Razon de Cambio

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RAZON DE CAMBIOPROBLEMA 1Un yate se encuentra a 120 km al norte del puerto de Salaverry y se dirige hacia este a una velocidad de 120 km/h. Otro yate sale del puerto en direccin oeste, alejndose del puerto a una velocidad de 160 km/h. Despus de 30 minutos, se acercan o se separan los yates y con qu rapidez lo hacen?SolucinNorteSalaverryOestezxyyAyByA: yate AyB: yate B

i) Planteamiento del problemaVariables y: distancia del yate A al puerto x: distancia recorrida por el yate B z: distancia entre los yates

Rapidez de variacin de y:

Rapidez de variacin de x: Razn de cambio por calcular:

ii) Relacin entre las variables. Del diagrama, se obtiene

iii) Al derivar con respecto al tiempo t, se tiene

iv) Para t = 1/2 hora , se obtiene x = 80 , y = 60 y z = 100 Luego,

Por tanto, despus de 1/2 hora los yates se separan a una velocidad de 56 km/h.

PROBLEMA 2

Las bases mayor y menor de un trapecio issceles miden 8m y 4m, respectivamente, y su altura es variable. Si el rea del trapecio aumenta a razn de 2 m2/min, calcule la velocidad con la que vara el ngulo formado por la base mayor y uno de los lados no paralelos, cuando dicho ngulo mide radianes.Solucin4m8m422h

i) Planteamiento del problemaVariable Altura: h(en m), h = h(t)rea: A (en m2), A = A(t)ngulo: (en rad), = (t)

La razn de cambio del rea es Razn de cambio a calcular:

cuando ii) Relacin entre las variables

De la figura adjunta, se obtiene

Luego, A = 6(2 tan) = 12 tan iii) Al derivar con respecto al tiempo t, se tiene

iv) Al resulta

Por tanto, el ngulo crece a una velocidad de 0,083 rad/min en el instante en que radianes.

PROBLEMA 3Un tanque cnico invertido de 6 m de altura y 2 m de radio en la parte superior, se Nena con agua a una razn constante.a) Si la profundidad del agua aumenta a razn de 0,5 m/min, a qu velocidad se incrementa el volumen de agua cuando el tanque est a la mitad de su capacidad?b) Cunto tiempo tardar el tanque en llenarse? SolucinSean V el volumen de agua, r el radio de la superficie variable y h el nivel del agua en el instante t.i) La rapidez con que aumenta el nivel del agua en el instante t es

2mr6mhV

La capacidad del tanque es

ii) Ecuacin que relaciona las variables

(1) Como el volumen consta de dos variables (r y h), conviene expresarlo nicamente en trminos de h (r y dr/dt no estn involucrados en el problema) para lo cual se utiliza semejanza de tringulos.

As, el volumen de agua es

(2)iii) Al derivar la ecuacin (2) con respecto al tiempo t, se obtiene

(3)El nivel de agua cuando el tanque est a la mitad de su capacidad es

Luego, al reemplazar y en (3), resulta

Por tanto, el volumen del agua aumenta a razn de 3,96 m3/min.b) Como la velocidad constante a la que fluye el agua al recipiente es 3,96 m3/min , entonces el volumen del agua en cada instante t es V = 3,96t

Luego, al sustituir en esta igualdad se obtiene:

Por tanto, el tanque se llena aproximadamente en 6,35 minutos.PROBLEMA 4Un pescador est parado en el muelle de Paita y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos estn a 3 m por encima del nivel del mar. Cuando la lancha est a 4 m del muelle, el pescador est jalando la cuerda a una velocidad de 80 cm por minuto. A qu velocidad se aproxima la lancha al muelle?SolucinSean x la distancia entre la lancha y el muelle y z la longitud de la cuerda en el instante t.i) La rapidez con que disminuye la longitud de la cuerda en el instante t es

ii) Ecuacin que relaciona las variables

iii) Al derivar la ecuacin (1) con respecto al tiempo t, se obtieneZX3m

De (1), cuando x = 4 m, se tiene z = 5 m

Al reemplazar en (2), resulta

Por tanto, la lancha se aproxima al muelle a razn de 1 m por minuto.PROBLEMA 5Un tren se dirige hacia el sur con una velocidad de 80 km/h y otro hacia el este a 120 km/h. A las 16 horas, el segundo tren pasa por el punto donde el primero estuvo 3 horas antes.a) Cmo vara la distancia entre ellos a las 15 horas?b) Cmo vara la distancia entre ellos a las 17 horas?SolucinSean x la distancia del tren que va hacia el este al punto de cruce, y la distancia del tren que va al sur al punto de cruce y z la distancia entre ellos. a) A las 15 horas las distancias x, y y z son respectivamenteT2NEOSxzyT1

x = 120 km, y =160 km, z = 200 km Y las velocidades con que disminuye x y aumenta y son

La ecuacin que relaciona las variables x, y, z es

Al derivar implcitamente con respecto al tiempo t, se obtiene

(*)Al reemplazar x = 120, y=160, z = 200, dx/dt = - 120 , y dy /dt = 80, resulta

Por tanto, a las 15 horas la distancia entre los trenes disminuye a una razn de 8 km/h.b) A las 17 horas las distancias x, y, z son respectivamente

y las velocidades con las que aumentan tanto x como y son

T2NEOSxzyT1

Al sustituir estos datos en (*), se obtiene

Por tanto, a las 17 horas la distancia entre los trenes aumenta a una razn de 117,04 km/h.

PROBLEMA 6Una artesa tiene 12 pies de largo y 3 pies de ancho en su parte superior, y sus extremos tienen forma de tringulo issceles con una altura de 3 pies. Si se vierte agua en ella a razn de 2 pie3/mm. con qu velocidad sube el nivel del agua cuando hay 1 pie de profundidad de agua?SolucinSean V la cantidad de agua que hay en la artesa, h el nivel del agua en cualquier instante y la velocidad con que vara el volumen de agua es

La ecuacin que relaciona las variables es

Como el volumen consta de dos variables (x y h), conviene expresarlo nicamente en trminos de h. Con este propsito, al utilizar semejanza de tringulos, se tiene

As, el volumen del agua en trminos de h es

Al derivar implcitamente con respecto a t, se obtiene

Al reemplazar resultaPor tanto, el nivel de agua sube a razn de 0,17 pies por minuto.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. En un instante dado, la longitud de un cateto de un tringulo rectngulo es de 12 pies y aumenta a razn de 2 pies por minuto. El otro cateto es de 16 pies y disminuye a razn de 3 pies por minuto.a) Cmo vara la longitud de la hipotenusa en ese instante?b) Halle la razn de cambio del ngulo agudo opuesto al cateto en el que en ese instante mide 16 pies.2. Un nio observa, desde una distancia de 300 pies, como un globo se eleva verticalmente con una velocidad de 5 pies por segundo. Cmo cambia el ngulo de la visual del nio en el instante en que el globo se encuentra a 100 pies de altura?3. Un filtro cnico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la parte superior se encuentra lleno de una solucin, la cual va pasando a un vaso cilndrico de 5 cm de radio. Cuando la profundidad de la solucin en el filtro es de 10 cm, su nivel baja a razn de 2 cm por minuto. Halle la velocidad con que sube la solucin en el vaso cilndrico, para dicha profundidad.4. Dos lados paralelos de un rectngulo se alargan a razn de 4 cm/s, mientras que los otros dos lados se acortan de tal manera que la figura permanece como rectngulo de rea constante e igual a 80 cm2. Cul es la variacin del lado que disminuye y la del permetro, cuando la longitud del lado que aumenta es de 8 cm?5. Un rectngulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su vrtice A, opuesto al origen de coordenadas, est sobre la curva de la ecuacin y = ex. En el vrtice A la ordenada y aumenta a razn de 2 cm por segundo. Cul es la variacin del rea del rectngulo en el instante en que x = 2 cm?

MAXIMOS Y MINIMOSPROBLEMA 1Se desea construir una caja sin tapa de base cuadrada. El costo del material es de S/.4 el cm2 para la base y de S/.3 el cm2 para las caras laterales. Si el costo de construir la caja es de S/.48, determine las dimensiones de la caja de mximo volumen.Solucini) Planteamientolado de la base: x (cm) Variables altura: y (cm)(volumen: V (cm3) (Var. dependiente a maximizar)

Dato: costo total de la caja (constante) Costo total = costo de la base + costo del rea lateral

Incgnitas: las dimensiones de la caja que maximizan el volumenii) Funcin objetivoEl volumen de la caja es V = x2y.yxx

Como , se tiene

iii) El nmero crtico de inters es x = 2 e Dom(V) Diagrama de signos de la primera derivadaSigno de

Luego, para x=2 el volumen de la caja es mximoiv) RespuestaLas dimensiones de la caja que maximizan el volumen son:El ancho y el largo de la base miden 2cm, y la altura 1,33 cm.

PROBLEMA 2En una carretera, a travs del desierto, un volquete debe r desde la ciudad A hasta el poblado P a 100 km de distancia de A. Se puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A y B que le permite ir a una velocidad de 20 km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 12 km/h. Si la distancia ms corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 60 km, determine la ruta en lnea recta que deber usar el volquete para ir de A a P en el menor tiempo posible.SolucinSean C el pie de la perpendicular trazada desde P a la carretera que une A y B, Q el punto donde el volquete abandona la carretera (y se dirige hacia P) y x la distancia de Q a C (ver figura adjunta).i) Por el teorema de Pitgoras en el tringulo ACP, se obtiene100km60 km80-xx80kmPABCQ

ii) En el tringulo QCP, se tiene

Luego, el tiempo t que tarda el volquete en recorrer la distancia

es

iii)

As, Por tanto, el volquete debe dejar la carretera a 35 km de la ciudad A para ir del punto A al punto P en el menor tiempo posible.

PROBLEMA 3Un gasocentro adquiere gas a un costo de S/.4 cada galn y al precio de venta de S/.5 el galn, se venden 4000 galones en un mes. Se quiere subir el precio de venta y se estima que por un aumento de S/.0,1 en el precio de venta, se vendern 100 galones menos al mes.a) Qu precio de venta se debe fijar con el fin de obtener la utilidad mxima?b) Cul es la utilidad mxima?Solucina) Sea x el aumento en soles del precio de venta por galn Por la regla de tres simple, se tieneAumento en solesNmero de galones que se deja de vender 0,1 1000 X D

Luego, la utilidad total del gasocentro esU(x) = (nmero de galones vendidos)(utilidad por galn)

+-01,54Signos de U(x)

Por tanto, se deber fijar en S/.5 + S/.1,5 = S/.6,5 el precio de galn para que la utilidad del gasocentro sea mxima.b) La utilidad mxima es S/.6250.

PROBLEMA 4Un depsito para granos es construido acoplando a un cilindro circular recto, de altura h y radio r, una semiesfera de radio r. Si el rea total de la superficie del depsito es 20n m2, determine el valor de r y h para que su volumen sea mximo.Solucinrea total de la superficie del depsito

De acuerdo a las condiciones del problema, se tiene

hr

Volumen del depsito

+-02Signos de V(r)

Por tanto, las dimensiones del depsito de volumen mximo son: radio r = 2 m y altura h = 2 m.

PROBLEMA 5Se vierte agua en un depsito que tiene la forma de un cono invertido, a razn de 15 m3/hora. El cono tiene 20 metros de profundidad y 20 metros de dimetro en su parte superior. Si por la base del depsito hay una fuga de agua a razn de 5 m3/hora, a qu velocidad sube el nivel de agua cuando su profundidad es de 10 metros?SolucinSean V el volumen del agua, r radio de la superficie variable y h la profundidad del agua en el instante t.i) Rapidez con que entra el agua al depsito en el instante t

Rapidez con que sale el agua del depsito en el instante t

ii) Ecuacin del volumen del agua en el depsito

Como el volumen depende de dos variables (r y h), es necesario expresarlo nicamente en trminos de h, para lo cual se usa semejanza de tringulos

As, el volumen del agua en el depsito es

iii) La ecuacin de tasas relacionadas se obtiene al derivar implcitamente la ecuacin (2) con respecto al tiempo t.

Como la razn de cambio del volumen de agua en el depsito en el instante t es razn de entrada razn de salida 10r20h

Entonces se tiene

Para h = 10, resulta

Por tanto, el nivel del agua sube aproximadamente a razn de 0,127 m/hora.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un cilindro circular recto est inscrito en un cono circular recto de 4 cm de radio en la base y 12 cm de altura. Si el volumen V del cilindro es , donde r es el radio de la base, determine las dimensiones del cilindro de volumen mximo.2. En una esquina de la calle existe un terreno vaco que tiene la forma de un tringulo rectngulo tal como se muestra en la figura adjunta.Campo de fulbito30m20m

Determine las dimensiones del campo de fulbito de rea mxima que se puede construir en dicha esquina.

3. Halle las dimensiones del rectngulo de rea mxima, que se puede inscribir en el tringulo issceles ABC (d(A; 5) = d(B; C)), tal como se muestra en la figura adjunta.8 cm6 cmABC

4. En un cartel rectangular, los mrgenes superiores e inferiores miden 6 cm cada uno y los laterales 4 cm. Si el rea del material impreso se fija en 348 cm2, cules son las dimensiones del cartel de rea mxima?5. El administrador de una embotelladora de jugos naturales desea lanzar al mercado una nueva presentacin consistente en una lata en forma de un cilindro circular recto con capacidad de 128 cm3. Determine las dimensiones del envase a fin de utilizar la menor cantidad de material en su fabricacin.6. Una caja sin tapa se construye a partir de una plancha de madera rectangular de 12 pies por 20 pies, cortando cuadrados de lado x (en pies) en cada esquina tal como se muestra en la figura adjunta.Halle las dimensiones de la caja de capacidad mxima.20 pies

12 pies

x

x

x

x

x

x

x

x

7. Los puntos A y B estn situados uno frente al otro y en lados opuestos de un ro recto de 150 m de ancho. El punto Q est a 300 m de B y en la misma orilla (ver figura).

Una compaa de telfonos necesita tender un cable desde A hasta Q. Si el costo por metro de cable es 25% ms caro bajo el agua que por tierra, cmo se debe tender el cable para que e: costo total de instalacin sea mnimo?

8. Un granjero dispone de 480 metros de valla para cercar un corral de forma rectangular y a su vez dividirlo en dos partes rectangulares de igual rea (ver grfico).

Determine las dimensiones del corral para que su rea sea mxima.9. La seccin transversal de un canal de irrigacin tiene la forma de un trapecio issceles de base 4 cm y con lados iguales de 4 cm de longitud que forman ngulos de 6 radianes con la vertical (figura adjunta). Halle el valor del ngulo 8 para que el rea de la seccin transversal sea mxima.10. Dos lados de un tringulo miden 4 cm c/u. Cul es el ngulo entre esos dos lados para que el rea del tringulo sea mximo?11. Un rbol de 7 m de altura se encuentra en la cima de una colina de 9 m de altura. Si el ojo del observador se encuentra a 1 m del suelo, a qu distancia debe ubicarse el observador de un punto directamente bajo el rbol, para que el ngulo formado por las visuales de la base y la copa del rbol sea mximo?12. Un agricultor va cercar un campo que tiene la forma de un sector circular. Si para tal fin cuenta con 200 m de alambre, calcule el radio del sector circular para que su rea sea mxima.

(rea del sector y longitud del arco

(donde es el ngulo y es el radio)13. Se necesita fabricar una caldera de 45ir m3 de capacidad, compuesta por un cilindro circular recto (de radio r y altura h) montado por una semiesfera. Cunto debe medir el radio para que la superficie exterior sea mnima?14. Un barco de guerra se encuentra anclado a 9 km del punto ms prximo de la costa. Es preciso enviar un mensajero a un campo militar situado a 15 km del punto de tierra ms prximo, contados a lo largo de la costa. Si el mensajero camina a 5 km/h y rema a 4 km/h, en qu punto de la costa debe desembarcar para llegar al campamento en el menor tiempo posible?15. El costo operativo de un camin sobre una autopista (excluyendo el salario del chofer) es soles por kilmetro, donde x es la velocidad (uniforme) del camin en kilmetros por hora. El salario del chofer es 18 soles por hora. A qu velocidad debe manejar el chofer para que el viaje de 600 kilmetros resulte ms econmico?16. Se desea construir una lmina en forma de un tringulo rectngulo cuya hipotenusa mida 5 centmetros. Calcule las dimensiones de los catetos de la lmina triangular para que su rea sea mxima.17. Se desea pintar el interior de un almacn, que tiene la forma de un paraleleppedo rectangular, de base cuadrada y con capacidad de 250 metros cbicos. La pintura para el piso y el techo del almacn cuesta US$2 por metro cuadrado y para las paredes cuesta US$1 por metro cuadrado.Podr pintarse el almacn con un presupuesto menor de US$300 en pintura?