Razonamiento y Resolución de Problemas

7/23/2019 Razonamiento y Resolucin de Problemas

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Acredita Bach- 2014

Matemticas

Razonamiento y resolucin de

problemas

Inductivo

Acredita Bach 2014 Razonamiento y resolucin de problemas

RazonamientoRazonar es discurrir, ordenando ideas en la

mente para llegar a una conclusin

Deductivo

Generalizar a partir de casos

particulares

Conjeturas como resultado de

observaciones repetidas.

Posibilidad de conclusiones

errneas

Particularizar un principio

general.

Aristteles estableci los

principios generales del

razonamiento deductivo.

Ejemplo de razonamiento

inductivo

(de lo particular a lo general)


Ejemplo de razonamiento

deductivo

(De lo general a lo particular)

Premisa 1: Cuando Juan toca lallama de un encendedor se

quema

Premisa 2: Cuando Juan toca una

estufa encendida se quema

Premisa 3: Cuando Juan toca la

jarra de la cafetera caliente se

quema

Conclusin: Si tocas un objeto

caliente te quemas

Premisa mayor: Todos losmircoles Juan sale 10 minutos

antes de su trabajo

Premisa menor: Hoy es

mircoles

Conclusin: Hoy Juan saldr 10

minutos antes de su trabajo

Razonamiento deductivo en la resolucin de problemas matemticos


En el razonamiento deductivo usamos enunciados generales y los

aplicamos a situaciones especficas.

Ejemplo

Teorema de Pitgoras: En cualquier tringulo rectngulo, la suma de los

cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

Si loscatetos de un tringulo particularmiden

a = 3 cm y b = 4 cm, entonces podemosconocer la longitud de la hipotenusa

mediante la aplicacin del teorema.


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Razonamiento inductivo en la resolucin de problemas matemticos


Caso 1:

Cul es la regla ms probable para este patrn?

1, 2, 3,

La regla ms probable es: sumar uno al nmero anterior



Caso 2:

Cul es el nmero que sigue en la lista 2, 9, 16, 23, 30, ?

Un patrn probable es: sumar siete al nmero anterior; por tanto el

nmero que sigue en la lista es 37.

Otro patrn probable es: escribir las fechas de los domingos de los

meses de junio y julio en un calendario; por tanto el nmero que sigue

en la lista es 7.



Recuerda:

Nunca podemos estar seguros de que la verdad en un casoespecfico ser verdad en lo general. El razonamiento

inductivo no garantiza un resultado verdadero, pero ofrecelos medios para hacer una conjetura.


Ejercicios


1. Cul es el nmero que sigue en la lista 5,9,13,17,21,25,29,?

Patrn ms probable: Sumar 4 al nmero anterior; por tanto el

nmero que sigue en la lista es 33.

(Este es un ejemplo de una secuencia aritmtica).

2. Cul es el nmero que sigue en la lista 1,1,2,3,5,8,13,21,?

Patrn ms probable: Iniciando con el tercer nmero de la lista, el 2,

cada nmero se obtiene sumando los dos n meros anteriores de la

lista. Es decir: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, y as sucesivamente. Por tanto el

nmero que sigue en la lista es 13+21=34.

(stos son los trminos iniciales de la famosa sucesin de Fibonacci).


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Ejercicios


3. Cul es el nmero que sigue en la lista 2,4,8,16,32,?Patrn ms probable: Iniciando con el segundo n mero, duplicar el

nmero anterior; por tanto el nmero que sigue en la lista es 64.

(Este es un ejemplo de una secuencia geomtrica).

4. Cul es el nmero que sigue en la lista 3,6,9,15,24,39,?

Patrn ms probable: Iniciando con el tercer nmero de la lista, el 9,

cada nmero se obtiene sumando los dos nmeros anteriores de la

lista. Es decir: 3+6=9, 6+9=15, 15+24=39, y as sucesivamente.

Por tanto el nmero que sigue en la lista es 24+39 = 63.


Ejercicios


5. Cul es el nmero que sigue en la lista ?

6. Cul es el nmero que sigue en la lista 1,8,27,64,125,?

Patrn ms probable: 13, 23, 33, 43, 53, y as sucesivamente

63 = 216


Ejercicios


7. Cul es el nmero que sigue en la lista 4,7,12,19,28,39?

8. Cul es el nmero que sigue en la lista

5,3,5,5,3,5,5,5,3,5,5,5,5,3,5,5,5,5,?

Patrn ms probable: Mientras que el 3 permanece constante, el 5 se

repite en incrementos de uno. Por tanto, el siguiente nmero es:

5

Patrn ms probable: la diferencia entre los nmeros de la lista se

incrementa en dos cada vez. Por tanto, el siguiente nmero es:39 + 13 = 52


Ejercicios


9. Cul nmero sigue en la lista -1, 2, -3, 4, -5, 6,?

10. Elabora una secuencia aritmtica de modo que el siguiente nmero

sea 60.

Una solucin puede ser: 10,20,30,40,50,

Patrn ms probable: Los nmeros se incrementan en uno, mientras

que se alternan los signos positivo y negativo. El siguiente nmero es:

-7


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Ejercicios


11. Considerando la siguiente lista de ecuaciones, prediga la igualdad(factores y producto) quesigueen la lista

37 x 3 = 111

37 x 6 = 222

37 x 9 = 333

37 x 12 = 444

Patrn ms probable: E l primer f ac tor es c onst ante e igual a 3 7, el

segundo factor es un mltiplo de 3, el resultado es un nmero de 3

dgitos iguales quese incrementande unoen uno.

Por tanto, la siguienteigualdad es:

37 x 15 = 555


Ejercicios


12. Considerando la siguiente lista de ecuaciones, prediga la ecuacinque sigueen lalista

(9 x 9) + 7 = 88

(98 x 9) + 6 = 888

(987 x 9) + 5 = 8888

(9876 x 9) + 4 = 88888

(98765 x 9) + 3 = 888888


Ejercicios


13. Considerando la siguiente lista de ecuaciones, prediga la ecuacin

que sigue enla lista

3367 x 3 = 10101

3367 x 6 = 20202

3367 x 9 = 30303

3367 x 12 = 40404

3367 x 15 = 50505


Ejercicios


14. Considerando la siguiente lista de ecuaciones, prediga la ecuacin

que sigueen lalista

5(6) + 5(36) + 5(216) + 5(1296) + 5(7776) = 6(7776-1)

5(6) =

5(6) + 5(36) =

5(6) + 5(36) + 5(216) =

5(6) + 5(36) + 5(216) + 5(1296) =

6(6-1)

6(36-1)

6(216-1)

6(1296-1)


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Ejercicios


15. Piensa un nmero y sigue estospasos:a) Multipl calopor2

b) Suma 6

c ) Divideent re2

d) Resta elnmero que pensaste

e) Escribe elresultado 3

f) Cambia el nmero 6 del inciso b) por el nmero 8

g) Escribe el resultado 4

h) Cambia el nmero 8 del inciso b) por el nmero 10

i) Escribe el resultado 5

j) Explica cmo predecir el resultado final.

Secuencias numricas


Secuencia aritmtica: Tambin llamada progresin

aritmtica. Cada trmino despus del primero se obtienesumando el mismo nmero, llamado la diferencia comn.

3,9,15,21,27, la diferencia comn es 6

100,95,90,85,80, la diferencia comn es -5

1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4, la diferencia comn es

Para encontrar la diferencia comn, se elige cualquier

trmino que no sea el primero, y se le resta el trmino

anterior.

Secuencias numricas


Secuencia geomtrica: Tambin llamada progresin

geomtrica. Cada trmino despus del primero se obtiene

multiplicando por el mismo nmero, llamado razn comn.

2,4,8,16,32, la razn comn es 2

1,5,25,125,625, la razn comn es 5

1/3, 3/3, 9/3, 27/3, 81/3, la razn comn es 3

Para encontrar la razn comn, se elige cualquier trmino

que no sea el primero, y se divide entre el trmino anterior.

Secuencia aritmtica, geomtrica o ninguna de las dos?


a) 5, 10, 15, 20, 25,

La diferencia comn es 5, es una secuencia aritmtica.El siguiente trmino es:

25 + 5 = 30


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b) 3, 12, 48, 192, 768,

La razn comn es 4. Por tanto, es una secuencia geomtrica.

El siguiente trmino es:

768 x 4 = 3072



c) 1, 4, 9, 16, 25,

Esta lista no contiene una diferencia comn ni una razn

comn, sin embargo existe un patrn:

12, 22, 32, 42, 52,

El siguiente trmino es:

62 = 36

La secuencia no es aritmtica ni geomtrica.

Mtodo de las diferencias sucesivas


2, 6, 22, 56, 114,

2 6 22 56 114

4 16 34 58

12 18 24

6 6Diferencia comn 6

30

88

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Mtodo de las diferencias sucesivas


a) Determina el nmero que sigue en la secuencia:

14, 22, 32, 44,

58

b) Determina el nmero que sigue en la secuencia:

5, 15, 37, 77, 141,

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Patrones numricos y frmulas de sumas


1 = 12

1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

Lado izquierdo:

Suma de nmeros

impares

Lado derecho:

Cuadrado del nmero de

trminos del lado izquierdo



1 = 12

1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

1 + 3 + 5 + 7 + (2n 1) = n2

n = nmero de trminos

2n 1 = ensimo nmero impar

Frmula, regla o modelo de la suma de nmeros impares



1 = 12

1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

1 + 3 + 5 + 7 + (2n 1) = n2

Seis trminos (n=6):

Ocho trminos (n=8):

Veinte trminos (n=20):

Mil trminos (n=1000):

La suma es 62 = 36 (1+3+5+7+9+11= 36)

La suma es 82 = 64 (1+3+5+7+9+11+ 13+15=64)

La suma es 202 = 400

La suma es 10002 = 1,000,000



Lado izquierdo:

La suma de los pr imerosn nmerosnaturales

1+2+3+4+n

Lado derecho:

Es de la forma


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Frmula, regla o modelo de la suma de

los nmeros naturales comenzando con 1:

Seis trminos (n=6):

La suma es

(1+2+3+4+5+6 = 21)

Encontrar el ensimo trmino de una secuencia


7, 14, 21, 28,35, . . .

Es una secuencia aritmtica, la diferencia comn es +7

Posicin 1 2 3 4 5 n

Trmino 7 14 21 28 35

Forma 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7n

Frmula, regla o modelo de la secuencia: 7n

El sexto trmino es: 7(6) = 42

El cuadragsimo trmino es: 7(40) = 280

El octogsimo trmino es: 7(80) = 560

El millonsimo trmino es: 7(1,000,000) = 7,000,000



8, 15, 22, 29,36, . . .

Es una secuencia aritmtica, la diferencia comn es +7

Posicin 1 2 3 4 5 nTrmino 8 15 22 29 36

Forma (7 1)+1 (7 2)+1 (7 3)+1 (7 4)+1 (7 5)+1 7n+1

Frmula, regla o modelo de la secuencia: 7n+1

El sexto trmino es: 7(6)+1 = 43

El quincuagsimo trmino es: 7(50)+1 = 351

El nonagsimo trmino es: 7(90)+1 = 631

El milsimo trmino es: 7(1000)+1 = 7001



25, 20, 15, 10, 5, . . .

Es una secuencia aritmtica, la diferencia comn es -5

Posicin 1 2 3 4 5 nTrmino 25 20 15 10 5

Forma (-5 1)+30 (-5 2)+30 (-5 3)+30 (-5 4)+30 (-5 5)+30 -5n+30

Frmula, regla o modelo de la secuencia: -5n+30

El sexto trmino es: -5(6)+30 = 0

El trigsimo trmino es: -5(30)+30 = -100

El septuagsimo trmino es: -5(70)+30 = -320

El diezmilsimo trmino es: -5(10000)+30= -50290


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Si el patrn de formas T contina, cuntos cuadros habr en la

centsima forma T?

Posicin 1 2 3 4 n

Trmino 5 8 11 14

Forma (3 1)+2 (3 2)+2 (3 3)+2 (3 4)+2 3n+2

En la centsima forma T habr 3(100) + 2 = 302 cuadros



El ayuntamiento se ha planteado decorar algunas calles de la ciudad

colocando jardineras de forma hexagonal (figuras negras) en hilera,

rodeando cada jardinera con baldosas de color blanco (figuras blancas),

como se muestra en el grfico. Las jardineras pueden ser simples (tienen

una sola jardinera) o compuestas (con ms de una jardinera).

Desarrolla un modelo matemtico que calcule el n mero de baldosas

segn el nmero de jardineras del arreglo.

El tcnico de urbanismo ha dibujado el esquema para 10 y para 20

jardineras. Indica el nmero de baldosas que necesitar en cada caso.



Modelo matemtico:

# de jardineras 1 2 3 4 n

# de baldosas 6 10 14 18

Forma (4 1)+2 (4 2)+2 (4 3)+2 (4 4)+2 4n+2

4n+2

Para 10 jardineras se requieren 4(10) + 2 = 42 baldosas

Para 20 jardineras se requieren 4(20) + 2 = 82 baldosas



3, 6, 12, 24,. . .

Es una secuencia geomtrica, la razn comn es r = 2 y el primer

trmino es 3

Posicin 1 2 3 4 n

Trmino 3 6 12 24

Forma 3 20 3 21 3 22 3 23 3rn-1

Frmula, regla o modelo de la secuencia: 3rn-1

El sexto trmino es: 3(2)6-1 = 96

El dcimo trmino es: 3(2)10-1 = 1536


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Razonamiento y resolucin de problemas


Tiempo de ser creativo

Disea tus propios ejercicios creando:

a) Ejemplos de razonamiento inductivo y deductivo

b) Patrones numricos, de colores y formas

c) Secuencias aritmticas y geomtricas.

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