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Rauschinduzierter

TransportFeynman‘s Ratsche und Brown‘sche Motoren

Lukas Fischer – Seminar Mechanik

12. Januar 2018

Inhalt

1. Feynman‘s Ratsche:

Prinzip

Detaillierte Betrachtung

2. Rauschinduzierter Transport:

Stochastisches Modell

Fokker-Planck-Gleichung

Teilchenstrom

Ratschen-Typen

Ratschen-Effekt

Anwendungen

3. Zusammenfassung

13.01.2018 2Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport

Feynman‘s Ratsche – Prinzip


Quelle: [6]

Prinzip


Grundbegriffe:

(Feder-)Energie, um Ratsche über nächstes Zahnrad zu heben: ε

Winkel zwischen zwei Zähnen der Ratsche: θ

Drehmoment durch Gewicht der Masse m: L

Modell:

Ungerichtete Stöße der Teilchen mit Flügelrad

Ratsche sperrt jedoch in eine Richtung

nur Stöße in Laufrichtung der Ratsche, die Energie ε+Lθ aufbringen können bewirken Drehung um Winkel θ

Perpetuum mobile zweiter Art


Korrekturen des Modells:

Alle Bauteile der Maschine unterliegen der Brown‘schen Bewegung

Mit der Wahrscheinlichkeit 𝑒−

𝜀

𝑘𝐵𝑇2 springt Sperrhaken hoch

Ratsche kann sich rückwärts bewegen

Mit der Wahrscheinlichkeit 𝑒−

𝜀+𝐿𝜃

𝑘𝐵𝑇1 bewegt sich Ratsche in Vorwärtsrichtung

D.h.: Für 𝑇1 = 𝑇2 und m=0 resultiert eben keine Netto-Bewegung

13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 5


Für 𝑇1 > 𝑇2 ist wiederum Vorwärtsbewegung möglich.

Allerdings muss man einen Wärmetransport von 𝑇1 nach 𝑇2 berücksichtigen:

Energieerhaltung


Vorwärtsschritt Rückwärtsschritt

Flügelrad (bei 𝑇1) -(ε+Lθ) +ε+Lθ

Ratsche (bei 𝑇2) +ε -ε

An Masse verrichtete/von

Masse geleistete Arbeit

+Lθ -Lθ

Wahrscheinlichkeit~ 𝑒

−𝜀+𝐿𝜃𝑘𝐵𝑇1 ~ 𝑒

−𝜀

𝑘𝐵𝑇2

Quelle: [3]


Im Gleichgewichts-Fall gilt:𝜀+𝐿𝜃

𝑇1=

𝜀

𝑇2

Verhältnis zwischen an Flügelrad entnommene (𝑄1) und an der Ratsche

abgegebene (𝑄2) Wärme:𝜀+𝐿𝜃

𝜀=

𝑄1

𝑄2=

𝑇1

𝑇2

Wirkungsgrad: 𝜂 =𝑣𝑒𝑟𝑟𝑖𝑐ℎ𝑡𝑒𝑡𝑒 𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡

𝑧𝑢𝑔𝑒𝑓üℎ𝑟𝑡𝑒 𝑊ä𝑟𝑚𝑒=

𝐿𝜃

𝐿𝜃+𝜀= 1 −

𝜀

𝜀+𝐿𝜃= 1 −

𝑇2

𝑇1= 𝜂𝐶𝑎𝑟𝑛𝑜𝑡

Wirkungsgrad stimmt überein dem einer reversibel arbeitenden

Wärmemaschine

Maximaler Wirkungsgrad

Thermodynamisches und mikroskopisches Ergebnis identisch!


Rauschinduzierter

Transport



Bewegungsgleichung im vereinfachten stochastischen Modell:

Anforderungen an Potential V(x):

Räumlich periodisch: 𝑉 𝑥 + 𝐿 = 𝑉(𝑥)

Anisotrop: ∄∆𝑥 𝑓ü𝑟 𝑑𝑎𝑠 𝑉 −𝑥 = 𝑉(𝑥 + ∆𝑥)

Weißes Rauschen ξ(t):

𝜉(𝑡) = 0

𝜉(𝑡)𝜉(𝑠) = 2𝜂𝑘𝐵𝑇𝛿(𝑡 − 𝑠) (Fluktuations-Dissipations-Relation)

Dynamische Viskosität η: Kopplungsstärke zum Umgebungsmedium



Für mikroskopische Systeme:

Thermische Fluktuationen dominant ggü. Trägheitsterm

Überdämpften Fall der DGL: 𝑚 ሷ𝑥 vernachlässigbar



Stochastisches ModellBeispielhaftes Potential

Quelle: [2]


Einführung einer (normierten) Wahrscheinlichkeitsdichte P(x,t):

Aufstellung der Bewegungsgleichung für P(x,t):

Drift des Teilchens durch Potential-Gradienten 𝑉′(𝑥)

Diffusion durch thermische Umgebung

Superposition beider Terme wegen Linearität in P(x,t)

Fokker-Planck-Gleichung:

Hier: Diffusionskonstante 𝐷 =𝑘𝐵𝑇

𝜂und Driftgeschwindigkeit 𝑣(𝑥) =

𝑉′(𝑥)

𝜂


Fokker-Planck-GleichungBeispiel: Zeitentwicklung eines Gauß‘schen Wellenpaketes

Diffusions-Term:

Aufweitung des Peaks:

zunehmende Breite

Abnehmende Intensität

Drift-Term:

Bewegung des Schwerpunkts des

Pakets in eine Vorzugsrichtung


Ort x

Wahrscheinlichkeitsdichte P(x,t)


Für Fall von konstanter Drift-Geschwindigkeit 𝑣 =𝑉′(𝑥)

𝜂:

Lösung der FPG:


Teilchenstrom: (i) Kraft F = 0

Teilchenstrom: ሶ𝑥 = − ∞−

∞𝑑𝑥

𝑉′(𝑥)

𝜂𝑃 𝑥, 𝑡 (Da 𝜉(𝑡) = 0)

Wahrscheinlichkeitsdichte: 𝑃 𝑥, 𝑡 = 𝛿(𝑥 − 𝑥 𝑡 )

Daraus folgt:

Master-Gleichung: 𝜕𝑡𝑃 𝑥, 𝑡 + 𝜕𝑥 𝐽 𝑥, 𝑡 = 0

Wahrscheinlichkeitsstrom: 𝐽 𝑥, 𝑡 = ሶ𝑥 𝑡 ⋅ 𝛿(𝑥 − 𝑥 𝑡 )

ሶ𝑥 = − ∞−

∞𝑑𝑥 𝐽 𝑥, 𝑡

Alternative Form: ሶ𝑥 =𝑑

𝑑𝑡∞−

∞𝑑𝑥 𝑥 𝑃 𝑥, 𝑡

Lösung der FPG reicht aus um aus um ሶ𝑥 zu berechnen

Ergebnis: ሶ𝑥 = 0 (Analogon zu Feynman-Ratsche mit m=0)


Teilchenstrom: (ii) Kraft F ≠ 0

(gekippte Smoluchowski-Feynman- Ratsche)

Nun zusätzliche homogene, statische

Kraft F:

𝜂 ሶ𝑥 𝑡 = −𝑉′ 𝑥 𝑡 , 𝑡 + 𝐹 + 𝜉 𝑡

Effektives Potential:

𝑉𝑒𝑓𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑡 = 𝑉 𝑥 𝑡 , 𝑡 − 𝑥𝐹

Falls F nicht zu groß:

Ausbildung lokaler Minima in 𝑉𝑒𝑓𝑓


Teilchenstrom: (ii) Kraft F ≠ 0

(gekippte Smoluchowski-Feynman- Ratsche)

Ergebnis: Teilchenstrom in Kraftrichtung

nicht punktsymmetrisch in F


Ratschen-Typen

Allgemeine Bewegungsgleichung:

Periodische oder stochastische Modulation von Potential (𝑓 𝑡 ) und Kraft (𝑦(𝑡))

𝜂 ሶ𝑥 𝑡 = −𝑉′ 𝑥 𝑡 , 𝑓 𝑡 + 𝐹 + 𝑦 𝑡 + 𝜉 𝑡

Fallunterscheidung:

Pulsierende Ratsche: 𝑦 𝑡 = 0 Moduliertes Potential, konstante Kraft

Kippende Ratsche: 𝑓 𝑡 = 0 Modulierte Kraft, konstantes Potential

Temperatur-Ratschen:

𝑦 𝑡 = 𝑓 𝑡 = 0

Modulierte Temperatur: 𝑇 = 𝑇(𝑡) oder 𝑇 = 𝑇(𝑥)


Modulierte Kraft

Ratschen-Typen

Pulsierende Ratsche: 𝑦 𝑡 = 0

„fluctuating potential“-Ratsche: 𝑉 𝑥, 𝑓(𝑡 ) = 𝑉 𝑥 1 + 𝑓 𝑡

(für additives symmetrisches 𝑓(𝑡) und asymmetrisches V(x))

(einfachstes Beispiel: „On-Off“-Ratsche)

„travelling potential“-Ratsche: V(𝑥, 𝑓 𝑡 ) = 𝑉 𝑥 − 𝑓 𝑡

V(𝑥, 𝑓 𝑡 ) immer asymmetrisch

Kippende Ratsche: 𝑓 𝑡 = 0

„Rocket“-Ratsche, falls 𝑦 𝑡 periodisch

„fluctuating force“-Ratsche, falls 𝑦 𝑡 stochastisch


Bewegungsgleichung: 𝜂 ሶ𝑥 𝑡 = −𝑉′ 𝑥 𝑡 , 𝑓 𝑡 + 𝐹 + 𝑦 𝑡 + 𝜉 𝑡

Ratschen-Typen

Temperatur-Ratsche: 𝑇 = 𝑇 𝑡

𝜉 𝑡 → 𝜉 𝑇 𝑡 , 𝑡

Temperatur-Ratsche ist vom Prinzip sehr ähnlich zur „fluctuating potential“-Ratsche


Ratschen-Effekt

Grundlegendes Prinzip:

Umwandlung von thermischen Fluktuationen in nutzbare Arbeit durch

zeitliche Modulationen äußerer Parameter


Kein Widerspruch zum 2.Hauptsatz der Thermodynamik!

Fluktuationen finden nicht im Gleichgewicht statt

Modell: System im Kontakt mit mehreren Wärmebädern primitive Wärmemaschine

Umsetzung:

Wechsel zwischen Diffusionsphasen und Lokalisierungsphasen

Die Asymmetrie des Potentials lokalisiert die Teilchendichte mit jedem

Durchlauf weiter in Transportrichtung (entgegen Kraftrichtung!)

Ratschen-Effekt

„On-Off“-Ratsche


V≠0 für die Dauer 𝑡𝑜𝑛

P(x) lokalisiert im

Potentialminimum

V=0 für die Dauer 𝑡𝑜𝑓𝑓

freie Diffusion mit konstantem Drift

V≠0 für die Dauer 𝑡𝑜𝑛

P(x) wieder lokalisiert in Minima,

jedoch mit verschobenem

“Schwerpunkt”

Quelle: [4]

Ratschen-Effekt„On-Off“-Ratsche Sägezahn-Potential


Ratschen-Effekt„On-Off“-Ratsche


Quelle: [1]

𝑉𝑒𝑓𝑓 𝑥 = 𝑉 𝑥 − 𝑥 ⋅ 𝐹𝑒𝑥𝑡

Drift: 𝑣 =𝐹𝑒𝑥𝑡

𝜂für V = 0

𝑡𝑜𝑛 >𝜂𝐿2

∆𝑉

(nötige Zeit, damit Teilchen

wieder in Minimum liegen)

𝑡𝑜𝑓𝑓 <𝜂𝐿

𝐹𝑒𝑥𝑡

1

2− 𝛼

(damit Teilchen nicht zu lange

durch 𝐹𝑒𝑥𝑡 nach links driftet)

Ratschen-Effekt„On-Off“-Ratsche


Quelle: [1]

Ratschen-Effekt

„On-Off“-Ratsche

Anwendungsbeispiel: Sortiermaschine

Genaue Einstellung der äußeren

(Gravitations-)Kraft

Teilchen unterschiedlicher Masse

haben verschiedene Drift-

Geschwindigkeiten

𝑡𝑜𝑓𝑓-Einstellung ermöglicht, dass:

𝑡𝑜𝑓𝑓 > 𝑡𝑜𝑓𝑓𝑚𝑎𝑥

Abdriften d. Teilchens

in Kraftrichtung

𝑡𝑜𝑓𝑓 < 𝑡𝑜𝑓𝑓𝑚𝑎𝑥

Rauschinduzierter

Transport

Sortierung nach Masse13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 26

Quelle: [1]

Ratschen-EffektStromumkehr


Stromumkehr auch durch Variation weiterer Parameter: 𝜂, 𝜏

Quelle: [2]

Ratschen-

Effekt

„On-Off“-

Ratsche

Helicase (Enzym) stark an DNA gebunden

Anlagerung eines Nukleotids ATP

(Adenosintriphosphat) an DNA

Nur noch schwachgebundene Helicase Diffusionsprozess

ATP → ADP + Pi wirdabgestoßen

13.01.2018 Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 28

Vorkommen in der Natur

Ratschen-Effekt

Temperatur-Ratsche Sehr ähnlich zu manchen pulsierenden

Ratschen

z.B.: 𝑇 𝑡 = ത𝑇[1 + 𝐴 ⋅ sgn sin2𝜋𝑡

𝜏]

(quasi äquivalent zu “On-Off”-Ratsche)

Für 𝑇 𝑡 = ത𝑇 1 − 𝐴 ≪∆𝑉

𝑘𝐵

Lokalisierung der Partikel bei lokalenMinima

Für 𝑇 𝑡 = ത𝑇 1 + 𝐴 ≫∆𝑉

𝑘𝐵

Diffusionsprozess mit Drift

Netto-Strom entgegen Kraftrichtung


Quelle: [2]

Ratschen-Effekt

Temperatur-Ratsche

T(t)-Variation schwer durch Wärmezufuhr und -abfuhr zu realisieren

Aber: Ratschen-Effekt sehr robust (funktioniert auch für weniger ausgeprägtes

V(x) und langsame oder sogar stochastische Änderungen T(t))


Ratschen-EffektTemperatur-Ratsche

Vorkommen in der Natur:

Feste Bindung von Kinesin an

Microtubulus

ATP-Hydrolyse: ATP → ADP + Pi

wird thermische Energie

abgegeben

kurzzeitige Erhöhung d.

Temperatur

Diffusion über

Potentialbarriere

Temperaturabnahme

Erneut feste Bindung

…


Quelle: [5]

Kinesin: Motorprotein

Mikrotubulus: Filament aus Proteinen

Bewegung von Kinesin auf einem Mikrotubulus

Ratschen-Effekt

„Rocket“-Ratsche


Periodischer Wechsel zwischen:𝐹 ∈ {−𝐹𝑚𝑎𝑥; + 𝐹𝑚𝑎𝑥}

Für ∆𝑉

1−𝛼 𝐿< 𝐹𝑚𝑎𝑥 <

∆𝑉

𝛼𝐿

𝐹 = +𝐹𝑚𝑎𝑥 : monoton nach links

abnehmendes 𝑉𝑒𝑓𝑓(𝑥)

𝐹 = −𝐹𝑚𝑎𝑥 : lokale Minima in

𝑉𝑒𝑓𝑓(𝑥)

Falls 𝑡+ nicht zu klein

Netto-Strom nach links

Quelle: [1]

Ratschen-

Effekt

„Rocket“-

Ratsche


Quelle: [1]

Ratschen-Effekt„fluctuating potential“-Ratsche


Quelle: [4]

Anwendungen

Molekularer Motor: in lebenden Zellen

Sortieralgorithmus

Ionenpumpe: Ionentransport durch Proteine entgegen des elektro-chemischen Potentials

Quantenratsche:

Bose-Einstein-Kondensat (aus Rubidium-Atomen) in Sägezahnpotential aus Lichtwellen

„travelling potential“-Ratsche

Auftreten von quantenmechanischen Effekten

Tunnelprozesse durchs Potential bei niedrigen Temperaturen bewirkt Stromumkehr als Funktion der Temperatur

SQUID- oder Josephson-Vortex-Ratschen

Gleichrichtung von (elektrischem) Rauschen bis zu 100 GHz durch Bewegung von Flusswirbeln, die wiederum Gleichspannung induzieren


Zusammenfassung

Feynman´s Ratsche:

Temperaturgefälle notwendig für Verrichtung von Arbeit

Maximaler Wirkungsgrad nach Carnot

Sehr einfaches mikroskopisches Modell erzielt gleiches Ergebnis wie

Thermodynamik


Zusammenfassung

Rauschinduzierter Transport:

Wichtig:

Anisotropie des Potentials

Weißes Rauschen

Einführung der Wahrscheinlichkeitsdichte, die die Fokker-Planck-Gleichung erfüllt

Zeitliche Modulation von Potential, Kraft, Temperatur möglich

Pulsierende, Kippende Ratschen und Temperaturratsche

Stromumkehr durch Parameter-Variation möglich: 𝑉, 𝜂, 𝜏,…

Vorkommen in der Natur als Brownsche Motoren in lebenden Zellen

Zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten



Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!


Literatur

[1] R.D. Astumian; Thermodynamics and Kinematics of a Brownian Motor; Science 276, 917 (1997)

[2] P. Reimann; Brownian motors: noisy transport far from equilibrium; Physics Report 361, 57-265 (2002)

[3] R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands; The Feynman Lectures on Physics; Addison Wesley (2007)

[4] R.D. Astumian, P. Hänggi; Brownian Motors; Physics Today 55 (2002), Nr.11, 33

[5] M. Tomic, D. v. Treeck; Brownsche Motoren, Institut für Theoretische Physik; TU Berlin

[6] Z C Tu; Efficiency at maximum power of Feynman‘s ratchet as a heat engine; Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 41 312003 (2008)

[7] R.D. Astumian; Molekulare Motoren; Spektrum d. Wissenschaft 1 / 2002, Seite 36


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