1 ANALIZA VIŠINSKE RASTI

1.1 Analiza višinske rasti Chapman-Richardovo funkcijo

Osnovna oblika Chapman-Richardove funkcije je: Y(t) = a * ( 1 – e (- b t) ) c

1.1.1 Podatki za analizo višinske rasti

ploskev drevo višina starostJ4 22 0,00 0J4 22 0,16 5J4 22 1,30 9J4 22 5,48 15J4 22 9,60 26J4 22 13,76 36J4 22 17,92 48J4 22 22,085 59J4 22 26,14 70J4 22 31,72 100

1.1.2 Postopek analize višinske rastiNajprej iz podatkov za višino in starost v programu SPSS s pomočjo nelinearne regresije (Chapman-Richardova funkcija) izračunamo parametre a, b in c. Nato iz danim podatkov z dodatnim ukazom izračunamo še prilagojene vrednosti.

Postopek:V SPSS-u izberemo jeziček varible view, zapolnemo polja Name type width decimals labelPloskev String 2 / Oznaka ploskve (npr. j4)Drevo Numeric 2 0Višina Numeric 4starost Numeric 3 0

Izberemo jeziček data view in zapolnemo podatke, da dobimo tabelo.ploskev drevo višina starostJ4 22 0,00 0J4 22 0,16 5J4 22 1,30 9J4 22 5,48 15J4 22 9,60 26J4 22 13,76 36J4 22 17,92 48J4 22 22,085 59J4 22 26,14 70J4 22 31,72 100

Nato izvedemo nelinearno regresijo podatkov za višinsko rast

Analyze - regresion - nonlinear

Dependent: za dependent value določimo višino.Model expression: vpišemo Chapman-Richardovo funkcijoParameters: določimo imena in vrednosti parametrov. Vrednosti smo določili na vajah (a=40, b=0,01 (ali 0), c=2).Save: Preden izvedemo regresijo, označimo še Predicted values.OK

Od rezultatov je najpomembnejša tabela, v katerih so zapisani parametri regresije:

Enačba brez znanih parametrov se je glasila: Y(t) = a * ( 1 – e (- b t) ) c

Nova, z znanimi parametri pa: Y(t) = 39,834 * ( 1 – e (- 0,021 t) ) 1,645

Koliko podatkov smo pojasnili z regresijsko enačbo, nam podaja R2 : 0,997

1.1.3 Izračun tekočega in povprečnega prirastka ter rastnega pospeška

V Excelov list zapišemo/kopiramo podatke in izračunamo prilagojene vrednosti višine po Chapman-Richardovi formuli, z parametri, ki smo jih dobili v SPSS-u.

ploskev drevo visina starost prilagojene vrednostij4 22 0,00 0 0j4 22 0,16 5 0,4007j4 22 1,30 9 3,3685j4 22 5,48 15 7,7607j4 22 9,60 26 11,4000j4 22 13,76 36 16,9399j4 22 17,92 48 20,6856j4 22 22,08 59 24,8119j4 22 26,14 70 29,4463j4 22 31,72 100 31,4877

Tabeli dodamo še en stolpec – funkcija tekočega prirastka oziroma CAI, ki jo dobimo kot prvi odvod rastne funkcije. Prirastna funkcija (prvi odvod rastne funkcije) ima zapis: y(t) = abc e –bt (1- e –bt) c-1

Tako dobimo naslednjo tabelo:

ploskev drevo visina starost prilagojene vrednostif- tek. Prirastek-

CAIj3 59 0,00 0 0 0j3 59 0,09 3 0,4007 0,212851j3 59 1,30 12 3,3685 0,406019j3 59 5,46 22 7,7607 0,456529j3 59 9,62 30 11,4000 0,448733j3 59 13,78 43 16,9399 0,398905j3 59 17,88 53 20,6856 0,349691j3 59 22,14 66 24,8119 0,285821j3 59 24,54 85 29,4463 0,205103j3 59 26,84 96 31,4877 0,167133

Izračun povprečnega prirastka poteka po formuli: MAI = a * 1/starost * ( 1 – e (- b t) ) c

V rastno funkcijo smo vrinili člen 1/starost.

ploskev drevo visina starostprilagojene vrednosti f- tek. Prirastek-CAI f- tek. Prirastek-CAI

j3 59 0,00 0 0 0 0,0000j3 59 0,09 3 0,4007 0,212851 0,1336j3 59 1,30 12 3,3685 0,406019 0,2807j3 59 5,46 22 7,7607 0,456529 0,3528j3 59 9,62 30 11,4000 0,448733 0,3800j3 59 13,78 43 16,9399 0,398905 0,3940j3 59 17,88 53 20,6856 0,349691 0,3903j3 59 22,14 66 24,8119 0,285821 0,3759j3 59 24,54 85 29,4463 0,205103 0,3464j3 59 26,84 96 31,4877 0,167133 0,3280

Za izračun rastnega pospeška uporabimo drugi odvod rastne oziroma prvi odvod prirastne funkcije. Rezultate dodamo tabeli in za lažji prikaz ohranimo le stolpce višine, starosti, CAI, MAI in rastni pospešek.u(t) = a*b*$B$21*($B$20*EXP(-$B$20*D4)*(1-EXP(-$B$20*D4))^($B$21-2)*(EXP(-$B$20*D4)*($B$21-1)-(1-EXP(-$B$20*D4))))

visina starost f- tek. Prirastek-CAI povpr. prirastek-MAI rastni pospešek0,00 0 0 0,0000 00,09 3 0,212851 0,1336 0,03991,30 12 0,406019 0,2807 0,01075,46 22 0,456529 0,3528 0,00099,62 30 0,448733 0,3800 -0,0025

13,78 43 0,398905 0,3940 -0,004717,88 53 0,349691 0,3903 -0,005022,14 66 0,285821 0,3759 -0,004724,54 85 0,205103 0,3464 -0,003726,84 96 0,167133 0,3280 -0,0032

1.1.4 Izračun karakterističnih točk

Starost, pri kateri kulminira tekoči višinski prirastek, izračunamo po formuli: t = -ln (c-1)/bIn dobimo t = 23,70 let

Y(23,70) = 8,538; v rastno formulo Y(t) = a * ( 1 – e (- b t) ) c vstavimo znane parametre in starost 23,70 let.

y(23,70) = 0,457; v prirastno formulo y(t) = abc e –bt (1- e –bt) c-1 vstavimo znane parametre in starost 23,70 let.

Vrednosti karakterističnih točk tekočega višinskega prirastka so: Tekoči prirastek kulminira pri starosti 24,2 let. Ob kulminaciji tekočega višinskega prirastka je bilo drevo visoko 8,538m

( Y(23,70) = 8,538) Priraščalo je 0,457m oz. 45,7cm na leto ( y(23,70) = 0,457)

Starost, pri kateri kulminira povprečni višinski prirastek:Najprej določimo višino, katere drevo ni doseglo, v tem primeru smo izbrali višino 50m. To je za nas začetna vrednost. Vrednost f(t) dobimo s formulo (KATERA JE TA FORMULA???):

f(t) = b c * 50 – exp (b * 50) +1 ; b = ,021 in c = 1,645. Vrednosti parametrov smo dobili pri Chapman-Richardovi formuli pri nelinearni regresiji.

Nato izračunamo še odvod f'(t), katerega dobimo po formuli:f(t) = b c – b * exp (b * 50)

Iz obeh dobljenih vrednosti izračunamo še t(r+1) po formuli:t(r+1) = t(r) – f(tr)/f'(tr)

Ko dobimo prvo vrednost za t(r+1), jo vpišemo v naslednjo vrstico k t(1) in postopek izračuna ponovimo. Postopek ponavljamo tako dolgo, dokler si dve zaporedni vrednosti za t(r+1) nista popolnoma enaki. Dobljena vrednost nam pomeni starost, pri kateri kulminira povprečni prirastek. Torej, pri starosti 44,9103 let kulminira povprečni prirastek.

t(1) f(t) f'(t) t(r+1)50,0000 -0,1061 -0,0238 45,534945,5349 -0,0115 -0,0187 44,921544,9215 -0,0002 -0,0180 44,910344,9103 0,0000 -0,0180 44,9103

t= 44,91y(44,91)=0,386Y(44,91)=17,349

Vrednosti karakterističnih točk povprečnega višinskega prirastka so: Povprečni višinski starostni prirastek kulminira pri starosti 44,91 let, Ob kulminaciji je bilo drevo visoko 17,349m Višinski prirastek je znašal 0,386m na leto.

1.1.5 Grafični prikaz rastne funkcije, prirastov in rastnega pospeškaPri prvem grafu bomo prikazali Chapman-Richardovo funkcijo in razstros izmerjenih podatkov. Za prikaz funkcije uporabimo podatke višine in starosti, ki smo jih dobili kot osnovne podatke ter podatke prilagojenih višin drevesa. Za x os uporabimo starost, y os pa nam predstavljata višini drevesa; dejanska in prilagojena po Ch-R. funkciji. Prave vrednosti so prikazane točkovno, s krivuljo pa je prikazana rastna funkcija.

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

0 20 40 60 80 100 120

starost [let]

viš

ina

[m

]

Slika 1: Chapman – Richardova funkcija in raztros izmerjenih podatkov.

Grafično pa prikažemo rastni in tekoči prirastek ter rastni pospešek tako, da imamo za x os starost, prirastka imata svojo skalo, npr na desni strani, na drugi y osi pa prikažemo še rastni pospešek.

-0,45

-0,35

-0,25

-0,15

-0,05

0,05

0,15

0,25

0,35

0,45

0,55

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

starost [l]

CA

I[m

3 ], M

AI[

m3 ]

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

rast

ni

po

speš

ek

rastni pospešek tekoči prirastek povprečni prirastek

Slika 2: Tekoči in povprečni volumenski prirastek ter rastni pospešek po Chapman – Richardovi funkciji.

1.2 ANALIZA VIŠINSKE RASTI S KOTAR – VADNALOVO RASTNO FUNKCIJO

1.2.1 KOTAR – VADNALOVA RASTNA FUNKCIJAKotar-Vadnalova rastna funkcija se glasi:

Y = višina t = starosta, p, n so parametri

1.2.2 IZRAČUN PARAMETROV a, p in n

Parametre a, p in n določimo z metodo izbranih točk. Parametra a in p dobimo direktno iz podatkov meritev, parameter n pa ugotovimo s poskušanjem.

1.2.2.1 Parameter a dobimo, če zgornji višini dodamo 15%. Parameter a je maksimalna vrednost funkcije rasti. Zgornjo višino dobimo pri osnovnih podatkih.a = 31,72 * 1,15 = 36,478 oz. a = 36

1.2.2.2 Maksimalna vrednost funkcije tekočega prirastka (p)Parameter p dobimo tako, da izračunamo teme parabole skozi tri točke, ki ležijo okoli kulminacije tekočega prirastka.

Višino in starost dobimo iz osnovnih podatkov, tekoči prirastek pa izračunamo po formuli:Tekoči prirastek = (višinat – višinat-1) / (prirastekt – prirastekt-1)

visina starost tekoči prirastek0,00 00,16 5 0,03201,30 9 0,28505,48 15 0,69679,60 26 0,3745

13,76 36 0,416017,92 48 0,346722,08 59 0,378226,14 70 0,369131,72 100 0,1860

Tako izberemo sledeče tri točke iz danih intervalovinterval starost Tekoči prirastek5-9 7 0,28509-15 12 0,696715-26 20,5 0,3745

Skozi tri točke v okolici kulminacije tekočega volumenskega prirastka položimo parabolo druge stopnje in izračunamo a, b in c.

y = cx2 + bx + a

Nato v SPSS vnesemo oznake za starost in prirastek ter starostkvadrat, da ne bomo uporabljali nelinearne regresije, temveč navadno regresijo.

Nato vnesemo podatke o starosti in prirastku, za starostkvadrat pa uporabimo funkcijo Transform – Compute, v katero vpišemo formulo (Numeric expression)

Podatki so torej urejeni.

Rezultat je sledeč:

Iz zadnje tabele razberemo, da je konstanta a enaka -1,040, b (parameter ob starosti (x)) znaša 0,252 ter c (parameter ob starostkvadrat (x2)) -0,009.

Enačba torej znaša: y = -0,009 * starost2 + 0,252 * starost + (-1,040)

Parameter p dobimo tako, da izračunamo teme parabole skozi tri točke, ki ležijo okoli kulminacije tekočega prirastka. p = -b/2c, vstavimo podatke in dobimo: p = 14.

1.2.2.3 Stopnja konvergenceParameter n določimo s poskušanjem, tako da je pri danem a in p (Yt-Ypril)2 minimalen.

To je Kotar-Vadnalova funkcija. V to funkcijo bomo vnašali različne vrednosti parametra n in najboljša vrednost za n bo tista vrednost, ki bo dala najmanjšo vsoto kvadratov razlik med prilagojenimi vrednostmi za višino in pravimi podatki za višino.

prava višina n

0,00 0,76511 0,76512 0,76513 0,76514 0,76515 0,76500

0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,16 1,454 1,454 1,454 1,454 1,454 1,453

1,30 3,184 3,185 3,185 3,185 3,185 3,183

5,48 5,994 5,994 5,994 5,995 5,995 5,991

9,60 11,004 11,004 11,005 11,005 11,006 10,999

13,76 15,034 15,034 15,035 15,036 15,036 15,027

17,92 19,111 19,112 19,112 19,113 19,114 19,103

22,08 22,177 22,178 22,178 22,179 22,180 22,169

26,14 24,693 24,693 24,694 24,695 24,696 24,684

31,72 29,4465 29,4471 29,4478 29,4485 29,4492 29,4389

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

1,673 1,673 1,674 1,674 1,674 1,672

3,551 3,551 3,552 3,552 3,553 3,546

0,264 0,264 0,265 0,265 0,265 0,261

1,971 1,972 1,974 1,975 1,976 1,957

1,623 1,624 1,626 1,627 1,629 1,606

1,418 1,420 1,422 1,423 1,425 1,400

0,009 0,010 0,010 0,010 0,010 0,008

2,095 2,093 2,091 2,088 2,086 2,120

5,169 5,166 5,163 5,160 5,157 5,203

17,7737 17,7737 17,7738 17,7738 17,7739 17,7736

V stolpcu viola barve so podatki pravih višin drevesa. V rumeni vrstici so vrednosti za n, pri kateri iščemo tisto vrednost, ki bo dala najmanšo vsoto kvadratov razlik. V zelenih poljih so izračuni Kotar-Vadnalove funkcije z vstavljenimi vrednostmi, v rjavih poljih pa razlike med prilagojeno višino in pravo. V modri vrstici so vsote razlik. Vidimo, da je najmanjša razlika pri vrednosti n=0,7650, takrat je vsota razlik 17,7736.

n = 0,7650 (Yt-Ypril)2 = 17,7736

ker pa ne potrebujemo tolikšne natančnosti, lahko zapišemo, da n znaša 0,765. Ugotovili smo vse tri parametre; a,p in n.Funkcija se tako glasi:

1.2.3 IZRAČUN KOEFICIENTA KORELACIJE MED VIŠINSKO IN STAROSTJO

starost visina pril. Vrednosti (Y-Ypril)^2 (Y-Ypov)^2

0 0,00 0,00000 0,00 164,25

5 0,16 1,45358 1,67 160,17

9 1,30 3,18440 3,55 132,62

15 5,48 5,99383 0,26 53,82

26 9,60 11,00395 1,97 10,34

36 13,76 15,03382 1,62 0,89

48 17,92 19,11086 1,42 26,05

59 22,08 22,17692 0,01 85,82

70 26,14 24,69254 2,10 177,53

100 31,72 29,44646 5,17 357,36

12,816 132,10 17,77 1168,86

Tabela; podatki za izračun koeficienta korelacije med višino in starostjo

V prvih dveh stolpcih imamo podatke drevesa, dodali smo le povprečno vrednost višine; 12,816m. prilagojene vrednosti višin smo izračunali po Kotar-Vadnalovi funkciji, nato pa tvorimo še dva dodatna stolpca; kvadrati razlik med pravimi podatki in prilagojenimi ter stolpec kvadratov razlik med pravimi vrednostmi in povprečno višino. Z rdečo so označene vsote vrednosti stolpca.

Vsota kvadratov, ki ni pojasnjena z regresijo:∑dyt

2 = ∑(Y – Ypril)2 = 17,77

Vsota kvadratov odstopanja:∑y2 = ∑(Y – Ypov)2 = 1168,86

Vsota kvadratov, pojasnjena z regresijo SQR = ∑y2 - ∑dyt2 = 1168,86 – 17,77 = 1151,08

= 0,9848

R = 0,9984

Z regresijo je pojasnjenih 98,48 % vsote kvadratov.Pri določenih starostih (15 in 59 let) se funkcija zelo dobro prilagaja podatkom.

1.2.4 IZRAČUN TEKOČEGA VIŠINSKEGA PRIRASTKA IN NJEGOVIH

KARAKTERISTIČNIH TOČK

Funkcija tekočega višinskega prirastka je prvi odvod rastne funkcije in se glasi:

; če vstavimo dobljene podatke za

parametre, dobimo:

Maksimum tekočega prirastka dobimo, če v funkcijo tekočega prirastka vstavimo

t = p = 14;

to je prevoj rastne funkcije. Parameter p smo dobili tako, da smo izračunali teme prirastne funkcije, se pravi teme parabole skozi tri točke, ki ležijo okoli kulminacije tekočega prirastka.

Y(14) = 5,412

y(14) = 0,462

Vrednosti karakterističnih točk tekočega višinskega prirastka so:- tekoči višinski prirastek kulminira pri starosti 14 let- ob kulminaciji tekočega višinskega prirastka je bilo drevo visoko 5,4 metra.- priraščalo je 46,2 centimetrov na leto

1.2.5 IZRAČUN POVPREČNEGA STAROSTNEGA VIŠINSKEGA PRIRASTKA (MAI) IN NJEGOVIH KARAKTERISTIČNIH TOČK

Funkcija povprečnega starostnega višinskega prirastka:

To je enostavno rastna funkcija, le vrednost smo delili s starosto t, da dobimo povprečni starostni višinski prirastek.

Iščemo kulminacijo f(t) zato mora biti f'(t) = 0

Čas kulminacije določimo z Newtonovo metodo zaporednih približkov.

Rešimo naslednjo transcendentno enačbo:

Odvod transcendentne funkcije:

Reševanje po Newtonovi tangentni metodi:

V preglednici so delni rezultati in približen prikaz računanja.

f(tr) f'(tr) t(r) t(r+1)0,1302 0,0069 50,0000 31,14370,0161 0,0048 31,1437 27,76370,0011 0,0041 27,7637 27,4832

0,0000 0,0040 27,4832 27,48100,0000 0,0040 27,4810 27,4810

Za začetek pri t(r) postavimo višino, katere naše drevo ni doseglo. Npr. 50m.

f(tr) izračunamo po transcendentni formuli in f ' (tr) po odvodu transcendentne formule. Potem izračunamo t(r+1):

t(r+1) = 50 – f(0,13021)/f'(0,00691) = 31,1437

Dobljen rezultat vpišemo v naslednjo vrstico v stolpec t(r) pod 50. spet izračunamo t(r+2):

t(r+2) = 31,1437– f(-0,01611)/f'(0,0477) = 27,7637

t(r+3) = 27,7637 – f(0,00114)/f'(0,00407) = 27,4832

t(r+4) = 27,4832 – f(8,80048E-06)/f'(0,00401) = 27,4810

t(r+5) = 27,4810 – f(5,43499E-10)/f'(0,00401) = 27,4810

Postopek ponavljamo tako dolgo, dokler ne dobimo enaki vrednosti v dveh vrsticah. V tem

primeru smo postopek končali, ko smo dvakrat dobili vrednost 27,481.

V funkcijo Kotar-Vadnal z našimi parametri vnesemo kot starost 27,481 let. Najprej vnesemo

to vrednost v rastno, kasneje pa še v prirastno funkcijo.

Y (27,481) = 11,637; rezultat, če vnesemo v rastno funkcijo

f (27,481) = 0,415 rezultat prirastne funkcije.

Vrednosti karakterističnih točk povprečnega višinskega starostnega prirastka so: povprečni višinski starostni prirastek kulminira pri starosti 27,5 let ob kulminaciji je bilo drevo visoko 11,6 metra. višinski prirastek je znašal 41,5 centimetrov na leto

1.2.6 IZRAČUN RASTNEGA POSPEŠKA

To je funkcija rastnega pospeška, dobimo jo z dvakratnim odvajanjem rastne funkcije ali pa z drugim odvodom prirastne. Po funkciji izračunamo vrednosti za naše vrednosti parametrov a, p in n, ki smo jih že izračunali (poglavje izračun parametrov a, p, n.)

Preglednica 1: Izračunane vrednosti za tekoči in povprečni prirastek ter rastni pospešek.

višina starost CAI-tekoči prirastek

MAI-povprečni prirastek

rastni pospešek

0.00 0 0.000 0.000 0.000

0.16 5 0,3917 0,2868 0,0221

1.30 9 0,4459 0,3476 0,0073

5.48 15 0,4611 0,3916 -0,0009

9.60 26 0,4222 0,4146 -0,0051

13.76 36 0,3677 0,4091 -0,0056

17.92 48 0,3031 0,3905 -0,0051

22.08 59 0,2509 0,3694 -0,0044

26.14 70 0,2066 0,3471 -0,0037

31.72 100 0,1206 0,2909 -0,0022

Grafični prikaz rastne funkcije, prirastkov in rastnega pospeška

Slika 3: Kotar-Vadnalova funkcija in raztros izmerjenih podatkov.

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

starost [l]

CA

I[m

3],

MA

I[m

3]

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

rast

ni

po

speš

ek

rastni pospešek tekoči prirastek povprečni prirastek

Slika 4: Tekoči in povprečni volumenski prirastek ter rastni pospešek po Kotar-Vadnalovi rastni funkciji