni graniqni uslov presek u kome se raquna dubina.Dubina se mo�e direktno zadati, kao poznata dubina u nizvod-nom jezeru, ili, kao funkcionalna zavisnost dubine i proticaja(kriva proticaja preko preliva, isticaǌe ispod ustave, ili nekazavisnost odre�ena mereǌima u hidrometrijskom profilu).

Varijanta modela u kom se uzima i izvod po vremenu ne objax-ǌava se posebno (jednaqina 3.68, qlan u zagradi), jer je to samojedan korak ka modelu dinamiqkog talasa (kompletne jednaqine),a za to postoji mnogo boǉa metoda, metoda razdvajaǌa operatora,koja je, zajedno sa odgovaraju�im graniqnim uslovima, objaxǌenau Poglavǉu o dinamiqkom talasu.

62

Literatura


[2] Cunge, J.A., 1969, On the Subject of a Flood Propagation ComputationMethod (Muskingum Method), Journal of Hydraulic Research, Vol. 7,No 2, IAHR

[3] Henderson, F.M., 1966, Open Channel Flow, Macmilllan Series in CivilEngineering

[4] Iveti�, M. 1996, Raqunska hidraulika – Teqeǌe u cevima,Gra�evinski fakultet Beograd.

[5] Miller, W.A., & Cunge, J.A., 1975, Simplified Equations of UnsteadyFlow, Poglavǉe u Unsteady Flow in Open Channels, K. Mahmoodand V. Yevdjevich, eds., Water Resources Publicatios, Fort Collins.

[6] Ponce, V.M. & Yevdjevich, V., 1978, Muskingum-Cunge Method withVariable Parameters, Journal of Hydraulics Division, HY12, ASCE.

[7] Richtmyer R.D., Morton K.W., 1967, Difference methods for initial-value problems, 3nd ed., Wiley, N.Y.

63

64

4

Metoda karakteristika

U Poglavǉu 1 date su osnove metode karakteristika izvo�eǌem Ri-manovih invarijanti i definisaǌem linija du� kojih se u ravni(x, t) prostiru poreme�aji. U ovom poglavǉu ta osobina jednaqinaneustaǉenog teqeǌa u otvorenim tokovima iskoristi�e se za for-mulisaǌe opxteg postupka za proraqun neustaǉenog teqeǌa. Metodakarakteristika je posebno va�na za definisaǌe graniqnih uslova.Mnoge metode, koje su po odre�enim osobinama boǉe od metodekarakteristika, koriste metodu karakteristika za definisaǌe gra-niqnih uslova.

Polazi se od kompletnih jednaqina za prizmatiqne kanale (2.39)i (2.40)

∂h

∂t+

A

B

∂v

∂x+ v

∂h

∂x= 0 , (4.1)

∂v

∂t+ v

∂v

∂x+ g

∂h

∂x− gId +

12Cτ

v2

R= 0 . (4.2)

Umesto dubine h uvodi se nova promenǉiva c koja je jednaka

c =

√gA

Bc2 = g

A

B(4.3)

A = A(h)∂A

∂h= B(ne zavisi od x) (4.4)

Tra�i se izvod (c2)

2c∂c

∂x= g

∂h

∂x(4.5)

Posle zamene u polaznim jednaqinama dobija se

2∂c

∂t+ 2v

∂c

∂x+ c

∂v

∂x= 0 , (4.6)

∂v

∂t+ 2c

∂c

∂x+ v

∂v

∂x+ M = 0 , (4.7)

65

Slika 4.1: Karakteristike

gde je

M =12Cτ

v2

R− Idg . (4.8)

Jednaqine (4.6) i (4.7) se mogu sabrati i oduzeti jedna od druge.Kao rezulatat dobijaju se ekvivalentne jednaqine{

∂

∂t+ (v + c)

∂

∂x

}(v + 2c) + M = 0 , (4.9){

∂

∂t+ (v − c)

∂

∂x

}(v − 2c) + M = 0 . (4.10)

Ako se pretpostavi da je x zavisno promenǉiva veliqina i dase meǌa po zakonu

dx

dt= v ± c , (4.11)

onda se jednaqine (4.9) i (4.10) mogu napisati kao obiqne difer-encijalne jednaqine

d(v ± 2c)dt

+ M = 0 , (4.12)

koje va�e du� linija (4.11) u ravni (x, t), koje se zovu karakter-istike, pozitivna i negativna, u zavisnosti od znaka (slika 4.1).Staǌe u taqki (P ) odre�uju dve karakteristike, pozitivna kojaprolazi kroz taqku (L) i negativna, koja prolazi kroz taqku (D).

Kada je kanal horizontalan i kada se zanemari treǌe dolazi sedo ve� poznatih Rimanovih invarijanti

v + 2c = const = I+ du� pozitivne karakteristike , (4.13)

v − 2c = const = I− du� negativne karakteristike . (4.14)

66

Za prizmatiqne kanale sa nagnutim dnom i treǌem jednaqine(4.12) mogu se integrisati du� pozitivne i negativne karakteris-tike, u intervalima [tL, tP ], odnosno, [tD, tP ].

[v + 2c]PL =∫ tP

tL

(gId −

12Cτ

v2

R

)dt , (4.15)

[v − 2c]PD =∫ tP

tD

(gId −

12Cτ

v2

R

)dt , (4.16)

gde ugaone zagrade oznaqavaju razliku veliqina u dvema taqkamana karakteristici. Veliqine u zagradama se zovu Rimanove kvazi-invarijante, pod uslovom da je desna strana jednaqina mala. Tose mo�e lako posti�i biraǌem proizvoǉno malog intervala inte-gracije [tL, tP ].

4.1 Numeriqki model

Iz jednaqina (4.15) i (4.16) lako se dolazi do oblika koji �eposlu�iti kao osnova za formiraǌe numeriqkog modela.

vP + 2cP = vL + 2cL +∫ tP

tL

(−M)dt (4.17)

xP = xL +∫ tP

tL

(v + c)dt (4.18)

vP − 2cP = vD − 2cD +∫ tP

tD

(−M)dt (4.19)

xP = xD +∫ tP

tD

(v − c)dt (4.20)

Mogu se identifikovati 4 nepoznate veliqine, xP , tP , vP i cP , ikonstatovati da postoji dovoǉan broj jednaqina za ǌihovo odre-�ivaǌe. Va�no je napomenuti da do sada nema nikakvih aproksi-macija u odnosu na polazne jednaqine u diferencijalnom obliku.Aproksimacije su neophodne kod pribli�nog rexavaǌa integralau jednaqinama. Ako se integrali rexavaju trapeznim pravilomdobija se

vP + 2cP = vL + 2cL + (tP − tL)−MP −ML

2(4.21)

xP − xL = (tP − tL)(

vP + cP

2+

vL + cL

2

)(4.22)

67

Slika 4.2: Mre�a karakteristika

vP − 2cP = vD − 2cD + (tP − tD)−MP −MD

2(4.23)

xP − xD = (tP − tD)(

vP − cP

2+

vD − cD

2

)(4.24)

Jednaqine su nelinearne i moraju se rexavati iterativno.Jednaqine u ovom obliku osnova su za numeriqki model mre�e

karakteristika (slika 4.2). I pored visoke taqnosti i jasnefiziqke osnove ovaj model se ne koristi mnogo. Problem pred-stavǉaju diskontinuiteti u toku, kao i nagomilavaǌe karakteris-tika za malo ve�e brzine. Interpolacije su potrebne kod prikazarezultata, jer se oni prikazuju ili kao promene u jednom presekukroz vreme (hidrogram ili nivogram), ili kao staǌe du� toka ujednom vremenskom trenutku.

4.2 Metoda karakteristika tri taqke

Ovo je najjednostavnija varijanta metode karakteristika (slika4.3). Postoje dve varijante, interpolacija po prostoru, kada sekoriste taqke B i C, i interpolacija po vremenu, kada se ko-riste taqke B

′i C

′. Varijanta sa interpolacijama po vremenu

ima znaqajnih prednosti u odnosu na interpolaciju po prostoru(Iveti�, 1996). Raqunska mre�a je definisana izborom intervala

68

Slika 4.3: Metoda karakteristika tri taqke

∆x i vremenskog koraka ∆t. Staǌe u taqki (A) odre�eno je karak-teristikama koje prolaze kroz taqke (B) i (A), odnosno, (C) i (A).Ako se zanemare gubici energije i nagib dna, mo�e se napisati

vA + 2cA = vB + 2cB (4.25)

vA − 2cA = vC − 2cC (4.26)

odnosno,

vA =vB + vC

2+ (cB − cC) (4.27)

cA =vB − vC

4+

cB + cC

2(4.28)

Preostaje da se odrede polo�aji taqaka (B) i (C), kao i vrednostiv i c u tim taqkama.

Pravci karakteristika aproksimiraju se na osnovu vrednostiizvoda u taqki (k, j).

xB = xA −(

dx

dt

)+

(tn+1 − tn) ≈ xk − (vnk + cn

k)(tn+1 − tn) (4.29)

xC = xA −(

dx

dt

)−

(tn+1 − tn) ≈ xk − (vnk − cn

k)(tn+1 − tn) (4.30)

Linearnom interpolacijom dobijaju se vrednosti u taqkama (B) i(C).

vB ≈xB − xk−1

xk − xk−1vnk +

xk − xB

xk − xk−1vnk−1 (4.31)

69

Slika 4.4: Implicitna varijanta metode karakteristika tritaqke

cB ≈xB − xk−1

xk − xk−1cnk +

xk − xB

xk − xk−1cnk−1 (4.32)

vC ≈xC − xk

xk+1 − xkvnk+1 +

xk+1 − xC

xk+1 − xkvnk (4.33)

cC ≈xC − xk

xk+1 − xkcnk+1 +

xk+1 − xC

xk+1 − xkcnk (4.34)

Taqnost ove metode nije velika zato xto se koriste interpolacijelinearnim algebarskim jednaqinama prvog reda taqnosti. Taqnostse mo�e poboǉxati simultanim poboǉxaǌem aproksimacije izvodai interpolacije.

Postoji i implicitna varijanta ove metode (slika 4.4).

4.3 Poqetni i graniqni uslovi

Na poqetku proraquna neustaǉenog teqeǌa zahteva se poznavaǌepoqetnog staǌa (obiqno je to ustaǉeno teqeǌe). Neustaǉeno teqeǌenastaje poreme�ajem na granici (uzvodnoj ili nizvodnoj), koji seprostire kroz oblast strujaǌa (posmatrana deonica kanala) du�”dinamiqkih karakteristika”. Ako nema poreme�aja nema ni neusta-ǉenog teqeǌa.

Kod kinematiqkog talasa samo uzvodni graniqni uslov je uzetu obzir. Zbog dominantnog uticaja treǌa na zavisnost brzinei dubine, postoji samo jedna (kinematiqka) karakteristika (Ab-bott, 1979). Kod difuzione analogije mo�e se ukǉuqiti i nizvodni

70

Slika 4.5: Zona uticaja poreme�aja iz taqke A

Slika 4.6: Zona zavisnosti taqke P

graniqni uslov, jer se uzima u obzir i nagib linije slobodne povr-xine. Koliko je graniqnih uslova potrebno u opxtem sluqaju za proraqunneustaǉenog teqeǌa u otvorenim tokovima?

Za dobijaǌe odgovora iskoristi�e se metoda karakteristika zaneustaǉeno teqeǌe u prizmatiqnim kanalima. Bilo koji poreme�aju poqetnom trenutku, t = 0, prostire se du� kanala u dva smera:uzvodno i nizvodno (slika 4.5). Ili, posmatrano na drugi naqin,staǌe u taqki (P ) odre�eno je onim xto se zbiva unutar oblastiograniqene pozitivnom i negativnom karakteristikom, kojima sustigli poreme�aji u taqku (P ).

Formalno, matematiqki, poreme�ajima se smatraju diskontinu-iteti u prvim i vixim izvodima zavisno promenǉivih. Prelaskomsa konaqnog na beskonaqno mali pokretni hidrauliqki skok po-drazumeva se kontinualnost zavisno promenǉivih veliqina, nivoai brzine, naprimer.

Diskontinuiteti (naprimer, nagib slobodne povrxine, ∂z/∂x,ili izvod brzine, ∂v/∂x) prostiru se du� karakteristika brzinom

71

Slika 4.7: Pravci karakteristika u zavisnosti od re�ima teqeǌa

jednakoj brzini povrxinskih talasa

dx

dt= v ±

√gA

B(4.35)

Zavisno od smera karakteristika, u otvorenim tokovima raz-likuju se tri sluqaja (slika 4.7).

U taqki (P ), koja se nalazi u oblasti strujaǌa, staǌe je odre-�eno presekom dve karakteristike, C+ i C−, koje polaze iz taqaka(A) i (B). Za trenutak zanemarimo qlan M u jednaqini (4.15). Utaqkama (A) i (B) u poqetnom trenutku mora biti poznato, v i h,da bi se mogle odrediti Rimanove invarijante.

U taqki na granici, LG, na slici (4.8) jedna veliqina je neo-dre�ena. Postoji jedan uslov, vezan za invarijantu I−, dok sedrugi mora obezbediti kao graniqni uslov. Sliqno je i za taqku

72

Slika 4.8: Broj graniqnih i poqetnih uslova kod metode karak-teristika

DG na drugoj granici. Pozitivna karakteristika, koja polazi iztaqke (B) predstavǉa jedan uslov, dok drugi treba obezbediti kaograniqni uslov.

Kod burnog teqeǌa, kada je v > 0, obe karakteristike imajupozitivan nagib. Ni jedna ne mo�e do�i do uzvodnog kraja, pa nauzvodnom kraju nedostaju dva uslova. Treba zadati dva graniqnauslova na uzvodnom kraju, dok je na nizvodnom kraju sve odre�eno.

Zakǉuqak o poqetnim i graniqnim uslovima mo�e se generali-zovati na slede�i naqin:

Jedan graniqni uslov mora da bude dat za svaku karak-teristiku koja ulazi u oblast rexeǌa.

Prethodno je prikazano i grafiqki na slici (4.8) gde su karak-teristike koje ulaze u oblast rexeǌa nacrtane isprekidanom li-nijom.

Proraqun ne mo�e da ide unazad kroz vreme (iako to mo�daizgleda mogu�e zbog postojaǌa invarijanti du� karakteristika)zbog postojaǌa treǌa i gubitaka energije, koji te�e da ubla�e sveporeme�aje.

Za rexavaǌe praktiqnih problema qex�e se koriste neke drugemetode, koje �e biti objaxǌene u nastavku. Me�utim, metoda karak-teristika se koristi kao referentna metoda za te druge metodezbog jasne fiziqke osnove i zbog mogu�nosti da se rexeǌe dovede

73

proizvoǉno blisko taqnom rexeǌu. Tako�e, metoda karakteris-tika se koristi za definisaǌe graniqnih uslova kod velikog brojadrugih metoda.

Kao graniqni uslov mo�e se zadati neka od veliqina, dubina(nivo) ili brzina (proticaj), ili kao funkcionalna zavisnost tedve veliqine. Kod prirodnih vodotoka, najqex�e se na uzvodnojstrani zadaje promena proticaja kroz vreme, hidrogram, dok jena nizvodnoj strani poznati nivo ili neka zavisnost proticajai nivoa.

Kod kanala kao graniqni uslovi javǉaju se prelivi, ustave,spojevi, raqvaǌa itd. Funkcionalna zavisnost proticaja i nivoau preseku na kraju posmatrane deonice kanala lako se dobija pri-menom osnovnih principa Hidraulike.

Neodgovaraju�i prikaz graniqnih uslova mo�e da bude uzrokproblema kod proraquna neustaǉenog teqeǌa.

Poseban problem predstavǉaju vextaqki graniqni uslovi, od-nosno kada se granica oblasti razmatraǌa, odnosno, raqunske ob-lasti, nalazi unutar deonice, daleko od fiziqkog graniqnog uslovakoji name�e uslove teqeǌa u kanala. Tada treba uvesti tzv. absor-buju�i ili otvoreni graniqni uslov. Mo�e se uzeti kao graniqniuslov invarijanta koja dolazi sa karakteristikom iz neporeme�enesredine (Vreugdenhil, 1989). Tako, naprimer, sa nizvodne strane

v − 2c = v∞ − 2√

gh∞ (4.36)

Ako je promena od ustaǉenog teqeǌa na neustaǉeno nagla mo�ese desiti da se talasi odbijaju od nepodesnog graniqnog uslova.

Ovde �e se ukazati na jox jedan sluqaj nepodesnog graniqnoguslova, kada se kriva proticaja koristi kao graniqni uslov. Prob-lemi dolaze otuda xto je ta funkcionalna zavisnost formiranapod dominantnim uticajem treǌa.

Kriva proticaja ima smisla u ustaǉenom teqeǌu, dok se u neusta-ǉenom javǉaju dvostruke vrednosti (Chow et al. 1988). Za usta-ǉeno teqeǌe u relativno dugaqkom prizmatiqnom kanalu mo�e senapisati

Qu =1n

AR2/3√

Id (4.37)

Za neustaǉeno teqeǌe analizira�e se samo koliki je uticaj qlana∂h/∂x

Q =1n

AR2/3

√(Id −

∂h

∂x

)(4.38)

74

odnosno,

Q = Qu

√(1− 1

Id

∂h

∂x

)(4.39)

Iz jednaqine kontinuiteta mo�e se dobiti da je

∂h

∂x= −1

c

∂h

∂t(4.40)

odakle se dobija pribli�na veza stvarnog proticaja Q i onoga kojibi se dobio u ustaǉenom teqeǌu

Q ≈ Qu

√(1 +

1Idc

∂h

∂t

)(4.41)

Oqigledno, za ∂h/∂t = 0 dolazi do promene znaka odstupaǌa odstvarnog proticaja.

4.4 Primer 1

U pravougaonom kanalu xirine dna 6 m, du�ine 100 m, nagiba dna0.1 %, kote dna na nizvodnom kraju 0.00 m, voda miruje. Kanalspaja dva rezervoara, A i B, u kojima je u posmatranom trenutku,nivo isti i jednak 1.10 m. U rezervaru B, na nizvodnom krajukanala, nivo se trenutno spusti na 1.00 m i ostaje konstantan tokomsimulacije.

Promena proticaja i nivoa mo�e se odrediti u prvo vreme,korix�eǌem onoga xto je pokazano u Poglavǉu 1. Tako, na primer,za poznato ∆h = −0.10m, dobija se brzina u preseku na kraju kanalaVB jednaka:

I+ = V + 2√

gh = 0.0 + 2√

9.81 · 1.1 = VB + 2√

9.81 · 1.0

VB = 0.306m

s

xto daje proticaj QB = 1.836m3/s. Na dijagramima na slici 4.9(Petreski, Iveti�, 1994) prikazani su rezultati proraquna, do-bijeni metodom karakteristika sa interpolacijmama po vremenu.Uzeti su u obzir, gubitak na treǌe i nagib dna, dok brzinskavisina na ulazu u kanal nije. Slagaǌe sa pojednostavǉenim pro-raqunima je veoma dobro u prvih nekoliko ciklusa putovaǌa pore-me�aja, dok kasnije, sa jaqaǌem uticaja treǌa, slabi.

75

4.5 Primer 2

Na slikama (4.10), (4.11) i (4.12) prikazani su rezultati primenemetode karakteristika na neustaǉeno teqeǌe u brodskoj prevod-nici izazvano kretaǌem i udaraǌem plovila u nizvodnu kapijuprevodnice. Na slici (4.10) prikazano je nekoliko karakteris-tiqnih polo�aja plovila pre i posle udaraǌa u kapiju, kao ipodu�ni profili linije nivoa. Vremenski interval izme�u po-jedinih slika je 2 s. Mo�e se primetiti da je oko plovila burnoteqeǌe i da se blizu krme plovila javǉa hidrauliqki skok. Naslici (4.11) prikazana je mre�a karakteristika koja je poslu�ilaza numeriqku simulaciju ovog manevra. Da bi se poboǉxala taq-nost metode na mestu plovila mre�a karakteristika je znatno pro-gux�ena. Mesta na kojima se nagomilavaju karakteristike oz-naqavaju polo�aj hidrauliqkog skoka. Da bi se odr�ala taqnostmetode uvode se nove karakteristike gde god je to potrebno. Naslici (4.12) prikazani su uporedo rezultati proraquna i rezul-tati mereǌa (Bertrand, 1990) na eksperimentalnoj instalaciji uhidrauliqkoj laboratoriji prof J.J. Petersa qijom ǉubaznox�u jedobijen ovaj materijal. Prikazane su promene nivoa u 4 presekaprevodnice, na rastojaǌu: 0.06 m, 3.75 m, 10.73 m i 13.80 m, merenood nizvodne kapije prevodnice. Slagaǌe izmerenih i sraqunatihvrednosti je dosta dobro.

Literatura

[1] Abbott M.B., 1979, Computational Hydraulics - Elements of the Theoryof Free Surface Flows, Pitman.


[3] Bertrand, 1990, Neobjavǉeni materijal.

[4] Chow V.T., Maidment D.R. & Mays L.W., 1988, Applied Hydrology,McGraw-Hill Book Company.

[5] Iveti�, M., 1996, Raqunska hidraulika - Teqeǌe u cevima, Grad-jevinski fakultet, Beograd.

[6] Vreugdenhil, C.B., 1989, Computational Hydraulics, Springer-Verlag.

76

Slika 4.9: Promene kota nivoa i proticaja u presecima na ulazu,sredini i kraju kanala (B)

77

Slika 4.10: Polo�aji plovila i odgovaraju�e linije nivoa u brod-skoj prevodnici

78

Slika 4.11: Mre�a karakteristika za proraqun kretaǌa plovilau brodskoj prevodnici

79

Slika 4.12: Pore�eǌe izmerenih i sraqunatih vrednosti promenanivoa u brodskoj prevodnici

80

5

Matematiqki modelidinamiqkog talasa

5.1 Praismanova metoda qetiri taqkePolazi se od integralnog oblika jednaqina odr�aǌa mase i koli-qine kretaǌa. Da bi se pojednostavilo pisaǌe pretpostavǉa seda je dno horizontalno i treǌe zanemarǉivo. Oblast na koju seprimeǌuju jednaqine oznaqena je na slici (5.1).∫ xk+1

xk

(An+1 −An)dx +∫ tn+1

tn

(Qk+1 −Qk)dt = 0 (5.1)∫ xk+1

xk

(Qn+1 −Qn)dx +∫ tn+1

tn

[(v2A + gS1

)k+1

−(v2A + gS1

)k

]dt = 0 (5.2)

Mo�e se pokazati da se radi o linijskom integralu po zatvorenojkonturi ABCD. ∮

[fdx + G(f)dt] = 0 (5.3)

Slika 5.1: Praismanova metoda

81

gde je

f =

{AQ

}G(f) =

{Q

Q2

A + gS1

}(5.4)

5.1.1 Numeriqki model

Uvodi se skra�eno obele�avaǌe za vrednosti u raqunskim taqkama

f(xk, tn) = fnk G [f(xk, tn)] = Gn

k (5.5)

Za potrebe pribli�ne integracije jednaqine (5.3), u intervalu[tn, tn+1] pretpostavǉa se linearna promena G

G(xk, t) = θGn+1k + (1− θ)Gn

k (5.6)

G(xk+1, t) = θGn+1k+1 + (1− θ)Gn

k+1 (5.7)

gde se θ meǌa u granicama 0 ≥ θ ≥ 1. Tako�e, pretpostavǉa selinearna promena f u intervalu [xk, xk+1]

f(x, tn) = Ψfnk+1 + (1−Ψ)fn

k (5.8)

f(x, tn+1) = Ψfn+1k+1 + (1−Ψ)fn+1

k (5.9)

Zamenom u jednaqini (5.3) dolazi se do izraza{[Ψfn+1

k+1 + (1−Ψ)fn+1k

]−[Ψfn

k+1 + (1−Ψ)fnk

]}∆x

+{[

θGn+1k+1 + (1− θ)Gn

k+1

]−[θGn+1

k + (1− θ)Gnk

]}∆t = 0 (5.10)

Jednaqina (5.10) je aproksimacija i odgovaraju�eg modela u difer-encijalnom obliku

∂f

∂t+

∂G(f)∂x

= 0 (5.11)

Ako se jednaqina (5.10) podeli sa ∆x∆t vidi se naqin aproksi-macije pojedinih izvoda

∂f

∂t≈

[Ψfn+1

k+1 + (1−Ψ)fn+1k

]−[Ψfn

k+1 + (1−Ψ)fnk

]∆t

(5.12)

∂G(f)∂x

≈

[θGn+1

k+1 + (1− θ)Gnk+1

]−[θGn+1

k + (1− θ)Gnk

]∆x

(5.13)

Za Ψ = 12 i 0.5 ≤ θ ≤ 1.0 dobija se Praismanova (Preissmann)

implicitna metoda qetiri taqke.

82

Slika 5.2: Oblast zavisnosti veliqina u taqki (A) kod Prajsman-ove metode

Dve diferencne jednaqine (5.10) sadr�e qetiri nepoznate An+1k ,

Qn+1k , An+1

k+1 i Qn+1k+1. Dve dodatne jednaqine za susedni interval ∆x,

unose jox dve nepoznate. Ukupno ima 2 N nepoznatih, a 2(N − 1)diferencnih jednaqina. Da bi se jednaqine mogle rexiti neophodnasu dva graniqna uslova, koje treba zadavati u svemu prema onomexto je objaxǌeno u prethodnom poglavǉu.

Sve jednaqine treba rexiti istovremeno jer se radi o impli-citnom numeriqkom modelu. Oblast zavisnosti veliqina u taqki(A) je prikazana na slici (5.2).

Prajsmanova metoda je jedna od najpopularnijih metoda za pro-raqun neustaǉenog teqeǌa u otvorenim tokovima, a razlog za tomo�e da bude u slede�em:

• Zavisno promenǉive definisane su u istoj taqki.

• Povezuju se samo dva susedna preseka pa se mo�e meǌati ∆xbez uticaja na taqnost aproksimacije.

• Metoda je izuzetno robusna. Mogu�e je obuhvatiti i diskon-tinuitet, kao i prelaz iz teqeǌa sa slobodnom povrxinom uteqeǌe pod pritiskom (slika 5.3). Naime, sve se raquna kaoteqeǌe sa slobodnom povrxinom, a velika brzina prostiraǌaproticaja, koja odgovara teqeǌu pod pritiskom, posti�e semalom xirinom procepa.

• Metoda je u principu prvog reda taqnosti, izuzev za speci-jalan sluqaj, Ψ = θ = 0.5, kada je drugog reda taqnosti.

Pretpostavǉa se da su sve funkcije f(h, Q) poznate na vremen-skom nivou tn = n∆t i da su diferencijabilne po Q i h. Razvija-

83

Slika 5.3: Shematizacija Praismanovog procepa, koja omogu�avaproraqun teqeǌa pod pritiskom i otvorenih tokova jedinstvenimmodelom

ǌem u Tejlorov red oko poznate vrednosti dobija se aproksimacijavrednosti u narednom vremenskom nivou, tn+1 = (n + 1)∆t

fn+1k = fn

k + ∆f = fnk +

∂fk

∂h∆hk +

∂fk

∂Q∆Qk +

∂2fk

∂h2

(∆hk)2

2+ · · · (5.14)

Zamenom u jednaqine (5.12) i (5.13) dolazi se do dve linearizovanejednaqine sa ∆Q i ∆h kao nepoznatim

A∆hk+1 + B∆Qk+1 + C∆hk + D∆Qk + G = 0 (5.15)

A1∆hk+1 + B1∆Qk+1 + C1∆hk + D1∆Qk + G1 = 0 (5.16)

Koeficijenti A, B, C, D i G raqunaju se na osnovu jednaqineodr�aǌa koliqine kretaǌa, a koeficijenti A1, B1, C1, D1 i G1 izjednaqine odr�aǌa mase. Za rexavaǌe ovakvog sistema jednaqinakoristi se vrlo efikasna metoda dvostrukog prolaza (double sweepmethod).

84

Na sliqnom principu, ali na smaknutoj mre�i, zasnovana jejox jedna poznata metoda Abot-Jonesku. Vixe o tome mo�e se na�iu literaturi (Abbot, 1979 itd).

5.2 Eksplicitne metode

Kod eksplicitnih metoda nema potrebe za formiraǌem sistemajednaqina i mnogo je jednostavniji tretman graniqnih uslova uslo�enim kanalskim mre�ama. Sa druge strane osnovni nedostatakim je ograniqeǌe vremenskog koraka.

5.2.1 Laksova metoda

Slika 5.4: Laksova metoda

Polazi se od diferencijalnog oblika zakona odr�aǌa (5.11).Izvod po vremenu aproksimira se na slede�i naqin

∂f

∂t≈

fn+1k −

[12α(fn

k+1 − fnk−1) + (1− α)fn

k

]∆t

(5.17)

α se mo�e kretati u granicama 0 ≤ α ≤ 1. Za α = 1 dobija seLaksova metoda (slika 5.4). Za izvod po prostoru koristi seaproksimacija centralnom razlikom

∂G(f)∂x

≈Gn

k+1 −Gnk−1

2∆x(5.18)

fn+1k = (1− α)fn

k +α

2(fn

k+1 − fnk−1

)− ∆t

2∆x

(Gn

k+1 −Gnk−1

)(5.19)

85

Na ovom principu zasniva se metoda koju je predlo�io Isakson(1958)

hn+1k = hn

k +12α(hn

k+1 − 2hnk + hn

k−1

)− ∆t

2B∆x

(Qn

k+1 −Qnk−1

)(5.20)

Qn+1k = Qn

k +12α(Qn

k+1 − 2Qnk + Qn

k−1

)− 1

2gA(hn

k+1 − hnk−1

)+ ∆tgBIdh

nk − r∆tQn

k (5.21)

gde je r = Cτ |Q|2AR . U dinamiqkoj jednaqini zanemaren je konvektivni

qlan ∂∂x

(Q2

A

).

5.3 Metoda razdvajaǌa operatora

Razdvajaǌe operatora je metoda koja se koristi u algoritmimaza rexavaǌe Navije-Stoksovih jednaqina u slo�enim oblastimastrujaǌa gde mo�e znaqajno pove�ati efikasnost algoritma uzsmaǌeǌe zahteva za raqunarskim resursima (Iveti�, 1989). Kodlinijskih problema nije uobiqajena, mada za to ima opravdaǌa(Petrovi�, 1991).

Polazi se od Sen-Venanovih jednaqina u slede�em obliku

∂h

∂t+

1B

∂Q

∂x= 0 (5.22)

∂Q

∂t+ 2

Q

A

∂Q

∂x− Q2

A2

∂A

∂x+ gA

(∂h

∂x− Id

)− g

n2Q|Q|AR4/3

= 0 , (5.23)

gde je h dubina vode, Q proticaj, B xirina vodenog ogledala, Apovrxina popreqnog preseka toka, n Maningov koeficijent hra-pavosti, R hidrauliqki radijus. Konvektivna komponenta ubrzaǌarazdvojena je na dva dela, drugi i tre�i qlan u jednaqini (5.23),gde je tako�e pretpostavǉeno da je koeficijent neravnomernostibrzine po preseku jednak jedinici.

Osnovna ideja u primeni metode razdvajaǌa operatora u pro-raqunu transformacije poplavnih talasa je da se u prvoj polovinivremenskog koraka, u dinamiqkoj jednaqini zadr�e oni ǌeni qlanovikoji utiqu na ubla�avaǌe talasa, a u drugoj polovini vremenskogkoraka preostali qlanovi, tj. oni qlanovi koji utiqu uglavnom natranslaciju talasa sredǌom brzinom toka.

86

Jednaqine se diskretizuju na smaknutoj mre�i (slika 5.5) Naprvoj polovini vremenskog koraka rexavaju se jednaqina kontinu-iteta i deo dinamiqke jednaqine

∂Q

∂t− Q2

A2

∂A

∂x+ gA

(∂h

∂x− Id

)− g

n2Q|Q|AR4/3

= 0 , (5.24)

a na drugoj polovini koraka, od (t + ∆t/2) do (t + ∆t), jednaqina

∂Q

∂t+ 2

Q

A

∂Q

∂x= 0 . (5.25)

Dubine i ostale veliqine izvedene od dubine, raqunaju se na polo-vini vremenskog intervala. Jednaqina kontinuiteta diskretizo-vana je metodom (leap-frog). Svi izvodi po prostoru, koji se raqu-naju na prvom koraku aproksimirani su centralnim razlikama, dokje konvektivni qlan u jednaqini (5.25) aproksimiran razlikom un-azad. Diskretizovane jednaqine u eksplicitnom obliku glase

hn+1/2k−1 = h

n−1/2k−1 − ∆t

B 2 ∆x(Qn

k −Qnk−2) (5.26)

Qn+1/2k = Qn

k +∆t

2

( Qnk

An+1/2k

)2A

n+1/2k+1 −A

n+1/2k−1

2 ∆x

−g An+1/2k

hn+1/2k+1 − h

n+1/2k−1

2 ∆x− Id

− gn2Qn

k |Qnk |

An+1/2k

(R

n+1/2k

)4/3

(5.27)

Qn+1k = Q

n+1/2k − ∆t

2 ∆x

Qn+1/2k−1

An+1/2k−1

(Qn+1/2k −Q

n+1/2k−2 ) (5.28)

Poqetni uslov predstavǉa linija nivoa za ustaǉeno teqeǌe, od-nosno vrednosti dubine i proticaja na poqetnom vremenskom nivou.

Ova metoda je prvenstveno nameǌena proraqunu prostiraǌa pop-lavnih talasa u prirodnim vodotocima gde bi trebalo da zameniuprox�ene metode koje se koriste u Hidrologiji. Veoma se jednos-tavno uvodi ulazni hidrogram, Qn

0 = Qul(t), kao uzvodni graniqniuslov. Kao nizvodni graniqni uslov mo�e se koristiti ustava,xiroki prag, preliv, plima i oseka itd.

87

Slika 5.5: Shema diskretizacije Sen-Venanovih jednaqina

Analizom stabilnosti numeriqke metode dobija se ograniqeǌevremenskog priraxtaja za prvu polovinu vremenskog koraka - jed-naqine (5.26) i (5.27)

∆t1 ≤∆x

c√

1− Fr(5.29)

a za drugi korak - jednaqina (5.28)

∆t1 ≤∆x

|Q/A|(5.30)

Kod metode karakteristika, kao i kod ve�ine eksplicitnih metoda,ograniqeǌe vremenskog koraka je dato CFL uslovom

∆t ≤ ∆x

|Q/A|+ c(5.31)

gde je c =√

gA/B, relativna brzina prostiraǌa poreme�aja uodnosu na tok. Kao xto se mo�e videti, dozvoǉeni vremenski ko-raci su du�i nego kod metode karakteristika.

Mogu�e je dosta modifikacija ove metode od kojih se daje samojedna, koja je smextena izme�u vremenskih nivoa (n) i (n+1) (slika5.6).

88

IH

Note

Mozda bi trebalo da stavite Dt1/2

IH

Note

Ili mozda Dt1 i Dt2

Slika 5.6: Modifikovana metoda razdvajaǌa operatora

(1) hn+1/2k−1 = hn

k−1 −∆t/2

B 2 ∆x

(Qn

k −Qnk−2

)(5.32)

(2) Qn+1/2k = Qn

k +∆t

2[kao u (5.27)] (5.33)

(3) Qn+1k = Q

n+1/2k − ∆t

2 ∆x

Qn+1/2k−1

An+1/2k−1

(Qn+1/2k −Q

n+1/2k−2 ) (5.34)

(4) hn+1k−1 = h

n+1/2k−1 − ∆t

B 4 ∆x

(Qn+1

k −Qn+1k−2

)(5.35)

5.3.1 Graniqni uslovi

Formulisaǌe graniqnih uslova je veoma jednostavno. Pokaza�e seto na primeru xirokog praga koji se nalazi na nizvodnom krajukanala (radi se o jednoznaqnoj vezi proticaja i dubine, jer se napragu ostvaruje kritiqno teqeǌe).

Presek u kojem je definisan graniqni uslov je oznaqen sa (g),i to je presek (h) gde se raquna dubina (slika 5.7). Uzima sesamo jednaqina kontinuiteta, i to jedna polovina, za rastojaǌe∆x. Dinamiqka jednaqina se normalno pixe za presek (g−1), a kaograniqni uslov koristi se jednoznaqna veza proticaja i dubine.

Kao prvi korak pixe se

hn+1/2g = hn

g −∆t

B 2 ∆x

(Qn

g −Qng−1

)(5.36)

89

Slika 5.7: Graniqni uslov prelivaǌe preko xirokog praga kodmetode razdvajaǌa operatora

a kao qetvrti

hn+1g = hn+1/2

g − ∆t

B 2 ∆x

(Qn+1

g −Qn+1g−1

)(5.37)

U jednaqini (5.37) Qn+1g je funkcija dubine hn+1

g i dobija se naosnovu izraza

hg +Q2

g

2gA2g

= p + hkr +Q2

g

2gA2g

(1 + ξ) (5.38)

5.3.2 Primer

Posmatra se deonica pravougaonog kanala xirine 5 m, du�ine10000 m, uniformnog nagiba dna. Poqetni proticaj iznosi 6 m3/s,a na nizvodnom kraju nalazi se xiroki prag visine 1.2 m. Nauzvodnom kraju zadat je ulazni hidrogram, vremenske osnove 108minuta i maksimalne ordinate 110 m3/s.

Rezultati proraquna prikazani su na slikama (5.8) i (5.9).Vremenski korak je iznosio 30 s, a prostorni 250 m. Na slici (5.8)prikazani su ulazni hidrogram i transformisani hidrogrami, ana slici (5.9) veza izme�u proticaja i dubina u istim presecimau kojima su prikazani hidrogrami. Samo u nizvodnom preseku,na xirokom pragu gde se obrazuje kritiqna dubina, veza je jedno-znaqna. U ostalim presescima dolazi do pojave histerezisa.

Literatura

[1] Abbott M.B., 1979, Computational Hydraulics - Elements of the Theoryof Free Surface Flows, Pitman.

90

Slika 5.8: Ulazni i transformisani hidrogrami u karakteris-tiqnim presecima du� kanala za teqeǌe sa xirokim pragom nanizvodnom kraju.

Slika 5.9: Zavisnosti izme�u dubine i proticaja (”Krive pro-ticaja”) u karakteristiqnim presecima du� kanala za teqeǌe saxirokim pragom na nizvodnom kraju.

91


[3] Chow V.T., Maidment D.R. & Mays L.W., 1988, Applied Hydrology,McGraw-Hill Book Company.

[4] Iveti�, M., 1989, Numerical simulation of turbulent flow in shal-low flow domains by SGS simulation, Doktorska disertacija, KyotoUniversity, Japan.

[5] Petrovi�, J., 1991, Seminarski rad iz Raqunske hidraulike(neobjavǉeno)

92

A

Proraqun linije nivoa uotvorenim tokovima

Polazi se od obiqne diferencijalne jednaqine za blago promenǉivostrujaǌe, jednaqina (2.46):

dh

dx=

Q2

gA3

(dA

dx

)h=const

+ I0 −Cτ

2g

Q2

RA2

1− Q2B

gA3

. (A.1)

Jednaqina je izrazito nelinearna i u opxtem sluqaju nema ana-litiqkog rexeǌa. Do rexeǌa se dolazi numeriqkom integracijomjednaqine uz poznavaǌe vrednosti dubine na uzvodnoj ili nizvodnojgranici deonice, u zavisnosti od smera raqunaǌa.

Kod prizmatiqnih kanala (kada je(

dA

dx

)h=const

= 0), jednaqina

se svodi na slede�i oblik:

dh

dx=

I0 − Ie

1− Fr, (A.2)

gde je Ie = Cτ Q2

2gRA2 , nagib linije energije, i Fr = Q2BgA3 , Frudov broj.

Analizira�e se jednaqina u ovom obliku iako se, najqex�e, umestoǌe rexava inverzna jednaqina:

dx

dh=

1− Fr

I0 − Ie, (A.3)

do koje se dolazi uz uslov, I0 6= Ie, odnosno, h 6= hn, gde je hn, nor-malna dubina. Jednaqina se rexava efikasno (standard-step method,Streeter & Wylie, 1975), metodom relativno visoke taqnosti. Umesto

93

Slika A.1: Pribli�na integracija jednaqine nejednolikog teqeǌau kanalu

priraxtaja dubine izme�u dva preseka, na xta upu�uje oblik jed-naqine (A.2), tra�i se rastojaǌe na kome se ostvari pretpostav-ǉena promena dubine, jer je desna strana jednaqine funkcija du-bine ∫ xi+1

xi

dx =∫ hi+1

hi

1− Fr

Id − Iedh . (A.4)

Za oznake prema skici i za smer raqunaǌa uzvodno, dobija se nu-meriqki model zasnovan na metodi trapeznog pravila:

xi+1 − xi =12

[f(hi) + f(hi+1)] · (hi+1 − hi) . (A.5)

Mo�e se pokazati da je ova metoda drugog reda taqnosti.Postupak proraquna je jako jednostavan od momenta kada se utvr-

di interval u kome se nalaze dubine na posmatranoj deonici i kojije smer proraquna. Ovakvi uslovi o smeru proraquna se obiqno nepostavǉaju u matematici kod tzv., poqetnih problema, kao xto jeovaj, dok su u Hidraulici i Numeriqkoj analizi, neophodni.

U opxtem sluqaju (neprizmatiqni kanali), tra�i se promenadubine na zadatom rastojaǌu ∆x (slika A.1), pa se mora rexavatijednaqina u obliku (A.1). Radi skra�enog pisaǌa, desna stranajednaqine (A.1) obele�ava�e se f(hi+1, xi+1).

Kao u Poglavǉu 1 knige Raqunska hidraulika - Teqeǌe u cevima(Iveti�, 1996), uporedi�e se Ojlerova metoda i jedna metoda dru-

94

gog reda taqnosti. Ojlerova metoda

hi+1 − hi = f(hi+1, xi+1) · (xi+1 − xi) . (A.6)

Umesto metode trapeznog pravila, (A.5), gde treba uzeti nepoz-natu dubinu u uzvodnom preseku, hi, koristi se jednostavna metodau dva koraka, prediktor-korektor

hi+1 − hi =12

[f∗(h∗i , xi) + f(hi+1, xi+1)] ·∆x , (A.7)

gde je, f∗(h∗i , xi), ocena desne strane jednaqine, dobijena nekom jed-nostavnom eksplicitnom metodom, kao xto je (A.6). 1

Stabilnost obe metode ispituje se preko propagacije grexke usmeru raqunaǌa. Dubina vode u preseku (i + 1) iznosi hi+1, a uraqunu polazi se od vrednosti, h̃i+1 = hi+1 + εi+1, gde je εi+1 grexka(usled zaokru�eǌa, iteracija itd).

Za Ojlerovu metodu, mo�e se napisati:

hi+1 + εi+1 − hi − εi

∆x= f(hi+1 + εi+1, xi+1) . (A.8)

Razvijaǌem desne strane jednaqine u Tejlorov red, oko taqne vred-nosti dubine, dobija se:

hi+1 + εi+1 − hi − εi

∆x= f(hi+1, xi+1) + εi+1fh(hi+1, xi+1) +

ε2i+1

2fhh + · · ·

(A.9)gde, fh i fhh, predstavǉaju parcijalne izvode prvog i drugog redadesne strane jednaqine (A.6), po dubini. U narednim izrazima

1 Poxto se ovde smer proraquna ne poklapa s pozitivnim smerom x-ose, termin”razlika unapred” mo�e da izazove zabunu, jer se vrednost izvoda na intervalu[xi, xi+1] aproksimira na osnovu vrednosti u taqki (xi+1).

Konaqne razlike, ∆h i ∆x, uzimaju se na naqin uobiqajen u matematici,odnosno:

∆h = hi+1 − hi ,

∆x = xi+1 − xi .

Jednaqina (A.6) se mo�e napisati kao:

hi = hi+1 −∆x f(hi+1, xi+1) ,

dok, ako bi se koristila za raqunaǌe u nizvodnom smeru (za burno teqeǌe), bilobi:

hi+1 = hi + ∆x f(hi, xi) .

95

zadr�a�e se samo qlan sa prvim izvodom. Uz pretpostavku da jejednaqina (A.6) zadovoǉena za taqne vrednosti dubine, dobija se

εi+1 − εi

∆x= εi+1 · fh , (A.10)

εi = (1− fh ·∆x)εi+1 . (A.11)

Da bi grexka u preseku xi bila maǌa od one u xi+1, mora biti:

|1− fh ·∆x| < 1, odnosno, 0 < fh∆x < 2 . (A.12)

∆x je ve�e od nule pa se za stabilnost metode zahteva da je i ∂f/∂hve�e od nule. U protivnom grexka neograniqeno raste. Za drugismer raqunaǌa, nizvodno, koji se koristi kod raqunaǌa linijenivoa u burnom teqeǌu, jednaqina (A.10) glasi

εi+1 − εi

∆x= εi · fh , (A.13)

odakle se dobija uslov stabilnosti

|1 + fh ·∆x| < 1, odnosno, − 2 < fh∆x < 0 . (A.14)

Oqigledno, radi se o drugaqijem uslovu stabilnosti xto govorida je smer proraquna va�an i zbog stabilnosti metode.

Proceni�e se veliqina izvoda desne strane jednaqine na naj-jednostavnijem sluqaju (Jensen i dr, 1979), za xiroki pravougaonikanal.

Korix�eǌem Xezijeve jednaqine za xiroki pravougaoni kanal,osnovna jednaqina se svodi na oblik:

dh

dx= I0

h3 − h3n

h3 − h3kr

, (A.15)

odakle se lako do�e do prvog izvoda po dubini:

∂f

∂h= I0

3h2(h3n − h3

kr)(h3 − h3

kr)2. (A.16)

∂f/∂h je ve�e od nule za blage nagibe dna, kada je hn > hkr,odnosno, I0 < Ikr, gde je Ikr nagib dna pri kome je normalna du-bina jednaka kritiqnoj. Za sluqaj mirnog teqeǌa, kada je I0 > Ikr,

96

Slika A.2: Sluqaj za koji je svaka metoda proraquna nestabilna

metoda je nestabilna bez obzira na du�inu priraxtaja ∆x. Med-jutim, to nije od velikog praktiqnog znaqaja, jer se radi o rel-ativno kratkim deonicama, na kojima su linije nivoa, na jednomdelu, pribli�no horizontalne (slika A.2).

Za dva sluqaja raqunaǌa u uzvodnom smeru, linija uspora (h >hn) i linija depresije (hkr < h < hn), metoda je uslovno stabilna.

Kod raqunaǌa linije nivoa u burnom teqeǌu metoda je uslovnostabilna za sluqajeve kada je h < hn i hn < h < hkr, a bezuslovnonestabilna za sluqaj kada je h < hkr < hn, odnosno, za burno teqeǌeu kanalu u kome je I0 < Ikr. Sliqno napred reqenom, i prikazanomna slici (A.2), radi se o relativno ”kratkim” linijama gde se du-bina brzo meǌa zbog intenzivnog gubitka energije, pa su posledicetakve grexke male.

Kod prediktor-korektor metode primeni�e se isti postupak ispi-tivaǌa stabilnosti:

hi+1 + εi+1 − hi − εi

∆x=

12

[f(hi+1 + εi+1, xi+1) + f(hi + εi, xi)] (A.17)

hi+1 + εi+1 − hi − εi

∆x≈ 1

2[f(hi+1, xi+1) + εi+1fh(hi+1, xi+1) + fi + εifh,i]

(A.18)εi+1 − εi

∆x=

12εi+1fh,i+1 +

12εkfh,i . (A.19)

97

Uz pretpostavku fh,i+1 ≈ fh,i dolazi se do izraza:

εi = εi+11− 1

2fh∆x

1 + 12fh∆x

. (A.20)

Poxto je fh > 0, za hn > hkr, metoda je bezuslovno stabilna, jer je:∣∣∣∣∣1− 12fh∆x

1 + 12fh∆x

∣∣∣∣∣ ≤ 1, odnosno, |εi| ≤ |εi+1| . (A.21)

Za mirno teqeǌe i Id > Ikr, i ova metoda je nestabilna.Mo�e se na�i i oqiglednije objaxǌeǌe za ponaxaǌe pribli�nog

rexeǌa obiqne diferencijalne jednaqine i za smer proraquna,koji nas jednom vodi sve bli�e taqnom rexeǌu a drugi put ne.

Na slici (A.3) prikazana su dva dijagrama sa familijama inte-gralnih linija, koja predstavǉaju rexeǌa diferencijalne jedna-qine. Na oba dijagrama isprekidanom linijom obele�ena je krivakoja za date poqetne uslove odgovara taqnom rexeǌu. Na oba di-jagrama krive se udaǉavaju jedna od druge u smeru porasta x,a razlikuju se smerovi proraquna. Ako se pretpostavi da prvataqka odstupa od taqnog rexeǌa, taqke pribli�nog rexeǌa dobi-jene Ojlerovom metodom zauze�e polo�aje kao na skici. U prvomsluqaju, ako je poqetna vrednost ispod taqnog rexeǌa, proceǌenavrednost prvog izvoda bi�e maǌa od stvarne i slede�a taqka �ese jox vixe udaǉiti od taqnog rexeǌa.

U drugom sluqaju, sa promeǌenim smerom raqunaǌa, pribli�norexeǌe se za razumno veliki korak integracije vra�a taqnom rex-eǌu. Izbor smera raqunaǌa kod otvorenih tokova, pored fiziqkogsmisla koji ima, uvek nas stavǉa u poziciju kao na slici (A.3),dijagram desno. To su sluqajevi gde se linije nivoa bez obzirana vrednost nametnutu tzv. kontrolnim presekom, u beskonaqnostipribli�avaju normalnoj dubini.

Literatura

[1] Iveti� M., 1996, Raqunska hidraulika - Teqeǌe u cevima, Gra-�evinski fakultet, Beograd.

[2] Jensen P., 1979, Principles of river engineering, Pitman.


98

Slika A.3: Uticaj smera proraquna na odstupaǌe od taqnog rex-eǌa (stabilnost)

99

A.1 Belexka o autoru (i slika mu)

Ovo je autor. Ro�en je 1952. godine u Krupǌu. Diplomirao je naGra�evinskom fakultetu u Beogradu 1975., gde je i magistrirao1979. Doktorsku disertaciju odbranio je na Kyoto Univerzitetu1989.

Qlan je IAHR (me�unarodno udru�eǌe za hidrauliqka istra�ivaǌa),sekretar JDHI (Jugoslovenko udru�eǌe zaz hidrauliqka istra�ivaǌa).Predaje hidrauliku i raqunsku hidrauliku na Gra�evinskom fakul-tetu u Beogradu i mehaniku fluida i hidrauliku na Arhitekton-sko gra�evinskom fakultetu u Baǌoj Luci.

100

Documents

Raqunska hidraulika Otvoreni tokovi - grf.bg.ac.rs · upravo na naqin na koji se to predaje studentima hidrotehnike. Da bi materijal obra en u ovoj monografiji bio jox interesantniji