Razão áurea e aplicações

Instituto de Cincias Exatas e Biolgicas ICEB Departamento de Matemtica DEMAT

Mestrado Profissional em Educao Matemtica

DISSERTAO

RAZO UREA E APLICAES: CONTRIBUIES PARA A APRENDIZAGEM DE PROPORCIONALIDADE DE ALUNOS

DO 9o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

Orientando: Alexandre Ramon de Souza

Orientadora: Profa.Dra. Maria do Carmo Vila

Ouro Preto

2013

ii

INSTITUTO DE CINCIAS EXATAS E BIOLGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAO MATEMTICA

Alexandre Ramon de Souza

RAZO UREA E APLICAES: CONTRIBUIES PARA

A APRENDIZAGEM DE PROPORCIONALIDADE DE ALUNOS DO 9o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

Dissertao de Mestrado apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Educao Matemtica da Universidade Federal de Ouro Preto, como requisito parcial para obteno do ttulo de Mestre em Educao Matemtica. rea de Concentrao: Educao Matemtica Orientadora: Prof. Dra. Maria do Carmo Vila

OURO PRETO 2013

iii

Catalogao: [email protected]

G633a Souza, Alexandre Ramon.

Razo urea e aplicaes: contribuies para a aprendizagem de proporcionalidade de alunos do 9

o ano do Ensino Fundamental

147 f.: il.; grafs.; tabs.

Orientadora: Prof Dra Maria do Carmo Vila.

Dissertao (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de

Cincias Exatas e Biolgicas. Departamento de Matemtica. Programa de Mestrado

Profissional em Educao Matemtica.

rea de concentrao: Educao Matemtica.

1. Matemtica - Estudo e ensino - Teses. 2. Ensino a distncia - Teses.

3. Formao de professores - Teses. 4. Licenciatura - Teses. I. Universidade Federal

de Ouro Preto. II. Ttulo.

CDU:

CDU: 669.162.16

mailto:[email protected]

v

Dedico a minha famlia pelo incentivo e pacincia,

principalmente minha me.

vi

AGRADECIMENTOS

A Deus por tudo que tem me proporcionado. A minha orientadora Maria do Carmo Vila pela ateno, carinho e pacincia. A todos que tornaram possvel a realizao deste trabalho. A minha famlia por me incentivar a todo o momento. A Rosngela. Aos membros da banca examinadora, Eliane Scheid Gazire e Marger da Conceio Ventura Viana, pelas valorosas contribuies. A Universidade Federal de Ouro Preto, por mais esta oportunidade de aprimoramento intelectual. Aos professores do curso de Mestrado Profissional em Educao Matemtica da UFOP, pelos momentos de aprendizagem e aprimoramento oferecidos durante as aulas.

vii

Para mim, umas das preocupaes minhas,

uma das razes de minha luta, uma das

razes de minha presena no mundo

exatamente a de que, como educador, eu

posso contribuir para uma associao crtica

da possibilidade da passividade, para que se

v alm dessa passividade, no que chamo de

posturas rebeldes, de posturas criticamente

transformadoras do mundo.

Paulo Freire

viii

RESUMO Pesquisadores e educadores matemticos tm destacado a importncia da proporcionalidade na formao das estruturas cognitivas dos alunos, na aprendizagem de vrios conceitos matemticos, na aplicao em vrias reas do conhecimento cientfico e, ainda, nas aplicaes no cotidiano das pessoas. Contudo, esse contedo tem oferecido dificuldades para alunos e professores e uma das explicaes apresentadas na literatura o fato de que seu ensino consiste, em geral, na apresentao mecnica da regra de trs e de todas as regras que dela decorrem sem possibilidade de os alunos adquirirem um verdadeiro conhecimento de proporcionalidade. As consideraes anteriores levaram o pesquisador a elaborar e aplicar em sala de aula um conjunto de quatorze atividades, tendo como elemento unificador a razo urea e suas aplicaes na Matemtica, na natureza e em outras reas de conhecimento e a propor a seguinte questo de pesquisa: Quais seriam as contribuies do estudo da razo urea e de suas aplicaes para a aprendizagem da proporcionalidade de alunos do 9o ano de uma escola pblica e para a percepo da importncia da Matemtica e de sua aplicao em outras reas de conhecimento? Para respond-la, foram fixados dois objetivos. Primeiro objetivo - Verificar a conjectura: o estudo da razo urea e de suas aplicaes contribui para a aprendizagem da proporcionalidade de alunos do 9o ano do Ensino Fundamental de uma escola pblica. Segundo objetivo - Verificar a conjectura: o estudo da razo urea e de suas aplicaes contribui para a percepo dos alunos acerca da importncia da Matemtica e de sua aplicao em outras reas de conhecimento. Trata-se de uma pesquisa de cunho qualitativo, realizada com 40 alunos do 9o ano. Para a coleta de dados foram utilizados os seguintes instrumentos: teste inicial, observao com anotao em dirio de campo, gravaes em udio e vdeo, relatrios escritos dos alunos, teste final e relatrio final dos alunos. A anlise dos dados mostrou que o estudo da razo urea motivou os alunos, possibilitando a aprendizagem das razes e das propores. Por outro lado, a riqueza de detalhes dos comentrios orais e escritos dos alunos durante a execuo das atividades apresentou evidncias de que os alunos estavam percebendo a importncia da Matemtica e sua aplicao em outras reas do conhecimento. Vale ressaltar tambm que eles relacionavam o tema estudado com objetos conhecidos de seu espao.

Palavras chave: Proporcionalidade, Razo urea, Educao Matemtica.

ix

ABSTRACT Mathematics educators and researchers have highlighted the importance of proportionality in the formation of cognitive structures of students in learning various math concepts in use in many areas of scientific knowledge, and also in applications in daily life. However, that content is offered difficulties for students and teachers and the explanations given in the literature is the fact that their teaching is, in general, the presentation of the mechanical rule of three and any rules made under it is not possible for students to gain a real understanding of proportionality. The above considerations have led researchers to develop and implement in the classroom a set of fourteen activities, with the unifying element the golden ratio in mathematics and its applications, in nature and in other areas of knowledge and to propose the following research question: "What are the contributions of the study of the golden ratio and its applications to learning the proportionality of the ninth year students of a public school and the perception of the importance of mathematics and its application in other areas of knowledge? To answer it were set two goals . First goal - Check the conjecture: The study of the golden ratio and its application contributes to the learning of proportionality students from the 9th grade of elementary school in a public school. Second goal - Check the conjecture: The study of the golden ratio and its application contributes to the perception of the students about the importance of mathematics and its application in other areas of knowledge. This is a qualitative study conducted with 40 students from the 9th year. To collect data we used the following instruments: initial testing, observation annotation field diary, audio and video recordings, students written reports, final testing and final report of the students. Data analysis showed that the study of the golden ratio motivated students enabling learning reasons and proportions. On the other hand, the rich detail of oral and written comments from students during the execution of the activities presented evidence that students were realizing the importance of mathematics and its application in other areas of knowledge. It is noteworthy also that they related the studied subject with known objects of your space. Keywords: Proportionality, Golden Ratio, Mathematics Education.

x

Lista de Figuras

Figura 1 Retngulos ureos inscritos no icosaedro 24

Figura 2 Homem vitruviano desenhado por Leonardo da Vinci 25

Figura 3 Sequncia de Fibonacci e razes sucessivas 29

Figura 4 Diviso de um segmento em mdia de extrema razo 30

Figura 5 Clculo da razo urea 31

Figura 6 Construo geomtrica do segmento ureo 32

Figura 7 Construo geomtrica do segmento ureo a partir do menor lado 32

Figura 8 Decgono e razo urea 33

Figura 9 Pentgono e razo urea 34

Figura 10 Decgono inscrito e razo urea 34

Figura 11 Pentagrama e razo urea 35

Figura 12 Poliedros de Plato 35

Figura 13 Teorema de Pitgoras e razo urea 36

Figura 14 Tringulo retngulo e reas dos retngulos ureos 37

Figura 15 Razo urea e carto de crdito 39

Figura 16 Razo urea e folha de papel A4 39

Figura 17 Razo urea e tela plana de televiso 40

Figura 18 Girassol e razo urea 40

Figura 19 Razo urea e plantas 41

Figura 20 Caracol nautillus e razo urea 41

Figura 21 Rosto humano e razo urea 41

Figura 22 Olhos e razo urea 42

Figura 23 Dedo e razo urea 42

Figura 24 Parthenon e razo urea 43

Figura 25 Taj Mahal e razo urea 43

Figura 26 tima ceia de Da Vinci e razo urea 44

Figura 27 Mona Lisa e razo urea 44

Figura 28 Retngulos ureos e no ureos de superfcies 72

Figura 29 Retngulos ureos e no ureos calculados 73

Figura 30 O caf Portinari 73

Figura 31 Detalhe de uma noite estrelada Van Gogh 73

Figura 32 ltima ceia Da Vinci 74

Figura 33 ltima ceia Dali 74

xi

Figura 34 Retngulos ureos e no ureos em quadros 74

Figura 35 Construo do segmento ureo pelo grupo G4 79

Figura 36 Sequncia de Fibonacci construda pelo grupo G2 82

Figura 37 Sequncias construdas pelo grupo G2 83

Figura 38 Sequncias construdas pelo professor 84

Figura 39 Espirais ureas construdas pelos grupos G1 e G4, respectivamente

85

Figura 40 Pentgono construdo pelo grupo G4 88

Figura 41 Construo do tringulo ureo pelo grupo G6 89

Figura 42 Pentgono, pentagrama e suas medidas 90

Figura 43 Decgono, tringulo ureo e suas medidas 91

Figura 44 Tringulos Sierspinky construdos pelos grupos G1 e G5 92

Figura 45 Resoluo da questo 1 da atividade final pelo grupo G4 98







Figura 52 Embalagens 121

Figura 53 Fotografias 122

Figura 54 Alavancas 123

Figura 55 Histria e receita 124

Figura 56 Fotografias 125

Figura 57 O Caf de Portinari e Abaporu de Tarsila do Amaral 126

Figura 58 Composies de Mondrian 126

xii

SUMRIO

Resumo 8 Lista de Figuras 10 Introduo 14

Captulo I: A Razo urea

21

1.1 Aspectos Histricos da Razo urea 21

1.2 Razo urea 29

1.2.1 Calculando a razo urea 30

1.2.2 Construindo o segmento ureo com rgua e compasso 31

1.3 Os pitagricos e a razo urea 34

1.4 Relevncia do tema razo urea 37

Captulo II: Consideraes sobre a Proporcionalidade

45

2.1 Aspectos Histricos da Proporcionalidade 46

2.2 O Raciocnio Proporcional 50

2.3 Ensino e aprendizagem da proporcionalidade 54

Captulo III: Metodologia da Pesquisa

62

3.1 Participantes 62 3.2 Tcnicas e Instrumentos de Coleta de dados 63 3.3 Procedimentos 65 3.4 Atividades aplicadas em sala de aula 67

Captulo IV: Anlise e Discusso dos Dados

67

4.1 Consideraes Iniciais 67 4.2 Atividade: Aplicaes da Razo urea 67

4.2.1 Descrio da Atividade 67 4.2.2 Anlise e Discusso dos Resultados 69

4.3 Atividade: Retngulos ureos e No ureos 71 4.3.1 Descrio da Atividade 71 4.3.2 Anlise e Discusso dos Resultados 75

4.4 Atividade: Construo do Segmento ureo 77 4.4.1 Descrio da Atividade 77 4.4.2 Anlise e Discusso dos Resultados 79

4.5 Atividade: Sequncia de Fibonacci e Construo da Espiral urea

81

4.5.1 Descrio da Atividade 81 4.5.2 Anlise e Discusso dos Resultados 85

xiii

4.6 Atividade: Construo do Tringulo ureo e do Pentagrama 87 4.6.1 Descrio da Atividade 87 4.6.2 Anlise e Discusso dos Resultados 91

4.7 Atividade: Razo urea e Fractais 93 4.7.1 Descrio da Atividade 93 4.7.2 Anlise e Discusso dos Resultados 95

4.8 Anlise da Atividade Final 97 Captulo V: Consideraes Finais

106

5.1 Consideraes em Relao ao Primeiro Objetivo 106 5.2 Consideraes em Relao ao Segundo Objetivo 107 5.3 Outras Contribuies da Pesquisa 108 Referncias

111

Apndices

115

14

INTRODUO

1. Trajetria Pessoal

Na sexta srie do Ensino Fundamental, encontrei dificuldades na

aprendizagem dos nmeros negativos. Alm de uma antipatia que eu nutria pelo

professor, eles me aterrorizaram durante uma boa parte do ano. Chegado o quarto

bimestre, o professor aposentou-se, sendo substitudo por uma professora que me

deu um novo nimo, motivando-me a seguir em frente e a conseguir a aprovao na

disciplina sem necessidade de passar por recuperao. Foi um alvio!

Durante a stima e a oitava sries, eu no tive problemas com a Matemtica.

O fato de uma nova professora assumir essa disciplina me revitalizou e animou. a

prosseguir meus estudos sem medo da matria. Lembro-me especialmente de uma

aula em que ela contou onde tinha se formado e teceu comentrios sobre o seu

gosto pela Matemtica. Isso me levou a acreditar que poderia vencer esse obstculo

e, quem sabe, tambm, ser um professor dessa disciplina.

Passei, ento, a partir daquele momento, a dar aulas particulares, o que

realmente me aproximou e me fez gostar muito da Matemtica. Na oitava srie,

tambm comecei a aprender Fsica, o que me deixou ainda mais motivado e

interessado por ela.

Tendo concludo o Ensino Fundamental, prestei vestibular no Centro Federal

de Educao Tecnolgica de Minas Gerais (CEFET-MG), sendo aprovado no curso

Tcnico de Mecnica. O curso foi excelente, pois era todo apoiado em Matemtica e

Fsica. Foram trs anos estudando nos perodos da manh e da tarde com at onze

aulas dirias. Embora, s vezes, encontrasse algumas dificuldades inerentes ao

curso, ele era para mim uma fonte de motivao. No posso me esquecer de que os

professores de l tiveram influncia na minha deciso sobre a escolha de meu

curso superior. Aps ter sido aprovado no vestibular, cursei a Licenciatura de Fsica.

Ao terminar, decidi fazer a Licenciatura em Matemtica, na qual aprendi algumas

coisas dessa cincia que me intrigavam. O Desenho Geomtrico, a Geometria

Descritiva e a lgebra foram disciplinas que muito me ajudaram a melhor

compreender a Matemtica.

15

Quando ainda era estudante da Licenciatura de Matemtica, iniciei minha

carreira como professor de Fsica, Qumica e Matemtica. Esse contato com os

estudantes foi muito desafiador, mas ao mesmo tempo motivador. Ser que eu

conseguiria ensinar o que havia aprendido? Ser que os estudantes entenderiam?

Foi um grande desafio, mas eu o encarei. Trabalhei durante algum tempo no Ensino

Mdio; depois de formado, comecei a lecionar no Ensino Fundamental.

Ao longo dos anos de minha carreira no magistrio, tinha a impresso de que

algo no funcionava muito bem. Eu tentava ensinar os contedos, mas verificava

que uma parcela significativa dos alunos no os entendia. Foi ento que desenvolvi

algumas atividades visando aproximar a Matemtica e a Fsica da realidade do

aluno. Obtive alguns resultados favorveis, mas ainda constatava que muitos alunos

continuavam com dificuldades em aprender e eu com dificuldades em ensinar

Matemtica. Sentia-me preocupado, angustiando, sem saber como ajud-los.

Um assunto que sempre me despertava a ateno, pois os alunos tinham

muita dificuldade de aprend-lo, era a proporcionalidade; tema que constava do

programa do 9o ano do Ensino Fundamental.

Em 1997, participei de um curso de Capacitao de Professores para o

Ensino Mdio e, em 1998, de uma Capacitao de Professores para o Ensino

Fundamental. Tais cursos foram promovidos pela Secretaria de Estado de Educao

de Minas Gerais (SEEMG). Eles foram muito importantes para a minha profisso,

pois me incentivaram a buscar alternativas que pudessem minimizar as dificuldades

manifestadas pelos alunos na aprendizagem da Matemtica.

Em 2007, tive conhecimento do Mestrado Profissional em Educao

Matemtica, oferecido pela Universidade Federal de Ouro Preto. Vislumbrei nele

uma oportunidade de conhecer mtodos e processos de ensino/aprendizagem de

Matemtica que pudessem me ajudar a inovar minhas aulas e, consequentemente,

levar meus alunos a aprender e a gostar dessa disciplina.

Em 2010, participei da seleo e fui aprovado no programa do referido

Mestrado. Depois de ter cursado algumas disciplinas, tomei conhecimento de outras

formas de intervir no processo de ensino/aprendizagem da Matemtica, a fim de

reduzir as dificuldades dos alunos no estudo dessa disciplina. Conclui que o

caminho era buscar metodologias e abordagens matemticas que possibilitassem ao

aluno construir seus conhecimentos, ao invs de submet-lo a aulas montonas, nas

quais o professor expe os contedos usando o quadro e o giz.

16

Naquela oportunidade, retomando minha preocupao com a dificuldade dos

alunos na aprendizagem da proporcionalidade, realizei leituras sobre pesquisas e

artigos de educadores que tratavam desse assunto (PONTE, SILVESTRE, 2008;

COSTA, 2005; BERNAL, 2004; PONTES, 1996; POST, BEHR, LESH, 1995).

Tambm analisei as consideraes e orientaes sobre o ensino e a aprendizagem

da proporcionalidade, contidas nos Parmetros Curriculares Nacionais PCN do

Ensino Fundamental (BRASIL, 2008) e no Plano Nacional do Livro Didtico

(BRASIL, 2008).

A partir dessa reviso bibliogrfica inicial, vislumbrei a possibilidade de

abordar o tema proporcionalidade em sala de aula a partir de do assunto matemtico

denominado razo urea. Foi ento que decidi realizar a presente pesquisa, a fim de

verificar se o estudo da razo urea e de suas aplicaes poderia contribuir para a

aprendizagem da proporcionalidade de alunos do 9o ano de uma escola pblica.

Alm de sua aplicao em reas da prpria Matemtica, a razo urea pode

ser observada na vida cotidiana e usada em vrias outras reas do conhecimento

humano como a pintura, arquitetura, msica, odontologia. Considerando tal

diversidade de aplicao, acrescentei um segundo objetivo pesquisa, que alm de

uma antipatia que eu nutria pelo professor seria o de verificar se estudo da razo

urea e de suas aplicaes contribuiria para o desenvolvimento da percepo dos

alunos acerca da importncia da Matemtica e de sua contribuio para outras

reas do conhecimento.

2 Justificativa da Pesquisa

Duas razes principais justificam a presente investigao que pretende

desvendar possveis contribuies da introduo do tema razo urea na

aprendizagem de proporo por alunos do 9o ano do Ensino Fundamental: a)

dificuldade manifestada pelos alunos na aprendizagem de razo, proporo e

semelhana; b) interesse pelo assunto.

a) Dificuldade manifestada pelos alunos na aprendizagem de razo, proporo e

semelhana.

17

Lecionando no Ensino Fundamental e Mdio, o pesquisador percebeu que

havia uma grande dificuldade dos alunos em identificar figuras semelhantes e,

assim, encontrar a proporo entre elas. Tentando minimizar as dificuldades

apresentadas, o pesquisador inseriu o contedo razo urea em suas aulas, tendo

em vista que ele: a) tem vrias aplicaes em outras reas alm da Matemtica

como na arte, na arquitetura, na msica, literatura, entre outros campos; b) envolve

conceitos matemticos de razo, proporo e semelhana. Os resultados lhe

pareceram positivos, mas ele no chegou a realizar nenhum estudo para verificar se

tal abordagem contribua para a aprendizagem da proporcionalidade pelos alunos.

Concluiu, ento, que se fazia necessrio sistematizar a abordagem, aplic-la em

sala de aula, e coletar dados consistentes sobre a experincia realizada. Nascia a o

germe da presente pesquisa.

b) Interesse pelo assunto

Conversando com uma professora, que trabalhava com educao artstica, o

pesquisador percebeu mais profundamente a importncia das aplicaes da razo

urea na Matemtica e em outras reas do conhecimento e, em particular, nas artes.

Naquela ocasio, pensou-se na realizao de um trabalho envolvendo arte e

matemtica. Como este projeto no se concretizou, o pesquisador realizou um

estudo sobre o assunto e sobre a proporcionalidade, a fim de verificar a

possibilidade de realizar uma pesquisa envolvendo os dois temas.

Leituras sobre proporcionalidade e razo urea (POST, LESH, BEHR, 1995;

SPINILLO 2002; CARRAHER, 2002; GONALVES, 2010; Lvio, 2007; HUNTLEY,

1985) confirmaram as preocupaes do pesquisador sobre as dificuldades dos

alunos na aprendizagem da proporcionalidade e o potencial da razo urea para

minor-las. Por sua vez, a anlise do trabalho de CARRAHER et al (1986 apud

PONTES, 1996) e dos Parmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2008) revelou

que a construo dos conceitos matemticos pelos alunos se d ao longo do tempo,

e que eles devem ser trabalhados desde os primeiros anos do Ensino Fundamental,

seno antes. Foi tambm muito importante para a presente investigao, as crticas

de Boisnard e al (1994) e Oliveira e Santos (2 000), mostrando que o ensino da

proporcionalidade consiste, em geral, na apresentao mecnica da regra de trs e

18

de todas as regras que dela decorrem, sem possibilidade de os alunos adquirirem

um verdadeiro conhecimento de proporcionalidade.

Por fim, a posio de pesquisadores e educadores (VERGNAUD, 2003;

LESH, POST e BEHR, 1988), sobre a importncia da proporcionalidade na formao

das estruturas cognitivas dos alunos, na aprendizagem de vrios conceitos

matemticos, na aplicao em vrias reas do conhecimento cientfico e, ainda, nas

aplicaes no cotidiano das pessoas, levou o pesquisador a se preocupar ainda

mais com o aprendizado desse contedo e a reafirmar sua deciso de realizar uma

investigao nessa rea.

Em termos de trabalho em sala de aula, a ideia de retomar o ensino da

proporcionalidade no 9o ano, a partir do estudo da razo urea, foi reavivada por

duas afirmaes contidas em documentos oficiais. A primeira delas consta nos PCN

(BRASIL, 2008, p. 22-23): [...] para o aluno consolidar e ampliar um conceito,

fundamental que ele o veja em novas extenses, representaes ou conexes com

outros conceitos. A segunda, encontra-se no PNDL (BRASIL, 2008, p. 17):

preciso, ento, que esses vrios momentos sejam bem articulados, em especial,

evitando-se a fragmentao ou as retomadas repetitivas.

A retomada da proporcionalidade por meio da razo urea preencheria esses

dois requisitos. Em primeiro lugar, os alunos teriam oportunidade de estudar as

propores em novas representaes e em extenses com outros conceitos

matemticos (sequncias; medida de comprimento; ngulo reto, segmento; tringulo

retngulo; teorema de Pitgoras; pirmide; espiral; fraes contnuas; semelhana

de tringulos retngulos, polgonos etc.). Por outro lado, seria evitada uma retomada

repetitiva, pois a aplicao da razo urea em outras reas cientficas um tema

que atrai a ateno dos alunos.

Portanto, restaria verificar se tal retomada poderia contribuir para o

aprendizado da proporcionalidade e, tambm, para a percepo acerca da

importncia da Matemtica e de sua contribuio para outras reas do

conhecimento.

19

3 Questo de Investigao e Objetivos

As consideraes anteriores levaram o pesquisador a propor a seguinte

questo de pesquisa:

Quais as contribuies do estudo da razo urea e de suas aplicaes para a

aprendizagem da proporcionalidade de alunos do 9o ano de uma escola pblica e

para a percepo da importncia da Matemtica e de sua aplicao em outras reas

de conhecimento?

Para respond-la, foram fixados os dois seguintes objetivos:

1o objetivo - Verificar a conjectura seguinte: O estudo da razo urea e de suas

aplicaes contribuem para a aprendizagem da proporcionalidade de alunos do 9o

ano do Ensino Fundamental de uma escola pblica.

2o objetivo - Verificar a conjectura: O estudo da razo urea e de suas aplicaes

contribuem para a percepo dos alunos acerca da importncia da Matemtica e de

sua aplicao em outras reas de conhecimento.

Para realizar a pesquisa, foi elaborado conjunto de atividades sobre

proporcionalidade para alunos do 9o ano do Ensino Fundamental, a partir da razo

urea e de suas aplicaes.

Considerando que o presente estudo foi desenvolvido no mbito de um

mestrado profissional, e que um produto deve resultar dele para uma possvel

utilizao por professores, o conjunto de atividades elaborado e as orientaes para

sua aplicao sero disponibilizados para uso nas escolas do Ensino Fundamental.

Alm da introduo, esta dissertao apresenta cinco captulos. O Captulo I

trata da razo urea. Nele constam aspectos histricos da razo urea, os

fundamentos matemticos desse conceito e dos conceitos dele decorrentes.

Tambm so discutidas a relevncia desse tema, as relaes entre a razo urea e

a proporcionalidade e a construo do segmento ureo com rgua e compasso.

O Captulo II dedicado proporcionalidade. Nele so abordados aspectos

histricos sobre esse tema, as discusses e estudos relacionados com o raciocnio

proporcional e a temtica do ensino e da aprendizagem da proporcionalidade.

20

A metodologia da pesquisa abordada no Captulo III. Nele so descritos os

participantes, os instrumentos de coleta de dados e os procedimentos que foram

adotados durante a coleta dos dados. Por ltimo, apresentada a o conjunto de

atividades aplicado em sala de aula, a partir de uma abordagem baseada na razo

urea.

No Captulo IV, apresentada a anlise dos dados, bem como a discusso

dos resultados obtidos, tendo em vista os objetivos fixados.

O Captulo V apresenta as consideraes finais relacionadas com o primeiro e

o segundo objetivos da investigao e as contribuies complementares aportadas

pela pesquisa.

21

CAPTULO I

A RAZO UREA

1.1 Aspectos Histricos da Razo urea

Alguns pintores famosos da histria tambm foram matemticos talentosos.

Porm, quando se fala de um homem do Renascimento se quer referir a uma

pessoa que exemplifica o ideal Renascentista de vasta cultura e conhecimento. Por

conseguinte, trs dos mais conhecidos pintores renascentistas, os italianos Piero

dela Francesca, Leonardo da Vinci e o alemo Albrecht Durer, tambm deram

contribuies interessantes Matemtica. Talvez no surpreenda o fato de que as

investigaes matemticas dos trs pintores estivessem relacionadas razo urea.

Conforme salienta Lvio (2007), o matemtico mais ilustre deste trio ilustre foi

Piero dela Francesca. Em Florena, ele conheceu os trabalhos de pintores do incio

do Renascimento, como Fra Angelico e Masaccio, e as esculturas de Donatello.

Ficou particularmente impressionado com a serenidade das obras religiosas de Fra

Angelico, e seu estilo prprio, em termos de aplicao da cor e da luz. Em sua obra,

As Vidas dos Mais Eminentes Pintores, Escultores e Arquitetos1, o primeiro

historiador da arte, Giorgio Vasari, escreveu que Piero demonstrava grande

habilidade matemtica desde a infncia e atribuiu a ele diversos tratados

matemticos (LVIO, 2007). Alguns foram escritos quando ainda era pintor. Em uma

dedicatria ao duque Guidobaldo de Urbino. Piero dizia a respeito de seus livros que

eles foram escritos para que sua inteligncia no ficasse entorpecida pela falta de

uso. Trs dos trabalhos matemticos de Piero foram preservados: De Prospectiva

Pingendi (Sobre a perspectiva na pintura2), Libellus de Quinque Corporibus

Regularibus (Livro curto sobre slidos regulares3) e Trattato dAbaco (Tratado sobre

o baco4).

Tanto no Tratado sobre o baco como em Cinco Slidos Regulares, Piero

apresenta um nmero considervel de problemas e de suas solues que envolvem

o pentgono e os cinco slidos platnicos. Ele calculava os comprimentos dos lados

1 Traduo nossa.

2 Traduo nossa.

3 Traduo nossa.

4 Traduo nossa.

22

e das diagonais, alm de reas e volumes. Muitas das solues envolvem razo

urea. Algumas das tcnicas de Piero demonstram um pensamento inovador e

original.

Segundo Lvio (2007), Piero, tal como Fibonacci antes dele, escreveu o

Tratado sobre o baco principalmente para fornecer aos mercadores de sua poca

receitas matemticas e geomtricas. Num mundo comercial em que no havia um

sistema nico de pesos e medidas e, tampouco, formatos ou tamanhos

convencionais de recipientes, a capacidade de calcular volumes de recipientes era

uma necessidade absoluta. Contudo, a curiosidade de Piero o levou muito alm dos

assuntos com aplicaes cotidianas. Neste sentido, em seus livros, encontram-se

problemas como calcular o lado de um octaedro inscrito em um cubo ou o dimetro

de cinco pequenos crculos inscritos em um crculo de dimetro maior. A soluo

deste ltimo problema envolve o pentgono e, portanto, a razo urea.

Grande parte do trabalho algbrico de Piero foi includa no livro Summa de

Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalit (1494), publicado por Luca

Pacioli (1494). A maioria das obras de Piero sobre slidos, publicados em latim, foi

traduzida para o italiano pelo mesmo Luca Pacioli e incorporada ao seu famoso livro

sobre a razo urea, Divina Proportione como sendo obra sua.

De acordo com Lvio (2007), Luca Pacioli nasceu em 1445 no Borogo San

Sepolcro (a mesma vila toscana em que Piero dela Francesca nasceu e manteve

sua oficina). De fato, Paciolli teve sua educao infantil na oficina de Piero.

Entretanto , ao contrrio de outros alunos que mostraram habilidade na arte e na

pintura, mostrou ser mais promissor em Matemtica. Aps ter sido agraciado com

alguns privilgios pelo papa, Pacioli teve que enfrentar a inveja do establishment

religioso. Durante quase dois anos, chegou a ser impedido de dar aulas.

Em 1494, Pacioli foi Veneza para publicar Summa, que dedicou ao duque

Guidobaldo. De forma enciclopdica, esta obra apresentava o conhecimento

matemtico da poca relativo a Aritmtica, lgebra, Geometria e Trigonometria.

Nesse livro, Pacioli apresenta problemas sobre o icosaedro e o dodecaedro do

tratado de Piero e problemas de lgebra e geometria de Fibonacci.

Segundo Lvio (2007), em 1480, Ludovico Sforza tornou-se, efetivamente, o

duque de Milo. Na verdade, ele era apenas o regente do verdadeiro duque de sete

anos de idade, aps um episdio de intriga poltica e assassinato. Decidido a fazer

da sua corte um lar para estudiosos e artistas, em 1482, Ludovico convidou

23

Leonardo da Vinci como pintor e engenheiro do duque. Leonardo tinha considervel

interesse pela geometria, especialmente por suas aplicaes prticas em mecnica.

Ele considerava a mecnica como sendo o paraso das cincias matemticas, pois

por meio dela podiam-se ver os frutos da Matemtica. Consequentemente, foi

Leonardo quem, provavelmente, induziu o duque a convidar Pacioli para se juntar

corte como professor de matemtica, em 1496. Sem dvida, Leonardo aprendeu um

pouco de Geometria com Pacioli, enquanto infundia neste uma maior apreciao da

arte.

Durante sua estada em Milo, completou o trabalho de seu tratado de trs

volumes, De Divina Proportione (A Divina Proporo 5), que finalmente foi publicado

em 1509. O primeiro grande volume, Compndio de Divina Proportione (Compndio

da Divina Proporo6), contm um sumrio detalhado das propriedades da razo

urea e um estudo dos slidos platnicos e outros poliedros. Na primeira pgina de

A Divina Proporo, Pacioli diz que essa era uma obra necessria para toda mente

humana perspicaz e inquisidora, na qual todos que gostassem de estudar filosofia,

perspectiva, pintura, escultura, msica e outras disciplinas matemticas, iriam

encontrar ensinamentos delicados, sutis e admirveis e se deliciarem em diversas

questes que abarcavam uma cincia muito secreta.

De acordo com Lvio (2007), Pacioli dedicou o primeiro volume de A Divina

Proporo a Ludovico Sforza. No quinto captulo, ele apresenta cinco razes pelas

quais acredita que o nome apropriado para razo urea deveria ser a proporo

divina. A primeira razo seria porque ela uma s e no mais. Isso porque a razo

urea um valor nico e a unidade o supremo epteto do prprio Deus. Como

segunda razo, Pacioli encontra uma similaridade entre a existncia da Santssima

Trindade e a definio da razo urea envolver exatamente trs comprimentos. A

terceira razo consistiria na impossibilidade da compreenso de Deus e o fato de a

razo urea ser um nmero irracional. Pacioli julgava que, assim como Deus no

pode ser definido adequadamente, nem entendido por meio de palavras, a

proporo tambm no poderia ser designada por nmeros inteligveis, nem ser

expressa por uma quantidade racional. Como quarta razo, Pacioli compara a

onipresena e a invariabilidade de Deus com a autossimilaridade associada razo

urea. Isto porque seu valor sempre o mesmo e no depende do comprimento da

5 Traduo nossa.

6 Traduo nossa.

24

linha sendo dividida ou do tamanho do pentgono, no qual quocientes entre os

comprimentos so calculados. A quinta razo indica uma viso ainda mais platnica

da existncia do que expressa pelo prprio Plato. Pacioli afirma que, assim como

Deus conferiu existncia a todo o cosmo atravs da quinta essncia, representado

pelo dodecaedro, a razo urea conferiu existncia ao dodecaedro, j que no se

pode construir o dodecaedro sem a razo urea. Ele acrescenta que impossvel

comparar aos quatro slidos platnicos (representando terra, gua, ar e fogo) entre

si sem a razo urea.

No livro, Pacioli delira incessantemente a respeito das propriedades da razo

urea. Ele analisa em sucesso o que chama de efeitos e os qualifica com adjetivos

como: essencial, singular, maravilhoso, supremo, e assim por diante. Ele considera

como incompreensvel o efeito de que retngulos ureos possam ser inscritos no

icosaedro.

Figura 1 - Retngulos ureos inscritos no icosaedro

Fonte: (Huntley, 1985, p.44)

Pacioli para nos treze efeitos, concluindo que, pelo bem da salvao, essa

lista deveria terminar, pois treze homens estavam presentes mesa da ltima Ceia

de Cristo.

Pacioli tinha grande interesse pelas artes e, em parte, sua inteno em A

Proporo Divina era aperfeioar suas bases matemticas. Sua frase de abertura,

na primeira pgina do livro, expressa o desejo de revelar a artistas, por meio da

razo urea, o segredo das formas harmnicas.

De acordo com Lvio (2007), o segundo volume de A Divina Proporo um

tratado sobre proporo e suas aplicaes na arquitetura e na estrutura do corpo

humano. O tratado de Pacioli foi baseado, em grande parte, no trabalho do arquiteto

romano Marcus Vitruvius. De acordo com Vitruvius (s/d):

25

No corpo humano, o ponto central naturalmente o umbigo. Porque se o homem for deitado de costas, com as mos e os ps estendidos e um compasso for centrado no seu umbigo, os dedos de suas mos e de seus ps iro tocar a circunferncia do crculo descrito a partir desse ponto. E assim como o corpo humano produz um contorno circular, uma figura quadrada tambm pode ser encontrada a partir dele. Pois se medirmos a distncia das solas dos ps at o topo da cabea e depois aplicarmos essa medida aos braos esticados, veremos que a largura ser a mesma que a altura, como no caso de superfcies planas que so perfeitamente quadradas. (VITRUVIUS, s/d apud LVIO, 2007, p.157).

Esta passagem foi considerada pelos estudiosos renascentistas mais uma

demonstrao da ligao entre a base orgnica e a geometria da beleza, e isso

levou ao conceito de homem vitruviano, desenhado por Leonardo da Vinci por volta

de 1490.

Figura 2 - Homem vitruviano desenhado por Leonardo da Vinci

Fonte: Pgina da Wikipdia7

Quanto ao terceiro volume da coleo, ele consiste essencialmente em uma

traduo para o italiano, palavra por palavra, da obra Cinco Slidos Regulares,

escrito em latim por Piero. O fato de que, em nenhum lugar do texto, Pacioli

reconhea que foi simplesmente o tradutor do livro provocou uma violenta denncia

do historiador de arte Giorgio Vasari. Sobre Piero dela Francesca, Vasari (s/d apud

LVIO, 2007) escreve que ele

7 Disponvel em . Acesso em:

22/04/2013

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpghttp://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=wuUgR8dou6KfaM&tbnid=WCm9lSRD7zcvyM:&ved=0CAUQjRw&url=http://arteemerson.blogspot.com/2010/05/o-homem-vitruviano.html&ei=n32aUf_uL4yK8QSR3YHwDA&bvm=bv.46751780,d.dmg&psig=AFQjCNGcNKPTaEvCVHbIu0YrSsaOZue7qw&ust=136916546545

26

[...] era considerado um grande mestre dos problemas dos slidos regulares, tanto aritmticos quanto geomtricos, mas no pde, devido perda da viso que sofreu em idade avanada e em seguida pela morte, tornar conhecidas suas brilhantes pesquisas e os muitos livros que escreveu. O homem que deveria ter feito o mximo para aumentar a reputao e a fama de Piero, j que Piero lhe ensinara tudo que sabia vergonhosa e perversamente, tentou apagar o nome de seu professor e usurpar para si prprio a honra que pertencia inteiramente a Piero. Pois publicou com seu nome, todas as pesquisas feitas por esse admirvel idoso, que era um grande pintor, alm de um expert nas cincias (LVIO, 2007, p. 158).

Conforme Lvio (2007), no h dvida de que, se no fosse pelos livros

impressos de Pacioli, as ideias e construes matemticas de Piero no teriam tido

a ampla circulao que acabaram tendo. Alm disso, at a poca de Pacioli, a razo

urea era conhecida apenas por nomes como razo extrema e mdia ou proporo

que tem uma mdia e dois extremos, e o prprio conceito s era conhecido pelos

matemticos. A publicao da A Divina Proporo, em 1509, renovou o interesse

pela razo urea. O conceito poderia ento ser considerado com ateno renovada,

porque sua publicao na forma de livro o identificava como merecedor de respeito.

A infuso de significado teolgico/filosfico no nome tambm destaca a razo urea

como um tpico matemtico no qual um grupo ecltico e cada vez maior de

intelectuais poderia se aprofundar. Finalmente, com o livro de Pacioli, a razo urea

comeou a se tornar disponvel a artistas em tratados tericos que no eram

excessivamente matemticos, que eles poderiam realmente usar.

Para Pacioli (1509 apud LVIO, 2007), os desenhos dos poliedros feitos mo

por Leonardo da Vinci para o livro A Divina Proporo tiveram um impacto prprio.

Provavelmente, foram as primeiras ilustraes de slidos vazados, que permitiam a

fcil distino visual entre a frente e a parte de trs. H uma crena de que

Leonardo possa ter desenhado o poliedro a partir de uma srie de modelos de

madeira, pois registros da Sala do Conselho em Florena indicam que um conjunto

de modelos de madeira de Pacioli foi adquirido pela cidade para exposio pblica.

As vidas de Leonardo e Pacioli continuaram a ser um tanto interligadas,

mesmo aps a concluso de A Divina Proporo. Em outubro de 1499, os dois

fugiram para Milo quando o exrcito francs, comandado pelo rei Lus XII, tomou a

cidade. Aps passarem curtos perodos em Mntua e Veneza, ambos se

estabeleceram por algum tempo em Florena. Fra Luca Pacioli certamente no pode

ser lembrado por sua originalidade, mas sua influncia no desenvolvimento da

27

Matemtica em geral, e na histria da razo urea em particular, no pode ser

negada.

Na histria da razo urea, aparece outro nome de destaque: Leonardo de

Pisa ou Fibonacci. Ele dizia que qualquer nmero poderia ser escrito com os nove

algarismos (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1) mais o signo 0. Foi assim que Fibonacci comeou

seu primeiro livro Liber Abaci (Livro do baco), publicado em 1202. Fibonacci teve a

oportunidade de estudar e comparar diferentes sistemas de numerao e mtodos

de operaes aritmticas.

Leonardo Fibonacci nasceu na dcada de 1170, filho de um homem de

negcios e funcionrio do governo chamado Guglielmo. O apelido Fibonacci (do

latim filius Bonacci, filho da famlia Bonacci, ou filho da boa natureza), foi

provavelmente introduzido pelo historiador de matemtica Guillaurne Libri numa nota

de rodap em seu livro Histoire des Sciencis Matematique em Italie, de 1838.

Entretanto, h alguns pesquisadores que atribuem o primeiro uso do nome Fibonacci

a matemticos italianos do fim do sculo XVII.

De acordo com Lvio (2007), na Arglia, Fibonacci entrou em contato com os

numerais indo-arbicos, provavelmente com a instruo de um professor rabe.

Aps um tour pelo mediterrneo, que lhe serviu para expandir seus horizontes

matemticos, ele decidiu publicar um livro que introduziria o uso de tais numerais de

modo mais generalizado na vida comercial. Em seu livro, Fibonacci mostra como

traduzir os numerais romanos para o novo sistema e como realizar as operaes

aritmticas com os novos nmeros. Nele, havia tambm muitos exemplos que

demonstravam a aplicao de sua nova matemtica a uma variedade de problemas,

que iam de prticas comerciais e do enchimento e esvaziamento de cisternas ao

movimento de navios.

O papel de Fibonacci na histria da razo urea realmente fascinante. Por

um lado, nos problemas em que usava conscientemente a razo urea, foi

responsvel por um progresso significativo, mas no to importante. Por outro,

simplesmente formulando um problema que, em princpio, nada tinha a ver com a

razo urea, ele expandiu de forma significativa o campo da razo urea e de suas

aplicaes.

As contribuies diretas de Fibonacci para a literatura da razo urea

aparecem em um pequeno livro sobre geometria, Practica Geometriae, que foi

publicado em 1223 (LVIO, 2007). Ele apresentou novos mtodos para o clculo da

28

diagonal e da rea do pentgono, clculos dos lados do pentgono e do

dodecgono a partir do dimetro do crculo inscrito e do circunscrito, e computaes

de volumes do dodecaedro e do icosaedro; todos intimamente ligados razo

urea. Na soluo desses problemas, Fibonacci demonstra um profundo

conhecimento de Geometria Euclidiana. Embora suas tcnicas matemticas

empreguem at certo ponto trabalhos anteriores, em particular sobre o pentgono e

o decgono, de Abu Kamil, h poucas dvidas de que Fibonacci aprimorou o uso

das propriedades da razo urea em vrias aplicaes geomtricas. Contudo, sua

contribuio mais importante para a razo urea, e a que mais lhe trouxe fama,

deriva de um problema aparentemente inocente do Liber Abaci.

Um homem ps um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par em um ano se, supostamente, todo ms cada par d a luz um novo par, que frtil a partir do segundo ms? (FIBONACCI, 1202 apud LVIO, 2007, p.116).

Em qualquer ms, comeando com o terceiro, o nmero de pares de adultos

simplesmente igual soma do nmero de pares de adultos nos dois meses

anteriores. O nmero de pares adultos, portanto, segue a sequncia 1, 1, 2, 3, 5, 8,

..., e o nmero de pares de filhotes segue exatamente a mesma sequncia, apenas

com a diferena de um ms, a saber, 0, 1, 2, 3, 5, 8, ... . fcil observar que o

nmero de pares simplesmente a soma desses nmeros, que d a mesma

sequncia dos pares de adultos, com o primeiro termo omitido (1, 2, 3, 5, 8,...). A

sequncia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... , na qual cada termo, a

partir do terceiro, igual soma dos dois termos anteriores, foi chamada de

sequncia de Fibonacci, no sculo XIX, pelo matemtico francs Edouard Lucas

(1842 - 1891).

Sequncias de nmeros nas quais a relao entre termos sucessivos pode

ser expressa por uma frmula matemtica so conhecidas como recursivas. A

sequncia de Fibonacci foi a primeira dessas sequncias recursivas na Europa. A

propriedade geral de que cada termo na sequncia igual soma dos dois

anteriores expressa matematicamente como: Fn+2 = Fn+1 + Fn , onde Fn

representa o n-simo termo na sequncia.

O nome de Fibonacci to famoso hoje porque a sequncia de Fibonacci

est longe de ficar limitada reproduo de coelhos. Ela usada em algumas

29

construes como a da espiral urea e pode ser encontrada na natureza ( caramujo

Nautillus, ptalas de flores, formao dos galhos das rvores, nas veias e artrias,

etc).

Considerando a sequncia de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... e a razo

de cada nmero pelo seu antecessor, obtm-se outra sequncia:

Isso percebido quando se coloca em um grfico a sequncia de Fibonacci

no eixo horizontal e as razes sucessivas no eixo vertical.

Figura 3 - Sequncia de Fibonacci e razes sucessivas

Fonte: Elaborada pelo autor

As razes vo se aproximando da razo urea. Quando n tende para o

infinito, o limite exatamente a Razo urea .

1.2 Razo urea

Quando se analisa as diversas situaes em que a razo urea aparece,

percebe-se que se trata de um nmero diferenciado, haja vista que suas aplicaes

englobam diversos campos tais como a biologia, a msica, a literatura, as artes, a

arquitetura e situaes na prpria Matemtica como, por exemplo, a sequncia de

Fibonacci. Sobre ela, Kepler (1571 1630) fez o seguinte comentrio:

A geometria possui dois grandes tesouros: um o teorema de Pitgoras; o outro, a diviso de uma linha em extrema e mdia razo. O primeiro, podemos comparar a uma medida do ureo; o segundo podemos chamar joia preciosa. (KEPLER, s/d apud HUNTLEY, 1985, p. 35).

30

Segundo Lvio (2007) a primeira definio de razo urea apareceu, por volta

de 300 a. C., no livro XIII, proposio 5, de Euclides de Alexandria. Sobre esse

tema, a poetisa Edna St. Vicent Millay (1923) escreveu um poema com o ttulo

Somente Euclides viu a Beleza Nua. Euclides (s/d) apud Lvio (2007) definiu essa

proporo da diviso de uma linha que ele chamou de razo extrema e mdia. Nas

palavras de Euclides (s/d) apud Lvio (2007, p. 13 e 14), Diz-se que uma linha reta

cortada na razo extrema e mdia quando, assim como a linha toda est para o

maior segmento, o maior segmento est para o menor. Essa definio pode ser

mais bem entendida, usando a figura seguinte:

Figura 4 - Diviso de um segmento em mdia e extrema razo

A C B

Fonte: Elaborada pelo autor.

Pode-se dizer que o comprimento do segmento AB , certamente, maior que

o do segmento AC; da mesma forma, o comprimento do segmento AC maior que o

do segmento CB. Se a razo entre os comprimentos dos segmentos AB e CB for

igual razo entre os comprimentos dos segmentos AC e CB, ento esse segmento

AB foi dividido na razo extrema e mdia, ou numa razo urea.

Como imaginar que um simples segmento, que Euclides definiu com objetivos

puramente geomtricos, poderia abranger temas que vo da Botnica s Galxias

ou da Matemtica s Artes? Um valor sentimental e espantoso foi dado por Einstein

que disse:

A melhor coisa que podemos vivenciar o mistrio. Ele a emoo fundamental que est no bero da cincia e da arte verdadeiras. Aquele que no o conhece e no mais se maravilha, no sente mais o deslumbramento, vale o mesmo que um morto, que uma vela apagada. (Einstein, s/d apud Lvio 2007, p.14)

1.2.1 Calculando a razo urea

Na figura 5, fazendo AC = x e CB = 1, tem-se que:

31

Figura 5 - Clculo da razo urea

A C Bx 1

Fonte: Elaborada pelo autor.

Logo: x = x + 1. Resolvendo esta equao, obtm-se as seguintes razes:

x =

e x =

A soluo positiva da equao chamada razo urea, usualmente,

nomeada pelo smbolo (l-se phi).

Calculando a raiz positiva da equao, chega-se ao seguinte resultado

aproximado:

1,618

Ou seja, a razo urea , aproximadamente, igual ao nmero 1,618.

1.2.2 Construindo o segmento ureo com rgua e compasso

Para construir um segmento ureo usando rgua e compasso, procede-se do

seguinte modo:

a) Dado um segmento AB qualquer, obter o ponto mdio de AB, usando o

compasso e a rgua. Em seguida, traar uma reta perpendicular reta AB,

passando por B, com a metade do comprimento do segmento AB.

b) Centrando o compasso em B, traar uma circunferncia que intercepte a

perpendicular no ponto C de raio BM. O segmento BC perpendicular ao segmento

AB medindo a metade do segmento AB. Unir os pontos A e C de modo a obter o

tringulo ABC.

c) Com aponta seca do compasso em C e abertura at B, marcar um novo

ponto em AC (hipotenusa) do tringulo no segmento AB. Este o ponto que divide o

segmento AB em mdia e extrema razo, ou ainda, o comprimento da maior parte

de AB 1,618.vezes a menor parte de AB. Esse procedimento pode ser visualizado

atravs da figura 6.

32

Figura 6 - Construo geomtrica do segmento ureo

1/2

x

x

1

1 - x

1/2

A B

C

D

E


Pode-se, tambm, construir um retngulo ureo a partir de um quadrado de

lado a, da seguinte forma:

Figura 7 - Construo geomtrica do segmento ureo a partir de um quadrado

A Ba

F

E

D C

b

ba/2 a/2

a

G


Seja G o ponto mdio do segmento DF. Com o compasso centrado (ponta-

seca) em G, traar o arco EC, sendo C um ponto da reta DF e F pertence ao

segmento DC.

O ponto F divide o segmento DC em mdia e extrema razo (razo urea).

Pode-se, ainda, construir um decgono regular inscrito em uma

circunferncia. A construo do lado de um decgono (l10) equivalente

construo de um arco de medida de 36, isto , equivalente dcima parte de uma

circunferncia dada.

a) Seja, ento, numa circunferncia de centro A e raio r, o ngulo central CB

com medida 36.

33

Figura 8 Decgono e razo urea

Fonte: Rezende e Queiroz, 2008, p.164

b) O tringulo ABC issceles de base BC, com ngulo da base medindo

72. Seja o segmento CD, congruente ao segmento BC, com D pertencente a AB.

Logo, ambos so congruentes ao lado l10 do decgono regular inscrito.

c) O tringulo CDB , ento, issceles e tem por base o segmento DB. Dessa

forma, m(CDB) = 72.

d) Decorre da, que os tringulos ABC e CDB so semelhantes. Assim sendo,

vale a relao AB/CB = CB/DB.

e) O tringulo ADC, por sua vez, issceles com base AC, tendo em vista

que m(ACD) = 36 = m(CD).

f) Dessa forma, tem-se que m(AD m(CD) m (l10).

Isto mostra que r/m(l10) = m(l10)/(r m(l10). Logo, l10 o segmento ureo do raio da

circunferncia inicial.

Simbolicamente: m (l10) = r

Observao: O tringulo issceles ABC, cujo ngulo da base mede 72, chamado

de tringulo ureo. Observa-se que a razo de semelhana entre o tringulo ABC e

o tringulo CDB a razo urea.

34

1.3 Os pitagricos e a razo urea

Os Pitagricos sabiam que havia uma relao urea entre a medida da

diagonal do pentgono regular e a medida do seu lado, conforme mostra a figura

seguinte.

Figura 9 - Pentgono e razo urea

b

a

Relao urea


Os Pitagricos tambm sabiam que a relao entre a medida do raio de uma

circunferncia circunscrita ao decgono regular e a medida de um de seus lados

estavam em razo urea.

Figura 10- Decgono inscrito e razo urea

r r36

o

72o

72o

a

Decgono

Regular

ra = f


O pentagrama era um smbolo e o emblema da Sociedade de Pitgoras; um

membro da sociedade era reconhecido. Era, tambm, considerado pelos membros

da sociedade pitagrica como um smbolo de boa sade.

O pentagrama obtido traando-se as diagonais de um pentgono regular. O

pentgono menor, formado pelas intersees das diagonais, est em proporo com

o pentgono maior, de onde se originou o pentagrama.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pentagramahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Pent%C3%A1gono

35

Figura 11 - Pentagrama e razo urea

pentgono e suas diagonais pentagrama


O pentagrama detm uma srie de razes ureas. Uma delas a seguinte: a

razo entre as medidas dos lados dos dois pentgonos igual ao quadrado da

razo urea. Tambm pode ser constatdo que a razo entre as medidas das reas

dos dois pentgonos igual a quarta potncia da razo urea.

Na escola de Pitgoras, j se sabia que havia cinco, e somente cinco, slidos

convexos regulares, cada um deles podendo ser circunscrito por uma esfera. So

eles: cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Tais poliedros esto

associados ao nome de Plato por ele ter relacionado esses poliedros com os

elementos importantes ao qual o mundo fosse feito: terra, fogo, ar, universo e gua,

respectivamente.

Figura 12 Poliedros de Plato

TETRAEDRO

Possui 4 faces que so tringulos

equilteros.

Possui 6 faces que

so quadrados.

Possui 8 faces que so tringulos equilteros.

DODECAEDRO

Possui 12 faces que so pentgonos regulares.

ICOSAEDRO

Possui 20 faces que so

tringulos equilteros.


http://www.google.com.br/imgres?q=tetraedro&um=1&hl=pt-BR&biw=1366&bih=632&tbm=isch&tbnid=aD-tOLadIVlTwM:&imgrefurl=http://es.wikipedia.org/wiki/Tetraedro&docid=1DJbGDkPNF-DeM&imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Tetrahedron_(PSF).svg/220px-Tetrahedron_(PSF).svg.png&w=220&h=252&ei=J__XT5SgO4Ou8AS-8cjSAw&zoom=1&iact=hc&vpx=1111&vpy=302&dur=1059&hovh=201&hovw=176&tx=91&ty=120&sig=117925885768437899607&page=3&tbnh=141&tbnw=121&start=50&ndsp=28&ved=1t:429,r:20,s:50,ihttp://www.google.com.br/imgres?q="hexaedro+regular"&um=1&hl=pt-BR&biw=1366&bih=632&tbm=isch&tbnid=YWy7zdvZysDKuM:&imgrefurl=http://euler.mat.ufrgs.br/~ensino2/alunos/06/index.htm&docid=G1dLGBqPJ4RsRM&imgurl=http://euler.mat.ufrgs.br/~ensino2/alunos/06/hexaedro.JPG&w=278&h=278&ei=bfnXT7aSLpKa8gTs9amvAw&zoom=1&iact=hc&vpx=731&vpy=167&dur=1081&hovh=222&hovw=222&tx=114&ty=134&sig=117925885768437899607&page=1&tbnh=130&tbnw=139&start=0&ndsp=21&ved=1t:429,r:4,s:0,ihttp://www.google.com.br/imgres?q=octaedro&um=1&hl=pt-BR&sa=N&biw=1366&bih=632&tbm=isch&tbnid=G2ucb0wFy_oB-M:&imgrefurl=http://euler.mat.ufrgs.br/~ensino2/alunos/06/index.htm&docid=G1dLGBqPJ4RsRM&imgurl=http://euler.mat.ufrgs.br/~ensino2/alunos/06/octaedro.JPG&w=244&h=269&ei=D_vXT8OnKISG8QTuweXeAw&zoom=1&iact=hc&vpx=873&vpy=139&dur=3604&hovh=215&hovw=195&tx=125&ty=140&sig=117925885768437899607&page=1&tbnh=138&tbnw=124&start=0&ndsp=23&ved=1t:429,r:5,s:0,http://www.google.com.br/imgres?q=dodecaedro&start=578&um=1&hl=pt-BR&biw=1366&bih=632&tbm=isch&tbnid=DatTwC6uFuxnKM:&imgrefurl=http://progettomatematica.dm.unibo.it/simmetriepoliedri/Solidi Platonici2.htm&docid=S3xIkcZW4dslYM&imgurl=http://progettomatematica.dm.unibo.it/simmetriepoliedri/dodecaedro.gif&w=415&h=413&ei=TPzXT8bfG5GW8gTotsjOAw&zoom=1&iact=hc&vpx=445&vpy=2&dur=655&hovh=224&hovw=225&tx=108&ty=118&sig=117925885768437899607&page=23&tbnh=138&tbnw=139&ndsp=27&ved=1t:429,r:2,s:578,http://www.google.com.br/imgres?q=icosaedro&start=660&um=1&hl=pt-BR&biw=1366&bih=632&tbm=isch&tbnid=Fduh17qlnSKSiM:&imgrefurl=http://progettomatematica.dm.unibo.it/simmetriepoliedri/Solidi Platonici2.htm&docid=S3xIkcZW4dslYM&imgurl=http://progettomatematica.dm.unibo.it/simmetriepoliedri/cio.gif&w=529&h=551&ei=sP7XT7rgHoOa9gTa9dnEAw&zoom=1&iact=hc&vpx=1075&vpy=273&dur=772&hovh=229&hovw=220&tx=118&ty=146&sig=117925885768437899607&page=26&tbnh=150&tbnw=144&ndsp=27&ved=1t:429,r:26,s:660,i

36

Unindo-se os centros dos lados do cubo formar-se- um octaedro, enquanto a

unio dos centroides do octaedro forma um cubo. Relao semelhante verifica-se

entre o dodecaedro e o icosaedro. A unio de quatro centroides dos lados do

tetraedro d origem a outro tetraedro.

Segundo Huntley (1985), um gosto pelos mistrios levou os gregos antigos a

atribuir um significado especial ao dodecaedro. Suas doze faces regulares

correspondiam aos doze signos do zodaco. Era um smbolo do universo.

interessante observar que, no dodecaedro, o ponto de interseco de duas

diagonais divide cada uma delas na proporo urea. Cada face pentagonal,

associada diviso urea, era de interesse especial para os pitagricos.

Existe uma relao dos dois pares de poliedros recprocos com o retngulo

ureo.

O teorema de Pitgoras tambm guarda relao com a razo urea, como se

pode observar a seguir. Os Egpcios utilizavam o tringulo cujos comprimentos dos

lados eram 3; 4; 5, pois sabiam que ele possua um ngulo reto. Se forem efetuadas

construes geomtricas nesse tringulo, percebe-se que a razo urea a tambm

aparece.

Figura 13 Teorema de Pitgoras e razo urea

Fonte: Queiroz, 2008, pg.12

A bissetriz do ngulo C intercepta o lado AB em O; logo, pode-se construir um

crculo com centro em O e raio OB. A hipotenusa AC tangencia o crculo no ponto B.

O segmento BB intercepta o segmento CO no ponto R. O segmento CO corta o

crculo no ponto Q e o ponto Q divide o segmento CP na proporo urea, ou seja:

= m(PQ)

m(CQ)=

m(OR)

m(RQ)=

m(CP)

m(PO)

37

Embora no haja documentos da poca, provavelmente, foram os pitagricos

os primeiros a demonstrarem a relao entre os lados do tringulo retngulo: a soma

dos quadrados dos catetos igual ao quadrado da hipotenusa. Tal relao

conhecida como o teorema de Pitgoras. Conforme salienta Boyer (1996),

Tendo desenvolvido a teoria das propores no livro V, Euclides explorou-a no livro VI provando teoremas relativos a razes e propores que aparecem em tringulos, paralelogramos e outros polgonos semelhantes. Merece destaque a Proposio 31, uma generalizao do teorema de Pitgoras. Em tringulos retngulos a figura sobre o lado que subtende o ngulo reto igual s figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os lados que contm o ngulo reto. Proclo atribui esta extenso ao prprio Euclides. O livro VI contm tambm (nas Proposies 28 e 29) uma generalizao do mtodo de aplicao das reas, pois a base slida para as propores, dada no livro V, permitia ao autor fazer uso livre do conceito de semelhana. (Boyer, 1996 p.78)

interessante observar a relao das reas dos retngulos ureos

construdos a partir dos lados de um tringulo retngulo.

Figura 14 - Tringulo retngulo e reas dos retngulos ureos

3,09 cm

3,09 cm

2,472 cm

4 cm

3 cm

1,854... cm

3 x 1,854... + 4 x 2,472... 5 x 3,09


1.4 Relevncia do tema razo urea

A razo urea um tema que possibilita a explorao de vrios contedos

matemticos e suas aplicaes se estendem por diversas reas do conhecimento

humano. Portanto, ele se constitui em contedo importante no ensino da

Matemtica.

38

No primeiro caso, observa-se que, ao desenvolver o trabalho com a razo

urea, trs eixos temticos citados no CBC (2007) so estudados pelos alunos. O

eixo temtico Espao e Forma abordado e permite desenvolver as habilidades:

reconhecer as propriedades das figuras planas tais como os tringulos, quadrados,

retngulos; identificar segmento e seu ponto mdio, elementos de tringulos e

polgonos; reconhecer e descrever objetos do mundo fsico utilizando termos

geomtricos; construir perpendiculares, paralelas e mediatriz de um segmento

usando rgua e compasso; reconhecer o ponto segmento, a mediatriz e a bissetriz

de ngulos) utilizando rgua e compasso; retas paralelas e perpendiculares,

construo de tringulos, quadrados, retngulos, pentgonos, hexgonos e outros

polgonos

O eixo temtico Nmeros e Operaes funde-se com o eixo Expresses

Algbricas, ajudando a desenvolver algumas importantes habilidades: realizar

clculos numricos, resolver problemas que envolvam grandezas diretamente

proporcionais; resolver problemas que envolvam nmeros racionais; reconhecer a

razo urea como nmero irracional atravs da resoluo de uma equao do

segundo grau.

Outra vantagem do estudo da razo urea que ela possibilita o uso de

instrumentos de construo como rgua, transferidor e compasso ou, ento,

softwares de geometria dinmica. So atividades de desenho geomtrico que

podem trazer muitos benefcios para o aprendizado da Matemtica, conforme

salienta Marmo e Marmo.

O Desenho Geomtrico estabelece um canal de comunicao universal para a transmisso da linguagem grfica. disciplina que permite ao estudante tirar uma srie muito grande de concluses a partir de um mnimo de informaes, liberando a criatividade. Interliga as demais disciplinas ajudando a compreenso de desenhos em geral e a resoluo de questes de natureza prtica do cotidiano. O Desenho concretiza os conhecimentos tericos da Geometria, fortalecendo o ensino desta importante matria (MARMO e MARMO, 1994, p.6).

A razo urea tambm pode ser importante no aprendizado da Matemtica ao

ser encontrada em situaes to diversas como a vida cotidiana, a natureza, a

arquitetura, a odontologia, msica, pintura.

39

Na vida cotidiana, ela pode ser observada, por exemplo, em cartes de

crdito, conforme mostra a figura 15.

Figura 15 - Razo urea e carto de crdito

r

s= f

r

s

Fonte: Pgina do Universo Fantstico8

Tambm pode ser encontrada em uma folha de papel, conforme ilustrada na

figura 16.

Figura 16 - Razo urea e folha de papel A4

x

y

x

y= f


Conforme mostra a figura 17, a razo urea pode ainda ser observada em

uma tela de televiso plana.

8 Disponvel em . Acesso em 22/04/2013.

http://www.universofantastico.blogspot.br/

40

Figura 17 - Razo urea e tela plana de televiso

c

d= f

c

d

Fonte: Adaptada da pgina TV digital Brasil escola 9

Os alunos podero, tambm, encontrar a razo urea na natureza como, por

exemplo, na concha do caracol nautillus, na distribuio das sementes das plantas,

nas escamas de peixes, na margarida, no girassol, nos chifres dos cordeiros

selvagens, nas presas dos elefantes, na concha de moluscos, entre outros. Trata-se

de observar espirais logartmicas e a sequncia de Fibonacci, onde se encontra a

razo urea.

Figura 18 Girassol e razo urea

Fonte: Pgina Universo da Gil10

9 Disponvel em Acesso em 22/04/2013.

10 Disponvel em < http:// www.universodagil.blogspot.com> Acesso em 22/04/2013

http://www.universodagil.blogspot.com/

41

Figura 19 - Razo urea e plantas

Fonte: Pgina O lpis Verde11

Figura 20 - Caracol nautillus e razo urea

Fonte: Portal Sercomtel 12

No corpo humano, a presena da razo urea pode ser detectada entre

medidas de comprimentos de vrias de suas partes, conforme mostram as figuras

21, 22 e 23.

Figura 21 - Rosto humano e razo urea

a

b

c

d

a

b= f

c

d= f

Fonte: adelmomedeiros.com 13

11

Disponvel em: Acesso em 22/04/2013. 12

Disponvel em: < http://www.sercomtel.com.br> Acesso em 22/04/2013. 13

Disponvel em: < http://www.adelmomedeiros.com.br>. Acesso em 22/04/2013.

http://www.olapisverde.blogspot.br/http://www.sercomtel.com.br/

42

Figura 22 - olhos e razo urea

m n

m

n= f

Fonte: Pgina do Design.blog 14

Figura 23 - Dedo e razo urea

c a

a

c= f

Fonte: Figura adaptada da pgina da Wikipdia15

Na arquitetura, a razo urea serviu de base para a construo de edifcios

tanto na antiguidade como em tempos modernos. Por exemplo, o Parthenon, edifcio

grego representativo do sculo de Pricles e construdo entre 447 a. C. e 443 a. C.,

apresenta a razo urea entre algumas de suas medidas. O mesmo acontece com o

Taj Mahal, construdo pelo imperador indiano Shah Jahan, entre 1630 e 1652, sobre

o tmulo de sua esposa chamada Aryumand Banu Began. Em tempos modernos, a

razo urea pode ser observada em trs retngulos ureos que se encontram na

fachada principal do edifcio sede das Naes Unidas em Nova York.

14

Disponvel em: < http://www.design.blog.br>. Acesso em: 22/04/2013. 15

Disponvel em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_%C3%A1urea. Acesso em:

22/04/2013.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_%C3%A1urea

43

Figura 24 - Parthenon e razo urea

m

n= f

m n

ab

a

b= f

Fonte: Figura adaptada da pgina Um universo fantstico16

Figura 25 - Taj Mahal e razo urea

a

b= f

c

d= f

a

c b

d

Fonte: figura adaptada da pgina Phi O nmero de Ouro17

A razo urea tem sido usada nas artes por grandes pintores e escultores. O

universalmente famoso quadro da Monalisa, pintado por Leonardo da Vinci,

apresenta a proporo urea na face, bem como em relaes no tronco. Na santa

ceia de Da Vinci, o pintor tambm utilizou a razo urea.

Boticelli, pintor italiano do Renascimento, em seu quadro denominado O

Nascimento de Vnus, a imagem de Afrodite est na proporo urea. Outros

mestres da pintura, como Giotto e Salvador Dal, tambm usaram a razo urea em

suas obras.

16

Disponvel em: Acesso em: 22/04/2013. 17

Disponvel em: http://razaoaureaifsc.blogspot.com.br/2012/09/aplicacoes-da-razao-aurea.html. Acesso em

22/04/2013.

http://pt.wikipedia.org/wiki/O_Nascimento_de_V%C3%AAnushttp://pt.wikipedia.org/wiki/O_Nascimento_de_V%C3%AAnushttp://pt.wikipedia.org/wiki/Afroditehttp://razaoaureaifsc.blogspot.com.br/2012/09/aplicacoes-da-razao-aurea.html

44

Figura 26 - tima ceia de Da Vinci e razo urea

w

z

x

y= f

z

w= f

Fonte: Figura adaptada da pgina B. Piropo18

Figura 27 - Mona Lisa e razo urea

Fonte: Figura adaptada da pgina De tudo um pouco19

18

Disponvel em: . Acesso em 22/04/2013. 19

Disponvel em Acesso em 22/04/2013.

http://www.bpiropo.com.br/http://www.deumtudo2.blogspot.com/

45

CAPTULO II

CONSIDERAES SOBRE A PROPORCIONALIDADE

O ensino da Matemtica vem sofrendo grandes mudanas na maioria dos

pases, visando substituir o ensino tradicional, que leva os alunos a uma

memorizao de contedos, ao aprendizado de tcnicas e frmulas de uso imediato,

resoluo de exerccios padronizados. A Matemtica mais do que isso. Para

Garcia (2009), a Matemtica desempenha um papel importante na formao do

cidado, pois ela permite ao ser humano desenvolver estratgias, enfrentar desafios,

comprovar e justificar resultados em outras atividades, alm de estimular a

criatividade, o desenvolvimento do raciocnio lgico, a iniciativa pessoal e o trabalho

coletivo.

No Brasil, de acordo com os PCN (BRASIL, 1997), os objetivos do Ensino

Fundamental consistem em conduzir o aluno a compreender e transformar o mundo

sua volta, estabelecer relaes de qualidade e quantidade, resolver situaes-

problemas, comunicar-se matematicamente, estabelecer ligaes dentro e fora da

Matemtica com os outros contedos, promover-lhe autoconfiana e interao com

seus colegas. Neles tambm consta que:

O ensino de Matemtica prestar sua contribuio medida que forem exploradas metodologias que priorizem a criao de estratgias, a comprovao, a justificativa, a argumentao, o esprito crtico e favoream a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia, advinda do desenvolvimento da confiana na prpria capacidade de conhecer e enfrentar desafios (BRASIL, 1997, p. 26).

Ainda de acordo com os PCN, as finalidades do ensino de Matemtica

indicam que os objetivos do ensino fundamental consistem em levar o aluno a:

Identificar os conhecimentos matemticos como meios para compreender e transformar o mundo sua volta e perceber o carter de jogo intelectual, caracterstico da Matemtica, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o esprito de investigao e o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas;

Fazer observaes sistemticas de aspectos qualitativos e quantitativos do ponto de vista de relaes entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemtico (aritmtico, geomtrico, mtrico, estatstico, combinatrio, probabilstico); selecionar, organizar e produzir informaes relevantes para interpret-las e avali-las criticamente (BRASIL, 1997, p. 37).

46

Segundo o Currculo Bsico Comum de Minas Gerais - CBC-MG 2005, as

metodologias utilizadas devem priorizar a participao ativa do aluno atravs da

leitura de textos matemticos, estudos dirigidos, trabalhos em grupo, atividades

ldicas, curiosidades, exposies e murais. E, se possvel, atravs do uso de

recursos computacionais com softwares de geometria dinmica e experimentos de

clculo.

Apesar dessas recomendaes e dos esforos da comunidade de educao

matemtica junto aos docentes, as mudanas ainda no se concretizaram na

maioria das escolas brasileiras. Isso pode ser sentido quando os professores de

uma determinada srie detectam que seus alunos no possuem os pr-requisitos

necessrios para o aprendizado de um determinado tema, embora eles j os tenham

estudado anteriormente. Tal caso, por exemplo, da proporcionalidade, j estudada

pelos alunos no 7o ano, to necessria no 9o ano de Ensino Fundamental para a

aprendizagem de semelhana de tringulos e do Teorema de Tales e de suas

aplicaes, entre outros temas.

2.1 Aspectos Histricos da Proporcionalidade

Inmeros conceitos matemticos que so utilizados na resoluo de

problemas atuais surgiram na antiguidade. Caso igual ao da proporcionalidade,

com grandes aplicaes, hoje em dia, em diversas reas do conhecimento e na

resoluo de problemas cotidianos.

De acordo com textos e documentos analisados por historiadores da

Matemtica, j havia registros relacionados s propores no Papiro de Rhind, ou

Papiro de Armes, um texto matemtico datado de 1650 a.C e que trazia informaes

referentes matemtica egpcia antiga (EVES, 2004).

Segundo Boyer (1974), nesse papiro h registros de problemas aritmticos,

envolvendo objetos concretos relacionados s situaes prticas do dia a dia, cujas

solues mostram evidncias do conhecimento e uso do algoritmo que se

assemelha ao que hoje se chama regra de trs. Um exemplo disso a resoluo

apresentada para o problema 72, que indaga sobre o nmero de pes de pesu

(densidade do gro) 45 que equivalente 100 pes de pesu 10. A soluo 450

pes encontrada a partir da resoluo da expresso

.

47

Outros problemas, segundo Gonalves (2010), envolvendo proporo que

constam no papiro de Rhind so citados por Boyer (1974) como sendo problemas

algbricos. Estes no mencionam objetos concretos especficos, nem fazem apelo

s operaes ou nmeros conhecidos. Trata-se de problemas com incgnitas

denominadas aha. Um exemplo retratado por Boyer o problema 24 que solicita o

valor de aha, sabendo que aha mais um stimo de aha d 19. A soluo proposta

encontrada por meio do mtodo da falsa posio, segundo o qual se atribui um

valor qualquer para aha e, aps a realizao das operaes indicadas no problema,

compara-se o valor encontrado com o resultado que se deseja e, usando o conceito

de proporo durante a resoluo, chega-se resposta correta.

No campo da Geometria, os egpcios chegaram a uma frmula para a rea do

crculo a partir da proporcionalidade entre a rea do quadrado de lado igual ao

dimetro do crculo e a rea do octgono inscrito nesse quadrado. Tal frmula no

difere muito da rea do crculo atualmente usada.

A histria antiga da Matemtica ainda mostra outros povos que fizeram usos

das propores. Eves (2004) diz que, h mais de mil anos da era crist, os

babilnios tinham conhecimento de que os lados correspondentes de dois tringulos

retngulos semelhantes eram proporcionais.

Na Matemtica da Grcia antiga, os pitagricos tambm faziam uso do

raciocnio proporcional, mas sua concepo das propores foi desconsiderada

quando da descoberta das grandezas incomensurveis. At ento, os pitagricos

acreditavam que, dados dois segmentos quaisquer, sempre existia um segmento

que cabia uma quantidade inteira de vezes em cada um dos segmentos

considerados, ou seja, que os segmentos eram comensurveis. Ainda atribudo

aos pitagricos o estudo das mdias e o uso da proporo urea, o que fez os

historiadores cogitarem sobre a hiptese de que os pitagricos possuam uma teoria

de propores para se trabalhar com nmeros.

Segundo Eves (2004), no livro V dos Elementos, Euclides registra de forma

organizada a teoria das propores de Eudoxo. Expe a definio de proporo na

definio 5:

Diz-se que grandezas esto na mesma razo, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta quando, tomando-se equimltiplos quaisquer da primeira e da terceira e equimltiplos quaisquer da segunda e da quarta, os primeiros equimltiplos so ambos maiores

48

que, ou ambos iguais a, ou ambos menores que os ltimos equimltiplos considerados em ordem correspondentes (EUCLIDES, s/d apud EVES, 2004, p.173)

Utilizando a linguagem simblica que a Matemtica passou a adotar ao longo

dos tempos, a definio proposta por Eudoxo pode ser escrita do seguinte modo:

=

se, e somente se, dados os inteiros m, n sempre que , ento

se , ento ; se , ento .

No livro V, Euclides ainda apresenta a definio de grandezas proporcionais,

(def. 6), no qual afirma que as grandezas, que tm entre si a mesma razo, se

chamam proporcionais (EUCLIDES, s/d apud COMMANDINO, 1944, p. 75). No livro

VI dos Elementos de Euclides, encontra-se a aplicao das propores eudoxianas

Geometria Plana. Nele, so apresentados os teoremas fundamentais da

semelhana de tringulos, a construo de terceiras, quartas e mdias

proporcionais, a proposio que afirma que a bissetriz de um ngulo de um tringulo

divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos outros dois lados, entre outras

afirmaes.

Alm da aplicao Geometria, a teoria das propores foi aplicada aos

nmeros. De fato, conforme mostra Arajo et al (2005, p. 9), no livro VII, Euclides

apresenta a seguinte definio nomeada como definio 20: Nmeros so

proporcionais quando o primeiro o mesmo mltiplo, ou a mesma parte, ou as

mesmas partes, de um segundo nmero, que o terceiro do quarto. A proposio

19 tambm trata de proporo relacionada aos nmeros:

Se quatro nmeros so proporcionais, ento o nmero originado pelo primeiro e o quarto igual ao nmero originado pelo segundo e o terceiro; e, se o nmero originado pelo primeiro e o quarto igual ao nmero originado pelo segundo e o terceiro, ento os quatro nmeros so proporcionais (ARAJO et al., 2005, p. 16).

A proposio 19 hoje conhecida como a propriedade fundamental das

propores. Usando a simbologia atual, tem-se o seguinte enunciado: se a:b = c:d,

ento a.d = b.c e, se a.d = b.c, ento a:b = c:d.

Boyer (1974) constatou que a teoria das propores de Euclides foi

substituda pela teoria de Omar Khayyman que, ao propor um mtodo numrico em

substituio ao mtodo anterior, se aproximou muito das noes de nmeros

49

irracionais, e lidou com o conceito de um tipo de nmero que hoje representa o

conceito de nmero real.

Tradicionalmente, os problemas que envolvem propores nos quais so

conhecidos trs valores e deseja-se determinar um quarto valor, so resolvidos por

um processo prtico denominado regra de trs e que, supostamente, surge das

noes apresentadas na proposio 19 do livro VII dos Elementos de Euclides. Por

exemplo, empregando a simbologia atual da Matemtica, verifica-se que dados a,b,c

conhecidos e x o desconhecido, tem-se que a.b = c.x. No entanto, a regra de trs s

veio a ser associada s propores no final do sculo XVI (Eves, 2004).

Anteriormente, a regra de trs era puramente verbal, no sendo expressa por

nenhum tipo de frmulas ou equaes.

Boyer (1996) destaca que a produo matemtica chinesa mais importante

foi o livro Chui-Chang-Suan-Shu ou Nove Captulos sobre a Arte Matemtica (250

a.C.). Nele so apresentados 246 problemas sobre medidas de terras, agricultura,

sociedade, engenharia, impostos dentre outros exemplos, onde alguns podiam ser

resolvidos por regra de trs. A anlise dos problemas revela que a regra de trs j

era usada na resoluo de problemas de interesse de grupos sociais.

Em seus trabalhos, Smith (1958) e vila (1986) mostram que a regra de trs

foi usada em transaes comerciais durante vrios sculos. Nesse sentido, Garding

(1981) ressalta que:

Pouco depois da inveno da imprensa apareceram muito compndios de aritmtica elementar, alguns deles tratando tambm de fraes e de matemtica comercial, em particular da equivalncia de moedas, de problemas de partilhas e taxas de juros. O fato que x = a.b/c resolve a equao a.b = c.x (regra de trs) mostrou ser extremamente til. Um escritor chama-lhe a regra de ouro alegando que to valiosa que ultrapassa as outras regras, assim como o ouro ultrapassa os outros metais (GARDING, 1981, p. 290).

Outro fato histrico sobre as propores deve-se ao italiano Leonardo de

Pisa, tambm conhecido como Fibonacci. Em seu livro denominado Liber Abaci,

publicado em 1202, encontra-se um problema envolvendo regra de trs, e que Eves

(2004, p. 316) descreve com o seguinte enunciado: Certo rei envia 30 homens a

seu pomar para plantar rvores. Se eles podem plantar 1000 rvores em 9 dias, em

quantos dias 36 homens plantariam 4400 rvores?.

50

2.2 O Raciocnio Proporcional

As expresses raciocnio proporcional e pensamento proporcional so

usadas por vrios autores para descrever uma maneira de pensar em Matemtica

diante de situaes que envolvam relaes proporcionais.

Conforme assinalam Post, Lesh e Behr (1995), j foram feitas tentativas de

se definir o raciocnio proporcional. Em algumas delas, por exemplo, ele

considerado como forma de raciocinar proporcionalmente, como capacidade do

indivduo em fornecer respostas certas a problemas com valor ausente. Assim, o

raciocnio proporcional no limitado a resolver problemas utilizando algoritmos; ele

envolve o raciocnio com propores, um senso de covariao, comparaes

mltiplas e a capacidade de armazenar e processar mentalmente vrias

informaes. Ao comparar duas razes necessrio entender que as grandezas se

relacionam entre si e variam em conjunto.

Post, Lesh e Behr (1995), segundo Gonalves (2010), consideram que o

raciocnio proporcional requer um pensamento qualitativo e quantitativo. O

pensamento qualitativo seria mais amplo que o quantitativo, uma vez que ele

possibilita uma anlise prvia do problema e uma concluso, aps comparar taxas

ou razes dadas, antes de se efetuar clculos para se obter a resposta. O

pensamento qualitativo possibilita ainda uma anlise dos resultados obtidos, fazendo

com que seja feito um questionamento quanto coerncia no contexto perante o

problema que foi resolvido. Como afirmam Post, Behr e Lesh (1995, p.90 ), o

pensamento qualitativo exige a capacidade de interpretar o significado de duas

taxas, guardar essa informao e, ento, comparar as interpretaes de acordo com

critrios predeterminados. O pensamento quantitativo refere-se ao envolvimento e

domnio dos clculos para obter uma soluo numrica para o problema, exigindo, o

domnio de conceitos matemticos; entre eles, os relacionados aos nmeros

racionais, tais como ordem, diviso, equivalncia e a relao entre unidade e suas

partes. Para os autores importante que o indivduo seja capaz de diferenciar

situaes proporcionais das que no possuem essas relaes para que o raciocnio

proporcional seja identificado.

Post, Behr e Lesh (1995) consideram que o raciocnio proporcional envolve

aspectos tanto matemticos quanto psicolgicos. Quanto Matemtica, considera-

se que a ideia de proporcionalidade se modela por uma expresso dada por

51

equaes do tipo y = kx (diretamente proporcional) ou y = k/x (inversamente

proporcional), quando duas grandezas so relacionadas, ou por uma equao do

tipo y = kxy/uvw, quando muitas grandezas so envolvidas (VILA, 1986; LIMA

2006).

Quanto aos aspectos psicolgicos, eles estariam relacionados exigncia

de uma capacidade mental para realizar operaes. Nesse sentido, h duas

posies divergentes. De um lado, conforme salientam Schlimann e Carraher

(1997), encontram-se aqueles que defendem que o pensamento proporcional s

poder ser desenvolvido pelo indivduo no perodo das operaes formais do

desenvolvimento cognitivo, em torno dos 15 anos de idade. Spinillo (1997) observou

que muitos pesquisadores apoiam-se em Piaget e em seus colaboradores Piaget e

Inhelder, (1975), Inhelder e Piaget, (1976) para ratificarem essa crena de que as

crianas no possuem pensamento proporcional; sendo este, de domnio dos

adolescentes.

De outro lado, posicionam-se aqueles que consideram que o aparecimento

do pensamento proporcional se manifesta muito mais cedo na vida de um indivduo.

Eles apoiam-se em estudos que mostram que o conceito de proporo surge muito

antes do ensino formal. Oliveira e Santos (1998), por exemplo, observaram que

alunos do 6o ano, que ainda no tinham passado pela instruo formal da

proporcionalidade e no conheciam o algoritmo da regra de trs, foram capazes de

manipular os seus conhecimentos prvios, construindo estratgias que

possibilitaram a resoluo de problemas propostos. Constatao semelhante foi

observada por (OLIVEIRA, 1998), em um estudo sobre as estratgias de resoluo

de problemas sobre propores diretas simples. Aps uma instruo inicial que

permitia aos alunos resolverem os problemas da forma que lhes aprouvessem, eles

usaram outras estratgias, que no aquelas ensinadas na escola.

Esta constatao j havia sido verificada quase uma dcada antes por

Carraher et al (1986), a propsito de um estudo realizado junto a professores:

... ao tentar promover, por meio do ensino, a capacidade de resolver problemas de propores, no tm aproveitado devidamente habilidades j existentes nos estudantes. Consistentemente com esta concluso, observou-se entre os estudantes a utilizao mais frequente de estratgias intuitivas do que de regra de trs, ensinada como algoritmo para resoluo de problemas de proporo (CARRAHER et al, 1986, p. 586 apud PONTES, 1996, p. 66).

52

Fundamentando-se em estudos conduzidos por alguns pesquisadores

(MULLER, 1978; SPINILLO, 1990; SPINILLO e BRYANT, 1989, 1990, 1991),

Gonalves (2010) realizou

Documents

Razão áurea e aplicações