Pirâmides: dos cálculos à

intuição . Um pouco de história

. Obtenção de Φ

. Relação com a sequência de Fibonacci

Um pouco de História

Fídeas (Φειδίας), 430-480 a.C.Euclides (Εὐκλείδης), 330-??? a.C.

• Primeiro a chamar o número áureo;

de média e extrema razão.

• Escultor do Paternon de Atenas;

• Homenageado na notação do

número de ouro.

Obtenção de Φ

Euclides escreve, em seu livro Elementos (II): “Um ponto C cortará o

segmento AB em média e extrema razão quando 𝐵𝐶

𝐴𝐶=

𝐴𝐶

𝐴𝐵.

Observemos o seguinte segmento:

Logo, 𝑎

𝑏=

𝑏

𝑎+𝑏."Podemos dizer que os termos" a, b, a+b estão

em uma progressão geométrica.

Obtenção de Φ

Em uma P.G., a razão entre os termos consecutivos é um valor

constante, a qual chamaremos de Φ.𝑎

𝑏= Φ

Substituindo em 𝑎

𝑏=

𝑏

𝑎+𝑏, vem: Φ =

1

Φ+ 1

Multiplicando os dois lados da equação por Φ, temos:

Φ²=1+Φ → Φ²-Φ−1=0

Obtenção de Φ

Resolvendo a equação quadrática Φ²-Φ−1=0

Somando 1 dos dois lados: Φ²-Φ=1

Para completar o quadrado, somamos 1

4dos dois lados:

Φ²-Φ+1

4=1+

1

4

(Φ−1

2)²=

5

4

Extraindo a raiz positiva:

Φ=1+ 5

2

Relação com a sequência de Fibonacci

𝑺𝒖𝒄𝒆𝒔𝒔𝒐𝒓

𝑨𝒏𝒕𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔𝒐𝒓

Razão

1/1 1,00000

2/1 2,00000

3/2 1,50000

5/3 1,66666

8/5 1,60000

13/8 1,62500

21/13 1,61530

34/21 1,61900

55/34 1,61760

89/55 1,61810

144/89 1,61790

233/144 1,61805

377/233 1,61802

610/377 1,61803

Construções geométricas

• Exemplos de figuras geométricas que seguem a proporção

áurea

• Como adquiri-las

Triângulo Áureo

Retângulo áureo

Retângulo de Fibonacci

Espirais no triângulo áureo

Espiral do retângulo áureo e retângulo de Fibonacci

Razão Áurea no retângulo

Retângulo Áureo

Tem como propriedades:

É áureo se dele obtivermos um quadrado e o retângulo restante ser

semelhante ao original:

Retângulo Áureo

É áureo se a equação b² + ab – a² obtiver a raiz positiva igual a b=

1,618...

Se a razão entre o lado maior e o menor equivale ou é

aproximadamente o valor da razão áurea, ou seja,

𝐴𝐵

𝐴𝐷= 𝜑 =

1+ 5

2

Retângulo Áureo

É áureo quando é escrito pela sequência de

Fibonacci:

Retângulo Áureo

Se um retângulo B é obtido de um retângulo áureo, então B também

será áureo:

Razão Áurea aplicada à natureza

. Curiosidades

Curiosidades

A proporção Divina também é

encontrada em arranjos de

folhas (Filotaxia).

Observamos a Golden

Proportion nas folhas de uma

planta. Elas são arranjadas de

forma espiral ao longo do galho,

não impedindo a luz do sol em

nenhuma das folhas. A soma

dos dois primeiros segmentos da

espiral, começando do topo é

igual ao tamanho do próximo

segmento, por exemplo, A+B=C,

B+C=D, etc.

Curiosidades

Curiosidades

Algumas partes da anatomia

humana onde podemos

encontramos a proporção

áurea:

. A altura do corpo humano e a

medida do umbigo até o chão;

. A altura do crânio e a medida

da mandíbula até o alto da

cabeça;

. A medida da cintura até a

cabeça e o tamanho do tórax;

. A medida do ombro à ponta do

dedo e a medida do cotovelo à

ponta do dedo;

. O tamanho dos dedos e a

medida da dobra central até a

ponta;

. A medida do seu quadril ao

chão e a medida do seu joelho

até ao chão.

Curiosidades

Em destaque na imagem abaixo a mão humana e suas medidas

proporcionais.

Curiosidades

Curiosidades

Curiosidades

Curiosidades

As Pirâmides do Egito e a razão

áurea

A razão áurea

A pirâmide de Quéops, construída entre 2551 e 2528 a.C, logo após

a sua construção, teria uma altura média de 280 cúbitos e a

medida do lado da base 440 cúbitos. Consequentemente, o

apótema da base é 220 cúbitos. Podemos então aplicar o teorema

de Pitágoras para calcular a medida do apótema da pirâmide:

Se g é o apótema da pirâmide, h é a altura da pirâmide e m é o

apótema da base da pirâmide, então g = h + m , logo, g = 280 +

220 =78400+48400=126800 ,assim, g = 356,08.

Se calcularmos a razão entre o apótema da pirâmide e o apótema

da base da pirâmide, ou seja: g/m, obteremos: 356,08/220 = 1,618...

(que é o número Phi).

As pirâmides e a razão áurea

Na Pirâmide de Quéops, no Egito, cada bloco é

1,618 vezes maior que o bloco do nível logo acima

e também, as câmaras em seu interior seguem

esta proporção, de forma que os comprimentos

das salas são 1,618 vezes maiores que as larguras.

Aplicação da razão áurea no corpo humano

Imagens

Padrão de beleza, segundo pesquisa, não se encaixa na razão áurea.

“Máscara de PHI”, um modelo patenteado de beleza para rostos

femininos criado pelo cirurgião plástico Stephen Marquardt:

Proporção de beleza universal

O rosto “recomendado” pela máscara Phi está à esquerda; ele é

realmente mais bonito que o rosto à direita?

Razão áurea na sociedade

moderna

Exemplos...

Pathernon

Ele é um dos prédios mais

conhecidos da Grécia Antiga.

Os gregos sempre foram

apaixonados pela razão áurea e

por isso fizeram O Pathernon com

vários retângulos áureos, inclusive

suas dimensões totais.

Com os retângulos claros

Catedral de Notre Dame

Ela é composta, também, de vários retângulos

áureos.

Proporção áurea de forma clara

Prédio da ONU em Nova York

Sua fachada espelhada é mais

um exemplo da proporção de

Ouro.

APPLE

A empresa tem vários de seus

produtos baseados em retângulo

de ouro.

IPOD

Razão áurea no Iphone

Nas artes de Leonardo da Vinci

Logos de empresas

Canal de TV

Pág do Twitter

Galáxia/Pirâmides

. Pirâmide torta

. Constelação de Órion

. Pirâmides de Gizé

Pirâmide torta

Constelação de Órion

Visão(superior) das pirâmides de Gizé

Teorias aplicadas às pirâmides

. Teoria da rampa única

. Teoria do zig-zag

. Teoria de Jean Pierre Houdin

. Teoria de Heródoto

Teoria da rampa única

Teoria do zig-zag

Teoria de Jean Pierre Houdin

Teoria de Heródoto

Construções antigas e atuais

. Comparações entre épocas

. Earth Pyramid Project

. Esquema

Imagens

Comparação entre épocas

Enquanto a pirâmide foi originalmente construída por 4.000

trabalhadores ao longo de 20 anos usando força, trenós e cordas,

a construção da pirâmide hoje com pedras, transporte de

veículos, guindastes e helicópteros provavelmente levaria 1.500 a

2.000 trabalhadores em torno de cinco anos, e custaria cerca de 9 bilhões de reais.

Earth Pyramid Project

Testando a teoria

Imagens

Goja Music Hall- Checoslováquia Pirâmide de Alexander Golod - Rússia

Imagens

Las Vegas - Luxor Hotel Pyramid Valley, Bangalore, Índia

Vídeo (Palace II)

Vídeo (Real Class)

Imagens

Vídeo (Pontes)

Imagens

Esquema

Psicologia do trabalho

Equipe: Bruna Amorim

Bruna Helena

Iury Alencar

João Neto

Larissa

Rafael Coutinho

Ricardo

Shayelli

Vitória

UFPB